FWF - Publikationen - Jahresbericht 2004

In der mathemati-
schen Logik ist Wien
absolute Weltspitze.
Mit KollegInnen aus
Österreich, Deutsch-
land, England, Italien,
Kanada, Kolumbien,
der Slowakischen
Republik, Spanien
und den Vereinigten
Staaten hat Sy-David
Friedman mit Hilfe
des FWF eine der
größten und renommiertesten
Gruppen
dort aufbauen
können, wo Kurt
Gödel in den Jahren
1933–1938 die
moderne Ära dieser
Wissenschaft
begründete: an der
Universität Wien.
Die Grenzen der Logik
58 JAHRESBERICHT 2004
„If it was so, it might be; and if it were so, it would be; but as it isn‘t, it ain‘t. That‘s
logic.“ Lewis Caroll, „Alice through the Looking Glass“
Sy-David Friedman beugt sich den wissenschaftlichen Tatsachen – und in der mathematischen
Logik fällt das nicht leicht. Denn seit Kurt Gödels legendären Sätzen zur Vollständigkeit
und Unvollständigkeit gilt es zu akzeptieren, dass die Mathematik per se
unvollständig ist. Gödel bewies, dass es nicht möglich ist, ein axiomatisches System
mit den ihm innewohnenden Sätzen vollständig zu beweisen. Anders ausgedrückt: Es
gibt Aussagen über das System, die mit den Methoden des Systems nicht bewiesen
werden können. Bedenkt man, dass dieses „System“ – die Mathematik also – die Basis
aller anderen Wissenschaften ist, so ist das Fazit dieser Erkenntnis ein nüchternes:
Wie unsere Welt funktioniert, werden wir wohl nie vollständig erklären können.
Mengenlehre Aber Sy-David Friedman leistet wichtige Beiträge, um „zu retten, was zu
retten ist“. Dafür gab er im Jahr 1999 seine Professur am Massachusetts
Institute of Technology (MIT) in den Vereinigten Staaten ab. In Wien
befasste er sich mit der Mengenlehre. Immerhin, so erklärt er, besteht eine
gute Chance, dass wir die Mengenlehre durch das Hinzufügen neuer
Axiome so robust machen können, dass wir zumindest dort alle sinnvollen
Fragen mathematisch beantworten können. Dabei ist für ihn die Mengenlehre
von grundsätzlicher Bedeutung. Können doch mathematische Objekte
im Allgemeinen als Mengen betrachtet werden, und auch die Theoreme
der Mathematik können aus den traditionellen Axiomen der Mengenlehre
abgeleitet werden.
Absolutheitsprinzip Jedoch sind neue Axiome, die sich natürlich ableiten und zu
keinen Inkonsistenzen im System führen, schwer zu finden. Friedman verfolgt die
Strategie, solche Axiome unter Nutzung des Absolutheitsprinzips zu identifizieren.
Dieses bestätigt, dass sogar bei einer Erweiterung des Mengenuniversums bestimmte
Eigenschaften unverändert bleiben. Dabei ist es für Sy-David Friedman eine Freude zu
sehen, dass bereits jetzt diese Strategie internationale Beachtung findet.
Sy-David Friedman glaubt, dass seit Gödel für die Mathematik dasselbe gilt wie für das
Leben: Erst wenn wir unsere Schwächen – im Fall der Mathematik die Unvollständigkeit
– akzeptieren, können wir unser Potenzial entwickeln. So können neue Axiome
dazu beitragen, zumindest alle sinnvollen Fragen der Mathematik zu lösen.
Für Sy-David Friedmann, Professor für mathematische Logik am Kurt Gödel
Research Center der Universität Wien, ist klar: „Erst wenn wir unsere Schwächen –
im Fall der Mathematik die Unvollständigkeit – akzeptieren, können wir unser Potenzial
vollständig entwickeln. So können neue Axiome trotz der Unvollständigkeit der Mathematik
dazu beitragen, zumindest alle sinnvollen Fragen der Mathematik zu lösen.“