FH Formelsammlung 4 Elektrotechnik.pdf

Inhaltsverzeichnis 

FH Formelsammlung - Elektrotechnik Editiert: 21.02.2011 

1 Grundlagen ...................................................................................................... 10 

1.1 Begriffe .......................................................................................................................................... 10 

1.2 Wirkungsgrad ................................................................................................................................ 10 

1.3 Quellen .......................................................................................................................................... 11 

1.3.1 Quellenumwandlung nach Thévenin, Norton .................................................................... 11 

1.3.2 Ersatzquellen .................................................................................................................... 11 

1.4 Berechnen von Netzwerken .......................................................................................................... 13 

1.4.1 Gleichungen mit Zweigströmen ........................................................................................ 13 

1.4.2 Gleichungen mit Maschenströmen ................................................................................... 14 

1.4.2.1 Berechnung ................................................................................................................. 14 

1.4.2.2 Vorgehen bei Stromquellen ......................................................................................... 15 

1.4.3 Gleichungen mit Knotenpotentialen .................................................................................. 16 

1.4.3.1 Berechnung ................................................................................................................. 16 

1.4.3.2 Vorgehen bei Spannungsquellen ................................................................................. 17 

1.4.4 Überlagerungsprinzip ....................................................................................................... 18 

2 Bauelemente .................................................................................................... 19 

2.1 Ersatzschaltbilder der realen Bauelemente (Approximation) ........................................................ 19 

2.2 elektrischer Widerstand ................................................................................................................. 19 

2.2.1 Vorgehensweise zur Berechnung ..................................................................................... 19 

2.2.2 Leiter................................................................................................................................. 20 

2.2.3 radialer Hohlleiter, Rohr .................................................................................................... 20 

2.2.4 radialer Bügelleiter ............................................................................................................ 21 

2.2.5 Scheibenleiter ................................................................................................................... 21 

2.2.6 Keilleiter ............................................................................................................................ 22 

2.3 Kapazität, idealer Kondensator ..................................................................................................... 23 

2.3.1 Definition ........................................................................................................................... 23 


2.3.3 Übersicht .......................................................................................................................... 24 

2.3.4 Formelzeichen .................................................................................................................. 25 

2.3.5 Plattenkondensator ........................................................................................................... 26 

2.3.5.1 Berechnung ................................................................................................................. 26 

2.3.5.2 Änderungen während dem Betrieb .............................................................................. 27 

2.3.6 Schichtkondensator .......................................................................................................... 28 

2.3.7 Mehrschichtdielektrikum ................................................................................................... 29 

2.3.7.1 Querschichtung ............................................................................................................ 29 

2.3.7.2 Längsschichtung .......................................................................................................... 29 

2.3.8 Zylinderkondensator, Koaxialkabel ................................................................................... 30 

2.3.8.1 Einschichtdielektrikum ................................................................................................. 30 

2.3.8.2 Mehrschichtdielektrikum .............................................................................................. 31 

2.3.9 Kugelkondensator ............................................................................................................. 32 

2.3.10 Paralleldrahtleitung, Zweidrahtleitung ............................................................................... 33 

2.3.11 gespeicherte Ladung ........................................................................................................ 34 

2.3.12 gespeicherte Energie ........................................................................................................ 34 

2.3.13 elektrische Energiedichte .................................................................................................. 34 

2.4 Kondensator mit leitendem Dielektrikum ....................................................................................... 35 



2.4.3 Zylinderkondensator, Koaxialkabel ................................................................................... 36 

2.4.3.1 Einschichtdielektrikum ................................................................................................. 36 

2.4.3.2 Mehrschichtdielektrikum .............................................................................................. 37 

2.4.4 Kugelkondensator ............................................................................................................. 39 

2.5 Induktivität, ideale Spule ............................................................................................................... 40 

2.5.1 Definition ........................................................................................................................... 40 



2.5.4 Spule mit Eisenkern ohne Luftspalt .................................................................................. 42 

2.5.5 Spule mit Eisenkern und Luftspalt .................................................................................... 42 

2.5.6 lange Zylinderspule .......................................................................................................... 43 

2.5.7 Ringspule .......................................................................................................................... 44 

2.5.8 Koaxialkabel ..................................................................................................................... 45 

2.5.9 Paralleldrahtleitung, Zweidrahtleitung mit gegensinniger Bestromung ............................. 46 

2.5.10 gespeicherte Energie ........................................................................................................ 47 

2.5.11 magnetische Energiedichte .............................................................................................. 47 

2.5.12 Aufbau von grossen Induktivitäten .................................................................................... 48 

2.6 Gleichstromkreis ........................................................................................................................... 49 

2.6.1 Widerstand und Kapazität in Reihenschaltung ................................................................. 49 

2.6.2 Widerstand und Kapazität in Parallelschaltung ................................................................. 51 

2.6.3 Widerstand und Induktivität in Reihenschaltung ............................................................... 52 

2.6.4 Widerstand und Induktivität in Parallelschaltung .............................................................. 53 

3 Gleichstrom ..................................................................................................... 54 

3.1 ohmsches Gesetz ......................................................................................................................... 54 

3.2 elektrischer Widerstand von Leitungen ......................................................................................... 54 

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3.3 Temperaturabhängigkeit von Widerständen.................................................................................. 55 

3.4 Serie- und Parallelschaltungen ..................................................................................................... 56 

3.4.1 Reihenschaltung von Widerständen ................................................................................. 56 

3.4.2 Parallelschaltung von Widerständen ................................................................................ 57 

3.4.3 Reihenschaltung von Kapazitäten .................................................................................... 58 

3.4.4 Parallelschaltung von Kapazitäten .................................................................................... 59 

3.4.5 Reihenschaltung von Induktivitäten .................................................................................. 59 

3.4.6 Parallelschaltung von Induktivitäten ................................................................................. 60 

3.5 Stern-Dreieck Transformation ....................................................................................................... 60 

3.6 Leistungsanpassung, Lastanpassung ........................................................................................... 61 

3.6.1 Spannungsquelle .............................................................................................................. 61 

3.6.2 Stromquelle ...................................................................................................................... 62 

4 Wechselstrom ................................................................................................. 63 

4.1 ohmsches Gesetz ......................................................................................................................... 63 

4.2 Rechenregeln für komplexe Zahlen und Werte ............................................................................. 64 

4.2.1 Formen ............................................................................................................................. 64 

4.2.2 Umwandlung ..................................................................................................................... 64 

4.2.3 komplexe Spannungen addieren ...................................................................................... 65 

4.3 Beziehung zwischen den verschiedenen Grössen ........................................................................ 66 

4.3.1 Strom und Spannung ........................................................................................................ 66 

4.3.2 Impedanz und Admittanz .................................................................................................. 67 

4.3.3 Netzwerkparameter .......................................................................................................... 68 

4.3.4 Sinus und Cosinus ............................................................................................................ 69 

4.3.5 Ableitung und Integral bei sinus- oder cosinusförmiger Grösse ........................................ 69 

4.3.5.1 Ableitung ...................................................................................................................... 69 

4.3.5.2 Integral ......................................................................................................................... 69 

4.3.5.3 Anwendung .................................................................................................................. 70 

4.4 Zusammenschaltung von Wirk- und Blindwiderständen ................................................................ 71 

4.4.1 allgemein .......................................................................................................................... 71 

4.4.2 Reihenschaltung ............................................................................................................... 71 

4.4.2.1 Parallelschaltung ......................................................................................................... 71 

4.4.3 Reihenschaltungen ........................................................................................................... 72 

4.4.3.1 Reihenschaltung R-C ................................................................................................... 72 

4.4.3.2 Reihenschaltung R-L ................................................................................................... 73 

4.4.3.3 Reihenschaltung R-L-C ................................................................................................ 74 

4.4.4 Parallelschaltungen .......................................................................................................... 75 

4.4.4.1 Parallelschaltung R|C .................................................................................................. 75 

4.4.4.2 Parallelschaltung R|L ................................................................................................... 76 

4.4.4.3 Parallelschaltung R|L|C ............................................................................................... 77 

4.5 Ersatzschaltbilder für feste Frequenz ............................................................................................ 78 

4.5.1 Reihen- zu Parallelschaltung ............................................................................................ 78 

4.5.2 Parallel- zu Reihenschaltung ............................................................................................ 79 

4.6 Leistung im Wechselstromkreis ..................................................................................................... 80 

4.6.1 Leistung ............................................................................................................................ 80 

4.6.2 Wirkleistung, mittlere Leistung .......................................................................................... 80 

4.6.3 Mittelwert der Pendelleistung in Reaktanzen .................................................................... 81 

4.6.4 Blindleistung ..................................................................................................................... 81 

4.6.5 Scheinleistung .................................................................................................................. 81 

4.6.6 Leistungsdreieck ............................................................................................................... 82 

4.6.7 Leistungsfaktoren ............................................................................................................. 83 

4.6.8 Blindleistungskompensation ............................................................................................. 83 

4.6.8.1 Spannungsquelle ......................................................................................................... 83 

4.6.8.2 Stromquelle .................................................................................................................. 84 

4.6.8.3 Leistungsverlust in den Zuleitungen............................................................................. 84 

4.6.9 Ersatzschaltbilder ............................................................................................................. 85 

4.6.9.1 Parallelersatzschaltbild ................................................................................................ 85 

4.6.9.2 Reihenersatzschaltbild ................................................................................................. 86 

4.6.10 Leistungsanpassung, Lastanpassung .............................................................................. 87 

4.7 Wechselgrössen ............................................................................................................................ 88 

4.7.1 Periodendauer und Frequenzen ....................................................................................... 88 

4.7.2 Scheitelwert und Spitzenwert ........................................................................................... 88 

4.7.3 Scheitelfaktor, Crestfaktor ................................................................................................ 88 

4.7.4 Formfaktor ........................................................................................................................ 89 

4.7.5 Effektivwert und linearer Mittelwert ................................................................................... 89 

4.7.6 Effektivwerte addieren ...................................................................................................... 90 

4.7.6.1 allgemein ..................................................................................................................... 90 

4.7.6.2 gleiche Frequenzen ..................................................................................................... 90 

4.7.6.3 Gleichgrössen .............................................................................................................. 90 

4.7.7 Werte zu verschiedenen Wechselgrössen ........................................................................ 91 

4.7.7.1 allgemeine Wechselgrössen ........................................................................................ 91 

4.7.7.2 Phasenanschnittsignal ................................................................................................. 93 

4.8 Impulsgrössen ............................................................................................................................... 95 



4.9 Ortskurven ..................................................................................................................................... 96 

4.9.1 Übersicht bei variablem Bauelement ................................................................................ 96 

4.9.2 Übersicht bei variabler Frequenz ...................................................................................... 97 

4.9.3 Widerstand und Kapazität ................................................................................................. 98 

4.9.3.1 variable Kapazität ........................................................................................................ 98 

4.9.3.2 variable Frequenz ........................................................................................................ 98 

4.9.4 Widerstand und Induktivität .............................................................................................. 99 

4.9.4.1 variabler Widerstand .................................................................................................... 99 

4.9.4.2 variable Induktivität ...................................................................................................... 99 

4.9.4.3 variable Frequenz ...................................................................................................... 100 

4.9.5 Widerstand, Kapazität und Induktivität ........................................................................... 101 

4.9.5.1 variabler Widerstand .................................................................................................. 101 

4.9.5.2 variable Frequenz ...................................................................................................... 102 

4.9.6 Richtlinien zum Erstellen von Ortskurven ....................................................................... 103 

4.10 Schwingkreise ..................................................................................................................... 104 

4.10.1 Übersicht ........................................................................................................................ 104 

4.10.2 beliebige Schwingkreise ................................................................................................. 105 

4.10.2.1 Resonanzfall ......................................................................................................... 105 

4.10.2.2 Frequenzen ........................................................................................................... 105 

4.10.2.3 Güte ...................................................................................................................... 106 

4.10.2.4 Verstimmung ......................................................................................................... 106 

4.10.3 Reihenschwingkreis ........................................................................................................ 107 

4.10.4 Parallelschwingkreis ....................................................................................................... 110 

4.11 magnetisch gekoppelte Systeme ......................................................................................... 113 

4.11.1 Transformator ................................................................................................................. 113 

4.11.1.1 gekoppelte Spulen ................................................................................................ 113 

4.11.1.2 idealer Transformator (vollkommen gekoppelte Spulen) ....................................... 114 

4.11.1.3 realer Transformator (unvollkommen gekoppelte Spulen) .................................... 116 

4.12 Dreiphasenwechselstrom .................................................................................................... 117 

4.12.1 Generator ....................................................................................................................... 117 

4.12.1.1 Sternschaltung ...................................................................................................... 117 

4.12.1.2 Dreieckschaltung................................................................................................... 118 

4.12.2 symmetrische Last .......................................................................................................... 118 

4.12.2.1 Begriffe .................................................................................................................. 118 

4.12.2.2 Sternschaltung λ ................................................................................................... 119 

4.12.2.3 Dreieckschaltung Δ ............................................................................................... 120 

4.12.3 Leistung des Dreiphasenstromes ................................................................................... 121 

5 Elektromagnetismus ..................................................................................... 122 

5.1 Namensgebungen, Formelzeichen und Einheiten ....................................................................... 122 

5.2 Zusammenhänge zwischen elektrischen und magnetischen Kreisen ......................................... 123 

5.3 elektrische Feldkonstante, Dielektrizitätskonstante ..................................................................... 123 

5.4 magnetische Feldkonstante ........................................................................................................ 123 

5.5 Ladungsdichten und Ladung ....................................................................................................... 123 

5.6 Einheitsvektor .............................................................................................................................. 124 

6 Elektrostatik .................................................................................................. 125 

6.1 Kräfte zwischen Ladungen .......................................................................................................... 125 

6.1.1 Kräfte zwischen zwei Punktladungen ............................................................................. 125 

6.1.2 Kräfte zwischen n Punktladungen .................................................................................. 125 

6.1.3 Kräfte bei Ladungsdichten .............................................................................................. 126 

6.2 elektrisches Feld ......................................................................................................................... 128 

6.2.1 Kräfte im elektrischen Feld ............................................................................................. 128 

6.2.1.1 Punktladung im elektrischen Feld .............................................................................. 128 

6.2.1.2 Beschleunigung einer Punktladung im elektrischen Feld ........................................... 128 

6.2.1.3 Ablenkung einer Punktladung im elektrischen Feld ................................................... 129 

6.2.1.4 Kräfte zwischen Kondensatorplatten.......................................................................... 130 

6.2.2 elektrische Feldstärke ..................................................................................................... 131 

6.2.2.1 Definition .................................................................................................................... 131 

6.2.2.2 Feldlinien ................................................................................................................... 131 

6.2.2.3 einzelne Punktladung ................................................................................................. 132 

6.2.2.4 mehrere Punktladungen ............................................................................................. 132 

6.2.2.5 Überlagerung zweier Felder ....................................................................................... 133 

6.2.2.6 Ladungsdichten ......................................................................................................... 133 

6.2.3 elektrisches Potential ...................................................................................................... 134 

6.2.3.1 Definition .................................................................................................................... 134 

6.2.3.2 homogenes Feld ........................................................................................................ 135 

6.2.3.3 Paralleldrahtleitung, Zweidrahtleitung ........................................................................ 136 

6.2.3.4 Ladungsdichten ......................................................................................................... 138 

6.2.3.5 Energie ...................................................................................................................... 139 

6.2.4 elektrische Flussdichte ................................................................................................... 139 

6.2.5 elektrischer Fluss ............................................................................................................ 139 

6.2.6 Satz von Gauss .............................................................................................................. 140 

6.2.7 Satz von Laplace ............................................................................................................ 141 



6.2.8 elektrische Feldstärke und elektrisches Potential von Objekten im Raum ...................... 142 

6.2.8.1 Formelzeichen ........................................................................................................... 142 

6.2.8.2 einzelne Punktladung ................................................................................................. 142 

6.2.8.3 Metallkugel ................................................................................................................. 143 

6.2.8.4 unendlich langer Leiter ............................................................................................... 143 

6.2.8.5 langer Leiter ............................................................................................................... 144 

6.2.8.6 radiale Leiterschleife .................................................................................................. 145 

6.2.8.7 ausgedehnte Ebene ................................................................................................... 146 

6.2.8.8 parallele Ebenen ........................................................................................................ 146 

6.2.8.9 beliebige Elektroden .................................................................................................. 147 

6.2.9 elektrische Arbeit ............................................................................................................ 148 

6.2.10 elektrische Spannung ..................................................................................................... 149 

6.2.11 Spitzeneffekt ................................................................................................................... 150 

6.2.12 elektrischer Dipol ............................................................................................................ 151 

6.2.12.1 Dipolfeldpotential und elektrische Feldstärke ........................................................ 151 

6.2.12.2 Kräfte, Drehmoment und Energie.......................................................................... 152 

7 Elektrodynamik ............................................................................................. 154 

7.1 elektrische Stromdichte ............................................................................................................... 154 

7.1.1 Definition ......................................................................................................................... 154 

7.1.2 Satz von Gauss .............................................................................................................. 155 

7.2 elektrischer Widerstand ............................................................................................................... 156 

7.3 elektrische Leistung .................................................................................................................... 157 

7.4 Joule-Verluste, Verluste durch joulsche Wärme .......................................................................... 157 

8 Magnetostatik ................................................................................................ 158 

8.1 Kräfte .......................................................................................................................................... 158 

8.1.1 Kräfte zwischen zwei parallelen Leiter ............................................................................ 158 

8.1.2 Punktladung im magnetischen Feld, Lorentzkraft, Laplacekraft ..................................... 159 

8.1.3 inhomogener Leiter im magnetischen Feld, Lorentzkraft, Laplacekraft .......................... 159 

8.1.4 homogener Leiter im magnetischen Feld, Lorentzkraft, Laplacekraft ............................. 161 

8.1.5 Ablenkung einer Punktladung im magnetischen Feld ..................................................... 162 

8.1.6 Ablenkung einer Punktladung im elektrischen und magnetischen Feld .......................... 163 

8.1.7 Elektron im elektrischen und magnetischen Feld ........................................................... 164 

8.1.8 quadratische Leiterschleife im magnetischen Feld, mechanisches Moment .................. 165 

8.1.9 magnetisches Moment.................................................................................................... 166 

8.2 ampèresches Gesetz, Durchflutungsgesetz ................................................................................ 167 

8.3 Biot und Savart Gesetz ............................................................................................................... 168 

8.3.1 Definition ......................................................................................................................... 168 

8.3.2 langer Leiter .................................................................................................................... 169 

8.4 magnetische Flussdichte ............................................................................................................. 170 

8.4.1 Definition ......................................................................................................................... 170 

8.4.2 Feldlinien ........................................................................................................................ 170 

8.4.2.1 Objekte im Raum ....................................................................................................... 170 

8.4.2.2 Magnete ..................................................................................................................... 172 

8.4.3 einzelner Leiter ............................................................................................................... 173 

8.4.4 Paralleldrahtleitung, Zweidrahtleitung ............................................................................. 174 

8.4.4.1 gegensinnige Bestromung ......................................................................................... 174 

8.4.4.2 gleichsinnige Bestromung .......................................................................................... 175 

8.4.5 Überlagerung dreier Flussdichten, Dreidrahtleitung ....................................................... 176 

8.5 magnetische Feldstärke .............................................................................................................. 176 

8.5.1 Definition ......................................................................................................................... 176 

8.5.2 Formelzeichen ................................................................................................................ 177 

8.5.3 langer Leiter .................................................................................................................... 178 

8.5.4 quadratische Leiterschleife ............................................................................................. 179 

8.5.5 radiale Leiterschleife ....................................................................................................... 179 

8.5.6 rechteckige Leiterschleife ............................................................................................... 180 

8.5.7 kurze Zylinderspule ........................................................................................................ 181 

8.5.8 lange Zylinderspule ........................................................................................................ 181 

8.5.9 Ringspule ........................................................................................................................ 182 

8.5.10 Helmholtzspule ............................................................................................................... 183 

8.5.11 unendlich langer Leiter ................................................................................................... 184 

8.5.12 radialer Hohlleiter, Rohr .................................................................................................. 185 

8.5.13 Koaxialkabel ................................................................................................................... 186 

8.5.14 Paralleldrahtleitung, Zweidrahtleitung ............................................................................. 187 

8.5.14.1 gegensinnige Bestromung .................................................................................... 187 

8.5.14.2 gleichsinnige Bestromung ..................................................................................... 188 

8.6 magnetischer Fluss ..................................................................................................................... 189 

8.6.1 Definition ......................................................................................................................... 189 

8.6.2 Leiter und rechteckige Schleife ....................................................................................... 190 

8.6.3 Leiter und Ring ............................................................................................................... 191 

9 Magnetodynamik ........................................................................................... 192 

9.1 Magnetisierungskennlinie, Hysteresekurve ................................................................................. 192 

9.2 erweitertes Durchflutungsgesetz, maxwellsche Gleichung ......................................................... 193 



9.3 hopkinsonsches Gesetz, magnetische Spannung ....................................................................... 194 

9.4 magnetischer Widerstand ........................................................................................................... 194 

9.5 magnetische Kreise ..................................................................................................................... 194 

9.5.1 Feldaufweitung am Luftspalt ........................................................................................... 194 

9.5.2 Spulenkern ohne Luftspalt .............................................................................................. 195 

9.5.3 Spulenkern mit Luftspalt ................................................................................................. 196 

9.5.3.1 Strom I unbekannt ..................................................................................................... 196 

9.5.3.2 μr und magnetische Spannung Θ unbekannt ............................................................. 197 

9.5.3.3 μr und magnetische Flussdichte B unbekannt ............................................................ 198 

9.5.4 verzweigter Spulenkern ohne Luftspalt ........................................................................... 199 

9.6 Induktionsgesetz ......................................................................................................................... 200 

9.6.1 Grundlagen ..................................................................................................................... 200 


9.6.3 Bewegungsinduktion ...................................................................................................... 201 

9.6.3.1 Definition .................................................................................................................... 201 

9.6.3.2 konstante Geschwindigkeit, offener Stromkreis ......................................................... 202 

9.6.3.3 konstante Geschwindigkeit, geschlossener Stromkreis ............................................. 202 

9.6.3.4 variable Geschwindigkeit, geschlossener Stromkreis ................................................ 203 

9.6.4 Ruheinduktion ................................................................................................................. 204 

9.6.4.1 Definition .................................................................................................................... 204 

9.6.4.2 keine Geschwindigkeit, zeitlich variable magnetische Flussdichte ............................ 204 

9.6.4.3 Leiter und rechteckige Schleife .................................................................................. 205 

9.6.5 Bewegungsinduktion und Ruheinduktion ........................................................................ 206 

9.6.5.1 Definition .................................................................................................................... 206 

9.6.5.2 konstante Geschwindigkeit, zeitlich variable magnetische Flussdichte...................... 206 

9.6.5.3 fixierte Windung, variierende magnetische Flussdichte ............................................. 207 

9.6.5.4 drehende Windung, konstante magnetische Flussdichte ........................................... 207 

9.7 maxwellsche Gleichungen .......................................................................................................... 208 

9.8 Wirbelströme einer Pfanne .......................................................................................................... 209 

9.9 dielektrische Verluste .................................................................................................................. 210 

10 elektromagnetische Wellen .......................................................................... 211 

10.1 Skineffekt, Stromverdrängung ............................................................................................. 211 

10.2 Resultate der maxwellschen Gleichungen .......................................................................... 213 


10.2.2 Zusammenhänge ............................................................................................................ 213 

10.2.3 Umrechnungen ............................................................................................................... 214 

10.2.4 verlustbehafteter Fall ...................................................................................................... 214 

10.2.5 verlustloser Fall, ζ = 0 .................................................................................................... 214 

10.2.6 gute Leiter, ω ∙ ε > ζ ............................................................................................. 214 

10.3 Feldwellenimpedanz ............................................................................................................ 215 

10.4 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit ....................................................... 216 

10.5 Gruppengeschwindigkeit ..................................................................................................... 217 

10.6 Phasenkoeffizient, Phasenbelag ......................................................................................... 218 

10.7 Wellenvektor und Kreiswellenzahl ....................................................................................... 218 

10.8 Energiestromdichte, Poyntingvektor .................................................................................... 219 


Stichwortverzeichnis 


F� B Drift .................................................. 163 

1. maxwellsche Gleichung ........................... 193 

Abfallzeit ........................................................ 95 

Ableitung ....................................................... 69 

Ablenkung einer Punktladung im elektrischen 

Feld .......................................................... 129 

Ablenkung einer Punktladung im magnetischen 

Feld .......................................................... 162 

Admittanz ................................................ 67, 68 

ampèresches Gesetz................................... 167 

Ansteigzeit ..................................................... 95 

äquivalenter Reihenwiderstand ................... 210 

Arbeit im elektrischen Feld .......................... 148 

average ......................................................... 89 

avg ................................................................ 89 

Bandbreite ................................................... 105 

Bauelemente ................................................. 19 

Beschleunigung einer Punktladung im 

elektrischen Feld ...................................... 128 

Biot und Savart Gesetz................................ 168 

Blindleistung .................................................. 81 

Blindleistungskompensation .......................... 83 

Blindleitwert ................................................... 68 

Blindwiderstand ............................................. 68 

Blitzeinschläge ............................................ 150 

Cosinus ......................................................... 69 

cosinusförmige Grösse .................................. 69 

Coulombkraft ................................ 125, 126, 128 

Crestfaktor ..................................................... 88 

diamagnetisch ............................................. 192 

dielektrische Leitfähigkeit ............................ 210 

dielektrische Verluste .................................. 210 

dielektrische Verschiebung .......................... 139 

dielektrischer Verlustfaktor .......................... 210 

Dielektrizitätskonstante ................................ 123 

Dipol ............................................................ 151 

Dipolfeldpotential ......................................... 151 

Dipolmoment ............................................... 151 

Drehmoment beim Dipol .............................. 152 

Drehstrom .................................................... 117 

Dreieckschaltung ............................ 60, 118, 120 

Dreiecksignal ................................................. 91 

Dreiphasenwechselstrom ............................ 117 

Drift ...................................................... 162, 163 

Durchflutungsgesetz .................................... 167 

duty cycle ...................................................... 95 

duty factor ...................................................... 95 

Effektivwert .................................................... 89 

Effektivwerte addieren ................................... 90 

eingeschlossene Ladung ............................. 140 

Einheiten ..................................................... 122 

Einheitsvektor .............................................. 124 

Einweggleichrichtung..................................... 91 

elektrische Arbeit ......................................... 148 

elektrische Erregung ................................... 139 

elektrische Feldkonstante ............................ 123 

elektrische Feldstärke.................................. 131 

ausgedehnte Ebene ................................. 146 

Definition .................................................. 131 

Dipol ......................................................... 151 

Ebene ...................................................... 146 

Ebenen .................................................... 146 

Eigenschaften .......................................... 131 

einzelne Punktladung ....................... 132, 142 

Elektroden ................................................ 147 

Energiedichte ............................................. 34 

Feldlinien ................................................. 131 

Flächenladungsdichte .............................. 147 

Gradient ................................................... 147 

Kräfte ....................................................... 128 

kreisförmige Leiterschleife ....................... 145 

Ladungsdichten ........................................ 133 

langer Leiter .............................................. 144 

Leiterschleife ............................................. 145 

mehrere Punktladungen ........................... 132 

Metallkugel................................................ 143 

parallele Ebenen ....................................... 146 

Potentialflächen ........................................ 147 

Punktladung .............................................. 142 

radiale Leiterschleife ................................. 145 

Ring .......................................................... 145 

runde Leiterschleife .................................. 145 

Superposition zweier Felder ..................... 133 

Überlagerung zweier Felder...................... 133 

unendlich langer Leiter ............................. 143 

Wirbelfreiheit ............................................. 131 

elektrische Flussdichte ................................. 139 

Energiedichte ..............................................34 

elektrische Kreise ......................................... 123 

elektrische Leistung 

Definition ................................................... 157 

Leiter ......................................................... 157 

elektrische Leitfähigkeit ................................ 210 

elektrische Spannung ................................... 149 

elektrische Stromdichte 

Definition ................................................... 154 

Eigenschaften ........................................... 154 

Koaxialkabel ...............................................36 

Längsschichtung .........................................38 

Mehrschichtdielektrikum .............................37 

Quellenfreiheit ........................................... 154 

Querschichtung ...........................................37 

Verschiebungsstromdichte........................ 193 

Zylinderkondensator ...................................36 

elektrische Suszeptibilität ............................. 123 

elektrischer Dipol .......................................... 151 

elektrischer Fluss ................................. 139, 140 

elektrischer Widerstand ..................................19 

Bügelleiter ...................................................21 

Definition ................................................... 156 

Hohlleiter ....................................................20 

Keilleiter ......................................................22 

Leiter ...........................................................20 

radialer Bügelleiter ......................................21 

radialer Hohlleiter ........................................20 

Rohr ............................................................20 

Scheibenleiter .............................................21 

Vorgehensweise zur Berechnung ...............19 

elektrisches Feld .......................................... 128 

elektrisches Potential ................................... 134 

Äquipotentiallinien ............................. 134, 135 

ausgedehnte Ebene .................................. 146 

Bezugspunkt ............................................. 134 

Definition ................................................... 134 

Ebene ....................................................... 146 

einzelne Punktladung ............................... 142 

Energie ..................................................... 139 

Gradient .................................................... 134 

homogenes Feld ....................................... 135 

Ladungsdichten ........................................ 138 

Leitungen .................................................. 136 

Metalle ...................................................... 143 

Metallkugel................................................ 143 

Paralleldrahtleitung ................................... 136 

Punktladung .............................................. 142 

Zweidrahtleitung ....................................... 136 

Elektrodynamik ............................................. 154 

elektromagnetische Wellen .......................... 211 

k .............................................. 213, 218, 219 

Antenne .................................................... 219 

Ausbreitungsgeschwindigkeit .................... 216 

Ausbreitungskoeffizient ............................. 213 



Dämpfungsbelag ...................................... 213 

Dämpfungskoeffizient .............................. 213 

Energiestromdichte .................................. 219 

Feldwellenimpedanz ........................ 213, 215 

Fernfeld .................................................... 219 

Flächenleistungsdichte ............................ 219 

Gruppengeschwindigkeit .......................... 217 

gute Dielektrika ........................................ 214 

gute Leiter ................................................ 214 

Kreiswellenzahl ........................................ 218 

Leistungsdichte ........................................ 219 

Leistungsfluss .......................................... 219 

Phasenbelag .................................... 213, 218 

Phasengeschwindigkeit ........................... 216 

Phasenkoeffizient ............................ 213, 218 

Poyntingvektor ......................................... 219 

Strahlungsdichte ...................................... 219 

TEM Welle ............................................... 219 

Transversalelektromagnetische Welle ..... 219 

verlustbehafteter Fall ............................... 214 

verlustloser Fall ........................................ 214 

Wellenvektor .................................... 213, 218 

Wellenwiderstand ............................ 213, 215 

Wellenzahl ............................................... 218 

Elektromagnetismus .................................... 122 

Elektron im elektrischen Feld ...................... 164 

Elektron im magnetischen Feld ................... 164 

Elektronendrift ..................................... 162, 163 

Elektronenröhre ........................................... 128 

Elektrostatik ................................................. 125 

Energie eines Dipols ................................... 152 

Entladungen ................................................ 150 

Entmagnetisierung ...................................... 192 

Ersatzquellen ................................................. 11 

erweitertes Durchflutungsgesetz ................. 193 

ESR ............................................................. 210 

Feldkonstante .............................................. 123 

ferromagnetisch ........................................... 192 

Flächenladungsdichte.................................. 123 

Flankensteilheit ............................................. 95 

Fluss ............................................................ 139 

Formelzeichen 

elektrische Feldstärke .............................. 142 

Elektromagnetismus ................................ 122 

idealer Kondensator ................................... 25 

Induktionsgesetz ...................................... 201 

Induktivität .................................................. 41 

Kondensator mit leitendem Dielektrikum .... 35 

magnetische Feldstärke ........................... 177 

Formfaktor ..................................................... 89 

Frequenz ....................................................... 88 

Funken ........................................................ 150 

Gauss ........................................... 140, 155, 170 

gegensinnige Bestromung ...... 46, 158, 174, 187 

gekoppelte Spulen ....................................... 113 

gekoppelte Systeme .................................... 113 

geografischer Nordpol ................................. 172 

geografischer Südpol................................... 172 

geschlossener Weg ..................................... 149 

Gleichrichtwert ............................................... 89 

gleichsinnige Bestromung ............ 158, 175, 188 

Gleichwert ..................................................... 89 

Grenzfrequenz ............................................. 105 

Güte............................................................. 106 

hartmagnetisch ............................................ 192 

Hauteffekt .................................................... 211 

homogener Leiter im magnetischen Feld .... 161 

hopkinsonsches Gesetz .............................. 194 

Hufeisenmagnet .......................................... 172 

Hysteresekurve ........................................... 192 

ideale Spule ................................................... 40 

idealer Kondensator ...................................... 23 

idealer Transformator .................................. 114 

Impedanz ................................................. 67, 68 

Impulsdach .....................................................95 

Impulsdauer....................................................95 

Impulsgrössen ................................................95 

Impulspausendauer ........................................95 

Induktionsfeld ............................................... 176 

Induktionsgesetz .......................................... 200 

Bewegungsinduktion ................................. 201 

eckige Schleife .......................................... 205 

Experimente von Faraday ......................... 200 

Faraday .................................................... 200 

Grundlagen ............................................... 200 

Leiter ......................................................... 205 

lenzsche Regel ......................................... 200 

rechteckige Schleife .................................. 205 

Ruheinduktion ........................................... 204 

Schleife ..................................................... 205 

sinkender magnetischer Fluss .................. 201 

steigender magnetischer Fluss ................. 201 

Induktivität ......................................................40 

Definition .....................................................40 

einzelne Windung .......................................40 

Eisenkern ....................................................42 

elektronische ...............................................48 


Ersatzschaltung ..........................................48 

gespeicherte Energie ..................................47 

Gleichstromkreis ................................... 52, 53 

im Gleichstromkreis .............................. 52, 53 

Koaxialkabel ...............................................45 

lange Zylinderspule ............................. 43, 166 

magnetische Energiedichte.........................47 

mehrere Windungen ...................................40 

Paralleldrahtleitung .....................................46 

Parallelschaltung ........................................60 

Reihenschaltung .........................................59 

Ringspule ....................................................44 

schwimmende Impedanz ............................48 

Solenoid .............................................. 43, 166 

Spule mit Eisenkern ohne Luftspalt ............42 

Spule mit Eisenkern und Luftspalt ..............42 

Toroid .........................................................44 

Vorgehensweise zur Berechnung ...............40 

Windungen..................................................40 

Zweidrahtleitung .........................................46 

Induktivitätsbelag ...................................... 45, 46 

inhomogener Leiter im magnetischen Feld .. 159 

Integral ...........................................................69 

Joule-Verluste .............................................. 157 

Kapazität ........................................................23 

Definition .....................................................23 

Doppelschichtkondensator .........................28 

Drehkondensator ........................................28 

elektrische Energiedichte ............................34 


gespeicherte Energie ..................................34 

gespeicherte Ladung ..................................34 

Gleichstromkreis ................................... 49, 51 

im Gleichstromkreis .............................. 49, 51 

Kapazitätsbelag ..........................................30 

Koaxialkabel ...............................................30 

Kugelkondensator ................................. 32, 39 

Längsschichtung ................................... 29, 38 

Leitungen ............................................ 33, 136 

Mehrschichtdielektrikum ................. 29, 31, 37 

Mehrschichtkondensator .............................28 

Paralleldrahtleitung ............................. 33, 136 

Parallelschaltung ........................................59 

Plattenkondensator .....................................26 

Querschichtung ..................................... 29, 31 

Reihenschaltung .........................................58 

Schichtkondensator ....................................28 

Übersicht ....................................................24 



Vielschichtkondensator .............................. 28 

Vorgehensweise zur Berechnung ........ 23, 35 

Zweidrahtleitung ................................ 33, 136 

Zylinderkondensator .................................. 30 

Kapazitätsbelag ........................................... 136 

Klassifizierung ............................................. 192 

Knotenpotentialen ......................................... 16 

Koerzitivfeldstärke ....................................... 192 

komplexe Spannungen .................................. 65 

komplexe Zahlen ........................................... 64 

Kondensator mit leitendem Dielektrikum ....... 35 

Konduktanz ................................................... 68 

Kräfte 

bei Ladungsdichten .................................. 126 

Coulombkraft ............................ 125, 126, 128 

eckige Leiterschleife ................................ 159 

Elektronenröhre ....................................... 128 

im elektrischen Feld ................................. 128 

Laplacekraft .............................. 159, 161, 164 

Leiterschleife ............................. 159, 161, 165 

Lorentzkraft ............................... 159, 161, 164 

rechteckige Leiterschleife ........................ 159 

viereckige Leiterschleife ........................... 159 

zwischen Kondensatorplatten .................. 130 

zwischen Ladungen ................................. 125 

zwischen Leitern ...................................... 158 

zwischen n Punktladungen ...................... 125 

zwischen zwei Punktladungen ................. 125 

Kräfte beim Dipol ......................................... 152 

Kreisbewegung ............................................ 162 

Kreisfrequenz ................................................ 88 

Ladung ........................................................ 123 

Ladungsdichten ........................................... 123 

Ladungskonzentration ................................. 150 

Laplace ........................................................ 141 

Laplacekraft .................................. 159, 161, 164 

Lastanpassung ........................................ 61, 87 

Leistung ......................................................... 80 

Leistung des Dreiphasenstromes ................ 121 

Leistungen ..................................................... 82 

Leistungsanpassung ............................... 61, 87 

Leistungsdreieck ........................................... 82 

Leistungsfaktoren .......................................... 83 

Leistungsverlust ............................................ 84 

Leiter im magnetischen Feld ............... 159, 161 

Leiterhaut .................................................... 211 

Leiterspannung ............................................ 118 

Leitschichtdicke ........................................... 211 

Leitungswiderstand ..................................... 211 

Leitwert .......................................................... 68 

linearer Mittelwert .......................................... 89 

Linienladungsdichte ..................................... 123 

Lorentzkraft .................................. 159, 161, 164 

Magnete ...................................................... 172 

Magnetfeld ........................................... 170, 176 

Magnetfluss ................................................. 189 

magnetisch gekoppelte Systeme ................. 113 

magnetische Erregung ................................ 176 

magnetische Feldkonstante ......................... 123 

magnetische Feldstärke .............................. 176 

amperesches magnetisches Moment ...... 166 

coulombsches magnetisches Moment ..... 166 

Definition .................................................. 176 

eckige Leiterschleife ......... 161, 165, 179, 180 

Eigenschaften .......................................... 176 

Energiedichte ............................................. 47 

Helmholtzspule ........................................ 183 

Hohlleiter .................................................. 185 

Koaxialkabel ............................................ 186 

kreisförmige Leiterschleife ....................... 179 

kurze Zylinderspule .................................. 181 

lange Zylinderspule .................................. 181 

langer Leiter ..................................... 169, 178 

Leistung bei Rotation ................................ 165 

Leiterschleife ..................... 161, 165, 179, 180 

magnetisches Moment .............................. 166 

mechanisches Moment ..................... 165, 166 

Paralleldrahtleitung ................................... 187 

quadratische Leiterschleife ....... 161, 165, 179 


radiale Leiterschleife ................................. 179 

radialer Hohlleiter ...................................... 185 

rechteckige Leiterschleife ......................... 180 

Ring .......................................................... 179 

Ringspule .................................................. 182 

Rohr .......................................................... 185 

Rotationsleistung ...................................... 165 

rotierende Leiterschleife ........................... 165 

runde Leiterschleife .................................. 179 

Solenoid .................................................... 181 

Toroid ....................................................... 182 

unendlich langer Leiter ............. 169, 178, 184 

viereckige Leiterschleife ... 161, 165, 179, 180 

Zweidrahtleitung ....................................... 187 

Zylinderspule ............................................ 181 

magnetische Flussdichte .............................. 170 

Definition ................................................... 170 

Dreidrahtleitung ........................................ 176 

Eigenschaften ........................................... 170 

einzelner Leiter ................................. 170, 173 


Feldlinien .................................................. 170 

Gauss ....................................................... 170 

Hohlleiter .................................................. 170 

Hufeisenmagnet ........................................ 172 

Magnete .................................................... 172 

Orientierung .............................................. 170 

Paralleldrahtleitung ........................... 170, 174 


radialer Hohlleiter ...................................... 170 

Ringspule .................................................. 170 

Rohr .......................................................... 170 

Solenoid .................................................... 170 

Stabmagnet .............................................. 172 

Superposition dreier Flussdichten ............. 176 

Tesla ......................................................... 170 

Toroid ....................................................... 170 

Überlagerung dreier Flussdichten ............. 176 

Zweidrahtleitung ............................... 170, 174 

Zylinderspule ............................................ 170 

magnetische Induktion ................................. 170 

magnetische Kreise .............................. 123, 194 

Ersatzoberfläche am Luftspalt .................. 194 

Feldaufweitung ......................................... 194 

Luftspalt ............................................ 194, 196 

Spulenkern mit Luftspalt ........................... 196 

Spulenkern ohne Luftspalt ................ 195, 199 

Streufeld ................................................... 194 

verzweigter Spulenkern ohne Luftspalt ..... 199 

magnetische Spannung ................................ 194 

magnetische Suszeptibilität .......................... 123 

magnetischer Fluss .............................. 189, 194 

Definition ................................................... 189 

Leiter ................................................. 190, 191 

rechteckige Schleife .................................. 190 

Ring .......................................................... 191 

Schleife ..................................................... 190 

magnetischer Widerstand ............................. 194 

Magnetisierung ............................................. 170 

Magnetisierungskennlinie ............................. 192 

Magnetisierungskurve .................................. 192 

Magnetodynamik .......................................... 192 

Magnetostatik ............................................... 158 

Maschenströme ..............................................14 

Materialgleichung ................................. 139, 170 

Materialklassifizierung .................................. 192 



maxwellsche Gleichung ............................... 193 

maxwellsche Gleichungen ................... 208, 213 

mittlere Leistung ............................................ 80 

Namensgebungen ....................................... 122 

Netzwerkparameter ....................................... 68 

Nordpol ........................................................ 172 

ohmsches Gesetz .................................... 54, 63 

Ortskurve Mittelpunkt................................... 103 

Ortskurve Skala ........................................... 103 

Ortskurven ..................................................... 96 

Ortskurven erstellen .................................... 103 

Parallel- zu Reihenschaltung ......................... 79 

Parallelersatzschaltbild .................................. 85 

Parallelschaltung ........................................... 96 

Parallelschaltung R|C .........................51, 75, 99 

Parallelschaltung R|Cvar ............................... 98 

Parallelschaltung R|L ........................53, 76, 100 

Parallelschaltung R|L|C ......................... 77, 103 

Parallelschaltung R|Lvar .............................. 100 

Parallelschaltung Rvar|C|L .......................... 101 

Parallelschwingkreis .................................... 110 

paramagnetisch ........................................... 192 

Pendelleistung ............................................... 81 

Periodendauer ............................................... 88 

Phasenanschnittsignal................................... 93 

Polarisation .................................................. 139 

Punktladung im elektrischen Feld . 128, 129, 163 

Punktladung im magnetischen Feld159, 162, 

163 

Quellenumwandlung ...................................... 11 

Raumladungsdichte ..................................... 123 

Reaktanz ....................................................... 68 

reale Bauelemente ........................................ 19 

realer Transformator .................................... 116 

Rechteckimpulssignal .................................... 91 

Rechtecksignal .............................................. 91 

Reihen- zu Parallelschaltung ......................... 78 

Reihenersatzschaltbild .................................. 86 

Reihenschaltung ............................................ 96 

Reihenschaltung R-C .........................49, 72, 98 

Reihenschaltung R-Cvar ............................... 98 

Reihenschaltung R-L ........................52, 73, 100 

Reihenschaltung R-L-C ......................... 74, 102 

Reihenschaltung R-Lvar ................................ 99 

Reihenschaltung Rvar-C-L .......................... 101 

Reihenschaltung Rvar-L ................................ 99 

Reihenschwingkreis .................................... 107 

relativistische Effekte ................................... 162 

Remanenzflussdichte .................................. 192 

Resistanz ....................................................... 68 

Resonanzfall ................................................ 105 

Resonanzfrequenz ...................................... 105 

RMS .............................................................. 89 

root mean square .......................................... 89 

Sägezahnsignal ............................................. 91 

Satz von Gauss ................................... 140, 155 

Satz von Laplace ......................................... 141 

Scheinleistung ............................................... 81 

Scheinleitwert ................................................ 68 

Scheinwiderstand .......................................... 68 

Scheitelfaktor ................................................. 88 

Scheitelwert ................................................... 88 

Schraubenregel ........................................... 167 

Schwingkreise ............................................. 104 

Sinus ..............................................................69 

sinusförmige Grösse ......................................69 

Skineffekt ............................................... 45, 211 

Skin-Tiefe ..................................................... 211 

Spannung .......................................................66 

Spitzeneffekt................................................. 150 

Spitzen-Spitzenwert .......................................88 

Spitzenwert ....................................................88 

Stabmagnet .................................................. 172 

Sternpunkt .................................................... 119 

Sternschaltung ............................... 60, 117, 119 

Strangspannung ........................................... 118 

Streufeld ....................................................... 194 

Strom ..............................................................66 

Stromverdrängung ........................................ 211 

Südpol .......................................................... 172 

Superpositionsprinzip .....................................18 

Suszeptanz ....................................................68 

Suszeptibilität ............................................... 123 

tan(δ) ............................................................ 210 

Tastgrad .........................................................95 

Tastverhältnis .................................................95 

Teilchendrift .......................................... 162, 163 

Tesla ............................................................ 170 

Transformator ............................................... 113 

Überlagerungsprinzip .....................................18 

Überschläge ................................................. 150 

Übersteuerung ................................................91 

Umwandlung von Cosinus in Sinus ................69 

Umwandlung von Sinus in Cosinus ................69 

ungleichsinnige Bestromung .. 46, 158, 174, 187 

unvollkommen gekoppelte Spulen ................ 116 

UΔ ................................................................. 118 

Uλ ................................................................. 118 

variable Frequenz ...........................................97 

variables Bauelement .....................................96 

verfügbare Leistung einer Quelle ............. 61, 87 

verkettete Spannung .................................... 118 

Verluste durch joulsche Wärme .................... 157 

Verluste im Dielektrikum ............................... 210 

Verschiebungsdichte .................................... 139 

Verschiebungsstromdichte ........................... 193 

Verstimmung ................................................ 106 

vollkommen gekoppelte Spulen .................... 114 

Wegunabhängigkeit ...................................... 149 

weichmagnetisch .......................................... 192 

Widerstand .....................................................68 

Widerstand einer Leitung ............................. 211 

Widerstände 

Leitungen ....................................................54 

Parallelschaltung .................................. 57, 71 

Reihenschaltung ................................... 56, 71 

Temperaturabhängigkeit .............................55 

Wirbelströme ................................................ 209 

Wirkleistung ....................................................80 

Wirkleitwert .....................................................68 

Wirkungsgrad .................................................10 

Wirkwiderstand ...............................................68 

Zustandskurve .............................................. 192 

Zweigströme ...................................................13 

Zweiweggleichrichtung ...................................91 

Zyklotronfrequenz ......................................... 162 

Δ 120 

λ 119 


FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011 

1 Grundlagen 

1.1 Begriffe 

Grösse Formel Einheit Bemerkung 

Q elektrische Ladung Q �I� t C (Coulomb) 1C 18 

6.24 � 10 Elektronen 

I elektrischer Strom 

Q 

I � 

t 

A (Ampere) 

J elektrische Stromdichte 

I 

J � 

A 

A 

2 

m 

2 

A : Querschnittsfläche des Leiters ( m ) 

U elektrische Spannung 

W 

U � 

Q 

V (Volt) W : elektrische Energie ( J ) 

E elektrische Feldstärke 

R elektrischer Widerstand 

G elektrischer Leitwert 

� spezifischer Widerstand 

� spezifischer Leitwert 

U 

E � 

l 

U 

R 

I 

V 

m 

� � (Ohm) 

I 

G � S (Siemens) 

U 

E 

� � 

J 

�� m 

J 

� � 

E 

S 

m 

1.2 Wirkungsgrad 

� : 

� % : 

Wirkungsgrad 

Wirkungsgrad % 

Wirkungsgrad 

P ab : 

P : 

abgegebene Leistung 

zugeführte Leistung 

W 

W 

Leistungen 

zu 

R a : Aussenwiderstand Ω 

Widerstände 

R : Innenwiderstand Ω 

i 

P 

� � 

P 

ab 

zu 

Pab 

�% 

� �100% 

P 

zu 

Ra 

Ri 

� � 

R 

1� 

R 

a 

i 

l : Abstand ( m ) 

1 

G � 

R 

1 

� � 

� 


Vorgehen 

Berechnung der 

Ersatzquelle 

► Beispiel 


1.3 Quellen 

1.3.1 Quellenumwandlung nach Thévenin, Norton 

I c : Kurschlussstrom (links) oder Urstrom (rechts) A 

U : Urspannung (links) oder Leerlaufspannung (rechts) V 

i 

0 

R : Innenwiderstand der Quelle Ω 

G : Innenleitwert der Quelle S 

i 

U I 

I � �U �G � U � � I � R 

0 

c 

c 

Ri 0 i 0 

Gi 

c i 

1.3.2 Ersatzquellen 

Von den folgenden Grössen müssen mindestens zwei ermittelt werden: 

� Ersatzwiderstand R i an den Klemmen mit gelöschten Quellen 

� Leerlaufspannung U 0 an den Klemmen 

� Kurzschlussstrom I c zwischen den Klemmen 

Ersatzwiderstand: Leerlaufspannung: Kurzschlussstrom: 

Die Ersatzquelle kann durch folgende Zusammenhänge ermittelt werden: 

U : Leerlaufspannung V 

i 

0 

R : Ersatzwiderstand Ω 

I : Kurzschlussstrom A 

c 

c 

U � R �I 

0 

U 0 Ri 

� 

I 

I 

c 

U 

� 

R 

i c 

0 

i 

Ersatzquelle zu folgender Quelle ermitteln: 



Ersatzwiderstand mit gelöschten Quellen ermitteln: 

Ri 

10��10� � � 5� 

10� �10� Kurschlussstrom ermitteln: 

20V 

Ic� �2A 

10� 

Leerlaufspannung ausrechnen: 

U0 � Ri � Ic � 5�� 2A � 10V 

Mögliche Ersatzquellen: 

Mit Spannungsquelle: Mit Stromquelle: 


Gleichungen 

allgemeines 

Vorgehen 

Anzahl Gleichungen 


1.4 Berechnen von Netzwerken 

1.4.1 Gleichungen mit Zweigströmen 

I XZ : Maschenstrom der Masche X A 

I : Maschenstrom der Masche Y A 

YZ 

I : Strom durch den Koppelwiderstand A 

XY 

I zu 

� 

� 

� 

� 

Iab 

RX 

RY 

XY 

U X 

: zum Knoten zufliessende Ströme A 

: vom Knoten abfliessende Ströme A 

: Summe aller Widerstände der Masche X Ω 

: Summe aller Widerstände der Masche Y Ω 

R : Koppelwiderstand zwischen der Masche X und Y Ω 

� 

� 

UY 

: Summe aller Quellenspannungen der Masche X V 

: Summe aller Quellenspannungen der Masche Y V 

Maschengleichung zu Masche X: 3�� I � 2�� I � � 10V 

XZ XY 

Maschengleichung zu Masche Y: �2�� I � 4�� I � 10V 

XY YZ 

Knotengleichung zu Knoten a: �I � I � I � 0 

XZ XY YZ 

� � 

� � � �� 

�Izu�� Iab� 

I � R � I � R � U 

Maschengleichung zu Masche X: XZ X XY XY X 

I R I R U 

Maschengleichung zu Masche Y: XY XY YZ Y Y 

Knotengleichung zu Knoten a: 0 

k : Anzahl Knoten 

f : Anzahl Fenster 

Ströme 

Anzahl unabhängiger Knotengleichungen: k � 1 

Anzahl unabhängiger Maschengleichungen: f 

k� � f 

Anzahl benötigte Gleichungen (Anzahl der echten Zweige): 1 

Widerstände 

Spannungen 


Gleichungen 

allgemeines 

Vorgehen 

Anzahl Gleichungen 


1.4.2 Gleichungen mit Maschenströmen 

1.4.2.1 Berechnung 

I X : Maschenstrom der Masche X A 

I : Maschenstrom der Masche Y A 

Y 

I : Strom durch den Koppelwiderstand A 

XY 

RX 

� 

� 

RY 

XY 

U X 

: Summe aller Widerstände der Masche X Ω 

: Summe aller Widerstände der Masche Y Ω 

R : Koppelwiderstand zwischen der Masche X und Y Ω 

� 

� 

UY 

: Summe aller Quellenspannungen der Masche X V 

: Summe aller Quellenspannungen der Masche Y V 

Maschengleichung zu Masche X: 5�� I � 2�� I � � 10V 

X Y 

Maschengleichung zu Masche Y: �2�� I � 6�� I � 10V 

X Y 

I �I� I 

Knotengleichung: XY X Y 

� � 

� � 

I � R � I � R � U 

Masche X: X X Y XY X 

�I � R � I � R � U 

Masche Y: X XY Y Y Y 

f : Anzahl Fenster 

Anzahl benötigte Gleichungen: f 

Ströme 

Widerstände 

Spannungen 


künstlicher 

Maschenstrom 

Ersatzspannungsquelle 

zusätzliche 

Spannung 


1.4.2.2 Vorgehen bei Stromquellen 

Maschengleichung zu Masche A: 12�� I �3�� I �5�� 2A � 0V 

A B 

Maschengleichung zu Masche B: �3�� I A � 6�� IB � 0V 

I � 952mA 

Berechnete Werte: 

A 

I � 476mA 

Maschengleichung zu Masche A: 12�� I �3�� I � 10V 

B 

A B 

Maschengleichung zu Masche B: �3�� I A � 6�� IB � 0V 

I � 952mA 


A 

I � 476mA 

Maschengleichung zu Masche A: 12�� I �3�� I �5�� 2A � 0V 

B 

A B 

Maschengleichung zu Masche B: �3�� I � 6�� I � 0V 

A B 

Maschengleichung zu Masche C: �5�� I � 5�� 2A �U � 0V 


I � 952mA 

A 

I � 476mA 

B 

U � 5.24V 

X 

A X 


Gleichungen 

allgemeines 

Vorgehen 


1.4.3 Gleichungen mit Knotenpotentialen 


G ai : Summe aller vom Knoten a ausgehenden Leitwerte S 

G : Summe aller vom Knoten b ausgehenden Leitwerte S 

bi 

G : Koppelleitwert zwischen Knoten a und b S 

ab 

Ia 

� 

� 

a 

Ib 

: Summer aller Quellenströme im Knoten a A 

: Summer aller Quellenströme im Knoten b A 

� : Potential im Knoten A V 

� : Potential im Knoten B V 

b 

� : Potential im Knoten C V 

c 

U : Spannung zwischen Knoten A und C V 

ac 

U : Spannung zwischen Knoten A und B V 

ab 

U : Spannung zwischen Knoten B und C V 

bc 

Knotengleichung zu Knoten a: 5S �� 3S �� 1A 

a b 

Knotengleichung zu Knoten b: �3S �� 7S �� 3A 

Potentialdifferenzen mit �c � 0 : 

U 

U 

U 

� � 

ac a 

a b 

�� 

ab a b 

� � 

bc b 

�G �� G �� I 

Knotengleichung zu Knoten a: ai a ab b a 

�G �� G �� I 

Knotengleichung zu Knoten b: ab a bi b b 

Potentialdifferenzen: 

U 

U 

U 

�� 

ac a c 

�� 

ab a b 

�� 

bc b c 

Leitwerte 

Ströme 

Spannungen 


künstliches 

Knotenpotential 

Ersatzstromquelle 

zusätzlicher Strom 


1.4.3.2 Vorgehen bei Spannungsquellen 

Knotengleichung zu Knoten a: 9S �� 4S �� 2S �4V � 0A 

a b 

Knotengleichung zu Knoten b: �4S ��a � 9S ��b � 0A 

� �1.11V 


a 

� � 0.49V 


b 

a b 

Knotengleichung zu Knoten b: �4S ��a � 9S ��b � 0A 

� �1.11V 


a 

� � 0.49V 


b 

a b 

Knotengleichung zu Knoten b: �4S �� 9S �� 0A 

a b 

Knotengleichung zu Knoten c: �2S �� 2S � 4V � I � 0A 


� �1.11V 

a 

� � 0.49V 

b 

I � 5.78A 

X 

a X 


Schaltung 

Spannungsquelle 

löschen 

Stromquelle löschen 

Ströme 


1.4.4 Überlagerungsprinzip 

I �I'�I'' RS RS RS 

I �I'�I'' RT RT RT 

I �I'�I'' TV TV TV 


Widerstand 

Kondensator 

Spule 

unterschiedliche 

Querschnitte 

unterschiedliche 

Länge der 

Stromfäden 

FH Formelsammlung - Bauelemente Editiert: 21.02.2011 

2 Bauelemente 

2.1 Ersatzschaltbilder der realen Bauelemente (Approximation) 

2.2 elektrischer Widerstand 

2.2.1 Vorgehensweise zur Berechnung 

dR, R elektrischer Widerstand des Leiters Ω 

G : elektrischer Leitwert des Leiters Ω -1 

� � 

dA, A l , A : Querschnitt des Leiters m 2 

dl, l : Länge der Stromfäden m 

� : elektrische Leitfähigkeit Ω -1 m -1 

dl 

dR � 

� � Al 

R � 

� 

l 

A 

� � 

dl 

� � Al 

� � 

� � dA 

G � � l 


Widerstand in 

Längsrichtung 

Widerstand von 

Innen nach Aussen 


2.2.2 Leiter 

R : elektrischer Widerstand des Leiters Ω 

A : Querschnitt des Leiters m 2 

l : Länge des Leiters m 

� : spezifischer elektrischer Widerstand Ω m 


� �l 

R � 

A 

l 

R � 

� � A 

Leiter 

2.2.3 radialer Hohlleiter, Rohr 

R : elektrischer Widerstand des Hohlleiters Ω 

A, A r : Querschnitt m 2 

� � 

L : Länge m 

r : innerer Radius m 

i 

r : äusserer Radius m 

Materialkonstanten 

Hohlleiter 

a 

� : elektrische Leitfähigkeit Ω -1 m -1 Materialkonstanten 

L L 

R � � 

� � A � �� r � r 

2 2 � a i � 

r r 

Stirnflächen mit perfekt leitendem 

Material beschichtet �� . 

Querschnitt: konstant 

Länge aller Stromfäden: konstant 

Innen- und Aussenmantel mit perfekt 

leitendem Material beschichtet �� . 

Querschnitt: nicht konstant 


a a 

dr 1 dr 1 �r� a 

R � � � � � �ln� � 

� � A�r � 2��L� r 2��Lr 

r r 

� i � 

i i 


elektrischer Leitwert 

elektrischer 

Widerstand 


2.2.4 radialer Bügelleiter 

R : elektrischer Widerstand des Bügelleiters Ω 

G : elektrischer Leitwert des Bügelleiters Ω -1 

AB: , Kontaktflächen 

b : Breite m 


i 


Querschnitt: konstant 

Länge aller Stromfäden: nicht konstant 

Bügelleiter 

a 


r 

a 

� � A � �b � dr � �b 

�r� a 

G � � ln 

l � � � � � 

� � r � r 

r 

� i � 

1 � 

R � � 

G �r� a � �b�ln � � 

� ri 

� 

2.2.5 Scheibenleiter 

i 



R : elektrischer Widerstand des Scheibenleiters Ω 

A, A r : Querschnitt m 2 

� � 

b : Breite m 


1 


Scheibenleiter 

2 

� : elektrische Leitfähigkeit Ω -1 m -1 Andere 

R 

r 1 

� b 

r 2 

r2 r2 

dr dr 1 �r� 2 

� � � � �ln� � 

� � A�r � � � � r � 2��b��2��br r1 r1 

� 1 � 


innerer Teil 

äussere Teile 

Keilleiter 


2.2.6 Keilleiter 

Zylinderförmige Stirnflächen mit perfekt 

leitendem Material beschichtet �� . 



R : 

elektrischer Widerstand des Keileiters 

(von Innen / links nach Aussen / rechts) 

Ω 

b : Breite m 


1 


2 

� : Bogenlänge rad 

2 

R : elektrischer Widerstand des inneren Teils 

1 

� : Bogenlänge des inneren Teils rad 

1 

1 � � 

A r : Querschnitt des inneren Teils m 2 

� 1 : elektrische Leitfähigkeit des inneren Teils Ω -1 m -1 

R , R : elektrischer Widerstand eines äusseren Teils Ω 

2o 2u 

A2�r � : Querschnitt eines äusseren Teils m 2 

� 2 : elektrische Leitfähigkeit eines äusseren Teils Ω -1 m -1 

R 

r2 r2 

dr dr 1 �r� 2 

1 � � � � �ln� � 

� r � � 

1 1 � A1 r � � r1 

1 � r ��1 �b �1 ��1 �b �r1� Keileiter 

r2 r2 

dr dr 

1 �r� 2 

2o � 2u 

� � � � �ln r � � 

2 1 2 1 

1 2 A2 r � � � � 

� � 

� � � � � r 

r1� 

1 

2�r��b�2��b� � 

R R 

R R R R 

2 2 

2 

� 1 2o 2u 

� �ln� � 

b ��1 �1 �2 � 2 �1 � 2 � r1 

1 

�r� � � � � � � � � 

innerer Teil 

äussere Teile 


Vorgehensweise 

schematische 



2.3 Kapazität, idealer Kondensator 

2.3.1 Definition 

C : Kapazität F 

Q : Ladung C 

U : Spannung über den Platten V 

D : elektrische Flussdichte C m -2 

E : elektrische Feldstärke V m -1 

A : Oberfläche m 2 

� : elektrische Feldkonstante F m -1 

dA : vektorielles Oberflächenelement m 2 

PP , : Punkte im Raum m 

1 2 

ds : Wegelement m 

Q 

C � 

U 

Kondensator 

Abmessungen 

Andere 

Berechnung mit DE , 

E D 

C � 

�� 

Formel P2 

A 

� 

P1 

D � dA 

E � ds 

C � 

� � E �dA 

A 

P2 


� 

P1 

�� 

E � ds 

� Falls die Ladung Q nicht bekannt ist, eine annehmen. 

FH Formelsammlung 4 Elektrotechnik.doc 23 

C � 

�� 

A 

P2 

� 

P1 

D � dA 

D 

� ds 

� 

� Die elektrische Flussdichte D mit dem Satz von Gauss berechnen: 

�� 

Q � D �dA 

� Die elektrische Feldstärke E mit dem Materialgesetz berechnen: D�� E. 

� Die Spannung U zwischen den Elektroden berechnen: 

� Die Kapazität C des Kondensators berechnen: 

Q 

Q � D � E �U � C � 

U 

Q 

C � . 

U 

P2 

� 

U � E �ds 

P1 

. 

A 

.

Eigenschaften 

Berechnung 


2.3.3 Übersicht 




� : elektrisches Potential V 

Q : Ladung C 

A : Fläche einer Platte m 2 

d : Abstand der Platten m 

R R : innerer Radius m 

1 , i 

R R : äusserer Radius m 

2 , a 

r : Abstand m 

Kondensator 

Abmessungen 

Plattenkondensator Zylinderkondensator Kugelkondensator 

Typ 

elektrische Feldstärke, 

elektrische Flussdichte 

elektrisches Potential 

Plattenkondensator homogen, konstant linear 

Zylinderkondensator radial, variieren mit 1 

r 

Kugelkondensator 

1 

radial, variieren mit 2 

r 

variiert mit ln� r � 

variiert mit 1 

r 

Typ Kapazität elektrische Feldstärke 

Plattenkondensator 

� � A 

C � 

d 

2 �� l 

C � 

�R� ln � � 

� R1 

� 

R1�R2 C � 4� 

� �� R � R 

Zylinderkondensator 2 

Kugelkondensator 

2 1 

Q 

E � 

� � A 

Q 

E � 

2� 

� � r�� l 

Q 

E � 

4� 

� �� r 


2


2.3.4 Formelzeichen 


C ' : Kapazitätsbelag F m -1 

Q : Ladung C 


DD: , elektrische Flussdichte C m -2 

EE , : elektrische Feldstärke V m -1 

E max : maximale elektrische Feldstärke V m -1 


A : Fläche einer Platte m 2 


x : Abstand von der Q+ Platte m 

R : innerer Radius m 

i 

R : äusserer Radius m 

a 

R m : Radius der Dielektrikagrenze m 

l : Länge m 

r : Abstand vom Zentrum m 

Kapazität, Kondensator 

Abmessungen 

� : elektrische Feldkonstante F m -1 Materialkonstanten 

� : elektrische Feldkonstante des Dielektrikums 

r 

dA, dA : Oberflächenelement m 2 

dx, dx : kartesisches Wegelement m 

dr, dr : 

zylindrisches Wegelement oder 

sphärisches Wegelement 

m 

e : kartesischer Einheitsvektor 

x 

e r : 

zylindrischer Einheitsvektor oder 

sphärischer Einheitsvektor 

Integral 

Einheitsvektoren 


Ladung 

Spannung 

Kapazität 

elektrische 

Flussdichte und 

Feldstärke 



2.3.5 Plattenkondensator 


tatsächliches Feld idealisiertes Feld 

D � D� ex E � E �ex dA � dA� ex dx � dx � ex 

�� D � const. 

Q � D � dA � D � dA � D� dA � D� A 

Hülle innen innen 

Q � D� A Q � � � E � A 

Platte� Platte� 

� � E � const. 

U � E � dx � E � dx � E � d 

Platte� Platte� 

D 

U � E � d U � � d 

� 

Q � � A 

C � � 

U d 

Q 

D � 

A 

Q 

E � 

� � A 

x x 

� x � � 0 � E � dx � 0�E�dx��E�x 

� � � � 

� � φ auf der Q+ Platte = 0 

0 0 

Elektrische Flussdichten in x- und z- 

Richtung heben sich durch die 

Vernachlässigung der Randeffekte auf. 

Elektrische Flussdichte auf der linken 

Seite ist null, da es ausserhalb der 

Platten kein Feld hat. 


feste Ladung Q 

feste Spannung U 


2.3.5.2 Änderungen während dem Betrieb 

E0 

E � 

� 

r 

r 

U 0 U � 

� 

r 

D�D 0 

C ��C E � E 

0 

r 

r 

r 

0 

D��D Q��Q C ��C 0 

0 

0 

Verwendung von Dielektrikum mit εr, Q� Q0 

Verwendung von Dielektrikum mit εr, U � U0 


Vielschichtkondensator 

Doppelschichtkondensator 

Drehkondensator 


2.3.6 Schichtkondensator 

n : Anzahl der Platten 

a : Länge der Platte m 

b : Breite der Platte m 

� : Drehwinkel 0...π 

� � A 

C � �n�1�� d 

� �a�b C �2� d 

� 

A � � R � R 

2 

2 2 � a i � 

� R � R 

C � �n�1�� 

2 d 

2 2 

a i 


Eigenschaften 

Spannungen 

elektrische 

Flussdichte 

elektrische 

Feldstärke 

Kapazität 

Eigenschaften 

Ladungen 

elektrische 

Flussdichte 

elektrische 

Feldstärke 

Kapazität 


2.3.7 Mehrschichtdielektrikum 

2.3.7.1 Querschichtung 

� D geht unverändert von einem Medium zum Anderen. 

� E ändert sich sprunghaft an der Grenze von � 1 zu � 2 . 

� Es ergibt sich eine Reihenschaltung von Kapazitäten. 

Aufbau Felder 

d1 d1 �d2d1d1�d2 Q Q Q Q 

U �U �U � E � dx � E � dx � � dx � � dx � � d � � d 

� � � � 

1 2 1 2 1 2 

� 

1 1 � A � 0 d 0 2 � A � d1 

1 � A � 2 � A 

Q 

D1 �D2 � 

A 

E1 

� 2 

�1�E1��2�E2�� E � 

2 1 

Q Q A 

C � � � 

U U d 1�U2 1 d2 

� 

� � 

1 2 

2.3.7.2 Längsschichtung 

� D verändert sich sprunghaft an der Grenze von � 1 zu � 2 . 

� E geht unverändert von einem Medium zum Anderen. 

� Es ergibt sich eine Parallelschaltung von Kapazitäten. 

Aufbau Felder 

Q � D � A � � � E � A 

1 1 1 1 1 1 

Q � D � A � � � E � A 

2 2 2 2 2 2 

D D � 

� � D � � D 

� � � 

1 2 1 

1 2 

1 2 2 

U 

E1 �E2 � 

d 

Q Q � Q � � A � � A 

C � � � � 

U U d d 

1 2 1 1 2 2 


Hinweis 

Ladung 

Spannung 

Kapazität 

Kapazitätsbelag 

elektrische 


Feldstärke 



2.3.8 Zylinderkondensator, Koaxialkabel 

2.3.8.1 Einschichtdielektrikum 

Die Deckelflächen bringen keinen Beitrag zum Oberflächenintegral, da D � dA . 

D � D� er E � E �er dA � dA� er dr � dr � er 

�� D � const. 

Q � D � dA � D � dA � D � dA � D � 2� 

� � r �l 

Hülle Mantel Mantel 

Q � D� 2��r�lQ��E�2��r� l 

R R 

a a 

Q dr Q �R� a 

U � � E � dr � � � �ln� � 

2��l� r 2��lR 

R R 

� i � 

i i 

Q 2� 

� �� l 

C � � 

U �R� a ln � � 

� Ri 

� 

2 �� 

C ' � 

�R� a ln � � 

� Ri 

� 

Q 

D� �er 

2� 

� � r�l Q 

E � �e 

2� 

� � r�� l 

E 

max 

Q 1 

� � 

�� l 

R 

2 i 

0 

hohe Frequenz 

r 

r r 

Q dr Q � r � 

��r��Ri��E�dr��ln� � 

2��l� r 2��lR 

R R 

� i � 

i i 


Spannung 

elektrische 

Flussdichte 

elektrische 

Feldstärke 

Kapazität 


2.3.8.2 Mehrschichtdielektrikum 

( �1 � �0 

bei Luftschicht) 

D � D �e D � D �e E � E �e E � E �e dr � dr � e 

1 1 r 2 2 r 1 1 r 2 2 r r 

Rm Ra Rm Ra 

Q dr Q dr 

U �U �U � � E � dr � � E � dr � � 

l � � � 

r l � r 

1 2 1 2 

2��1�2�� Ri Rm Ri 2�Rm 

Q � 1 � R � m 1 � R �� 

a 

U � �� ln� � � � ln� 

�� 

2��l��1 

Ri � 2 R � 

� � � � m �� 

Q 

D1 � D2 � �e 

2� 

� � r�l E1 

� 2 

�1�E1��2�E2�� E � 

Q 

E1� �e 

2� 

� � r�� l 

Q 

E2� �e 

2� 

� � r�� l 

1 

2 

r 

2 1 

r 

r 

Ri �r� Rm 

Rm �r� Ra 

1 U 1 � 1 � R � m 1 � R �� 

a 

� � �� ln � � � �ln 

� �� 

C Q 2��l��1 

Ri � 2 R � 

� � � � m �� 


Ladung 

Spannung 

Kapazität 

elektrische 


Feldstärke 



2.3.9 Kugelkondensator 

D � D� er E � E �er dA � dA� er dr � dr � er 

�� 4 � 

2 

D � const. 

Kugel Kugel 

Q � D � dA � D � dA � D � � � r 

Q � D� 4��rQ��E�4�� r 

R R 

2 2 

a a 

Q dr Q � 1 1 � 

U � � E � dr � � � �� 

�� r �� Ri Ra 

� 

2 

4 4 

Ri Ri 

Q Ri � Ra 

C � � 4� � �� U R � R 

Q 

D� �e 

2 r 

4 ��r Q 

E � �e 

2 

4 �� r 

0 

r 

a i 

r r 

Q dr Q �1 1 � 

��r��Ri��E�dr�� 2 � � � 

4�� r 4��rR 

R R 

� i � 

i i 


Spannung 

Kapazität 

elektrische 

Feldstärke 


2.3.10 Paralleldrahtleitung, Zweidrahtleitung 

R : Radius der Leitungen m 

a : Abstand zwischen den Leitungen m 

l : Länge der Leitungen m 

x : Abstand von Ursprung m 

a a a 

�R �R �R 

2 2 2 

Q � 1 1 � 

U � E � dx � E � E � dx � � � � dx 

a a � 

� � �l � 2 � x 2 � x � 

� � � a R 

1 2 

a a 2 � � a 

� �R � �R � �R 

2 2 2 

Q � a � 

U � �ln � �1� 

� �� l �R � 

Q � �� l 

C � � 

U � a � 

ln � � 

�R� Q 1 

E1��e 2 �� l � x 

1 2 

a 

2 

Q 1 

E2��e 2 �� l � x 

E � E �E 

a 

2 

x 

x 

a R 

a R 

a R 



2.3.11 gespeicherte Ladung 

Q : Ladung C 


U : Spannung V 

I : Strom A 

t : Zeit s 

Q �C�U Q �I�t 2.3.12 gespeicherte Energie 

W : elektrische Energie J 



Q : Ladung C 

C�U W � 

2 

QU � 

W � 

2 

2 

Q 

W � 

2 �C 

2 

2.3.13 elektrische Energiedichte 

� el : elektrische Energiedichte J m -3 




2 

� � E 

�el 

� 

2 

D�E �el 

� 

2 

2 

D 

�el 

� 

2 �� 



schematische 



2.4 Kondensator mit leitendem Dielektrikum 


� Falls der Strom I nicht bekannt ist, einen annehmen. 

� Die elektrische Stromdichte J mit dem Satz von Gauss berechnen: 

� Die elektrische Feldstärke E mit dem Materialgesetz berechnen: 

� Die Spannung U zwischen den Elektroden berechnen: 

I � J �dA 


P2 

� 

U � E �ds 

U 

� Den Widerstand R zwischen den Elektroden berechnen: R � . 

I 

� Die Kapazität C des Kondensators berechnen: R C � 

� � . 

� 

U 

I � J � E �U � R � 

I 


I : elektrischer Strom A 

U : elektrische Spannung V 

J, J : elektrische Stromdichte A m -2 


l : Länge m 


R : innerer Radius m 

i 

R : äusserer Radius m 

a 

R : Radius der Dielektrikagrenze m 

P1 

�� 

A 

J 

E � . 

� 

. 

Kapazität, Kondensator 

Abmessungen 

m 

� : elektrische Leitfähigkeiten der Dielektrika Ω -1 m -1 � : elektrische Feldkonstante F m 


-1 


dr, dr : 

e r : 





m 

Integral 


.

Strom und 

elektrische 

Stromdichte 

elektrische 

Feldstärke 

Spannung 

Strom 


2.4.3 Zylinderkondensator, Koaxialkabel 

2.4.3.1 Einschichtdielektrikum 

J � J �er E � E �er dA � dA� er dr � dr � er 

�� J � const. 

I � J � dA � J � dA � J � 2� 

� � r �l 

Mantel Mantel 

I 

J � �e 

2� 

� � r�l J I 

E � � 

� 2� 

� �� r�l R R 

r 

a a 

I dr I �R� a 

U � � E � dr � � � �ln� � 

2��l� r 2��lR 

R R 

� i � 

i i 

2� 

� �� lU � 

I � 

�R� a ln � � 

� Ri 

� 


elektrische 

Stromdichte 

elektrische 

Feldstärken 

Spannung 

elektrische 

Flussdichte 


2.4.3.2 Mehrschichtdielektrikum 

2.4.3.2.1 Querschichtung 

E � E �e E � E �e dr � dr � e 

1 1 r 2 2 r r 

I 

J1 � J2 � �e 

2� 

� � r�l J I 

1 E1��er �1 2� 

� ��1�r�l J I 

2 E2��er � 2 2� 

� �� 2�r�l 

r 

Ri �r� Rm 

Rm �r� Ra 

Rm Ra Rm Ra 

I dr I dr 

U �U �U � � E � dr � � E � dr � � 

l � � � 

r l � r 

1 2 1 2 

2��1�2�� Ri Rm Ri 2�Rm 

I � 1 � R � m 1 � R �� 

a 

U � �� ln� � � � ln� 

�� 

2��l��1 

Ri � 2 R � 

� � � � m �� 

� � 

D � � � E � � J D � � � E � � J 

1 2 

1 1 1 

�1 2 2 2 

�2 

D 

D 

� � 

� � 

� � 

1 1 2 

2 2 1 


elektrische 

Feldstärke 

Satz von Gauss 

elektrische 

Stromdichte 

elektrische 

Feldstärke 

Spannung 

elektrischer 

Widerstand 

Kapazität 


2.4.3.2.2 Längsschichtung 

J � J �er dA � dA� er 

J1 J2 

E1 � E2 

� � 

� � 

1 2 

�� 

I � I � I � J � dA � J � dA � J � dA 

1 2 1 2 

Mantel Halbmantel Halbmantel 

I � I � I � J �� r �l � J �� r �l 

1 2 1 2 

I 

J1 � J2 � � ��1��2��E � �r�l I 

E � �e 

� � r�l�� 

R R 

� � 

1 2 

r 

a a 

I I �R� U � � E � dr � � 

� dr � �ln� � 

� � � � � � 

Ri Ri 

a 

� r �l �� 1 � 2 � �l �� 1 � 2 � � Ri 

� 

J � const. 

Ra Ra 

dr 1 Ra dr 1 Ra 

1 � � � � ln 2 � � � ln 

� �� Ri 1 � r �l � �� 1 �l R � 

i � �� Ri 

2 � r �l � �� 2 �l 

Ri 

� � � � 

R � � R 

� � 

� � � � 

R R R 

1 

�R� a 

� 1 2� 

�ln � � 

� l ��1 � 2� 

Ri 

� � � � � 

� �� 1�l � �� 2 �l 

C1 � C1 

� 

� R � � a R � a 

ln � � ln � � 

� Ri � � Ri 

� 

� �l �� 1��2� C �C1 C2 

� 

�R� a ln � � 

� Ri 

� 



elektrische 

Stromdichte 

elektrische 

Feldstärke 

Spannung 

elektrischer 

Widerstand 

Kapazität 


2.4.4 Kugelkondensator 

J � J �er E � E �er dA � dA� er dr � dr � er 

�� 

I � J � dA � J � dA � J � 4� 

� � r 

Kugel Kugel 

I 

J � �e 

2 

4��r 

J I 

E � � �e 

2 

� 4� 

� �� r 

R R 

r 

2 

4 4 

Ri Ri 

r 

a a 

I dr I � 1 1 � 

U � � E � dr � � � �� 

�� r �� Ri Ra 

� 

R 

a 

dr 1 � 1 1 � 

R � � � �� 

�� r �� Ri Ra 

� 

2 

4 4 

Ri 

4 �� 

C � 

� 1 1 � 

� � � 

�Ri Ra 

� 

2 


einzelne Windung 

mehrere Windungen 

magnetischer 

Widerstand 

Eigenschaften 


schematische 



2.5 Induktivität, ideale Spule 


L : Induktivität H 

� t : magnetischer Fluss Wb 

� � 

it � � : elektrischer Strom A 

N : Windungszahl 

R m : magnetischer Widerstand H -1 

�t � 

� � 

� 

L � 

it 

� � 

� � 

N�� t 

L � 

it 

N 

L � 

R 

2 

m 

2 

L N 


� Falls der Strom I nicht bekannt ist, einen annehmen. 

� Die magnetische Feldstärke H mit dem ampèreschen Gesetz berechnen: 

� Die magnetische Flussdichte B mit dem Materialgesetz berechnen: B�� H . 

� Den magnetischen Fluss � zwischen den Leitern berechnen: 

� Die Induktivität L der Spule ausrechnen: L 

� 

I � H � B � � � L � 

I 

� 

� 

I 

� � B � dA 

I � H �ds 


�� 

A 

. 

� 

C 

.




L ' : Induktivitätsbelag H m -1 

H H : magnetische Feldstärke A m -1 

, 

i i 

Bi, B i: 

magnetische Flussdichte T 

� i : magnetischer Fluss Wb 


iI: , Strom A 

R mk : magnetischer Widerstand des Spulenkerns H -1 

R ma : magnetischer Widerstand des Luftspalts H -1 

A : Querschnittsfläche m 2 

l : mittlere Feldlinienlänge m 

m 

l : mittlere Feldlinienlänge im Spulenkern m 

k 

l : mittlere Feldlinienlänge im Luftspalt m 

a 

i, i 

a, a 

r R : innerer Radius m 

r R : äusserer Radius m 

R : Radius der Dielektrikagrenze m 

m 

r : Radius der Leiter m 

0 

l : Länge m 

d : Durchmesser m 

h : Höhe des Kerns m 

a : Abstand der Leiter m 


� : magnetische Feldkonstante H m -1 

� 0 : magnetische Feldkonstante des Vakuums 4 ∙ π ∙ 10 -7 H m -1 

� : magnetische Feldkonstante des Materials 

r 


dx : kartesisches Wegelement m 

dr : zylindrisches Wegelemen m 


y 

e � : zylindrischer Einheitsvektor 

Induktivität, Spule 

Abmessungen 


Integral 



magnetische 

Feldstärke 

magnetische 

Flussdichte 

magnetischer Fluss 

Induktivität 

Spulenkern 

Luftspalt 

Induktivität 


2.5.4 Spule mit Eisenkern ohne Luftspalt 

N�i H � 

l 

m 

� �N�i B � 

l 

m 

� � N �i � A 

�� 

l 

L N 

2 

� � 

m 

� � A 

l 

m 

2.5.5 Spule mit Eisenkern und Luftspalt 

R 

R 

mk 

ma 

lk 

� 

� �� A 

0 

0 

r 

la 

� 

� � A 

2 

N 

2 �0��r�A L��N � 

R � R l � � �l 

L N 

mk ma k r a 

� � A 

2 0 � � �r� 0 

la 

l 

k 


l m 

l a

magnetische 

Feldstärke 

magnetische 

Flussdichte 


Induktivität 


2.5.6 lange Zylinderspule 

N�i H � 

l 

� �N�i B � 

l 

� � N �i � A 

�� 

l 

N��2��A L��N � 

i l 

2 

2 �� d� � � �� 

L N 

l 

� 2 � 


magnetische 

Feldstärke 

magnetische 

Flussdichte 


Induktivität 


2.5.7 Ringspule 

N�I H � 

2��r 

� �N�I B � 

2��r 

� �N�i 2 

� � � � h � ra � ri 

2��r 

�r 

a i 

� � 

� � N �i � h �r� a 

� � �ln� � Feld im Kern inhomogen 

2� 

� � ri 

� 

L N 

� � h 

� 

r � r 

r r 

Feld im Kern als homogen angenommen 

2 a i 

� � � Feld im Kern als homogen angenommen 

� 

L N 

a i 

� � h �r� � � � 

2 

a 

� � �ln� � 

2 � ri 

Feld im Kern inhomogen 


Hinweis 

magnetische 

Feldstärke 

magnetische 

Flussdichte 


Induktivität 

Induktivitätsbelag 


2.5.8 Koaxialkabel 

Bei hochfrequenten Wechselströmen fliesst der Strom in einem Leiter nur in seinem Aussenbereich 

(Skineffekt). Dadurch werden die Teilinduktivitäten des Innenleiters sowie des Aussenleiters 

vernachlässigbar klein. 

H � H �e dA � dA� e 

2 2 

I 

H2� �e 

2��r 

� � I 

B2� �e 

2��r 

� � 

� 

� 

Rm Rm 

� �I�l dr 

� � B � dA � B �l � dr � � 

r 

�� dA �l� dr 

2 2 

2� 

� 

A Ri Ri 

� �I�l �R� � � � 

m 

�2 � �ln � � 

2 � Ri 

� �l 

�R� m 

L � �ln� � 

2� 

� � Ri 

� 

� �R� m 

L' 

� �ln� � 

2� 

� � Ri 

� 

hohe Frequenz 

hohe Frequenz 


gesamte magnetische 

Flussdichte 


Induktivität 

Induktivitätsbelag 


2.5.9 Paralleldrahtleitung, Zweidrahtleitung mit gegensinniger Bestromung 

B � B �ey dA � dA� ey 

��I ��I 

B � � 

� a��a� 2�� x��2�� x�� 

� 2��2� a a 

�r0 �r 

� � 

0 

2 2 

� �I�l � 1 1 � 

� � B � dA � B �l � dx � � � dx 

a 2 � a a 

�� 

� A 

a 

� �r0 � �r 

� x� x� 

� 

0 

2 2 � 2 2 � 

�� dA �l� dx 

� �I�l �a�r � 

0 

� � �ln� � 

� r0 

L 

l � � 

� � 

�a�r � 

0 

� �ln� � 

� r0 

� � 

� �a�r � 0 

L' 

� �ln� � 

� � r0 

� 



2.5.10 gespeicherte Energie 

W : magnetische Energie J 


I : Strom A 

� : magnetischer Fluss Wb 

L�I W � 

2 

2 

I 

W 

2 

�� 

� 

2 

� 

W � 

2� 

L 

2.5.11 magnetische Energiedichte 

� mag : magnetische Energiedichte J m -3 

H : magnetische Feldstärke A m -1 

B : magnetische Flussdichte T 


� 

� 

� 

mag 

mag 

mag 

� � H 

� 

2 

B�H � 

2 

2 

B 

� 

2 � 

� 

2 


Berechnung 

Dimensionierung 

für L = 10 H 


2.5.12 Aufbau von grossen Induktivitäten 


R : Widerstände Ω 

i 


4 

2 

R1 � R3 

L� � C 

R 

2 

R R R 

C 

R 

3 

0 � 1 � 3 �10 �10 � 

4 

� � 

4 

�9 

10 10 F 

3 

2 �1�10 � 

R 1 

R 0 

R 0 

- 

+ 

C 4 

R 3 

R 2 

R 1 

- + 

- + 

in out 

L 

in out 


R 1

Zeitkonstante 

Einschaltvorgang, 

Ladevorgang 


2.6 Gleichstromkreis 

2.6.1 Widerstand und Kapazität in Reihenschaltung 

C 

� � 

u t : Spannung über der Kapazität V 

uR�t � : Spannung über dem Widerstand V 

U : Eingangsspannung V 

qt � � : Ladung zum Zeitpunkt t C 

Ladungen 

Spannungen 

Q max : maximale Ladung C 

t : 

� : 

Zeitpunkt nach dem Einschalten oder Ausschalten 

Zeitkonstante 

s 

s 

Zeiten 

it � � : Strom A 

R : Widerstand Ω 


Andere 

Spannung uc beim Einschaltvorgang Strom i beim Einschaltvorgang 

� �RC � 

t 

� � � 

� 

uC �t � � U ��1�e� � � 

R 

� � 

u t �U�e t 

� 

� 

t 

U � 

� i�t � � �e 

R 

t � � � 

� 

q�t � � Qmax ��1�e� � � 

Spannungen Strom 


Ausschaltvorgang, 

Entladevorgang 


C 

R 

� � 

u t �U�e � � 

� � max 

t 

� 

� 

u t � �U � e 

U 

i�t � � � � e 

R 

t 

� 

� 

t 

� 

� 

q t �Q�e t 

� 

� 

Spannung Strom 


Zeitkonstante 

Einschaltvorgang, 

Ladevorgang 

Ausschaltvorgang, 

Entladevorgang 


2.6.2 Widerstand und Kapazität in Parallelschaltung 

iC�t � : Strom durch die Kapazität A 

iR�t � : Strom durch den Widerstand A 

I : Eingangsstrom A 

t : Zeitpunkt nach dem Einschalten oder Ausschalten s 

Zeiten 

� : Zeitkonstante s 

ut � � : Spannung V 



� �RC � 

C 

� � 

i t � I �e 

t 

� 

� 

t 

� � � 

� 

iR �t � � I ��1�e� � � 

t 

� � � 

� 

u �t � � R � I ��1�e� � � 

C 

R 

� � 

i t � �I � e 

� � 

i t � I �e 

� � 

t 

� 

� 

t 

� 

� 

u t � R � I � e 

t 

� 

� 

Ströme 

Andere 

Ströme Spannung 



Zeitkonstante 

Einschaltvorgang 

Ausschaltvorgang 


2.6.3 Widerstand und Induktivität in Reihenschaltung 

uL�t � : Spannung über der Induktivität V 

uR�t � : Spannung über dem Widerstand V 


t : 

� : 

Zeitpunkt nach dem Einschalten oder Ausschalten 

Zeitkonstante 

s 

s 

Zeiten 




L 

� � 

R 

L 

� � 

u t �U�e t 

� 

� 

t 

� � � 

� 

uR �t � � U ��1�e� � � 

t 

U � � � 

� 

i�t � � ��1�e� R � � 

L 

R 

� � 

u t � �U � e 

� � 

u t �U�e U 

i�t � � �e 

R 

t 

� 

� 

t 

� 

� 

t 

� 

� 

Spannungen 

Andere 




Zeitkonstante 

Einschaltvorgang 

Ausschaltvorgang 


2.6.4 Widerstand und Induktivität in Parallelschaltung 

iL�t � : Strom durch die Induktivität A 

iR�t � : Strom durch den Widerstand A 

I : Eingangsstrom A 

t : Zeitpunkt nach dem Einschalten oder Ausschalten s 

Zeiten 

� : Zeitkonstante s 

ut � � : Spannung V 



L 

� � 

R 

t � � � 

� 

iL �t � � I ��1�e� � � 

R 

� � 

i t � I �e 

� � 

t 

� 

� 

u t � R � I � e 

L 

R 

� � 

i t �I�e � � 

� � 

t 

� 

� 

i t � �I �e 

t 

� 

� 

t 

� 

� 

u t � �R � I � e 

t 

� 

� 

Ströme 

Andere 




mit Widerständen 

mit Leitwerten 

FH Formelsammlung - Gleichstrom Editiert: 21.02.2011 

3 Gleichstrom 

3.1 ohmsches Gesetz 


R : Widerstand Ω 

I : Strom A 

P : Leistung W 

G : Leitwert S 

U � R �I 

P 

U � 

I 

U � P �R 

I 

U � 

G 

P 

U � 

I 

U � 

P 

G 

U 

R � 

I 

2 

U 

R � 

P 

P 

R � 2 

I 

I 

G � 

U 

P 

G � 2 

U 

2 

I 

G � 

P 

U 

I � 

R 

P 

I � 

U 


I � 

P 

R 

I �U�G P 

I � 

U 

3.2 elektrischer Widerstand von Leitungen 

R : Leiterwiderstand Ω 

� : spezifischer elektrischer Widerstand Ω mm 2 m -1 

l : Leiterlänge m 

A : Leiterquerschnitt mm 2 

� �l 

R � 

A 

R�A l � 

� 

R�A � � 

l 

� �l 

A � 

R 

I � P �G 

P �U�I P � R �I 

2 

U 

P � 

R 

P �U�I 2 

I 

P � 

G 

2 

2 

P �U�G

von -30°C bis 

+200°C 

andere 

Temperaturen 


3.3 Temperaturabhängigkeit von Widerständen 

� R : Widerstandsänderung Ω 

R : Widerstand bei 20°C Ω 

20 

R : Warmwiderstand Ω 

w 

R : Kaltwiderstand Ω 

k 

� : Temperaturkoeffizient K -1 

� � : Temperaturänderung K 

�R�� R 

w 

k 

20 

R � R � �R � R � �� R 

20 20 20 

R � R � �R � R �� R 

Rw�R �� R 

20 20 20 

20 

20 

20 

R20 � R 

�� R 

k 

Widerstände 

Andere 

Die obigen Gleichungen gelten im Bereich von -30°C bis +200°C. Ansonsten wird ein Polynom 2. 

Grades verwendet: 

w 

20 1 

2 

� � 

R � R � �� 


eliebig viele 

Widerstände 

alle Widerstände 

gleich gross 


3.4 Serie- und Parallelschaltungen 

3.4.1 Reihenschaltung von Widerständen 

U ges : 

U i : 

Gesamtspannung 

Einzelspannungen 

V 

V 

Spannungen 

I ges : 

I i : 

Gesamtstrom 

Einzelströme 

A 

A 

Ströme 

P ges : 

P i : 

Gesamtleistung 

Einzelleistungen 

W 

W 

Leistungen 

R ges : Gesamtwiderstand Ω 

Widerstände 

R i : Einzelwiderstände Ω 

N : Anzahl Widerstände Andere 

U � U �U �U � ... �U 

ges 1 2 3 

N 

I � I � I � I � ... � I 

ges 1 2 3 

N 

P � P � P � P � ... � P 

ges 1 2 3 

N 

U1 R1 P1 

� � 

U R P 

2 2 2 

N 

� 

R � R � R � R � R � ... � R 

ges i 1 2 3 

N 

i�1 

Rges �N� R 


eliebig viele 

Widerstände 

zwei Widerstände 

alle Widerstände 

gleich gross 


3.4.2 Parallelschaltung von Widerständen 

U ges : 

U i : 

Gesamtspannung 

Einzelspannungen 

V 

V 

Spannungen 

I ges : 

I i : 

Gesamtstrom 

Einzelströme 

A 

A 

Ströme 

P ges : 

P i : 

Gesamtleistung 

Einzelleistungen 

W 

W 

Leistungen 

R ges : Gesamtwiderstand Ω 

Widerstände 

R i : Einzelwiderstände Ω 

N : Anzahl Widerstände Andere 

U � U � U � U � ... � U 

ges 1 2 3 

N 

I � I � I � I � ... � I 

ges 1 2 3 

N 

P � P � P � P � ... � P 

ges 1 2 3 

N 

I1 R2 P1 

� � 

I R P 

2 1 2 

1 1 

Rges � R1 R2 R3 ... RN 

� � N 1 1 1 1 1 

� � � � ... � 

R R R R R 

R 

R 

ges 

ges 

1 R1�R2 � � 

1 1 

� 

R � R 

R R 

R 

� 

N 

1 2 

1 2 

i�1i123N FH Formelsammlung 4 Elektrotechnik.doc 57

eliebig viele 

Kapazitäten 

zwei Kapazitäten 

alle Kapazitäten 

gleich gross 


3.4.3 Reihenschaltung von Kapazitäten 

U ges : Gesamtspannung V 

U i : Einzelspannungen V 

C : Gesamtkapazität F 

ges 

Spannungen 

Kapazitäten 

C i : Einzelkapazitäten F 

Q : 

N : 

Ladung 

Anzahl Kapazitäten 

As 

Andere 

U �U �U �U � ... �U 

ges 1 2 3 

N 

Q � C �U � C �U � C �U � C �U � ... � C �U 

ges ges 1 1 2 2 3 3 

N N 

1 1 

Cges � C1 C2 C3 ... CN 

� � N 1 1 1 1 1 

� � � � ... � 

C C C C C 

C 

C 

ges 

ges 

1 C1�C2 � � 

1 1 

� 

C � C 

C C 

C 

� 

N 

1 2 

1 2 


eliebig viele 

Kapazitäten 

alle Kapazitäten 

gleich Gross 

beliebig viele 

Induktivitäten 

alle Induktivitäten 

gleich gross 


3.4.4 Parallelschaltung von Kapazitäten 

U ges : Gesamtspannung V 

Q : Ladung As 

N : Anzahl Kapazitäten 

C : Gesamtkapazität F 

ges 

C i : Einzelkapazitäten F 

U 

ges 

Q Q Q Q Q 

� � � � � ... � 

C C C C C 

N 

� 

Andere 

ges 1 2 3 

N 

C � C � C � C � C � ... � C 

ges i 1 2 3 

N 

i�1 

Cges �N� C 

Kapazitäten 

3.4.5 Reihenschaltung von Induktivitäten 

L ges : Gesamtinduktivität H 

L i : Einzelinduktivitäten H 

N : Anzahl Induktivitäten 

N 

� 

L � L � L � L � L � ... � L 

ges i 1 2 3 

N 

i�1 

Lges �N� L 


eliebig viele 


zwei Induktivitäten 

alle Induktivitäten 

gleich gross 

Dreieck-Stern 

Transformation 

Stern-Dreieck 

Transformation 


3.4.6 Parallelschaltung von Induktivitäten 

L ges : Gesamtinduktivität H 

L i : Einzelinduktivitäten H 

N : Anzahl Induktivitäten 

1 1 

Lges � L1 L2 L3 ... LN 

� � N 1 1 1 1 1 

� � � � ... � 

L L L L L 

L 

L 

ges 

ges 

1 L1�L2 � � 

1 1 

� 

L � L 

L L 

L 

� 

N 

1 2 

1 2 

3.5 Stern-Dreieck Transformation 

R 

a 

Rac � Rab 

� 

R �R�R ac ab bc 

Rab � Rbc 

Rb 

� 

R �R�R ac ab bc 

Rac � Rbc 

Rc 

� 

R �R�R R 

R 

R 

ac 

ab 

bc 

ac ab bc 

R � R � R � R � R � R 

� 

R 

a b b c c a 

R � R � R � R � R � R 

� 

R 

b 

a b b c c a 

R � R � R � R � R � R 

� 

R 

c 

a b b c c a 

a 


allgemeiner Fall 

Fall der maximalen 

Leistung 

Wirkungsgrad 


3.6 Leistungsanpassung, Lastanpassung 

3.6.1 Spannungsquelle 

P L : Leistung in der Last W 

Leistungen 

P : Leistung in der Quelle W 

i 

R i : Innenwiderstand Ω 

Widerstände 

R : Lastwiderstand Ω 

L 

U 0 : Quellenspannung V 

Andere 

� : Wirkungsgrad 

P �U � 

L 

P �U � 

i 

R � R 

L i 

R 

2 L 

0 2 

�R � R � 

i L 

R 

2 

i 

0 2 

�R � R � 

2 

U0 

PL �Pi � 

4� 

R 

PL 

� � 

P 

i 

i L 

i 



Fall der maximalen 

Leistung 

Wirkungsgrad 


3.6.2 Stromquelle 

P L : Leistung in der Last W 

Leistungen 

P : Leistung in der Quelle W 

i 

G : Innenleitwert S 

i 

G : Lastleitwert S 

Leitwerte 

L 

I c : Quellenstrom A 

Andere 

� : Wirkungsgrad 

P �I � 

2 

L c 

P �I � 

2 

i c 

G � G 

L i 

G 

L 

�G � G � 

i L 

G 

�G � G � 

i 

i L 

2 

Ic 

PL �Pi � 

4 �G 

PL 

� � 

P 

i 

i 

2 

2 


Zusammenhänge 

mit komplexen 

Widerständen 

mit komplexen 

Leitwerten 

FH Formelsammlung - Wechselstrom Editiert: 21.02.2011 

4 Wechselstrom 

4.1 ohmsches Gesetz 

U : komplexe Spannung V 

Z : komplexer Widerstand, Impedanz Ω 

I : komplexer Strom A 

S : komplexe Scheinleistung V A 

Y komplexer Leitwert, Admittanz S 

X � : konjugiert komplexer Wert 

2 

2 

� 

U �U�U � 

I � I �I 

U �Z�I S 

U � � 

I 

� 

U � S �Z 

I 

U � 

Y 

S 

U � � 

I 

U 

� 

S 

Y 

� 

U 

Z � 

I 

� 

U �U 

Z � � 

S 

S 

Z � � 

I � I 

I 

Y � 

U 

� 

S 

Y � � 

U �U 

� 

I � I 

Y � 

S 

U 

I � 

Z 

S 

I � 

U 


I 

� 

� 

� 

� 

S 

Z 

I �U�Y S 

I � 

U 

� 

� 

� 

I � S �Y 

S �U�I � 

� 

S � Z � I � I 

� 

U �U 

S � � 

Z 

S �U�I � 

� 

I � I 

S � 

Y 

S � U �U �Y 

� �

Polarform 

kartesische Form 

Polarform 

kartesische Form 


4.2 Rechenregeln für komplexe Zahlen und Werte 

4.2.1 Formen 

j�� 

A A e A 

� � � � � 

A � x � j � y 

4.2.2 Umwandlung 

gegeben: 

j�� 

A� e � A� 

Umrechnung: 

� 

� � 

�� 

�� 

x � Re( A) � A� 

cos 

y � Im A � A� 

sin 

gegeben: 

x � j � y 

Umrechnung: 

A � A � x � y 

2 2 

� � y � 

� arctan � � für x > 0, y beliebig 

� � x � 

� � y � 

�arctan � ��für 

x < 0, y � 0 

� � x � 

� y 

� 

� � 

� �arg arctan für x < 0, y < 0 

� A 

� 

� �� 

� x � 

� 

� � 

für x = 0, y > 0 

� 2 

� 

� 

� 

� für x = 0, y < 0 

� 2 

� 

� undef für x = 0, y = 0 


► Beispiel 


4.2.3 komplexe Spannungen addieren 

gegeben: 

1 

2 

3 

� � � 70.7 �sin�� 30�� 

� � � 28.3� sin�� 120�� 14.14� cos�� 30�� 

u t t 

u t t 

u t t 

in gleiche Winkelfunktionen umwandeln: 

1 

2 

3 

� � � 70.7 �cos ��30��90��70.7�cos��60�� 28.3� cos��120��90��28.3�cos��30�� 14.14 �cos �� 30�� 

u t t t 

u t t t 

u t t 

in kartesische Form umwandeln: 

1 

2 

3 

1 1 

2 2 

3 3 

�cos��sin��70.7 �cos� 60� sin � 60�� 

U � A� � j � � � � � j � � 

� x � j � y � 35.35 � j � 61.23 

�cos��sin��28.3 �cos�30� sin�30�� U � A� � j � � � � j � 

� x � j � y � 24.51� j �14.15 

�cos��sin��14.14 �cos�30� sin �30�� U � A� � j � � � � j � 

� x � j � y �12.25 � j � 7.07 

reelle Anteile und komplexe Anteile summieren: 

x � x � x � x � 35.35 � 24.51� 14.25 � 72.11 

tot 

1 2 3 

y � y � y � y � �61.23 �14.15 � 7.07 � �40.01 

tot 

1 2 3 

U � x � y � 72.11� j � 40.01 

tot tot tot 

wenn nötig noch in Ausgangsform zurückbringen: 

2 2 2 

tot tot 

� � 

A � x � y � 72.11 � �40.01 � 82.46 

� y � tot 

� � arctan � ��29.02� 

� xtot 

� 

u t t 

tot 

� � � 82.46� cos�� 29.02�� 

2 


Widerstand 

Kapazität 

Induktivität 


4.3 Beziehung zwischen den verschiedenen Grössen 

4.3.1 Strom und Spannung 





ut : Spannung V 

� � 


q : Ladung C 

t : Zeit s 

u t R i t 

1 

G 

i t 

i t 

1 

R 

u t G u t 

� � � � � � � � � � 

� � � � � � � � � � 

1 q 

u�t � � � i�t �dt 

C � � 

C 

d 

i�t � �C� u�t � 

dt 

d 

u�t � �L� i�t � 

dt 

1 

i�t � � ��u�t�dt 

L 


Impedanz 

Admittanz 



4.3.2 Impedanz und Admittanz 

Z : Impedanz Ω 


X : Reaktanz Ω 

Y : Admittanz S 


B : Suszeptanz S 

u�t � : Spannung V 

ÛÛ: , Spitzenspannung V 

� u : Phasenverschiebung ° 

i�t � : Strom A 

Î, Î : Spitzenstrom A 

� i : Phasenverschiebung ° 

� � 

� � 

�� 

�� 

Impedanz 

Admittanz 

Spannung 

Strom 

u t 

j 

Û �e t u j 

Û �euÛÛ 

i t 

j��t��i� j��i 

Î Î 

Z � � � � � � e 

Î �e 

Î �e 

Z � R � j � X 

� � 

� � 

�� 

�� 

i t 

j 

Î �e t i j 

Î �eiÎÎ 

u t 

j��t��u� j��u 

Û Û 

Y � � � � � � e 

Û �e 

Û �e 

Y � G � j � B 

1 

Y � 

Z 

1 

Y � 

Z 

�Y � ��Z 

�� 

� 

j 


u i 

�� 

� 

j 

i u

Impedanz Z 

Admittanz Y 


4.3.3 Netzwerkparameter 

Parameterbezeichnung 

Formelzeichen 

Impedanz, 

Scheinwiderstand 

Z �Û / Î � R � j � X 

Widerstand, 

Wirkwiderstand, 

Resistanz 

Reaktanz, 

Blindwiderstand 

Z in Ω R in Ω X in Ω 

Widerstand R R 0 

Induktivität 

Kapazität 

Parameterbezeichnung 

Formelzeichen 

j��L � j�X L 

1 

j��C � 1 � 

� j �� C 

� 

� j�X C 

Admittanz, 

Scheinleitwert 

0 � � L 

0 

1 

� 

� �C 

Y � Î / Û � G � j � B 

Leitwert, 

Wirkleitwert, 

Konduktanz 

Suszeptanz, 

Blindleitwert 

Y in S G in S B in S 

Leitwert G G 0 

Induktivität 

Kapazität 

1 

j��L � 1 � 

� j �� L � 

� j�B L 

j��C � j�B C 

0 

1 

� 

� � L 

0 � � C 

Zeigerdiagramm 

Zeigerdiagramm 


Funktionen 


Herleitung 

Resultat 

Herleitung 

Resultat 


4.3.4 Sinus und Cosinus 

Sinus Cosinus 

Winkel in Grad Winkel in Radiant 

�t��t�� t��t�� 

sin cos 90 

cos sin 90 

�t�� t� 2 � 

�t�� t� � 

sin cos 

cos sin 

4.3.5 Ableitung und Integral bei sinus- oder cosinusförmiger Grösse 

4.3.5.1 Ableitung 

ut � � : Spannungsfunktion (sinus- oder cosinusförmig) V 

Û : reeller Scheitelwert V 

U : komplexer Scheitelwert V 

� : Kreisfrequenz rad s -1 

t : Zeit s 

� � � �cos �� u t Û t 

j� �t 

� � �Re� � � 

u t U e � 

d 

u t j U e 

dt 

j��t � � � Re� 

�� 

d 

� j � � sinus- oder cosinusförmige Grösse 

dt 

4.3.5.2 Integral 


Û : reeller Scheitelwert V 

U : komplexer Scheitelwert V 


t : Zeit s 

� � � �cos �� u t Û t 

j� �t 

� � �Re� � � 

u t U e � 

� 

� 1 

j��t� u�t �dt 

� Re� 

�U �e 

� 

� j �� 

� 

1 

� dt � sinus- oder cosinusförmige Grösse 

j �� 

2 


Impedanz einer 

Kapazität 

Impedanz einer 

Induktivität 


4.3.5.3 Anwendung 


it � � : Stromfunktion (sinus- oder cosinusförmig) A 




Z : Impedanz Ω 

Spannungsfunktion Stromfunktion 

1 1 

u�t � � � i�t �dt i�t � 

C � � � 

j ��C d 

� � 

� � 

u t 1 

Z � � 

i t j ��C � � � � � � � �� 

i t C u t 

dt 

j C u t 

u t 

Z � 

i t 

1 

� 

j ��C � � 

� � 

Spannungsfunktion Stromfunktion 

d 

u�t � � L � i�t � � j �� L �i 

�t � 

1 1 

i t � � u t dt u t 

L � � � 

j ��L dt 

u t 

Z � � j �� L 

it 

� � 

� � 

� � � � � � 

� � 

� � 

u t 

Z � � j �� L 

it 



Schaltung 

Ersatzschaltung 

Berechnung 

Schaltung 

Ersatzschaltung 

Berechnung 


Winkel in Grad Winkel in Radiant 

�t��t�� t��t�� 

sin cos 90 

cos sin 90 

�t�� t� 2 � 

�t�� t� � 

sin cos 

cos sin 

4.4 Zusammenschaltung von Wirk- und Blindwiderständen 

4.4.1 allgemein 

4.4.2 Reihenschaltung 

Û �Û �Û �Û 

1 2 3 

Z � Z � Z � Z 

Û �Z�Î 1 1 

1 2 3 

� � 

Û � Z � Z � Z � Î 

Û �Z�Î Û �Z�Î 2 2 

Û �Z�Î 3 3 

1 2 3 

4.4.2.1 Parallelschaltung 

Î � Î � Î � Î 

1 2 3 

Y � Y � Y � Y 

Î �Y�Û 1 2 3 

� � 

Î � Y � Y � Y �Û 

Î �Y�Û 1 1 

Î �Y�Û 2 2 

Î �Y�Û 3 3 

1 2 3 

2 


Berechnung 

Zeiger in der 

komplexen Ebene 


4.4.3 Reihenschaltungen 

4.4.3.1 Reihenschaltung R-C 

U : Gesamtspannung V 

U : Spannung über dem Widerstand V 

R 

Spannungen 

U C : Spannung über der Kapazität V 


X C : kapazitive Reaktanz Ω Widerstände 


I : 

� : 

Strom 

Phasenverschiebung 

A 

° 

Andere 

U � I � R � X 

Z � R � X 

cos 

tan 

�� 

�� 

2 2 

C 

2 2 

C 

R U R � � 

�Z �U 

�X �U 

� � 

R U 

C C 

R 


Berechnung 

Zeiger in der 



4.4.3.2 Reihenschaltung R-L 


U : Spannung über dem Widerstand V 

R 

Spannungen 

U L : Spannung über der Induktivität V 


X L : induktive Reaktanz Ω Widerstände 


I : 

� : 

Strom 

Phasenverschiebung 

A 

° 

Andere 

U � I � R � X 

Z � R � X 

cos 

tan 

�� 

�� 

2 2 

L 

2 2 

L 

R U R � � 

Z U 

X U 

� � 

R U 

L L 

R 


Berechnung 

Zeiger in der 


(jXC > jXL) 

verschiedene Fälle 


4.4.3.3 Reihenschaltung R-L-C 


I : Strom A 

� : Phasenverschiebung ° 


X : induktive Reaktanz Ω 

L 

X C : kapazitive Reaktanz Ω 


�� 

�� 

� � 

2 

U � I � R � X L � X C 

� � 

2 

Z � R � X L � X C 

I � 

cos 

tan 

U 

� � 

2 

R � X L � X C 

R 

� 

Z 

X � X 

� 

R 

L C 

2 

2 

2 

Andere 

Widerstände 

XL � XC 

: induktiver Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und L 

X X 

� : kapazitiver Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und C 

C L 

X � X : Resonanzfall, � � 0 �, X � X � X , Z � R 

L C 

L C 


Berechnung 

Zeiger in der 



4.4.4 Parallelschaltungen 

4.4.4.1 Parallelschaltung R|C 

I : Gesamtstrom A 

I : Strom durch den Widerstand A 

R 

Ströme 

I C : Strom durch die Kapazität A 


X C : kapazitive Reaktanz Ω Widerstände 



B C : kapazitive Suszeptanz S Leitwerte 


� : Phasenverschiebung ° Andere 

I � I �I 

cos 

sin 

�� 

�� 

1 

Y � 

Z 

2 2 

R C 

Y � G �B 

Z � 

2 2 

C 

I Z 

I R 

I Z 

I X 

R � � 

C � � 

1 

1 1 

� 

R X 

2 2 

C 

C 


Berechnung 

Zeiger in der 



4.4.4.2 Parallelschaltung R|L 



R 

Ströme 

I L : Strom durch die Induktivität A 


X L : induktive Reaktanz Ω Widerstände 



B L : induktive Suszeptanz S Leitwerte 



I � I �I 

cos 

sin 

�� 

�� 

1 

Y � 

Z 

2 2 

R L 

Y � G �B 

Z � 

2 2 

L 

I Z 

I R 

I Z 

I X 

R � � 

L � � 

1 

1 1 

� 

R X 

2 2 

L 

L 


Berechnung 

Zeiger in der 


(jXC > jXL) 

verschiedene Fälle 


4.4.4.3 Parallelschaltung R|L|C 



R 

I : Strom durch die Induktivität A 

L 

Ströme 

I C : Strom durch die Kapazität A 


X L : 

X C : 

induktive Reaktanz 

kapazitive Reaktanz 

Ω 

Ω 

Widerstände 



B L : 

B C : 

induktive Suszeptanz 

kapazitive Suszeptanz 

S 

S 

Leitwerte 



�� 

�� 

� � 

I � I � I � I 

2 

R L C 

2 

� � 

2 

Y � G � BL � BC 

Z � 

U � 

cos 

sin 

1 

1 � 

�� 

1 

I 

� 

1 � 

� 

� 

2 

R X L X C 

1 � 

�� 

1 

� 

1 � 

� 

� 

I R G 

� � 

I Y 

I 

� 

�I I 

B 

� 

�B 

Y 

2 

R X L X C 

L C L C 

2 

2 

2 

XL � XC 

: kapazitiver Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und C 

X � X : induktiver Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und L 

C L 

X � X : Resonanzfall, � � 0 �, X � X � X , Z � R 

L C 

L C 


Umwandlung 

Parallelkapazität, 

Xp negativ 

Parallelinduktivität, 

Xp positiv 

► Beispiel 


4.5 Ersatzschaltbilder für feste Frequenz 

4.5.1 Reihen- zu Parallelschaltung 


R s : Widerstand Ω 

X s : Reaktanz Ω 


G p : Leitwert S 

B p : Suszeptanz S 

R p : Widerstand Ω 

X p : Reaktanz Ω 

C : Parallelkapazität F 

L : Parallelinduktivität H 

f : Frequenz Hz 

Z � R � j � X 

s s 

1 1 

Y � � � G � j � B 

Z R � j �X 

R 

X 

p 

p 

s s 

1 1 

� � 

G RE[ Y] 

p 

1 1 

� � � � 

B IM[ Y] 

s p s p 

p 

R � R � X � X � Z 

1 

C �� 

�� f � X 

X p 

L � 

2�� 

f 

2 p 

2 

p p 

Z � R � j � X � 20 � j �30� s s 

Reihenschaltung 

Parallelschaltung 

Andere 

1 1 1 1 3 

Y � � � � � j � S � G � j � B 

Z R � j � X 20 � j �30� 65 130 

R 

X 

p 

p 

s s 

1 

� 

Gp 1 1 

� � � 65� 

RE[ Y] 

1 

S 

65 

1 

� � 

Bp 1 1 

� � � � � �43.3� IM[ Y] 

3 

S 

130 

p p 


Umwandlung 

Reihenkapazität, 

Xs negativ 

Reiheninduktivität, 

Xs positiv 

► Beispiel 


4.5.2 Parallel- zu Reihenschaltung 


G p : Leitwert S 

B p : Suszeptanz S 

R p : Widerstand Ω 

X p : Reaktanz Ω 


R s : Widerstand Ω 

X s : Reaktanz Ω 

C : Reihenkapazität F 

L : Reiheninduktivität H 


1 1 

Y � Gp � Bp 

� � 

R X 

2 



Andere 

1 1 1 

Z � � � � R � j � X 

Y G 1 1 

p � Bp 

� 

R X 

R � RE[ Z] 

s 

X � IM[ Z] 

s 

s p s p 

p p 

R � R � X � X � Z 

1 

C �� 

�� f � X 

X s L � 

2�� 

f 

2 s 

p p 

s s 

1 1 1 1 1 1 

Y � Gp � Bp � � � � � � j � 

R X 10� � j � 20� 10 20 

p p 

1 1 1 

Z � � � � 8�j�4� Y G 1 1 

p � Bp 

� j � 

10 20 

R � RE[ Z] 

� 8� 

s 

X � IM[ Z] � � j � 4� 

s 


allgemein 

Widerstand 

Kapazität 

Induktivität 

allgemeiner 

Zweipol 

allgemein 

Widerstand 

Kapazität 

Induktivität 

allgemeiner 

Zweipol 


4.6 Leistung im Wechselstromkreis 

4.6.1 Leistung 

p�t � �u�t�� i�t � 

� � � �cos �� 

� � � �cos �� 

u t Û t 

i t Î t 

� � � 

2 

1� cos 2� 

�t 

Û Î 

pR �t � �Û � Î � cos ��t��Û�Î��1�cos2��t 2 2 2 

� � � � cos�� 

� � 

� � � � �sin�� 

u t Û t 

i t Î t 

� �� 

� � �� 

sin 2 t Û Î 

pC �t � � �Û � Î � cos�� t �� sin�� t � � �Û � Î � � � � �sin 2� 

� �t 

2 2 2 

� � � �cos �� 

� � � �sin�� 

u t Û t 

i t Î t 

� �� 

sin 2 t Û Î 

pL �t � �Û � Î � cos�� t �� sin�� t � �Û � Î � � � �sin 2� 

� �t 

2 2 2 

� � � � cos�� 

� � 

� � � � cos�� 

Z � � � � � cos�� cos�� 

� �� 

� 

� � � � 

cos� 2 �� t �� cos�� 

� 

� 

u t Û t 

i t Î t 

p t Û Î t t 

� � 

pZ t Û Î 

2 

Û � Î 

pZ �t � � ��cos� 2� � �t �� cos�� sin �2 �� t �� sin �� cos�� 

�� 

2 

pZ t 

Û 

2 

Î 

2 

t 

Û 

2 

Î 

2 

t 

� � � � � cos�� 1� cos� 2� � � �� 

� � �sin �� sin �2 �� 

4.6.2 Wirkleistung, mittlere Leistung 

1 T 

� � � � 

p t � P � �� p t dt 

T 

0 

0 

T 

1 Û Î Û Î 

P � � �1 cos� 2 t�� dt 

T � � � � �� 

2 2 2 2 

T 

1 Û Î 

P � � sin� 2 � t� dt 0 

T � � � � � � � 

2 2 

0 

T 

1 Û Î 

P � � sin� 2 � t� dt 0 

T � � � � � � 

2 2 

0 

0 

� � 

T 

1 Û Î Û Î 

P � � cos 1 cos 2 t sin sin 2 t dt U I cos 

T � � � � � � � � � � � � � � � � 

2 2 2 2 

�� 

�� FH Formelsammlung 4 Elektrotechnik.doc 80


P : Wirkleistung W 

U : Effektivwert der Spannung V 

eff 

I eff : Effektivwert des Stromes A 


� � 

P �U � I � cos � 

eff eff 

4.6.3 Mittelwert der Pendelleistung in Reaktanzen 

p m : Mittelwert der Pendelleistung W 

T : Periodendauer s 

pt � � : Augenblickswert der Leistung W 

T /2 

1 

pm � � p�t �dt 

T /2 � 

0 

4.6.4 Blindleistung 

Q : Blindleistung var 

p m : Mittelwert der Pendelleistung W 


eff 



� 

Q� � pm 

2 

Q �U � I �sin 

eff eff 

�� 

4.6.5 Scheinleistung 

S : Scheinleistung V A 




eff 

U eff : komplexer Effektivwert der Spannung V 


Ieff � : komplex konjugierter Effektivwert des Stroms A 

S �U�I eff eff 

S � P � j �Q 

S U I � 

� � 

eff eff 

Leistungen 

Spannungen 

Ströme 


Scheinleistung 

Wirkleistung 

Blindleistung 


4.6.6 Leistungsdreieck 




U eff : Effektivwert der Spannung V 


cos�� : 

� � 

Wirkleistungsfaktor, 

Leistungsfaktor, 

Gesamtleistungsfaktor 

sin � : Blindleistungsfaktor 


S �U�I eff eff 

P 

S � 

cos 

Q 

S � 

sin 

�� 

�� 

S � Q �P 

2 2 

P � U � I � cos 

eff eff 

P�S�cos Q 

P � 

tan 

�� 

�� 

P � S �Q 

2 2 

Q � U � I �sin 

eff eff 

Q�S�sin Q�P�tan �� 

�� 

Q � S �P 

2 2 

�� 

�� 

Leistungen 

Effektivwerte 

Andere 


cos(φ) 

sin(φ) 

tan(φ) 

induktiver 

Verbraucher 

kapazitiver 

Verbraucher 


4.6.7 Leistungsfaktoren 

cos�� : 

� � 








P 

cos�� 

� � 

S 

Q 

sin�� 

� � 

S 

Q 

tan�� 

� � 

P 

4.6.8 Blindleistungskompensation 

Leistungsfaktoren 

Leistungen 

4.6.8.1 Spannungsquelle 

C : Kompensationskapazität F 

Q C : zu kompensierende Blindleistung, negativ var 

L : Kompensationsinduktivität H 

Q : zu kompensierende Blindleistung, positiv var 

L 


eff 


QC 

C �� 

2� 

� � f �U 

2 

Ueff 

L � 

2� 

� � f �Q 

L 

2 

eff 

Kapazität 

Induktivität 

Andere 


induktiver 

Verbraucher 

kapazitiver 

Verbraucher 


4.6.8.2 Stromquelle 

C : Kompensationskapazität F 

Q C : zu kompensierende Blindleistung, negativ var 

L : Kompensationsinduktivität H 

Q : zu kompensierende Blindleistung, positiv var 

L 

I : Effektivwert des Stromes A 

eff 


2 

Ieff 

C �� 

2� 

� � f �Q 

QL 

L � 

2� 

� � f � I 

2 

eff 

C 

4.6.8.3 Leistungsverlust in den Zuleitungen 

Kapazität 

Induktivität 

Andere 

P k : 

P : 

Leistungsverlust in den Zuleitungen mit Kompensation 

Leistungsverlust in den Zuleitungen ohne Kompensation 

W 

W 

Leistungen 

S k : 

S : 

Scheinleistung mit Kompensation 

Scheinleistung ohne Kompensation 

V A 

V A 

Scheinleistungen 

S 

2 

k Pk�P� 2 

S 


Ersatzwiderstand 

Ersatzreaktanz 

Ersatzkapazität, 

QX negativ 

Ersatzinduktivität, 

QX positiv 


4.6.9 Ersatzschaltbilder 

4.6.9.1 Parallelersatzschaltbild 

R P : Ersatzwiderstand Ω 

X : Ersatzreaktanz Ω 

p 

C : Ersatzkapazität F 

L : Ersatzinduktivität H 

P : Wirkleistung des Widerstands W 

Q : Blindleistung der Reaktanz var 

R 

X 


X 

eff 


p 

p 

U 

� 

P 

2 

eff 

U 

� 

Q 

2 

eff 

X 

QX 

C �� 

2� 

� � f �U 

2 

Ueff 

L � 

2� 

� � f �Q 

X 

2 

eff 

Ersatzwerte 

Andere 


Ersatzwiderstand 

Ersatzreaktanz 

Ersatzkapazität, 

QX negativ 

Ersatzinduktivität, 

QX positiv 


4.6.9.2 Reihenersatzschaltbild 

R s : Ersatzwiderstand Ω 

X s : Ersatzreaktanz Ω 

C : Ersatzkapazität F 

L : Ersatzinduktivität H 

P : Wirkleistung des Widerstands W 

Q : Blindleistung der Reaktanz var 

X 

I : Effektivwert des Stromes A 

eff 


P 

Rs 

� 

I 

X 

s 

2 

eff 

Q 

� 

I 

X 

2 

eff 

2 

Ieff 

C �� 

2� 

� � f �Q 

QX 

L � 

2� 

� � f � I 

2 

eff 

X 

Ersatzwerte 

Andere 



maximale 

Wirkleistung bei 

komplexer Last 

maximale 

Wirkleistung bei 

reeller Last 

Reflexionsfreiheit 


4.6.10 Leistungsanpassung, Lastanpassung 

P L : Wirkleistung des Lastwiderstands W 

P : Wirkleistung des Innenwiderstands W 

i 

P : maximale Wirkleistung W 

max 

X : Reaktanz des Lastwiderstands Ω 

L 

X : Reaktanz des Innenwiderstands Ω 

i 

R : reeller Lastwiderstand Ω 

L 

R : reeller Innenwiderstand Ω 

i 

Z : komplexe Lastimpedanz Ω 

L 

Z : komplexe Innenimpedanz Ω 

i 

Leistungen 

Widerstände 

Zi � : komplex konjugierte Innenimpedanz Ω 

U 0 : 

I : 

Quellenspannung 

Strom 

V 

A 

Andere 

P � R � I � 

L L 

P � R � I � 

P 

i i 

max 

U 

� 

� 

R �U 

2 L 

2 

0 

�R � R � � j �� X � X � 

i L i L 

R �U 

2 i 

2 

0 

2 

0 

4 Ri 

Voraussetzung: 

R � Z � R � X 

�R � R � � j �� X � X � 

i L i L 

ZL Zi � 

� 

2 2 

L i i i 

Voraussetzung: 

Z � Z 

L i 

2 

2 


Frequenz 

Periodendauer 

Kreisfrequenz 

Scheitelwert, 

Spitzenwert 

Spitzen-Spitzenwert 

(peak-peak) 


4.7 Wechselgrössen 

4.7.1 Periodendauer und Frequenzen 




1 

f � 

T 

1 

T � 

f 

��2�� f 

� 

f � 

2� 

� 

2� 

� 

T � 

� 

2� 

� 

� � 

T 

4.7.2 Scheitelwert und Spitzenwert 

Û : Scheitelwert, Spitzenwert V 

U : Effektivwert V 

eff 

Û �Ueff� 2 

Uss, U pp : Spitzen-Spitzenwert (peak-peak) V 

Uss �U pp �Û � 2 

4.7.3 Scheitelfaktor, Crestfaktor 

k s : Scheitelfaktor, Crestfaktor 

Û : Spitzenwert V 

U : Effektivwert V 

eff 

Û 

ks � 

Ueff 


Effektivwert 

linearer Mittelwert, 

Gleichwert 

|linearer Mittelwert|, 

Gleichrichtwert 


4.7.4 Formfaktor 

k f : Formfaktor 

U eff : Effektivwert V 

k 

U : Gleichrichtwert V 

f 

U 

� 

U 

eff 

4.7.5 Effektivwert und linearer Mittelwert 

Gleichspannung die an einem ohmschen Verbraucher in der gleichen Zeit die gleiche Energie, also 

dieselbe Leistung umsetzt. 

x eff : Effektivwert, root mean square, RMS 


x : reellwertiges Signal 

1 2 � � 

0 

T 

xeff � �� x t dt 

T 

x c : komplexwertiges Signal 

x � : konjugiert komplexes Signal 

c 

1 

0 

T 

eff � � c � c 

T � 

� � � � � 

x x t x t dt 

Physikalisch ausgedrückt vergleicht er die innerhalb einer Periode bewegte Ladungsmenge mit einer 

adäquaten Gleichgrösse. 

x : Gleichwert (linearer Mittelwert), average, avg 

1 T 

0 

� � 

x � �� x t dt 

T 

Der Gleichrichtwert eines Wechselstromes gibt an, welcher Gleichstrom dieselbe Ladungsmenge 

transportiert wie im zeitlichen Mittel ein gleichgerichteter Wechselstrom. 

x : Gleichrichtwert (Betrag des linearen Mittelwerts) 

1 T 

0 

� � 

x � �� x t dt 

T 


Voraussetzungen 

Berechnung 

► Beispiel 

Vorgehen 

► Beispiel 

Vorgehen 

► Beispiel 


4.7.6 Effektivwerte addieren 

4.7.6.1 allgemein 

� alle Effektivwerte sind periodische Funktionen 

� alle Effektivwerte haben eine ungleiche Frequenz 

X : überlagerte Effektivwerte 

X i : 

n : 

einzelner Effektivwert 

Anzahl Effektivwerte 

n 

X � � X 

i�1 

2 

i 

mit i �t� 10 cos�t 45 � i �t� 5 sin� 2 t 13 � i �t� 10 sin�13 t 65 � � A� 

� � � � � � � � � � � � � � : 

1 2 3 

2 2 2 

�10 A � � 5A � �10 A � 

I � � � � � � � � � �10.61A 

� 2 � � 2��2 � 

4.7.6.2 gleiche Frequenzen 

Werte mit gleichen Frequenzen zuerst in der Polarform zusammenzählen. 

mit i �t� 5 cos�t 30 � i �t� 15 sin�t 40 � i �t� 10 sin�13 t 65 � � A� 

� � � � � � � � � � � � � : 

1 2 3 

� � � � � � � � � 5� cos� � 30�� 15 � cos� � 40� � 90�� 

� � � �5�30�� 15� � 50�� 16.61� � 32.76�� 

i t i t i t t t 

12 1 2 

i t 

12 

2 2 

�16.61A��10A� I � � � � � � �13.71A 

� 2 � � 2 � 

4.7.6.3 Gleichgrössen 

Gleichgrössen als Effektivwerte betrachten. 

mit i �t� 10 cos�t 45 � i �t� 5 sin� 2 t 13 � i �t� 7 � A� 

� � � � � � � � � � : 

1 2 3 

2 2 

�10 A��5A�2 I � � � � � � � �7 A� �10.56 

A 

� 2 � � 2� 


Rechtecksignal ohne 

Offset 

Rechtecksignal mit 

Offset 

Dreiecksignal und 

Sägezahnsignal 

Rechteckimpulssignal 


4.7.7 Werte zu verschiedenen Wechselgrössen 

4.7.7.1 allgemeine Wechselgrössen 

x eff : Effektivwert 

x : Gleichrichtwert (Betrag des linearen Mittelwerts) 

k s : Scheitelfaktor, Crestfaktor 

k : Formfaktor 

f 

t i : Impulsdauer 

xeff� Û x Û 

x � 

eff 

x � 

eff 

Û 

Û 

2 

3 

t 

T 

i xeff� � Û 

� k � 1 k � 1 

s 

Û 

x � ks � 2 k f � 2 

2 

Û 

x � ks � 3 

2 

t 

� � ks 

T 

i x Û 

f 

k f � 

T 

t 

i 

2 

3 

� k f 

� 


T 

t 

i

Einweggleichrichtung 

von Sinussignal 

Zweiweggleichrichtung 

von Sinussignal 

► Beispiel 


Û 

xeff � 

2 

x � 

eff 

Û 

2 

Û 

x � ks � 2 

� 

k f 

2�Û x � ks � 2 

� 

� 

� 

2 

k f 

� 

� 

2�2 Effektivwert von übersteuertem Verstärkersignal ausrechnen (Sinusspannung wird von 2� 

abgeschnitten): 

� � 

� 2�� 7�� 

� 

T 

9 9 

1 2 1 � 2 2 �2�� 

Ueff �Û � � x �t �dt 1V 2 sin �x �dx 

sin dx 0.54V 

T � � � �� 

� � � 

� � 9 � � 

0 0 

2�� 

� 2x angeschnittener Sinus 

9 

� 

Rechteck 

� � 


� 

9 

bis 7� 

� 

9

Spannung 

Strom 


4.7.7.2 Phasenanschnittsignal 

� rad : Phasenanschnittwinkel rad 

� : Phasenanschnittwinkel ° 

deg 

U � : Effektivwert der Spannung bei angeschnittenem Sinus V 

U 0 : Effektivwert der Spannung bei Sinusform V 

I� : Effektivwert des Stromes bei angeschnittenem Sinus A 

I 0 : Effektivwert des Stromes bei Sinusform A 

P� : Wirkleistung bei angeschnittenem Sinus W 

P 0 : Wirkleistung bei Sinusform W 

S� : Scheinleistung bei angeschnittenem Sinus V A 

S 0 : Scheinleistung bei Sinusform (S0 = P0) V A 

Q� : Blindleistung bei angeschnittenem Sinus var 

�rad 

1 

U��U0�1� � �sin 2� 

� 2� 

� 

� 1 

U��U � � � � � 

180� 2 �� 

� � � 

rad 

� � � 

deg 

0 1 sin 2 deg 

�rad 

1 

I��I0�1� � �sin 2� 

� 2� 

� 

� 1 

I��I � � � � � 

180� 2�� 

� � � 

rad 

� � � 

deg 

0 1 sin 2 deg 

Phasenanschnittwinkel 

Spannungen 

Ströme 

Leistungen 


Wirkleistung 


Blindleistung 


� �rad 

1 

� 

P��P0��1��sin� 2� 

�rad 

� 

� 2 � 

� 

� � 

� 

� �deg 

1 

� 

P��P0��1��sin� 2� 

�deg 

�� 

� 180� 2 �� 

� 

�rad 

1 

S��S0�1� � �sin 2� 

� 2� 

� 

� 1 

S��S � � � � � 

180� 2�� 

� � � 

rad 

� � � 

deg 

0 1 sin 2 deg 

Q � S �P 

2 2 

� � � 

�rad 

1 

Q� � S� 

� � �sin 2� 

� 2� 

� 

�deg 

1 

Q� � S� 

� � �sin 2� 

180� 2 �� 

� � � 

rad 

� �deg 

� 


alle Grössen 

Tastgrad 

Flankensteilheit 

Tastgrad 

Tastverhältnis 

Impulsdach 

Anstiegszeit tr 

Abfallzeit tf 

Impulsdauer ti 

Impulspausendauer 

tp 


4.8 Impulsgrössen 

Impuls- und Impulspausendauer Tastgrad 

S : Flankensteilheit V s -1 

� y : Spannungsänderung V 

� : Tastgrad, duty cycle, duty factor 

V : Tastverhältnis 

� t : Zeitänderung s 

t : Impulsdauer s 

i 

t : Impulspausendauer s 

p 


�y 

S � 

� t 

ti ti 

� � � 

t � t T 

i p 

1 T 

V � � 

� t 

i 

Andere 

Zeiten 

Der Bereich zwischen 90...100% der Maximalamplitude. 

Die Zeitdifferenz der Vorderflanke zwischen 10% bis 90% der Maximalamplitude. (eng. rise time) 

Die Zeitdifferenz der Rückflanke zwischen 90% bis 10% der Maximalamplitude. (eng. fall time) 

Die Zeit zwischen Vorder- und Rückflanke bei 50% der Maximalamplitude. 

Pulsperiodendauer abzüglich der Impulsdauer bei 50% der Maximalamplitude. 





4.9 Ortskurven 

4.9.1 Übersicht bei variablem Bauelement 

Schaltung 

Schaltung 

Ortskurve der 

Impedanz 

Ortskurve der 

Impedanz 

Ortskurve der 

Admittanz 

Ortskurve der 

Admittanz 



4.9.2 Übersicht bei variabler Frequenz 



R und CVAR 


R und CVAR 


R und C 


4.9.3 Widerstand und Kapazität 

4.9.3.1 variable Kapazität 

4.9.3.2 variable Frequenz 

Ortskurve der Impedanz: 

� 1 � 

Zr � Rr � j � X r � Rr � j � p �� C 

Ortskurve der Admittanz: 

Y 

r 

� r0 

� 

1 1 1 

� � � 

Zr Rr � j �Xr � 1 � 

Rr � j � p �� C 

wobei gilt: 

C � p �C 

r r0 

0 � p � � 

� r0 

� 


1 

Z p � 

Y 

� 

G 

1 

� j �B � 

G 

1 

� j � p � � �C 

� 0 � 

p p p p p 


�� 0 � 

Y � G � j � B � G � j � p � � C 

p p p p p 

wobei gilt: 

B � p �B 

p p0 

0 � p � � 


1 

Zr � Rr � j � X r � Rr � j � 

� �C 

1 

Zr � Rr � j � 

p��C Ortskurve der Admittanz: 

Y 

Y 

r 

r 


0 

1 1 1 

� � � 

Z 1 

r Rr � j �Xr 

Rr� j� 

� �C 

1 

� 

1 

Rr� j� p��C wobei gilt: 

� p � 

� � 

0 

0 � p � � 

0 

r 

r 

r 

r


R und C 


RVAR und L 


R und LVAR 


4.9.4 Widerstand und Induktivität 

4.9.4.1 variabler Widerstand 

4.9.4.2 variable Induktivität 


Z 

Z 

p 

p 

1 1 1 

� � � 

Y G � j � B G � j �� C 

p p p p p 

1 

� 

G � j � p �� C 

p 0 p 


Y � G � j � B � G � j �� C 

p p p p p 

Y � G � j � p �� C 

p p 0 p 

wobei gilt: 

� p � 

� � 


0 

0 � p � � 


Z � j �� L � p� R 

wobei gilt: 

R � p �R 

r r0 

0 � p � � 

r r0 


Z � R � j � X � R � j � p � � � L 

� � 

r r r r r0 


1 

Y r � 

Z 

� 

R 

1 

� j � X 

� 

R 

1 

� j � p � � � L 

wobei gilt: 

L � p �L 

r r0 

0 � p � � 

� � 

r r r r r0


R und LVAR 


R und L 


R und L 




1 

Z p � 

Yp 1 

� 

Gp � j �Bp 1 

� 

� 1 � 

Gp � j � p �� 

� 

� L � 

� � p0 

� 


� 1 � 

Yp � Gp � j � Bp � Gp � j � p �� 

� 

� � L � 

wobei gilt: 

B � p �B 

p p0 

0 � p � � 


Z � R � j � X � R � j �� L 

r r r r r 

Z � R � j � p �� L 

r r 0 r 


Y 

Y 

r 

r 

r 0 r 

� p0 

� 

1 1 1 

� � � 

Z R � j � X R � j �� L 

r r r r r 

1 

� 

R � j � p �� L 

wobei gilt: 

� p � 

� � 


0 

0 � p � � 


1 

Z p � 

Yp 1 

� 

Gp � j �Bp 

1 

� 

1 

Gp� j� 

� � L 

Z 

p 

1 

� 

1 

Gp� j� p��L Ortskurve der Admittanz: 

1 

Yp � Gp � j � Bp � Gp � j � 

� � L 

1 

Yp � Gp � j � 

p��L wobei gilt: 

� p � 

� � 

0 

0 � p � � 

0 

0 

p 

p 

p 

p


RVAR, C und L 


RVAR, C und L 


4.9.5 Widerstand, Kapazität und Induktivität 

4.9.5.1 variabler Widerstand 


Z � R � j � X 

r r r 

� 1 � 

Zr � p � Rr 0 � j ��Lr�� Cr 

� 


Y 

r 

1 1 1 

� � � 

Zr Rr � j �Xr � 1 � 

p � Rr0�j��Lr � � 

� � �Cr 

� 

wobei gilt: 

R � p �R 

r r0 

0 � p � � 


1 

Z p � 

Yp 

� 

1 

Rp 1 

� j�Bp 1 

� 

1 � 1 � 

� j��Cp�� p �R� p0�L� � � p � 


1 

Y � � j � B 

R 

p p 

p 

1 � 1 � 

Yp � � j ��Cp � � 

p �R� p0�L� � � p � 

wobei gilt: 

R � p �R 

p p0 

0 � p � � 



R, L und C 




� 1 � 

Zr � Rr � j � X r � Rr � j ��Lr�� Cr 

� 

� 1 � 

Z � R � j �� p �� L � � 

r r 0 r 

� p��0�Cr� Ortskurve der Admittanz: 

1 1 1 

Y r � � � 

Zr Rr � j �Xr � 1 � 

Rr � j ��Lr � � 

� � �Cr 

� 

1 

Y r � 

� 1 � 

Rr � j �� p ��0 � Lr 

� � 

� p��0�Cr� wobei gilt: 

� � 

0 

1 

� � p �� 

L �C 

0 

0 � p � � 

r r 



R, L und C 

Skala 





Z 

Z 

p 

p 

1 

� 

Yp 1 

� 

Gp � j �Bp 1 

� 

� 1 � 

Gp � j ��Cp � 

� 

� 

� L � 

� � p � 

� 

G 

1 

� 

� j �� p �� C � 

� 

1 � 

� 

� 

p 0 p 

� p��0�Lp� Ortskurve der Admittanz: 

� 1 � 

Yp � Gp � j � Bp � Gp � j ��Cp� � 

� 

� L � 

� � p � 

� 1 � 

Y � G � j �� p �� C � 

� 

� 

� 

p p 0 p 

� p��0�Lp� wobei gilt: 

1 

�0 

� 

C � L 

� � p �� 

0 

0 � p � � 

p p 

4.9.6 Richtlinien zum Erstellen von Ortskurven 

Die Skala auf welcher f = 0, R = 0, C = 0 oder L = 0 zu sehen ist, muss die lineare sein. 

Die Skala kann parallel beliebig verschoben werden. 

|φ| = 45° wählen um die Skala zu kalibrieren. 

x-Mittelpunkt für die Ortskurve der Admittanz: 

1 

M x � 

2� 

R 

r 

x-Mittelpunkt für die Ortskurve der Impedanz: 

Rp 

M x � 

2 



4.10 Schwingkreise 

4.10.1 Übersicht 


Voraussetzungen 

Bandbreite 

Resonanzfrequenz 

und Grenzfrequenzen 


4.10.2 beliebige Schwingkreise 

4.10.2.1 Resonanzfall 

Z ges : Gesamtimpedanz der Schaltung Ω 

Y ges : Gesamtadmittanz der Schaltung S 

�Zges��Zges� �Yges��Yges� Im �0arg�0 Im �0arg�0 Eingabesyntax Ti Voyage 200 für Reihenschaltung R-L-C 

cSolve(imag(Z)=0,ω) oder cSolve(angle(Z)=0,ω) 

4.10.2.2 Frequenzen 

� 0 : Resonanzkreisfrequenz rad s -1 

� � : Bandbreite rad s -1 

f : beliebige Frequenz Hz 

f 0 : Resonanzfrequenz, Mittenfrequenz Hz 

f f : untere Grenzfrequenz Hz 

1 , u 

2 , f f o : 

f 

obere Grenzfrequenz Hz 

1 

Z � R � j �� L � 

j��C Kreisfrequenzen 

Frequenzen 

� : Bandbreite Hz 

Q : Güte Andere 

�0 

�� Q 

f0 

�f� Q 

��f1 � � 

� f Q 

0 0 

f � f � f 

0 1 2 

f1 f1 

f 

� � 

f f f 

0 

0 2 2 

� f � � � f � � � f � � � f � 

log log log log 

0 1 2 0 


:

Beschreibung 

Berechnung 

► Beispiel 

Verstimmung 

normierte 

Verstimmung 


4.10.2.3 Güte 

Die Güte Q ist ein Mass dafür wie rasch sich die Impedanz ändert, wenn man sich von der 

Resonanzfrequenz entfernt. 

Je grösser des Güte, desto grösser die Änderung der Impedanz und desto kleiner die Bandbreite. 

Q : Güte 

Q� : 

0 Blindleistung bei Resonanzfrequenz var 

P� : Wirkleistung bei Resonanzfrequenz W 

0 

Q 

Q � 

P 

� 

� 

0 

0 

4.10.2.4 Verstimmung 

� : Verstimmung 

V : normierte Verstimmung 

Verstimmung 

� : beliebige Kreisfrequenz rad s -1 Kreisfrequenzen 


f : 

f 0 : 

beliebige Frequenz 

Resonanzfrequenz, Mittenfrequenz 

Hz 

Hz 

Frequenzen 

Q : Güte Andere 

Die Verstimmung η sagt aus, wie stark sich eine beliebige Kreisfrequenz ω von der 

Resonanzkreisfrequenz ω0 unterscheidet. 

� � f f 

� � � � � 

� � f f 

0 0 

0 0 

� � 0 : bei Resonanz(kreis)frequenz 

� � �� : bei Gleichstrom 

� � �� : bei unendlich hoher Frequenz 

� � � � � 0 f f � 0 

V � Q �� Q �� Q �� 

� � f f 

� 0 � � 0 � 


f0 und ω0 

Werte bei f0 und ω0 


4.10.3 Reihenschwingkreis 

f 0 : Resonanzfrequenz Hz 

f : untere Grenzfrequenz Hz 

1 

f 2 : obere Grenzfrequenz Hz 

� f : Bandbreite Hz 






ZZ , : Impedanz Ω 

YY: , Admittanz S 


B : Suszeptanz S 


L 

X : kapazitive Reaktanz Ω 

C 

I : Strom A 

U0, U 0: 

Gesamtspannung V 

U U : Spannung über der Kapazität V 

C, C 

L, L 

U U : Spannung über der Induktivität V 

U R : Spannung über dem Widerstand V 


Q : Güte 

d : Dämpfung 



1 

f0 

� 

2 �� L�C 1 

�0 

� 

L�C XL � XC 

� 

L 

C 

1 

�0 

�L� � �C 

0 

(Kreis)Frequenzen 

Bauelemente 

Werte 

Werte bei f0 

Andere 


Grenzfrequenzen 

Impedanz, 

Admittanz, Leitwert 

und Suszeptanz 

Güte 

Bandbreite 

Dämpfung 


2 

1 

� 

2 � R � R 

� 

1 � �� 

� 

0 � � 

f 

f 

� � 

2 �� 2�L� 2 � L� 

� � 

2 

1 

� 

2 � R � R 

� 

2 � �� 

� 

0 � � 

� � 

2 �� 2�L� 2 � L� 

� � 

�d� f0�d f1 � f0�1�� 

� � 

� 2� 2 

�d� f0�d f2 � f0�1�� 

� � 

� 2� 2 

� 1 � 

Z � R � j ��L�� C 

� 

Z � R � � j � �Q 

2 

2 

�1 � � 

Z � Z � R � 1� 

� �Q 

� Q� 

� �arctan �� 

2 2 

1 1 

Y � � � G � j � B 

Z R � � j � �Q 

1 

G � 

R��Q �1 � � 

2 2 �1 � � 

� �Q 

B �� 

R � � n �Q 

2 2 �1 � 

f f 

0 0 

Q � � 

B f2 � f1 

Q 

Q 

� � L 1 1 L 

R � �R�CR C 

0 � � � � 

0 

2 �� f � L 1 1 L 

R 2 �� f � R �C 

R C 

0 � � � � 

U 

U 

L C 

Q � � 

U0 U0 

X 

X 

L C 

Q � � 

R R 

f R 

� � � 

� � 

0 f 

Q 2 � L 

� R 

Q L 

0 �� 

1 

d � 

Q 

0 


Resonanzüberhöhung 

singuläre Punkte 


U0 

I � 

R 

0 

UC � � � � j �Q �U 

0 

j ��0�Cj��0�C�R R 

I 

� � L 

U L � j �� L � I � j � �U � j �Q �U 

R 

U � R � I � U 

0 

0 0 0 

Frequenz f und 

norm. Verstimmung V 

Resonanzfrequenz: 

0 

U 

Leitwert G Suszeptanz B Impedanz Z Admittanz Y 

f � f0 V � 0 

1 

Gmax 

� 

R 

B � 0 Zmin� R 

1 

Y max � 

R 

f � f1 V � � 1 

1 

G � 

2� 

R 

1 

Bmax 

� 

2� 

R 

Z � Z � 2 � R Y � Y � 

untere Grenzfrequenz: 

obere Grenzfrequenz: 

f � f V � � 1 

2 




f � f V � 0 

0 


f � f V � � 1 

1 


f � f V � � 1 

2 

1 

G � 

2� 

R 

B 

min 

1 

�� 

2� 

R 

Winkel arg(Z) Winkel arg(Y) 

� �0� � �0� � � �45� � �45� � �45� � � �45� Y: 

G: 

B: 

Z � Z � 2 � R 

Y � Y � 


1 

2 � R 

1 

2 � R

f0 und ω0 

Werte bei f0 und ω0 


4.10.4 Parallelschwingkreis 

f 0 : Resonanzfrequenz Hz 

f : untere Grenzfrequenz Hz 

1 

f 2 : obere Grenzfrequenz Hz 

� f : Bandbreite Hz 






ZZ , : Impedanz Ω 

X : Reaktanz Ω 

YY: , Admittanz S 



L 

X C : kapazitive Reaktanz Ω 


I I : Gesamtstrom A 

0 0 , 

C , C 

L, 

L 

I I : Strom durch die Kapazität A 

I I : Strom durch die Induktivität A 

I G : Strom durch den Widerstand A 


Q : Güte 

d : Dämpfung 



1 

f0 

� 

2 �� L�C 1 

�0 

� 

L�C XL � XC 

� 

L 

C 

1 

�0 

�L� � �C 

0 

(Kreis)Frequenzen 

Bauelemente 

Werte 

Werte bei f0 

Andere 


Grenzfrequenzen 

Admittanz, 

Impedanz, 

Widerstand und 

Reaktanz 

Güte 

Bandbreite 

Dämpfung 


2 

1 

� 

2 � 1 � 1 

� 

1 � �� 

� 

0 � � 

f 

f 

� � 

2 �� 2�R�C� 2 � R �C 

� 

� � 

2 

1 

� 

2 � 1 � 1 

� 

2 � �� 

� 

0 � � 

� � 

2 �� 2�R�C� 2 � R �C 

� 

� � 

�d� f0�d f1 � f0 

� 1� 

� � � 

� 2� 2 

�d� f0�d f2 � f0 

� 1� 

� � � 

� 2� 2 

2 

2 

�1 � � 

Y � G � � j � �Q 

Y � Y � G � 1� 

� �Q 

� Q� 

� �arctan �� 

2 2 

1 

Z � 

1 � 1 � 

� j��C�� R � � � L� 

1 

Z � � 

Y G � 

1 

� j � �Q 

� R � j � X 

1 

R � 

G��Q �1 � � 

2 2 �1 � � 

� �Q 

X �� 

G��Q f f 

2 2 �1 � � 

0 0 

Q � � 

B f2 � f1 

R C 

Q � � �0 

� R �C � R � 

� � L L 

0 

R C 

Q � � 2 �� f0 � R �C � R � 

2 �� f � L L 

I 

I 

0 

L C Q � � 

I0 I0 

R R 

Q � � 

X X 

L C 

2 

f0 2 �� f0 � L 

�f � � 

Q R 

2 

�0 �0 

� L 

�� 

Q R 

1 

d � 

Q 


Resonanzüberhöhung 

singuläre Punkte 


I 0 U � 

G 

� �C 

G 

U I 

0 

I C � j ��0 �C �U � j � � I 0 � j �Q � I 0 

0 

I L � � � � j �Q � I 0 

j ��0�Lj��0�L�G I � G �U � I 

G 




0 

Widerstand R Reaktanz X Admittanz Y Impedanz Z 

f � f0 V � 0 

1 

Rmax 

� 

G 

X � 0 Ymin� G 

1 

Zmax 

� 

G 

f � f1 V � � 1 

1 

R � 

2� 

G 

1 

X max � 

2� 

G 

Y � Y � 2 � G Z � Z � 

f � f2 V � � 1 

1 

R � 

2� 

G 

1 

X min �� 

2� 

G 

Y � Y � 2 � G Z � Z � 






f � f V � 0 

0 


f � f V � � 1 

1 


f � f V � � 1 

2 

Winkel arg(Y) Winkel arg(Z) 

� �0� � �0� � � �45� � �45� � �45� � � �45� Z: 

R: 

X: 


1 

2 �G 

1 

2 �G

Maschengleichungen 

Ersatzimpedanz an 

den Primärklemmen 



Kopplung 


4.11 magnetisch gekoppelte Systeme 

4.11.1 Transformator 

4.11.1.1 gekoppelte Spulen 

L E : Ersatzinduktivität H 

M : Gegeninduktivität H 

Z ein : Ersatzimpedanz an den Primärklemmen Ω 

Z ' : transformierte oder reflektierte Impedanz Ω 


Widerstände 

� : Kreisfrequenz rad s -1 Andere 

k : Kopplungsfaktor 

� j ��L1�I1 � � j ��M�I2 � U1 

� 

� � 

� j ��M�I�j��L�I��U � 1 2 2 

2� 

j 

� � M 

L Z 

2 2 

ein � ��1�'��1� �� 2 � 

Z j L Z j L 

L 

E 

k � 

L � L � L � � M 

1 2 2 

L � L � L � � M 

E 

1 2 2 

2 

L1�L2 �M 

� 

L � L � � M 

M 

1 2 2 

L � L 

1 2 

L 

E 

E 

2 

L1�L2 �M 

� 

L � L � � M 

1 2 2 

k � 0 : keine Kopplung vorhanden 

k � 1: 

vollkommene Kopplung vorhanden 


Ersatzschaltbilder 

und Verhältnisse 

zusammengesetzte 

Schaltungen 


4.11.1.2 idealer Transformator (vollkommen gekoppelte Spulen) 

U n : Ausgangsspannung V 


1 

I : Ausgangsstrom A 

n 

I 1 : Eingangsstrom A 

Z : Lastimpedanz Ω 

Z 1 : Eingangsimpedanz Ω 

L : Induktivität auf Primärseite H 

1 

L : Induktivität auf Sekundärseite H 

Spannungen 

Ströme 

Widerstände 


2 

� : Kreisfrequenz rad s -1 n : Übersetzungsverhältnis 

Andere 

primärseitiges Ersatzschaltbild sekundärseitiges Ersatzschaltbild 

U �n�U n 

I 1 I n � 

n 

Z 

Z1 

� 2 

n 

1 

R n : reeller Anteil der Last Ω 

R : reeller Anteil der Ersatzlast Ω 

1 

jX : komplexer Anteil der Last Ω 

n 

jX : komplexer Anteil der Ersatzlast Ω 

1 

Rn 

R1 

� 2 

n 

jX 

jX � 

n 

U n U1 

� 

n 

n 

1 2 


Lastanpassung 

(nur ohmsch) 

Kopplung 

primärseitige 

Ersatzimpedanz und 

Ersatzadmittanz 


mit Spulen 


R i : Innenwiderstand der Quelle Ω 

R : Lastwiderstand Ω 

L 

R 

Ri 

� 

n 

L 

2 

k : Kopplungsfaktor 


M 

k � �1 

L � L 

1 2 

M � L �L 

1 2 

Z ein : Ersatzeingangsimpedanz Ω 

Y : Ersatzeingangsadmittanz S 

Z 

Y 

ein 

1 

ein � 

�� 2 � 

ein 

j �� L � Z 

j L Z 

1 1 

� � 

j��L1� L � 1 Z �� 

L 

� 2 � 

Grundschaltung primärseitiges Ersatzschaltbild sekundärseitiges Ersatzschaltbild 


Übersetzungsverhältnis 



4.11.1.3 realer Transformator (unvollkommen gekoppelte Spulen) 

n : 

k : 

Übersetzungsverhältnis 

Kopplungsfaktor 

Andere 


L : Induktivität auf Primärseite H 

1 

L : Induktivität auf Sekundärseite H 

2 

L : primäre Hauptinduktivität H 

h1 

L : sekundäre Hauptinduktivität H 

h2 

L � : primäre Streuinduktivität H 

1 

L � : sekundäre Streuinduktivität H 

n � 

2 

L 

L 

2 

1 

M � k � L � L 

1 2 

ursprüngliches Ersatzschaltbild: 

Ersatzschaltbild mit idealem Transformator: 

primärseitiges Ersatzschaltbild: 

sekundäres Ersatzschaltbild: 

L � L �L 

1 h1 

� 1 

L � L �L 

2 h2 

� 2 

M 

Lh1 

� 

n 

L � M � n � n � L 

2 

h2 h1 

L� 

2 L� 

1 � 2 

n 

L �n�L 2 

�2 �1 



Aufbau 

Sternspannungen 

Leiterspannungen 


Z2 

Z11 

� 2 

n 

Z �Z�n 22 1 

2 

4.12 Dreiphasenwechselstrom 

4.12.1 Generator 

4.12.1.1 Sternschaltung 

U �U �0� 1N 

St 

U � U � �120� 2N 

St 

U �U � � 240� 

3N 

St 

U � 3 �U �30� 12 

U � 3 �U � � 90� 

23 

U � 3 �U � � 210� 

31 

St 

St 

St 


Strangspannung Uλ 

Leiterspannung UΔ 


4.12.1.2 Dreieckschaltung 

4.12.2 symmetrische Last 

4.12.2.1 Begriffe 

U � : Strangspannung V 

U � : verkettete Spannung V 

korrekte Definition (bei bekannter Schaltungsart): 

Die Strangspannung Uλ ist die Spannung die an einem Wicklungsstrang einer Gleichstrommaschine 

anliegt. 

� Bei der Sternschaltung beträgt sie im Niederspannungsnetz 230 V. 

� Bei der Dreieckschaltung beträgt sie im Niederspannungsnetz 400 V. 

alternative Definition (bei unbekannter Schaltungsart): 

Die Strangspannung Uλ ist die Spannung zwischen Phasen zum Neutralleiter oder Sternpunkt (L1-N, L2- 

N oder L3-N). Sie beträgt im Niederspannungsnetz 230 V. Da bei der Dreieckschaltung kein Neutralleiter 

oder Sternpunkt vorhanden ist, besitzt sie nur einen Wert und kann mit der Leiterspannung in Bezug 

gebracht werden: 

U� 

U� � 

3 

U�� 3 � U� Die Leiterspannung UΔ (auch verkettete Spannung genannt) ist die Spannung zwischen zwei Phasen 

(L1-L2, L2-L3 oder L1-L3). Sie beträgt im Niederspannungsnetz 400 V. 


Leiter und Strang 

Leiterströme 

ausgefallene Last, 

kein Neutralleiter 

ausgefallene Phase 


4.12.2.2 Sternschaltung λ 

U : Leiterspannung, verkettete Spannung V 

U Str : Strangspannung V 

I : Leiterstrom A 

I Str : Strangstrom A 




P neu : Wirkleistung mit 3 Lasten W 

P : Wirkleistung mit 2 Lasten W 

alt 

cos�� : 

� � 






U � �U 

I � I 

Str 

3 Str 

S � 3 �U � I 

P � 3 �U � I � cos 

Q � 3 �U � I �sin 

I 

I 

I 

I 

1 

2 

3 

�� 

�� 

U1NUStr�0� � � 

Z Z 

U2NUStr� �120� � � 

Z Z 

U3NUStr� � 240� 

� � 

Z Z 

U U U 

Z Z Z 

1N 2N 3N 

N � � � � 

0 

Spannungen 

Ströme 

Leistungen 

Andere 

Wenn die Last ein Motor ist, läuft dieser als Einphasenmotor. Er hat also im Stillstand überhaupt kein 

Drehmoment. Für die Wirkleistung gilt: 

1 

P � � P 

2 

neu alt 

Wenn die Last ein Motor ist, hat dieser im Stillstand kein Drehmoment. 


Leiter und Strang 

Leiterströme 

ausgefallene Last 

ausgefallene Phase 


4.12.2.3 Dreieckschaltung Δ 

U : Leiterspannung, verkettete Spannung V 

U Str : Strangspannung V 

I : Leiterstrom A 

I Str : Strangstrom A 




P neu : Wirkleistung mit 3 Lasten W 

P : Wirkleistung mit 2 Lasten W 

alt 

cos�� : 

� � 






U �U 

Str 

I � 3 �I 

Str 

S � 3 �U � I 

P � 3 �U � I � cos 

Q � 3 �U � I �sin 

I 

I 

I 

1 

2 

3 

� 

� 

� 

3�UStr�0� Z 

�� 

�� 

3 �U Str� 

�120� Z 

3 �U Str� 

� 240� 

Z 

Spannungen 

Ströme 

Leistungen 

Andere 

Wenn die Last ein Motor ist, hat dieser noch Drehfeld. Für die Wirkleistung gilt: 

2 

P � � P 

3 

neu alt 

Wenn die Last ein Motor ist, hat dieser im Stillstand kein Drehmoment. 


Wirkleistung 


Blindleistung 

Leistungsvergleich 

zwischen Dreieck 

und Stern 


4.12.3 Leistung des Dreiphasenstromes 


Wirkleistungen 

P : Wirkleistung in einem Strang W 

St 

P � : Wirkleistung bei Dreieckschaltung von drei gleichen Lasten Z W 

P� ; 

St Wirkleistung von einem Strang bei Dreieckschaltung W 

P : Wirkleistung bei Sternschaltung von drei gleichen Lasten Z W 

Y 

Wirkleistungen zu 

Leistungsvergleich 

P YSt : Wirkleistung von einem Strang bei Sternschaltung W 

S : 

S St : 


Scheinleistung in einem Strang 

V A 

V A 

Scheinleistungen 

Q : 

Q St : 

Blindleistung 

Blindleistung in einem Strang 

var 

var 

Blindleistungen 

U : 

U St : 

Leiterspannung 

Strangspannung 

V 

V 

Spannungen 

I : 

I : 

Leiterstrom 

Strangstrom 

A 

A 

Ströme 

St 

cos�� : 




sin�� : Blindleistungsfaktor 

� : Phasenverschiebung 

P � 3 �U � I � cos 

P�3�P St 

P � U � I � cos 

P 

St St St 

St 

U �I�cos � 

3 

S � 3 �U � I 

S �3�S St 

S �U�I S 

St St St 

St 

U � I 

� 

3 

S � P �Q 

2 2 

Q � 3 �U � I �sin 

Q�3�Q St 

Q � U � I �sin 

Q 

St St St 

St 

U �I�sin � 

3 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

�� 

U 3�U 

P� � 3�P� � 3� 

� 

St Z�cosZ�cos 2 2 

St 

�� U � 

2 2 

U 

� � 

St 

3 U 

PY�3�PYSt�3� � 3� 

� � 

� 

Z � cos Z � cos Z � cos 

�� 

2 

Andere 


P 

P 

� � 

Y 

3

elektrisch 

magnetisch 

FH Formelsammlung - Elektromagnetismus Editiert: 21.02.2011 

5 Elektromagnetismus 

5.1 Namensgebungen, Formelzeichen und Einheiten 

Name Formelzeichen Einheit 

Raumladungsdichte , v 

�� C m -3 

Flächenladungsdichte �, �s, � A C m -2 

�� C m -1 

Linienladungsdichte , l 

elektrisches Potential � ,V 

V 

elektrische Flussdichte, 

dielektrische Verschiebung, 

elektrische Erregung, 

Verschiebungsdichte 

D C m -2 

elektrischer Fluss, 

Verschiebungsfluss � C 

Ladungsdichten 

elektrisches Feld 

elektrische Stromdichte J, j, S A m -2 Elektrodynamik 

elektrische Feldkonstante, 

Dielektrizitätskonstante, 

Influenzkonstante, 

Permittivität 

elektrische Leitfähigkeit, 

Konduktivität 

elektrische Leitfähigkeit, 

Konduktivität 

spezifischer elektrischer Widerstand, 

Resistivität 

spezifischer elektrischer Widerstand, 

Resistivität 

elektrische Suszeptibilität 

dielektrische Suszeptibilität 

Suszeptibilität 

� F m -1 

� Ω -1 m -1 

� 

� Ω m 

� 

�� , e 

m Ω -1 mm -2 = 

10 6 Ω -1 m -1 

Ω mm 2 m -1 = 

10 -6 Ω m 

Name Formelzeichen Einheit 

magnetische Feldstärke, 

magnetische Erregung, 

Magnetfeld 

H A m -1 

magnetische Flussdichte, 

magnetische Induktion, 

Magnetfeld 

B T 

Induktionsfeld 

magnetisches Feld 

magnetischer Fluss, 

Magnetfluss 

magnetische Spannung, 

� Wb 

magnetische Quellspannung, 

Durchflutung, 

magnetische Durchflutung 

Um , � A 

magnetischer Widerstand, 

Reluktanz 

R m 

H-1 

magnetischer Leitwert, 

Permeanz 

magnetische Feldkonstante, 

Gm, � H 

Induktionskonstante 

Permeabilität, 

magnetische Leitfähigkeit 

� H m 


-1 

magnetische Suszeptibilität 

diamagnetische Suszeptibilität 

paramagnetische Suszeptibilität 

ferromagnetische Suszeptibilität 


�� , m 



elektrische 

Feldkonstante 

elektrische 


magnetische 

Feldkonstante 

magnetische 



5.2 Zusammenhänge zwischen elektrischen und magnetischen Kreisen 

elektrischer Kreis magnetischer Kreis 

Bezeichnung Formelzeichen Einheit Bezeichnung Formelzeichen Einheit 

Spannung U V Spannung Θ A 

Stromstärke I A Fluss Φ Wb 

Stromdichte J A m -2 Flussdichte B T 

Leitfähigkeit ζ Ω -1 m -1 Leitfähigkeit μ H m -1 

Widerstand R Ω Widerstand Rm H -1 

Leitwert G S Leitwert Gm H 

ohmsches 

U = R ∙ I 

hokinsonsches 

Θ = Rm ∙ Φ 

Gesetz 

Reihen- 

schaltung 

U = U1 + U2 + ... + Un 

R = R1 + R2 + ... + Rn 

Gesetz 

Reihen- 

schaltung 

5.3 elektrische Feldkonstante, Dielektrizitätskonstante 


� 0 : elektrische Feldkonstante des Vakuums 8.85419 ∙ 10 -12 F m -1 

� r : elektrische Feldkonstante des Dielektrikums 

� : elektrische Suszeptibilität 

� ��0� �r 

� ��r� 1 

5.4 magnetische Feldkonstante 



� r : magnetische Feldkonstante des Materials 

� : magnetische Suszeptibilität 

� ��0� �r 

� ��r� 1 

5.5 Ladungsdichten und Ladung 

Q : elektrische Ladung C 

dQ : elektrisches Ladungselement C 

�� , �R� : Raumladungsdichte C m -3 

V : Volumen m 3 

dV : Raumelement m 3 

�� , �R� : Flächenladungsdichte C m -2 

A : Fläche m 2 

dA : Flächenelement m 2 

�� , �R� : Linienladungsdichte C m -1 

l : Länge m 

dl : Linienelement m 

Ladung 

Raum 

Fläche 

Θ = H1 ∙ l1 + H2 ∙ l2 + ... + Hn ∙ ln 

Rm = Rm1 + Rm2 + ... + Rmn 


Linie

Raumladungsdichte 

Flächenladungsdichte 

Linienladungsdichte 

Einheitsvektor 



Q dQ 

� � ��R�� 

V dV 

V 

� � 

Q � �� R dV 

Q dQ 

� � ��R�� 

A dA 

A 

� � 

Q � �� R dA 

Q dQ 

� � ��R�� 

l dl 

l 

� � 

Q � � � R dl 

5.6 Einheitsvektor 

e 

e R : Einheitsvektor in Richtung des Abstandvektors 

R : Abstandvektor m 

R : Länge des Abstandsvektors m 

R 

� 

R 

R 

e 

� 

R 

R R 

R 

2 3 


Eigenschaften 

Normalform 

vektorielle Form 

Summe 

FH Formelsammlung - Elektrostatik Editiert: 21.02.2011 

6 Elektrostatik 

6.1 Kräfte zwischen Ladungen 

6.1.1 Kräfte zwischen zwei Punktladungen 

� Gleichnamige Punktladungen stossen einander ab, ungleichnamige ziehen einander an. 

� Die Kraft zwischen zwei Punktladungen hat die Richtung ihrer Verbindungslinie. 

� Die Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2 ist proportional zum Produkt Q1 ∙ Q2. 

� Die Kraft zwischen zwei Punktladungen vom Abstand r ist proportional zu r -2 . 

FF , : Kraft zwischen den zwei Ladungen, Coulombkraft N 


Q : erste Ladung C 

1 

Q : zweite Ladung C 

2 

RR: , Abstand zwischen den zwei Ladungen m 

1 Q �Q 

F � � 

4�� 

�� 

R 

1 2 

2 

1 Q1�Q2 F � � � R 3 

4�� 

�� 

R 

6.1.2 Kräfte zwischen n Punktladungen 

F Q : 

Test 

Kraft die auf die Testladung wirkt, Coulombkraft N 

Q : Testladung C 

Test 

Q i : Ladung C 

n : Anzahl Ladungen 

Andere 

Ladungen 

Testladung 

Ladungen 

im Raum 

RR: , Abstand zwischen der Testladung und der Ladung m 

� : elektrische Feldkonstante F m -1 Konstanten 

n 1 QTest�Qi FQ� Test � � � R 3 

i�1 

4�� 

�� 

R 






6.1.3 Kräfte bei Ladungsdichten 

F Q : Kraft die auf die Testladung wirkt, Coulombkraft N 

Test 

Q : Testladung C 

Test 

� �R � : Raumladungsdichte C m -3 

� �R � : Flächenladungsdichte C m -2 

� �R � : Linienladungsdichte C m -1 



Testladung 



R : 

Abstand zwischen der Testladung und der 

Raum-, Flächen- oder Linienladung 

m Abmessungen 


� �� 3 

Q � R dV 

Test FQ��R Test 4�� 

�� V R 

� �� 3 

Q � R dA 


�� A R 

R 

R 

Q Test 

Q Test 

� �� 3 

F 

QTest 

Q � R dl 


�� l R 

R 

F QTest 

Q Test 

F QTest 


► Beispiel 


Kraft die eine Scheibe in der x-y-Ebene mit Radius 5m und der Ladungsdichte ζ = 20 ∙ 10 -6 C m -2 auf 

eine Punktladung im Punkt P(0,0,5) mit QTest = 50 ∙ 10 -6 C ausübt: 

Abstand zwischen Ladungselement auf Scheibe und Punktladung als Vektor in Zylinderkoordinaten: 

� � 

� � 


� � 

� � 

�cos � � �0� � �r �cos � � 

� � � � � � 

R��r�er � 5� 

ez � �r �� 

sin � � � 5� � 

0 

� 

� � �r �sin 

� � 

� 0 � �1� � 5 � 

� � � � � � 

Für Integration benötigter Vektor ausrechnen: 

�� 

�� 

� �r �cos � � 

1 1 

r cos��r sin�� 

� � � � � � � 5 

�R� � r sin 

� � 

3 

2 

3/2 �� 2 

3/2 

2 

3/2 

2 

3/2 

R �r � 25 � � 5 �r 25� �r 25� �r 25 

� 

� � � 

� � � � 

� � 

� 

Integration für jede Komponente des Vektoren durchführen: 

2�� 5 2�� 5 

�r�cos��r�sin�� Ix � � � �rdrd� �0 

I 

0 

2 

3/2 y � � � �rdrd� 

� 

2 

3/2 

0 0 r �2500r �25 

2��5 � � 

5 

I � � rdrd� 

�1.84 

z 

�� 2 

0 0�r 

� 25� 

3/2 

� � 

Kraft ausrechnen: 

�Ix� QTest 

�� 

FQ � � I 

Test 

y 

4�� 

�� 

�I� � z � 

� 0 � � 0 � 

F � � 0 � 0 N 

QTest 

�6 �6 

50�10 C � 20�10 C � � � � 

�12 

-1 

4 �� 8.854 �10 Fm � � � � 

� � � � 

�1.84� �16.537� T

Kraft 

Beschleunigung 


6.2 elektrisches Feld 

6.2.1 Kräfte im elektrischen Feld 

6.2.1.1 Punktladung im elektrischen Feld 

F : Kraft die auf die Punktladung wirkt, Coulombkraft N 

E : elektrische Feldstärke V m-1 

Q : Punktladung C 

F �Q� E 

6.2.1.2 Beschleunigung einer Punktladung im elektrischen Feld 

Plattenkondensator Elektronenröhre 

F x : Kraft, Coulombkraft N 

a x : Beschleunigung m s -2 

v x : Endgeschwindigkeit m s -1 

m : Masse kg 

Q : Ladung C 

E x : elektrische Feldstärke zwischen den Platten V m -1 



W : elektrische Energie am Anfang J 

el 

W : kinetische Energie am Ende J 

kin 

Fx �m� ax 

U 

Fx � Q � Ex � Q � 

d 

a 

Q�E QU � 

m m� d 

x 

x � � 

Punktladung 

Platten 

Energien 


Endgeschwindigkeit 

Energien 

Kraft 

Beschleunigung 

Austritt 


v 

x 

2� Q � Ex � d 2�QU 

� 

� � 

m m 

Wel� Wkin 

Wel � Fx �d � Q� Ex �d � Q� U 

1 

W � � m � v 

2 

2 

kin x 

6.2.1.3 Ablenkung einer Punktladung im elektrischen Feld 

F y : Kraft, Coulombkraft N 

a y : Beschleunigung m s -2 

v 0 : Eintrittsgeschwindigkeit m s -1 

v y : Austrittsgeschwindigkeit m s -1 

m : Masse kg 

Q : Ladung C 

E x : elektrische Feldstärke zwischen den Platten V m -1 

Punktladung 

U y : 

d : 

Spannung über den Platten 

Abstand der Platten 

V 

m 

Platten 

l : Länge der Platten m 

t : Zeit s Andere 

Fy �m� ay 

U 

y 

Fy � Q � E � Q � 

d 

a 

y 

QU � 

� 

m�d y 

vy � ay �t � 

m �d�v0 tan 

y 

Q �U�l v Q �U�l y y 

�� 

2 

v m �d�v 0 0 


Berechnung mit 

Ladung 

Berechnung mit 

Spannung 


6.2.1.4 Kräfte zwischen Kondensatorplatten 

F : Kraft welche die Platten zusammenzieht N 

Q : Ladung des Kondensators C 


Kondensator 

A : Fläche einer Platte m Platten 

2 



2 

1 Q 

F � � 

2 � � A 

1 � � A 

F � � � U 2 

2 d 

2 


Eigenschaften 

Feldkonstante 

Eigenschaften 

eine Punktladung 

zwei Punktladungen 


6.2.2 elektrische Feldstärke 

6.2.2.1 Definition 

E : 

D : 

elektrische Feldstärke V m-1 

elektrische Flussdichte C m-2 


E ist wirbelfrei: 

rot E � 0 

D 

E � 

� 

6.2.2.2 Feldlinien 

� Feldlinien gehen von positiven Ladungen aus und laufen auf negative Ladungen zu. 

� Je dichter die Feldlinien, desto stärker ist dort die Kraftwirkung. 

� Man wählt eine zur Grösse der Ladung proportionale Anzahl der Feldlinien. 

� Feldlinien können sich nicht kreuzen, denn in jedem Raumpunkt gibt es nur einen Kraftvektor. 

� Um eine einzelne Punktladung herum sind die Feldlinien kugelsymmetrisch verteilt. 

negative Punktladung positive Punktladung 

beide negativ beide positiv eine negativ, eine positiv 


Plattenkondensator 

(keine Randeffekte) 

Diverse 


6.2.2.3 einzelne Punktladung 

E : 

elektrische Feldstärke V m-1 



R : 

Abstand zur Ladung m 

1 Q 

E � � � R 3 

4�� 

�� 

R 

6.2.2.4 mehrere Punktladungen 

E : elektrische Feldstärke V m-1 

Q : einzelne Punktladung C 

i 


R : Abstand zur Ladung m 

n : Anzahl Ladungen 

n � � 

1 Qi 

E � � R� 

� � � 3 

� i�1 

�4�� 

R 

�� 

� � 


Berechnung 

Situationen 





6.2.2.5 Überlagerung zweier Felder 

EE , ges : gesamte elektrische Feldstärke V m -1 

E 1 : elektrische Feldstärke der ersten Ladung V m -1 

E 2 : elektrische Feldstärke der zweiten Ladung V m -1 

E �E1� E2 

gleichnamige Punktladungen ungleichnamige Punktladungen 

6.2.2.6 Ladungsdichten 

E : elektrische Feldstärke V m -1 Feldstärke 








R : 

Abstand zwischen dem Messpunkt und der 


m Abmessungen 


� �� 3 

1 � R dV 

E � � � R 

4�� V R 

� �� 3 

1 � R dA 

E � � � R 

4�� A R 

� �� 3 

1 � R dl 

E � � � R 

4�� l R 


Spannung 

Potentiale 

Bezugspunkt im 

Unendlichen 

φa als Bezugspunkt 

Gradient 


6.2.3 elektrisches Potential 


U AB : Spannung zwischen den Punkten A und B V 


AB: , 

Punkte im Raum m 

�x y z� 

�� , , , : elektrisches Potential V 

� A : elektrisches Potential im Punkt A V 

� B : elektrisches Potential im Punkt B V 


B 

� 

U � E � ds � � �� 

AB A B 

A 

B B 

� � 

� � � � E � ds � � � � E � ds 

A B B A 

A A 

AB 

B � B 

� � 

� � � � � 

U � E � ds � E � ds � E � ds � E � ds � E � ds 

B A 

A A � 

A B 

0 

B B 

� � 

� � � � E � ds � � E � ds 

E �� grad � 

A A 

� � 

A B 

�� grad � � �� ex � � ey � � ez 

� � � 

�x �y �z � �x �y �z 

� kartesisch 


T

verschiedene 

Äquipotentiale 

gleiches 

Äquipotential 


6.2.3.2 homogenes Feld 

U 12 : Spannung zwischen Punkt 1 und Punkt 2 V 

U : Spannung zwischen Punkt 1 und Punkt 3 V 

13 

� , � : Potentiale V 

1 2 

l : Abstand zwischen der Äquipotentiallinien m 

s : Abstand zwischen den Punkten m 

P1 , P2 , P 3 : Punkte in der Ebene m 

ds, ds : Wegelement m 


� : 

Winkel zwischen Wegelement und 

Abstand der Äquipotentiallinien 

P2 P2 P2 

l 

U12 � � E � ds � � E � ds �cos ��E�cos�� ds � E � � s 

s 

P1 P1 P1 

U � E �l �� 

12 1 2 

13 

P3 P2 

P1 P1 

� � 

U � E � ds � E � ds � cos 90� 

U � 0 

13 

� � 

Spannungen 

Abmessungen 

Andere 


°

Abmessungen 

Feldlinien 



6.2.3.3 Paralleldrahtleitung, Zweidrahtleitung 

� � r 

� 1 1 : 

elektrisches Potential von positiv 

geladenen Leiter im Punkt P 

V 

2�2� r � : 

elektrisches Potential von negativ 

geladenen Leiter im Punkt P 

V 

� r, r : elektrisches Potential im Punkt P V 

� � 

ab 

1 2 

U : Spannung zwischen den realen Leitern V 

E : elektrische Feldstärke von einzelnem Leiter V m -1 

� l : Linienladungsdichte von einzelnem Leiter C m -1 

C ' : Kapazitätsbelag F m -1 

r : Abstand zwischen positiv geladenem Leiter und P m 

1 

r 2 : Abstand zwischen negativ geladenem Leiter und P m 

d : Abstand zwischen den Ersatzleitern m 

D : Abstand zwischen den realen Leitern m 

a : Radius der realen Leitern m 

x : 

Abstand zwischen dem Zentrum des 

realen Leiters und dem Ursprung O 

m 

� : 

Abstand zwischen dem Zentrum des 

Ersatzleiters und realen Leiters 

m 


dr, dr : zylindrisches Wegelement m 

e x : kartesischer Einheitsvektor 

E � E �ex dr � dr � ex 

� � � � 

0 

� � � � 

0 

realer Leiter (dick) 

Ersatzleiter (dünn) 

r1 r1 

��l dr �� 

� l O � 

� ln 

2�� r 2��r 

O O 

� 1 � 

�1r1��1O�E�dr�� 

r2 r2 

��l dr �� 

� l O � 

� ln 

2�� r 2��r 

O O 

� 2 � 

�2r2��2O�E�dr�� 

d O � 2 

Potential 

Leiter 

Abmessungen 

Andere 


Ersatzleiter 


von einem Leiter 

Kapazitätsbelag der 

beiden Leiter 


� 

K 

� � l r � 2 �l 

�r1, r2�� ln � �� 

�ln 

� K � 

2 

�r� 2 � � � 

r1 

� � 

1� K 

D� � a 

K 

1� 

K 

D�d� 1� 

K 

D�d�2� � 

1� K 

d � � a 

K 

1� 

K 

d �D� 1� 

K 

d � D�2� � 

D�K a � 

1� 

K 

d�K a � 

1� 

K 

2��r2�� 1 � 

D d � 1� 

K � 

x � � � � �� 

2 2 � � 

1� 

K � 

� � 

d d 

� � x � � 

2 1�K 

� �� U � �� U 

�l 

� � 

�r� 2 ln K 

ln � � 

r 

� 1 � 

ab ab 

� � 

� �� 

C ' � 

� 2 2 

D � D � 4� 

a � 

ln � � 

� 2� 

a � 

� � 

� �� 

C ' � 

�D� ln � � 

� a � 

D a 






6.2.3.4 Ladungsdichten 

� : elektrisches Potential V Potential 








RR: , 

Abstand zwischen dem Messpunkt und der 


m Abmessungen 


� � 

1 � R � dV 

� � � 

�� R 

4 V 

� � 

1 � R � dA 

� � � 

�� R 

4 A 

� � 

1 � R � dl 

� � � 

�� R 

4 l 


Eigenschaften 

elektrische 

Flussdichte 

Polarisation 

rechtwinklig zur 

Fläche 

beliebiger Winkel zur 

Fläche 


6.2.3.5 Energie 

E pot : potentielle Energie J 



Epot �Q� � 

6.2.4 elektrische Flussdichte 

D : elektrische Flussdichte C m-2 

E : elektrische Feldstärke, homogen V m-1 

P : Polarisation C m-2 

� : elektrische Suszeptibilität 


� : elektrische Feldkonstante des Dielektrikums 

r 

D ist wirbelfrei: 

rot D � 0 

D�� E 

0 r 

D � � � E � P 

0 

P�� 

E 

0 

6.2.5 elektrischer Fluss 

� : elektrischer Fluss C 




� : Winkel zur Fläche ° 


� � � � E�A � � D�A � � 

�� 

� � � � E�A�cos� � � D�A�cos Andere 

Konstanten 


Eigenschaften 

Berechnung 


6.2.6 Satz von Gauss 

Wenn die geschlossene Fläche keine Ladung umschliesst, dann addieren sich die Flüsse zu Null: 

Wenn die geschlossene Fläche eine Ladung umschliesst, dann ist die Summe der Flüsse ungleich Null 

und ein Mass für die eingeschlossene Ladung: 

� : elektrischer Fluss über alle Flächenstücke C 

� i : elektrischer Fluss über ein Flächenstück C 

Q : eingeschlossene Ladung C 






� � �1 � �2 �... � �6 � Q 

�� 

� � D � dA � Q 

A 

� Q 

� E dA 

� �� 

� 

A 



6.2.7 Satz von Laplace 

Q : eingeschlossene Ladung C 



� : Nablaoperator 

� : Laplaceoperator 

�� , �R� : Raumladungsdichte C m -3 





�� div 

Q � D � dA � R dV � DdV 

div D � � 

A V V 

2 2 2 

2 �� 

� � � �� 

2 2 2 � 

� � � � 

� �x �y �z 

� 

� 

Andere 

Raum 

Fläche 



elektrische 

Feldstärke 



6.2.8 elektrische Feldstärke und elektrisches Potential von Objekten im Raum 

6.2.8.1 Formelzeichen 

EEE , , i : elektrische Feldstärke V m -1 


�x y z� 

� P : elektrisches Potential im Punkt P V 

� K : elektrisches Potential innerhalb der Kugel V 


Q : Ladung C 

� : Linienladungsdichte C m -1 

�, � s : Flächenladungsdichte C m -2 


R : Radius m 

l : Länge m 


elektrische Grössen 

Ladung 

Abmessungen 


dA, dA, dO : Oberflächenelement m 2 

dr, dr : 



dx, dz : kartesisches Wegelement m 


x 

e r : 



6.2.8.2 einzelne Punktladung 

E � E �er dA � dA� er dr � dr � er 

Q 

� � � � � � � � 

� 

�� E dA E �� dA E 

2 

4 � r E � const. 

Kugel Kugel 

Q 

E � �e 

2 

4� 

� �� r 

r 

r r 

�Edr � 

0 

4 � 2 

� 4 

Q dr 1 Q 

�P�� 

�� r �� 

r 

Integral 


m 

Einheitsvektoren

Eigenschaften 

innerhalb der 

Kugel (0 ≤ r < R) 

ausserhalb der 

Kugel (R ≤ r < ∞) 

Hinweis 


elektrische 

Feldstärke 


6.2.8.3 Metallkugel 

E � E �er dA � dA� er dr � dr � er 

Metalle sind äquipotential. 

�� 

Kugel 

E � 0 

E �dA�0 Q 

�K 

� 

4� 

� �� R 

Q 

E � �e 

2 

4� 

� �� r 

r 

r r 

�Edr � 

0 

4 � 2 

� 4 

Q dr 1 Q 

�P�� 

�� r �� 

r 

6.2.8.4 unendlich langer Leiter 

Die Deckelflächen bringen keinen Beitrag zum Oberflächenintegral, da D � dA . 

E � E �er dA � dA� er 

Q l 

E dA E dA E 2 r l � � 

� � � � � � �� 

� � 

�� E � const. 

Hülle Mantel 

Q A 

E dA E dA E A � � 

� � � � � � � 

� � 

�� E � const. 

Hülle Mantel 

� 

E � �e 

2� 

� �� r 

� 

E � � e 

� 

r 

r 


Integral 

Berechnung 

elektrische 

Feldstärke 


6.2.8.5 langer Leiter 

R : Abstand zu den Ladungselementen auf dem Leiter m 

r : Abstand zwischen Leiter und Messpunkt (senkrecht) m 

dz : Leiterelement m 

1 � � dz 

E � � � R 3 

4�� l R 

Abstand zwischen Ladungselement auf Leiter und Betrachtungspunkt als Vektor in Zylinderkoordinaten: 

� � 

� � 


� � 

� � 

�cos � � �0� � r � cos � � 

� � � � � � 

R � r �er � z �ez � r �� sin � � �z� � 

0 

� 

��r�sin � � 

� 0 � �1� � �z 

� 

� � � � � � 


�� 

�� 

� r �cos � � 

1 1 

r cos��r sin�� 

� 

� � � � � �z 

� R � � r sin � � 

3 

2 2 

3/2 � � �� 2 2 

3/2 

2 2 

3/2 

2 2 

3/2 

R �r � z � � z �r z � �r z � �r z � 

� � � � 

� � � � 

� � 

� 


� 

r�cos��2 I x � � dz � � cos 3/2 r � � 

2 2 

�� r �z � 

I y � � 

�� 

r�sin��2 

dz � �sin 

2 2 

3/2 r 

r �z 

I 

z 

� 

� � 

�z 

� dz 

�0 

� 2 2 

�� r � z � 

3/2 

�� 

�� 

�cos� � � � 

E � � sin 

2� 

� �� r 

� � 

� 0 � 

� � 

� 

E � �e 

2� 

� �� r 

r 

zylindrisch 

� � 

� � 

� � 

kartesisch 

T

Integral 

Berechnung 

elektrische 

Feldstärke 


6.2.8.6 radiale Leiterschleife 

R : Abstand zu den Ladungselementen auf der Leiterschleife m 

z : 

r : 

Abstand zwischen Leiter und Messpunkt (senkrecht) 

Radius der Leiterschleife 

m 

m 

r� d�: 

Leiterelement m 

1 ��r�d� E � � � R 3 

4�� 

�� R 

Abstand zwischen Ladungselement auf Leiterschleife und Betrachtungspunkt als Vektor in 

Zylinderkoordinaten: 

�cos ��0� � �r �cos �� 

R � �r �er � z � ez 

� �r �� 

sin��z� � 

0 

� 

� � �r�sin�� 0 � �1� � z � 

� � � � � � 


�� 

�� 

� �r �cos � � 

1 1 

r cos��r sin�� 

� 

� � � � � � � z 

�R� � r sin � � 

3 

2 2 

3/2 �� 2 2 

3/2 

2 2 

3/2 

2 2 

3/2 

R �r � z � � z �r z � �r z � �r z � 

� � � 

� � � � 

� � 

� 


2�� 2�� 

�r�cos��r�sin�� Ix � � �rd� � 0 I 

0 

2 2 

3/2 y � � 

�rd� 

� 

2 2 

3/2 

0 r �z 0 r �z 

I 

z 

2�� 

� � 

z 

� � 

2� 

� � r�z � 

� rd� 

2 2 2 2 

0 �r �z��r�z� � � 3/2 

�0� � �r�z � � 

E � � 0 

2 2 � � 

2� 

� � r � z �1� � � 

3/2 3/2 

� � 


T

Situationen 


elektrische 

Feldstärke 

elektrische 

Feldstärke 


6.2.8.7 ausgedehnte Ebene 

(Elektrische Flussdichten in x- und z-Richtung heben sich auf, da D � dA ) 

positiv geladen negativ geladen 

E � E �ex dA � dA� ex 

Q 

� E � dA � E � dA � E � dA � E � dA � E � dA 

� �� 

Kasten links rechts links rechts 

Q 

�s 

� A 

� 2� 

E�A� � � 

�s 

E � �e 

2� 

� 

x 

6.2.8.8 parallele Ebenen 

E �E� ex 

� Q 

� � � A 

s E � �ex � �ex 

E � const. 


Aufbau 

Potentialflächen 

elektrische 

Feldstärke 


6.2.8.9 beliebige Elektroden 

6.2.8.9.1 Berechnung 


�x y z� 


E �� grad � 

6.2.8.9.2 Beispiel 

Winkeleisen (grün) und gebogene Platte (rot) mit einer Höhe von einem Meter. 

5 

Das Potential zwischen den beiden Elektroden ist � �x, y, z� �10 � x � y V . 

Das Potential auf der gebogenen Platte ist 100 V. 

Das Potential auf dem Winkeleisen ist 0 V. 

Seitenansicht Obenansicht 

5 

� � : � �x, y, z� �10 � x� y � 50 

Z. B. für 50 V 

Seitenansicht Obenansicht 

T �y� �� 

E � �grad � � �� 10 � x Vm 

x y z � � 

� � � � � �0� � � 

5 �1 



Ladung 

Kapazität 

allgemein 

konstante elektrische 

Feldstärke 


Der Platte die auf y = 0 liegt: 

5 �1 

�x� � Dy � 0�Ey � � 0�10 � x Vm 

� � � 

Der Platte die auf x = 0 liegt: 

� y � D � � � E � �� 10 � y Vm 

5 �1 

� � x 0 x 0 

1 0.1 1 0.1 

� � 

� � � � 

Q � 2� � x dxdz � 2� �� 10 � xdxdz � �� 1000 � �8.854 �10 

C 

0 0 0 0 

�9 

Q �8.854�10 C � � � � 

U 100 

6.2.9 elektrische Arbeit 

5 �9 

0 0 

�12 

88.54 10 F 

W : elektrische Arbeit J 

Q : Ladung C 


F : Kraft zum Verschieben der Ladung N 

A : Startpunkt der Verschiebungsstrecke m 

B : Endpunkt der Verschiebungsstrecke m 

s : Weg m 


� : Winkel zwischen Kraftvektor und Wegvektor ° 

B 

� 

W � F �ds 

A 

B 

� 

W � Q � E � ds 

A 

W �F�s � � 

W � F � s � cos � 

W � Q � E � s 

� � 

W � Q � E � s � cos � 

Andere 

Verschiebung 


Eigenschaften 

elektrische 

Spannung 

Wegunabhängigkeit 

geschlossener Weg 


6.2.10 elektrische Spannung 

u AB : 

elektrische Spannung um das 

Teilchen von A nach B zu bewegen 

W AB : Verschiebungsarbeit J 



ds, ds : Abstand m 

A : Startpunkt der Verschiebungsstrecke m 

B : Endpunkt der Verschiebungsstrecke m 

C , C : Verschiebungsstrecken im Raum m 

1 2 

C : geschlossene Kurve m 

E ist wirbelfrei: 

rot E � 0 

W 

B 

AB uAB � � E ds 

Q � � 

A 

� � 

E � ds � E � ds 

C1 C2 

� 

C 

E �ds�0 V 


Bedeutung 

Ladungen 



6.2.11 Spitzeneffekt 

Aufbau Entladungen 

(Die geladenen Metallkugeln sind leitend verbunden) 

� i : elektrisches Potential V 

Q : Ladung C 

i 

R : Radius m 

Metallkugeln 

i 

� i : Flächenladungsdichte C m -2 

A i : Oberfläche m 2 


Entladungen (Überschläge und Funken) treten an Stellen mit kleinen Krümmungsradien auf: 

�1 � �2 

Q1 Q2 

� 

4��R 4��R 

Q R 

� 

Q R 

1 1 

2 2 

1 2 

Q Q 

� 

� 

� Q 2 

� 

� 

Q 

A R 

1 1 

1 A14� 2 

�R1 

� R 

� R 

� 

1 2 

2 1 

2 2 

2 4�� 

2 

2 


Dipolmoment 

Gesamtdipolmoment 

Dipolfeldpotential 


6.2.12 elektrischer Dipol 

6.2.12.1 Dipolfeldpotential und elektrische Feldstärke 

+Q befindet sich an der Stelle �0,0, d / 2� 

-Q befindet sich an der Stelle �0,0, � d / 2� 

p : Dipolmoment C m 

Q : Ladung des Dipols, positiv C 

d : Länge des Dipols m 

p : Gesamtdipolmoment C m 

ges 

Q i : Ladung, positiv oder negativ C 

r i : 

n : 

Abstand zur Ladung 

Anzahl Ladungen 

m 

� : 

Winkel zwischen Betrachtungspunkt und 

der Orientierungsgeraden des Dipols 

° 

R : 

Abstand zwischen Dipolmittelpunkt und 

Betrachtungspunkt 

m 

� : Dipolfeldpotential V 

Dipolmoment 

Gesamtdipolmoment 

Abmessungen 

Andere 



p �Q� d 

n 

� 

p � Q �r 

ges i i 

i�1 

Q 

� 

1 1 

� 

� � �� 

4 �� R �d/ 2 R �d/ 

2 � 

� � 

1 p � cos 

� � � 2 

4 �� 

R 

1 p�R � � � 3 

4 �� 

R 

�� 

exakt 

Näherung für R d 

Nahfeld Fernfeld 


elektrische 

Feldstärke 

inhomogenes Feld 


� � 

Q R �d/ 2 R �d/ 

2 

E � �� 

3 3 

4 �� 

� 

� 

R �d/ 2 R �d/ 

2 � 

� � 

Q�d E � � 2� cos � � sin 

3 

4� 

� �� R 

� �� er 

�� e� 

� 

exakt 

��1 ��1 

�� 

� 

E � �� er � � � e� � � � e� 

� 

r r � r sin�� 

� � � � � � 

6.2.12.2 Kräfte, Drehmoment und Energie 

d d 

r� � r � r� � r � 

2 2 

F : Kraft die auf das Dipol wirkt N 

F� : Kraft die auf die positive Ladung wirkt N 

F� : Kraft die auf die negative Ladung wirkt N 

Q : Ladung des Dipols, positiv C 

p : Dipolmoment C m 

r � : Abstand zur positiven Ladung m 

r � : Abstand zur negativen Ladung m 

d : Länge des Dipols m 

M : Drehmoment das auf das Dipol wirkt N m 

E : potentielle Energie des Dipols J 

pot 

E : elektrische Feldstärke, homogen V m -1 

� � 

� �r � : äusseres Potential V 

E r : elektrische Feldstärke, inhomogen V m -1 

F �F�F � � 

� � �� F � Q � E r � E r 

� � � � 

F � Q � d �� E r 

� � � � 

F � p �� E r 

� d � � d � 

M � � � F��F�� 2 � � 2 � 

� � � � � 

� E r E r � 

� � 

M � Q ��d� � 

� 

2 � 

� � 

Kräfte 

Näherung für R d 


Dipol 

Andere

homogenes Feld 

potentielle Energie 


F � 0 

� � 

M � Q � d � E 

M � p �E 

pot 

pot 

pot 

� � �� E � Q � � r � � r 

� � 

E � �Q � d � E 

E � � p � E 


Eigenschaften 

homogen 

inhomogen 


FH Formelsammlung - Elektrodynamik Editiert: 21.02.2011 

7 Elektrodynamik 

7.1 elektrische Stromdichte 








Leiter 

Abmessungen 

dA : Oberflächenelement m 2 



J ist quellenfrei: 

div J � 0 

Homogener Querschnitt und Winkel zwischen I und A gleich 90°: 

I �J� A 

� �AU � 

I � 

l 

�� 

I � J �dA 

A 

J �� E 

E 

J � 

� 


Hinweis 


Ströme 


7.1.2 Satz von Gauss 


I : elektrischer Strom der hineinfliesst A 

1 

I : elektrischer Strom der herausfliesst A 

2 


A, A : Deckelflächen m 2 

1 2 

dA, dA1, dA 2: 

Oberflächenelemente m 2 

x 

Strom(dichte) 

Abmessungen 

e : kartesischer Einheitsvektor Andere 

Die Mantelfläche bringt keinen Beitrag zum Oberflächenintegral, da J � dA . 

� � 

J � J �e dA � dA � �e dA � dA � e 

x 1 1 x 2 2 x 

�� 

J � dA � J � dA1�J�dA2 � J � dA � 0 

Hülle A1 A2 Mantel 

�� J � dA � �� J � dA � �J � A � J � A � �I � I � 0 � I � I J � const. 

1 2 1 2 1 2 1 2 

A1 A2 


Definition 

Beziehung zur 

Kapazität 


7.2 elektrischer Widerstand 

R : elektrischer Widerstand Ω 









Leiter 

Abmessungen 

AB: , Punkte im Raum m 

� : elektrische Leitfähigkeit Ω -1 m -1 � : elektrische Feldkonstante F m 


-1 

U 

R � 

I 

Berechnung mit EJ , 

J E 

Formel 

R C � 

� � 

� 

R � 

B 

� 

A 

�� 

A 

E � ds 

J � dA 

R � 

B 

� 

A 

�� 

A 

J 

ds 

� � 

J � dA 


B 

� 

E � ds 

A R � 

� � E �dA 

�� 

A

Definition 

Leiter 

ρ und J homogen 

ρ und J inhomogen 


7.3 elektrische Leistung 

P : elektrische Leistung W 




I : elektrischer Strom durch den Leiter A 

U : elektrische Spannung über dem Leiter V 

12 


dV : Volumenelement m 3 


�� 

P � J � E � dV 

V 

�� 

2 

P � � �JdV 

V 

2 2 

� � 

P � I � Eds � J � A� Eds � I �U 

1 1 

7.4 Joule-Verluste, Verluste durch joulsche Wärme 

P : Verlustleistung W 


J : elektrische Stromdichte A m -2 


dV : Volumenelement m 3 

2 

P � � � J � V 

�� 

2 

P � � �JdV 

V 

12 

Leiter 

Integral 


Situationen 

Gleichstrom 

Wechselstrom 

FH Formelsammlung - Magnetostatik Editiert: 21.02.2011 

8 Magnetostatik 

8.1 Kräfte 

8.1.1 Kräfte zwischen zwei parallelen Leiter 

gleichsinnige Bestromung gegensinnige Bestromung 

� � 

F, F t : Kraft zwischen den Leitern, Lorentzkraft, Laplacekraft N 

l : Länge der parallelen Leiter m 

r : Abstand zwischen den Leitern m 

1 1 

� � 

� � 

I , i t : Strom durch den ersten Leiter A 

I , i t : Strom durch den zweiten Leiter A 

2 2 


� l �I�I F � � 

2� 

� r 

� � 

F t 

1 2 

� � � � 

� l �i1 t �i2 

t 

� � 

2� 

� r 


vektoriell 

Betragsmässig 


8.1.2 Punktladung im magnetischen Feld, Lorentzkraft, Laplacekraft 

F : 

Kraft die auf die Punktladung wirkt, Lorentzkraft, Laplacekraft N 


v : Geschwindigkeit m s -1 

B : 

� : 

äussere magnetische Flussdichte T 

Winkel zwischen Bewegungsrichtung 

des Teilchens und dem magnetischen Feld 

F � Q ��v � B� 

� � 

F � Q � v � B � sin � 

Punktladung 

Aufbau 

8.1.3 inhomogener Leiter im magnetischen Feld, Lorentzkraft, Laplacekraft 

F : Kraft die auf den Leiter wirkt, Lorentzkraft, Laplacekraft N 

I : Strom durch den Leiter A 

dl : Leiterelement im magnetischen Feld (in Stromrichtung) m 


° 

Leiter 

B : äussere magnetische Flussdichte T Aufbau 

� 

F � I � dl � B 

Leiter

► Beispiel 


Kräfte auf eine rechteckige Leiterschleife neben einem unendlich langen Leiter: 

z 

5 cm 

r 1 : Abstand zwischen l2 und Leiter m 

r 2 : 

� : 

Abstand zwischen l4 und Leiter 

magnetische Feldkonstante 

m 

H m -1 

Orientierung 

� � � � 

l � l � �e l � l �e l � l �e l � l � �e 

1 1 r 3 3 r 2 2 z 4 4 z 

B �B�e� Leiterschleifensegment l2 und l4: 

� 

� �I2�N � � � z � � � r� 

F � I � dl � B � I � l � B � I � l � e � B � e � I �l � � �e 

2��r 

2 1 1 2 1 2 1 2 

l2 

�7 

4� � �10 �10 � 20 

�3 

10 0.05 � r�110 r N 

F2 � � � � �e � � � � e 

2��0.02 � � � � � � � 

� �I �N 

F � I � dl � B � I � l � B � I � l � �e � B � e � I �l � �e 

� 

4 1 

l4 

1 4 1 4 z 1 4 

2 

2��r2 

r 

�7 

4� � �10 �10 � 20 

�6 

10 0.05 r 167 10 r N 

F4 � � � � e � � � e 

2��0.12 Leiterschleifensegment l1 und l3: 

r2 r2 

��I�N��I�I�Ndr F � I � dl � B � I � dr � �e � � e � � �e 

2 1 2 

� � � � 

1 1 1 

r � 

z 

2�� r 2�� 

r 

l1 r1 r1 

�7 

1 2 2 4 10 10 10 20 0.12 

F1 � �ln � ��ez � � ln � ��ez 

2�� r1 

2�� 0.02 � 

1 

� � � 

� � I � I � N �r� �� 

F � � � � e 

�6 

717 10 z N 

� � 

� � � � 

r2 r2 

��I2�N��I1�I2�Ndr 3 � 1 �� 1 �� r � � � � � z 

2�� r 2�� 

� r 

l3 r1 r1 

F I dl B I dr e e e 

�7 

1 2 2 4 10 10 10 20 0.12 

F3 � � ln � ��ez � � ln � ��ez 

2�� r1 

2�� 0.02 � 

3 

� � I � I � N �r� �� 

F � � � e 

F3 �� F1 

l4 

12 cm 

10 cm 

l3 

l1 

I1 = 10 A 

N = 20 

�6 

717 10 z N 

� � 

l2 

I2 = 10 A 

r 

F4 


F 1 

1 

F 3 

B 

φ 

z 

F2 

B � const. 

B � const. 

r

Aufbau 

Situationen 

vektoriell 

Betragsmässig 

Kräfte bei einer 

Leiterschleife 


8.1.4 homogener Leiter im magnetischen Feld, Lorentzkraft, Laplacekraft 

Vorderansicht Seitenansicht Abmessungen 

Nordpol Oben Südpol Oben 

F : Kraft die auf den Leiter wirkt, Lorentzkraft, Laplacekraft N 


l : Länge des Leiters im magnetischen Feld (in Stromrichtung) m 

B : 

� : 

äussere magnetische Flussdichte T 

Winkel zwischen dem Leiter 

und dem magnetischen Feld 

F � I ��l � B� 

� � 

F � I � l � B � sin � 

Leiter 

Aufbau 


°

Situationen 

Kraft 

Radius 


8.1.5 Ablenkung einer Punktladung im magnetischen Feld 

Obenansicht Raumansicht 

negative Ladung, z. B. Elektron positive Ladung, z. B. Ion 

F : 

Kraft die auf die Punktladung wirkt, 

Lorentzkraft, Laplacekraft 

N 


vv: , Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn m s -1 

� : Winkelgeschwindigkeit rad s -1 

a : Beschleunigung auf der Umlaufbahn m s -2 

� : Winkelbeschleunigung rad s -2 

m : Masse kg 

R : Radius der Umlaufbahn m 

BB: , äussere magnetische Flussdichte T 

f : Zyklotronfrequenz Hz 

zyk 

c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1 

2 

mv � 

F � � Q �v � B � m� a v � B 

R 

m�v R � 

Q�B 2 2 

v a � m 

R � � 

a Q � B 

2 2 

Punktladung 

Andere 


Winkelgeschwindigkeit 

Winkelbeschleunigung 

Zyklotronfrequenz 

Hinweise 

F� B Drift 

E� B Drift 


Q�B � � v�� R 

m 

Q �v � B Q � B 

� � � 2 

m� R m 

f 

f 

zyk 

zyk 

Q � B 

� 

2��m 

2 2 

Q � B �v� � � 1� 

� � 

2��m 

�c� a�� R 

kleine Winkelgeschwindigkeit 

2 

grosse Winkelgeschwindigkeit 

8.1.6 Ablenkung einer Punktladung im elektrischen und magnetischen Feld 

vv: , Driftgeschwindigkeit m s -1 

F : ausgeübte Kraft N 

Q : Ladung C 

Punktladung 

EE , : elektrische Feldstärke V m -1 Aufbau 

BB: , magnetische Flussdichte T 

� Das Elektron wird gebremst: kleiner Radius. 

� Das Ion wird beschleunigt: grosser Radius. 

� Die Driftgeschwindigkeit ist ladungsunabhängig und somit für Elektronen und Ionen gleich gross. 

F�B v � 2 

Q � B 

E�B v � 2 

B 

E 

v � E� B 

B 


„elektrische“ Kraft 

„magnetische“ Kraft 

gerade Flugbahn 


8.1.7 Elektron im elektrischen und magnetischen Feld 

Kondensator mit magnetischem Feld Kräfte 

F e : Kraft die vom elektrischen Feld ausgeübt wird N 


F m : Kraft die vom magnetischen Feld ausgeübt wird N 




, 

vv: Geschwindigkeit des Elektrons m s -1 

e : elektrische Elementarladung 1.6021772 · 10 -19 A s 


z 

Fe �e� E 

U 

F � e � � e 

d 

e z 

m 

� � 

F � e� v � B 

� � 

F � e� v � B � � e 

m z 

Fe �� Fm 

U 

v � 

B�d elektrisches Feld 


Kondensator 

Andere 


Kräfte 

mechanisches 

Moment 

rotierende 



8.1.8 quadratische Leiterschleife im magnetischen Feld, mechanisches Moment 

stillstehende Leiterschleife rotierende Leiterschleife 

F i : Kraft N 

L i : Länge m 

r i : Abstand zum Zentrum m 

I : Strom A 

M : mechanisches Moment N m 

Rot 

mech 

P : Rotationsleistung W 

SS , : Oberfläche m 2 


� : Auslenkungswinkel ° 

� : Winkelgeschwindigkeit rad s -1 

1 1 

3 3 

� � 

� � 

F � I � L � B � 0 

F � I � L � B � 0 

2 2 

4 4 

� � 

� � 

F � I � L � B 

F � I � L � B 

M � r � F � r � F 

mech 

2 2 4 4 

L B 

1 

L B 

2 

einzelner Leiter 


Andere 

� � �� 

� � 

� � 

M � 2�r�I�L�B�2�r�I�L� B 

mech 

mech 

2 2 4 4 

� � 

M � I � S � B 

� � 

M � I � S � B � cos � 

mech 

PRot�Mmech� � 


magnetisches 

Moment 

Beziehung zum 

mechanischen 

Moment 


8.1.9 magnetisches Moment 

M magnC : coulombsches magnetisches Moment T m 3 

M magnA ampersches magnetisches Moment (veraltet) A m 2 

M mech : mechanisches Moment N m 


I : Strom A 

S : Oberfläche m 2 




M � � � N � I � S 

magnC 

MmagnA � N � I � S 

M �� M 

magnC magnA 

Mmech �MmagnC� H 

Mmech �MmagnA� B 

� � 

M � N � I � S � B 

mech 

Momente 




Gültigkeit 

einzelner Strom 

mehrere Ströme 

allgemein 


8.2 ampèresches Gesetz, Durchflutungsgesetz 

H : magnetische Feldstärke A m-1 magnetisch 

� : magnetische Spannung A 

II , i : elektrischer Strom A 







μ kann beliebig gross sein 

elektrisch 

Andere 

Aufbau beliebiger geschlossener Integrationsweg 

� 

C 

� 

C 

H �ds�I H � ds � I � I � I 

� �� 

C A 

1 2 3 

H � ds � J � dA � � 


Integrationswege, 

Schraubenregel 

Gültigkeit 

konstante 

Stromdichte 

beliebige 

Stromdichte 


� � � I1 

�� I2 

�� 0 

� � I1� I2 

1 I �� I1� I2 

8.3 Biot und Savart Gesetz 


H : 

magnetische Feldstärke im Punkt P A m-1 

I : Strom A 

J : Stromdichte A m -2 

r : Abstand zwischen Leiterelement und Punkt P m 

V : Volumen den Leiters m 3 

ds : Wegelement in Richtung des Stromes m 



μ ≈ μ0 (z. B. in der Luft) 

I ds � r 

H � � 3 

� � r 

4 � C 

1 J�r H � � dV 3 

�� r 

4 V 

Andere 

Integral 


Integral 

Berechnung 

magnetische 

Feldstärke 


8.3.2 langer Leiter 



er, e� , ez: 

zylindrischer Einheitsvektor 

L : Länge des Leiters m 

d : Abstand zwischen r-Achse und Messpunkt (senkrecht) m 

z : Höhe auf der z-Achse m 

R : Abstand zu den Leiterelementen auf dem Leiter m 

ds : Wegelement in Richtung des Stromes m 

L 

2 

I ds � R 

H � � 3 

4� 

� 

R 

� L 

� 

2 

Andere 

Abmessungen 

Abstand zwischen Leiterelement und Betrachtungspunkt sowie Wegelement in Richtung des Stromes als 

Vektoren in Zylinderkoordinaten: 

�1 � �0 � � r � �0 � � 0 � 

� � � � � � � � � � 

R � r � er � �d � z� � ez � r � 

� 

0 

� 

� �d � z� � 

� 

0 

� 

� 

� 

0 

� 

ds � dz � ez � dz � 

� 

0 

� 

� 

� 

0 

� 

�0 � �1 � � d z � �1 � � dz � 

� � � � � � � � � � � 

� 0 � � r � � 0 � 

� � � � � � 

ds � R � 

� 

0 

� 

� 

� 

0 

� 

� 

� 

r � dz 

� 

� r � dz � e� 

� dz � � d z � � 0 � 

� � � � � � � 

� � � � 3/2 

2 

3 2 

R � r � z � d 

Integral: 

L 

2 

I�r 1 

H � � � dz �e 

3/2 � 

4� 

� 

� L 

� 

2 

2 

2 

�r ��z�d�� 

� L L 

�d �d 

� 

I � 

H 

2 2 � 

� � � � e 

4 r 2 2 

� 

�� 

� 2 � L�2 � L� 

r d r d 

� 

� 

� � � � � � � � 

� 2��2� � 

� � 


Eigenschaften 

magnetische 

Flussdichte 

Magnetisierung 

Gauss und Tesla 

einzelner Leiter 


8.4 magnetische Flussdichte 


B : 

H : 

M : 


magnetische Feldstärke A m-1 

Magnetisierung A m-1 



B ist quellenfrei: 

div B � 0 

B�� H 

0 

� � 

B � � � H � M 

M �� H 

1 Gs � 0.0001 T 

1 T �10000 

Gs 

8.4.2 Feldlinien 

8.4.2.1 Objekte im Raum 

Aussenfeld Innenfeld 


Paralleldrahtleitung, 

Zweidrahtleitung 

radialer Hohlleiter, 

Rohr 

Zylinderspule 

(Solenoid) 


gegensinnige Bestromung gleichsinnige Bestromung 

mittiges Loch nicht mittiges Loch 


Ringspule (Toroid) 

Bezeichnungen 

Magnete 

Leiter 


8.4.2.2 Magnete 

Stabmagnet Hufeisenmagnet 

Betrachtung von oben: 

Nordpol zeigt in Gegenuhrzeigersinn, 

Südpol zeigt in Uhrzeigersinn 

Betrachtung von oben: 

Nordpol zeigt in Uhrzeigersinn, 

Südpol zeigt in Gegenuhrzeigersinn 


Zylinderspule 

Leiter liegt auf 

z-Achse 

Leiter liegt neben der 

z-Achse 


8.4.3 einzelner Leiter 

B : magnetische Flussdichte auf der x-Achse T 


x : Abstand von der z-Achse m 

x : Position des verschobenen Leiters m 

0 


e y : kartesischer Einheitsvektor 

� � I 

B� �e 

2��x 

� � I 

B� �e 

2� 

� � � 

y 

�x x � 

0 

y 


Aufbau 


Feldlinien 

einzelne 

magnetische 

Flussdichten 

gesamte 

magnetische 

Flussdichte 



8.4.4.1 gegensinnige Bestromung 

Flussdichte Feldlinien 

B, B , B : magnetische Flussdichte auf der x-Achse T 

1 2 

I : Strom durch die Leiter A 


d : Position der Leiter m 



� � I 

B1� �e 

2� 

� � � 

� x d� 

� I � 

�x d� 

� � � 

B2� �e 

2� 

� � � 

� �I�d B � B � B � �e 

� � � 

y 

y 

�d x � 

1 2 2 2 y 


Aufbau 


Feldlinien 

einzelne 

magnetische 

Flussdichten 

gesamte 

magnetische 

Flussdichte 


8.4.4.2 gleichsinnige Bestromung 

Flussdichte Feldlinien 

B, B , B : magnetische Flussdichte auf der x-Achse T 

1 2 



d : Position der Leiter m 



� � I 

B1� �e 

2� 

� � � 

� x d� 

� � I 

B2� �e 

2� 

� � � 

�x d� 

� �I�x B � B � B � �e 

� � � 

y 

y 

�x d � 

1 2 2 2 y 


Eigenschaften 

Feldkonstante 


8.4.5 Überlagerung dreier Flussdichten, Dreidrahtleitung 

B : gesamte magnetische Flussdichte T 

B : magnetische Flussdichte des ersten Leiters T 

1 

B 2 : magnetische Flussdichte des zweiten Leiters T 

B 3 : magnetische Flussdichte des dritten Leiters T 

B � B1 � B2 � B3 

8.5 magnetische Feldstärke 


H : 

B : 




H ist quellenfrei: 

div H � 0 

B 

H � 

� 




Hi, H i : magnetische Feldstärke A m -1 magnetische Feldstärke 

H max : maximale magnetische Feldstärke A m -1 

A i : innere Teilfläche m 2 

r : Radius des Leiters m 

0 

i, i 

a, a 

r R : innerer Radius m 

r R : äusserer Radius m 

R m : Radius der Dielektrikagrenze m 

L : Länge der Spule m 


r : Abstand zwischen Leiterelement und Punkt P m 

i 

, 

ah: Abstand zwischen Leiter und Punkt P (senkrecht) m 


I : Teilstrom A 

i 


, i 

�� : Winkel ° 


ds : zylindrisches Wegelement m 

dH i : magnetisches Feldstärkenelement A m -1 


x 

, z 

e e 

� : zylindrischer Einheitsvektor 

H 

e : Einheitsvektor in Richtung der magnetischen Feldstärke A m -1 


Abmessungen 

Andere 

Integral 


Längen anders 

ausdrücken 

Integral berechnen 

unendlich langer 

Leiter 


8.5.3 langer Leiter 

tan 

a 

s 

cot 

a 

sin�� 

� �� 

r 

� 

a 

r � 

sin 

�� s��a�� d� 

ds �a� 2 

sin 

�� 

ds � r � ds � r �sin 

�� 

3 

4�� r 4�� 

�1 �1 

�� 

�� 

�2 �2 

I ds � r I sin 

H � � � � � � d� 

a 

I 

H � ��cos ��1��cos��2��e 4��a 

I 

H e 

2 a � � � 

�� 0 

1 

� �180� 2 

H 


Winkel 

einzelne magnetische 

Feldstärke 

gesamte magnetische 

Feldstärke 

magnetische 

Feldstärke im 

Zentrum (z = 0) 


8.5.4 quadratische Leiterschleife 

�� 

cos � cos 45� 

� 

1 

2 

2 

2 

cos� �2 

� � cos�135�� 

2 

I � 2 2 � I�2 

H1 

� �� 

4� � � h � 2 2 � 

� � 4� 

� � h 

I � 2 

Hges�4�H1� � � h 

8.5.5 radiale Leiterschleife 

ds � r 

� � 

ds � r � ds � r �sin 90� 

� ds � r � ds � a 

I ds � r I ds I I 

H � � � � � � ds � � �� a 

4� � � 4� � � 4� � � � 4� 

� � 

I 

H � �e 

2� 

a 

3 2 2 2 2 

C r 

a a a 

Schleife Schleife 

z 


magnetische 

Feldstärke auf der z- 

Achse 


r � r � a � h 

1 2 

cos 

�� 

ds � r 

� 

2 2 

a 

a � h 

2 2 

� � 

ds � r � ds � r �sin 90� 

� ds � r 

I ds �rIdsIds�a H � � � � � cos�� 

� � � 

4� � � r 4� � � r 4� 

� � 

a � h 

2 2 � 

2 2 

�a h � Schleife �a h � 

2 2 � � 

3 2 3/2 

C Schleife Schleife 

I �aI�a H � � ds � � 2� 

� � a 

3/2 3/2 

4�� 4�� 

� � 

2 

I�a H � �e 

3/2 

2� 

� 

2 2 �a h � 

8.5.6 rechteckige Leiterschleife 

2�N�I � 1 1 � 

H � � � � e 

2 2 �� 

� �a b � 

z 

x 

x � 0 


magnetische Feldstärke 

in der Mitte 

magnetische Feldstärke 

am Rand 


8.5.7 kurze Zylinderspule 

N�I H � ��cos ��2��cos��1��e 2� 

L 

8.5.8 lange Zylinderspule 

z 

N�I H � � e 

L 

z 

N�I H � �� cos� 

�1 

�� 

�e 

2� 

L 

N�I H � �e 

2� 

L 

H 

L a 


H

Innenfeld 

(0 ≤ r < ri) 

Mittenfeld 

(ri ≤ r < ra) 

Aussenfeld 

(ra ≤ r < ∞) 

maximale magnetische 

Feldstärke 


8.5.9 Ringspule 

H � H �e ds � ds � e 

2 2 

� � 

Eine Feldlinie umschliesst keinen Strom: 

� 

Ring 

1 

H �ds�0 1 

H � 0 

Eine Feldlinie umschliesst den inneren Gesamtstrom N ∙ I: 

� � H2 � const. 

N � I � H � ds � H � ds � H � �� r 

H 

2 

2 2 2 2 

Ring Ring 

N�I � 

2��r 

Eine Feldlinie umschliesst den inneren Gesamtstrom N ∙ I und den entgegengerichteten äusseren 

Gesamtstrom N ∙ I: 

N � I � N � I � H � ds � 0 

H � 0 

H 

3 

max 

N�I � 

� � 

2 � ri 

� 

Ring 

3 



8.5.10 Helmholtzspule 

8�N�I 

H � �e 

125 � 

R 

x 


Innenfeld 

(0 ≤ r < r0) 

Aussenfeld 

(r0 ≤ r < ∞) 


Feldstärke 


8.5.11 unendlich langer Leiter 

H � H �e H � H �e ds � ds � e 

i i � a a � � 

Eine Feldlinie umschliesst den Teilstrom Ii: 

2 

I 2 r 

Ii � J � Ai � �� r � I � 

2 2 

� � r r 

0 0 

r 

Ii � Hi � ds � Hi � ds � Hi � 2� 

� � r � I � 

r 

Ring Ring 

J � homogen 

� � Hi � const. 

I�r Hi� �e 

2��r 

2 

0 

� 

Eine Feldlinie umschliesst den Gesamtstrom I: 

� � Ha � const. 

I � H � ds � H � ds � H � 2� 

� � r 

a a a 

Ring Ring 

I 

Ha� �e 

2��r 

H 

max 

I 

� 

2��r 

0 

� 

2 

2 

0 


Innenfeld (0 ≤ r < ri) 

Mittelfeld 

(ri ≤ r < ra) 

Aussenfeld 

(ra ≤ r < ∞) 


Feldstärke 


8.5.12 radialer Hohlleiter, Rohr 

H � H �e H � H �e ds � ds � e 

2 2 � 3 3 � � 

Eine Feldlinie umschliesst keinen Strom: 

� 

Ring 

1 

H �ds�0 1 

H � 0 

Eine Feldlinie umschliesst den Teilstrom Ii: 

I 

2 2 

2 2 

i 

Ii � J � Ai � �� r � ri � � I � 2 2 

� � � 

ra � ri 

2 2 �ra ri 

� 

2 2 

2 

i 

2 2 2 2 2 

a i Ring Ring 

r � r 

J � homogen 

r � r 

I � � H � ds � H � ds � H � �� r 

r � r � � H2 � const. 

I r � r 

H � � �e 

2 2 

i 

2 2 2 

2� 

� � r ra � ri 

Eine Feldlinie umschliesst den Gesamtstrom I: 

I � H � ds � H � ds � H � �� r 

3 3 3 2 

Ring Ring 

� 

� � H3 � const. 

I 

H3� �e 

2��r 

H 

max 

I 

� 

� � 

2 � ra 

� 


0 ≤ r < Ri 

Ri ≤ r < Rm 

Rm ≤ r < Ra 


8.5.13 Koaxialkabel 

H � H �e H � H �e H � H �e ds � ds � e 

1 1 � 2 2 � 3 3 � � 

Eine Feldlinie umschliesst den Teilstrom I1: 

2 

I 2 r 

I1 � J � Ai � �� r � I � 

2 2 

� � R R 

i i 

2 

r 

I � � H � ds � H � ds � H � 2� 

� � r 

R 

2 

1 1 1 

i Ring Ring 

I�r H � �e 

1 2 

2��Ri J � homogen 

� � H1 � const. 

� 

Eine Feldlinie umschliesst den inneren Gesamtstrom I: 

� � H2 � const. 

I � H � ds � H � ds � H � �� r 

2 2 2 2 

Ring Ring 

I 

H2� �e 

2��r 

� 

Eine Feldlinie umschliesst den inneren Gesamtstrom I und den entgegengerichteten Teilstrom I3: 

I 

r � R 

I J A r R I 

R R 

2 2 

2 2 

m 

3 � � i � �� m��2 

2 

� � � 

a � m 

2 2 �Ra Rm� 

2 2 

2 

m 

2 3 3 3 2 

a m Ring Ring 

J � homogen 

r � R 

I � I � � H � ds � H � ds � H � �� r 

R � R � � H3 � const. 

I R � r 

H � � � e 

2 

a 

2 

3 

2� 

� � r 

2 2 

Ra � Rm 

� 


Ra ≤ r < ∞ 


Feldstärke 

einzelne 

magnetische 

Feldstärken 

gesamte 

magnetische 

Feldstärke 


Eine Feldlinie umschliesst den inneren Gesamtstrom I und den entgegengesetzten Gesamtstrom I: 

� 

Ring 

4 

H �ds�0 4 

H � 0 

H 

max 

I 

� 

� � 

2 � Ri 


8.5.14.1 gegensinnige Bestromung 

H P : magnetische Feldstärke im Punkt P A m -1 

H , H : magnetische Feldstärke eines Leiters A m -1 

1 2 


a : Abstand zwischen Punkt und Ursprung m 

d : Abstand zwischen Leiter und Ursprung m 

� : Winkel zwischen P H und H i 

° 

I 

H1 �H2 � 

2� 

� � a � d 

2 2 

d I d 

HP � �H1 � H2 �� cos� � � � �H1 � H2 

�� 

� 2� � 

a � d 2� 

� � a � d a � d 

H 

P 

I�d � 

� � � 

2 2 �a d � 

2 2 2 2 2 2 


einzelne 

magnetische 

Feldstärken 

gesamte 

magnetische 

Feldstärke 


8.5.14.2 gleichsinnige Bestromung 

H P : magnetische Feldstärke im Punkt P A m -1 

H , H : magnetische Feldstärke eines Leiters A m -1 

1 2 


a : Abstand zwischen Punkt und Ursprung m 

d : Abstand zwischen Leiter und Ursprung m 

� : Winkel zwischen P H und H i 

° 

I 

H1 �H2 � 

2� 

� � a � d 

2 2 

a I a 

HP � �H1 � H2 �� cos�� H1 � H2 

�� 

� 2� � 

a � d 2� 

� � a � d a � d 

H 

P 

I�a � 

� � � 

2 2 �a d � 

2 2 2 2 2 2 


eliebige Oberfläche 

homogene 

Oberfläche 

geschlossene 

Oberfläche 


8.6 magnetischer Fluss 




AS: , Oberfläche m 2 

�� 

� � B � dA 

A 

� � B� A 

�� 

� � B � dA � 0 

A 


liegende Schleife 

stehende Schleife 


8.6.2 Leiter und rechteckige Schleife 




A : Oberfläche der Schleife m 2 

d : Abstand zwischen Zentrum und Schleife m 

a : Länge der Schleife m 

b : Breite der Schleife m 

x : Abstand vom Zentrum m 



dx : kartesisches Wegelement m 


y 

B � B �ey dA � dA� ey 

magnetische Flussdichte des Leiters: 

� � I 

B� �e 

2��x 

y 

magnetischer Fluss durch die Schleife: 

d �ad�a ��I��I�bdx � � B � dA � �b � dx � � 

2�� x 2�� 

x 

A d d 


Abmessungen 

Andere 

�� dA �b� dx 

� � I �b �d�a� � � �ln� � 

2� 

� � d � 

�� 0 B � dA � B� dA � 0 


Leiter 

Ring 


8.6.3 Leiter und Ring 




A : Querschnitt des Rings m 2 

R : Abstand zwischen Zentrum und Ring m 

i 

a : Dicke und Höhe des Rings m 

r : 

� : 

Abstand vom Zentrum 


m 

H m -1 


dr : zylindrisches Wegelement m 

e : zylindrischer Einheitsvektor 

r 

B � B �e� dA � dA� e� 

magnetische Flussdichte des Leiters: 

� � I 

B� �e� 

2��r 

magnetische Flussdichte durch den Ring: 

R �aR�a i i 

��I��I�adr � � B � dA � � a � dr � � 

2�� r 2�� 

r 

A Ri Ri 


Abmessungen 

Andere 

�� dA �a� dr 

� �I�a �Ri�a� � � �ln� � 

2� 

� � Ri 

� 


Materialklassifizierung 

Eigenschaften von 

ferromagnetischen 

Stoffen 

Entmagnetisierung 

FH Formelsammlung - Magnetodynamik Editiert: 21.02.2011 

9 Magnetodynamik 

9.1 Magnetisierungskennlinie, Hysteresekurve 


B : Remanenzflussdichte T 

R 

H : 


H C : Koerzitivfeldstärke A m -1 

� : Permeabilität des Materials 

r 

Bezeichnung Permeabilität Beispielmaterialien 

diamagnetische Stoffe μr < 1 Kupfer, Wismut 

paramagnetische Stoffe μr > 1 Aluminium 

ferromagnetische Stoffe μr » 1 Eisen, Nickel, Kobalt 

Kurvenausschnitt ganze Kurve 

� Ein Eisenkern erhöht die Flussdichte einer Magnetspule. 

� Die Permeabilität ferromagnetischer Werkstoffe ist materialabhängig. 

� Die Permeabilität ist abhängig von der magnetischen Vorbehandlung des Materials. 

� μr ist keine Konstante, sondern abhängig von H: � ��H� � const. 

� Die Remanenz ist die bei stromloser Spule im Eisenkern bleibende magnetische Flussdichte. 

� Die Koerzitivfeldstärke ist die zur Aufhebung der Remanenz erforderliche Feldstärke. 

Die Entmagnetisierung kann durch einen stetig 

abnehmenden Wechselstrom höherer Frequenz erfolgen. 


Verschiebungsstromdichte 

Umlaufsinn 

Gesetz 


9.2 erweitertes Durchflutungsgesetz, maxwellsche Gleichung 

J D : Verschiebungsstromdichte A m -2 


H : 






A : Oberfläche zwischen den Platten m 2 

C : geschlossene Kurve um einen Plate m 



J 

D 

D 

�D 

� 

� t 

J �� D 

J � �� E 

D 

� �D 

� 

H � ds � J � J � dA � �J��dA � �t 

� 

� �� D � �� 

C A A 

Stromdichte 

Andere 

Integral 


Grundgesetz 

beliebiger Fall 

homogener Fall 


9.3 hopkinsonsches Gesetz, magnetische Spannung 

U m : magnetische Spannung A 


� : 

, 

magnetischer Fluss Wb 

l : Feldlinienlänge m 

HH : magnetische Feldstärke A m -1 

dl : Wegelement m 

Um � Rm�� 

U � H �dl 

m 

� 

Um �H� l 

l 

9.4 magnetischer Widerstand 


l : Feldlinienlänge m 



R 

m 

l 

� 

� � A 

9.5 magnetische Kreise 

9.5.1 Feldaufweitung am Luftspalt 

a 

b 

Ersatzoberfläche Streufeld 

S a : Ersatzoberfläche im Luftspalt m 2 

l a : 

a : 

Länge des Luftspalts 

Tiefe des Kerns 

m 

m 

b : Breite des Kerns m 

� � � � 

S � a � l � b � l Näherungsformel 

a a a 

l 

a 


Spulenkern 


Berechnung 


9.5.2 Spulenkern ohne Luftspalt 

I : Strom A 


R i : magnetischer Widerstand H -1 


h : mittlere Feldlinienhöhe m 

m 

b : mittlere Feldlinienbreite m 

m 

S : Querschnittsfläche m 2 


hm 

Rm1 �Rm3 � 

� � S 

bm 

Rm2 �Rm4 � 

� � S 

N�I �� 

R � R � R � R 

m1 m2 m3 m4 


Spule 


b m 

h 

m

Φ berechnen 

Bk berechnen 

Hk aus der 

Magnetisierungskennlinie 

auslesen 

Ha berechnen 

Θ berechnen 

I berechnen 


9.5.3 Spulenkern mit Luftspalt 

9.5.3.1 Strom I unbekannt 


� : gesamte magnetische Spannung A 


i 


S k : Querschnitt des Kerns m 2 

H i : magnetische Feldstärke A m -1 


i 


i 


� � Ba� Sa 

B 

k 

H 

a 

� 

� 

S 

k 

Ba 

� 

� 

0 

� � �k � �a � Hk �lk � Ha � la 

� 

I � 

N 

l 

k 


l a

Φ berechnen 

Bk berechnen 

Hk aus der 


auslesen 

μr berechnen 

Θ berechnen 

Ri berechnen 


9.5.3.2 μr und magnetische Spannung Θ unbekannt 


� : gesamte magnetische Spannung A 


i 


S k : Querschnitt des Kerns m 2 



i 

R i : magnetischer Widerstand H -1 


i 



r 

� � Ba� Sa 

B 

k 

� 

� 

S 

k 

Bk 

�r 

� 

� � H 

0 

k 

B 

� � � � � � H �l � H �l � H �l � � l 

R 

R 

k 

a 

k a k k a a k k 

a 

�0 

a 

lk 

� 

� � S 

k 

la 

� 

� � S 

a 


Luftspalt und Kern 

Andere 


Hk0 berechnen 

Bk0 berechnen 

Schnittpunkt mit 


suchen 

Φ berechnen 

Ba berechnen 

Ha berechnen 


9.5.3.3 μr und magnetische Flussdichte B unbekannt 

H k 0 : Schnittpunkt mit der H-Achse A m -1 

B : Schnittpunkt mit der B-Achse T 

k 0 


B i : magnetische Flussdichte T 


S a : Ersatzoberfläche m 2 

l : Länge m 

a 

S k : Querschnitt m 2 

l k : mittlere Feldlinienlänge m 


I : Strom A 


H 

B 

k 0 

k 0 

N�I � 

l 

k 

�0 � Sa � N � I 

� 

l � S 

� � Bk � Sk 

B 

a 

H 

a 

� 

� 

S 

a 

Ba 

� 

� 

0 

a k 

Arbeitsgerade 

Arbeitspunkt 

Luftspalt 


Kern 

Andere

Spulenkern 

Ersatzschaltbild 

(Windung links) 

magnetische 

Widerstände 


magnetische Flüsse 



9.5.4 verzweigter Spulenkern ohne Luftspalt 

R mi : einzelner magnetischer Widerstand H -1 

R mges : gesamter magnetischer Widerstand H -1 

� i : magnetischer Fluss Wb 


S i : Querschnittsfläche m 2 

l i : Länge m 


I : Strom A 

l l 

R � R � R � 

1 2 

3 

m1 � � Si m2 � � Si m3 

� � Si 

R � R 

Rmges � Rm1 � Rm2 Rm3 � Rm1 

� 

R � R 

�1 � �2 � � 3 

N�I �1� R 

mges 

R 

� � �� 

m3 

2 

Rm2 � Rm3 

1 

R 

� � �� 

m2 

3 

Rm2 � Rm3 

1 

l 

m2 m3 

m2 m3 

Andere 

Spulenkern 

Windung 


Experimente von 

Faraday 

lenzsche Regel 


9.6 Induktionsgesetz 

9.6.1 Grundlagen 


i, i t : induzierter Strom A 

� � 

v : Verschiebungsgeschwindigkeit des Magneten m s -1 


n : Normalenvektor der Oberfläche 


n, dA und B gleichgerichtet 

Anzahl Feldlinien verringert sich 

d� 

� 0 

dt 

d� 

� 0 

dt 

n, dA und B entgegengerichtet 

d� 

d� 

� 0 

� 0 

dt 

dt 

Anzahl Feldlinien verringert sich 

Die induzierten Ströme wirken gegen ihre Ursache. Die Ursache ist die Änderung des Flusses. 


Definition 

Situationen 



� � � � 

u , u t , u t : induzierte elektrische Spannung V 

i i 

E i : induzierte elektrische Feldstärke V m -1 

�� , �t � : magnetischer Fluss Wb 

B, B, B�t �, B�t � : magnetische Flussdichte T 

B 0 : Amplitude der magnetischen Flussdichte T 

AS: , 

Oberfläche m 2 

� � 

v, v, v t : Geschwindigkeit m s -1 

v 0 : Amplitude der Geschwindigkeit m s -1 

xt � � : zurückgelegte Strecke m 

l : Länge m 

a : Startposition m 


� : Phasenverschiebung rad 

t : Zeit s 


z 




9.6.3 Bewegungsinduktion 


� � 

ut 

� � 

d�t �� 

dt 

steigender magnetischer Fluss sinkender magnetischer Fluss 

� � 0 

ut � ut � � � 0 

Induktion 


Leiter 

Andere 

Integral 


induzierte elektrische 

Feldstärke 

induzierte Spannung 

induzierte elektrische 

Feldstärke 



(Berechnung mit Ei) 


(Berechnung mit Φ) 


9.6.3.2 konstante Geschwindigkeit, offener Stromkreis 

v � B Ei ds 

Ei �v� B 

2 2 2 

� � � 

u � E � ds � v � B � ds � v � B � ds � v � B �l 

i i 

1 1 1 

v � const. 

B � const. 

9.6.3.3 konstante Geschwindigkeit, geschlossener Stromkreis 

v � B E ds E :Gegenuhrzeigersinn ds : Uhrzeigersinn 

Ei �v� B 

i i 

��t � � B � A � B ��a � v �t �� 

l 

� � � 

u � E � ds � � v � B� ds � �v � B� ds � �v � B �l 

i i 

� � 

d�t ui � � � �v � B � l 

dt 

v � const. 

B � const. 


Geschwindigkeit 

Weg 




9.6.3.4 variable Geschwindigkeit, geschlossener Stromkreis 

� � � � � � � � 

v t v t 

0 sin 

1 

x t � v t dt v0 cos t 

� 

� � � � � � � � � �� 

� 1 � 

��t � � B � A � B �l ��a�v0��cos��t�� 

� � 

d�t ui �t � � � � �v0 � B �l �sin � t 

dt 

�� 


Umlaufsinn 

Gesetz 

magnetische 

Flussdichte 



9.6.4 Ruheinduktion 


d 

u � E � ds � � B � dA 

� �� 

i i 

dt 

C A 

9.6.4.2 keine Geschwindigkeit, zeitlich variable magnetische Flussdichte 

� � � � �� 

B t B t e dA dA e 

� � � � � � � � 

B t B t 

0 sin 

z z 

A A 

� � � � � � 

d 

dB t dB t dB t 

ui �t � � � B�t � dA dA A a l 

dt �� 

dt �� 

dt dt 

i 

� � � ��cos�� 

u t B a l t 

0 


Strom durch den 

Leiter 

magnetische Flussdichte 

des Leiters 


durch die Schleife 



9.6.4.3 Leiter und rechteckige Schleife 

� �t � : magnetischer Fluss Wb 

B�t �, B�t � : magnetische Flussdichte T 

it � � : Strom durch den Leiter A 

I 0 : Amplitude des Stroms A 


t : Zeit s 

i � � 

u t : induzierte elektrische Spannung V 

A : Oberfläche der Schleife m 2 

h : Abstand zwischen Zentrum und Schleife m 

a : Länge der Schleife m 

b : Breite der Schleife m 

r : 

� : 

Abstand vom Zentrum 


m 

H m -1 


dr : zylindrisches Wegelement m 

e� : zylindrischer Einheitsvektor 

� � � � 

B t � B t �e dA � dA� e 

� � � � � � � � 

i t I t 

0 sin 

� � 

� �it 

B�t � � �e 

2��r 

� � 

� 

� � � � 

h�ah�a ��it��it�bdr ��t � � B�t �� 

dA � �b � dr � � 

2�� r 2�� 

r 

A h h 


Strom und Spannung 

Abmessungen 

Andere 

�� dA �b� dr 

� � 

� �it�b�h�a� ��t � � �ln� � 

2� 

� � h � 

� � 

d�t � �b�h�a� ui �t � � � � ��I0�cos��t��ln� � 

dt 2� 

� � h � 


magnetische 

Flussdichte 

Bewegungsinduktion 

Ruheinduktion 

gesamte induzierte 

Spannung 


9.6.5 Bewegungsinduktion und Ruheinduktion 


d 

u � E � ds � v � B � ds � B � dA 

� � � � �� 

i i 

dt 

C C A 

9.6.5.2 konstante Geschwindigkeit, zeitlich variable magnetische Flussdichte 

v � B E ds E :Gegenuhrzeigersinn ds : Uhrzeigersinn 

i i 

� � � � � � � � 

B t B t 

0 sin 

� � � � � � � � 

u t � E �ds � � v � B t �ds � �v � B t � ds � �v � B t �l 

i i 

i 

� � � v � const. 

� � � � � � � �� 

u t v l B t 

0 sin 

A A 

� � � � � � 

d 

dB t dB t dB t 

ui �t � � � B�t � dA dA A l a v t 

dt �� 

dt �� 

dt dt 

i 

� � � � ��cos�� 

u t B l a v t t 

0 

� � 

ui �t � � �B0 �l ��v�sin�� t � � � �� a �v �t �� cos�� 

�t 

�� 

� � 

� Bewegung Ruhe � 

� � 


wirksame Fläche 

magnetische 

Flussdichte 



wirksame Fläche 




9.6.5.3 fixierte Windung, variierende magnetische Flussdichte 

� � 

S � cos � 

� � � � � � � � 

B t B t 

0 cos 

� � � � � � cos�� cos�� cos�� 

� 

�� 

� t � B t � dS � B t � � dS � B t � � dS � B t � � S 

Windung Windung Windung 

� � cos�� cos�� 

� t � B � �t � � S 

0 

� � 

d�t ui �t � � � � � � B0 �sin �� t �� cos�� 

�� 

S 

dt 

9.6.5.4 drehende Windung, konstante magnetische Flussdichte 

� � 

S�cos��t� � 

� � cos� ��cos�� 

� t � B � ds � B � �� t � � ds � B � �� t � � ds 

Windung Windung Windung 

� � cos� 

� � 

� t � B � �� t � � S 

� � 

d�t ui �t � � � � �� B �cos �� t �� 

S 

dt 


Durchflutungsgesetz 

Induktionsgesetz 

gaussscher Satz des 

Magnetfeldes 

gaussscher Satz der 

Elektrostatik 



9.7 maxwellsche Gleichungen 






Q : Ladung C 

� : Raumladungsdichte C m -3 

H : 

B : 








v : Geschwindigkeit m s -1 

elektrisch 

magnetisch 

Integral 

Andere 

Globalform Lokalform 

� �D 

� 

� H � ds � �� J��dA �t 

C A � � 

rot 


� E � ds � � �v � B� � ds � �� dA rot 

C C A 

�B 

�d 

�D 

H � J � 

� t 

�B 

E �� 

� t 


�� 

A 

B �dA�0 grad B � 0 


�� 

A 

D �dA�Q D��E J ��E B��H grad D � � 


magnetische 

Flussdichte 

mittlere 

Verlustleistung 


9.8 Wirbelströme einer Pfanne 

P : mittlere Verlustleistung W 

h : Höhe m 

R : Radius m 


Bt � � : magnetische Flussdichte T 

B 0 : Amplitude der magnetischen Flussdichte T 


Pfannenboden 

t : Zeit s 

e : zylindrischer Einheitsvektor Integral 

z 

� � �� 

B t � B � �t � e 

0 sin z 

� 

P � �� B � h� R 

16 

2 2 

0 

4 



dielektrischer 

Verlustfaktor 

Leitfähigkeiten 


9.9 dielektrische Verluste 

� � 

tan � : dielektrischer Verlustfaktor 




R 


s 

U C : Spannung V 


� ' : Ersatzleitfähigkeit Ω -1 m -1 


� d : dielektrische Leitfähigkeit Ω -1 m -1 

U 

tan �� 

U 

� � 

R 

C 

tan � � s 

� ' �� d 

� �� 

� � R � C 

� � 

� � � �� tan � 

d 

Andere 

äquivalenter Reihenwiderstand, ESR 

Kondensator 

Leitfähigkeiten 


Eindringtiefe 

Leitungswiderstand 

elektrische 

Stromdichte 

FH Formelsammlung - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011 

10 elektromagnetische Wellen 

10.1 Skineffekt, Stromverdrängung 

Aufbau elektrische Stromdichte Eindringtiefe 

R � : Widerstand bei Wechselstrom Ω 

J�x � : elektrische Stromdichte bei Wechselstrom A m -2 

J 0 : elektrische Stromdichte bei Gleichstrom A m -2 


d, � : Eindringtiefe, Leitschichtdicke, Skin-Tiefe m 


r : Radius des Leiters m 

x : Abstand vom Zentrum m 

Leiter 

Abmessungen 

� : magnetische Feldkonstante H m -1 Materialkonstanten 


� : Dämpfungskoeffizient, Dämpfungsbelag Np m -1 

� : Wellenlänge m 

Distanz nach der die Stromdichte auf 1/e abgefallen ist: 

J �e � J � e 

��d �1 

0 0 

d � 

2 

� �� 1 � 

d � � 

� 2� 

� 

R 

� 

l 

� � 

r 

� � 0 

�� 4�� 

�� 

r�x � 

d 

J x �J� e d r 

Welle 


► Beispiel 


Kupferleiter mit der Länge 1 m und dem Radius 0.5 mm bei einer Frequenz von 1 GHz. 

Wobei gilt μ = 1, ζ = 58 ∙ 10 6 Ω -1 m -1 und J0 = 1 A m -2 : 

Eindringtiefe: 

2 2 

� �� 4� � �10 �58 �10 � 2� � �10 

�6 

d � � � 2.09�10 m 

�7 

6 9 

elektrische Stromdichte 

� � 

0 

r�x � 

d 

�6 

500�10�x � 

�6 

2.09�10 J x � J �e � e Am 

�2 


Koeffizienten 

Feldwellenimpedanz 

Wellenvektor 

Amplituden 


10.2 Resultate der maxwellschen Gleichungen 


� : Ausbreitungskoeffizient, Fortpflanzungskonstante m -1 


� dB : Dämpfungskoeffizient, Dämpfungsbelag dB m -1 

� : Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1 

� grad : Phasenkoeffizient, Phasenbelag ° m -1 

E 0 : elektrische Feldstärke V m -1 

D 0 : elektrische Flussdichte C m -2 

H 0 : magnetische Feldstärke A m -1 


0 



Z Z : Feldwellenimpedanz des Materials Ω 

, 

W W 

k : Wellenvektor m -1 

v : 

Ausbreitungsgeschwindigkeit, 

p 

� : 

Phasengeschwindigkeit 

elektrische Feldkonstante F m -1 



10.2.2 Zusammenhänge 

� �� j � � 

� � 

� � 

� � Re � 

� � Im � 

ZW 

� �� 

k � � j �� 

k � � � j� 

� 

1 

E � � B � v � B 

�� 0 0 p 0 

� 

E � � �v � H � � H � Z � H 

� 

0 p 0 0 W 0 

� B 

D0 � � �v p � B0 � � B0 

� 

� Z 

H 

D0 � � � � �v p � H0 � � �� H0 

� 

v 

0 

W 

p 

0 

Koeffizienten 

Amplituden 

Andere 


m s -1 

Materialkonstanten

Dämpfungskoeffizient 

Phasenkoeffizient 

Koeffizienten 


Koeffizienten 


Koeffizienten 


Koeffizienten 



10.2.3 Umrechnungen 

� � 

ln 10 

� � � � 

20 Np 

dB 

�grad 

� � � 2 � � rad 

� 

360 

10.2.4 verlustbehafteter Fall 

� � 2 

� � j �� j �� j �� 

� 2 � 

1 � � � 

� � � � � �� 1��1� 2 � 

� � 

�� 

� � 

� 2 � 

1 � � � 

� � � � � �� 1��1� 2 � 

� � 

�� 

� � 

Z 

W 

� 

j �� j �� 

10.2.5 verlustloser Fall, σ = 0 

2 2 

� � j �� j�� 

� 

� � 0 

� � � � � � � 

ZW 

� � 

� � 

�� 

10.2.6 gute Leiter, ω ∙ ε > σ 

� � 

� � � 

2 � 

2 

� � 

� 

� � � � � �� 1�2 2 � 

� 8�� 

�� 

� 

2 

� � 

� � 3�� 

ZW��1�j��2 2 � 

� � 2��8�� FH Formelsammlung 4 Elektrotechnik.doc 214

Feldstärken 

elektrisch leitendes 

Material 

elektrisch nicht 

leitendes Material 

Vakuum 


10.3 Feldwellenimpedanz 

Z Z : Feldwellenimpedanz des Materials Ω 

, 

W W 

Z 0 : 

x � � 

Feldwellenimpedanz des Vakuums 

≈ Feldwellenimpedanz der Luft 

E z : elektrische Feldstärke in x-Richtung V m -1 

Hy�z � : magnetische Feldstärke in y-Richtung A m -1 







Z 

Z 

W 

W 

ZW 

Z 

y 

� � 

� � 

Exz � 

H z 

� 

� 

j �� j �� 

� 

� 

� 

0 

0 � �120 �� 377 � 

�0 



Ω 

Feldstärke 

Materialkonstanten

elektrische und 

magnetische 

Feldstärke 

Ausbreitung 


10.4 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit 

t = const. z = const. 

v p : Ausbreitungsgeschwindigkeit, 



m s -1 

c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1 






� r : elektrische Feldkonstante des Dielektrikums 



r 


Geschwindigkeiten 

Welle 

Materialkonstanten

Bedeutung 

allgemein 

in einem Material 

im Vakuum 

Bedeutung 

Berechnung 


Gibt an mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter Phase bewegen. 

vp 

p 

� 

� 

T 

v �� f 

vp 

v 

v 

p 

p 

p 

� 

� 

� 

� 

� 

v �c� 1 

� � � �� 

0 r 0 r 

c 

� �� 

r r 

� 

vp�c� T 

p 

1 

� �� 

v � c � � � f 

0 0 

10.5 Gruppengeschwindigkeit 

v g : Gruppengeschwindigkeit m s -1 




m s -1 



Geschwindigkeiten 

Welle 

Gibt an mit welcher Geschwindigkeit sich ein Wellenpaket als Ganzes fortbewegt. 

v 

g 

d� 

� 

d� 

dvp 

vg � vp 

� � � 

d� 

dvp 

vg � vp 

� � � 

d� 


Bedeutung 

Berechnung 


10.6 Phasenkoeffizient, Phasenbelag 






2� � 

� � 

� 

� 

� � 

vp 

m s -1 

10.7 Wellenvektor und Kreiswellenzahl 

k : Wellenvektor, Wellenzahlvektor m -1 

k : Kreiswellenzahl m -1 







m s -1 

� Der Wellenvektor k gibt die Ausbreitungsrichtung einer Welle an. 

� Die Kreiswellenzahl k gibt den Betrag des Wellenvektors an. 

2� 

� 

k � k � � � � � 0 

� 

� 

k � k � � � � � 0 

v 

p 


TEM Welle 

allgemein 

sinusförmige Felder 


10.8 Energiestromdichte, Poyntingvektor 

S : 

Energiestromdichte, Strahlungsdichte, 

Leistungsdichte, Leistungsfluss, 

Flächenleistungsdichte, Poyntingvektor 

W m -2 

E, E, E� z, t � : elektrische Feldstärke V m -1 

H, H, H �z, t � : magnetische Feldstärke A m -1 

Z W : Feldwellenimpedanz des Materials Ω 

P : mittlere übertragene Leistung W 



Energiestromdichte 

Leistung 

� E-Feldvektoren und H-Feldvektoren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. 

� E-Feldvektoren und H-Feldvektoren senkrecht zueinander. 

� E-Feldvektoren und H-Feldvektoren linear unabhängig. 

� Ist in einem stromdurchflossenen elektrischen Leiter vorhanden. 

� Ist im Fernfeld einer Antenne die als Sender dient. 

S �E� H 

S � E � H E� H 

Hinweis: Bei E � E und H � H handelt es sich um Effektivwerte: 

� , � � 2 � �cos 

�... � 

� , � � 2 � �cos 

�... � 

E z t E 

H z t H 

� � 

S Re E H � 

� � 

S 

� 

E 

Z 

W 

2 

S �ZW� H 

2 

E � ZW � S 

E �ZW� H 

�� A inhomogen 

P � S �dA 

A 

P � S � A A homogen

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