2. Schwingkreise

2. Schwingkreise
2.1 Reaktanzschaltungen
Allgemeine Formel für Xges für beliebige Reaktanzschaltungen:
X
ges
⎛ 2 ⎞⎛
2 ⎞
⎜ ω
1 ⎟⎜
ω
K − 1−
⎟...
⎜ 2 ⎟⎜
2 ⎟
⎝ ωs1
⎠⎝
ωs2
=
⎠
⎛ 2 ⎞⎛
2 ⎞
⎜ ω
1−
⎟⎜
ω
1−
⎟...
⎜ 2 ⎟⎜
2 ⎟
⎝ ω p1
⎠⎝
ω p2
⎠
(2.1/3)
mit K = kapazitiver oder induktiver Widerstand, der das Verhalten der Reaktanzschaltung bei
niedrigen Frequenzen (ω → 0) beschreibt
ω S (i = 1,2,…,n) = Serienresonanzkreisfrequenzen
i
ω P (i = 1,2,…,m) = Parallelresonanzkreisfrequenzen
i
- 21 - © Christian Hallmann

2.2 Die Reaktanzsätze von Foster
Für beliebige verlustlose und lineare Zweipole gelten folgende Sätze:
dX ges
1. > 0
dω
2. Xges(ω) durchläuft abwechselnd Pole und Nullstellen
3. Xges(ω = 0) (Gleichstrom) ist entweder -∞ oder 0
4. Xges(ω = ∞) (hohe Frequenz) ist entweder 0 oder +∞
5. Xges(ω) ist durch die Lage der Pole und Nullstellen (Resonanzfrequenzen), sowie durch das
Verhalten das Zweipols bei sehr niedrigen Frequenzen (K) eindeutig bestimmt (Gl.(2.1/3)).
6. Die Zahl der Pole und Nullstellen ist um eins größer als die Zahl der Schaltelemente (zwei gleiche
Energiespeicher, die man zu einem zusammenfassen kann, zählen nur als ein Schaltelement).
7. Die Zahl der Resonanzfrequenzen ist um eins kleiner als die Zahl der Schaltelemente.
Beispiel 2.2/1:
Ermitteln Sie für die skizzierte Schaltung den Resonanzverlauf Xges(ω) sowie die Resonanzfrequenzen.
Bild 2.2-1
Beispiel 2.2/2:
Das elektr. Verhalten der skizzierten Schaltung soll dem elektr. Verhalten der Schaltung im Beispiel
2.2/1 entsprechen. Berechnen Sie die Größen L0, CI und CII, wenn L, C1 und C2 gegeben sind.
L 0
Bild 2.2-3
C I
C II
Beispiel 2.2/3:
Ein Quarz mit einer Serienresonanzfrequenz fS = 100kHz soll durch eine "Ziehkapazität" CZ eine
Serienresonanzfrequenz von fS' = 100,1kHz erhalten.
a) Skizieren Sie die Gesamtreaktanz Xg(ω).
b) Berechnen Sie die Serienkapazität CS des Quarzes und die erforderliche "Ziehkapazität" CZ.
Bild 2.2-5
- 22 - © Christian Hallmann

Übung 2.2/1:
Die beiden skizzierten Schaltungen sollen das gleiche elektr. Übertragungsverhalten aufweisen.
a) Skizieren Sie die Xges(ω).
b) Berechnen Sie ωS, ωP, LI, LII und C0.
Bild 2.2-8
Übung 2.2/2:
Die skizzierte Reaktanzschaltung besitzt eine Parallelresonanzfrequenz fp und lässt sich mit Hilfe der
Kapazitätsdiode C im Frequenzbereich fmin ≤ fP ≤ fmax durchstimmen.
fmin = 500kHz, fmax = 1500kHz, Cmin = 50pF, Cmax = 500pF.
Berechnen Sie die Bauelemente C0 und L.
Bild 2.2-9
Übung 2.2/3:
Mit Hilfe der veränderlichen Kapazität C (100pF ≤ C ≤ 500pF) lässt sich die Parallelresonanzfrequenz
fP der skizzierten Reaktanzschaltung im Bereich 500kHz ≤ fP ≤ 707kHz durchstimmen.
Berechnen Sie die Reaktanzen LK und CK sowie die Serienresonanzfrequenz fS.
Bild 2.2-10
- 23 - © Christian Hallmann

Übung 2.2/4:
Die Zeichnung zeigt den Eingangsblindwiderstand eines verlustlosen Zweipols mit diskreten
Bauelementen als Funktion der Frequenz.
Bild 2.2-11
a) Wie viele Bauelemente muss ein derartiger Zweipol mindestens enthalten?
b) Geben Sie zwei verschiedene Schaltungen an, die diesen Verlauf der Eingangsreaktanz haben und
ein Minimum an Bauelementen enthalten.
c) Skizzieren Sie den Verlauf des Eingangsblindleitwertes B als Funktion das Frequenz.
Skizzieren Sie für den Fall, dass die Induktivitäten des realen Zweipols geringe Verluste haben:
d) den Verlauf des Eingangsblindwiderstandes X als Funktion der Frequenz
e) die Ortskurve der Eingangsimpendanz Zin(ω).
Übung 2.2/5:
Bild 2.2-12
a) Die Bauelemente C1, C2, L2, L1', C1' und C2' sind so zu bestimmen, dass sich der skizzierte
Reaktanzverlauf X(f) ergibt.
b) Geben Sie zwei weitere Reaktanzschaltungen mit vier Bauelementen an, mit denen X(f) realisiert
werden kann.
- 24 - © Christian Hallmann

2.3 Wesen und Erscheinungsformen von Schwingungen
Im allgemeinen Sprachgebrauch ist es üblich, alle periodisch verlaufenden Vorgänge als Schwingung
zu bezeichnen. Man spricht z.B. bei einer Spannung, deren Augenblickswerte sich sinusförmig ändern,
auch von einer Sinusschwingung. Vom physikalischen Standpunkt aus ist diese Bezeichnung, jedoch
nicht korrekt, da nicht jeder sich periodisch wiederholende Vorgang auch eine Schwingung im physikalischen
Sinne ist. Man würde demnach bei einer Spannung, die von einem sinusförmig verlaufenden
Strom an einem ohmschen Widerstand hervorgerufen wird, wohl von einem periodisch Vorgang
sprechen dürfen, nicht aber von einer Schwingung. Enthält dagegen ein Stromkreis auch Kapazitäten
und Induktivitäten, d.h. Energiespeicher verschiedener Energieformen, so sind die auftretenden periodischen
Vorgänge als Schwingungen aufzufassen. Das wesentliche Kennzeichen einer Schwingung ist
nicht die periodische Wiederholung gleicher Zustände, sondern ein wiederholter, wechselseitiger
Energieaustausch zwischen zwei oder mehreren Speichern verschiedener Energieformen. Der Austausch
der Energie zwischen den Energiespeichern erfolgt durch bewegte Ladungsträger, auf die
elektr. oder magn. Kräfte einwirken. Praktisch ist dieser Energieaustausch eines Schwingungsvorganges
immer mit Verlusten verbunden. Den Umspeichervorgängen wird dadurch laufend Energie entzogen,
die irreversibel in Wärme umgewandelt wird. Man bezeichnet einen solchen Verlauf als gedämpfte
Schwingung.
Hinsichtlich ihrer Anregung werden Schwingungen in zwei Hauptgruppen, die freien und die erzwungenen
Schwingungen, unterteilt.
Eine freie Schwingung tritt in einem sich selbst überlassenen Schwingungssystem auf, also in einem
System, in welchem die Schwingung durch die einmalige Einleitung eines Energiebetrages angestoßen
wird, dann aber ohne jede Beeinflussung weiterläuft. Sind keine Dämpfungen vorhanden, so verläuft
die Schwingung mit konstanten Amplituden, die dem Maximalwert der eingeleiteten Energie entsprechen.
Treten dagegen Dämpfungen auf, so hält die Schwingung mit abklingenden Amplituden nur solange
an, bis die gesamte eingeleitete Energie in den Dämpfungsgliedern irreversibel umgewandelt ist.
Der zeitliche Rhythmus der Energiependelung, als Eigenfrequenz der freien Schwingung bezeichnet,
ist nur abhängig von den konstruktiven Gegebenheiten des Schwingungssystems, d.h. den Größen der
Energiespeicher und der Dämpfung.
Von einer erzwungenen Schwingung spricht man, wenn der Vorgang durch eine von außen eingeprägte
Wirkung gesteuert abläuft. Es liegt in der Natur der Schwingungen, dass diese Wirkung keine
zeitlich konstante Größe, sondern eine Wechselgröße sein muss. Die von außen einwirkende den
Schwingungsrhythmus bestimmende Größe wird als Erregergröße bezeichnet. Die Frequenz der erzwungenen
Schwingung ist gleich der Frequenz der Erregergröße.
2.3.1 Erzwungene stationäre Schwingungen
Erzwungene Schwingungen verlaufen mit der Frequenz der von außen eingeprägten periodischen Wirkungsgrößen.
Sind Amplitude und Frequenz dieser periodischen Wirkungsgröße über längere Zeit
konstant, so wird sich ein stationärer Schwingungsvorgang ebenfalls mit konstanten Amplituden einstellen,
die gerade so groß sind, dass die im Schwingkreis in Dämpfungsenergie umgesetzte Leistung
gleich der von der Erregergröße zugeführten Wirkleistung ist. Neben dieser irreversiblen Energieumsetzung
findet nun noch ein reversibler Energieaustausch sowohl zwischen den Speichern des
Schwingers als im Allgemeinen auch zwischen Schwinger und äußerem Erreger statt. Nach dem Energiesatz
kann die Schwingung daher nur so verlaufen, dass zu jedem Zeitpunkt der Augenblickswert der
zugeführten Energie gleich ist der Summe der Augenblickswerte von Dämpfungsenergie und der von
den Speichern des Schwingkreises aufgenommenen bzw. abgegebenen Energie. Zu beachten ist dabei,
dass in einem Schwingkreis naturgemäß Speicher mit sich ergänzendem Speichervermögen vorhanden
sind, d.h., der Ladevorgang des einen Speichers entspricht dem Entladevorgang des anderen und umgekehrt.
Es gibt nur eine Frequenz, bei der die maximalen Energieinhalte beider Speicher gleich groß
sind, nämlich die Eigenfrequenz f0 des ungedämpften Kreises, die auch als Resonanzfrequenz bezeichnet
wird. Bei dieser Frequenz wird periodisch die gesamte in C gespeicherte Energie an L abgegeben
- 25 - © Christian Hallmann

und umgekehrt, so dass dem Schwingkreis vom Erreger (Generator) nur die im Widerstand in Wärme
umgesetzte Dämpfungsenergie als Wirkleistung zugeführt werden muss. Bei allen anderen Frequenzen
ist die maximal gespeicherte Energie des einen Speichers größer als die des anderen. Der Differenzbetrag
der beiden Energien pendelt daher nicht innerhalb des Schwingkreises zwischen dessen Speichern,
sondern zwischen Schwingkreis und äußerem Erreger. Der dem Schwingkreis zufließenden
Dämpfungsenergie überlagert sich dann also eine Energiependelung.
Zusammenfassung:
Bei erzwungenen stationären Schwingungen wird die Dämpfungsenergie des Schwingkreises von der
Erregerquelle aufgebracht. Die reversibel gespeicherte Energie pendelt zwischen den beiden Energiespeichern
und, falls deren Speichervermögen ungleich ist, auch zwischen dem größeren der beiden
Speicher und der Erregerquelle.
Die Schwingung stellt sich so ein, dass der Energiesatz von den Augenblickswerten der Dämpfungsenergie,
der gespeicherter, und der vom Erreger zugeführten Energie erfüllt wird, d.h., die vom Erreger
gelieferte Wirkleistung ist gleich der Dämpferleistung und die gelieferte Blindleistung ist gleich der
Summe der Blindleistungen aller Speicher.
Als Resonanzfrequenz wird die Frequenz bezeichnet, bei der die Summe der Blindleistungen im
Schwingkreis null ist, so dass vom Generator nur Wirkleistung geliefert wird.
Die Grundformen elektr. Schwingkreise sind der Parallel- und der Reihenschwingkreis, bei denen die
Energiespeicher L und C parallel bzw. in Reihe geschaltet sind. Die Dämpfung wird im Ersatzschaltbild
durch ohmsche Widerstände zum Ausdruck gebracht. Stromabhängige Verluste werden durch
einen Widerstand berücksichtigt, der vom Strom durchflossen wird, also in Reihe geschaltet ist, spannungsabhängige
(z.B. im Kondensator oder in der Eiseninduktivität) durch einen Widerstand, der parallel
zum Schaltelement liegt. Soll die gegebene Anordnung mit großer Genauigkeit durch das Ersatzschaltbild
wiedergegeben werden, so wird man sowohl Parallel- als auch Serienwiderstände anordnen
müssen.
Folgende charakteristische Merkmale gelten für die beiden Schwingkreise:
In Resonanznähe wird das Verhältnis Klemmenspannung zu Klemmenstrom beim Reihenschwingkreis
zu einem Minimum, beim Parallelschwingkreis zu einem Maximum. Im Reihenschwingkreis können
in Resonanznähe die Spannungen am Kondensator und an der Induktivität erheblich größer werden als
die Klemmenspannung, da diese wesentlich von den zwischen Kondensator und Induktivität
ablaufenden Energieumspeicherungen bestimmt werden.
Im Parallelschwingkreis kann in Resonanznähe der Strom in der aus Kondensator und Induktivität gebildeten
Masche erheblich größer werden als der Klemmenstrom, da ersterer wesentlich durch die
zwischen den Speichern ablaufenden Energiependelungen bestimmt wird.
Der Schwing- oder Kennwiderstand Zk in Gl. (2.3.1/5a) und (2.3.1/5b) ist der Blindwiderstand der
Speicher L bzw. C bei der Eigenkreisfrequenz ω0.
Im Resonanzpunkt ω = ω0 gibt der Gütefaktor das Verhältnis der in den Energiespeichern L bzw. C
auftretenden Blindleistung zur aufgenommenen Wirkleistung an und damit für den Serienschwingkreis
(Gl.(2.3.1/6a)) das Verhältnis Kondensatorspannung bzw. Induktivitätsspannung zu Klemmenspannung
(Spannungsüberhöhung) und für den Parallelschwingkreis (Gl.(2.3.1/6b)) das Verhältnis Kondensatorstrom
bzw. Induktivitätsstrom zu Klemmenstrom (Stromerhöhung). Der Kehrwert des Gütefaktors
wird als Verlustfaktor bezeichnet.
- 26 - © Christian Hallmann

Für |I|=const.
Für |U|=const.
Für |U|=const.
Für |I|=const.
Übung 2.3.1/1:
Folgende Werte wurden an einem RLC-Serienschwingkreis bei eingeprägter Gesamtspannung |U| =
120mV gemessen:
f / MHz 0,7 0,8 0,9 0,95 1,0 1,05 1,1 1,2 1,3 1,4
I / mA 3,2 4,9 8,2 10,7 12 10,8 8,7 5,8 4,2 3,4
Gesucht sind die Schwingkreisgrößen ZK, L, C, R und Q.
- 27 - © Christian Hallmann

Übung 2.3.1/2:
Berechnen Sie die Resonanzfrequenz f0, die Bandbreite Δf und die Spannung |U(f0)|.
Bild 2.3.1-6
Für f0 gelten folgende Werte:
L = 10mH, QL = 125, C = 250pF, tan(δC) = 10 -3 , |I| = 10μA, Rin = 500kΩ
Im Resonanzfall erreicht der Strom |I| für |U| = const. in der Serienschaltung sein Maximum (Bild
2.3.1-5a), bei der Parallelschaltung die Spannung |U| für |I| = const. (Bild 2.3.1-5b). |I| bzw. |U| werden
nur noch durch den Widerstand RS bzw. RP nach oben hin begrenzt. Aus den Bildern 2.3.1-5a und
2.3.1-5b erkennt man, dass man zwei Kreisfrequenzen ωg1 und ωg2 definieren kann, bei denen sich |I|
bzw. |U| auf den Wert ( ω ) 2
I bzw. U ( ω ) 2 , also um -3dB auf den 0,707-fachen Wert vermin-
0
0
dert hat. An den Bandgrenzen ω g und ω 1
g erreicht der Phasenwinkel die Werte φZ = ±45° bzw. φY =
2
±45° (Bild 2.3.1-7a bzw. 2.3.1-7b). Man nennt deshalb auch die Frequenzen der Bandgrenzen die
"45°-Frequenzen".
Bei den bisher angestellten Überlegungen und den grafisch dargestellten Frequenzabhängigkeiten
wurde von einer idealen Spannungs- bzw. Stromquelle (|U| = const. bzw. |I| = const.) ausgegangen.
Einen Serienschwingkreis kann man bei |U| = const. dazu benutzen, ein bestimmtes Frequenzband aus
einem Schwingungsgemisch besonders hervorzuheben. In Abhängigkeit von der Güte QS, also der
Selektivität des Kreises, werden Frequenzen außerhalb der Bandbreite mehr oder weniger stark unterdrückt
(Bild 2.3.1-5a). Zur Erreichung dieses Zieles hat man in der Praxis also den Serienkreis aus
einer Wechselspannungsquelle mit möglichst niedrigem Innenwiderstand zu speisen, denn nur dann
kann man näherungsweise erreichen, dass die Quelle bei der auftretenden Strombelastung mit einem
vernachlässigbaren Spannungsabfall am Innenwiderstand und damit auch einer unwesentlichen Verringerung
der Quellspannungsamplitude reagiert.
Umgekehrt unterdrückt der Serienschwingkreis einen Frequenzbereich, wenn man die Konstantspannungsquelle
durch eine Konstantstromquelle ersetzt, das Signalgemisch also hochohmig einspeist.
Bleibt der angelegte Quellenstrom in einem realen Aufbau näherungsweise konstant und erreicht die
Frequenz der Quelle die Resonanzfrequenz des Kreises, dann nimmt die Impedanz |Z| ein Minimum an
(vgl. Bild 2.3.1-4a) und man erkennt aus Bild 2.3.1-4a, dass dann die Spannung |U| am Serienkreis im
gleichen Maße wie die Impedanz |Z| abnimmt, der Serienkreis also mit einer ausgeprägten Schwächung
der Spannungsamplitude innerhalb der Bandbreite reagiert.
Mit der in Bild 2.3.1-5b skizzierten Spannungsüberhöhung bei hochohmiger Einspeisung (|I| = const.)
ist der Parallelschwingkreis geeignet, den Frequenzbereich innerhalb seiner Bandbreite besonders hervorzuheben,
während alle anderen Frequenzen eine Abschwächung erfahren. Speist man den Parallelkreis
dagegen aus einer Konstantspannungsquelle, folgt aus Bild 2.3.1-4b, dass der Strom |I| innerhalb
der Bandbreite minimal wird und damit auch die Spannung |UL| an einem Lastwiderstand RL den
kleinsten Wert annimmt. Ist RL z.B. der Eingangswiderstand eines nachgeschalteten Verstärkers,
können alle Frequenzen außerhalb der Bandbreite weiterverstärkt werden, der Frequenzbereich innerhalb
der Bandgrenzen gelangt nur stark gedämpft zum Ausgang. In diesem Betriebsfall wirkt der
Parallelschwingkreis somit als Sperrfilter.
- 28 - © Christian Hallmann

Beispiel 2.3.1/1:
Wie groß ist |UL|max?
Bild 2.3.1-10
Beispiel 2.3.1/2:
a) Berechnen Sie die Resonanzkreisfrequenz ωr als Funktion der Kennfrequenz f0.
b) Wie groß ist der Parallelersatzschaltungswiderstand RP?
c) Skizzieren Sie die Ortskurven Z(ω) und Y(ω).
Bild 2.3.1-11
Beispiel 2.3.1/3:
a) Skizzieren Sie die Ortskurven I(ω) und U(ω).
b) Berechnen Sie den Gesamtgütefaktor QPges als Funktion des Schwingkreisgütefaktors QP.
c) Ermitteln Sie die Gesamtbandbreite ∆fges = f(∆f).
d) Wie groß ist die Spannung U als Funktion von QPges?
Bild 2.3.1-15
Beispiel 2.3.1/4:
Mit Hilfe der skizzierten Schaltung soll ein frequenzunabhängiger Eingangswiderstand der Größe R1
hergestellt werden.
Gegeben sind: f0 = 70MHz, R1 = 60Ω, CS = 40pF, QS = 60, QP = 60.
- 29 - © Christian Hallmann

Gesucht sind: LS, RS, RP, CP, LP, R2
Bild 2.3.1-19
Beispiel 2.3.1/5:
Der skizzierte Bandpass hat die Aufgabe, ein relativ breites Frequenzband durchzulassen.
U 0
a) Ermitteln Sie die Ortskurve ( ω)
.
U
b) Berechnen Sie die Bandbreite ∆ω.
Bild 2.3.1-23
- 30 - © Christian Hallmann

Übung 2.3.1/3:
Die Schwingkreise besitzen eine Resonanzfrequenz von f0 = 35MHz und einen Verlustwiderstand R =
60Ω.
a) Bestimmen Sie den Eingangsleitwert I1/U1 der Schaltung.
b) Welche Werte müssen L und C annehmen, damit der Eingangsleitwert unabhängig von der
Frequenz rein reell wird?
c) Wie groß ist dann der Realteil des Eingangsleitwertes?
d) Welche Spannungsübersetzung tritt dann bei f0 auf?
Übung 2.3.1/4:
Bild 2.3.1-26
Bild 2.3.1-25
Berechnen Sie für die skizzierte Schaltung:
a) ωr
b) R1 und R2 für ωr = ω0 = 1 LC .
c) ωr für:
c1) R1 = ZK = L C , R2 ≠ ZK
c2) R2 = ZK, R1 ≠ ZK
c3) R1 = R2 = ZK
d) Qges unter der Bedingung von a).
e) Die Größen RP und CP·LP eines äquivalenten idealen Parallelschwingkreises bei ωr.
- 31 - © Christian Hallmann

Übung 2.3.1/5:
Der skizzierte Schwingkreis soll bei einer Resonanzfrequenz von fr = 160kHz eine Bandbreite von ∆f =
7kHz aufweisen.
L = 400μH, QL = 30, R = 1kΩ
a) Ermitteln Sie die Kapazitäten C1 und C2 für ωr ≈ ω0.
b) Berechnen Sie näherungsweise die Spannungsübersetzung U1/U2 für R >> 1/ωC1
Übung 2.3.1/6:
Bild 2.3.1-28
Bild 2.3.1-27
Bild 2.3.1-29
L = 10mH, C = 200pF, QL = 100, QC=400, |U0| = 10V, |I0| = 0,1mA
Skizzieren Sie für den dargestellten Serien- bzw. Parallelschwingkreis jeweils das vollständige
qualitative Zeigerdiagramm für
a) f < fr
b) f = fr
c) f > fr
d) Berechnen Sie die Größen Q, fr, Z(ωr) bzw. Y(ωr), ∆f, |UC| bzw. |IL| für die Näherung ωr ≈ ω0.
2.3.2 Stabilität der Resonanzfrequenz
Wenn sich in einer Schaltung die Kapazität C um ∂C ändert (z.B. durch Transistorwechsel, Schaltkapazitäten
usw.) bzw. die Induktivität L sich um ∂L verändert, dann lässt sich mit Gl.(2.3.2/1) die
Änderung der Resonanzfrequenz berechnen. In praktischen Schaltungen kann meistens die Induktivitätsänderung
vernachlässigt werden (∂L ≈ 0), so dass nur noch die Kapazitätsänderung in Gl.(2.3.2/1)
eingeht. Je größer die Kapazität C gewählt wird, desto geringeren Einfluss haben Schwankungen ∂C
auf die Resonanzfrequenz.
Beispiel 2.3.2/1:
In einer Schaltung schwankt die Kapazität eines Schwingkreises aufgrund von Schaltungskapazitäten
um ∂C = ±0,2pF. Die Resonanzfrequenz soll f0 = 470kHz betragen.
Welche minimale Schwingkreiskapazität Cmin müsste man mindestens verwenden, damit die Resonanzfrequenz
sich nicht mehr als ±100Hz ändert?
- 32 - © Christian Hallmann

2.3.3 Messverfahren
2.3.3.1 Parallelschwingkreis
In der Messschaltung des Bildes 2.3.3.1-1 werden LP und CP als Parallelkreis hochohmig, z.B. durch
einen kleinen Koppelkondensator CK, an einen Generator mit einstellbarer Frequenz angeschaltet
(Konstantstromquelle). Für verschiedene Größen von CP misst man die jeweilige Resonanzfrequenz
(Spannungsresonanz) und trägt den Ausdruck 1/f0 2 als Funktion von CP auf. Unter Berücksichtigung
der parallel zu CP liegenden Zusatzkapazitäten (Schaltkapazität, Spulenkapazität und Voltmeterkapazität)
CZus. ergibt sich die Beziehung (2.3.3.1/1) bzw. (2.3.3.1/2).
Der berechnete Wert LP ist der Wert für das Parallelersatzschaltbild der Spule. Die Spulenverluste
werden in RP charakterisiert.
In Bild 2.3.3.1-2 ist CP die als Abszissenwert aufzutragende unabhängige Variable und 1/f0 2 die abhängige
Variable (Ordinatengröße). Die Gleichung (2.3.3.1/2) ist die einer Geraden, aus der nun CZus. und
LP ermittelt werden können (siehe Bild 2.3.3.1-2 und Gl.(2.3.3.1/3) bzw. (2.3.3.1/4)). Durch anschließende
Messung der Teilkapazitäten CT mit Hilfe eines Kapazitätsmessers kann man die Eigenkapazität
CL der Spule berechnen (Gl.(2.3.3.1/5)). Die Eigenresonanzfrequenz der Spule berechnet sich dann mit
Gl.(2.3.3.1/6).
Die Frequenz wird für CP auf Resonanz eingestellt und bleibt dann konstant. Die fiktiven Grenzfre-
ω und ω g (in Wirklichkeit ω0) entsteht durch Variation von CP auf C 1
P bzw. C 2
P . 1
quenzen g2
Für den Fall, dass die 45°-Verstimmung bei Resonanzfrequenz f0 durch Verstimmen der Kapazität CP
C P erreicht wird, ergibt sich die Größe QP aus Gl.(2.3.3.1/7).
auf die Werte P2
C und 1
Schaltet man in die Messschaltung (Bild 2.3.3.1-8) einen Stellwiderstand R' parallel zu CP und LP in
den Parallelkreis ein und stellt ihn auf einen Wert ein, bei dem die Resonanzspannung auf die Hälfte
des vorher gemessenen Maximalwertes abgesunken ist, dann ist dieser Widerstandswert R' = RP, d.h.
gleich dem Parallelersatzwiderstand des Kreises; es wurde nämlich die Güte halbiert.
2.3.3.2 Serienschwingkreis
Schaltet man in der Schaltung des Bildes 2.3.3.2-1 einen bekannten veränderlichen Zusatzwiderstand
RZus. in Reihe mit RS, so gilt bei Resonanz die Gl.(2.3.3.2/1). Dies ist aber die Gleichung einer
Geraden. Trägt man die bei der Resonanzfrequenz f0 gemessenen Werte U U C als Funktion von
ω0
RZus. auf (Bild 2.3.3.2-2), dann schneidet die verlängerte Gerade den unbekannten Wert RS an der
Abszisse und der Ordinatenabschnitt stellt den Reziprokwert des Gütefaktors 1/QS dar.
Für den Fall, dass die 45°-Verstimmung bei Resonanzfrequenz f0 durch Verstimmen der Kapazität CS
C S erreicht wird, ergibt sich die Güte QS aus Gl.(2.3.3.2/4).
auf die Werte S2
C und 1
Schaltet man in die Messschaltung (Bild 2.3.3.2-7) einen zusätzlichen Stellwiderstand R’ und stellt ihn
auf einen Wert ein, bei dem der Resonanzstrom auf die Hälfte des vorher gemessenen Maximalwertes
abgesunken ist, dann ist R’ = RS, d.h, die Güte hat sich halbiert.
- 33 - © Christian Hallmann

2.4 Selektivverstärker
2.4.1 Einstufiger Selektivverstärker
Zur Verstärkung eines schmales Frequenzbandes kann man einen Selektivverstärker nach Bild 2.4.1-
1a verwenden. Durch die geringe Bandbreite des Parallelschwingkreises unterdrückt man
Frequenzanteile, die außerhalb des gewünschten Frequenzbandes liegen und verbessert damit den
Störabstand.
Bild 2.4.1-1
Einstufiger Selektivverstärker
a) Schaltung
b) Ersatzbild
c) zusammengefasstes Ersatzbild
Y12 ≙ Rückwärtssteilheit
rB’C ≙ Widerstand der Basis-Kollektor-Sperrschicht
CB’C ≙ Kapazität der Basis-Kollektor-Sperrschicht
rBB’ ≙ Basisbahnwiderstand (das ist der Widerstand der grenzschichtfreien Basiszone)
- 34 - © Christian Hallmann

Bei Vernachlässigung der Rückwirkung (Y12 ≈ 0; d.h. rB’C → ∞; CB’C → 0, zusätzlich rBB’
vernachlässigt) erhält man das Ersatzbild des Selektivverstärkers (Bild 2.4.1-1b).
Hierin bedeuten: rBE1 = Eingangswiderstand von T1; rCE1 = Ausgangswiderstand von T1; S = Steilheit
von T1; CCE1 = Ausgangskapazität von T1; CS = Schaltkapazität (durch Schaltungsaufbau); rBE2 =
Eingangswiderstand von T2 und Ce2 = Eingangskapazität von T2; RP = Verlustwiderstand des
Schwingkreises.
Dieses Ersatzschaltbild lässt sich zusammenfassen zu der in Bild 2.4.1-1c dargestellten
Ersatzschaltung, wobei gilt
1 1 1 1 1 1
G Pges = = + + + + , (2.4.1/1)
R R r R R r
Pges
P
CE1
3
4
BE 2
C ges = C + CCE1
+ Cs
+ Ce2
.
Zum Verlustwiderstand RP des Schwingkreises liegen also rCE, R3, R4 und rBE2 parallel. Durch diese
zusätzliche Bedämpfung wird die Kreisgüte QK auf die Betriebsgüte QB verringert.
Die wirksame Schwingkreiskapazität Cges setzt sich aus der Kapazität des Schwingkreiskondensators C
sowie den zusätzlichen Kapazitäten CCE1, CS und Ce2 zusammen.
Aus Bild 2.4.1-1c ist für die Spannungsverstärkung Vu entnehmbar
1 U 2 − S
U 2 = −SU
1 Z Pges = −SU
1 ⋅ , V u = =
(2.4.1/2)
Y Pges U 1 Y Pges
mit
⎛ 1 ⎞
Y Pges = GPges
+ j⎜ωCges
− ⎟ (2.4.1/3)
⎝ ωL
⎠
Der Kennwiderstand ZK berechnet sich mit der Gl.(2.4.1/4)
L
analog zu (2.3.1/5b) Z K = (2.4.1/4)
C ges
Die Betriebsgüte QB lässt sich mit der Gl.(2.4.1/5) ermitteln.
RPges
analog zu (2.3.1/6b) Q B = (2.4.1/5)
Z K
Die Resonanzkreisfrequenz ergibt sich aus Gl.(2.4.1/6).
1
analog zu (2.3.1/4b) ω 0 =
(2.4.1/6)
L ⋅ C ges
Die Betriebsbandbreite B definiert man ebenfalls wieder über einen 3db-Abfall gegenüber der
Maximal-Verstärkung bei Resonanz. Analog zu (2.3.1/9b) berechnet sich die Betriebsbandbreite mit
(2.4.1/7).
f 0
analog zu (2.3.1/9b) B = (2.4.1/7)
QB
Die Unterdrückung eines "fernen"“ Senders (außerhalb der gewünschten Bandbreite B) ist sehr gering.
D.h. die sog. Fernabselektion eines Einzelkreis-Verstärkers ist für viele Fälle zur guten Trennung von
Frequenzbändern nicht ausreichend.
Verbesserungen ergeben sich durch steilere Flankenverläufe. Diese lassen sich z.B. durch mehrstufige
Selektivverstärker, Bandfilter-Verstärker, keramische Filter, Quarz-Filter u.a. erreichen.
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2.4.2 Mehrkreisverstärker
Verbesserte Trenneigenschaften z.B. benachbarter Rundfunkkanäle erhält man u.a. durch zweikreisige
Bandfilter Diese bestehen aus zwei Parallelschwingkreisen und einer Koppelreaktanz.
Bild 2.4.2-1a zeigt ein kapazitiv spannungsgekoppeltes Bandfilter. Hier ist die Koppelreaktanz eine
kleine Kapazität C12. Das Ersatzschaltbild hierfür ist in Bild 2.4.1-1b angegeben. Dieses wiederum
lässt sich umwandeln in Bild 2.4.2-1c.
Für Bild 2.4.2-1c lässt sich dann nach [51] als Übertragungsfaktor herleiten
U 2 jk n
A = =
. (2.4.2/1)
2 2
U 0 1+
kn
−V
+ 2 jV
Hierbei sind folgende Annahmen getroffen: L1 = L2 = L; C1 = C2 = C; gleiche
Kurzschlussresonanzfrequenzen ω K = ω 1 K = ωm (bei jeweiligem Kurzschluss des zweiten Kreises);
2
Q1 = Q2 = Q (d.h. gleiche Betriebsgüten); R1 = R2 = R (d.h. gleiche Gesamtverluste der Kreise).
In (2.4.2/1) bedeutet kn die "normierte" Kopplung
kn = B12
R1R
2 = B12
R (2.4.2/2)
und V die normierte Verstimmung
⎛ ω ωm
⎞
V = Qv = Q
⎜ −
⎟ . (2.4.2/3)
⎝ ωm
ω ⎠
Der Betrag des Übertragungsfaktors aus (2.4.2/1) ist
U 2
kn
A = =
. (2.4.2/4)
U
2 2 2
0 1+ k −V
+ 4V
( ) 2
n
Die normierte Kopplung kn wird näherungsweise innerhalb des Durchlassbereiches des Bandfilters als
konstant (also frequenzunabhängig) angenommen, da sich f gegenüber des Mittenfrequenz fm nur
relativ wenig ändert.
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Bild 2.4.2-1
Zweikreisiges Koppelfilter
a) Grundanordnung (C12

Aus (2.4.2/6) lassen sich 3 Fälle für kn unterscheiden:
kn < 1 → "unterkritische Kopplung", d.h. keine Lösung für vH (dieser Fall interessiert nicht)
kn = 1 → "kritische Kopplung", d.h. vH = 0; keine Höckerausbildung (Durchlasskurve mit
flachem Dach)
kn > 1 → "überkritische Kopplung": hier ergibt sich eine Bandfilter-Durchlasskurve mit
Höckern.
Der Verlauf des Übertragungsfaktors |A| in Abhängigkeit vom normierten Koppelfaktor kn ist in Bild
2.4.2-1d dargestellt. Bei überkritischer Kopplung sind nach [51] noch zwei Kennwerte definierbar. Die
sog. "mathematische Grenzverstimmung"
∗
Vg = ± 2VH
, (2.4.2/7)
bei welcher der Übertragungsfaktor |A| den gleichen Wert hat wie bei V = 0 und die sog. "praktische
Grenzverstimmung"
V = ± 2k
, (2.4.2/8)
g
n
bei welcher der Übertragungsfaktor um 3dB (d.h um den Faktor 1 / 2 ) gegenüber dem Mittelwert
|Am| des Übertragungsfaktors abgefallen ist. |Am| wird aus dem Kurvenverlauf zwischen Höcker und
Sattel gebildet (Bild 2.4.2-1d).
Die Bandbreite das Bandfilters lässt sich mit der Gl.(2.4.2/9) berechnen.
f m
aus [51] B = f g − f g = Δf
g = 2 ⋅ kn
⋅ (2.4.2/9)
2 1
Q
Die Vorteile des Bandfilter-Verstärkers liegen in einer besseren Fernabselektion (Grenzkurvenverlauf
hier z.B. mit 1/ω² statt mit 1/ω wie beim Einzelkreis-Verstärker) sowie einer größeren Bandbreite.
Die normierte Kopplung kn wählt man i.a. nicht sehr groß (ca. 1….2,5; vgl. Bild 2.4.2-1d), da bei
großer Einsattlung zu starke Laufzeitverzerrungen auftreten [51].
Bild 2.4.2-2a zeigt ein symmetrisches, kapazitiv gekoppeltes Bandfilter, dessen Schaltungsausführung
in Bild 2.4.2-2b skizziert ist. Für ein transformatorisch gekoppeltes Bandfilter gilt Bild 2.4.2-2c
(Ersatzschaltbild 2.4.2-2d).
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Bild 2.4.2-2
Häufigste Bandfilter Arten
a) kapazitiv spannungsgekoppeltes Filter (Ersatzbild)
b) kapazitiv spannungsgekoppeltes Filter (Schaltungsausführung)
c) transformatorisch gekoppeltes Filter
d) Ersatzschaltbild für c)
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