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2 Theorie 7
mit
M12 = dφ2
dt ·
� �−1 dI1
dt
dΦ2 ist die zeitliche Änderung des magnetischen Fluss in der zweiten Spule. M12
dt
berechnet sich dann letztendlich aus der zeitlichen Änderung des Stroms in der
ersten Spule erzeugt durch dΦ2
dt . Aus Symmetriegründen folgt M12 = M21.
da(t)1
dt = iω1a(t)1 + κ12a(t)2 (4)
da(t)2
dt = iω2a(t)2 + κ21a(t)1 (5)
Für die Kopplungsfaktoren gilt aus Symmetriegründen |κ12| = |κ21|
Man kann nun aus diesen beiden DGLn eine machen indem man (5) nach a(t)1
umstellt und in die DGL (4) einsetzt. So erhält man:
� d 2 a(t)2
dt 2
� � �
da(t)2 da(t)2
− iω2 = iω1 − iω2a(t)2 + |κ12|
dt
dt 2 · a(t)2
Wählt man als Lösungsansatz den Weg über die Fouriertransformation so erhält
man für ω (Funktionsparameter der Fouriertransformierten)
ω = ω1 + ω2
2
±
�
�ω1 �
− ω2
2
2
+ |κ12| 2 = ω1 + ω2
2
± Ω0
Durch Rücktransformation erhällt man dann die folgenden Lösungen für a(t)1
und a(t)2:
�
a(t)1 = a(0)1(cos(Ω0t) − i ω1 − ω2
sin(Ω0t)) +
2Ω0
κ12
� � � � �
ω1 + ω2
a(0)2sin(Ω0t) ·exp i · t
Ω0
2
�
a(t)2 = a(0)2(cos(Ω0t) − i ω1 − ω2
sin(Ω0t)) +
2Ω0
κ21
� � � � �
ω1 + ω2
a(0)1sin(Ω0t) ·exp i · t
Ω0
2
Diese Lösungen sehen zunächst abschreckend aus. Jedoch kann man rein grafisch
einfach zeigen, dass der Resonanzfall (ω1 = ω2) die beste Energieübertragung
liefert (siehe Abbildung 1). Dabei macht man sich wieder zunutze, dass |a(t)1| 2 und
|a(t)2| 2 die Energie im jeweiligen Resonanzkreis beschreiben.
Man erkennt, dass die Energieübertragung im ersten Fall wesentlich besser funk-
tioniert. Da die Funktionen mit gleicher Amplitude um genau 90° verschoben
schwingen hätte man einen theoretischen Wert der Energieübertragung von 100%.