Schallgeschwindigkeit in Gasen

Kapitel 2
Akustik
Bei den Versuchen zur Akustik kann prinzipiell zwischen 2 Meßprogrammen gewählt werden.
(I und II mit etwa gleichem Meß- und Auswerteaufwand – s.u.)
Da jeweils nur 4 Aufbauten zur Verfügung stehen, sollte vor der Vorbereitung die Aufteilung auf
die Versuche unter den Gruppen koordiniert werden.
Meßprogramm I: V 2.1.A und ein Versuch aus V 2.1.B und entweder V 2.2 oder V 2.3
V 2.1 Schallwellen in Gasen / Ausbeitungsgeschwindigkeit
A Laufende Welle – Laufzeit gegen Laufstrecke
B1 Stehende Welle – Schalldruck gegen Ort
B2 Stehende Welle – Schalldruck gegen Rohrlänge
B3 Stehende Welle – Schalldruck gegen Frequenz
V 2.2 Schallwellen in Festkörpern / Elastizitätsmodul
1 Bestimmung der Stab-Dichte
2 Aufzeichnung der Grundschwingung
V 2.3 Schwebungen von Schallwellen zweier Stimmgabeln
1 Aufzeichnung der Schwingung einzeln und in Schwebung
2 Periodenlängen und Fourier Auswertung
Meßprogramm II: V 2.4 komplett
V 2.4 Doppler-Effekt
1 Schallgeschwindigkeit aus Phasenverschiebung
2 Frequenzverschiebung gegen Quellengeschwindigkeit
3 Echolot
36

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 37
2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen
2.1.1 Versuchsziel
A Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft aus Laufzeitmessungen.
B Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft mit stehenden Wellen:
– durch Messung des Schalldruckverlaufs
– oder Messung der Resonanzlängen
– oder Messung der Resonanzfrequenzen
Vorkenntnisse: Wellen
Schallausbreitung in Gasen
Überlagerung von Wellen
Stehende Wellen
Schallwandler (Piezo/Lautsprecher/Mikrophon)
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x
Timer-Box 1x
Stromquellen-Box 1x
Temperatursensor 1x
Plexiglas Rohr ø 10cm L 50cm mit Ständer 1x
Endstück mit Lautsprecher 1x
Endstück mit Durchführung 1x
im Rohr verschiebbare Scheibe 1x
Universalmikrophon mit Stativstange u. Sockel 1x
Piezo Hochtöner mit Stativstange u. Sockel 1x
Wegaufnehmer mit Stativstange 1x
Faden 1m mit Gummiring und Gewicht 1x
Tischklemme 1x
Führungsschiene Alu 30x3mm^2 L 50cm 1x
Funktionsgenerator 0-200 kHz 1x
BNC -> 4mm Übergangsstecker 2x
BNC -> Lemo Übergangsstecker 2x
4mm Laborkabel 25cm/1.0mm Paar rot/blau 1x
4mm Laborkabel 100cm/1.0mm Paar rot/blau 2x
4mm Laborkabel 200cm/1.0mm Paar schwarz 1x

38 KAPITEL 2. AKUSTIK
2.1.2 Grundlagen
Schallgeschwindigkeit in Gasen
Die Ausbreitung von Schallwellen in Gasen ist ein adiabatischer Prozeß. Das Schallfeld ist durch
die Angabe von Schallschnelle u(x, t) (lokale Geschwindigkeit der Gasmoleküle) oder Schalldruck
p(x, t) (lokale Abweichung des Drucks vom Außendruck) beschrieben. Ist der Schalldruck p klein
gegenüber dem Außendruck p0, so gelten die Euler-Gleichungen:
∂
∂
p(x, t) = −ϱ u(x, t) und
∂x ∂t
∂
1
u(x, t) = −
∂x κp0
∂
∂t p(x, t) mit κ = cP /cV (2.1)
Eine Lösung der Wellengleichung ∂2u ∂t2 = v2 ∂2u ∂x2 sind ebene Wellen: u(x, t) = u0sin(ωt ± kx − φ)
mit Kreiswellenzahl k = 2π/λ, Kreisfrequenz ω = 2πf und Phasengeschwindigkeit vph = ω/k.
Ohne Dispersion entsprechen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit vgr = ∂ω/∂k der Ausbreitungsgeschwindigkeit
v, die für ein ideales Gas von der Temperatur T allein abhängig ist:
v =
�
�
�
R · κ
p0 · κ/ϱ = v0 T/T0 mit v0 = T0
Mmol
allg. Gaskonstante: R = 8.3145 J/(mol K)
Adiabatenexponent: κ = 7/5 für ein zweiatomiges Gas (N2, O2)
Molmasse von Luft: Mmol = 28.984 · 10 −3 Kg/mol
üblicherweise wählt man: T0 = 273.15 K (=0 ◦ C)
Stehende Wellen
In einem geschlossenen Rohr bilden sich durch Überlagerung von einlaufenden mit reflektierten
periodischen Schallwellen sog. stehende Wellen aus. Im Gegensatz zu frei laufenden (z.B. ebenen)
Wellen gibt es hier Orte, an denen zu jeder Zeit die Schallschnelle oder der Schalldruck
verschwinden (Knoten) und Zeiten, zu denen an jedem Ort Schalldruck oder Schnelle verschwinden.
Befindet sich bei x=0 ein schallharter Abschluß, so ist dort die Schallschnelle zu jeder Zeit
ux=0 = 0 (Schnelleknoten) und die Amplitude des Schalldrucks extremal (Druckbauch).
Allgemein gilt in einem Rohr der Länge L mit schallhartem Abschluß bei x=0 und Schallquelle
bei x=L mit Schallschnelle u(x = L, t) = uL · sin ωt: u(x, t) = uL
Damit ist der Effektivwert
� 1
T
� T
0 p2 (x, t)dt des Schalldrucks ˆp(x) =
sin kx · sin ωt
ϱ · v · uL
√ ·
2
cos kx
sin kL
sin kL
Die Druckknoten haben somit einen Abstand ∆x = λ/2 und liegen bei:
(2.2)
xn = n · λ/2 − λ/4 n = 1, 2, . . . (2.3)
Am schallharten Abschluß bei x=0 ist der Effektivwert des Schalldrucks:
�
ϱ · v · uL 2πf
ˆpx=0 = √ / sin
2 v L
�
d.h. bei fester Rohrlänge L liegen Resonanzen bei fn = n·v/2L n = 1, 2, . . . (2.4)
und bei fester Frequenz f liegen Resonanzen bei Ln = n·v/2f n = 1, 2, . . . (2.5)

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 39
2.1.3 Vorbereitung
Zur Vorbereitung ist es eine gute Übung, die Eulergleichungen 2.1 aus Beschleunigungs- und
Kompressionsvorgängen eines diskreten Gasvolumens herzuleiten. Daraus wird die Wellengleichung
ableitet, und die Ausbreitungsgeschwindigkeit abgelesen. Die Umrechnung in 2.2 sollte
auch linear nach TC in o C entwickelt werden.
Zur Herleitung von Gl. 2.3 sind ein- und auslaufende Wellen nach Diskussion der Randbedingungen
an der reflektierenden Wand phasenrichtig zu überlagern und mit Additionstheoremen
zusammenzufassen. Weiterhin sind p und u über die Euler-Gl. 2.1 verknüpft.
2.1.4 Messung und Auswertung
Vier verschiedene Messungen sind möglich:
A Laufzeit einer Störung in Abhängigkeit der Laufstrecke
Mit dieser Messung wird die Schallgeschwindigkeit bei Raumtemperatur gemessen.
B1 Schalldruck in Abhängigkeit des Ortes entlang des Rohres
Das Schalldruckprofil einer stehenden Welle wird vermessen.
B2 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Resonatorlänge
Diese Messung zeigt die Resonanzlängen einer stehenden Welle in einem geschlossenen
Rohr. Warum wird am schallharten Abschluß gemessen?
B3 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Frequenz
Diese Messung zeigt die Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle in einem geschlossenen
Rohr.
Aus allen Messungen wird die Schallgeschwindigkeit bestimmt und mit der Erwartung nach Gl.
2.2 verglichen. Dazu ist jedesmal eine Messung der Lufttemperatur nötig, deren Unsicherheit
ebenfalls berücksichtigt werden muß.
Fehlerabschätzung
Die Messungen zur Schallausbreitung in Luft werden mit Sensor-CASSY aufgezeichnet. Dabei
kommen verschiedene Meßaufnehmer zum Einsatz, die teilweise vor der Messung kalibriert werden
(Wegaufnehmer), deren systematische Unsicherheiten ansonsten aber nach Herstellerangaben
abgeschätzt werden müssen (Zeitbasis, Temperatur).
Die Schätzung der statistischen Fehler geschieht durch Mehrfachmessungen (Mittelwert/RMS)
oder durch Variation der Meßwertintervalls z.B. für Peakwertbestimmungen. Mittels Fehlerfortpflanzung
wird schließlich die Güte der Messung (Vertrauensbereich) ermittelt. I. A. reduziert
sich der Fehler durch eine sinnvolle Verteilung der Meßwerte (kleinere Abstände und damit mehr
Meßwerte an kritischen Stellen wie z.B. Resonanzfrequenzen oder Schalldruckknoten).
Um die begrenzte Meßzeit effektiv auszunutzen, ist es sinnvoll, schon während der Messung die
einzelnen Fehlerbeiträge getrennt zu bestimmen. Dominiert ein Beitrag den Meßfehler, sollte der
weitere Aufwand in dessen Reduzierung investiert werden.

40 KAPITEL 2. AKUSTIK
2.1.4.1 Laufzeit gegen Laufstrecke
Wird die Laufzeit t einer Störung a(x − vt) für verschiedene Orte x gemessen, so ergibt sich die
Ausbreitungsgeschwindigkeit v als Steigungsfaktor der Auftragung x gegen t auch ohne absolute
Ortskenntnis der Störquelle.
Hierzu werden Stoßwellen mit dem Piezo-Hochtonlautsprecher erzeugt und mit Sensor-CASSY
aufgezeichnet. Abb. 2.1 zeigt den Aufbau:
Mikrofon
58626
=
~
Trigger
12 V
INPUT A
INPUT B
R
TIMER−BOX
R P +
E
T
F
524034
STROMQUELLEN−BOX
+
T
524031
S
− +
SENSOR−CASSY 524010
Piezo
Hochtöner
Abbildung 2.1: CASSY Meßaufbau Laufzeit gegen Laufstrecke
Am Tischende fixiert die Tischklemme die 50cm lange Alu-Schiene. An ihrem anderen Ende
schließt sich die Rohr-Halterung an. Das Schallrohr wird mittig darauf gelegt und auf der hinteren
Seite mit dem Piezo-Hochtöner abgeschlossen.
Der Rohrabschluß mit Durchführung wird auf die vordere Rohrseite gesteckt. Das eingeschaltete
1 Mikrophon wird im Trigger-Modus ∼ = ⊓ auf mittlere Empfindlichkeit eingestellt und
im Sockel auf der Alu-Schiene verschiebbar durch die mittige Durchführung in das Rohrinnere
geführt.
1 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um den Akkulaufzeit zu schonen. Bei Verschwinden
des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.
+
−

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 41
An der Tischklemme wird der Wegaufnehmer befestigt und ein an der Mikrophon-Stativstange
befestigter Faden parallel zur Schiene über das Rad geführt, und mit einem Gewicht beschwert.
An Kanal A wird die Timer-Box angeschlossen. Sie benötigt zur Laufzeitmessung ein Start-
Signal am Eingang E und ein Stop-Signal am Eingang F. An den Eingang E wird der Piezolautsprecher
richtig herum gepolt (E an +/gelb) angeschlossen. Parallel dazu wird das rechte
Relais-Schalterpaar (R2/R3) geschaltet. Schließt das Relais, wird das Piezoelement entladen und
sendet eine Stoßwelle aus. Gleichzeitig fällt die am Eingang E intern anliegende Spannung auf
0V, Startzeit ist somit die negative Flanke an E. Öffnet der Relais Schalter, so wird das Piezoelement
– über den internen 15 kΩ Widerstand RP von Eingang E mit größerer Zeitkonstante
ohne meßbare Schallaussendung – wieder auf +5V aufgeladen. Das Mikrophon im Triggermodus
liefert bei Eintreffen der Stoßwelle das Stop-Signal und wird an Eingang F angeschlossen.
Zur Streckenmessung wird der Wegaufnehmer (Mehrgangpotentiometer) über die Stromquellen-
Box (liefert konstanten Strom) an Kanal B angeschlossen. Die Laufrichtung kann durch die
Wechsel des Potentiometer-Endabgriffs umgekehrt werden. Der Nullpunkt wird so eingestellt
(und während der Messung kontrolliert), daß der gesamte Verschiebebereich des Mikrophons gemessen
werden kann.
Wegen der Bauteiletoleranz des Potentiometers im Prozentbereich muß der Wegaufnehmer in
einem Vorversuch mit dem Bandmaß kalibriert werden. Dazu werden die mit dem Bandmaß gemessenen
Orte S gegen den Widerstand Rb1 des Wegaufnehmers wie in Abb. 2.2 aufgezeichnet.
Bei äquidistanten Kalibrationspunkten mit ähnlichen Einzelfehlern reduziert die Parametrisierung
S −S0 = K ·(R−R0) die Anpassung auf eine Ursprungsgerade (S0 und R0 sind die mittleren
Orte und Widerstände). Die Steigung der Ausgleichsgeraden liefert den Kalibrationsfaktor K, zur
Umrechnung von Widerstandseinheiten auf Längeneinheiten.
CASSY / Kanal B / Strombox
Widerstand Rb1, 0-3kOhm,
gemittelt 1000 ms
Meßparameter / manuell
Formel / neue Größe S = 60-2*n
(Messungen bei 58,56,...)
Darstellung / X-Achse Rb1
Y-Achse S
Abbildung 2.2: CASSY-LAB Kalibration des Wegaufnehmers.
Wie bei allen Ausgleichsrechnungen sind die Einzelfehler auf der x- und y-Achse zu berücksichtigen.
Liefert die Geradenanpassung ein χ 2 von etwa 1 pro Freiheitsgrad, so ist die Fehlerabschätzung
– und damit auch der Fehler des Steigungsfaktors – sinnvoll. Diese Unsicherheit von
K muß bei den folgenden Messungen als systematischer Fehler berücksichtigt werden, d.h. er liefert
unabhängig von den jeweiligen Einzel-Meßwerten einen zusätzlichen Beitrag als Skalenfehler
bei der Umrechnung des Endergebnisses von kΩ auf m.

42 KAPITEL 2. AKUSTIK
Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit wird die Laufzeit an ca. 8 Orten in Abständen von
ca. 5cm gemessen. Dazu wird das Mikrophon in die gewünschte Position verfahren und die Stabilisierung
der Ortskoordinate abgewartet. Mit Start/Stop [F9] wird für diesen Ort eine Meßreihe
gestartet und nach ca. 10 Werten wieder beendet. Die aufgenommenen Meßreihen werden zur
weiteren Auswertung in einer Datei gespeichert.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
CASSY / Kanal A / Laufzeit Dta1 E->F, 0.002s, Flanken invertiert
Kanal B / Widerstand Rb1, 0-3kOhm, gemittelt 1000 ms
Relais / frac(t)

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 43
2.1.4.2 Druckknoten einer stehenden Welle
Gemessen wird das Schalldruckprofil einer stehenden Welle, also die Ortsabhängigkeit der Schalldruckamplitude
entlang des Rohrs. Abb. 2.4 zeigt den Aufbau:
Mikrofon
58626
12 V
INPUT A
INPUT B
=
~
R
p eff
I
U
STROMQUELLEN−BOX
+
T
524031
S
− +
SENSOR−CASSY 524010
Frequenz Bereich Amplitude
0.2
FEIN
− +
FG 200
2.4
x100k
x10k
x1k
x100
x10
x1
Signal Form
min max
DC
AC
low
Offset
0
− +
Abbildung 2.4: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Ort
AC
high
Lautsprecher
Das Mikrophon im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird nun direkt an CASSY Kanal A angeschlossen
und ansonsten wie in Versuch 2.1.4.1 durch die mittige Öffung der Abschlußkappe ins
Rohrinnere geführt.
Als Schallquelle dient der Klein-Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende
abschließt. Mit dem BNC-Lemo-Adapter wird er an den niederohmigen DC-Ausgang des Funktionsgenerators
angeschlossen und dieser wie folgt betrieben, um Sinusschwingungen bei ca. 2400
Hz zu erzeugen:
Signalform ∼ (Sinusschwingung)
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)
Vor der eigentlichen Messung wird eine Resonanz-Frequenz bei ca. 2400Hz eingestellt und nach
Versuchsaufbau aus Abb. 2.10 mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen.

44 KAPITEL 2. AKUSTIK
Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung 2.1.4.1
wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen. Am schallharten Rohrende wird
er auf x=0 eingestellt, mit Anstieg zum hinteren Ende hin.
Vor Aufnahme einer Meßreihe sollte der dynamische Bereich des Mikrophonkanals an den Maximalwert
im Druckbauch angepaßt werden.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms
Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms
Meßparameter / manuell
Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration)
Darstellung / X-Achse S
Y-Achse Ua1
Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9] ein
Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte wie in Abb. 2.5 auf die optimale
Bestimmung der Druckknoten und -Bäuche ausgerichtet sein.
Abbildung 2.5: Messung der Schalldruckamplitude gegen den Ort.
Es werden die Positionen xn der
Druckbäuche und -Knoten a bestimmt
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.3
liegen diese Werte auf einer Geraden
mit Steigung λ/2.
Mit v = λf wird aus diesen Messungen
die Schallgeschwindigkeit bestimmt:
a Wird die Knotenlage mit dem Peakfinder
ermittelt, so muß die Kurve invertiert werden!
Warum?
Abbildung 2.6: Schallgeschwindigkeit aus Peaklage der Druckknoten und -Bäuche.

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 45
2.1.4.3 Resonanzlängen einer stehenden Welle
Gemessen wird die Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle von der Resonatorlänge.
Abb. 2.7 zeigt den Aufbau:
Mikrofon
58626
12 V
INPUT A
INPUT B
=
~
R
p eff
I
U
STROMQUELLEN−BOX
+
T
524031
S
− +
SENSOR−CASSY 524010
Frequenz Bereich Amplitude
0.2
FEIN
− +
FG 200
2.4
x100k
x10k
x1k
x100
x10
x1
Signal Form
min max
DC
AC
low
Offset
0
− +
AC
high
Lautsprecher
Abbildung 2.7: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Resonatorlänge
Auf das Ende des Mikrophons im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird vorsichtig die Lochscheibe
geschoben, um an einem im Rohr verschiebbaren schallharten Abschluß im Druckbauch die
Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt an Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen.
Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt,
um Sinusschwingungen bei ca. 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird er vom Funktionsgenerator,
mit folgenden Einstellungen:
Signalform ∼ (Sinusschwingung)
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)
Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang angeschlossen.

46 KAPITEL 2. AKUSTIK
Vor der eigentlichen Messung wird die höchste Frequenz (ca. 2400Hz) eingestellt und nach Versuchsaufbau
aus Abb. 2.10 mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen.
Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung 2.1.4.1
wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen.
Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon-
Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit
des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator
erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms
Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms
Meßparameter / manuell
Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration)
Darstellung / X-Achse S
Y-Achse Ua1
Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9] ein
Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte auf die optimale Bestimmung
der Resonanzlängen ausgerichtet sein. Abb. 2.8 zeigt eine solche Messung.
Abbildung 2.8: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Resonatorlänge.
Zur quantitativen Auswertung werden die
Messungen in einer Datei abgespeichert. Es
werden die Resonanzlängen Ln bestimmt
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.5 liegen
diese Werte auf einer Geraden mit Steigung
v/2f. Bei bekannter Frequenz f wird mit dieser
Messung die Schallgeschwindigkeit v bestimmt.
Abbildung 2.9: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzlängen.

2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 47
2.1.4.4 Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle
Gemessen wird die Frequenz-Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle am
schallharten Abschluß bei fester Resonatorlänge. Abb. 2.10 zeigt den Aufbau:
Mikrofon
58626
=
~
p eff
12 V
INPUT A
INPUT B
R
TIMER−BOX
R P +
E
T
F
I
U
524034
S
− +
SENSOR−CASSY 524010
Frequenz Bereich Amplitude
0.2
FEIN
− +
FG 200
2.4
x100k
x10k
x1k
x100
x10
x1
Signal Form
min max
DC
AC
low
Offset
0
− +
AC
high
Lautsprecher
Abbildung 2.10: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Frequenz
Das Mikrophon im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird an das Rohrende verschoben, um am
schallharten Abschluß im Druckbauch die Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt an
Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen.
Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt,
um Sinusschwingungen zwischen 200 Hz und 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird er vom Funktionsgenerator,
der folgendermaßen eingestellt wird:
Signalform ∼ (Sinusschwingung)
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)
Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang angeschlossen.
Zur Frequenzmessung wird der rechte Hochpegel AC-Ausgang an den Eingang E der
CASSY Timer-Box in Sensor-CASSY Kanal B angeschlossen.

48 KAPITEL 2. AKUSTIK
Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon-
Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit
des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator
erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms
Kanal B / Timerbox / Frequenz fb1(E) 5000 Hz Torzeit 1s
Meßparameter / manuell
Darstellung / X-Achse fb1
Y-Achse Ua1
Nach Einstellen einer Frequenz und Stabilisierung des Frequenzwerts wird mit Start/Stop [F9]
ein Meßwert pro Frequenz aufgenommen. Die Wahl der weiteren Frequenzwerte sollte auf die
optimale Bestimmung der Resonanzfrequenzen ausgerichtet sein. Abb. 2.11 zeigt eine solche
Messung. Wie zu erkennen ist, sind diese Resonanzen recht schmal. Daher empfiehlt es sich,
deren Lage vorher abzuschätzen. Mit der Frequenz-Feineinstellung kann ein Resonanzbereich
dann komplett durchgestimmt werden.
Abbildung 2.11: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Frequenz
Zur quantitativen Auswertung werden die
Messungen in einer Datei abgespeichert. Es
werden die Resonanzfrequenzen fn bestimmt
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.4 liegen
diese Werte auf einer Geraden mit Steigung
v/2L. Bei bekannter Resonanzlänge L
des Rohres (zwischen den Endkappen) wird
mit dieser Messung die Schallgeschwindigkeit
v bestimmt:
Abbildung 2.12: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzfrequenzen.

2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 49
2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern
2.2.1 Versuchsziel
Messung der Schallgeschwindigkeit in Metallen zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls.
Vorkenntnisse: Wellen
Schallausbreitung in Festkörpern
Überlagerung von Wellen
Stehende Wellen
Fourier-Analyse
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x
Universalmikrophon mit Stativstange 1x
Sockel 1x
Tischklemme 1x
Metallstange 20cm 1x
Kreuzmuffe 1x
Metallstift ø 4mm L 30mm 1x
Gummi-Hammer 1x
Mikrometermaß 0-25mm 1x
Stahl-Bandmaß 2m 1x
Metallstangen 1.3m Cu, Al, Fe, Messing je 1x
Analysewaage im Raum
2.2.2 Grundlagen
Der Elastizitätsmodul E ist eine Materialkonstante und charakterisiert die relative Längenaus-
dehnung eines Materials abhängig von der angreifenden Zugspannung: E := F ∆L / A L .
Für Metalle ist E in der Größenordnung 10 11 N/m 2 und damit nur für dünne Drähte statisch
meßbar. Mit Metallstäben�ist jedoch eine dynamische Messung möglich, indem die Ausbreitungsgeschwindigkeit
vl = E/ϱ von longitudinalen Schallwellen bestimmt wird.
Ein mittig eingespannter Stab der Länge L wird durch geeignetes Anschlagen zur longitudinalen
Grundschwingung der Wellenlänge λ0 = 2L angeregt. Die Frequenz f0 und die Dichte ϱ werden
gemessen und mit vl = f0 · λ0 ergibt sich
E = ϱ · f 2 0 · 4L 2
(2.6)

50 KAPITEL 2. AKUSTIK
2.2.3 Messung und Auswertung
Ausmessen des Stabes zur Dichtebestimmung
a Länge L mit dem Bandmaß
b Durchmesser D mit dem Mikrometermaß, gemittelt über
mehrere Positionen entlang des Stabs (kann variieren)
in mehreren Orientierungen (Elliptizität)
c Masse M auf der Analysewaage
Die Dichte berechnet sich zu ϱ = M/V = M/(L · πD 2 /4)
Einspannen des Stabes
Abb. 2.13 zeigt den mechanischen Aufbau zusammen mit der Sensor-CASSY Datenaufnahme.
Mikrofon
58626
=
~
Ampl.
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
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¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Abbildung 2.13: CASSY Meßaufbau Schallgeschwindigkeit in Stäben
12 V
INPUT A
INPUT B
R
S
I
U
U
− +
SENSOR−CASSY 524010
Die Kreuzmuffe wird an der kurzen Metallstange mit der Tischklemme am Tisch befestigt. Der
1.3m Metallstab wird – von einem Metallstift unterstützt – parallel zur Tischfläche so in der
Kreuzmuffe eingespannt, daß er nur an 2 Punkten (Pfeile) gehalten wird und damit frei schwingen
kann.

2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 51
Aufnahme der Meßwerte
Als Meßaufnehmer dient das Mikrophon. Es wird im Amplitudenmodus ∼ = ⊓ auf niedrigster
Empfindlichkeit in ca. 5mm Abstand vom Stabende aufgestellt und eingeschaltet 2 . Aufgezeichnet
werden die Meßwerte mit Sensor CASSY. Bei geeigneter Einstellung der Zeitbasis können sowohl
die Schwingungen, als auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren (FFT) dargestellt werden.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +-0.3V Momentanwerte
Meßparameter / automatisch Intervall 100 mu s x16000
Darstellung / X-Achse t
Y-Achse Ua1
FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1
Angeregt wird die Schwingung durch einen leichten Schlag auf das Stabende mit dem Gummihammer.
Der Anschlag wird solange variiert, bis der Höreindruck bzw. das Frequenzspektrum
eine saubere Anregung der Grundschwingung zeigt. Bessere Ergebnisse werden erzielt, wenn die
Messung mit [F9] ([n]) erst im Ausklingen der Schwingung gestartet wird, da so die Einschwingvorgänge
direkt nach dem Anschlagen nicht mit aufgezeichnet werden. Abb. 2.14 zeigt ein solches
FFT-Spektrum für einen Messingstab.
Abbildung 2.14: FFT-Spektrum mit Oberschwingung in log-Darstellung erkennbar
2 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei
Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.

52 KAPITEL 2. AKUSTIK
Fünf solcher Schwingungen mit etwa 1000 Perioden sowie deren FFT-Spektren incl. der Bestimmung
des Peakschwerpunktes von f0 werden zur weiteren Auswertung abgespeichert.
Diese Messungen sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, denn ein weiterer
zur selben Zeit angeschlagener Metallstab gleichen Materials würde die Messung verfälschen.
Ein zur selben Zeit angeschlagener Metallstab anderern Materials ist im Fourier-Spektrum problemlos
bei seiner Frequenz zu erkennen und beeinträchtigt wegen der schmalen Linienbreite die
Auswertung nicht. Er wäre auch mit wesentlich kleinerer Amplitude zusätzlich auswertbar.
Auswertung der Meßdaten
a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingung wird wie z.B. in Abb. 2.15 die
Frequenz f0 aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt.
b Aus dem diskreten FFT-Frequenzspektrum wird f0 wie z.B in Abb. 2.16 aus der Peaklage
der Grundschwingung bestimmt.
c Eine Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingung ui(ti) liefert eine genauere
Frequenzbestimmung. Dazu wird der Betrag der Fouriertransformierten a in einem
Bereich f = f0 � ± 10 Hz in geeigneter Schrittweite berechnet:
��
� n�
�2 �
n�
�2 |a(f)| ∼ �
ui · cos (2πfti) + ui · sin (2πfti)
i=1
i=1
Die Lage des Maximums von |a(f)| und damit f0 wird durch Anpassung einer Parabelfunktion
oder den Peakfinder bestimmt. Für diese Auswertung gibt es ein Maple-Script
Beispiel.
Fehlerabschätzung
Systematische Fehler resultieren z.B. aus Gerätegenauigkeiten oder Ablesefehlern. Sie werden
für jede Einzelmessung geschätzt. Statistisch verteilte Fehler werden durch die Streuung von
Mehrfachmessungen abgeschätzt. Der Gesamtfehler ergibt sich mittels Fehlerfortplanzung aus
den Einzelfehlern, hier zu: ∆E = E · �
(2 ∆f0
- Zeitbasis und FFT Peaklagen-Fehler für f0
f0 )2 + ( ∆M
M )2 + ( ∆L
L )2 + (2 ∆D
D )2
- Meßfehler für Stab-Länge, -Durchmesser und -Masse
- Temperatur: L = L0(1 + αl(T − T0)) mit Längenausdehnungskoeffizient αl
Wie groß ist dieser Beitrag für f0 und ϱ ?
Bei dieser Messung ist eine Abschätzung der Einzelfehlerbeiträge sehr aufschlußreich.

2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 53
Abbildung 2.15: Ausschnitt der aufgezeichneten Messingstab-Schwingungen
Abbildung 2.16: FFT-Peakposition der Messingstab-Grundschwingung

54 KAPITEL 2. AKUSTIK
2.3 Schwebungen von Schallwellen
2.3.1 Versuchsziel
Spektralanalyse von Wellenüberlagerungen
Vorkenntnisse: Wellen
Überlagerung von Wellen
Fourier-Analyse
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x
Universalmikrophon mit Stativstange 1x
Sockel 1x
Stimmgabel Resonanzkörper Schiebe-Gewicht je 2x
Anschlaghammer 1x
2.3.2 Grundlagen
Schallwellen breiten sich in einem Medium aus. Da z.B. in Luft dieselben Gasmoleküle von verschiedenen
Schallquellen zu Schnelleoszillationen angeregt werden, überlagern sich alle in einem
Punkt eintreffenden Schallwellen. Schalldruck p und Schallschnelle u sind bei ebenen fortlaufenden
Wellen mit u(x, t) = u0 cos (2πft − 2πx/λ) in Phase: p(x, t) = ϱfλ · u(x, t)
Der Schalldruck p am Ort x ergibt sich als Summe aller eintreffenden Wellen: p(x, t) = �
pi(x, t)
Für zwei einander entgegenlaufende Wellen i=1,2 mit Kreisfrequenzen ωi = 2πfi, Kreiswellenzahlen
ki = 2π/λi gleicher Amplitude p0 � und beliebiger Phasendifferenz φ ergibt sich:
ω1 + ω2
p(x = 0, t) = p1 + p2 = 2p0 cos t −
2
φ
� �
ω1 − ω2
· cos t +
2
2
φ
�
,
2
d.h. eine Schwingung mit mittlerer Frequenz ¯ f und Schwebungsfrequenz fs:
¯f = f1 + f2
2
fs = f1 − f2
2
Mit Ts = 1/fs haben zwei aufeinanderfolgende Schwebungsknoten einen Abstand Tk = Ts/2.
2.3.3 Messung und Auswertung
Mit dem eingeschalteten 3 Mikrophon im Amplitudenmodus ∼ = ⊓ auf niedrigster Empfindlichkeit
wird der Schalldruck mittig zwischen den Resonanzkörpern der zwei Stimmgabeln
gemessen, die mit Zusatzmassen unterschiedlich gestimmt werden können. Die Meßwerte werden
mit Sensor-CASSY in geeigneter Schrittweite aufgezeichnet, sodaß sowohl die Schwingungen als
auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren (FFT) sinnvoll dargestellt werden. Abb. 2.17 zeigt den
Aufbau.
3 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei
Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen
i
(2.7)

82 CASSY Lab
Akustische Schwebungen
2.3. SCHWEBUNGEN VON SCHALLWELLEN 55
Abbildung Beispiel laden 2.17: CASSY Meßaufbau Akustische Schwebungen
Versuchsbeschreibung
Es wird die Schwebung aufgezeichnet, die durch zwei geringfügig gegeneinander verstimmte Stimmgabeln
erzeugt wird. Die Einzelfrequenzen f1 und f2, die neue Schwingungsfrequenz fn und die
Schwebungsfrequenz fs werden ermittelt und können mit den theoretischen Werten
Vor der Aufnahme der Meßwerte den dynamischen Bereich des Mikrophon-Kanals an die maximale
Schalldruckamplitude anpassen.
fn = ½ (f1 + f2) und fs = | f1 − f2 |
verglichen werden.
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:
Benötigte Geräte
1 Sensor-CASSY 524 010
1 CASSY Lab 524 200
1 Paar Resonanzstimmgabeln 414 72
1 Trigger Universalmikrofon Ua1 0.1 V steigend 586 26
1 Sockel 300 11
1 PC ab Windows 95/98/NT
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +- Umax V Momentanwerte
Meßparameter / automatisch Intervall 500 mu s x16000
Darstellung / X-Achse t
Y-Achse Ua1
FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1
Versuchsaufbau (siehe Skizze)
Das Universalmikrofon (Funktionsschalter auf Betriebsart “Signal” und Einschalten nicht vergessen)
wird zwischen beiden Stimmgabeln positioniert und an Eingang A des Sensor-CASSYs angeschlossen.
Eine der Stimmgabeln wird durch eine Zusatzmasse geringfügig verstimmt.
Für die Schwebung ist – wie in Abb. 2.18 ausschnittweise zu sehen – auf eine möglichst vollständige
Auslöschung in den Schwebungsknoten zu achten, d.h. die Amplituden der beiden Schallwellen
müssen beim Mikrophon gleich groß sein.
Versuchsdurchführung
Einstellungen laden
• Erste Stimmgabel anstoßen und Messung mit F9 auslösen
• Signalstärke mit Einsteller am Mikrofon optimieren
• Frequenz f1 ermitteln (z. B. durch senkrechte Markierungslinien in der Standard-Darstellung oder
als Peakschwerpunkt im Frequenzspektrum)
Neben der Schwebung für drei verschiedene Frequenzdifferenzen sind auch die Schwingungen
und FFT-Frequenzspektren der einzeln angeschlagenen Stimmgabeln aufzuzeichnen. Diese Messungen
sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, um störungsfreie Daten
aufzuzeichnen.

56 KAPITEL 2. AKUSTIK
Abbildung 2.18: Schwebung mit nahezu vollständiger Auslöschung in den Schwebungsknoten
Auswertung der Meßdaten
a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingungen werden die Frequenzen f1, f2 und
¯f aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt.
Die Schwebungsfrequenz fs wird aus dem Zeitabstand Tk der Schwebungsknoten bestimmt.
Decken sich die Messungen von ¯ f und fs mit den Vorhersagen aus Gl.2.7?
b Aus den diskreten FFT-Frequenzspektren der einzeln und gemeinsam angeschlagenen Stimmgabeln
werden die Frequenzen f1 und f2 – wie z.B in Abb. 2.19 für die Schwebung gezeigt
– aus den Peaklagen bestimmt.
Abbildung 2.19: Bestimmung der Einzelfrequenzen aus den FFT-Peaklagen
c Die Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingungen ui(ti) zeigt deren
spektrale Zusammensetzung. Dazu wird der Betrag der komplexen Fouriertransformierten
a(f) ∼ � +∞
−∞ u(t)e−i2πf·tdt in einem Bereich ±2fs um f1, f2 bzw. ¯ f in geeigneter Schrittweite
durch Summen-Näherung �
des Fourierintegrals berechnet:
��
� n�
�2 �
n�
�2 |a(f)| ∼ �
ui · cos (2πfti) + ui · sin (2πfti)
i=1
i=1

2.3. SCHWEBUNGEN VON SCHALLWELLEN 57
Die Lage der Maxima von |a(f)| und damit f1 bzw. f2 werden – wie in Abb. 2.20 gezeigt
– durch Anpassung von Parabelfunktionen bestimmt.
In der Fouriertransformierten der Schwebung können die zwei Frequenzen noch getrennt
werden, wenn ihr Abstand ∆f größer ist, als die eineinhalbfache Halbwerts-Breite σf
der Einzelspektren. Diese Breite fällt mit der Anzahl N der aufgezeichneten Perioden:
σf/f ≈ 1/2N, sodaß sich als Trenn-Bedingung ergibt: Tmess = N ¯ T > 1.5Tk.
Damit ist auch in der Fouriertransformierten eine Trennung der zwei Frequenzen erst
möglich, wenn mindestens zwei Schwebungsknoten aufgezeichnet wurden. Dies kann durch
Einschränkung der verwendeten Meßwerte in den Fouriersummen gezeigt werden.
Fehlerabschätzung
Die Abschätzung der Fehler beschränkt sich hier auf die Genauigkeit mit der die Zeitdauer für
die gemessenen Schwingungsperioden ermittelt werden kann. Wegen der diskreten Abtastung des
Signals ui zu Zeiten ti mit Abstand ∆ti ist selbst durch Interpolation zwischen zwei Meßwerten
keine Verbesserung unter 0.1 ∆ti zu erwarten.
Im Allgemeinen lassen sich Nulldurchgänge präziser ermitteln als die Extrema, dabei ist aber ein
evtl. vorhandener Offset der Schwingung, d.h. eine Abweichung der Nullage von u zu berücksichtigen.
Für die Fouriertransformierten sind die Fehler der Fit-Parameter der Peak-Maxima eine Abschätzung.
Dabei ist auf eine sinnvolle Güte der Anpassung zu achten (χ 2 pro Freiheitsgrad ≈ 1).
Da diese Messung nur ein relativer Vergleich ist, heben sich die systematischen Fehler auf und es
bleiben die statistisch verteilten Fehler. Diese können auch aus der Schwankung von Mehrfachmessungen
abgeschätzt werden.

58 KAPITEL 2. AKUSTIK
u/V
u/V
abs(a)
0.5
0
-0.5
0.05
0
-0.05
0.15
0.1
0.05
0
0 2 4 6 8
t/s
2.45 2.5 2.55 2.6 2.65
t/s
f1 = 439.334 Hz f2 = 439.835 Hz
439 439.5 440
Abbildung 2.20: Fouriertransformation für nah beieinander liegende Einzelfrequenzen
Oben: Die gesamte aufgezeichnete Schwebung
Mitte: Ein Ausschnitt mit Knoten bei t=2.55s
Unten: Die Fouriertransformierte mit Parabelanpassungen für f1 und f2
f/Hz