Formeln und Tabellen Maschinenbau - REDITECH Automation GmbH
Formeln und Tabellen Maschinenbau - REDITECH Automation GmbH
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Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek<br />
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der<br />
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abrufbar.<br />
1. Auflage März 2007<br />
Alle Rechte vorbehalten<br />
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage <strong>GmbH</strong>, Wiesbaden 2007<br />
Lektorat: Thomas Zipsner<br />
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Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt.<br />
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insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen<br />
<strong>und</strong> die Einspeicherung <strong>und</strong> Verarbeitung in elektronischen Systemen.<br />
Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff, Wiesbaden<br />
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de<br />
Satz: Zerosoft, Temeswar<br />
Druck <strong>und</strong> buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm<br />
Gedruckt auf säurefreiem <strong>und</strong> chlorfrei gebleichtem Papier.<br />
Printed in Germany<br />
ISBN 978-3-8348-0032-9
Vorwort<br />
Ingenieure <strong>und</strong> Techniker in Ausbildung <strong>und</strong> Beruf finden hier Größengleichungen <strong>und</strong><br />
<strong>Formeln</strong>, Diagramme, <strong>Tabellen</strong>werte, Regeln <strong>und</strong> Verfahren, die zum Lösen von Aufgaben<br />
aus den technischen Gr<strong>und</strong>lagenfächern erforderlich sind.<br />
Die Berechnungs- <strong>und</strong> Dimensionierungsgleichungen aus Mathematik, Physik, Chemie,<br />
Werkstofftechnik, Elektrotechnik, Thermodynamik, Mechanik, Fluidmechanik,<br />
Festigkeitslehre, Maschinenelemente, Zerspantechnik sind in <strong>Tabellen</strong> so geordnet,<br />
dass sie der speziellen Aufgabe zugeordnet werden können:<br />
� das umfangreiche Sachwortverzeichnis führt schnell zu den gesuchten technischphysikalischen<br />
Größen<br />
� die zugehörige Tabelle zeigt die erforderlichen Größengleichungen<br />
� die zusätzlichen Erläuterungen sichern die richtige Anwendung der Gleichungen,<br />
Diagramme <strong>und</strong> <strong>Tabellen</strong>werte<br />
Herausgeber, Autoren <strong>und</strong> Verlag sind für Hinweise zur Verbesserung des Werkes<br />
dankbar. Verwenden Sie dazu bitte die E-Mail-Adresse:<br />
aboege@t-online.de<br />
Braunschweig, Februar 2007 Alfred Böge<br />
V
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Mathematik ................................................................................................................... 1<br />
1.1 Mathematische Zeichen....................................................................................... 1<br />
1.2 Griechisches Alphabet......................................................................................... 2<br />
1.3 Häufig gebrauchte Konstanten............................................................................. 2<br />
1.4 Multiplikation, Division, Klammern, Binomische <strong>Formeln</strong>, Mittelwerte.................. 3<br />
1.5 Potenzrechnung (Potenzieren) ............................................................................ 4<br />
1.6 Wurzelrechnung (Radizieren) .............................................................................. 5<br />
1.7 Logarithmen......................................................................................................... 6<br />
1.8 Komplexe Zahlen................................................................................................. 7<br />
1.9 Quadratische Gleichungen .................................................................................. 8<br />
1.10 Wurzel-, Exponential-, Logarithmische <strong>und</strong> Goniometrische Gleichungen in<br />
Beispielen ............................................................................................................ 9<br />
1.11 Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch)...................... 10<br />
1.12 Flächen (A Flächeninhalt, U Umfang).................................................................. 12<br />
1.13 Fläche A, Umkreisradius r <strong>und</strong> Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke..... 13<br />
1.14 Körper (V Volumen, O Oberfläche, M Mantelfläche)............................................ 14<br />
1.15 Rechtwinkliges Dreieck........................................................................................ 16<br />
1.16 Schiefwinkliges Dreieck ....................................................................................... 17<br />
1.17 Einheiten des ebenen Winkels............................................................................. 19<br />
1.18 Trigonometrische Funktionen (Graphen in 1.11).................................................. 20<br />
1.19 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen ................................. 21<br />
1.20 Arcusfunktionen ................................................................................................... 23<br />
1.21 Hyperbelfunktionen.............................................................................................. 25<br />
1.22 Areafunktionen..................................................................................................... 26<br />
1.23 Analytische Geometrie: Punkte in der Ebene....................................................... 26<br />
1.24 Analytische Geometrie: Gerade........................................................................... 27<br />
1.25 Analytische Geometrie: Lage einer Geraden im rechtwinkligen Achsenkreuz ..... 28<br />
1.26 Analytische Geometrie: Kreis............................................................................... 29<br />
1.27 Analytische Geometrie: Parabel........................................................................... 30<br />
1.28 Analytische Geometrie: Ellipse <strong>und</strong> Hyperbel ...................................................... 30<br />
1.29 Reihen ................................................................................................................. 32<br />
1.30 Potenzreihen........................................................................................................ 33<br />
1.31 Differenzialrechnung: Gr<strong>und</strong>regeln ...................................................................... 35<br />
1.32 Differenzialrechnung: Ableitungen elementarer Funktionen................................. 36<br />
1.33 Integrationsregeln ................................................................................................ 36<br />
1.34 Gr<strong>und</strong>integrale ..................................................................................................... 38<br />
1.35 Lösungen häufig vorkommender Integrale........................................................... 38<br />
1.36 Uneigentliche Integrale ........................................................................................ 42<br />
1.37 Anwendungen der Differenzial- <strong>und</strong> Integralrechnung ......................................... 42<br />
1.38 Geometrische Gr<strong>und</strong>konstruktionen .................................................................... 49<br />
2 Physik ........................................................................................................................... 55<br />
2.1 Physikalische Größen, Definitionsgleichungen <strong>und</strong> Einheiten ............................. 55<br />
2.1.1 Mechanik ............................................................................................... 55<br />
2.1.2 Thermodynamik ..................................................................................... 57<br />
2.1.3 Elektrotechnik ........................................................................................ 58<br />
2.1.4 Optik ...................................................................................................... 59<br />
VII
VIII Inhaltsverzeichnis<br />
2.2 Allgemeine <strong>und</strong> atomare Konstanten ................................................................... 59<br />
2.3 Umrechnungstafel für metrische Längeneinheiten............................................... 60<br />
2.4 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen <strong>und</strong> Teilen von<br />
Gr<strong>und</strong>einheiten oder hergeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen.......... 60<br />
2.5 Umrechnungstafel für Leistungseinheiten ............................................................ 60<br />
2.6 Schallgeschwindigkeit c, Dichte r <strong>und</strong> Elastizitätsmodul E einiger fester<br />
Stoffe ................................................................................................................... 61<br />
2.7 Schallgeschwindigkeit c <strong>und</strong> Dichte r einiger Flüssigkeiten................................. 61<br />
2.8 Schallgeschwindigkeit c, Verhältnis � = p c<br />
einiger Gase bei t = 0 °C ...............<br />
c<br />
61<br />
2.9 Schalldämmung von Trennwänden...................................................................... 61<br />
2.10 Elektromagnetisches Spektrum ........................................................................... 62<br />
2.11 Brechzahlen n für den Übergang des Lichtes aus dem Vakuum in optische<br />
Mittel..................................................................................................................... 62<br />
3 Chemie .......................................................................................................................... 63<br />
3.1 Atombau <strong>und</strong> Periodensystem ............................................................................. 63<br />
3.2 Metalle ................................................................................................................. 67<br />
3.3 Nichtmetalle ......................................................................................................... 69<br />
3.4 Elektronegativität ................................................................................................. 69<br />
3.5 Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe ......................................................... 70<br />
3.6 Systematische Benennung anorganischer Verbindungen.................................... 73<br />
3.7 Systematische Benennung von Säuren <strong>und</strong> Säureresten.................................... 74<br />
3.8 Systematische Benennung organischer Verbindungen........................................ 74<br />
3.9 Benennung von funktionellen Gruppen ................................................................ 77<br />
3.10 Ringförmige Kohlenwasserstoffe.......................................................................... 77<br />
3.11 Basen, Laugen..................................................................................................... 78<br />
3.12 Gewerbliche <strong>und</strong> chemische Benennung von Chemikalien,<br />
chemische <strong>Formeln</strong>.............................................................................................. 79<br />
3.13 Säuren ................................................................................................................. 80<br />
3.14 Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen............................................... 80<br />
3.15 Ionenlehre............................................................................................................ 83<br />
3.16 Elektrochemische Größen <strong>und</strong> Gesetze .............................................................. 85<br />
3.17 Größen der Stöchiometrie.................................................................................... 87<br />
3.18 Beispiele für stöchiometrische Rechnungen ........................................................ 89<br />
3.19 Energieverhältnisse bei chemischen Reaktionen................................................. 91<br />
3.20 Heizwerte von Brennstoffen ................................................................................. 92<br />
3.21 Bildungs- <strong>und</strong> Verbrennungswärme einiger Stoffe ............................................... 92<br />
4 Werkstofftechnik .......................................................................................................... 93<br />
4.1 Werkstoffprüfung.................................................................................................. 93<br />
4.2 Eisen-Kohlenstoff-Diagramm ............................................................................... 96<br />
4.3 Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027 ...................................................... 97<br />
4.4 Baustähle DIN EN 10025-2/05............................................................................. 99<br />
4.5 Schweißgeeignete Feinkornbaustähle ................................................................. 100<br />
4.6 Warmgewalzte Flacherzeugnisse aus Stählen mit hoher Streckgrenze zum<br />
Kaltumformen, thermomechanisch gewalzte Stähle DIN EN 10149-2/95 ............ 100<br />
4.7 Vergütungsstähle DIN EN 10083/06 .................................................................... 100<br />
4.8 Einsatzstähle DIN EN 10084/98........................................................................... 101<br />
4.9 Nitrierstähle DIN EN 10085/01............................................................................. 101<br />
4.10 Stahlguss DIN EN 10293/05 ................................................................................ 101<br />
4.11 Bezeichnung der Gusseisensorten DIN EN 1560/97 ........................................... 101<br />
v
Inhaltsverzeichnis IX<br />
4.12 Gusseisen mit Lamellengraphit GJL DIN EN 1561/97 ......................................... 102<br />
4.13 Gusseisen mit Kugelgraphit GJS DIN 1563/05 ................................................... 103<br />
4.14 Temperguss GJM DIN EN 1562/06 .................................................................... 103<br />
4.15 Bainitisches Gusseisen mit Kugelgraphit DIN EN 1564/06 .................................. 104<br />
4.16 Gusseisen mit Vermiculargraphit GJV VDG-Merkblatt W-50/02 .......................... 104<br />
4.17 Bezeichnung von Aluminium <strong>und</strong> Aluminiumlegierungen..................................... 104<br />
4.18 Aluminiumknetlegierungen, Auswahl ................................................................... 105<br />
4.19 Aluminiumgusslegierungen, Auswahl aus DIN EN 1706/98................................. 105<br />
4.20 Bezeichnung von Kupfer <strong>und</strong> Kupferlegierungen nach DIN 1412/95 ................... 106<br />
4.21 Zustandsbezeichnungen nach DIN EN 1173/95 .................................................. 106<br />
4.22 Kupferknetlegierungen, Auswahl ......................................................................... 107<br />
4.23 Kupfergusslegierungen, Auswahl nach DIN EN 1982/98..................................... 107<br />
4.24 Anorganisch nichtmetallische Werkstoffe ............................................................ 108<br />
4.25 Bezeichnung von Si-Carbid, SiC <strong>und</strong> Siliciumnitrid, Si 3N 4 nach der<br />
Herstellungsart..................................................................................................... 108<br />
4.26 Druckgusswerkstoffe............................................................................................ 108<br />
4.27 Lagermetalle <strong>und</strong> Gleitwerkstoffe, Übersicht über die Legierungssysteme.......... 109<br />
4.28 Lagermetalle auf Cu-Basis (DKI) ......................................................................... 110<br />
4.29 Kurzzeichen für Kunststoffe <strong>und</strong> Verfahren, Auswahl .......................................... 110<br />
4.30 Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl .......................................... 112<br />
5 Elektrotechnik .............................................................................................................. 115<br />
5.1 Gr<strong>und</strong>begriffe der Elektrotechnik ......................................................................... 115<br />
5.1.1 Elektrischer Widerstand......................................................................... 115<br />
5.1.1.1 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes ............................ 116<br />
5.1.2 Elektrische Leistung <strong>und</strong> Wirkungsgrad................................................. 116<br />
5.1.3 Elektrische Energie................................................................................ 117<br />
5.1.4 Elektrowärme......................................................................................... 118<br />
5.2 Gleichstromtechnik .............................................................................................. 118<br />
5.2.1 Ohm’sches Gesetz, nicht verzweigter Stromkreis.................................. 118<br />
5.2.2 Kirchhoff’sche Sätze .............................................................................. 119<br />
5.2.3 Ersatzschaltungen des Generators........................................................ 119<br />
5.2.4 Schaltungen von Widerständen <strong>und</strong> Quellen......................................... 120<br />
5.2.4.1 Parallelschaltung von Widerständen........................................ 120<br />
5.2.4.2 Parallelschaltung von Quellen ................................................. 121<br />
5.2.4.3 Reihenschaltung von Widerständen ........................................ 122<br />
5.2.4.4 Reihenschaltung von Quellen.................................................. 122<br />
5.2.5 Messschaltungen................................................................................... 123<br />
5.2.5.1 Indirekte Widerstandsbestimmung........................................... 123<br />
5.2.5.2 Messbereichserweiterung bei Spannungs- <strong>und</strong><br />
Strommessern ......................................................................... 123<br />
5.2.6 Spannungsteiler..................................................................................... 124<br />
5.2.7 Brückenschaltung .................................................................................. 124<br />
5.3 Elektrisches Feld <strong>und</strong> Kapazität........................................................................... 125<br />
5.3.1 Größen des homogenen elektrostatischen Feldes................................. 125<br />
5.3.2 Kapazität von Leitern <strong>und</strong> Kondensatoren............................................... 126<br />
5.4 Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität...................................................................... 128<br />
5.4.1 Größen des homogenen magnetischen Feldes ..................................... 128<br />
5.4.2 Spannungserzeugung............................................................................. 130<br />
5.4.3 Kraftwirkung........................................................................................... 132<br />
5.4.4 Richtungsregeln..................................................................................... 133<br />
5.4.5 Induktivität von parallelen Leitern <strong>und</strong> Luftspulen .................................. 135<br />
5.4.6 Induktivität von Spulen mit Eisenkern .................................................... 136<br />
5.4.7 Drosselspule.......................................................................................... 137
X Inhaltsverzeichnis<br />
5.4.8 Schaltungen von Induktivitäten .............................................................. 138<br />
5.4.9 Einphasiger Transformator .................................................................... 138<br />
5.5 Wechselstromtechnik ............................................................................................ 139<br />
5.5.1 Kennwerte von Wechselgrößen ............................................................. 139<br />
5.5.2 Passive Wechselstrom-Zweipole an sinusförmiger Wechselspannung.. 141<br />
5.5.2.1 Reihenschaltung von Blindwiderständen ................................. 142<br />
5.5.2.2 Parallelschaltung von Blindwiderständen................................. 144<br />
5.5.3 Umwandlung passiver Wechselstrom-Zweipole in gleichwertige<br />
Schaltungen........................................................................................... 146<br />
5.5.4 Blindleistungskompensation................................................................... 147<br />
5.6 Drehstromtechnik................................................................................................. 148<br />
5.6.1 Drehstromnetz ....................................................................................... 148<br />
5.6.2 Stern- <strong>und</strong> Dreieckschaltung.................................................................. 148<br />
5.6.3 Stern-Dreieck-Umwandlung ................................................................... 150<br />
5.7 Elementare Bauteile der Elektronik...................................................................... 151<br />
5.7.1 Halbleiterdioden..................................................................................... 151<br />
5.7.1.1 Dioden zum Gleichrichten <strong>und</strong> Schalten .................................. 151<br />
5.7.1.4 Z-Dioden .................................................................................. 154<br />
5.7.2 Transistoren........................................................................................... 155<br />
5.7.2.1 Bipolare Transistoren............................................................... 155<br />
5.7.2.2 Kennlinien <strong>und</strong> Kenngrößen bipolarer Transistoren................. 155<br />
5.7.3 Thyristoren............................................................................................. 157<br />
5.7.3.1 Gr<strong>und</strong>schaltung <strong>und</strong> Kenndaten .............................................. 157<br />
5.7.3.2 Ausgewählte Thyristorbauelemente......................................... 158<br />
5.7.3.3 Phasenanschnittsteuerung ...................................................... 160<br />
6 Thermodynamik ........................................................................................................... 161<br />
6.1 Gr<strong>und</strong>begriffe....................................................................................................... 161<br />
6.2 Wärmeausdehnung.............................................................................................. 162<br />
6.3 Wärmeübertragung .............................................................................................. 163<br />
6.4 Gasmechanik....................................................................................................... 166<br />
6.5 Gleichungen für Zustandsänderungen <strong>und</strong> Carnot'scher Kreisprozess ............... 167<br />
6.6 Gleichungen für Gasgemische............................................................................. 171<br />
6.7 Temperatur-Umrechnungen................................................................................. 172<br />
6.8 Temperatur-Fixpunkte.......................................................................................... 172<br />
6.9 Spezifisches Normvolumen � n <strong>und</strong> Dichte r n (0 °C <strong>und</strong> 101325 N/m2 ) .............. 172<br />
6.10 Mittlere spezifische Wärmekapazität cm fester <strong>und</strong> flüssiger Stoffe<br />
zwischen 0 °C <strong>und</strong> 100 °C in J / (kg K) ................................................................ 173<br />
6.11<br />
6.12<br />
Mittlere spezifische Wärmekapazität cp, c� in J / (kg K) nach Justi <strong>und</strong> Lüder..... 173<br />
Schmelzenthalpie qs fester Stoffe in J / kg bei p = 101 325 N/m2 6.13<br />
........................ 173<br />
Verdampfungs- <strong>und</strong> Kondensationsenthalpie qv in J / kg bei 101 325 N/m2 6.14<br />
........ 174<br />
Schmelzpunkt fester Stoffe in °C bei p = 101 325 N/m2 ....................................... 174<br />
6.15 Siede- <strong>und</strong> Kondensationspunkt einiger Stoffe in °C bei p = 101 325 N/m2 ......... 174<br />
6.16 Längenausdehnungskoeffizient � l fester Stoffe in 1/K zwischen 0 °C <strong>und</strong> 100 °C<br />
(Volumenausdehnungskoeffizient � V � 3 � l) ...................................................... 174<br />
6.17 Volumenausdehnungskoeffizient � V von Flüssigkeiten in 1/K bei 18 °C ............. 174<br />
6.18 Wärmeleitzahlen � fester Stoffe bei 20 °C in 103 J<br />
W<br />
; Klammerwerte in .. 175<br />
mhK mK<br />
6.19 Wärmeleitzahlen � von Flüssigkeiten bei 20 °C in<br />
J<br />
W<br />
; Klammerwerte in<br />
mhK mK 175
Inhaltsverzeichnis XI<br />
6.20 Wärmeleitzahlen � von Gasen in Abhängigkeit von der Temperatur<br />
(Ungefährwerte) in<br />
J<br />
mhK<br />
Klammerwerte in W<br />
mK<br />
................................................. 175<br />
6.21 Wärme-Übergangszahlen � für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen<br />
(Mittelwerte)..................................................................................... 175<br />
6.22 Wärmedurchgangszahlen k bei normalem Kesselbetrieb (Mittelwerte)................ 176<br />
6.23 Emissionsverhältnis � <strong>und</strong> Strahlungszahl C bei 20 °C........................................ 176<br />
6.24 Spezifische Gaskonstante Ri, Dichte r <strong>und</strong> Verhältnis � = p c<br />
einiger Gase....... 176<br />
cν 7 Mechanik fester Körper ............................................................................................... 177<br />
7.1 Freimachen der Bauteile...................................................................................... 177<br />
7.2 Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden F r .............................................. 178<br />
7.3 Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F r............................................... 178<br />
7.4 Zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte .................................................. 180<br />
7.5 Rechnerische Bestimmung unbekannter Kräfte................................................... 181<br />
7.6 Fachwerke ........................................................................................................... 181<br />
7.7 Schwerpunkt ........................................................................................................ 182<br />
7.8 Guldin'sche Regeln.............................................................................................. 184<br />
7.9 Reibung ............................................................................................................... 185<br />
7.10 Reibung in Maschinenelementen......................................................................... 186<br />
7.11 Bremsen .............................................................................................................. 188<br />
7.12 Gleitreibzahl � <strong>und</strong> Haftreibzahl � 0 (Klammerwerte sind die Gradzahlen für<br />
den Reibwinkel r bzw. r 0).................................................................................... 190<br />
7.13 Wirkungsgrad � r des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden<br />
Seilstränge (� = 0,96 angenommen).................................................................... 190<br />
7.14 Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung ......................... 190<br />
7.15 Wurfgleichungen.................................................................................................. 192<br />
7.15.1 Horizontaler Wurf (ohne Luftwiderstand) ............................................... 192<br />
17.15.2 Wurf schräg nach oben (ohne Luftwiderstand) ...................................... 192<br />
7.16 Gleichförmige Drehbewegung.............................................................................. 192<br />
7.17 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Kreisbewegung .................................... 193<br />
7.18 Sinusschwingung (harmonische Schwingung)..................................................... 194<br />
7.19 Pendelgleichungen .............................................................................................. 196<br />
7.20 Schubkurbelgetriebe............................................................................................ 197<br />
7.21 Gerader zentrischer Stoß..................................................................................... 198<br />
7.22 Mechanische Arbeit W......................................................................................... 199<br />
7.23 Leistung P, Übersetzung i <strong>und</strong> Wirkungsgrad �................................................... 200<br />
7.24 Dynamik der Verschiebebewegung (Translation)................................................. 201<br />
7.25 Dynamik der Drehung (Rotation) ......................................................................... 202<br />
7.26 Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmomente 2. Grades)................... 203<br />
7.27 Gegenüberstellung einander entsprechender Größen <strong>und</strong> Definitions-<br />
gleichungen für Schiebung <strong>und</strong> Drehung............................................................. 204<br />
8 Fluidmechanik .............................................................................................................. 205<br />
8.1 Statik der Flüssigkeiten........................................................................................ 205<br />
8.2 Strömungsgleichungen ........................................................................................ 206<br />
8.3 Ausflussgleichungen............................................................................................ 208<br />
8.4 Widerstände in Rohrleitungen.............................................................................. 209<br />
8.5 Dynamische Zähigkeit �, kinematische Zähigkeit � <strong>und</strong> Dichte r von Wasser..... 211<br />
8.6 Staudruck q in N/m 2 <strong>und</strong> Geschwindigkeit w in m/s für Luft <strong>und</strong> Wasser ........... 211
XII Inhaltsverzeichnis<br />
8.7 Absolute Wandrauigkeit k .................................................................................... 211<br />
8.8 Widerstandszahlen � für plötzliche Rohrverengung............................................. 212<br />
8.9 Widerstandszahlen � für Ventile .......................................................................... 212<br />
8.10 Widerstandszahlen � von Leitungsteilen.............................................................. 212<br />
9 Festigkeitslehre ............................................................................................................ 215<br />
9.1 Gr<strong>und</strong>lagen .......................................................................................................... 215<br />
9.2 Zug- <strong>und</strong> Druckbeanspruchung............................................................................ 217<br />
9.3 Biegebeanspruchung ............................................................................................ 218<br />
9.4 Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W, Trägheitsradius i ......... 219<br />
9.5 Elastizitätsmodul E <strong>und</strong> Schubmodul G verschiedener Werkstoffe in N/mm 2 ...... 220<br />
9.6 Träger gleicher Biegebeanspruchung .................................................................. 221<br />
9.7 Stützkräfte, Biegemomente <strong>und</strong> Durchbiegungen................................................ 222<br />
9.8 Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A <strong>und</strong><br />
Trägheitsradius i verschieden gestalteter Querschnitte für Biegung <strong>und</strong> Knickung<br />
(die Gleichungen gelten für die eingezeichneten Achsen) ................................... 225<br />
9.9 Warmgewalzter r<strong>und</strong>kantiger U-Stahl .................................................................. 228<br />
9.10 Warmgewalzter gleichschenkliger r<strong>und</strong>kantiger Winkelstahl................................ 229<br />
9.11 Warmgewalzter ungleichschenkliger r<strong>und</strong>kantiger Winkelstahl nach EN 10056-1 230<br />
9.12 Warmgewalzte schmale �-Träger nach DIN 1025-1 (Auszug)............................. 231<br />
9.13 Warmgewalzte �-Träger, �PE-Reihe ................................................................... 232<br />
9.14 Knickung im <strong>Maschinenbau</strong> (siehe auch 9.35)..................................................... 233<br />
9.15 Grenzschlankheitsgrad � 0 für Euler'sche Knickung <strong>und</strong> Tetmajer-Gleichungen.. 234<br />
9.16 Abscheren <strong>und</strong> Torsion........................................................................................ 235<br />
9.17 Widerstandsmoment W p (W t) <strong>und</strong> Flächenmoment I p (Drillungswiderstand I t) ... 237<br />
9.18 Zusammengesetzte Beanspruchung bei gleichartigen Spannungen ................... 238<br />
9.19 Zusammengesetzte Beanspruchung bei ungleichartigen Spannungen................ 239<br />
9.20 Beanspruchung durch Fliehkraft .......................................................................... 240<br />
9.21 Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung............................... 241<br />
9.22 Hohlzylinder unter Druck...................................................................................... 243<br />
9.23 Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 ................................................................ 244<br />
9.24 Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 .................................................... 245<br />
9.25 Metrisches ISO-Feingewinde ............................................................................... 246<br />
9.26 Geometrische Größen an Sechskantschrauben .................................................. 246<br />
10 Maschinenelemente ..................................................................................................... 247<br />
10.1 Toleranzen <strong>und</strong> Passungen ................................................................................. 247<br />
10.1.1 Normzahlen............................................................................................ 247<br />
10.1.2 Gr<strong>und</strong>begriffe zu Toleranzen <strong>und</strong> Passungen........................................ 248<br />
10.1.3 Eintragung von Toleranzen in Zeichnungen........................................... 250<br />
10.1.4 Gr<strong>und</strong>toleranzen der Nennmaßbereiche in �m...................................... 250<br />
10.1.5 Allgemeintoleranzen für Längenmaße nach DIN ISO 2768-1 ................ 251<br />
10.1.6 Allgemeintoleranzen für Winkelmaße nach DIN ISO 2768-1 ................. 251<br />
10.1.7 Allgemeintoleranzen für Fasen <strong>und</strong> R<strong>und</strong>ungshalbmesser nach<br />
DIN ISO 2768-1 ..................................................................................... 251<br />
10.1.8 Allgemeintoleranzen für Form <strong>und</strong> Lage nach DIN ISO 2768-2 ............. 251<br />
10.1.9 Symbole für Form <strong>und</strong> Lagetoleranzen nach DIN ISO 1101.................. 252<br />
10.1.10 Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit nach DIN EN ISO 1302 253<br />
10.1.11 Mittenrauwerte R a in �m ........................................................................ 253<br />
10.1.12 Verwendungsbeispiele für Passungen ................................................... 254<br />
10.1.13 Ausgewählte Passtoleranzfelder <strong>und</strong> Grenzabmaße (in µm) für das<br />
System Einheitsbohrung (H) ................................................................. 255
Inhaltsverzeichnis XIII<br />
10.1.14 Passungsauswahl, empfohlene Passtoleranzen, Spiel-, Übergangs<strong>und</strong><br />
Übermaßtoleranzfelder in µm nach DIN ISO 286 ........................... 257<br />
10.2 Schraubenverbindungen...................................................................................... 259<br />
10.2.1 Berechnung axial belasteter Schrauben ohne Vorspannung ................. 259<br />
10.2.2 Berechnung unter Last angezogener Schrauben................................... 259<br />
10.2.3 Berechnung einer vorgespannten Schraubenverbindung bei axial<br />
wirkender Betriebskraft ......................................................................... 260<br />
10.2.4 Kräfte <strong>und</strong> Verformungen in zentrisch vorgespannten<br />
Schraubenverbindungen........................................................................ 262<br />
10.2.5 Berechnung vorgespannter Schraubenverbindungen bei Aufnahme<br />
einer Querkraft....................................................................................... 267<br />
10.2.6 Berechnung von Bewegungsschrauben ................................................ 268<br />
10.2.7 Richtwerte für die zulässige Flächenpressung bei<br />
Bewegungsschrauben ........................................................................... 269<br />
10.2.8 Reibungszahlen <strong>und</strong> Reibungswinkel für Trapezgewinde...................... 269<br />
10.2.9 R p 0,2 0,2-Dehngrenze der Schraube ................................................... 269<br />
10.2.10 Geometrische Größen an Sechskantschrauben .................................... 270<br />
10.2.11 Maße an Senkschrauben mit Schlitz <strong>und</strong> an Senkungen für<br />
Durchgangsbohrungen .......................................................................... 270<br />
10.2.12 Einschraublänge l a für Sacklochgewinde............................................... 271<br />
10.2.13 Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 .................................................. 271<br />
10.2.14 Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103...................................... 272<br />
10.3 Federn ................................................................................................................. 273<br />
10.3.1 Federkennlinie, Federrate, Federarbeit, Eigenfrequenz......................... 273<br />
10.3.2 Metallfedern........................................................................................... 275<br />
10.3.3 Gummifedern......................................................................................... 287<br />
10.4 Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen................................................................................. 288<br />
10.4.1 Achsen................................................................................................... 288<br />
10.4.2 Wellen.................................................................................................... 289<br />
10.4.3 Stützkräfte <strong>und</strong> Biegemomente an Getriebewellen................................ 291<br />
10.4.4 Berechnung der Tragfähigkeit nach DIN 743......................................... 293<br />
10.5 Nabenverbindungen............................................................................................. 298<br />
10.5.1 Kraftschlüssige (reibschlüssige) Nabenverbindungen (Beispiele).......... 298<br />
10.5.2 Formschlüssige Nabenverbindungen (Beispiele)................................... 299<br />
10.5.3 Zylindrische Pressverbände................................................................... 300<br />
10.5.4 Keglige Pressverbände (Kegelsitzverbindungen) .................................. 306<br />
10.5.5 Maße für keglige Wellenenden mit Außengewinde................................ 308<br />
10.5.6 Richtwerte für Nabenabmessungen....................................................... 308<br />
10.5.7 Klemmsitzverbindungen......................................................................... 309<br />
10.5.8 Keilsitzverbindungen.............................................................................. 310<br />
10.5.9 Ringfederspannverbindungen, Maße, Kräfte <strong>und</strong> Drehmomente........... 311<br />
10.5.10 Ermittlung der Anzahl n der Spannelemente <strong>und</strong> der axialen<br />
Spannkraft F a......................................................................................... 312<br />
10.5.11 Längsstiftverbindung.............................................................................. 313<br />
10.5.12 Passfederverbindungen......................................................................... 314<br />
10.5.13 Keilwellenverbindung ............................................................................. 316<br />
10.6 Zahnradgetriebe................................................................................................... 317<br />
10.6.1 Kräfte am Zahnrad................................................................................. 317<br />
10.6.2 Einzelrad- <strong>und</strong> Paarungsgleichungen für Gerad- <strong>und</strong> Schrägstirnräder. 320<br />
10.6.3 Einzelrad- <strong>und</strong> Paarungsgleichungen für Kegelräder............................. 323<br />
10.6.4 Einzelrad- <strong>und</strong> Paarungsgleichungen für Schneckengetriebe................ 325<br />
10.6.5 Wirkungsgrad, Kühlöldurchsatz <strong>und</strong> Schmierarten der Getriebe ........... 328
XIV Inhaltsverzeichnis<br />
11 Zerspantechnik ............................................................................................................. 329<br />
11.1 Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik.................................................... 329<br />
11.1.1 Bewegungen, Kräfte, Schnittgrößen <strong>und</strong> Spanungsgrößen ................... 329<br />
11.1.2 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit v c beim Drehen..................... 333<br />
11.1.3 Werkzeugwinkel..................................................................................... 334<br />
11.1.4 Zerspankräfte......................................................................................... 336<br />
11.1.5 Richtwerte für die spezifische Schnittkraft k c beim Drehen.................... 338<br />
11.1.6 Leistungsbedarf ..................................................................................... 339<br />
11.1.7 Standverhalten....................................................................................... 340<br />
11.1.8 Hauptnutzungszeit ................................................................................. 341<br />
11.2 Fräsen.................................................................................................................. 345<br />
11.2.1 Schnittgrößen <strong>und</strong> Spanungsgrößen ..................................................... 345<br />
11.2.2 Geschwindigkeiten................................................................................. 347<br />
11.2.3 Werkzeugwinkel..................................................................................... 348<br />
11.2.4 Zerspankräfte......................................................................................... 350<br />
11.2.5 Leistungsbedarf ..................................................................................... 352<br />
11.2.6 Hauptnutzungszeit ................................................................................. 352<br />
11.3 Bohren ................................................................................................................. 355<br />
11.3.1 Schnittgrößen <strong>und</strong> Spanungsgrößen ..................................................... 355<br />
11.3.2 Geschwindigkeiten................................................................................. 356<br />
11.3.3 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit v c <strong>und</strong> den Vorschub f beim<br />
Bohren ................................................................................................... 358<br />
11.3.4 Richtwerte für spezifische Schnittkraft beim Bohren .............................. 359<br />
11.3.5 Werkzeugwinkel..................................................................................... 360<br />
11.3.6 Zerspankräfte......................................................................................... 362<br />
11.3.7 Leistungsbedarf ..................................................................................... 363<br />
11.3.8 Hauptnutzungszeit ................................................................................. 364<br />
11.4 Schleifen .............................................................................................................. 365<br />
11.4.1 Schnittgrößen......................................................................................... 365<br />
11.4.2 Geschwindigkeiten................................................................................. 367<br />
11.4.3 Werkzeugwinkel..................................................................................... 368<br />
11.4.4 Zerspankräfte......................................................................................... 369<br />
11.4.5 Leistungsbedarf ..................................................................................... 370<br />
11.4.6 Hauptnutzungszeit ................................................................................. 370<br />
Sachwortverzeichnis ......................................................................................................... 373
1.1 Mathematische<br />
Zeichen<br />
(nach DIN 1302)<br />
~ proportional, ähnlich,<br />
asymptotisch gleich<br />
(sich ����angleichend),<br />
gleichmächtig<br />
≈ ungefähr gleich<br />
≅ kongruent<br />
�� entspricht<br />
�� ungleich<br />
< kleiner als<br />
� kleiner als oder gleich<br />
> größer als<br />
�� größer als oder gleich<br />
�� unendlich<br />
� parallel<br />
nicht parallel<br />
parallelgleich: parallel<br />
<strong>und</strong> gleich lang<br />
�� orthogonal zu<br />
�� gegen<br />
(bei Grenzübergang),<br />
zugeordnet<br />
�� aus... folgt...<br />
�� äquivalent (gleichwertig);<br />
aus... folgt... <strong>und</strong><br />
umgekehrt<br />
�� <strong>und</strong>, sowohl... als auch...<br />
�� oder; das eine oder das<br />
andere oder beides (also<br />
nicht: entweder... oder...)<br />
|x| Betrag von x,<br />
Absolutwert<br />
{x|...} Menge aller x, für die<br />
gilt...<br />
{a, b, c} Menge aus den<br />
Elementen a, b, c;<br />
beliebige Reihenfolge<br />
der Elemente<br />
(a, b) Paar mit den geordneten<br />
Elementen<br />
(Komponenten) a <strong>und</strong> b;<br />
vorgeschriebene<br />
Reihenfolge<br />
(a,b,c) Tripel mit den<br />
geordneten Elementen<br />
(Komponenten) a, b <strong>und</strong><br />
c; vorgeschriebene<br />
Reihenfolge<br />
AB Gerade AB; geht durch<br />
die Punkte A <strong>und</strong> B<br />
AB Strecke AB<br />
| AB | Betrag (Länge) der<br />
Strecke AB<br />
(A, B) Pfeil AB<br />
AB Vektor AB; Menge aller<br />
zu (A, B) parallelgleichen<br />
Pfeile<br />
Mathematik<br />
Mathematische Zeichen<br />
� Element von<br />
� nicht Element von<br />
| teilt; n|m: natürliche Zahl n<br />
teilt natürliche Zahl m ohne<br />
Rest<br />
� nicht teilt; n�m: m ist nicht<br />
Vielfaches von n<br />
� = {0, 1, 2, 3, ...} Menge der<br />
natürlichen Zahlen mit Null<br />
�* = {1, 2, 3, ...} Menge der<br />
natürlichen Zahlen ohne Null<br />
� = {...,– 3, – 2, – 1, 0, 1,<br />
2, 3, ...} Menge der ganzen<br />
Zahlen<br />
�* = {– 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, ...}<br />
Menge der ganzen Zahlen<br />
ohne Null<br />
⎧n⎫ � = ⎨ | n ∈ �∧m ∈ � * ⎬<br />
⎩m⎭ Menge der rationalen Zahlen<br />
(Bruchzahlen)<br />
⎧n⎫ �* = ⎨ | n ∈Z* ∧m ∈ � * ⎬<br />
⎩m⎭ Menge der rationalen Zahlen<br />
ohne Null<br />
� Menge der reellen Zahlen<br />
�* Menge � ohne Null<br />
� Menge der komplexen<br />
n!<br />
Zahlen<br />
= 1·2·3· ...·n, n Fakultät<br />
⎛n⎞ ⎜ ⎟<br />
⎝k⎠ nn ( −1)( n−2)...( n− k+<br />
1)<br />
k!<br />
gelesen: n über k; k � n;<br />
binomischer Koeffizient<br />
[a; b] = a ... b; geschlossenes<br />
Intervall von a bis b, d.h.<br />
a <strong>und</strong> b eingeschlossen:<br />
= {x|a � x � b}<br />
]a; b[ = {x|a < x < b}; offenes<br />
Intervall von a bis b, d.h.<br />
ohne die Grenzen a <strong>und</strong> b<br />
]a; b] = {x|a < x � b};halboffenes<br />
Intervall, a ausgeschlossen,<br />
b eingeschlossen<br />
lim Limes, Grenzwert<br />
log Logarithmus, beliebige Basis<br />
log a Logarithmus zur Basis a<br />
lg x = log 10 x Zehnerlogarithmus<br />
ln x = log e x natürlicher<br />
Logarithmus<br />
�x Delta x, Differenz von zwei<br />
x-Werten, z.B. x 2 – x 1<br />
1<br />
1
1<br />
2<br />
Mathematik<br />
Häufig gebrauchte Konstanten<br />
1.2 Griechisches<br />
Alphabet<br />
1.3 Häufig gebrauchte<br />
Konstanten<br />
dx Differenzial von x,<br />
symbolischer Grenzwert von<br />
�x bei �x�����<br />
dy<br />
dx<br />
dy nach dx,<br />
Differenzialquotient y’= f’(x),<br />
y” = f”(x), ... Abkürzungen für<br />
n<br />
∑ v<br />
v=<br />
1<br />
a =a 1 + a 2 + ... + a n, Summe<br />
∫...dx unbestimmtes Integral,<br />
Umkehrung des<br />
Differenzialquotienten<br />
b<br />
df( x) d2f ( x) d ⎛df( x)<br />
⎞<br />
, =<br />
2 ⎜ ⎟,...<br />
∫ fxdx ( ) = [ Fx ( )] b<br />
a = Fb ( ) −Fa<br />
( )<br />
dx dx dx⎝ dx ⎠ a<br />
erste, zweite,... Ableitung; mit F’(x) = f(x), bestimmtes<br />
Differenzialquotient erster, Integral<br />
zweiter, ... Ordnung<br />
� A Alpha<br />
� B Beta<br />
� � Gamma<br />
� � Delta<br />
� E Epsilon<br />
� Z Zeta<br />
� H Eta<br />
�� � Theta<br />
2 = 1,4142 2<br />
3 = 1,7320 5<br />
� = 3,1415 93<br />
2� = 6,2831 85<br />
3� = 9,4247 78<br />
4� = 12,5663 71<br />
� : 2 = 1,5707 96<br />
� : 3 = 1,0471 98<br />
� : 4 = 0,7853 98<br />
��: 180 = 0,0174 53<br />
� 2 = 9,8696 04<br />
� = 1,7724 54<br />
2� = 2,5066 28<br />
� :2 = 1,2533 14<br />
3 π = 1,4645 92<br />
e = 2,7182 82<br />
e 2 = 7,3890 56<br />
�� J Jota<br />
� K Kappa<br />
� � Lamda<br />
� M My<br />
� N Ny<br />
� � Xi<br />
� O Omikron<br />
�� � Pi<br />
e = 1,6487 21<br />
3 e = 1,3956 12<br />
e �/2 = 4,8104 77<br />
e � = 23,1406 93<br />
e 2� = 535,4916 56<br />
M = lg e = 0,4342 94<br />
g = 9,81<br />
g 2 = 96,2361<br />
g = 3,13209<br />
2g = 4,42945<br />
1 : � = 0,3183 10<br />
1 : 2� = 0,1591 55<br />
1 : 3� = 0,1061 03<br />
1 : 4� = 0,0795 77<br />
2 : � = 0,6366 20<br />
3 : � = 0,9549 30<br />
4 : � = 1,2732 40<br />
180 : � = 57,2957 80<br />
�� � Rho<br />
� � Sigma<br />
� T Tau<br />
� � Ypsilon<br />
� � Phi<br />
� � Chi<br />
� � Psi<br />
� � Omega<br />
1 : � 2 = 0,1013 21<br />
1: � = 0,5641 90<br />
1: 2� = 0,3989 42<br />
2:� = 0,7978 85<br />
3 1: π = 0,6827 84<br />
1 : e = 0,3678 79<br />
1 : e 2 = 0,1353 35<br />
1: e = 0,6065 31<br />
3 1: e = 0,7165 32<br />
e –�/2 = 0,2078 80<br />
e –� = 0,043214<br />
e –2� = 0,0018 67<br />
1 : M = ln 10 = 2,3025 85<br />
1 : g = 0,10194<br />
1 : 2g = 0,050968<br />
� g = 9,83976<br />
� 2g = 13,91552
1.4 Multiplikation,<br />
Division, Klammern,<br />
Binomische<br />
<strong>Formeln</strong>, Mittelwerte<br />
Produkt n · a<br />
Vorzeichenregeln<br />
Rechnen mit Null<br />
Multiplizieren von<br />
Summen<br />
Quotient<br />
Brüche<br />
Klammerregeln<br />
Binomische <strong>Formeln</strong>,<br />
Polynome<br />
Mathematik<br />
Multiplikation, Division, Klammern, Binomische <strong>Formeln</strong>, Mittelwerte<br />
Multiplikation, Division, Klammern, Binomische <strong>Formeln</strong>, Mittelwerte<br />
n �a � a ��������� �a �a �... �a<br />
n, a Faktoren<br />
n Summanden<br />
( + a)( + b) = ab ( + a)( − b) = −ab<br />
( − a)( + b) = −ab ( −a)( − b) = ab<br />
( + a):( + b) = a/ b ( + a):( − b) = −a/<br />
b<br />
( − a):( + b) = −a/ b ( −a):( − b) = a/ b<br />
a · b = 0 heißt a = 0 oder b = 0; 0 · a = 0; 0 : a = 0<br />
( a � b)( c �d) � ac �ad � bc � bd<br />
a = b/n = b : n; n � 0; b Dividend; n Divisor<br />
Division durch 0 gibt es nicht<br />
a c ac<br />
⋅ =<br />
b d bd<br />
a c ad<br />
: �<br />
b d bc<br />
Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler<br />
<strong>und</strong> ihre Nenner multipliziert.<br />
Brüche werden dividiert, indem man mit dem<br />
Kehrwert des Divisors multipliziert.<br />
a b c a+ b− c a+ b a b<br />
+ − = ; = +<br />
d d d d c c c<br />
a b c anp+ bmp−cmn + − =<br />
mx nx px mnpx<br />
m n p x Hauptnenner<br />
a �( b �c) � a � b �c<br />
a �( b �c) � a �b �c<br />
a �( b �c) � a �b �c<br />
Steht ein Minuszeichen vor der Klammer,<br />
sind beim Weglassen der Klammer die<br />
Vorzeichen aller in der Klammer stehenden<br />
Summanden umzukehren.<br />
( ) 2 ( )( ) 2 2 2 2 2<br />
a+ b = a+ b a+ b = a + ab+ b a − b =<br />
( ) 2 ( )( ) 2 2 2<br />
a− b = a−b a− b = a − ab+ b<br />
( ) 2 2 2 2 2 2 2<br />
a + b + c = a + b + c + ab + ac + bc<br />
( ) 3 3 3 2 3 2 3<br />
a± b = a ± a b+ ab ± b<br />
3 3 ( )( 2 2)<br />
a + b = a+ b a − ab+ b<br />
3 3 ( )( 2 2)<br />
a − b = a− b a + ab+ b<br />
n n n−<br />
( a+ b)( a−b) 1 ( 1)<br />
( ) n n n− n−2<br />
2<br />
a+ b = a + a b+ a b +<br />
1 1⋅2 n(<br />
n−1)( n−2)<br />
+<br />
an−3b3 + ... + bn<br />
1 2 3<br />
⋅ ⋅<br />
3<br />
1
1<br />
4<br />
Mathematik<br />
Potenzrechnung (Potenzieren)<br />
arithmetisches Mittel<br />
geometrisches Mittel<br />
harmonisches Mittel<br />
Beziehung<br />
zwischen x a, x g, x h<br />
1.5 Potenzrechnung<br />
(Potenzieren)<br />
Definition<br />
(a Basis, n Exponent,<br />
c Potenz)<br />
Potenzen mit<br />
Basis a = (–1)<br />
n ist ganze Zahl<br />
erste <strong>und</strong> nullte<br />
Potenz<br />
negativer Exponent<br />
erst potenzieren,<br />
dann multiplizieren<br />
Addition <strong>und</strong><br />
Subtraktion<br />
Multiplikation<br />
<strong>und</strong> Division bei<br />
gleicher Basis<br />
Multiplikation<br />
<strong>und</strong> Division bei<br />
gleichem Exponenten<br />
Potenzieren von<br />
Produkten <strong>und</strong><br />
Quotienten<br />
Potenzieren einer Potenz<br />
gebrochene Exponenten<br />
+ + +<br />
x1 x2 ... xn<br />
xa =<br />
n<br />
2 �3 �6<br />
z.B. xa = � 3,67<br />
3<br />
n 3 3<br />
xg = x1⋅x2... x n z.B. xg = 2⋅3⋅ 6 = 36 = 3,3<br />
1<br />
1<br />
xh =<br />
z.B. x<br />
1⎛ 1 1 1 ⎞ h =<br />
� 3,0<br />
1�1 1 1�<br />
⎜ + + ... + ⎟<br />
� � � �<br />
n⎝x1 x2 xn⎠<br />
3�2 3 6�<br />
x a � x g � x h; Gleichheitszeichen nur bei x 1 = x 2 = ... = x n<br />
a a a a<br />
������� � � �... �<br />
n Faktoren<br />
= an = c 3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81<br />
0 ( 1)<br />
2 ( 1)<br />
1<br />
4 ( 1)<br />
2 ( 1) n<br />
� �<br />
�<br />
� �<br />
� �<br />
� �<br />
�<br />
� �<br />
1 ( 1)<br />
3 ( 1)<br />
1<br />
5 ( 1)<br />
2 1 ( 1) n+<br />
− ⎫<br />
⎪<br />
− ⎪<br />
⎬ =−<br />
− ⎪<br />
⎪<br />
− ⎭<br />
a 1 = a; a 0 = 1 7 1 = 7; 7 0 = 1<br />
a –n 1 1 1<br />
= ;<br />
n a�<br />
� 7 –2 1 �1 1<br />
= ;7 �<br />
a a<br />
2 7 7<br />
ba n = b · a n = b · (a n ) 6 · 3 4 = 6 · 3 · 3 · 3 · 3 = 6 · (3 4 ) = 486<br />
aber: (6 · 3) 4 = 18 4 = 104976<br />
pa n + qa n = (p + q) a n 2 · 3 4 + 5 · 3 4 = 7 · 3 4<br />
a n · a m = a n + m 3 2 · 3 3 = 3 2 + 3 = 3 5 = 243<br />
a<br />
a<br />
n<br />
�<br />
m<br />
a<br />
n�m 35<br />
� 35�2 � 33 � 27<br />
32<br />
an �bn � ( ab)<br />
n<br />
23 �4 3 � (2�4) 3<br />
n n<br />
� �<br />
�<br />
n �<br />
b<br />
�<br />
� �<br />
a a<br />
b<br />
3 3<br />
2 �2� � (0,5) 3<br />
43<br />
� �<br />
4<br />
�<br />
� �<br />
n n n<br />
4 4 4<br />
( ab) � a �b (2 �3) � 2 �3<br />
n n<br />
�a� a<br />
�<br />
b<br />
� �<br />
n<br />
� � b<br />
4 4<br />
�2� 2<br />
�<br />
3<br />
� �<br />
34<br />
� �<br />
( an) m� anm� amn<br />
(2 3) 4� 23�4� 212� 24�3<br />
1/ n 1/ n 1/ n<br />
a ⋅ b = ( ab) = ab<br />
n<br />
1/ n<br />
⎛ 1/ n : 1/ n a⎞ n a<br />
a b = ⎜ ⎟ =<br />
⎝b⎠ b<br />
( 1/ m) 1/ n 1/ mn mn<br />
a = a = a ( 1/ n) m m/ n ( m) 1/ n n<br />
a = a = a =<br />
am
Zehnerpotenzen<br />
1.6 Wurzelrechnung<br />
(Radizieren)<br />
Definition<br />
(c Radikand, n Wurzelexponent,<br />
a Wurzel)<br />
Wurzeln sind Potenzen<br />
mit gebrochenen<br />
Exponenten, es gelten<br />
die Regeln der<br />
Potenzrechnung<br />
Addition <strong>und</strong> Subtraktion<br />
Multiplikation<br />
Division<br />
Wurzel aus<br />
Produkt <strong>und</strong> Quotient<br />
Wurzel aus Wurzel<br />
Potenzieren einer Wurzel<br />
Wurzel aus Potenz<br />
Kürzen von Wurzel- <strong>und</strong><br />
Potenzexponent<br />
Erweitern der Wurzel<br />
teilweises Wurzelziehen<br />
Rationalmachen des<br />
Nenners<br />
Mathematik<br />
Wurzelrechnung<br />
10 0 = 1 10 6 ist 1 Million 10 –1 = 0,1<br />
10 1 = 10 10 9 ist 1 Milliarde 10 –2 = 0,01<br />
10 2 = 100 10 12 ist 1 Billion 10 –3 = 0,001<br />
10 3 = 1000 10 15 ist 1 Billiarde usw.<br />
Wurzelrechnung<br />
n<br />
= → n =<br />
0 <strong>und</strong> 0<br />
c a a c<br />
a � c �<br />
immer positiv<br />
n<br />
c = c1/<br />
n<br />
4 4<br />
81 3 3 81<br />
= → =<br />
4 1/ 4<br />
81 81 3<br />
= =<br />
−n 1/ 1 1 1 n<br />
c = − c n = = = n = − c 1<br />
c1/ n n<br />
c c<br />
n n n<br />
p c + q c = ( p+ q) c<br />
n n n<br />
c⋅ d = c⋅d n n<br />
: n c<br />
c d =<br />
d<br />
4 4 4<br />
3 7 2 7 5 7<br />
⋅ + ⋅ = ⋅<br />
4 4 4<br />
5⋅ 7 = 35<br />
4 4 4 5<br />
5: 7=<br />
7<br />
n n n<br />
cd = c⋅ d<br />
4�9 � 4 � 9 � 2�3 � 6 � 36<br />
n n n<br />
c/ d = c : d<br />
n m m n mn<br />
c = c = c<br />
4 2<br />
� 4: 9�<br />
9 3<br />
( ) m n n<br />
c = cm<br />
( ) 2 3<br />
3 2 2 3 6<br />
64 = 64 = 64 = 2<br />
3 2 3<br />
8 = 8 = 64 = 4<br />
( ) m<br />
= ( ) 2<br />
3 3<br />
n m n<br />
c c<br />
82 = 8 = 22 = 4<br />
( ) nq<br />
23 ⋅<br />
= = 2 4 23 ⋅<br />
⋅<br />
3<br />
( ) ( )<br />
np nq np<br />
c c<br />
( ) q<br />
p q p<br />
= c = c<br />
24 4<br />
⋅ 8 = 8 = 8 = 16<br />
c⋅ c = c2⋅ c = c3<br />
4 4 � 42 �4 � 43 � 64 � 8<br />
1 2 1<br />
c �1 � 1�<br />
c 2 c<br />
c3 � c2 �c � c � c<br />
3 2<br />
a a⋅a = =<br />
a a⋅a 3 3 3 2<br />
3 2<br />
a⋅a = =<br />
a<br />
3 2<br />
a<br />
3 3 3<br />
5⋅ c = c⋅<br />
5<br />
a a( b−c) = =<br />
b+ c ( b+ c)( b− c)<br />
ab− c<br />
=<br />
b −<br />
c<br />
( )<br />
2<br />
5<br />
1
1<br />
6<br />
Mathematik<br />
Logarithmen<br />
1.7 Logarithmen<br />
Definition<br />
(c Numerus, a Basis,<br />
n Logarithmus)<br />
Logarithmensysteme<br />
spezielle Fälle<br />
Logarithmengesetze<br />
(als dekadische<br />
Logarithmen<br />
geschrieben)<br />
Beziehungen zwischen<br />
dekadischen <strong>und</strong><br />
natürlichen Logarithmen<br />
Kennziffern der<br />
dekadischen<br />
Logarithmen<br />
n natürliche Zahl<br />
Lösen von Exponentialgleichungen<br />
Exponentialfunktion <strong>und</strong><br />
logarithmische Funktion<br />
Logarithmus c zur Basis a ist<br />
diejenige Zahl n, mit der man<br />
a potenzieren muss, um c zu<br />
erhalten.<br />
Dekadische (Briggs'sche)<br />
Logarithmen, Basis a = 10:<br />
log 10 c = lg c = n,<br />
wenn 10 n = c.<br />
a log a c = c 10 lg c = c e ln c = c<br />
log a (a n ) = n lg 10 n = n In e n = n<br />
log a a = 1 lg 10 = 1 In e = 1<br />
log a 1 = 0 lg 1 = 0 In 1 = 0<br />
log a c = n a n = c<br />
log 3 243 = 5 3 5 = 243<br />
„Logarithmus 243 zur Basis drei<br />
gleich fünf“<br />
Natürliche Logarithmen,<br />
Basis a = e = 2,71828 ... :<br />
log e c = In c = n,<br />
wenn e n = c.<br />
In 1<br />
= – 1<br />
e<br />
lg (xy) = lg x + lg y lg (10 · 100) = lg 10 + lg 100 = 1 + 2 = 3<br />
lg x ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ = lg x – lg y<br />
⎝y⎠ ⎛ 10 ⎞<br />
lg⎜ ⎟=<br />
lg10 − lg100 = 1− 2 =−1<br />
⎝100⎠ log x n = n lg x lg 10100 = 100 lg 10 = 100<br />
lg n x = 1 lgx<br />
n<br />
100 1 1<br />
lg 10 = lg10 =<br />
100 100<br />
lgx<br />
ln x = ln10⋅ lgx = = 2,30259 lgx<br />
lge<br />
ln x<br />
lgx = lge⋅ ln x = = 0,43429 ln x<br />
ln10<br />
lg 1 = 0 lg 0,1 = – 1<br />
lg 10 = 1 lg 0,01 = – 2<br />
lg 100 = 2 lg 0,001 = – 3 usw.<br />
lg 1000 = 3 usw.<br />
lg � = � lg 0 = – �<br />
lg 10 n = n lg 10 – n = – n<br />
ax = b 10x = 1000<br />
x lg a = lg b x lg 10 = lg 1000<br />
x = lgb<br />
lga<br />
lg1000 3<br />
x = = = 3<br />
lg10 1<br />
y=ex y= ln x<br />
y=10 x Umkehrfunktion<br />
Umkehrfunktion<br />
y= lg x
1.8 Komplexe Zahlen<br />
Komplexe Zahlen<br />
imaginäre Einheit i <strong>und</strong><br />
Definition<br />
rein imaginäre Zahl<br />
komplexe Zahl z<br />
a Realteil<br />
b Imaginärteil<br />
goniometrische<br />
Darstellung der<br />
komplexen Zahl<br />
Darstellungsbeispiel<br />
Addition <strong>und</strong> Subtraktion<br />
Multiplikation<br />
z 1, z 2 sind konjugiert<br />
komplex<br />
z 1, z 2<br />
in goniometrischer<br />
Darstellung<br />
z 1, z 2<br />
in Exponentialform<br />
Division<br />
i = �1<br />
i 2 = – 1<br />
also auch: i 3 = – i; i 4 = 1; i 5 = i usw.<br />
bzw. i –1 = 1/i = – i; i –2 = –1<br />
i –3 = i; i –4 = 1; i –5 = – i usw.<br />
allgemein: i 4 n + m = i m<br />
Mathematik<br />
Komplexe Zahlen<br />
ist darstellbar als Produkt einer reellen Zahl mit der imaginären Einheit<br />
z.B.: − 4 == 4 − 1= 2i<br />
ist die Summe aus einer reellen Zahl a <strong>und</strong> einer imaginären<br />
Zahl b i (a, b reell):<br />
z = a−bi⎫konjugiert komplexes<br />
z = a + b i<br />
⎬<br />
z = a+ bi⎭Zahlenpaar<br />
z = a + b i = r (cos � + i sin �) = r e i�<br />
r = a2+ b2 = | z | absoluter Betrag<br />
oder Modul<br />
tan � = ;<br />
b<br />
� Argument<br />
a<br />
a = r cos �; b = r sin �<br />
z = 3 + 4 i = 5( cos 53° 8' + i sin 53° 8')<br />
= 5(0,6 + 0,8 i)<br />
z1+ z2 = ( a1+ b1i) + ( a2+ b2i) = ( a1+ a2) + ( b1+ b2)i<br />
z − z = ( a + b i) − ( a + b i) = ( a − a ) + ( b −b<br />
)i<br />
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2<br />
Beispiel: (3 + 4 i) – (5 – 2 i) = – 2 + 6 i<br />
z ⋅ z = ( a + b i) ⋅ ( a + b i) = ( aa − bb ) + i( ba + ba )<br />
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1<br />
(3 + 4i) ⋅(5− 2i) = 23 + 14 i<br />
1⋅ 2 = ( 1+ 1i) ⋅( 1− 1⋅<br />
i) = 2+ 2 =<br />
= (3 + 4i) ⋅(3 − 4i) = 25<br />
z z a b a b a b<br />
z1 · z2 = r1(cosϕ1+ isin ϕ1) ⋅ r2(cosϕ2+<br />
isin ϕ2)<br />
=<br />
r r [cos( ϕ + ϕ ) + isin( ϕ + ϕ )]<br />
= 1 2 1 2 1 2<br />
o o o o<br />
5(cos30 + isin30 ) ⋅ 13(cos60 + isin60 ) =<br />
= 65(cos 90° + i sin 90°) = 65 i<br />
iϕ z1 · z2 = 1 iϕ2 i( ϕ1+ ϕ2)<br />
r1e ⋅ r2e = r1r2e =<br />
o o o<br />
= 3ei25⋅ 5ei30 = 15ei55<br />
z a b a b a b<br />
z a b a b a b<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1+ 2+ 1i ( 1+ =<br />
2i ( 2+ 1i)( 2− 2i)( 2 −<br />
2i)<br />
=<br />
2i)<br />
= 1 2 1 2 2 1 1 2<br />
aa + bb a b −ab<br />
+ i<br />
2 2 2 2<br />
a2 + b2 a2 + b2<br />
(3 + 4i) (3 + 4i)(5 + 2i) 7 26<br />
= = + i<br />
(5 −2i) (5 − 2i)(5 +<br />
2i) 29 29<br />
7<br />
1
1<br />
8<br />
Mathematik<br />
Quadratische Gleichungen<br />
z 1, z 2<br />
in goniometrischer<br />
Darstellung<br />
z 1, z 2<br />
in Exponentialform<br />
Potenzieren mit einer<br />
natürlichen Zahl<br />
Potenzieren (radizieren)<br />
mit beliebigen<br />
reellen Zahlen (nur in<br />
goniometrischer<br />
Darstellung möglich)<br />
Ist der Wurzelexponent n<br />
eine natürliche Zahl, gibt<br />
es genau n Lösungen,<br />
z.B. bei 3 1<br />
Exponentialform der<br />
komplexen Zahl<br />
1.9 Quadratische<br />
Gleichungen<br />
Allgemeine Form<br />
Normalform<br />
Lösungsformel<br />
z r r<br />
z r r<br />
1 1(cos ϕ1+ isin ϕ1)<br />
1<br />
= = [cos( ϕ1− ϕ2) + isin( ϕ1−ϕ2)] 2 2(cos ϕ2+ isin ϕ2)<br />
2<br />
i ϕ<br />
o<br />
z 1 i25<br />
1 r1e r1 i( ϕ − − o<br />
= = 1 ϕ2)<br />
3e3 i5<br />
e = o = e<br />
z i ϕ2<br />
i30<br />
2 r2e r2<br />
5e<br />
5<br />
durch wiederholtes Multiplizieren mit sich selbst:<br />
(a + b i) 3 = (a 3 – 3 a b 2 ) + (3 a 2 b – b 3 ) i<br />
(4 + 3 i) 3 = – 44 + 117 i<br />
man potenziert (radiziert) den Modul <strong>und</strong> multipliziert (dividiert) das<br />
Argument mit dem Exponenten (durch den Wurzelexponenten):<br />
n n<br />
n n<br />
( a+ bi) = [ r(cosϕ+ isin ϕ) ] a+ bi = r(cosϕ+<br />
isin ϕ)<br />
=<br />
= n r (cosnϕ+ isin nϕ) n ⎛ ϕ ϕ ⎞<br />
= r⎜cos<br />
+ isin ⎟<br />
⎝ n n⎠<br />
(4 + 3 i) 3 = [5 (cos 36,87° � i sin 36,87°)] 3<br />
= 125 (cos 110,61° � i sin 110,619)<br />
= 125 ( –cos 69,39° � i sin 69,39°)<br />
= 125 ( – 0,3520 � 0,9360 i)<br />
= – 44,00 � 117,00 i<br />
w 1 =<br />
w 2 =<br />
3 o o<br />
1(cos0 + isin0 ) = 1<br />
3 o o<br />
1(cos360 + isin360 )<br />
o o<br />
= 1(cos120 + isin120 )<br />
= 1 i − + 3<br />
2 2<br />
e i � = cos � � i sin �<br />
|e –i � 2 2<br />
| = cos ϕ+ sin ϕ = 1<br />
iϕ+ −iϕ<br />
e e<br />
cos � =<br />
2<br />
lg z = ln r � i (� � 2 � n)<br />
w 3 =<br />
mit n = 0, � 1, � 2... <strong>und</strong> � in Bogemaß<br />
a 2 x 2 � a 1 x � a 0 = 0 (a 2 � 0)<br />
2 a1<br />
a0<br />
x + x+ = x2+ px+ q = 0<br />
a2 a2<br />
2<br />
p ⎛p⎞ x1,2 =− ± ⎜ ⎟ −q<br />
2 ⎝2⎠ 3 o o<br />
1(cos720 + isin720 )<br />
= 1(cos240o + isin240 o)<br />
= 1 i − − 3<br />
2 2<br />
e –i � = cos � – i sin � =<br />
1<br />
=<br />
cos + isin<br />
iϕ− − iϕ<br />
e e<br />
sin � =<br />
2i<br />
ϕ ϕ<br />
Die Lösungen x 1, x 2 sind<br />
a) beide verschieden <strong>und</strong><br />
reell, wenn der Wurzelwert<br />
positiv ist<br />
b) beide sind gleich <strong>und</strong><br />
reell, wenn der Wurzelwert<br />
null ist<br />
c) beide sind konjugiert<br />
komplex, wenn der<br />
Wurzelwert negativ ist.
Mathematik<br />
Wurzel-, Exponential-, Logarithmische <strong>und</strong> Goniometrische Gleichungen in Beispielen<br />
Beispiel<br />
2<br />
2<br />
70 ⎛70⎞ 13<br />
25x − 70x+ 13 = 0⎫<br />
x1,2<br />
=+ ± −<br />
⎪<br />
⎜ ⎟<br />
50 ⎝50⎠ 25<br />
2 70 13 ⎬<br />
x − x+<br />
= 0⎪ 25 25 ⎭ 7 49 13 13 1<br />
x1=+ + − = ; x2<br />
=<br />
5 25 25 5 5<br />
Kontrolle der Lösungen (Viéta)<br />
x1 � x2 = – p Im Beispiel ist p = 70<br />
− <strong>und</strong> q =<br />
25<br />
13<br />
, also<br />
25<br />
13 1 14 70<br />
x1+ x2 = + = = =−p<br />
5 5 5 25<br />
x1 · x2 = q<br />
13 1 13<br />
x1⋅ x2 = ⋅ = = q<br />
5 5 25<br />
1.10 Wurzel-, Exponential-, Logarithmische <strong>und</strong> Goniometrische Gleichungen in<br />
Beispielen<br />
Wurzelgleichungen: Logarithmische Gleichungen:<br />
a) 11− x + 3 = 6<br />
a) log7 (x<br />
x + 3 = 11−6 x � 3 = 25 x = 22<br />
2 � 19) = 3<br />
x2 � 19 = 73 b) log3 (x � 4) = x<br />
x � 4 = 3<br />
x1,2 = � 18<br />
x<br />
b) 2x− 3+ x + 5= 0<br />
3 + x =2 x � 5<br />
3 � x = 4 x2 � 20 x � 25<br />
2 19 11<br />
x + x+<br />
4 2<br />
= 0<br />
x1 = – 2 x2 = 11<br />
−<br />
4<br />
Nur x1 ist Lösung der gegebenen Gleichung.<br />
Goniometrische Gleichungen:<br />
a) sin x = sin 75°<br />
x = arc 75° � 2 n � <strong>und</strong><br />
x = arc (180° � 75°) � 2 n � mit<br />
n = 0 � 1; � 2; � 3; ... oder<br />
x = arc (90° � 15°) � 2 n �, also<br />
π π<br />
x = ± +2nπ 2 12<br />
b) sin2 x � 2 cos x = 1,5<br />
Man setzt sin2 x = 1 – cos2 x <strong>und</strong> erhält<br />
eine quadratische Gleichung für cos x:<br />
1 – cos2 x � 2 cos x = 1,5<br />
cos x 1,2 = 1± 1−0,5 cos x 1 =<br />
1 + scheidet aus, da | cos x | � 1<br />
2<br />
1 2<br />
1<br />
cos x2 = 1− 2 ≈0,293<br />
2<br />
x2� 73,0° � 1,274 rad ist Hauptwert<br />
Die Gleichung ist nicht geschlossen lösbar.<br />
Näherungslösung durch systematisches Probieren,<br />
z. B. mit Hilfe des programmierbaren Taschenrechners.<br />
x � 1,561919<br />
Exponentialgleichungen:<br />
lg5<br />
2x = 5; x = log25= log105 : log102= lg2<br />
lg5 0,699<br />
x = = = 2,32<br />
lg2 0,301<br />
c) sin x + cos x – 0,9 x = 0<br />
Diese transzendente Gleichung ist nicht geschlossen<br />
lösbar. Näherungslösung durch Probieren<br />
(Interpolieren in der Nähe der Lösung), z. B. mit<br />
dem programmierbaren Taschenrechner.<br />
x = 76°39' = 1,3377 rad ist näherungsweise die<br />
einzige reelle Lösung.<br />
9<br />
1
1<br />
10<br />
Mathematik<br />
Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch)<br />
1.11 Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch)<br />
Gerade: y = ax� b Parabel: y = x2 Parabel: y = ± x<br />
Kubische Parabel: y = x 3<br />
Kreis: y = � a2 − x2<br />
x 2 � y 2 = a 2<br />
3<br />
y = x<br />
Semikubische Parabel:<br />
b<br />
Ellipse: y = ± a2 −x2<br />
a<br />
2 2<br />
+<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
x y<br />
a b<br />
y =± x3/2 =± x3<br />
Potenzfunktionen:<br />
y = x n für n � 0<br />
<strong>und</strong> x � 0
Potenzfunktionen:<br />
y = x n für n � 0 <strong>und</strong> x � 0<br />
Mathematik<br />
Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch)<br />
Exponentialfunktionen:<br />
y = a x für a � 0<br />
1<br />
b<br />
Hyperbel: y = Hyperbel: y =± x2 −a2<br />
x<br />
a<br />
Quadratisches Polynom:<br />
y = ax2 −b<br />
� bx� c mit xs =<br />
2a<br />
Trigonometrische Funktionen:<br />
y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x<br />
2 2<br />
−<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
x y<br />
a b<br />
Logarithmische Funktionen:<br />
y = log a x für a � 0 <strong>und</strong> x � 0<br />
b<br />
Hyperbel: y =± x2+ a2<br />
a<br />
2 2<br />
−<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
y x<br />
b a<br />
Polynom dritten Grades:<br />
y = ax 3 � bx 2 � cx� d (kubische Parabel); Diskriminante<br />
� = 3 ac – b 2<br />
Hyperbelfunktionen:<br />
y = sinh x, y = cosh x, y = tanh x,<br />
y = coth x<br />
11<br />
1
1<br />
12<br />
Mathematik<br />
Flächen<br />
Inverse trigonometrische Funktionen:<br />
y = arcsin x, y = arccos x,<br />
y = arctan x, y = arccot x<br />
Archimedische<br />
Spirale:<br />
r = a �<br />
(1 + ϕ3<br />
)<br />
r = a<br />
2 + ϕ2<br />
3/2<br />
Logarithmische<br />
Spirale:<br />
r = a em �<br />
� = arccot m =<br />
konstant<br />
r = r m 2 + 1<br />
(r Radius des Krümmungskreises)<br />
1.12 Flächen (A Flächeninhalt, U Umfang)<br />
A = a 2<br />
U = 4 a<br />
d = a 2<br />
Zykloide:<br />
x = a (t – sin t)<br />
y = a (1 – cos t)<br />
(a Radius, t Wälzwinkel)<br />
Quadrat Rechteck<br />
Rhombus<br />
A = a h =<br />
U = 4 a<br />
d1d2 2<br />
Parallelogramm<br />
Inverse Hyperbelfunktionen:<br />
y = arsinh x = In (x � x 2 + 1 )<br />
y = arcosh x = In (x � x2 − 1 )<br />
1 1+<br />
x<br />
y = artanh x = ln<br />
2 1−x<br />
1 x + 1<br />
y = arcoth x = ln<br />
2 x −1<br />
Kreisevolvente:<br />
x = a cos � + a � sin �<br />
y = a sin � – a � cos q<br />
A = a b<br />
U = 2 (a � b)<br />
d = a2+ b2<br />
A = a h = a b sin �<br />
U = 2 (a � b)<br />
2 2<br />
d1 = ( a+ hcot α)<br />
+ h<br />
2 2<br />
d2 = ( a− hcot α)<br />
+<br />
h
Trapez<br />
regelmäßiges<br />
Sechseck<br />
Kreis<br />
Kreissektor<br />
Kreisabschnitt<br />
Mathematik<br />
Fläche A, Umkreisradius r <strong>und</strong> Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke<br />
a+ c<br />
A = h<br />
2<br />
= m h<br />
a+ c<br />
m =<br />
2<br />
3<br />
A = 2<br />
2<br />
3 a<br />
Schlüsselweite: S = a<br />
Eckenmaß: e = 2a<br />
3<br />
A = r 2 d2π � =<br />
4<br />
U = 2 r � = d �<br />
� = 3,141592<br />
o br ϕ<br />
A = = πr<br />
o 2 360<br />
ϕ r 2<br />
=<br />
2<br />
Bogenlänge b:<br />
o ϕ πr<br />
b = ϕ r =<br />
A =<br />
o 180<br />
2<br />
⎛ o r 2 ϕ π ⎞<br />
⎜ − sinϕ<br />
⎟<br />
o 2<br />
⎟<br />
⎝180 ⎠<br />
= 1 [( rb− s) + sh]<br />
2<br />
� 2<br />
3 sh<br />
Sehnenlänge s:<br />
ϕ<br />
s = 2 r sin<br />
2<br />
Vieleck<br />
Dreieck<br />
Kreisring<br />
Kreisradius r:<br />
2<br />
⎛s⎞ 2<br />
⎜ ⎟ + h<br />
⎝2⎠ r =<br />
2h<br />
Bogenhöhe h:<br />
⎛ ϕ ⎞<br />
h = r⎜1−cos<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
s ϕ<br />
= tan<br />
2 4<br />
A = A1 � A2 � A3 = 11 2 2 2 3<br />
ch+ ch + ch<br />
2<br />
gh<br />
A =<br />
2<br />
siehe auch unter<br />
1.15 <strong>und</strong> 1.16<br />
A = − 2 2<br />
π( rari )<br />
π 2 2<br />
= ( da−di) 4<br />
= dm � s<br />
da − di<br />
s =<br />
2<br />
da+ di<br />
dm =<br />
2<br />
o ϕ ⋅ π<br />
A = ( R2 − r2) = l s<br />
o 360<br />
mittlere Bogenlänge l:<br />
l = + R r π o ⋅ ϕ o 2 180<br />
Ringbreite s:<br />
s = R – r<br />
Bogenlänge b:<br />
b = 2 16<br />
s + h2<br />
3<br />
o ϕ π r<br />
b = = ϕ r<br />
o 180<br />
1.13 Fläche A, Umkreisradius r <strong>und</strong> Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke<br />
Dreieck<br />
(gleichseitiges)<br />
2<br />
a<br />
A =<br />
4<br />
3<br />
a<br />
r =<br />
3<br />
3<br />
r =<br />
a<br />
6<br />
3<br />
Viereck (Quadrat)<br />
A = a2 a<br />
r = 2<br />
2<br />
a<br />
r =<br />
2<br />
13<br />
1
1<br />
14<br />
Mathematik<br />
Körper<br />
Fünfeck<br />
Achteck<br />
n-Eck<br />
2<br />
a<br />
A =<br />
4<br />
25 + 10 5<br />
a<br />
r =<br />
10<br />
50 + 10 5<br />
a<br />
r =<br />
10<br />
25 + 10 5 Sechseck<br />
A = 2 a2 ( 2+ 1)<br />
a<br />
r = 4+ 2 2<br />
2<br />
a<br />
r = ( 2+ 1)<br />
2<br />
2<br />
Zehneck<br />
an a<br />
a<br />
A = r 1 − r = r 1− 2 2 4r<br />
4r<br />
2<br />
2<br />
3 2 A =<br />
2<br />
3 a<br />
r = a<br />
a<br />
r =<br />
2<br />
3<br />
5<br />
A = a 2<br />
2<br />
5+ 2 5<br />
a<br />
r = ( 5+ 1)<br />
2<br />
a<br />
r =<br />
2<br />
5+ 2 5<br />
Ist a = a n die Seite des n-Ecks, dann gilt für das 2 n-Eck:<br />
a<br />
a2n = r 2− 4−<br />
r<br />
1.14 Körper (V Volumen, O Oberfläche, M Mantelfläche)<br />
Würfel<br />
Sechskantsäule<br />
Pyramidenstumpf<br />
Prismatoid<br />
(Prismoid)<br />
V = a 3<br />
O = 6 a 2<br />
d = a 3<br />
V =<br />
3<br />
ah sh<br />
2<br />
3 2 3 = 2<br />
2<br />
O = 3 aa ( 3+ 2 h)<br />
= 3 ss ( + 2 h)<br />
2<br />
n<br />
2<br />
h<br />
V = ( Au+ 3<br />
AA u o + Ao)<br />
� h<br />
Au+ Ao<br />
2<br />
h<br />
( A 4 A A )<br />
6<br />
V = o+ m+ u<br />
Quader<br />
Pyramide<br />
Keil<br />
Kreiszylinder<br />
V = a b c<br />
O = 2 (a b � a c � b c)<br />
d = a2+ b2+ c2<br />
Ah<br />
V =<br />
3<br />
(gilt für jede Pyramide)<br />
h<br />
b (2 a a )<br />
6<br />
V = u u+ o<br />
2 Volumen des<br />
d π<br />
V = h Hohlzylinders<br />
4 als Differenz<br />
M = d � h zweier Zylinder<br />
berechnen.<br />
π d<br />
O = ( d+ 2 h)<br />
2
Kreiszylinder,<br />
schief abgeschnitten<br />
V = 2⎛a<br />
b⎞<br />
r<br />
2<br />
+<br />
π ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
d π<br />
= h<br />
4<br />
M = d � h<br />
= � r (a � b)<br />
⎡ 2<br />
⎛<br />
⎤<br />
− ⎞<br />
O = ⎢ + + + 2 b a<br />
π r a b r r +⎜ ⎟ ⎥<br />
⎢ ⎝ ⎠ ⎥<br />
⎣<br />
2<br />
⎦<br />
gerader<br />
Kreiskegel<br />
Kreisringtorus<br />
Kugel<br />
Kugelabschnitt<br />
(K.-Segment,<br />
K.-Kappe, K.-Kalotte)<br />
zylindrisch<br />
durchbohrte Kugel<br />
1<br />
V = r2h; M r s<br />
3 = π π<br />
s = r2+ h2<br />
O = r � (r � s)<br />
Abwicklung ist Kreissektor<br />
mit Öffnungswinkel �:<br />
o r o<br />
�° = 360 = 360 sin β<br />
s<br />
2 2<br />
d π D<br />
V =<br />
4<br />
= 2 r 2 � 2 R<br />
M = d � 2 D<br />
= 4 r � 2 R<br />
4<br />
V = 3 1<br />
r π = d3π<br />
3 6<br />
� 4,189 r 3<br />
O = 4 � r 2 = � d 2<br />
h⎛3⎞<br />
⎜ s + h ⎟<br />
6 ⎝4 ⎠<br />
π<br />
V = 2 2<br />
= 2 π<br />
⎛ h⎞<br />
h ⎜r − ⎟<br />
⎝ 3⎠<br />
π<br />
M = 2 � r h = ( s2+ 4 h2)<br />
4<br />
3<br />
π h<br />
V =<br />
6<br />
O = 2 � h (R � r)<br />
Zylinderhuf<br />
Mathematik<br />
Körper<br />
h<br />
V = [ a(3 r2− a2)<br />
+<br />
3b<br />
� 3 r 2 (b – r) �]<br />
2rh<br />
M = [( b− r) ϕ + a]<br />
b<br />
(� in rad)<br />
Für Halbkreisfläche als Gr<strong>und</strong>fläche ist:<br />
2<br />
V = r2h; M = 2r<br />
h<br />
3<br />
2 2 2<br />
r π r π r + h<br />
O = M + +<br />
2 2<br />
gerader<br />
Kreiskegelstumpf<br />
Fass<br />
Kugelzone<br />
(Kugelschicht)<br />
Kugelausschnitt<br />
(Kugelsektor)<br />
kegelig<br />
durchbohrte Kugel<br />
π h<br />
V = ( R2+ Rr + r2)<br />
3<br />
( )<br />
2 2<br />
s = R− r + h<br />
M = � s (R � r)<br />
O = � [R 2 � r 2 + s (R � r)]<br />
h<br />
(2 D d )<br />
π<br />
V = 2+ 2<br />
12<br />
bei kreisförmigem b<br />
π h⎛ V = 2 3 ⎞ 2<br />
⎜2D + Dd+ d ⎟<br />
15 ⎝ 4 ⎠<br />
bei parabelförmigem b<br />
h<br />
(3<br />
6<br />
M = 2 � r h<br />
3 )<br />
π<br />
V = a2+ b2+ h2<br />
O =� (2 r h � a 2 � b 2 )<br />
h =<br />
r2− a2 + r2−b2 2<br />
V = r2h 3 π<br />
π r<br />
O = (4 h+ s)<br />
2<br />
2<br />
2 π r h<br />
V =<br />
3<br />
⎛ 2 ⎞<br />
O = ⎜ + 2 h<br />
2π<br />
r − ⎟<br />
⎜<br />
h r<br />
⎟<br />
⎝ 4 ⎠<br />
15<br />
1
1<br />
16<br />
Mathematik<br />
Rechtwinkliges Dreieck<br />
1.15 Rechtwinkliges<br />
Dreieck<br />
allgemeine<br />
Beziehungen<br />
gegeben a, b<br />
gegeben a, c<br />
gegeben b, c<br />
gegeben a, ��<br />
gegeben b, ��<br />
gegeben c, ��<br />
Pythagoras: c 2 = a 2 � b 2<br />
Euklid: b 2 = c q; a 2 = c p; h 2 = p q<br />
a b<br />
sin � = ;cosα<br />
=<br />
c c<br />
a b<br />
tan � = ;cotα<br />
=<br />
b a<br />
2 2<br />
h b ab 2 a b 1 1 1<br />
= ; h= ; h = ; = +<br />
a c c 2 2 2 2 2<br />
a + b h a b<br />
1 1<br />
Fläche A = = 2 1<br />
= 2 1<br />
ab a cot α b tan α = c2sin2α<br />
2 2 2 4<br />
a<br />
tan � = ;<br />
b<br />
o b<br />
α = 90 − β; tan β = ;<br />
a<br />
β = 90o−α<br />
c = 2 2 a b a b<br />
a + b = = = =<br />
sinα sin β cos β cos α<br />
ab ab<br />
A = ; h =<br />
2 a + b<br />
2 2<br />
a o a<br />
o<br />
sin α = ; α = 90 − β; cos β = ; β = 90 −α<br />
c c<br />
2 2 b= c − a = ( c+ a)( c− a) = ccosα = csinβ = acotα<br />
a 1<br />
a<br />
A = c − a = acsin β ; h= c −a<br />
2 2<br />
c<br />
2 2 2 2<br />
b<br />
cos α = ;<br />
c<br />
o β = 90 −α<br />
a= c − b ;<br />
1<br />
A= b<br />
2<br />
tan α;<br />
b<br />
h= c<br />
c −b<br />
2 2 2 2 2<br />
o a 1<br />
β = 90 − α; b = acot α; c = ; A= a2cot α; h= acosα<br />
sinα 2<br />
o b 1<br />
β = 90 − α; a = btan α; c = ; A= b2tan α; h= bsinα<br />
cosα 2<br />
o β = 90 − α; a= csinα<br />
1<br />
b = ccos α; A= c2sinαcos α; h= csinαcosα<br />
2
1.16 Schiefwinkliges<br />
Dreieck<br />
allgemeine<br />
Beziehungen<br />
halber Umfang s<br />
Radius des Inkreises r<br />
Radien der Ankreise<br />
r a, r b, r c<br />
Höhen<br />
h a, h b, h c<br />
Seitenhalbierende<br />
Mittellinien<br />
m a, m b, m c<br />
Winkelhalbierende<br />
w a, w b, w c<br />
Flächeninhalt<br />
Radius des<br />
Umkreises r<br />
Mathematik<br />
Schiefwinkliges Dreieck<br />
α ( s−b)( s−c) ( s−a)( s−b) ( s−a)( s−c) sin = = =<br />
2 bc ab ac<br />
α ss ( − a)<br />
cos ;<br />
2 bc<br />
= ... 1)<br />
α ( s−b)( s−c) tan =<br />
2 ss ( − a)<br />
r<br />
= ; ...<br />
s−a 1)<br />
asin<br />
γ<br />
tan α = ;<br />
b−acos γ<br />
... 1)<br />
1 α β γ<br />
s = ( a+ b+ c) = 4rcos cos cos<br />
2 2 2 2<br />
α β γ abc<br />
r = 4r sin sin sin =<br />
2 2 2 4rs<br />
= ( )( )( )<br />
s−a s−b s− c α β γ<br />
= s tan tan tan<br />
s<br />
2 2 2<br />
s α s( s−b)( s−c) ra= r = s tan =<br />
; ...<br />
s−a 2 s−a 1)<br />
bc<br />
ha= bsin γ = csin<br />
β = sin α ; ...<br />
a<br />
1)<br />
aha = bhb = chc = 2 s( s−a)( s−b)( s−c) 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2<br />
a 2 a b c 4<br />
m = 2( b + c ) − a ;... ) m + m + m = ( a + b + c )<br />
1 1 1 1 1 1 1<br />
= + + = + +<br />
r r r r h h h<br />
a b c a b c<br />
1 1 1 1<br />
=− + + ; ...<br />
ra<br />
ha hb hc<br />
1)<br />
2 1<br />
w = − = + 2− 2<br />
a bcs( s a) bc[( b c) a ];<br />
b+ c b+ c<br />
2<br />
... 1)<br />
A= rs<br />
= s( s−a)( s−b)( s− c) = 2r sinαsin β sin γ<br />
1 1 1<br />
2 2 2<br />
A= absin γ = bcsinα = acsin<br />
β<br />
a b c<br />
r = = =<br />
2sinα 2sinβ 2sinγ<br />
1) Die Punkte weisen darauf hin, dass sich durch zyklisches Vertauschen von<br />
a, b, c <strong>und</strong> �, �, �, noch zwei weitere Gleichungen ergeben.<br />
17<br />
1
1<br />
18<br />
Mathematik<br />
Schiefwinkliges Dreieck<br />
Sinussatz<br />
Kosinussatz<br />
(bei stumpfem Winkel �<br />
wird cos � negativ)<br />
Projektionssatz<br />
Mollweide'sche<br />
<strong>Formeln</strong><br />
Tangenssatz<br />
gegeben:<br />
1 Seite <strong>und</strong> 2 Winkel<br />
(z.B. a, �, �)<br />
WWS<br />
gegeben:<br />
2 Seiten <strong>und</strong> der<br />
eingeschlossene Winkel<br />
(z.B. a, b, �)<br />
SWS<br />
gegeben:<br />
2 Seiten <strong>und</strong> der einer<br />
von beiden gegenüberliegende<br />
Winkel<br />
(z.B. a, b, �)<br />
SSW<br />
gegeben:<br />
3 Seiten<br />
(z.B. a, b, c)<br />
SSS<br />
a sinα b sin β c sin γ<br />
= ; = ; =<br />
b sin β c sin γ a sinα<br />
2 2 2 1)<br />
a = b + c −2bccos<br />
α ;...<br />
2 2 2 1)<br />
a = ( b+ c) −4bccos<br />
( α / 2);...<br />
2 2 2 1)<br />
a = ( b− c) + 4bcsin ( α / 2);...<br />
a = b cos � � c cos � ����� 1) �<br />
a+ b α− β α+ β α−β γ 1)<br />
= cos : cos = cos : sin ;...<br />
c 2 2 2 2<br />
a−b α− β α+ β α−β γ 1)<br />
= sin : sin = sin : cos ;...<br />
c 2 2 2 2<br />
a+ b α+ β α−β = tan : tan ; ...<br />
a−b 2 2<br />
1)<br />
o asin β asin<br />
γ<br />
γ = 180 − ( α+ β);<br />
b = ; c =<br />
sinα sinα<br />
= 1<br />
A absin γ<br />
2<br />
α−β a− b γ<br />
tan = cot ;<br />
2 a+ b 2<br />
α+ β o γ<br />
= 90 −<br />
2 2<br />
Mit � � � <strong>und</strong> � – � ergibt sich � <strong>und</strong> � <strong>und</strong> damit:<br />
sin γ<br />
c = a ;<br />
sinα 1<br />
A= absinγ<br />
2<br />
b<br />
sin β = sinα<br />
a<br />
Ist a � b, so ist � � 90° <strong>und</strong> damit<br />
� eindeutig bestimmt.<br />
Ist a � b, so sind folgende Fälle möglich:<br />
1. � hat für b sin � � a zwei Werte (�2 = 180° – �1) 2. � hat den Wert 90° für b sin � = a<br />
3. für b sin � � a ergibt sich kein Dreieck.<br />
o γ = 180 − ( α+ β); sinγ c = a ;<br />
sinα 1<br />
A= absinγ<br />
2<br />
( s−a)( s−b)( s−c) α r<br />
r = ;tan2=<br />
s s−a β r γ r<br />
tan = ; tan =<br />
2 s−b 2 s−c A = rs<br />
= s( s−a)( s−b)( s−c) 1) Die Punkte weisen darauf hin, dass sich durch zyklisches Vertauschen von<br />
a, b, c <strong>und</strong> �, �, �, noch zwei weitere Gleichungen ergeben.
1.17 Einheiten des<br />
ebenen Winkels<br />
Begriff des<br />
ebenen Winkels<br />
Bogenmaß des<br />
ebenen Winkels<br />
kohärente Einheit<br />
des ebenen Winkels<br />
Vollwinkel <strong>und</strong><br />
rechter Winkel<br />
Umrechnung von<br />
Winkeleinheiten<br />
Der ebene Winkel � (kurz: Winkel �, im<br />
Gegensatz zum Raumwinkel) zwischen<br />
den beiden Strahlen g 1, g 2 ist die Länge<br />
des Kreisbogens b auf dem Einheitskreis,<br />
der im Gegenuhrzeigersinn von Punkt P 1<br />
zum Punkt P 2 führt.<br />
Mathematik<br />
Einheiten des ebenen Winkels<br />
Die Länge des Bogens b auf dem Einheitskreis ist das Bogenmaß<br />
des Winkels.<br />
Die kohärente Einheit (SI-Einheit) des ebenen Winkels ist der<br />
Radiant (rad).<br />
Der Radiant ist der ebene Winkel, für den das<br />
b<br />
Verhältnis der Länge des Kreisbogens b zu 1rad= = 1<br />
seinem Radius r gleich eins ist.<br />
r<br />
Für den Vollwinkel � beträgt der Kreisbogen b = 2 � r. Es ist demnach:<br />
b 2 π r<br />
α = = rad = 2 π rad<br />
Vollwinkel = 2 � rad<br />
r r<br />
Ebenso ist für den rechten Winkel (1L ):<br />
L b 2 πr π<br />
α = 1 = = rad= rad rechter Winkel 1<br />
r 4r 2<br />
L π<br />
= rad<br />
2<br />
Ein Grad (1°) ist der 360ste Teil des Vollwinkels (360°). Folglich gilt:<br />
1° =<br />
b 2πr 2π<br />
π<br />
= rad = rad = rad<br />
r 360r 360 180<br />
1° = π<br />
rad ≈ 0,0175rad oder durch Umstellen:<br />
180<br />
1 rad = ⋅ o o<br />
1 180 180<br />
= ≈57,3<br />
π π<br />
π π<br />
Beispiel: a) � = 90° = 90 rad = rad<br />
o 180 2<br />
o 180 o<br />
b) � = � rad = �� = 180 �<br />
π<br />
o<br />
19<br />
1
1<br />
20<br />
Mathematik<br />
Trigonometrische Funktionen (Graphen in 1.11)<br />
1.18 Trigonometrische Funktionen (Graphen in 1.11)<br />
Gegenkathete<br />
Sinus =<br />
Hypotenuse<br />
Ankathete<br />
Kosinus =<br />
Hypotenuse<br />
a⎫<br />
sinα<br />
= BC = ⎪<br />
c ⎪⎬− von<br />
b +<br />
α = =<br />
⎪ 1... 1<br />
cos OB<br />
c⎪⎭<br />
Gegenkathete<br />
Tangens =<br />
Ankathete<br />
Ankathete<br />
Kotangens =<br />
Gegenkathete<br />
tanα<br />
= AD<br />
cot α = EF<br />
a ⎫<br />
= ⎪<br />
b ⎪⎬−∞ von<br />
b⎪<br />
... +∞<br />
=<br />
a⎪⎭<br />
Hypotenuse<br />
Sekans =<br />
Ankathete<br />
Hypotenuse<br />
Kosecans =<br />
Gegenkathete<br />
c ⎫ von<br />
sec α = OD = ⎪<br />
b⎪−∞...<br />
−1<br />
⎬<br />
c<br />
α = = ⎪<strong>und</strong><br />
cosec OF<br />
a⎪⎭+<br />
1... +∞<br />
Vorzeichen der<br />
Funktion<br />
(richtet sich nach dem<br />
Quadranten, in dem<br />
der bewegliche<br />
Beachte: Winkel werden<br />
vom festen Radius OA<br />
aus linksdrehend gemessen.<br />
Quadrant Größe des Winkels sin cos tan cot sec cosec<br />
I von 000° bis 090° + + + + + +<br />
II „ 090° „ 180° + – – – – +<br />
III „ 180° „ 270° – – + + – –<br />
Radius liegt) IV „ 270° „ 360° – + – – + –<br />
Funktionen<br />
für Winkel<br />
zwischen<br />
90°... 360°<br />
Funktion � = 90° � � � = 180° � � � = 270° � � � = 360° – �<br />
sin �<br />
cos ��<br />
tan ��<br />
cot �<br />
� cos �<br />
� sin �<br />
� cot �<br />
� tan �<br />
� sin �<br />
– cos �<br />
� tan �<br />
� cot �<br />
– cos �<br />
� sin �<br />
� cot �<br />
� tan �<br />
Beispiel 1) : sin 205° = sin(180 � 25°) = – (sin 25°) = – 0,4226<br />
Funktionen für negative Winkel werden auf solche für positive Winkel zurückgeführt:<br />
sin (–�) = – sin �<br />
cos (–�) = cos �<br />
tan (–�) = – tan �<br />
cot (–�) = – cot � Beispiel 1) : sin (– 205°) = – 205°<br />
– sin �<br />
� cos �<br />
– tan �<br />
– cot �<br />
Funktionen für Winkel über 360° werden auf solche von Winkeln zwischen 0°... 360° zurückgeführt<br />
(bzw. zwischen 0°... 180°); „n“ ist ganzzahlig:<br />
sin (360° · n � �) = sin �<br />
cos (360° · n � �) = cos �<br />
tan (180° · n � �) = tan �<br />
cot (180° · n � �) = cot �<br />
1) Der Rechner liefert die Funktionswerte direkt, z.B. sin (– 660°) = 0,866 025 403 8<br />
Beispiel 1) :<br />
sin (– 660°) = – sin 660° = – sin (360° · 1 � 300°) =<br />
= – sin 300° = – sin (270º � 30°) = � cos 30° =<br />
= 0,8660.
1.19 Beziehungen<br />
zwischen den<br />
trigonometrischen<br />
Funktionen<br />
Gr<strong>und</strong>formeln<br />
Umrechnung zwischen<br />
Funktionen desselben<br />
Winkels (die Wurzel<br />
erhält das Vorzeichen<br />
des Quadranten, in<br />
dem der Winkel � liegt)<br />
Additionstheoreme<br />
Summenformeln<br />
Mathematik<br />
Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen<br />
2 α α<br />
α+ 2 sin 1 cos<br />
sin cos α = 1; tan α = ; cot α = =<br />
cos α tan α sinα<br />
sin � = sin �<br />
sin � cos � tan � cot �<br />
cos � = − α 2 1 sin<br />
tan � =<br />
cot � =<br />
sinα<br />
1 sin<br />
− 2<br />
α<br />
1 sin<br />
sinα<br />
α<br />
− 2<br />
sin (� � �) = sin � · cos � �<br />
� cos � · sin �<br />
sin (� – �) = sin � · cos � –<br />
– cos � · sin �<br />
tanα+ tan β<br />
tan (� � �) =<br />
1−tanα⋅tanβ tanα−tan β<br />
tan (� – �) =<br />
1+ tanα⋅tanβ 2<br />
1−cos cos �<br />
2<br />
α<br />
1−cos α<br />
cos α<br />
cos α<br />
2<br />
1−cos α<br />
tanα<br />
2<br />
1+ tan<br />
1<br />
2<br />
1+ tan<br />
tan �<br />
1<br />
tanα<br />
α<br />
α<br />
1<br />
2<br />
1+ cot α<br />
cot α<br />
1+ cot<br />
2<br />
1<br />
cot α<br />
cot �<br />
cos (� � �) = cos � · cos � –<br />
– sin � · sin �<br />
cos (� – �) = cos � · cos � �<br />
� sin � · sin �<br />
cot α⋅cot β−1<br />
cot (� � �) =<br />
cot α+ cot β<br />
cot α⋅ cot β+<br />
1<br />
cot (� – �) =<br />
cot β − cot α<br />
α+ β α−β cos � � cos � =<br />
sin � � sin � = 2 sin cos<br />
2 2<br />
α+ β α−β = 2cos · cos<br />
2 2<br />
α+ β α−β sin � – sin � = 2 cos sin cos � – cos � =<br />
2 2<br />
α+ β α−β = −2sin · sin<br />
2 2<br />
tan � � tan � =<br />
tan � – tan � =<br />
sin( α+ β)<br />
cos αcosβ sin( α−β) cos αcosβ sin (� � �) � sin (� – �) =<br />
= 2 sin � cos �<br />
sin (� � �) – sin (� – �) =<br />
= 2 cos � sin �<br />
o<br />
cos � � sin � = 2sin(45 + α)=<br />
o<br />
= 2cos(45 − α)<br />
1+ tanα<br />
o = tan(45 + α)<br />
1−tanα cot � � cot � =<br />
cot � – cot � = –<br />
sin( β + α)<br />
sinαsin β<br />
sin( α−β) sinαsin β<br />
cos (� � �) � cos (� – �) =<br />
= 2 cos � cos �<br />
cos (� � �) – cos (� – �) =<br />
= – 2 sin � sin �<br />
α<br />
o<br />
cos � – sin � = 2cos(45 + α)=<br />
o = 2 sin(45 − α)<br />
cot α + 1<br />
o = cot(45 −α)<br />
cot α −1<br />
21<br />
1
1<br />
22<br />
Mathematik<br />
Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen<br />
Funktionen für<br />
Winkelvielfache<br />
Funktionen der halben<br />
Winkel (die Wurzel<br />
erhält das Vorzeichen<br />
des entsprechenden<br />
Quadranten)<br />
Produkte von<br />
Potenzen von Funktionen<br />
sin 2 � = 2 sin � · cos �<br />
sin 3 � = 3 sin � – 4 sin3 �<br />
sin 4 � = 8 sin � cos3 � –<br />
– 4 sin � cos �<br />
α<br />
tan 2 � =<br />
− α 2<br />
2tan<br />
1 tan<br />
tan 3 � =<br />
3<br />
3tanα−tanα 2 1−3tan α<br />
cos 2 � = cos 2 � – sin 2 �<br />
= 1 – 2 sin 2 �<br />
= 2 cos 2 � – 1<br />
cos 3 � = 4 cos 3 � – 3 cos �<br />
cos 4 � = 8 cos 4 � – 8 cos 2 � � 1<br />
cot 2 � =<br />
cot 3 � =<br />
2<br />
cot α −1<br />
2cotα<br />
3<br />
cot α−3cotα 2 3cot α −1<br />
Für n � 3 berechnet man sin n � <strong>und</strong> cos n � nach der<br />
Moivre-Formel:<br />
⎛n⎞ n−1 3 n−3<br />
sin n � = n sin αcos α− ⎜ ⎟sin<br />
αcos α±<br />
...<br />
⎝3⎠ ⎛n⎞ ⎛n⎞ n n−2 2 n−4<br />
4<br />
cos n � = cos α− ⎜ ⎟cos αsin α+ ⎜ ⎟cos<br />
αsin α � ...<br />
⎝2⎠ ⎝4⎠ α − α<br />
= 1 cos<br />
sin<br />
2 2<br />
α + α<br />
= 1 cos<br />
cos<br />
2 2<br />
α 1−cosα 1−cos α sinα<br />
tan = = =<br />
2 1+ cos α sinα 1+ cos α<br />
α 1+ cos α sinα 1+ cosα<br />
cot = = =<br />
2 1−cos α 1−cosα sinα<br />
sin (� � �) sin (� – �) = sin 2 � – sin 2 � = cos 2 � – cos 2 �<br />
cos (� � �) cos (� – �) = cos 2 � – sin 2 � = cos 2 � – sin 2 �<br />
sin � · sin � = 1 [cos (� – �) – cos (� � �)]<br />
2<br />
cos � · cos � = 1 [cos (� – �) � cos (� � �)]<br />
2<br />
sin � · cos � = 1 [ sin (� – �) � sin (� � �)]<br />
2<br />
tanα+ tan β tanα−tan β<br />
tanα⋅ tan β = =−<br />
cot α+ cot β cot α−cot β<br />
cot α+ cot β cot α−cot β<br />
cot α⋅ cot β = =−<br />
tanα+ tan β tanα−tan β<br />
2 1 sin α = (1− cos2 α) 2<br />
2 1 cos α = (1+ cos2 α)<br />
2<br />
3 1 sin α = (3sinα− sin3 α) 4<br />
3 1 cos α = (cos3α+ 3cos α)<br />
4<br />
4 1 sin α = (cos4α− 4cos2 α+ 3) 8<br />
4 1 cos α = (cos4 α+ 4cos2 α+<br />
3)<br />
8
Funktionen dreier Winkel<br />
α β γ ⎫<br />
sinα+ sin β+ sin γ = 4cos cos cos ⎪<br />
2 2 2 ⎪⎪<br />
α β γ<br />
cosα+ cos β+ cos γ = 4sin sin sin + 1<br />
2 2 2<br />
⎪<br />
tanα+ tan β+ tanγ = tanα⋅tan β⋅tan γ<br />
⎪<br />
⎬ gültig für � � � � � = 180°<br />
α β γ α β γ ⎪<br />
cot + cot + cot = cot ⋅cot ⋅cot<br />
⎪<br />
2 2 2 2 2 2 ⎪<br />
sin2α 2 + sin β 2 + sin γ = 2(cosαcos βcos γ + 1) ⎪<br />
⎪<br />
sin 2 α+ sin 2 β+ sin 2 γ = 4 sinαsin β sin γ ⎪⎭<br />
1.20 Arcusfunktionen<br />
Die Arcusfunktionen sind invers zu den Kreisfunktionen.<br />
Invers zur<br />
Kreisfunktion<br />
y = sin x<br />
y = cos x<br />
y = tan x<br />
y = cot x<br />
ist die<br />
Arcusfunktion<br />
y = arcsin x<br />
y = arccos x<br />
y = arctan x<br />
y = arccot x<br />
mit der Definition<br />
(y in Radiant)<br />
x = sin y<br />
x = cos y<br />
x = tan y<br />
x = cot y<br />
Hauptwert der<br />
Arcusfunktion im<br />
Bereich<br />
−π<br />
2<br />
� y � π<br />
2<br />
0 � y � ��<br />
−π<br />
� y �<br />
2<br />
π<br />
2<br />
0 � y ��<br />
Mathematik<br />
Arcusfunktionen<br />
Definitionsbereich<br />
– 1 � x � 1<br />
– 1 � x � 1<br />
– ��x ���<br />
– ��x ���<br />
Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen (<strong>Formeln</strong> in eckigen Klammern gelten nur für<br />
positive Werte von x)<br />
π<br />
=− − = − = − 2<br />
⎡ 2<br />
x 1−<br />
x<br />
⎤<br />
arcsin x arcsin( x) arccos x [arccos 1 x ] = arctan = ⎢arccot ⎥<br />
2<br />
1−<br />
x2<br />
⎢⎣ x ⎥⎦<br />
π<br />
= π − − =− − = − 2<br />
⎡<br />
1−<br />
x2⎤ x<br />
arccos x arccos( x) arcsin x [arcsin 1 x ] = ⎢arctan ⎥= arccot<br />
2<br />
⎢⎣ x ⎥⎦ 1−<br />
x<br />
Beispiel: Der Kosinus eines Winkels x beträgt: cos x = 0,88.<br />
Lässt sich der Winkel x nur mit der Arcus-Tangensfunktion berechnen (z.B. auf dem PC) gilt:<br />
⎛<br />
−<br />
⎞<br />
⎜ 1 0,882<br />
x = arctan<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
= 29,36°<br />
⎝ 0,88 ⎠<br />
Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen (<strong>Formeln</strong> in eckigen Klammern gelten nur für<br />
positive Werte von x)<br />
π<br />
x<br />
arctan x =−arctan( − x) = − arccot x = arcsin<br />
2 1 x =⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
⎢ ⎥= ⎢⎣ ⎥<br />
⎣ + ⎦<br />
⎦<br />
2<br />
1 1<br />
arccos arccot<br />
1 x<br />
x<br />
π<br />
⎡ 1 ⎤ x ⎡ 1⎤<br />
arccot x = π −arccot( − x) = − arctanx = ⎢arcsin ⎥= arccos = ⎢arctan 2 ⎣<br />
⎥<br />
⎣ 1+ x2 ⎦ 1+<br />
x2<br />
x ⎦<br />
+ 2<br />
2<br />
23<br />
1
1<br />
24<br />
Mathematik<br />
Arcusfunktionen<br />
Additionstheoreme <strong>und</strong><br />
andere Beziehungen<br />
2 2<br />
arcsin x+ arcsiny<br />
= arcsin( x 1− y + y 1 −x<br />
)<br />
=π−arcsin( x 1− y + y 1 −x<br />
)<br />
[xy� 0 oder x 2 � y 2 � 1]<br />
2 2<br />
[x � 0, y � 0 <strong>und</strong> x 2 � y 2 � 1]<br />
2 2<br />
= – π −arcsin( x 1− y + y 1 −x<br />
)<br />
arcsin x−arcsiny = arcsin( x 1−y −y 1 −x<br />
)<br />
[x � 0, y � 0 <strong>und</strong> x 2 � y 2 � 1]<br />
2 2<br />
[xy� 0 oder x 2 � y 2 � 1]<br />
2 2<br />
=π−arcsin( x 1−y −y 1 −x<br />
)<br />
[x � 0, y < 0 <strong>und</strong> x 2 � y 2 � 1]<br />
2 2<br />
= −π−arcsin( x 1−y −y 1 −x<br />
)<br />
[x � 0, y > 0 <strong>und</strong> x 2 � y 2 � 1]<br />
2 2<br />
arccos x+ arccosy = arccos( xy − 1−x 1 −y<br />
) [x + y � 0]<br />
2 2<br />
= 2π −arccos( xy− 1−x1 −y<br />
) [x�y� 0]<br />
2 2<br />
arccos x−arccosy = − arccos( xy+ 1−x1 −y<br />
) [x�y] arctan x+ arctany<br />
=<br />
arctan x−arctany =<br />
2 2<br />
= arccos( xy+ 1−x1 −y<br />
)<br />
[x�y] x+ y<br />
arctan<br />
1−<br />
xy<br />
x+ y<br />
= π + arctan<br />
1−<br />
xy<br />
x+ y<br />
= − π + arctan<br />
1−<br />
xy<br />
x−y arctan<br />
1+<br />
xy<br />
x−y = π + arctan<br />
1+<br />
xy<br />
x−y = − π + arctan<br />
1+<br />
xy<br />
2 arcsin x = − 2<br />
arcsin(2 x 1 x )<br />
= π − − 2<br />
arcsin(2 x 1 x )<br />
= −π− − 2<br />
arcsin(2 x 1 x )<br />
[x y � 1]<br />
[x � 0, x y � 1]<br />
[x � 0, x y �1]<br />
[x y � –1]<br />
[x � 0, x y � –1]<br />
[x � 0, x y � –1]<br />
⎡ 1 ⎤<br />
⎢| x | ∑<br />
⎣<br />
⎥<br />
2 ⎦<br />
⎡ 1 ⎤<br />
⎢ < x ∑ 1<br />
⎣<br />
⎥<br />
2 ⎦<br />
⎡ 1 ⎤<br />
⎢− 1 ∑ x
1.21 Hyperbelfunktionen<br />
Definitionen<br />
Gr<strong>und</strong>beziehungen<br />
Beziehungen zwischen<br />
den Hyperbelfunktionen<br />
(vgl. die entsprechenden<br />
<strong>Formeln</strong> der trigonometrischen<br />
Funktionen)<br />
Additionstheoreme <strong>und</strong><br />
andere Beziehungen<br />
� für x � 0<br />
– für x � 0<br />
− −<br />
ex − e x ex + e x<br />
sinh x = ; coshx=<br />
2 2<br />
tanh x =<br />
Mathematik<br />
Hyperbelfunktionen<br />
x −x 2x x −x<br />
2x<br />
e −e e − 1 e + e e + 1<br />
= ; cothx=<br />
=<br />
x −x 2x x −x<br />
2x<br />
e + e e + 1 e −e e −1<br />
cosh2x− sinh2x = 1 sinh x cosh x<br />
tanh x = ; coth x =<br />
tanh x⋅ coth x = 1 coshx sinh x<br />
sinh x = cosh2 x−<br />
1=<br />
tanh x<br />
1−tanh2x =<br />
1<br />
coth2x−1 cosh x = sinh2 x+<br />
1 =<br />
1<br />
1−tanh2x =<br />
cothx<br />
coth2x−1 sinh x cosh2 x−11<br />
tanh x = = =<br />
sinh2 x + 1 cosh x coth x<br />
sinh2 x+ 1 cosh x 1<br />
coth x = = =<br />
sinh x cosh2 x −1<br />
tanh x<br />
Für negative x gilt:<br />
sinh (– x) = – sinh x tanh (– x) = – tanh x<br />
cosh (– x) = cosh x coth (– x) = – coth x<br />
sinh (x � y) = sinh x · cosh y � cosh x · sinh y<br />
cosh (x � y) = cosh x · cosh y � sinh x · sinh y<br />
tanh x± tanhy 1± coth x⋅cothy tanh (x � y) =<br />
; coth( x± y)<br />
=<br />
1± tanh x⋅ tanhy coth x± cothy<br />
sinh 2 x = 2sinhx⋅ cosh x<br />
2 tanhx<br />
tanh 2 x =<br />
2 1+ tanh x<br />
2 2<br />
cosh 2 x = sinh x+ cosh x<br />
2 1+ coth x<br />
coth 2 x =<br />
2cothx<br />
n<br />
(cosh x± sinh x) = cosh nx± sinh nx<br />
x cosh x−1x cosh x−1sinh x<br />
sinh =± ; tanh = =<br />
2 2 2 sinhx coshx+ 1<br />
x cosh x+ 1 x sinhx cosh x+<br />
1<br />
cosh = ; coth = =<br />
2 2 2 cosh x−1sinh x<br />
sinh x � sinh y = 2 sinh 1<br />
1<br />
(x � y) cosh (x � y)<br />
2 2<br />
cosh x � cosh y = 2 cosh 1<br />
1<br />
(x � y) cosh (x – y)<br />
2 2<br />
cosh x – cosh y = 2 sinh 1<br />
1<br />
(x � y) sinh (x – y)<br />
2 2<br />
sinh( x± y)<br />
tanhx± tanhy<br />
=<br />
cosh xcoshy 25<br />
1
1<br />
26<br />
Mathematik<br />
Analytische Geometrie: Punkte in der Ebene<br />
1.22 Areafunktionen<br />
Beziehungen zwischen<br />
den Areafunktionen<br />
+ für x � 0<br />
– für x � 0<br />
Für negative x gilt<br />
Additionstheoreme<br />
1.23 Analytische Geometrie:<br />
Punkte in<br />
der Ebene<br />
Entfernung zweier Punkte<br />
Koordinaten des<br />
Mittelpunktes einer<br />
Strecke<br />
Teilungsverhältnis �<br />
einer Strecke<br />
Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen.<br />
Invers zur<br />
Hyperbelfunktion<br />
ist die Areafunktion<br />
mit der<br />
Definition<br />
Grenzen der<br />
Funktion<br />
Definitionsbereich<br />
y = sinh x y = arsinh x = In (x � +<br />
2<br />
x 1 ) x = sinh y – ��y ��� – ��x ���<br />
y = cosh x y = arcosh x = In (x � −<br />
2<br />
x 1) x = cosh y – ��y ��� 1 � x ���<br />
1 1+<br />
x<br />
y = tanh x y = artanh x = 2 ln<br />
1−<br />
x<br />
1 x + 1<br />
y = coth x y = arcoth x = 2 ln<br />
x −1<br />
x = tanh y – ��y ��� – 1 � x�� 1<br />
x = coth y – ��y ��� – 1 � x � 1<br />
2 +<br />
arsinh x = ± 2<br />
x x 1<br />
arcosh x + 1 = artanh = arcoth<br />
x2<br />
+ 1<br />
x<br />
−<br />
arcosh x = ± 2<br />
x 1<br />
x<br />
arsinh x − 1 =± artanh =± arcoth<br />
x x2<br />
−1<br />
artanh x = arsinh<br />
x<br />
=± arcosh<br />
2 1−x 1 1<br />
= arcoth<br />
2 1−x<br />
x<br />
arcoth x = arsinh<br />
1<br />
=± arcosh<br />
2 x −1 x<br />
1<br />
= artanh<br />
2 x −1<br />
x<br />
arsinh (– x) = – arsinh x artanh (– x) = – artanh x<br />
arcosh (– x) = arcosh x arcoth (– x) = – arcoth x<br />
2 2<br />
arsinh x � arsinh y = arsinh ( x 1+ y ± y 1 + x )<br />
2 2<br />
arcosh x � arcosh y = arcosh ( xy± ( x −1)( y −1)<br />
artanh x � artanh y = artanh ± x y<br />
1±<br />
xy<br />
2 2<br />
2 1 2 1<br />
e = ( x − x ) + ( y −y<br />
)<br />
x m =<br />
� =<br />
x + x y −y<br />
; ym<br />
=<br />
2 2<br />
1 2 2 1<br />
x−x1 y −y1<br />
m P1P = = =<br />
x −x y −y<br />
n PP<br />
2 2 2<br />
(�) innerhalb, (–) außerhalb P P<br />
1 2<br />
2
Koordinaten des<br />
Teilungspunktes P<br />
einer Strecke<br />
Flächeninhalt<br />
eines Dreiecks<br />
Schwerpunkt S<br />
eines Dreiecks<br />
(Koordinaten von S)<br />
1.24 Analytische<br />
Geometrie: Gerade<br />
Normalform der Geraden<br />
Achsenabschnittsform<br />
der Geraden<br />
Punkt-Steigungsform<br />
der Geraden<br />
Zweipunkteform der<br />
Geraden<br />
Steigung m <strong>und</strong><br />
Steigungswinkel �<br />
Hesse'sche<br />
Normalform<br />
Senkrechter Abstand d<br />
eines Punktes P 1 von<br />
einer Geraden<br />
Allgemeine Linearform<br />
der Geradengleichung<br />
Schnittpunkt s<br />
zweier Geraden<br />
x p =<br />
y p =<br />
A =<br />
x s =<br />
mx + nx x + λx<br />
=<br />
m+ n 1+<br />
λ<br />
2 1 1 2<br />
my + ny y + λy<br />
=<br />
m+ n 1+<br />
λ<br />
2 1 1 2<br />
x1( y2 − y3) + x2( y3 − y1) + x3( y1−y2) 2<br />
x + x + x y + y + y<br />
; ys<br />
=<br />
3 3<br />
1 2 3 1 2 3<br />
y = m x � n n ist Ordinatenabschnitt<br />
x y<br />
+ =1<br />
a b<br />
y − y<br />
m = tanϕ<br />
=<br />
x−x y −y y −y<br />
=<br />
x−x x −x<br />
1 2 1<br />
1 2 1<br />
a Abschnitt auf der x-Achse<br />
b Abschnitt auf der y-Achse<br />
y2 − y1 ∆y<br />
m = = tanϕ<br />
=<br />
x − x ∆x<br />
2 1<br />
x cos � � y sin � – p = 0<br />
d = x 1 cos � � y 1 sin � – p<br />
(�) wenn P <strong>und</strong> 0 auf verschiedenen<br />
Seiten der Geraden liegen; sonst (–)<br />
1<br />
1<br />
A x � B y � C = 0<br />
Bei A = 0 ist die Gerade parallel zur x-Achse,<br />
bei B = 0 parallel zur y-Achse,<br />
bei C = 0 geht die Gerade durch 0.<br />
BC 1 1 AB 1 1 CA 1 1 AB 1 1<br />
xs = : ys<br />
= :<br />
B2C2 A2B2 C2A2 A2B2 Mathematik<br />
Analytische Geometrie: Gerade<br />
27<br />
1
1<br />
28<br />
Mathematik<br />
Analytische Geometrie: Lage einer Geraden im rechtwinkligen Achsenkreuz<br />
Sonderfälle<br />
Schnittpunkt s zweier<br />
Geraden, die in Normalform<br />
gegeben sind<br />
Sonderfall<br />
Schnittwinkel � zweier<br />
Geraden<br />
Sonderfälle<br />
Winkelhalbierende w 1, w 2<br />
zweier Geraden g 1, g 2<br />
1.25 Analytische<br />
Geometrie: Lage<br />
einer Geraden im<br />
rechtwinkligen<br />
Achsenkreuz<br />
AB 1 1<br />
bei = 0<br />
A B<br />
2 2<br />
sind die gegebenen Geraden parallel,<br />
A1 B1 C1<br />
bei = = fallen sie zusammen.<br />
A2 B2 C2<br />
gegeben: y1 = m1x � n1; y2 = m2x � n2 n1− n2 xs = ;<br />
m2 − m1 ys<br />
=<br />
n1m2− n2m1 m2 − m1<br />
Die dritte Gerade geht durch den Schnittpunkt der beiden ersten<br />
Geraden, wenn<br />
A1BC 1 1<br />
A2B2C2 A3B3C3 = 0 ist.<br />
m2 � m<br />
tan�<br />
� 1<br />
1 � mm 1 2<br />
A1B2 − A2B1 tanϕ<br />
=<br />
A1A2 − B1B2 y = m 1 x � n 1<br />
y = m 2 x � n 1<br />
A 1 x � B 1 y � C 1 = 0<br />
A 2 x � B 2 y � C 2 = 0<br />
Schnittwinkel � wird beim Drehen der Geraden g1 in der Lage von g2 überstrichen (im entgegengesetzten Sinn des Uhrzeigers).<br />
A1 A2<br />
bei m2 = m1 bzw. = sind Gerade parallel,<br />
B1 B2 1 A B<br />
bei m2 = − bzw. = −<br />
m B A<br />
1 2<br />
stehen sie rechtwinklig aufeinander<br />
1 1 2<br />
Sind g 1 H <strong>und</strong> g 2 H die Hesse'schen Normalformen der Geraden,<br />
so wird w 1,2 = g 1 H � g 2 H.<br />
w 1, w 2 sind die Gleichungen für die Winkelhalbierenden.<br />
Zur Kontrolle der Rechnungen nach 1.25 wird die Gleichung der<br />
Geraden auf die Form A x � B y � C = 0 gebracht, die Konstanten A, B<br />
<strong>und</strong> C bestimmt <strong>und</strong> die Lage der Geraden der folgenden Tabelle<br />
entnommen. Gleichungen mit positiver Konstante C müssen vorher<br />
mit (– 1) multipliziert werden.<br />
Vorzeichen der<br />
Konstanten<br />
A B C<br />
�� �� – A � B<br />
A = B<br />
A � B<br />
– �� – |A| � B<br />
|A| = B<br />
|A| � B<br />
– – – |A| � |B|<br />
A = B<br />
|A| � |B|<br />
+ – – A � |B|<br />
A = |B|<br />
A � |B|<br />
Lage der Geraden<br />
Beziehung zwischen<br />
Konstanten A <strong>und</strong> B Steigungswinkel � mit<br />
positiver x-Achse<br />
90º � � � 135º<br />
135º<br />
135º � � � 180º<br />
0º � � � 45º<br />
45º<br />
45º � � � 90º<br />
90º � � � 135º<br />
135º<br />
135º � � � 180º<br />
0º � � � 45º<br />
45º<br />
45º � � � 90º<br />
Lage zum<br />
Koordinatenursprung<br />
rechts oberhalb<br />
links oberhalb<br />
links unterhalb<br />
rechts unterhalb
Konstante<br />
Gleichung<br />
Lage der Geraden<br />
1.26 Analytische<br />
Geometrie: Kreis<br />
Kreisgleichung<br />
(Mittelpunkt M liegt im<br />
Nullpunkt)<br />
in Parameterform<br />
Kreisgleichung für<br />
beliebige Lage von<br />
M (h; k)<br />
Scheitelgleichung<br />
(M liegt auf x-Achse, Kreis<br />
geht durch Nullpunkt)<br />
Schnitt von Kreis<br />
<strong>und</strong> Gerade<br />
Abszissen der Geradenschnittpunkte<br />
Tangentengleichung<br />
für Berührungspunkt<br />
P 1(x 1; y 1)<br />
Normalengleichung<br />
Mathematik<br />
Analytische Geometrie: Kreis<br />
Beispiel: Gegeben ist eine Gerade mit 16x – 11y � 6 = 0; mit (– 1) multipliziert:<br />
– 16x � 11y – 6 = 0; also ist A = – 16, B = � 11 <strong>und</strong> C = – 6, d.h. |A| � β. Nach<br />
der Tabelle liegt die Gerade links oberhalb des Koordinatenursprungs mit<br />
Steigungswinkel � zwischen 45° <strong>und</strong> 90° (� � 56,4°).<br />
Zusammenfassung der Sonderfälle<br />
A = 0 1) B = 0 1) C = 0 A = 0; C = 0 B = 0; C = 0<br />
C<br />
y ��<br />
B<br />
Parallele zur<br />
x- Achse im<br />
Abstand<br />
– C/B<br />
C<br />
x ��<br />
A<br />
Parallele zur<br />
y-Achse im<br />
Abstand<br />
– C/A<br />
1) Bei A = 0 <strong>und</strong> B = 0 unendlich ferne Gerade.<br />
x 2 � y 2 = r 2<br />
x = h � r cos � ; y = k � r sin �<br />
(x – h) 2 � (y – k) 2 = r 2<br />
y 2 = x (2r – x)<br />
A<br />
y �� x y = 0 x = 0<br />
B<br />
Gerade durch Gerade fällt zusammen<br />
den Koordinatenursprung<br />
mit x-Achse mit y-Achse<br />
Kreis x 2 � y 2 = r 2 wird von der Geraden y = m x � n geschnitten,<br />
wenn Diskriminante � = r 2 (1 � m 2 ) – n 2 � 0 ist.<br />
Bei r 2 (1 � m 2 ) – n 2 = 0 ist die Gerade eine Tangente.<br />
1<br />
2 2 2<br />
x1,2 = [ − mn± r (1 + m ) − n ]<br />
1+<br />
m 2<br />
x 1 x � y 1 y = r 2<br />
(x 1 – h) (x – h) � (y 1 – k) (y – k) = r 2<br />
y y − k k − y<br />
y = x;<br />
=<br />
x x− h h− y<br />
1 1<br />
1 1<br />
Für den Kreis mit:<br />
x 2 � y 2 = r 2<br />
(x – h) 2 � (y – k) 2 = r 2<br />
29<br />
1
1<br />
30<br />
Mathematik<br />
Analytische Geometrie: Ellipse <strong>und</strong> Hyperbel<br />
1.27 Analytische Geometrie:<br />
Parabel<br />
x-Achse ist<br />
Symmetrieachse<br />
y-Achse ist<br />
Symmetrieachse<br />
Halbparameter p<br />
Tangentengleichungen<br />
für Berührungspunkt<br />
P 1 (x 1; y 1)<br />
Normalengleichung<br />
Krümmungsradius<br />
r in P (x 1; y 1)<br />
Krümmungsradius<br />
im Scheitel<br />
Schnitt der Parabel<br />
y 2 = 2 p x mit der Geraden<br />
y = m x � n ergibt<br />
1.28 Analytische Geometrie:<br />
Ellipse <strong>und</strong><br />
Hyperbel<br />
Gr<strong>und</strong>eigenschaft der<br />
Ellipse: P F 1 � P F 2 = 2 a<br />
der Hyperbel:<br />
P F 2 – P F 1 = 2 a<br />
F 1, F 2 Brennpunkte,<br />
r 1, r 2 Brennstrahlen,<br />
a große, b kleine<br />
Halbachse,<br />
S 1, S 2 Hauptscheitel,<br />
' ' S1,<br />
S 2 Nebenscheitel<br />
Scheitelgleichungen <strong>und</strong> Lage der Parabel<br />
Scheitel S Lage der Parabel bei<br />
im Nullpunkt beliebig p � 0 p � 0<br />
y 2 = 2 px (y – k) 2 = 2 p (x – h)<br />
x 2 = 2 p y (x – h) 2 = 2 p (y – k)<br />
nach rechts<br />
geöffnet<br />
nach oben<br />
geöffnet<br />
nach links<br />
geöffnet<br />
nach unten<br />
geöffnet<br />
k; h sind Koordinaten des Scheitels S (siehe Kreis <strong>und</strong> Ellipse)<br />
Entfernung des Brennpunkts F von der Leitlinie l (Strecke FL)<br />
yy 1 = p (x � x 1) für Scheitelgleichung<br />
y 2 = 2 p x<br />
xx 1 = p (y � y 1) für Scheitelgleichung<br />
x 2 = 2 p y<br />
(y – k) (y 1 – k) = p (x � x 1 – 2 h) für Scheitelgleichung<br />
(y – k) 2 = 2 p (x – h)<br />
(x – h) (x 1 – h) = p (y � y 1 – 2 k) für Scheitelgleichung<br />
(x – h) 2 = 2 p (y – k)<br />
p (y – y 1) � y 1 (x – x 1) = 0<br />
( p � 2 x<br />
r = 1)<br />
p<br />
r s = p<br />
3/2<br />
zwei reelle Schnittpunkte für p � 2 m n,<br />
eine Tangente für p = 2 m n,<br />
keinen reellen Schnittpunkt für p � 2 m n.<br />
Ellipse Hyperbel
Mittelpunktsgleichung<br />
(M liegt im Nullpunkt)<br />
in Parameterform<br />
für beliebige Lage von<br />
M (h; k)<br />
lineare Exzentrizität e<br />
numerische<br />
Exzentrizität �<br />
Länge des Lotes p<br />
in den Brennpunkten<br />
Scheitelgleichung<br />
Polargleichung<br />
(Mittelpunkt ist Pol)<br />
Brennstrahlenlänge<br />
r 1, r 2<br />
Tangentengleichung für<br />
M (0; 0)<br />
Normalengleichung für<br />
M (0; 0)<br />
Scheitelradien r a, r b, r s<br />
Radius r<br />
des Krümmungskreises<br />
im Punkt (x 1; y 1)<br />
Ellipsenumfang U<br />
(Näherung)<br />
Flächeninhalt A<br />
Steigungswinkel �<br />
der Asymptoten aus<br />
Mathematik<br />
Analytische Geometrie: Ellipse <strong>und</strong> Hyperbel<br />
Ellipse Hyperbel<br />
2 2<br />
2 2<br />
x y<br />
x y<br />
+ = 1 − = 1<br />
2 2<br />
2 2<br />
a b a b<br />
x = a cos �; y = b sin � x = a cosh �; y = b sinh �<br />
2 2<br />
( x−h) ( y −k)<br />
+ = 1<br />
2 2<br />
a b<br />
2 2<br />
( x−h) ( y −k)<br />
− = 1<br />
2 2<br />
a b<br />
2 2<br />
2 2<br />
e = a − b e = a + b<br />
e<br />
� = < 1<br />
a<br />
p =<br />
2<br />
b<br />
a<br />
p<br />
y = 2 px− x<br />
a<br />
2 2<br />
r 1 = F 1 P = a – � x<br />
r 2 = F 2 P = a � � x<br />
xx1 yy1<br />
+ = 1<br />
a2 b2<br />
x−x y −y<br />
=<br />
xb2 ya2<br />
1 1<br />
1 1<br />
2 2<br />
a b<br />
ra = ; rb<br />
=<br />
b a<br />
⎛ 2 2⎞<br />
r = 2 2⎜<br />
x1 y1<br />
a b + ⎟<br />
⎜ 4 4 ⎟<br />
⎝a b ⎠<br />
e<br />
� = > 1<br />
a<br />
p =<br />
2<br />
b<br />
a<br />
2 p<br />
y = 2 px+ x2<br />
a<br />
p<br />
r =<br />
1−εcosϕ 3/2<br />
U ≈ π [1,5( a+ b) − ab]<br />
A = � a b<br />
r 1 = F 1 P = � (� x – a)<br />
r 2 = F 2 P = � (� x � a)<br />
xx1 yy1<br />
− = 1<br />
a2 b2<br />
x−x y −y<br />
=−<br />
xb2 ya2<br />
r s =<br />
1 1<br />
1 1<br />
2<br />
b<br />
a<br />
⎛ 2 2⎞<br />
r = 2 2⎜<br />
x1 y1<br />
a b + ⎟<br />
⎜ 4 4 ⎟<br />
⎝a b ⎠<br />
tan � = m = ± b<br />
a<br />
Die gleichseitige Hyperbel hat gleiche Achsen: a = b; ihre Gleichung<br />
lautet: x 2 – y 2 = a 2 ; ihre Asymptoten stehen rechtwinklig aufeinander;<br />
sind die Koordinatenachsen die Asymptoten der gleichseitigen Hyperbel,<br />
so gilt x y = a 2 /2 als deren Gleichung.<br />
3/2<br />
31<br />
1
1<br />
32<br />
Mathematik<br />
Reihen<br />
1.29 Reihen<br />
Definition<br />
allgemeine Form<br />
(s Summe)<br />
Schlussglied z<br />
Anfangsglied a<br />
Differenz d<br />
Anzahl der Glieder n<br />
Summe s von n Gliedern<br />
der Reihe<br />
Definition<br />
allgemeine Form<br />
(s Summe)<br />
Schlussglied z<br />
Summe s von n Gliedern<br />
der Reihe<br />
Quotient a<br />
(Stufensprung)<br />
Arithmetische Reihen<br />
In einer arithmetischen Reihe a 1 � a 2 � ... a n ist die Differenz d zweier<br />
aufeinander folgender Glieder konstant; jedes Glied ist arithmetisches<br />
Mittel seiner beiden Nachbarglieder:<br />
a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = ... a n – a n– 1 = d<br />
s = a � (a � d) � (a � 2 d) � ...� [a � (n – 2) d] � [a � (n – 1) d]<br />
z = a � (n – 1) d<br />
a = z – (n – 1) d<br />
d =<br />
z � a<br />
n � 1<br />
z �a �d z �a<br />
n = � �1<br />
d d<br />
n<br />
s = ( a+ z) = an+ 2<br />
n( n− 1) ⋅ d<br />
=<br />
2<br />
n<br />
(2 a+ nd − d)<br />
2<br />
n a � z z �a �d<br />
s = (2 z �nd �d) � �<br />
2 2 d<br />
Geometrische Reihen<br />
n = 4 Glieder<br />
Schema einer<br />
arithmetischen Stufung<br />
In einer geometrischen Reihe a1 � a2 ��... � an ist der Quotient q<br />
zweier aufeinander folgender Glieder konstant; jedes Glied ist geometrisches<br />
Mittel seiner beiden Nachbarglieder:<br />
a2 a3<br />
an<br />
= = ... = = q<br />
a a a<br />
1 2 n−1 s = a � aq� aq2 � aq3 � aq4 � ...<br />
� a q n – 2 � aqn – 1<br />
n z = a q – 1<br />
n<br />
s = 1�q<br />
a �qz<br />
a � (für q � 1)<br />
1�q 1�q<br />
n<br />
q �1qz �a<br />
s = a � (für q � 1)<br />
q �1 q �1<br />
q =<br />
− 1 n<br />
z<br />
a<br />
n = 6 Glieder<br />
Schema einer<br />
geometrischen Stufung
1.30 Potenzreihen<br />
Funktion Potenzreihe<br />
Mathematik<br />
Potenzreihen<br />
Konvergenzbereich<br />
(1 � x) n ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ 2 3<br />
= 1 ± ⎜ ⎟x+ ⎜ ⎟x ± ⎜ ⎟x<br />
+± ... (n beliebig) |x| � 1<br />
⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎝3⎠ (1 � x) 1/2 1 1⋅1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅<br />
= ± − 2 1 1 3<br />
± 3 1 1 3 5<br />
1 x x x − x 4 ±−...<br />
2 2⋅4 2⋅4⋅6 2⋅4⋅6⋅8 1 1<br />
= ± − 2 1<br />
± 3 5<br />
1 x x x − x4<br />
±−...<br />
2 8 16 128<br />
|x| � 1<br />
(1 � x) 1/3 1 1⋅2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅<br />
= ± − 2 1 2 5<br />
± 3 1 2 5 8<br />
1 x x x − x 4±−...<br />
3 3⋅6 3⋅6⋅9 3⋅6⋅9⋅12 1 1<br />
= ± − 2 5<br />
± 3 10<br />
1 x x x − x4±−...<br />
3 9 81 243<br />
|x| � 1<br />
(1 � x) 1/4 1 3<br />
= ± − 2 7<br />
± 3 77<br />
− 4 231<br />
1 x x x x ± x 5 −± ...<br />
4 32 128 2048 8192<br />
|x| � 1<br />
1<br />
(1 ± ) n<br />
n n( n+ 1) + +<br />
= � + 2 n( n 1)( n 2)<br />
1 x x � x 3+<br />
�...<br />
x 1 1⋅2 1⋅2⋅3 |x| � 1<br />
± 1/ 2<br />
1 1 1⋅3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅<br />
= � + 2 1 3 5<br />
� 3 1 3 5 7<br />
1 x x x + x 4 �+<br />
...<br />
|x| � 1<br />
(1 x)<br />
2 2⋅4 2⋅4⋅6 2⋅4⋅6⋅8 ± 1/ 3<br />
1 1 1⋅4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅<br />
= � + 2 1 4 7<br />
� 3 1 4 7 10<br />
1 x x x + x 4 �+<br />
...<br />
|x| � 1<br />
(1 x)<br />
3 3⋅6 3⋅6⋅9 3⋅6⋅9⋅12 ± 1/ 4<br />
1 1 1⋅5 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅<br />
= � + 2 1 5 9<br />
� 3 1 5 9 13<br />
1 x x x + x 4 �+<br />
...<br />
|x| � 1<br />
(1 x)<br />
4 4⋅8 4⋅8⋅12 4⋅8⋅12⋅16 1<br />
(1 ± x )<br />
± 2<br />
1<br />
(1 x)<br />
± 3<br />
1<br />
(1 x)<br />
2 3 4<br />
= 1 � x+ x � x + x �+<br />
...<br />
|x| � 1<br />
2 3 4<br />
= 1� 2x+ 3x � 4x + 5 x �+<br />
...<br />
|x| � 1<br />
1<br />
= 1 � (2⋅3x �3⋅ 4x2+ 4⋅5x3 � 5⋅ 6 x 4 + �...<br />
) |x| � 1<br />
2<br />
2 3 4<br />
a x x<br />
= + + 2 x<br />
+ 3 x<br />
1 ln (ln ) (ln ) + (ln ) 4 x<br />
a a a a + ...<br />
|x| � ��<br />
1! 2! 3! 4!<br />
2 3 4<br />
e x x x x x<br />
= 1 + + + + + ...; daraus e:<br />
1! 2! 3! 4!<br />
e<br />
|x| � ��<br />
1 1 1 1<br />
= 1 + + + + ... = 2,718281828459<br />
1! 2! 3!<br />
2 3 4<br />
e –x x x x x<br />
= 1 − + − + −+ ...;<br />
1! 2! 3! 4!<br />
1 1 1 1<br />
1 − + − + −+ ... = 0,367879441<br />
1! 2! 3! 4!<br />
e i x x x x x x<br />
= cos x+ i sin x = 1+ i − − i + + i −−++ ...<br />
1! 2! 3! 4! 5!<br />
daraus e –1 : |x| � ��<br />
2 3 4 5<br />
2 3 4<br />
e – i x x x x x<br />
= cos x− i sin x = 1−i − + i + −−++ ...<br />
1! 2! 3! 4!<br />
<strong>Formeln</strong><br />
von Euler<br />
33<br />
1
1<br />
34<br />
Mathematik<br />
Potenzreihen<br />
Funktion Potenzreihe<br />
ln (1 � x) = 2 3 4<br />
Konvergenzbereich<br />
1 1 1<br />
x � x � x � x � � ...<br />
– 1 � x � 1<br />
2 3 4<br />
1 2 1 3 1 4<br />
ln (1 – x) = – x � x � x � x � � ...<br />
– 1 � x � 1<br />
2 3 4<br />
1 � x<br />
ln<br />
1 � x<br />
x � 1<br />
ln<br />
x 1<br />
1 1 1<br />
�<br />
= 2 3 5 7 �<br />
�x � x � x � x �...<br />
3 5 7<br />
�<br />
� �<br />
1 1 1<br />
� = � �1 � 2 3 �5 �<br />
x x x x 7 �<br />
� � � � �...<br />
3 5 7<br />
�<br />
� �<br />
⎡ 3 5 7<br />
x−1 1⎛x−1⎞ 1⎛x−1⎞ 1⎛x−1⎞ ⎤<br />
ln x = 2 ⎢ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... ⎥<br />
⎣⎢x+ 1 3⎝x+ 1⎠ 5⎝x+ 1⎠ 7⎝x+ 1⎠<br />
⎦⎥<br />
� 3 5<br />
x 1� x � 1�<br />
x � �<br />
ln (a �x) = lna � 2 � � � � � � � �...<br />
�<br />
�2a � x 3�2a � x� 5�2a � x�<br />
�<br />
� �<br />
1 1<br />
ln 2 = + +<br />
2 2 2⋅ 2<br />
1<br />
+<br />
3 3⋅ 2<br />
1<br />
+ ... =<br />
4 4⋅ 2<br />
0,693147180<br />
2<br />
ln 3 = 1 + +<br />
3⋅ 23 2<br />
+<br />
5⋅ 25 2<br />
+ ... = 1,098612288<br />
7⋅ 27<br />
|x| � 1<br />
|x| � 1<br />
x � 0<br />
a � 0; x > – a<br />
x x3 x5 x7 x9 x11<br />
sin x = � � � � � � � ...<br />
|x| � �<br />
1! 3! 5! 7! 9! 11!<br />
x2 x4 x6 x8 x10<br />
cos x = 1 − + − + − +− ...<br />
2! 4! 6! 8! 10!<br />
|x| � �<br />
x3 2x5 17x7 62x9<br />
tan x = x � � � � �...<br />
3 3�5 32 �5�7 32 �5�7�9 |x| ��/2<br />
3 5 7<br />
1 x x 2x<br />
x<br />
cot x = − − − − −...<br />
x 3 2 3 3 2<br />
3 ⋅5 3 ⋅5⋅7 3 ⋅5 ⋅7<br />
1 1 1<br />
sin 1 = 1 − + − + − ... = 0,841470984<br />
3! 5! 7!<br />
1 1 1<br />
cos 1 = 1 − + − + − ... = 0,540302305<br />
2! 4! 6!<br />
x3 13 � x5 13 � �5x7<br />
arcsin x = x � � � �...<br />
2�3 2�4�5 2�4�6�7 0 � |x| ���<br />
|x| � 1<br />
�<br />
arccos x = � arcsin x<br />
|x| � 1<br />
2<br />
x3 x5 x7 x9<br />
arctan x = x � � � � � � ...<br />
|x| � 1<br />
3 5 7 9<br />
�<br />
arccot x = � arctan x<br />
|x| � 1<br />
2<br />
x3 x5 x7<br />
sinh x = x � � � � ...<br />
|x| � �<br />
3! 5! 7!<br />
x2 x4 x6<br />
cosh x = 1 � � � � ...<br />
|x| � �<br />
2! 4! 6!<br />
sinh 1 = 1,175 201 193; cosh 1 = 1,543 080 634
1.31 Differenzialrechnung: Gr<strong>und</strong>regeln<br />
Mathematik<br />
Differenzialrechnung: Gr<strong>und</strong>regeln<br />
Funktion Ableitung Beispiele<br />
Funktion mit<br />
konstantem Faktor<br />
y = a f (x) y' = a f' (x)<br />
Potenzfunktion:<br />
y = x n y' = nxn–1 y = x =<br />
y = 3 x 2 y' = 6 x<br />
y = – 3 x 4 y' = – 12 x 3<br />
1<br />
x 2 ; y' = 1<br />
2 x<br />
Konstante y = a y' = 0 y = 50 y' = 0<br />
Summe<br />
oder Differenz<br />
y = u (x) � v(x) y' = u' (x) � v' (x) y = x � x 3 y' = 1 � 3 x 2<br />
y = 5 – 2 x � x 2<br />
y' = – 2 + 2 x = 2 (x – 1)<br />
Produktregel:<br />
y = u (x) · v(x) y' = u' v � uv' y = sin x · cos x<br />
y' = sin (x) · (– sin x) � cos x · cos x<br />
= cos 2 x<br />
bei mehr als zwei<br />
Faktoren:<br />
y = u · v · w · z = f(x) y' = u' v w z � uv'w z �<br />
� uvw'z� uvw z'<br />
Quotientenregel:<br />
ux ( )<br />
y =<br />
v( x)<br />
Kettenregel:<br />
y = f [u (x)]<br />
u' v −uv'<br />
y' =<br />
2 v<br />
y' = f' (u) · u' (x) =<br />
dy du<br />
= ⋅<br />
du dx<br />
Umkehrfunktion:<br />
dy1 x = � (y) y' = =<br />
d x ϕ'(<br />
y)<br />
logarithmische<br />
Regel<br />
Erst logarithmieren, dann<br />
nach der Kettenregel<br />
differenzieren<br />
y = ex arcsin x x4 y' = 4 1<br />
exarcsin xx + ex x4<br />
�<br />
1−<br />
x2<br />
� ex arcsin x 4 x3 ⎛ ⎞<br />
y' = x 3<br />
x<br />
e x ⎜ ⎜xarcsin x+ + 4arcsin x ⎟<br />
⎝ 1−<br />
x2<br />
⎠<br />
y = +<br />
=−<br />
− − 2<br />
x 1 2<br />
y'<br />
x 1 ( x 1)<br />
y = cos (3x � 5), also u = 3 x � 5<br />
<strong>und</strong> damit<br />
y' = – sin (3 x � 5) · 3 = – 3 sin x (3 x � 5)<br />
y = tan x x = arctan y<br />
1<br />
�' (y) =<br />
1+ tan<br />
1<br />
=<br />
x 1+<br />
y<br />
2 2<br />
y' = = + 2 1<br />
1 y<br />
ϕ'y<br />
( )<br />
y = (2 x) sin x<br />
ln y = ln (2 x) sin x = sin x · ln (2 x)<br />
1 1<br />
⋅ y' = sin x ⋅ ⋅ 2 + ln(2 x) ⋅cos<br />
x<br />
y 2 x<br />
⎡ ⎤<br />
y' = sin x sin x<br />
(2 x) ⎢ + cosx⋅ln(2 x)<br />
⎣ x<br />
⎥⎦<br />
35<br />
1
1<br />
36<br />
Mathematik<br />
Integrationsregeln<br />
Funktion Ableitung Beispiele<br />
implizites<br />
Differenzieren<br />
Die Funktion wird nicht<br />
nach einer<br />
Veränderlichen<br />
x<br />
aufgelöst, sondern<br />
implizit gliedweise<br />
differenziert<br />
2 � y2 = r 2<br />
2 x � 2 y · y' = 0<br />
y' = −x<br />
y<br />
1.32 Differenzialrechnung: Ableitungen elementarer Funktionen<br />
da<br />
= 0 ( a = konst)<br />
dx<br />
dx<br />
n<br />
= nxn−1<br />
dx<br />
d( mx+ a)<br />
= m<br />
dx<br />
daxn<br />
= naxn−1<br />
dx<br />
d x 1<br />
=<br />
dx 2 x<br />
d(1/ x)<br />
1<br />
=−<br />
dx<br />
2 x<br />
d ex<br />
= ex<br />
dx<br />
d ax<br />
= axlna dx<br />
dlnx 1<br />
=<br />
dx<br />
x<br />
dalogx 1<br />
=<br />
dx xlna 1.33 Integrationsregeln<br />
Konstantenregel<br />
dsinx<br />
= cos x<br />
dx<br />
dcosx<br />
=−sin<br />
x<br />
dx<br />
dtanx 1<br />
=<br />
dx 2 cos x<br />
= 1 � tan2 x<br />
dcotx 1<br />
d sin<br />
Ein Faktor k beim Integranden f(x) dx kann vor<br />
das Integral gezogen werden:<br />
∫k⋅ f( x)d x = k∫f( x)dx Summenregel<br />
x<br />
=−<br />
2 x<br />
= – 1 – cot2 x<br />
d arcsin x<br />
=<br />
dx 1<br />
1−<br />
x2<br />
darccosx =−<br />
dx 1<br />
2 1−<br />
x<br />
darctanx 1<br />
=<br />
dx 1+<br />
x2<br />
d arccot x 1<br />
=−<br />
dx 1+<br />
x2<br />
dsinhx<br />
= cosh x<br />
dx<br />
dcoshx<br />
= sinh x<br />
dx<br />
d tanh x 1<br />
=<br />
dx 2 cosh x<br />
= 1 – tanh2 x<br />
dcothx 1<br />
=−<br />
dx 2 sinh x<br />
� 1 – coth2 x<br />
darsinhx 1<br />
=<br />
dx 2 x + 1<br />
darcoshx 1<br />
=<br />
dx 2 x −1<br />
d artanh x 1<br />
=<br />
dx 2 1−<br />
x<br />
darcothx 1<br />
=<br />
dx 2 1−<br />
x<br />
⎡ 3 ⎤<br />
⋅ 2 = ⋅ 2 x<br />
7 x dx 7 x dx = 7⎢ ⎥+<br />
C<br />
⎣ 3 ⎦<br />
∫ ∫<br />
Eine Summe wird gliedweise integriert:<br />
∫[ ux ( ) + vx ( )]dx<br />
= ∫ux ( )d x+ ∫vx<br />
( )dx<br />
∫(1 + + 2+ 3 x2 x3 x4<br />
x x x )d x = x<br />
+ + +<br />
2 3 4
Einsetzregel (Substitutionsmethode)<br />
1. Form: In den Integranden wird eine Funktion<br />
z(x) so eingeführt, dass deren Ableitung z' als<br />
Faktor von dx auftritt:<br />
∫fx ( )d x = ∫ϕ(<br />
z) ⋅z'⋅ dx<br />
= ∫ ϕ ( z)dz 2. Form: Eine neue Funktion z einführen; aus<br />
der Substitutionsgleichung dx berechnen <strong>und</strong><br />
alles unter dem Integral einführen:<br />
Sonderregeln<br />
Ist der Zähler eines Integranden die Ableitung<br />
des Nenners, so ist das Integral gleich dem<br />
natürlichen Logarithmus des Nenners:<br />
∫ =<br />
( ) f' x<br />
dx ln f( x)<br />
fx ( )<br />
Produktregel (partielle Integration)<br />
Lässt sich der Integrand als Produkt zweier<br />
Funktionen f(x) <strong>und</strong> g(x) darstellen, so kann der<br />
neue Integrand einfacher zu integrieren sein:<br />
∫ ∫<br />
fxgx ( ) ( )dx = udv = u⋅v −∫v du<br />
Flächenintegral (bestimmtes Integral)<br />
∫<br />
∫ ∫<br />
Mathematik<br />
Integrationsregeln<br />
dz<br />
sin xcos xd x; sin x = z; z' = = cos x<br />
dx<br />
sin xcos xdx = z⋅ z'dx =<br />
∫ ∫<br />
z2 sin2x<br />
= ∫zdz<br />
= =<br />
2 2<br />
1 1<br />
dx = coszdz = arcsinx<br />
1−<br />
x2<br />
cosz<br />
2 2<br />
x = sin z; 1− sin z = 1− x = cosz<br />
dx = cos z dz; z = arcsin x<br />
∫ ∫<br />
+ = ϕ<br />
1<br />
fax ( b)d x<br />
a<br />
( z)dz ( ax+ b) = z; dz dz<br />
= a⇒ dx=<br />
dx<br />
a<br />
∫<br />
2ax+<br />
b<br />
dx = ln( ax2+ bx)<br />
ax2 + bx<br />
∫ = +<br />
+<br />
1 dx ln( x a)<br />
x a<br />
Ist A der Flächeninhalt unter der Kurve y = f(x), begrenzt durch<br />
die Ordinaten x = a <strong>und</strong> x = b, so gilt<br />
b<br />
b<br />
A = ∫ fx ( )d x = [ Fx ( ) ] = Fb ( ) −Fa<br />
( )<br />
a<br />
a<br />
d.h. das bestimmte Integral f(x) dx stellt den Flächeninhalt unter<br />
der Kurve y = f(x) bis zur x-Achse im Intervall von a bis b dar<br />
(a � x � b)<br />
Integrieren einer Konstanten k<br />
b<br />
b<br />
∫k⋅ d x = [ kx] = k( b−a) a<br />
Vorzeichenwechsel<br />
b a<br />
∫fx ( )d x =−∫fx<br />
( )dx<br />
a b<br />
a<br />
∫ ∫<br />
xcosxdx = x⋅sin x− 1⋅sin xdx = x · sin x � cos x<br />
⎛u = x; v' = cosx⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝u'= 1; v = sinx<br />
⎠<br />
Vertauschen der Grenzen<br />
bedeutet Vorzeichenwechsel<br />
(Integrieren von anderer<br />
Richtung kommend)<br />
37<br />
1
1<br />
38<br />
Mathematik<br />
Lösungen häufig vorkommender Integrale<br />
Aufspalten des bestimmten Integrals in Teilintegrale<br />
c b c<br />
∫fxdx ( ) = ∫fx ( )d x+ ∫fx<br />
( )dx<br />
a a b<br />
Definition des Mittelwertes y m<br />
Mittelwert y m ist die Höhe des flächengleichen Rechtecks<br />
gewonnen aus:<br />
b<br />
( b− a) ym=∫f( x)dx = ⋅<br />
−<br />
m<br />
1<br />
y f( x)dx b a<br />
a<br />
b<br />
∫<br />
1.34 Gr<strong>und</strong>integrale<br />
∫<br />
a<br />
n+<br />
1<br />
n x<br />
x dx<br />
= + C<br />
n + 1<br />
n � – 1<br />
∫ = + ≠<br />
dx<br />
ln x C; x 0<br />
x<br />
∫sinx dx =− cos x+ C<br />
∫cos x dx = sin x+ C<br />
∫ 2<br />
dx<br />
=− cot x+ C<br />
sin x<br />
dx<br />
= tan x+ C<br />
cos x<br />
∫ 2<br />
x<br />
x a<br />
∫a dx<br />
= + C<br />
lna<br />
0 � a � 1<br />
∫exdx = ex + C<br />
dx<br />
∫ 2<br />
1−<br />
x<br />
∫ 2<br />
dx<br />
1+<br />
x<br />
= arcsin x+ C =<br />
= – arccos x � C'<br />
= arctan x+ C =<br />
= – arccot x � C'<br />
∫sinhx dx = cosh x+ C<br />
∫cosh x dx = sinh x+ C<br />
∫ 2<br />
dx<br />
= tanh x+ C<br />
cosh x<br />
dx<br />
=− coth x+ C<br />
sinh x<br />
x � 0<br />
∫ 2<br />
1.35 Lösungen häufig vorkommender Integrale<br />
(ohne Integrationskonstante C geschrieben)<br />
Integrale algebraischer Funktionen<br />
[<br />
∫<br />
n+<br />
1<br />
n ( a± bx)<br />
( a± bx) d x =± ; n ≠−1<br />
bn ( + 1)<br />
1<br />
=± ln a± bx; n =−1<br />
b<br />
x dx<br />
x a<br />
= − ln a+ bx<br />
a+ bx b b<br />
∫ 2<br />
dx<br />
∫ 2<br />
1+<br />
x<br />
∫ 2<br />
= arsinh x+ C =<br />
= ln( x+ 1 + x ) + C<br />
dx<br />
= arcosh x + C<br />
x −1<br />
= ln( x ± x2− 1) + C<br />
x >1<br />
dx<br />
∫ = artanh x+ C<br />
2 1−<br />
x<br />
1 1+<br />
x<br />
= ln + C; x < 1<br />
2 1−x<br />
dx<br />
∫ = arcoth x+ C =<br />
2 1−<br />
x<br />
1 x + 1<br />
= ln + C; x > 1<br />
2 x −1<br />
x dx 1 ⎛ a<br />
⎞<br />
∫ = ⎜ + ln a+ bx⎟<br />
2 2<br />
( a+ bx) b ⎝a+ bx<br />
⎠<br />
∫ 2 2<br />
dx 1 x<br />
= arctan<br />
x + a a a<br />
2
∫ 2 2<br />
∫<br />
dx 1 x x<br />
= artanh ; < 1<br />
a − x a a a<br />
1 x x<br />
= arcoth ; > 1<br />
a a a<br />
d 1<br />
= ln( 2 + 1); = 1<br />
( 2 + 1) 2 n<br />
x x<br />
x n<br />
x<br />
1<br />
=− ; > 1<br />
2( − 1)( 2+ 1) −1<br />
n<br />
n<br />
n x<br />
dx 2 2ax+<br />
b<br />
∫ = arctan<br />
ax2 + bx+ c 4ac−b2 4ac−b2<br />
2<br />
= −<br />
2ax+ b<br />
=<br />
1 2ax+ b− b −4ac<br />
ln<br />
b2− 4ac 2ax+ b+ b2−4ac 2<br />
Mathematik<br />
Lösungen häufig vorkommender Integrale<br />
dx 1 bx<br />
∫ = arctan<br />
a2+ b2x2 ab a<br />
dx 1 a+ bx<br />
∫ = ln<br />
2 2 2 a − b x 2ab<br />
a− bx<br />
Ax+ B A ⎛ ⎞<br />
2<br />
Ab dx<br />
dx = ln ax + bx+ c + ⎜B− ⎟<br />
2 2<br />
ax + bx+ c 2a ⎝ 2a⎠<br />
ax + bx+ c<br />
∫ ∫<br />
dx 1 2ax+<br />
b<br />
∫ 2 n 2 2 n−1<br />
= ⋅ +<br />
( ax + bx+ c) ( n−1)(4 ac− b ) ( ax + bx+ c)<br />
∫<br />
2(2 − 3) d<br />
�<br />
−<br />
( −1)(4 − 2) ( 2+ + ) 1 n<br />
n a x<br />
n ac b ax bx c<br />
Ax+ B A<br />
1<br />
∫ dx<br />
2 n 2 n−1<br />
∫<br />
∫<br />
=− ⋅ +<br />
( ax + bx+ c) 2 an ( −1)<br />
( ax + bx+ c)<br />
⎛ ⎞<br />
�⎜ − ⎟<br />
⎝ ⎠ + + ∫ d<br />
2 2 ( ) n<br />
Ab x<br />
B<br />
a ax bx c<br />
2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
x a<br />
x ± a dx = x ± a ± ln x+ x ± a<br />
2 2<br />
2 − 2 x<br />
a x dx =<br />
2<br />
2− 2 a x<br />
a x + arcsin<br />
2 a<br />
∫<br />
x dx<br />
=<br />
x2± a2<br />
x2± a2<br />
∫ 2 2<br />
∫<br />
∫<br />
dx 1 a<br />
=− arcsin<br />
x x − a a x<br />
dx 1 a 1 a+ a −x<br />
=− arcosh =− ln<br />
x a −x a x 2a<br />
a− a −x<br />
2<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
dx 1 a 1 x + a + a<br />
=− arsinh =− ln<br />
x x2+ a2 a x 2a<br />
x2+ a2 −a<br />
( bx a b x )<br />
dx1 ∫ = ln + 2+ 2 2<br />
a2+ b2x2 b<br />
dx 1 ⎛b ⎞<br />
= arcsin⎜<br />
x⎟<br />
a − b x<br />
b ⎝a ⎠<br />
∫ 2 2 2<br />
b 2 – 4 a c � 0<br />
b 2 – 4 a c = 0<br />
b 2 – 4 a c � 0<br />
xdx ∫ =− a2 −x2<br />
a2 − x2<br />
39<br />
1
1<br />
40<br />
Mathematik<br />
Lösungen häufig vorkommender Integrale<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
dx 1 2ax+<br />
b 2<br />
= ln + ax + bx+ c a><br />
0<br />
2 ax + bx+ c a 2 a<br />
=<br />
− −<br />
<<br />
− − 2<br />
1 2ax<br />
b<br />
arcsin a 0<br />
a b 4ac<br />
2 ⎛ ⎞<br />
2+ 2 2 x<br />
= 2+ 2 2 a b<br />
a b x dx a b x + arsinh⎜<br />
x⎟<br />
2 2b<br />
⎝a ⎠<br />
2 ⎛ ⎞<br />
2 2 2 x 2 2 2 a b<br />
a − b x dx = a −b x − arccos⎜<br />
x⎟<br />
2 2b<br />
⎝a ⎠<br />
2 ⎛ ⎞<br />
2 x<br />
− = 2 b a<br />
ax b dxax −b− arcosh⎜<br />
x⎟<br />
2 2a<br />
⎝b ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 4 x<br />
x a − x dx = ⎜ x − a x⎟ a − x + a arcsin<br />
⎝4 8 ⎠ 8 a<br />
⎛ ⎞<br />
2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 4 2 2<br />
x x − a dx = ⎜ x − a x⎟ x −a − a ln x+ x −a<br />
⎝4 8 ⎠ 8<br />
⎛ ⎞<br />
2 2+ 2 1<br />
= 3 1<br />
⎜ + 2 2<br />
⎟ + 2 1<br />
x a x dx x a x a x − a4ln x+ a2+ x2<br />
⎝4 8 ⎠ 8<br />
Integrale transzendenter Funktionen<br />
∫ln( ax)d x= x[ln( ax)<br />
−1]<br />
∫<br />
1 1<br />
(ln x) nd x = (ln x)<br />
n+<br />
1<br />
x n+<br />
1<br />
a+ bx<br />
∫ln( a+ bx)d x = [ln( a+ bx)<br />
−1]<br />
b<br />
= − − + − −<br />
∫exxn d x ex[ xn nxn 1 n( n 1) xn 2 −+ ... + ( −1)<br />
nn!]<br />
− =− − + − + − −<br />
∫e xxnd x e x[ xn nxn 1 n( n 1) xn 2+<br />
... + n!]<br />
⎛ ⎞<br />
ax a ax b<br />
∫e sinbx dx = e ⎜sinbx− cosbx<br />
2 2<br />
⎟<br />
a + b ⎝ a ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
ax a<br />
∫ cos d = ax b<br />
e bx x e ⎜ sinbx+ cosbx<br />
2 ⎟<br />
a + b2<br />
⎝a⎠ ∫<br />
∫<br />
1<br />
sin( a+ bx) dx =− cos( a+ bx)<br />
b<br />
1<br />
cos( a+ bx)dx = sin( a+ bx)<br />
b<br />
∫ =<br />
dx<br />
x<br />
ln tan<br />
sin x 2<br />
∫<br />
∫<br />
dx<br />
= ln tan x<br />
sin xcos x<br />
dx 1 x+ ϕ a<br />
= sinϕlntan tanϕ<br />
=<br />
acos x+ bsin x a 2<br />
b<br />
dx<br />
∫ = 2cot2x<br />
sin2xcos2x ⎛π⎞ ∫ = ⎜ + ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
dx<br />
x<br />
ln tan<br />
cos x 4 2
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
1⎛sin( m− n) x sin( m+ n) x⎞<br />
sinmxsinnx dx<br />
= ⎜ − ⎟ m ≠ n<br />
2⎝<br />
m− n m+ n ⎠<br />
1⎛sin( m+ n) x sin( m−n) x⎞<br />
cosmxcosnx dx<br />
= ⎜ + ⎟ m ≠ n<br />
2⎝<br />
m+ n m−n ⎠<br />
1⎛cos( m+ n) x cos( m−n) x⎞<br />
sinmxcosnx dx<br />
=− ⎜ + ⎟ m ≠ n<br />
2⎝<br />
m+ n m−n ⎠<br />
arcsin x dx = xarcsin x+ 1−x<br />
arccos x dx = xarccos x− 1−x<br />
1<br />
arctan x dx = xarctan x− ln(1 + x2)<br />
2<br />
1<br />
arccot x dx =− xarccot x+ ln(1 + x2)<br />
2<br />
∫ ∫<br />
∫ ∫<br />
tan x dx =− ln cos x cot x dx = ln sin x<br />
tanh x dx = ln cosh x coth x dx = ln sinh x<br />
Rekursionsformeln<br />
dx 1 ⎛ x dx<br />
⎞<br />
= ⎜ + (2n−3) ⎟ n ≠1<br />
(1 + x2) n 2( n −1)<br />
+ 2 −1 + 2 −1<br />
⎝(1 x ) n (1 x ) n<br />
⎠<br />
∫ ∫<br />
=− + −<br />
∫ ∫ 1<br />
xnsin x dx xncos x n xn cos x dx<br />
= − −<br />
∫ ∫ 1<br />
xncos x dx xnsinx n xn sin x dx<br />
∫ ∫<br />
sin x sinx 1 cos x<br />
dx =− + dx n > 1<br />
xn ( n−1) xn−1 n −1<br />
xn−1<br />
∫ ∫<br />
cos x cos x 1 sin x<br />
dx =− − dx n > 1<br />
xn ( n−1) xn−1 n −1<br />
xn−1<br />
∫ ∫<br />
1 − −<br />
=− 1 1<br />
sinn d sinn n<br />
x x xcos x+ sinn−2x dx<br />
n n<br />
∫ ∫<br />
1 − −<br />
= 1 1<br />
cosn d cosn n<br />
x x x sin x+ cosn−2x dx<br />
n n<br />
∫ ∫<br />
1<br />
tann x dx = tann−1x− tann−2x dx n ≠1<br />
n −1<br />
∫ ∫<br />
1<br />
cotn x dx =− cotn−1x−cotn−2x dx n ≠1<br />
n −1<br />
∫ ∫ 1<br />
(ln x) nd x = x(ln x) n − n (ln x) n−dx<br />
n > 0<br />
∫ ∫<br />
1 − −<br />
= 1 1<br />
sinhn d sinhn n<br />
x x xcos x− sinhn−2x dx<br />
n n<br />
∫ ∫<br />
1 − −<br />
= 1 1<br />
coshn d coshn n<br />
x x xsinhx+ cosh xn−2 dx<br />
n n<br />
2<br />
2<br />
Mathematik<br />
Lösungen häufig vorkommender Integrale<br />
41<br />
1
1<br />
42<br />
Mathematik<br />
Anwendungen der Differenzial- <strong>und</strong> Integralrechnung<br />
1.36 Uneigentliche<br />
Integrale<br />
(Beispiele)<br />
Integrand im Intervall<br />
unendlich<br />
Integrationsweg<br />
unendlich<br />
1.37 Anwendungen der<br />
Differenzial- <strong>und</strong><br />
Integralrechnung<br />
Nullstelle<br />
Schnittpunkt mit<br />
der y-Achse<br />
Polstelle<br />
A = ∫ = − = − − =<br />
−<br />
1<br />
b<br />
b<br />
dx 2 x a 2 b a 0<br />
x a<br />
a<br />
a<br />
∫ 1 1<br />
0<br />
0<br />
= 2 b−a 1<br />
A = dx = lnx = ln1− ln0=∞<br />
x<br />
∞<br />
A = − − ∞ − ∞<br />
∫e x dx<br />
=− e x = e x =<br />
0 0<br />
0<br />
= e –0 – 0 = 1<br />
∞ ∞ ∞<br />
−<br />
A = ∫ = ∫ = =<br />
3 1 1<br />
dx x 2 dx 3x3<br />
3<br />
x2<br />
1<br />
1 1<br />
= 3 (� – 1) = �<br />
Eine Funktion y = f(x) hat an der Stelle x = x 0 dann eine Nullstelle,<br />
wenn y = f(x) = 0 ist.<br />
Hat die Funktion y = f(x) die Form y = A(x)/B(x), so muss A(x 0) = 0<br />
<strong>und</strong> reell <strong>und</strong> B(x 0) � 0 sein. A ist Zähler, B ist Nenner des Bruchs.<br />
Eine Funktion y = f(x) hat dann an der Stelle y 1 einen Schnittpunkt mit<br />
der y-Achse, wenn x 1 = 0 ist. Bei allen transzendenten Funktionen<br />
muss y 1 immer reell sein.<br />
Eine Funktion y = f(x) hat an der Stelle x = x2 bei lim fx ( )<br />
y→∞<br />
eine Unendlichkeitsstelle.<br />
Hat die Funktion y = f(x) die Form y = A(x)/B(x), hat sie Pole, wenn<br />
A(x2) � 0 <strong>und</strong> B(x2) = 0 ist.
Asymptote<br />
Extremwerte<br />
Maximum<br />
Minimum<br />
Wendepunkt<br />
Bogenelement ds<br />
bei rechtwinkligen<br />
Koordinaten<br />
Mathematik<br />
Anwendungen der Differenzial- <strong>und</strong> Integralrechnung<br />
Eine Funktion y = f(x) hat an der<br />
Stelle y 4 eine Unendlichkeitsstelle,<br />
wenn der Grenzwert<br />
lim f( x)<br />
x→∞<br />
gebildet werden kann.<br />
Eine Funktion von der Form<br />
xm<br />
y = f( x)<br />
=<br />
xn<br />
hat eine Asymptote:<br />
1. parallel zur x-Achse bei m = n,<br />
2. als x-Achse selbst bei m � n.<br />
Voraussetzung muss sein, dass eine Funktion y = f(x) mindestens<br />
zweimal stetig differenzierbar ist. Ein (relatives) Maximum (Minimum)<br />
einer Funktion y = f(x) an der Stelle x = x 0 tritt dann auf, wenn in einer<br />
hinreichend kleinen Umgebung alle f(x) kleiner (größer) als f(x 0) sind.<br />
Für das Auftreten eines Maximums<br />
an der Stelle x = x 0 sind<br />
die Bedingungen<br />
f'(x 0) = 0 <strong>und</strong> f''(x 0) � 0<br />
hinreichend.<br />
Für das Auftreten eines Minimums an der Stelle x = x 0 sind die<br />
Bedingungen<br />
f'(x 0) = 0 <strong>und</strong> f''(x 0) � 0<br />
hinreichend.<br />
Ist eine Funktion y = f(x) dreimal stetig<br />
differenzierbar, so besitzt sie an der Stelle<br />
x = x 0 einen Wendepunkt, wenn sie dort<br />
von einer Seite der Tangente auf die andere<br />
Seite übertritt.<br />
Für das Auftreten eines Wendepunkts an<br />
der Stelle x = x 0 sind die Bedingungen<br />
f''(x 0) = 0 <strong>und</strong> f'''(x 0) � 0<br />
hinreichend.<br />
Für die differenzierbare Funktion y = f(x)<br />
zeigt die Anschauung:<br />
ds 2 ⎛ dy<br />
2 ⎞<br />
= dx + dy = ⎜ ⎜1+ ⎟<br />
2 ⎟dx<br />
⎝ dx<br />
⎠<br />
ds = + 2 1 y' dx<br />
2 2 2<br />
43<br />
1
1<br />
44<br />
Mathematik<br />
Anwendungen der Differenzial- <strong>und</strong> Integralrechnung<br />
in Parameterdarstellung<br />
in Polarkoordinaten<br />
Krümmung k <strong>und</strong><br />
Krümmungsradius �<br />
bei rechtwinkligen<br />
Koordinaten<br />
in Parameterdarstellung<br />
in Polarkoordinaten<br />
Flächenberechnung in<br />
rechtwinkligen Koordinaten<br />
positiver <strong>und</strong> negativer<br />
Flächeninhalt<br />
gerade Funktionen<br />
f (– x) = f (x)<br />
x = x(t) dx = x� dt<br />
y = y(t) dy = y� dt<br />
ds 2 = x � 2dt2 � y � 2d t2 � ( x � 2 � y � 2)dt2 2 2 ds = x � � y � dt<br />
r = 2 2 2 2<br />
f( �);ds � dr � d � r ;dr � r � d�<br />
ds 2 = r � 2d�2 � r2d�2 � d �2(<br />
r2 � r � 2)<br />
ds = r2 � r � 2 d�<br />
Aus der Definition k = d� /ds <strong>und</strong> r = 1/k ergibt sich für die Kurve<br />
y = f(x):<br />
2 3<br />
y '' 1 (1+ y ' )<br />
k = r = =<br />
2 3 (1+ y ' ) k y''<br />
2 2 3<br />
xy ���−yx ��� 1 ( x � + y � )<br />
k = r = =<br />
2 2 3 ( x � + y � ) k xy ���−yx ���<br />
2 2<br />
2 2 3<br />
r + 2r � −rr<br />
�� 1 ( r + r � )<br />
k = r = =<br />
2 2 3<br />
2 2<br />
( r + r � ) k r + 2r<br />
� −rr<br />
��<br />
b<br />
A = ∫ fx ( )d x = [ Fx ( ) ]<br />
a<br />
A = F (b) – F (a)<br />
b<br />
a<br />
Beispiel: Fläche unter Sinuskurve<br />
π<br />
π<br />
∫ 0<br />
0<br />
A = sin x dx =− [ cos x]<br />
Vorzeichenwechsel beim Vertauschen der<br />
Grenzen:<br />
A = � � 0<br />
cos x � cos0 �cos� �<br />
A = 1 – (– 1) = 2<br />
Beispiel:<br />
π<br />
π<br />
∫ 0<br />
0<br />
A = cos x dx = [ sin x]<br />
A = sin � – sin 0 = 0 – 0 = 0<br />
liegen symmetrisch zur y-Achse, z.B.<br />
cos x, cos 2 x, x 2 , x sin x<br />
a a<br />
fx ( )dx = 2 fxdx ( )<br />
∫ ∫<br />
−a<br />
0
ungerade Funktionen<br />
f (– x) = – f (x)<br />
Flächeninhalt zwischen<br />
zwei Funktionen<br />
Flächenberechnung in<br />
Parameterdarstellung<br />
Flächeninhalt der<br />
geschlossenen Kurve<br />
Mathematik<br />
Anwendungen der Differenzial- <strong>und</strong> Integralrechnung<br />
liegen symmetrisch zum Nullpunkt, z.B.<br />
sin x, tan x, x cos x, x 3<br />
a<br />
∫ fx ( )dx = 0<br />
−a<br />
b<br />
A = ∫[ f1( x) − f2( x)]dx a<br />
Obere Funktion minus untere Funktion.<br />
Intervall: 0 � x � b<br />
Beispiel:<br />
A = ∫ −−<br />
1<br />
[ x ( x2)]dx 0<br />
1<br />
⎡23⎤ A = 3 x<br />
⎢ x + ⎥<br />
⎣3 3 ⎦<br />
0<br />
2 1<br />
A = + = 1<br />
3 3<br />
x t<br />
∫ ∫<br />
A = yt ()dx= yx � dt<br />
x0 t0<br />
x = x (t) y = y (t) dx = x � dt<br />
Beispiel: Fläche unter Zykloidenbogen<br />
x = r( t −sin<br />
t)<br />
y = r(1−cos t)<br />
x � = r(1−cos t)<br />
Intervall: 0 � t � 2 �<br />
2π 2π<br />
A = yx � d t= r(1−cos t) r(1−cos t)dt ∫ ∫<br />
0<br />
2π<br />
A = r2 (1− 2cos t+ cos 2t)<br />
dt<br />
∫<br />
0<br />
A = r 2 (2 � � 0 � �) = 3 r 2 �<br />
0<br />
Integration vom Anfangsparameter bis zum<br />
Endparameter als Grenzpunkt:<br />
t<br />
yx � dt<br />
A = ∫ 2<br />
t0<br />
Beispiel: Kreisfläche<br />
x = r cos t Intervall: 0 � t � 2 �<br />
y = 2 r � r sin t x � =−r sin t<br />
2π 2π<br />
A = yx � d t=− r(2+ sin t) r⋅sintd t<br />
∫ ∫<br />
0 0<br />
2 π<br />
A = − r2 [2sint+ sin 2t]<br />
dt<br />
∫<br />
0<br />
A = – r 2 (0 � �) = – r 2 �<br />
45<br />
1
1<br />
46<br />
Mathematik<br />
Anwendungen der Differenzial- <strong>und</strong> Integralrechnung<br />
Flächenberechnung in<br />
Polarkoordinaten<br />
Volumen V von<br />
Rotationskörpern<br />
Kurvenlängen s in<br />
rechtwinkligen<br />
Koordinaten<br />
A =<br />
ϕ<br />
∫<br />
ϕ<br />
2<br />
1<br />
r 2 d<br />
2<br />
1<br />
ϕ<br />
Beispiel: Archimedische Spirale, überstrichene<br />
Fläche von � 1 = 0 bis � 2 = 2 �<br />
r = a �<br />
2π 2 π 2 2π<br />
∫ ∫ ∫<br />
1<br />
A = 2 1<br />
ϕ = 2ϕ2 a<br />
r d a dϕ = ϕ2 dϕ<br />
2 2 2<br />
0 0 0<br />
2<br />
2 π<br />
2 3<br />
⎡a ⎤<br />
3 4 a π<br />
A = ⎢ ϕ ⎥ =<br />
⎣ 6 ⎦ 3<br />
0<br />
aus erzeugender Fläche mal Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung:<br />
um die x-Achse:<br />
V = π<br />
=<br />
∫<br />
=<br />
2 x b<br />
d<br />
x a<br />
y x<br />
Beispiel: Kugelvolumen<br />
2 2<br />
mit y = r − x<br />
Intervall: – r � x � r<br />
um die y-Achse<br />
x= a<br />
y= b<br />
V = 2π xydybzw. V= π x dy<br />
∫ ∫ 2<br />
x=− a y= a<br />
Beispiel: Volumen eines Rotationsparaboloids<br />
mit y = ax 2<br />
Intervall: 0 � y � h<br />
r r<br />
⎡ 3<br />
h h<br />
⎤<br />
π<br />
V = 2 2 2 x<br />
2<br />
∫( r − x )dx = π⎢r x− ⎥ V = π∫x<br />
dx = ∫y<br />
dy<br />
⎣ 3 ⎦<br />
a<br />
−r −r<br />
0 0<br />
⎛ 3 3⎞<br />
V = π⎜ 3 r<br />
⎜ − + 3 r 4<br />
r r − ⎟ ⎟=<br />
r3π<br />
⎝ 3 3 ⎠ 3<br />
Ist die Funktion y = f(x) im Intervall<br />
x 1 � x � x 2 eindeutig, also f'(x) stetig, so ist<br />
die Länge s der Kurve:<br />
s =<br />
x2 2<br />
x2<br />
⎛dy⎞ 1+ ⎜ ⎟ dx = 1+ y'2dx ⎝dx⎠ ∫ ∫<br />
x1 x1<br />
⎡ π ⎤ 2 π<br />
= 2 h<br />
V ⎢ y ⎥ =<br />
⎣2a ⎦ 2a<br />
h<br />
0
in Parameterdarstellung<br />
in Polarkoordinaten<br />
Mantelflächen M von<br />
Rotationskörpern<br />
Mathematik<br />
Anwendungen der Differenzial- <strong>und</strong> Integralrechnung<br />
x = x() t dy = y � dt dx = x � dt<br />
y = y() t Intervall t1∑t ∑t2<br />
t<br />
2 2 s = x � + y � dt<br />
∫ 2<br />
t1<br />
r = f (�) Länge s des Kurvenstückes zwischen den Leitstrahlen<br />
r 1 = f (� 1) <strong>und</strong> r 2 = f (� 2):<br />
ϕ<br />
s = ∫<br />
ϕ<br />
2<br />
1<br />
r 2+ r�2<br />
dϕ<br />
2 2<br />
Beispiel: Bogen s des Viertelkreises y = r − x mit Radius r :<br />
r 2<br />
r r<br />
x dx<br />
⎡ x⎤ π r<br />
s = ∫ 1+ dx = ∫ = ⎢r⋅ arcsin ⎥ =<br />
2 2 r − x 2<br />
⎛ ⎞<br />
⎣ ⎦<br />
0 0 x<br />
r 0 2<br />
1−⎜<br />
⎟<br />
⎝r⎠ mit x = r cos t <strong>und</strong> y = r sin t; 2<br />
x� = r 2 sin 2 t, 2<br />
y� = r 2 cos 2 t wird:<br />
π/2 π/2<br />
π<br />
s =<br />
2 ∫ + 2<br />
r<br />
r sin t cos t dt = r∫ d t = ;<br />
2<br />
0 0<br />
ebenso mit r = konstant, dr / d� = 0:<br />
π/2 π/2<br />
∫ ∫<br />
s = 2<br />
π r<br />
r dϕ = r dϕ<br />
= , wie oben.<br />
2<br />
0 0<br />
aus erzeugender Kurve mal Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung<br />
um<br />
die x-Achse: die y-Achse:<br />
b b<br />
M = 2π y ds = 2π y 1+ y' dx<br />
∫ ∫ 2<br />
a a<br />
Beispiel: Kurvendiskussion der<br />
Gleichung<br />
Ax ( ) x<br />
y = fx ( ) = =<br />
Bx ( ) 2 2x −3x−2 Nullstellen:<br />
y = f( x) = 0 ⇒ A( x)<br />
= 0 ⇒x1=<br />
0⎫<br />
⎬P1<br />
y1<br />
= 0⎭<br />
3<br />
r r<br />
M = 2π x ds = 2π x 1+ y' dx<br />
∫ ∫ 2<br />
0 0<br />
(siehe dazu Bild am Ende<br />
des Abschnitts)<br />
x 1 = 0 ist eine Lösung der<br />
Gleichung, da B(x) � 0 ist<br />
<strong>und</strong> kein unbestimmter<br />
Ausdruck vorliegt.<br />
47<br />
1
1<br />
48<br />
Mathematik<br />
Anwendungen der Differenzial- <strong>und</strong> Integralrechnung<br />
Schnittpunkt mit der y-Achse:<br />
0<br />
x = 0 ⇒ y = = 0; x2<br />
= 0⎫<br />
0−0−2 ⎬P<br />
y = 0⎭<br />
Polstellen:<br />
y ⇒∞ ⇒ B( x)<br />
= 0<br />
2 x2 – 3 x – 2 = 0<br />
3 25<br />
x3<br />
= 2 ⎫<br />
x3/4 = ±<br />
⎬P3,<br />
P4<br />
4 16<br />
x4<br />
=−0,5⎭ Asymptoten:<br />
13 3<br />
x 3 4 x + 2<br />
x →∞⇒ y = f( x)<br />
= + +<br />
2 4 2x2−3x−2 x 3<br />
yA<br />
= +<br />
2 4<br />
Schnittpunkt zwischen Kurve <strong>und</strong> Asymptote:<br />
x3x 3 x5<br />
=−0,461⎫<br />
y = yA ⇒ = + ;<br />
⎬P<br />
2<br />
5<br />
2x −3x−2 2 4 y5<br />
= 0,51 ⎭<br />
Extremwerte:<br />
2 x2( x2 −3x−3) y'= f'( x) = 0 ⇒ y'=<br />
(2x2 −3x−2) 2<br />
2 x2( x2 −3x− 3) = 0<br />
2x2= 0<br />
x2−3x− 3 = 0<br />
2<br />
2<br />
x6<br />
= 0⎫<br />
⎬P6<br />
y6<br />
= 0⎭<br />
2 2 x(13x + 18x+ 12)<br />
y'' = f''( x)<br />
=<br />
2 3<br />
(2x −3x−2) y'' = f ''(x 7) = 131,6 � 0 Minimum<br />
y'' = f ''(x 8) = – 32,9 � 0 Maximum<br />
Wendepunkte:<br />
y'' = f '' (x) = 0<br />
2 x(13x2+ 18x+ 12) = 0 x6<br />
= 0⎫<br />
⎬P6<br />
2x= 0 y6<br />
= 0⎭<br />
x7 = 3,8 y7<br />
= 3,58 ⎫<br />
⎬P7,<br />
P8<br />
x8 =− 0,7 y8<br />
=−0,315⎭ 13x 2 � 18 x � 12 = 0 führt zu einem imaginären Ergebnis<br />
4 3 2<br />
− 12(13 + 48 x −12x −24 x−4)<br />
y''' = f'''( x)<br />
=<br />
2 4<br />
(2x −3x−2) y''' = f'''( x ) = 3 ≠0<br />
6<br />
Die Kurve schneidet die y-Achse bei<br />
y 2 = 0.<br />
Die Funktion besitzt zwei Pole (Unendlichkeitsstellen).<br />
Ein unbestimmter Ausdruck<br />
liegt nicht vor, weil A (x 3, x 4) � 0<br />
ist.<br />
Die unecht gebrochene rationale Funktion<br />
lässt sich in die Summe der ganzen<br />
<strong>und</strong> der gebrochenen Funktionen<br />
zerlegen.<br />
Durch Gleichsetzen der ganzen Funktion<br />
mit der Teilfunktion ergeben sich<br />
die Koordinaten des Schnittpunkts.<br />
Die Nullsetzung des Zählers der ersten<br />
Ableitung ergibt die x-Koordinaten der<br />
Extremwerte. Die zugehörigen y-Koordinaten<br />
ergeben sich durch Einsetzen<br />
der x-Werte in die Stammfunktion.<br />
Die errechneten x-Koordinaten (x 7, x 8)<br />
werden in die Funktion y" = f ''(x) eingesetzt,<br />
um ein Maximum bzw. Minimum<br />
bestimmen zu können.<br />
Es ergeben sich die Koordinaten eines<br />
Wendepunkts, der dann existiert, wenn<br />
die dritte Ableitung ungleich null ist.
1.38 Geometrische Gr<strong>und</strong>konstruktionen<br />
Senkrechte im Punkt P einer Geraden errichten<br />
Von P aus gleiche Strecken nach links <strong>und</strong> rechts abtragen<br />
( PA � PB ). Kreisbögen mit gleichem Radius um A <strong>und</strong> B<br />
schneiden sich in C. PC ist gesuchte Senkrechte.<br />
Strecke halbieren (Mittelsenkrechte)<br />
Kreisbögen mit gleichem Radius um A <strong>und</strong> B nach oben <strong>und</strong><br />
unten schneiden sich in C <strong>und</strong> D. CD steht rechtwinklig auf<br />
AB <strong>und</strong> halbiert diese.<br />
Lot vom Punkt P auf Gerade g fällen<br />
Kreisbogen um P schneidet g in A <strong>und</strong> B. Kreisbögen mit<br />
gleichem Radius um A <strong>und</strong> B schneiden sich in C. PC ist das<br />
Lot auf die Gerade g.<br />
Mathematik<br />
Geometrische Gr<strong>und</strong>konstruktionen<br />
49<br />
1
1<br />
50<br />
Mathematik<br />
Geometrische Gr<strong>und</strong>konstruktionen<br />
Senkrechte im Endpunkt<br />
P einer Strecke s (eines<br />
Strahles) errichten<br />
Winkel halbieren<br />
einen gegebenen Winkel<br />
� an eine Gerade g<br />
antragen<br />
einen rechten Winkel<br />
dreiteilen<br />
Strecke AB in gleiche<br />
Teile teilen<br />
Mittelpunkt eines Kreises<br />
ermitteln<br />
Außenkreis für<br />
gegebenes Dreieck<br />
Kreis von beliebigem Radius um P<br />
ergibt A. Gleicher Kreis um A ergibt B,<br />
um B ergibt C. Kreise von beliebigem<br />
Radius um B <strong>und</strong> C schneiden sich in<br />
D. PD ist die gesuchte Senkrechte in P.<br />
Kreis um O schneidet die Schenkel in A<br />
<strong>und</strong> B. Kreise mit gleichem Radius<br />
ergeben Schnittpunkt C. OC halbiert<br />
den gegebenen Winkel.<br />
Kreis um O mit beliebigem Radius<br />
schneidet die Schenkel des gegebenen<br />
Winkels � in A <strong>und</strong> B. Kreis mit<br />
gleichem Radius um O' gibt A'. Kreis<br />
mit AB um A' ergibt Schnittpunkt B'.<br />
Strahl von O' durch B' schließt mit<br />
Gerade g Winkel � ein.<br />
Kreis um O ergibt Schnittpunkte A <strong>und</strong><br />
B. Kreise um A <strong>und</strong> B mit gleichem<br />
Radius wie vorher schneiden den Kreis<br />
um O in C <strong>und</strong> D.<br />
Auf beliebig errichtetem Strahl AC von<br />
A aus fortschreitend mit beliebiger<br />
Zirkelöffnung die gewünschte Anzahl<br />
gleicher Teile abtragen, z.B. 5 Teile. B'<br />
mit B verbinden <strong>und</strong> Parallele zu BB'<br />
durch Teilpunkte 1 ... 4 legen.<br />
Zwei beliebige Sehnen AB <strong>und</strong> CD<br />
eintragen <strong>und</strong> darauf Mittelsenkrechte<br />
errichten. Schnittpunkt M ist Kreismittelpunkt.<br />
Mittelsenkrechte auf zwei Dreieckseiten<br />
schneiden sich im Mittelpunkt M des<br />
Außenkreises.
Innenkreis für gegebenes<br />
Dreieck<br />
Parallele zu gegebener<br />
Gerade g durch Punkt P<br />
Tangente an Kreis im<br />
gegebenen Punkt A<br />
Tangenten an Kreis von<br />
gegebenem Punkt P aus<br />
Tangente t im gegebenen<br />
Punkt A an Kreis k mit<br />
unbekanntem Mittelpunkt<br />
Tangenten an zwei<br />
gegebene Kreise<br />
Gleichseitiges Dreieck<br />
mit Seitenlänge AB<br />
Schnittpunkt von zwei Winkelhalbierenden<br />
ist Mittelpunkt M des Innenkreises.<br />
Beliebig gerichteter Strahl von P aus<br />
trifft Gerade g in A. Kreis mit PA um A<br />
schneidet g in B. Kreise mit gleichem<br />
Radius PA um P <strong>und</strong> B schneiden sich<br />
in C. Strecke PC ist Teil der zu g<br />
parallelen Geraden p.<br />
M mit A verbinden <strong>und</strong> über A hinaus<br />
verlängern <strong>und</strong> in A Senkrechte errichten<br />
– oder –<br />
Strecke MA zeichnen <strong>und</strong> im Endpunkt<br />
A Senkrechte errichten.<br />
P mit Mittelpunkt M verbinden <strong>und</strong> PM<br />
halbieren ergibt M 1. Kreis mit Radius<br />
MM 1 um M 1 schneidet gegebenen<br />
Kreis in A <strong>und</strong> B. PA <strong>und</strong> PB sind<br />
Teile der gesuchten Tangenten.<br />
Kreis um A von beliebigem Radius<br />
ergibt Schnittpunkte B <strong>und</strong> C. Kreise<br />
von beliebigem Radius um B <strong>und</strong> C<br />
ergeben D <strong>und</strong> E, deren Verbindungslinie<br />
Teil des Radiusses von k ist. Senkrechte<br />
in A auf DE ist Teil der Tangente<br />
t.<br />
Hilfskreis um M1 mit Radius (R – r )<br />
zeichnen <strong>und</strong> von M2 aus die Tangenten<br />
2 MA <strong>und</strong> MB 2 anlegen.<br />
Strecken 1 MA <strong>und</strong> MB 1 bis C <strong>und</strong><br />
D verlängern. Parallele zu MC 1<br />
<strong>und</strong> 1 MD durch M2 ergeben E <strong>und</strong><br />
F. CE <strong>und</strong> DF sind die gesuchten<br />
Tangenten.<br />
Kreise mit Radius AB um A <strong>und</strong> B er-<br />
geben Schnittpunkt C <strong>und</strong> damit das<br />
gesuchte Dreieck ABC.<br />
Mathematik<br />
Geometrische Gr<strong>und</strong>konstruktionen<br />
51<br />
1
1<br />
52<br />
Mathematik<br />
Geometrische Gr<strong>und</strong>konstruktionen<br />
regelmäßiges Fünfeck<br />
regelmäßiges Sechseck<br />
regelmäßiges Siebeneck<br />
regelmäßiges Achteck<br />
regelmäßiges Neuneck<br />
(gilt entsprechend für alle<br />
regelmäßigen Vielecke)<br />
Ellipsenkonstruktion<br />
Bogenanschluss:<br />
Kreisbogen an die<br />
Schenkel eines<br />
Winkels<br />
Radius MA des Umkreises halbieren,<br />
ergibt D. Kreisbogen mit CD um D<br />
ergibt E, mit CE um C ergibt F. CF ist<br />
die gesuchte Fünfeckseite.<br />
Radius MA des Umkreises ist Sechseckseite.<br />
Kreisbögen mit AM um A<br />
<strong>und</strong> B schneiden den Umkreis in den<br />
Eckpunkten des Sechsecks.<br />
Kreisbogen mit Umkreisradius MA um<br />
A ergibt B <strong>und</strong> C. Kreisbogen mit<br />
Radius BD um B ergibt Eckpunkt E.<br />
BE ist die gesuchte Siebeneckseite.<br />
Kreise mit Umkreisradius MA um A, B,<br />
C ergeben Schnittpunkte D <strong>und</strong> E.<br />
Geraden durch D <strong>und</strong> M sowie E <strong>und</strong> M<br />
schneiden den Umkreis in den Eckpunkten<br />
des Achtecks.<br />
Durchmesser AB des Umkreises in<br />
neun gleiche Teile teilen. Kreise mit<br />
Radius AB um A <strong>und</strong> B ergeben<br />
Schnittpunkte C <strong>und</strong> D. Strahlen von C<br />
<strong>und</strong> D durch die Teilpunkte 1, 3, 5, 7<br />
des Durchmessers schneiden den Umkreis<br />
in den Eckpunkten des Neunecks.<br />
Hilfskreise um M mit Halbachse a <strong>und</strong> b<br />
als Radius zeichnen <strong>und</strong> beliebige<br />
Anzahl Strahlen 1, 2, 3 ... durch<br />
Kreismittelpunkt M legen. In den<br />
Schnittpunkten der Strahlen mit den<br />
beiden Hilfskreisen Parallele zu den<br />
Ellipsenachsen zeichnen, die sich in I,<br />
II, III ... als Punkte der gesuchten Kurve<br />
schneiden.<br />
Parallelen p im Abstand R zu den<br />
beiden Schenkeln s des Winkels ergeben<br />
Schnittpunkt M als Mittelpunkt<br />
des gesuchten Kreisbogens. Senkrechte<br />
von M auf s ergeben die Anschlusspunkte<br />
A.
Bogenanschluss:<br />
Kreisbogen durch zwei<br />
Punkte<br />
Bogenanschluss:<br />
Gerade mit Punkt durch<br />
Kreisbogen verbinden<br />
Bogenanschluss: Kreis<br />
mit Punkt; R A Radius des<br />
Anschlussbogens<br />
Bogenanschluss:<br />
Kreis mit Gerade g;<br />
R A1 , R A2 Radien der<br />
Anschlussbögen<br />
Kreisbogen mit R um gegebene<br />
Punkte A 1, A 2 legen Mittelpunkt M<br />
des gesuchten Kreisbogens fest.<br />
Parallele p im Abstand R zur Geraden<br />
g <strong>und</strong> Kreisbogen mit R um A legen<br />
Mittelpunkt M des gesuchten Kreisbogens<br />
fest.<br />
Kreisbögen mit R1 � RA um M1 <strong>und</strong><br />
mit RA um P ergeben Mittelpunkt MA des Anschlussbogens. MM 1 A schneidet<br />
den gegebenen Kreis im Anschlusspunkt<br />
A.<br />
Lot l von M auf gegebene Gerade g<br />
ergibt Anschlusspunkte A, A1, A2. Die<br />
halbierten Strecken AA 1 <strong>und</strong> AA2<br />
legen die Mittelpunkte MA1, MA2 der<br />
beiden Anschlussbögen fest.<br />
Mathematik<br />
Geometrische Gr<strong>und</strong>konstruktionen<br />
53<br />
1
Physik<br />
Physikalische Größen, Definitionsgleichungen <strong>und</strong> Einheiten<br />
2.1 Physikalische Größen, Definitionsgleichungen <strong>und</strong> Einheiten<br />
2.1.1 Mechanik<br />
Größe<br />
Formelzeichen<br />
Definitionsgleichung<br />
SI-Einheit 1)<br />
Bemerkung, Beispiel,<br />
andere zulässige Einheiten<br />
Länge l, s, r Basisgröße m (Meter) 1 Seemeile (sm) = 1852 m<br />
Fläche A A = l 2 m 2 Hektar (ha), 1 ha =10 4 m 2<br />
Ar (a), 1 a = 10 2 m 2<br />
Volumen V V = l 3 m 3 Liter (l)<br />
1 l = 10 –3 m 3 = 1 dm 3<br />
ebener Winkel �, �, � � = Kreisbogen<br />
Kreisradius<br />
Raumwinkel ��<br />
�<br />
= Kugelfläche<br />
Radiusquadrat<br />
rad � 1<br />
(Radiant)<br />
sr � 1<br />
(Steradiant)<br />
Zeit t Basisgröße s (Sek<strong>und</strong>e)<br />
Frequenz f = 1<br />
f<br />
T<br />
Drehfrequenz<br />
(Drehzahl)<br />
Geschwindigkeit v<br />
Beschleunigung a<br />
n n = 2 � f<br />
ds<br />
∆s<br />
v = =<br />
dt<br />
∆t<br />
1<br />
s = s–1 = Hz<br />
(Hertz)<br />
1<br />
s<br />
= s–1<br />
−<br />
m<br />
s<br />
dv<br />
∆v<br />
m<br />
a = =<br />
2<br />
dt<br />
∆t<br />
m<br />
Fallbeschleunigung g 2 s<br />
Winkelgeschwindigkeit ��<br />
Umfangsgeschwindigkeit<br />
v u<br />
∆ϕ<br />
ω = =<br />
∆<br />
u v<br />
t r<br />
v u = � d n = � r<br />
∆ω<br />
dω<br />
a<br />
Winkelbeschleunigung �� α = = =<br />
∆t<br />
dt<br />
r<br />
� =<br />
m<br />
1, 7 m = 1,7 rad<br />
m<br />
� = 0,4<br />
m<br />
2<br />
= 0,4 sr<br />
2<br />
1 min = 60 s; 1 h = 60 min<br />
1 d = 24 h = 86400 s<br />
bei Umlauffrequenz<br />
wird U/s statt 1/s benutzt<br />
Periodendauer<br />
= = = 1<br />
U 1 1<br />
min<br />
min min 60s<br />
km 1 m<br />
1 =<br />
h 3,6 s<br />
cm km<br />
, ...<br />
2 2<br />
s h s<br />
1 rad<br />
=<br />
s s<br />
m<br />
s<br />
1 rad<br />
=<br />
s2 s2<br />
1) Einheit des „Système International d'Unités“ (Internationales Einheitensystem)<br />
Normfallbeschleunigung<br />
g n = 9,80665 m/s 2<br />
� Drehwinkel in rad<br />
d Durchmesser<br />
n Drehzahl<br />
� Winkelgeschwindigkeit<br />
55<br />
2
2<br />
56<br />
Physik<br />
Physikalische Größen, Definitionsgleichungen <strong>und</strong> Einheiten<br />
Größe<br />
Formelzeichen<br />
Definitionsgleichung<br />
SI-Einheit<br />
Masse m Basisgröße kg<br />
Dichte r = m<br />
V<br />
Kraft F F = ma<br />
kgm<br />
N �<br />
s2<br />
(Newton)<br />
Gewichtskraft F G F G = mg<br />
Druck p<br />
dynamische<br />
Viskosität<br />
kinematische<br />
Viskosität<br />
Bemerkung, Beispiel, andere<br />
zulässige Einheiten<br />
1 g = 10 –3 kg<br />
1 t =10 3 kg<br />
kg<br />
g t<br />
r ;<br />
3<br />
3 3<br />
m cm m<br />
F<br />
p �<br />
A<br />
kgm<br />
N=<br />
2 s<br />
N kgm<br />
=<br />
m2 m2s2 Ns kgms<br />
�� =<br />
2 2 2 m m s<br />
��<br />
(Ny)<br />
= η<br />
ν<br />
r<br />
Arbeit W W = Fs<br />
Energie W<br />
Leistung P<br />
m<br />
W � v2<br />
2<br />
W � mg h<br />
W<br />
P �<br />
t<br />
Drehmoment M M = F l<br />
2 2<br />
m Ns/m<br />
=<br />
s 3 kg/m<br />
kgm2<br />
J �<br />
2 s<br />
2<br />
kgm<br />
J �<br />
s2<br />
W �<br />
Nm<br />
s<br />
kgm<br />
Nm �<br />
s2<br />
2<br />
1 dyn = 10 –5 N<br />
Normgewichtskraft<br />
F Gn = mg n<br />
1 bar = 102 N<br />
m2<br />
N<br />
= Pa (Pascal)<br />
m 2<br />
Ns<br />
= Pa · s<br />
2 m<br />
1 P = 0,1 Pa · s (P Poise)<br />
1 St = 10 –4<br />
2<br />
m<br />
s<br />
(St Stokes)<br />
1 J = 1 Nm = 1 Ws<br />
J Joule<br />
Nm Newtonmeter<br />
Ws Wattsek<strong>und</strong>e<br />
kWh Kilowattst<strong>und</strong>e<br />
1 kWh = 3,6 · 10 6 J = 3,6 MJ<br />
Nm J<br />
1 = 1 = 1W<br />
s s<br />
Biegemoment M b<br />
Torsionsmoment T<br />
2<br />
Trägheitsmoment J J=∫dmrkgm2 Massenmoment 2. Grades<br />
(früher: Massenträgheitsmoment)<br />
Flächenmoment<br />
2. Grades<br />
Ix<br />
Iy<br />
Ip<br />
I =<br />
I y =<br />
Ip<br />
=<br />
∫d<br />
∫<br />
∫<br />
A x2<br />
dA<br />
y 2<br />
dAr<br />
2<br />
0 N kg<br />
Elastizitätsmodul E E � �<br />
�<br />
�l<br />
m2 s2m Schubmodul G<br />
l<br />
m 4<br />
E N kg<br />
G �<br />
�<br />
2(1 � �)<br />
2 2 m s m<br />
mm 4<br />
Ix, Iy axiales Flächenmoment<br />
2. Grades<br />
Ip polares Flächenmoment<br />
2. Grades<br />
(früher: Flächenträgheitsmoment)<br />
N<br />
2 mm<br />
N<br />
2 mm<br />
(� Poisson-Zahl)
2.1.2 Thermodynamik<br />
Größe<br />
Temperatur<br />
(thermodynamische<br />
Temperatur)<br />
spezifische innere<br />
Energie<br />
Wärme<br />
(Wärmemenge)<br />
Physik<br />
Physikalische Größen, Definitionsgleichungen <strong>und</strong> Einheiten<br />
Formelzeichen<br />
Definitionsgleichung<br />
SI-Einheil<br />
T, � Basisgröße K (Kelvin)<br />
2 J kgm<br />
u �u = q � Wv =<br />
kg 2 s kg<br />
Q<br />
Q = mc��<br />
Q = U – w v<br />
2 kgm<br />
J =<br />
2 s<br />
2 J kgm<br />
spezifische Wärme q q = �U – wv =<br />
kg 2 s kg<br />
spezifische<br />
Wärmekapazität<br />
Enthalpie H<br />
c c =<br />
Q q<br />
=<br />
m∆ϑ∆T H = U ��pV<br />
h = u � p�<br />
J kgm2<br />
=<br />
kgK 2 s kgK<br />
2<br />
kgm<br />
J =<br />
s2<br />
W kgm<br />
Wärmeleitfähigkeit �� =<br />
mK s3K Wärmeübergangskoeffizient<br />
Wärmedurchgangskoeffizient<br />
spezifische<br />
Gaskonstante<br />
universelle<br />
Gaskonstante<br />
W kg<br />
�� =<br />
m2K s3K W kg<br />
k =<br />
2 3 m K s K<br />
R<br />
Ri<br />
=<br />
M<br />
R<br />
R i = p<br />
Tr<br />
R =<br />
J<br />
8315 kmol K<br />
J m<br />
=<br />
kgK 2 s K<br />
J<br />
kmol K<br />
W kg<br />
Strahlungskonstante C =<br />
m K s K<br />
2<br />
2 4 3 4<br />
Bemerkung, Beispiel, andere<br />
zulässige Einheiten<br />
1 K = 1 °C<br />
t, � Celsius-Temperatur<br />
2 kgm<br />
1 = 1Nm= 1J<br />
2 s<br />
2 kgm<br />
1 = 1Nm= 1J<br />
2 s<br />
= H<br />
h spezifische Enthalpie<br />
m<br />
J<br />
mhK<br />
J<br />
m2hK J<br />
m2hK 1 K = 1 °C<br />
1 K = 1 °C<br />
1 K = 1 °C<br />
M molare Masse<br />
1 kmol = 1 Kilomol<br />
Cs = 5,67 · 10 –8 W<br />
m2 K4<br />
Cs Strahlungskonstante des<br />
schwarzen Körpers<br />
57<br />
2
2<br />
58<br />
Physik<br />
Physikalische Größen, Definitionsgleichungen <strong>und</strong> Einheiten<br />
2.1.3 Elektrotechnik<br />
Größe<br />
elektrische<br />
Stromstärke<br />
elektrische<br />
Spannung<br />
elektrischer<br />
Widerstand<br />
elektrischer<br />
Leitwert<br />
elektrische Ladung<br />
(Elektrizitätsmengen)<br />
Formelzeichen<br />
Definitionsgleichung SI-Einheit<br />
I Basisgröße<br />
U U = � E �s<br />
elektrische Kapazität C = Q<br />
C U<br />
elektrische<br />
Flussdichte<br />
A<br />
(Ampere)<br />
V<br />
(Volt)<br />
Bemerkung, Beispiel,<br />
andere zulässige Einheiten<br />
2 W kgm<br />
1 V = 1 = 1<br />
A 3 sA<br />
W (Watt)<br />
V kgm2<br />
R �� 1 = 1Ω= 1<br />
A sA 3 2<br />
G<br />
Q<br />
1<br />
Ω<br />
C = As<br />
(Coulomb)<br />
F = As<br />
V<br />
(Farad)<br />
C<br />
D D = �0 �r E 2 m<br />
elektrische Feldstärke E E = F<br />
Q<br />
Permittivität (früher<br />
Dielektrizitätskonstante)<br />
�<br />
� = � 0 � r<br />
� 0 elektrische<br />
Feldkonstante<br />
� r Permittivitätszahl<br />
V<br />
m<br />
F A2s4 =<br />
m 3 kgm<br />
2 3<br />
A A s<br />
1 = 1S= 1<br />
V 2 kgm<br />
S (Siemens)<br />
1 As = 1 C<br />
1 Ah = 3600 As<br />
C As A2s4 1F = 1 = 1 = 1<br />
V V 2 kgm<br />
C As<br />
1 = 1<br />
2 2 m m<br />
V kgm<br />
1 = 1<br />
m 3 sA<br />
s s2 C2<br />
1 =<br />
V 3 kgm<br />
QU<br />
2 kgm<br />
elektrische Energie We We =<br />
Ws 1 Nm = 1 J = 1Ws= 1<br />
2<br />
2 s<br />
magnetische<br />
Feldstärke<br />
magnetische<br />
Flussdichte,<br />
Induktion<br />
H H =<br />
2<br />
B B = � H<br />
I A<br />
π r<br />
m<br />
kg<br />
T =<br />
2 sA<br />
T (Tesla)<br />
2 kgm<br />
magnetischer Fluss �� � = � B �A Wb =<br />
2 sA<br />
Induktivität L<br />
Permeabilität ��<br />
= N Φ<br />
L<br />
I<br />
(Windungszahl)<br />
� = � 0 � r<br />
� 0 magnetische<br />
Feldkonstante<br />
� r Permeabilitätszahl<br />
2 kgm<br />
H =<br />
2 2 sA<br />
H (Henry)<br />
H kgm<br />
=<br />
m 2 2 sA<br />
Wb Vs kg<br />
1 = 1 = 1<br />
m2 m2 s2A Vs<br />
T = 1<br />
2 m<br />
Wb (Weber)<br />
2 kgm<br />
1 Wb = 1 Vs = 1<br />
2 sA<br />
2<br />
Vs Wb kgm<br />
1 H = 1 = 1 = 1<br />
A A 2 2 sA<br />
Vs kgm<br />
1 = 1<br />
Am 2 2 sA
2.1.4 Optik<br />
Größe<br />
Formelzeichen<br />
Physik<br />
Allgemeine <strong>und</strong> atomare Konstanten<br />
Name der Einheit SI-Einheit Bemerkung<br />
Lichtstärke I v Candela 1) cd Basisgröße<br />
Beleuchtungsstärke E v Lux lx<br />
Lichtstrom � v Lumen Im 1 Im = 1 cd sr (sr Steradiant)<br />
Lichtmenge Q v Lumen · Sek<strong>und</strong>e Im · s<br />
Lichtausbeute ��<br />
Leuchtdichte L v<br />
Lumen<br />
Watt<br />
Candela<br />
Quadratmeter<br />
1) Farbtemperatur HK/cd cd/HK<br />
Umrechnungsfaktoren von<br />
Candela in Hefnerkerzen (HK)<br />
<strong>und</strong> umgekehrt<br />
2.2 Allgemeine <strong>und</strong> atomare Konstanten<br />
Avogadro-Konstante<br />
Boltzmann-Konstante<br />
elektrische Elementarladung<br />
elektrische Feldkonstante<br />
Faraday-Konstante<br />
Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum<br />
magnetische Feldkonstante<br />
molares Normvolumen idealer Gase<br />
Planck-Konstante<br />
Ruhemasse des Elektrons<br />
Ruhemasse des Protons<br />
Stefan-Boltzmann-Konstante<br />
(universelle) Gaskonstante<br />
Gravitationskonstante<br />
lm<br />
W<br />
cd<br />
2 m<br />
2043 K (Platinpunkt)<br />
2360 K (Wolfram-Vakuum-Lampe)<br />
2750 K (gasgefüllte Wolframlampe)<br />
0,903<br />
0,877<br />
0,861<br />
Bezeichnung Beziehung<br />
N A = 6,0221367 · 10 23 mol –1<br />
k = 1,380658 · 10 –23 J/K<br />
e = 1,60217733 · 10 –19 C<br />
� 0 = 8,854187817 · 10 –12 F/m<br />
F = 96485,309 C/mol<br />
c 0 = 2,99792458 · 10 8 m/s<br />
� 0 = 1,2566370614 · 10 –6 H/m<br />
V mn = 2,24208 · 10 4 cm 3 /mol<br />
h = 6,6260755 · 10 –34 J · s<br />
m e = 9,1093897 · 10 –31 kg<br />
m p = 1,672622 · 10 –27 kg<br />
� = 5,67051 · 10 –8 W/(m 2 · K 4 )<br />
R = 8,314510 J/(mol · K)<br />
1,107<br />
1,140<br />
1,162<br />
G = 6,67259 · 10 –11 m 3 kg –1 s –2<br />
59<br />
2
2<br />
60<br />
Physik<br />
Umrechnungstafel für Leistungseinheiten<br />
2.3 Umrechnungstafel für metrische Längeneinheiten<br />
Einheit<br />
1 pm =<br />
1 Å 1) =<br />
1 nm =<br />
1 �m =<br />
1 mm =<br />
1 cm =<br />
1 dm =<br />
1 m =<br />
1 km =<br />
Picometer<br />
pm<br />
1<br />
10 2<br />
10 3<br />
10 6<br />
10 9<br />
10 10<br />
10 11<br />
10 12<br />
10 15<br />
Angström<br />
1)<br />
�<br />
10 –2<br />
1<br />
10<br />
10 4<br />
10 7<br />
10 8<br />
10 9<br />
10 10<br />
10 13<br />
Nanometer<br />
nm<br />
10 –3<br />
10 –1<br />
1<br />
10 3<br />
10 6<br />
10 7<br />
10 8<br />
10 9<br />
10 12<br />
Mikrometer<br />
�m<br />
10 –6<br />
10 –4<br />
10 –3<br />
1<br />
10 3<br />
10 4<br />
10 5<br />
10 6<br />
10 9<br />
Millimeter<br />
mm<br />
10 –9<br />
10 –7<br />
10 –6<br />
10 –3<br />
1<br />
10<br />
10 2<br />
10 3<br />
10 6<br />
Zentimeter<br />
cm<br />
10 –10<br />
10 –8<br />
10 –7<br />
10 –1<br />
10 –1<br />
1<br />
10<br />
10 2<br />
10 5<br />
Dezimeter<br />
dm<br />
10 –11<br />
10 –9<br />
10 –8<br />
10 –5<br />
10 –2<br />
10 –1<br />
1<br />
10<br />
10 4<br />
Meter<br />
m<br />
10 –12<br />
10 –10<br />
10 –9<br />
10 –6<br />
10 –3<br />
10 –2<br />
10 –1<br />
1<br />
10 3<br />
Kilometer<br />
km<br />
10 –15<br />
10 –13<br />
10 –12<br />
10 –9<br />
10 –6<br />
10 –5<br />
10 –4<br />
10 –3<br />
1<br />
1) Das �ngström ist nicht als Teil des Meters definiert, gehört also nicht zum metrischen System. Es ist benannt<br />
nach dem schwedischen Physiker A. J. Angström (1814 – 1874).<br />
Beachte: Der negative Exponent gibt die Anzahl der Nullen (vor der 1) einschließlich der Null vor dem Komma an,<br />
z.B. 10 –4 = 0,0001; 10 –1 =0,1; 10 –6 = 0,000001. Der positive Exponent gibt die Anzahl der Nullen (nach der 1) an,<br />
z.B. 10 4 = 10000; 10 1 = 10; 10 6 = 1000000.<br />
2.4 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen <strong>und</strong> Teilen von<br />
Gr<strong>und</strong>einheiten oder hergeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen<br />
Vorsatz Kurzzeichen Bedeutung<br />
Tera<br />
Giga<br />
Mega<br />
Kilo<br />
Hekto<br />
Deka<br />
Dezi<br />
Zenti<br />
Milli<br />
Mikro<br />
Nano<br />
Pico<br />
T<br />
G<br />
M<br />
k<br />
h<br />
da<br />
d<br />
c<br />
m<br />
�<br />
n<br />
P<br />
2.5 Umrechnungstafel für Leistungseinheiten<br />
1000000000000 (= 10 12 )<br />
1000000000 (= 10 9 )<br />
1000000 (= 10 6 )<br />
1000 (= 10 3 )<br />
100 (= 10 2 )<br />
10 (= 10 1 )<br />
0,1 (= 10 –1 )<br />
0,01 (= 10 –2 )<br />
0,001 (= 10 –3 )<br />
0,000001 (= 10 –6 )<br />
0,000000001 (= 10 –9 )<br />
0,000000000001 (= 10 –12 )<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheiten<br />
Einheit Nm/s = W kpm/s PS kW kcal/s<br />
1 Nm/s<br />
= 1W =<br />
1 kpm/s =<br />
1 PS =<br />
1 kW =<br />
1 kcal/s =<br />
1<br />
9,80665<br />
735,499<br />
1000<br />
4186,80<br />
0,101972<br />
1<br />
75<br />
101,972<br />
426,935<br />
1,35962 · 10 –3<br />
0,0133333<br />
1<br />
1,35962<br />
5,69246<br />
0,001<br />
9,80665 · 10 –3<br />
0,735499<br />
1<br />
4,18680<br />
2,38846 · 10 –4<br />
2,34228 · 10 –3<br />
0,175671<br />
0,238846<br />
1
Physik<br />
Schalldämmung von Trennwänden<br />
2.6 Schallgeschwindigkeit c, Dichte r <strong>und</strong> Elastizitätsmodul E einiger fester Stoffe<br />
Stoff c in m<br />
s<br />
Aluminium in Stabform<br />
Blei<br />
Stahl in Stabform<br />
Kupfer<br />
Messing<br />
Nickel<br />
Zink<br />
Zinn<br />
Quarzglas<br />
Plexiglas<br />
5 080<br />
1 170<br />
5 120<br />
3 700<br />
3 500<br />
4 780<br />
3 800<br />
2 720<br />
5 360<br />
2 090<br />
r in<br />
kg<br />
m3<br />
2 700<br />
11 400<br />
7 850<br />
8 900<br />
8 100<br />
8 800<br />
7 100<br />
7 300<br />
2 600<br />
1 200<br />
E in<br />
N<br />
m2<br />
7,1 · 10 10<br />
1,6 · 10 10<br />
21 · 10 10<br />
12,5 · 10 10<br />
10 · 10 10<br />
20 · 10 10<br />
10,5 · 10 10<br />
5,5 · 10 10<br />
7,6 · 10 10<br />
0,5 · 10 10<br />
2.7 Schallgeschwindigkeit c <strong>und</strong> Dichte r einiger Flüssigkeiten<br />
Flüssigkeit t in °C c in m<br />
s<br />
Benzol<br />
Petroleum<br />
Quecksilber<br />
Transformatorenöl<br />
Wasser<br />
20<br />
34<br />
20<br />
32,5<br />
20<br />
1 330<br />
1 300<br />
1 450<br />
1 425<br />
1 485<br />
v<br />
r in<br />
kg<br />
m3<br />
878<br />
825<br />
13 595<br />
895<br />
997<br />
2.8 Schallgeschwindigkeit c, Verhältnis � = p c<br />
einiger Gase bei t = 0 °C<br />
c<br />
Helium<br />
Kohlenoxid<br />
Leuchtgas<br />
Luft<br />
Sauerstoff<br />
Wasserstoff<br />
Gas c in m<br />
s<br />
965<br />
338<br />
453<br />
331 (344 bei 20 °C)<br />
316<br />
1 284 (1 306 bei 20 °C)<br />
2.9 Schalldämmung von Trennwänden<br />
Baustoff<br />
Dachpappe<br />
Sperrholz, lackiert<br />
Dickglas<br />
Heraklithwand, verputzt<br />
Vollziegelwand, 1 /4 Stein verputzt<br />
bei 1 /2 Stein<br />
bei 1 /1 Stein<br />
��<br />
1,66<br />
1,4<br />
–<br />
1,402<br />
1,396<br />
1,408<br />
Dicke s<br />
in cm<br />
–<br />
0,5<br />
0,6 ... 0,7<br />
–<br />
9<br />
15<br />
27<br />
Masse m'<br />
in kg/m 2<br />
1<br />
2<br />
16<br />
50<br />
153<br />
228<br />
457<br />
mittlere<br />
Dämmzahl D<br />
in db<br />
13<br />
19<br />
29<br />
38,5<br />
41,5<br />
44<br />
49,5<br />
61<br />
2
2<br />
62<br />
Physik<br />
Brechzahlen n für den Übergang des Lichtes aus dem Vakuum in optische Mittel<br />
2.10 Elektromagnetisches Spektrum<br />
2.11 Brechzahlen n für den Übergang des Lichtes aus dem Vakuum in optische Mittel 1)<br />
(durchsichtige Stoffe)<br />
Luft<br />
Wasser<br />
Acrylglas (Plexiglas)<br />
Kronglas 2)<br />
Flintglas 2)<br />
Kanadabalsam<br />
1,000 293 � 1<br />
1,33<br />
1,49<br />
1,48 ... 1,57<br />
1,56 ... 1,9<br />
1,54<br />
Kalkspat (ao Strahl)<br />
Kalkspat (o Strahl)<br />
Steinsalz<br />
Saphir<br />
Diamant<br />
Schwefelkohlenstoff<br />
1) Das optisch dichtere (dünnere) Mittel ist das mit der größeren (kleineren) Brechzahl.<br />
2) Kronglas ist Glas mit geringer, Flintglas mit hoher Farbzerstreuung (Dispersion).<br />
1,49<br />
1,66<br />
1,54<br />
1,76<br />
2,4<br />
1,63
3.1 Atombau <strong>und</strong> Periodensystem<br />
Elementar-<br />
Teilchen<br />
(beständige)<br />
Atomkern<br />
Ordnungszahl<br />
Massenzahl<br />
relative<br />
Atommasse A r<br />
(Atomgewicht)<br />
atomare<br />
Masseneinheit u<br />
Isotope<br />
Reinelemente<br />
Mischelemente<br />
Name Symbol Masse in g<br />
Proton<br />
Neutron<br />
Elektron<br />
p<br />
n<br />
e –<br />
1,673 · 10 –24<br />
1,675 · 10 –24<br />
9,109 · 10 –28<br />
Chemie<br />
Atombau <strong>und</strong> Periodensystem<br />
Relative Masse als<br />
Vielfaches der atomaren<br />
Masseneinheit u<br />
1,00728<br />
1,00867<br />
0,00054<br />
Ladung in<br />
As<br />
�1,6 · 10 –19<br />
0<br />
–1,6 · 10 –19<br />
Kugelähnliches Gebilde aus Nukleonen, das sind schwere Elementarteilchen<br />
(Protonen <strong>und</strong> Neutronen).<br />
Das Verhältnis von Protonen <strong>und</strong> Neutronen in einem Kern ist nicht<br />
konstant. Kerndurchmesser etwa 10 –14 m.<br />
gibt die Stellung des Elementes im Periodischen System an:<br />
Ordnungszahl = Protonenzahl = Elektronenzahl.<br />
gibt die Anzahl der schweren Kernteilchen, d.h. der Protonen <strong>und</strong><br />
Neutronen an.<br />
Verhältniszahl, Vielfaches der atomaren Masseneinheit u.<br />
ist der 12te Teil der Masse eines Atoms des Nuklids 12 C (Kohlenstoffisotop<br />
mit der Massenzahl 12). u = 1,66 · 10 –24 g.<br />
Atomarten (Nuklide) gleicher Protonenzahl = Kernladungszahl, aber<br />
unterschiedlicher Neutronenzahl, damit auch verschiedener Massenzahl.<br />
Chemische Elemente, die nur aus einem Nuklid bestehen, es sind<br />
etwa 22.<br />
Chemische Elemente, die aus verschiedenen Nukliden bestehen (Mischungen<br />
aus zwei oder mehr Nukliden).<br />
Chlor besteht zu 75,53 % aus 35<br />
17Cl <strong>und</strong> 24,47 % aus 35<br />
17Cl . Daraus<br />
errechnet sich die relative Atommasse zu 35,45.<br />
63<br />
3
3<br />
64<br />
Chemie<br />
Atombau <strong>und</strong> Periodensystem<br />
Periodensystem der Elemente
Periodensystem der Elemente<br />
Chemie<br />
Atombau <strong>und</strong> Periodensystem<br />
65<br />
3
3<br />
66<br />
Chemie<br />
Atombau <strong>und</strong> Periodensystem<br />
Periode<br />
Gruppe<br />
Elektronenhülle<br />
Orbital<br />
Hauptquantenzahl n<br />
Nebenquantenzahl l<br />
Magnetquantenzahl m<br />
Spinquantenzahl s<br />
Pauli-Prinzip<br />
H<strong>und</strong>’sche Regel<br />
Waagerechte Zeile im Periodischen System der Elemente. Die Periodennummer<br />
entspricht der Anzahl der besetzten Elektronenschalen.<br />
Beispiel: Die 18 Elemente der Periode 4 haben eine angefangene<br />
Außenschale 4, die beim letzten Element dieser Periode, dem Krypton<br />
36Kr mit 8 Elektronen besetzt ist.<br />
Senkrechte Spalte im Periodensystem. Die Gruppennummer entspricht<br />
der Anzahl der energiereichsten Elektronen (Valenzelektronen).<br />
Aufenthaltsbereich der Elektronen. Sie geben im Gr<strong>und</strong>zustand des<br />
Atoms keine Energie ab. Beschreibung des Energiezustandes eines<br />
Elektrons durch die Quantenzahlen.<br />
Unterteilung der Elektronenhülle in Ladungswolken. Jeder Orbital<br />
kann höchstens 2 Elektronen aufnehmen, die sich durch einen antiparallelen<br />
Spin unterscheiden.<br />
kennzeichnet den Abstand des Orbitals vom Kern. Sie hat die Beträge<br />
1... 7 vom Kern nach außen gezählt.<br />
kennzeichnet die Form des Orbitals mit den Buchstaben s, p, d <strong>und</strong> f.<br />
l liegt zwischen 0 <strong>und</strong> (n – 1).<br />
kennzeichnet die Lage des Orbitals im Raum. m ist ganzzahlig <strong>und</strong><br />
liegt zwischen – l <strong>und</strong> � l einschließlich der Null.<br />
kennzeichnet die Richtung des Spins, vorstellbar als Eigendrehung<br />
des Elektrons. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten: Parallel <strong>und</strong> antiparallel.<br />
s hat die Beträge � 1/2 oder – 1/2.<br />
In der Elektronenhülle eines Atoms treten niemals zwei Elektronen<br />
des gleichen Energiezustandes auf, d. h. sie stimmen niemals in allen<br />
vier Quantenzahlen überein.<br />
In der Elektronenhülle eines Atoms besitzen die Elektronen von den<br />
möglichen Zuständen die jeweils energieärmsten. Orbitale mit gleicher<br />
Haupt- <strong>und</strong> Nebenquantenzahl werden deshalb zunächst einfach<br />
besetzt. Erst nach der Einfachbesetzung aller dieser Orbitale werden<br />
sie durch ein zweites Elektron mit antiparallelem Spin aufgefüllt.
Besetzung der Hauptniveaus mit Elektronen<br />
Hauptquantenzahl 1 2 3 4 5 6 7<br />
Bezeichnung des Hauptniveaus K L M N O P Q<br />
Anzahl der möglichen Nebenniveaus 1 2 3 4 5 6 7<br />
Bezeichnung dieser Niveaus 1s 2s<br />
2p<br />
Max. Elektronenbesetzung des<br />
Haupt- Niveaus Z max = 2n 2<br />
Maximale Besetzung der Nebenniveaus<br />
3s<br />
3p<br />
3d<br />
Nebenquantenzahl 0 1 2 3<br />
Bezeichnung des Nebennivaus s p d f<br />
Max. Anzahl der Orbitale 1 3 5 7<br />
Max. Anzahl der Elektronen 2 6 10 14<br />
4s<br />
4p<br />
4d<br />
4ff<br />
5s<br />
5p<br />
5d<br />
5f<br />
6s<br />
6p<br />
6d<br />
–<br />
7s<br />
–<br />
–<br />
–<br />
2 8 18 32 (50) – –<br />
⇐<br />
Chemie<br />
Metalle<br />
Striche in dieser Zeile<br />
geben an, dass bei natürlichen<br />
<strong>und</strong> künstlichen<br />
Atomen im Gr<strong>und</strong>zustand<br />
diese Energieniveaus<br />
noch nicht beobachtet<br />
wurden.<br />
Beispiel für die Beschreibung der Elektronenkonfiguration,<br />
Element Nr. 15 P, Phosphor mit insgesamt<br />
15 Elektronen: 1s 2 ; 2s 2 ; 2p 6 ; 3s 2 , 3p 3<br />
Symbolische Darstellung für P, Phosphor 15 � �� �� �� �� �� �� � � �<br />
3.2 Metalle<br />
1s 2s 2p 3s 3p<br />
Einfach besetzt<br />
Element Symbol<br />
Ordnungszahl<br />
Rel. Atommasse<br />
Häufigste<br />
Isotope<br />
Oxidations-<br />
Zahlen 1) �<br />
Dichte r<br />
g/cm33) Schmelz-Pkt. °C<br />
Alkalimetalle 1) häufigste h'fett gedruckt<br />
Lithium<br />
Li<br />
3 6,94<br />
7 1<br />
0,53<br />
180<br />
Natrium<br />
Na<br />
11 22,99 23 1<br />
0,97<br />
98<br />
Kalium<br />
K<br />
19 39,1<br />
39 1<br />
0,86<br />
64<br />
Rubidium Rb<br />
37 85,48 85 1<br />
1,53<br />
39<br />
Cäsium<br />
Erdalkalimetalle<br />
Cs<br />
55 132,91 133 1<br />
1,90<br />
28<br />
Beryllium Be<br />
4 9,01 9 2<br />
1,85 1280<br />
Magnesium Mg<br />
12 24,32 24 2<br />
1,74<br />
650<br />
Calcium<br />
Ca<br />
20 40,08 40 2<br />
1,55<br />
840<br />
Strontium Sr<br />
38 87,63 88 2<br />
2,63<br />
770<br />
Barium<br />
Erdmetalle<br />
Ba<br />
56 137,36 138 2<br />
3,65<br />
725<br />
Aluminium AI<br />
13 26,98 27 3<br />
2,70<br />
660<br />
Scandium Sc<br />
21 44,96 45 3<br />
2,99 1540<br />
Yttrium<br />
Y<br />
39 88,91 89 3<br />
4,47 1520<br />
Lanthan<br />
La<br />
57 138,92 139 3<br />
6,16<br />
920<br />
Seltene Erden (Lanthanoiden)<br />
Cer<br />
Ce<br />
58 140,13 140 4,3 6,77<br />
798<br />
Praseodym Pr<br />
59 140,92 141 4,3 6,43<br />
931<br />
Neodym<br />
Nd<br />
60 144,27 142 3<br />
7,00 1010<br />
Promethium Pm<br />
61 147<br />
145 3<br />
7,229 1080<br />
Samarium Sm<br />
62 150,35 152 3,2 7,54 1072<br />
Europium Eu<br />
63 152<br />
153 3,2 5,25<br />
822<br />
Gadolinum Gd<br />
64 157,26 158 3<br />
7,90 1312<br />
Terbium<br />
Tb<br />
65 158,93 159 4,3 8,25 1360<br />
Dysprosium Dy<br />
66 162,51 164 3<br />
8,56 1409<br />
Holmium Ho<br />
67 164,94 165 3<br />
8,78 1470<br />
Erbium<br />
Er<br />
68 167,27 166 3<br />
9,05 1522<br />
Thulium<br />
Tm<br />
69 168,94 169 3,2 9,32 1545<br />
Ytterbium Yb<br />
70 173,04 174 3,2 6,97<br />
824<br />
Lutetium<br />
Lu<br />
71 174,99 175 3<br />
9,84 1656<br />
67<br />
3
3<br />
68<br />
Chemie<br />
Metalle<br />
Element<br />
Symbol<br />
OZ KG<br />
Gitterkonstante1)<br />
a pm<br />
Radien<br />
pm 2)<br />
Atom / Ion<br />
Dichte<br />
r 3)<br />
kg/dm 3<br />
Schmelzpunkt<br />
T m<br />
°C 6)<br />
Leitfähigkeit für<br />
Strom 4) Wärme<br />
m/mm 2 � W/mK<br />
Wärmeausdehnung<br />
� 5)<br />
E.-<br />
Modul<br />
GPa<br />
Leichtmetalle (nach Dichte geordnet)<br />
Magnesium Mg 12 hdP 320/1,62 160/78 (2) 1,74 650 22,4 156 25,8 44<br />
Beryllium Be 4 hdP 229/1,57 113/34 (2) 1,85 1280 23,8 204 11 293<br />
Aluminium AI 13 kfz. 404 143/57 (3) 2,7 (660,323) 37,7 236 23,9 72<br />
Titan Siehe unter „höchstschmelzende Metalle“ 4,51<br />
Niedrigschmelzende Schwermetalle<br />
Gallium Ga 31 rhomb. 452 122/62 (3) 5,90 30 7,3 — — —<br />
Indium In 49 tetr 325/1,52 163/92 (3) 7,30 156 12,2 82 33 —<br />
Zinn � -Sn<br />
Sn 50<br />
diam 13°C � -Sn<br />
tetr.<br />
141/74 (4) 7,28 (231,982) 9,9 66 26,7 55<br />
Wismut Bi 83 hex 455/2,61 155/96 (3) 9,80 271 0,93 8 13,4 34<br />
Cadmium Cd 48 hdP 298/1,88 149/114 (2) 8,64 321 14 95 29,7 63<br />
Blei Pb 82 kfz. 495 175/132 (2) 11,35 327 5,2 35 29,2 16<br />
Zink Zn 30 hdP 266/1,86 133/83 (2) 7,13 (429,527) 18 112 21,1 9<br />
Antimon Sb 51 hex 431/2,61 145/89 (3) 6,69 630 3 24 10,9 56<br />
Hochschmelzende Metalle<br />
Germanium Ge 32 kfz 566 123/53 (4) 5,32 936 2,21 10 –2 63 — —<br />
Kupfer Cu 29 kfz 361 128/72 (2) 8,93 (1084,62) 64 398 16,5 125<br />
Mangan Mn 25 kub 376 112/91 (2) 7,44 1245 n.b. 7,8 22,8 201<br />
Nickel Ni 28 kfz 352 124/78 (2) 8,91 1450 16,3 85 13,0 215<br />
Cobalt � -Co Co 27 hdP 250/1,62 153/82 (2) 8,89 1490 13,8 101 18,1 213<br />
>417°C ��-Co<br />
kfz 355<br />
Eisen � -Fe Fe 26 krz 287 124/67 (3) 7,85 1535 12 75 11,9 215<br />
>912°C ��-Fe<br />
kfz 365 127<br />
Höchstschmelzende Metalle<br />
Titan � -Ti Ti 22 hdP 295/1,59 148/61 (4) 4,51 1668 2,3 22 9,0 105<br />
>882°C � -Ti<br />
krz 332<br />
Zirkon � -Zr Zr 40 tetr. 323/1,59 162/87 (4) 6,53 1855 2,5 22,7 6,3 90<br />
>852°C � -Zr<br />
krz 361<br />
Vanadium V 23 krz 302 131/59 (5) 5,96 1900 5 30,7 n.b. 150<br />
Chrom Cr 24 krz 288 * 150/64 (3) 7,19 1860 6,6 94 8,4 190<br />
Niob Nb 41 krz 329 142/69 (5) 8,58 2470 — 54 7,4 160<br />
Molybdän Mo 42 krz 315 136/62 (6) 10,22 2620 20 135 5,2 330<br />
Tantal Ta 73 krz 330 143/64 (5) 16,68 3000 8 56 6,5 188<br />
Wolfram<br />
Edelmetalle<br />
W 74 krz 317 137/62 (6) 19,26 3400 20 173 4,5 400<br />
Quecksilber Hg 80 — 160/112 (2) 13,55 (–38,83) 1 — 9,5 —<br />
Silber Ag 47 kfz 409 145/113 (1) 10,5 (961,78) 66 428 19,7 81<br />
Gold Au 79 kfz 408 144/137 (1) 19,32 (1064,18) 49 318 14,2 79<br />
Palladium Pd 46 kfz n.b. 138/86 (2) 12,02 1550 10,2 72 11,8 —<br />
Platin Pt 78 kfz 392 139/85 (2) 21,45 1770 10 72 9,1 173<br />
Rhodium Rh 45 kfz 379 134/75 (3) 12,41 1970 23 150 8 280<br />
Hafnium Hf 72 hdP n.b. 156/84 (4) 13,31 2230 3,8 — — —<br />
Ruthenium Ru 44 hdP n.b. 134/77 (3) 12,40 2310 15 117 10 —<br />
Iridium Ir 77 kfz 384 136/66 (4) 22,65 2450 21 147 6,5 530<br />
Osmium Os 76 hdP 273/1,58 135/67 (4) 22,61 3040 11 88 7 570<br />
Rhenium Re 75 kfz 380 137/72 (4) 21,03 3180 — — — —<br />
1) Bei hexagonalen (tetr.) Metallen ist das Verhältnis der senkrechten Konstante c/a angegeben;<br />
2) In Klammern die zugehörige, häufigste Oxidationszahl der Ionen;<br />
3) bei 20 °C;<br />
4) bei 0 °C = 273 K;<br />
5) Bereich 0…100 °C, Werte mit 10 –6 multiplizieren !;<br />
6) Klammerwerte nach der IST-90 (Internationale Temperatur Skala)
3.3 Nichtmetalle<br />
Element Symbol Ordnungszahl<br />
Edelgase<br />
Helium<br />
Neon<br />
Argon<br />
Krypton<br />
Xenon<br />
Radon<br />
Halogene<br />
Fluor<br />
Chlor<br />
Brom<br />
Jod<br />
Astat<br />
Gase<br />
Wasserstoff<br />
Stickstoff<br />
Sauerstoff<br />
He<br />
Ne<br />
Ar<br />
Kr<br />
Xe<br />
Rn<br />
F<br />
Cl<br />
Br<br />
J<br />
H<br />
N<br />
O<br />
2<br />
10<br />
18<br />
36<br />
54<br />
86<br />
9<br />
17<br />
35<br />
53<br />
85<br />
1<br />
7<br />
8<br />
Rel. Atommasse<br />
4,00<br />
20,18<br />
39,95<br />
83,80<br />
131,30<br />
222<br />
19<br />
35,45<br />
79,90<br />
126,90<br />
210<br />
1,008<br />
14,007<br />
16,00<br />
Bekannte<br />
Isotope<br />
2<br />
3<br />
3<br />
6<br />
9<br />
3<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
—<br />
3<br />
2<br />
1<br />
Häufigste<br />
Isotope<br />
4<br />
20<br />
40<br />
84<br />
132<br />
—<br />
19<br />
35<br />
79<br />
127<br />
—<br />
1<br />
14<br />
16<br />
Dichte r bei 20 °C<br />
Gasein g/l<br />
1,17<br />
0,84<br />
1,66<br />
3,48<br />
4,49<br />
9,23<br />
1,58<br />
2,95<br />
3,14 g/cm 3<br />
4,44 g/cm 3<br />
—<br />
0,084<br />
1,17<br />
1,33<br />
Feste Nichtmetalle Dichte in g/cm 3<br />
Arsen<br />
Bor<br />
Kohlenstoff<br />
Phosphor<br />
Schwefel<br />
Selen<br />
Silicium<br />
Tellur<br />
As<br />
B<br />
C<br />
P<br />
S<br />
Se<br />
Si<br />
Te<br />
33<br />
5<br />
6<br />
15<br />
16<br />
34<br />
14<br />
52<br />
3.4 Elektronegativität<br />
Elektronegativitätsskala (Pauling)<br />
74,92<br />
10,81<br />
12,01<br />
30,97<br />
32,06<br />
78,96<br />
28,09<br />
127,60<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
4<br />
6<br />
3<br />
8<br />
75<br />
11<br />
12<br />
31<br />
32<br />
80<br />
28<br />
130<br />
5,72<br />
2,3<br />
3,51<br />
2,20 (rot)<br />
2,06<br />
4,81<br />
2,33<br />
6,24<br />
Chemie<br />
Elektronegativität<br />
Oxidationszahlen<br />
(wichtigste h`fett)<br />
1, – 1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
0-wertig<br />
7, 5, 3, 1, – 1<br />
1, – 1<br />
5, 4, 3, 2, – 3<br />
–2, –1<br />
5, 3, – 3<br />
3<br />
4, 2, – 4<br />
5, 3, – 3<br />
6, 4, 2, – 2<br />
6, 4, – 2<br />
4, 2, – 4<br />
6, 4, 2, – 2<br />
Nichtmetalle sind elektronegative<br />
Elemente. Sie ziehen<br />
Elektronen an <strong>und</strong> bilden dann<br />
negativ geladene Ionen (Anionen).<br />
Der Grad der Anziehung, die<br />
so genannte Elektronegativität,<br />
wird nach einer Skala mit<br />
empirischen Zahlen bewertet.<br />
Danach ist Fluor das Element<br />
mit der stärksten Anziehung<br />
für Elektronen, während das<br />
Cäsium das elektropositivste<br />
Metall ist.<br />
69<br />
3
3<br />
70<br />
Chemie<br />
Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe<br />
3.5 Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe<br />
Metallbindung<br />
Ionenbindung<br />
heteropolare,<br />
elektrovalente Bindung<br />
Bindungspartner Metallatome Metallatome �<br />
Nichtmetallatome<br />
Elektronegativität<br />
der Partner<br />
Änderung in der<br />
Elektronenhülle<br />
Richtung der Bindung<br />
Struktur <strong>und</strong> Art<br />
der Teilchen<br />
Eigenschaften der<br />
entstehenden Stoffe<br />
elektropositive<br />
Elemente<br />
Abgabe der Valenzelektronen,<br />
nicht lokalisierte<br />
Elektronen �<br />
„Elektronengas“<br />
Bindungskräfte<br />
allseitig<br />
Metallgitter aus<br />
gleichen Gitterbausteinen<br />
von platzwechselndenElektronenzusammengehalten<br />
elektrische Leiter<br />
I. Klasse, plastischeVerformbarkeit<br />
in kaltem Zustand<br />
Beispiele Metalle <strong>und</strong> Legierungen<br />
Polarisierte Atombindung<br />
Elemente mit unterschiedlicherElektronegativität<br />
Übergang der Valenzelektronen<br />
zum<br />
Anion, lokalisierte Elektronen<br />
� Ionenbildung<br />
Bindungskräfte<br />
allseitig<br />
Ionengitter aus Kationen<br />
<strong>und</strong> Anionen mit starken<br />
elektrostatischen Kräften<br />
zusammengehalten<br />
elektrische Leiter<br />
II. Klasse (Ionenleiter),<br />
keine plastische Verformbarkeit<br />
in kaltem<br />
Zustand, hohe Schmelz-<br />
<strong>und</strong> Siedepunkte<br />
Metalloxide, -hydroxide,<br />
Salze<br />
Nichtmetallatome<br />
Atombindung<br />
homöopolare, kovalente Bindung<br />
Elemente mit gleicher oder gering unterschiedlicher<br />
Elektronegativität<br />
Elektronenpaarbildung durch Überlappung einfach<br />
besetzter Orbitale, lokalisierte Elektronen � Molekülbildung<br />
Bindungskräfte gerichtet<br />
Moleküle bestimmter<br />
räumlicher Gestalt<br />
bilden Molekülgitter mit<br />
schwachen zwischenmolekularen<br />
Kräften<br />
Nichtleiter, niedrige<br />
Schmelz- <strong>und</strong> Siedepunkte,<br />
z.T. Gase<br />
Elementare Gase (außer<br />
Edelgase), Kohlenstoffverbindungen<br />
Sonderfall, Gruppe IV<br />
(PSE)<br />
Atomgitter mit Elektronenpaarbindung<br />
nach 4 Richtungen<br />
� Diamantgitter<br />
Halbleiter (evtl. durch Erwärmung),<br />
hohe Härte <strong>und</strong><br />
Schmelzpunkte, keine plastische<br />
Verformbarkeit im<br />
kalten Zustand<br />
Diamant, Quarz SiO 2,<br />
Siliciumcarbid SiC,<br />
Borcarbid B 4C<br />
Atombindung zwischen Nichtmetallen mit unterschiedlicher Elektronegativität. Das bindende Elektronenpaar<br />
verlagert sich zum negativeren Partner.<br />
Beispiel: H = 2,1; Cl = 3,0; Chlorwasserstoff HCl<br />
+ � – �<br />
H – Cl Folge: + H – Cl –<br />
Ladung �� 0,2 · e – Dipol<br />
Die polarisierte Atombindung ist als fließender Übergang zwischen den reinen Formen der Atombindung<br />
(Nichtmetallatome gleicher Elektronegativität) <strong>und</strong> der Ionenbindung (Metall- mit Nichtmetallatom)<br />
zu betrachten.
Dipol<br />
stöchiometrische<br />
Wertigkeit<br />
Ionenwertigkeit<br />
Ladungszahl<br />
Bindigkeit,<br />
Bindungswertigkeit<br />
Oxydationszahl<br />
Chemie<br />
Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe<br />
Molekül mit polarisierter Atombindung, bei dem die Schwerpunkte der<br />
Ladung beider Teilchen nicht zusammenfallen, so dass das Molekül<br />
ein positives <strong>und</strong> negatives Ende besitzt.<br />
Wichtige Dipole: Wasser H 2O, Ammoniak NH 3 (flüssig)<br />
Fluorwasserstoff HF (flüssig).<br />
Dipole haben hohe Dielektrizitätskonstante <strong>und</strong> sind dadurch Lösungsmittel<br />
für Ionenverbindungen.<br />
Die beiden Enden eines Dipolmoleküls wirken auf Ionen anziehend<br />
bzw. abstoßend. Dadurch umgeben sich Ionen mit einer Hülle von<br />
Dipolen, welche die elektrostatische Anziehung der Ionen verringern.<br />
Dadurch entstehen die freibeweglichen Ionen in z.B. Lösungen des<br />
Wassers � elektrolytische Dissoziation, 3.15.<br />
Ganzzahlige Angabe über das Verhältnis, mit dem Atome oder -gruppen<br />
das Wasserstoffatom binden oder ersetzen können. Neben dem einwertigen<br />
Wasserstoff H kann auch der zweiwertige Sauerstoff O als<br />
Bezugsgröße dienen.<br />
Ganzzahlige Angabe mit Vorzeichen; kennzeichnet die Anzahl der<br />
aufgenommenen Elektronen (Minus-Zeichen) oder der abgegebenen<br />
Elektronen (Pluszeichen).<br />
Der Betrag der Ionenwertigkeit stimmt mit der stöchiometrischen Wertigkeit<br />
überein.<br />
Beispiel: Schwefelsäure H 2SO 4: der Säurerest (SO 4) 2– hat die Ladungszahl<br />
– 2 <strong>und</strong> die stöchiometrische Wertigkeit 2.<br />
Ganzzahlige Angabe; kennzeichnet die Anzahl der Elektronen, die<br />
das Atom mit seinen Partnern gemeinsam besitzt. Bindigkeit <strong>und</strong> Wertigkeit<br />
stimmen nicht immer überein!<br />
Beispiel C-Atome:<br />
Methan CH 4: Wertigkeit 4 Bindigkeit 4<br />
Äthen C 2H 4: Wertigkeit 2 Bindigkeit 4<br />
Bindigkeit mit Hilfe der Elektronenformeln oder Strukturformeln erklärbar.<br />
H H<br />
C�C H H<br />
H H<br />
.. ..<br />
C :: C<br />
.. ..<br />
H H<br />
Strukturformel Elektronenformel<br />
Rechengröße zur Erfassung von Redoxreaktionen. Die Oxydationszahl<br />
ist die gedachte Ladung eines Elementes in einer chemischen<br />
Verbindung unter der Annahme, sie würde aus Ionen bestehen (auch<br />
wenn es eine Atombindung ist).<br />
Dabei sind folgende Regeln der Reihe nach anzuwenden:<br />
1. Alle Metalle sowie Bor <strong>und</strong> Silicium erhalten positive Oxydationszahlen.<br />
2. Fluor, als elektronegativstes Element erhält – 1.<br />
3. Wasserstoff erhält � 1 <strong>und</strong> Sauerstoff – 2, soweit nicht bereits<br />
durch Anwendung von Regel 1 <strong>und</strong> 2 andere Zahlen festliegen.<br />
71<br />
3
3<br />
72<br />
Chemie<br />
Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe<br />
Koordinationszahl<br />
Mit Hilfe der Oxydationszahlen können Reaktionsgleichungen nachgeprüft<br />
werden unter Beachtung folgender Gr<strong>und</strong>sätze: Alle Elemente,<br />
auch die elementaren Gase, haben die Oxydationszahl Null.<br />
Bei einer chemischen Verbindung ist die Summe aller Oxydationszahlen<br />
gleich Null.<br />
Beispiel: Oxydationszahlen des Schwefels<br />
+ 1<br />
H2S für Schwefelwasserstoff ergibt sich – 2<br />
2<br />
SO2<br />
−<br />
2 −<br />
SO<br />
3<br />
für Schwefeldioxid ergibt sich � 4<br />
für Schwefeltrioxid ergibt sich � 6<br />
Bei einem Ion ist die Summe der Oxydationszahlen gleich der Ionenwertigkeit<br />
(Ladungszahl).<br />
Beispiel: Oxydationszahl des Stickstoffs im Nitrat-Ion, Ladung – 1.<br />
2<br />
−1<br />
⎡ − ⎤<br />
NO3<br />
⎣ ⎦ für Stickstoff ergibt sich � 5.<br />
Bei einer Reaktionsgleichung muss die Summe der Oxydationszahlen<br />
auf beiden Seiten gleich groß sein. Dabei können die Oxydationszahlen<br />
von Elementen, die sich nicht ändern, fortgelassen werden. Es müssen<br />
jedoch die Koeffizienten <strong>und</strong> Multiplikatoren berücksichtigt werden.<br />
Beispiel: Aluminothermische Reduktion von Silicium<br />
Vergleich der 0-Zahlen links <strong>und</strong><br />
rechts lässt auf fehlende Koeffizienten<br />
schließen.<br />
Probe auf Gleichheit der Massen<br />
ergibt restliche Koeffizienten.<br />
Reaktionsgleichung<br />
Angabe über die Zahl der unmittelbaren Nachbarteilchen in Raumgittern<br />
<strong>und</strong> Komplex-Ionen. Sie lässt einen Schluss auf die Struktur <strong>und</strong><br />
den Modellkörper zu, den das Teilchen mit diesen Nachbarn bildet.<br />
Koordinationszahl<br />
4<br />
6<br />
8<br />
12<br />
12<br />
Modellkörper Raumgitterstruktur,<br />
Beispiel<br />
Tetraeder Diamantgitter<br />
Oktaeder kubisch-einfach, Kochsalzgitter<br />
Würfel kubisch-raumzentriert, �-Eisen<br />
Würfel kubisch-flächenzentriert, �-Eisen, Blei<br />
hexagonales hexagonal-dichteste Packung,<br />
Prisma Zink, Magnesium<br />
Bei Komplex-Ionen gibt die Koordinationszahl an, wie viele Liganden<br />
(Ionen oder Moleküle) um das so genannte Zentralion angeordnet<br />
sind. Es sind alle Zahlen von 2…8 möglich, häufig sind die geraden<br />
Koordinationszahlen.<br />
Beispiel: Natriumhexafluoraluminat, Na 3 (AlF 6). Als Kryolith für die Al-<br />
Schmelzflusselektrolyse ein wichtiges Flussmittel.<br />
+ 3−<br />
3Na + (AlF 6)<br />
Im Anion ist das AI von 6 Fluorionen umgeben. Aus<br />
+3 -1 den Oxydationszahlen errechnet sich die dreifach<br />
AlF negative Ladung des Ions.<br />
6<br />
Komplex-Ionen haben einen räumlichen Bau, der durch die in der<br />
Tafel angegebenen Modellkörper beschrieben wird.
3.6 Systematische Benennunganorganischer<br />
Verbindungen<br />
allgemeine Regeln<br />
Metallverbindungen<br />
Verbindungen von zwei<br />
Nichtmetallen<br />
1 mon(o)<br />
2 di<br />
3 tri<br />
4 tetr(a)<br />
5 pent(a)<br />
6 hex(a)<br />
7 hept(a)<br />
Hydroxide<br />
Säuren<br />
Chemie<br />
Systematische Benennung anorganischer Verbindungen<br />
Gr<strong>und</strong>sätzlich wird der Name des elektropositiveren Elementes (Metall)<br />
an erster Stelle (meist unverändert) genannt. Daran wird der Name<br />
des elektronegativeren Elementes (oder Gruppe) mit einer Endung<br />
angehängt.<br />
Bei Verbindungen aus zwei Elementen heißt die Endung – id.<br />
Die Reihenfolge der Benennung wird durch die Elektronegativitätsskala<br />
nach Pauling geregelt.<br />
K Na Ba Li Ca Mg AI Zn Si H P C S N Cl O F<br />
0,8 0,9 1,0 1,2 1,5 1,7 1,8 2,1 2,1 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 4,0<br />
�elektropositiver elektronegativer�<br />
Verbindungen von Name Verbindungen von Name<br />
Wasserstoff<br />
Fluor<br />
Chlor<br />
Brom<br />
Jod<br />
-hydrid<br />
-fluorid<br />
-chlorid<br />
-bromid<br />
-jodid<br />
Sauerstoff<br />
Schwefel<br />
Stickstoff<br />
Kohlenstoff<br />
Phosphor<br />
-oxid<br />
-sulfid<br />
-nitrid<br />
-carbid<br />
-phosphid<br />
Wenn mehrere Verbindungen des Metalls mit einem Element (oder<br />
Gruppe) existieren, wird zur eindeutigen Kennzeichnung die Oxydationsstufe<br />
des Metalles zwischen die beiden Teile gesetzt:<br />
Beispiele:<br />
FeO Eisen(II)-oxid Fe 2O 3 Eisen(III)-oxid<br />
Fe 3O 4 Eisen(II,III)-oxid, dagegen nur<br />
Al 2O 3 Aluminiumoxid (kein weiteres Oxid bekannt)<br />
Wenn mehrere Verbindungen zwischen beiden Elementen existieren,<br />
wird zur eindeutigen Kennzeichnung zu einem oder auch zu beiden<br />
Teilen ein griechisches Zahlwort hinzugefügt.<br />
Gr<strong>und</strong>satz: Nur so viel Zahlworte, als zur zweifelsfreien Bezeichnung<br />
erforderlich! Für das elektropositivere Element entfällt das Zahlwort<br />
„mono“.<br />
Beispiele:<br />
CO Kohlenmonoxid CO 2 Kohlendioxid<br />
SO 2 Schwefeldioxid SO 3 Schwefeltrioxid<br />
N 2O Distickstoffoxid<br />
N 2O 4 Distickstofftetroxid<br />
Namen werden aus dem Metall (evtl. unter Angabe der Oxydationsstufe)<br />
<strong>und</strong> der Hydroxidgruppe (OH) gebildet. Die Zahl der OH-Gruppen<br />
wird nicht angegeben.<br />
Beispiele:<br />
Fe(OH) 2 Eisen(II)-hydroxid<br />
Fe(OH) 3 Eisen(IlI)-hydroxid, dagegen:<br />
Al (OH) 3 Aluminiumhydroxid (kein weiteres bekannt)<br />
Keine systematische Benennung. Es werden Trivialnamen (gewerbliche<br />
Bezeichnungen) verwendet.<br />
73<br />
3
3<br />
74<br />
Chemie<br />
Systematische Benennung organischer Verbindungen<br />
Salze<br />
3.7 Systematische Benennung<br />
von Säuren<br />
<strong>und</strong> Säureresten<br />
3.8 Systematische Benennungorganischer<br />
Verbindungen<br />
Stammname<br />
Salznamen werden aus dem Metall (evtl. unter Angabe der Oxydationsstufe)<br />
<strong>und</strong> dem Namen des Säurerestes gebildet. Saure Salze, die<br />
noch Säurewasserstoff enthalten, werden durch ein zwischengeschaltetes<br />
-hydrogen- gekennzeichnet (siehe Tabelle).<br />
Säure Formel Säurerest Ladung Salzname<br />
Fluorwasserstoffsäure<br />
Flusssäure<br />
Chlorwasserstoffsäure<br />
Salzsäure<br />
Bromwasserstoffsäure<br />
Jodwasserstoffsäure<br />
Schwefelwasserstoffsäure<br />
Cyanwasserstoffsäure<br />
Blausäure<br />
chlorige Säure<br />
Chlorsäure<br />
Perchlorsäure<br />
Cyansäure<br />
Kieselsäure<br />
Kohlensäure<br />
Phosphorsäure<br />
salpetrige Säure<br />
Salpetersäure<br />
HF<br />
HCI<br />
HBr<br />
HJ<br />
H 2S<br />
HCN<br />
HCIO 2<br />
HClO 3<br />
HClO 4<br />
HOCN<br />
H 2SiO 3<br />
H 2CO 3<br />
H 3PO 4<br />
HNO 2<br />
HNO 3<br />
F<br />
Cl<br />
Br<br />
J<br />
S<br />
CN<br />
ClO 2<br />
CIO 3<br />
CIO 4<br />
OCN<br />
SIO 3<br />
CO 3<br />
HCO 3<br />
PO 4<br />
HPO 4<br />
NO 2<br />
NO 3<br />
Kettenförmige Kohlenwasserstoffe (Aliphaten)<br />
1-<br />
1-<br />
1-<br />
1-<br />
2-<br />
1-<br />
1-<br />
1-<br />
1-<br />
1-<br />
2-<br />
2-<br />
1-<br />
3-<br />
2-<br />
1-<br />
1-<br />
-fluorid<br />
-chlorid<br />
-bromid<br />
-jodid<br />
-sulfid<br />
-cyanid<br />
-chlorit<br />
-chlorat<br />
-perchlorat<br />
-cyanat<br />
-silikat<br />
-carbonat<br />
-hydrogencarbonat<br />
-phosphat<br />
-hydrogenphosphat<br />
-nitrit<br />
-nitrat<br />
Der Name einer chemischen Verbindung besteht aus dem Stammnamen,<br />
Endungen bzw. Vorsilben <strong>und</strong> Ziffern, die die Stellung der<br />
Gruppen in der Kette angeben.<br />
wird nach der Zahl der C-Atome in der Hauptkette gebildet.<br />
Stamm Zahl Stamm Zahl<br />
Meth-<br />
Äth-<br />
Prop-<br />
But-<br />
Pent-<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
Hex-<br />
Hept-<br />
Okt-<br />
Non-<br />
Dec-<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10
Endung<br />
Ziffern<br />
verzweigte Ketten<br />
Chemie<br />
Systematische Benennung organischer Verbindungen<br />
wird nach der Bindung der C-Atome in der Kette gebildet<br />
Endung<br />
Name der<br />
Reihe<br />
Formel<br />
allgemein<br />
Beispiel Bindungen<br />
-an Alkan<br />
(Paraffin)<br />
CnH2n + 2 C2H6 Äthan, Ethan<br />
l l<br />
� C�C� l l<br />
Einfachbindung,<br />
gesättigt<br />
-en Alken<br />
(Olefin)<br />
-dien Alkadien<br />
(Diolefin)<br />
-in Alkin<br />
(Acetylen)<br />
C nH 2n<br />
C2H4 Äthen, Ethen<br />
� �<br />
C�C � �<br />
CnH2n – 2 C4H6 Butadien<br />
� �<br />
C�C�C�C � l l �<br />
C nH 2n – 2 C 2H 2<br />
Äthin, Ethin<br />
– C � C –<br />
Doppelbindung,<br />
ungesättigt<br />
2 Doppelbindungen,<br />
ungesättigt<br />
Dreifachbindung,<br />
ungesättigt<br />
Nachgestellte Ziffern geben an, hinter welchem (oder welchen) C-<br />
Atom(en) die Mehrfachbindung liegt. Sie kann weggelassen werden,<br />
wenn bei kurzen Ketten keine Zweideutigkeit vorliegt.<br />
Beispiele:<br />
CH 2 = C = CH – CH 3<br />
CH � C – CH 3<br />
Butadien-(1,2)<br />
Stellung der Doppelbindungen<br />
2 Doppelbindungen<br />
4 C-Atome in der Kette<br />
Propin<br />
CH 3 – C � CH Dreifachbindung<br />
3 C-Atome in der Kette<br />
Hier kann die Stellungsziffer weggelassen werden, da die beiden<br />
Möglichkeiten für die Lage der Dreifachbindung gleichwertig sind.<br />
wurden früher mit der Vorsilbe Iso- gekennzeichnet. Systematische<br />
Benennung nach vier Regeln:<br />
1. Stammname wird nach der Anzahl der C-Atome in der längsten<br />
Kette gebildet<br />
2. Radikalname(n) der Seitenketten als Vorsilben vorgestellt<br />
3. Zahlwörter vor den Radikalnamen, wenn mehrere gleiche Radikale<br />
vorliegen<br />
4. Stellungsziffer vor dem Radikalnamen gibt an, bei welchem Glied<br />
der C-Kette die Seitenkette abzweigt (kleinstmögliche Ziffer), kann<br />
bei Eindeutigkeit fortfallen<br />
75<br />
3
3<br />
76<br />
Chemie<br />
Systematische Benennung organischer Verbindungen<br />
Radikale<br />
Halogenderivate<br />
weitere Derivate<br />
Kohlenwasserstoffreste (Alkyle) sind ein- oder mehrbindige Atomgruppen,<br />
die nicht selbstständig existieren, bei chemischen Reaktionen<br />
aber meist zusammenbleiben. Sie leiten sich von den Stammnamen<br />
der Kohlenwasserstoffe ab <strong>und</strong> haben die Endung -yl.<br />
CH 3-<br />
C 2H 5-<br />
Beispiele:<br />
Methyl<br />
Äthyl<br />
C 3H 7-<br />
C 4H 9-<br />
Propyl<br />
Butyl<br />
CH 2 = CH-<br />
CH 2 = CH – CH 2<br />
Äthenyl<br />
Propenyl<br />
1 2 3 4<br />
CH3 �CH �CH2 �CH3 2-Methylbutan<br />
l<br />
CH3<br />
4 C-Atome in der Hauptkette<br />
CH3 l<br />
CH3 � C �CH3<br />
l<br />
CH3<br />
Seitenkettenradikal<br />
Abzweig beim 2. C-Atom<br />
2,2-Dimethylpropan<br />
3 C-Atome in der Hauptkette<br />
2 Radikale gleicher Art<br />
Abzweige am 2. C-Atom<br />
CH3 �C� CH<br />
Methylpropen (statt 2-Methylpropen-(l), da<br />
2<br />
l<br />
eindeutig)<br />
CH3<br />
Hierfür gelten die Regeln die auf verzweigten Ketten angewendet werden.<br />
Anstelle der Alkyl-Radikale treten die Namen der Halogenelemente.<br />
Beispiele:<br />
CH 3 – CH 2Cl Chloräthan CH 2Cl – CH 2Cl 1,2-Dichloräthan<br />
CF2Cl2 Difluordichlormethan<br />
CF2 = CFCl Trifluorchloräthen Stellungsziffern überflüssig<br />
2 C-Atome, Doppelbindung<br />
1 Cl-Atom als Substituent<br />
3 F-Atome als Substituenten<br />
Durch Einbau funktioneller Gruppen in die Stammkohlenwasserstoffe<br />
entstehen Derivate, deren Namen meist mit Endung gebildet werden,<br />
die von der funktionellen Gruppe abhängen. Bei längeren Ketten<br />
muss die Stellung der Gruppe in der Kette angegeben werden. Gleiche<br />
Gruppen zwei- oder mehrfach werden durch Zahlwörter berücksichtigt.<br />
Beispiel:<br />
4 3 2 1<br />
CH3 �CH2 �CH�CH2�OH Butandiol-(1,2)<br />
|<br />
OH
3.9 Benennung von funktionellen Gruppen<br />
In Klammern stehende Namen sind bekannte Trivialnamen der Verbindungen<br />
kennzeichnende Gruppe<br />
Derivatname Endung Name Struktur Formel<br />
Alkanol<br />
(Alkohol)<br />
Alkanal<br />
(Aldehyd)<br />
Alkanon<br />
(Keton)<br />
Alkansäure<br />
(Karbonsäure)<br />
Alkensäure<br />
-ol Hydoxy-<br />
-al Aldehyd-<br />
-on<br />
Oxo-<br />
-säure Carboxyl-<br />
Aminoalkane -amin Amino-<br />
Alkanamide -amid<br />
R – OH<br />
O<br />
R�C ��<br />
�<br />
H<br />
R�C �R<br />
||<br />
O<br />
O<br />
R�C ��<br />
R�N �<br />
OH<br />
�<br />
�<br />
H<br />
H<br />
O<br />
R�C ��<br />
�<br />
NH<br />
2<br />
– OH<br />
– CHO<br />
� CO<br />
– COOH<br />
– NH 2<br />
– CONH 2<br />
Chemie<br />
Ringförmige Kohlenwasserstoffe<br />
Beispiel<br />
C 2H 5 – OH Äthanol<br />
C 3H 5(OH) 3 Propantriol<br />
(Glyzerin)<br />
CH 3 – CHO Äthanal<br />
(Acetaldehyd)<br />
CH 3 – CO – CH 3 Propanon<br />
(Aceton)<br />
CH 3 – COOH Äthansäure<br />
(Essigsäure)<br />
CH 3 � CH – COOH Propensäure<br />
(Acrylsäure)<br />
CH 3 – NH 2 Methylamin<br />
Aminomethan<br />
CH 3 – CONH 2 Äthanamid<br />
Alkannitril -nitril Nitril- R – C � N – CN CH 3 – CN Äthannitril<br />
Alkennitril CH 2 � CH – CN Propennitril<br />
(Acrylnitril)<br />
Nitroalkan – Nitro-<br />
O<br />
R�N ��<br />
R�S �R<br />
Alkylsulfone -sulfon Sulfon- ||<br />
O<br />
Alkansäurealkyl-Ester<br />
Alkoxyalkane<br />
Äther<br />
-ester 1<br />
��<br />
H<br />
O<br />
R � C<br />
��<br />
OR<br />
-oxy- R 1 – O – R 2<br />
�<br />
2<br />
– NO 2<br />
� SO 2<br />
– COO –<br />
3.10 Ringförmige Kohlenwasserstoffe (Aromaten)<br />
CH 3 – NO 2 Nitromethan<br />
CH 3 – SO 2 – CH 3 Dimethylsulfon<br />
CH 3COOCH 3 Äthansäure<br />
methylester<br />
C 2H 5 – O – C 2H 5 Äthoxy-äthan<br />
(Diäthyläther)<br />
Für diese Verbindungen <strong>und</strong> ihre Derivate (Ableitungen) sind meist Trivialnamen im Gebrauch. Deswegen<br />
werden die Regeln auf Benzol <strong>und</strong> die wichtigsten Derivate beschränkt.<br />
H H<br />
l l<br />
H� � H<br />
–<br />
l l<br />
H H<br />
Benzol C 6H 6 Radikal Phenyl C 6H 5 –<br />
77<br />
3
3<br />
78<br />
Chemie<br />
Basen, Laugen<br />
Stellungsziffern Die H-Atome können durch Alkylradikale, Halogene oder funktionelle<br />
Gruppen substituiert werden. Bei mehreren Substituenten wird die<br />
Stellung am Benzolring durch Ziffern bezeichnet, die direkt an der<br />
Bezeichnung für den Substituenten stehen (siehe Beispiele).<br />
3.11 Basen, Laugen<br />
Bezeichnung<br />
chemische<br />
Formel<br />
Natronlauge NaOH<br />
– 1 – 1 4 – – 1<br />
2 3<br />
1,2-Stellung 1,3-Stellung 1,4-Stellung<br />
(ortho-), o- (meta-), m- (para-), p-<br />
Beispiele:<br />
– OH – OH<br />
OH CH 3<br />
1,2-Dimethylbenzol 2-Methylhydroxybenzol<br />
(o-Xylol) (o-Kresol)<br />
– COOH NH 3 – – NH 3<br />
COOH<br />
Benzoldicarbonsäure-(1,2) 1,4-Diaminobenzol<br />
(Phtalsäure) (p-Phenylendiamin<br />
Beispiel <strong>und</strong> Bemerkung<br />
CaO + H 2O � Ca(OH) 2<br />
(Metalloxid) + (Wasser) � (Hydroxid)<br />
Herstellung durch Elektrolyse von NaCl-Lösung nach verschiedenen<br />
Verfahren. Zum Aufschluss von Bauxit, Zellstoff;<br />
für Seifenherstellung <strong>und</strong> Beizen von Aluminium.<br />
Kalilauge KOH Elektrolyt in Nickel-Eisen-Akkumulatoren.<br />
Calciumhydroxid,<br />
gelöschter Kalk<br />
Calciumoxid,<br />
gebrannter Kalk<br />
Calciumcarbonat,<br />
Kalkstein<br />
Magnesiumcarbonat,<br />
Magnesit, Dolomit<br />
Natriumcarbonat,<br />
Soda<br />
Kaliumcarbonat,<br />
Pottasche<br />
Ca(OH) 2<br />
CaO<br />
CaCO 3<br />
MgCO 3<br />
Na 2CO 3<br />
K 2CO 3<br />
Als Kalkwasser eine billige Lauge bei der Zuckerherstellung.<br />
Basischer Stoff für die Neutralisation von Abfallsäuren <strong>und</strong><br />
sauren Böden. Zur Entphosphorung im Stahlwerk.<br />
Hochofenzuschlag zur Schlackenbildung <strong>und</strong> Entschwefelung.<br />
Basische Stoffe für feuerfeste Auskleidungen von Öfen <strong>und</strong><br />
Pfannen im Stahlwerk <strong>und</strong> Gießerei.<br />
Roheisenentschwefelung, Glasherstellung, Entfettungsmittel.<br />
Glasherstellung.
Chemie<br />
Gewerbliche <strong>und</strong> chemische Benennung von Chemikalien, chemische <strong>Formeln</strong><br />
3.12 Gewerbliche <strong>und</strong> chemische Benennung von Chemikalien, chemische <strong>Formeln</strong><br />
gewerbliche<br />
Benennung<br />
Äther<br />
Ätzkali<br />
Ätznatron<br />
Alaun<br />
Alkohol<br />
Antichlor<br />
Azeton<br />
Azetylen<br />
Blausäure<br />
Bleiglätte<br />
Bleiweiß<br />
Bleizucker<br />
Blutlaugensalz,<br />
gelb<br />
Blutlaugensalz,<br />
rot<br />
Borax<br />
Braunstein<br />
Chilesalpeter<br />
Chlorkalk<br />
Chromsäure<br />
Chromkali, gelb<br />
Chromkali, rot<br />
destilliertes Wasser<br />
Eisenoxyd, salzsauer<br />
Eisenrost<br />
Eisenvitriol<br />
Essig<br />
Fixiersalz<br />
Flusssäure<br />
Gips<br />
Glaubersalz<br />
Glyzerin<br />
Graphit<br />
Grünspan<br />
Höllenstein<br />
Kalilauge<br />
(kaustisches Kali)<br />
Kalisalpeter<br />
Kalk, gebrannt<br />
Kalk, gelöscht<br />
Kalkstein<br />
(Kalzium-) Karbid<br />
kaustische Pottaschenlauge<br />
kaustische Soda<br />
Kieselsäure (Quarz)<br />
chemische<br />
Benennung<br />
Äthyläther<br />
Kaliumhydroxid<br />
Natriumhydroxid<br />
Kaliumaluminiumsulfat<br />
Äthanol<br />
Natriumthiosulfat<br />
Aceton<br />
Acetylen<br />
Cyanwasserstoff<br />
Bleioxid<br />
bas. Bleicarbonat<br />
Bleiacetat<br />
Kaliumhexacyanoferrat(II)Kaliumhexacyanoferrat(III)<br />
Natriumtetraborat<br />
Mangandioxid<br />
Natriumnitrat<br />
Chlorkalk<br />
Chrom(Vl)-oxid<br />
Kaliumchromat<br />
Kaliumbichromat<br />
destilliertes Wasser<br />
Eisen(III)-chlorid<br />
Eisen(III)-oxid-<br />
Hydrat<br />
Ferrosulfat<br />
Essigsäure<br />
Natriumthiosulfat<br />
Fluorwasserstoff<br />
Calciumsulfat<br />
Natriumsulfat<br />
Glycerin<br />
Graphit<br />
bas. Kupferacetat<br />
Silbernitrat<br />
Kaliumhydroxid<br />
Kaliumnitrat<br />
Calciumoxid<br />
Calciumhydroxid<br />
Calciumcarbid<br />
Kaliumhydroxid<br />
Natriumhydroxid<br />
Siliciumdioxid<br />
chemische<br />
Formel<br />
(C 2 H 5 ) 2 O<br />
KOH<br />
NaOH<br />
KAl(SO 4 ) 2 · 12H 2 O<br />
C 2 H 5 OH<br />
Na 2 S 2 O 3 · 5H 2 O<br />
(CH 3 ) 2 · CO<br />
C 2 H 2<br />
HCN<br />
PbO<br />
2 PbCO 3 · Pb(OH) 2<br />
Pb(C 2 H 3 O 2 ) 2 ·3H 2 O<br />
K 4 [Fe(CN) 6 ]·3H 2 O<br />
K 3 [Fe(CN) 6 ]<br />
Na 2 B 4 O 7 ·10H 2 O<br />
MnO 2<br />
NaNO 3<br />
CaCl(OCI)<br />
CrO 3<br />
K 2 CrO 4<br />
K 2 Cr 2 O 7<br />
H 2 O<br />
FeCl 3 ·6H 2 O<br />
Fe 2 O 3 ·xH 2 O<br />
FeSO 4 ·7H 2 O<br />
CH 3 COOH<br />
Na 2 S 2 O 3 ·5H 2 O<br />
HF<br />
CaSO 4 ·2H 2 O<br />
Na 2 SO 4 ·10H 2 O<br />
C 3 H 5 (OH) 3<br />
C<br />
Cu(C 2 H 3 O 2 ) 2 �<br />
Cu(OH) 2 ·5H 2 O<br />
AgNO 3<br />
KOH<br />
KNO 3<br />
CaO<br />
Ca(OH) 2<br />
CaCO 3<br />
CaC 2<br />
KOH<br />
NaOH<br />
SiO 2<br />
gewerbliche<br />
Benennung<br />
Kochsalz (Steinsalz)<br />
Kohlensäure<br />
Kor<strong>und</strong><br />
Kreide<br />
Kupferoxyd, salzsauer<br />
Kupfervitriol<br />
Lötwasser<br />
Manganoxydul,<br />
salzsauer<br />
Marmor<br />
Mennige<br />
Methyl-Alkohol<br />
Natron<br />
(Natronlauge)<br />
Natronsalpeter<br />
Polierrot<br />
Pottasche<br />
Salmiak,<br />
Salmiaksalz<br />
Salmiakgeist<br />
Salzsäure<br />
Scheidewasser<br />
Schwefelsäure<br />
Siliziumkarbid<br />
Soda (Kristall-)<br />
Tetra<br />
Tetraäthylblei<br />
Tetralin<br />
Tri<br />
übermangansaures<br />
Kali<br />
Vitriol, blauer<br />
Vitriol, grüner<br />
Wasserglas (Natron-)<br />
Wasserglas (Kali-)<br />
Wasserstoffsuperoxyd<br />
Zink, salzsauer<br />
Zinkchlorid<br />
Zinkweiß<br />
Zinnchlorid<br />
Zinnsalz, Chlorzinn<br />
Zyankali<br />
chemische<br />
Benennung<br />
Natriumchlorid<br />
Kohlendioxid<br />
Aluminiumoxid<br />
Calciumcarbonat<br />
Kupfer(II)-chlorid<br />
Kupfersulfat<br />
wässerige Lösung<br />
von Zinkchlorid<br />
Mangan(ll)-chlorid<br />
Calciumcarbonat<br />
Blei(II, IV)-oxid<br />
Methanol<br />
Natriumhydroxid<br />
Natriumnitrat<br />
Eisen(III)-oxid<br />
Kaliumcarbonat<br />
Ammoniumchlorid<br />
wässerige Lösung<br />
von Ammoniak<br />
Chlorwasserstoffsäure<br />
Salpetersäure<br />
Schwefelsäure<br />
Siliciumcarbid<br />
Natriumcarbonat<br />
Tetrachlorkohlenstoff<br />
Bleitetraäthyl<br />
Tetrahydronaphthalin<br />
Trichloräthylen<br />
Kaliumpermanganat<br />
Kupfersulfat<br />
Eisen(II)-sulfat<br />
Natriumsilicat<br />
Kaliumsilicat<br />
Wasserstoffperoxid<br />
Zinkchlorid<br />
Zinkchlorid<br />
Zinkoxid<br />
Zinn(IV)-chlorid<br />
Zinn(II)-chlorid<br />
Kaliumcyanid<br />
chemische<br />
Formel<br />
NaCl<br />
CO 2<br />
Al 2 O 3<br />
CaCO 3<br />
CuCl 2 ·2H 2 O<br />
CuSO 4 ·5H 2 O<br />
ZnCl 2<br />
MnCl 2 ·4H 2 O<br />
CaCO 3<br />
Pb 3 O 4<br />
CH 3 OH<br />
NaOH<br />
NaNO 3<br />
Fe 2 O 3<br />
K 2 CO 3<br />
NH 4 CI<br />
NH 3<br />
HCl<br />
HNO 2<br />
H 2 SO 4<br />
SiC<br />
Na 2 CO 3 ·10H 2 O<br />
CCl4<br />
Pb(C 2 H 5 ) 4<br />
C 10 H 12<br />
C 2 HCl 3<br />
KMnO 4<br />
CuSO 4 ·5H 2 O<br />
FeSO 4 ·7H 2 O<br />
Na 2 SiO 2<br />
K 2 SiO 3<br />
H 2 O 2<br />
ZnCl 2<br />
ZnCI 2 ·3H 2 O<br />
ZnO<br />
SnCl 4<br />
SnCl 2<br />
KCN<br />
79<br />
3
3<br />
80<br />
Chemie<br />
Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen<br />
3.13 Säuren<br />
3.14 Chemische Reaktionen,<br />
Gesetze,<br />
Einflussgrößen<br />
Reaktionsgleichung<br />
Erhaltung der Masse<br />
Erhaltung der Energie<br />
Reaktions-<br />
geschwindigkeit<br />
Bezeichnung<br />
Chlorwasserstoffsäure<br />
Salzsäure<br />
Fluorwasserstoffsäure,<br />
Flusssäure<br />
chemische<br />
Formel<br />
SO 2 + H 2O � H 2SO 3<br />
(Nichtmetalloxid) + (Wasser) � (Säure)<br />
HCl Wasser löst bei 15 °C etwa das<br />
450fache Volumen Chlorwasserstoff.<br />
Beizmittel zum Entz<strong>und</strong>ern.<br />
HF<br />
Siedepunkt 19,5 °C, als 30… 50 %ige<br />
Säure in wässriger Lösung. Ätzmittel<br />
für Glas.<br />
Schwefelsäure H 2SO 4 Meist verdünnt verwendet. Konzentriert<br />
stark wasserentziehend. Hauptverwendung<br />
zur Düngemittelherstellung, Akkusäure,<br />
Herstellung anderer Säuren.<br />
Salpetersäure HNO 3 Starkes Oxydationsmittel, entzündet<br />
konzentriert Holz, Alkohol. Dient zur<br />
Einführung der Gruppe NO 2 in Kohlenwasserstoffe:<br />
Nitrierung von Glycerin:<br />
Nitroglycerin.<br />
Phosphorsäure H 3PO 4 Phosphatieren von Oberflächen.<br />
Qualitative <strong>und</strong> quantitative Beschreibung einer chemischen Reaktion<br />
mit Symbolen für Elemente <strong>und</strong> <strong>Formeln</strong> für chemische Verbindungen.<br />
Es sind verschiedene Formen möglich:<br />
Reaktionsgleichung mit Summenformeln<br />
NaCl + AgNO 3 � NaNO 3 + AgCl �<br />
Ionengleichung<br />
Na + � Cl – Ag + � (NO 3) – � Na + (NO 3) – � AgCl �<br />
Reaktionsgleichung mit Elektronenformeln<br />
N � N � N2; :N ⋅ ⋅<br />
⋅<br />
� : N⋅ ⋅ � :N�� N:<br />
⋅<br />
Reaktionsgleichung mit Elektronenformeln<br />
(Unterscheidung in gepaarte <strong>und</strong> ungepaarte Außenelektronen)<br />
H2 � Cl2 � 2 HCl; H:H + | Cl : Cl| � 2 H : Cl|<br />
Bei chemischen Reaktionen ändert sich die Masse eines geschlossenen<br />
Systems nicht. Folgerung für die Reaktionsgleichung: Jede<br />
Atomart muss auf beiden Seiten der Gleichung in gleicher Anzahl<br />
auftreten.<br />
Wenn bei der Bildung eines Stoffes Energie frei wird, so muss für den<br />
umgekehrten Vorgang der gleiche Energiebetrag zugeführt werden.<br />
Die Art der Energie (Wärme, elektrische Energie) kann in manchen<br />
Fällen eine andere sein.<br />
Konzentrationsänderung eines Stoffes je Zeiteinheit. Die Reaktionsgeschwindigkeit<br />
steigt mit der Temperatur (größere Energie <strong>und</strong> Häufigkeit<br />
der Zusammenstöße) <strong>und</strong> mit der Konzentration (größere Häufigkeit<br />
der Zusammenstöße der Teilchen).<br />
Katalysatoren erhöhen, Inhibitoren erniedrigen die Reaktionsgeschwindigkeit.
Konzentration<br />
Umkehrbare Reaktionen<br />
chemisches<br />
Gleichgewicht<br />
Prinzip des kleinsten<br />
Zwanges<br />
Einfluss der Temperatur<br />
Chemie<br />
Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen<br />
Anteil eines Stoffes am Stoffsystem (Gasmischung, Lösung)<br />
Stoffmengenkonzentration (Molarität) c: Stoffmenge des gelösten Stoffes<br />
mol<br />
in 1 l Lösung mit der Einheit<br />
l<br />
Stoffmengenbruch (Molenbruch) x: Stoffmenge einer Komponente<br />
durch gesamte Stoffmenge mit<br />
der Einheit mol<br />
= 1<br />
mol<br />
Chemische Reaktionen verlaufen gleichzeitig in beiden Richtungen<br />
mit zunächst unterschiedlichen Reaktionsgeschwindigkeiten.<br />
Hinreaktion, Bildung von SO 3<br />
––––––�<br />
SO 2 + O � SO 3 – �H<br />
Rückreaktion, Zerfall von SO 3<br />
�––––––<br />
Die Hinreaktion verläuft anfangs schnell, wegen der abnehmenden<br />
Konzentration der Ausgangsstoffe aber langsamer werdend.<br />
Die Rückreaktion setzt sehr langsam ein, wird mit zunehmender Konzentration<br />
der SO 3-Moleküle schneller. Wenn beide Geschwindigkeiten<br />
gleich groß geworden sind, ist die Reaktion von außen betrachtet<br />
beendet. Dann ist das chemische Gleichgewicht erreicht.<br />
Dynamischer Gleichgewichtszustand eines Stoffsystems, bei dem<br />
gleich viele Moleküle entstehen wie andererseits zerfallen. Ausgangsstoffe<br />
<strong>und</strong> Reaktionsprodukte sind in bestimmten Massenverhältnissen<br />
vorhanden. Dieses Massenverhältnis wird als Lage des Gleichgewichts<br />
bezeichnet <strong>und</strong> mit dem Massenwirkungsgesetz berechnet.<br />
Das im Gleichgewicht vorhandene Massenverhältnis der Stoffe bleibt<br />
bestehen, solange nicht einer der drei Gleichgewichtsfaktoren geändert<br />
wird:<br />
1. Temperatur; 3. Konzentration (durch Zu- oder Abfuhr eines der<br />
2. Druck; Reaktionspartner).<br />
Gesetzmäßigkeit (Le Chatelier, Braun) über das Verhalten von Stoffsystemen,<br />
die im Gleichgewicht sind.<br />
Jede Änderung der drei Gleichgewichtsfaktoren (Temperatur, Druck,<br />
Konzentration) übt auf das System einen Zwang aus. Dadurch wird<br />
diejenige Reaktion beschleunigt, welche den Zwang vermindert. Das<br />
System erhält eine neue Gleichgewichtslage.<br />
Bei Temperaturerhöhung wird die Gleichgewichtslage auf die Seite<br />
der endothermen Verbindung verschoben, bei Temperatursenkung<br />
auf die andere Seite der Reaktionsgleichung.<br />
Beispiel: Boudouard-Gleichgewicht, Reaktion eines CO/CO 2-Gemisches<br />
bei Koksüberschuss (Hochofenprozess)<br />
CO 2 � C � 2 CO � 1,716 · 10 5 J.<br />
Die Bildung von CO ist endotherm, bei Temperaturerhöhung wird mehr<br />
CO entstehen, die Hinreaktion wird beschleunigt.<br />
Temperatursenkung beschleunigt die Rückreaktion, CO zerfällt in<br />
C � CO 2.<br />
81<br />
3
3<br />
82<br />
Chemie<br />
Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen<br />
Einfluss des Druckes<br />
Massenwirkungsgesetz<br />
(MWG)<br />
Bei Druckerhöhung wird die Gleichgewichtslage zu der Seite verschoben,<br />
welche Stoffe mit kleinerem Volumen aufweist, bei Druckminderung<br />
im entgegengesetzten Sinne.<br />
Beispiel: Vakuumbehandlung von Stahlschmelzen zur weiteren<br />
Desoxydation<br />
FeO � C � CO � Fe; rechte Seite mit größerem Volumen<br />
Die Gleichgewichtsreaktion wird bei Druckminderung (Vakuum) bevorzugt<br />
nach rechts weiterlaufen, da die Reaktionsprodukte ein größeres<br />
Volumen besitzen. Der Anteil der Ausgangsstoffe (Oxidschlacke)<br />
wird vermindert.<br />
Gesetz (Guldberg <strong>und</strong> Waage) über den Einfluss der Stoffmassen<br />
(Konzentration) auf die Reaktion.<br />
Der Quotient aus<br />
Produkt der Konzentrationen der Reaktionsstoffe<br />
Produkt der Konzentrationen der Ausgangsstoffe<br />
ist eine für jede Reaktion verschiedene Konstante, die von der Temperatur<br />
abhängt. Diese Gleichgewichtskonstante K wird durch Versuche<br />
ermittelt. Allgemeine Formulierung für eine Reaktion:<br />
n 1 A � n 2 B … � m 1 C � m 2 D � … [C] bedeutet: Konzentration von C<br />
m1 m2<br />
[ C] ⋅[<br />
D]<br />
K =<br />
[ A] ⋅[<br />
B]<br />
n1 n2<br />
Für die Ammoniaksynthese, z. B.:<br />
N 2 � 3 H 2 � 2 NH 3<br />
für eine Temperatur T<br />
[NH 2<br />
3]<br />
3<br />
2 ⋅ 2<br />
K =<br />
[N ] [H ]<br />
Folgerungen aus dem MWG:<br />
Wird bei konstanter Temperatur die Konzentration eines Stoffes geändert,<br />
so verschiebt sich die Gleichgewichtslage so, dass der Quotient<br />
des MWG wieder den Betrag K erhält.<br />
Beispiel: Wenn auf der linken Seite der Ammoniaksynthesegleichung<br />
die beiden Gase nicht im Verhältnis 1:3, sondern mit etwas mehr<br />
Wasserstoff gemischt werden, so erhält der Nenner des MWG einen<br />
größeren Wert. Um auf die gleiche Gleichgewichtskonstante K zu<br />
kommen, muss das System mehr NH 3 bilden, d. h., die Ausbeute an<br />
Ammoniak steigt.<br />
Wird eines der Reaktionsprodukte ständig aus dem Stoffsystem entfernt,<br />
so kann sich kein Gleichgewicht ausbilden. Die Reaktion verläuft<br />
ständig unter Bildung dieses Produktes weiter.<br />
Beispiel: Brennen von Kalkstein, Calciumcarbonat<br />
CaCO 3 � CaO � CO 2 � CO 2 kann aus dem Prozess an die Luft<br />
entweichen<br />
Fällungsreaktionen in Lösungen:<br />
AgNO 3 � NaCl � AgCl � � NaNO 3<br />
Schwerlösliche Salze – hier AgCl – fallen als Niederschlag aus dem<br />
homogenen System der Lösung aus, dadurch Verschiebung der<br />
Gleichgewichtslage nach rechts, bis keine Cl-Ionen mehr vorhanden<br />
sind.
Größenordnung der<br />
Konstanten K<br />
3.15 Ionenlehre<br />
elektrolytische<br />
Dissoziation<br />
Elektrolyt<br />
Dissoziationsgrad �<br />
Dissoziationskonstanten K D<br />
Ostwald’sches<br />
Verdünnungs-Gesetz<br />
Ionenprodukt<br />
des Wassers<br />
Chemie<br />
Ionenlehre<br />
Die Größenordnung der Gleichgewichtskonstanten K lässt einen<br />
Schluss auf die Richtung der Reaktionen zu. Für den Bereich der<br />
technisch beherrschbaren Temperaturen gilt:<br />
K � 1: Reaktion ist leicht umkehrbar<br />
K sehr klein: Rückreaktion verläuft fast vollständig<br />
K sehr groß: Hinreaktion verläuft fast vollständig<br />
Aufspaltung von Ionenbindungen <strong>und</strong> polarisierten Atombindungen in<br />
freibewegliche Ionen, die von einer Hydrathülle aus H 2O-Dipolen umgeben<br />
sind.<br />
Stoff, der Ionen enthält <strong>und</strong> dadurch den elektrischen Strom leitet.<br />
Geschmolzene Ionenverbindungen: Salze, Oxide. Gelöste Salze,<br />
Säuren <strong>und</strong> Basen.<br />
Verhältnis der dissoziierten Moleküle zu der Zahl der Moleküle vor der<br />
Dissoziation. Der Dissoziationsgrad steigt mit der Temperatur <strong>und</strong> mit<br />
der Verdünnung (Erhöhung der elektrischen Leitfähigkeit).<br />
Dissoziationsgrad bei 18 °C in 1-normaler Lösung<br />
sehr stark<br />
stark<br />
mäßig stark<br />
schwach<br />
�� Säure Base<br />
1 … 0,7<br />
0,7 … 0,2<br />
0,2 … 0,01<br />
0,01 … 0,001<br />
HNO 3, HCl<br />
H 2SO 4<br />
H 3PO 4, HF<br />
CH 3COOH<br />
KOH, NaOH, Ba(OH) 2<br />
LiOH, Ca(OH) 2<br />
AgOH<br />
NH 4OH<br />
Bei Anwendung des Massenwirkungsgesetzes auf die elektrolytische<br />
Dissoziation (Gleichgewichtsreaktion) wird die Gleichgewichtskonstante<br />
K zur Dissoziationskonstanten K D<br />
[Kation] ⋅[Anion]<br />
= KD<br />
[Molekul] ��<br />
Kation, Anion<br />
Größenordnung von K D:<br />
schwache Elektrolyte K D � 10 –4<br />
mittlere Elektrolyte K D > 10 –4<br />
starke Elektrolyte K D � 1<br />
K<br />
D<br />
mol mol<br />
l l<br />
K D steigt mit der Temperatur, ist aber unabhängig von der Konzentration<br />
des Elektrolyten.<br />
Zusammenhang zwischen Dissoziationskonstante K D <strong>und</strong> Dissoziationsgrad<br />
�. Gültig für schwache Elektrolyte in starker Verdünnung<br />
c α 2<br />
Konzentration c<br />
KD<br />
=<br />
1− α<br />
mol/ l<br />
Reines Wasser ist außerordentlich gering dissoziiert. Das Produkt der<br />
Konzentrationen im Zähler des MWG beträgt<br />
2<br />
+ − −14<br />
mol<br />
[H ] ⋅ [OH ] = 10 bei 25° C<br />
2 l<br />
83<br />
3
3<br />
84<br />
Chemie<br />
Ionenlehre<br />
pH-Wert<br />
Löslichkeitsprodukt L<br />
Die Konzentrationen der beiden Ionen betragen danach 10 –7 mol/l, d.h.:<br />
1 l Wasser enthält 10 –7 · 1 g Wasserstoff-Ionen<br />
<strong>und</strong> 10 –7 · 17 g Hydroxid-Ionen.<br />
Reines Wasser: [H � ] ��[OH – ]<br />
Säure: [H � ] � [OH – ]<br />
Base: [H � ] � [OH – ]<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
Produkt immer<br />
2<br />
−14<br />
mol<br />
10<br />
2 l<br />
Negativer Briggs’scher Logarithmus der Wasserstoff-Ionenkonzentration<br />
in wässrigen Lösungen.<br />
pH � lg [H � ] <strong>und</strong> [H � ] � 10 –pH<br />
Maß für den sauren, neutralen oder basischen Charakter eines Elektrolyten,<br />
durch Indikatoren mittels Farbumschlag oder elektrisch messbar.<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14<br />
stark � sauer neutral basisch � stark<br />
Indikatoren<br />
Name Farbumschlag<br />
Dimethylgelb<br />
Methylorange<br />
Methylrot<br />
Lackmus<br />
Phenolphtalein<br />
Thymolphtalein<br />
Alizaringelb<br />
rot – gelb<br />
rot – orange<br />
rot – gelb<br />
rot – blau<br />
farblos – rot<br />
farblos – blau<br />
gelb – orangebraun<br />
Umschlagbereich<br />
pH-Werte<br />
2,9… 4,0<br />
3,0… 4,4<br />
4,2… 6,3<br />
5,0… 8,0<br />
8,2… 10,0<br />
9,3… 10,5<br />
10,1… 12,1<br />
Diese Konstante entspricht der Gleichgewichtskonstanten des MWG,<br />
wenn es auf gesättigte Lösungen angewendet wird. Bei konstanter<br />
Temperatur lässt sich die Konzentration der gelösten Teilchen nicht<br />
erhöhen (Sättigung).<br />
Bei Zugabe der einen Ionensorte muss die andere in Form der unlöslichen<br />
Verbindung als Niederschlag ausfallen.<br />
Beispiel: L für Silberchlorid AgCl beträgt 1,6 · 10 –10<br />
[Ag � ] · [Cl – ] � 1,6 · 10 –10<br />
2 mol<br />
2 l<br />
Daraus lässt sich die Stoffmengenkonzentration der Ag-Ionen<br />
bestimmen:<br />
2<br />
−10<br />
mol<br />
c = 1, 6 ⋅10<br />
� 1,265 · 10<br />
2 l<br />
–5<br />
2 mol<br />
l<br />
das ergibt einen Silbergehalt von<br />
g<br />
= = ⋅ l ⋅ ⋅ −5<br />
mol<br />
m MVc 108 1 1,265 10<br />
mol<br />
l<br />
83<br />
m = 1,366⋅ 10 g = 1,366 mg in einem Liter<br />
Durch Zugabe von weiteren Cl-Ionen (HCI-Zusatz) würde das Löslichkeitsprodukt<br />
überschritten, deshalb muss bei Erhöhung des einen<br />
Faktors (Cl – ) der andere Faktor (Ag � ) kleiner werden, d. h., es bildet<br />
sich weiteres unlösliches Silberchlorid AgCl.<br />
Gilt streng nur für schwerlösliche Verbindungen oder Lösungen<br />
schwacher Konzentration < 0,1 mol<br />
l
3.16 Elektrochemische<br />
Größen <strong>und</strong> Gesetze<br />
Spannungsreihe<br />
Normalpotentiale E 0<br />
Standardpotentiale<br />
galvanisches Element<br />
Elektrolyse<br />
Chemie<br />
Elektrochemische Größen <strong>und</strong> Gesetze<br />
Reihenfolge der Elemente nach fallendem Lösungsdruck geordnet.<br />
Lösungsdruck ist das Bestreben, in den Ionenzustand überzugehen<br />
<strong>und</strong> als elektrische Spannung messbar � Normalpotenziale.<br />
K Ca Na Mg AI Zn Cr Fe Cd Ni Sn Pb H Cu Ag Pt Au<br />
– HCl greift an,<br />
HCl greift nicht an<br />
Wasserstoff wird frei<br />
+<br />
unedler � edler<br />
Metalle, die in der Spannungsreihe links stehen, können rechts davon<br />
stehende reduzieren, d. h., sie verdrängen diese aus ihren Salzlösungen.<br />
Beispiel: Eisenblech in Kupfersulfatlösung<br />
+2 0 +2 0<br />
CuSO4 + Fe → FeSO4 + Cu Redoxreaktion<br />
Unedle Metalle: links stehend, niedrige Elektronenaffinität,<br />
leicht oxydierbar.<br />
Edle Metalle: rechts stehend, hohe Elektronenaffinität,<br />
schwer oxydierbar.<br />
Spannung eines Metalls in seiner Salzlösung gegenüber der Normalwasserstoffelektrode<br />
bei 25 °C.<br />
Metall Spannung V Metall Spannung V<br />
Li<br />
K<br />
Ca<br />
Na<br />
Mg<br />
AI<br />
Mn<br />
Zn<br />
Cr<br />
Fe<br />
– 3,02<br />
– 2,92<br />
– 2,87<br />
– 2,71<br />
– 2,36<br />
– 1,66<br />
– 1,05<br />
– 0,76<br />
– 0,71<br />
– 0,44<br />
Cd<br />
Co<br />
Ni<br />
Sn<br />
Pb<br />
H<br />
Cu<br />
Ag<br />
Pt<br />
Au<br />
– 0,41<br />
– 0,28<br />
– 0,23<br />
– 0,14<br />
– 0,13<br />
� 0<br />
� 0,34<br />
� 0,80<br />
� 1,2<br />
� 1,42<br />
Spannungswerte sind abhängig von der Konzentration der Salzlösungen.<br />
Sie werden negativer, wenn die Konzentration sinkt.<br />
System aus einem Elektrolyten, in den zwei verschiedene Metalle<br />
tauchen. Stromquelle mit einer Urspannung E, die sich aus der Differenz<br />
der Normalpotentiale errechnet.<br />
Minuspol: Metall, in der Spannungsreihe links stehend, geht in Lösung,<br />
gibt Elektronen ab.<br />
Pluspol: Metall, rechts in der Spannungsreihe stehend, nimmt Elektronen<br />
aus dem Elektrolyten auf, bleibt unverändert.<br />
Beispiel: Urspannung zwischen Cu <strong>und</strong> Zn unter den Bedingungen<br />
der Normalpotentialmessung:<br />
E = E 0 Cu – E 0 Zn = � 0,34 V – (– 0,76 V) = 1,1 V<br />
Redoxreaktion in einem Elektrolyten unter Zufuhr von Energie. Oxydation<br />
<strong>und</strong> Reduktion verlaufen örtlich getrennt.<br />
Anode (Plus-Pol): Anziehung der negativ geladenen Ionen (Anionen),<br />
z. B. OH – oder Halogene. Entladung durch Abgabe von Elektronen:<br />
Oxydation.<br />
85<br />
3
3<br />
86<br />
Chemie<br />
Elektrochemische Größen <strong>und</strong> Gesetze<br />
Faraday’sche Gesetze<br />
Faraday-Konstante F<br />
elektrochemische<br />
Äquivalente<br />
Katode (Minus-Pol): Anziehung der positiv geladenen Ionen (Kationen),<br />
z. B. Metalle <strong>und</strong> Wasserstoff. Entladung durch Aufnahme von<br />
Elektronen: Reduktion.<br />
Besteht der Elektrolyt aus zwei oder mehr verschiedenen Anionen<br />
(Kationen), so werden diejenigen Teilchen entladen, für deren Abscheidung<br />
die kleinste Spannung benötigt wird.<br />
Beispiel: Bei der Elektrolyse von Salzlösungen unedler Metalle (K,<br />
Na, Mg, AI) wird Wasserstoff abgeschieden, da H � ein niedrigeres<br />
Potential besitzt als diese Metallionen.<br />
Die abgeschiedenen Stoffmengen sind bei gleichen Elektrolyten der<br />
Elektrizitätsmenge proportional.<br />
Bei verschiedenen Elektrolyten werden von der gleichen Elektrizitätsmenge<br />
Stoffmassen abgeschieden, die sich wie die Äquivalentmassen<br />
der Stoffe verhalten.<br />
abgeschiedene<br />
Stoffmasse<br />
= M t I<br />
m<br />
zF<br />
M molare Masse (siehe 3.10)<br />
z Ionenwertigkeit<br />
F Faraday-Konstante<br />
As Ah<br />
F = 96485 = 26,8<br />
mol mol<br />
m M I t F<br />
g<br />
g<br />
mol<br />
A s<br />
h<br />
As<br />
mol<br />
Ah<br />
mol<br />
Elektrizitätsmenge, die bei 100 %iger Stromausbeute aus einem Elektrolyten<br />
die äquivalente Masse M eq eines Stoffes abscheidet. Sie ist<br />
das Produkt aus der Elementarladung <strong>und</strong> der Avogadro-Konstante.<br />
19 23 1<br />
F = e⋅ NA= 1,602⋅10− As⋅6,022⋅10 mol<br />
C As As<br />
F = 96485 = 96485 ≈96500<br />
mol mol mol<br />
Stoffmasse in mg oder g, die bei 100 %iger Stromausbeute von einer<br />
Elektrizitätsmenge 1 As bzw. 1 Ah abgeschieden wird.<br />
Element<br />
Aluminium AI<br />
Beryllium Be<br />
Cadmium Cd<br />
Chrom Cr<br />
Eisen Fe<br />
Fe<br />
Kupfer Cu<br />
Cu<br />
Magnesium Mg<br />
Sauerstoff O<br />
Silber Ag<br />
Wasserstoff H<br />
Zink Zn<br />
Zinn Sn<br />
Ionenwertigkeit<br />
III<br />
II<br />
II<br />
III<br />
II<br />
III<br />
I<br />
II<br />
II<br />
II<br />
I<br />
I<br />
II<br />
IV<br />
mg<br />
As<br />
0,093<br />
0,047<br />
0,582<br />
0,180<br />
0,289<br />
0,193<br />
0,658<br />
0,329<br />
0,126<br />
0,083<br />
1,118<br />
0,0104<br />
0,339<br />
0,308<br />
Äquivalent Ä<br />
g<br />
Ah<br />
0,335<br />
0,168<br />
2,097<br />
0,647<br />
1,042<br />
0,694<br />
2,370<br />
1,185<br />
0,454<br />
0,298<br />
4,025<br />
0,0376<br />
1,22<br />
1,107
3.17 Größen der<br />
Stöchiometrie<br />
relative Atommasse A r<br />
relative Molekülmasse M r<br />
Stoffmenge n<br />
Avogadro-Konstante N A<br />
molare Masse M<br />
Chemie<br />
Größen der Stöchiometrie<br />
Die Berechnung der abgeschiedenen Stoffmassen wird durch elektrochemische<br />
Äquivalente vereinfacht.<br />
m � Ä I t<br />
m Ä I t<br />
mg<br />
g<br />
mg/As<br />
g/Ah<br />
Beispiel: Welche Zeit ist erforderlich, um 50 g Kupfer aus einer Kupfer(II)-sulfatlösung<br />
mit einem Strom von 8 A abzuscheiden ?<br />
m 50gAh<br />
t = = = 5,274h<br />
ÄI 1,185g⋅ 8 A<br />
siehe 3.1<br />
Summe der relativen Atommassen A r aller im Molekül geb<strong>und</strong>enen<br />
Atome, aus der Summenformel der chemischen Verbindung errechnet.<br />
Beispiel: Aluminiumsulfat Al 2(SO 4) 3<br />
M r � 2 Al � (S � 4 · 0) = 2 · 27 � 3 (32 � 4 · 16) � 342<br />
Basisgröße mit der Einheit der Teilchenmenge „Mol“. Kurzzeichen<br />
mol, 1 kmol = 10 3 mol.<br />
Definition der Einheit nach dem Einheitengesetz: 1 mol ist die Stoffmenge<br />
eines Systems, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie<br />
Atome in 0,012 kg des Nuklids 12 C enthalten sind.<br />
Teilchen im Sinne dieser Definition sind Atome, Moleküle, Ionen, Radikale,<br />
Elektronen.<br />
Teilchenzahl N NuAr<br />
m<br />
n = = =<br />
Avogadro - Konstante NA NAuAr M<br />
mit u atomare Masseneinheit,<br />
M molare Masse<br />
Beispiel: Welche Stoffmenge stellen 200g Äthin, C2H2 dar?<br />
g g 200 g<br />
M(C2H 2) = (2⋅ 12 + 2) = 26 n = = 7,69 mol<br />
mol mol − 26 g⋅mol 1<br />
Naturkonstante, Anzahl der Teilchen, die in der Stoffmenge 1 mol aller<br />
Stoffe enthalten ist.<br />
N A � 6,022 · 10 23 · mol –1<br />
(Der Betrag dieser Konstanten wird auch als Avogadro-Zahl, vielfach<br />
auch als Loschmidt’sche Zahl bezeichnet.)<br />
Masse einer Stoffmenge n = 1 mol<br />
23 1<br />
−<br />
M = N uA = 6,022⋅10 ⋅1,66⋅10 24 g⋅A<br />
�����������<br />
mol<br />
g<br />
1<br />
mol<br />
A r r<br />
g<br />
M = Ar<br />
mol<br />
für atomare Substanzen<br />
g<br />
M = Mr<br />
mol<br />
für molekulare Substanzen<br />
Beispiele:<br />
Kohlenstoff C<br />
g<br />
M = 12 (Grammatom)<br />
mol<br />
A<br />
s<br />
h<br />
87<br />
3
3<br />
88<br />
Chemie<br />
Größen der Stöchiometrie<br />
molares<br />
Normvolumen V m, 0<br />
(Molvolumen)<br />
Umrechnung<br />
Masse–Volumen<br />
Stoffmengenkonzentration<br />
c<br />
(Molarität)<br />
molare Lösung<br />
Äquivalentmenge n eq<br />
Kohlendioxid<br />
Sulfat-Ion<br />
g<br />
M CO = 44<br />
2 mol<br />
(Grammmolekül)<br />
g<br />
M SO = 96<br />
4 mol<br />
(Grammion)<br />
Die Stoffmenge 1 kmol eines idealen Gases nimmt im Normzustand<br />
(bei 0 °C <strong>und</strong> 1,013 bar) ein Volumen von 22,414 m 3 ein.<br />
m3<br />
V m,0 = 22,414<br />
kmol<br />
m<br />
V0 = Vmn = nVmn<br />
M<br />
Beispiel: Normvolumen von 100 g Propan C3H8 g g<br />
M (C3H 8)<br />
= (3⋅ 12+ 8) = 44<br />
mol mol<br />
100g⋅22,414dm3⋅mol−1 V<br />
3<br />
0 = = 50,9dm<br />
−1<br />
44g⋅ mol<br />
m M Vm,0, V0 kg<br />
kg<br />
kmol<br />
m3 g<br />
g<br />
mol<br />
1<br />
Quotient aus der Stoffmenge n <strong>und</strong> dem Volumen eines homogenen<br />
Stoffsystems (Gasmischung, Lösung)<br />
n m<br />
c = =<br />
V MV<br />
c m M V<br />
mol<br />
l<br />
g<br />
g<br />
mol<br />
l<br />
Beispiel: In einer Lösung sind in 10 ml Lösung 0,2 g NaOH enthalten.<br />
0,2 g mol<br />
c = = 0,5 (0,5-molar)<br />
−1 −2<br />
40 g mol ⋅10<br />
l l<br />
Lösung mit bestimmter Stoffmengenkonzentration. Eine Lösung ist nmolar,<br />
wenn in 1 l Lösung die Stoffmenge n mol gelöst ist.<br />
Beispiel: Wie viel Gramm NaCl sind in 100 ml einer 0,1 molaren Lösung<br />
enthalten? M (NaCl) � (23 + 35,5) g<br />
mol ;<br />
m<br />
mol g<br />
c = ; m = cMV = 0,1 58,5 ⋅ 0,1 l = 0,585 g<br />
MV<br />
l mol<br />
Hilfsgröße, ganzzahliges Vielfaches der Stoffmenge, Produkt aus<br />
Stoffmenge <strong>und</strong> Wertigkeit z<br />
mz m<br />
neq = nz = =<br />
M Meq<br />
Wertigkeiten z<br />
Salze<br />
Säuren<br />
Basen<br />
Redox-Reaktionen<br />
n Stoffmenge in mol<br />
m Masse in g<br />
M eq äquivalente Masse in g<br />
mol<br />
Ladungszahl der Ionen<br />
Anzahl der H-Atome der Summenformel<br />
Anzahl der OH-Gruppen der Summenformel<br />
Differenz der Oxydationszahlen<br />
Die Äquivalentmenge n eq eines Stoffes kann aufgefasst werden als<br />
Teilchenmenge von Wasserstoff-Ionen, die in der Lage ist, die Stoffmenge<br />
1 mol dieses Stoffes zu ersetzen oder zu binden.
äquivalente Masse M eq<br />
(Grammäquivalent)<br />
Äquivalentmengenkonzentration<br />
c eq<br />
(Normalität)<br />
Normallösung<br />
3.18 Beispiele für stöchiometrische<br />
Rechnungen<br />
Massengehalt<br />
Stoffumsatz<br />
Chemie<br />
Beispiele für stöchiometrische Rechnungen<br />
Beispiel: Zink reduziert Wasserstoff. Die Stoffmenge 1 mol Zn 2� hat<br />
die Äquivalentmenge n eq � 2 mol, da diese Ionen die zweifache Menge<br />
Wasserstoffatome freimachen können, d.h., ihnen äquivalent sind.<br />
M<br />
eq<br />
M<br />
=<br />
z<br />
Hilfsgröße, aus der molaren Masse gebildet, als Quotient<br />
aus molarer Masse <strong>und</strong> Wertigkeit.<br />
Bei mehrladigen Ionen wird durch die Elektrizitätsmenge F � 96 485<br />
As/mol die äquivalente Masse abgeschieden (F Faraday-Konstante).<br />
Hilfsgröße, aus der Stoffmengenkonzentration (Molarität) gebildet, als<br />
Produkt von Molarität <strong>und</strong> Wertigkeit z<br />
nz mz<br />
ceq = cz = =<br />
V MV<br />
c eq m z M V<br />
mol<br />
l<br />
g –<br />
g<br />
mol<br />
Beispiel: Normalität von 150 ml Lösung in der 10 g H2SO4 gelöst sind.<br />
M (H2SO4) � 98 g<br />
mol<br />
10g⋅ 2 mol<br />
ceq<br />
= = 1, 36<br />
− 98gmol 1⋅<br />
0,151 l<br />
Lösung mit bestimmter Äquivalentmengenkonzentration (Normalität). In<br />
einer 1 n Lösung ist in 1 l Lösung die äquivalente Masse M eq gelöst.<br />
Beispiel: Herstellung einer 0,1 n Lösung HNO3 von 400 ml.<br />
c − −<br />
⋅ ⋅l 1⋅ ⋅ 1<br />
eq MV 0,1 mol 63g mol ⋅0,4l<br />
m = =<br />
z<br />
l<br />
m � 2,25 g HNO 3 in V � 400 ml Säure ergeben eine 0,1 n Salpetersäure<br />
Säure- <strong>und</strong> Basenlösungen der gleichen Normalität neutralisieren<br />
sich, wenn gleiche Volumina zusammengebracht werden.<br />
Berechnung des Massenanteils eines Elementes E an einem Molekül M<br />
ArE<br />
E%<br />
= ⋅100<br />
Mr<br />
A rE relative Atommasse des Elements E<br />
M r relative Molekülmasse des Moleküls M<br />
Beispiel: Eisengehalt von Fe 3O 4 mit A rFe = 56 <strong>und</strong> A rO � 16.<br />
3⋅56 168<br />
Fe% = 100 = 100 = 72,4%<br />
3⋅ 56 + 4⋅16 232<br />
Berechnung von Ausgangsstoffen oder Reaktionsprodukten in folgenden<br />
Schritten.<br />
Beispiel: Vollständige Verbrennung von Propan. Gesucht sind Sauerstoffmasse<br />
<strong>und</strong> -volumen zur Verbrennung von 80 g Propan.<br />
Vollständige Reaktionsgleichung<br />
aufstellen:<br />
Einsetzen der molaren Massen<br />
ergibt Massengleichung:<br />
Gegebene Stoffmasse hinschreiben: 80 g<br />
C 3H 8 � 5 O 2 � 3 CO 2 � 4 H 2O<br />
6 O- � 4 O-Atome<br />
44 g � 160 g � 132 g � 72 g<br />
l<br />
89<br />
3
3<br />
90<br />
Chemie<br />
Beispiele für stöchiometrische Rechnungen<br />
Mischungsregel<br />
Mischungskreuz<br />
80g<br />
Faktor x = = 1,818<br />
44g<br />
Massengleichung mit dem Faktor<br />
multiplizieren:<br />
Überlegung: Von allen Stoffen die<br />
1,818fache Masse nehmen.<br />
80 g � 290,9 g � 240 g � 130,9 g<br />
Ergebnis: Sauerstoffbedarf für 80 g Propan beträgt 290,9 g.<br />
Umrechnung Masse – Volumen siehe „molares Normvolumen“<br />
l<br />
m<br />
290,5g ⋅22,4<br />
Vn = Vmn<br />
=<br />
mol<br />
= 203,6 l<br />
M<br />
g<br />
32<br />
mol<br />
Das Volumen der beteiligten Gase kann auch direkt aus der Reaktionsgleichung<br />
berechnet werden:<br />
Reaktionsgleichung: C 3 H 8 + 5 O 2 � 3 CO 2 + 4 H 2 O<br />
Gleichung mit Stoffmengen<br />
ansetzen:<br />
Für unbekannte Gase das<br />
molare Normvolumen einsetzen:<br />
1 mol 5 mol 3 mol 4 mol<br />
44 g 5 · 22,4 l 3 · 22,4 l 4 · 22,4 l<br />
Gegebenen Stoff einsetzen: 80 g Vn1 Vn2 Vn3 Proportion ansetzen<br />
44 g<br />
80 g �<br />
5⋅22,4 l<br />
V<br />
�<br />
3⋅22,4 l<br />
V<br />
�<br />
4⋅22,4 l<br />
V<br />
Gesuchtes Gasvolumen<br />
ausrechnen: V n1 = = 203,61<br />
m1 · �1 � m2 · �2 � (m1 � m2) �<br />
m1, m2 Masse der Mischungskomponenten<br />
�1, �2 Massengehalt der Komponenten in %<br />
�� Massengehalt der Mischung in %<br />
n1<br />
n2<br />
5⋅22,4l⋅80g 44 g<br />
Beispiel: Welchen Massengehalt hat die Mischung von 100 g 10 %iger<br />
Natronlauge mit 50 g 20 %iger?<br />
m1⋅ ω1+ m2⋅<br />
ω2<br />
100g10% + 50g 20%<br />
ω = = = 13,33%<br />
m1+ m2<br />
150g<br />
Zur einfachen Bestimmung der Massenteile (Mischungsverhältnis) der<br />
Komponenten, wenn die Massengehalte der Komponenten <strong>und</strong> der<br />
Mischung gegeben sind.<br />
Massengehalt � 1<br />
hoch<br />
Massengehalt � 1<br />
niedrig<br />
Massengehalt �<br />
Mischung<br />
� – � 2 ––––––––––––––––<br />
Mischungsverhältnis<br />
n3<br />
ω−ω2 ξ =<br />
ω1−ω � 1 – � ––––––––––––––––<br />
In Pfeilrichtung die Differenzen der Massengehalte bilden (positive Vorzeichen).<br />
Die beiden Differenzen ergeben das Mischungsverhältnis �.<br />
Beispiel: Aus den Messingsorten mit 63 % <strong>und</strong> 72 % Cu-Gehalt soll<br />
68 %iges Messing hergestellt werden.<br />
72<br />
5<br />
5<br />
mit 72% Cu<br />
5 9<br />
68 ξ =<br />
63<br />
4<br />
4 4<br />
mit 63% Cu<br />
9<br />
9
3.19 Energieverhältnisse<br />
bei chemischen<br />
Reaktionen<br />
exotherme Reaktion<br />
endotherme Reaktion<br />
Bildungsenthalpie<br />
Reaktionsenthalpie<br />
Chemie<br />
Energieverhältnisse bei chemischen Reaktionen<br />
Bei der Reaktion wird Energie, meist Wärme, nach außen abgegeben.<br />
Die Energie erscheint in der Reaktionsgleichung auf der rechten Seite<br />
mit Minus-Zeichen, sie wird von dem reagierenden Stoffsystem weggenommen.<br />
Bei der Reaktion wird Energie, meist Wärme, verbraucht, d. h., sie<br />
muss zugeführt werden, damit die Reaktion verläuft. Die Energie erscheint<br />
auf der rechten Seite mit Plus-Zeichen, sie muss dem Stoffsystem<br />
zugeführt werden.<br />
Wärme, die beim Entstehen einer chemischen Verbindung aus ihren<br />
Elementen gemessen werden kann. Angabe in der Einheit J/mol.<br />
4 Fe � 3 O 2 � 2 Fe 2O 3 – 16,62 · 10 5 J<br />
Da 2 mol Fe 2O 3 entstehen, beträgt die Bildungsenthalpie die Hälfte,<br />
W � 8,31 · 10 5 J/mol.<br />
Wärme, die bei einer chemischen Reaktion als Energiedifferenz auftritt.<br />
Ihr Betrag bezieht sich auf den Formelumsatz. Dazu wird die<br />
Reaktionsgleichung mit den kleinsten ganzzahligen Koeffizienten<br />
aufgestellt. Der dann in Molen beschriebene Stoffumsatz hat die angegebene<br />
Reaktionsenthalpie.<br />
Fe 2O 3 � 2 Al � Al 2O 3 � 2 Fe – 8,4 · 10 5 J<br />
Die Energieangabe bezieht sich dabei auf die Umsetzung von<br />
1 mol Fe 2O 3 � 160 g<br />
mit 2 mol Al � 54 g<br />
zu 1 mol Al 2O 3 � 102 g<br />
<strong>und</strong> 2 mol Fe � 112 g.<br />
Sie ist die Differenz aus den Bildungsenthalpien (� Trennungsenthalpien).<br />
Bildung von 1 mol Al2O3 – 16,71 · 105 J<br />
Trennung von 1 mol Fe2O3 � 5 8,31 · 10 J<br />
Reaktions-Enthalpie – 8,40 · 105 J<br />
91<br />
3
3<br />
92<br />
Chemie<br />
Bildungs- <strong>und</strong> Verbrennungswärme einiger Stoffe<br />
3.20 Heizwerte von Brennstoffen<br />
Name Heizwert<br />
Hu · 106 Name Heizwert<br />
3 J/m Hu · 106 J/kg<br />
Gase <strong>und</strong> Dämpfe 1) , chemisch rein Flüssige Brennstoffe<br />
Äthan<br />
Athen (Äthylen)<br />
Äthin (Acetylen)<br />
Benzol<br />
Dimetylbenzol (Xylol)<br />
Methan<br />
Methylbenzol (Toluol)<br />
Propan<br />
Propen (Propylen)<br />
C 2H 6<br />
C 2H 4<br />
C 2H 2<br />
C 6H 6<br />
C 6H 4(CH 3) 2<br />
CH 4<br />
C 6H 5CH 3<br />
C 3H 8<br />
C 3H 6<br />
64,5<br />
59,5<br />
56,9<br />
144,0<br />
199,0<br />
35,9<br />
172,0<br />
93,0<br />
87,8<br />
Äthanol (Äthylalkohol) C2H5OH Benzin für Automotoren<br />
Benzol<br />
C6H6 Dieselöl<br />
Flüssiggas<br />
Heizöl<br />
Methanol (Methylalkohol)<br />
Technische Gase 1) Feste Brennstoffe<br />
Erdgas, trocken<br />
Generatorgas<br />
Gichtgas<br />
Koksofengas<br />
Stadtgas<br />
Wassergas<br />
1) bezogen auf 1 Normalkubikmeter<br />
(25…33)<br />
(4,8…5,2)<br />
(3,9…4,1)<br />
(17,2…18)<br />
(17,6…19,3)<br />
(9,8…10,7)<br />
Holz, frisch<br />
Holz, trocken<br />
Braunkohle, roh<br />
Braunkohle, brikettiert<br />
Steinkohle, Anthrazit<br />
Zechenkoks<br />
Gaskoks<br />
3.21 Bildungs- <strong>und</strong> Verbrennungswärme einiger Stoffe<br />
Element<br />
(Stoff)<br />
C<br />
C<br />
CO<br />
P<br />
S<br />
Si<br />
Mn<br />
Ti<br />
Al<br />
Mg<br />
Ca<br />
H<br />
H<br />
H<br />
Oxid<br />
CO<br />
CO 2<br />
CO 2<br />
P 2O 5<br />
SO 2<br />
SiO 2<br />
MnO<br />
TiO 2<br />
Al 2O 3<br />
MgO<br />
CaO<br />
H 2O<br />
(HF)<br />
(Cl)<br />
27<br />
42,5<br />
40<br />
41,6<br />
45,8<br />
42,9<br />
19,5<br />
08,4<br />
15,1<br />
09,6<br />
19,3<br />
31,0<br />
29,3<br />
28,0<br />
Bildungswärme<br />
Verbrennungswärme<br />
J/m<br />
J / mol Oxid J / kg Stoff<br />
3 Gas<br />
bei 0 °C; 1,013 bar<br />
1,1 · 10 5<br />
3,9 · 10 5<br />
2,8 · 10 5<br />
15,1 · 10 5<br />
3,0 · 10 5<br />
8,6 · 10 5<br />
3,9 · 10 5<br />
9,4 · 10 5<br />
16,7 · 10 5<br />
6,0 · 10 5<br />
6,4 · 10 5<br />
2,9 · 10 5<br />
2,7 · 10 5<br />
0,9 · 10 5<br />
9,2 · 10 6<br />
32,8 · 10 6<br />
10,1 · 10 6<br />
24,3 · 10 6<br />
9,3 · 10 6<br />
30,6 · 10 6<br />
7,0 · 10 6<br />
19,7 · 10 6<br />
31,0 · 10 6<br />
24,8 · 10 6<br />
11,3 · 10 6<br />
142 · 10 6<br />
268 · 10 6<br />
91 · 10 6<br />
–<br />
–<br />
12,6 · 10 6<br />
–<br />
–<br />
–<br />
–<br />
–<br />
–<br />
–<br />
–<br />
12,8 · 10 6<br />
24,1 · 10 6<br />
8,2 · 10 6
4.1 Werkstoffprüfung<br />
Härteprüfung<br />
nach Brinell<br />
DIN EN ISO 6506/05<br />
Kurzzeichen HBW<br />
(W = Hartmetallkugel)<br />
Eindringkörper aus<br />
gehärtetem Stahl sind<br />
nicht mehr zulässig.<br />
(Bezeichnung HBS)<br />
HBW =<br />
0, 204F<br />
π DD D d<br />
Prüfkräfte <strong>und</strong> Prüfbedingungen<br />
( − 2 − 2 )<br />
HB F D, d<br />
1 N mm<br />
350 HBW 10/3000: Brinellhärtewert von 350 mit Kugel<br />
von 10mmm �, einer Prüfkkraft F = 29,420 kN<br />
bei genormter Einwirkdauer von 10...15 s gemessen<br />
(deshalb keine Angabe).<br />
Prüfkraft F errechnet sich aus dem sog. kgf-Wert<br />
(hier 3000). Er gibt die Masse m an, deren Gewichtskraft<br />
als Prüfkraft wirkt<br />
F = Beanspruchungsgrad x D 2/0,102 in N<br />
Werkstofftechnik<br />
Werkstoffprüfung<br />
120 HBW 5/250/30: Brinellhärte von 120 mit Kugel von 5 mm �, einer<br />
Prüfkkraft F = 2452 N bei einer längeren Einwirkdauer von 30 s gemessen.<br />
Kurzzeichen Kugel-� D B.-G. 1) Prüfkraft F in N Kurzzeichen Kugel-� D B.-G. 1) Prüfkraft F in N<br />
HBW 10/3 000 30 29420 HBW 2,5/187,5 30 1839<br />
HBW 10/1 500 15 14710 HBW 2,5/62,5 10 612,9<br />
HBW 10/1 000 10 mm 10 9807 HBW 2,5/31,25 2,5 mm 5 306,5<br />
HBW 10/500 5 4903 HBW 2,5/15,625 2,5 153,2<br />
HBW 10/250 2,5 2452 HBW 2,5/6,25<br />
1 61,29<br />
HBW 10/100<br />
1 980,7 1) Beanspruchungsgrad in MPa<br />
HBW 5/750 30 7355 HBW 1/30 30 294,2<br />
HBW 5/250 10 2452 HBW 1/10 10 98,07<br />
HBW 5/125 5 mm 5 1226 HBW 1/5 1 mm 5 49,03<br />
HBW 5/62,5 2,5 612,9 HBW ½,5 2,5 24,52<br />
HBW 5/25<br />
1 245,2 HBW 1/1<br />
1 9,807<br />
Mindestdicke s min der Proben in Abhängigkeit<br />
vom mittleren Eindruck-� d (mm):<br />
s min = 8 h mit Eindrucktiefe h<br />
2 2<br />
h= 0,5 ( D− D −d<br />
)<br />
Beanspruchungsgrad (werkstoff- <strong>und</strong> härteabhängig)<br />
= 0,102 x F /D 2 (� Übersicht).<br />
Übersicht: Werkstoffe <strong>und</strong> Beanspruchungsgrad<br />
Eindruck<br />
� d<br />
Mindestdicke s der Proben für Kugel-�<br />
D in mm:<br />
Werkstoffe<br />
Brinell-<br />
Bereich HBW<br />
Beanspruchungsgrad<br />
MPa<br />
D = 1 2 2,5 5 10 Stahl, Ni, Ti 30<br />
0,2<br />
1<br />
0,08<br />
1,07 0,83<br />
Gusseisen 1)<br />
< 140<br />
> 140<br />
10<br />
30<br />
1,5<br />
2<br />
2,4<br />
2,0 0,92<br />
1,67<br />
2,4 1,17<br />
Cu <strong>und</strong><br />
Legierungen<br />
35...200<br />
� 200<br />
< 35<br />
10<br />
30<br />
2,5<br />
3<br />
3,6<br />
4,0 1,84<br />
2,68<br />
Leichtmetalle<br />
< 35<br />
35 ... 80<br />
2,5<br />
5/ 10/ 15<br />
4 3,34<br />
> 80<br />
10/15<br />
5 5,36 Pb, Sn 1<br />
6 8,00 Sintermetalle ISO 4498/05<br />
1) Nur mit Kugel 2,5; 5 oder 10 mm �.<br />
Der Kugel-� D soll so groß wie möglich gewählt werden. Danach muß nach der Härteprüfung mit Hilfe<br />
der linken Tafel festgestellt werden, ob für den ermittelten Eindruck-� d die Mindestdicke kleiner ist als<br />
die Probendicke. Andernfalls ist die nächst kleinere Kugel zu verwenden.<br />
93<br />
4
4<br />
94<br />
Werkstofftechnik<br />
Werkstoffprüfung<br />
Härteprüfung<br />
nach Vickers<br />
DIN EN ISO 6507/05<br />
0,189F<br />
HV =<br />
d 2<br />
d1+ d2<br />
d =<br />
2<br />
HV F d<br />
1 N mm<br />
Kurzzeichen HV 640 HV 30: Vickershärte von 640 mit<br />
F = 294 N bei 10…15 s Einwirkdauer gemessen.<br />
180 HV 50/30: Vickershärte von 180 mit<br />
F = 490 N bei 30 s Einwirkdauer gemessen.<br />
Kleinkraftbereich:<br />
Für kleine Proben oder<br />
dünne Schichten mit<br />
kleineren Kräften zwischen<br />
1,96 <strong>und</strong> 49 N.<br />
Mikrohärteprüfung:<br />
Für einzelnen Kristalle<br />
mit Kräften von 0,1 bis<br />
1,96 N auf besonderen<br />
Geräten.<br />
Mindestdicke s der Proben<br />
min<br />
1,6<br />
mm<br />
1,4<br />
3<br />
1,2 4<br />
1,0<br />
5<br />
0,8<br />
2 1<br />
Kurve Prüfkraft F<br />
in N<br />
1 980<br />
2 490<br />
34 294<br />
196<br />
5 98<br />
6 49<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
6<br />
00 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300<br />
Vickershärte HV<br />
Diagramm: Mindestdicke in Abhängigkeit von Härte <strong>und</strong> Prüfkraft<br />
Ablesebeispiel: Probe mit einer zu erwartenden Härte von 300 HV <strong>und</strong> 1 mm Dicke.<br />
Der Schnittpunkt beider Koordinaten im Diagramm liegt oberhalb der Kurve 2, also ist eine Prüfkraft<br />
von F = 490 N geeignet, sie würde in einem weicheren Werkstoff mit der Probendicke s = 1 mm bis<br />
herunter zu einer Vickershärte von 200 HV noch zulässig sein.<br />
Härteprüfung<br />
nach Rockwell<br />
DIN EN ISO<br />
6508/05<br />
Prüfverfahren mit Diamantkegel<br />
HRC<br />
HRA = 100 – 500 t b<br />
HRC t b<br />
1 mm<br />
HRN= 100−1000 tb<br />
HRN t b<br />
1 mm<br />
Kurzzeichen HRC HRA HR 15 N HR 30 N HR 45 N<br />
Prüfvorkraft F 0 98 98 29,4 29,4 29,4<br />
Prüfkraft F 1 1373 490 117,6 265,0 412,0<br />
Prüfgesamtkraft F 1471 588 147,0 294,0 441,0<br />
Messbereich 20...70 HRC 60...88 HRA 68...92 HR 15 N 39...84 HR 45 N 17...75 HR 45 N<br />
Härteskale 0,2 mm 0,2 mm 0,1 mm<br />
Werkstoffe Stahl gehärtet,<br />
angelassen<br />
Wolframcarbid,<br />
Bleche � 0,4 mm<br />
Dünne Proben � 0,15 mm, kleine Prüfflächen, dünne<br />
Oberflächenschichten<br />
Die Probendicke soll mindestens das 10-fache der bleibenden Eindringtiefe t b betragen.
Zugversuch<br />
DIN EN 10 002/01<br />
Hooke`sches Gesetz<br />
Mit Zugproben (DIN 50 125)<br />
L =5d<br />
0 0<br />
L0 =5,65S0<br />
∆ L F<br />
= E = E =<br />
L0 S0<br />
σ ε<br />
Zugfestigkeit R<br />
Fmax<br />
m Rm<br />
=<br />
S0<br />
Streckgrenze R e<br />
0,2-Dehngrenze R p 0,2<br />
Bruchdehnung A<br />
Brucheinschnürung Z<br />
Elastizitätsmodul E<br />
Kerbschlagbiegeversuch<br />
(Charpy)<br />
DIN EN 10045/91<br />
DIN 50115/91<br />
F02<br />
,<br />
Re<br />
=<br />
S0<br />
F02<br />
,<br />
Rp02<br />
, =<br />
S0<br />
o<br />
Werkstofftechnik<br />
Werkstoffprüfung<br />
�, E � �L, L 0 F S 0<br />
N<br />
2 mm<br />
1 mm N mm 2<br />
R m , R e ,R p0,2 A 5,A 10,Z F L S 0 �<br />
N<br />
2 mm<br />
Lu − Lo<br />
A = ⋅ 100 %<br />
L<br />
So − Su<br />
Z = ⋅ 100 %<br />
S<br />
= �<br />
E<br />
�<br />
el<br />
Kerbschlagarbeit<br />
KV (KU)= F(h – h 1 )<br />
Kurzzeichen KV = 100 J: Verbrauchte Schlagarbeit<br />
100 J an V-Kerb-Normalprobe<br />
<strong>und</strong> einem Pendelhammer mit<br />
300 J Arbeitsvermögen (Normwert)<br />
ermittelt,<br />
KU 100 = 65 J: Verbrauchte<br />
Schlagarbeit 65 J an U-Kerb-Normalprobe<br />
mit Pendelhammer von<br />
100 J Arbeitsvermögen ermittelt<br />
o<br />
% N mm 2 mm 2<br />
Spannung-Dehnung-Diagramme<br />
1 weicher Stahl<br />
2 legierter Stahl<br />
3 Gusseisen<br />
KV, KU F H, h 1<br />
J N m<br />
1<br />
95<br />
4
4<br />
96<br />
Werkstofftechnik<br />
Eisen-Kohlenstoff-Diagramm<br />
4.2 Eisen-Kohlenstoff-Diagramm<br />
Temperaturin C<br />
°<br />
1536 ° C A 2<br />
1500<br />
H I<br />
3<br />
1392 C<br />
4<br />
° N<br />
1300<br />
1100<br />
B<br />
1493 ° C<br />
7<br />
911° C G<br />
900<br />
11<br />
M 769 ° C 0<br />
12 P’ S’<br />
700 P S<br />
10<br />
5<br />
1<br />
1153 ° C<br />
1147 ° C<br />
8 9<br />
738 ° C<br />
723 ° C<br />
13 14 15 16<br />
500 0,8 2 3 4 4,3<br />
Kohlenstoffgehalt in Gewichtsprozent<br />
5 5 6,67 7<br />
0 10 20 30 40 50 60 70<br />
Zementitgehalt in Gewichtsprozent<br />
80 90 100<br />
Phasenanteile der Legierungen in den Zustandsfeldern 1...16<br />
E’<br />
E<br />
Metastabiles System Fe-Fe 3C (ausgezog. Linien) Stabiles System, Fe-C (strichlierte Linien)<br />
1 Schmelze (S) 9 Primär-Zem.+ Eu. 1 Schmelze (S) 9 G. + G.-Eutektikum<br />
2 S.+ �-Mk. 10 �-Mk. + Sek.-Zem. 2 S. + �-Mk. 10 �-Mk. + sek. Graphit.<br />
3 �-Mischkristalle 11 �-Mk. + �-Mk. 3 �-Mischkristalle 11 �-Mk. + �-Mk.<br />
4 �-Mk. + �-Mk. 12 �-Mk. (Ferrit) 4 �-Mk. + �-Mk. 12 �-Mk. (Ferrit)<br />
5 S.+ �-Mk. 13 Ferrit + Perlit 5 Schmelze + �-Mk 13<br />
6 S.+ Primärzementit 14 Sek-Zem.+ Perlit 6 Schmelze + Graphit 14<br />
7 �-Mk (Austenit) 15 Perlit + Eu. 7 �-Mischkristalle 15<br />
8<br />
�-Mk + Eutektikum<br />
(Ledeburit).<br />
16<br />
Prim. Zementit<br />
+ Eutektikum.<br />
8<br />
C’<br />
C<br />
�-Mk.+<br />
Graphiteutektikum<br />
D’<br />
16<br />
6<br />
�-Mk. + Graphit<br />
D<br />
F’<br />
F<br />
K K’
Haltepunkte, Kurzzeichen <strong>und</strong> Bedeutung<br />
Ar 3<br />
Ar 1<br />
Ar cm<br />
Haltepunkt A 3 bei Abkühlung, Beginn der<br />
Ferritausscheidung (Linie GSK)<br />
Austenitzerfall <strong>und</strong> Perlitbildung beim<br />
Abkühlen<br />
Beginn der Zementit-Ausscheidung beim<br />
Abkühlen (Linie ES)<br />
Werkstofftechnik<br />
Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027<br />
Ac 3<br />
Ac 1<br />
Ac cm<br />
4.3 Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027<br />
Haltepunkt A 3 bei Erwärmung, Ende der<br />
Austenitbildung (�-�-Umwandlung)<br />
Umwandlung des Perlit zu Austenit beim<br />
Erwärmen<br />
Ende der Zementit-Einformung beim Erwärmen<br />
Teil 1: Bezeichnungssystem für Stähle. Die Bezeichnung eines Stahles mit Kurznamen wird durch<br />
Symbole auf 4 Positionen gebildet.<br />
Pos. 1 Pos. 2 Pos. 3 Pos. 4<br />
Werkstoffsorte<br />
Haupteigenschaft<br />
Besondere Werkstoffeigenschaften,<br />
Herstellungsart<br />
Hauptsymbole Zusatzsymbole<br />
1 Verwendungsbereich<br />
(G=Stahlguss) 1)<br />
2 Mech.<br />
Eigenschaften<br />
3a Herstellungsart,<br />
zusätzliche<br />
mechanische Eigenschaften<br />
G S Stahlbau Kerbschlagarbeit KV<br />
z. B. Stähle nach<br />
DIN EN 10025-2<br />
-3<br />
-4<br />
-5<br />
-6<br />
G P<br />
Druck-<br />
behälter<br />
z. B. Stähle<br />
DIN EN 10028<br />
Stahlguss 10213<br />
E<br />
<strong>Maschinenbau</strong><br />
Mindest-<br />
streck-<br />
grenze<br />
R e, min<br />
f. d.<br />
kleinsten<br />
Erzeugnis-<br />
A v (J) 27 40 60<br />
Symbol J K L<br />
Te<br />
mp.<br />
Sy<br />
mb.<br />
bereich A<br />
M<br />
N<br />
Q<br />
G<br />
R e, min<br />
f. d.<br />
kleinsten<br />
Erzeugnisbereich<br />
wie oben<br />
z. B. Stähle DIN EN 10025-2<br />
1) G wahlweise vorgestellt<br />
B<br />
M<br />
N<br />
Q<br />
S<br />
T<br />
G<br />
Schlagtemperatur in °C<br />
RT 0 -20 -30 -40 -50<br />
R 0 2 3 4 5<br />
Auscheidungshärtend<br />
Thermomechanisch,<br />
normalisierend gewalzt<br />
Vergütet<br />
Andere Merkmale<br />
(evtl. 1 oder 2 Folgeziffern)<br />
Gasflaschen<br />
Thermomechanisch,<br />
normalisierend gewalzt.<br />
Vergütet<br />
Einfache Druckbehälter<br />
Rohre<br />
Andere Merkmale<br />
(evtl. mit 1 oder 2 Folgeziffern)<br />
G Andere Merkmale,<br />
evtl. mit 1 oder 2 Folgeziffern<br />
C<br />
D<br />
E<br />
F<br />
H<br />
L<br />
M<br />
N<br />
P<br />
Q<br />
S<br />
T<br />
W<br />
H<br />
L<br />
R<br />
X<br />
Erzeugnisart<br />
3b Eignung für bestimmte<br />
Einsatzbereiche bzw.<br />
Verfahren<br />
Bes. Kaltformbarkeit<br />
F.Schmelztauchüberzg<br />
Für Emaillierung<br />
Zum Schmieden<br />
Für Hohlprofile<br />
F. tiefe Temperaturen<br />
Thermomech. gew.<br />
Normalis. gewalzt<br />
Für Sp<strong>und</strong>wände<br />
Zum Vergüten<br />
Schiffbau<br />
Für Rohre<br />
Wetterfest<br />
Hochtemperatur<br />
Tieftemperatur<br />
Raumtemperatur<br />
Hoch- u. Tieftemp.<br />
4<br />
Tab.<br />
A<br />
B<br />
C<br />
Tab.<br />
A<br />
B<br />
C<br />
C Eignung zum<br />
Kaltziehen Tab.<br />
B<br />
97<br />
4
4<br />
98<br />
Werkstofftechnik<br />
Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027<br />
1 Verwendungsbereich<br />
(G = Stahlguss) 1)<br />
Stähle für<br />
R<br />
Schienen<br />
oder in Form von<br />
Schienen<br />
Flacher-<br />
H<br />
zeugnisse,<br />
aus höherfesten<br />
Stählen zum Kalt-<br />
umformen, z. B.<br />
Bleche + Bänder<br />
DIN EN 10268,<br />
2 Mech.<br />
Eigen-<br />
schaften<br />
nnn =<br />
Mindesthärte<br />
HBW<br />
R e, min<br />
oder mit<br />
Zeichen T<br />
R m, min<br />
3a Herstellungsart , zusätzliche<br />
mechanische Eigenschaften<br />
Cr<br />
Mn<br />
an<br />
B<br />
C<br />
I<br />
LA<br />
M<br />
Cr-legiert<br />
Mn- Gehalt hoch<br />
Chem. Symbole für andere<br />
Elemente + 10-facher Gehalt<br />
Bake hardening<br />
Koplexphase<br />
Isotroper Stahl<br />
Niedrig legiert<br />
Thermomech. gewalzt<br />
P<br />
T<br />
X<br />
Y<br />
3b Eignung für bestimmte<br />
Einsatzbereiche/ Verfahren<br />
HT<br />
LHT<br />
Q<br />
P-legiert<br />
TRIP-Stahl<br />
Dualphasenstahl<br />
IF (interstitiell<br />
free )<br />
Pos. 1 2 3<br />
D Flacherzeugnisse<br />
zum Kaltumformen,<br />
z. B. Bleche + Bänder<br />
DIN EN 10130,<br />
10209, 10326,<br />
Cnn<br />
Dnn<br />
Xnn<br />
nn<br />
Kaltgewalzt<br />
Warmgewalzt, für unmittelbare<br />
Kaltumformung<br />
Walzart (kalt/warm) nicht<br />
vorgeschrieben<br />
Kennzahl nach Norm<br />
D<br />
EK<br />
ED<br />
H<br />
T<br />
G<br />
Pos. 1 2 3<br />
G C Unlegierte<br />
Stähle<br />
Mn-Gehalt � 1 %,<br />
z. B. Stähle DIN EN<br />
10083-1<br />
nn<br />
Kennzahl<br />
= 100-facher<br />
C-Gehalt<br />
C<br />
D<br />
E<br />
R<br />
Zum Kaltumformen<br />
Zum Drahtziehen<br />
Vorgeschriebener<br />
max. S-Gehalt,<br />
Vorgeschriebener<br />
S – Bereich (%)<br />
Wärmebehandelt<br />
Niedrig legiert,<br />
wärmebehandelt:<br />
Vergütet<br />
D Für<br />
Schmelztauchüberzüge<br />
Für Schmelztauchüberzüge<br />
Für konv. Emaillierung<br />
Für Direktemaillierung<br />
Für Hohlprofile<br />
Für Rohre<br />
Andere Merkmale<br />
S<br />
U<br />
W<br />
G<br />
Für Federn<br />
Für Werkzeuge<br />
Für Schweißdraht<br />
Andere Merkmale<br />
Pos.1 2 2a 3 4<br />
G � Niedriglegierte Stähle<br />
� LE � 5%,<br />
z. B. Einsatzstähle DIN EN<br />
10084, Unlegierte Stähle mit<br />
�1 % Mn, z. B. Automatenstähle<br />
DIN EN 10087<br />
G X Hochlegierte Stähle<br />
mit � LE � 5%<br />
nn Kennzahl<br />
= 100-facher<br />
C-Gehalt<br />
1000<br />
100<br />
nn<br />
HS Schnellarbeitsstähle nn<br />
1) G wahlweise vorgestellt<br />
Bor<br />
Ce, N, P, S<br />
Kennzahl<br />
= 100-facher<br />
C-Gehalt<br />
Zusatzsymbole für Stahlerzeugnisse (Pos. 4)<br />
LE-Symbole nach fallenden Gehalten geordnet,<br />
danach Kennzahlen mit Bindestrich getrennt in<br />
gleicher Folge<br />
Kennzahlen sind Vielfache der LE-%. Die Faktoren sind:<br />
10<br />
4<br />
Al, Be, Cu, Mo, Nb, Pb, Ta, Ti, V, Zr.<br />
Cr, Co, Mn, Ni, Si, W<br />
LE-Symbole nach fallenden Gehalten geordnet,<br />
danach die %-Gehalte der Haupt - LE- mit<br />
Bindestrich in gleicher Folge<br />
Prozentualer Gehalt der LE in der Folge W-Mo-V-Co<br />
(mit Bindestrich)<br />
Tabelle A: für besondere Anforderungen an das Erzeugnis<br />
+C<br />
+F<br />
Grobkornstahl<br />
Feinkornstahl<br />
+H<br />
+Z15/25/35<br />
Mit besonderer Härtbarkeit<br />
Mindestbrucheinschnürung. Z (senkr. z. Oberfläche) in %<br />
___<br />
4<br />
----<br />
Tab.<br />
C<br />
Tab.<br />
B<br />
C<br />
Tab.<br />
B<br />
Tab.<br />
A, B<br />
___ Tab.<br />
A, B<br />
___ Tab.<br />
B
Tabelle B: für den Behandlungszustand<br />
Werkstofftechnik<br />
Baustähle DIN EN 10025-2/05<br />
+A<br />
+AC<br />
Weichgeglüht<br />
Auf kugelige Carbide geglüht<br />
+I Isothermisch behandelt<br />
+QT<br />
+QW<br />
Vergütet<br />
Wassergehärtet<br />
+AR Wie gewaltzt (ohne besondere<br />
Bedingungen)<br />
+LC<br />
Leicht kalt nachgezogen<br />
bzw. gewalzt<br />
+S Behandelt auf Kaltscherbarkeit<br />
+AT Lösungsgeglüht +M Thermomech. behandelt +SR Spannungsarmgeglüht<br />
+C Kaltverfestigt +N Normalgeglüht +S Rekristallisationsgeglüht<br />
+Cnnn<br />
+CPnnn<br />
Kaltverfestigt auf mindestens<br />
Rm = nnn MPa<br />
Kaltverfestigt auf mindestens<br />
Rp0,2 = nnn MPa<br />
+NT<br />
+NT<br />
Ausscheidungsgehärtet<br />
Normalgeglüht<br />
+ angelassen<br />
+T<br />
+TH<br />
Angelassen<br />
Behandelt auf Härtespanne<br />
+CR Kaltgewalzt +Q Abgeschreckt +U Unbehandelt<br />
+DC Lieferzustd. d. Hersteller überlassen +QA Luftgehärtet +WW Warmverfestigt<br />
+HC Warm-kalt-geformt +QO Ölgehärtet<br />
Tabelle C: für die Art des Überzuges<br />
+A Feueraluminiert +IC Anorganische Beschichtung +Z Feuerverzinkt<br />
+AR Al-walzplattiert +OC Organische Beschichtung +ZA ZnAl-Legierung (> 50 % Zn)<br />
+AS Al-Si-Legierung +S Feuerverzinnt +ZE Elektrolytisch verzinkt<br />
+AZ<br />
AlZn-Legierung<br />
(� 50 % Al)<br />
+SE Elektrolytische verzinnt +ZF<br />
Diffusionsgeglühte Zn-<br />
Überzüge (galvanealed)<br />
+CE<br />
Elektrolytisch spezialverchromt<br />
+T<br />
Schmelztauchveredelt<br />
mit PbSn<br />
+CU Cu-Überzug +TE Elektrolytisch mit PbSn überzogen<br />
4.4 Baustähle DIN EN 10025-2/05<br />
Stahlsorte<br />
Kurzzeichen<br />
Werkstoff<br />
Nr.<br />
ReH bzw. Rp0,2 Nenndicken (mm)<br />
� 16 � 100 � 200<br />
R m<br />
MPa<br />
� 100<br />
A 80 1) A %<br />
Nenndicken (mm)<br />
�1...
4<br />
Werkstofftechnik<br />
Vergütungsstähle DIN EN 10083/06<br />
100<br />
4.5 Schweißgeeignete Feinkornbaustähle<br />
DIN EN Beschreibung Sorten<br />
10025-3/05 Warmgewalzte<br />
Normalgeglühte/ normalisierend gewalzte Sor-<br />
(10113-2 Z) Erzeugnisse aus schweißge- ten in 4 Stufen, kaltzähe Sorten (Symbol NL)<br />
10025-4/05<br />
(10113-3 Z)<br />
10025-6/05<br />
(10137 Z)<br />
eigneten Feinkornbaustählen Thermomechanisch gewalzte Sorten in 4 Stu-<br />
fen, kaltzähe Sorten (Symbol ML)<br />
Flacherzeugnisse aus Baustählen<br />
mit höherer Streckgrenze<br />
im vergüteten Zustand<br />
Vergütet, in 5 Stufen (z. B. für Stahlkonstruktionen<br />
im Kranbau <strong>und</strong> für Schwerlastfahrzeuge);<br />
zu jeder 2 kaltzähe Sorten (QL, QL1)<br />
S275N / 355 / 420 / 460<br />
SnnnNL mit KV-50 = 27 J<br />
S275M / 355 / 420 / 460<br />
SnnnML mit KV-50 = 27 J<br />
S460Q / 500 / 550 / 620 / 690<br />
SnnnQL : KV-40 = 30 J<br />
SnnnQL1: KV-60 = 30 J<br />
4.6 Warmgewalzte Flacherzeugnisse aus Stählen mit hoher Streckgrenze zum Kaltumformen,<br />
thermomechanisch gewalzte Stähle DIN EN 10149-2/95<br />
Kurzname 1) SEW 092<br />
Werkstoff-<br />
Nr.<br />
Rm MPa<br />
A % für<br />
t � 3 mm<br />
Faltversuch,180°<br />
Dorn-� mm<br />
Biegeradien für Dicke t<br />
3...6 > 6 mm<br />
S315MC QStE 300 TM 1.0972 390...510 24 0 t<br />
0,5 t 1,0 t<br />
S355MC QStE 360 TM 1.0976 430...550 23<br />
0,5t<br />
S420MC QStE 420 TM 1.0980 480...620 19<br />
1,0 t 1,5 t<br />
S460MC QStE 460 TM 1.0982 520...670 17<br />
1 t<br />
S500MC QStE 500 TM 1.0984 550..700 14<br />
S550MC QStE 550 TM 1.0986 600...760 14<br />
1,5 t 1,5 t 2,0 t<br />
S600MC QStE 600 TM 1.0988 650...820 13<br />
S650MC QStE 650 TM 1.0989 700...880 12<br />
2 t 2,0 t 2,5 t<br />
S700MC QStE 700 TM 1.0966 750...950 12<br />
1) Kurzname enthält die obere Streckgrenze in MPa, Bruchdehnung A an Längs-, Faltversuch an Querproben.<br />
4.7 Vergütungsstähle DIN EN 10083/06<br />
Stahlsorte Durchmesserbereich d � 16 mm 16 � d �40 mm<br />
Kurzname Stoff.-<br />
Nr.<br />
Re Rm MPa<br />
A<br />
%<br />
Z<br />
%<br />
Re Rm MPa<br />
A<br />
%<br />
Z<br />
%<br />
C22E 1)<br />
C35E 1)<br />
C40E 1)<br />
C45E 1)<br />
C50E 2<br />
C55E 1)<br />
C60E 1)<br />
28Mn6<br />
38Cr2<br />
46Cr2<br />
34Cr4 2)<br />
37Cr4 2)<br />
41Cr4 2)<br />
25CrMo4 2<br />
34CrMo4 2)<br />
42CrMo4 2)<br />
1.1151 340 500...650 20 50 290 470...620 22 50<br />
1.1181 430 630...780 17 40 380 600...750 19 45<br />
1.1186 460 650...800 16 35 400 630..780 18 40<br />
1.1191 490 700...850 14 35 430 650...800 16 40<br />
1.1206 520 750...900 13 30 460 700...850 15 35<br />
1.1203 550 800...950 12 30 490 750...900 14 35<br />
1.1221 580 850...1000 11 25 520 800...950 13 30<br />
1.1170 590 800...950 13 40 490 700...850 15 45<br />
1.7003 550 800...950 14 35 450 700...850 15 40<br />
1.7006 650 900...1100 12 35 550 800...950 14 40<br />
1.7033 700 950...1150 12 35 590 800...950 14 40<br />
1.7034 750 950...1200 11 35 630 850...1000 13 40<br />
1.7035 800 1000.. 1200 11 30 6 60 900...1100 12 35<br />
1.7218 700 900...1100 12 50 600 800 950 14 55<br />
1.7220 800 1000...1200 11 45 650 900...1100 12 50<br />
1.7225 900 1100...1300 10 40 750 1000...1200 11 45<br />
50CrMo4 1.7228 900 1100...1300 9 40 780 1000...1200 10 45<br />
34CrNiMo6 1.6582 1000 1200...1400 9 40 900 1100...1300 10 45<br />
30CrNiMo8 1.6580 1050 1250...1450 9 40 1050 1250...1450 9 40<br />
35NiCr6 1.5815 740 880...1080 12 40 740 880...1080 14 40<br />
36NiCrMo16 1.6773 1050 1250...1450 9 40 1050 1250...1450 9 40<br />
39NiCrMo3 1.6510 785 980...1180 11 40 735 930..1130 11 40<br />
30NiCrMo16-6 1.6747 880 1080...1230 10 45 880 1080...1230 10 45<br />
51CrV4 1.8159 900 1100...1300 9 40 800 1000...1200 10 45<br />
1) Zu diesen Sorten gibt es je einen Qualitätsstahl (z.B.C35) <strong>und</strong> eine Variante mit verbesserter Spanbarkeit (z.B. C35R)<br />
2) Zu diesen Sorten gibt es eine Variante mit verbesserter Spanbarkeit ( unlegiert C50R, legiert z.B. 34CrS4) erreicht durch<br />
leicht erhöhte S-Gehalte von 0,02...0,04 % Teil 2 enthält 6 Sorten mit Bor-Gehalten von 0.0008...0,005 %.<br />
KV<br />
J<br />
50<br />
35<br />
30<br />
25<br />
--<br />
--<br />
--<br />
40<br />
35<br />
35<br />
35<br />
50<br />
35<br />
50<br />
40<br />
35<br />
30<br />
45<br />
30<br />
35<br />
30<br />
35<br />
35<br />
35
4.8 Einsatzstähle DIN EN 10084/98<br />
Stahlsorte<br />
C10E+H<br />
C15E+H<br />
17Cr3+H<br />
16MnCr5+H<br />
20MnCr5+H<br />
20MoCr4+H<br />
22CrMoS3-5+H<br />
20NiCrMo2-2+H<br />
17CrNi6-6+H<br />
18CrNiMo7-6+H<br />
Werkstoff-<br />
nummer<br />
1.1121<br />
1.1141<br />
1.7016<br />
1.7131<br />
1.7147<br />
1.7321<br />
1.7333<br />
1.6523<br />
1.5919<br />
1.6587<br />
HB<br />
geglüht<br />
131<br />
143<br />
174<br />
207<br />
217<br />
207<br />
217<br />
212<br />
229<br />
229<br />
4.9 Nitrierstähle DIN EN 10085/01<br />
Stahlsorte<br />
Kurzname Werkstoff-Nr. �-Bereich<br />
in mm<br />
31CrMo12<br />
31CrMoV9<br />
15CrMoV6-9<br />
34CrAlMo5<br />
35CrAlNi7<br />
1.8215<br />
1.8519<br />
1.8521<br />
1.8507<br />
1.8550<br />
...40<br />
41...100<br />
...80<br />
81...150<br />
...100<br />
101...250<br />
...70<br />
70...250<br />
Werkstofftechnik<br />
Bezeichnung der Gusseisensorten DIN EN 1560/97<br />
Stirnabschreckversuch, Härte HRC<br />
für einen Stirnabstand in mm<br />
1,5 5 11 25<br />
39<br />
39<br />
41<br />
41<br />
42<br />
41<br />
39<br />
40<br />
31<br />
36<br />
31<br />
37<br />
31<br />
36<br />
39<br />
Eigenschaften vergütet<br />
Rp0,2 MPa<br />
850<br />
800<br />
800<br />
750<br />
750<br />
700<br />
600<br />
600<br />
4.10 Stahlguss DIN EN 10293/05<br />
Stahlsorte<br />
Kurzname Zustand<br />
GE200<br />
GE240<br />
GE300<br />
G17Mn5<br />
G20Mn5<br />
G30CrMoV6-4<br />
G9Ni14<br />
+N<br />
+N<br />
+N<br />
+QT<br />
+N<br />
+QT<br />
+QT<br />
Stoff-<br />
Nr.<br />
1.0420<br />
1.0446<br />
1.0558<br />
1.1131<br />
1.1120<br />
1.7725<br />
1.5638<br />
Dicke<br />
mm<br />
� 300<br />
� 300<br />
� 100<br />
� 50<br />
� 30<br />
� 100<br />
� 35<br />
R m,min<br />
MPa<br />
A<br />
%<br />
10<br />
11<br />
11<br />
13<br />
10<br />
12<br />
14<br />
15<br />
380...530<br />
450...600<br />
520..670<br />
450...600<br />
480...620<br />
850...1000<br />
500...650<br />
KV<br />
J<br />
R p 0,2<br />
MPa<br />
21<br />
28<br />
22<br />
28<br />
20<br />
30<br />
36<br />
35<br />
35<br />
35<br />
30<br />
35<br />
35<br />
30<br />
200<br />
230<br />
300<br />
240<br />
300<br />
700<br />
360<br />
A<br />
%<br />
25<br />
22<br />
18<br />
24<br />
20<br />
14<br />
20<br />
21<br />
22<br />
22<br />
31<br />
HV1<br />
800<br />
800<br />
800<br />
950<br />
950<br />
Anwendungsbeispiele<br />
Kleine Teile mit niedriger Kernfestigkeit:<br />
Bolzen Zapfen, Buchsen, Hebel<br />
w. o. mit höherer Kernfestigkeit<br />
Zahnräder <strong>und</strong> Wellen im<br />
} Fahrzeug- <strong>und</strong> Getriebebau<br />
Zum Direkthärten geeignet<br />
Für größere Querschnitte<br />
Getriebeteile höchster Zähigkeit<br />
hochbeanspruchte Getriebeteile,<br />
Wellen, Zahnräder<br />
Eigenschaften, Anwendungsbeispiele<br />
Warmfest, für Teile von Kunststoff-<br />
maschinen.<br />
Ionitrierte Zahnräder mit hoher Dauer-<br />
festigkeit.<br />
Größere Nitrierhärtetiefe, warmfest.<br />
Druckgießformen für Al-Legierungen<br />
Für große Querschnitte<br />
KV in J<br />
bei RT bei / ° C<br />
27<br />
27<br />
31<br />
70<br />
60<br />
45<br />
---<br />
4.11 Bezeichnung der Gusseisensorten DIN EN 1560/97<br />
--<br />
--<br />
--<br />
27 / -40<br />
27 / -40<br />
27 / -40<br />
27 / -90<br />
Anwendungsbeispiele<br />
Kompressorengehäuse<br />
Konvertertragring<br />
Großzahnräder<br />
Tunnelabdeckung (U-Bahn)<br />
Fachwerkknoten (2,3 t)<br />
Achsschenkel (400 kg)<br />
Kaltzäh, Kälteanlagen<br />
Kurzzeichen werden aus max. 6 Positionen gebildet: Pos. 1. EN für Europäische Norm, Pos. 2. GJ für<br />
Gusseisen, J steht für I (iron), um Verwechslungen zu vermeiden.<br />
EN GJ 3. 4. 5. 6.<br />
Pos. 3 Zeichen für Graphitform (wahlfrei) Pos.4 Zeichen für Mikro- oder<br />
Makrogefüge (wahlfrei)<br />
L lamellar A Austenit Q Abschreckgefüge<br />
S kugelig F Ferrit T Vergütungsgefüge<br />
V vermicular P Perlit B nichtentkohlend geglüht<br />
H graphitfrei, (ledeburitisch) M Martensit W entkohlend geglüht<br />
M Temperkohle L Ledeburit N graphitfrei<br />
}<br />
101<br />
4
4<br />
Werkstofftechnik<br />
Gusseisen mit Lamellengraphit GJL DIN EN 1561/97<br />
102<br />
Pos. 5. Angabe der mechanischen Eigenschaften (obligatorisch)<br />
Sorte Eigenschaft (Festigkeiten in MPa)<br />
GJL-<br />
GJMB-<br />
GJMW-<br />
GJS-<br />
Mindestzugfestigkeit oder Härte HB, HV .<br />
� Mindestzugfestigkeit � Mindestbruchdehnung %)<br />
zusätzlich für die Temperatur bei Messung der Kerbschlagarbeit:<br />
�RT (bei Raum-,�LT (bei Tieftemperatur).<br />
oder der chemischen Zusammensetzung.<br />
Alle<br />
anderen<br />
Sorten<br />
Bezeichnung wie bei den legierten Stählen mit C-Kenn-<br />
zahl, Symbole der LE, Multiplikatoren mit Bindestrich<br />
(4.3 Teil 1, Legierte Stähle.)<br />
Hochlegierte Sorten mit X (wahre Prozente)<br />
4.12 Gusseisen mit Lamellengraphit GJL DIN EN 1561/97<br />
Mechanische Eigenschaften in getrennt gegossenen Proben von 30 mm Rohdurchmesser<br />
Eigenschaft<br />
Formelzeichen<br />
Einheit<br />
Sorte EN -GJL-<br />
-150 -200 -250 -300 -350<br />
Zugfestigkeit R m MPa 150...250 200...300 250...350 350...400 350...450<br />
0,1 %-Dehngrenze R p0,2 MPa 98...165 130...195 165...228 195...260 228...285<br />
Bruchdehnung A % 0,8...0,3 0,8....0,3 0,8...0,3 0,8...0,3 0,8...0,3<br />
Druckfestigkeit � dB MPa 600 720 840 960 1080<br />
Biegefestigkeit � bB MPa 250 290 340 390 490<br />
Torsionsfestigkeit � tB MPa 170 230 290 345 400<br />
Biegewechselfestigkeit � bW MPa 70 90 120 140 145<br />
Weitere 6 Sorten werden nach der Brinellhärte benannt (gemessen im Wanddickenbereich 40...80 mm): EN GJL-HB155 /<br />
175 / 195 / 215 / 235 / 255.<br />
Schaubild zur Abschätzung von Zugfestigkeit <strong>und</strong> Brinellhärte in Gussstücken<br />
Pos. 6 Zeichen für zusätzliche<br />
Anforderungen (wahlfrei)<br />
D Rohgussstück<br />
H Wärmebehandeltes Gussstück<br />
W<br />
Schweißeignung für<br />
Verbindungsschweißungen<br />
Z zusätzliche Anforderungen<br />
nach Bestellung
4.13 Gusseisen mit Kugelgraphit GJS DIN 1563/05<br />
Werkstofftechnik<br />
Temperguss GJM DIN EN 1562/06<br />
Kurzname<br />
EN-GJS-<br />
Rp0,2 MPa<br />
� a = � t<br />
MPa<br />
KIc in 3)<br />
MPa�m<br />
� d<br />
MPa<br />
� 4)<br />
bB<br />
MPa<br />
� 5)<br />
bB<br />
MPa<br />
Gefüge Anwendungsbeispiele<br />
-350-22 1) 220 315 31 180 114 Ferrit<br />
-400-18 2) 250 360 30 700 195 122 Ferrit Windenergieanlagen<br />
-400-15 250 360 30 700 200 124 Ferrit Preßholm für 6000 t-Presse, 47 t<br />
-450-10 310 405 23 700 210 128 Ferrit Pressenständer (165 t)<br />
-500-7 320 450 25 800 224 134 Ferrit/Perlit Zylinder für Diesel-Ramme, 1,7 t<br />
-600-3 380 540 20 870 248 149 Ferrit/Perlit Kolben (Großdieselmotor)<br />
-700-2 440 630 15 1000 280 168 Perlit Planetenträger, Kurbelwelle VR5,<br />
-800-2 500 720 14 1150 304 182 Perlit/Bainit<br />
-900-2 600 810 14 ---- 317 190 Martensit, wärmebehandelt<br />
1) Hierzu gibt es je eine Sorte mit gewährleisteter Kerbschlagarbeit bei RT (-RT angehängt) mit 17 J bei +23 °C oder tiefen<br />
Temperaturen (-LT) mit 12 J bei –40 °C; 2) Hierzu gibt es je eine Sorte mit gewährleisteter Kerbschlagarbeit bei RT (-RT) mit<br />
14 J bei +23 °C oder tiefen Temperaturen (-LT) mit 12 J bei –20 °C ; 3) Bruchzähigkeit; 4) Umlaufbiegeversuch, ungekerbte<br />
Probe; 5) Umlaufbiegeversuch, gekerbte Probe; Werte gelten für getrennt gegossene Probestücke.<br />
4.14 Temperguss GJM DIN EN 1562/06<br />
Kurznamen<br />
DIN EN 1562 DIN 1692(Z)<br />
R p0,2<br />
MPa<br />
HB 30<br />
�<br />
EN-GJMW- Entkohlend geglühter (weißer) Temperguss<br />
Anwendungsbeispiele<br />
(Härte HBW nur Anhaltswerte)<br />
-350-4 GTW-35-04 -- max. 230 Für normalbeanspruchte Teile, Fittings, Förderkettenglieder,<br />
Schlossteile<br />
-360-12 GTW-S38-12 190 max. 200<br />
Schweißgeeignet für Verb<strong>und</strong>e mit Walzstahl, Teile für Pkw-Fahrwerk,<br />
Gerüststreben<br />
-400-5 GTW-40-05 220 max. 220<br />
Standartwerkstoff für dünnwandige Teile, Schraubzwingen,<br />
Kanalstreben, Gerüstbau, Rohrverbinder<br />
-450-7 GTW-45-07 260 max. 220<br />
Wärmebehandelt, höhere Zähigkeit, Pkw-Anhängerkupplung,<br />
Getriebeschalthebel<br />
-550-4 ---------- 340 max. 250 Hochbeanspruchte Teile für den Gerüst <strong>und</strong> Schalungsbau<br />
EN-GJMB- Nicht entkohlend geglühter (schwarzer)Temperguss<br />
-300-6 ---------- --- max. 150 Anwendung, wenn Druckdichtheit wichtiger als Festigkeit <strong>und</strong> Duktilität<br />
-350-10 GTS-35-10 200 max. 150 Seillrollen mit Gehäuse, Möbelbeschläge, Schlüssel aller Art, Rohrschellen,<br />
Seilklemmen<br />
-450-6 GTS-45-06 270 150...200 Schaltgabeln, Bremsträger<br />
-500-5 ------------ 300 165...215<br />
-550-4 GTS-55-04 340 180...230 Kurbelwellen, Kipphebel für Flammhärtung, Federböcke, Lkw-Radnaben<br />
-600-3 ----------- 390 195...245<br />
-650-2 GTS-65-02 430 210...260<br />
Druckbeanspruchte kleine Gehäuse, Federauflage für Lkw (oberflächengehärtet)<br />
-700-2 GTS-70-02 530 240... 90 VerschleißbeanspruchteTeile (vergütet) Kardangabelstücke, Pleuel,<br />
Verzurrvorrichtung für Lkw<br />
-800-1 ---------- 600 270...310 Verschleißbeanspruchte kleinere Teile (vergütet)<br />
Mechanische Eigenschaftswerte der Gusssorten beziehen sich auf getrennt gegossene Probestücke (12 mm �) des gleichen<br />
Werkstoffes.<br />
103<br />
4
4<br />
Werkstofftechnik<br />
Bezeichnung von Aluminium <strong>und</strong> Aluminiumlegierungen<br />
104<br />
4.15 Bainitisches Gusseisen mit Kugelgraphit DIN EN 1564/06<br />
Sorte<br />
EN-<br />
GJS- 800-8<br />
GJS-1000-5<br />
GJS-1200-2<br />
GJS-1400-1<br />
Zugfestigkeit Rm MPa<br />
> 800<br />
>1000<br />
>1200<br />
>1400<br />
Streckgrenze Rpo,2 MPa<br />
> 500<br />
> 700<br />
> 850<br />
>1100<br />
Bruchdehnung A<br />
%<br />
8<br />
5<br />
2<br />
1<br />
4.16 Gusseisen mit Vermiculargraphit GJV VDG-Merkblatt W-50/02<br />
Sorte Zugfestigkeit R m<br />
MPa<br />
GJV-300<br />
GJV-350<br />
GJV 400<br />
GJV 450<br />
GJV 500<br />
300...375<br />
350..425<br />
400..475<br />
450..525<br />
500..575<br />
Streckgrenze Rpo,2 MPa<br />
220..295<br />
260...335<br />
300..375<br />
340..415<br />
380..455<br />
Bruchdehnung A<br />
%<br />
1,5<br />
1,5<br />
1,0<br />
1,0<br />
0,5<br />
4.17 Bezeichnung von Aluminium <strong>und</strong> Aluminiumlegierungen<br />
Numerisches Bezeichnungssystem nach DIN EN 573-1/05:<br />
Härte HB<br />
HBW 30<br />
260..320<br />
300...360<br />
340...440<br />
380...480<br />
Härte<br />
HBW 30<br />
140...210<br />
160...220<br />
180...240<br />
200..250<br />
220..260<br />
Normbezeichnung EN AW - 4 1. 2. 3. 4.<br />
Ziffern + Buchstabe für nationale Variante<br />
� � � �<br />
für Aluminium A � � 3. + 4. sind Zählziffern<br />
für Halbzeug W 2. Ziffer für Legierungsvariante<br />
1. Ziffer für Legierungsserie (Tafel)<br />
Aluminium-Gußlegierungen wird für Werkstoffnummer <strong>und</strong> Kurzbezeichnung ein EN AC- vorgestellt.<br />
Bezeichnung nach der chemischen Zusammensetzung DIN EN 573-2/94. Das Symbol EN AW-<br />
(bzw. AC-) wird dem Kurznamen vorgestellt, der meistens aus der früheren Bezeichnung nach DIN<br />
1725 gebildet wird.<br />
Aluminium-Legierungsserien nach DIN EN 573-3/03 (Ziffer 1)<br />
Serie Legierungselemente Serie Legierungselemente Serie Legierungselemente<br />
1x x x Al unlegiert 4 x x x Al Si + Mg, Bi, Fe, MgCuNi 7 x x x Al Zn + Mg, Cu, Zr<br />
2 x x x Al Cu + weitere 5 x x x Al Mg + Mn, Cr, Zr 8 x x x Sonstige, Fe, FeSi, FeSiCu<br />
3 x x x Al Mn + Mg 6 x x x Al MgSi + Mn, Cu, PbMn<br />
Bezeichnung der Werkstoffzustände durch Anhängesymbole nach DIN EN 515/93<br />
Symbol Zustand Bedeutung der 1. Ziffer Bedeutung der 2. Ziffer<br />
F<br />
Herstellungszustand<br />
keine Grenzwerte für mechanische<br />
Eigenschaften<br />
������<br />
O Weichgeglüht<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Hocherhitzt, langsam abgekühlt<br />
Thermomechanisch behandelt<br />
Homogenisiert<br />
������<br />
H Kaltverfestigt<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
Kaltverfestigt<br />
Kaltverf. + rückgeglüht<br />
Kaltverf. + stabilisiert<br />
Kaltverf.+ einbrennlackiert<br />
2:<br />
4:<br />
6:<br />
8<br />
9<br />
1/4-hart, Zustd. mittig zw. O u. Hx4<br />
1/2-hart, " " O u. Hx8<br />
3/4-hart, " " Hx4 u. Hx8<br />
Vollhart, härtester Zustand.<br />
Extrahart ( � 10 MPa über Hx8)
Werkstofftechnik<br />
Aluminiumgusslegierungen, Auswahl aus DIN EN 1706/98<br />
Symbol Zustand Bedeutung der 1. Ziffer<br />
T Wärmebehandelt auf<br />
andere Zustände als<br />
F, O oder H<br />
4.18 Aluminiumknetlegierungen, Auswahl<br />
Sorte EN AW-<br />
Stoff-Nr. Chemische Symbole mit<br />
Zustandsbezeichnung (alt)<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
Abgeschreckt aus Warmformtemperatur + kaltausgelagert<br />
Abgeschreckt aus Warmformtemperatur, kaltumgeformt + kaltausgelagert<br />
Lösungsgeglüht, kaltumgeformt + kaltausgelagert<br />
Lösungsgeglüht + kaltausgelagert<br />
Abgeschreckt aus Warmformtemperatur + warmausgelagert<br />
Lösungsgeglüht + warmausgelagert<br />
Lösungsgeglüht + überhärtet (warmausgelagert) stabile<br />
Lösungsgeglüht, kaltumgeformt + warmausgelagert }<br />
Zustände<br />
Lösungsgeglüht, warmausgehärtet + kaltumgeformt<br />
R m<br />
MPa<br />
Reihe 3000 Mechanische Werte für Blech 0,5 ... 1,5 mm (A 50)<br />
3103<br />
3004<br />
Al Mn1-F<br />
Al Mn1-H28<br />
Al Mn1Mg1-O<br />
Al Mn1Mg1-H28<br />
(W9)<br />
(F21)<br />
(W16)<br />
(F26)<br />
90<br />
185<br />
155<br />
260<br />
Reihe 5000 Mechanische Werte für Blech 3 ... 6 mm (A 50)<br />
5005<br />
5049<br />
5083<br />
Al Mg1-O<br />
Al Mg2Mn0,8-O<br />
-H16<br />
Al Mg4,5Mn0,7-O<br />
-H26<br />
(W10)<br />
(W16)<br />
(F26)<br />
(W28)<br />
(G35)<br />
100 ... 145<br />
190 ... 240<br />
265 ... 305<br />
275 ... 350<br />
360 ... 420<br />
A<br />
%<br />
19<br />
2<br />
14<br />
2<br />
22<br />
8<br />
3<br />
15<br />
2<br />
Beispiele<br />
Dächer, Fassadenbekleidung, Profile, Niete, Kühler, Klima<br />
anlagen, Rohre, Fließpressteile<br />
Getränkedosen, Bänder für Verpackung<br />
Fließpressteile, Metallwaren<br />
Bleche für Fahrzeug-. u. Schiffbau,<br />
Formen (hartanodisiert), Schmiedeteile,<br />
Maschinen-Gestelle, Tank- u. Silofahrzeuge<br />
Reihe 2000 aushärtbar Mechanische Werte jeweils für das Beispiel<br />
2117<br />
2017A<br />
2024<br />
2014<br />
2007<br />
Al Cu2,5Mg-T4<br />
Al Cu4MgSi-T42<br />
Al Cu4Mg1-T42<br />
Al Cu4SiMg-T6<br />
Al CuMgPb-T4<br />
(F31 ka)<br />
(F34 ka)<br />
310<br />
390<br />
420<br />
420<br />
340<br />
12<br />
12<br />
8<br />
8<br />
7<br />
(Drähte � 14 mm), Niete, Schrauben<br />
⎧Platten, <strong>und</strong> ⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎩Blech < 25 mm ⎭<br />
Vorrichtungen, Werkzeuge,<br />
Flugzeuge, Sicherheitsteile<br />
(Schmiedestücke), Bahnachslagergehäuse<br />
Automatenlegierung, Drehteile<br />
Reihe 6000 aushärtbar Mechanische Werte jeweils für das Beispiel<br />
6060<br />
6063<br />
6082<br />
6012<br />
Al MgSi-T4<br />
Al Mg0,7Si-T6<br />
AlMgSi1MgMn-T6<br />
Al MgSiPb-T6 (F28)<br />
130<br />
280<br />
310<br />
2750<br />
15<br />
--<br />
6<br />
8<br />
Strangpressprofile aller Art, Fließpressteile<br />
Pkw-Räder u. Pkw-Fahrwerkteile<br />
Schmiedeteile, Sicherheitsteile am Kfz.<br />
Automatenlegierung, Hydr.-Steuerkolben<br />
Reihe 7000 aushärtbar Mechanische Werte für Blech unter 12 mm<br />
7020<br />
7022<br />
7075<br />
Al Zn4,5Mg1 -O<br />
-T6<br />
AL Zn5Mg3Cu-T6<br />
Al Zn5,5MgCu-T6<br />
(F45wa)<br />
(F53wa)<br />
220<br />
350<br />
450<br />
545<br />
12<br />
10<br />
8<br />
8<br />
Cu-frei, nach Schweißen selbstaushärtende Legierung<br />
Maschinen-Gestelle,<br />
Schmiedeteile<br />
4.19 Aluminiumgusslegierungen, Auswahl aus DIN EN 1706/98<br />
Kurzname<br />
Stoff- Nr.<br />
EN AC-...<br />
-Al Cu4MgTi<br />
-21000<br />
Gießart<br />
DIN EN<br />
1706<br />
S, K, L<br />
Gießart,<br />
Zustd. 1)<br />
S<br />
K<br />
L<br />
T4<br />
T4<br />
T4<br />
R m<br />
MPa<br />
300<br />
320<br />
300<br />
R p0,2<br />
MPa<br />
200<br />
220<br />
220<br />
A 50mm<br />
% HB<br />
5<br />
8<br />
5<br />
90<br />
90<br />
90<br />
} überaltert (T7) gut beständig<br />
gegen SpRK<br />
Gießen/ 2)<br />
Schweißen/Polieren/<br />
Beständigk.<br />
Bemerkungen<br />
Einfache Gussstücke hoch-<br />
C/D D B D fest <strong>und</strong> -zäh, Wagonrahmen<br />
<strong>und</strong> -fahrgestelle<br />
105<br />
4
4<br />
Werkstofftechnik<br />
Zustandsbezeichnungen nach DIN EN 1173/95<br />
106<br />
Fortsetzung Aluminium Gusslegierungen<br />
Kurzname, Stoff-<br />
Nr.<br />
DIN EN 1706<br />
EN AC-...<br />
-Al Si7Mg0,3<br />
-42100-<br />
-Al Si10Mg(a)<br />
-43000<br />
-Al Si12(a)<br />
-44200<br />
-Al Si8Cu3<br />
-46200<br />
-Al Si12CuNiMg<br />
-48000<br />
-Al Mg3(b)<br />
-51000<br />
Gießart<br />
S<br />
K<br />
L<br />
S<br />
K<br />
L<br />
S<br />
K<br />
S<br />
K<br />
D<br />
Gießart,<br />
1) Rm Rp0,2 A50mm HB<br />
Zustd.<br />
S<br />
K<br />
S<br />
K<br />
K<br />
S,<br />
K<br />
S<br />
K<br />
T6<br />
T6<br />
T64<br />
F<br />
F<br />
T6<br />
F<br />
F<br />
F<br />
F<br />
K K T5<br />
T6<br />
S S F<br />
K K F<br />
230<br />
290<br />
290<br />
150<br />
180<br />
260<br />
150<br />
170<br />
150<br />
170<br />
200<br />
280<br />
140<br />
150<br />
190<br />
210<br />
210<br />
80<br />
90<br />
220<br />
70<br />
80<br />
90<br />
100<br />
185<br />
240<br />
70<br />
70<br />
2<br />
4<br />
8<br />
2<br />
2,5<br />
1<br />
5<br />
6<br />
1<br />
1<br />
75<br />
90<br />
80<br />
50<br />
55<br />
Gießen/ 2)<br />
Schweißen/Polieren/<br />
Beständigk.<br />
B B C B<br />
A A D B<br />
90<br />
50<br />
60<br />
60<br />
A A D B<br />
100 B B C D<br />
�1 90<br />
�1 100<br />
3 50<br />
5 50<br />
A A C C<br />
C/D C A A<br />
Bemerkungen<br />
Sicherheitsbauteile: Hinterachslenker,<br />
Vorderradnabe,<br />
Bremssättel, Radträger<br />
Motorblöcke, Wandler- <strong>und</strong><br />
Getriebegehäuse, Saugrohr<br />
für Kfz<br />
Dünnwandige, stoßfeste<br />
Teile aller Art<br />
Warmfest bis 200° C, für<br />
dünnwandige Teile<br />
Erhöhte Warmfestigkeit bis<br />
zu 200 °C; Zylinderköpfe<br />
Beschlagteile für Bau- <strong>und</strong><br />
Kfz.-Technik, Schiffbau<br />
1) Gießart: S: Sandguss; K: Kokillenguss, D: Druckguss, L: Feinguss, das Zeichen wird nachgestellt !<br />
Beispiel: EN 1706 AC-Al Cu4MgTi KT4; oder EN 1706 AC-21000 KT4: Kokillenguss (K), kaltausgehärtet (T4)<br />
2) Wertung: A ausgezeichnet, B gut, C annehmbar, D unzureichend.<br />
4.20 Bezeichnung von Kupfer <strong>und</strong> Kupferlegierungen nach DIN 1412/95<br />
Europäisches Nummernsystem. Die Normangabe besteht aus 6 Zeichen.<br />
C 2. 3. 4. 5. 6.<br />
1. C Zeichen für Kupfer; 3. bis 5. Ziffern sind Zählziffern,<br />
0...799 für genormte, 800...999 für nichtgenormte Sorten.<br />
2. Buchstabe für die Erzeugnisform 6. Buchstabe(n) für Legierungssystem<br />
B Blockform zum Umschmelzen A, B Cu H CuNi<br />
G Gusserzeugnis C, D Cu, niedriglegiert, J CuNiZn<br />
F Schweißzusatz, Hartlote<br />
� LE < 5 % K CuSn<br />
M Vorlegierung E, F Legierungen, L, M CuZn Zweistofflegierg.<br />
R Raffiniertes Cu in Rohform<br />
� LE > 5 % N, P CuZnPb<br />
S Werkstoff in Form von Schrott G CuAl R,S CuZn Mehrstofflegierg.<br />
W Knetwerkstoffe<br />
X nicht genormte<br />
4.21 Zustandsbezeichnungen nach DIN EN 1173/95<br />
Anhängesymbole, bestehend aus einem Buchstaben <strong>und</strong> 3 Ziffern für bestimmte Eigenschaftswerte.<br />
Symbol Bedeutung Beispiel Symbol Bedeutung<br />
A Bruchdehnung A005: A = 5 % D 1) gezogen, ohne vorgegebene mech. Eigenschaften<br />
B Federbiegegrenze B370: 370 MPa G Korngröße<br />
H Härte HB oder HV H030 HBW10 30HBW10 M 1) wie gefertigt, ohne vorgegebene mech. Eigenschaften<br />
R Zugfestigkeit R700: 700 MPa<br />
Y 0,2%-Dehngrenze Y350: 350 MPa<br />
1) Die Buchstaben D <strong>und</strong> M werden ohne weitere<br />
Bezeichnungen verwendet
4.22 Kupferknetlegierungen, Auswahl<br />
Kurzzeichen<br />
DIN EN-CW<br />
CuSn6<br />
Zustd.<br />
1)<br />
R420<br />
Y360<br />
Werkstofftechnik<br />
Kupfergusslegierungen, Auswahl nach DIN EN 1982/98<br />
Stoff-Nr. Werkstoffeigenschaften<br />
CW.. Rp0,2 R m A HB<br />
452K<br />
--<br />
360<br />
420<br />
--<br />
20<br />
20<br />
CuAl8Fe3 R480 303G 210 480 30 (140)<br />
CuZn37 R300 508L 180 300 48 (70)<br />
--<br />
Eigenschaften Verwendung<br />
Chemisch beständig, stark<br />
kaltverfestigend<br />
Noch kaltformbar, warmfest<br />
bis 300 °C<br />
Gut kaltumform-, löt- <strong>und</strong><br />
schweißbar<br />
CuZn40 R340 509L 240 340 43 (80) Warm- <strong>und</strong> kaltumformbar Uhrenteile<br />
CuZn39Pb2 R360 612N 270 360 40 (85)<br />
CuZn40Pb2 R430 617N (200) 430 (15) --<br />
CuNi10Fe1Mn<br />
R290<br />
R480<br />
352H 290<br />
400<br />
90<br />
480<br />
CuNi12Zn30Pb1 R420 406J 420 20 --<br />
CuNi18Zn20<br />
R380<br />
R520<br />
409J 250<br />
430<br />
380<br />
520<br />
30<br />
8<br />
37<br />
6<br />
--<br />
--<br />
140)<br />
(160)<br />
Gut stanz- u. spanbar, nur<br />
gering kaltformbar<br />
Gut warm-, kaum kaltumformbar<br />
seewasserbeständig<br />
Gut kaltformbar <strong>und</strong><br />
spanbar<br />
Sehr gut kaltformbar,<br />
anlaufbeständig<br />
Federn, Membranen,<br />
Drahtgewebe, -schläuche<br />
Blechkonstruktionen für<br />
den chem. Apparatebau.<br />
Hauptlegierung für spanlose<br />
Verarbeitung<br />
Formdrehteile<br />
Strangpressprofile,<br />
Schmiedestücke<br />
Rohre, Schmiedestücke,<br />
Fittings für Offshore-<br />
Technik<br />
Sicherheitsschlüssel,<br />
Drehteile für optische<br />
Industrie<br />
Kontaktfedern, Membranen,<br />
Brillengestelle<br />
1) Zustandszeichen angehängt z. B.: R420 Mindestzugfestigkeit R m,min = 420 MPa; Y360 Mindeststreckgrenze R p0,2 in MPa<br />
4.23 Kupfergusslegierungen, Auswahl nach DIN EN 1982/98<br />
Kurzzeichen<br />
DIN-EN-<br />
(ältere Normen)<br />
CuAl10Ni3Fe2-C<br />
(G-CuAl9Ni)<br />
CuAl10Fe5Ni5-C<br />
(G-CuAl10Ni)<br />
CuSn3Zn8Pb5-C<br />
(CuSn2ZnPb)<br />
CuSn5Zn5Pb5-C<br />
(CuSn5Zn, Rg 5)<br />
CuZn33Pb2-C-<br />
(G-CuZn33Pb)<br />
CuZn16Si4-C<br />
(G-CuZn15Si4)<br />
Stoff-Nr.<br />
CC...<br />
332G<br />
333G<br />
490K<br />
491K<br />
750S<br />
761S<br />
Gieß-<br />
Art 1)<br />
GS<br />
GM<br />
GS<br />
GZ<br />
GS<br />
GC<br />
GS<br />
GC<br />
GS<br />
GZ<br />
GS<br />
GM<br />
Werkstoffeigenschaften<br />
R p0,2 R m A HB<br />
180<br />
250<br />
250<br />
280<br />
85<br />
100<br />
90<br />
110<br />
500<br />
600<br />
600<br />
650<br />
180<br />
220<br />
200<br />
250<br />
18<br />
20<br />
13<br />
13<br />
15<br />
12<br />
13<br />
13<br />
70 180 12<br />
230<br />
300<br />
400<br />
500<br />
10<br />
8<br />
100<br />
130<br />
140<br />
150<br />
60<br />
70<br />
60<br />
65<br />
45<br />
50<br />
100<br />
130<br />
Eigenschaften Verwendung<br />
Sehr gut schweißgeeignet,<br />
chemisch beständig<br />
Dauerschwingfest, meerwasserbeständig<br />
Brauchwasserbeständig<br />
Lötbar, meerwasserbeständig<br />
Hohe elektr. Leitfähigkeit,<br />
beständg. Gegen Brauchwasser<br />
Dünnwandig vergießbar,<br />
meerwasserbeständig<br />
Gussteile f. Nahrungsmittelmaschinen<br />
<strong>und</strong><br />
chemische Apparate<br />
Verb<strong>und</strong>e aus Guss<strong>und</strong><br />
Knetlegierungen<br />
Dünnwandige (
4<br />
Werkstofftechnik<br />
Druckgusswerkstoffe<br />
108<br />
4.24 Anorganisch nichtmetallische Werkstoffe<br />
Werkstoffkennwerte nichtmetallisch anorganischer Stoffe im Vergleich mit Stahl<br />
Sorte<br />
Kurzzeichen<br />
Dichte<br />
g/cm 3<br />
E-Modul<br />
kN/mm 2<br />
Biegefestigkeit<br />
MPa<br />
Wärme- 1)<br />
leitung �<br />
W/mK<br />
Wärme- 2)<br />
dehnung �<br />
10 –6/K<br />
Maximale<br />
Temperatur<br />
°C<br />
K Ic 3)<br />
MPa m<br />
Stahl, unleg. 7,85 210 500...700 62 12 200 � 100<br />
Al-Oxid 3...3,9 200...380 200...300 10...16 5...7 1400...1700 4...5<br />
PSZ, ZrO 2 5...6 140...210 500...1000 1,2...3 9...13 900...1500 8<br />
Ati, Al 2TiO 5 3...3,7 10...30 25...50 1,5...3 5 900...1600 1<br />
SSN<br />
RBSN<br />
HPSN<br />
HIPSN<br />
GPSN<br />
SSiC<br />
SiSiC<br />
HPSiC<br />
HiPSiC<br />
RsiC<br />
3...3,3<br />
1,9...2,5<br />
2...3,4<br />
3,2...3,3<br />
3,2<br />
3,1<br />
3,1<br />
3,2<br />
3,2<br />
2,6...2,8<br />
250...330<br />
80...180<br />
290...320<br />
290...325<br />
300...310<br />
370...450<br />
270...350<br />
440...450<br />
440...450<br />
230...280<br />
300...700<br />
80...330<br />
300...600<br />
300...600<br />
900...1200<br />
300...600<br />
180...450<br />
500...800<br />
640<br />
200<br />
15..45<br />
4...15<br />
15...40<br />
25...40<br />
20...24<br />
40...120<br />
110...160<br />
80...145<br />
80...145<br />
20<br />
2,5...3,5<br />
2,1...3<br />
3,0...3,4<br />
2,5...3,2<br />
2,7...2,9<br />
4,0...4,8<br />
4,3...4,8<br />
3,9...4,8<br />
3,5<br />
4,8<br />
1750<br />
1100<br />
1400<br />
1400<br />
1200<br />
1400...1750<br />
1380<br />
1700<br />
1700<br />
1600<br />
5...8,5<br />
1,8...4<br />
6...8,5<br />
6...8,5<br />
8...9<br />
3...4,8<br />
3...5<br />
5,3<br />
5,3<br />
3<br />
Borcarbid, B 4C 2,5 390...440 400 35 5 700...1000 3,4<br />
1) Wärmeleitung � bei 20 °C; 2) Längenausdehnung � für Keramik 30..1000 °C; 3) K Ic: Spannungs-Intensitätsfaktor<br />
(Maß für die Bruchzähigkeit, aus der Bruchmechanik hergeleitet)<br />
4.25 Bezeichnung von Si-Carbid, SiC <strong>und</strong> Siliciumnitrid, Si 3N 4 nach der<br />
Herstellungsart<br />
Sorte SC<br />
(Si-Carbid)<br />
RSiC<br />
SSiC<br />
SiSiC<br />
HPSiC<br />
HiPSiC<br />
Herstellungsart<br />
rekristallisiert, porös bis 15 %<br />
gesintert , „ „ . 5 %<br />
Si-infiltriert<br />
heißgepresst<br />
heißisostatisch gepresst (HIP)<br />
4.26 Druckgusswerkstoffe<br />
Kurzzeichen<br />
r<br />
g/cm 3<br />
R p 0,2<br />
MPa<br />
Rm<br />
MPa<br />
A<br />
in %<br />
Sorte SN<br />
(Si-Nitrid)<br />
RBSN<br />
SSN<br />
HPSN<br />
HIPSN<br />
GPSN<br />
Härte<br />
HBW10<br />
Tm<br />
in °C<br />
Herstellungsart<br />
reaktionsgeb<strong>und</strong>en, porös<br />
drucklos gesintert, porös<br />
heißgepresst<br />
heißisostatisch gepresst (HIP)<br />
gasdruckgsintert<br />
1) 2)<br />
n 3)<br />
x103 s 4)<br />
min mmax mm kg<br />
Zink-Legierungen DIN EN 1774 (Auswahl aus 8 Sorten) Cu-frei dekorativ galvanisierbar<br />
ZnAl4<br />
ZL0400 (Z400)<br />
ZnAl4Cu<br />
ZL0410 (Z410)<br />
6,7<br />
160...<br />
170<br />
180...<br />
240<br />
250...<br />
300<br />
1,5...<br />
3<br />
2...<br />
3<br />
70...<br />
90<br />
80...<br />
100<br />
380...<br />
386<br />
Aluminium-Legierungen DIN EN 1706 AC- (Auswahl aus 9 Sorten)<br />
Al Si12(Fe)<br />
(230)<br />
Al Si9Cu3(Fe)<br />
(226)<br />
Al Si12CuNi<br />
(239)<br />
Al Mg9<br />
(349)<br />
2,55<br />
2,75<br />
2,65<br />
2,6<br />
140...<br />
180<br />
160...<br />
240<br />
190...<br />
230<br />
140...<br />
220<br />
230...<br />
280<br />
240...<br />
320<br />
260...<br />
320<br />
200...<br />
300<br />
1...<br />
3<br />
0,5<br />
...3<br />
1...<br />
3<br />
1...<br />
5<br />
60...<br />
100<br />
80...<br />
110<br />
90...<br />
120<br />
70...<br />
100<br />
575<br />
510...<br />
620<br />
570...<br />
585<br />
520...<br />
620<br />
1 1 500<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3...<br />
4<br />
2...<br />
3<br />
2<br />
2...<br />
3<br />
1<br />
80<br />
0,6<br />
bis<br />
2<br />
1<br />
bis<br />
3<br />
20<br />
25<br />
Anwendungen<br />
Dichte<br />
�<br />
steigt<br />
Plattentelller, Vergaserge-<br />
häuse, PkW-Scheinwerfer<br />
rahmen, PkW- Türschlösser,<br />
Türgriffe<br />
Hydraulische Getriebeteile,<br />
druckdichte Gehäuse.<br />
Trittstufen f. Rolltreppen,<br />
E-Motorengehäuse.<br />
Kolben, Zylinderköpfe.<br />
Gehäuse f. Haushalts-,<br />
Büro- <strong>und</strong> optische Geräte
Werkstofftechnik<br />
Lagermetalle <strong>und</strong> Gleitwerkstoffe, Übersicht über die Legierungssysteme<br />
Kurzzeichen<br />
r<br />
g/cm3 Rp 0,2<br />
MPa<br />
Rm MPa<br />
A<br />
in %<br />
Härte<br />
HBW10<br />
Tm in °C<br />
1) 2)<br />
3) n<br />
x103 s 4)<br />
min mmax mm kg<br />
Anwendungen<br />
Magnesium-Legierungen DIN EN 1753 (Auswahl aus 8 Sorten) Sehr leicht, Oberflächenschutz erforderlich<br />
MCMgAl9Zn1 140... 200... 1... 65... 470... 1...<br />
Rahmen f. Schreibmaschi-<br />
AZ 91<br />
170 260 6 85 600 2<br />
1 nen <strong>und</strong> Tonbandgeräte,<br />
MCMgAl6Mn 120... 190... 4... 55.. 470... 1...<br />
bis 15 Gehäuse f. tragbare Werk-<br />
AM 60 1,8 150 250 14 70 620 2<br />
3 zeuge u. Motoren.<br />
MCMgAl4Si<br />
120... 200... 3... 55... 580... 2 1 100<br />
Gehäuse f. Kfz. Getriebe<br />
AS 41<br />
150 250 12 60 620<br />
Radfelgen<br />
Kupfer-Legierungen DIN EN 1982 Höhere Festigkeit <strong>und</strong> Zähigkeit, hoher Formverschleiß durch hohe Gießtemperatur<br />
CuZn39Pb1Al-C<br />
CuZn16Si4-C<br />
8,5<br />
8,6<br />
(250)<br />
(370)<br />
(350)<br />
(530)<br />
(4)<br />
(5)<br />
(110)<br />
(150)<br />
880...<br />
900<br />
850<br />
3<br />
2<br />
3<br />
3<br />
10<br />
2<br />
bis<br />
4<br />
5<br />
Armaturen für Warm- <strong>und</strong><br />
Kaltwasser<br />
Dünnwandig vergießbar<br />
Zinn Legierungen DIN 1742 Höchste Maßbeständigkeit, kaltformbar, korrosionsbeständig<br />
GD-Sn80Sb 7,1 115 2.5 30 250 1 2 Teile von Messgeräten<br />
1) Gießeignung; 2) Spanbarkeit; 3) Standmenge; 4) Wanddicke; Wertungen: 1 sehr gut, 2 gut, 3 ausreichend<br />
4.27 Lagermetalle <strong>und</strong> Gleitwerkstoffe, Übersicht über die Legierungssysteme<br />
Legierungssystem<br />
Beispiele Beschreibung<br />
DIN ISO 4381 Blei- <strong>und</strong> Blei-Zinn-Verb<strong>und</strong>lager, Gusslegierungen<br />
Mit kleinen<br />
Anteilen von<br />
Cu, As, Cd<br />
PbSb15SnAs<br />
PbSb15Sn10<br />
PbSb10Sn6<br />
PbSb14Sn9CuAs<br />
SnSb12Cu6Pb<br />
SnSb8Cu4<br />
SnSb8Cu4Cd<br />
Dreifachsystem aus zwei eutektischen Systemen (PbSn <strong>und</strong> PbSb) kombiniert mit einem<br />
peritektischen (SbSn) mit kompliziertem Erstarrungsverlauf. Primäre Ausscheidung<br />
der harten Sb-reichen intermetallischen �-Phase, als würfelförmige Tragkristalle in der<br />
Gr<strong>und</strong>masse aus (Pb+ �) liegend. As <strong>und</strong> Cd wirken weiter verfestigend.<br />
Bei Cu-haltigen Sorten scheidet sich primär eine harte, intermetallische CuSn-Phase<br />
dendritisch aus. Sie hält die später kristallisiertenden würfelförmigen SbSn-Kristalle in<br />
der bleireichen Schmelze in Schwebe.<br />
Fettdruck: Sorten auch in DIN ISO 4383 enthalten.<br />
DIN ISO 4382-1 Cu-Gusslegierungen für dickwandige Verb<strong>und</strong>- <strong>und</strong> Massivgleitlager<br />
Cu-Pb- Sn<br />
Massiv-<br />
gleitlager<br />
Massiv- <strong>und</strong><br />
Verb<strong>und</strong>lager<br />
CuPb8Pb2<br />
CuSn10Pb<br />
CuSn12Pb2<br />
CuPb5Sn5Zn5<br />
CuSn7Pb7Zn3<br />
CuPb9Sn5<br />
CuPb10n10<br />
CuPb15Sn8<br />
CuPb20Sn5<br />
CuAl10Fe5Ni5<br />
DIN ISO 4382-2 Cu- Knetlegierungen für Massivgleitlager<br />
Cu-Sn,<br />
Cu-Zn<br />
Cu-Al<br />
CuSn8P<br />
CuZn31Si1<br />
CuZn37Mn2Al2Si<br />
CuAl9Fe4Ni4<br />
DIN ISO 4383 Verb<strong>und</strong>werkstoffe für dünnwandige Gleitlager<br />
Cu-Pb<br />
CuPb10n10<br />
CuPb17Sn5<br />
CuPb24Sn4<br />
CuPb30<br />
Blei ist in Cu unlöslich, es bleibt zwischen den CuSn-Mischkristallen <strong>und</strong> härteren<br />
CuSn-Phasen flüsssig <strong>und</strong> erstarrt zuletzt. Zn ersetzt teilweise das teure Sn (Rotguss).<br />
Pb wirkt bei Überhitzung als Notschmierstoff. Mit steigendem Pb-Gehalt sinkt<br />
die Härte. Mit dem Sn-Gehalt steigen Härte <strong>und</strong> Streckgrenze, für gehärtete Gegenkörper<br />
<strong>und</strong> Stoßbeanspruchung geeignet.<br />
Pb ergibt weiche, anpassungsfähige (Fluchtungsfehler) Legierungen für mittlere bis<br />
hohe Gleitgeschwindigkeiten, bei hohen Pb-Gehalten auch für Wasserschmierung<br />
geeignet.<br />
Al erhöht Korrosionsbeständigkeit <strong>und</strong> Gleiteigenschaften, Fe verhindert das Entstehen<br />
spröder Phasen. Harte Werkstoffe mit hoher Zähigkeit <strong>und</strong> Dauerfestigkeit.<br />
Homogene Gefüge aus kfz.-MK bis etwa 8 % Sn, darüber heterogene mit der härteren<br />
intermetallischen �-Phase.<br />
(Sondermessing), kfz.-Mischkristallgefüge, zähhart, geringe Notlaufeignung.<br />
Cu-Al sehr hart, seewasserbeständig, Konstruktionsteile mit Gleitbeanspruchung.<br />
Mit Pb-Gehalt steigt der Verschleißwiderstand im Bereich der Mischreibung <strong>und</strong> Korrosionsbeständigkeit<br />
gegen Schwefelverbindungen, deshalb Einsatz in Kfz-Verbren-<br />
nungsmotoren mit Stillständen <strong>und</strong> Kaltstarts für Haupt- <strong>und</strong> Pleuellager.<br />
109<br />
4
4<br />
Werkstofftechnik<br />
Kurzzeichen für Kunststoffe <strong>und</strong> Verfahren, Auswahl<br />
Al<br />
110<br />
Legierungssystem<br />
Gleitschichten<br />
Overlays<br />
Sintereisen,<br />
Sinterbronze<br />
Beispiele Beschreibung<br />
AlSn20Cu<br />
AlSn6Cu<br />
AlSi11Cu<br />
AlZn5Si1,5Cu1Pb1Mg<br />
PbSn10Cu2<br />
PbSn10, PbIn7<br />
Fe mit 0,3 % C + Cu<br />
Cu mit 9...11 %Sn<br />
4.28 Lagermetalle auf Cu-Basis (DKI)<br />
Kurzname<br />
DIN EN 1982<br />
W.-Nummer<br />
CuSn8P<br />
CW459K<br />
CuSn12-C<br />
CC483K<br />
CuSn12Ni2-C<br />
CC484K<br />
CuSn7Zn4Pb7-C<br />
CC493K<br />
CuZn25Al5Mn4<br />
Fe3-C<br />
CC762S<br />
CuAl11Fe5Ni6-C<br />
CC344G<br />
Gieß-<br />
Art 2)<br />
R390<br />
R620<br />
-GS<br />
-GM<br />
-GZ<br />
-GC<br />
-GS<br />
-GZ<br />
-GC<br />
-GS<br />
-GM<br />
-GZ<br />
-GC<br />
-GS<br />
-GM<br />
-GZ<br />
-GC<br />
-GS<br />
-GM<br />
-GZ<br />
Al ist leicht <strong>und</strong> gut wärmeleitend, gleiche Wärmausdehnung wie bei Al-<br />
Gehäusen, die Al-Oxidschicht verhindert Adhäsion <strong>und</strong> Korrosion. Mit der<br />
Härte steigt die Dauerfestigkeit.<br />
Gerollte Buchsen oder dünnwandig auf Stahlblech gewalzt <strong>und</strong> mit<br />
galvanischer Gleitschicht versehen.<br />
weich Dünne, galvanisch aufgebrachte Schichten zum Einlaufen <strong>und</strong> für<br />
Grenzreibung.<br />
Festigkeiten 1)<br />
Rm Rp0,2 A HB<br />
MPa % min<br />
390 260 45 --<br />
620 550 -- --<br />
260<br />
270<br />
280<br />
280<br />
280<br />
300<br />
300<br />
240<br />
230<br />
270<br />
270<br />
750<br />
750<br />
750<br />
750<br />
680<br />
680<br />
750<br />
140<br />
150<br />
150<br />
140<br />
160<br />
180<br />
170<br />
120<br />
120<br />
130<br />
130<br />
450<br />
480<br />
480<br />
480<br />
320<br />
400<br />
400<br />
12<br />
5<br />
5<br />
8<br />
14<br />
8<br />
10<br />
15<br />
12<br />
13<br />
16<br />
8<br />
8<br />
5<br />
3<br />
5<br />
Porenräume sind mit Schmierstoff gefüllt (< 30 %), das bei Erwärmung<br />
austritt. Mit Kunststoff-Gleitschicht imprägniert (PTFE, POM, PVDF)<br />
80<br />
80<br />
95<br />
90<br />
90<br />
100<br />
90<br />
65<br />
60<br />
75<br />
70<br />
180<br />
180<br />
190<br />
190<br />
170<br />
200<br />
185<br />
Bemerkungen Anwendungsbeispiele<br />
P-legiert, korrosionbeständig, verschleiß-<br />
<strong>und</strong> dauerschwingfest,<br />
sehr gute Gleiteigenschaften,<br />
bis 70 MPa zulässig<br />
Sorten mit 2 % Pb für Lager mit<br />
verbesserten Notlaufeigenschaften,<br />
dafür sind gehärtete Wellen<br />
zweckmäßig, in GZ- oder GC-<br />
Ausführung sind Lastspitzen<br />
bis max. 120 MPa zulässig<br />
Wie oben mit erhöhter Zähigkeit<br />
<strong>und</strong> Verschleißfestigkeit<br />
Preisgünstig, für normale Gleitbeanspruchung,<br />
gute Notlaufeigenschaften<br />
durch 5...8 %Pb. In<br />
GZ- oder GC-Ausführung sind bis<br />
zu 40 MPa zulässig (früher Rg7)<br />
Preisgünstig, für besonders hohe<br />
statische Belastungen geeignet,<br />
weniger für dynamische <strong>und</strong> hohe<br />
Gleitgeschwindigkeiten. Schlechte<br />
Notlaufeigenschaften, gute<br />
Schmierung erforderlich<br />
Für höchste Stoß- <strong>und</strong> Wechselbelastung<br />
bis zu 25 MPa Flächenpressung,<br />
mäßige Notlaufeigenschaften,<br />
hohe Dauerschwingfestigkeit<br />
in Meerwasser<br />
Gerollte <strong>und</strong> gedrehte Buchsen<br />
für Lager aller Art, Pleuel-<br />
<strong>und</strong> Kolbenbolzenlager<br />
(Carobronze�)<br />
Schneckenräder <strong>und</strong> -kränze,<br />
Gelenksteine, unter Last<br />
bewegte Spindeln, Lager mit<br />
hohen Lastspitzen<br />
Schneckenradkränze mit<br />
Stoßbeanspruchungen<br />
Lager im Werkzeugmaschinenbau,<br />
in Baumaschinen,<br />
Schiffswellenbezüge<br />
Gelenksteine, Spindelmut-<br />
tern, die nicht unter Last<br />
verstellt werden, langsam<br />
laufende Schneckenradkränze<br />
Stoßbeanspruchte Gleitlager<br />
in Schmiedemaschinen <strong>und</strong><br />
Kniehebelpressen, Gelenkbacken,<br />
Druckmuttern<br />
1) Mittelwerte 2) Gießart siehe 4.23 unten: Alle Kupfer-Guss-Legierungen sind in DIN EN 1982 zusammengefaßt.<br />
4.29 Kurzzeichen für Kunststoffe <strong>und</strong> Verfahren, Auswahl<br />
Symbol Polymer Symbol Polymer<br />
AAS<br />
ABS<br />
APP<br />
BS<br />
CA<br />
CAB<br />
Methacrylat-Acrylat-Styrol<br />
Acrylnitril-Butadien-Styrol<br />
ataktisches Polypropylen<br />
Butadien-Styrol<br />
Celluloseacetat<br />
Celluloseacetobutyrat<br />
CAP<br />
CP<br />
EC<br />
EP<br />
ETFE<br />
FF<br />
Celluloseacetopropionat<br />
Cellulosepropionat<br />
Ethylcellulose<br />
Epoxid<br />
Ethylen-Tetrafluorethylen<br />
Furanharze
Fortsetzung: Kurzzeichen für Kunststoffe <strong>und</strong> Verfahren<br />
Werkstofftechnik<br />
Kurzzeichen für Kunststoffe <strong>und</strong> Verfahren, Auswahl<br />
Symbol Polymer Symbol Polymer<br />
Hgw<br />
Hm<br />
Hp<br />
LCP<br />
MF<br />
MP<br />
PA<br />
PAI<br />
PAN<br />
PAR<br />
PB<br />
PBT(P)<br />
PC<br />
PCTFE<br />
PDAP<br />
PE<br />
PEEK<br />
PEI<br />
PES<br />
PET(P)<br />
PFPFEP<br />
Pi<br />
PMMA<br />
POM<br />
PP<br />
PPO<br />
PPS<br />
PS<br />
PSU<br />
Hartgewebe<br />
Harzmatte<br />
Hartpapier<br />
Liquid Crystals Polymers<br />
Melaminformaldehyd<br />
Melamin- Phenolformaldehyd<br />
Polyamide<br />
Polyamidimide<br />
Polyacrylnitril<br />
Polyarylat<br />
Polybuten<br />
Polybutylenterephthalat<br />
Polycarbonat<br />
Polychlortrifluorethylen<br />
Polydiallylphthalat<br />
Polyethylen<br />
Polyaryletherketon<br />
Polyetherimid<br />
Polyethersulfon<br />
Polyethylenterephthalat<br />
Polytetrafluorethylen- Perfluorpropylen<br />
Polyimid<br />
Polymethylmethacrylat<br />
Polyoxymethylen, (Polyacetal, Polyformaldehyd)<br />
Polypropylen<br />
Polyphenyloxid<br />
Polyphenylensulfid<br />
Polystyrol<br />
Polysulfon<br />
PTFE<br />
PTP<br />
PUR<br />
PVC<br />
PVDC<br />
PVDF<br />
PVF<br />
SAN<br />
SB<br />
SI<br />
TPU<br />
UF<br />
UP<br />
MFI<br />
RIM<br />
RSG<br />
BMC<br />
GMT<br />
SMC<br />
Verstärkte Kunststoffe<br />
AFK<br />
BFK<br />
CFK<br />
GFK<br />
MFK<br />
SFK<br />
Beispiel:<br />
PP-GF20<br />
Polytetrafluorethylen<br />
Polytetephthalate<br />
Polyurethan<br />
Polyvinylchlorid<br />
Polyvinylidenchlorid<br />
Polyvinylidenfluorid<br />
Polyvinylfluorid<br />
Styrol-Acrylnitril<br />
Styrol-Butadien<br />
Silicon<br />
thermoplastische Polyurethane<br />
Harnstoff-Formaldehyd<br />
ungesättigte Polyester<br />
Schmelzindex<br />
Reaction Injection Moulding (RSG)<br />
Reaktionsharz-Spritzguß (RIM)<br />
Bulk Moulding Compo<strong>und</strong> (Formmasse)<br />
Glasmattenverstärkte Thermoplaste<br />
Sheet Moulding Compo<strong>und</strong> (Duroplast)<br />
Asbestfaserverstärkter Kunststoff<br />
Borfaserverstärkter Kunststoff<br />
Kohlenstoffaserverstärkter Kunststoff<br />
Glasfaserverstärkter Kunststoff<br />
Metallfaserverstärkter Kunststoff<br />
Synthesefaserverstärkter Kunststoff<br />
Polypropylen, glasfaserverstärkt (20 %)<br />
Kurzzeichen für Polymergemische (blends) werden aus den Komponenten mit Pluszeichen gebildet, das Ganze in Klammern.<br />
Beispiel: (ABS+PC).<br />
Zusatzzeichen für besondere Eigenschaften der Polymere (mit Bindestrich angehängt)<br />
Symbol<br />
C<br />
H<br />
N<br />
W<br />
Bedeutung<br />
chloriert<br />
hoch<br />
normal, Novolack<br />
Gewicht<br />
Symbol<br />
D<br />
I<br />
P<br />
R<br />
Bedeutung<br />
Dichte<br />
schlagzäh<br />
very, sehr<br />
erhöht, Resol<br />
Symbol<br />
E<br />
M<br />
U<br />
X<br />
Bedeutung<br />
verschäumt, verschäumbar<br />
mittel, molekular<br />
ultra, weichmacherfrei<br />
vernetzt, vernetzbar<br />
Symbol<br />
F<br />
L<br />
V<br />
Bedeutung<br />
Flexibel<br />
linear<br />
weichmacherhaltig<br />
111<br />
4
4<br />
Werkstofftechnik<br />
Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl<br />
112<br />
4.30 Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl<br />
Wärmebeständigkeit<br />
Chemische<br />
Dichte<br />
Bezeichnung,<br />
g/cm<br />
Kurzzeichen<br />
3<br />
HDT/A 4) Einsatz-<br />
1,8 Mpa in Bereich<br />
°C ° C 5)<br />
Bruch- Streck- Bruch- Streck-<br />
Spannungen Dehnungen H358/10 E-Modul<br />
in MPa in %<br />
MPa MPa 2)<br />
Polyvinylchlorid Vestolit, Vinnolit, Trovidur, Trocal Unbeständig gegen Kohlenwasserstoffe (Quellung),<br />
PVC-U hart 1,36 65...75 -30/60 ---- 50...60 ---- 4...6 80...130 2700...3000 20 8 Hart, zäh, korrosionsbeständig, selbstlöschend, Roh-<br />
-C nachchloriert 1,55 100 /80 ---- 70...80 ---- 3...5<br />
3400...3600 ---- 6 re, Fittings für Frisch- <strong>und</strong> Abwasser, Fensterprofile<br />
Polyetrafluorethylen, Fluon, Coroflon, Hostaflon, Teflon, Hohe Beständigkeit gegen fast alle agressiven Stoffe<br />
PTFE<br />
2,2 50...60 -200/280 ---- 20...40 ----- >50 30 400...750 1,8 14 Korrosionsbeständig, klebwidrig, geringste Reibung, Kon-<br />
PCFTE<br />
2,1 65...75 -30/180 30...40 ---- >50 ----<br />
1300...1500 ---- 7 stanz elektrischer Eigenschaften zwischen -150...300° C<br />
Polyethylen Duraflex, Hostalen, Lupolen, Neopolen, Vestolen Unbeständig gegen Tetrachlorkohlenstoff, Trichlorethen<br />
PE-LD<br />
0,92 ---- -80...70 ---- 8...10 ---- 20 16 200...400 0,8.. 23 Biegsam bis hart, teilkristallin, korrosionsbeständig,<br />
PE-HD<br />
0,96 38...50 -80...90 ---- 18...30 ---- 8...12 64 600...1400 . 12...15 kaltzäh, Wasserleitungsrohre, Galvanikbehälter, Batteriekästen,<br />
Silo-Auskleidungen, Folien für Verpak-<br />
PE-GF 30<br />
55...65<br />
----<br />
-----<br />
---- 5200...6000 4<br />
kung<br />
Polypropylen Coroplast, Hostalen, Novolen , Vestolen Unbeständig gegen Halogene, starke Säuren, Trichlorethen<br />
PP<br />
0,9 55...65 0/100 ---- 25...40 ---- 8..18 75<br />
6 10...15 Wie PE, temperaturstandfester, weniger kaltzäh,<br />
PP-GF 30 1,14 90...115<br />
---- 80 ---- 3,5 ---- 6500...6700<br />
7 kochfest, hochkristallin, Benzintanks, Rohre für<br />
Fu0ßbodenheizung<br />
Polystyrole Coroplat, Polystyrol, Styrodur, Vestyron Unbeständig gegen Tetrachlorkohlenstoff, Trichlorethen. Benzinwirkt spannungsrissauslösend<br />
Glasklar, hart, spröde, geringste elektrische Verluste,<br />
PS 1,05 65...85 -10/70 30...55 ---- 1,5...3 ---- 155 3100...3300 20 7<br />
geschäumt als Wärmeisolator. Gehäuse f. Feingeräte,<br />
α<br />
σ 1 /1000<br />
3) Eigenschaften, Verwendungsbeispiele<br />
1)<br />
ε B ε Y<br />
σ Y<br />
σ B<br />
Opak, kaltzäh, weniger UV-beständig <strong>und</strong> alterungsempfindlicher<br />
als PS, Tiefziehplatten, Transport- <strong>und</strong><br />
Lagerbehälter,<br />
Glasklar, hoher E-Modul, beständiger als reines PS,<br />
weniger zäh als SB, Batteriekästen, Gehäuse für Geräte<br />
der Feinwerktechnik<br />
Steif, kaltzäh, kratzfest, Schalldämpfend, geringeres<br />
Kriechen <strong>und</strong> Dehnen bei Erwärmung,<br />
Schlagfeste Polystyrol-Copolymere Luran, Lustran, Novodur, Terluran, Vestyron<br />
SB: Styrol-<br />
1,05 70...85 -50/70 ---- 25...45 ---- 1...2,5 100 2200...2800 20 10<br />
Butadien<br />
Karosserie-Innenausbau, Schutzhelme, galvanisierbare<br />
Beschlagteile, Armaturenbretter, Frontspoiler,<br />
Schutzhelme.<br />
SAN: Styrol- 1,08 95...100 0/85 65...85 ---- 2,5...5 ---- 170 3500...3900 13 7<br />
Acrylnitril<br />
SAN-GF 35 1,36 105 0/90 110 ---- 2 ---- ---- 12000 ---- 2,5<br />
ABS: Acrylnitril-<br />
1,08 95...105 -30/80 ----- 30...45 ---- 2,5...3,5 95 2400 12 9<br />
Butadien-Styrol<br />
ABS-GF 20 1,36 100...110 -30/80 65...80 ---- ---- ... 2 250 2400 12 9
Werkstofftechnik<br />
Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl<br />
Polymethylmetacrylat Acrylnitril-Copoloymerisat Plexiglas, Resarit, Degulan Unbeständig gegen organische Lösungsmittel<br />
PMMA<br />
1,17 75...105 -40/90 60...75 ---- 2...6 ----<br />
3100...3300 15 8 Verglasungen aller Art mit hoher Verformbarkeit,<br />
AMMA , Halbzeug<br />
75 --- /70 90...100 ---- 10 ----<br />
4500...4800 --- ---- Splittersicherheit, Lehrmodelle, Zeichengeräte<br />
Polycarbonat Makrofol, Makrolon, Pokalon, Sustonat Unbeständig gegen Alkalien, organische Lösungsmittel, Wasserdampf<br />
PC, amorph 1,2 125...135 - ---- 55...60 ---- 6...7 100 2300...2400 18 6...7 Glasklar, kaltzäh-warmhart, maßbeständig, Trägertei-<br />
PC-GF 30 1,44 135...140 100/125 70 ---- 3,5 ---- 150 5500...5800 40 2,5 le <strong>und</strong> Gehäuse für Beleuchtungskörper <strong>und</strong> Messgeräte<br />
Polyoxymethylen Delrin, Hostaform, Kematal, Ultraform Unbeständig gegen starke Säuren<br />
POM<br />
1,41 105...115 -50/80 ---- 60...70 ---- 8...25 160 3000...3200 15 12 Kristallin, geringe Wasseraufnahme <strong>und</strong> Kaltfluss, in<br />
POM-GF 30 1,5 155...160 -50/100 125...130 ---- 3 ---- 200 9000...10000 ---- 3 Anwendung ähnlich PA, Schnappverbindungen<br />
Polyamide Durethan, Rilsan, Sustamid, Trogamid, Ultramid, Vestamid Unbeständig gegen starke Säuren <strong>und</strong> Laugen<br />
PA6 trocken 1,12 55...80 -40/90 ---- 70...90 ---- 4...6 160 2600...3200<br />
Teilkristallin, zählhart, abriebfest, wasseraufnehmend,<br />
� 4..6 7...10<br />
konditioniert 1,14 30...60 - ---- 30...60 ---- 0...30 65 750...1500<br />
von PA6 über PA66 <strong>und</strong> PA12 abnehmend. Dadurch<br />
Maßänderungen <strong>und</strong> Abfall der Festigkeit.<br />
PA66 trocken 1,13 70...80 40/100 ---- 75...100 ---- 4,5...5 160 2700...3300<br />
---- 7...10 Zahnräder, Laufrollen, Nockenscheiben, Pumpentei-<br />
konditioniert 1,15 ---<br />
---- 50...70 ---- 15...25 100 1300...2000<br />
le, Gleitelemente, Lüfterräder, Gehäuse für Hand-<br />
PA12 trocken 1,01 40...50 -70/110 ---- 45...60 ---- 4...5 95 1300...1600<br />
---- 10...15 leuchte, Möbelscharniere. Hohlkörper durch Rotati-<br />
konditioniert 1,03 ---<br />
---- 35...40 ---- 10...15 80 900...1200<br />
onsformen (Heizöltanks)<br />
PA6-GF 30 tr. 1,32 190...215 -40/120 170...200 ---- 3...3,5 ---- 220 9000...10800<br />
Erhöhte Maßhaltigkeit <strong>und</strong> Steifigkeit, Gehäuse für<br />
50 2,5<br />
konditioniert 1,4 -----<br />
100...135 ---- 4,5...6 ---- 150 5600...8200<br />
Heimwerker-Maschinen<br />
Polyester, linear Armite, Celanex, Dynalit, Impet, Pocan., Ultradur, Vestodur Unbeständig gegen Heißes Wasser, Halogen-Kohlenwasserstoffe<br />
PBT<br />
1,3 50...60 -50/120 ---- 50...60 ---- 3,5...7 130 2500...2800<br />
13 Steif, zäh, geringste Wasseraufnahme, hohe<br />
� 15<br />
PET, teilkristallin<br />
65...75 -50/100 ---- 50...80 ---- 5...7 200 2800...3100<br />
7 Maß- <strong>und</strong> Wärmebeständigkeit. Kfz.-Türgriffe,<br />
50<br />
Scheinwerfer- <strong>und</strong> Spiegelgehäuse, Zahnräder,<br />
PET-GF 30 1,5 220...230 -50/140 160...175 ---- 2...3 ----<br />
9000...11000<br />
3<br />
Kupplungen, Getränkeflaschen<br />
Polyphenylensulfid Crastin, Fortron, Ryton, Tedur Unbeständig gegen HNO3 PPS<br />
1,35 ---- -60/140<br />
----<br />
4000 20 5 Thermisch <strong>und</strong> chemisch hoch beständig, meist glasfa-<br />
PPS–GF40 1,64 260 -60/220 165...200 ---- 0,9...1,8 ---<br />
----<br />
13000...19000 30 3 serverstärkt für Teile im Motorraum im Austausch gegen<br />
Metalle<br />
Erläuterungen: Bruchspannung σB <strong>und</strong> Bruchdehnung εB werden für harte <strong>und</strong> spröde Polymere ermittelt, sie entsprechen der Zugfestigkeit bzw. Bruchdehnung. Streckspannung σY <strong>und</strong> Streckdehnung εY werden für zäh-elastische Polymere ermittelt, sie entsprechen der oberen Streckgrenze. Dehnungswerte unter Last gemessen (→ Abschnitt 5, Bild 4)<br />
1) Kugeldruckhärte; 2) Zeitdehnspannung σ 1/1000/23°C ; 3) Linearer Längenausdehnungskoeffizient, längs, x 10 -5 /°C; 4) Wärmeformbeständigkeitstemperatur HDT nach DIN EN ISO 75.<br />
Dabei wird eine mittig biegebeanspruchte Probe auf zwei Stützpunkten langsam durchgebogen. Bestimmten Biegespannungen (z.B. A = 1,85 Mpa) sind bestimmte Durchbiegungen zugeordnet<br />
(A = 0,33 mm); 5) Wärmealterung: Bei einigen Sorten (Polystyrole) fällt die Zugfestigkeit nach 20 000 h Halten bei der oberen Temperatur um 50 % ab.<br />
113<br />
4
5.1 Gr<strong>und</strong>begriffe der<br />
Elektrotechnik<br />
5.1.1 Elektrischer<br />
Widerstand<br />
Elektrischer Widerstand<br />
eines Leiters<br />
Spannungsfall <strong>und</strong><br />
Verlustleistung<br />
Gr<strong>und</strong>begriffe der Elektrotechnik<br />
l l<br />
R = =<br />
q γ q<br />
r<br />
1<br />
G �<br />
R<br />
� � 1<br />
r<br />
J<br />
=<br />
q<br />
I<br />
Elektrotechnik<br />
Gr<strong>und</strong>begriffe der Elektrotechnik<br />
R G r � (�) l q J<br />
� 1<br />
2 � mm m Sm<br />
� S<br />
=<br />
2 2<br />
� m Ωmm<br />
mm<br />
m mm 2<br />
R elektrischer Widerstand, Wirkwiderstand, Resistanz<br />
G elektrischer Leitwert, Wirkleitwert, Konduktanz<br />
r spezifischer elektrischer Widerstand, Resistivität<br />
� �(�) elektrische Leitfähigkeit, Konduktivität<br />
l Länge des Leiters<br />
q Querschnitt (Querschnittsfläche) des Leiters<br />
J elektrische Stromdichte<br />
I elektrische Stromstärke<br />
1 � mm 2 /m � 10 –4 � cm 1 Sm/mm 2 � 10 4 S/cm<br />
1 � cm/m � 10 4 � mm 2 /m 1 S/cm � 10 –4 Sm/mm 2<br />
q r I l �U, U P p<br />
mm 2<br />
�mm<br />
m<br />
A m V W %<br />
q Leiterquerschnitt (eine Ader!)<br />
r spezifischer elektrischer Widerstand<br />
I Leiterstrom<br />
l einfache Leiterlänge<br />
U Netzspannung<br />
�U Spannungsfall (Spannungsverlust) auf der Leitung<br />
cos � Wirkleistungsfaktor des Verbrauchers<br />
P Verbraucherleistung<br />
p prozentualer Leistungsverlust auf der Leitung<br />
Netz<br />
Gleichstrom<br />
Wechselstrom<br />
Leiterquerschnitt<br />
bei<br />
Berechnung auf<br />
Spannungsfall<br />
2r<br />
q = I l<br />
∆U<br />
2r<br />
q = I l cos ϕ<br />
∆U<br />
3<br />
Drehstrom q = l cos ϕ<br />
∆U<br />
A<br />
mm2<br />
Berechnung auf<br />
Leistungsverlust<br />
200r P l<br />
q =<br />
2 pU<br />
200r<br />
P l<br />
q =<br />
pU2cos2ϕ 100r<br />
P l<br />
pU cos ϕ<br />
r<br />
I q =<br />
2 2<br />
115<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Gr<strong>und</strong>begriffe der Elektrotechnik<br />
116<br />
5.1.1.1 Temperaturabhängigkeit<br />
des<br />
Widerstandes<br />
Benennungen<br />
Betriebstemperatur<br />
ca. – 50 °C<br />
bis<br />
ca. 200 °C<br />
5.1.2 Elektrische Leistung<br />
<strong>und</strong> Wirkungsgrad<br />
Generatorleistung P G<br />
Verbraucherleistung P v<br />
Verlustleistung P i<br />
des Generators<br />
Maximalleistung P k<br />
des Generators<br />
(Kurzschlussleistung)<br />
R� Widerstandswert bei Temperatur �<br />
R20 Widerstandswert bei Bezugstemperatur 20 °C<br />
��20 Temperaturbeiwert bei 20 °C<br />
�R Widerstandsänderung<br />
�� Temperaturdifferenz bezogen auf 20 °C<br />
� Celsius-Temperatur<br />
r� spezifischer elektrischer Widerstand bei der Temperatur �<br />
r20 spezifischer elektrischer Widerstand bei 20 °C<br />
Rw Rk ��w � k<br />
�<br />
Widerstandswert bei ��w (warm)<br />
Widerstandswert bei ��k (kalt)<br />
wärmere Temperatur<br />
kältere Temperatur<br />
Temperaturziffer<br />
Bezugstemperatur 20 °C Beliebige Bezugstemperatur<br />
�R � R 20 � 20 ��<br />
R � � R 20(1 � � 20 ��)<br />
�� � � – 20 °C�<br />
r � � r 20(1 � � 20 ��)<br />
�<br />
Rw<br />
� �<br />
� w<br />
Rk<br />
� � �k<br />
�<br />
1<br />
� �20°C<br />
�20<br />
Rw � R<br />
�� � k ( � ��k)<br />
Rk<br />
P U I R �<br />
W V A �� 1<br />
J Nm<br />
1W = 1 = 1<br />
s s<br />
2 Uq<br />
2<br />
PG = Pi+ Pv = UqI = = I ( Ri+ Rv)<br />
Ri+ Rv<br />
U2<br />
2<br />
v = G − i = I = = I v<br />
R v<br />
P P P U R<br />
U 2<br />
i<br />
P 2<br />
i = PG − Pv = UiI = = I Ri<br />
R i<br />
U 2<br />
q<br />
P 2<br />
k = UqI k = = I k Ri<br />
R i<br />
Dabei sind:<br />
Verbraucherwiderstand R v � 0 �<br />
Verbraucherspannung U � 0 V<br />
Verbraucherleistung P v � 0 W<br />
Kurzschlussstrom<br />
Uq<br />
I<br />
k =<br />
R<br />
i
Maximalleistung P A<br />
des Verbrauchers<br />
(Leistungsanpassung)<br />
Wirkungsgrad �<br />
5.1.3 Elektrische Energie<br />
Einheiten<br />
Energie des magnetischen<br />
Feldes einer Spule<br />
Energie des elektrischen<br />
Feldes<br />
elektrische Arbeit des<br />
Gleichstroms<br />
Energiekosten K<br />
Wirkungsgrad �<br />
Anpassungsbedingung R v � R i<br />
Elektrotechnik<br />
Gr<strong>und</strong>begriffe der Elektrotechnik<br />
R v<br />
1<br />
Ri �<br />
Verbraucherstrom I A bei Leistungsanpassung<br />
I<br />
A<br />
Uq Uq<br />
k<br />
= = =<br />
2R 2R 2<br />
I<br />
i v<br />
Verbraucherspannung UA bei Leistungsanpassung<br />
U q<br />
U A �<br />
2<br />
Verbraucherleistung PA bei Leistungsanpassung<br />
2 2<br />
PG Pk Uq Uq<br />
PA = Pi = = = = = UAIA<br />
2 4 4Rv 4Ri<br />
abgegebene Leistung<br />
Wirkungsgrad � �1<br />
zugeführte Leistung<br />
�<br />
Pab Pab Pzu�Pverl Pverl<br />
� � � �1� Pzu Pab�PverlPzu Pzu<br />
W L C Q U I R P t K k<br />
Ws Vs<br />
A<br />
1<br />
W = LI<br />
2<br />
As<br />
V<br />
2<br />
As V A �� W s €<br />
1 2 1 1 Q<br />
W � CU � QU � �<br />
2 2 2 C<br />
2<br />
2 U<br />
= = I = I = =<br />
W Pt U t Rt t UQ<br />
R<br />
K = kW<br />
2<br />
P ab abgegebene Leistung<br />
(Nutzleistung)<br />
P zu zugeführte Leistung<br />
P verl Verlustleistung<br />
€<br />
kWh<br />
k Tarif in €/kWh<br />
W elektrische Arbeit in kWh<br />
abgegebene Energie<br />
Wirkungsgrad � �1<br />
zugeführte Energie<br />
�<br />
W W W W W<br />
ab ab zu � verl verl<br />
� � � �1� WzuWab�WverlWzu Wzu<br />
W ab abgegebene Energie (Nutzleistung)<br />
W zu zugeführte Energie<br />
W verl Verlustenergie<br />
1 Ws � 1 J � 1 Nm<br />
117<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Gleichstromtechnik<br />
118<br />
5.1.4 Elektrowärme<br />
Wärmekapazität<br />
Wärmemenge<br />
Spezifische<br />
Wärmekapazität<br />
Wärmewirkungsgrad<br />
5.2 Gleichstromtechnik<br />
5.2.1 Ohm’sches Gesetz,<br />
nicht verzweigter<br />
Stromkreis<br />
Schaltplan<br />
Stromstärke I<br />
Klemmenspannung U<br />
der Quelle<br />
Kurzschlussstrom (U = 0)<br />
Leerlaufspannung (I = 0)<br />
Verbraucherwiderstand<br />
Innenwiderstand<br />
der Quelle<br />
Verbraucherleistung<br />
Q<br />
C �<br />
�T<br />
Q = m c �T<br />
C Wärmekapazität<br />
�T Temperaturdifferenz<br />
Q Wärmemenge (Wärme)<br />
c spezifische Wärmekapazität<br />
m Masse<br />
Material c in kJ/kg K C Q �T m<br />
Aluminium<br />
Kupfer<br />
Wasser<br />
0,92<br />
0,39<br />
4,186<br />
Ws J<br />
�<br />
K K<br />
J � Ws K kg<br />
W zu � Pt<br />
W ab � Q � m c �T<br />
η<br />
Gleichstromtechnik<br />
W mc∆T W Pt<br />
ab<br />
th = =<br />
zu<br />
I Stromstärke<br />
U q Quellenspannung<br />
U i innerer Spannungsfall der Quelle<br />
U Klemmenspannung der Quelle ���<br />
Verbraucherspannung<br />
(bei R Leitung � 0 �)<br />
R i Innenwiderstand der Quelle<br />
R Verbraucherwiderstand<br />
Wzu Zugeführte elektrische Arbeit<br />
Wab, Q Abgegebene Wärmemenge<br />
�th Wärmewirkungsgrad<br />
Ui Ri<br />
Uq<br />
+<br />
–<br />
I<br />
U<br />
R<br />
Quelle Verbraucher<br />
„Technische Stromrichtung“:<br />
Der Strom fließt außerhalb der Quelle vom Pluspol zum Minuspol.<br />
U Uq<br />
I = =<br />
I UU , i, Uq RR , i<br />
R Ri+ R<br />
A V Ω<br />
U = Uq – Ui = Uq – IRi I<br />
k =<br />
U<br />
R<br />
U � U q<br />
U<br />
R = I<br />
q<br />
U U<br />
i<br />
R i = =<br />
I I<br />
P � U I<br />
i<br />
q<br />
k<br />
Stromstärke<br />
Ik<br />
I<br />
α<br />
Kennlinienfeld I = f( U)<br />
Betriebsdiagramm<br />
Kennlinie der Quelle<br />
Kennlinie des Verbrauchers<br />
Kurzschluss<br />
U<br />
P<br />
Leerlauf<br />
Arbeitspunkt<br />
(Schnittpunkt<br />
der Kennlinien)<br />
β<br />
Ui<br />
Uq<br />
Spannung
5.2.2 Kirchhoff’sche Sätze<br />
Erster Kirchhoff’scher<br />
Satz (Knotenpunkt-Satz)<br />
Zweiter Kirchhoff’scher<br />
Satz (Maschen-Satz)<br />
5.2.3 Ersatzschaltungen<br />
des Generators<br />
Schaltplan<br />
Kirchhoff’scher Satz<br />
In jedem Verzweigungspunkt ist die Summe<br />
der zufließenden <strong>und</strong> abfließenden Ströme<br />
gleich Null.<br />
Zufließende Ströme positiv zählen,<br />
abfließende Ströme negativ zählen.<br />
� I 1 � I 2 � I 4 – I 3 – I 5 � 0<br />
� I zu – � I ab � 0<br />
In jedem geschlossenen Stromkreis<br />
<strong>und</strong> jeder Netzmasche ist die<br />
Summe aller Spannungen gleich<br />
Null.<br />
Der Umlaufsinn (US) kann willkürlich<br />
festgelegt werden. Positiv zählen,<br />
wenn US <strong>und</strong> Zählpfeil gleiche Richtung<br />
haben. Negativ zählen, wenn<br />
US <strong>und</strong> Zählpfeil entgegengesetzte<br />
Richtung haben.<br />
Umlaufsinn<br />
Umlaufsinn<br />
� U 1 � U 2 � U 3 – U q2 – U q1 � 0<br />
�U – �U q � 0<br />
� U q1 � U q2 – U 3 – U 2 – U 1 � 0<br />
�U q – �U � 0<br />
Elektrotechnik<br />
Gleichstromtechnik<br />
� U � 0<br />
Ersatz-Spannungsquelle Ersatz-Stromquelle<br />
Die konstante Quellenspannung<br />
U q ist die Ursache des Stromes<br />
I in den Widerständen R i � R.<br />
� I � 0<br />
Der konstante Quellenstrom I q ist<br />
die Ursache der Verbraucherspannung<br />
U an den Leitwerten G i � G.<br />
Maschen-Satz Knotenpunkt-Satz<br />
(Schaltungspunkt K)<br />
Uq – Ui – U � 0<br />
Iq – Ii – I � 0<br />
Uq – I Ri – I R � 0<br />
Iq – UGi – UG� 0<br />
Uq – I (Ri � R) � 0<br />
Iq – U (Gi � G) � 0<br />
119<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Gleichstromtechnik<br />
Spannung <strong>und</strong> Stromstärke<br />
bei Belastung der Quelle<br />
Spannung <strong>und</strong> Stromstärke<br />
bei Leerlauf <strong>und</strong><br />
Kurzschluss der Quelle<br />
120<br />
5.2.4 Schaltungen von<br />
Widerständen <strong>und</strong><br />
Quellen<br />
5.2.4.1 Parallelschaltung<br />
von Widerständen<br />
Schaltplan<br />
Spannungen<br />
Ströme<br />
Belastung 0
Leitwerte <strong>und</strong><br />
Widerstände<br />
5.2.4.2 Parallelschaltung<br />
von Quellen<br />
Quellen mit gleicher Quellenspannung<br />
<strong>und</strong> gleichem<br />
Innenwiderstand<br />
R i1 � R i2 � R i3 � … R in<br />
Quellen mit gleicher Quellenspannung<br />
<strong>und</strong> ungleichen<br />
Innenwiderständen<br />
R i1 � R i2<br />
Elektrotechnik<br />
Gleichstromtechnik<br />
Der Gesamtleitwert ist gleich der Summe der Einzelleitwerte.<br />
Gges � G1 � G2 � G3 … � Gn � 1/R1 � 1/R2 � 1/R3 � … � 1/Rn 1<br />
Rges<br />
�<br />
G<br />
ges<br />
Gesamtwiderstand Rges bei gleichgroßen Einzelwiderständen Reinzel R einzel<br />
Rges<br />
�<br />
n<br />
n Anzahl der parallelgeschalteten Widerstände<br />
Für zwei parallelgeschaltete Widerstände gilt:<br />
RR<br />
R 1 2<br />
ges �<br />
R1�R2 I<br />
I<br />
1 R2<br />
=<br />
2 R1<br />
I<br />
I<br />
R<br />
=<br />
R<br />
ges 1<br />
I<br />
1 ges<br />
R<br />
=<br />
R<br />
ges 2<br />
I<br />
2 ges<br />
I � I1 � I2 � I3 � … � In I<br />
I1 � I2 � I3 � In ��<br />
n<br />
n Anzahl der Quellen<br />
Alle Quellen liefern die gleiche<br />
Stromstärke!<br />
R<br />
R<br />
n<br />
R<br />
n<br />
R<br />
n<br />
R<br />
n<br />
Uq<br />
I =<br />
R + R<br />
i1 i2 i3 in<br />
i � � � ��� i<br />
U � I R � U q – I R i<br />
121<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Gleichstromtechnik<br />
122<br />
5.2.4.3 Reihenschaltung<br />
von Widerständen<br />
Spannungen<br />
Strom<br />
Widerstand<br />
5.2.4.4 Reihenschaltung<br />
von Quellen<br />
Summen-Reihenschaltung<br />
Gegen-Reihenschaltung<br />
I � I1 � I2 Uq−U I1<br />
=<br />
R<br />
i1<br />
Uq−U I2<br />
=<br />
R<br />
i2<br />
Die Quelle mit dem kleineren<br />
Innenwiderstand liefert die größere<br />
Stromstärke<br />
R<br />
i �<br />
R R<br />
i1 i2<br />
i1 � i2<br />
R R<br />
Uq<br />
I =<br />
R + R<br />
Die Gesamtspannung ist gleich der Summe<br />
aller Teilspannungen.<br />
U ges � U 1 � U 2 � U 3 � … � U n<br />
Die Teilspannungen verhalten sich wie ihre<br />
zugehörigen Widerstände.<br />
i<br />
U � I R � U q – I R i<br />
U ges : U 1 : U 2 : U 3 : U n � R ges : R 1 : R 2 : R 3 : R n<br />
Die Stromstärke ist in allen Verbraucherwiderständen<br />
gleich groß.<br />
I � U 1 /R 1 � U 2 /R 2 � U 3 /R 3 � U n /R n � U ges /R ges<br />
Der Gesamtwiderstand ist gleich der Summe<br />
der Einzelwiderstände.<br />
R ges � R 1 � R 2 � R 3 � … � R n<br />
Gesamtwiderstand R ges bei gleichgroßen Einzelwiderständen<br />
R einzel<br />
R ges � nR einzel<br />
n Anzahl der in Reihe geschalteten Widerstände<br />
U q ges � U q1 � U q2<br />
Für U q1 > U q2 gilt:<br />
U q ges � U q1 – U q2<br />
Für U q1 < U q2 gilt:<br />
U q ges � U q2 – U q1
5.2.5 Messschaltungen<br />
5.2.5.1 Indirekte<br />
Widerstandsbestimmung<br />
Spannungsfehlerschaltung<br />
Stromfehlerschaltung<br />
5.2.5.2 Messbereichserweiterung<br />
bei<br />
Spannungs- <strong>und</strong><br />
Strommessern<br />
Vorwiderstand bei<br />
Spannungsmessern<br />
Parallelwiderstand<br />
bei Strommessern<br />
U−U U−IR F<br />
R = =<br />
I I<br />
U U<br />
R = =<br />
I−I U F I −<br />
R<br />
U U−U RV<br />
= =<br />
I I<br />
V M<br />
i<br />
Messwerk<br />
RV �( n �1) Ri n �<br />
UM<br />
U IMRi<br />
R P = =<br />
IP I−IM i<br />
U<br />
Messwerk<br />
R i I<br />
RP= n=<br />
n−<br />
1 I<br />
M<br />
Elektrotechnik<br />
Gleichstromtechnik<br />
R Messwiderstand<br />
Ri Innenwiderstand des Strommessers<br />
U gemessene Spannung<br />
I gemessener Strom<br />
UF zum Fehler führende Spannung<br />
Geeignet zur Bestimmung großer<br />
Widerstände<br />
(R � R i )<br />
R Messwiderstand<br />
Ri Innenwiderstand des Spannungsmessers<br />
U gemessene Spannung<br />
I gemessener Strom<br />
IF zum Fehler führender Strom<br />
Geeignet zur Bestimmung kleiner<br />
Widerstände<br />
(R � R i )<br />
RV Vorwiderstand<br />
Ri Innenwiderstand des Messgerätes<br />
I Strom<br />
U zu messende Spannung<br />
UV Spannung am Vorwiderstand<br />
UM Spannung am Messwerk des<br />
Messgerätes<br />
n Faktor der Messbereichserweiterung<br />
RP Parallelwiderstand<br />
Ri Innenwiderstand des Messgerätes<br />
U Spannung<br />
I zu messender Strom<br />
IP Strom durch den Parallelwiderstand<br />
IM Strom durch das Messwerk des<br />
Messgerätes<br />
n Faktor der Messbereichserweiterung<br />
123<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Gleichstromtechnik<br />
124<br />
5.2.6 Spannungsteiler<br />
Unbelasteter<br />
Spannungsteiler<br />
Belasteter<br />
Spannungsteiler<br />
5.2.7 Brückenschaltung<br />
Abgeglichene Brücke<br />
U 5 � 0<br />
I 5 � 0<br />
Nichtabgeglichene<br />
(verstimmte) Brücke<br />
U 5 � 0<br />
I 5 � 0<br />
R R<br />
U 2 L<br />
2 � U<br />
R1( R2 �RL) �R2RL<br />
Parameter 0 bedeutet:<br />
RL �� (Leerlauf)<br />
Spannung<br />
U1 � U3 U2 � U4 Uq � U1 � U2 � U3 � U4 Speisestrom<br />
Uq<br />
I =<br />
( R1+ R2)( R3+ R4)<br />
R1+ R2+ R3+ R4<br />
Widerstand<br />
R1<br />
R3<br />
� (Abgleichbedingung)<br />
R R<br />
R<br />
2 4<br />
AB<br />
( R1�R2)( R3 �R4)<br />
�<br />
R �R �R �R<br />
1 2 3 4<br />
Brückenspannung U 5<br />
U 5 � I 5 · R 5<br />
U U R<br />
R R R R<br />
1 � 2 U 2<br />
2 �U<br />
1 2 1�2 R<br />
Parameter: 1�R2 RL<br />
Beispiel Parameter 1:<br />
R L = R 1 � R 2<br />
Brückenstrom I5 I5= I<br />
R ( R + R<br />
R2R3−R1R4 + R + R ) + ( R + R )( R + R )<br />
5 1 2 3 4 1 3 2 4<br />
R2R3−R1R4 I5=<br />
Uq R ( R + R )( R + R ) + R R ( R + R ) + R R ( R + R )<br />
5 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2<br />
Widerstand RAB RR 1 2( R3 �R4) �R3R4( R1�R2) �R5( R1�R2)( R3 �R4)<br />
RAB<br />
�<br />
R5( R1�R2 �R3 �R4) �( R1�R3)( R2 �R4)
5.3 Elektrisches Feld<br />
<strong>und</strong> Kapazität<br />
5.3.1 Größen des homogenenelektrostatischen<br />
Feldes<br />
Einheiten<br />
Elektrischer Fluss,<br />
elektrische Feldstärke,<br />
Kapazität<br />
Energie, Energiedichte<br />
Elektrotechnik<br />
Elektrisches Feld <strong>und</strong> Kapazität<br />
�, Q I t U E F C A l D � 0 , � � r W E w E V<br />
As � C A s V<br />
V<br />
m N As F<br />
V � m2 m<br />
As<br />
2<br />
m<br />
As F<br />
� 1 Ws � Nm<br />
Vm m<br />
Ws<br />
3<br />
m m3<br />
1 Coulomb As<br />
1 Farad (F) � � 1 � 1 Coulomb (C) � 1 Amperesek<strong>und</strong>e (As)<br />
1 Volt V<br />
� � Q � I t<br />
U F<br />
E � �<br />
l Q<br />
q<br />
p<br />
A Q<br />
C � � �<br />
l U<br />
Ψ Q<br />
D= = = εE<br />
� A<br />
� � � r · � 0<br />
1 12 As<br />
0 = = 8,85419⋅10− µ c 2<br />
0 0<br />
Vm<br />
ε<br />
� elektrischer Fluss l Feldlinienlänge, Plattenabstand<br />
U elektrische Spannung A Feldraumquerschnitt (� � A)<br />
E elektrische Feldstärke C Kapazität des Kondensators<br />
Q verschobene elektrische Ladung, gespeicherte Elektrizitätsmenge des<br />
Kondensators<br />
Qp elektrische Ladung einer Probeladung<br />
Fq Kraftwirkung auf eine Probeladung<br />
D elektrische Flussdichte, elektrische Verschiebung, elektrische Verschiebungsdichte<br />
��r Dielektrizitätszahl, Permittivitätszahl (bei linearen Dielektrika)<br />
� Dielektrizitätskonstante, Permittivität (bei linearen Dielektrika)<br />
�0 elektrische Feldkonstante<br />
Wellengeschwindigkeit im Vakuum<br />
c 0<br />
Bei Ferroelektrika (nichtlineare Dielektrika) ist der Zusammenhang zwischen der<br />
elektrischen Flussdichte D <strong>und</strong> der elektrischen Feldstärke E nicht linear.<br />
1 2 1 1<br />
E � � �<br />
2 2 2<br />
W CU QU<br />
1 1 2 1<br />
E � � � �<br />
2 2 2<br />
w ED E<br />
W E � w EV<br />
2<br />
Q<br />
C<br />
2<br />
D<br />
�<br />
W E elektrische Feldenergie, Energieinhalt<br />
w E elektrische Energiedichte<br />
V Feldvolumen<br />
125<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Elektrisches Feld <strong>und</strong> Kapazität<br />
126<br />
Kraftwirkung<br />
5.3.2 Kapazität von Leitern<br />
<strong>und</strong> Kondensatoren<br />
Dielektrizitätskonstante<br />
Langer zylindrischer Einzelleiter<br />
gegen Erde<br />
Lange parallele<br />
zylindrische Leiter<br />
Langer koaxialer Leiter<br />
Langer koaxialer Leiter mit<br />
geschichtetem Dielektrikum<br />
zwischen zwei parallelen Kondensatorplatten<br />
1 2 � 2 Q<br />
F � AD � AE �<br />
2� 2 2�<br />
A<br />
F � wE A<br />
zwischen zwei punktförmigen Kugelladungen<br />
1 QQ<br />
F � 1 2 (Coulomb’sches Gesetz)<br />
4 �� l2<br />
l Abstand der Kugelladungen<br />
2<br />
Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an, gleichnamige Ladungen<br />
stoßen sich ab.<br />
� � � r � 0<br />
� �8,85419 �10<br />
C<br />
0<br />
�12<br />
As<br />
Vm<br />
2�<br />
� l<br />
�<br />
� 2 �<br />
ln �h h<br />
�<br />
� �<br />
�1�<br />
�<br />
� �<br />
�r �r � �<br />
�<br />
� Dielektrizitätskonstante<br />
� 0 elektrische Feldkonstante<br />
Dielektrizitätszahl<br />
� �r<br />
l Leiterlänge<br />
2�<br />
� l<br />
C �<br />
Näherung für h � r<br />
2h<br />
ln<br />
r<br />
��<br />
l<br />
C �<br />
� 2 �<br />
ln � a � a �<br />
� �1�<br />
�2 r<br />
� �<br />
�2r� �<br />
� �<br />
l Leiterlänge<br />
��<br />
l<br />
C �<br />
Näherung für a � r<br />
a<br />
ln<br />
r<br />
2�<br />
� l<br />
C �<br />
r1<br />
ln<br />
r<br />
l Leiterlänge<br />
2 π l<br />
C =<br />
⎡ 1/ ε ε ε<br />
⎛ ⎞ 1 1/<br />
⎛ ⎞ 2 1/<br />
⎛ ⎞ 3<br />
r ⎤<br />
⎢ 1 r2 r3<br />
ln ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥<br />
⎢<br />
⎣⎝r ⎠ ⎝r1 ⎠ ⎝r2 ⎠ ⎥<br />
⎦<br />
� 1 � � r1 � �0<br />
l Leiterlänge<br />
� 2 � � r2 � �0
Plattenkondensator<br />
Plattenkondensator<br />
mit geschichtetem<br />
Dielektrikum<br />
Kugelanordnungen<br />
5.3.3 Schaltungen von<br />
Kondensatoren<br />
Parallelschaltung<br />
Reihenschaltung<br />
� A Q<br />
C � �<br />
l U<br />
A Feldraumquerschnitt, Plattenfläche<br />
l Plattenabstand<br />
Q Ladung<br />
U Spannung<br />
Aε<br />
0<br />
C =<br />
l1 l2<br />
+ + ...<br />
εr1 εr2<br />
A Feldraumquerschnitt<br />
Kugelelektrode<br />
C = 4 � � r<br />
Elektrotechnik<br />
Elektrisches Feld <strong>und</strong> Kapazität<br />
Q<br />
C U<br />
F As V<br />
Q ges � Q 1 � Q 2 � … � Q n � C gesU<br />
C ges � C 1 � C 2 � … � C n<br />
C ges Gesamtkapazität, Ersatzkapazität<br />
Für n Kondensatoren mit gleicher<br />
Kapazität C gilt C ges � nC<br />
Q � Q 1 � Q 2 � Q n = C ges U<br />
Bei mehr als 2 Dielektrika<br />
ist im Nenner zu addieren<br />
l 3/� r3 usw.<br />
Kugelkondensator<br />
4 �rr1<br />
C �<br />
r1�r Q Q Q Q<br />
U �U1�U2 ���Un � � � ��� Cges C1C2Cn 1 1 1 1<br />
U : U1 : U2 : Un � : : :<br />
Cges C1C2Cn 1 1 1 1<br />
� � ��� Cges C1C2Cn Für n Kondensatoren mit gleicher<br />
C<br />
Kapazität C gilt Cges<br />
�<br />
n<br />
Für zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren gilt<br />
CC<br />
C 1 2<br />
ges �<br />
C1 � C2<br />
CC 2 ges<br />
C1<br />
�<br />
C2�Cges CC 1 ges<br />
C2<br />
�<br />
C1�Cges 127<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
128<br />
5.4 Magnetisches Feld<br />
<strong>und</strong> Induktivität<br />
5.4.1 Größen des homogenenmagnetischen<br />
Feldes<br />
Einheiten<br />
„Ohm’sches Gesetz“<br />
des Magnetkreises<br />
Magnetischer Widerstand,<br />
magnetischer<br />
Leitwert, Permeabilität<br />
�, � V,� R m H l N I B A � r � 0 , � L, � W M w M<br />
Vs � � Wb A<br />
Θ V<br />
� �� =<br />
R R<br />
A 1<br />
�<br />
Vs H<br />
A<br />
m1 A<br />
m<br />
m m<br />
� � N I elektrische Durchflutung<br />
V � H l magnetische Spannung<br />
Vs<br />
T<br />
2<br />
m � m2 1<br />
H �� V<br />
magnetische Feldstärke/Erregung<br />
l<br />
l Länge des zu magnetisierenden<br />
Raumes<br />
�� magnetischer Fluss<br />
Rm magnetischer Widerstand,<br />
Reluktanz<br />
N Windungszahl der<br />
Erregerwicklung<br />
I Stromstärke in der<br />
Erregerwicklung<br />
Rm<br />
l l<br />
r 0A<br />
A<br />
� �<br />
� � �<br />
R m ges � R m1 � R m2 � …<br />
(bei Reihenschaltung von<br />
magnetischen Widerständen)<br />
1 A<br />
= Λ = µ r µ 0<br />
Rm<br />
l<br />
� = � r � 0 �� B<br />
H<br />
7 Vs 6 Vs<br />
�0 �� 4π10− ≈ 1,25⋅10− Am Am<br />
Stoff � r<br />
ferromagnetisch � 1<br />
� konst.<br />
paramagnetisch > 1<br />
� konst.<br />
diamagnetisch < 1<br />
� konst.<br />
Vs H<br />
�<br />
Am m<br />
Vs<br />
H � Ws<br />
A<br />
Ws<br />
R m magnetischer Widerstand,<br />
Reluktanz<br />
l Länge des zu magnetisierenden<br />
Raumes<br />
A Feldraumquerschnitt<br />
� magnetischer Leitwert,<br />
Permeanz<br />
B Flussdichte, Induktion<br />
H magnetische Feldstärke,<br />
magnetische Erregung<br />
� r Permeabilitätszahl, relative<br />
Permeabilität<br />
� 0 magnetische Feldkonstante,<br />
Induktionskonstante, Permeabilität<br />
des Vakuums<br />
� Permeabilität<br />
Die relative Permeabilität µ r ist für Luft <strong>und</strong> alle para- <strong>und</strong> diamagnetischen<br />
Stoffe annähernd 1. Bei ferromagnetischen Stoffen (Eisen,<br />
Nickel, Chrom, Ferrite) ist µ r � 1, aber von der Flussdichte B abhängig,<br />
die den Kern durchsetzt.<br />
m<br />
3
Magnetische Flussdichte<br />
(Induktion)<br />
Induktivität<br />
Energieinhalt<br />
Energiedichte<br />
Durchflutungsgesetz<br />
für homogene Felder<br />
Φ<br />
B= (��A) A<br />
B � � r � 0 H<br />
2 NΦ<br />
Ψ<br />
L= N Λ = =<br />
I I<br />
�� � N ��<br />
L � N 2 AL Der A L -Wert ist die auf die Windungszahl<br />
N � 1 bezogene Induktivität L<br />
<strong>und</strong> wird in der Einheit nH � 10 –9 H<br />
angegeben.<br />
1<br />
WM= LI<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
w 2 2<br />
M � HB � B � H<br />
2 2�2 � � � r � 0<br />
W M � w M V<br />
� N I � � H l<br />
In der Praxis wird häufig der Einfluss der<br />
magnetischen Streuung durch einen<br />
Zuschlag von 10 % zur elektrischen<br />
Durchflutung berücksichtigt<br />
� N I � 1,1 � H l<br />
Für das nebenstehende Magnetgestell<br />
mit gleicher Magnetisierungsrichtung<br />
der Erregerspulen gilt:<br />
N 1 I 1 � N 2 I 2 � H E l E � H 0 l 0<br />
� 1 � � 2 � V E � V 0<br />
(Bei mehreren Erregerspulen ist die<br />
Magnetisierungsrichtung jeder Spule zu<br />
berücksichtigen)<br />
H E magnetische Feldstärke im Eisen (aus<br />
Magnetisierungskurve entnehmen)<br />
H 0 magnetische Feldstärke im Luftspalt<br />
(aus H 0 � B 0 /� � berechnen)<br />
�<br />
l E mittlere Eisenweglänge<br />
mittlere Luftspaltlänge<br />
l 0<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
B magnetische Flussdichte,<br />
Induktion, Feldliniendichte<br />
� magnetischer Fluss<br />
A magnetischer Feldraumquerschnitt<br />
L Induktivität einer Spule, Selbstinduktionskoeffizient<br />
� Induktionsfluss, Flussverkettung<br />
� magnetischer Leitwert<br />
N Windungszahl der Spule<br />
� Spulenfluss<br />
I Spulenstrom<br />
A L Induktivitätsfaktor, Kernfaktor,<br />
A L -Wert<br />
W M magnetische Feldenergie (Energieinhalt)<br />
einer erregten Spule<br />
L Induktivität der Spule<br />
I Spulenstrom<br />
w M magnetische Energiedichte in<br />
Stoffen konstanter Permeabilität,<br />
z.B. Luft<br />
H magnetische Feldstärke<br />
B Flussdichte<br />
� Permeabilität<br />
W M magnetische Feldenergie<br />
(Energieinhalt) eines Volumens<br />
mit konstanter Permeabilität,<br />
z.B. Luft<br />
V Feldvolumen in m 3<br />
129<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
Berechnung magnetischer<br />
Feldlinien an einer<br />
Grenzfläche zweier<br />
Medien<br />
130<br />
5.4.2 Spannungserzeugung<br />
Einheiten<br />
Induktionsgesetz<br />
Ht1 = H t2 Bn1 = Bn2<br />
B t1 µ r1 tan α1<br />
= =<br />
B t2 µ r2 tan α2<br />
Hn1<br />
µ r2<br />
=<br />
Hn2<br />
µ r1<br />
B2<br />
2<br />
r1<br />
2<br />
r2 2<br />
B1<br />
r1<br />
µ − µ<br />
= 1− sin α<br />
2<br />
1<br />
µ<br />
B1 Flussdichte (Feldlinie) im Medium 1<br />
B2 Flussdichte (gebrochene Feldlinie) im Medium 2<br />
H1 Feldstärke im Medium 1<br />
H2 Feldstärke im Medium 2<br />
Bn, Hn Normalkomponenten<br />
Bt, Ht Tangentialkomponenten<br />
Permeabilitätszahl, relative Permeabilität<br />
µr<br />
Medium 1 µ r1<br />
Grenzfläche<br />
Medium 2<br />
µ r2<br />
u, U i, I E �� B L l t, T v n f, � N, z, p, ü R A<br />
V A V<br />
m Vs<br />
Vs<br />
m<br />
U0 = ∫ Edl=– dΦ<br />
dt<br />
Physikalische<br />
Wirkungskette<br />
2<br />
Vs<br />
H � m s<br />
A<br />
m 1<br />
min–1<br />
s s<br />
Flusszunahme<br />
Flussabnahme<br />
U0 induzierte elektrische Umlaufspannung<br />
mit Richtungszuordnung<br />
nach Lenz’scher Regel <strong>und</strong><br />
Rechtsschraubenregel<br />
E elektrische Feldstärke<br />
l Leiterlänge<br />
uq induzierte Quellenspannung<br />
Uq mit Richtungszuordnung nach<br />
Verbraucher-Zählpfeil-System<br />
(VZS)<br />
N Windungszahl<br />
1 �� m2<br />
d d<br />
∆<br />
uq= N = Uq= N<br />
dt dt<br />
∆ t<br />
Ersatz-Spannungsquelle für<br />
den Induktionsvorgang<br />
Φ Ψ Φ<br />
� zeitlich sich ändernder<br />
magnetischer Fluss in der<br />
Leiterschleife<br />
d Φ ∆ Φ Flussänderungsgeschwin-<br />
; �<br />
dt ∆ t digkeit in der Leiterschleife�<br />
� �� = �Ende – �Anfang u, U Klemmenspannung der<br />
Quelle<br />
i, I induzierter Strom<br />
Innenwiderstand der Quelle<br />
R i
Selbstinduktionsspannung<br />
in einer Spule<br />
Geradlinige Bewegung<br />
eines Leiters im<br />
magnetischen Feld<br />
Drehbewegung eines<br />
Leiters im magnetischen<br />
Feld<br />
di<br />
uL�L L � konstant<br />
dt<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
∆ I<br />
uL= L<br />
∆ t<br />
u L<br />
L<br />
Selbstinduktionsspannung<br />
Induktivität der Spule<br />
di<br />
⎞<br />
⎛ di<br />
⎞<br />
Stromanstieg⎛⎜+ ⎟ Stromrückgang ⎜−⎟ ⎝ dt<br />
⎠<br />
⎝ dt<br />
⎠<br />
d i ∆ I<br />
; Stromänderungsgeschwindigkeit<br />
dt<br />
∆ t<br />
u q � B l vz (v � B)<br />
u q indizierte Quellenspannung<br />
B Flussdichte<br />
l wirksame Länge eines Leiterstabes<br />
v Relativgeschwindigkeit zwischen<br />
Leiter <strong>und</strong> magnetischem<br />
Feld, wirksame Geschwindigkeitskomponente<br />
bei nicht rechtwinkliger<br />
„Schnittgeschwindigkeit"<br />
z Anzahl der Leiterstäbe<br />
(hier: z � 1)<br />
Φ = Φˆsin( ωt)<br />
t<br />
u uˆcos( t) B v z<br />
q � q � � l y<br />
û = NωΦˆ<br />
q<br />
1<br />
f �<br />
T<br />
� t zeitlich sich ändernder Spulenfluss<br />
ˆΦ Scheitelwert des Spulenflusses<br />
uq induzierte Quellenspannung<br />
û q Scheitelwert der induzierten Quellenspannung<br />
B homogene Flussdichte<br />
l wirksame Leiterlänge<br />
z Anzahl der Leiterstäbe<br />
N Windungszahl<br />
v= vαcos<br />
α<br />
v y � v u cos(� t)<br />
z � 2 N<br />
� � 2 � f<br />
= f<br />
n<br />
p<br />
� Kreisfrequenz<br />
f Frequenz<br />
T Periodendauer<br />
p Polpaarzahl<br />
n Drehzahl<br />
v u Umfangsgeschwindigkeit<br />
v y „Schnittgeschwindigkeit“ der<br />
Leiterstäbe<br />
131<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
132<br />
5.4.3 Kraftwirkung<br />
Einheiten<br />
Kraftwirkung zwischen<br />
Magnetpolen<br />
Kraftwirkung auf stromdurchflossenen<br />
Leiter im<br />
homogenen Magnetfeld<br />
Kraftwirkung zwischen<br />
stromdurchflossenen<br />
Leitern<br />
F w M, � H 0 B 0 A � �0 l, r I<br />
N<br />
Ws Ws 1 N<br />
� � �<br />
3 m 2 2<br />
m m m<br />
0<br />
A<br />
m<br />
1 2 HB 0 0<br />
F = AB0 = A= wMA 2µ 2<br />
2<br />
F B0<br />
σ = = � wM<br />
A 2 µ 0<br />
F Kraftwirkung zwischen ebenen<br />
parallelen Magnetpolen<br />
�0 magnetische Feldkonstante,<br />
Induktionskonstante<br />
A Querschnitt des Magnetpoles<br />
B0 Flussdichte im Luftspalt, Luftspaltinduktion<br />
H0 magnetische Feldstärke im<br />
Luftspalt<br />
� auf die Polfläche bezogene<br />
Zugkraft<br />
wMmagnetische Energiedichte im<br />
Luftspalt<br />
a Luftspaltlänge<br />
MN kN N<br />
1 � 0,1 � 1<br />
2 2 2<br />
m cm mm<br />
F � B 0 l I z (B 0 � l)<br />
F Kraftwirkung auf stromdurchflossene<br />
Leiter im homogenen Magnetfeld<br />
B0 Flussdichte im Luftspalt, Luftspaltinduktion<br />
l wirksame Länge eines Leiterstabes<br />
I Stromstärke in einem Leiterstab<br />
z Anzahl der parallelgeschalteten<br />
Leiterstäbe<br />
µ<br />
0 l<br />
F = I1I2 2πr<br />
F Kraftwirkung auf parallele<br />
stromdurchflossene Leiter<br />
� 0 Feldkonstante<br />
l Länge der parallel liegenden Leiter<br />
r senkrechter Abstand der parallelen<br />
Leiter<br />
I1 , I2 Leiterstrom<br />
Vs<br />
2 m m2 1,25 · 10-6 Vs<br />
Am<br />
m A
5.4.4 Richtungsregeln<br />
Rechtsschraubenregel<br />
Lenz’sche Regel<br />
Rechtehandregel<br />
(Generatorregel)<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
Stromrichtung <strong>und</strong> Magnetfeldrichtung bilden eine Rechtsschraube<br />
��Strom fließt in den<br />
Leiterquerschnitt<br />
hinein<br />
��Strom kommt aus<br />
dem Leiterquerschnitt<br />
heraus<br />
Alle induzierten<br />
Größen versuchen,<br />
ihre Ursache zu<br />
behindern<br />
� t eingeprägter<br />
zeitlich sich<br />
ändernder<br />
magnetischer<br />
Fluss<br />
� i durch den<br />
Strom i<br />
induzierter<br />
magnetischer<br />
Fluss<br />
i induzierter<br />
Strom<br />
Leiterschleife Leiterschleife<br />
Flusszunahme<br />
dΦ<br />
t<br />
+<br />
dt<br />
� t <strong>und</strong> � i haben in<br />
der Leiterschleife<br />
entgegengesetzte<br />
Richtung<br />
� i Gegenfluss<br />
Flussabnahme<br />
dΦ<br />
t<br />
−<br />
dt<br />
� t <strong>und</strong> � i haben in der<br />
Leiterschleife die<br />
gleiche Richtung<br />
� i Mitfluss<br />
Der in der Leiterschleife induzierte Strom ist immer so gerichtet, dass<br />
sein Magnetfeld der stromerzeugenden Ursache entgegenwirkt.<br />
Ermittlung der Stromrichtung<br />
Rechte Hand so in das magnetische Feld legen, dass die magnetischen<br />
Feldlinien in die Innenfläche der Hand eintreten <strong>und</strong> der abgespreizte<br />
Daumen in die Bewegungsrichtung des Leiters zeigt. Die<br />
Fingerspitzen geben dann die Stromrichtung im Leiter an.<br />
133<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
Linkehandregel<br />
(Motorregel)<br />
134<br />
Ballungsregel<br />
Ermittlung der Bewegungsrichtung<br />
Linke Hand so in das magnetische Feld legen, dass die magnetischen<br />
Feldlinien in die Innenfläche der Hand eintreten <strong>und</strong> die Fingerspitzen<br />
in Stromrichtung zeigen. Der abgespreizte Daumen zeigt dann die<br />
Bewegungsrichtung des Leiters an.<br />
Ermittlung der Stromrichtung<br />
Jeder quer zur Feldlinienrichtung bewegte Leiter erzeugt in Bewegungsrichtung<br />
vor sich eine Feldlinienballung. Die Stromrichtung im<br />
Leiter <strong>und</strong> seine Magnetfeldrichtung sind durch die Rechtsschraubenregel<br />
miteinander verb<strong>und</strong>en.<br />
Beispiel<br />
Ermittlung der Bewegungsrichtung<br />
Jeder stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld versucht, der Feldlinienballung<br />
auszuweichen.
Magnetfeldrichtung<br />
Kraftwirkung zwischen<br />
Magnetpolen<br />
Kraftwirkung zwischen<br />
parallelen stromdurchflossenen<br />
Leitern<br />
5.4.5 Induktivität von<br />
parallelen Leitern<br />
<strong>und</strong> Luftspulen<br />
Lange parallele<br />
zylindrische Leiter<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
Das Magnetfeld zeigt außerhalb eines Magneten von seinem<br />
Nordpol zu seinem Südpol.<br />
Magnetfeld eines<br />
Stabmagneten<br />
Ungleichnamige Pole<br />
ziehen sich an<br />
Gleichsinnig vom Strom durchflossene<br />
Leiter ziehen sich an<br />
Innere<br />
� l<br />
Induktivität L i1 �<br />
8�<br />
Äußere<br />
Leiter 1 Leiter 2<br />
� l<br />
L i2 �<br />
8 �<br />
� l d � l d<br />
Induktivität L a1 � ln L a2 � ln<br />
2�<br />
r1<br />
2�<br />
r2<br />
Gesamtinduktivität<br />
L � Li1 � Li2 � La1 � La2 � l<br />
�1d� L � � � ln �<br />
� �4r1 � r �<br />
� 2 �<br />
Magnetfeld einer Spule<br />
mit 3 Windungen<br />
Gleichnamige Pole<br />
stoßen sich ab<br />
Ungleichsinnig vom Strom durchflossene<br />
Leiter stoßen sich ab<br />
135<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
Einlagige Zylinderspule<br />
ohne Eisenkern<br />
Mehrlagige Zylinderspule<br />
ohne Eisenkern<br />
136<br />
5.4.6 Induktivität von Spulen<br />
mit Eisenkern<br />
Induktivität<br />
Permeabilität bei Gleichstrommagnetisierung<br />
Permeabilität bei Wechselstrommagnetisierung<br />
um den Ursprung<br />
2 2 �0 �D<br />
N<br />
L � k<br />
4l<br />
D mittlerer Windungsdurchmesser<br />
µ 2 4 3 4<br />
0πN ( D2 − 4D2D1 + 3 D1<br />
)<br />
L =<br />
für l � D<br />
24 l ( D 2<br />
2 − D1)<br />
Ψ NΦ<br />
L= = = N2<br />
I I<br />
(Gleichstrom)<br />
1 A<br />
= =<br />
Rm<br />
l<br />
Λ µ<br />
Λ<br />
NΦˆ<br />
L= = N<br />
ˆ 2<br />
i<br />
(Wechselstrom)<br />
Λ<br />
� magnetischer Fluss<br />
� magnetischer Leitwert<br />
R m magnetischer<br />
Widerstand<br />
� Induktionsfluss,<br />
Flussverkettung<br />
D mittlerer Windungsdurchmesser<br />
N Windungszahl<br />
L � N 2 A L<br />
A magnetisch<br />
durchgesetzte<br />
Fläche<br />
l mittlere<br />
Feldlinienlänge<br />
� Permeabilität<br />
A L Induktivitätsfaktor, Kernfaktor, A L-Wert. Er ist die auf die<br />
Windungszahl N � 1 bezogene Induktivität <strong>und</strong> wird in der Einheit<br />
nH � 10 –9 H angegeben.<br />
(totale)<br />
Permeabilität<br />
Permeabilitätszahl,<br />
relative (totale)<br />
Permeabilität<br />
Wechselpermeabilität<br />
Wechselpermeabilitätszahl,<br />
relative<br />
Wechselpermeabilität<br />
B<br />
� �<br />
H<br />
1<br />
1<br />
B<br />
� 1<br />
r �<br />
� H<br />
Anfangspermeabilität i<br />
0 1<br />
B magnetische<br />
Flussdichte<br />
H magnetische<br />
Feldstärke<br />
Bˆ<br />
� �<br />
Hˆ<br />
(für H > 0)<br />
Bˆ<br />
�~<br />
�<br />
� ˆ<br />
0 H<br />
(für H > 0)<br />
�B<br />
� �<br />
�H<br />
(für �H � 0)
5.4.7 Drosselspule<br />
Vollständige<br />
Ersatzschaltung<br />
Spannungen<br />
Ströme<br />
Leistungen<br />
Induktivität<br />
Komplexer Widerstand<br />
Reihen-Ersatzschaltung<br />
U ˆ ˆ<br />
AB = 4,44 fNBAE= 4,44 fNΦ<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
2 2<br />
UAB � U �UBC � 2UUBCcos�Näherung: UAB � U<br />
I<br />
E<br />
I µ<br />
=<br />
PE<br />
UAB<br />
Hˆ El ˆ<br />
E+ H0l0<br />
=<br />
N 2<br />
I = I 2 2<br />
E + Iµ<br />
PE � vEmE P 2<br />
Cu = I RCu<br />
P � PE �PCu<br />
P P<br />
cosϕ<br />
= =<br />
S UI<br />
NΦˆ<br />
UAB<br />
Lv<br />
= =<br />
iˆ<br />
µ ω I µ<br />
IE Eisenverluststrom<br />
I� Magnetisierungsstrom<br />
I Drosselstrom<br />
ˆH E Scheitelwert der magnetischen<br />
Feldstärke in Eisen<br />
ˆH 0 Scheitelwert der magnetischen<br />
Feldstärke im Luftspalt<br />
lE mittlere Eisenweglänge<br />
mittlere Luftspaltlänge<br />
l 0<br />
RE Eisenverlustwiderstand<br />
RCu Kupferverlustwiderstand<br />
PE Eisenverlustleistung<br />
PCu Kupferverlustleistung<br />
P Drosselverlustleistung<br />
vE Ummagnetisierungsverluste in W/kg<br />
Masse des Eisenkerns<br />
m E<br />
R 2 2<br />
E( ωLv) RE ( ωLv)<br />
Z = RCu + + j<br />
R 2 2 2 2<br />
E + ( ωLv) RE + ( ωLv)<br />
Umrechnungsbeziehungen für die Umwandlung<br />
der vollständigen Ersatzschaltung in<br />
eine Reihen-Ersatzschaltung:<br />
R 2<br />
E( ωLv)<br />
R 2<br />
E Lv<br />
R = RCu<br />
+<br />
L =<br />
R 2 2<br />
E + ( ωLv)<br />
R 2 2<br />
E + ( ωLv)<br />
R Gesamtverlustwiderstand der Drosselspule in der Reihen-Ersatzschaltung<br />
L Induktivität der Drosselspule in der Reihen-Ersatzschaltung<br />
137<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Magnetisches Feld <strong>und</strong> Induktivität<br />
138<br />
5.4.8 Schaltungen von<br />
Induktivitäten<br />
Parallelschaltung von<br />
Induktivitäten<br />
Reihenschaltung von<br />
Induktivitäten<br />
5.4.9 Einphasiger<br />
Transformator<br />
Kurzschlussspannung<br />
Dauerkurzschlussstrom<br />
1 1 1 1<br />
�<br />
� � � �<br />
Lges L1L2Ln L ges Gesamtinduktivität<br />
L<br />
Für zwei parallel geschaltete Spulen gilt: 1�L L<br />
2<br />
ges �<br />
L � L<br />
L<br />
Für n Spulen mit gleicher Induktivität gilt: Lges<br />
=<br />
n<br />
n<br />
1 2<br />
L ges � L 1 � L 2 � … � L n<br />
Für n Spulen mit gleicher Induktivität gilt: L ges � nL<br />
(Transformator, verlust-<br />
<strong>und</strong> streuungsfrei)<br />
N1 U1 I2<br />
L1<br />
ü = = = = R' = ü2R N2 U2 I1<br />
L2<br />
2� U ˆ ˆ<br />
0 � fNBA � 4,44 fNBA<br />
2<br />
(Transformatorhauptgleichung; U 0 sinusförmig)<br />
U 0 Induktionsspannung<br />
U 1 Primärspannung<br />
U 2 Sek<strong>und</strong>ärspannung<br />
I 1 Primärstrom<br />
L 1 Selbstinduktivität der Primärwicklung<br />
ü Übersetzungsverhältnis<br />
R' auf die Primärseite übersetzter<br />
Lastwiderstand R<br />
f Frequenz<br />
UK<br />
� 100%<br />
uK<br />
�<br />
U1<br />
ˆB Scheitelwert der Flussdichte im<br />
Kern<br />
A Kernquerschnitt<br />
L 2 Selbstinduktivität der Sek<strong>und</strong>ärwicklung<br />
R Lastwiderstand<br />
I 2 Sek<strong>und</strong>ärstrom<br />
N1 Primärwindungszahl<br />
N 2 Sek<strong>und</strong>ärwindungszahl<br />
u K Kurzschlussspannung in Prozent der Nennspannung<br />
U K Kurzschlussspannung (gemessen in Volt)<br />
U 1 Primärspannung<br />
Bei kurzgeschlossener Sek<strong>und</strong>ärwicklung ist die Kurzschlussspannung<br />
die Primärspannung, bei der ein Transformator seinen Nennstrom<br />
aufnimmt.<br />
u K niedrig � Transformator spannungssteif � kleiner Innenwiderstand<br />
(z.B. Spannungswandler, Netzanschlusstransformatoren)<br />
u K hoch � Transformator spannungsweich � großer Innenwiderstand<br />
(z.B. Klingeltransformatoren, Zündtransformatoren)<br />
N ⋅ 100%<br />
Kd =<br />
uK<br />
I<br />
I<br />
I Kd Dauerkurzschlussstrom<br />
I N Nennstrom<br />
u K Kurzschlussspannung in Prozent der Nennspannung
5.5 Wechselstromtechnik<br />
5.5.1 Kennwerte von<br />
Wechselgrößen<br />
Mittelwerte bei Sinusform<br />
Wechselstromtechnik<br />
� Kreisfrequenz<br />
f Frequenz<br />
T Periodendauer<br />
i Zeitwert des Stromes<br />
u Zeitwert der Spannung<br />
î Scheitelwert des Stromes<br />
û Scheitelwert der Spannung<br />
� = 2 � f<br />
1<br />
f �<br />
T<br />
i � iˆsin( �t ��i)<br />
u � uˆsin( �t ��<br />
)<br />
� � � u – � i<br />
Effektivwert <strong>und</strong> Scheitelwert<br />
I =<br />
iˆ<br />
=<br />
2<br />
0,707iˆ<br />
u<br />
� i<br />
� u<br />
Elektrotechnik<br />
Wechselstromtechnik<br />
Nullphasenwinkel des Stromes<br />
Nullphasenwinkel der Spannung<br />
� Phasenverschiebungswinkel der<br />
Spannung gegen den Strom; hier:<br />
u eilt i um � � voraus<br />
i eilt u um � � nach<br />
Bei Darstellung des Effektivwertes<br />
im Zeigerdiagramm:<br />
Zeigerlänge � Scheitelwert / 2 �<br />
�� f T, t i, î u, û<br />
1<br />
s<br />
1<br />
Hz � s A V<br />
s<br />
ii ,,, ˆ I | i | uuU , ˆ,<br />
, | u| F S<br />
uˆ<br />
U � � 0,707 uˆ<br />
A V 1 1<br />
2<br />
Gleichrichtwert <strong>und</strong> Scheitelwert<br />
2<br />
| i | � iˆ � 0,637 iˆ<br />
�<br />
2<br />
| u | � uˆ � 0,637uˆ<br />
�<br />
Effektivwert <strong>und</strong> Gleichrichtwert<br />
I � 1,111 | i | | i | � 0,9 I<br />
U � 1,111 | u | | u | � 0,9 U<br />
Effektivwert<br />
Formfaktor �<br />
Gleichrichtwert<br />
F � 1,111<br />
Scheitelwert<br />
Scheitelfaktor �<br />
Effektivwert<br />
S � 2 �1,414<br />
i, u Zeitwert<br />
iˆ, u ˆ Scheitelwert<br />
I, U Effektivwert<br />
| i | , | u | Gleichrichtwert<br />
F Formfaktor<br />
S Scheitelfaktor<br />
139<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Wechselstromtechnik<br />
Mittelwerte bei beliebiger<br />
Kurvenform<br />
140<br />
Mischgrößen<br />
Geschaltete Sinuswelle<br />
(Phasenanschnitt bei<br />
Ohm’scher Last)<br />
Effektivwert<br />
T<br />
1<br />
I = 2 ∫ T<br />
0<br />
T<br />
1<br />
= ∫ T<br />
0<br />
i dt<br />
2<br />
U u dt<br />
Effektivwert<br />
Linearer<br />
Mittelwert<br />
T<br />
1<br />
i = ∫i<br />
dt<br />
T<br />
0<br />
T<br />
1<br />
u = ∫u<br />
dt<br />
T<br />
2 2 2<br />
I = i + I1 + I2<br />
+ �<br />
2 2 2<br />
U = u + U1 + U2<br />
+ �<br />
Effektivwert des Wechselanteils<br />
2 2 2 2 2<br />
1 2 3 � i<br />
I�= I + I + I + = I −<br />
2 2 2 2 2<br />
U~ = U1 + U2 + U3 + � = U − u<br />
0<br />
Gleichrichtwert Formfaktor<br />
T<br />
1<br />
I U<br />
| i | = ∫|<br />
i | dt<br />
F = = ≥ 1<br />
|<br />
T<br />
i | | u |<br />
0<br />
Scheitelfaktor<br />
T<br />
1<br />
| u | = ∫|<br />
u | dt<br />
iˆuˆ T S = =<br />
0 I U<br />
Wechselgröße: Gleichanteil ist Null<br />
Mischgröße: Gleichanteil ist von Null<br />
verschieden<br />
Schwingungsgehalt Welligkeit<br />
~ ~ U<br />
s =<br />
I<br />
=<br />
I U<br />
~ ~ U<br />
w =<br />
I<br />
=<br />
i u<br />
Einweg-Gleichrichtung Zweiweg-Gleichrichtung<br />
Gleichrichtwert<br />
iˆ<br />
| i | � (1 � cos � )<br />
2�<br />
iˆ<br />
| i | � (1 � cos � )<br />
�<br />
Effektivwert<br />
� Zündwinkel<br />
� Stromflusswinkel<br />
iˆ α sin 2α<br />
I = 1−<br />
+<br />
2 180° 2π<br />
iˆ α sin 2α<br />
I = 1− +<br />
2 180° 2π<br />
Zündwinkel 0° 30° 60° 90° 120° 150°<br />
| i | 0,3183 î 0,2970 î 0,2387 î 0,1592 î 0,0796 î 0,0213 î<br />
Einweg-<br />
Gleichrichtung<br />
I 0,5 î 0,4927 î 0,4485 î 0,3536 î 0,2211 î 0,0849 î<br />
| i | 0,6366 î 0,5940 î 0,4775 î 0,3183 î 0,1592 î 0,0427 î<br />
Zweiweg-<br />
Gleichrichtung<br />
I 0,7071 î 0,6968 î 0,6342 î 0,5 î 0,3127 î 0,1201 î
5.5.2 Passive Wechselstrom-Zweipole<br />
an sinusförmiger<br />
Wechselspannung<br />
Größen, Einheiten,<br />
Kennwerte<br />
Kennwerte<br />
Frequenzabhängigkeit<br />
Wirkwiderstand R<br />
Leistungen<br />
P Wirkleistung<br />
Q Blindleistung<br />
Q L induktive<br />
Blindleistung<br />
Q C kapazitive<br />
Blindleistung<br />
S Scheinleistung<br />
Ströme<br />
I R Wirkstrom<br />
I L induktiver<br />
Blindstrom<br />
I C kapazitiver<br />
Blindstrom<br />
I Gesamtstrom<br />
�� � cos �<br />
Wirkgröße<br />
Leistungsfaktor �<br />
Scheingröße<br />
�� � sin �<br />
Blindgröße<br />
Blindfaktor � �<br />
Scheingröße<br />
Spannungen<br />
U R Wirkspannung<br />
U L induktive<br />
Blindspannung<br />
U C kapazitive<br />
Blindspannung<br />
U Gesamtspannung<br />
Elektrotechnik<br />
Wechselstromtechnik<br />
Leitwerte<br />
G Wirkleitwert �<br />
Konduktanz<br />
B Blindleitwert �<br />
Suszeptanz<br />
Y Scheinleitwert �<br />
Admittanz<br />
Widerstände<br />
R Wirkwiderstand � Resistanz<br />
X Blindwiderstand � Reaktanz<br />
X L induktiver Blindwiderstand � Induktanz<br />
X C kapazitiver Blindwiderstand � Kondensanz<br />
(Kapazitanz)<br />
Z Scheinwiderstand � Impedanz<br />
d � tan ��<br />
Wirkgröße<br />
Verlustfaktor �<br />
Blindgröße<br />
1<br />
Q �<br />
d<br />
1<br />
Gütefaktor �<br />
Verlustfaktor<br />
R, X, Z G, B, Y U I P Q S cos �, sin �, d, Q<br />
V<br />
��<br />
A<br />
A 1<br />
S � �<br />
V �<br />
V A W var VA 1<br />
l q<br />
R � G<br />
� q<br />
γ<br />
=<br />
l<br />
�<br />
B<br />
XL � L L<br />
1<br />
=<br />
ωL<br />
1<br />
XC<br />
�<br />
�C<br />
BCC ω =<br />
fr Resonanzfrequenz<br />
XL � XC Reihenresonanzbedingung<br />
BL � BC Parallelresonanzbedingung<br />
Strom I <strong>und</strong> Spannung U sind phasengleich<br />
U = R =<br />
G<br />
I<br />
I<br />
1<br />
G � cos � � 1<br />
R<br />
2<br />
2 U<br />
P = UI = I R =<br />
sin � � 0<br />
R<br />
141<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Wechselstromtechnik<br />
Induktiver<br />
Blindwiderstand X L<br />
Kapazitiver<br />
Blindwiderstand X C<br />
142<br />
5.5.2.1 Reihenschaltung von<br />
Blindwiderständen<br />
Reihenschaltung von<br />
induktiven Blindwiderständen<br />
X L<br />
Reihenschaltung von<br />
kapazitiven Blindwiderständen<br />
X C<br />
Spannung U eilt dem Strom I um 90° voraus<br />
U = XL=<br />
B<br />
I<br />
I<br />
1<br />
BL<br />
�<br />
X<br />
X L � � L<br />
QL = UI =<br />
cos � � 0<br />
I2XL<br />
=<br />
U2<br />
XL<br />
sin � � 1<br />
L<br />
Spannung U eilt dem Strom I um 90° nach<br />
U = I XC=<br />
1<br />
BC<br />
1<br />
BC= = ωC<br />
XC<br />
1<br />
XC<br />
=<br />
ωC<br />
QC = UI =<br />
cos � � 0<br />
I2XC<br />
=<br />
U2<br />
XC<br />
sin � � 1<br />
U � U L1 � U L2 � …<br />
U UL1 UL2<br />
I = = = = �<br />
XL XL1 XL2<br />
X L � X L1 � X L2 � …<br />
L � L 1 � L 2 � …<br />
cos � � 0<br />
sin � � 1<br />
U � U C1 � U C2 � …<br />
U UC1 UC2<br />
I = = = = �<br />
XC XC1 XC2<br />
X C � X C1 � X C2 � …<br />
1 1 1<br />
� � ��<br />
C C1 C2<br />
cos � � 0<br />
sin � � 1<br />
Für zwei in Reihe geschaltete<br />
Kondensatoren gilt:<br />
L<br />
CC<br />
C � 1 2<br />
C �<br />
C<br />
1 2
Reihenschaltung von<br />
R <strong>und</strong> X L<br />
Reihenschaltung<br />
von R <strong>und</strong> X C<br />
Reihenschaltung<br />
von R, X L <strong>und</strong> X C<br />
(X L > X C)<br />
(U L > U C)<br />
2 2<br />
� R � L<br />
U U U<br />
U<br />
U U<br />
R L<br />
I = = =<br />
Z R XL<br />
2 2 Z � R � XL<br />
U R P<br />
U Z S<br />
U<br />
sin�<br />
� L<br />
U<br />
X<br />
� L<br />
Z<br />
Q<br />
�<br />
S<br />
cos�<br />
� R � �<br />
d<br />
R<br />
L � tan�<br />
� � �<br />
XL UL QL<br />
2 2<br />
� R � C<br />
U U U<br />
U U U<br />
Z R X<br />
R<br />
I = = =<br />
2 2 Z � R � XC<br />
L<br />
R U P<br />
C<br />
C<br />
U<br />
cos R R P<br />
� � � �<br />
U Z S<br />
U X Q<br />
U Z S<br />
sin�<br />
� C � C �<br />
d<br />
C<br />
R U<br />
tan<br />
R P<br />
� � � � �<br />
X U Q<br />
C<br />
C C C<br />
2 2<br />
R ( L C)<br />
U � U � U �U<br />
U<br />
cos R R P<br />
� � � �<br />
U Z S<br />
2 2<br />
Z R ( XL XC)<br />
� � � d � d L + d C<br />
Elektrotechnik<br />
Wechselstromtechnik<br />
2<br />
2 U<br />
= I = I = = 2+ 2<br />
L<br />
S U Z P Q<br />
Z<br />
2<br />
2 U<br />
= I = I = = 2+ 2<br />
C<br />
S U Z P Q<br />
Z<br />
U UR UL<br />
U<br />
I = = = =<br />
Z R X X<br />
2<br />
2 U<br />
= I = I<br />
= = 2+ ( 2<br />
L − C)<br />
S U Z P Q Q<br />
Z<br />
C<br />
L C<br />
UL �UC X Q<br />
L � XC<br />
L � QC<br />
sin�<br />
� � �<br />
U Z S<br />
143<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Wechselstromtechnik<br />
144<br />
5.5.2.2 Parallelschaltung<br />
von<br />
Blindwiderständen<br />
Parallelschaltung von<br />
induktiven<br />
Blindwiderständen X L<br />
Parallelschaltung von<br />
kapazitiven<br />
Blindwiderständen X C<br />
U � I X L � I 1 X L1 � I 2 X L2 � … I � I 1 � I 2 � …<br />
cos � � 0 sin � � 1<br />
B L � B L1 + B L2 + …<br />
1 1 1<br />
� � ��<br />
X X X<br />
L L1 L2<br />
Für zwei parallelgeschaltete<br />
induktive Blindwiderstände/<br />
Induktivitäten gilt:<br />
1 1 1<br />
� � ��<br />
L L L<br />
X<br />
L �<br />
1 2<br />
X X<br />
X X<br />
LL<br />
L �<br />
L L<br />
L1 L2<br />
L1 � L2<br />
1 2<br />
1 � 2<br />
U � I X C � I 1 X C1 � I 2 X C2 � … I � I 1 � I 2 � …<br />
cos � � 0 sin � � 1<br />
B C � B C1 + B C2 + … C � C 1 � C 2 + …<br />
1 1 1<br />
� � ��<br />
X X X<br />
C C1 C2
Parallelschaltung von<br />
R <strong>und</strong> X L<br />
Parallelschaltung<br />
von R <strong>und</strong> X C<br />
2 2<br />
U = IZ = IRR = IL XL<br />
I = IR + IL<br />
cosϕ<br />
=<br />
IR<br />
G<br />
= =<br />
I Y<br />
1<br />
R<br />
=<br />
1<br />
Z<br />
Z<br />
=<br />
R<br />
P<br />
S<br />
Y<br />
1<br />
Z<br />
2 G 2 BL<br />
Elektrotechnik<br />
Wechselstromtechnik<br />
1<br />
I L BL XL Z QL<br />
sinϕ<br />
= = = = =<br />
I Y 1 XLS Z<br />
G X I P<br />
d L = tan = = = =<br />
B R I Q<br />
� � � δ L R<br />
2<br />
2 U 2 2 S= UI = I Z= = P + QL<br />
Z<br />
L L L<br />
U � I Z � IR R � IC XC I = 2 2 IR+ IC<br />
1<br />
1<br />
cosϕ<br />
=<br />
IR<br />
G<br />
= =<br />
I Y<br />
R<br />
=<br />
1<br />
Z<br />
Z<br />
=<br />
R<br />
P<br />
S<br />
I<br />
sinϕ<br />
=<br />
I<br />
B<br />
=<br />
Y<br />
=<br />
XC =<br />
1<br />
Z<br />
Z Q<br />
=<br />
XCS 1<br />
Y � �<br />
Z<br />
2 2 G �BC G<br />
d C = tanδ<br />
=<br />
B<br />
=<br />
XC<br />
IR<br />
P<br />
= =<br />
R I Q<br />
2<br />
2 U 2 2 S= UI = I<br />
Z= = P + QC<br />
Z<br />
C C C<br />
C C C<br />
145<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Wechselstromtechnik<br />
Parallelschaltung<br />
von R, X L <strong>und</strong> X C<br />
(X L < X C)<br />
(B L >B C)<br />
(I L > I C)<br />
146<br />
5.5.3 Umwandlung<br />
passiver Wechselstrom-Zweipole<br />
in gleichwertige<br />
Schaltungen<br />
Umwandlung einer<br />
Reihenschaltung in<br />
eine gleichwertige<br />
Parallelschaltung<br />
Umwandlung einer<br />
Parallelschaltung in<br />
eine gleichwertige<br />
Reihenschaltung<br />
2 2<br />
U = IZ = IRR = IL XL = IC XC<br />
I = IR + ( IL − IC)<br />
1<br />
cosϕ<br />
=<br />
IR<br />
G<br />
= =<br />
I Y<br />
R<br />
=<br />
1<br />
Z<br />
Z<br />
=<br />
R<br />
P<br />
S<br />
I<br />
sinϕ<br />
=<br />
− I<br />
I<br />
B<br />
=<br />
− B<br />
Y<br />
Q<br />
=<br />
− Q<br />
S<br />
1<br />
Y � �<br />
Z<br />
2 2<br />
G �( BL �BC) d � dL � dC 2<br />
2 U 2 2<br />
S= UI = I Z= = P + ( QL− QC)<br />
Z<br />
L C L C L C<br />
Bei konstanter Frequenz hat die gleichwertige Schaltung auf den<br />
Generator die gleiche Wirkung wie die Originalschaltung.<br />
Gegebene<br />
Originalschaltung<br />
Gesuchte<br />
gleichwertige<br />
Schaltung<br />
Umrechnungsbeziehungen<br />
R X<br />
G � B L<br />
2 L �<br />
Z Z2<br />
R XC<br />
G � B<br />
2 C �<br />
2<br />
Z Z<br />
G BL<br />
R= XL=<br />
2 2<br />
Y Y<br />
G BC<br />
R= XC=<br />
2 2<br />
Y Y<br />
Z 2 � R 2 � X 2<br />
Y 2 � G 2 � B 2
5.5.4 Blindleistungskompensation<br />
Betriebswerte vor der<br />
Kompensation<br />
Betriebswerte nach der<br />
Kompensation<br />
Erforderliche<br />
Kompensationskapazität<br />
Leistungsverluste in<br />
Abhängigkeit vom<br />
Leistungsfaktor<br />
S Pzu<br />
I = = = I + I<br />
U Ucosϕ<br />
1 2 2<br />
1 R L<br />
1<br />
P 2<br />
L1 = I1<br />
RL<br />
U QL S sinϕ1<br />
Pzu<br />
tanϕ1<br />
IB= IL=<br />
= = =<br />
X U U U<br />
L<br />
S Pzu<br />
I2= = = IR+ ( IL− IC)<br />
U Ucos<br />
ϕ<br />
P 2<br />
L2 = I2<br />
RL<br />
IB= IL− IC<br />
I<br />
C<br />
2 2 2<br />
2<br />
U QC Pzu<br />
(tanϕ1 − tan ϕ2<br />
)<br />
= = =<br />
X U U<br />
C<br />
Pab<br />
Pzu<br />
�<br />
�<br />
Pzu zugeführte Wirkleistung<br />
Pab abgegebene Wirkleistung<br />
(Nennleistung)<br />
PL Leistungsverlust auf der Zuleitung<br />
RL Leitungswiderstand<br />
IB Blindstrom auf der Zuleitung<br />
QC kompensierte Blindleistung<br />
(QL � QC bei Vollkompensation)<br />
QC � Pzu(tan�1 �tan<br />
�2)<br />
QC<br />
C =<br />
2 U ω<br />
QC<br />
C =<br />
3<br />
U2<br />
ω<br />
(Einphasennetz) (Dreiphasennetz)<br />
C Einzelkapazität<br />
U Str � U bei Dreieckschaltung der Kondensatorbatterie<br />
U<br />
UStr � bei Sternschaltung der Kondensatorbatterie<br />
3<br />
PL<br />
P = = + 2<br />
LS PL(1tan<br />
ϕ)<br />
cos2<br />
ϕ<br />
Str<br />
Elektrotechnik<br />
Wechselstromtechnik<br />
PL Leistungsverlust auf der Leitung bei cos ϕ = 1 des Verbrauchers<br />
PLS Leistungsverlust auf der Leitung bei beliebigem cos ϕ des<br />
Verbrauchers<br />
Drehstromtechni<br />
cos ϕ, tan ϕ Leisungsfaktor/Verlustfaktor des Verbrauchers<br />
147<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Drehstromtechnik<br />
148<br />
5.6 Drehstromtechnik<br />
5.6.1 Drehstromnetz<br />
Benennungen<br />
5.6.2 Stern- <strong>und</strong> Dreieckschaltung<br />
Zeigerdiagramm der<br />
Spannungen<br />
Sternschaltung des<br />
Verbrauchers<br />
Dreieckschaltung des<br />
Verbrauchers<br />
L1, L2, L3 Außenleiter<br />
N Neutralleiter (Sternpunktleiter)<br />
U1N, U2N, U3N Sternspannung (auch U1, U2, U3 zulässig, wenn<br />
Verwechslung ausgeschlossen)<br />
U12, U23, U31, U Dreieckspannung (Außenleiterspannung)<br />
I1, I2, I3, I Außenleiterstrom (� Sternstrom bei Sternschaltung<br />
des Verbrauchers)<br />
I12, I23, I31 Dreieckstrom<br />
IN Sternpunktleiterstrom<br />
UStr Strangspannung, Spannung zwischen beiden Enden<br />
eines Stranges unabhängig von der Schaltungsart<br />
IStr Strangstrom, Strom in einem Strang unabhängig von<br />
der Schaltungsart<br />
P Gesamtleistung des Verbrauchers<br />
PStr Strangleistung des Verbrauchers<br />
Dreieckspannungen Sternspannungen<br />
U12 � U<br />
U23 � U<br />
U31 = U<br />
�60� 180�<br />
60 °<br />
U<br />
U1N �<br />
3<br />
U<br />
U2N �<br />
3<br />
� 90�<br />
150�<br />
U<br />
U3N � 30�<br />
3<br />
Stranggrößen<br />
UStr �<br />
U<br />
3<br />
IStr � I<br />
I<br />
1<br />
U<br />
=<br />
Z<br />
1N<br />
1N<br />
Stranggrößen<br />
U Str � U<br />
I<br />
12<br />
I<br />
U<br />
=<br />
Z<br />
2<br />
12<br />
12<br />
U<br />
=<br />
Z<br />
2N<br />
2N<br />
23<br />
U<br />
=<br />
Z<br />
Außenleiterströme<br />
I 1 � I 12 – I 31 I 2 � I 23 – I 12 I 3 � I 31 – I 23<br />
I<br />
23<br />
23<br />
U<br />
I 3=<br />
Z<br />
3N<br />
3N<br />
I<br />
31<br />
U<br />
=<br />
Z<br />
31<br />
31
Sternschaltung des<br />
Verbrauchers<br />
Dreieckschaltung des<br />
Verbrauchers<br />
Leistung bei Stern-<br />
Dreieck-Umschaltung<br />
Leistung bei gestörten<br />
Drehstromschaltungen<br />
Symmetrische Last<br />
Z 1N � Z 2N � Z 3N<br />
I 1 � I 2 � I 3<br />
I 1 � I 2 � I 3 � 0�<br />
I N � 0<br />
3cosϕ 3 Str<br />
P = UI = P<br />
P = U I<br />
Str Str Str cos<br />
Symmetrische Last<br />
Z 12 � Z 23 � Z 31<br />
I 1 � I 2 � I 3<br />
I 12 � I 23 � I 31<br />
I 1 � I 2 � I 3 ���<br />
ϕ<br />
P � UI 3cos�� 3PStr<br />
P = U I<br />
Str =<br />
3<br />
I<br />
I<br />
Str Str Str cos<br />
ϕ<br />
Unsymmetrische Last<br />
Z 1N � Z 2N � Z 3N<br />
I 1 � I 2 � I 3<br />
I 1 � I 2 � I 3 � I N � 0<br />
I N � 0<br />
P � P Str 1 � P Str 2 � P Str 3<br />
Elektrotechnik<br />
Drehstromtechnik<br />
P Str 1 � U 1N I 1 cos � �1<br />
P Str 2 � U 2N I 2 cos � �2<br />
P Str 3 � U 3N I 3 cos � �3<br />
Bei fehlendem Sternpunktleiter ergeben<br />
sich ungleiche Sternspannungen bei<br />
ungleichen gegenseitigen Phasenverschiebungswinkeln<br />
(� 120°).<br />
Unsymmetrische Last<br />
Z 12 � Z 23 � Z 31<br />
I 1 � I 2 � I 3<br />
I 12 � I 23 � I 31<br />
I 1 � I 2 � I 3 ��<br />
P � P Str 1 � P Str 2 � P Str 3<br />
P Str 1 � U 12 I 12 cos � �1<br />
P Str 2 � U 23 I 23 cos � �2<br />
P Str 3 � U 31 I 31 cos � �3<br />
Bedingungen: gleiche Außenleiterspannungen für beide Schaltungsarten<br />
<strong>und</strong> R Str � � R Str ��<br />
PY<br />
=<br />
P∆ 1<br />
3<br />
P� Leistung des Verbrauchers in Sternschaltung<br />
P Leistung des Verbrauchers in Dreieckschaltung<br />
Unterbrechung von P Stör Unterbrechung von P Stör<br />
R 2<br />
R 2, N<br />
R 2, R 3<br />
2<br />
3 P R 23<br />
1<br />
2 P L 2<br />
1<br />
3 P R 23, R 31<br />
R 2, R 3, N 0 R 23, L 2<br />
P Stör Leistung der gestörten Schaltung<br />
P Leistung der ungestörten Schaltung<br />
R 31, L 2<br />
2<br />
3 P<br />
1<br />
2 P<br />
1<br />
3 P<br />
1<br />
3 P<br />
1<br />
6 P<br />
149<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Drehstromtechnik<br />
150<br />
5.6.3 Stern-Dreieck-<br />
Umwandlung<br />
Umwandlung einer Sternschaltung<br />
in eine gleichwertige<br />
Dreieckschaltung<br />
Merkschema<br />
Umwandlung einer Dreieckschaltung<br />
in eine gleichwertige<br />
Sternschaltung<br />
Merkschema<br />
Anmerkung<br />
Gegebene<br />
Originalschaltung<br />
A B C<br />
Rz<br />
Rx<br />
Ry<br />
Gegebene<br />
Originalschaltung<br />
A B C<br />
R1<br />
R3<br />
R2<br />
Gesuchte gleichwertige<br />
Schaltung Umrechnungsbeziehungen<br />
A B C<br />
R1<br />
R3<br />
R2<br />
RR x z<br />
R1= Rx + Rz<br />
+<br />
Ry<br />
RR<br />
R2 = Rx + Ry<br />
+<br />
R<br />
x y<br />
RR<br />
R3 = Ry + Rz<br />
+<br />
R<br />
z<br />
y z<br />
R1 gesuchter Widerstand der Dreieckschaltung<br />
Rx , Rz benachbarte Widerstände der Sternschaltung<br />
Ry gegenüberliegender Widerstand der Sternschaltung<br />
Produkt R<br />
R y benachbart<br />
= � Ry benachbart +<br />
R<br />
y gegenüber<br />
Gesuchte gleichwertige<br />
Schaltung Umrechnungsbeziehungen<br />
A B C<br />
Rz<br />
Rx<br />
Ry<br />
R<br />
R<br />
R<br />
x<br />
y<br />
z<br />
=<br />
=<br />
=<br />
RR 1 2<br />
R + R + R<br />
1 2 3<br />
R2R3 R + R + R<br />
1 2 3<br />
RR 1 3<br />
R + R + R<br />
1 2 3<br />
Rx gesuchter Widerstand der Sternschaltung<br />
R1 , R2benachbarte Widerstände der Dreieckschaltung<br />
Ry gegenüberliegender Widerstand der Dreieckschaltung<br />
Produkt R<br />
Ry � benachbart<br />
=<br />
ΣR<br />
Die Umrechnungsbeziehungen gelten analog auch für Scheinwiderstände<br />
Z.<br />
Beispiel für Z1: Z Z x z<br />
Umwandlung Stern in Dreieck Z = Z + Z + 1 x z Z<br />
y<br />
�<br />
x
5.7 Elementare Bauteile<br />
der Elektronik<br />
5.7.1 Halbleiterdioden<br />
5.7.1.1 Dioden zum Gleichrichten<br />
<strong>und</strong> Schalten<br />
Typisches Kennlinienfeld<br />
einer Silizium-Diode<br />
Widerstandsverhalten<br />
Verlustleistung<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
U<br />
F<br />
R F =<br />
IF<br />
U<br />
R<br />
R R =<br />
IR<br />
r<br />
F<br />
∆U<br />
=<br />
∆ I<br />
F<br />
F<br />
P V � U F I F<br />
P<br />
V<br />
T � T<br />
�<br />
R<br />
j U<br />
thJU<br />
R F<br />
U F<br />
I F<br />
R R<br />
U R<br />
I R<br />
r F<br />
�U F<br />
� �I F<br />
Elektrotechnik<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
Durchlassbereich<br />
Durchbruchspannung U (BR) bis � 3000 V<br />
Schleusenspannung U (TO) � 0,7 V<br />
(Schwellspannung)<br />
Gleichstromwiderstand in Durchlassrichtung<br />
Spannung in Durchlassrichtung<br />
Strom in Durchlassrichtung<br />
Gleichstromwiderstand in Sperrrichtung<br />
Spannung in Sperrrichtung<br />
Strom in Sperrrichtung<br />
Differentieller Widerstand im Arbeitspunkt A<br />
Differenz der Durchlassspannung<br />
Differenz des Durchlassstromes<br />
1. Bedingung: P V � P tot � totale Verlustleistung<br />
2. Bedingung: Oberwellenfreie Gleichspannung<br />
Tj Sperrschichttemperatur<br />
TU Umgebungstemperatur<br />
RthJU Gesamtwärmewiderstand zwischen Sperrschicht<br />
<strong>und</strong> Umgebung<br />
151<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
Ströme <strong>und</strong> Stromgrenzwerte<br />
von Dioden in<br />
Vorwärtsrichtung<br />
152<br />
Beziehungen der Ströme<br />
5.7.1.2 Dioden im Schaltbetrieb<br />
Diode leitet<br />
Diode sperrt<br />
Maximale mögliche<br />
Schaltleistung der Diode<br />
IF<br />
Gleichstromwert ohne Signal<br />
IFAV Mittelwert des Gesamtstromes<br />
IFM Scheitelwert des Gesamtstromes<br />
IFEFF Effektivwert des Gesamtstromes<br />
IFSM Stoßwert des Gesamtstromes<br />
iF<br />
If<br />
Ifm<br />
Ifeff<br />
Augenblickswert des Gesamtstromes<br />
Augenblickswert des Wechselstromes<br />
Scheitelwert des Wechselstromes<br />
Effektivwert des Wechselstromes<br />
IFM = IFAV + I fm I = 2 + 2<br />
FEFF IFAV I feff iF = IFAV<br />
+ if<br />
PSmax � UL IFmax Ptot<br />
PSmax � UL U<br />
F<br />
UB UF IF RL UL Betriebsspannung<br />
Durchlassspannung<br />
Durchlassstrom<br />
Lastwiderstand<br />
Spannung am Lastwiderstand<br />
U B � U F � I F R L<br />
IR UR P U U<br />
P �U� P<br />
� �<br />
tot B<br />
Smax � ( B � F) � � �1�<br />
tot<br />
UF UF<br />
Strom in Sperrrichtung<br />
Spannung in Sperrrichtung<br />
U B � U R � I R R L<br />
PSmax max. mögliche Diodenschaltleistung<br />
UL Spannung am Lastwiderstand<br />
IFmax maximaler Durchlassstrom<br />
Ptot totale Verlustleistung
5.7.1.3 Nichtlinearer<br />
Widerstand,<br />
Arbeitspunkt<br />
Benennungen<br />
Linearer Widerstand<br />
Nichtlinearer Widerstand<br />
Änderung des<br />
Arbeitspunktes<br />
1 linearer Widerstand<br />
2 nichtlinearer Widerstand mit positivem<br />
differentiellem Widerstand<br />
3 nichtlinearer Widerstand mit negativem<br />
differentiellem Widerstand<br />
(gelegentlich als „negativer Widerstand“<br />
bezeichnet). Strom nimmt<br />
ab bei steigender Spannung<br />
Elektrotechnik<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
Der Widerstandswert ist unabhängig vom Arbeitspunkt A<br />
U1<br />
R = = konstant<br />
I<br />
1<br />
Der Widerstandswert ist abhängig vom Arbeitspunkt A<br />
U<br />
R =<br />
I<br />
1<br />
1<br />
d<br />
d<br />
U ∆U<br />
r = ≈<br />
I ∆ I<br />
R Gleichstromwiderstand, statischer Widerstand<br />
r differentieller Widerstand, dynamischer Widerstand,<br />
Wechselstromwiderstand<br />
Einfluss der Quellenspannung<br />
U q auf die Lage des<br />
Arbeitspunktes (R � konst.)<br />
Einfluss des Widerstandes<br />
R auf die Lage des<br />
Arbeitspunktes (U q � konst.)<br />
153<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
154<br />
5.7.1.4 Z-Dioden<br />
Kennlinie einer Z-Diode<br />
Benennungen<br />
Schaltung <strong>und</strong><br />
Ersatzschaltung<br />
Statischer differentieller<br />
Widerstand<br />
Thermischer differentieller<br />
Widerstand<br />
UZ Z-Arbeitsspannung (Durchbruchspannung)<br />
IZ Z-Arbeitsstrom<br />
UZN Nennspannung der Z-Diode<br />
UZ0 IZT rZ rZj Durchbruchspannung, extrapoliert für IZ � 0<br />
Messstrom (z.B. 5 mA)<br />
Statischer differentieller Widerstand im Durchbruchbereich<br />
Dynamischer differentieller Widerstand im Durchbruchbereich<br />
(aus Datenblättern entnehmen)<br />
rZ th Thermischer differentieller Widerstand im Durchbruchbereich<br />
� UZ Temperaturkoeffizient der Arbeitsspannung<br />
�Tj Änderung der Sperrschichttemperatur<br />
Rth JU Gesamtwärmewiderstand<br />
Schaltung mit Z-Diode U Z � U Z0 � I Z r Z � U ZN � I Z r Z<br />
∆UZ<br />
r Z =<br />
∆ IZ<br />
2<br />
Zth = ZαUZ thJU<br />
r U R<br />
�Tj � UZRthJU �IL<br />
r Z � r Zj + r Zth<br />
Z-Diode als Spannungsquelle mit<br />
dem Innenwiderstand r Z<br />
�<br />
Im Arbeitsbereich ist r Z � konstant<br />
�UZ<br />
UZ �<br />
UZN �Tj
5.7.2 Transistoren<br />
5.7.2.1 Bipolare<br />
Transistoren<br />
Zählrichtungen für<br />
Spannungen <strong>und</strong> Ströme<br />
5.7.2.2 Kennlinien <strong>und</strong><br />
Kenngrößen bipolarer<br />
Transistoren<br />
Vierquadranten-Kenn-<br />
liniendarstellung eines<br />
Transistors<br />
Elektrotechnik<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
NPN-Transistor PNP-Transistor<br />
Ein NPN-Transistor zeigt in einer Schaltung die gleiche Wirkung wie<br />
ein PNP-Transitor.<br />
Dazu ist lediglich die Betriebsspannung umzupolen.<br />
IE � IC � IB IE Emitterstrom<br />
IC Kollektorstrom<br />
IB Basisstrom<br />
UCE � UCB � UBE UCE Kollektor-Emitter-Spannung<br />
UCB UBE Kollektor-Basis-Spannung<br />
Basis-Emitter-Spannung<br />
Bei Si-Transistoren � (0,5 … 0,7) V<br />
Stromsteuerkennlinie Ausgangskennlinienfeld<br />
Eingangskennlinie Spannungs-<br />
Rückwirkungskennlinienfeld<br />
155<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
156<br />
Gleichstrom-Verstärkung<br />
Gleichstrom-<br />
Eingangswiderstand<br />
Gleichstrom-<br />
Ausgangswiderstand<br />
Restströme,<br />
Sättigungsspannung<br />
Wechselstromverstärkung<br />
(U CE � konst.)<br />
Dynamischer Eingangswiderstand<br />
(U CE � konst.)<br />
Dynamischer Ausgangswiderstand<br />
(I B � konst.)<br />
Leerlaufspannungsrückwirkung<br />
(I B � konst.)<br />
Steilheit<br />
(U CE � konst.)<br />
Grenzwerte <strong>und</strong> Kennlinien<br />
Verlustleistung<br />
Statische Kennwerte des Transistors<br />
C<br />
B =<br />
B<br />
I<br />
I<br />
UBE<br />
R BE =<br />
IB<br />
UCE<br />
R CE =<br />
IC<br />
B Gleichstromverstärkung<br />
IC Kollektorstrom<br />
Basisstrom<br />
I B<br />
RBE UBE RCE UCE Widerstand zwischen Basis <strong>und</strong> Emitter<br />
Basis-Emitter-Spannung<br />
Widerstand zwischen Kollektor <strong>und</strong> Emitter<br />
Kollektor-Emitter-Spannung<br />
ICEO ≈ B ICBO ICEO ICES Kollektor-Emitter-Reststrom (IB � 0)<br />
Kollektor-Emitter-Reststrom (UBE � 0)<br />
ICBO UCEsat Kollektor-Basis-Reststrom (IE � 0)<br />
Sättigungsspannung, Restspannung<br />
zwischen Kollektor <strong>und</strong> Emitter<br />
Dynamische Kennwerte des Transistors mit Vierpolparametern<br />
∆ IC<br />
β = = h<br />
∆ I<br />
B<br />
21e<br />
∆UBE<br />
rBE = = h11e<br />
∆ IB<br />
∆UCE<br />
1<br />
r CE = =<br />
∆ IC<br />
h22e<br />
�U<br />
D BE<br />
U � � h12e<br />
�UCE<br />
� Wechselstrom-Verstärkungsfaktor (� B)<br />
�I � C Differenz des Kollektorstromes<br />
�I � B Differenz des Basisstromes<br />
rBE �UBE � � I B<br />
rCE �UCE � � I C<br />
DU �UBE �UCE Differentieller Eingangswiderstand<br />
Differenz der Basis-Emitter-Spannung<br />
Differenz des Basisstromes<br />
Differentieller Ausgangswiderstand<br />
Differenz der Kollektor-Emitter-Spannung<br />
Differenz des Kollektorstromes<br />
Leerlaufspannungsrückwirkung<br />
Differenz der Basis-Emitter-Spannung<br />
Differenz der Kollektor-Emitter-Spannung<br />
∆ IC S Steilheit<br />
S =<br />
∆U<br />
� IC Differenz des Kollektorstromes<br />
BE<br />
�UBE Differenz der Basis-Emitter-Spannung<br />
Grenzwerte des Transistors<br />
PV � UCE IC � UBE IB � Ptot PV � UCE IC � Ptot Ptot<br />
ICmax<br />
≤<br />
UCE<br />
Ptot totale Verlustleistung<br />
ICmax maximaler Kollektorstrom<br />
UCE0 , Kollektor-Emitter-Sperrspannung<br />
UCEmax bei offener Basis (I β = 0)<br />
TUmax , Temperaturgrenzwerte für die<br />
Tjmax maximale Umgebungs- bzw. Sperrschichttemperatur<br />
Tjmax für Silizium � (150 ... 200) °C<br />
P tot gilt für eine vom Hersteller<br />
definierte Umgebungstemperatur T U<br />
(meist 25 °C).
5.7.3 Thyristoren<br />
5.7.3.1 Gr<strong>und</strong>schaltung<br />
<strong>und</strong> Kenndaten<br />
Gr<strong>und</strong>schaltung<br />
Ströme<br />
Verlustleistung<br />
Kenndaten<br />
U − U U<br />
B T B<br />
IT = ≈ Lastkreis<br />
RL RL<br />
U − U<br />
St G<br />
IG =<br />
Steuerkreis<br />
RG<br />
P V � U T I T � U G I G � 1,1 U T I T<br />
Elektrotechnik<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
Vorwärtsrichtung<br />
UT, UF Durchlassspannung<br />
UD Vorwärts-Sperrspannung<br />
UDRM Periodische Vorwärts-Spitzensperrspannung<br />
U (BO) Kippspannung<br />
A Anode<br />
K Katode<br />
G Gate (Steueranschluss)<br />
RL Lastwiderstand<br />
RG Gatewiderstand<br />
UB Betriebsspannung<br />
UG Steuerspannung<br />
USt Steuerkreisspannung<br />
UT Durchlassspannung<br />
IT Durchlassstrom<br />
Steuerstrom<br />
U (BO)0 Nullkippspannung<br />
UH Haltespannung<br />
IT, IF Durchlassstrom<br />
ITAV Mittelwert des Durchlassstromes (Dauergrenzstrom)<br />
ITEFF Effektivwert des Durchlassstromes<br />
ID Vorwärts-Sperrstrom<br />
IH Haltestrom<br />
I (BO) Kippstrom<br />
Rückwärtsrichtung<br />
UR Rückwärts-Sperrspannung<br />
URRM Periodische Rückwärts-Spitzensperrspannung<br />
URSM Rückwärts-Stoßspitzensperrspannung<br />
U (BR) Durchbruchspannung<br />
IR Rückwärts-Sperrstrom<br />
IRRM Periodische Rückstromspitze<br />
I G<br />
157<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
158<br />
5.7.3.2 Ausgewählte<br />
Thyristor-<br />
bauelemente<br />
Vierschichtdiode (Einrichtungs-Thyristordiode)<br />
Diac<br />
(Zweirichtungs-<br />
Thyristordiode)<br />
Charakteristische Kennlinie Schaltung <strong>und</strong> Schaltverhalten<br />
Durchlassbereich<br />
pischer Werte: Nullkippspannung U (BO)0 � 50 V<br />
Haltestrom IH � 10 mA bis 50 mA<br />
Haltespannung UH � 1 V<br />
Durchlassstrom IF � bis 200 mA<br />
Kippschaltungen, Impulsverstärker, Zählstufen.<br />
Zum Ansteuern von Thyristortrioden (Thyristoren).<br />
Charakteristische Kennlinie Schaltung <strong>und</strong> Schaltverhalten<br />
Auswahl typischer Werte: Kippspannung U (BO) � 30 V<br />
Rücklaufspannung �U � 6 V für einen definierten<br />
Strom I F bzw. I R (z.B. 10 mA)<br />
Max. Durchlassstrom I max � bis 3 A<br />
Anwendungsbeispiele: Hauptsächlich zur Ansteuerung von Triacs <strong>und</strong><br />
als kontaktloser Schalter.<br />
Der DIAC wird auch als Zweirichtungs-Thyristordiode ausgeführt. Das<br />
entspricht der Antiparallelschaltung von zwei Thyristordioden.<br />
Antiparallelschaltung
Thyristor<br />
(Einrichtungs-<br />
Thyristortriode)<br />
P-Gate-Thyristor<br />
N-Gate-Thyristor<br />
Triac<br />
(Zweirichtungs-<br />
Thyristortriode)<br />
GTO-Thyristor<br />
(Abschaltthyristortriode)<br />
Elektrotechnik<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
Charakteristische Kennlinie Schaltung <strong>und</strong> Schaltverhalten<br />
Durchlass-<br />
Kennlinie<br />
Spitzensperrspannung U RRM � 50 V bis 5000 V<br />
Dauergrenzstrom I TAV � 0,5 A bis > 1000 A<br />
Zündspannung U G � 1 V bis 5 V<br />
Zündstrom I G � 10 mA bis 500 mA<br />
Als Leistungsschalter in Gleich-, Wechsel- <strong>und</strong><br />
Drehstromkreisen. Als steuerbarer Stromrichter<br />
im Wechselstromkreis.<br />
Charakteristische Kennlinie Schaltung <strong>und</strong> Schaltverhalten<br />
Spitzensperrspannung U DRM � bis 1500 V<br />
Durchlassstrom I TEFF � bis 50 A<br />
Steuerung kleiner bis mittlerer Wechselstromleistungen.<br />
Phasenanschnittsteuerung.<br />
ristoren sind Thyristoren, die durch geeignete<br />
Steuerimpulse nicht nur vom Sperrzustand in den Durchlassauch<br />
umgekehrt umgeschaltet werden können.<br />
Abschalten eines GTO-Thyristors beträgt<br />
tstromes.<br />
werden u. a. in Wechselrichter-Schaltungen einndlung<br />
von Gleichspannung in Wechselspan-<br />
159<br />
5
5<br />
Elektrotechnik<br />
Elementare Bauteile der Elektronik<br />
160<br />
5.7.3.3 Phasen-<br />
anschnittsteuerung<br />
Phasenanschnittschaltung<br />
mit<br />
Diac <strong>und</strong> Triac<br />
Phasenanschnitt-<br />
steuerung mit<br />
Diac <strong>und</strong> Triac<br />
Beschreibung der<br />
Steuerung<br />
u Netzspannung α Zündverzögerungswinkel<br />
u G Steuerimpulse � Stromflusswinkel<br />
i Laststrom α + � = 180°<br />
p im Lastwiderstand umgesetzte Leistung<br />
– Die Steuerschaltung liefert netzsynchrone Zündimpulse<br />
– Steuerbar zwischen den Zündverzögerungswinkeln 0° bis 180°<br />
– Stufenlose Leistungssteuerung zwischen P 0 <strong>und</strong> P max
6.1 Gr<strong>und</strong>begriffe<br />
absoluter Druck p abs<br />
Normvolumen V n<br />
spezifisches Volumen �<br />
(6.9)<br />
spezifisches<br />
Normvolumen � n (6.9)<br />
Wärme Q<br />
spezifische Wärme q<br />
spezifische<br />
Wärmekapazität c<br />
(6.10 <strong>und</strong> 6.11)<br />
mittlere spezifische<br />
Wärmekapazität c m12<br />
zwischen t 1 <strong>und</strong> t 2<br />
(6.10 <strong>und</strong> 6.11)<br />
Mischungstemperatur t g<br />
(Gemischtemperatur)<br />
Gr<strong>und</strong>begriffe<br />
p abs = p amb � p e<br />
(bei Überdruck)<br />
p abs = p amb – p e<br />
(bei Unterdruck)<br />
pe atmosphärische<br />
Druckdifferenz,<br />
Überdruck<br />
pamb umgebender<br />
Atmosphärendruck<br />
Thermodynamik<br />
Gr<strong>und</strong>begriffe<br />
ist das Volumen einer beliebigen Gasmenge im Normzustand. Einheit m 3 .<br />
Physikalischer Normzustand: T = 273,15 K; � = 0° C, p = 101325 N/m 2 � 1,013 bar<br />
Das molare Normvolumen des idealen Gases beträgt V mn = 22,415 m 3 /kmol<br />
V 1<br />
ν = =<br />
m r<br />
� in m 3 /kg (6.9) m Masse in kg<br />
V Volumen in m 3 r Dichte in kg/m 3<br />
(6.9)<br />
Beachte: � ist der Quotient<br />
aus Volumen V <strong>und</strong> Masse<br />
m. r ist der Quotient aus<br />
Masse m <strong>und</strong> Volumen V.<br />
Die Wichte � = r�g soll nicht<br />
mehr benutzt werden !<br />
Vn<br />
νn<br />
= ist das spezifische Volumen im Normzustand (siehe oben)<br />
m<br />
Q = m c �T = m c (t 2 – t 1)<br />
1 Joule (J) = 1 Nm = 1 Ws.<br />
Das J ist die gesetzliche Einheit<br />
der Energie, der Wärme <strong>und</strong> der<br />
Arbeit. Das Kelvin (K) ist die<br />
gesetzliche Einheit der Temperatur<br />
(1 K = 1°C).<br />
Q m c �T t 2, t 1<br />
J kg<br />
J<br />
kgK<br />
K K oder °C<br />
m Masse<br />
c spezifische Wärmekapazität<br />
(6.10 <strong>und</strong> 6.11)<br />
K <strong>und</strong> °C siehe 6.7<br />
q Q m<br />
q = Q<br />
m J<br />
J kg<br />
kg<br />
gibt die Wärme (Wärmemenge) in J an, die erforderlich ist, um 1 kg<br />
oder 1 g eines Stoffes um 1 Kelvin (1 K) zu erwärmen, c ist temperatur-<br />
<strong>und</strong> druckabhängig.<br />
cm02t2−cm01t1 cm12 =<br />
t2 − t1<br />
t g =<br />
mct 1 1 1+ m2c2t2 m1c1+ m2c2 K <strong>und</strong> °C siehe 6.7<br />
c m02 ist mittlere spezifische Wärmekapazität<br />
zwischen 0°C<br />
<strong>und</strong> t 2<br />
c m01 entsprechend zwischen 0°C<br />
<strong>und</strong> t 1<br />
t m c<br />
K oder °C kg<br />
J<br />
kg K<br />
161<br />
6
6<br />
Thermodynamik<br />
Wärmeausdehnung<br />
Schmelzenthalpie q s<br />
(6.12)<br />
Verdampfungsenthalpie<br />
q v<br />
(6.13 <strong>und</strong> 6.15)<br />
Energieprinzip<br />
(H. v. Helmholtz)<br />
thermischer<br />
Wirkungsgrad � th<br />
162<br />
6.2 Wärmeausdehnung<br />
Längenzunahme �l nach<br />
Erwärmung<br />
Länge l 2 nach Erwärmung<br />
Volumenzunahme �V<br />
nach Erwärmung<br />
Volumen V 2 nach<br />
Erwärmung<br />
Volumenzunahme �V<br />
nach Erwärmung<br />
Volumen V 2 nach<br />
Erwärmung<br />
gibt die Wärme in J an, die nötig ist, um die Stoffmenge 1 kg des<br />
Stoffes bei der jeweiligen Schmelztemperatur zu schmelzen.<br />
gibt die Wärme in J an, die nötig ist, um die Stoffmenge 1 kg des<br />
Stoffes bei der jeweiligen Siedetemperatur in den gasförmigen<br />
Zustand zu überführen.<br />
Der Energieinhalt eines abgeschlossenen Systems kann bei irgendwelchen<br />
Veränderungen innerhalb des Systems weder zu- noch<br />
abnehmen:<br />
�U = �Q ��W<br />
�U Zuwachs an innerer Energie<br />
�W Arbeit<br />
�Q Wärme<br />
∆W<br />
∆Q − ∆Q ∆Q<br />
ηth=<br />
= = 1−<br />
∆Q ∆Q ∆Q<br />
Wärmeausdehnung<br />
1 2 2<br />
1 1 1<br />
Wärmeausdehnung fester Körper (6.16)<br />
�l = l 1 � l (t 2 – t 1)<br />
l 2 = l 1 [1 � � l (t 2 – t 1)]<br />
�V � V 1 � V (t 2 – t 1)<br />
V 2 � V 1 [1 � � V (t 2 – t 1)]<br />
�U �Q �W<br />
J J Nm = J<br />
1 J = 1 Nm = 1 Ws<br />
l V � 1, � V� t<br />
m m 3 1<br />
K<br />
Wärmeausdehnung flüssiger Körper (6.17)<br />
�<br />
�V = V( t2 � t1)<br />
V1<br />
1 � �Vt1<br />
1 � �<br />
V2 = Vt V 2<br />
1<br />
1 � �Vt1<br />
K oder °C<br />
�<br />
� l Längenausdehnungskoeffizient<br />
(6.16)<br />
� V Volumenausdehnungskoeffizient<br />
(6.16) : � V � 3 � l für feste Körper<br />
V 1 Volumen vor Erwärmung<br />
K <strong>und</strong> °C siehe 6.7<br />
V � V t<br />
m 3<br />
1<br />
K<br />
K <strong>und</strong> ºC siehe 6.7<br />
K oder ºC<br />
Wärmeausdehnung von Gasen<br />
Vollkommene Gase dehnen sich bei Erwärmung um 1K = 1 °C (bei<br />
gleich bleibendem Druck) um den 273,15ten Teil des Volumens aus,<br />
das sie bei 0 °C = 273,15 K <strong>und</strong> 101325 Pa (Normvolumen) einnehmen.<br />
1 Pa = 1 N/m 2 . Temperatur-Umrechnung siehe 6.7.
Volumenausdehnungskoeffizient<br />
� V<br />
(konstant für alle<br />
vollkommenen Gase)<br />
Gesetz von<br />
Gay-Lussac<br />
Gesetz von<br />
Boyle-Mariotte<br />
Volumenzunahme �V<br />
nach Erwärmung<br />
Volumen V 2 nach<br />
Erwärmung<br />
6.3 Wärmeübertragung<br />
Wärmeleitung<br />
Wärmeleitfähigkeit �<br />
(6.18 bis 6.20)<br />
Wärmestrom � th bei<br />
ebener Wand <strong>und</strong> bei<br />
dünnwandigem Rohr<br />
1 m 1 1<br />
α V = =<br />
273,15 3 m K 273,15 K<br />
3<br />
oder<br />
3 1 m 1 1 1<br />
α V = = = 0,00366<br />
3 o o o<br />
273,15 m C 273,15 C C<br />
V T<br />
=<br />
V T<br />
1 1<br />
2 2<br />
p T<br />
=<br />
p T<br />
1 1<br />
2 2<br />
gilt bei t = konstant gilt bei V = konstant<br />
V p<br />
=<br />
V p<br />
1 2<br />
2 1<br />
gilt bei t = konstant<br />
V0 V1<br />
�V = ( T2 − T1) = ( T2 −T1)<br />
273,15 T1<br />
V 2 =<br />
Wärmeübertragung<br />
T<br />
V<br />
T<br />
2<br />
1<br />
1<br />
Wärmeleitung (6.18 bis 6.20)<br />
Thermodynamik<br />
Wärmeübertragung<br />
V T p<br />
m3 N<br />
K = Pa<br />
m2<br />
T Temperatur (thermodynamische<br />
Temperatur). Zwischen dieser <strong>und</strong><br />
der Celsiustemperatur t eines<br />
Körpers gilt:<br />
T = t � 273,15 K<br />
(siehe 6.7)<br />
ist der Wärmetransport von Teilchen zu Teilchen innerhalb eines<br />
Stoffes.<br />
gibt die Wärme in J an, die in 1 s bei einem Durchtrittsquerschnitt von<br />
1 m 2 <strong>und</strong> einem Temperaturunterschied von 1 K durch die Stoffdicke<br />
von 1 m hindurchströmt. � ändert sich mit der Temperatur <strong>und</strong> bei<br />
Gasen auch mit dem Druck.<br />
A<br />
Φth = λ ( t1−t2) s<br />
WärmeQ<br />
Φ th =<br />
Zeit t<br />
A = � d L innere Mantelfläche<br />
t 1 , t 2 Oberflächentemperaturen<br />
s Wanddicke<br />
t Zeit<br />
� th � A s, l, D, d t<br />
J W<br />
W =<br />
msk Km m2 m °C<br />
Beachte: Weil 1 Joule je<br />
Sek<strong>und</strong>e gleich 1 Watt<br />
ist (1 J/ s = 1W), wird für<br />
die Einheit der<br />
Wärmeleitfähigkeit � das<br />
Watt je Kelvin <strong>und</strong> Meter<br />
(W / Km) benutzt.<br />
163<br />
6
6<br />
Thermodynamik<br />
Wärmeübertragung<br />
Wärmestrom � th<br />
bei dickwandigem Rohr<br />
Wärmestrom � th<br />
bei ebener<br />
mehrschichtiger Wand<br />
Wärmestrom � th<br />
bei mehrschichtigem<br />
Hohlzylinder<br />
Wärmestrom � th<br />
bei mehrschichtiger<br />
Hohlkugel<br />
164<br />
Wärmeübergang<br />
Wärmeübergangszahl �<br />
(Wärmeübergangskoeffizient)<br />
Wärmestrom � th<br />
<strong>Formeln</strong> für<br />
Wärmeübergangszahl<br />
� Luft,20°C<br />
in J/m 2 sK = W/m 2 K<br />
(nach Jürges)<br />
Wärmedurchgang<br />
2 π λ l<br />
Φ th = ( t1−t2) D<br />
ln<br />
d<br />
Φ<br />
th<br />
A( t1−t2) =<br />
s<br />
∑ λ<br />
2 π l ( t1−t2) Φth<br />
=<br />
1 D<br />
∑ ln<br />
λ d<br />
Φth<br />
=<br />
2 π ( t1−t2) 1⎛1 1⎞<br />
⎜ − ⎟<br />
λ⎝d<br />
D⎠<br />
∑<br />
Wärmeübergang (6.21)<br />
l Rohrlänge in m<br />
D Außendurchmesser<br />
in m<br />
d Innendurchmesser<br />
in m<br />
s Wanddicke in m<br />
In natürlicher Logarithmus<br />
� th Wärmestrom in<br />
J/ s = W<br />
Beachte: 1 J<br />
= W<br />
s<br />
ist die Wärmeübertragung durch Konvektion von einem flüssigen<br />
oder gasförmigen Medium an eine feste Wand <strong>und</strong> umgekehrt.<br />
gibt die Wärme in J an, die bei einer Berührungsfläche von 1 m 2 <strong>und</strong><br />
einer Temperaturdifferenz von 1 K in 1 s übergeht. Die große Zahl<br />
von Einflussgrößen macht die Bestimmung von � schwierig.<br />
� th = �A (t fl – t w)<br />
�th �� A t<br />
W<br />
J W<br />
=<br />
m2sk m2K m2 K<br />
A wärmeübertragende Fläche<br />
t fl mittlere Temperatur des<br />
strömenden Mediums<br />
t w Wandtemperatur<br />
für Luftgeschwindigkeit w � 5 m/s w � 5 m/s<br />
glatte, polierte Wand<br />
Wand mit Walzhaut<br />
raue Wand<br />
ist die Wärmeübertragung von<br />
einem flüssigen oder gasförmigen<br />
Körper durch eine Trennwand<br />
auf einen kälteren flüssigen oder<br />
gasförmigen Körper.<br />
Teil Vorgänge:<br />
Wärmeübergang Flüssigkeit (t 1)<br />
� Wandoberfläche (t w1)<br />
Wärmeleitung Wandoberfläche<br />
(t w1)<br />
� Wandoberfläche (t w2)<br />
Wärmeübergang Wandoberfläche<br />
(t w2)<br />
� kältere Flüssigkeit (t 2)<br />
� = 5,6 � 3,9 w<br />
� = 5,8 � 3,9 w<br />
� = 6,2 � 4,2 w<br />
��= 7,1 w 0,78<br />
� = 7,14 w 0,78<br />
� = 7,52 w 0,78
Wärmedurchgangszahl<br />
k (6.22)<br />
(Wärmedurchgangskoeffizient)<br />
Wärmestrom � th<br />
Wärmedurchgangszahl<br />
k für ebene<br />
mehrschichtige Wand<br />
für mehrschichtigen<br />
Hohlzylinder<br />
für mehrschichtige<br />
Hohlkugel<br />
Stefan-Boltzmann'sches<br />
Gesetz<br />
allgemeine Strahlungs-<br />
konstante<br />
Strahlungsfluss �<br />
des wirklichen<br />
Körpers<br />
Strahlungsfluss �<br />
Strahlungs-<br />
austauschzahl C 1,2<br />
Thermodynamik<br />
Wärmeübertragung<br />
gibt die Wärme in J an, die bei einer Wandfläche von 1 m 2 <strong>und</strong> einer<br />
Temperaturdifferenz von 1 K in 1 s hindurchgeht<br />
� th = k A (t 1 – t 2)<br />
A Durchgangsfläche<br />
t Durchgangszeit<br />
k =<br />
k =<br />
1<br />
1 s 1<br />
+ ∑ +<br />
α λ α<br />
1 1<br />
1<br />
1 di 1 D di<br />
+ ∑ ln +<br />
α 2 λ d α D<br />
1 a a<br />
� th k A t<br />
J W<br />
W =<br />
m2sK m2K m2 K<br />
k��� �� s, d, D ln (D/d)<br />
W<br />
Km2<br />
W<br />
Km<br />
m 1<br />
d i Innendurchmesser der<br />
innersten Schicht<br />
D a Außendurchmesser der<br />
äußersten Schicht<br />
1<br />
D Durchmesserverhältnis<br />
k =<br />
> 1<br />
2 d<br />
einer Schicht<br />
1 d i 1⎛1 1⎞<br />
di<br />
+ ∑ ⎜ − ⎟+<br />
α λ⎝ ⎠ 2<br />
i 2 d D αaDa<br />
In natürlicher Logarithmus<br />
Wärmestrahlung (6.23)<br />
� s = C s A T 4<br />
�� C A T ��<br />
J W<br />
m sK m K m2 K 1<br />
�s Strahlungsfluss W =<br />
2 4 2 4<br />
C s<br />
J<br />
W<br />
5,67⋅ 10 = 5,67⋅10 m sK m K<br />
� = CAT 4 = � C s AT 4<br />
� = � Q s��<br />
−8 −8<br />
2 4 2 4<br />
4 4<br />
1 2<br />
�1,2 = C1,2 A ( T −T<br />
)<br />
C 1,2 =<br />
1<br />
Cs<br />
=<br />
1 1 1 1 1<br />
+ − + −1<br />
C C C<br />
ε ε<br />
1 2 s 1 2<br />
� = C/C s Emissionsverhältnis<br />
C Strahlungszahl, beide nach<br />
6.23<br />
A parallel gegenüberstehende<br />
Flächen der Temperatur T 1, T 2<br />
C 1, C 2 Strahlungszahlen der Körper<br />
� � 1, � 2 Emissionsverhältnis nach 6.23<br />
165<br />
6
6<br />
Thermodynamik<br />
Gasmechanik<br />
166<br />
6.4 Gasmechanik<br />
allgemeine Zustandsgleichung<br />
idealer Gase<br />
spezifische<br />
Gaskonstante R i<br />
(6.24)<br />
universelle<br />
Gaskonstante R<br />
molares<br />
Normvolumen V mn<br />
spezifische Wärme-<br />
kapazitäten c v <strong>und</strong> c p bei<br />
konstantem Volumen <strong>und</strong><br />
bei konstantem Druck<br />
(6.11)<br />
innere Energie U<br />
spezifische innere<br />
Energie u<br />
Änderung der<br />
spezifischen<br />
inneren Energie �u<br />
p ν p ν p V p V<br />
= =<br />
T T T T<br />
1 1 2 2 1 1 2 2<br />
1 2 1 2<br />
pν<br />
T<br />
p0ν0<br />
273K<br />
= pV<br />
T<br />
p0V0 273K<br />
�<br />
p� = R i T; pV = mR i T; p = r R i T<br />
Gasmechanik<br />
N<br />
m2 �<br />
p �� R i T V m r�<br />
Pa<br />
3<br />
m<br />
kg<br />
J<br />
kgK K m3 kg<br />
kg<br />
m3<br />
p Druck<br />
� spezifisches Volumen<br />
R i spezifische Gaskonstante<br />
(individuelle Gaskonstante)<br />
T Temperatur<br />
V Volumen<br />
m Masse<br />
r Dichte<br />
ist eine Stoffkonstante, die durch Messung der zugehörigen Größen<br />
p, �, T bestimmt werden kann. Sie stellt die Raumschaffungsarbeit<br />
dar, die von 1 kg Gas verrichtet wird, wenn diese Gasmenge bei<br />
p = konstant um 1 K erwärmt wird: Ri = cp – cv (cp spezifische Wärmekapazität bei p = konstant, cv bei V = konstant,<br />
Werte in 6.11)<br />
Ri = R<br />
M molare Masse oder stoffmengenbezogene Masse (siehe 6.24)<br />
M<br />
J<br />
R = 8315<br />
kmolK<br />
R ist von der chemischen Beschaffenheit eines Gases unabhängig<br />
V mn =<br />
3<br />
m<br />
22,415 kmol (bei 0 ºC <strong>und</strong> 101325 Pa; 1 Pa = 1 N/m 2 )<br />
� 0 ist (unabhängig von der Gasart) das von 1 kmol eingenommene<br />
Volumen beim physikalischen Normzustand (6.1)<br />
c v = κ<br />
c p = κ<br />
1<br />
1 R<br />
−<br />
κ 1 R<br />
−<br />
R i = c p – c v<br />
U = m c v �T<br />
u = c v �T<br />
u = U<br />
m<br />
�u = u 2 – u 1 = c v (t 2 – t 1)<br />
i<br />
i<br />
J<br />
kgK<br />
c v, c p<br />
�� R i<br />
1<br />
1 NM = 1 J = 1 Ws<br />
J<br />
kg K<br />
Verhältnis � = c p / c v (6.24)<br />
m U u c v �T,�t 1,�t 2�<br />
kg J<br />
J<br />
kg<br />
J<br />
kg K<br />
K
äußere Arbeit W<br />
(absolute) eines<br />
Gases (Volumenänderungsarbeit)<br />
technische Arbeit W t<br />
(Druckänderungsarbeit)<br />
Enthalpie H<br />
spezifische<br />
Enthalpie h<br />
Änderung der<br />
spezifischen<br />
Enthalpie �h<br />
6.5 Gleichungen<br />
für Zustandsänderungen<br />
<strong>und</strong> Carnot'scher<br />
Kreisprozess<br />
Thermodynamik<br />
Gleichungen für Zustandsänderungen <strong>und</strong> Carnot'scher Kreisprozess<br />
W =<br />
ν2 ν2<br />
∆W = p∆<br />
∑ ∑<br />
ν1 ν1<br />
p2 Wt = ∑<br />
p2<br />
t = ∑ν<br />
p1 p1<br />
ν<br />
∆W ∆p<br />
W, W t p ��<br />
J<br />
kg<br />
H = m c p �T<br />
h = c p �T<br />
N<br />
2<br />
m<br />
= Pa<br />
�h = h 2 – h 1 = c p (t 2 – t 1)<br />
Gleichungen für Zustandsänderungen <strong>und</strong> Carnot'scher Kreisprozess<br />
3<br />
m<br />
kg<br />
Isochore (isovolume) Zustandsänderung<br />
Das Gasvolumen � bleibt<br />
während der Zustandsänderung<br />
konstant<br />
(� = konstant); damit ist<br />
auch p / T = konstant:<br />
p1 p2<br />
= = konstant<br />
T1 T2<br />
H h m c p �T, t 1, t 2<br />
J<br />
J<br />
kg<br />
kg<br />
J<br />
kg K<br />
q(u) c T h ��<br />
J<br />
kg<br />
J<br />
kg K<br />
K<br />
J<br />
kg<br />
s W �� p<br />
J<br />
kg K<br />
J<br />
kg<br />
o<br />
p1 T1<br />
273 + ϑ1<br />
= =<br />
o<br />
p2 T2 273 + ϑ2<br />
cp, cv nach 6.11<br />
� � nach 6.24<br />
3<br />
m<br />
kg<br />
N<br />
2<br />
m<br />
K<br />
1<br />
= Pa<br />
167<br />
6
6<br />
Thermodynamik<br />
Gleichungen für Zustandsänderungen <strong>und</strong> Carnot'scher Kreisprozess<br />
zu- oder abgeführte<br />
Wärme �q<br />
Änderung der inneren<br />
Energie �u<br />
Änderung der<br />
Enthalpie �h<br />
Änderung der<br />
Entropie �s<br />
technische Arbeit W t<br />
(äußere Arbeit W = 0)<br />
zu- oder abgeführte<br />
Wärme �q<br />
Änderung der inneren<br />
Energie �u<br />
Änderung der<br />
Enthalpie �h<br />
Änderung der<br />
Entropie �s<br />
äußere Arbeit W<br />
(technische Arbeit<br />
W t = 0)<br />
168<br />
R i<br />
∆q<br />
= cv( T2 − T1) = ( T2 −T1)<br />
κ −1<br />
R i<br />
∆u<br />
= cv( T2 − T1) = ( T2 −T1)<br />
κ −1<br />
∆h=<br />
cp( T2 −T1)<br />
2<br />
= v ln<br />
1<br />
T<br />
∆s<br />
c<br />
T<br />
W = ν( p − p ) = ( κ−1)<br />
∆u<br />
t 1 2<br />
Isobare Zustandsänderung<br />
Der Gasdruck p bleibt während<br />
der Zustandsänderung<br />
konstant (p = konstant); damit<br />
ist auch � / T = konstant:<br />
ν1 ν2<br />
= = konstant<br />
T T<br />
1 2<br />
ν T 273 K + t V<br />
= = =<br />
ν T 273 K + t V<br />
1 1 1 1<br />
2 2 2 2<br />
κ<br />
∆q<br />
= cp( T2 − T1) = Ri( T2 −T1)<br />
κ −1<br />
∆u<br />
= c ( T −T<br />
)<br />
v 2 1<br />
∆h=<br />
cp( T2 −T1)<br />
2<br />
= p ln<br />
1<br />
T<br />
∆s<br />
c<br />
T<br />
κ −1<br />
W = p( ν2− ν1)<br />
= ∆q<br />
κ<br />
q(u) c T h ��<br />
J<br />
kg<br />
J<br />
kgK<br />
K<br />
J<br />
kg<br />
s W �� p<br />
J<br />
kg K<br />
J<br />
kg<br />
c p, c v nach 6.11<br />
� � nach 6.24<br />
3<br />
m<br />
kg<br />
N<br />
m2<br />
1<br />
= Pa
zu- oder abgeführte<br />
Wärme �q<br />
Änderung der<br />
Entropie �s<br />
äußere Arbeit W<br />
(technische Arbeit<br />
W t = �q)<br />
Änderung der inneren<br />
Energie �u (� | äußere<br />
Arbeit W |)<br />
Thermodynamik<br />
Gleichungen für Zustandsänderungen <strong>und</strong> Carnot'scher Kreisprozess<br />
Isotherme Zustandsänderung<br />
Die Temperatur T bleibt während<br />
der Zustandsänderung konstant<br />
(T = konstant); damit ist auch<br />
p� = konstant:<br />
p1 ��1 = p2 � 2 = konstant<br />
p1<br />
ν2<br />
p 2 ν1<br />
=<br />
ν2<br />
= i ln = i ln<br />
ν<br />
p<br />
∆q<br />
RT RT<br />
p<br />
1<br />
1 2<br />
Änderung der inneren Energie �u = 0<br />
ebenso Änderung der Enthalpie �h = 0<br />
ν2<br />
= iln = iln<br />
ν<br />
p<br />
∆s<br />
R R<br />
p<br />
1<br />
1 2<br />
ν1<br />
= t = = i ln = i ln<br />
ν<br />
p<br />
W W ∆q<br />
RT RT<br />
p<br />
2<br />
2 1<br />
Adiabate (isentrope) Zustandsänderung<br />
Während der Zustandsänderung wird Wärme<br />
weder zu- noch abgeführt (�q = 0, also auch<br />
�s = 0); damit wird p�� κ = konstant:<br />
κ κ<br />
p1ν1 = p 2ν2<br />
= konstant<br />
κ κ/ κ−1<br />
p ⎛ν⎞ ⎛ ⎞<br />
1 2 T1<br />
= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
p2 ⎝ν1⎠ ⎝T2⎠ κ−1 κ−1/ κ<br />
T ⎛ν⎞ ⎛ ⎞<br />
1 2 p1<br />
= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
T2 ⎝ν1⎠ ⎝p2⎠ ��u = c v (T 2 – T 1)<br />
Einheiten siehe 6.5<br />
(isochore Zustandsänderung)<br />
Einheiten siehe 6.5<br />
(isochore Zustandsänderung)<br />
169<br />
6
6<br />
Thermodynamik<br />
Gleichungen für Zustandsänderungen <strong>und</strong> Carnot'scher Kreisprozess<br />
Änderung der<br />
Enthalpie �h<br />
Änderung der<br />
Entropie �s<br />
äußere Arbeit W<br />
(� | �u |)<br />
technische Arbeit W t<br />
(� | �h |)<br />
zu- oder abgeführte<br />
Wärme �q<br />
Änderung der inneren<br />
Energie �u<br />
Änderung der<br />
Enthalpie �h<br />
170<br />
κ<br />
�h = cp( T2 − T1) = p1ν1 −<br />
κ −1<br />
2 T<br />
1<br />
T<br />
�h =<br />
�s = 0<br />
1<br />
⎡ κ−1/ κ ⎤ ⎡ κ−1<br />
κ ⎛ ⎞ ⎤<br />
κ ⎛ν⎞ ν⎢ p 2 ⎜ ⎟ − ⎥= ν⎢<br />
1<br />
p ⎜ ⎟ − ⎥<br />
1 1 1 p1<br />
1 1<br />
−1 ⎢<br />
⎣⎝p1⎠ ⎥<br />
⎦ −1<br />
⎢<br />
⎣⎝ 2⎠<br />
⎥<br />
⎦<br />
κ κ ν<br />
1<br />
p ν ⎛ ⎞<br />
1 1 T2<br />
W = cv( T1− T2) = ( p1ν1− p2ν2)<br />
= ⎜1− ⎟<br />
κ−1 κ−1⎝<br />
T1<br />
⎠<br />
W =<br />
⎡ κ−1/ κ⎤ ⎡ κ−1⎤<br />
p ν ⎛ ⎞ ν ⎛ν ⎞<br />
1 1⎢ p2 − ⎜ ⎟ ⎥<br />
p1<br />
1<br />
= ⎢ 1<br />
1 1−⎜<br />
⎟ ⎥<br />
κ−1⎢ ⎣ ⎝p1⎠ ⎥<br />
⎦ κ−1⎢ ⎣ ⎝ν2⎠ ⎥<br />
⎦<br />
κ κ ⎛ T ⎞<br />
2<br />
Wt = cp( T1− T2) = ( p1ν1− p2ν2) = p1ν1⎜1−<br />
⎟<br />
κ−1 κ−1<br />
⎝ T1<br />
⎠<br />
⎡ κ−1/ κ κ<br />
κ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ −1<br />
κ<br />
ν<br />
⎤<br />
Wt = κ ν⎢ p2<br />
⎥<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ ν⎢<br />
1<br />
A= p − = −⎜<br />
⎟ ⎥<br />
1 1 1<br />
κ− ⎢ ⎜ ⎟<br />
p<br />
⎝ ⎠<br />
⎥ 1 1 1<br />
1 p<br />
κ− ⎢<br />
⎣ ⎝ν ⎠ ⎥<br />
⎣ 1 1<br />
⎦<br />
2 ⎦<br />
Polytrope Zustandsänderung<br />
Allgemeinste Zustandsänderung nach<br />
dem Gesetz p�� n = konstant.<br />
Die anderen Zustandsänderungen sind<br />
Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung.<br />
Exponent n kann von – �<br />
bis �� variieren.<br />
n n<br />
1 1 2 2<br />
p ν = p ν = konstant<br />
p ⎛ν⎞ ⎛ ⎞<br />
1 2 T1<br />
= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
p ⎝ν⎠ ⎝T ⎠<br />
n<br />
2 1 2<br />
n−1<br />
n<br />
n−1<br />
T ⎛ν⎞ ⎛ ⎞<br />
1 2 p1<br />
= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟<br />
T ⎝ν⎠ ⎝p ⎠<br />
2 1 2<br />
n−1<br />
n<br />
n − κ<br />
∆q<br />
= cv ( T2 −T1)<br />
n −1<br />
∆u<br />
= cv( T2 −T1)<br />
wie bei adiabater Zustandsänderung,<br />
wenn für � der Exponent n<br />
eingesetzt wird<br />
Einheiten siehe 6.5<br />
(isochore Zustandsänderung)
Änderung der<br />
Entropie �s<br />
äußere Arbeit W <strong>und</strong><br />
technische Arbeit W t<br />
Kreisprozessarbeit W<br />
thermischer<br />
Wirkungsgrad � th<br />
6.6 Gleichungen für<br />
Gasgemische<br />
Gesetz von Dalton<br />
Gesamtdruck p g<br />
Gesamtmasse m g<br />
Gesamtvolumen V g<br />
(bei n Einzelgasen)<br />
des Gemisches<br />
Gaskonstante R g<br />
des Gemisches<br />
(6.24)<br />
n − κ T2<br />
�s = cv ln<br />
n−1T1 Thermodynamik<br />
Gleichungen für Gasgemische<br />
wie bei adiabater Zustandsänderung, wenn für � der Exponent n<br />
eingesetzt wird<br />
Carnot'scher Kreisprozess<br />
1 – 2 isotherme Kompression<br />
2 – 3 adiabate Kompression<br />
3 – 4 isotherme Expansion<br />
4 – 1 adiabate Expansion<br />
1<br />
W = i( u − o)ln<br />
2<br />
p<br />
R T T<br />
p<br />
�th = − u<br />
1<br />
o<br />
T<br />
T<br />
Gleichungen für Gasgemische<br />
Nach Dalton nimmt jeder Gemischpartner das gesamte zur Verfügung<br />
stehende Gemischvolumen ein, als ob die anderen Partner nicht vorhanden<br />
wären.<br />
Daher steht jedes Einzelgas unter einem Teildruck (Partialdruck). Die<br />
Summe aller Partialdrücke ergibt den Gesamtdruck<br />
p g = p 1 � p 2 � ... p n<br />
m g = m 1 � m 2 � ... m n<br />
V g = V 1 � V 2 � ... V n<br />
Rg = � + � + �<br />
N<br />
mR 1 1 m2R2 ... mR n n Pa =<br />
2 m<br />
mn<br />
m� n=<br />
Massenanteil ∑m�<br />
= 1<br />
mg<br />
Vn<br />
rn= Raumanteil ∑r<br />
= 1<br />
Vg<br />
p m V m� n, rn<br />
kg m 3 Einheit Eins<br />
(Verhältnisgrößen)<br />
171<br />
6
6<br />
Thermodynamik<br />
Spezifisches Normvolumen � n <strong>und</strong> Dichte r n (0 °C <strong>und</strong> 101325 N/m 2 )<br />
Partialdruck p n<br />
des Gemisches<br />
spezifische Wärmekapazität<br />
c pg des<br />
Gemisches<br />
Dichte r g des<br />
Gemisches<br />
Temperatur t g des<br />
Gemisches<br />
172<br />
6.7 Temperatur-<br />
Umrechnungen<br />
t in Grad Celsius (°C) :<br />
t F in Grad Fahrenheit (°F):<br />
T in Grad Kelvin (K):<br />
T R in Grad Rankine (°R):<br />
6.8 Temperatur-<br />
Fixpunkte<br />
6.9 Spezifisches<br />
Normvolumen � n<br />
<strong>und</strong> Dichte r n (0 °C<br />
<strong>und</strong> 101325 N/m 2 )<br />
R<br />
pn = m� n<br />
n pg � rnpg Rg<br />
� � �<br />
cpg = mc 1 p1 � m2cp2 �...<br />
mc n pn<br />
� � �<br />
cvg = mc 1 v1 � m2cv2 �...<br />
mc n vn<br />
r g = r 1 r 1 � r 2 r 2 � ... r n r n<br />
siehe 6.1<br />
5 5<br />
t = ( tF �32) �T �273,15 � ( TR<br />
� 491,67)<br />
9 9<br />
t F = 1,8 t � 32 = 1,8 T – 459,67 = T R – 459,67<br />
5 5<br />
t �273,15 � t �255,37 � T<br />
9 9<br />
T = F R<br />
T R = 1,8 t � 491,67 = t F � 459,67 = 1,8 T<br />
Sauerstoff (Siedepunkt) – 182,97 °C<br />
Wasser (Tripelpunkt) 0,01 °C<br />
Wasser (Siedepunkt) 100,00 °C<br />
Schwefel (Siedepunkt) 444,60 °C<br />
Silber (Schmelzpunkt) 960,80 °C<br />
Gold (Schmelzpunkt) 1063,00 °C<br />
Gasart<br />
Kohlendioxid<br />
Kohlenoxid<br />
Luft<br />
Methan<br />
Sauerstoff<br />
Stickstoff<br />
Wasserdampf<br />
Wasserstoff<br />
chemisches<br />
Kurzzeichen<br />
CO 2<br />
CO<br />
–<br />
CH 4<br />
O 2<br />
N 2<br />
H 2O<br />
H 2<br />
c p1 ..., c v1 ... sind die spezifischen<br />
Wärmekapazitäten<br />
der Einzelgase (6.11)<br />
r 1 ...Dichten der Einzelgase<br />
(6.24)<br />
� n in<br />
3<br />
m<br />
kg<br />
0,506<br />
0,800<br />
0,774<br />
1,396<br />
0,700<br />
0,799<br />
1,243<br />
11,111<br />
kg<br />
rn in<br />
3 m<br />
1,977<br />
1,250<br />
1,293<br />
0,717<br />
1,429<br />
1,251<br />
0,804<br />
0,090
Thermodynamik<br />
Schmelzenthalpie q s fester Stoffe in J / kg bei p = 101325 N/m 2<br />
6.10 Mittlere spezifische Wärmekapazität c m fester <strong>und</strong> flüssiger Stoffe zwischen<br />
0 °C <strong>und</strong> 100 °C in J / (kg K)<br />
Aluminium 896 Kork 2010 Steinzeug 773<br />
Beton 1005 Kupfer 390 Ziegelstein 920<br />
Blei 130 Marmor 870 Alkohol 2430<br />
Eichenholz 2390 Messing 386 Ammoniak 4187<br />
Eis 2050 Nickel 444 Aceton 2300<br />
Eisen (Stahl) 450 Platin 134 Benzol 1840<br />
Fichtenholz 2720 Quarzglas 725 Glycerin 2430<br />
Glas 796 Quecksilber 138 Maschinenöl 1675<br />
Graphit 870 Sandstein 920 Petroleum 2093<br />
Gusseisen 540 Schamotte 796 Schwefelsäure 1380<br />
Kieselgur 870 Silber 234 Wasser 4187<br />
6.11 Mittlere spezifische Wärmekapazität c p, c � in J / (kg K) nach Justi <strong>und</strong> Lüder<br />
ϑ in ºC CO CO 2 Luft CH 4 O 2 N 2 H 2 O H 2<br />
0 cp<br />
c �<br />
100 cp<br />
c �<br />
200 cp<br />
c �<br />
300 cp<br />
c �<br />
400 cp<br />
c �<br />
500 cp<br />
c �<br />
600 cp<br />
c �<br />
700 cp<br />
c ��<br />
800 cp<br />
c �<br />
900 cp<br />
c �<br />
1000 cp<br />
c �<br />
1038,13<br />
740,92<br />
1042,31<br />
745,11<br />
1046,50<br />
749,29<br />
1054,87<br />
757,67<br />
1063,24<br />
766,04<br />
1075,80<br />
778,60<br />
1088,36<br />
791,15<br />
1096,73<br />
799,53<br />
1109,30<br />
812,08<br />
1121,85<br />
824,64<br />
1130,22<br />
833,01<br />
707,43<br />
519,06<br />
870,69<br />
682,32<br />
916,73<br />
728,36<br />
958,59<br />
770,22<br />
987,90<br />
799,53<br />
1021,38<br />
833,01<br />
1050,69<br />
862,31<br />
1071,62<br />
883,25<br />
1092,55<br />
904,18<br />
1113,48<br />
925,11<br />
1130,22<br />
941,85<br />
1004,64<br />
715,81<br />
1008,83<br />
719,99<br />
1013,01<br />
724,18<br />
1021,38<br />
732,55<br />
1029,76<br />
740,92<br />
1042,31<br />
753,48<br />
1050,69<br />
761,85<br />
1059,06<br />
770,22<br />
1071,62<br />
782,78<br />
1084,17<br />
795,34<br />
1092,55<br />
803,71<br />
2155,79<br />
1636,73<br />
2260,44<br />
1741,38<br />
2453,00<br />
1933,93<br />
2637,18<br />
2118,12<br />
2808,81<br />
2289,74<br />
2955,32<br />
2436,25<br />
3147,87<br />
2628,81<br />
3302,57<br />
7283,69<br />
3436,71<br />
2917,64<br />
3570,66<br />
3051,59<br />
3658,56<br />
3139,50<br />
912,55<br />
653,02<br />
920,92<br />
661,39<br />
933,48<br />
673,95<br />
950,22<br />
690,69<br />
966,97<br />
707,43<br />
979,52<br />
719,99<br />
992,08<br />
732,55<br />
1004,64<br />
745,11<br />
1017,20<br />
757,67<br />
1025,57<br />
766,04<br />
1033,94<br />
744,41<br />
1038,13<br />
740,92<br />
1042,31<br />
745,11<br />
1046,50<br />
749,29<br />
1050,69<br />
753,48<br />
1059,06<br />
761,85<br />
1074,43<br />
770,22<br />
1075,82<br />
778,60<br />
1084,17<br />
786,97<br />
1096,73<br />
799,53<br />
1105,10<br />
807,90<br />
1117,66<br />
820,46<br />
6.12 Schmelzenthalpie q s fester Stoffe in J / kg bei p = 101325 N/m 2<br />
1854,40<br />
1393,94<br />
1866,96<br />
1406,50<br />
1887,89<br />
1427,43<br />
1908,82<br />
1448,36<br />
1938,12<br />
1477,66<br />
1971,61<br />
1511,15<br />
2000,91<br />
1540,45<br />
2030,21<br />
1569,75<br />
2067,88<br />
1607,42<br />
2101,37<br />
1640,91<br />
2134,86<br />
1674,40<br />
14 232,40<br />
10 109,19<br />
14 316,12<br />
10 192,91<br />
14 399,84<br />
10 276,63<br />
14 441,70<br />
1946,49<br />
14 483,56<br />
10 360,35<br />
14 483,56<br />
10 360,35<br />
14 525,42<br />
10 402,21<br />
14 567,28<br />
10 444,07<br />
14 651,00<br />
10 527,79<br />
14 692,86<br />
10 569,65<br />
14 734,72<br />
10 611,51<br />
Aluminium 3,9 · 10 5 Grauguss 0,96 · 10 5 Nickel 2,3 · 10 5 Zink 1,1 · 10 5<br />
Blei 0,23 · 10 5 Kupfer 1,7 · 10 5 Platin 1,0 · 10 5 Zinn 0,6 · 10 5<br />
Eis 3,4 · 10 5 Magnesium 2,0 · 10 5 Stahl 2,5 · 10 5<br />
173<br />
6
6<br />
Thermodynamik<br />
Volumenausdehnungskoeffizient � V von Flüssigkeiten in 1/K bei 18 °C<br />
174<br />
6.13 Verdampfungs- <strong>und</strong> Kondensationsenthalpie q v in J / kg bei 101325 N/m 2<br />
Alkohol 8,7 · 10 5<br />
Benzol 4,4 · 10 5<br />
Quecksilber 2,85 · 10 5<br />
Sauerstoff 2,14 · 10 5<br />
6.14 Schmelzpunkt fester Stoffe in °C bei p = 101325 N/m 2<br />
Aluminium 658<br />
Blei 327<br />
Chrom 1765<br />
Diamant 3500<br />
Eisen (rein) 1528<br />
Elektron 625<br />
Gold 1063<br />
Graphit 3600<br />
Iridium 2455<br />
Kupfer 1084<br />
Magnesium 655<br />
Mangan 1260<br />
Stickstoff 2,01 · 10 5<br />
Wasser 22,5 · 10 5<br />
Wasserstoff 5,0 · 10 5<br />
Messing 900<br />
Platin 1770<br />
Silber 960<br />
Wolfram 3350<br />
Zink 419<br />
Zinn 232<br />
6.15 Siede- <strong>und</strong> Kondensationspunkt einiger Stoffe in °C bei p = 101325 N/m 2<br />
Alkohol 78<br />
Benzin 95<br />
Benzol 80<br />
Blei 1525<br />
Eisen (rein) 2500<br />
Glycerin 290<br />
Gold 2650<br />
Helium – 269<br />
Kohlenoxid – 190<br />
Kupfer 2310<br />
Magnesium 1100<br />
Mangan 1900<br />
Methan – 164<br />
Quecksilber 357<br />
Sauerstoff – 183<br />
Silber 2000<br />
Stickstoff – 196<br />
Wasser 100<br />
Wasserstoff – 253<br />
Zink 915<br />
Zinn 2200<br />
6.16 Längenausdehnungskoeffizient � l fester Stoffe in 1/K zwischen 0 °C <strong>und</strong> 100 °C<br />
(Volumenausdehnungskoeffizient � V � 3 � l)<br />
Aluminium 23,5 · 10 –6<br />
Baustahl 12,0 · 10 –6<br />
Blei 92,2 · 10 –6<br />
Bronze 17,5 · 10 –6<br />
Chromstahl 11,0 · 10 –6<br />
Glas 9,0 · 10 –6<br />
Gold 14,2 · 10 –6<br />
Gusseisen 9,0 · 10 –6<br />
Invarstahl 1,6 · 10 –6<br />
Jenaer Glas 4,5 · 10 –6<br />
Kunststoffe (10 – 50) · 10 –6<br />
Kupfer 16,5 · 10 –6<br />
Magnesium 26,0 · 10 –6<br />
Messing 18,4 · 10 –6<br />
Nickel 14,1 · 10 –6<br />
Platin 8,9 · 10 –6<br />
Porzellan 3,0 · 10 –6<br />
PVC 78,1 · 10 –6<br />
Quarzglas 0,6 · 10 –6<br />
Widia 5,3 · 10 –6<br />
Wolfram 4,5 · 10 –6<br />
Zinn 23,0 · 10 –6<br />
Zinnbronze 17,8 · 10 –6<br />
Zink 30,1 · 10 –6<br />
6.17 Volumenausdehnungskoeffizient � V von Flüssigkeiten in 1/K bei 18 °C<br />
Äthylalkohol 11,0 · 10 –4<br />
Äthyläther 16,3 · 10 –4<br />
Benzol 12,4 · 10 –4<br />
Glycerin 5,0 · 10 –4<br />
Olivenöl 7,2 · 10 –4<br />
Quecksilber 1,8 · 10 –4<br />
Schwefelsäure 5,6 · 10 –4<br />
Wasser 1,8 · 10 –4
Thermodynamik<br />
Wärme-Übergangszahlen � für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen<br />
6.18 Wärmeleitzahlen � fester Stoffe bei 20 °C in 10 3<br />
Aluminium 754 (209)<br />
Asbestwolle 0,3 (0,08)<br />
Asphalt 2,5 (0,69)<br />
Bakelit 0,8 (0,22)<br />
Beton 4,6 (1,28)<br />
Blei 126 (35)<br />
Duraluminium 628 (174)<br />
Eichenholz, radial 0,6 (0,17)<br />
Eis bei 0 °C 8,1 (2,25)<br />
Eisenz<strong>und</strong>er (1000 °C) 5,9 (1,64)<br />
Fensterglas 4,2 (1,17)<br />
Fichtenholz, axial 0,84 (0,23)<br />
–, radial 0,42 (0,12)<br />
Gips, trocken 1) 1,5 (0,42)<br />
Gold 1120 (310)<br />
Graphit 500 (140)<br />
Hartgummi 0,6 (0,17)<br />
1) Mittelwerte<br />
Kesselstein, amorph 1) 4<br />
–, gipsreich 1) 5,5<br />
–, kalreich 1) 1,8<br />
Kies 1,3<br />
Kohle, amorph 0,63<br />
–, graphitisch 4,2<br />
Korkplatten 0,17<br />
Kupfer 1360<br />
Leder 0,6<br />
Linoleum 0,67<br />
Magnesium 510<br />
Marmor 10,5<br />
Messing 376<br />
Mörtel <strong>und</strong> Putz 3,4<br />
Nickel 293<br />
Nickelstahl (30% Ni) 42<br />
Porzellan 1) 4,5<br />
J<br />
W<br />
; Klammerwerte in<br />
mhK mK<br />
(1,1)<br />
(1,53)<br />
(0,5)<br />
(0,36)<br />
(0,17)<br />
(1,17)<br />
(0,05)<br />
(380)<br />
(0,17)<br />
(0,19)<br />
(142)<br />
(2,92)<br />
(104)<br />
(0,94)<br />
(81)<br />
(11,7)<br />
(1,3)<br />
Quarzglas<br />
Ruß<br />
Sandstein<br />
Schamottestein 1)<br />
–, (1000 °C)<br />
Schaumgummi 1)<br />
Schnee 1)<br />
Silber<br />
Stahl (0,1 % C)<br />
– (0,6 %C)<br />
– (V 2 A)<br />
Ziegelmauer, außen<br />
–, innen<br />
Zink<br />
Zinn<br />
6.19 Wärmeleitzahlen � von Flüssigkeiten bei 20 °C in J<br />
W<br />
; Klammerwerte in<br />
mhK mK<br />
Ammoniak 1 800 (0,5)<br />
Äthylalkohol 700 (0,19)<br />
Aceton 600 (0,17)<br />
Benzin 500 (0,14)<br />
Glycerin 1 000 (0,28)<br />
– mit 50% Wasser 1 500 (0,42)<br />
Paraffinöl 460 (0,13)<br />
Quecksilber 33 000 (9,2)<br />
5,0<br />
0,17<br />
6,7<br />
3<br />
3,6<br />
0,2<br />
0,5<br />
1500<br />
193<br />
150<br />
54<br />
3,1<br />
2,5<br />
406<br />
239<br />
(1,39)<br />
(0,8)<br />
(1,0)<br />
(0,06)<br />
(0,14)<br />
(420)<br />
(54)<br />
(42)<br />
(15)<br />
(0,86)<br />
(0,7)<br />
(113)<br />
(66)<br />
Spindelöl 500 (0,14)<br />
Transformatorenöl 460 (0,13)<br />
Wasser 2 200 (0,61)<br />
Xylol 470 (0,13)<br />
6.20 Wärmeleitzahlen � von Gasen in Abhängigkeit von der Temperatur<br />
(Ungefährwerte) in<br />
J<br />
mhK<br />
Klammerwerte in W<br />
mK<br />
0 °C 200 °C 400 °C 600 °C 800 °C 1000 °C<br />
Luft 84 (0,023) 47 (0,013) 188 (0,052) 222 (0,062) 251 (0,07) 281 (0,078)<br />
Wasserdampf 63 (0,017) 117 (0,032) 197 (0,055) 293 (0,081)<br />
Argon 59 (0,016) 92 (0,026) 126 (0,035) 155 (0,043) 184 (0,05) 209 (0,058)<br />
6.21 Wärme-Übergangszahlen � für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen<br />
(Mittelwerte)<br />
Verdampfer<br />
Überhitzer<br />
Lufterhitzer<br />
Wasservorwärmer<br />
in<br />
J<br />
m2hK � 1 = (83 ... 209) · 10 3<br />
� 2 = (210 ... 420) · 10 6<br />
� 1 = (125 ... 209) · 10 3<br />
� 1 = (42 ... 83) · 10 3<br />
� 1 = (63 ... 126) · 10 3<br />
� 2 = (210 ... 330) · 10 6<br />
zwischen Feuergas <strong>und</strong> Wand<br />
zwischen Wand <strong>und</strong> Wasser<br />
zwischen Rohrwand <strong>und</strong> Feuergas oder Dampf<br />
zwischen Blechwand <strong>und</strong> Luft oder Feuergas<br />
zwischen Feuergas <strong>und</strong> Rohrwand<br />
zwischen Rohrwand <strong>und</strong> Wasser<br />
in<br />
W<br />
m2K 23 ... 58<br />
(58 ... 117) · 10 3<br />
35 ... 58<br />
12 ... 23<br />
17 ... 35<br />
(58 ... 92) · 10 3<br />
175<br />
6
6<br />
Thermodynamik<br />
Spezifische Gaskonstante R i, Dichte r <strong>und</strong> Verhältnis � = cp / c� einiger Gase<br />
176<br />
6.22 Wärmedurchgangszahlen k bei normalem Kesselbetrieb (Mittelwerte)<br />
in<br />
J<br />
m2hK (42 ... 126) · 10 3<br />
(83 ... 209) · 10 3<br />
(83 ... 251) · 10 3<br />
(33 ... 63) · 10 3<br />
für Wasservorwärmer<br />
für Verdampferheizfläche<br />
für Berührungsüberhitzer<br />
für Plattenlufterhitzer<br />
in<br />
W<br />
m2K 11,7 ... 35<br />
23 ... 58<br />
23 ... 70<br />
9,2 ... 17,5<br />
6.23 Emissionsverhältnis � <strong>und</strong> Strahlungszahl C bei 20 °C<br />
absolut schwarzer Körper<br />
Aluminium, unbehandelt<br />
–, poliert<br />
Glas<br />
Gusseisen, ohne Gusshaut<br />
Kupfer, poliert<br />
Messing, poliert<br />
Öle<br />
Porzellan, glasiert<br />
Stahl, poliert<br />
Stahlblech, verzinkt<br />
–, verzinnt<br />
Dachpappe<br />
��<br />
1<br />
0,07 ... 0,09<br />
0,04<br />
0,93<br />
0,42<br />
0,045<br />
0,05<br />
0,82<br />
0,92<br />
0,28<br />
0,23<br />
0,06 ... 0,08<br />
0,91<br />
C in<br />
J<br />
m2hK4 20,8 · 10 –5<br />
(1,47 ... 1,88) · 10 –5<br />
0,796 · 10 –5<br />
19,3 · 10 –5<br />
8,8 · 10 –5<br />
0,92 · 10 –5<br />
1,05 · 10 –5<br />
16,96 · 10 –5<br />
19,17 · 10 –5<br />
5,86 · 10 –5<br />
4,69 · 10 –5<br />
(1,3 ... 1,7) · 10 –5<br />
18,92 · 10 –5<br />
6.24 Spezifische Gaskonstante Ri, Dichte r <strong>und</strong> Verhältnis � = p c<br />
cν J<br />
Gasart Atomzahl Ri<br />
in<br />
kg K<br />
Argon (Ar)<br />
Acetylen(C 2H 2)<br />
Ammoniak (NH 3)<br />
Helium (He)<br />
Kohlendioxid (CO 2)<br />
Kohlenoxid (CO)<br />
Luft<br />
Methan (CH 4)<br />
Sauerstoff (O 2)<br />
Stickstoff (N 2)<br />
Wasserdampf (H 2O)<br />
Wasserstoff (H 2)<br />
1<br />
4<br />
4<br />
1<br />
3<br />
2<br />
–<br />
5<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
208<br />
320<br />
488<br />
2 078<br />
189<br />
297<br />
287<br />
519<br />
260<br />
297<br />
462<br />
4 158<br />
kg 1) r in ��<br />
m3<br />
1,7821<br />
1,1607<br />
0,7598<br />
0,1786<br />
1,9634<br />
1,2495<br />
1,2922<br />
0,7152<br />
1,4276<br />
1,2499<br />
–<br />
0,0899<br />
C in<br />
W<br />
m2K4 5,78 · 10 –8<br />
(0,41 ... 0,52) · 10 –8<br />
0,22 · 10 –8<br />
5,36 · 10 –8<br />
2,44 · 10 –8<br />
0,26 · 10 –8<br />
0,29 · 10 –8<br />
4,71 · 10 –8<br />
5,32 · 10 –8<br />
1,63 · 10 –8<br />
1,30 · 10 –8<br />
(0,36 ... 0,47) · 10 –8<br />
1,66<br />
1,26<br />
1,31<br />
1,66<br />
1,30<br />
1,40<br />
1,40<br />
1,32<br />
1,31<br />
1,40<br />
1,40<br />
1,41<br />
5,26 · 10 –8<br />
einiger Gase<br />
1) N<br />
Die Werte gelten für die Temperatur von 0 °C <strong>und</strong> für einen Druck von 101325 = 1,01325 bar.<br />
2<br />
m<br />
molare Masse M<br />
in kg<br />
kmol<br />
(ger<strong>und</strong>et)<br />
40<br />
26<br />
17<br />
4<br />
44<br />
28<br />
–<br />
16<br />
32<br />
28<br />
18<br />
2
7.1 Freimachen der Bauteile<br />
Alle am freizumachenden Körper K angreifenden<br />
Bauteile B 1, B 2, B 3 ... gedanklich nacheinander<br />
wegnehmen <strong>und</strong> deren Aktionskräfte F 1, F 2, F 3 ... an K<br />
antragen. Gewichtskraft F G des Körpers K wirkt immer<br />
lotrecht nach unten <strong>und</strong> greift im Schwerpunkt S an.<br />
Angreifende Bauteile in diesem Sinn sind auch Gase,<br />
Flüssigkeiten usw. F R ist die Reibkraft.<br />
Seile, Ketten, Bänder, Riemen übertragen nur Zugkräfte<br />
in Richtung ihrer Schwerachse.<br />
Zweigelenkstäbe (Pendelstützen) übertragen ohne<br />
Rücksicht darauf, ob die Stäbe gerade oder gekrümmt<br />
sind, nur Zug- oder Druckkräfte (Axialkräfte), deren<br />
Wirklinie durch beide Gelenkpunkte verläuft. Dies gilt<br />
jedoch nur dann exakt, wenn das Eigengewicht<br />
vernachlässigt wird.<br />
Stützflächen, auch gekrümmte, übertragen je eine<br />
Normalkraft F N <strong>und</strong> eine Tangentialkraft (Reibkraft) F R.<br />
F N wirkt immer normal zur Auflagefläche. Bei gekrümmten<br />
Flächen geht die Wirklinie (WL) von F N<br />
durch den Krümmungsmittelpunkt T. Bei ebenen<br />
Flächen liegt dieser im Unendlichen. F R versucht den<br />
langsameren Körper zu beschleunigen, den schnelleren<br />
zu verlangsamen. F N <strong>und</strong> F R stehen immer<br />
rechtwinklig aufeinander.<br />
Rollen, Kugeln haben gekrümmte Stützflächen mit<br />
Krümmungsradius = Kreisradius. Normalkraft F N geht<br />
durch Berührungspunkt <strong>und</strong> Kreismittelpunkt, WL der<br />
Reibkraft ist Kreistangente.<br />
Mechanik fester Körper<br />
Freimachen der Bauteile<br />
177<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr<br />
178<br />
7.2 Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden F r<br />
(zeichnerische Ersatzaufgabe)<br />
Beim zentralen ebenen Kräftesystem:<br />
Kräfte in beliebiger Reihenfolge maßstabgerecht aneinanderreihen,<br />
so dass sich fortlaufender Kräftezug<br />
ergibt.<br />
F r ist Verbindungslinie vom Anfangspunkt A der zuerst<br />
gezeichneten Kraft zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten<br />
Kraft.<br />
Beim zentralen räumlichen Kräftesystem:<br />
Nach den Gesetzen der darstellenden Geometrie<br />
Kraftecke im Gr<strong>und</strong>- <strong>und</strong> Aufriss zeichnen, daraus<br />
wahre Größe <strong>und</strong> wahre Winkel bestimmen.<br />
Beim allgemeinen ebenen Kräftesystem:<br />
Bei schrägen Kräften durch wiederholte Parallelogrammzeichnung<br />
: F 1 <strong>und</strong> F 2 auf WL verschieben <strong>und</strong><br />
zum Schnitt bringen ergibt F r1,2, diese mit F 3 zum<br />
Schnitt bringen ergibt WL von F r.<br />
Bei parallelen oder annähernd parallelen Kräften durch<br />
Seileckverfahren. Kräfteplan der gegebenen Kräfte<br />
durch Parallelverschiebung der WL aus dem Lageplan<br />
in den Kräfteplan; F r als Verbindungslinie vom Anfangspunkt<br />
Azum Endpunkt E des Kräftezugs; Polpunkt<br />
P beliebig wählen <strong>und</strong> Polstrahlen ziehen; durch<br />
Parallelverschiebung in den Lageplan Seilstrahlen<br />
zeichnen; Anfangs- <strong>und</strong> Endseilstrahl zum Schnitt S<br />
bringen, womit ein Punkt der WL von F r gef<strong>und</strong>en ist.<br />
Beim allgemeinen räumlichen Kräftesystem:<br />
Besser die rechnerische Lösung anwenden.<br />
7.3 Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F r<br />
(rechnerische Ersatzaufgabe)<br />
Beim zentralen ebenen Kräftesystem:<br />
Zwei Kräfte, die den Winkel � einschließen, haben die<br />
Resultierende<br />
2 2<br />
Fr = F1 + F2 + 2F1F2cosα sin � =<br />
F1sinα F1sinα<br />
; β = arcsin<br />
F F<br />
r r
Mechanik fester Körper<br />
Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr<br />
Besonders bei mehreren Kräften bestimmt man die Resultierende F r durch Zerlegen aller gegebenen<br />
Kräfte in Komponenten F nx = F n · cos � n; F ny = F n · sin � n (Buchstabe „n“ steht für Zahlen 1, 2, 3 ...)<br />
nach Lageskizze.<br />
Teilresultierende F rx <strong>und</strong> F ry berechnen aus:<br />
F rx = F 1x � F 2x � F 3x � ... F nx = � F nx<br />
F ry = F 1y � F 2y � F 3y � ... F ny = � F ny<br />
Gesamtresultierende:<br />
Fr = F 2+ 2<br />
rx Fry<br />
deren Winkel zur positiven x-Achse (Richtungswinkel):<br />
Fry Fry<br />
tan �r = α r = arctan<br />
Frx Frx<br />
Beim zentralen räumlichen Kräftesystem:<br />
Wie beim zentralen ebenen Kräftesystem, mit<br />
zusätzlich dritter (z-)Richtung:<br />
Fnx = Fn cos �n Fny = Fn cos �n Frx = � Fn cos �n Fry = � Fn cos �n 2 2 2<br />
rx ry rz<br />
Fr = F + F + F<br />
F nz = F n cos � n<br />
F rz = � F n cos � n<br />
F F F<br />
� r = arccos βr = arccos γr<br />
= arccos<br />
F F F<br />
rx ry rz<br />
r r r<br />
Beim allgemeinen ebenen Kräftesystem:<br />
Betrag <strong>und</strong> Richtung der Resultierenden F r wie beim<br />
zentralen ebenen Kräftesystem, zusätzlich Lage von F r<br />
durch den<br />
Momentensatz<br />
Wirken mehrere Kräfte drehend auf einen Körper, so<br />
ist die algebraische Summe ihrer Momente gleich dem<br />
Moment der Resultierenden in Bezug auf den gleichen<br />
Drehpunkt.<br />
F r l 0 = F 1 l 1 � F 2 l 2 � ...� F n l n<br />
F 1, F 2 ... F n gegebene Kräfte oder deren Komponenten F x, F y<br />
l 0, l 1, l 2, ... l n deren Wirkabstände (�) vom gewählten (beliebigen) Drehpunkt<br />
F 1 l 1, F 2 l 2 ... F n l n die statischen Momente der gegebenen Kräfte in Bezug<br />
auf den gewählten Drehpunkt (Vorzeichen beachten)<br />
179<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte<br />
180<br />
7.4 Zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte<br />
(zeichnerische Gleichgewichtsaufgabe)<br />
Beim zentralen ebenen Kräftesystem:<br />
Das Krafteck muss sich schließen.<br />
Gegebene Kräfte in beliebiger Reihenfolge maßstäblich<br />
aneinanderreihen; gesuchte Gleichgewichtskraft<br />
F g (oder zwei Kräfte F g1, F g2) bekannter Wirklinie<br />
schließen das Krafteck.<br />
Beim zentralen räumlichen Kräftesystem:<br />
Räumliches Krafteck muss sich schließen. Nach den<br />
Gesetzen der darstellenden Geometrie Kraftecke im<br />
Gr<strong>und</strong>- <strong>und</strong> Aufriss konstruieren.<br />
Beim allgemeinen ebenen Kräftesystem:<br />
Kraft- <strong>und</strong> Seileck müssen sich schließen. Oder je<br />
nach Anzahl der beteiligten Kräfte:<br />
Zwei-Kräfteverfahren<br />
Zwei Kräfte stehen im Gleichgewicht, wenn sie gleichen<br />
Betrag <strong>und</strong> Wirklinie, jedoch entgegengesetzten<br />
Richtungssinn haben.<br />
Drei-Kräfteverfahren<br />
Drei nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn<br />
das Krafteck geschlossen ist <strong>und</strong> die Wirklinien sich in<br />
einem Punkt schneiden. WL der gegebenen Kraft F 1<br />
mit der bekannten WL der gesuchten Kraft schneiden<br />
lassen. Verbindungslinie vom Schnittpunkt S mit dem<br />
Angriffspunkt der gesuchten Kraft F 3 ist deren WL.<br />
Kräfteplan mit gegebener Kraft F 1 beginnen <strong>und</strong> mit F 2<br />
<strong>und</strong> F 3 schließen. Zweiwertige Lager können eine<br />
beliebig gerichtete Lagerkraft aufnehmen (F 3), also<br />
zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten<br />
(F 3x <strong>und</strong> F 3y).<br />
Vier-Kräfteverfahren<br />
Vier nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn<br />
die Resultierenden je zweier Kräfte ein geschlossenes<br />
Krafteck bilden <strong>und</strong> eine gemeinsame Wirklinie haben<br />
(die Culmann'sche Gerade).<br />
WL je zweier Kräfte zum Schnitt I <strong>und</strong> II bringen;<br />
Kräfteplan mit der bekannten Kraft beginnen; dann mit<br />
Culmann'scher Geraden <strong>und</strong> den WL der anderen<br />
Kräfte schließen. Voraussetzung: Alle WL sind bekannt.
Schlusslinien-Verfahren<br />
Kraft- <strong>und</strong> Seileck müssen sich schließen. Geeignet<br />
für parallele oder nahezu parallele Kräfte, die sich<br />
nicht auf der Zeichenebene zum Schnitt bringen<br />
lassen.<br />
Krafteck <strong>und</strong> Seileck zeichnen, dabei ersten Seilstrahl<br />
(0) durch zweiwertigen Lagerpunkt legen <strong>und</strong><br />
Endseilstrahl (3) mit der WL der einwertigen Stützkraft<br />
zum Schnitt bringen, ergibt „Schlusslinie S“ im<br />
Seileck, die im Krafteck (übertragen) Teilpunkt T<br />
festlegt. Stützkräfte nach zugehörigen Seilstrahlen<br />
ins Krafteck einzeichnen.<br />
7.5 Rechnerische Bestimmung unbekannter Kräfte<br />
(rechnerische Gleichgewichtsaufgabe)<br />
Beim zentralen ebenen Kräftesystem:<br />
Mechanik fester Körper<br />
Fachwerke<br />
Zerlegen aller gegebenen <strong>und</strong> gesuchten Kräfte (diese mit angenommenem Richtungssinn) in ihre<br />
Komponenten in x- <strong>und</strong> y-Richtung mit<br />
Fnx = Fn cos �n berechnen.<br />
F ny = F n sin � n<br />
Algebraische Summe aller Komponentenbeträge muss null sein. Damit stehen zwei Gleichungen zur<br />
Verfügung:<br />
� F x = 0 = F 1x � F 2x � ... F nx<br />
Beim zentralen räumlichen Kräftesystem:<br />
� F y = 0 = F 1y � F 2y � ... F ny<br />
Wie beim zentralen ebenen Kräftesystem, zusätzlich einer dritten Richtung (z-Achse) <strong>und</strong> damit auch<br />
die dritte Gleichung:<br />
� F z = 0 = F 1z � F 2z � ... F nz<br />
Beim allgemeinen ebenen Kräftesystem:<br />
Wie beim zentralen ebenen Kräftesystem; zusätzlich muss die Summe aller Momente der Komponenten<br />
um einen beliebigen Drehpunkt D null sein; damit stehen bei diesem hauptsächlichen Fall drei<br />
Gleichungen zur Verfügung:<br />
��F x = 0 � F y = 0 � M (D) = 0<br />
Beim allgemeinen räumlichen Kräftesystem:<br />
Es stehen drei Kräfte- <strong>und</strong> drei Momentgleichungen zur Verfügung.<br />
7.6 Fachwerke<br />
Jeder Knotenpunkt stellt ein zentrales Kräftesystem dar.<br />
s Anzahl der Stäbe, k Anzahl der Knoten.<br />
Bei s = 2 k – 3 ist ein Fachwerk innerlich statisch bestimmt, bei s � 2 k – 3 ist es innerlich statisch<br />
unbestimmt, bei s � 2 k – 3 ist es kinematisch unbestimmt (beweglich).<br />
181<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Schwerpunkt<br />
182<br />
7.7 Schwerpunkt<br />
Dreiecksumfang<br />
Dreieckseiten halbieren, Mittelpunkte A, B, C verbinden.<br />
S ist Mittelpunkt des dem Dreieck A, B, C einbeschriebenen<br />
Kreises.<br />
h a � b<br />
y0<br />
� �<br />
2 a � b �c<br />
Parallelogrammumfang <strong>und</strong> -fläche: S ist Schnittpunkt der Diagonalen<br />
Kreisbogen<br />
S liegt auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels 2�<br />
(Symmetrielinie).<br />
rs<br />
2<br />
y0<br />
= y01 � h für flache Bögen<br />
b<br />
3<br />
2r<br />
y0� � 0,637 r für 2 � = 180°<br />
�<br />
2 r<br />
3 r<br />
y0 � 2 � 0,9 r für 2 � = 90° y0� � 0,955 r<br />
�<br />
�<br />
Dreieckfläche<br />
S liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.<br />
1<br />
y0�h 3<br />
Liegt eine Dreiecksfläche im ebenen Achsenkreuz <strong>und</strong> sind<br />
x1, x2, x3 bzw. y1, y2, y3 die Koordinaten der Eckpunkte des<br />
Dreiecks, so sind die Koordinaten des Schwerpunkts S:<br />
1 1<br />
x0 = ( x1+ x2+ x3) y0 = ( y1+ y2+ y3)<br />
3 3<br />
Trapezfläche<br />
Gr<strong>und</strong>seiten a <strong>und</strong> b wechselseitig antragen <strong>und</strong> Endpunkte<br />
dieser Strecken verbinden, ebenso Mitten der Seiten a<br />
<strong>und</strong> b verbinden. S liegt im Schnittpunkt beider Verbindungslinien.<br />
h a+ 2b h 2a+<br />
b<br />
y0 = ⋅ y01=<br />
⋅<br />
3 a+ b 3 a+ b<br />
Kreisausschnittfläche<br />
S liegt auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels 2 �.<br />
y<br />
0<br />
2 rs<br />
� �<br />
3 b<br />
4 r<br />
y0� � 0,424 r für 2 � = 180°<br />
3 �<br />
4 r<br />
y0� 2 � 0,6r<br />
3 �<br />
für 2 � = 90° 0<br />
für 2 � = 60°<br />
2 r<br />
y � � 0,637 r für 2 � = 60°<br />
�
Kreisringstückfläche<br />
S liegt auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels 2 �.<br />
3 3<br />
y0<br />
2 2<br />
( R − r )sinα<br />
= 38,197<br />
o ( R − r ) α<br />
Kreisabschnittsfläche<br />
S liegt auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels 2 �.<br />
y0<br />
3 3<br />
2 rsin α s<br />
= ⋅ =<br />
3 arc α−sin α cos α 12 A<br />
Parabelfläche<br />
3<br />
x01 = a<br />
8<br />
3<br />
y01 = b<br />
5<br />
3<br />
x02 = a<br />
4<br />
3<br />
y02 = b<br />
10<br />
Mantel der Kugelzone <strong>und</strong> der Kugelhaube<br />
Mechanik fester Körper<br />
Schwerpunkt<br />
Die Mittelpunkte beider Stirnflächen durch eine Gerade miteinander verbinden. Der Mantelschwerpunkt<br />
liegt auf der Mitte der Verbindungsstrecke. Bei der Kugelhaube tritt an die Stelle der kleinen Stirnfläche<br />
der Kugelpol.<br />
Kegelmantel <strong>und</strong> Pyramidenmantel<br />
Kegel- oder Pyramidenspitze mit dem Schwerpunkt des Umfangs der Gr<strong>und</strong>fläche verbinden. Auf dieser<br />
Schwerlinie liegt der Mantelschwerpunkt. Sein Abstand beträgt ein Drittel der Kegel (Pyramiden-) höhe.<br />
Mantel des abgestumpften Kreiskegels<br />
Die Mitten beider Stirnflächen (Schwerlinie) verbinden. Der Schwerpunktsabstand von der Gr<strong>und</strong>fläche<br />
beträgt:<br />
h R+ 2 r<br />
y0<br />
= ⋅<br />
3 R+ r<br />
h Höhe des Kegelstumpfes, R Radius der unteren, r Radius der oberen Stirnfläche.<br />
gerades <strong>und</strong> schiefes Prisma (<strong>und</strong> Zylinder) mit<br />
parallelen Stirnflächen<br />
Körperschwerpunkt S liegt in der Mitte der Verbindungslinie<br />
der Flächenschwerpunkte S0, also<br />
h<br />
y0<br />
=<br />
2<br />
abgeschrägter gerader Kreiszylinder<br />
Körperschwerpunkt S liegt auf der x, y-Ebene als Symmetrieebene<br />
mit den Abständen:<br />
2 2 2<br />
r tanα h r tan α<br />
x0 = y0<br />
= +<br />
4h 2 8h<br />
183<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Guldin'sche Regeln<br />
184<br />
gerade <strong>und</strong> schiefe Pyramide <strong>und</strong> Kegel<br />
Die Spitze mit dem Schwerpunkt der Gr<strong>und</strong>fläche verbinden. Der Körperschwerpunkt liegt auf dieser<br />
Schwerlinie. Sein Abstand von der Gr<strong>und</strong>fläche beträgt ein Viertel der Pyramiden-(Kegel-)höhe.<br />
Pyramidenstumpf mit beliebiger Gr<strong>und</strong>fläche<br />
Der Körperschwerpunkt liegt auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte beider Stirnflächen. Sind A 1,<br />
A 2 die Stirnflächen, h die Höhe des Stumpfes, so ist der Abstand des Schwerpunkts von der unteren<br />
Stirnfläche A 1:<br />
h A1+ 2 A1A2 + 3A2<br />
y0<br />
= ⋅<br />
4 A1+ A1A2 + A2<br />
gerader <strong>und</strong> schiefer Kegelstumpf<br />
Der Körperschwerpunkt liegt auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte beider Stirnflächen. Ist h<br />
Höhe des Kegelstumpfes, R der Radius der unteren Stirnfläche, r der Radius der oberen Stirnfläche, so<br />
ist der Abstand des Schwerpunkts von der unteren Stirnfläche<br />
h R2+ 2R r + 3r2<br />
y0<br />
= ⋅<br />
4 2 2<br />
R + R r + r<br />
Keil<br />
h a+ a1<br />
y0<br />
= ⋅<br />
2 2a+<br />
a1<br />
Umdrehungsparaboloid<br />
2<br />
y0= b<br />
3<br />
Kugelabschnitt<br />
Der Körperschwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Ist R der Kugelradius, <strong>und</strong> h die Abschnittshöhe,<br />
so ist der Abstand des Schwerpunkts vom Kugelmittelpunkt<br />
2<br />
3 (2 R−h) y0<br />
= ⋅<br />
4 3R−h<br />
Kugelausschnitt<br />
3<br />
y0= R<br />
8<br />
4 4 3 R − r<br />
y0<br />
= ⋅<br />
8 3 3 R − r<br />
für Halbkugel für halbe Hohlkugel<br />
Der Körperschwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Sein Abstand vom Kugelmittelpunkt ist<br />
3 3<br />
y0= r (1+ cos α)<br />
y0= (2 r −h)<br />
8<br />
8<br />
7.8 Guldin'sche Regeln<br />
Oberfläche<br />
A Flächeninhalt der Umdrehungsfläche in cm2 x0 Schwerpunktsabstand von der Drehachse in cm<br />
l Länge der Profillinie in cm<br />
A = 2 � x 0 l<br />
Volumen<br />
V Volumen der Umdrehungsfläche in cm3 x0 Schwerpunktsabstand von der Drehachse in cm<br />
A Flächeninhalt der Profilfläche in cm2 V = 2 � x 0 A
7.9 Reibung<br />
Gleitreibung <strong>und</strong> Haftreibung<br />
F R Gleitreibkraft (F R0 Haftreibkraft), F N Normalkraft,<br />
F e Ersatzkraft (Resultierende aus Normalkraft <strong>und</strong> Reibkraft),<br />
� Reibzahl (� 0 Haftreibzahl), r Reibwinkel (r 0 Haftreibwinkel)<br />
F R = F N � F R0 max = F N � 0<br />
tan r = � = F R / F N<br />
Reibung auf schiefer Ebene<br />
tan r 0 = � 0 = F R0 max / F N<br />
Mechanik fester Körper<br />
Reibung<br />
F G Gewichtskraft des Körpers, F Verschiebe- oder Haltekraft, F R Reibkraft, F R0 Haftreibkraft,<br />
F N Normalkraft, F e Ersatzkraft aus F N <strong>und</strong> F R (F R0), Neigungswinkel � � Reibwinkel r(r 0).<br />
Selbsthemmungsbedingung<br />
Ein Körper bleibt auf schiefer Ebene solange in Ruhe, d. h. es liegt Selbsthemmung vor, solange der<br />
Neigungswinkel � einen Grenzwinkel r 0 nicht überschreitet (z. B. bei Befestigungsgewinde mit � � 3°).<br />
tan � � tan r 0<br />
tan � � � 0<br />
(Selbsthemmungsbedingung)<br />
185<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Reibung in Maschinenelementen<br />
186<br />
7.10 Reibung in Maschinenelementen<br />
Schraube<br />
F Schraubenlängskraft (z.B. Vorspannkraft)<br />
MRG Gewindereibmoment<br />
MRA Auflagereibmoment (FRa Auflagereibkraft)<br />
MA Anziehdrehmoment<br />
� Steigungswinkel am Flankenradius r2 tan � = P/2 r2 �; � = arctan (P/2 r2 �)<br />
r' Reibwinkel im Gewinde<br />
�' Reibzahl im Gewinde<br />
� Reibzahl nach 7.12<br />
P Steigung des Gewindes<br />
r2 Flankenradius<br />
ra = 1,4 r Wirkabstand der Auflagereibung<br />
r Nennradius (z.B. bei M 12: r = 6 mm)<br />
�a Reibzahl der Mutterauflage, vom Werkstoff<br />
abhängig nach 7.12<br />
� Wirkungsgrad des Schraubgetriebes<br />
� Spitzenwinkel des Gewindes<br />
( � = 30° für Trapezgewinde, � = 60° für<br />
Spitzgewinde)<br />
Zylinderführung<br />
F resultierende Verschiebekraft aus Gewichtskraft <strong>und</strong><br />
äußerer Belastung.<br />
Führungsbuchse klemmt sich fest, solange die Wirklinie<br />
von F durch die Überdeckungsfläche der beiden Reibkegel<br />
geht.<br />
Führungslänge l : l = 2 � l a<br />
Bei l � 2 � l a klemmt die Buchse fest, bei l � 2 � l a<br />
gleitet sie.<br />
M RG = Fr 2 tan (� � r')<br />
M RA = F Ra r a = F � a r a<br />
M A = M RG � M RA = F h l<br />
m A = F [r 2 tan (� � r') � � a r a]<br />
µ<br />
�' = tanr'<br />
=<br />
cos( β / 2)<br />
� =<br />
tanα<br />
tan( α + r')<br />
tan( α − r')<br />
� =<br />
tanα<br />
(�) für Anziehen (Heben)<br />
(–) für Lösen (Senken der Last)<br />
Selbsthemmung bei � � r'
Keilgetriebe<br />
sin( α + r + r )cosr<br />
Verschiebekraft: F = F1 cos( α + r + r )cos r<br />
Bei r1= r2 = r3 = r ist<br />
2 3 1<br />
1 2 3<br />
sin( α + 2 r)cosr F = F1 = F1<br />
tan( r+ 2 r)<br />
cos( α + 2 r)cosr Wirkungsgrad � bei Lastheben:<br />
tanα<br />
� =<br />
tan( α + 2 r)<br />
Selbsthemmung bei � � 2 r 0<br />
Haltekraft, die Herausdrücken des Keiles verhindert:<br />
F' = F 1 tan (� – 2 r 0)<br />
Querlager (Tragzapfen)<br />
mittlere Flächenpressung:<br />
F<br />
pm =<br />
dl<br />
Mit Zapfenreibzahl �, Zapfenradius r wird das<br />
Reibmoment:<br />
M R = F r �<br />
Mit Winkelgeschwindigkeit � = 2 � n oder mit<br />
Drehzahl n wird die Reibleistung:<br />
P R = M R � = 2 F r� � n<br />
Längslager (Spurzapfen)<br />
3 3<br />
2 r2 − r1<br />
für Hohlzapfen ist Reibmoment MR = µ F<br />
3 2 2<br />
r2 − r1<br />
Reibleistung P R = M R �<br />
2<br />
Für Vollzapfen ist MR = 2<br />
3 Fr �<br />
Rollreibung<br />
Rollkraft: Rollbedingung:<br />
f<br />
F = F1 r<br />
FR � �0 FN f<br />
oder<br />
r<br />
� �0<br />
f Hebelarm der Rollreibung: Stahlräder auf Stahlschienen f � 0,05 cm<br />
Fahrwiderstand<br />
Mechanik fester Körper<br />
Reibung in Maschinenelementen<br />
Wird ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit v auf horizontaler Bahn bewegt, so ist, abgesehen<br />
vom Luftwiderstand, außer dem Rollwiderstand noch der durch Lagerreibung entstehende Widerstand<br />
zu überwinden. Beide werden zusammengefasst zum Fahrwiderstand F f.<br />
F f = F N ��f<br />
F N gesamte Normalkraft (Anpresskraft) des Fahrzeugs. Bei horizontaler Bahn ist<br />
F N = Gewichtskraft des Fahrzeugs;<br />
��f Fahrwiderstandszahlen: Straßenbahn mit Gleitlagern 0,018<br />
Eisenbahn 0,0025 Kraftfahrzeuge auf Asphalt 0,025<br />
Straßenbahn mit Wälzlagern 0,005 Drahtseilbahn 0,01.<br />
187<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Bremsen<br />
188<br />
Seilreibung<br />
Durch Reibung F R zwischen Zugmittel <strong>und</strong> Scheibe wird Spannkraft<br />
F 1 größer als Gegenkraft F 2. Bei Gleichgewicht ist<br />
F 1 = F 2 e ��<br />
e = 2,71828 ... heißt Euler'sche Zahl<br />
o � ��rad<br />
� Reibzahl zwischen Zugmittel <strong>und</strong> Scheibe: � �<br />
o 180<br />
Umschlingungswinkel � im Bogenmaß (rad). (Werte für e�� in 7.13)<br />
Seilreibung FR ist die größte Umfangskraft, die eine Seil-, Band- oder Riemenscheibe übertragen kann:<br />
FR = F1 – F2 = F2 (e �� ( e − 1)<br />
– 1) = F1 µα e<br />
Rollen- <strong>und</strong> Flaschenzüge<br />
µα<br />
F Zugkraft, F 1 Last, s 1 Kraftweg, s 2 Lastweg, � Wirkungsgrad der festen <strong>und</strong> der losen Rolle,<br />
� r Wirkungsgrad des Rollenzugs, n Anzahl der tragenden Seilstränge.<br />
Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle)<br />
F1<br />
F =<br />
η<br />
Lose Rolle<br />
F1<br />
F =<br />
2η<br />
�� für Ketten <strong>und</strong> Seile � 0,96<br />
s 1 = 2 s 2<br />
Flaschenzug (Rollenzug)<br />
F =<br />
� r =<br />
F1<br />
1−<br />
η<br />
= F1<br />
n η η(1 − ηn<br />
)<br />
r<br />
n<br />
η(1 − η )<br />
n(1<br />
− η)<br />
s 1 = n s 2 Rollenzug mit<br />
n = 4 tragenden Seilsträngen<br />
(� r nach 7.13)<br />
7.11 Bremsen<br />
F Bremskraft in N, M Bremsmoment in Nm, P Wellenleistung in kW, � Reibzahl, sämtliche Längen l<br />
<strong>und</strong> r in m, Umschlingungswinkel in rad.<br />
Backenbremse mit überhöhtem Drehpunkt D<br />
( l1± µ l2)<br />
( + ) bei Rechtslauf<br />
F = FN l ( −)<br />
bei Linkslauf<br />
Selbsthemmung bei Linkslauf, wenn l 1 � � l 2.
Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt D<br />
( l1 � µ l2)<br />
( −)<br />
bei Rechtslauf<br />
F = FN<br />
l ( + ) bei Linkslauf<br />
Selbsthemmung bei Rechtslauf, wenn l 1 � � l 2.<br />
Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt D<br />
1<br />
F = FN l<br />
l<br />
Selbsthemmung tritt nicht auf.<br />
Die Normalkraft FN ergibt sich bei den drei Backenbremsarten<br />
aus dem Bremsmoment M:<br />
M = F R r = F N � r<br />
Einfache Bandbremse<br />
l<br />
M = FR r = Fr ( e −1)<br />
l<br />
µα<br />
1<br />
Summenbremse<br />
l e<br />
M = FR r = Fr ⋅<br />
l e<br />
1<br />
Differenzbremse<br />
µα<br />
µα<br />
−1<br />
+ 1<br />
µα e −1<br />
M = FR r = Frl<br />
µα l2 − l1e<br />
Bremszaum<br />
P = G F ln<br />
9550<br />
Bandbremszaum<br />
P = G ( F �<br />
F) rn<br />
9550<br />
Einheiten siehe Bandbremszaum<br />
P F G F r, l n<br />
kW N N m min –1<br />
Mechanik fester Körper<br />
Bremsen<br />
189<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung<br />
190<br />
7.12 Gleitreibzahl � <strong>und</strong> Haftreibzahl � 0 (Klammerwerte sind die Gradzahlen für den<br />
Reibwinkel r bzw. r 0)<br />
Werkstoff<br />
Stahl auf Stahl<br />
Stahl auf Gusseisen oder Bronze<br />
Gusseisen auf Gusseisen<br />
Holz auf Holz<br />
Holz auf Metall<br />
Lederriemen auf Gusseisen<br />
Gummiriemen auf Gusseisen<br />
Textilriemen auf Gusseisen<br />
Bremsbelag auf Stahl<br />
Lederdichtungen auf Metall<br />
Haftreibzahl � 0<br />
Gleitreibzahl �<br />
trocken gefettet trocken gefettet<br />
0,5 ( 8,5)<br />
0,19 (10,8)<br />
0,5 (26,6)<br />
0,7 (35)<br />
0,6 (31)<br />
0,1 (5,7)<br />
0,1 (5,7)<br />
0,16 (9,1)<br />
0,16 (9,1)<br />
0,11 (6,3)<br />
0,3 (16,7)<br />
0,2 (11,3)<br />
0,15 ( 8,5)<br />
0,18 (10,2)<br />
0,3 (16,7)<br />
0,5 (26,6)<br />
0,4 (21,8)<br />
0,4 (21,8)<br />
0,5 (26,6)<br />
0,2 (11,3)<br />
0,01 (0,6)<br />
0,01 (0,6)<br />
0,1 (5,7)<br />
0,08 (4,6)<br />
0,1 (5,7)<br />
0,4 (21,8)<br />
0,12 (6,8)<br />
7.13 Wirkungsgrad � r des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden<br />
Seilstränge (� = 0,96 angenommen)<br />
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
� r 0,960 0,941 0,922 0,904 0,886 0,869 0,852 0,836 0,820 0,804<br />
7.14 Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung<br />
Die Gleichungen gelten auch für den freien Fall <strong>und</strong> für den senkrechten Wurf mit Fall- oder Steighöhe<br />
h = Weg s <strong>und</strong> Fallbeschleunigung g = Beschleunigung oder Verzögerung a; g = 9,81 m/s 2 .<br />
Beschleunigung a<br />
Die Beschleunigung a ist konstant. Die rechnerische Behandlung beginnt mit dem Aufzeichnen des<br />
v, t-Diagramms, weil immer die Fläche unter der Geschwindigkeitslinie dem zurückgelegten Weg s<br />
entspricht.<br />
a =<br />
Geschwindigkeitsänderung ∆v<br />
m<br />
in<br />
Zeitabschnitt t<br />
2 s<br />
km<br />
Umrechnung von<br />
h<br />
in<br />
m<br />
s<br />
km<br />
A =<br />
h<br />
A m<br />
3,6 s<br />
A, B Zahlenwert<br />
m km<br />
B = B ⋅ 3,6<br />
Beispiel :<br />
s h<br />
km 72 m m<br />
72 = = 20<br />
h 3,6 s s<br />
m km km<br />
20 = 20 ⋅ 3,6 =<br />
72<br />
s h h
Endgeschwindigkeit<br />
v e (bei v a = 0)<br />
Endgeschwindigkeit<br />
v e (bei v a � 0)<br />
Weg s<br />
(bei v a = 0)<br />
Weg s<br />
(bei v a � 0)<br />
Zeit t<br />
(bei v a = 0)<br />
Zeit t<br />
(bei v a � 0)<br />
Beschleunigung a<br />
(bei v a = 0)<br />
Beschleunigung a<br />
(bei v a � 0)<br />
Anfangsgeschwindigkeit<br />
v a (bei v e = 0)<br />
Anfangsgeschwindigkeit<br />
v a (bei v e � 0)<br />
Weg s<br />
(bei v e = 0)<br />
Weg s<br />
(bei v e � 0)<br />
Zeit t<br />
(bei v e = 0)<br />
Zeit t<br />
(bei v e � 0)<br />
Verzögerung a<br />
(bei v e = 0)<br />
Verzögerung a<br />
(bei v e � 0)<br />
Mechanik fester Körper<br />
Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung<br />
v e = a t = 2as<br />
v e = v a ��� = v a � a t<br />
ve = +<br />
2<br />
va2as 2<br />
v 2<br />
et at ve<br />
s = = =<br />
2 2 2a<br />
2 2<br />
v + 2<br />
a ve at ve −va<br />
s = t = vat+ =<br />
2 2 2a<br />
ve 2s<br />
t = =<br />
a a<br />
2<br />
ve − va va ⎛va⎞ 2s<br />
t = =− ± ⎜ ⎟ +<br />
a a ⎝ a ⎠ a<br />
2<br />
ve ve 2s<br />
a = = =<br />
2s<br />
t 2 t<br />
2 2<br />
ve −va ve −va<br />
a = =<br />
t 2s<br />
v a = a t = 2as<br />
v a = v e ��v = v e � a t<br />
va = +<br />
2<br />
ve2as 2<br />
v 2<br />
a t at v<br />
s = = = a<br />
2 2 2a<br />
s =<br />
+ v 2<br />
a ve at<br />
t = vat −<br />
2 2<br />
t = =<br />
a v 2s<br />
a a<br />
va − ve va ⎛va⎞ 2s<br />
t = = ± ⎜ ⎟ −<br />
a a ⎝ a ⎠ a<br />
va va 2s<br />
a = = =<br />
t 2s<br />
t 2<br />
v −v v −v<br />
a = =<br />
t 2s<br />
2<br />
2 2<br />
a e a e<br />
2<br />
v, t -Diagramm v a = 0<br />
v, t -Diagramm v a � 0<br />
v, t -Diagramm v e = 0<br />
v, t -Diagramm v e � 0<br />
191<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Gleichförmige Drehbewegung<br />
192<br />
7.15 Wurfgleichungen<br />
7.15.1 Horizontaler Wurf<br />
(ohne Luftwiderstand)<br />
Geschwindigkeit v<br />
in einem Bahnpunkt<br />
Geschwindigkeit v<br />
nach Fallhöhe h<br />
Fallhöhe h<br />
nach Wurfweite w<br />
Wurfweite w<br />
17.15.2 Wurf schräg nach<br />
oben (ohne Luftwiderstand)<br />
Wurfweite w<br />
(Größtwert bei � = 45°)<br />
Wurfdauer t<br />
Wurfhöhe h<br />
Geschwindigkeit v x<br />
in x-Richtung<br />
Geschwindigkeit v y<br />
in y-Richtung<br />
7.16 Gleichförmige<br />
Drehbewegung<br />
Winkelgeschwindigkeit<br />
�<br />
Schieberweg s<br />
(Hub)<br />
Umfangsgeschwindigkeit<br />
v u<br />
Schiebergeschwindigkeit<br />
v<br />
2 2 2<br />
v = 2<br />
vx + vy = va + ( gt)<br />
v =<br />
gw<br />
h =<br />
2ν<br />
w = va<br />
w =<br />
v<br />
2<br />
va+ gh<br />
2<br />
2<br />
a<br />
2h<br />
g<br />
2<br />
a sin2<br />
g<br />
Gleichung der<br />
Wurfbahn<br />
α<br />
w 2vasinα t = =<br />
v cos α g<br />
a<br />
v<br />
h =<br />
2 2<br />
a α sin<br />
2g<br />
v x = v a cos �<br />
�<br />
�<br />
v y = v a sin � – g t<br />
v<br />
t r<br />
� = 2 � n = ϕ u<br />
=<br />
s = r (1 – cos �)<br />
�<br />
�<br />
vu = r � � r � d�n � 2�rn<br />
t<br />
�<br />
�<br />
v = r � sin �<br />
vmax = vu
Drehwinkel �<br />
(z Anzahl der<br />
Umdrehungen)<br />
Umfangsgeschwindigkeit<br />
v u<br />
Winkelgeschwindigkeit<br />
�<br />
7.17 Gleichmäßig<br />
beschleunigte<br />
(verzögerte)<br />
Kreisbewegung<br />
Winkelbeschleunigung ��<br />
Endwinkelgeschwindigkeit<br />
� e<br />
(bei � a = 0)<br />
Endwinkelgeschwindigkeit<br />
� e (bei � a � 0)<br />
Drehwinkel �<br />
(bei � a = 0)<br />
Drehwinkel �<br />
(bei � a � 0)<br />
Zeit t<br />
(bei � a = 0)<br />
Zeit t<br />
(bei � a � 0)<br />
Winkelbeschleunigung �<br />
(bei � a = 0)<br />
Mechanik fester Körper<br />
Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Kreisbewegung<br />
� = � t = 2 � z m<br />
s<br />
v u, v �, n t r, s �� z<br />
rad<br />
s<br />
s m rad 1<br />
In der Technik sind als Zahlenwertgleichungen gebräuchlich:<br />
�dn<br />
vu =<br />
1000<br />
�dn<br />
vu =<br />
60000<br />
�n<br />
� = � 0,1n<br />
30<br />
v u d n<br />
m<br />
min<br />
mm min –1<br />
v u d n<br />
m<br />
s<br />
� n<br />
rad<br />
s<br />
mm min –1<br />
min –1<br />
Die Winkelbeschleunigung � ist konstant. Die rechnerische Behandlung<br />
beginnt mit dem Aufzeichnen des �, t-Diagramms (� Winkelgeschwindigkeit),<br />
weil immer die Fläche unter der Winkelgeschwindigkeitslinie<br />
dem überstrichenen Drehwinkel � entspricht.<br />
� =<br />
Winkelgeschwindigkeitsänderung ��<br />
rad<br />
in<br />
Zeitabschnitt t<br />
2 s<br />
� e = � t = 2��<br />
� e = � a ��� = � a � ��t<br />
2<br />
a<br />
�e = ω + 2αϕ<br />
ω ω<br />
� = α ette = =<br />
2 2 2α<br />
2<br />
ω ω ω ω<br />
� = α<br />
a + e t e − a<br />
t = ωa<br />
t+<br />
=<br />
2 2 2α<br />
�<br />
t = e 2�<br />
�<br />
� �<br />
� 2<br />
t = e � �a � � a �a 2�<br />
�<br />
�� � �<br />
� � �<br />
� �<br />
� � �<br />
� �<br />
ωe ωe 2ϕ<br />
� = = =<br />
t 2ϕ<br />
t 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
�, t -Diagramm bei � a = 0<br />
�, t -Diagramm bei � a � 0<br />
193<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Sinusschwingung (harmonische Schwingung)<br />
Winkelbeschleunigung �<br />
(bei � a � 0)<br />
Anfangswinkel-<br />
geschwindigkeit � a<br />
(bei � e = 0)<br />
Anfangswinkel-<br />
geschwindigkeit � a<br />
(bei � e � 0)<br />
Drehwinkel �<br />
(bei � e = 0)<br />
Drehwinkel �<br />
(bei � e � 0)<br />
Zeit t<br />
(bei � e = 0)<br />
Zeit t<br />
(bei � e � 0)<br />
Winkelverzögerung �<br />
(bei � e = 0)<br />
Winkelverzögerung �<br />
(bei � e � 0)<br />
Tangentialbeschleunigung<br />
oder -verzögerung a T<br />
194<br />
7.18 Sinusschwingung<br />
(harmonische<br />
Schwingung)<br />
Periodische<br />
Schwingung<br />
Sinusschwingung<br />
(harmonische<br />
Schwingung)<br />
2 2<br />
ωe −ωa ωe −ωa<br />
� = =<br />
t 2ϕ<br />
� a = � t = 2αϕ<br />
� a = � e ��� = � e � ��t<br />
� a =<br />
2<br />
e + 2<br />
ω αϕ<br />
2<br />
ω 2<br />
atαtωa � = = =<br />
2 2 2α<br />
ω 2<br />
a + ωe αt<br />
� = t = ωa<br />
t−<br />
2 2<br />
ωa 2ϕ<br />
t = =<br />
α α<br />
2<br />
ωa − ωe ωa ⎛ωa⎞ 2ϕ<br />
t = = ± ⎜ ⎟ −<br />
α α ⎝ α ⎠ α<br />
2<br />
ωa ωa 2ϕ<br />
� = = =<br />
t 2ϕ<br />
2 t<br />
2 2<br />
ωa −ωe ωa −ωe<br />
� = =<br />
t 2ϕ<br />
aT = ω ∆ r<br />
= α = u ∆v<br />
r<br />
t t<br />
liegt vor, wenn sich eine physikalische<br />
Größe (z. B. Auslenkung y eines Punktes)<br />
zeitlich so verändert, dass sich der Vorgang<br />
nach Periodendauer T (Schwingungsdauer)<br />
in genau gleicher Weise<br />
wiederholt.<br />
�, t -Diagramm bei � e = 0<br />
�, t -Diagramm bei � e � 0<br />
ist Sonderfall einer periodischen Schwingung, z. B. eine lineare<br />
Schwingung, die sich als seitliche Projektion eines gleichförmig auf<br />
der Kreisbahn umlaufenden Punktes darstellen lässt.
Zusammenhang zwischen<br />
periodischer Schwingung<br />
<strong>und</strong> Sinusschwingung<br />
Differenzialgleichung der<br />
freien ungedämpften<br />
Schwingung<br />
Phase<br />
Auslenkung y<br />
Amplitude A<br />
Periodendauer T<br />
(Schwingungsdauer)<br />
Frequenz f<br />
Kreisfrequenz ��<br />
Auslenkung y,<br />
Geschwindigkeit v y<br />
<strong>und</strong><br />
Beschleunigung a y eines<br />
harmonisch schwingenden<br />
Punktes<br />
Schwingungsbeginn bei<br />
Phasenwinkel �� 0<br />
Auslenkung-Zeit-<br />
Diagramm<br />
Mechanik fester Körper<br />
Sinusschwingung (harmonische Schwingung)<br />
Jede periodische Schwingung lässt sich durch eine Fourier-Entwicklung<br />
in Sinusschwingungen zerlegen:<br />
A 0<br />
y(t) = + ∑Ancos( nωt) + ∑Bnsin(<br />
nωt) 2<br />
my�� � Ry = 0 für geradlinige Schwingbewegung<br />
J��� � R� = 0 für Drehbewegung<br />
m Masse des Schwingers, y Auslenkung, R Federrate, J Trägheitsmoment,<br />
� Drehwinkel<br />
Phase ist der Winkel � im Bogenmaß (rad), den der umlaufende Punkt<br />
im Zeitabschnitt t durchläuft:<br />
� = � t = 2 � f t = 2 � z<br />
y ist die momentane Entfernung des schwingenden Punktes von der<br />
Nulllage (Mittellage, Gleichgewichtslage)<br />
A (Schwingungsweite) ist die maximale Auslenkung y max aus der<br />
Nulllage. Bei ungedämpfter Schwingung ist A = konstant.<br />
t gemessener Zeitabschnitt<br />
T � � T ist die Zeit für eine volle<br />
z Anzahl der Schwingungen<br />
Schwingung<br />
f (Schwingungszahl) ist der Quotient aus der Anzahl z der Schwingungen<br />
<strong>und</strong> dem zugehörigen Zeitabschnitt t:<br />
z 1 �<br />
f T, t z �� �� n A, y vy ay f � � �<br />
t T 2�<br />
1<br />
1 1 m m<br />
s 1 rad m<br />
s<br />
s s s s2<br />
z 2�<br />
� = 2 � n = 2� � 2�f�<br />
t T<br />
2�<br />
t<br />
y = Asin( � t) � Asin(2 �ft) � A sin<br />
T<br />
v y =<br />
2�<br />
t<br />
A�cos( �t) � A�cos(2 �ft) � A�cos<br />
T<br />
Aω sin( ωt) Aω sin(2 ft) 2 t<br />
Aω sin<br />
T<br />
yω<br />
ay = 2 2 2 π<br />
− =− π =− =− 2<br />
y = A sin (� ��� 0) = A sin (�t ��� 0)<br />
195<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Pendelgleichungen<br />
Geschwindigkeit-Zeit-<br />
Diagramm<br />
Beschleunigung-Zeit-<br />
Diagramm<br />
196<br />
7.19 Pendelgleichungen<br />
Pendelart<br />
Rückstellkraft F R<br />
Rückstellmoment M R<br />
Richtgröße D<br />
Federrate R F, R T<br />
Periodendauer T<br />
maximale<br />
Geschwindigkeit v 0<br />
maximale<br />
Winkelgeschwindigkeit<br />
� 0<br />
Schwerependel Schraubenfederpendel Torsionspendel<br />
F R = F G sin � =<br />
= mg sin �<br />
FR = mg s = Ds<br />
l<br />
D = mg<br />
l<br />
T = 2π<br />
g<br />
l<br />
v 0 = 2 gl(1−cos α max)<br />
gilt bis � max � 14°<br />
4π<br />
FR = RF y = m y<br />
2 T<br />
R F =<br />
2 4 π<br />
2<br />
m T<br />
2<br />
R T =<br />
m<br />
T = 2 π T = 2 π<br />
R F<br />
v 0 =<br />
R F<br />
A<br />
m<br />
M R = R T �<br />
M R p<br />
ϕ =<br />
I<br />
∆ l<br />
G<br />
(G Schubmodul, I p polares<br />
Flächenmoment 2.Grades)<br />
J<br />
R T<br />
J Trägheitsmoment<br />
� 0 =<br />
R T ϕ<br />
J<br />
J Trägheitsmoment
experimentelle<br />
Bestimmung des<br />
Trägheitsmomentes<br />
J 2 eines Körpers<br />
Einheiten der<br />
vorkommenden<br />
physikalischen Größen<br />
7.20 Schubkurbelgetriebe<br />
(für � = konstant<br />
= �n/30)<br />
Umfangs-<br />
geschwindigkeit v u<br />
Kolbenweg s<br />
(�) für Hingang<br />
(–) für Rückgang<br />
Schubstangenverhältnis �<br />
Kolbengeschwindigkeit v<br />
(�) für Hingang<br />
(–) für Rückgang<br />
mittlere<br />
Geschwindigkeit v m<br />
Kolbenbeschleunigung a<br />
(�) für Hingang<br />
(–) für Rückgang<br />
2 2<br />
2 1<br />
T −T<br />
J2 = J1 2<br />
T<br />
1<br />
J 1 bekanntes Trägheitsmoment<br />
J 2 unbekanntes Trägheitsmoment<br />
T 1 gemessene Schwingungsdauer<br />
bei Körper 1 allein<br />
T 2 bei Körper 1 <strong>und</strong> 2 zusammen<br />
�<br />
Mechanik fester Körper<br />
Schubkurbelgetriebe<br />
F R, F G M R m g l, s, y, A R F R T �� T �� J v 0 � 0<br />
N Nm<br />
rad kg m<br />
2 s<br />
π hn<br />
vu = � r =<br />
60<br />
m<br />
N<br />
m<br />
s = r (1 – cos �) � l (1 – cos �)<br />
s � r (1 – cos � � 0,5 � sin 2 �)<br />
Kurbelradius r<br />
� =<br />
Länge der Schubstange l<br />
Nm<br />
rad<br />
�<br />
�<br />
v = v u (sin � � 0,5 � sin 2 �)<br />
v = � r (sin � t � 0,5 � sin 2 � t)<br />
v max = v u (1 � 0,5 � 2 ) = � r (1 � 0,5 � 2 )<br />
hn<br />
vm =<br />
30<br />
2<br />
vu<br />
a = (cosϕ ± λcos2 ϕ)<br />
rad s<br />
1<br />
s<br />
kgm2 m<br />
s<br />
v u, v m, v �� a h, r, s, l �� n<br />
m<br />
s<br />
r<br />
a = � 2 r (cos � t � � cos 2 � t)<br />
a max = � 2 r (1 � �) in den Totlagen<br />
1<br />
s<br />
m<br />
2 s<br />
1<br />
s<br />
m 1 min –1<br />
197<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Gerader zentrischer Stoß<br />
198<br />
7.21 Gerader zentrischer<br />
Stoß<br />
Stoßzahl k<br />
Stoßzahlbestimmung<br />
gemeinsame<br />
Geschwindigkeit c<br />
Geschwindigkeiten c 1, c 2<br />
nach dem Stoß<br />
Energieverlust �W<br />
beim Stoß<br />
Energieverlust �W<br />
beim vollkommen<br />
unelastischen Stoß<br />
Geschwindigkeiten c 1, c 2<br />
nach dem vollkommen<br />
elastischen Stoß<br />
Sonderfälle<br />
Zwei Körper der Masse m 1, m 2 bewegen<br />
sich vor dem Stoß in Richtung<br />
der Stoßlinie mit den Geschwindigkeiten<br />
v 1 � v 2. Gemeinsamer<br />
Berührungspunkt <strong>und</strong> die Schwerpunkte<br />
beider Körper liegen auf<br />
der Stoßlinie. Nach erstem Stoßabschnitt<br />
(Stoßkraft F = F max) haben<br />
beide Körper die Geschwindigkeit c, nach zweitem Stoßabschnitt (F = 0)<br />
die Geschwindigkeiten c 1, c 2.<br />
c2 − c1<br />
k =<br />
v1−v2 k = 15<br />
16<br />
8<br />
für Glas, für Elfenbein,<br />
9<br />
5<br />
1<br />
für Stahl <strong>und</strong> Kork, für Holz<br />
9 2<br />
k = 0 vollkommen unelastischer Stoß; �W = 0 (�W Energieverlust)<br />
k = 1 vollkommen elastischer Stoß<br />
allgemeiner Fall: 0 � k � 1<br />
k =<br />
c =<br />
h1<br />
h<br />
h freie Fallhöhe einer Kugel auf<br />
waagerechte Platte aus gleichem<br />
Material<br />
h 1 Rücksprunghöhe der Kugel<br />
mv 1 1+ m2v2 c, v m k W<br />
m1+ m2 m<br />
s<br />
kg 1 J<br />
mv 1 1+ m2v2 −m2( v1−v2) k<br />
c1 =<br />
m1+ m2<br />
mv 1 1+ m2v2+ m1( v1−v2) k<br />
c2 =<br />
m1+ m2<br />
mm 1 2<br />
�W = ( v − 2 − 2<br />
1 v2) (1 k )<br />
2( m1+ m2)<br />
k = 0 c 1 = c 2 = c<br />
mm 1 2 2<br />
�W = ( v1−v2) 2( m1+ m2)<br />
k = 1 �W = 0<br />
( m1− m2) v1+ 2m2v2<br />
c1 =<br />
m1+ m2<br />
bei m 1 = m 2 wird c 1 = v 2 <strong>und</strong> c 2 = v 1<br />
Für Schmieden <strong>und</strong> Nieten muss �W<br />
möglichst groß sein (m 2 � m 1)<br />
( m2 − m1) v2+ 2m1v1<br />
c2 =<br />
m1+ m2<br />
bei m 2 = � <strong>und</strong> v 2 = 0 wird c 1 = – v 1<br />
bei m 1 = � <strong>und</strong> v 2 = 0 wird c 2 = 2 v 1
7.22 Mechanische<br />
Arbeit W<br />
kohärente Einheit<br />
(gesetzliche Einheit,<br />
zugleich SI-Einheit)<br />
Arbeit W der konstanten<br />
Kraft F<br />
Arbeit W der<br />
Gewichtskraft F G<br />
(Hubarbeit)<br />
Reibungsarbeit W R<br />
auf schiefer Ebene<br />
mit Winkel �, Kraft F<br />
parallel zur Bahn<br />
Kraft F<br />
waagerecht<br />
Die mechanische Teilarbeit<br />
�W einer den Körper bewegenden<br />
Kraft F ist das<br />
Produkt aus dem Wegabschnitt<br />
�s <strong>und</strong> der Kraftkomponente<br />
F in Wegrichtung.<br />
Die Gesamtarbeit W ist die<br />
Summe aller Teilarbeiten<br />
�W :<br />
∑ ∑<br />
Mechanik fester Körper<br />
Mechanische Arbeit W<br />
Arbeit W einer veränderlichen Kraft<br />
W = ∆W = F∆s = F ∆s + F ∆s + ... F ∆s<br />
1 1 2 2 n n<br />
Die von der Kraft F oder dem Drehmoment M verrichtete Arbeit W<br />
entspricht immer der Fläche unter der Kraft- oder Momentenlinie im<br />
Kraft-Weg-Diagramm oder im Moment-Drehwinkel-Diagramm.<br />
1 Joule (J) = 1 Wattsek<strong>und</strong>e (Ws)<br />
kgm kgm<br />
1 J = 1 m=<br />
2 2 s s<br />
1 J = 1 N = 1 Ws<br />
W = Fs cos �<br />
W = Fs (für � = 0°)<br />
W FG m g h<br />
W = FG h = mgh<br />
J = Nm N kg<br />
m<br />
2 s m<br />
F G Gewichtskraft des Körpers<br />
m Masse des Körpers<br />
h Hubhöhe<br />
W R = F R s � Reibzahl nach 7.12<br />
W R = F G � s cos � = mg � s cos ��<br />
W R F R, F G m g s<br />
m<br />
J =Nm N kg 2 s<br />
W R = F R s<br />
W R = � s (F G cos � � F sin �)<br />
2<br />
m<br />
199<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Leistung P, Übersetzung i <strong>und</strong> Wirkungsgrad �<br />
Formänderungsarbeit Wf R Federrate<br />
(Federsteifigkeit)<br />
Arbeit W eines<br />
konstanten<br />
Drehmoments M<br />
F T Tangentialkraft<br />
z Anzahl der Umdrehungen<br />
Beschleunigungsarbeit<br />
W b eines konstanten<br />
Kraftmoments M<br />
200<br />
7.23 Leistung P, Übersetzung<br />
i <strong>und</strong><br />
Wirkungsgrad ��<br />
P trans bei geradliniger<br />
Bewegung<br />
P rot bei Drehbewegung<br />
Zahlenwertgleichungen<br />
für Leistung P <strong>und</strong><br />
Drehmoment M<br />
Wirkungsgrad �<br />
M1 Antriebsmoment<br />
M2 Abtriebsmoment<br />
i Übersetzung<br />
Gesamtwirkungsgrad � ges<br />
Übersetzung i<br />
W f =<br />
W f =<br />
F + F F −F<br />
F F<br />
∆s;<br />
R=<br />
= =<br />
2<br />
∆s<br />
s s<br />
1 2 2 1 2 1<br />
R 2 2<br />
( s2 − s1<br />
)<br />
2<br />
W f F 1, F 2 s 1, s 2 R<br />
J = Nm N m<br />
W = M �<br />
W = F T 2 � r z<br />
N<br />
m<br />
W M �� F T r z<br />
J = Nm Nm<br />
rad<br />
J 2 2<br />
W = ( ω2 − ω1<br />
)<br />
2<br />
rad N m 1<br />
2 1<br />
W b J ��<br />
J = Nm kgm 2 1<br />
s<br />
� 1 , � 2 Winkelgeschwindigkeit vor oder nach dem Beschleunigungs-<br />
oder Verzögerungsvorgang<br />
W Fs<br />
Ptrans = = = Fv<br />
t t<br />
P trans F v<br />
J Nm<br />
= = W N<br />
s s<br />
m<br />
s<br />
P rot M n, �<br />
Prot = M � = 2 ��Mn Nm<br />
J= = W Nm<br />
s<br />
Mn<br />
P =<br />
9550<br />
M = 9550 P<br />
n<br />
� =<br />
P M n<br />
1<br />
s<br />
kW Nm min –1<br />
Nutzarbeit Wn Nutzleistung Pn<br />
= � 1<br />
zugeführte Arbeit W zugeführte Leistung P<br />
M2<br />
1<br />
� =<br />
M i<br />
⋅ M2 = M1 �ges iges 1<br />
� ges = � 1 � 2 � 3 ... � n � 1<br />
i =<br />
n ω d d z<br />
= = = =<br />
n ω d d z<br />
1 1 2 02 2<br />
2 2 1 01 1<br />
1<br />
z z<br />
M2<br />
M2<br />
1<br />
i = (ohne Reibung) i = ⋅ (mit Reibung)<br />
M M η<br />
1 res
7.24 Dynamik der Verschiebebewegung<br />
(Translation)<br />
Dynamisches<br />
Gr<strong>und</strong>gesetz,<br />
allgemein<br />
Dynamisches Gr<strong>und</strong>gesetz<br />
für freien Fall<br />
Dynamisches<br />
Gr<strong>und</strong>gesetz für<br />
Tangenten- <strong>und</strong><br />
Normalenrichtung<br />
F N Zentripetalkraft<br />
r Krümmungsradius<br />
(für Kreisbogen ist r = r )<br />
Energieerhaltungssatz<br />
potenzielle Energie E p<br />
(Energie der Lage)<br />
kinetische Energie E k<br />
(Bewegungsenergie)<br />
Impulserhaltungssatz<br />
(Antriebssatz)<br />
d'Alembert'scher Satz<br />
F res = ma<br />
F res, F G m a, g<br />
kgm<br />
N =<br />
s2<br />
F G = mg<br />
F Gn = mg n<br />
m<br />
kg<br />
s2<br />
v 2<br />
FN = ma = = ω 2<br />
N m mr<br />
r<br />
F T = ma T<br />
F N, F T m a N, a T v r ��<br />
kgm<br />
N =<br />
2 s<br />
m<br />
kg 2 s<br />
m<br />
s<br />
Mechanik fester Körper<br />
Dynamik der Verschiebebewegung<br />
Fres ist Resultierende der Kräftegruppe in<br />
Beschleunigungsrichtung<br />
m Masse des Körpers<br />
a Beschleunigung<br />
g Fallbeschleunigung<br />
m<br />
gn Normfallbeschleunigung = 9,80665<br />
2<br />
s<br />
FGn Normgewichtskraft des Körpers<br />
m 1<br />
s<br />
E E � E A � W z – W a<br />
Energie am Ende Energie am Anfang zugeführte abgeführte<br />
= + −<br />
des Vorganges des Vorganges Arbeit Arbeit<br />
E p = F G h = mgh<br />
m 2 2<br />
Ek = ( ν2 − ν1<br />
)<br />
2<br />
Ek = Beschleunigungsarbeit<br />
Wb F res (t 2 – t 1) = m (v 2 – v 1)<br />
für den „kräftefreien“<br />
Körper (F res = 0) gilt<br />
m v 2 – m v 1 = 0<br />
m v 1 = m v 2 = konstant<br />
(meist Reibarbeit W R )<br />
E m g h F G v 1, v 2<br />
m<br />
J = Nm = Ws kg 2 s<br />
m N<br />
m<br />
s<br />
F res t m v�<br />
kgm<br />
N =<br />
2 s<br />
Körper freimachen, Beschleunigungsrichtung<br />
eintragen, Trägheitskraft<br />
T = ma<br />
entgegengesetzt zur Beschleunigungsrichtung<br />
eintragen,<br />
Gleichgewichtsbedingungen unter Einschluss<br />
der Trägheitskraft (oder -kräfte) ansetzen.<br />
�<br />
�<br />
s kg m<br />
s<br />
T m a<br />
kgm<br />
N =<br />
2 s<br />
kg<br />
m<br />
2 s<br />
201<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Dynamik der Drehung<br />
202<br />
7.25 Dynamik der<br />
Drehung (Rotation)<br />
Dynamisches Gr<strong>und</strong>gesetz,<br />
allgemein<br />
Trägheitsmoment J<br />
Definitionsgleichung<br />
Verschiebesatz<br />
(Steiner)<br />
Trägheitsradius i<br />
Reduktion der Trägheitsmomente<br />
J 1, J 2 ... bei<br />
Getrieben<br />
resultierendes<br />
Beschleunigungsmoment<br />
M res der Antriebsachse 1<br />
Drehenergie E<br />
(Drehwucht)<br />
Energieerhaltungssatz<br />
der Drehung<br />
Impulserhaltungssatz<br />
(Antriebssatz)<br />
für den „kräftefreien“<br />
Körper (M res = 0) gilt<br />
Fliehkraft F z<br />
M res = J ��<br />
M res resultierendes Drehmoment<br />
J Trägheitsmoment nach 7.26<br />
� Winkelbeschleunigung<br />
M res J ��<br />
kgm<br />
Nm =<br />
s2<br />
J = ��mr 2 Berechnungsgleichungen in 7.26<br />
J = dm 2 ∫ r<br />
J 0 = J s � m l 2<br />
J0 Trägheitsmoment für gegebene parallele<br />
Drehachse 0 – 0<br />
Js Trägheitsmoment für parallele Schwerachse<br />
S – S<br />
m l 2 Masse m mal Abstandsquadrat der beiden<br />
Achsen<br />
i =<br />
J<br />
m<br />
i =<br />
Di<br />
2<br />
2 2<br />
⎛n⎞ ⎛<br />
2 n ⎞<br />
3<br />
Jred = J1+ J2⎜ ⎟ + J3⎜<br />
⎟ + ...<br />
⎝n1⎠ ⎝n1⎠ M res = J red � 1<br />
E =<br />
2<br />
kgm 2<br />
i, D i J m<br />
m kgm 2 kg<br />
n Drehzahl<br />
J 2 2<br />
( ω2 − ω1<br />
) = Beschleunigungsarbeit Wb<br />
2<br />
J 2<br />
ω2 �<br />
2<br />
1<br />
s2<br />
� 1 Winkelbeschleunigung<br />
J 2<br />
ω1 � Mres �<br />
2<br />
Drehwucht amEnde Drehwucht am Anfang zu-oder abgeführter Arbeit des<br />
= ±<br />
des Vorganges des Vorganges resultierendenMomentsallerKräfte<br />
M res (t 2 – t 1) = J (� 2 – � 1)<br />
J � 2 – J � 1 = 0<br />
J � 1 – J � 2 = konstant<br />
Fz = m rs ��2 v<br />
= m<br />
r<br />
F z m r s �� v<br />
kgm<br />
N =<br />
2 s<br />
kg m<br />
2<br />
s<br />
1<br />
s<br />
m<br />
s<br />
�<br />
M res t J ��<br />
J = Nm = Ws s kgm 2 1<br />
s<br />
r s Abstand des Körperschwerpunkts S<br />
von Drehachse<br />
� Winkelgeschwindigkeit<br />
v Umfangsgeschwindigkeit des<br />
Schwerpunkts um die Drehachse
Mechanik fester Körper<br />
Gleichungen für Trägheitsmomente J<br />
7.26 Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmomente 2. Grades)<br />
Art des Körpers Trägheitsmoment J (J x um die x-Achse; J z um die z-Achse); r Dichte<br />
Rechteck, Quader 1 1<br />
Jx = mb2+ h2 = rhbsb2+<br />
h2<br />
12 12<br />
Kreiszylinder<br />
Hohlzylinder<br />
( ) ( )<br />
bei geringer Plattendicke s ist<br />
1 2 1 3 1 2 1 3<br />
12 12 0 3 3<br />
Jz = mh = rbhsJ= mh = rbhs<br />
a<br />
Würfel mit Seitenlänge a: Jx = Jz = m<br />
6<br />
1 2 1 2 1 4 1 4<br />
2 8 32 2<br />
Jx = mr = md = rπdh= rπrh<br />
J z =<br />
J x =<br />
J x =<br />
J z =<br />
Kreiskegel J x =<br />
Zylindermantel<br />
Kugel<br />
Hohlkugel (Kugelschale)<br />
Ring<br />
1 2 4 2 1 2 2 4<br />
md + h = r π d hd + h2<br />
16 3 64 3<br />
( ) ( )<br />
1 2 2 1 2 2 1<br />
mR + r = mD + d = r π hD4−d 4<br />
2 8 32<br />
( ) ( ) ( )<br />
1 4 4<br />
r π hR ( − r )<br />
2<br />
1 2 2 1 2 1 2 2 4 2<br />
mR + r + h = mD + d + h<br />
4 3 16 3<br />
3 2<br />
10 mr<br />
( ) ( )<br />
Kreiskegelstumpf: J x =<br />
J x =<br />
J z =<br />
1 2 1 3<br />
md 4 m = r π d 4 m hs<br />
3<br />
5 5 R − r<br />
10 3 3<br />
m<br />
R − r<br />
1 2 2 2 1 2 2 2<br />
md ( 8 m + h ) = r π d 3 8 mhsd ( m + h ) 3<br />
Hohlzylinder mit Wanddicke s = 1<br />
(D – d ) sehr klein im Verhältnis<br />
2<br />
zum mittleren Durchmesser dm = 1<br />
(D � h)<br />
2<br />
J x =<br />
J x = J z =<br />
2 2 1 2 1 5 8<br />
mr = md = rπd= rπr5<br />
5 10 60 15<br />
1 2 1 4<br />
md 6 m = r π d 6 m s<br />
Wanddicke s = 1<br />
(D – d) sehr klein im Verhältnis<br />
2<br />
zum mittleren Durchmesser dm = 1<br />
(D � d)<br />
2<br />
3 1 3<br />
Jz = mR ( 2+ r 2) = mD ( 2+ d 2)<br />
m = 2 � 4 4 4<br />
2 r 2 Rr�<br />
Jz = ( ) 2<br />
1 2 2 2 3 2 1 2 3<br />
π<br />
J x =<br />
d<br />
r Dd ( D + d ) = mD 1+ 16 4 4 4 D<br />
1 ma ( 2+ b2)<br />
20<br />
2<br />
⎡ ⎤<br />
⎢⎣ ⎥⎦<br />
203<br />
7
7<br />
Mechanik fester Körper<br />
Größen <strong>und</strong> Definitionsgleichungen für Schiebung <strong>und</strong> Drehung<br />
204<br />
7.27 Gegenüberstellung einander entsprechender Größen <strong>und</strong><br />
Definitionsgleichungen für Schiebung <strong>und</strong> Drehung<br />
Geradlinige (translatorische) Bewegung Drehende (rotatorische) Bewegung<br />
Größe Definitionsgleichung Einheit Größe Definitionsgleichung Einheit<br />
Weg s Basisgröße m Drehwinkel �<br />
Bogen b<br />
Radius r<br />
Zeit t Basisgröße s Zeit t Basisgröße s<br />
Masse m Basisgröße kg<br />
Geschwindigkeit<br />
v<br />
Beschleunigung<br />
a<br />
Beschleunigungskraft<br />
F res<br />
ds⎛ ∆s⎞<br />
v = ⎜= ⎟<br />
dt ⎝ ∆t<br />
⎠<br />
dv⎛ ∆v⎞<br />
a = ⎜= ⎟<br />
dt ⎝ ∆t<br />
⎠<br />
F res = m a N =<br />
m<br />
s<br />
m<br />
s2<br />
kgm<br />
2 s<br />
Trägheitsmoment<br />
J<br />
Winkelgeschwindigkeit<br />
�<br />
Winkelbeschleunigung<br />
�<br />
Beschleunigungsmoment<br />
M res<br />
rad = 1<br />
J = � dm r 2 kgm 2<br />
� = d ϕ ⎛ ∆ϕ<br />
⎞<br />
⎜= ⎟<br />
dt ⎝ ∆t<br />
⎠<br />
rad 1<br />
s s<br />
=<br />
� = d ω ⎛ ∆ω⎞<br />
rad 1<br />
⎜= ⎟<br />
dt ⎝ ∆t ⎠ s2 s2<br />
=<br />
2 kgm<br />
Mres = J � Nm =<br />
2 s<br />
Arbeit W trans W trans = F s J = Nm = Ws Arbeit W rot W rot = M � J = Nm = Ws<br />
Leistung<br />
P trans<br />
Wucht<br />
W trans<br />
Wtrans<br />
Ptrans = = Fv<br />
t<br />
m 2<br />
Wtrans = v 2 kgm<br />
Nm =<br />
2<br />
2 s<br />
Arbeitssatz<br />
(Wuchtsatz) W m 2<br />
2 2 kgm<br />
trans = ( v2 −v1<br />
) Nm =<br />
2<br />
2 s<br />
Impulserhaltungssatz<br />
F res (t 2 – t 1) = m (v 2 – v 1)<br />
Kraftstoß = Impulsänderung<br />
J Nm<br />
= = W Leistung Prot Prot =<br />
s s<br />
Wrot M<br />
t<br />
ω<br />
J Nm<br />
= = W<br />
s s<br />
J<br />
Drehwucht Wrot Wrot = ω 2<br />
Nm =<br />
2<br />
2 kgm<br />
2 s<br />
Arbeitssatz<br />
(Wuchtsatz) W J 2<br />
2 2 kgm<br />
rot = ( ω2 − ω1<br />
) Nm =<br />
2<br />
2 s<br />
Impulserhaltungssatz<br />
M res (t 2 – t 1) = J (� 2 – � 1)<br />
Momentenstoß = Drehimpuls-<br />
änderung
8.1 Statik der<br />
Flüssigkeiten<br />
Druck p auf ebene <strong>und</strong><br />
gewölbte Flächen<br />
Triebkraft F 1<br />
(Kolbenkraft)<br />
Last F 2<br />
(Kolbenkraft)<br />
Wirkungsgrad �<br />
� Reibzahl zwischen<br />
Kolben <strong>und</strong> Dichtung<br />
Kolbenwege s 1, s 2<br />
Druckübersetzung<br />
hydrostatischer<br />
Druck p infolge<br />
der Schwerkraft<br />
(Schweredruck)<br />
Bodenkraft F b<br />
p = F<br />
A<br />
N<br />
2 m<br />
p F A<br />
= Pa N m2<br />
Der Druck, der von außen auf<br />
irgendeinen Teil der abgesperrten<br />
Flüssigkeit ausgeübt wird (z. B.<br />
durch Kolbenkraft), pflanzt sich<br />
auf alle Teile nach allen Richtungen<br />
unverändert fort.<br />
(1 Pascal (Pa) = 1 Newton durch Quadratmeter (N/m 2 )<br />
F 1 =<br />
F 2 =<br />
2<br />
1<br />
4<br />
π d<br />
p<br />
2<br />
π d2 p<br />
4<br />
2<br />
⎛d⎞ 2<br />
F2 = F1⎜ ⎟ η<br />
⎝d1⎠ h2<br />
1−4µ d2<br />
� =<br />
h1<br />
1+ 4µ<br />
d1<br />
2<br />
⎛d⎞ 1<br />
s2 = s1⎜ ⎟<br />
⎝d⎠ 2<br />
p 2<br />
2 d1<br />
=<br />
p 2−2 1 d1 d2<br />
p 2<br />
2 d1<br />
=<br />
p 2<br />
1 d2<br />
p = r g h<br />
p abs = r g h � p amb<br />
F b = r g h A<br />
Fluidmechanik<br />
Statik der Flüssigkeiten<br />
Hydraulische Presse<br />
F 1, F 2 p d, h , s �, �<br />
N<br />
N 2 m<br />
P1<br />
= Pa m 1<br />
d1<br />
d1<br />
r Dichte<br />
g Fallbeschleunigung<br />
p abs absoluter Druck<br />
p amb umgebender<br />
Atmosphärendruck<br />
P1<br />
d2<br />
P2<br />
d2<br />
P2<br />
Pat (Atmosphärendruck)<br />
F b p r� g h<br />
N<br />
N Pa<br />
m 2<br />
=<br />
kg<br />
m3<br />
m<br />
s2<br />
m<br />
205<br />
8
8<br />
Fluidmechanik<br />
Strömungsgleichungen<br />
Seitenkraft F s<br />
I s Flächenmoment<br />
2. Grades der gedrückten<br />
Fläche A bezogen auf die<br />
Schwerachse S – S<br />
206<br />
Abstand e<br />
Auftrieb F a<br />
8.2 Strömungsgleichungen<br />
Mach'sche Zahl Ma<br />
Reynolds'sche<br />
Zahl Re<br />
kritische Strömungsgeschwindigkeit<br />
w kr<br />
kinematische<br />
Zähigkeit �<br />
Umrechnungen<br />
der Zähigkeit<br />
F s = r g h s A = r�g y s sin� A<br />
h s = y s sin �; y s =<br />
hs<br />
sin<br />
s<br />
yD = ys+ e = ys+<br />
A y<br />
I<br />
α<br />
;<br />
s<br />
h 2<br />
e = für Rechteckfläche<br />
12y<br />
s<br />
d 2<br />
e = für Kreisfläche<br />
16y<br />
s<br />
F a = V v r�g<br />
e =<br />
Is<br />
A ys<br />
F s r� g A I V v h, y, e, d<br />
kg<br />
N 3 m<br />
V v verdrängtes Flüssigkeitsvolumen<br />
Ma = w<br />
c<br />
m<br />
2 s m2 m4 m3 m<br />
w Strömungsgeschwindigkeit<br />
c Schallgeschwindigkeit<br />
Bis Ma � 0,3 können die Strömungen von Gasen als inkompressibel<br />
angesehen werden.<br />
wdr wd<br />
Re = =<br />
η ν<br />
wkr = Re η<br />
d r<br />
� = η<br />
r<br />
für die dynamische Zähigkeit � das Poise (P):<br />
1 Ns/m 2 = 10 P (Poise) = 1000 cP (Zentipoise)<br />
1P = 0,1 Ns/m 2 = 100 cP (Zentipoise)<br />
für die kinematische Zähigkeit � das Stokes (St):<br />
1 m 2 /s =10 4 St (Stokes)<br />
1 St = 10 –4 m 2 /s = 100 cSt (Zentistokes)<br />
Umrechnung aus Englergraden in<br />
⎛ 6,31⎞<br />
ν = ⎜7,32 E − ⎟<br />
⎝ ° E ⎠<br />
10–6 in<br />
w mittlere Durchflussgeschwindigkeit<br />
d Durchmesser bei Kreisröhren<br />
r Dichte<br />
� kinematische Zähigkeit<br />
� dynamische Zähigkeit<br />
Re w d r� �� ��<br />
1<br />
2<br />
m<br />
s :<br />
2<br />
m<br />
s<br />
m<br />
s<br />
kg<br />
m 3 m<br />
Ns<br />
2 m<br />
2<br />
m<br />
s<br />
Umrechnungen °E in cSt<br />
ºE cSt ºE cSt<br />
1<br />
1,5<br />
2<br />
2,5<br />
3<br />
3,5<br />
4<br />
1 4,5<br />
6,25 5<br />
11,8 5,5<br />
16,7 6<br />
21,2 6,5<br />
25,4 8<br />
29,6 10<br />
33,4<br />
37,4<br />
41,4<br />
45,2<br />
49,0<br />
60,5<br />
76,0
Strömungsgeschwindigkeit<br />
w x im Abstand x von<br />
der Rohrachse<br />
turbulente <strong>und</strong> laminare<br />
Strömung wird durch<br />
die kritische Reynoldszahl<br />
bestimmt; für ein<br />
Kreisrohr ist Re kr = 2300<br />
Kontinuitätsgleichung<br />
(q V Volumenstrom<br />
q m Massenstrom)<br />
Bernoulli'sche<br />
Druckgleichung<br />
2 w<br />
r �<br />
Geschwindigkeitsdruck<br />
r gh Schweredruck (8.1)<br />
für Leitungen ohne<br />
Höhenunterschied<br />
Messung des statischen<br />
Drucks p s<br />
Messung des<br />
Gesamtdrucks p g<br />
Messung des<br />
Staudrucks q<br />
(Prandtl'sches<br />
Staurohr)<br />
⎡ 2<br />
⎛2x⎞ ⎤<br />
wx = 2w⎢1−⎜ ⎟ ⎥<br />
⎣⎢ ⎝ d ⎠ ⎦⎥<br />
w = V q<br />
A<br />
Fluidmechanik<br />
Strömungsgleichungen<br />
q V Volumenstrom in<br />
A Querschnitt in m 2<br />
bei Re � 2300: bei Re � 2300:<br />
laminare Strömung stellt sich bleibt einmal gestörte Strömung<br />
auch nach Störung wieder ein turbulent<br />
Bei Re � 3000 immer turbulente<br />
Strömung<br />
q V = A 1 w 1 = A 2 w 2 = konstant<br />
q m = A 1 w 1 r 1 = A 2 w 2 r 2<br />
q V A w q m r�<br />
3<br />
m<br />
s<br />
m 2<br />
m<br />
s<br />
kg<br />
s<br />
kg<br />
3 m<br />
r r<br />
2 2<br />
2 2<br />
p1+ rgh1+ w1 = p2+ rgh2+<br />
w2<br />
= konstant<br />
p r� g h w<br />
N<br />
Pa<br />
m 2<br />
=<br />
kg<br />
m3<br />
m<br />
s2<br />
2 2<br />
p1+ w1 = p2+ w2<br />
m<br />
m<br />
s<br />
�<br />
r r Der Gesamtdruck (statischer Druck p �<br />
2 2<br />
p s = p 1 = p 2 � r gh<br />
(siehe auch 8.1)<br />
p 2 Luftdruck<br />
p g = p s �<br />
q Staudruck<br />
r<br />
w2= ps+ q<br />
2<br />
q = p 2<br />
g− ps = β w<br />
2<br />
r<br />
� � 1° bis ca. 17° Anströmwinkel<br />
zwischen Rohrachse <strong>und</strong> Strömungsrichtung�<br />
3<br />
m<br />
s<br />
Geschwindigkeitsdruck r w 2 /2 = Staudruck<br />
q) der Flüssigkeit ist an jeder<br />
Stelle einer Horizontalleitung gleich<br />
groß.<br />
207<br />
8
8<br />
Fluidmechanik<br />
Ausflussgleichungen<br />
Volumenstrom q V<br />
(theoretischer)<br />
Massenstrom q m<br />
(praktischer)<br />
praktischer Volumenstrom<br />
q V <strong>und</strong> Massenstrom<br />
q m bei Gasen <strong>und</strong><br />
Flüssigkeiten<br />
208<br />
8.3 Ausflussgleichungen<br />
Geschwindigkeitszahl �<br />
Kontraktionszahl �<br />
Ausflusszahl �<br />
q V =<br />
2( p1−p2) ⎛<br />
1 1<br />
⎞<br />
r⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
− 2 2<br />
A2 A<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠<br />
p 1 – p 2 = �p �p Wirkdruck<br />
A2<br />
qm = α 2 r(<br />
p<br />
2<br />
1−p2) 1−<br />
m<br />
Für Staurand (Blende) nach Prandtl:<br />
� = 0,598 � 0,395 m 2<br />
� Durchflusszahl (DIN 1952)<br />
m Querschnittsverhältnis = A 2/A 1<br />
q V = 0,04 � ��<br />
mD<br />
2<br />
t<br />
∆p<br />
r<br />
2<br />
qm = 0,04 ���mDt ∆pr1 1<br />
q V p r A<br />
3<br />
m<br />
s<br />
N<br />
m 2<br />
= Pa<br />
kg<br />
m3<br />
m 2<br />
q V �,�,m D t �p� r1<br />
3<br />
m<br />
h<br />
N<br />
1 mm Pa<br />
m 2<br />
=<br />
kg<br />
m3<br />
q m �,�,m D t �p� r1<br />
kg<br />
h<br />
N<br />
1 mm =Pa<br />
m2<br />
kg<br />
m3<br />
Durchflusszahl � (DIN 1952) ist oberhalb bestimmter Re-Zahlen konstant.<br />
Expansionszahl � berücksichtigt die Dichteänderung des<br />
Mediums infolge des Druckabfalls (� = 1 für inkompressible Medien).<br />
Dichte r 1 ist auf den statischen Druck r 1 vor die Drosselstelle<br />
bezogen. D t lichte Weite der Rohrleitung bei Betriebstemperatur.<br />
�p = p 1 – p 2 Wirkdruck.<br />
abhängig von der Zähigkeit der Flüssigkeit<br />
� Wasser = 0,97 ... 0,99<br />
berücksichtigt die Einschnürung des Flüssigkeitsstrahles<br />
<strong>und</strong> dadurch die Verringerung der Ausflussmenge<br />
� � 0,6 bei scharfer Kante<br />
� � 0,75 bei gebrochener Kante<br />
� � 0,9 bei kleinem Abr<strong>und</strong>ungsradius<br />
� = ���<br />
� ist abhängig von der<br />
Form der Öffnung
offenes Gefäß, konstante<br />
Druckhöhe h<br />
q V Volumenstrom<br />
geschlossenes Gefäß,<br />
konstante Druckhöhe h<br />
q V Volumenstrom<br />
q m Massenstrom<br />
p ü Überdruck über dem<br />
Flüssigkeitsspiegel<br />
Dichtebestimmung von<br />
Gasen<br />
offenes Gefäß mit sinkendemFlüssigkeitsspiegel<br />
bei völliger Entleerung<br />
Ausflusszeit t<br />
mittlere Geschwindigkeit<br />
w m<br />
Ausfluss unter<br />
Gegendruck<br />
q V = Volumenstrom<br />
8.4 Widerstände in<br />
Rohrleitungen<br />
Druckabfall �p<br />
in kreisförmigen<br />
Rohren<br />
w = ϕ 2gh<br />
q V = �A 2gh<br />
⎛ p u �� ⎞<br />
w = ϕ 2⎜gh<br />
+ ⎟<br />
⎝ r ⎠<br />
q V = µ<br />
q m = q V r�<br />
⎛ p ⎞ u ��<br />
A 2⎜gh+<br />
⎟<br />
⎝ r ⎠<br />
Fluidmechanik<br />
Widerstände in Rohrleitungen<br />
gh � p ü / r = �p ü = Überdruck, mit Manometer<br />
in Austrittshöhe gemessen<br />
w g h q V q m A p r V t �, �<br />
m<br />
s<br />
m<br />
2 s<br />
m<br />
3<br />
m<br />
s<br />
kg<br />
s m2<br />
N<br />
=Pa<br />
2 m<br />
kg<br />
3 m<br />
m 3 s 1<br />
Fließen unter gleichen Bedingungen zwei Flüssigkeiten oder Gase mit<br />
den Dichten r 1, r 2 aus gleichen Gefäßen, so gilt<br />
t1 w2<br />
1<br />
= =<br />
t2 w1<br />
2<br />
r<br />
r<br />
V = � Aw m t<br />
V =<br />
µ At<br />
2gh1+ 2gh2<br />
2<br />
1<br />
V = At 2gh1<br />
2 µ<br />
t =<br />
µ<br />
2V<br />
A 2gh1<br />
w + w<br />
( 1 2)<br />
wm =<br />
2<br />
w = ϕ 2 gh ( 1−h2) qV = µ A 2 gh ( 1−h2) �p = 2<br />
2 w λ<br />
d<br />
r l<br />
� = 0,015 ... 0,02 für überschlägige<br />
Berechnungen für Luft, Wasser, Dampf<br />
d Rohrdurchmesser<br />
l Rohrlänge<br />
� Rohrreibungszahl<br />
209<br />
8
8<br />
Fluidmechanik<br />
Widerstände in Rohrleitungen<br />
Rohrreibungszahl � für<br />
glattes Kreisrohr <strong>und</strong><br />
laminare Strömung<br />
(Re � 2300)<br />
210<br />
Druckabfall �p<br />
für turbulente<br />
Strömung<br />
Rohrreibungszahl � für<br />
raues Kreisrohr für<br />
körnige Rauigkeiten<br />
Rohrreibungszahl �<br />
für Stahlrohrleitungen<br />
unr<strong>und</strong>e<br />
Querschnitte<br />
Druckabfall �p für<br />
Krümmer <strong>und</strong> Ventile<br />
Druckabfall �p in einer<br />
Abzweigung<br />
Druckabfall �p im<br />
Gesamtstrom nach der<br />
Abzweigung<br />
64 p2 d<br />
� = =<br />
Re w 2<br />
∆<br />
r l<br />
�p =<br />
l<br />
32 η w<br />
d 2<br />
p l, d r w �� ��<br />
N<br />
Pa<br />
2 m = m kg<br />
3 m<br />
m<br />
s<br />
1<br />
Ns<br />
2 m<br />
� dynamische Zähigkeit (8.2)<br />
� = 0,3164 Re – 0,25 bis Re = 100 000<br />
� = 0,0054 � 0,396 Re – 0,3 bis Re = 2 000 000<br />
� = 0,0032 � 0,221 Re – 0,237 für Re = 10 5 ... 3,23 · 10 6<br />
1<br />
� =<br />
[2lg( d/ k ) + 1,14]<br />
� = λ<br />
� glatt<br />
2<br />
7<br />
3 4<br />
0,86⋅ − 10 ⎛ Re ⎞<br />
+ ⎜lg ⎟<br />
d ⎝ (10 d)<br />
⎠<br />
glatt 0,28 5 1,1<br />
wie für turbulente Strömung<br />
d<br />
relative Wandrauigkeit<br />
k<br />
d Rohrdurchmesser in mm<br />
k absolute Wandrauigkeit nach 8.7<br />
Es gelten die Gleichungen für Kreisrohre mit d = 4a,<br />
mit a = Querschnittsfläche A<br />
benetzter UmfangU<br />
Umstellung auch bei Re-Zahl: Re =<br />
� kinematische Zähigkeit (8.2)<br />
�p = ζ<br />
2 w<br />
r<br />
2<br />
4wA<br />
U ν<br />
� Widerstandszahl nach 8.7 bis 8.9 2<br />
�p =<br />
�p =<br />
ζ 2<br />
a w<br />
2 r<br />
ζ 2<br />
g w<br />
2 r<br />
�p �� r w<br />
N<br />
Pa<br />
m = 1 kg<br />
3 m<br />
m<br />
s<br />
� a , � g Widerstandszahlen nach 8.10
Fluidmechanik<br />
Absolute Wandrauigkeit k<br />
8.5 Dynamische Zähigkeit �, kinematische Zähigkeit � <strong>und</strong> Dichte r von Wasser<br />
Temperatur in °C 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100<br />
10 –6 � in Ns/m 2<br />
10 –6 � in m 2 /s<br />
r in kg/m 3<br />
1780<br />
1,78<br />
1000<br />
1300<br />
1,31<br />
1000<br />
1000<br />
1,01<br />
998<br />
805<br />
0,81<br />
658<br />
0,66<br />
992<br />
560<br />
0,56<br />
470<br />
0,48<br />
983<br />
403<br />
0,42<br />
353<br />
0,37<br />
972<br />
8.6 Staudruck q in N/m 2 <strong>und</strong> Geschwindigkeit w in m/s für Luft <strong>und</strong> Wasser<br />
Luft 15 °C. 1,013 bar = 1,013 · 10 5 N/m 2<br />
314<br />
0,33<br />
q 9,8 39 49 88 98 157 196 245 294 390 490<br />
w 4 8 8,95 12 12,65 16 17,9 20 21,9 25,3 28,3<br />
Wasser<br />
q 9,8 20 29 69 98 128 177 245 490 980<br />
w 0,14 0,2 0,28 0,4 0,447 0,5 0,6 0,7 1 1,4<br />
Wasser<br />
q 1960 2940 3920 4900 7840 9800 19 600 29 400 39 200<br />
w 2 2,45 2,83 3,16 4 4,47 6,33 7,73 8,95<br />
8.7 Absolute Wandrauigkeit k<br />
Wandwerkstoff<br />
absolute<br />
Rauigkeit k<br />
mm<br />
Gezogene Rohre aus Buntmetallen, Glas, Kunststoffen, Leichtmetallen 0 ... 0,0015<br />
Gezogene Stahlrohre<br />
feingeschlichtete, geschliffene Oberfläche<br />
geschlichtete Oberfläche<br />
geschruppte Oberfläche<br />
Geschweißte Stahlrohre handelsüblicher Güte<br />
neu<br />
nach längerem Gebrauch, gereinigt<br />
mäßig verrostet, leicht verkrustet<br />
schwer verkrustet<br />
Gusseiserne Rohre<br />
inwendig bitumiert<br />
neu, nicht ausgekleidet<br />
angerostet<br />
verkrustet<br />
Betonrohre<br />
Glattstrich<br />
roh<br />
Asbestzementrohre 0,1<br />
0,01 ... 0,05<br />
bis 0,010<br />
0,01 ... 0,040<br />
0,05 ... 0,1<br />
0,05 ... 0,10<br />
0,15 ... 0,20<br />
bis 0,40<br />
bis 3<br />
0,12<br />
0,25 ... 1<br />
1 ... 1,5<br />
1,5 ... 3<br />
0,3 ... 0,8<br />
1 ... 3<br />
285<br />
0,3<br />
958<br />
211<br />
8
8<br />
Fluidmechanik<br />
Widerstandszahlen � von Leitungsteilen<br />
212<br />
8.8 Widerstandszahlen � für plötzliche Rohrverengung<br />
Querschnittsverhältnis<br />
8.9 Widerstandszahlen � für Ventile<br />
Ventilart DIN-Ventil<br />
A 2<br />
= 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0<br />
A 1<br />
������ = 0,46 0,42 0,37 0,33 0,23 0,13 0<br />
Reform-<br />
Ventil<br />
Rhei-<br />
Ventil<br />
Koswa-<br />
Ventil<br />
Freifluss-<br />
Ventil<br />
Schieber<br />
� = 4,1 3,2 2,7 2,5 0,6 0,05<br />
8.10 Widerstandszahlen � von Leitungsteilen<br />
Krümmer<br />
Gusskrümmer 90°<br />
scharfkantiges Knie<br />
Kniestück<br />
Kniestück<br />
Stromabzweigung<br />
(Trennung)<br />
glatt<br />
rau<br />
�<br />
�<br />
�<br />
d<br />
r<br />
� = 15°<br />
� = 22,5°<br />
� = 45°<br />
� = 60°<br />
� = 90°<br />
� = 90°<br />
1 2 4 6 10<br />
0,03<br />
0,045<br />
0,14<br />
0,19<br />
0,21<br />
0,51<br />
0,03<br />
0,045<br />
0,09<br />
0,12<br />
0,14<br />
0,30<br />
0,03<br />
0,045<br />
0,08<br />
0,10<br />
0,11<br />
0,23<br />
0,03<br />
0,045<br />
0,075<br />
0,09<br />
0,09<br />
0,18<br />
0,03<br />
0,045<br />
0,07<br />
0,07<br />
0,11<br />
0,20<br />
NW 50 100 200 300 400 500<br />
� = 1,3 1,5 1,8 2,1 2,2 2,2<br />
� = 22,5º 30º 45º 60º 90º<br />
glatt � = 0,07 0,11 0,24 0,47 1,13<br />
rau � = 0,11 0,17 0,32 0,68 1,27<br />
l<br />
=<br />
d<br />
0,71 0,943 1,174 1,42 1,86 2,56 6,28<br />
glatt �� = 0,51 0,35 0,33 0,28 0,29 0,36 0,40<br />
rau �� = 0,51 0,41 0,38 0,38 0,39 0,43 0,45<br />
l<br />
=<br />
d<br />
1,23 1,67 2,37 3,77<br />
glatt �� = 0,16 0,16 0,14 0,16<br />
rau �� = 0,30 0,28 0,26 0,24<br />
�<br />
Va<br />
V�<br />
= 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1<br />
� = 90°<br />
�a = 0,95 0,88 0,89 0,95 1,10 1,28<br />
� �<br />
� �g = 0,04 – 0,08 – 0,05 0,07 0,21 0,35<br />
� = 45°<br />
�a = 0,9 0,66 0,47 0,33 0,29 0,35<br />
�<br />
�<br />
� �g = 0,04 – 0,06 – 0,04 0,07 0,20 0,33
Zusammenfluss<br />
(Vereinigung)<br />
für Warmwasserheizungen<br />
Bogenstück 90°<br />
Knie 90°<br />
�<br />
Fluidmechanik<br />
Widerstandszahlen � von Leitungsteilen<br />
Va<br />
V�<br />
= 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1<br />
� = 90°<br />
�a = – 1,1 – 0,4 0,1 0,47 0,72 0,9<br />
�<br />
�<br />
� �g = 0,04 0,17 0,3 0,4 0,5 0,6<br />
� = 45°<br />
�a = 0,9 – 0,37 0 0,22 0,37 0,38<br />
�<br />
�<br />
� �g = 0,05 0,17 0,18 0,05 – 0,2 – 0,57<br />
Durchmesser<br />
d = 14 mm 20 25 34 39 49<br />
� = 1,2 1,1 0,86 0,53 0,42 0,51<br />
� = 1,2 1,7 1,3 1,1 1,0 0,83<br />
213<br />
8
9.1 Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Normalspannung �<br />
Schubspannung �<br />
Formänderung<br />
Schnitt rechtwinklig<br />
zur Achse<br />
Schnitt schräg<br />
zur Achse<br />
Bedingung<br />
Normalspannung � �<br />
Schubspannung � ��<br />
�, � F A<br />
N<br />
N mm 2<br />
mm<br />
2<br />
FN<br />
σ =<br />
A<br />
∆<br />
∆<br />
FT<br />
τ =<br />
A<br />
∆<br />
∆ A Querschnittsfläche<br />
zur Normalspannung � gehört eine<br />
Dehnung �,<br />
zur Schubspannung � eine Gleitung �<br />
Einachsiger Spannungszustand<br />
F<br />
σ =<br />
A<br />
σ<br />
σϕ= (1+ cos2 ϕ)<br />
2<br />
= sin2<br />
2<br />
σ<br />
τϕϕ Ebener Spannungszustand<br />
Scheibe konstanter Dicke, sämtliche Komponenten<br />
der angreifenden Spannungen<br />
liegen in Scheibenebene. Wegen Momentengleichgewichts<br />
am Flächenteilchen muss<br />
� xy = � yx = � sein<br />
σy + σx σy −σx<br />
σϕ= + cos2ϕ−τsin2ϕ 2 2<br />
σy − σx<br />
τϕ= sin2ϕ+ τcos2ϕ 2<br />
A<br />
Festigkeitslehre<br />
Gr<strong>und</strong>lagen<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
215<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Gr<strong>und</strong>lagen<br />
216<br />
Hauptspannungen � 1, � 2<br />
Schnittwinkel � 1, � 2<br />
maximale<br />
Schubspannung � max (in<br />
Schnittebene, die gegen<br />
Hauptrichtungen 1,2 um<br />
45° gedreht sind)<br />
Spannungssumme<br />
Mohr'scher<br />
Spannungskreis<br />
Verlängerung �l<br />
Dehnung �<br />
Hooke'sches Gesetz für<br />
Normalspannung<br />
Bruchdehnung � 0 beim<br />
Zerreißversuch<br />
Querdehnung � y in<br />
y-Richtung<br />
2<br />
σy + σx ⎛σy −σx⎞<br />
2<br />
1,2 = ± ⎜ ⎟ +<br />
2<br />
⎜<br />
2<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
σ τ<br />
2τ<br />
tan2 ϕ1<br />
=−<br />
σ − σ<br />
y x<br />
ϕ2 = ϕ1+<br />
2<br />
π<br />
2<br />
y − x 2 1−2 ⎛σ σ ⎞ σ σ<br />
τmax =± ⎜ ⎟ + =±<br />
2<br />
⎟ τ<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
σ σ σ σ σ σ<br />
ϕ + ϕ+ ( π/2)<br />
= x + y = 1+ 2<br />
Kreis mit Radius � max = (� 1 – � 2)/2<br />
um Punkt [� = (� x + � y)/2; � = 0]<br />
ergibt zeichnerisch die Spannungen<br />
in den verschiedenen Schnittebenen.<br />
� 1 <strong>und</strong> � y sind relative<br />
Größtwerte (z.B. können � 2 <strong>und</strong> � x<br />
negativ <strong>und</strong> absolut größer sein<br />
als � 1 <strong>und</strong> � y).<br />
Formänderung<br />
�l = l – l 0<br />
∆l l−l ε = =<br />
l l<br />
0 0<br />
(bei Druck: Stauchung)<br />
σ<br />
= E =konstant<br />
ε<br />
E Elastizitätsmodul (9.5)<br />
∆lB<br />
δ = ⋅100<br />
in%<br />
l0<br />
0<br />
εy = ε z =−µεx<br />
l 0 Ursprungslänge<br />
�lB nach Zerreißen<br />
gebliebene<br />
Verlängerung<br />
�<br />
� Poisson-Zahl�
Poisson-Zahl �<br />
Dehnung � x infolge<br />
sämtlicher Normalspannungen<br />
Volumendehnung e<br />
Hooke'sches Gesetz für<br />
Schubspannungen<br />
Modul-Verhältnis<br />
9.2 Zug- <strong>und</strong> Druckbeanspruchung<br />
(siehe auch 9.33)<br />
vorhandene Zug- oder<br />
Druckspannung � z,d<br />
erforderlicher<br />
Querschnitt A erf<br />
zulässige Belastung F max<br />
Verlängerung �l<br />
Formänderungsarbeit W<br />
Stäbe gleicher Spannung<br />
(� zul) in jedem Querschnitt<br />
Querdehnung εy<br />
µ =<br />
Dehnung ε<br />
1<br />
εx = [ σ x − µ ( σy + σz)]<br />
E<br />
1−2 µ<br />
e = εx + εy + εz = ( σx + σy + σz)<br />
E<br />
τ<br />
= G =konstant<br />
γ<br />
G 1<br />
=<br />
E 2(1 + µ )<br />
σ<br />
F<br />
A<br />
σ<br />
(Spannungsnachweis)<br />
max<br />
z,d vorh = ≤ zul<br />
Fmax<br />
A erf =<br />
σzul<br />
(Querschnittsnachweis)<br />
F max = A � zul<br />
(Belastungsnachweis)<br />
σ<br />
= − = ε = =<br />
∆l<br />
l l0 l0<br />
Festigkeitslehre<br />
Zug- <strong>und</strong> Druckbeanspruchung<br />
� Stahl = 0,3 (auch für Leichtmetall)<br />
� GG = 0,25<br />
� Gummi = 0,5<br />
� y <strong>und</strong> � z durch zyklisches Vertauschen<br />
von x, y <strong>und</strong> z<br />
� Schiebung<br />
G Schubmodul<br />
(9.5, 9.28, 9.29)<br />
l0 F l0<br />
E EA<br />
F∆lσ2V R 2 R<br />
W = = = ∆l<br />
= f2<br />
2 2E2 2<br />
F F<br />
R = = � tan ��<br />
∆l f<br />
V Volumen in mm 3<br />
R Federrate in N/mm<br />
f Federweg in mm<br />
F<br />
Axerf = A0e = e<br />
σ<br />
10−9r gx<br />
m =<br />
σzul<br />
m m<br />
zul<br />
Bei Zug: Bohrungen <strong>und</strong> Nietlöcher<br />
vom tragenden Querschnitt abziehen.<br />
Bei Druck : Schlanke Stäbe auf<br />
Knickung nachrechnen.<br />
Bei Querschnittsänderungen gehört<br />
zum kleineren Querschnitt die größere<br />
Spannung <strong>und</strong> umgekehrt.<br />
� z,d, E F A �l, l, l 0, f �� W<br />
N<br />
2<br />
mm<br />
e = 2,71828... Basis des<br />
natürlichen Logarithmus<br />
g = 9,81 m/s 2<br />
Fallbeschleunigung<br />
A x, A 0 F � zul r g x<br />
mm2 N<br />
N 2<br />
mm<br />
kg<br />
3<br />
m<br />
m<br />
2<br />
s<br />
N mm 2 mm 1 Nmm<br />
mm<br />
A<br />
A<br />
217<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Biegebeanspruchung<br />
größte Spannung � dyn bei<br />
dynamischer Belastung<br />
F G dyn<br />
größte Dehnung � dyn bei<br />
dynamischer Belastung<br />
F G dyn<br />
bei plötzlich<br />
aufgebrachter Last ohne<br />
vorherigen freien Fall<br />
(h = 0) ist<br />
218<br />
größte Verlängerung �l dyn<br />
Verlängerung �l t bei<br />
Temperaturänderung �T<br />
Länge l t nach<br />
Temperaturänderung �T<br />
Wärmespannung � t<br />
9.3 Biegebeanspruchung<br />
(siehe auch 9.34)<br />
vorhandene Biegespannung<br />
� b vorh<br />
erforderliches<br />
Widerstandsmoment W erf<br />
zulässige Belastung<br />
M b max<br />
größte Zugspannung<br />
� z max<br />
größte Druckspannung<br />
� d max<br />
σ = σ + σ + σ<br />
l<br />
2 h<br />
dyn 0 0 2 0 E<br />
ε = ε + ε + ε<br />
l<br />
2 h<br />
dyn 0 0 2 0<br />
�<br />
� dyn = 2 � 0<br />
F G dyn Gewichtskraft eines plötzlich<br />
frei am Seil fallenden Körpers<br />
E Elastizitätsmodul<br />
h Fallhöhe<br />
l Seillänge<br />
A Seilquerschnitt<br />
FGdyn<br />
σ 0 =<br />
A<br />
� dyn = 2 � 0 �, E h, l, �l �� F G dyn A<br />
σ<br />
dyn<br />
∆ldyn = l<br />
E<br />
∆lt = l0αl∆T<br />
l t � l 0 (1 + � l �T)<br />
� t = � l��TE<br />
Mbmax<br />
σbvorh= ≤σbzul<br />
W<br />
(Spannungsnachweis)<br />
W<br />
erf<br />
M<br />
=<br />
σ<br />
bmax<br />
bzul<br />
(Querschnittsnachweis)<br />
M b max = W � b zul<br />
(Belastungsnachweis)<br />
M e M<br />
σ σ σ<br />
b 2 b<br />
zmax= b2= = ≤ z zul<br />
I W2<br />
M e M<br />
σ σ σ<br />
b 1 b<br />
dmax = b1= = ≤ dzul<br />
I W1<br />
N<br />
mm2<br />
mm 1 N mm 2<br />
� l Längenausdehnungskoeffizient (6.16)<br />
�T Temperaturdifferenz<br />
E E-Modul (9.5, 9.28, 9.29)<br />
�l t, l 0, l t � l �T � t, E<br />
mm<br />
1<br />
K<br />
N<br />
K 2 mm<br />
Diese Gleichung nur anwenden, wenn<br />
e 1 = e 2 = e ist . Sonst die Gleichung für<br />
unsymmetrischen Querschnitt benutzen.<br />
W axiales Widerstandsmoment nach 9.8<br />
I axiales Flächenmoment 2. Grades<br />
nach 9.8<br />
� b M b W I e<br />
N<br />
2 mm Nmm mm3 mm4 mm<br />
A
Festigkeitslehre<br />
Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W, Trägheitsradius i<br />
Bestimmung des maximalen Biegemomentes M b max<br />
Stützkräfte bestimmen,<br />
rechnerisch (�Fy = 0, �M = 0) oder zeichnerisch<br />
(Seileckfläche � Biegemomentenfläche), worin<br />
M b = Hy m K m L M b H, y m K m L<br />
Nmm mm<br />
N<br />
mm<br />
mm<br />
mm<br />
H Polabstand in mm<br />
m K = a N/mm Kräftemaßstab<br />
m L = b mm/mm Längenmaßstab<br />
Querkraftfläche zeichnen <strong>und</strong> Nulldurchgänge<br />
festlegen.<br />
M b max entweder aus Querkraftfläche links oder<br />
rechts vom Nulldurchgang (M b � A q) berechnen,<br />
oder: In den Querschnitt x stellen <strong>und</strong> die<br />
Momente rechts oder links vom Querschnitt<br />
addieren, Summe ist M b(x).<br />
9.4 Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W, Trägheitsradius i<br />
(siehe auch 9.8, 9.9, 9.10)<br />
axiales Flächenmoment I x<br />
axiales Flächenmoment I y<br />
polares Flächenmoment I p<br />
Zentrifugalmoment I xy<br />
Trägheitsradius i<br />
bezogen auf Achsen,<br />
parallel zu den<br />
Schwerachsen A–A<br />
oder B–B<br />
bei Drehung um Winkel �<br />
I x = �y 2 �A<br />
(bezogen auf die x-Achse)<br />
I y = �x 2 �A<br />
(bezogen auf die y-Achse)<br />
I p = �r 2 �A = I x + I y<br />
I xy = �x y �A<br />
I<br />
i =<br />
A<br />
A =<br />
2<br />
x + Ala<br />
B =<br />
2<br />
y + Alb<br />
I I<br />
I I<br />
I = I + Al<br />
l<br />
AB xy a b<br />
(Verschiebesatz von Steiner)<br />
Iu Ix + Iy Ix −Iy<br />
= + cos2<br />
2 2<br />
−Ixysin2<br />
Iv Ix + Iy Ix −Iy<br />
= + cos2<br />
2 2<br />
+ Ixysin2<br />
Ix − Iy<br />
Iuv = sin2α+ Ixycos2α<br />
2<br />
α α<br />
α α<br />
für I kann I x , I y , I p eingesetzt<br />
werden, das ergibt dann i x , i y , i p<br />
A Flächeninhalt<br />
axiales Flächenmoment bezogen auf A-A<br />
axiales Flächenmoment bezogen auf B-B<br />
Zentrifugalmoment<br />
219<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Elastizitätsmodul E <strong>und</strong> Schubmodul G verschiedener Werkstoffe in N/mm 2<br />
Hauptflächenmomente<br />
I I, I II<br />
(zeichnerisch mit<br />
Trägheitskreis)<br />
Lage der Hauptachsen<br />
(I uv = 0)<br />
axiales Widerstandsmoment<br />
W x, W y<br />
polares Widerstandsmoment<br />
W p<br />
axiales Widerstandsmoment<br />
bei unsymmetrischem<br />
Querschnitt<br />
220<br />
9.5 Elastizitätsmodul E<br />
<strong>und</strong> Schubmodul G<br />
verschiedener Werkstoffe<br />
in N/mm 2<br />
Ix − Iy<br />
1 2 2<br />
II= Imax= + ( Iy − Ix) + 4Ixy<br />
2 2<br />
I x + Iy<br />
1 2 2<br />
III= Imin= − ( Iy− Ix) + 4Ixy<br />
2 2<br />
2I<br />
xy<br />
tan2α 0 =<br />
I y − I x<br />
= = y I I<br />
x<br />
Wx Wy<br />
e e<br />
Wp<br />
p<br />
=<br />
r<br />
I<br />
x y<br />
I I<br />
Wx1 = Wx2=<br />
e e<br />
x x<br />
1 2<br />
Flächenmomente 2. Grades zusammengesetzter Flächen unsymmetrischer<br />
Querschnitte:<br />
1. Querschnitt in Teilflächen bekannter Schwerpunktslage zerlegen,<br />
2. Schwerpunkte der Teilflächen bestimmen (7.7),<br />
3. Flächenmomente der Teilflächen, bezogen auf ihre eigene<br />
Schwerachse nach 9.8 berechnen,<br />
4. Lage des Gesamtschwerpunktes bestimmen, wenn die<br />
Gesamtschwerachse Bezugsachse ist,<br />
5. Flächenmoment nach Verschiebesatz von Steiner bestimmen.<br />
Werkstoff E G<br />
Stahl <strong>und</strong> Stahlguss<br />
Gusseisen<br />
Temperguss<br />
Messing<br />
Zinnbronze<br />
AI Cu Mg<br />
Kunstharz<br />
Fichte (||/�) 1)<br />
Buche (||/�) 1)<br />
Esche (||/�) 1)<br />
200 000 ... 210 000<br />
75 000 ... 105 000<br />
90 000 ... 100 000<br />
100 000 ... 110 000<br />
110 000 ... 115 000<br />
72 000<br />
4 000 ... 16 000<br />
11 000/ 550<br />
16 000/1 500<br />
13 400/1 100<br />
1) parallel/rechtwinklig zur Faserrichtung<br />
80 000 ... 83 000<br />
30 000 ... 60 000<br />
50 000 ... 60 000<br />
35 000 ... 42 000<br />
40 000<br />
–<br />
–<br />
–<br />
–<br />
28 000
9.6 Träger gleicher Biegebeanspruchung<br />
Längs- <strong>und</strong> Querschnitt des<br />
Trägers<br />
Die Last F greift am Ende des<br />
Trägers an:<br />
Die Last F ist gleichmäßig<br />
über den Träger verteilt:<br />
Begrenzung des<br />
Längsschnittes<br />
obere Begrenzung:<br />
Gerade<br />
untere Begrenzung:<br />
quadratische Parabel<br />
Gerade<br />
Kubische Parabel<br />
Gerade<br />
Quadratische Parabel<br />
Festigkeitslehre<br />
Träger gleicher Biegebeanspruchung<br />
Gleichungen zur Berechnung<br />
der Querschnitts-Abmessungen<br />
6 6<br />
F Flx y = x; h = ; y = h<br />
bσzul bσzul<br />
l<br />
8F ⎛l⎞ Durchbiegung in A: f = ⎜ ⎟<br />
bE⎝h⎠ 6F 6Flbx<br />
y = x; b = ; y =<br />
h h<br />
l<br />
2 2<br />
σzul σzul<br />
6F ⎛l⎞ Durchbiegung in A: f = ⎜ ⎟<br />
bE⎝h⎠ 32 32<br />
F Fl 3 ; 3 ; 3 x<br />
y = x d = y =<br />
πσzul πσzul<br />
l<br />
3 F d<br />
Durchbiegung in A: f = ⋅ ; =<br />
5 E 64<br />
π l<br />
I<br />
I<br />
3 3<br />
3<br />
3<br />
3 4<br />
F Flhx y = x ; h= ; y =<br />
blσzul bσzull<br />
F = F' l F' Streckenlast in N<br />
m<br />
2 2<br />
3F ⎛x⎞ 3Flbx<br />
y = ⎜ ⎟ ; b= ; y =<br />
l σ ⎝ ⎠ σ l<br />
2 2<br />
zul h h zul<br />
3F ⎛l⎞ Durchbiegung in A: f = ⎜ ⎟<br />
bE⎝h⎠ 3<br />
221<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Stützkräfte, Biegemomente <strong>und</strong> Durchbiegungen<br />
222<br />
Die Last F wirkt in C:<br />
Die Last F ist gleichmäßig<br />
über den Träger verteilt:<br />
obere Begrenzung:<br />
zwei quadratische<br />
Parabeln<br />
obere Begrenzung:<br />
Ellipse<br />
9.7 Stützkräfte, Biegemomente <strong>und</strong> Durchbiegungen<br />
bei Biegeträgern von gleichbleibendem Querschnitt<br />
6 F( l − a) x<br />
y = x = h<br />
blσzul a<br />
6Fa x1<br />
y1= x1 = h<br />
blσzul l−a<br />
h =<br />
6 F( l − a) a<br />
bl σzul<br />
2 2 x y 3Fl<br />
+ = 1; h =<br />
2 2<br />
⎛l⎞ h<br />
4b<br />
σzul<br />
⎜ ⎟<br />
⎝2⎠ Durchbiegung in C:<br />
F Einzellast oder Resultierende der Streckenlast<br />
F' die auf die Längeneinheit bezogene Streckenlast<br />
F A, F B Stützkräfte in den Lagerpunkten A <strong>und</strong> B<br />
M max maximales Biegemoment in den Wendepunkten der Biegelinie ist M = 0<br />
I axiales Flächenmoment 2. Grades des Querschnitts<br />
E Elastizitätsmodul des Werkstoffs<br />
f Durchbiegung.<br />
3<br />
3<br />
1 Fl 3 F ⎛l ⎞<br />
f = ⋅ = ⋅ ⎜ ⎟<br />
64 EI16 bE⎝h⎠ Die strichpunktierte Linie gibt den Momentenverlauf über der Balkenlänge an. Positive Momentenlinien<br />
laufen nach oben, negative nach unten.<br />
F B = F<br />
M max = Fl<br />
3<br />
Fl<br />
f =<br />
3EI<br />
Fl3⎛ 3x x3 ⎞ Fl2 3f<br />
y = ⎜ ⎜1 − + ⎟ α = =<br />
l<br />
⎟;<br />
tan<br />
3EI⎝ 2 2l3<br />
⎠ 2EI 2l<br />
Fl2x⎛ 4x2⎞<br />
l<br />
y = ⎜1− ⎟für<br />
x ≤<br />
16EI ⎜<br />
3 2 ⎟<br />
⎝ l ⎠ 2<br />
F<br />
FA = FB=<br />
2<br />
F<br />
M max =<br />
4<br />
l<br />
3 F<br />
f =<br />
48E<br />
l<br />
I<br />
Fl23f tanα<br />
= =<br />
16EI<br />
l
F'l4 ⎛x4 x ⎞<br />
y = ⎜ − 4 + 3⎟<br />
24EI<br />
⎜ 4 ⎟<br />
⎝ll⎠ F'l 4 ⎛x5 x ⎞<br />
y = ⎜ − 5 + 4⎟<br />
120EI<br />
⎜ 5 ⎟<br />
⎝ll⎠ F B = F = F' l<br />
F l<br />
Mmax =<br />
2<br />
3 4<br />
Fl F'l<br />
f = =<br />
8EI8EI 2 4<br />
F f<br />
tan � =<br />
6E 3<br />
=<br />
l<br />
I l<br />
F'l<br />
FB= F =<br />
2<br />
F<br />
M max =<br />
3<br />
l<br />
3<br />
F<br />
f =<br />
15E<br />
l<br />
I<br />
2 5<br />
Flf tanα<br />
= =<br />
12EI 4l<br />
FA = FB = F<br />
Mmax = Fa<br />
Fl3a2⎛ 4a⎞<br />
f = ⎜1− ⎟<br />
2EI<br />
l2⎝<br />
3l<br />
⎠<br />
Fl3a⎛ 4a2⎞<br />
fmax<br />
= ⎜1− ⎟<br />
8EI l<br />
⎜<br />
3 2 ⎟<br />
⎝ l ⎠<br />
FA = FB = F<br />
Mmax = Fa<br />
Fa2⎛al⎞ f1<br />
= ⎜ + ⎟<br />
E ⎝3 2⎠<br />
I<br />
2 Fal<br />
f2<br />
=<br />
8EI<br />
Fa( l+ c) Fal<br />
tanα1= tanαA<br />
=<br />
2EI2EI Festigkeitslehre<br />
Stützkräfte, Biegemomente <strong>und</strong> Durchbiegungen<br />
b a<br />
FA = F FB = F<br />
l l<br />
ab<br />
Mmax = F<br />
l<br />
Fa2b2 f =<br />
EI<br />
3l<br />
+ a + a<br />
fmax = f<br />
3a 3b<br />
l l<br />
⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞<br />
tanαA = f⎜ + ⎟ tanαB=<br />
f⎜<br />
+ ⎟<br />
⎝a 2b⎠ ⎝b 2a⎠<br />
⎛ 2<br />
l<br />
⎞<br />
⎛ 2<br />
Fab2x2 l<br />
⎞<br />
a<br />
= ⎜<br />
xa + − ⎟<br />
Fa bxb<br />
= ⎜<br />
xb<br />
y + − ⎟<br />
a<br />
l ⎜<br />
1<br />
⎟<br />
; yb<br />
l ⎜<br />
1<br />
6EI ⎟<br />
⎝ b ab⎠ 6EI<br />
⎝ a ab⎠<br />
(für x a � a) (für x b � b)<br />
F a ⎛ a⎞<br />
= ⎜ + ⎟<br />
3EI<br />
l ⎝ l ⎠<br />
3 2<br />
C 2 1<br />
l<br />
f<br />
⎛ a⎞ a<br />
FA = F⎜1+ ⎟ FB = F<br />
⎝ l ⎠<br />
l<br />
Mmax = Fa = MA<br />
F 3 a<br />
f =<br />
E 9 3<br />
l<br />
I l<br />
für x = 0,577 l<br />
Fal Fal Fa(2l+ 3 a)<br />
tan αA = ; tan αB= ; tanαC=<br />
3EI 6EI 6EI<br />
Fa( a+ c)<br />
tanαA<br />
=<br />
2EI<br />
Fac<br />
tanαC= tanαD<br />
=<br />
2EI<br />
F'<br />
FA = FB<br />
=<br />
4<br />
l<br />
Fl F'l2<br />
M max = =<br />
6 12<br />
Fl3 F'l4<br />
f = =<br />
60E 120E<br />
I I<br />
223<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Stützkräfte, Biegemomente <strong>und</strong> Durchbiegungen<br />
224<br />
F'<br />
FA = FB<br />
=<br />
2<br />
l<br />
F'<br />
M max =<br />
8<br />
l<br />
2<br />
3<br />
0,013 F l<br />
f ≈<br />
EI<br />
tan<br />
F' 3 2<br />
l x⎛ x ⎞⎛ x x ⎞<br />
y = ⎜1− ⎟⎜⎜1+ − ⎟<br />
24EI<br />
⎟<br />
⎝ l ⎠⎝ l 2 l ⎠<br />
3 F' l 16f<br />
α A = =<br />
E<br />
24 I 5l<br />
F' l F' l<br />
FA = FB<br />
=<br />
6 3<br />
M = 0,064F'l<br />
max<br />
F' l3a⎛<br />
a2⎞⎛ a2⎞<br />
η = ⎜1− ⎟⎜7−3 ⎟<br />
360EI<br />
⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟<br />
⎝ l ⎠⎝ l ⎠<br />
⎡ 3 ⎤<br />
1⎛a⎞ 3a<br />
M = Fa⎢1+<br />
⎜ ⎟ − ⎥<br />
⎢⎣ 2⎝b⎠ 2 ⎥⎦<br />
l<br />
M<br />
B<br />
⎡ 3 ⎤<br />
Fla ⎛a⎞ = ⎢ −⎜ ⎟ ⎥<br />
2 ⎣⎢l ⎝l ⎠ ⎦⎥<br />
bei x = 0,5774 l<br />
4<br />
F' l<br />
f =<br />
153,4 EI<br />
bei y = 0,5193 l<br />
2<br />
A 2 1 b ⎛ a ⎞<br />
F = F ⎜ + ⎟<br />
l ⎝ 2l<br />
⎠<br />
FB = F −FA<br />
2 3<br />
2 1 Fa b ⎛ a ⎞<br />
f = ⎜ + ⎟<br />
4EI<br />
l ⎝ 3l<br />
⎠<br />
tan<br />
2 Fab<br />
α A =<br />
E<br />
4<br />
I l<br />
2<br />
⎛l⎞ FA = FB = F'⎜ + a⎟<br />
⎝2⎠ 2<br />
F' a<br />
M A =<br />
2<br />
2 2<br />
F'l ⎡1⎛a⎞ ⎤<br />
MC<br />
= ⎢ −⎜ ⎟ ⎥<br />
2 ⎢⎣4 ⎝l⎠ ⎥⎦<br />
f<br />
A<br />
3⎡<br />
2 ⎤<br />
F' l 1 ⎛a⎞ tanαA<br />
= ⎢ −⎜ ⎟ ⎥<br />
4EI⎣⎢6 ⎝l⎠ ⎦⎥<br />
3<br />
f<br />
C<br />
4⎡<br />
3 4⎤<br />
F' l a ⎛a⎞ 1⎛a⎞<br />
= ⎢ −⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥<br />
4EI⎢⎣6l ⎝l ⎠ 2⎝l<br />
⎠ ⎥⎦<br />
4 ⎡ 2 ⎤<br />
F' l 5 ⎛a⎞ = ⎢ −⎜ ⎟ ⎥<br />
16EI ⎢⎣24 ⎝2⎠ ⎥⎦<br />
F in Stabmitte<br />
5<br />
FA = F<br />
16<br />
11<br />
FB = F<br />
16<br />
5<br />
M = Fl 32<br />
3<br />
MB= Fl<br />
16<br />
3 F l<br />
E<br />
7<br />
f =<br />
768<br />
F l<br />
fmax = beix = 0,447l<br />
48 5 EI<br />
I<br />
F<br />
FA = FB<br />
=<br />
2<br />
M<br />
F l<br />
= = M<br />
8<br />
= M<br />
C A B<br />
3 F l<br />
E<br />
f =<br />
192<br />
I
Festigkeitslehre<br />
Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A, Trägheitsradius i<br />
3 3 2<br />
l ⎡1⎛ ⎞ 1⎛<br />
⎞ ⎤<br />
⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥<br />
I ⎝l ⎠ ⎝l ⎠<br />
F a a<br />
f = +<br />
E ⎢⎣3 4 ⎥⎦<br />
⎛ 3a<br />
⎞<br />
FA= F⎜1+ ⎟<br />
⎝ 2l<br />
⎠<br />
3a<br />
FB= F<br />
2l<br />
MA= Fa<br />
M =<br />
B<br />
Fa<br />
2<br />
3<br />
FA= F'l<br />
8<br />
5<br />
FB= F'l<br />
8<br />
F'<br />
M max =<br />
8<br />
l<br />
2<br />
4 F' l<br />
fmax<br />
=<br />
185EI<br />
für x = 0,4215 l<br />
⎛a⎞⎛ a⎞<br />
MC= 2Fb⎜ ⎟⎜1− ⎟<br />
⎝l ⎠⎝ l ⎠<br />
⎛b⎞⎛ b⎞<br />
FA= F⎜ ⎟⎜3−2 ⎟<br />
⎝l ⎠⎝ l ⎠<br />
⎛a⎞⎛ a⎞<br />
FB= F⎜ ⎟⎜3−2 ⎟<br />
⎝l ⎠⎝ l ⎠<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎛b⎞ MA= Fa⎜ ⎟<br />
⎝l⎠ 2<br />
⎛a⎞ MB= Fb⎜ ⎟<br />
⎝l⎠ 3 3<br />
Fa b<br />
f =<br />
3EI<br />
l<br />
3<br />
F'<br />
FA = FB<br />
=<br />
2<br />
l<br />
2<br />
F'<br />
M C =<br />
24<br />
l<br />
F' l<br />
M = M = = M<br />
12<br />
A B max<br />
4<br />
F' l<br />
f =<br />
384EI<br />
9.8 Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A <strong>und</strong> Trägheitsradius<br />
i verschieden gestalteter Querschnitte für Biegung <strong>und</strong> Knickung<br />
(die Gleichungen gelten für die eingezeichneten Achsen)<br />
I x<br />
3<br />
bh<br />
=<br />
12<br />
2<br />
bh<br />
W x =<br />
6<br />
i = 0,289h<br />
x<br />
h 4<br />
Ix = Iy = ID<br />
=<br />
12<br />
h 3<br />
Wx = Wy<br />
=<br />
6<br />
hb 3<br />
I y =<br />
12<br />
hb 2<br />
W y =<br />
6<br />
iy= 0,289b<br />
i = 0,289h<br />
W D =<br />
h 3<br />
2<br />
12<br />
A = b h<br />
A = h 2<br />
2<br />
225<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Axiale Flächenmomente<br />
226<br />
3 ah<br />
I =<br />
36<br />
2 ah<br />
W =<br />
24<br />
2 2<br />
b + bb1+ b1 h 3<br />
36(2 b+ b1)<br />
6 6<br />
I =<br />
6b2 + 6bb<br />
2<br />
1+ b1<br />
W 2<br />
=<br />
h<br />
12(3b+ 2 b1)<br />
4 4<br />
π d d<br />
I = ≈<br />
64 20<br />
3 3<br />
π d d<br />
W = ≈<br />
32 10<br />
= ( D4 −d4)<br />
64 I<br />
π<br />
D4 − d4<br />
W =<br />
32 D<br />
π<br />
π a3b I x =<br />
4<br />
a2b W x =<br />
4<br />
π<br />
2<br />
e= h<br />
3<br />
i = 0,236h<br />
2b+<br />
b1<br />
A = h<br />
2<br />
1 3b+ 2b1<br />
e = h<br />
3 2b+<br />
b<br />
i<br />
=<br />
A<br />
I<br />
A = d2<br />
4<br />
π<br />
d<br />
i =<br />
4<br />
1<br />
π<br />
A = ( D2−d2) 4<br />
2 2<br />
i = 0,25 D + d<br />
π b3a I y =<br />
4<br />
b2a W y =<br />
4<br />
π<br />
π 3 3 π 2<br />
x = ( a b−a1 b1) ≈ a d( a+ 3 b)<br />
4 4<br />
I<br />
I x π<br />
Wx = ≈ ad( a+ 3 b)<br />
a 4<br />
Ix = 0,0068 d 4<br />
Wx1 = 0,0238 d 3<br />
W y = 0,049 d 3<br />
e1 = 4r<br />
= 0,4244 r<br />
3 π<br />
Iy = 0,0245 d 4<br />
Wx2 = 0,0323 d 3<br />
ix = 0,132 d<br />
4 4 2 2R−r<br />
I x = 0,1098( R −r ) −0,283R<br />
r<br />
R+ r<br />
R4 − r4<br />
I y = π<br />
8<br />
a<br />
i x =<br />
2<br />
b<br />
i y =<br />
2<br />
( R4 − r4)<br />
Wy<br />
=<br />
8R<br />
π<br />
ah<br />
A =<br />
2<br />
A = � a b<br />
A = π ( ah−a1b1) ix<br />
x<br />
=<br />
A<br />
I<br />
x<br />
Wx1<br />
=<br />
e1<br />
I x<br />
Wx2<br />
=<br />
e2<br />
I 3 3 2( D − d )<br />
e1<br />
=<br />
2 2 3 π<br />
( D − d )
Festigkeitslehre<br />
Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A, Trägheitsradius i<br />
I<br />
5 3 4 4 = s = 0,5413s 16<br />
3<br />
A= 2<br />
2 3 s<br />
W<br />
5<br />
= s3 = 0,625s3 8<br />
i = 0,456s<br />
I<br />
5 3 3<br />
= s = 0,5413s A= 3 s<br />
16 2<br />
4 4 2<br />
3<br />
W = 0,5413 s i = 0,456s<br />
Ix b<br />
= 3 3 ( H − h )<br />
12<br />
Iy<br />
b3<br />
= ( H− h) 12<br />
A= b( H−h) b<br />
W 3 3<br />
x = ( H − h )<br />
6H b2<br />
Wy = ( H−h) 6<br />
H3 − h3<br />
ix = I y = 0,289b<br />
12( H−h) I<br />
3 3 3 3<br />
bh ( − h1 ) + b1( h1 −h2<br />
)<br />
=<br />
12<br />
A = bh−b1h2−h1( b−b1) 3 3 3 3<br />
bh ( − h1 ) + b1( h1 −h2<br />
)<br />
W =<br />
6h<br />
i =<br />
I<br />
A<br />
2 1<br />
I<br />
3 3<br />
BH + bh<br />
= A = BH + bh<br />
12<br />
3 3<br />
BH + bh<br />
I<br />
W = i =<br />
6H<br />
A<br />
I<br />
3 3<br />
BH − bh<br />
= A = BH −bh<br />
12<br />
3 3<br />
BH − bh<br />
I<br />
W = i =<br />
6H<br />
A<br />
1 3 3 3<br />
I = ( Be1 − bh + ae 2 )<br />
A = Bd + a( H −d)<br />
3<br />
2 2<br />
1 aH + bd<br />
e1<br />
= ⋅<br />
2 aH + bd<br />
e = H −e<br />
i<br />
=<br />
A<br />
I<br />
227<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Warmgewalzter r<strong>und</strong>kantiger U-Stahl<br />
228<br />
1<br />
( )<br />
3<br />
3 3 3 3<br />
I = Be1 − bh + B1e2 −b1h<br />
1 1 1<br />
1<br />
2 1<br />
2 2<br />
1 aH + bd + b1d1(2 H −d1)<br />
e1<br />
= ⋅<br />
2 aH + bd + b d<br />
e = H −e<br />
9.9 Warmgewalzter r<strong>und</strong>kantiger U-Stahl<br />
Kurzzeichen<br />
U<br />
30 × 15<br />
30<br />
40 × 20<br />
40<br />
50 × 25<br />
50<br />
60<br />
65<br />
80<br />
100<br />
120<br />
140<br />
160<br />
180<br />
200<br />
220<br />
240<br />
260<br />
280<br />
300<br />
320<br />
350<br />
380<br />
400<br />
h<br />
mm<br />
30<br />
30<br />
40<br />
40<br />
50<br />
50<br />
60<br />
65<br />
80<br />
100<br />
120<br />
140<br />
160<br />
180<br />
200<br />
220<br />
240<br />
260<br />
280<br />
300<br />
320<br />
350<br />
380<br />
400<br />
b<br />
mm<br />
15<br />
33<br />
20<br />
35<br />
25<br />
38<br />
30<br />
42<br />
45<br />
50<br />
55<br />
60<br />
65<br />
70<br />
75<br />
80<br />
85<br />
90<br />
95<br />
100<br />
100<br />
100<br />
102<br />
110<br />
s<br />
mm<br />
4<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
6<br />
5,5<br />
6<br />
6<br />
7<br />
7<br />
7,5<br />
8<br />
8,5<br />
9<br />
9,5<br />
10<br />
10<br />
10<br />
14<br />
14<br />
13,5<br />
14<br />
Querschnitt<br />
A<br />
mm 2<br />
221<br />
544<br />
366<br />
621<br />
492<br />
712<br />
646<br />
903<br />
1100<br />
1350<br />
1700<br />
2040<br />
2400<br />
2800<br />
3220<br />
3740<br />
4230<br />
4830<br />
5330<br />
5880<br />
7580<br />
7730<br />
8040<br />
9150<br />
e1 /e2 mm<br />
5,2/ 9,8<br />
13,1/19,9<br />
6,7/13,3<br />
13,3/21,7<br />
8,1/16,9<br />
13,7/24,3<br />
9,1/20,9<br />
14,2/27,8<br />
14,5/30,5<br />
15,5/34,5<br />
16,0/39,0<br />
17,5/42,5<br />
18,4/46,6<br />
19,2/50,8<br />
20,1/54,9<br />
21,4/58,6<br />
22,3/62,7<br />
23,6/66,4<br />
25,3/69,7<br />
27,0/73,0<br />
26,0/74,0<br />
24,0/76,0<br />
23,8/78,2<br />
26,5/83,5<br />
I x<br />
· 10 4 mm 4<br />
2,53<br />
6,39<br />
7,58<br />
14,1<br />
16,8<br />
26,4<br />
31,6<br />
57,5<br />
106<br />
206<br />
364<br />
605<br />
925<br />
1350<br />
1910<br />
2690<br />
3600<br />
4820<br />
6280<br />
8030<br />
10870<br />
12840<br />
15760<br />
20350<br />
W x<br />
· 10 3 mm 3<br />
1,69<br />
4,26<br />
3,79<br />
7,05<br />
6,73<br />
10,6<br />
10,5<br />
17,7<br />
26,5<br />
41,2<br />
60,7<br />
86,4<br />
116<br />
150<br />
191<br />
245<br />
300<br />
371<br />
448<br />
535<br />
679<br />
734<br />
829<br />
1020<br />
1) Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.<br />
1 1<br />
A = Bd + b d + a( h + h )<br />
i<br />
=<br />
A<br />
I<br />
Beispiel für die Bezeichnung eines U-Stahls <strong>und</strong> für das<br />
Ablesen von Flächenmomenten I <strong>und</strong> Widerstands-<br />
momenten W :<br />
U 100 DIN 1026 – USt37-2<br />
Höhe h = 100 mm<br />
Breite b = 50 mm<br />
Flächenmoment I x = 206 · 10 4 mm 4<br />
Widerstandsmoment W x = 41,2 · 10 3 mm 3<br />
Flächenmoment I y = 29,3 · 10 4 mm 4<br />
Widerstandsmoment W y1 = 18,9 · 10 3 mm 3<br />
W y2 = 8,49 · 10 3 mm 3<br />
Oberfläche je Meter Länge A' 0 = 0,372 m 2 /m<br />
Profilumfang U = 0,372 m<br />
Trägheitsradius ix = x A I / =39,1 mm<br />
I y<br />
· 10 4 mm 4<br />
0,38<br />
5,33<br />
1,14<br />
6,68<br />
2,49<br />
9,12<br />
4,51<br />
14,1<br />
19,4<br />
29,3<br />
43,2<br />
62,7<br />
85,3<br />
114<br />
148<br />
197<br />
248<br />
317<br />
399<br />
495<br />
597<br />
570<br />
615<br />
846<br />
W y1<br />
· 10 3 mm 3<br />
0,73<br />
4,07<br />
1,70<br />
5,02<br />
3,07<br />
6,66<br />
4,98<br />
9,93<br />
13,4<br />
18,9<br />
27,0<br />
35,8<br />
46,4<br />
59,4<br />
73,6<br />
92,1<br />
111<br />
134<br />
158<br />
183<br />
230<br />
238<br />
258<br />
355<br />
W y2<br />
· 10 3 mm 3<br />
0,39<br />
2,68<br />
0,86<br />
3,08<br />
1,47<br />
3,75<br />
2,16<br />
5,07<br />
6,36<br />
8,49<br />
11,1<br />
14,8<br />
18,3<br />
22,4<br />
27,0<br />
33,6<br />
39,6<br />
47,7<br />
57,3<br />
67,8<br />
80,7<br />
75,0<br />
78,6<br />
101<br />
Oberfläche<br />
je Meter<br />
Länge<br />
A' 0<br />
m 2 /m 1)<br />
0,103<br />
0,174<br />
0,142<br />
0,200<br />
0,181<br />
0,232<br />
0,215<br />
0,273<br />
0,312<br />
0,372<br />
0,434<br />
0,489<br />
0,546<br />
0,611<br />
0,661<br />
0,718<br />
0,775<br />
0,834<br />
0,890<br />
0,950<br />
0,982<br />
1,05<br />
1,11<br />
1,18<br />
Gewichtskraft<br />
je Meter<br />
Länge<br />
F'G<br />
N/m<br />
17,0<br />
41,9<br />
28,2<br />
47,8<br />
37,9<br />
54,8<br />
49,7<br />
69,5<br />
84,7<br />
104,0<br />
130,9<br />
157,1<br />
184,8<br />
215,6<br />
248,0<br />
288,0<br />
325,7<br />
372<br />
410,5<br />
452,8<br />
583,7<br />
595,3<br />
619,1<br />
704,6
Festigkeitslehre<br />
Warmgewalzter gleichschenkliger r<strong>und</strong>kantiger Winkelstahl<br />
9.10 Warmgewalzter gleichschenkliger r<strong>und</strong>kantiger Winkelstahl<br />
Kurzzeichen<br />
20 × 4<br />
25 × 5<br />
30 × 5<br />
35 × 5<br />
40 × 6<br />
45 × 6<br />
50 × 6<br />
50 × 8<br />
55 × 8<br />
60 × 6<br />
60 × 10<br />
65 × 8<br />
70 × 7<br />
70 × 9<br />
70 × 11<br />
75 × 8<br />
80 × 8<br />
80 × 10<br />
80 × 12<br />
90 × 9<br />
90 × 11<br />
100 × 10<br />
100 × 14<br />
110 × 12<br />
120 × 13<br />
130 × 12<br />
130 × 16<br />
140 × 13<br />
140 × 15<br />
150 × 12<br />
150 × 16<br />
150 × 20<br />
160 × 15<br />
160 × 19<br />
180 × 18<br />
180 × 22<br />
200 × 16<br />
200 × 20<br />
200 × 24<br />
200 × 28<br />
a<br />
s<br />
mm<br />
20/ 4<br />
25/ 5<br />
30/ 5<br />
35/ 5<br />
40/ 6<br />
45/ 6<br />
50/ 6<br />
50/ 8<br />
55/ 8<br />
60/ 6<br />
60/10<br />
65/ 8<br />
70/ 7<br />
70/ 9<br />
70/11<br />
75/ 8<br />
80/ 8<br />
80/10<br />
80/12<br />
90/ 9<br />
90/11<br />
100/10<br />
100/14<br />
110/12<br />
120/13<br />
130/12<br />
130/16<br />
140/13<br />
140/15<br />
150/12<br />
150/16<br />
150/20<br />
160/15<br />
160/19<br />
180/18<br />
180/22<br />
200/16<br />
200/20<br />
200/24<br />
200/28<br />
Querschnitt<br />
A<br />
mm 2<br />
145<br />
226<br />
278<br />
328<br />
448<br />
509<br />
569<br />
741<br />
823<br />
691<br />
1110<br />
985<br />
940<br />
1190<br />
1430<br />
1150<br />
1230<br />
1510<br />
1790<br />
1550<br />
1870<br />
1920<br />
2620<br />
2510<br />
2970<br />
3000<br />
3930<br />
3500<br />
4000<br />
3480<br />
4570<br />
5630<br />
4610<br />
5750<br />
6190<br />
7470<br />
6180<br />
7640<br />
9060<br />
10500<br />
e1<br />
e2<br />
mm · 10 4 mm 4<br />
6,4/ 13,6<br />
8 / 17<br />
9,2/ 20,8<br />
10,4/ 24,6<br />
12 / 28<br />
13,2/ 31,8<br />
14,5/ 35,5<br />
15,2/ 34,8<br />
16,4/ 38,6<br />
16,9/ 43,1<br />
18,5/ 41,5<br />
18,9/ 46,1<br />
19,7/ 50,3<br />
20,5/ 49,5<br />
21,3/ 48,7<br />
21,3/ 53,7<br />
22,6/ 57,4<br />
23,4/ 56,6<br />
24,1/ 55,9<br />
25,4/ 64,6<br />
26,2/ 63,8<br />
28,2/ 71,8<br />
29,8/ 70,2<br />
31,5/ 78,5<br />
34,4/ 85,6<br />
36,4/ 93,6<br />
38,0/ 92<br />
39,2/100,8<br />
40,0/100,0<br />
41,2/108,8<br />
42,9/107,1<br />
44,4/105,6<br />
44,9/115,1<br />
46,5/113,5<br />
51,0/129,0<br />
52,6/127,4<br />
55,2/144,8<br />
56,8/143,2<br />
58,4/141,6<br />
59,9/140,1<br />
Beispiel für die Bezeichnung eines Winkelstahls<br />
<strong>und</strong> für das Ablesen von Flächenmomenten I <strong>und</strong><br />
Widerstandsmomenten W :<br />
L 40 × 6 DIN 1028 – USt 37-2<br />
Schenkelbreite a = 40 mm<br />
Schenkeldicke s = 6 mm<br />
Flächenmoment I x = 6,33 · 10 4 mm 4<br />
Widerstandsmoment W x1 = 5,28 · 10 3 mm 3<br />
W x2 = 2,26 · 10 3 mm 3<br />
Oberfläche je Meter Länge A' 0 = 0,16 m 2 /m<br />
Profilumfang U = 0,16 m<br />
Trägheitsradius ix = x A I / = 11,9 mm<br />
I x = I y W x1 = W y1 W x2 = W y2 Oberfläche je<br />
Meter Länge<br />
0,48<br />
1,18<br />
2,16<br />
3,56<br />
6,33<br />
9,16<br />
12,8<br />
16,3<br />
22,1<br />
22,8<br />
34,9<br />
37,5<br />
42,4<br />
52,6<br />
61,8<br />
58,9<br />
72,3<br />
87,5<br />
102<br />
116<br />
138<br />
177<br />
235<br />
280<br />
394<br />
472<br />
605<br />
638<br />
723<br />
737<br />
949<br />
1150<br />
1100<br />
1350<br />
1870<br />
2210<br />
2340<br />
2850<br />
3330<br />
3780<br />
1) Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.<br />
· 10 3 mm 3<br />
0,75<br />
1,48<br />
2,35<br />
3,42<br />
5,28<br />
6,94<br />
8,83<br />
10,7<br />
13,5<br />
13,5<br />
18,9<br />
19,8<br />
21,5<br />
25,7<br />
29,0<br />
27,7<br />
32,0<br />
37,4<br />
42,3<br />
45,7<br />
52,7<br />
62,8<br />
78,9<br />
88,9<br />
115<br />
130<br />
159<br />
163<br />
181<br />
179<br />
221<br />
259<br />
245<br />
290<br />
367<br />
420<br />
424<br />
502<br />
570<br />
631<br />
· 10 3 mm 3<br />
0,35<br />
0,69<br />
1,04<br />
1,45<br />
2,26<br />
2,88<br />
3,61<br />
4,68<br />
5,73<br />
5,29<br />
8,41<br />
8,13<br />
8,43<br />
10,6<br />
12,7<br />
11,0<br />
12,6<br />
15,5<br />
18,2<br />
18,0<br />
21,6<br />
24,7<br />
33,5<br />
35,7<br />
46,0<br />
50,4<br />
65,8<br />
63,3<br />
72,3<br />
67,7<br />
88,7<br />
109<br />
95,6<br />
119<br />
145<br />
174<br />
162<br />
199<br />
235<br />
270<br />
A' 0<br />
m 2 /m 1)<br />
0,08<br />
0,10<br />
0,12<br />
0,14<br />
0,16<br />
0,17<br />
0,19<br />
0,19<br />
0,21<br />
0,23<br />
0,23<br />
0,25<br />
0,27<br />
0,27<br />
0,27<br />
0,29<br />
0,31<br />
0,31<br />
0,31<br />
0,35<br />
0,36<br />
0,39<br />
0,39<br />
0,43<br />
0,47<br />
0,51<br />
0,51<br />
0,55<br />
0,55<br />
0,59<br />
0,59<br />
0,59<br />
0,63<br />
0,63<br />
0,71<br />
0,71<br />
0,79<br />
0,79<br />
0,79<br />
0,79<br />
Gewichtskraft je<br />
Meter Länge<br />
F'G<br />
N/m<br />
11,2<br />
17,4<br />
21,4<br />
25,3<br />
34,5<br />
39,2<br />
43,8<br />
57,1<br />
63,4<br />
53,2<br />
85,2<br />
75,9<br />
72,4<br />
91,6<br />
110,1<br />
88,6<br />
94,7<br />
116,7<br />
138,3<br />
119,4<br />
144,0<br />
147,9<br />
201,8<br />
193,3<br />
228,7<br />
231,0<br />
302,6<br />
269,5<br />
308,0<br />
268,0<br />
351,9<br />
433,6<br />
355,0<br />
442,8<br />
476,7<br />
575,3<br />
475,9<br />
588,3<br />
697,7<br />
808,6<br />
229<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Warmgewalzter ungleichschenkliger r<strong>und</strong>kantiger Winkelstahl nach EN 10056-1<br />
230<br />
9.11 Warmgewalzter ungleichschenkliger r<strong>und</strong>kantiger Winkelstahl nach EN 10056-1<br />
Kurzzeichen<br />
30 × 20 × 4<br />
40 × 20 × 4<br />
45 × 30 × 5<br />
50 × 40 × 5<br />
60 × 30 × 7<br />
60 × 40 × 6<br />
65 × 50 × 5<br />
65 × 50 × 9<br />
75 × 50 × 7<br />
75 × 55 × 9<br />
80 × 40 × 6<br />
80 × 40 × 8<br />
80 × 65 × 8<br />
90 × 60 × 6<br />
90 × 60 × 8<br />
100 × 50 × 6<br />
100 × 50 × 8<br />
100 × 50 × 10<br />
100 × 65 × 9<br />
100 × 75 × 9<br />
120 × 80 × 8<br />
120 × 80 × 10<br />
120 × 80 × 12<br />
130 × 65 × 10<br />
13O× 75 × 10<br />
130 × 75 × 12<br />
130 × 90 × 10<br />
130 × 90 × 12<br />
150 × 75 × 9<br />
150 × 75 × 11<br />
150 × 90 × 10<br />
150 × 90 × 12<br />
150 × 100 × 10<br />
150 × 100 × 12<br />
150 × 100 × 14<br />
160 × 80 × 12<br />
200 × 100 × 10<br />
200 × 100 × 14<br />
250 × 90 × 10<br />
250 × 90 × 14<br />
a<br />
mm<br />
30<br />
40<br />
45<br />
50<br />
60<br />
60<br />
65<br />
65<br />
75<br />
75<br />
80<br />
80<br />
80<br />
90<br />
90<br />
100<br />
100<br />
100<br />
100<br />
100<br />
120<br />
120<br />
120<br />
130<br />
130<br />
130<br />
130<br />
130<br />
150<br />
150<br />
150<br />
150<br />
150<br />
150<br />
150<br />
160<br />
200<br />
200<br />
250<br />
250<br />
b<br />
mm<br />
20<br />
20<br />
30<br />
40<br />
30<br />
40<br />
50<br />
50<br />
50<br />
55<br />
40<br />
40<br />
65<br />
60<br />
60<br />
50<br />
50<br />
50<br />
65<br />
75<br />
80<br />
80<br />
80<br />
65<br />
75<br />
75<br />
90<br />
90<br />
75<br />
75<br />
90<br />
90<br />
100<br />
100<br />
100<br />
80<br />
100<br />
100<br />
90<br />
90<br />
c<br />
mm<br />
4<br />
4<br />
5<br />
5<br />
7<br />
6<br />
5<br />
9<br />
7<br />
9<br />
6<br />
8<br />
8<br />
6<br />
8<br />
6<br />
8<br />
10<br />
9<br />
9<br />
8<br />
10<br />
12<br />
10<br />
10<br />
12<br />
10<br />
12<br />
9<br />
11<br />
10<br />
12<br />
10<br />
12<br />
14<br />
12<br />
10<br />
14<br />
10<br />
14<br />
Ouerschnitt<br />
A<br />
mm 2<br />
185<br />
225<br />
353<br />
427<br />
585<br />
568<br />
554<br />
958<br />
830<br />
1090<br />
689<br />
901<br />
1100<br />
869<br />
1140<br />
873<br />
1150<br />
1410<br />
1420<br />
1510<br />
1550<br />
1910<br />
2270<br />
1860<br />
1960<br />
2330<br />
2120<br />
2510<br />
1950<br />
2360<br />
2320<br />
2750<br />
2420<br />
2870<br />
3320<br />
2750<br />
2920<br />
4030<br />
3320<br />
4590<br />
ex1<br />
ey1<br />
mm<br />
10,3 /5,4<br />
14,7/ 4,8<br />
15,2/ 7,8<br />
15,6/10,7<br />
22,4/ 7,6<br />
20,0/10,1<br />
19,9/12,5<br />
21,5/14,1<br />
24,8/12,5<br />
24,7/14,8<br />
28,5/ 8,8<br />
29,4/ 9,5<br />
24,7/17,3<br />
28,9/14,1<br />
29,7/14,9<br />
34,9/10,4<br />
35,9/11,3<br />
36,7/12,0<br />
33,2/15,9<br />
31,5/19,1<br />
38,3/18,7<br />
39,2/19,5<br />
40,0/20,3<br />
46,5/14,5<br />
44,5/17,3<br />
45,3/18,1<br />
41,5/21,8<br />
42,4/22,6<br />
52,8/15,7<br />
53,7/16,5<br />
49,9/20,3<br />
50,8/21,1<br />
48,0/23,4<br />
48,9/24,2<br />
49,7/25,0<br />
57,2/17,7<br />
69,3/20,1<br />
71,2/21,8<br />
94,5/15,6<br />
96,5/17,3<br />
I x<br />
· 10 4 mm 4<br />
1,59<br />
3,59<br />
6,99<br />
10,4<br />
20,7<br />
20,1<br />
23,1<br />
38,2<br />
46,4<br />
59,4<br />
44,9<br />
57,6<br />
68,1<br />
71,7<br />
92,5<br />
87,7<br />
116<br />
141<br />
141<br />
148<br />
226<br />
276<br />
323<br />
321<br />
337<br />
395<br />
358<br />
420<br />
455<br />
545<br />
532<br />
626<br />
552<br />
650<br />
744<br />
720<br />
1220<br />
1650<br />
2170<br />
2960<br />
W x1<br />
· 10 3 mm 3<br />
1,54<br />
2,44<br />
4,60<br />
6,67<br />
9,24<br />
10,1<br />
11,6<br />
17,8<br />
18,7<br />
24,0<br />
15,8<br />
19,6<br />
27,6<br />
24,8<br />
31,1<br />
25,1<br />
32,3<br />
38,4<br />
42,5<br />
47,0<br />
59,0<br />
70,4<br />
80,8<br />
69,0<br />
75,7<br />
87,2<br />
86,3<br />
99,1<br />
86,2<br />
101<br />
107<br />
123<br />
115<br />
133<br />
150<br />
126<br />
176<br />
232<br />
230<br />
307<br />
Beispiel für die Bezeichnung eines ungleichschenkligen<br />
Winkelstahls <strong>und</strong> für das Auswerten der Tabelle:<br />
L EN 10056-1 – 30 × 20 × 4<br />
Schenkel breite a = 30 mm, b = 20 mm<br />
Schenkeldicke s = 4 mm<br />
Flächenmoment 2. Grades I x = 1,59 · 10 4 mm 4<br />
Widerstandsmoment W x1 = 1,54 · 10 3 mm 3<br />
Widerstandsmoment W x2 = 0,81 · 10 3 mm 3<br />
Oberfläche je Meter Länge A' 0 = 0,097 m 2 /m<br />
Profilumfang U = 0,097 m<br />
Gewichtskraft je Meter Länge F'G = 14,2 N/m<br />
Trägheitsradius ix = x A I / = 9,27 mm<br />
W x2<br />
· 10 3 mm 3<br />
0,81<br />
1,42<br />
2,35<br />
3,02<br />
5,50<br />
5,03<br />
5,11<br />
8,77<br />
9,24<br />
11,8<br />
8,73<br />
11,4<br />
12,3<br />
11,7<br />
15,4<br />
13,8<br />
18,0<br />
22,2<br />
21,0<br />
21,5<br />
27,6<br />
34,1<br />
40,4<br />
38,4<br />
39,4<br />
46,6<br />
40,5<br />
48,0<br />
46,8<br />
56,6<br />
53,1<br />
63,1<br />
54,1<br />
64,2<br />
74,1<br />
70,0<br />
93,2<br />
128<br />
140<br />
192<br />
1) Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.<br />
I y<br />
· 10 4 mm 4<br />
0,55<br />
0,60<br />
2,47<br />
5,89<br />
3,41<br />
7,12<br />
11,9<br />
19,4<br />
16,5<br />
26,8<br />
7,59<br />
9,68<br />
40,1<br />
25,8<br />
33,0<br />
15,3<br />
19,5<br />
23,4<br />
46,7<br />
71,0<br />
80,8<br />
98,1<br />
114<br />
54,2<br />
82,9<br />
96,5<br />
141<br />
165<br />
78,3<br />
93,0<br />
145<br />
170<br />
198<br />
232<br />
264<br />
122<br />
210<br />
282<br />
161<br />
216<br />
W y1<br />
· 10 3 mm 3<br />
1,02<br />
1,25<br />
3,17<br />
5,50<br />
4,49<br />
7,05<br />
9,52<br />
13,8<br />
13,2<br />
18,1<br />
8,63<br />
10,2<br />
23,2<br />
18,3<br />
22,0<br />
14,7<br />
17,3<br />
19,5<br />
29,4<br />
37,0<br />
43,2<br />
50,3<br />
56,0<br />
37,4<br />
47,9<br />
53,3<br />
65,0<br />
73,0<br />
49,9<br />
56,0<br />
71,0<br />
81,0<br />
85,0<br />
96,0<br />
106<br />
69,0<br />
104<br />
129<br />
103<br />
125<br />
W y2<br />
· 10 3 mm 3<br />
0,38<br />
0,39<br />
1,11<br />
2,01<br />
1,52<br />
2,38<br />
3,18<br />
5,39<br />
4,39<br />
6,66<br />
2,44<br />
3,18<br />
8,41<br />
5,61<br />
7,31<br />
3,86<br />
5,04<br />
6,17<br />
9,52<br />
12,7<br />
13,2<br />
16,2<br />
19,1<br />
10,7<br />
14,4<br />
17,0<br />
20,6<br />
24,4<br />
13,2<br />
15,9<br />
20,9<br />
24,7<br />
25,8<br />
30,6<br />
35,2<br />
19,6<br />
26,3<br />
36,1<br />
21,7<br />
29,7<br />
Oberfläche<br />
je Meter<br />
Länge<br />
A' 0<br />
m 2 /m 1)<br />
0,097<br />
0,117<br />
0,146<br />
0,177<br />
0,175<br />
0,195<br />
0,224<br />
0,224<br />
0,244<br />
0,254<br />
0,234<br />
0,234<br />
0,283<br />
0,294<br />
0,294<br />
0,292<br />
0,292<br />
0,292<br />
0,321<br />
0,341<br />
0,391<br />
0,391<br />
0,391<br />
0,381<br />
0,401<br />
0,401<br />
0,430<br />
0,430<br />
0,441<br />
0,441<br />
0,469<br />
0,469<br />
0,489<br />
0,489<br />
0,489<br />
0,469<br />
0,587<br />
0,587<br />
0,667<br />
0,667<br />
Gewichtskraft<br />
je Meter<br />
Länge<br />
F'G<br />
N/m<br />
14,2<br />
17,4<br />
27,2<br />
32,9<br />
45,0<br />
43,7<br />
42,7<br />
73,7<br />
63,8<br />
84,2<br />
53,1<br />
69,3<br />
84,9<br />
66,9<br />
87,9<br />
67,2<br />
88,2<br />
108,9<br />
108,9<br />
115,7<br />
119,6<br />
147,1<br />
174,6<br />
143,2<br />
151,0<br />
179,5<br />
162,8<br />
193,2<br />
150,0<br />
182,4<br />
178,5<br />
211,8<br />
186,3<br />
221,6<br />
255,9<br />
211,8<br />
225,6<br />
309,9<br />
255,9<br />
353,0
Festigkeitslehre<br />
Warmgewalzte schmale �-Träger nach DIN 1025-1<br />
9.12 Warmgewalzte schmale �-Träger nach DIN 1025-1 (Auszug)<br />
Kurzzeichen<br />
�<br />
80<br />
100<br />
120<br />
140<br />
160<br />
180<br />
200<br />
220<br />
240<br />
260<br />
280<br />
300<br />
320<br />
340<br />
360<br />
380<br />
400<br />
425<br />
450<br />
475<br />
500<br />
550<br />
600<br />
h<br />
mm<br />
80<br />
100<br />
120<br />
140<br />
160<br />
180<br />
200<br />
220<br />
240<br />
260<br />
280<br />
300<br />
320<br />
340<br />
360<br />
380<br />
400<br />
425<br />
450<br />
475<br />
500<br />
550<br />
600<br />
b<br />
mm<br />
42<br />
50<br />
58<br />
66<br />
74<br />
82<br />
90<br />
98<br />
106<br />
113<br />
119<br />
125<br />
131<br />
137<br />
143<br />
149<br />
155<br />
163<br />
170<br />
178<br />
185<br />
200<br />
215<br />
s<br />
mm<br />
3,9<br />
4,5<br />
5,1<br />
5,7<br />
6,3<br />
6,9<br />
7,5<br />
8,1<br />
8,7<br />
9,4<br />
10,1<br />
10,8<br />
11,5<br />
12,2<br />
13,0<br />
13,7<br />
14,4<br />
15,3<br />
16,2<br />
17,1<br />
18,0<br />
19,0<br />
21,6<br />
t<br />
mm<br />
5,9<br />
6,8<br />
7,7<br />
8,6<br />
9,5<br />
10,4<br />
11,3<br />
12,2<br />
13,1<br />
14,1<br />
15,2<br />
16,2<br />
17,3<br />
18,3<br />
19,5<br />
20,5<br />
21,6<br />
23,0<br />
24,3<br />
25,6<br />
27,0<br />
30,0<br />
32,4<br />
Querschnitt<br />
A<br />
mm 2<br />
758<br />
1060<br />
1420<br />
1830<br />
2280<br />
2790<br />
3350<br />
3960<br />
4610<br />
5340<br />
6110<br />
6910<br />
7780<br />
8680<br />
9710<br />
10700<br />
11800<br />
13200<br />
14700<br />
16300<br />
18000<br />
21300<br />
25400<br />
I x<br />
·10 4 mm 4<br />
77,8<br />
171<br />
328<br />
573<br />
935<br />
1450<br />
2140<br />
3060<br />
4250<br />
5740<br />
7590<br />
9800<br />
12510<br />
15700<br />
19610<br />
24010<br />
29210<br />
36970<br />
45850<br />
56480<br />
68740<br />
99180<br />
139000<br />
Beispiel für die Bezeichnung eines schmalen �-Trägers<br />
mit geneigten inneren Flanschflächen <strong>und</strong> für das Auswerten<br />
der Tabelle:<br />
�-Profil DIN 1025 – S235JR – � 80<br />
Höhe h = 80 mm<br />
Breite b = 42 mm<br />
Flächenmoment 2. Grades I x = 77,8 · 10 4 mm 4<br />
Widerstandsmoment W x = 19,5 · 10 3 mm 3<br />
Oberfläche je Meter Länge A' 0 = 0,304 m 2 /m<br />
Profilumfang U = 0,304 m<br />
Trägheitsradius ix = x A I / = 32 mm<br />
W x<br />
· 10 3 mm 3<br />
19,5<br />
34,2<br />
54,7<br />
81,9<br />
117<br />
161<br />
214<br />
278<br />
354<br />
442<br />
542<br />
653<br />
782<br />
923<br />
1090<br />
1260<br />
1460<br />
1740<br />
2040<br />
2380<br />
2750<br />
3610<br />
4630<br />
1) Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.<br />
I y<br />
·10 4 mm 4<br />
6,29<br />
12,2<br />
21,5<br />
35,2<br />
54,7<br />
81,3<br />
117<br />
162<br />
221<br />
288<br />
364<br />
451<br />
555<br />
674<br />
818<br />
975<br />
1160<br />
1440<br />
1730<br />
2090<br />
2480<br />
3490<br />
4670<br />
W y<br />
· 10 3 mm 3<br />
3,00<br />
4,88<br />
7,41<br />
10,7<br />
14,8<br />
19,8<br />
26,0<br />
33,1<br />
41,7<br />
51,0<br />
61,2<br />
72,2<br />
84,7<br />
98,4<br />
114<br />
131<br />
149<br />
176<br />
203<br />
235<br />
268<br />
349<br />
434<br />
Oberfläche<br />
je Meter<br />
Länge<br />
A' 0<br />
m 2 /m 1)<br />
0,304<br />
0,370<br />
0,439<br />
0,502<br />
0,575<br />
0,640<br />
0,709<br />
0,775<br />
0,844<br />
0,906<br />
0,966<br />
1,03<br />
1,09<br />
1,15<br />
1,21<br />
1,27<br />
1,33<br />
1,41<br />
1,48<br />
1,55<br />
1,63<br />
1,80<br />
1,92<br />
Gewichtskraft<br />
je Meter<br />
Länge<br />
F'G<br />
N/m<br />
58,4<br />
81,6<br />
110<br />
141<br />
176<br />
215<br />
258<br />
305<br />
355<br />
411<br />
471<br />
532<br />
599<br />
668<br />
746<br />
824<br />
908<br />
1020<br />
1128<br />
1256<br />
1383<br />
1638<br />
1952<br />
231<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Warmgewalzte � -Träger, � PE-Reihe<br />
232<br />
9.13 Warmgewalzte � -Träger, � PE-Reihe<br />
Kurzzeichen<br />
IPE<br />
80<br />
100<br />
120<br />
140<br />
160<br />
180<br />
200<br />
220<br />
240<br />
270<br />
300<br />
330<br />
360<br />
400<br />
450<br />
500<br />
550<br />
600<br />
b<br />
mm<br />
46<br />
55<br />
64<br />
73<br />
82<br />
91<br />
100<br />
110<br />
120<br />
135<br />
150<br />
160<br />
170<br />
180<br />
190<br />
200<br />
210<br />
220<br />
t<br />
mm<br />
5,2<br />
5,7<br />
6,3<br />
6,9<br />
7,4<br />
8,0<br />
8,5<br />
9,2<br />
9,8<br />
10,2<br />
10,7<br />
11,5<br />
12,7<br />
13,5<br />
14,6<br />
16,0<br />
17,2<br />
19,0<br />
h<br />
mm<br />
80<br />
100<br />
120<br />
140<br />
160<br />
180<br />
200<br />
220<br />
240<br />
270<br />
300<br />
330<br />
360<br />
400<br />
450<br />
500<br />
550<br />
600<br />
s<br />
mm<br />
3,8<br />
4,1<br />
4,4<br />
4,7<br />
5,0<br />
5,3<br />
5,6<br />
5,9<br />
6,2<br />
6,6<br />
7,1<br />
7,5<br />
8,0<br />
8,6<br />
9,4<br />
10,2<br />
11,1<br />
12,0<br />
r<br />
mm<br />
5<br />
7<br />
7<br />
7<br />
9<br />
9<br />
12<br />
12<br />
15<br />
15<br />
15<br />
18<br />
18<br />
21<br />
21<br />
21<br />
24<br />
24<br />
Querschnitt<br />
A<br />
mm 2<br />
764<br />
1030<br />
1320<br />
1640<br />
2010<br />
2390<br />
2850<br />
3340<br />
3910<br />
4590<br />
5380<br />
6260<br />
7270<br />
8450<br />
9880<br />
11600<br />
13400<br />
15600<br />
I x<br />
· 10 4 mm 4<br />
80,1<br />
171<br />
318<br />
541<br />
869<br />
1320<br />
1940<br />
2770<br />
3890<br />
5790<br />
8360<br />
11770<br />
16270<br />
23130<br />
33740<br />
48200<br />
67120<br />
92080<br />
Beispiel für die Bezeichnung eines mittelbreiten I-Trägers<br />
mit parallelen Flanschflächen <strong>und</strong> für das Ablesen<br />
von Flächenmomenten I <strong>und</strong> Widerstandsmomenten W:<br />
IPE 80 DIN 1025 – USt37-2<br />
Höhe h = 80 mm<br />
Breite b = 46 mm<br />
Flächenmoment I x = 80,1 · 10 4 mm 4<br />
Widerstandsmoment W x = 20,0 · 10 3 mm 3<br />
Oberfläche je Meter Länge A' 0 = 0,328 m 2 /m<br />
Profilumfang U = 0,328 m<br />
Trägheitsradius Ix = x A I / = 32,4 mm<br />
W x<br />
· 10 3 mm 3<br />
20,0<br />
34,2<br />
53,0<br />
77,3<br />
109<br />
146<br />
194<br />
252<br />
324<br />
429<br />
557<br />
713<br />
904<br />
1160<br />
1500<br />
1930<br />
2440<br />
3070<br />
1) Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an.<br />
I y<br />
· 10 4 mm 4<br />
8,49<br />
15,9<br />
27,7<br />
44,9<br />
68,3<br />
101<br />
142<br />
205<br />
284<br />
420<br />
604<br />
788<br />
1040<br />
1320<br />
1680<br />
2140<br />
2670<br />
3390<br />
W y<br />
· 10 3 mm 3<br />
3,69<br />
5,79<br />
8,65<br />
12,3<br />
16,7<br />
22,2<br />
28,5<br />
37,3<br />
473<br />
62,2<br />
80,5<br />
98,5<br />
123<br />
146<br />
176<br />
214<br />
254<br />
308<br />
Oberfläche<br />
je Meter Länge<br />
A' 0<br />
m 2 /m 1)<br />
0,328<br />
0,400<br />
0,475<br />
0,551<br />
0,623<br />
0,698<br />
0,768<br />
0,848<br />
0,922<br />
1,041<br />
1,155<br />
1,254<br />
1,348<br />
1,467<br />
1,605<br />
1,738<br />
1,877<br />
2,014<br />
Gewichtskraft<br />
je Meter Länge<br />
F'G<br />
N/m<br />
59<br />
79<br />
102<br />
126<br />
155<br />
184<br />
220<br />
257<br />
301<br />
353<br />
414<br />
482<br />
560<br />
651<br />
761<br />
893<br />
1032<br />
1200
9.14 Knickung im <strong>Maschinenbau</strong> (siehe auch 9.35)<br />
Festigkeitslehre<br />
Knickung im <strong>Maschinenbau</strong><br />
1. Lösungsweg<br />
Gegeben: Querschnittsabmessungen <strong>und</strong> damit axiales Flächenmoment I, Stablänge l,<br />
Belastungsfall<br />
Gesucht: Zulässige Druckkraft F oder vorhandene Knicksicherheit �<br />
Schlankheitsgrad �<br />
s<br />
λ =<br />
i<br />
Trägheitsradius imin imin<br />
min<br />
=<br />
A<br />
I<br />
Vergleich des<br />
Schlankheitsgrades �<br />
mit Grenzschlankheitsgrad<br />
� 0 nach 9.15<br />
Beachte:<br />
Meistens kann s = l<br />
gesetzt werden (Fall 2)<br />
Imin kleinstes Flächenmoment 2. Grades des Querschnittes in mm 4 (9.8)<br />
s freie Knicklänge in mm<br />
i Trägheitsradius in mm (9.8)<br />
d<br />
i = für Kreisquerschnitt<br />
4<br />
A Querschnitt<br />
bei � � �0 weiterrechnen nach Euler:<br />
Knickkraft FK nach Euler <strong>und</strong><br />
Knickspannung �K 2 E Imin<br />
π<br />
FK<br />
=<br />
2 s<br />
oder<br />
2 E π<br />
σK<br />
=<br />
2 λ<br />
zulässige<br />
Druckkraft F oder<br />
Knicksicherheit � vorh<br />
F F<br />
F = oder νvorh<br />
=<br />
ν<br />
F<br />
K K<br />
bei � � �0 weiterrechnen nach Tetmajer (9.15):<br />
Knickspannung �K vorhandene Druck-<br />
F<br />
spannung �d oder<br />
d d<br />
A<br />
Knicksicherheit �<br />
� K, � d, E F K, F �, � s, i I A<br />
N<br />
2<br />
mm<br />
mit Tetmajer-Gleichung aus 9.15 berechnen.<br />
σK σK<br />
σ = oder σ = oder ν =<br />
ν σ<br />
2. Lösungsweg<br />
Gegeben: Druckkraft F, Knicksicherheit �, Stablänge l, Belastungsfall<br />
Gesucht: Erforderlicher Durchmesser d<br />
Knickkraft F K<br />
erforderliches<br />
Flächenmoment<br />
I min<br />
F K =F�<br />
F 2<br />
K s<br />
Imin<br />
=<br />
E π2<br />
d<br />
4<br />
N 1 mm mm 4 mm 2<br />
d<br />
I = bei Kreisquerschnitt<br />
20<br />
233<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Grenzschlankheitsgrad � 0 für Euler'sche Knickung <strong>und</strong> Tetmajer-Gleichungen<br />
erforderlicher Durchmesser<br />
d bei Kreisquerschnitt<br />
<strong>und</strong> Trägheitsradius<br />
i<br />
234<br />
Schlankheitsgrad �<br />
4 d erf = 20I<br />
min<br />
Imin<br />
d<br />
i = =<br />
A 4<br />
λ = s<br />
i<br />
Vergleich des Schlankheitsgrades � mit Grenzschlankheit � 0 nach 9.15.<br />
Ist � � � 0 war die Annahme richtig, d. h. gef<strong>und</strong>ener Durchmesser d kann ausgeführt werden.<br />
Bei � � � 0 muss mit angenommenem Durchmesser d nach Tetmajer weitergerechnet werden;<br />
zweckmäßig wird d größer d erf angenommen, dann der Schlankheitsgrad � = 4 s/d (bei Kreisquerschnitt)<br />
neu berechnet, mit Tetmajer-Gleichung (9.15) die Knickspannung � K bestimmt, ebenso die<br />
vorhandene Druckspannung � d = F/A. Danach wird überprüft, ob<br />
Knicksicherheit �<br />
σK<br />
ν = ≥ν<br />
σ<br />
ist.<br />
vorh erf<br />
d<br />
Ist �vorh � �erf, muss mit größerem d<br />
die Rechnung wiederholt werden.<br />
9.15 Grenzschlankheitsgrad � 0 für Euler'sche Knickung <strong>und</strong> Tetmajer-Gleichungen<br />
Werkstoff Elastizitätsmodul E<br />
N<br />
in<br />
mm<br />
2<br />
Grenzschlankheitsgrad � 0 Tetmajer-Gleichung für Knickspannung � K<br />
N<br />
in<br />
mm<br />
Nadelholz 10 000 100 � K = 29,3 – 0,194 · �<br />
Gusseisen 100 000 80 � K = 776 – 12 · � + 0,053 · � 2<br />
S235JR 210 000 105 � K = 310 – 1,14 · �<br />
E295 <strong>und</strong><br />
E355<br />
Vergütungsstahl<br />
z.B. 16NiCr4<br />
210 000 89 � K = 335 – 0,62 · �<br />
210 000 86 � K = 470 – 2,3 · �<br />
Beachte: Die Eulergleichung gilt nur, solange der errechnete Schlankheitsgrad � gleich oder größer<br />
ist als der hier in der Tabelle angegebene Grenzschlankheitsgrad � 0.<br />
Die Tetmajer-Gleichungen sind Zahlenwertgleichungen mit � K in N/mm 2 .<br />
2
9.16 Abscheren <strong>und</strong> Torsion<br />
Praktisches Beispiel für Abscherbeanspruchung ist das<br />
Scherschneiden. Die äußeren Kräfte F bilden ein<br />
Kräftepaar mit dem kleinen Wirkabstand u, dem so<br />
genannten Schneidspalt. Das entsprechend kleine<br />
Kraftmoment M = Fu wird vernachlässigt. Die in der<br />
Schnittfläche auftretende Gleichgewichtskraft F q = F ist<br />
eine Tangentialkraft, die auftretende Tangentialspannung<br />
ist die Schubspannung �. Zur Kennzeichnung der Beanspruchung<br />
nennt man sie Abscherspannung � a.<br />
vorhandene Abscherspannung � a<br />
(Abscher-Hauptgleichung)<br />
erforderlicher<br />
Querschnitt A<br />
zulässige Belastung F max<br />
F<br />
τavorh= ≤τazul<br />
A<br />
(Spannungsnachweis)<br />
F<br />
Aerf<br />
=<br />
τazul<br />
(Querschnittsnachweis)<br />
Fmax = A τazul<br />
(Belastungsnachweis)<br />
Untersuchungen am Rechteckquerschnitt ergeben eine<br />
parabolische Verteilung der Schubspannungen mit � = 0<br />
in der Randfaser <strong>und</strong> � = � max in der mittleren Faserschicht.<br />
Wird mit dem Mittelwert � mittel = � a = F/A gerechnet, ergeben<br />
sich für verschiedene Querschnittsformen die folgenden<br />
Maximalwerte für die auftretende Schubspannung:<br />
� max = (3/2) · � a für den Rechteckquerschnitt,<br />
� max = (4/3) · � a für den Kreisquerschnitt,<br />
� max = ca. 2 · � a für den Rohrquerschnitt.<br />
Niete <strong>und</strong> Bolzen werden mit der Abscher-Hauptgleichung<br />
� a vorh = F/A berechnet, obwohl keine gleichmäßige<br />
Spannungsverteilung vorliegt <strong>und</strong> der gefährdete<br />
Querschnitt neben der Querkraft F q = F noch ein Biegemoment<br />
M b zu übertragen hat. In warm eingezogenen<br />
Nieten tritt gar keine Schubspannung auf, sie werden<br />
durch das Schrumpfen in Längsrichtung auf Zug beansprucht.<br />
Die zulässigen Abscherspannungen für Nietverbindungen<br />
im Stahlhoch- <strong>und</strong> Kranbau sowie im Kesselbau sind<br />
vorgeschrieben.<br />
W<br />
F =F<br />
q<br />
u<br />
F<br />
F<br />
F<br />
Festigkeitslehre<br />
Abscheren <strong>und</strong> Torsion<br />
s<br />
A<br />
A = Querschnittsfläche<br />
� a F A<br />
N/mm 2 N mm 2<br />
Diese Gleichungen gelten nur unter der<br />
Annahme einer gleichmäßigen Schubspannungsverteilung<br />
über der Querschnittsfläche<br />
A.<br />
Abscherfestigkeit � aB:<br />
� aB = 0,85 · R m (für Flussstahl)<br />
� aB = 1,1 · R m (für Gusseisen)<br />
F<br />
A<br />
l<br />
F<br />
235<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Abscheren <strong>und</strong> Torsion<br />
vorhandene<br />
Torsionsspannung � t<br />
erforderliches polares<br />
Widerstandsmoment W p<br />
zulässiges Torsionsmoment<br />
M T max<br />
erforderliches polares<br />
Widerstandsmoment W p<br />
236<br />
Verdrehwinkel � in Grad (°)<br />
Formänderungsarbeit W<br />
M<br />
τ τ<br />
T<br />
tvorh= ≤ tzul<br />
Wp<br />
(Spannungsnachweis)<br />
W<br />
perf<br />
M<br />
=<br />
τ<br />
T<br />
tzul<br />
(Querschnittsnachweis)<br />
MTmax = Wpτtzul (Belastungsnachweis)<br />
9,55 106 P<br />
M T = ⋅<br />
n<br />
(Zahlenwertgleichung)<br />
o 180 τt<br />
l<br />
ϕ =<br />
π Gr<br />
o 180 M T l<br />
ϕ =<br />
π W rG<br />
ϕ =<br />
p<br />
o 180 M T<br />
π<br />
I<br />
p<br />
l<br />
G<br />
2<br />
t V R 2<br />
ϕ τ<br />
W = MT=<br />
= ϕ<br />
2 4G 2<br />
M T<br />
R = � tan �<br />
ϕ<br />
V Volumen in mm 3<br />
R Federrate in N/mm<br />
� Drehwinkel in rad<br />
G Schubmodul in N/mm 2<br />
� t M T W p<br />
N<br />
2<br />
mm<br />
Nmm mm 3<br />
W p polares Widerstandsmoment (9.20)<br />
M T P n<br />
Nmm kW min –1<br />
G Schubmodul in N/mm 2 nach 9.5<br />
l Verdrehlänge in mm<br />
r Wellenradius in mm<br />
MT Torsionsmoment in Nmm<br />
Wp polares Widerstandsmoment<br />
in mm 3<br />
Ip polares Flächenmoment in mm 4<br />
nach 9.20
Festigkeitslehre<br />
Widerstandsmoment W p (W t) <strong>und</strong> Flächenmoment I p (Drillungswiderstand I t)<br />
9.17 Widerstandsmoment W p (W t) <strong>und</strong> Flächenmoment I p (Drillungswiderstand I t)<br />
Form des Querschnittes<br />
Widerstandsmoment W p (W t )<br />
π 3 d<br />
Wt = Wp = d ≈<br />
16 5<br />
≈ 0,2 d<br />
Wt = Wp<br />
= ⋅<br />
16<br />
π 3<br />
Wt= nb<br />
16<br />
h<br />
= n > 1<br />
b<br />
3<br />
3<br />
Flächenmoment I p<br />
Drillungswiderstand I t<br />
π 4 d<br />
It= Ip<br />
= d ≈<br />
32 10<br />
≈ 0,1d<br />
4<br />
4<br />
Bemerkungen<br />
� max am<br />
Umfang<br />
4 4<br />
π da−di π 4 4 � max am<br />
It = Ip<br />
= ( da −di)<br />
da<br />
32<br />
3 4 π n b<br />
I t = ⋅<br />
16 2 n + 1<br />
ha h i h i b i<br />
= = n > 1 = = α < 1<br />
b b h b<br />
a i a a<br />
3<br />
π n<br />
I = ⋅ ⋅ 4 −α4<br />
t b<br />
2 a (1 )<br />
16 n + 1<br />
π 3<br />
W = −α4<br />
t nba<br />
(1 )<br />
16<br />
W 3<br />
t = 0,208a<br />
h<br />
= n > 1<br />
b<br />
t 1<br />
3<br />
W = c b<br />
I<br />
4<br />
t = 0,141a<br />
4<br />
c b =<br />
t 2 I<br />
Umfang�<br />
� max an den<br />
Endpunkten<br />
der kleinen<br />
Achse<br />
� max an den<br />
Endpunkten<br />
der kleinen<br />
Achse<br />
� max in der<br />
Mitte der<br />
Seiten<br />
� max in der<br />
Mitte der<br />
langen<br />
Seiten<br />
�<br />
n 1 1,5 2 3 4 6 8 10<br />
c 1 0,208 0,346 0,493 0,801 1,150 1,789 2,456 3,123<br />
c 2 0,1404 0,2936 0,4572 0,7899 1,1232 1,789 2,456 3,123<br />
237<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Zusammengesetzte Beanspruchung bei gleichartigen Spannungen<br />
238<br />
9.18 Zusammengesetzte<br />
Beanspruchung bei<br />
gleichartigen<br />
Spannungen<br />
Zug <strong>und</strong> Biegung<br />
resultierende Zug-<br />
spannung � res Zug<br />
<strong>und</strong><br />
resultierende Druckspannung<br />
� res Druck<br />
Druck <strong>und</strong> Biegung<br />
resultierende<br />
Druckspannung � res Druck<br />
<strong>und</strong><br />
resultierende<br />
Zugspannung � res Zug<br />
Torsion <strong>und</strong> Abscheren<br />
maximale Schub-<br />
Spannung � max in den<br />
Umfangspunkten B<br />
i I<br />
σresZug = σz+ σbzc=<br />
=<br />
a Aa<br />
σ<br />
F Fae<br />
= + ≤σ<br />
A I<br />
σ = σ −σ<br />
resZug zzul<br />
resDruck bz z<br />
Fae F<br />
σ = − ≤σ<br />
I A<br />
resDruck dzul<br />
i I<br />
σresDruck = σd+ σbdc=<br />
=<br />
a Aa<br />
σ<br />
F Fae<br />
= + ≤σ<br />
A I<br />
σ = σ −σ<br />
resDruck dzul<br />
resZug bd d<br />
Fae F<br />
σ = − ≤σ<br />
I A<br />
resZug z zul<br />
16F 8F<br />
max = s + t = +<br />
2 2<br />
3 πd πd<br />
τ τ τ<br />
τ<br />
F<br />
max = 4,24<br />
2 d<br />
2<br />
2
9.19 Zusammengesetzte<br />
Beanspruchung bei<br />
ungleichartigen<br />
Spannungen<br />
Maximalwerte � <strong>und</strong> � zur<br />
Bestimmung der<br />
Vergleichsspannung � v<br />
in Wellen mit<br />
Kreisquerschnitt<br />
Dehnungshypothese<br />
(C. Bach)<br />
Schubspannungshypothese<br />
(Mohr)<br />
Hypothese der größten<br />
Gestaltänderungsenergie<br />
Anstrengungsverhältnis � 0<br />
Dehnungshypothese<br />
Schubspannungshypothese<br />
Hypothese der größten<br />
Gestaltänderungsenergie<br />
Festigkeitslehre<br />
Zusammengesetzte Beanspruchung bei ungleichartigen Spannungen<br />
Gleichzeitiges Auftreten von Normal- <strong>und</strong> Schubspannungen ergibt<br />
mehrachsigen Spannungszustand, so dass algebraische Addition (wie<br />
bei Zug/Druck <strong>und</strong> Biegung oder Torsion <strong>und</strong> Abscheren) nicht<br />
möglich ist. Es wird die Vergleichsspannung � v eingeführt, die unmittelbar<br />
mit dem Festigkeitskennwert des Werkstoffs bei einachsigem<br />
Spannungszustand verglichen wird <strong>und</strong> nach einer der aufgestellten<br />
Festigkeitshypothesen ermittelt werden kann.<br />
Bei Biegung <strong>und</strong> Torsion z.B. besteht das innere Kräftesystem aus<br />
dem Biegemoment M b = Fx, dem Torsionsmoment M T = Fr <strong>und</strong> der<br />
Querkraft F q = F. Größte Normalspannung tritt in den Punkten A, B<br />
auf, größte Torsionsschubspannung am Kreisumfang. Querkraft-<br />
Schubspannung kann bei langen Stäben vernachlässigt werden.<br />
M b 32Fx M T 16Fr<br />
max = = = <strong>und</strong><br />
3 max = = =<br />
W W 3<br />
πd p πd<br />
σ σ τ τ<br />
2 2<br />
σv= 0,35σ+ 0,65 σ + 4τ<br />
2 2<br />
σ = σ + 4τ<br />
v<br />
2 2<br />
σ = σ + 3τ<br />
α<br />
v<br />
0 =<br />
σ<br />
ϕ τ<br />
zul<br />
zul<br />
Diese Gleichungen gelten nur, wenn<br />
� <strong>und</strong> � durch gleichen Belastungsfall<br />
entstehen (z.B. beide durch wechselnde<br />
Belastung), sonst ist mit dem<br />
„Anstrengungsverhältnis � 0 “ zu rechnen.<br />
� ist für jede Hypothese verschieden,<br />
siehe folgende � 0 -Werte<br />
σ<br />
σ = σ+ σ + α τ α =<br />
τ<br />
zul<br />
2 2<br />
v 0,35 0,65 4( 0 ) 0<br />
1, 3<br />
σ<br />
σ = σ + α τ α =<br />
τ<br />
zul<br />
2 2<br />
v 4( 0 )<br />
0<br />
2<br />
2 2<br />
σzul<br />
σv = σ + 3( α0τ) α0<br />
=<br />
1, 73<br />
τ<br />
zul<br />
zul<br />
zul<br />
239<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Beanspruchung durch Fliehkraft<br />
240<br />
Normalspannung �<br />
Schubspannung �<br />
Normalspannung �<br />
Schubspannung ��<br />
Normalspannung �<br />
Schubspannung �<br />
Vergleichsmomente M v<br />
<strong>und</strong> d erf für Wellen mit<br />
Kreisquerschnitt<br />
9.20 Beanspruchung<br />
durch Fliehkraft<br />
umlaufender Ring<br />
Zugspannung in<br />
Umfangsrichtung � t<br />
(Tangentialspannung)<br />
Vergrößerung des<br />
Radius �r m<br />
Zug/Druck <strong>und</strong> Torsion<br />
F<br />
σ =±<br />
A<br />
τ<br />
M T<br />
=<br />
Wp<br />
Zug/Druck <strong>und</strong> Schub<br />
F<br />
σ =±<br />
A<br />
Fq<br />
τ =<br />
A<br />
Biegung <strong>und</strong> Torsion<br />
σ<br />
τ<br />
M b<br />
=<br />
W<br />
M T<br />
=<br />
Wp<br />
2 2<br />
v = b + 0,75( α0<br />
T)<br />
M M M<br />
32M<br />
3 v<br />
erf =<br />
π σbzul<br />
d<br />
(Hypothese der größten<br />
Gestaltänderungsenergie)<br />
= 2 2<br />
t m<br />
σ ω r r<br />
rω<br />
∆rm<br />
=<br />
E<br />
r<br />
m<br />
2r3 m<br />
ra + ri<br />
=<br />
2<br />
Beide Spannungen zur Vergleichsspannung<br />
� v zusammensetzen<br />
Beide Spannungen zur Vergleichsspannung<br />
� v zusammensetzen<br />
Beide Spannungen zur Vergleichsspannung<br />
� v zusammensetzen<br />
� 0 � 1,0 – wenn � b <strong>und</strong> � t im<br />
gleichen Belastungsfall<br />
� 0 � 0,7 – wenn � b wechselnd (III)<br />
<strong>und</strong> � t schwellend (II)<br />
oder ruhend (I)<br />
� t r �� r E ��<br />
N<br />
2<br />
m<br />
kg<br />
3<br />
m<br />
1<br />
s<br />
N<br />
m 2<br />
m<br />
r Dichte des Werkstoffs<br />
� Winkelgeschwindigkeit<br />
E E-Modul (9.5)<br />
r m<br />
mittlerer Radius<br />
s Dicke � r m<br />
� Poissonzahl (9.1)<br />
1
Tangentialspannung � t<br />
Radialspannung � r<br />
Tangentialspannung � t<br />
Radialspannung � r<br />
Axialspannung � x<br />
9.21 Flächenpressung,<br />
Lochleibungsdruck,<br />
Hertz'sche<br />
Pressung<br />
Flächenpressung p<br />
ebener Flächen<br />
Flächenpressung p<br />
der Prismenführung<br />
Flächenpressung p<br />
im Kegelzapfen<br />
Festigkeitslehre<br />
Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung<br />
Umlaufende zylindrische Scheibe gleicher Dicke, Einheiten siehe<br />
umlaufender Ring<br />
µ ⎡ 2 2 + µ 2<br />
+<br />
⎤<br />
σ = ω2<br />
23<br />
ri ri (1 3 ) rm<br />
t r ra<br />
⎢1+ + −<br />
2 2 ⎥<br />
8 ⎣ r r (3 + µ ) r2<br />
� Poissonzahl (9.1)<br />
⎦<br />
a m a<br />
µ ⎡ 2 2 2<br />
+<br />
⎤<br />
σ = ω2<br />
23<br />
ri ri rm<br />
r r ra<br />
⎢1+ − −<br />
2 2 2⎥<br />
8 ⎣ r r r ⎦<br />
a m a<br />
Umlaufender Hohlzylinder, Einheiten siehe umlaufender Ring<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
2 2 2<br />
2 3−2µ ri ri (1+ 2 µ ) rm<br />
t = r rm<br />
1+<br />
+ −<br />
8(1 − µ ) 2 2 2<br />
ra rm (3 − 2 µ ) ra<br />
σ ω<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
− ⎣ ⎦<br />
2 2 2<br />
2 2 3−2µ ri ri rm<br />
r = r ra<br />
1+<br />
− −<br />
8(1 µ ) 2 2 2<br />
ra rm ra<br />
σ ω<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
− ⎣ ⎦<br />
2 2<br />
2 2 2 µ ri rm<br />
x = r ra<br />
1+ −2<br />
8(1 µ ) 2 2 ra ra<br />
σ ω<br />
Einheiten: Kraft F in N; Flächenpressung p in N/mm 2<br />
(Längen <strong>und</strong> Durchmesser in mm)<br />
Normalkraft FN<br />
p =<br />
Berührungsfläche A<br />
F F<br />
p = =<br />
( B−b) l 2lTtanα 4F<br />
F<br />
p = =<br />
( 2 2 π D − d ) π l<br />
dm<br />
tanα<br />
� Poissonzahl (9.1)<br />
241<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung<br />
Flächenpressung p<br />
in Kegelkupplung<br />
Flächenpressung p<br />
im Gewinde<br />
Flächenpressung p<br />
im Gleitlager<br />
Lochleibungsdruck � l =<br />
Flächenpressung am<br />
Nietschaft<br />
Pressung p max<br />
Kugel gegen Ebene<br />
Pressung p max<br />
Kugel gegen Kugel<br />
242<br />
m sin<br />
F<br />
p =<br />
π d B α<br />
FP<br />
p =<br />
π d2H1m F<br />
p =<br />
d l<br />
F Radialkraft<br />
d Lagerdurchmesser<br />
l Lagerlänge<br />
σ =<br />
l<br />
F<br />
1<br />
1<br />
d s<br />
m Mutterhöhe<br />
P Steigung eines Ganges<br />
F 1 Kraft, die ein Niet zu übertragen hat; d 1 Lochdurchmesser = Durchmesser<br />
des geschlagenen Nietes ; s kleinste Summe aller Blechdicken in einer Kraftrichtung.<br />
P<br />
1,5 F 1 1,5 FE<br />
= = 3<br />
π a π r (1 − µ )<br />
max 2 2 2 2<br />
2<br />
3 1,5(1 − µ ) Fr<br />
= = 1,11 3 Fr<br />
a<br />
E E<br />
2,25(1 − µ ) F F<br />
δ = 3 = 1,23 3<br />
rE rE<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
� Poisson-Zahl (9.1); E = 2 E 1 E 2 /(E 1 � E 2 ) bei unterschiedlichen Werkstoffen<br />
(9.5)<br />
� gesamte Annäherung beider Körper<br />
Gleichungen wie Kugel gegen Ebene, mit 1/r = (1/r 1) + (1/r 2). Für<br />
Hohlkugel ist 1/r 2 negativ einzusetzen
Pressung p max<br />
Walze gegen Ebene<br />
Pressung p max<br />
Walze gegen Walze<br />
(parallele Achsen)<br />
9.22 Hohlzylinder unter<br />
Druck<br />
Radialspannung � r<br />
im Abstand r<br />
Tangentialspannung � t<br />
im Abstand r<br />
Spannung am Innenrand<br />
Spannung am Außenrand<br />
Schrumpfmaß für<br />
Pressverbindung<br />
2F<br />
FE<br />
Pmax<br />
= =<br />
π bl 2 π l r (1 − µ 2)<br />
8 Fr (1 − µ 2)<br />
Fr<br />
b = = 1,52<br />
π El El<br />
Festigkeitslehre<br />
Hohlzylinder unter Druck<br />
Gleichungen wie Walze gegen Ebene, mit 1/r = (1/r 1) + (1/r 2).<br />
Für Hohlzylinder ist 1/r 2 negativ einzusetzen<br />
⎡ ⎛ 2⎞ 2<br />
r2 ⎛ 2⎞⎤<br />
i r<br />
σ = ⎢ ⎜ a r<br />
⎜ − ⎟ a r<br />
⎟+<br />
⎜ i<br />
r pi 1 pa<br />
⎜− 1+<br />
⎟ ⎟⎥<br />
r2 2 2 2 2<br />
− r ⎢⎣ ⎝ r ⎠ r ⎝ r ⎠⎥⎦<br />
a i i<br />
2 ⎡ ⎛ 2⎞ 2⎛<br />
2<br />
r ⎞⎤<br />
i r<br />
σ = ⎢ ⎜ a r<br />
⎜ + ⎟<br />
a r<br />
− ⎜ i<br />
t pi 1 pa<br />
1+<br />
⎟<br />
⎥<br />
r2 − r2 2 2 2<br />
⎢⎣ ⎝ r ⎠ r ⎝ r ⎠⎥⎦<br />
a i i<br />
p i Innenpressung, p a Außenpressung<br />
2 2 2<br />
i a i a a<br />
p ( r + r ) −2p<br />
r<br />
σr =− p i σt<br />
=<br />
r2 − r2<br />
a i<br />
2 p 2 2 2<br />
iri− pa( ra+ ri)<br />
r =− pa<br />
t =<br />
r2 2<br />
a − ri<br />
σ σ<br />
r r ⎛r r r r ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2 2 2 2<br />
a1 − i2 1 i + a2 i + i1<br />
= p<br />
+<br />
r 2 2 2 2<br />
i E ra2 −riri−ri1 p erforderliche Pressung<br />
243<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13<br />
244<br />
9.23 Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13<br />
Maße in mm<br />
Gewinde-<br />
Nenndurchmesser<br />
d = D<br />
Reihe 1 Reihe 2<br />
Steigung<br />
P<br />
Steigungswinkel<br />
��<br />
Flankendurchmesser<br />
Bezeichnung des metrischen<br />
Regelgewindes z.B. M12 Gewinde-<br />
Nenndurchmesser d = D = 12 mm<br />
Kerndurchmesser Gewindetiefe 1) Spannungsquerschnitt<br />
in Grad d 2 = D 2 d 3 D 1 h 3 H 1 A S mm 2<br />
polares Widerstandsmoment<br />
W pS mm 3<br />
Schaftquerschnitt<br />
A mm 2<br />
3 0,5 3,40 2,675 2,387 2,459 0,307 0,271 5,03 3,18 7,07<br />
3,5 0,6 3,51 3,110 2,764 2,850 0,368 0,325 6,78 4,98 9,62<br />
4 0,7 3,60 3,545 3,141 3,242 0,429 0,379 8,73 7,28 12,6<br />
4,5 0,75 3,40 4,013 3,580 3,688 0,460 0,406 11,3 10,72 15,9<br />
5 0,8 3,25 4,480 4,019 4,134 0,491 0,433 14,2 15,09 19,6<br />
6 1 3,40 5,350 4,773 4,917 0,613 0,541 20,1 25,42 28,3<br />
8 1,25 3,17 7,188 6,466 6,647 0,767 0,677 36,6 62,46 50,3<br />
10 1,5 3,03 9,026 8,160 8,376 0,920 0,812 58,0 124,6 78,5<br />
12 1,75 2,94 10,863 9,853 10,106 1,074 0,947 84,3 218,3 113<br />
14 2 2,87 12,701 11,546 11,835 1,227 1,083 115 347,9 154<br />
16 2 2,48 14,701 13,546 13,835 1,227 1,083 157 554,9 201<br />
18 2,5 2,78 16,376 14,933 15,294 1,534 1,353 192 750,5 254<br />
20 2,5 2,48 18,376 16,933 17,294 1,534 1,353 245 1082 314<br />
22 2,5 2,24 20,376 18,933 19,294 1,534 1,353 303 1488 380<br />
24 3 2,48 22,051 20,319 20,752 1,840 1,624 353 1871 452<br />
27 3 2,18 25,051 23,319 23,752 1,840 1,624 459 2774 573<br />
30 3,5 2,30 27,727 25,706 26,211 2,147 1,894 561 3748 707<br />
33 3,5 2,08 30,727 28,706 29,211 2,147 1,894 694 5157 855<br />
36 4 2,18 33,402 31,093 31,670 2,454 2,165 817 6588 1020<br />
39 4 2,00 36,402 34,093 34,670 2,454 2,165 976 8601 1190<br />
42 4,5 2,10 39,077 36,479 37,129 2,760 2,436 1120 10574 1390<br />
45 4,5 1,95 42,077 39,479 40,129 2,760 2,436 1300 13222 1590<br />
48 5 2,04 44,752 41,866 42,587 3,067 2,706 1470 15899 1810<br />
52 5 1,87 48,752 45,866 46,587 3,067 2,706 1760 20829 2120<br />
56 5,5 1,91 52,428 49,252 50,046 3,374 2,977 2030 25801 2460<br />
60 5,5 1,78 56,428 53,252 54,046 3,374 2,977 2360 32342 2830<br />
64 6 1,82 60,103 56,639 57,505 3,681 3,248 2680 39138 3220<br />
68 6 1,71 64,103 60,639 61,505 3,681 3,248 3060 47750 3630<br />
1) H1 ist die Tragtiefe zur Berechnung der Flächenpressung im Gewinde
9.24 Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103<br />
Gewindedurchmesser<br />
Steigung Steigungswinkel<br />
d P ��<br />
�<br />
in Grad<br />
Festigkeitslehre<br />
Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103<br />
Tragtiefe Flankendurchmesser<br />
H 1<br />
H 1 = 0,5 P<br />
Bezeichnung für<br />
a) eingängiges Gewinde z.B.<br />
Tr 75 × 10<br />
Gewindedurchmesser d = 75 mm,<br />
Steigung P = 10 mm = Teilung<br />
b) zweigängiges Gewinde z.B.<br />
D 2 = d 2<br />
D 2 =d– H 1<br />
Tr 75 × 20P10<br />
Gewindedurchmesser d = 75 mm,<br />
Steigung Ph = 20 mm<br />
Teilung P = 10 mm<br />
Steigung Ph<br />
20mm<br />
Gangzahl z =<br />
= = 2<br />
TeilungP 10mm<br />
Kerndurchmesser<br />
Kernquer-<br />
schnitt<br />
d3 A3 = π d 2<br />
3<br />
4<br />
mm 2<br />
polares Widerstandsmoment<br />
W p = π d 3<br />
3<br />
16<br />
mm 3<br />
8 1,5 3,77 0,75 7,25 6,2 30,2 46,8<br />
10 2 4,05 1 9 7,5 44,2 82,8<br />
12 3 5,20 1,5 10,5 9 63,6 143<br />
16 4 5,20 2 14 11,5 104 299<br />
20 4 4,05 2 18 15,5 189 731<br />
24 5 4,23 2,5 21,5 18,5 269 1243<br />
28 5 3,57 2,5 25,5 22,5 398 2237<br />
32 6 3,77 3 29 25 491 3068<br />
36 6 3,31 3 33 29 661 4789<br />
40 7 3,49 3,5 36,5 32 804 6434<br />
44 7 3,15 3,5 40,5 36 1018 9161<br />
48 8 3,31 4 44 39 1195 11647<br />
52 8 3,04 4 48 43 1452 15611<br />
60 9 2,95 4,5 55,5 50 1963 24544<br />
65 10 3,04 5 60 54 2290 30918<br />
70 10 2,80 5 65 59 2734 40326<br />
75 10 2,60 5 70 64 3217 51472<br />
80 10 2,43 5 75 69 3739 64503<br />
85 12 2,77 6 79 72 4071 73287<br />
90 12 2,60 6 84 77 4656 89640<br />
95 12 2,46 6 89 82 5281 108261<br />
100 12 2,33 6 94 87 5945 129297<br />
110 12 2,10 6 104 97 7390 179203<br />
120 14 2,26 7 113 104 8495 220867<br />
245<br />
9
9<br />
Festigkeitslehre<br />
Geometrische Größen an Sechskantschrauben<br />
246<br />
9.25 Metrisches ISO-Feingewinde<br />
Maße in mm<br />
Gewinde-Nenndurchmesser<br />
d = D<br />
8<br />
12<br />
16<br />
20<br />
12<br />
20<br />
30<br />
42<br />
56<br />
20<br />
30<br />
42<br />
56<br />
72<br />
90<br />
100<br />
30<br />
42<br />
56<br />
72<br />
100<br />
42<br />
56<br />
72<br />
90<br />
125<br />
160<br />
72<br />
90<br />
110<br />
140<br />
180<br />
Steigung<br />
P<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1,5<br />
1,5<br />
1,5<br />
1,5<br />
1,5<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
6<br />
6<br />
6<br />
6<br />
6<br />
1) H1 ist die Tragtiefe<br />
Steigungswinkel<br />
�<br />
2,48<br />
1,61<br />
1,19<br />
0,94<br />
2,48<br />
1,44<br />
0,94<br />
0,67<br />
0,50<br />
1,95<br />
1,27<br />
0,90<br />
0,67<br />
0,52<br />
0,41<br />
0,37<br />
1,95<br />
1,37<br />
1,01<br />
0,78<br />
0,56<br />
1,85<br />
1,37<br />
1,05<br />
0,84<br />
0,60<br />
0,46<br />
1,61<br />
1,27<br />
1,03<br />
0,80<br />
0,62<br />
Flankendurchmesser<br />
d 2 = D 2<br />
7,35<br />
11,35<br />
15,35<br />
19,35<br />
11,026<br />
19,026<br />
29,026<br />
41,026<br />
55,026<br />
18,701<br />
28,701<br />
40,701<br />
54,701<br />
70,701<br />
88,701<br />
98,701<br />
28,051<br />
40,051<br />
54,051<br />
70,051<br />
98,051<br />
39,402<br />
53,402<br />
69,402<br />
87,402<br />
122,402<br />
157,402<br />
68,103<br />
86,103<br />
106,103<br />
136,103<br />
176,103<br />
Kerndurchmesser Gewindetiefe 1)<br />
d 3 D 1 h 3 H 1<br />
6,773<br />
10,773<br />
14,773<br />
18,773<br />
10,16<br />
18,16<br />
28,16<br />
40,16<br />
54,16<br />
17,546<br />
27,546<br />
39,546<br />
53,546<br />
69,546<br />
87,546<br />
97,546<br />
26,319<br />
38,319<br />
52,319<br />
68,319<br />
96,319<br />
37,093<br />
51,093<br />
67,093<br />
85,093<br />
120,093<br />
155,093<br />
64,639<br />
82,639<br />
102,639<br />
132,639<br />
172,639<br />
6,917<br />
10,917<br />
14,917<br />
18,917<br />
10,376<br />
18,376<br />
28,376<br />
40,376<br />
54,376<br />
17,835<br />
27,835<br />
39,835<br />
53,835<br />
69,835<br />
87,835<br />
97,835<br />
26,752<br />
38,752<br />
52,752<br />
68,752<br />
96,752<br />
37,67<br />
51,67<br />
67,67<br />
85,67<br />
120,67<br />
155,67<br />
65,505<br />
83,505<br />
103,505<br />
133,505<br />
173,505<br />
9.26 Geometrische Größen an Sechskantschrauben<br />
Bezeichnung einer Sechskantschraube M 10, Länge l = 90 mm.<br />
Festigkeitsklasse 8.8: Sechskantschraube M 10 × 90 DIN 931-8.8<br />
Maße in mm, Kopfauflagefläche A p in mm 2<br />
Gewinde d a � s k l 1)<br />
M 5<br />
M 6<br />
M 8<br />
M 10<br />
M 12<br />
M 14<br />
M 16<br />
M 18<br />
M 20<br />
M 22<br />
M 24<br />
M 27<br />
M 30<br />
8<br />
10<br />
13<br />
17<br />
19<br />
22<br />
24<br />
27<br />
30<br />
32<br />
36<br />
41<br />
46<br />
3,5<br />
4<br />
5,5<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
12<br />
13<br />
14<br />
15<br />
17<br />
19<br />
18 ... 30<br />
20 ... 50<br />
25 ... 50<br />
28 ... 50<br />
30 ...60<br />
35 ... 70<br />
40 ... 80<br />
40 ... 80<br />
40 ... 80<br />
45 ... 80<br />
50 ... 80<br />
55 ... 80<br />
60 ... 100<br />
0,614<br />
0,614<br />
0,614<br />
0,614<br />
0,92<br />
0,92<br />
0,92<br />
0,92<br />
0,92<br />
1,227<br />
1,227<br />
1,227<br />
1,227<br />
1,227<br />
1,227<br />
1,227<br />
1,841<br />
1,841<br />
1,841<br />
1,841<br />
1,841<br />
2,454<br />
2,454<br />
2,454<br />
2,454<br />
2,454<br />
2,454<br />
3,681<br />
3,681<br />
3,681<br />
3,681<br />
3,681<br />
b DB Ap 2) 3) fein mittel 4) 5)<br />
16<br />
18<br />
22<br />
26<br />
30<br />
34<br />
38<br />
42<br />
46<br />
50<br />
54<br />
60<br />
66<br />
22<br />
24<br />
28<br />
32<br />
36<br />
40<br />
44<br />
48<br />
52<br />
56<br />
60<br />
66<br />
72<br />
5,3<br />
6,4<br />
8,4<br />
10,5<br />
13<br />
15<br />
17<br />
19<br />
21<br />
23<br />
25<br />
28<br />
31<br />
5,5<br />
6,6<br />
9<br />
11<br />
14<br />
16<br />
18<br />
20<br />
22<br />
24<br />
26<br />
30<br />
33<br />
9,4<br />
24,6<br />
41,2<br />
83,2<br />
75<br />
112<br />
125<br />
176<br />
236<br />
249<br />
373<br />
485<br />
645<br />
35<br />
41,8<br />
65,5<br />
102<br />
96<br />
171<br />
190<br />
251<br />
318<br />
392<br />
490<br />
535<br />
710<br />
0,542<br />
0,542<br />
0,542<br />
0,542<br />
0,812<br />
0,812<br />
0,812<br />
0,812<br />
0,812<br />
1,083<br />
1,083<br />
1,083<br />
1,083<br />
1,083<br />
1,083<br />
1,083<br />
1,624<br />
1,624<br />
1,624<br />
1,624<br />
1,624<br />
2,165<br />
2,165<br />
2,165<br />
2,165<br />
2,165<br />
2,165<br />
3,248<br />
3,248<br />
3,248<br />
3,248<br />
3,248<br />
Spannungsquerschnitt<br />
A s<br />
mm 2<br />
39,2<br />
96,1<br />
178<br />
285<br />
88,1<br />
272<br />
642<br />
1294<br />
2341<br />
258<br />
621<br />
1264<br />
2301<br />
3862<br />
6099<br />
7562<br />
580<br />
1206<br />
2222<br />
3759<br />
7418<br />
1149<br />
2144<br />
3658<br />
5842<br />
11546<br />
19174<br />
3460<br />
5591<br />
8556<br />
14181<br />
23880<br />
polares<br />
Widerstandsmoment<br />
W ps<br />
mm 2<br />
69,15<br />
265,8<br />
670,9<br />
1360<br />
233,4<br />
1262<br />
4590<br />
13134<br />
31948<br />
1169<br />
4368<br />
12684<br />
31132<br />
67706<br />
134373<br />
185505<br />
3945<br />
11814<br />
29539<br />
65023<br />
180230<br />
10986<br />
28005<br />
62417<br />
125973<br />
349988<br />
748985<br />
57407<br />
117926<br />
223239<br />
476372<br />
1041005<br />
1) gestuft: 18, 20, 25, 28, 30,<br />
35, 40, ...<br />
2) für l � 125 mm<br />
3) für l � 125 ... 200 mm<br />
4) für Sechskantschrauben<br />
5) für Innen-Sechskantschrauben
10.1 Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
Normen (Auswahl) 1)<br />
DIN 323 Normzahlen <strong>und</strong> Normzahlreihen; Hauptwerte, Genauwerte, R<strong>und</strong>werte<br />
DIN 4760 Oberflächenabweichungen; Begriffe, Ordnungssystem<br />
DIN 4766 Herstellverfahren <strong>und</strong> Rauheit von Oberflächen, Richtlinien für Konstruktion <strong>und</strong> Fertigung<br />
DIN 5425 Toleranzen für den Einbau von Wälzlagern<br />
DIN 7150 ISO-Toleranzen <strong>und</strong> ISO-Passungen<br />
DIN 7154 ISO-Passungen für Einheitsbohrung<br />
DIN 7155 ISO-Passungen für Einheitswelle<br />
DIN 7157 Passungsauswahl; Toleranzfelder, Abmaße, Passtoleranzen<br />
DIN EN ISO 1302 Angabe der Oberflächenbeschaffenheit in der technischen Produktdokumentation<br />
DIN ISO 286 ISO-System für Grenzmaße <strong>und</strong> Passungen; Ersatz für DIN 7150, T1, DIN 7151, DIN 7152,<br />
DIN 7182<br />
DIN ISO 965 Toleranzen, Metrisches ISO-Gewinde, Grenzmaße<br />
DIN ISO 1101 Technische Zeichnung; Form- <strong>und</strong> Lagetolerierung; Symbole, Zeichnungseintragungen<br />
DIN ISO 2768 Allgemeintoleranzen<br />
10.1.1 Normzahlen<br />
Stufung der vier<br />
Gr<strong>und</strong>reihen<br />
Reihe Stufensprung Rechenwert Genauwert Mantisse<br />
R 5 q 5 = 5 10 1,58 1,5849 ... 200<br />
R 10 q 10 = 10 10 1,26 1,2589 ... 100<br />
R 20 q 20 = 20 10 1,12 1,1220 ... 050<br />
R 40 q 40 = 40 10 1,06 1,0593 ... 025<br />
Die Normzahlen in DIN 323 sind nach dezimal- geometrischen Reihen gestuft.<br />
Werte der „niederen Reihe“ sind denen der „höheren“ vorzuziehen.<br />
Normzahlen Reihe<br />
R 5<br />
1,00 1,60 2,50 4,00 6,30 10,00<br />
Reihe<br />
R 10<br />
1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,15 4,00 5,00 6,30 8,00 10,00<br />
Reihe 1,00 1,12 1,25 1,40 1,60 1,80 2,00 2,24 2,50 2,80 3,15 3,55<br />
R 20 4,00 4,50 5,00 5,50 6,30 7,10 8,00 9,00 10,00<br />
Reihe 1,00 1,06 1,12 1,18 1,25 1,32 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90<br />
R40 2,00 2,12 2,24 2,36 2,50 2,65 2,80 3,00 3,15 3,35 3,55 3,75<br />
4,00 4,25 4,50 4,75 5,00 5,30 5,60 6,00 6,30 6,70 7,10 7,50<br />
8,00 8,50 9,00 9,50 10,00<br />
Die Wurzelexponenten 5, 10, 20, 40 geben die Anzahl der Glieder im Dezimal-<br />
Bereich an (R5 hat 5 Glieder: 1, 1,6 2,5 4 6,3. Für Dezimalbereiche unter 1<br />
<strong>und</strong> über 10 wird das Komma jeweils um eine oder mehrere Stellen nach links<br />
oder rechts verschoben. Die Zahlen sind ger<strong>und</strong>ete Werte.<br />
1) Ausführlich im Internet unter www.beuth.de<br />
247<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
248<br />
10.1.2 Gr<strong>und</strong>begriffe zu<br />
Toleranzen <strong>und</strong><br />
Passungen<br />
Toleranzeinheit i<br />
Passungssystem<br />
Einheitsbohrung (EB)<br />
Kennzeichen: Die Bohrung<br />
hat das untere Abmaß Null<br />
(EI = 0).<br />
Passungssystem<br />
Einheitswelle (EW)<br />
Kennzeichen: Die Welle hat<br />
das obere Abmaß Null<br />
(EI = 0).<br />
Passungsauswahl<br />
(Toleranzfeldauswahl) im<br />
System EB für<br />
Nennmaß 50 mm<br />
3<br />
i = 0,45 D+ 0,001D<br />
D D D<br />
= 1 2<br />
�<br />
i D<br />
�m mm<br />
D geometrisches Mittel des Nennmaßbereichs nach Tabelle<br />
„Gr<strong>und</strong>toleranzen“<br />
Alle Bohrungsmaße haben das Gr<strong>und</strong>abmaß H. Erforderliche Passungen<br />
ergeben sich durch verschiedene Toleranzfeldlagen der Wellen<br />
<strong>und</strong> der oberen Abmaße (ES) der Bohrungen.<br />
Alle Wellenmaße haben das Gr<strong>und</strong>abmaß h. Erforderliche Passungen<br />
ergeben sich durch verschiedene Toleranzfeldlagen der Bohrungen<br />
<strong>und</strong> der unteren Abmaße (ei) der Wellen.
Bezeichnungen<br />
Darstellung der wichtigsten<br />
Passungsgr<strong>und</strong>begriffe<br />
an Welle <strong>und</strong> Bohrung<br />
Abmaße, Grenzmaße,<br />
Toleranzen<br />
Passungsarten<br />
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
N Nennmaß, G o Höchstmaß, G u Mindestmaß, I Istmaß, ES, es oberes<br />
Grenzabmaß, EI, ei unteres Grenzabmaß, T Maßtoleranz, P S Spiel,<br />
P ü Übermaß.<br />
E, e, ES, EI, ei sind die französischen Bezeichnungen mit der<br />
Bedeutung: E (Abstand, écart), ES (oberer Abstand, écart supérieur),<br />
EI (unterer Abstand, écart inférieur). Große Buchstaben für<br />
Bohrungen (Innenmaße), kleine für Wellen (Außenmaße).<br />
Bohrung Welle<br />
Nennmaß N N<br />
oberes Grenzabmaß ES = GoB – N es = GoW – N<br />
unteres Grenzabmaß EI = GuB – N ei = GuW – N<br />
Höchstmaß Go GoB = N � ES GoW = N � es<br />
Mindestmaß Gu GuB= N � EI GuW = N � ei<br />
Toleranz T T B = ES – EI<br />
T B = G oB – G uB<br />
T W = es – ei<br />
T W = G oW – G uW<br />
Spielpassung<br />
P SM = G uB – G oW<br />
P SH = G oB – G uW<br />
Übergangspassung<br />
P SH = G oB – G uW<br />
P ÜH = G uB – G oW<br />
Übermaßpassung<br />
P ÜH = G uB – G oW<br />
P ÜM = G oB – G uW<br />
249<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
250<br />
10.1.3 Eintragung von Toleranzen in Zeichnungen<br />
Eintragung von Grenzabmaßen<br />
50 +0,2 50-0,1<br />
50 +0,2<br />
-0,1<br />
50 +0,3<br />
+0,1<br />
50+0,1 -<br />
50 -0,02<br />
-0,06<br />
Eintragung von Toleranzklassen<br />
Bohrung= 50<br />
Welle= 50<br />
10.1.4 Gr<strong>und</strong>toleranzen der Nennmaßbereiche in �m<br />
Qualität<br />
ISO<br />
Toleranz 1<br />
bis<br />
3<br />
über<br />
3<br />
bis<br />
6<br />
über<br />
6<br />
bis<br />
10<br />
über<br />
10<br />
bis<br />
18<br />
über<br />
19<br />
bis<br />
30<br />
� +0,2<br />
� -0,1<br />
Nennmaßbereich in mm<br />
über<br />
30<br />
bis<br />
50<br />
01 IT 01 0,3 0,4 0,4 0,5 0,6 0,6 0,8 1 1,2 2 2,5 3 4<br />
0 IT 0 0,5 0,6 0,6 0,8 1 1 1,2 1,5 2 3 4 5 6<br />
1 IT 1 0,8 1 1 1,2 1,5 1,5 2 2,5 3,5 4,5 6 7 8<br />
über<br />
50<br />
bis<br />
80<br />
über<br />
80<br />
bis<br />
120<br />
über<br />
120<br />
bis<br />
180<br />
über<br />
180<br />
bis<br />
250<br />
über<br />
250<br />
bis<br />
315<br />
über<br />
315<br />
bis<br />
400<br />
über<br />
400<br />
bis<br />
500<br />
Toleranzen<br />
in i<br />
2 IT 2 1,2 1,5 1,5 2 2,5 2,5 3 4 5 7 8 9 10 –<br />
3 IT 3 2 0,5 2,5 3 4 4 5 6 8 10 12 13 15 –<br />
4 IT 4 3 4 4 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 –<br />
5 IT 5 4 5 6 8 9 11 13 15 18 20 23 25 27 � 7<br />
6 IT 6 6 8 9 11 13 16 19 22 25 29 32 36 40 10<br />
7 IT 7 10 12 15 18 21 25 30 35 40 46 52 57 63 16<br />
8 IT 8 14 18 22 27 33 39 46 54 63 72 81 89 97 25<br />
9 IT 9 25 30 36 43 52 62 74 87 100 115 130 140 155 40<br />
10 IT 10 40 48 58 70 84 100 120 140 160 185 210 230 250 64<br />
11 IT 11 60 75 90 110 130 160 190 220 250 290 320 360 400 100<br />
12 IT 12 90 120 150 180 210 250 300 350 400 460 520 570 630 160<br />
13 IT 13 140 180 220 270 330 390 460 540 630 720 810 890 970 250<br />
14 IT 14 250 300 360 430 520 620 740 870 1 000 1 150 1 300 1 400 1 550 400<br />
15 IT 15 400 480 580 700 840 1 000 1 200 1 400 1 600 1 850 2 100 2 300 2 500 640<br />
16 IT 16 600 750 900 1 100 1 300 1 600 1 900 2 200 2 500 2 900 3 200 3 600 4 000 1 000<br />
17 IT 17 – – 1 500 1 800 2 100 2 500 3 000 3 500 4 000 4 600 5 200 5 700 6 300 1 600<br />
18 IT 18 – – – 2 700 3 300 3 900 4 600 5 400 6 300 7 200 8 100 8 900 9 700 2 500
10.1.5 Allgemeintoleranzen für Längenmaße nach DIN ISO 2768-1<br />
Toleranzklassen<br />
0,5<br />
bis 3<br />
über 3<br />
bis 6<br />
Grenzabmaße in mm für Nennmaßbereiche<br />
über 6<br />
bis 30<br />
über 30<br />
bis 120<br />
über 120<br />
bis 400<br />
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
über 400<br />
bis 1000<br />
über 1000<br />
bis 2000<br />
über 2000<br />
bis 4000<br />
f fein ± 0,05 ± 0,05 ± 0,1 ± 0,15 ± 0,2 ± 0,3 ± 0,5 –<br />
m mittel ± 0,1 ± 0,1 ± 0,2 ± 0,3 ± 0,5 ± 0,8 ± 1,2 ± 2<br />
c grob ± 0,2 ± 0,3 ± 0,5 ± 0,8 ± 1,2 ± 2 ± 3 ± 4<br />
v sehr grob – ± 0,5 ± 1 ± 1,5 ± 2,5 ± 4 ± 6 ± 8<br />
10.1.6 Allgemeintoleranzen für Winkelmaße nach DIN ISO 2768-1<br />
Toleranzklassen<br />
Grenzabmaße in Grad <strong>und</strong> Minuten für Nennmaßbereiche in mm (kürzere Schenkel)<br />
bis 10 über 10<br />
bis 50<br />
über 50<br />
bis 120<br />
über 120<br />
bis 400<br />
über 400<br />
f fein ± 1° ± 0° 30´ ± 0° 20´ ± 0° 10´ ± 0° 5´<br />
m mittel ± 1° ± 0° 30´ ± 0° 20´ ± 0° 10´ ± 0° 5´<br />
c grob ± 1° 30´ ± 1° ± 0° 30´ ± 0° 15´ ± 0° 10´<br />
v sehr grob ± 3° ± 2° ± 1° ± 0° 30´ ± 0° 20´<br />
10.1.7 Allgemeintoleranzen für Fasen <strong>und</strong> R<strong>und</strong>ungshalbmesser nach DIN ISO 2768-1<br />
Toleranzklassen<br />
f fein<br />
m mittel<br />
c grob<br />
v sehr grob<br />
Grenzabmaße in mm für Nennmaßbereiche<br />
0,5<br />
bis 3<br />
über 3<br />
bis 6<br />
über 6<br />
± 0,2 ± 0,5 ± 1<br />
± 0,4 ± 1 ± 2<br />
10.1.8 Allgemeintoleranzen für Form <strong>und</strong> Lage nach DIN ISO 2768-2<br />
Toleranzklassen<br />
bis<br />
10<br />
Toleranzen in mm für<br />
Geradheit / Ebenheit Rechtwinkligkeit Symmetrie<br />
über<br />
10<br />
bis<br />
30<br />
über<br />
30<br />
bis<br />
100<br />
über<br />
100<br />
bis<br />
300<br />
über<br />
300<br />
bis<br />
1000<br />
bis<br />
100<br />
über<br />
100<br />
bis<br />
300<br />
über<br />
300<br />
bis<br />
1000<br />
über<br />
1000<br />
bis<br />
3000<br />
bis<br />
100<br />
über<br />
100<br />
bis<br />
300<br />
über<br />
300<br />
bis<br />
1000<br />
H 0,02 0,05 0,1 0,2 0,3 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5<br />
K 0,05 0,1 0,2 0,4 0,6 0,4 0,6 0,8 1 0,6 0,8 1<br />
L 0,1 0,2 0,4 0,8 1,2 0.6 1 1,5 2 0,6 1 1,5 2<br />
über<br />
300<br />
bis<br />
1000<br />
251<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
252<br />
10.1.9 Symbole für Form <strong>und</strong> Lagetoleranzen nach DIN ISO 1101<br />
Eigenschaft Symbol Toleranz<br />
Abweichung<br />
Geradheit t G f G<br />
Ebenheit t E f E<br />
R<strong>und</strong>heit t K f K<br />
Zylindrizität t Z f Z<br />
Linienprofil t LP f LP<br />
Flächenprofil t FP f FP<br />
Eigenschaft Symbol Toleranz<br />
Abweichung<br />
Parallelität t P f P<br />
Rechtwinkligkeit t R f R<br />
Neigung t N f N<br />
Position t PS f PS<br />
Koaxialität,<br />
Achsabweichung<br />
t KO<br />
f KO<br />
Symmetrie t S f S<br />
R<strong>und</strong>lauf,<br />
Planlauf<br />
Gesamtlauf t LG f LG<br />
t L<br />
f L<br />
Formtoleranzen<br />
Definition Beispiel<br />
Die tolerierte Achse eines zylindrischen<br />
Bauteils muss innerhalb eines Zylinders<br />
vom Durchmesser tG = 0,02 mm liegen.<br />
Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei<br />
parallelen Ebenen vom Abstand tE = 0,09<br />
mm liegen.<br />
Die Umfangslinie jedes Querschnittes<br />
muss in einem Kreisring mit der Breite<br />
fK = 0,05 mm liegen<br />
Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei<br />
koaxialen Zylindern mit dem radialen<br />
Abstand tZ = 0,5 mm liegen.<br />
Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei<br />
Hülllinien mit dem Abstand fLP = 0,1 mm<br />
liegen<br />
Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei<br />
kugelförmigen Hüllflächen mit dem Abstand<br />
fFP = 0,17 mm liegen.<br />
Lagetoleranzen<br />
Ø 0,02<br />
0,09<br />
0,05<br />
0,5<br />
Ø 0,1<br />
0,17<br />
Definition Beispiel<br />
Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei<br />
zur Bezugsfläche parallelen Ebenen vom<br />
Abstand tP = 0,05 mm liegen.<br />
Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei parallelen<br />
<strong>und</strong> zur Bezugsfläche A rechtwinkligen<br />
Ebenen vom Abstand tR = 0,2 mm liegen.<br />
Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei<br />
parallelen <strong>und</strong> zur Bezugsfläche A im geometrisch<br />
idealen Winkelgeneigten Ebenen<br />
vom Abstand fN = 0,4 mm liegen.<br />
Die tolerierte Achse einer Bohrung muss<br />
innerhalb eines Zylinders vom Durchmesser<br />
tPS = 0,05 mm liegen, dessen Achsen sich<br />
am geometrisch idealen Ort befinden.<br />
Die Achse des großen Durchmessers muss in<br />
einem zur Bezugsachse A koaxialem Zylinder<br />
vom Durchmesser fKO = 0,02 mm liegen.<br />
Die Mittelachse z.B. einer Nut muss zwischen<br />
zwei parallelen Ebenen vom Abstand fS = 0,5<br />
mm liegen, die symmetrisch zur Mittelebene<br />
der Bezugsfläche A angeordnet sind.<br />
Bei Drehung um die Bezugsachse darf die<br />
R<strong>und</strong>laufabweichung in jeder rechtwinkligen<br />
Messebene fL = 0,08 mm nicht überschreiten.<br />
Diese Toleranz ist die Summe aus<br />
R<strong>und</strong>heits- <strong>und</strong> Koaxialitätstoleranz.<br />
Bei mehrmaliger Drehung um die Bezugsachse<br />
<strong>und</strong> axialer Verschiebung zwischen<br />
Werkstück <strong>und</strong> Messgerät müssen alle<br />
Messpunkte innerhalb der Gesamtr<strong>und</strong>lauftoleranz<br />
von fLG = 0,25 mm liegen.<br />
0,2<br />
0,4<br />
0,05<br />
0,05<br />
0,02<br />
0,5<br />
0,08<br />
0,25<br />
A<br />
A
10.1.10 Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit nach DIN EN ISO 1302<br />
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
Symbol Definition Symbol Definition<br />
Rauheitsklasse<br />
N<br />
Gr<strong>und</strong>symbol; Angabe der<br />
Oberflächenbeschaffenheit. e<br />
Bearbeitungszugabe<br />
spanend bearbeitete Oberfläche a höchstzulässiger Rauheitswert R a in µm<br />
spanende Bearbeitung nicht<br />
zugelassen oder<br />
Zustand des vorangegangenen<br />
Arbeitsganges belassen<br />
a 1<br />
a 2 Größtwert Rauheit a1<br />
Kleinstwert Rauheit a 2<br />
vernickelt Verfahren der Herstellung oder<br />
Oberflächenbehandlung<br />
Rauheitswert<br />
R a in µm<br />
a<br />
e d<br />
b<br />
c<br />
Rillenrichtung rechtwinklig zur<br />
Projektionsebene<br />
a Rauheitswert Ra oder<br />
Rauheitsklassen N<br />
b Oberflächenbehandlung oder<br />
Fertigungsverfahren<br />
c Bezugsstrecke<br />
d Rillenrichtung<br />
e Bearbeitungszugabe<br />
N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 N 10 N 11 N 12<br />
0,025 0,05 0,1 0,2 0,4 0,8 1,6 3,2 6,3 12,5 25 50<br />
10.1.11 Mittenrauwerte R a in �m<br />
253<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
254<br />
10.1.12 Verwendungsbeispiele für Passungen<br />
Passungsbezeichnung<br />
H 8 / x 8<br />
H 7 / s 6<br />
H 7 / r 6<br />
Kennzeichnung, Verwendungsbeispiele, sonstige Hinweise<br />
Übermaß- <strong>und</strong> Übergangstoleranzfelder<br />
Teile unter großem Druck mit Presse oder durch Erwärmen/Kühlen fügbar (Presssitz);<br />
Bronzekränze auf Zahnradkörpern, Lagerbuchsen in Gehäusen, Radnaben,<br />
Hebelnaben, Kupplungen auf Wellenenden; zusätzliche Sicherung gegen Verdrehen<br />
nicht erforderlich.<br />
H 7 / n 6 Teile unter Druck mit Presse fügbar (Festsitz);<br />
Radkränze auf Radkörpern, Lagerbuchsen in Gehäusen <strong>und</strong> Radnaben, Laufräder auf<br />
Achsen, Anker auf Motorwellen, Kupplungen <strong>und</strong> Wellenenden; gegen Verdrehen<br />
sichern.<br />
H 7 / k 6 Teile leicht mit Handhammer fügbar (Haftsitz);<br />
Zahnräder, Riemenscheiben, Kupplungen, Handräder, Bremsscheiben auf Wellen;<br />
gegen Verdrehen zusätzlich sichern.<br />
H 7 / j 6 Teile mit Holzhammer oder von Hand fügbar (Schiebesitz);<br />
für leicht ein- <strong>und</strong> auszubauende Zahnräder, Riemenscheiben, Handräder, Buchsen;<br />
gegen Verdrehen zusätzlich sichern.<br />
H 7 / h 6<br />
H 8 / h 9<br />
H 7 / g 6<br />
G 7 / h 6<br />
Spieltoleranzfelder<br />
Teile von Hand noch verschiebbar (Gleitsitz);<br />
für gleitende Teile <strong>und</strong> Führungen, Zentrierflansche, Wechselräder, Stellringe,<br />
Distanzhülsen.<br />
Teile ohne merkliches Spiel verschiebbar (Enger Laufsitz);<br />
Wechselräder, verschiebbare Räder <strong>und</strong> Kupplungen.<br />
H 7 / f 7 Teile mit merklichem Spiel beweglich (Laufsitz);<br />
Gleitlager allgemein, Hauptlager an Werkzeugmaschinen, Gleitbuchsen auf Wellen.<br />
H 7 / e 8<br />
H 8 / e 8<br />
E 9 / h 9<br />
H 8 / d 9<br />
F 8 / h 9<br />
D 10 / h 9<br />
D 10 / h 11<br />
Teile mit reichlichem Spiel (Leichter Laufsitz);<br />
mehrfach gelagerte Welle (Gleitlager), Gleitlager allgemein, Hauptlager für<br />
Kurbelwellen, Kolben in Zylindern, Pumpenlager, Hebellagerungen.<br />
Laufsitz: Teile mit sehr reichlichem Spiel (Weiter Laufsitz);<br />
Transmissionslager, Lager für Landmaschinen, Stopfbuchsenteile, Leerlauf Scheiben.
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
10.1.13 Ausgewählte Passtoleranzfelder <strong>und</strong> Grenzabmaße (in µm) für das System<br />
Einheitsbohrung (H)<br />
Nennmaßbereich<br />
mm<br />
H 7 H 8 H 9 H 11 za 6 za 8 z 6 z 8 x 6 x 8<br />
1)<br />
u6<br />
t6<br />
u 8 s 6 r 6<br />
über 1<br />
bis 3<br />
+ 10<br />
0<br />
+ 14<br />
0<br />
+ 25<br />
0<br />
+ 60<br />
0<br />
+ 38<br />
+ 32<br />
–<br />
+ 32<br />
+ 26<br />
+ 40<br />
+ 26<br />
+ 26<br />
+ 20<br />
+ 34<br />
+ 20<br />
+ 24<br />
+ 18<br />
–<br />
+ 20<br />
+ 14<br />
+ 16<br />
+ 10<br />
über 3<br />
bis 6<br />
+ 12<br />
0<br />
+ 18<br />
0<br />
+ 30<br />
0<br />
+ 75<br />
0<br />
+ 50<br />
+ 42<br />
–<br />
+ 43<br />
+ 35<br />
+ 53<br />
+ 35<br />
+ 36<br />
+ 28<br />
+ 46<br />
+ 28<br />
+ 31<br />
+ 23<br />
–<br />
+ 27<br />
+ 19<br />
+ 23<br />
+ 15<br />
über 6<br />
bis 10<br />
+ 15<br />
0<br />
+ 22<br />
0<br />
+ 36<br />
0<br />
+ 90<br />
0<br />
+ 61<br />
+ 52<br />
+ 74<br />
+ 52<br />
+ 51<br />
+ 42<br />
+ 64<br />
+ 42<br />
+ 43<br />
+ 34<br />
+ 56<br />
+ 34<br />
+ 37<br />
+ 28<br />
–<br />
+ 32<br />
+ 23<br />
+ 28<br />
+ 19<br />
über 10<br />
+ 75 + 91 + 61 + 77 + 51 + 67<br />
bis 14<br />
über 14<br />
+ 18<br />
0<br />
+ 27<br />
0<br />
+ 43<br />
0<br />
+ 110<br />
0<br />
+ 64<br />
+ 88<br />
+ 64<br />
+ 104<br />
+ 50<br />
+ 71<br />
+ 50<br />
+ 87<br />
+ 40<br />
+ 56<br />
+ 40<br />
+ 72<br />
+ 44<br />
+ 33<br />
–<br />
+ 39<br />
+ 28<br />
+ 34<br />
+ 23<br />
bis 18<br />
+ 77 + 77 + 60 + 60 + 45 + 45<br />
über 18<br />
bis 24<br />
über 24<br />
+ 21<br />
0<br />
+ 33<br />
0<br />
+ 52<br />
0<br />
+ 130<br />
0<br />
–<br />
+ 131<br />
+ 98<br />
+ 151<br />
+ 86<br />
+ 73<br />
+ 101<br />
+ 106<br />
+ 73<br />
+ 121<br />
+ 67<br />
+ 54<br />
+ 77<br />
+ 87<br />
+ 54<br />
+ 97<br />
+ 54<br />
+ 41<br />
+ 54<br />
–<br />
+ 81<br />
+ 48<br />
+ 35<br />
+ 41<br />
+ 28<br />
bis 30<br />
+ 118 + 88 + 88 + 64 + 64 + 41 + 48<br />
über 30<br />
+ 187 + 128 + 151 + 96 + 119 + 64 + 99<br />
bis 40<br />
über 40<br />
bis 50<br />
+ 25<br />
0<br />
+ 39<br />
0<br />
+ 62<br />
0<br />
+ 160<br />
0<br />
–<br />
+ 148<br />
+ 219<br />
+ 180<br />
+ 112<br />
–<br />
+ 112<br />
+ 175<br />
+ 136<br />
+ 80<br />
+ 113<br />
+ 97<br />
+ 80<br />
+ 136<br />
+ 97<br />
+ 48<br />
+ 70<br />
+ 54<br />
+ 60 + 59<br />
+ 109 + 43<br />
+ 70<br />
+ 50<br />
+ 34<br />
über 50<br />
+ 272<br />
+ 218 + 141 + 168 + 85 + 133 + 72 + 60<br />
bis 65<br />
über 65<br />
+ 30<br />
0<br />
+ 46<br />
0<br />
+ 74<br />
0<br />
+ 190<br />
0<br />
–<br />
+ 226<br />
+ 320<br />
–<br />
+ 172<br />
+ 256<br />
+ 122<br />
+ 165<br />
+ 122<br />
+ 192<br />
+ 66<br />
+ 94<br />
+ 87 + 53<br />
+ 148 + 78<br />
+ 41<br />
+ 62<br />
bis 80<br />
+ 274<br />
+ 210 + 146 + 146 + 75 + 102 + 59 + 43<br />
über 80<br />
+ 389<br />
+ 312 + 200 + 232 + 113 + 178 + 93 + 73<br />
bis 100<br />
über 100<br />
bis 120<br />
+ 35<br />
0<br />
+ 54<br />
0<br />
+ 87<br />
0<br />
+ 220<br />
0<br />
–<br />
+ 335<br />
–<br />
–<br />
+ 258<br />
+ 364<br />
+ 310<br />
+ 178<br />
+ 232<br />
+ 210<br />
+ 178<br />
+ 264<br />
+ 210<br />
+ 91 + 124 + 71 + 51<br />
+ 126 + 198 + 101 + 76<br />
+ 104 + 144 + 79 + 54<br />
über 120<br />
+ 428 + 273 + 311 + 147 + 233 + 117 + 88<br />
bis 140<br />
+ 365 + 248 + 248 + 122 + 170 + 92 + 63<br />
über 140<br />
bis 160<br />
+ 40<br />
0<br />
+ 63<br />
0<br />
+ 100<br />
0<br />
+ 250<br />
0<br />
– – –<br />
+ 478<br />
+ 415<br />
+ 305<br />
+ 280<br />
+ 343<br />
+ 280<br />
+ 159 + 253 + 125 + 90<br />
+ 134 + 190 + 100 + 65<br />
über 160<br />
bis 180<br />
–<br />
+ 335<br />
+ 310<br />
+ 373<br />
+ 310<br />
+ 171 + 273 + 133 + 93<br />
+ 146 + 210 + 108 + 68<br />
über 180<br />
+ 379 + 422 + 195 + 308 + 151 + 106<br />
bis 200<br />
+ 350 + 350 + 166 + 236 + 122 + 77<br />
über 200<br />
bis 225<br />
über 225<br />
+ 46<br />
0<br />
+ 72<br />
0<br />
+ 115<br />
0<br />
+ 290<br />
0<br />
– – – –<br />
+ 414<br />
+ 385<br />
+ 454<br />
+ 457<br />
+ 385<br />
+ 497<br />
–<br />
+ 330 + 159 + 109<br />
+ 258 + 130 + 80<br />
+ 356 + 169 + 113<br />
bis 250<br />
+ 425 + 425 + 284 + 140 + 84<br />
über 250<br />
+ 507 + 556 + 396 + 190 + 126<br />
bis 280<br />
über 280<br />
+ 52<br />
0<br />
+ 81<br />
0<br />
> 130<br />
0<br />
+ 320<br />
0<br />
– – – –<br />
+ 475<br />
+ 557<br />
+ 475<br />
+ 606<br />
–<br />
+ 315 + 158 + 94<br />
+ 431 + 202 + 130<br />
bis 315<br />
+ 525 + 525 + 350 + 170 + 98<br />
über 315<br />
+ 626 + 679 + 479 + 226 + 144<br />
bis 355<br />
über 355<br />
bis 400<br />
+ 57<br />
0<br />
+ 89<br />
0<br />
+ 140<br />
0<br />
+ 360<br />
0<br />
– – – –<br />
+ 590<br />
+ 696<br />
+ 660<br />
+ 590 + 390 + 190 + 108<br />
–<br />
–<br />
+ 524 + 244 + 150<br />
+ 435 + 208 + 114<br />
1) u 6 bei Nennmaß bis 24 mm, t 6 darüber<br />
255<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
256<br />
Fortsetzung 10.1.13<br />
p 6 n 6 k 6 j 6 h 6 h 8 h 9 h 11 f 7 e 8 d 9 a 11 b 11 c 11<br />
+ 12 + 10 + 6 + 4 0 0 0 0 – 6 – 14 – 20 – 270 – 140 – 60<br />
+ 6 + 4 0 – 2 – 6 – 14 – 25 – 60 – 16 – 28 – 45 – 330 – 200 – 120<br />
+ 20 + 16 + 9 + 6 0 0 0 0 – 10 – 20 – 30 – 270 – 140 – 70<br />
+ 12 + 8 + 1 – 2 – 8 – 18 – 30 – 75 – 22 – 38 – 60 – 345 – 215 – 145<br />
+ 24 + 19 + 10 + 7 0 0 0 0 – 13 – 25 – 40 – 280 – 150 – 80<br />
+ 15 + 10 + 1 – 2 – 9 – 22 – 36 – 90 – 28 – 47 – 76 – 370 – 240 – 170<br />
+ 29<br />
+ 18<br />
+ 35<br />
+ 22<br />
+ 42<br />
+ 26<br />
+ 51<br />
+ 32<br />
+ 59<br />
+ 37<br />
+ 68<br />
+ 43<br />
+ 79<br />
+ 50<br />
+ 88<br />
+ 56<br />
+ 98<br />
+ 62<br />
+ 23<br />
+ 12<br />
+ 28<br />
+ 15<br />
+ 33<br />
+ 17<br />
+ 39<br />
+ 20<br />
+ 45<br />
+ 23<br />
+ 52<br />
+ 27<br />
+ 60<br />
+ 31<br />
+ 66<br />
+ 34<br />
+ 73<br />
+ 37<br />
+ 12<br />
+ 1<br />
+ 15<br />
+ 2<br />
+ 18<br />
+ 2<br />
+ 21<br />
+ 2<br />
+ 25<br />
+ 3<br />
+ 28<br />
+ 3<br />
+ 33<br />
+ 4<br />
+ 36<br />
+ 4<br />
+ 40<br />
+ 4<br />
+ 8<br />
– 3<br />
+ 9<br />
– 4<br />
+ 11<br />
– 5<br />
+ 12<br />
– 7<br />
+ 13<br />
– 9<br />
+ 14<br />
– 11<br />
+ 16<br />
– 13<br />
+ 16<br />
– 16<br />
+ 18<br />
– 18<br />
0<br />
– 11<br />
0<br />
– 13<br />
0<br />
– 16<br />
0<br />
– 19<br />
0<br />
– 22<br />
0<br />
– 25<br />
0<br />
– 29<br />
0<br />
– 32<br />
0<br />
– 36<br />
0<br />
– 27<br />
0<br />
– 33<br />
0<br />
– 39<br />
0<br />
– 46<br />
0<br />
– 54<br />
0<br />
– 63<br />
0<br />
– 72<br />
0<br />
– 81<br />
0<br />
– 89<br />
0<br />
– 43<br />
0<br />
– 52<br />
0<br />
– 62<br />
0<br />
– 74<br />
0<br />
– 87<br />
0<br />
– 100<br />
0<br />
– 115<br />
0<br />
– 130<br />
0<br />
– 140<br />
0<br />
– 110<br />
0<br />
– 130<br />
0<br />
– 160<br />
0<br />
– 190<br />
0<br />
– 220<br />
0<br />
– 250<br />
0<br />
–290<br />
0<br />
– 320<br />
0<br />
– 360<br />
– 16<br />
– 34<br />
– 20<br />
– 41<br />
– 25<br />
– 50<br />
– 30<br />
– 60<br />
– 36<br />
– 71<br />
– 43<br />
– 83<br />
– 50<br />
– 96<br />
– 56<br />
– 108<br />
– 62<br />
– 119<br />
– 32<br />
– 59<br />
– 40<br />
– 73<br />
– 50<br />
– 89<br />
– 60<br />
– 106<br />
– 72<br />
– 126<br />
– 85<br />
– 148<br />
– 100<br />
– 172<br />
– 110<br />
– 191<br />
– 125<br />
– 214<br />
– 50<br />
– 93<br />
– 65<br />
– 117<br />
– 290<br />
– 400<br />
– 300<br />
– 430<br />
– 150<br />
– 260<br />
– 160<br />
– 290<br />
– 310 – 170<br />
– 80 – 470 – 330<br />
– 142 – 320 – 180<br />
– 480 – 340<br />
– 340 – 190<br />
– 100 – 530 – 380<br />
– 174 – 360 – 200<br />
– 550 – 390<br />
– 380 – 220<br />
– 120 – 600 – 440<br />
– 207 – 410 – 240<br />
– 630 – 460<br />
– 460 – 260<br />
– 710 – 510<br />
– 145 – 520 – 280<br />
– 245 – 770 – 530<br />
– 580 – 310<br />
– 830 – 560<br />
– 660 – 340<br />
– 950 – 630<br />
– 170 – 740 – 380<br />
– 285 – 1030 – 670<br />
– 820 – 420<br />
– 1110 – 710<br />
– 920 – 480<br />
– 190 – 1240 – 800<br />
– 320 – 1050 – 540<br />
– 1370 – 860<br />
– 1200 – 600<br />
– 210 – 1560 – 900<br />
– 350 – 1350 – 680<br />
– 1710 – 1040<br />
– 95<br />
– 205<br />
– 110<br />
– 240<br />
– 120<br />
– 280<br />
– 130<br />
– 290<br />
– 140<br />
– 330<br />
– 150<br />
– 340<br />
– 170<br />
– 390<br />
– 180<br />
– 400<br />
– 200<br />
– 450<br />
– 210<br />
– 460<br />
– 230<br />
– 480<br />
– 240<br />
– 530<br />
– 260<br />
– 550<br />
– 280<br />
– 570<br />
– 300<br />
– 620<br />
– 330<br />
– 650<br />
– 360<br />
– 720<br />
– 400<br />
– 760<br />
Nennmaß<br />
bereich<br />
mm<br />
über 1<br />
bis 3<br />
über 3<br />
bis 6<br />
über 6<br />
bis 10<br />
über 10<br />
bis 14<br />
über 14<br />
bis 18<br />
über 18<br />
bis 24<br />
über 24<br />
bis 30<br />
über 30<br />
bis 40<br />
über 40<br />
bis 50<br />
über 50<br />
bis 65<br />
über 65<br />
bis 80<br />
über 80<br />
bis 100<br />
über 100<br />
bis 120<br />
über 120<br />
bis 140<br />
über 140<br />
bis 160<br />
über 160<br />
bis 180<br />
über 180<br />
bis 200<br />
über 200<br />
bis 225<br />
über 225<br />
bis 250<br />
über 250<br />
bis 280<br />
über 280<br />
bis 315<br />
über 315<br />
bis 355<br />
über 355<br />
bis 400
10.1.14 Passungsauswahl, empfohlene Passtoleranzen, Spiel-, Übergangs- <strong>und</strong><br />
Übermaßtoleranzfelder in µm nach DIN ISO 286<br />
Nennmaßbereich<br />
mm<br />
Passung<br />
über 1 bis 3 –<br />
–<br />
über 3 bis 6 –<br />
–<br />
über 6 bis 10 –<br />
–<br />
H8/x8<br />
u 8<br />
1)<br />
6<br />
34<br />
10<br />
46<br />
12<br />
56<br />
H 7<br />
s 6<br />
– 4<br />
– 20<br />
– 7<br />
– 27<br />
– 8<br />
– 32<br />
H 7<br />
r 6<br />
– 0<br />
– 16<br />
– 3<br />
– 23<br />
– 4<br />
– 28<br />
H 7<br />
n 6<br />
+ 6<br />
– 10<br />
+ 4<br />
– 16<br />
+ 5<br />
– 19<br />
H 7<br />
k 6<br />
–<br />
–<br />
+ 14<br />
– 10<br />
H 7<br />
j 6<br />
+ 12<br />
– 4<br />
+ 13<br />
– 7<br />
+ 17<br />
– 7<br />
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
H 7<br />
h 6<br />
+16<br />
0<br />
+20<br />
0<br />
+24<br />
0<br />
H 8<br />
h 9<br />
+ 39<br />
0<br />
+ 48<br />
0<br />
+ 58<br />
0<br />
H 11<br />
h 9<br />
+ 85<br />
0<br />
+ 105<br />
0<br />
+ 126<br />
0<br />
H 11<br />
h 11<br />
+ 120<br />
0<br />
+ 150<br />
0<br />
+ 180<br />
0<br />
G7 H7<br />
h 6 g 6<br />
+ 18<br />
+ 2<br />
+ 24<br />
+ 4<br />
+ 29<br />
+ 5<br />
über 10 bis 14 –<br />
–<br />
13<br />
67 – 10 – 5 + 6 +17 +21 +29 + 70 + 153 + 220 + 35<br />
über 14 bis 18<br />
– 18<br />
– 72<br />
– 39 – 34 – 23 –12 – 8 0 0 0 0 + 6<br />
über 18 bis 24 –<br />
–<br />
21<br />
87 – 14 – 7 + 6 +19 +25 +34 + 85 + 182 + 260 + 41<br />
– 15 – 48 – 41 – 28 –15 – 9 0 0 0 0 + 7<br />
über 24 bis 30 – 81<br />
über 30 bis 40 –<br />
–<br />
21<br />
99 – 18 – 9 + 8 +23 +30 +41 + 101 + 222 + 320 + 50<br />
über 40 bis 50 – 31<br />
– 109<br />
– 59 – 50 –33 –18 –11 0 0 0 0 + 9<br />
über 50 bis 65 – 41<br />
– 133<br />
über 65 bis 80 – 56<br />
– 148<br />
über 80 bis 100 – 70<br />
– 178<br />
über 100 bis 120 – 90<br />
– 198<br />
über 120 bis 140 – 107<br />
– 233<br />
über 140 bis 160 – 127<br />
– 253<br />
über 160 bis 180 – 147<br />
– 273<br />
über 180 bis 200 – 164<br />
– 308<br />
über 200 bis 225 – 186<br />
– 330<br />
über 225 bis 250 – 212<br />
– 356<br />
über 250 bis 280 – 234<br />
– 396<br />
über 280 bis 315 – 269<br />
– 431<br />
über 315 bis 355 – 301<br />
– 479<br />
über 355 bis 400 – 346<br />
– 524<br />
– 23<br />
– 72<br />
– 29<br />
– 78<br />
– 36<br />
– 93<br />
– 44<br />
– 101<br />
– 52<br />
– 117<br />
– 60<br />
– 125<br />
– 68<br />
– 133<br />
– 76<br />
– 151<br />
– 84<br />
– 159<br />
– 94<br />
– 169<br />
– 106<br />
– 190<br />
– 118<br />
– 202<br />
– 133<br />
– 226<br />
– 151<br />
– 244<br />
–<br />
–<br />
11<br />
60 +10 +28<br />
+37 +49 + 120 + 264 + 380 + 59<br />
– 13 –39 –21 –12 0 0 0 0 + 10<br />
– 62<br />
– 16<br />
– 73 +12 +32 +44 +57 + 141 + 307 + 440 + 69<br />
– 19 –45 –25 –13 0 0 0 0 + 12<br />
– 76<br />
– 23<br />
– 88<br />
– 25<br />
– 90<br />
– 28<br />
– 93<br />
– 31<br />
– 106<br />
– 34<br />
– 109<br />
– 38<br />
– 113<br />
+ 13<br />
– 52<br />
+ 15<br />
– 60<br />
+ 37<br />
– 28<br />
+ 42<br />
– 33<br />
1) bis Nennmaß 24 mm: x 8; über 24 mm Nennmaß: u 8<br />
+ 51<br />
– 14<br />
+ 59<br />
– 16<br />
+65<br />
0<br />
+75<br />
0<br />
+ 163<br />
0<br />
+ 187<br />
0<br />
+ 350<br />
0<br />
+ 405<br />
0<br />
+ 500<br />
0<br />
+ 580<br />
0<br />
+ 79<br />
+ 14<br />
+ 90<br />
+ 15<br />
– 42<br />
– 126 +18 +48 +68 +84 + 211 + 450 + 640 + 101<br />
– 46 –66 –36 –16 0 0 0 0 + 17<br />
– 130<br />
– 51<br />
– 144 +20 +53 +75 +93 + 229 + 500 + 720 + 111<br />
– 57 –73 –40 –18 0 0 0 0 + 18<br />
– 150<br />
257<br />
10
Maschinenelemente<br />
Toleranzen <strong>und</strong> Passungen<br />
258<br />
10<br />
Fortsetzung 10.1.14<br />
H 7 F 8 H 8 F 8 H 8 E 9 H 8 D 10 H 11 D 10 C 11 C 11 H 11 A 11 H 11<br />
f 7 h 6 f 7 h 9 e 8 h 9 d 9 h 9 d 9 h 11 h 9 h 11 c 11 h 11 a 11<br />
+<br />
+<br />
26<br />
6<br />
+<br />
+<br />
28<br />
6<br />
+<br />
+<br />
30<br />
6<br />
+<br />
+<br />
47<br />
6<br />
+<br />
+<br />
42<br />
14<br />
+<br />
+<br />
64<br />
14<br />
+<br />
+<br />
59<br />
20<br />
+<br />
+<br />
85<br />
20<br />
+<br />
+<br />
105<br />
20<br />
+<br />
+<br />
120<br />
20<br />
+<br />
+<br />
145<br />
60<br />
+<br />
+<br />
180<br />
60<br />
+<br />
+<br />
390<br />
270<br />
+<br />
+<br />
34<br />
10<br />
+<br />
+<br />
36<br />
10<br />
+<br />
+<br />
40<br />
10<br />
+<br />
+<br />
58<br />
10<br />
+<br />
+<br />
56<br />
20<br />
+<br />
+<br />
80<br />
20<br />
+<br />
+<br />
78<br />
30<br />
+<br />
+<br />
108<br />
30<br />
+<br />
+<br />
135<br />
30<br />
+<br />
+<br />
153<br />
30<br />
+<br />
+<br />
175<br />
70<br />
+<br />
+<br />
220<br />
70<br />
+<br />
+<br />
420<br />
270<br />
+<br />
+<br />
43<br />
13<br />
+<br />
+<br />
44<br />
13<br />
+<br />
+<br />
50<br />
13<br />
+<br />
+<br />
71<br />
13<br />
+<br />
+<br />
69<br />
25<br />
+<br />
+<br />
97<br />
25<br />
+<br />
+<br />
98<br />
40<br />
+<br />
+<br />
134<br />
40<br />
+<br />
+<br />
166<br />
40<br />
+<br />
+<br />
188<br />
40<br />
+<br />
+<br />
206<br />
80<br />
+<br />
+<br />
260<br />
80<br />
+<br />
+<br />
460<br />
280<br />
+<br />
+<br />
52<br />
16<br />
+<br />
+<br />
54<br />
16<br />
+<br />
+<br />
61<br />
16<br />
+<br />
+<br />
86<br />
16<br />
+<br />
+<br />
86<br />
32<br />
+<br />
+<br />
118<br />
32<br />
+<br />
+<br />
120<br />
50<br />
+<br />
+<br />
163<br />
50<br />
+<br />
+<br />
203<br />
50<br />
+<br />
+<br />
230<br />
50<br />
+<br />
+<br />
248<br />
95<br />
+<br />
+<br />
315<br />
95<br />
+<br />
+<br />
510<br />
290<br />
+<br />
+<br />
62<br />
20<br />
+<br />
+<br />
66<br />
20<br />
+<br />
+<br />
74<br />
20<br />
+<br />
+<br />
105<br />
20<br />
+<br />
+<br />
106<br />
40<br />
+<br />
+<br />
144<br />
40<br />
+<br />
+<br />
150<br />
65<br />
+<br />
+<br />
201<br />
65<br />
+<br />
+<br />
247<br />
65<br />
+<br />
+<br />
279<br />
65<br />
+<br />
+<br />
292<br />
110<br />
+<br />
+<br />
370<br />
110<br />
+<br />
+<br />
560<br />
300<br />
+<br />
+<br />
75<br />
25<br />
+<br />
+<br />
80<br />
25<br />
+<br />
+<br />
89<br />
25<br />
+<br />
+<br />
126<br />
25<br />
+<br />
+<br />
128<br />
50<br />
+<br />
+<br />
174<br />
+50<br />
+<br />
+<br />
181<br />
80<br />
+<br />
+<br />
242<br />
80<br />
+<br />
+<br />
302<br />
80<br />
+<br />
+<br />
340<br />
80<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
342<br />
120<br />
352<br />
130<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
440<br />
120<br />
450<br />
130<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
630<br />
310<br />
640<br />
320<br />
+<br />
+<br />
90<br />
30<br />
+<br />
+<br />
95<br />
30<br />
+<br />
+<br />
106<br />
30<br />
+<br />
+<br />
150<br />
30<br />
+<br />
+<br />
152<br />
60<br />
+<br />
+<br />
208<br />
60<br />
+<br />
+<br />
220<br />
100<br />
+<br />
+<br />
294<br />
100<br />
+<br />
+<br />
364<br />
100<br />
+<br />
+<br />
410<br />
100<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
404<br />
140<br />
414<br />
150<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
520<br />
140<br />
530<br />
150<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
720<br />
340<br />
740<br />
360<br />
+<br />
+<br />
106<br />
36<br />
+<br />
+<br />
112<br />
36<br />
+<br />
+<br />
125<br />
36<br />
+<br />
+<br />
177<br />
36<br />
+<br />
+<br />
180<br />
72<br />
+<br />
+<br />
246<br />
72<br />
+<br />
+<br />
261<br />
120<br />
+<br />
+<br />
347<br />
120<br />
+<br />
+<br />
427<br />
120<br />
+<br />
+<br />
480<br />
120<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
477<br />
170<br />
487<br />
180<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
610<br />
170<br />
620<br />
180<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
820<br />
380<br />
850<br />
410<br />
+<br />
+<br />
550<br />
200<br />
+<br />
+<br />
700<br />
200<br />
+<br />
+<br />
960<br />
460<br />
+<br />
+<br />
123<br />
43<br />
+<br />
+<br />
131<br />
43<br />
+<br />
+<br />
146<br />
43<br />
+<br />
+<br />
206<br />
43<br />
+<br />
+<br />
211<br />
85<br />
+<br />
+<br />
285<br />
85<br />
+<br />
+<br />
308<br />
145<br />
+<br />
+<br />
405<br />
145<br />
+<br />
+<br />
495<br />
145<br />
+<br />
+<br />
555<br />
145<br />
+<br />
+<br />
560<br />
210<br />
+<br />
+<br />
710<br />
210<br />
+<br />
+<br />
1020<br />
520<br />
+<br />
+<br />
580<br />
230<br />
+<br />
+<br />
730<br />
230<br />
+<br />
+<br />
1080<br />
580<br />
+<br />
+<br />
645<br />
240<br />
+<br />
+<br />
820<br />
240<br />
+<br />
+<br />
1240<br />
660<br />
+<br />
+<br />
142<br />
50<br />
+<br />
+<br />
151<br />
50<br />
+<br />
+<br />
168<br />
50<br />
+<br />
+<br />
237<br />
50<br />
+<br />
+<br />
244<br />
100<br />
+<br />
+<br />
330<br />
100<br />
+<br />
+<br />
357<br />
170<br />
+<br />
+<br />
470<br />
170<br />
+<br />
+<br />
575<br />
170<br />
+<br />
+<br />
645<br />
170<br />
+<br />
+<br />
665<br />
260<br />
+<br />
+<br />
840<br />
260<br />
+<br />
+<br />
1320<br />
740<br />
+<br />
+<br />
685<br />
280<br />
+<br />
+<br />
860<br />
280<br />
+<br />
+<br />
1400<br />
820<br />
+<br />
+<br />
160<br />
56<br />
+<br />
+<br />
169<br />
56<br />
+<br />
+<br />
189<br />
56<br />
+<br />
+<br />
267<br />
56<br />
+<br />
+<br />
272<br />
110<br />
+<br />
+<br />
370<br />
110<br />
+<br />
+<br />
401<br />
190<br />
+<br />
+<br />
530<br />
190<br />
+<br />
+<br />
640<br />
190<br />
+<br />
+<br />
720<br />
190<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
750<br />
300<br />
780<br />
330<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
940<br />
300<br />
970<br />
330<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
1560<br />
920<br />
1690<br />
1050<br />
+<br />
+<br />
176<br />
62<br />
+<br />
+<br />
187<br />
62<br />
+<br />
+<br />
208<br />
62<br />
+<br />
+<br />
291<br />
62<br />
+<br />
+<br />
303<br />
123<br />
+<br />
+<br />
405<br />
125<br />
+<br />
+<br />
439<br />
210<br />
+<br />
+<br />
580<br />
210<br />
+<br />
+<br />
710<br />
210<br />
+<br />
+<br />
800<br />
210<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
860<br />
360<br />
900<br />
400<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
1080<br />
360<br />
1120<br />
400<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
1920<br />
1200<br />
2070<br />
1350
10.2 Schraubenverbindungen<br />
10.2.1 Berechnung<br />
axial belasteter<br />
Schrauben ohne<br />
Vorspannung<br />
Erforderlicher Spannungs-<br />
Querschnitt A S erf <strong>und</strong> Wahl<br />
des Gewindes nach 10.2.13<br />
(Schraubendurchmesser d)<br />
<strong>und</strong> der Festigkeitsklasse<br />
nach 10.2.9<br />
Zugspannung � z<br />
Flächenpressung im<br />
Gewinde p<br />
Erforderliche Mutter-<br />
höhe m erf<br />
Ausschlagspannung � a bei<br />
schwingender Belastung<br />
10.2.2 Berechnung unter<br />
Last angezogener<br />
Schrauben<br />
Erforderlicher Spannungs-<br />
Querschnitt <strong>und</strong> Wahl des<br />
Gewindes nach 10.2.18<br />
(Schraubendurchmesser d)<br />
<strong>und</strong> der Festigkeitsklasse<br />
nach 10.2.9<br />
Normen (Auswahl) <strong>und</strong> Bezugsliteratur<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
DIN 13 Metrisches ISO-Gewinde<br />
DIN 74 Senkungen<br />
DIN 78 Gewindeenden, Schraubenüberstände<br />
DIN 103 Metrisches ISO-Trapezgewinde<br />
DIN 475 Schlüsselweiten<br />
VDI-Richtlinie 2230; Systematische Berechnung hoch beanspruchter<br />
Schraubenverbindungen, Feb. 2003. Die Richtlinie enthält eine<br />
ausführliche Liste wichtiger Bezugsliteratur.<br />
α<br />
AF<br />
A Serf ≥<br />
0,8 ⋅Rp0,2<br />
A S erf erforderlicher Spannungsquerschnitt<br />
F gegebene Betriebskraft<br />
R p 0,2 0,2-Dehngrenze nach 10.2.9<br />
F<br />
σ z =<br />
A S<br />
F⋅P p = ≤ pzul<br />
π ⋅d2⋅H1⋅m m<br />
erf<br />
F⋅P =<br />
π ⋅d ⋅H ⋅p<br />
a A<br />
2A<br />
S<br />
2 1 zul<br />
A S erf F R p 0,2<br />
mm2 N<br />
N<br />
mm2<br />
P Gewindesteigung<br />
nach 10.2.13<br />
p zul nach 10.2.7<br />
F<br />
σ = ≤σ σA Ausschlagfestigkeit<br />
A S erf<br />
F<br />
≥<br />
ν⋅<br />
A S erf F R p 0,2<br />
Rp0,2 mm2 N<br />
N<br />
mm2<br />
F<br />
m<br />
F<br />
Spannschloss<br />
AS erf erforderlicher Spannungsquerschnitt<br />
F gegebene Spannkraft<br />
� Ausnutzungsgrad für die Streckgrenze Re oder für die<br />
0,2-Dehngrenze Rp 0,2, zweckmäßig wird � = 0,6 ... 0,8<br />
gesetzt (Erfahrungswert)<br />
0,2-Dehngrenze (10.2.9)<br />
R p 0,2<br />
259<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
260<br />
Zugspannung � z<br />
Torsionsspannung � t<br />
Vergleichsspannung � red<br />
(reduzierte Spannung)<br />
Ausschlagspannung � a<br />
10.2.3 Berechnung einer<br />
vorgespannten<br />
Schraubenverbindung<br />
bei axial wirkender<br />
Betriebskraft<br />
10.2.3.1 Überschlägige<br />
Ermittlung des<br />
erforderlichen<br />
Gewindes<br />
Überschlägige Ermittlung<br />
des erforderlichen<br />
Spannungsquerschnitts<br />
<strong>und</strong> Wahl des Gewindes<br />
Ausnutzungsgrad �<br />
F<br />
σ z =<br />
A<br />
S<br />
F⋅d2 τt= ⋅ tan( α+<br />
r')<br />
2⋅W<br />
ps<br />
2<br />
red = z + 3 t ≤0,9⋅Rp0,2 σ σ τ<br />
F<br />
a = ≤ A<br />
2⋅<br />
AS<br />
σ σ<br />
A Serf<br />
F<br />
≥<br />
ν⋅<br />
d 2 Flankendurchmesser (10.2.13)<br />
� Gewindesteigungswinkel (10.2.13)<br />
W p polares Widerstandsmoment (10.2.13)<br />
r' Reibwinkel im Gewinde (10.2.4)<br />
� A Ausschlagfestigkeit nach 10.2.4<br />
A<br />
AS erf FA Rp 0,2<br />
Rp0,2 mm2 N<br />
N<br />
mm2<br />
Herleitung: Es wird reine Zugspannung im Spannungsquerschnitt A S<br />
angenommen, hervorgerufen durch die Zugkraft F A. Die zulässige<br />
Zugspannung wird gleich dem � -fachen der 0,2-Dehngrenze gesetzt<br />
(� z zul = � · Rp 0,2), sodass mit der Zughauptgleichung<br />
� z = F A/A S erf < � · R p 0,2 wird.<br />
AS erf erforderlicher Spannungsquerschnitt<br />
FA gegebene axiale Vorspannkraft<br />
� Ausnutzungsgrad<br />
Rp 0,2 0,2- Dehngrenze der Schraube (10.2.9)<br />
� � 1 gibt an, mit welchem Anteil von der Streckgrenze R e oder der<br />
0,2-Dehngrenze Rp 0,2 die Schraube belastet werden soll, z.B.<br />
� = 0,6 = 60 % von R p 0,2.<br />
Erfahrungswerte:<br />
� = 0,25 bei dynamisch <strong>und</strong> exzentrisch angreifender Axialkraft F A.<br />
� = 0,4 bei dynamisch <strong>und</strong> zentrisch oder statisch <strong>und</strong> exzentrisch<br />
angreifender Axialkraft F A.<br />
� = 0,6 bei statisch <strong>und</strong> zentrisch angreifender Axialkraft F A.
10.2.3.2 Berechnungsbeispiel<br />
Für F A die nächsthöhere<br />
Normzahl aus R5 wählen<br />
Erforderlicher<br />
Spannungsquerschnitt<br />
Abmessungen der<br />
Schraube<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
Die skizzierte exzentrisch vorgespannte Verschraubung eines<br />
Hydraulik-Zylinderdeckels soll berechnet werden.<br />
Die zu übertragende größte Axialkraft je Schraube beträgt 20530 N.<br />
Beide Bauteile bestehen aus Gusseisen EN-GJS-450-10 nach DIN<br />
EN 1563 mit der Elastizitätsgrenze Rp 0,2 = 310 MPa = 310 N/mm 2 .<br />
Die Schraube soll die Festigkeitsklasse 8.8 haben (Rp 0,2 = 660 MPa)<br />
<strong>und</strong> mit dem Drehmomentenschlüssel angezogen werden.<br />
Normzahlen der Reihe R5:<br />
630/1000/1600/2500/4000/6300/10000/16000/25000/40000/630000<br />
gewählt: F A = 25 000 N<br />
FA<br />
25000 N<br />
2<br />
AS erf = = = 94,7mm<br />
ν⋅ Rp0,2<br />
0,4 ⋅660<br />
Mpa<br />
Der Ausnutzungsgrad wird für eine statisch wirkende <strong>und</strong> exzentrisch<br />
angreifende Axialkraft mit 0,4 eingesetzt (siehe oben)<br />
Nach 10.2.13 wird das Gewinde M16 gewählt:<br />
Gewindedurchmesser d = 16 mm<br />
Flankendurchmesser d 2 = 14,701 mm<br />
Steigungswinkel � = 2,48°<br />
Spannungsquerschnitt A S = 157 mm 2 � 94,7 mm 2<br />
Schaftquerschnitt A = 50,201 mm 2<br />
polares Widerstandsmoment W pS = 554,9 mm 3<br />
Bezeichnung der Schraube: M8 × 80 DIN 13 – 8.8<br />
Durchmesser der Kopfauflage d w = 13 mm<br />
Schraubenlänge (gewählt) l = 50 mm<br />
Gewindelänge b = 22 mm<br />
Durchgangsbohrung d h = 9 mm<br />
Kopfauflagefläche A p = 69,1 mm 2<br />
Außendurchmesser der verspannten Teile D A = 25 mm<br />
Die weiteren <strong>und</strong> umfangreicheren Rechnungen sollten mit den<br />
Unterlagen aus der VDI-Richtlinie 2230 durchgeführt werden.<br />
261<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
262<br />
10.2.4 Kräfte <strong>und</strong> Verformungen<br />
in zentrisch<br />
vorgespannten<br />
Schraubenverbindungen<br />
Verspannungsdiagramm<br />
einer vorgespannten<br />
Schraubenverbindung<br />
nach dem Aufbringen<br />
einer axialen Betriebskraft<br />
F A, die zentrisch an<br />
Schraubenkopf- <strong>und</strong><br />
Mutterauflage angreift.<br />
Dann ist der Krafteinleitungsfaktor<br />
n = 1. Er wird<br />
nach der VDI-Richtlinie<br />
2230 berechnet <strong>und</strong><br />
beschreibt den Einfluss<br />
des Einleitungsortes der<br />
Axialkraft F A auf die<br />
Verschiebung des<br />
Schraubenkopfes.<br />
Elastische Nachgiebigkeit<br />
� S einer Sechskantschraube<br />
Nach Aufbringen der<br />
Vorspannkraft F V<br />
FV Vorspannkraft der Schraube<br />
FA axiale Betriebskraft<br />
FK Klemmkraft (Dichtkraft)<br />
FK1 theoretische Klemmkraft<br />
FZ Vorspannkraftverlust durch Setzen während der Betriebszeit<br />
FS Schraubenkraft<br />
FSA Axialkraftanteil (Betriebskraftanteil der Schraube)<br />
FPA Axialkraftanteil der verspannten Teile<br />
fS Verlängerung der Schraube nach der Montage<br />
fP Verkürzung der verspannten Teile nach der Montage<br />
fSA, fPA entsprechende Formänderungen nach Aufbringen der<br />
Betriebskraft FA fZ Setzbetrag (bleibende Verformung durch „Setzen“)<br />
� f Längenänderung nach dem Aufbringen von FA � S, � P Neigungswinkel der Kennlinie<br />
l1 l2+<br />
0,8 d<br />
+<br />
A AS<br />
� S=<br />
ES<br />
� S = S f f<br />
=<br />
FV FSA<br />
∆<br />
Dehnquerschnitte <strong>und</strong> Dehnlängen an<br />
der Sechskantschraube
Ersatzhohlzylinder zur<br />
Berechnung der elastischen<br />
Nachgiebigkeit � P<br />
der Platten <strong>und</strong> Ersatzquerschnitt(Ersatz-Hohlzylinder)<br />
A ers der Platten<br />
für d w + l K < D A<br />
Axialkraftanteil F SA<br />
in der Schraube<br />
Kraftverhältnis �<br />
� K ist das Kraftverhältnis<br />
bei zentrischer<br />
Verspannung <strong>und</strong><br />
zentrischer Krafteinleitung<br />
in Ebenen durch<br />
die Schraubenkopf- <strong>und</strong><br />
Mutterauflage.<br />
� -Kontrolle für<br />
Sechskantschrauben,<br />
berechnet mit der obigen<br />
Gleichung <strong>und</strong> den<br />
folgenden Überschlagswerten:<br />
für Stahlflansche mit<br />
E P = 21 · 10 4 N/mm 2 <strong>und</strong><br />
Flansche aus EN-GJL-300<br />
(Klammerwerte) mit<br />
E P = 12 · 10 4 N/mm 2<br />
in Abhängigkeit von l K/d<br />
berechnet.<br />
lK<br />
fP ∆f ∆f<br />
� P = = = =<br />
Aers ⋅EP<br />
FV FPA FA − FSA<br />
⎡ 2<br />
⎛ ⎞ ⎤<br />
π ⎢ l ⋅<br />
⎥<br />
= 2 ⎜ ⎟<br />
( − 2 π K dw<br />
Aers dwdh) + ⎢ 3<br />
⎜<br />
+ 1<br />
⎟<br />
−1<br />
4 8<br />
2 ⎥<br />
⎢⎝ ( l + )<br />
⎣ K dw<br />
⎠ ⎦⎥<br />
D A Außendurchmesser der verspannten<br />
Platten,<br />
D w Außendurchmesser der Kopfauflage,<br />
bei Sechskantschrauben Durchmesser des<br />
Telleransatzes, sonst Schlüsselweite, bei<br />
Zylinderschrauben Kopfdurchmesser,<br />
D h Durchmesser der Durchgangsbohrung<br />
nach 10.2.10, l K Klemmlänge<br />
δ P<br />
δ P<br />
FSA = FA <strong>und</strong> mit = �<br />
δP+ δS<br />
δP+ δS<br />
F SA = � F A<br />
δ P FSA<br />
P+ S FA<br />
Φ = =<br />
δ δ<br />
Φ =<br />
lK<br />
AersEp lK<br />
l1 l2+<br />
0,8 d<br />
ES A AS<br />
⎛ ⎞<br />
+ ⎜ + ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
Ersatz-Hohlzylinder in<br />
den verspannten<br />
Platten<br />
Gleichungsentwicklung:<br />
�f = � S F SA = � P(F A – F SA)<br />
� S F SA = � P F A – � P F SA<br />
F SA(� S + � P) = � P F A<br />
lK Klemmlänge<br />
EP Elastizitätsmodul der Platten<br />
ES Elastizitätsmodul der<br />
Schraube, für Stahl ist<br />
ES = 21 · 104 N/mm2 Aers Ersatzquerschnitt<br />
l1, l2 Teillängen der Schraube<br />
(10.2.10)<br />
d Gewindenenndurchmesser<br />
(9.25)<br />
A Schaftquerschnitt der<br />
Schraube<br />
AS Spannungsquerschnitt der<br />
Schraube (10.2.13)<br />
l K/d = 1 2 3 4 5<br />
� � =<br />
0,21<br />
(0,31)<br />
0,23<br />
(0,32)<br />
0,22<br />
(0,30)<br />
0,20<br />
(0,28)<br />
0,19<br />
(0,26)<br />
l K/d = 6 7 8 9 10<br />
� � =<br />
0,18<br />
(0,24)<br />
0,16<br />
(0,22)<br />
0,15<br />
(0,20)<br />
0,14<br />
(0,19)<br />
0,13<br />
(0,17)<br />
l K/d = 11 12 13 14 15<br />
� � =<br />
0,12<br />
(0,16)<br />
0,11<br />
(0,15)<br />
0,10<br />
(0,14)<br />
0,097<br />
(0,13)<br />
0,091<br />
(0,12)<br />
l K/d = 16 17 18 20 –<br />
� � =<br />
0,086<br />
(0,11)<br />
0,081<br />
(0,105)<br />
0,076<br />
(0,099)<br />
0,068<br />
(0,088)<br />
Berechnet mit den Vereinfachungen: d a = 1,6 d; D B = 1,1 d; d S = 0,85 d<br />
(für A S); l 1 = 0,7 l K; l 2 = 0,3 l K<br />
–<br />
–<br />
263<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
Axialkraftanteil F PA in den<br />
verspannten Platten<br />
(Plattenzusatzkraft)<br />
Axialkraftanteile F SA <strong>und</strong><br />
F PA mit � n = n·� für den<br />
allgemeinen<br />
Krafteinleitungsfall<br />
Krafteinleitungsfaktoren n<br />
<strong>und</strong> zugehörige<br />
Verbindungstypen<br />
nach VDI 2230<br />
Klemmkraft F K<br />
(bei n � 1)<br />
Schraubenkraft F S <strong>und</strong><br />
Vorspannkraft F V<br />
Schraubenkraft F S<br />
(bei n � 1)<br />
264<br />
F PA = F A (1 – � ) Herleitung: Das Verspannungsdiagramm zeigt<br />
F PA = F A – F SA. Außerdem ist F SA = F A �.<br />
� n = n<br />
δ<br />
δ δ<br />
F<br />
P<br />
SA<br />
= n� =<br />
P + S FA<br />
Parameter zur Ermittlung von n<br />
h Höhe, a k Abstand zwischen<br />
dem Rand der Verspannfläche,<br />
l A Länge zwischen Gr<strong>und</strong>körper<br />
<strong>und</strong> Krafteinleitungspunkt K im<br />
Anschlusskörper<br />
Krafteinleitungsfaktoren n:<br />
n ist der nach VDI 2230 zu<br />
berechnende Krafteinleitungsfaktor,<br />
n ist abhängig vom Ort der Einleitung<br />
der Axialkraft F A.<br />
Verbindungstypen zur Lage<br />
der Krafteinleitung<br />
A/h 0,00 0,10 0,20 �0,30<br />
a K /h 0,10 0,30 �0,50 0,10 0,30 �0,50 0,10 0,30 �0,50 0,10 0,30 �0,50<br />
SV1 0,55 0,30 0,13 0,41 0,22 0,10 0,28 0,16 0,07 0,14 0,12 0,04<br />
SV3 0,37 0,26 0,12 0,30 0,20 0,09 0,23 0,15 0,07 0,14 0,12 0,04<br />
SV5 0,25 0,22 0,10 0,21 0,15 0,07 0,17 0,12 0,06 0,13 0,10 0,03<br />
F K = F V – F Z – F A (1 – � n)<br />
Das Verspannungsbild zeigt<br />
F K = F V – F Z – F PA<br />
F PA = F A (1 – � n)<br />
Vorspannkraft FV �������������<br />
FS = FZ � FK � (1 – � ) FA � � FA ����� ���<br />
F S = F V � F SA<br />
Setzkraft<br />
F S = F V � � n F A<br />
Klemmkraft<br />
Axialkraft-<br />
anteil der<br />
verspannten<br />
Teile<br />
Axialkraft-<br />
anteil der<br />
Schraube<br />
�����������<br />
axiale Betriebskraft F A
Setzkraft F Z<br />
Montagevorspannkraft F VM<br />
Anziehfaktor � A<br />
Richtwerte für den<br />
Anziehfaktor � A<br />
(VDI 2230)<br />
Längenänderungen f S, f P<br />
nach der Montage<br />
fZ<br />
FZ =<br />
( δ + δ )<br />
S P<br />
= f Z<br />
Φ<br />
δ<br />
P<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
Die Setzkraft F Z ist der Vorspannungskraftverlust<br />
durch Setzen der Verbindung<br />
während der Betriebszeit. f Z ist die<br />
dadurch bleibende Verformung.<br />
Richtwerte für Setzbeträge f Z in µm<br />
bei Schrauben, Muttern <strong>und</strong> kompakten verspannten Teilen aus Stahl<br />
(VDI 2230)<br />
Gemittelte<br />
Rautiefe<br />
R Z<br />
< 10 �m<br />
10 �m bis<br />
< 40 �m<br />
40 �m bis<br />
< 160 �m<br />
Beanspruchung im Gewinde<br />
Zug/Druck<br />
Schub<br />
Zug/Druck<br />
Schub<br />
Zug/Druck<br />
Schub<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
α ( 1 Φ )<br />
FVM A FKerf FZFAn Anziehfaktor<br />
� A<br />
1,2 bis<br />
1,4<br />
1,4 bis<br />
1,6<br />
= ⎡ + + ⋅ − ⎤<br />
⎣ ⎦<br />
Streuung<br />
+/-<br />
(9 bis 17)%<br />
+/-<br />
(17 bis 2)%<br />
2,5 bis 4 +/-<br />
(43 bis<br />
60)%<br />
Anziehverfahren <br />
Drehwinkelgesteuertes<br />
Anziehen<br />
Drehmomentengesteuertes<br />
Anziehen mit<br />
Drehmomentenschlüssel<br />
Schlag- oder<br />
Impulsschrauber<br />
je Kopf oder<br />
Mutterauflage<br />
Einstellverfahren<br />
2,5<br />
3<br />
3<br />
4,5<br />
4<br />
6,5<br />
Versuchsmäßige<br />
Bestimmung von<br />
Vorziehmoment<br />
<strong>und</strong> Drehwinkel<br />
Versuchsmäßige<br />
Bestimmung der<br />
Sollanziehmomente<br />
am Originalverschraubungsteil<br />
Einstellen des<br />
Schraubers über<br />
das<br />
Nachstellmoment<br />
<strong>und</strong> einem<br />
Zuschlag<br />
je innere<br />
Trennfuge<br />
1,5<br />
2<br />
2<br />
2,5<br />
3<br />
3,5<br />
Bemerkungen<br />
Vorspannkraftstreuung<br />
wird<br />
wesentlich durch die<br />
Streckgrenzenstreuung<br />
bestimmt.<br />
Niedrigere Werte für<br />
kleine Drehwinkel,<br />
höhere Werte große<br />
Drehwinkel<br />
Niedrigere Werte für<br />
große Zahl von<br />
Einstellversuchen<br />
f S = F VM � S f P = F VM � P F VM Montagevorspannkraft<br />
265<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
Erforderliches<br />
Anziehdrehmoment M A<br />
Richtwerte für Reibzahlen<br />
�' <strong>und</strong> Reibwinkel r'<br />
für metrisches<br />
ISO-Regelgewinde<br />
266<br />
Montagevorspannung � VM<br />
Torsionsspannung � t<br />
Vergleichsspannung � red<br />
(reduzierte Spannung)<br />
⎡d2⎤ MA = FVM⎢ ⋅ tan( α + r')<br />
+ µ A⋅0,7d<br />
⎣<br />
⎥<br />
2<br />
⎦<br />
MA FVM d2, d �A Nmm N mm 1<br />
FVM Montagevorspannkraft<br />
d2 Flankendurchmesser am Gewinde (10.2.13)<br />
d Gewindedurchmesser (10.2.13)<br />
� Steigungswinkel am Gewinde (10.2.13)<br />
r' Reibwinkel am Gewinde<br />
�A Gleitreibzahl der Kopf- oder Mutterauflagefläche<br />
�A � 0,1 für Stahl/Stahl, trocken ( � 0,05 geölt)<br />
�A � 0,15 für Stahl/Gusseisen, trocken ( � 0,05 geölt)<br />
Behandlungsart<br />
Reibungsverhältnisse<br />
trocken geschmiert MoS 2-Paste<br />
�' r' �' r' �' r'<br />
ohne Nachbehandlung 0,16 9º 0,14 8º<br />
phosphatiert 0,18 10º 0,14 8º<br />
galvanisch verzinkt 0,14 8º 0,13 7,5º<br />
galvanisch verkadmet 0,1 6º 0,09 5º<br />
F<br />
σ VM =<br />
A<br />
τ<br />
VM<br />
S<br />
FVM ⋅d2⋅ tan( α + r')<br />
t =<br />
2⋅WpS<br />
2 2<br />
red VM t<br />
p 0,2<br />
σ = σ + 3⋅τ ≤0,9⋅R R p 0,2 0,2-Dehngrenze (10.2.9)<br />
FVM Montagevorspannkraft<br />
AS Spannungsquerschnitt<br />
0,1 6º<br />
d2 Flankendurchmesser *)<br />
WpS polares Widerstandsmoment<br />
der Schraube *)<br />
π 3<br />
WpS = ds<br />
16<br />
dS Durchmesser des<br />
Spannungsquerschnitts A *)<br />
S<br />
� Steigungswinkel des<br />
Gewindes *)<br />
P Gewindesteigung *)<br />
r' Reibwinkel (siehe oben)<br />
*) siehe 10.2.13<br />
Ist die Bedingung � red � 0,9 · R p 0,2<br />
nicht erfüllt, muss die Berechnung<br />
mit einem größeren Schraubendurchmesser<br />
oder mit einer höheren<br />
Festigkeitsklasse wiederholt<br />
werden.
Ausschlagkraft F a<br />
bei dynamischer<br />
Betriebskraft F B<br />
Ausschlagspannung � a<br />
Ausschlagfestigkeit<br />
± � A in N/mm 2<br />
Flächenpressung p<br />
Richtwerte für die<br />
Grenzflächenpressung<br />
p G in N/mm 2<br />
10.2.5 Berechnung vorgespannterSchraubenverbindungen<br />
bei Aufnahme<br />
einer Querkraft<br />
FSAmax − FSAmin<br />
Fa<br />
= =<br />
2<br />
FAmax − FAmin<br />
= n ⋅Φ<br />
2<br />
FSA<br />
Fa = bei FSAmin<br />
= 0<br />
2<br />
F = F + F + F<br />
m VM SAmin a<br />
F<br />
σ σ<br />
a<br />
a = ≤0,9 ⋅ A<br />
A S<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
� A Ausschlagfestigkeit der Schraube<br />
A S Spannungsquerschnitt (10.2.13)<br />
Gewinde<br />
Festigkeitsklasse<br />
< M 8 M 8 ... M 12 M 14 ... M 20 > M 20<br />
4.6 <strong>und</strong> 5.6 50 40 35 35<br />
8.8 bis 12.9 60 50 40 35<br />
10.9 <strong>und</strong> 12.9<br />
schlussgerollt<br />
100 90 70 60<br />
FS<br />
p = ≤ p<br />
A<br />
p<br />
G<br />
A p gepresste Fläche (10.2.10)<br />
p G Grenzflächenpressung<br />
Grenzflächenpressung p G in N/mm 2 bei Werkstoff der Teile<br />
Anziehart S235JO E 335 C 45 E<br />
motorisch<br />
von Hand<br />
200<br />
300<br />
(drehmomentgesteuert)<br />
350<br />
500<br />
600<br />
900<br />
Die Schraubenverbindung überträgt<br />
die gesamte statisch oder dynamisch<br />
wirkende Querkraft F Q ges<br />
allein durch Reibungsschluss:<br />
Reibkraft F R = F Q ges Die erforderliche<br />
Vorspannkraft F V (Schraubenlängskraft)<br />
setzt sich zusammen<br />
aus der erforderlichen Klemmkraft<br />
F K erf <strong>und</strong> der Setzkraft F Z. Eine<br />
axiale Betriebskraft F A tritt nicht auf<br />
(F A = 0).<br />
Stahl,<br />
vergütet<br />
Stahl,<br />
einsatzgehärtet<br />
– –<br />
ca. 1 000 ca. 1 500<br />
EN-GJL-250<br />
EN-GJL-300 AlSiCu<br />
-Leg.<br />
500<br />
750<br />
120<br />
180<br />
Beispiel einer Schraubenverbindung<br />
mit Querkraftaufnahme:<br />
Tellerrad am Kraftfahrzeug<br />
267<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
Erforderliche Klemmkraft<br />
F K erf je Schraube<br />
Erforderliche Klemmkraft<br />
F K erf je Schraube bei<br />
Drehmomentübertragung<br />
Erforderlicher Spannungsquerschnitt<br />
A s erf <strong>und</strong> Wahl<br />
des Gewindes nach Tabelle<br />
im Abschnitt 10.2.13<br />
268<br />
10.2.6 Berechnung von<br />
Bewegungsschrauben<br />
Erforderlicher Kernquerschnitt<br />
A 3 erf<br />
(überschlägig)<br />
Vergleichsspannung � red<br />
(reduzierte Spannung)<br />
Gewindereibmoment M RG<br />
Erforderliche Mutter-<br />
höhe merf<br />
FQ<br />
ges<br />
FKerf≥<br />
n ⋅ µ A<br />
2⋅M FKerf<br />
≥<br />
n⋅µ A⋅dL A<br />
Serf<br />
α ⋅F<br />
≥<br />
0,6 ⋅R<br />
A Kerf<br />
p0,2<br />
n Anzahl der Schrauben, die F Q ges<br />
aufnehmen sollen<br />
� A Gleitreibzahl zwischen den Bauteilen<br />
Die Anzahl n der Schrauben ergibt sich aus<br />
dem zum Anziehen der Schraubenverbindung<br />
erforderlichen Mindestabstand auf dem<br />
Lochkreis.<br />
M zu übertragendes Drehmoment<br />
�A Anziehfaktor (10.2.4)<br />
Rp 0,2 0,2-Dehngrenze (10.2.9)<br />
Für Bewegungsschrauben wird meist Trapezgewinde nach Tabelle im<br />
Abschnitt 10.2.14 verwendet. Man rechnet dann mit dem Kernquerschnitt<br />
A 3. Wird die Bewegungsschraube auf Druck beansprucht,<br />
muss die Knickung überprüft werden.<br />
Beispiel einer Bewegungsschraube: Handspindelpresse<br />
MT<br />
l Knickgefährdete Spindellänge<br />
� t Spindelteil mit Torsionsspannung<br />
� t = MT/Wp l1 tragende Gewindelänge der<br />
Führungsmutter<br />
F Druckkraft in der Spindel<br />
d3 Kerndurchmesser des Trapezgewindes<br />
�d Druckspannung im Gewinde<br />
F Druckkraft<br />
A Querschnittsfläche des Drucktellers<br />
F<br />
A3erf≥<br />
0,45 ⋅Rp0,2<br />
2 2 F<br />
σred = σz,d+ 3⋅τt�z,d<br />
=<br />
A 3<br />
m<br />
erf<br />
F⋅P =<br />
π ⋅d ⋅H ⋅p<br />
2 1 zul<br />
F Zug- oder Druckkraft in der Schraube (Spindel)<br />
Rp 0,2 siehe Tabelle im Abschnitt 10.2.9<br />
A3 siehe Tabelle im Abschnitt 10.2.14<br />
d2<br />
MRG = F tan(<br />
α +r')<br />
2<br />
MRG<br />
π<br />
τ t = W = 2<br />
p d3<br />
Wp<br />
16<br />
Gewindegrößen nach 10.2.14<br />
P zul = 2…3 MP für Gusseisenmuttern/Stahl<br />
= 5…15 MP für Bronzemutter/Stahl<br />
= 7 für Stahl/Stahl
Wirkungsgrad �<br />
Festigkeitsnachweis<br />
10.2.7 Richtwerte für die<br />
zulässige Flächenpressung<br />
bei Bewegungsschrauben<br />
10.2.8 Reibungszahlen <strong>und</strong><br />
Reibungswinkel für<br />
Trapezgewinde<br />
10.2.9 R p 0,2<br />
0,2-Dehngrenze der<br />
Schraube<br />
(Festigkeitseigenschaften<br />
der Schraubenstähle<br />
nach DIN EN 20898)<br />
tanα<br />
η =<br />
tan( α+ β)<br />
Für ruhende Belastung: � red � 0,9 · R p 0,2<br />
Für schwellende Belastung:<br />
F<br />
σa = ≤σA<br />
2⋅<br />
A<br />
σ<br />
σ =<br />
A<br />
3<br />
⋅b ⋅b<br />
β<br />
Sch 1 2<br />
k<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
� Steigungswinkel (10.2.14)<br />
r' Reibwinkel im Gewinde (10.2.8)<br />
Werkstoff<br />
R p 0,2 = 0,2 Dehngrenze<br />
(10.2.9)<br />
Ausschlagspannung<br />
Ausschlagfestigkeit<br />
�a �A �Sch Schwellfestigkeit<br />
b1 b2 Größenbeiwert<br />
� k<br />
Schraube (Spindel) Mutter (Spindelführung)<br />
Stahl<br />
Stahl<br />
Stahl<br />
Stahl, gehärtet<br />
Stahl<br />
Gusseisen<br />
CuZn <strong>und</strong> CuSn-Legierung<br />
CuZn <strong>und</strong> CuSn-Legierung<br />
Oberflächenbeiwert<br />
Kerbwirkungszahl � 2 für<br />
Trapezgewinde<br />
p zul in<br />
N/mm 2<br />
8<br />
5<br />
10<br />
15<br />
Gewinde<br />
trocken<br />
�' r'<br />
geschmiert<br />
�' r'<br />
Spindel aus Stahl, Mutter aus Gusseisen 0,22 12º<br />
Spindel aus Stahl, Mutter aus CuZn- <strong>und</strong><br />
CuSn-Legierungen<br />
0,18 10º<br />
Aus vorstehenden Werkstoffen – – 0,1 6º<br />
Kennzeichen<br />
4.6 4.8 5.6 5.8 6.6 6.8 6.9 8.8 10.9<br />
(Festigkeitsklasse)<br />
Mindest-<br />
12.9<br />
Zugfestigkeit<br />
Rm in N/mm2 Mindest-<br />
Streckgrenze Re<br />
400 500 600 800 1 000 1 200<br />
oder Rp 0,2<br />
Dehngrenze in<br />
N/mm2 240 320 300 400 360 480 540 640 900 1 080<br />
Bruchdehnung A 5<br />
in %<br />
25 14 20 10 16 8 12 12 9 8<br />
269<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
270<br />
10.2.10 Geometrische Größen an Sechskantschrauben<br />
Bezeichnung einer Sechskantschraube M10, Länge l = 90 mm, Festigkeitsklasse 8.8:<br />
Sechskantschraube M10 × 90 DIN 931–8.8<br />
Maße in mm, Kopfauflagefläche A p in mm 2<br />
Gewinde d a � s k l-Bereich 1)<br />
b dh Ap 2) 3) fein mittel 4) 5)<br />
M 5 8 3,5 22 ... 80 16 22 5,3 5,5 26,5 30<br />
M 6 10 4 28 ... 90 18 24 6,4 6,6 44,3 41<br />
M 8 13 5,5 35 ... 110 22 28 8,4 9,0 69,1 64<br />
M 10 17 7 45 ... 160 26 32 10,5 11,0 132 100<br />
M 12 19 8 45 ... 180 30 36 13,0 13,5 140 93<br />
M 14 22 9 45 ... 200 34 40 15,0 15,5 191 134<br />
M 16 24 10 50 ... 200 38 44 17,0 17,5 212 185<br />
M 18 27 12 55 ... 210 42 48 19,0 20,0 258 244<br />
M 20 30 13 60 ... 220 46 52 21,0 22,0 327 311<br />
M 22 32 14 60 ... 220 50 56 23,0 24,0 352 383<br />
M 24 36 15 70 ... 220 54 60 25,0 26,0 487 465<br />
M 27 41 17 80 ... 240 60 66 28,0 30,0 613 525<br />
M 30 46 19 80 ... 260 66 72 31,0 33,0 806 707<br />
1) gestuft: 18, 20, 25, 28, 30, 35, 40,<br />
2) für l � 125 mm<br />
3) für l � 125 mm ... 200 mm<br />
4) für Sechskantschrauben<br />
5) für Innen-Sechskantschrauben<br />
Anmerkung: Die Kopfauflagefläche A p für Sechskantschrauben wurde als Kreisringfläche berechnet mit<br />
Ap = �/4 ( d 2 − d2<br />
), für Innen-Sechskantschrauben aus den Maßen nach DIN. Aussenkungen der<br />
a hmittel<br />
Durchgangsbohrungen (d h) verringern die Auflagefläche A p unter Umständen erheblich.<br />
10.2.11 Maße an Senkschrauben mit Schlitz <strong>und</strong> an Senkungen für Durchgangsbohrungen<br />
Gewindedurchmesser<br />
d = M ...<br />
k max<br />
d3 t2 max<br />
s<br />
d1 d2 t1 Maße in mm<br />
Bezeichnung einer Senkschraube M10<br />
Länge l = 20 mm, Festigkeitsklasse 5.8:<br />
Senkschraube M10 × 20 DIN 962 – 58<br />
Bezeichnung der zugehörigen Senkung der Form A<br />
mit Bohrungsausführung mittel (m):<br />
Senkung A m 10 DIN 74<br />
1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20<br />
0,6<br />
1,9<br />
0,3<br />
0,25<br />
1,2<br />
2,4<br />
0,6<br />
0,72<br />
2,3<br />
0,35<br />
0,3<br />
1,4<br />
2,8<br />
0,7<br />
0,84<br />
2,6<br />
0,4<br />
0,3<br />
1,6<br />
3,3<br />
0,8<br />
0,96<br />
3<br />
0,45<br />
0,4<br />
1,8<br />
3,7<br />
0,9<br />
1,2<br />
3,8<br />
0,6<br />
0,5<br />
2,4<br />
4,6<br />
1,1<br />
1,5<br />
4,7<br />
0,7<br />
0,6<br />
2,9<br />
5,7<br />
1,4<br />
1,65<br />
5,6<br />
0,85<br />
0,8<br />
3,4<br />
6,5<br />
1,6<br />
2,2<br />
7,5<br />
1,1<br />
1<br />
4,5<br />
8,6<br />
2,1<br />
2,5<br />
9,2<br />
1,3<br />
1,2<br />
5,5<br />
10,4<br />
2,5<br />
3<br />
11<br />
1,6<br />
1,6<br />
6,6<br />
12,4<br />
2,9<br />
4<br />
14,5<br />
2,1<br />
2<br />
9<br />
16,4<br />
3,7<br />
5<br />
18<br />
2,6<br />
2,5<br />
11<br />
20,4<br />
4,7<br />
6<br />
22<br />
3<br />
3<br />
14<br />
24,4<br />
5,2<br />
8<br />
29<br />
4<br />
4<br />
18<br />
32,4<br />
7,2<br />
10<br />
36<br />
5<br />
5<br />
22<br />
40,4<br />
9,2
10.2.12 Einschraublänge l a für Sacklochgewinde<br />
Festigkeitsklasse 8.8 8.8 10.9 10.9<br />
Gewindefeinheit d/P < 9 � 9 < 9 � 9<br />
AlCuMg1 F40<br />
GJL220<br />
E295<br />
C45V<br />
1,1 d<br />
1,0 d<br />
0,9 d<br />
0,8 d<br />
10.2.13 Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13<br />
Maße in mm<br />
Gewinde-<br />
Nenndurchmesser<br />
d = D<br />
Reihe 1 Reihe 2<br />
Steigung<br />
P<br />
�<br />
Steigungswinkel<br />
��<br />
in Grad<br />
Flankendurchmesser<br />
1,4 d<br />
1,2 d<br />
1,0 d<br />
0,9 d<br />
1,4 d<br />
1,2 d<br />
1,0 d<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
Bezeichnung des metrischen Regelgewindes z.B.<br />
M 12 Gewinde-Nenndurchmesser<br />
d = D = 12 mm<br />
Kerndurchmesser Gewindetiefe 1)<br />
d 2 = D 2 d 3 D 1 h 3 H 1<br />
Spannungsquerschnitt<br />
A S<br />
mm 2<br />
polares Widerstandsmoment<br />
3 0,5 3,40 2,675 2,387 2,459 0,307 0,271 5,03 3,18<br />
3,5 0,6 3,51 3,110 2,764 2,850 0,368 0,325 6,78 4,98<br />
4 0,7 3,60 3,545 3,141 3,242 0,429 0,379 8,73 7,28<br />
4,5 0,75 3,40 4,013 3,580 3,688 0,460 0,406 11,3 10,72<br />
5 0,8 3,25 4,480 4,019 4,134 0,491 0,433 14,2 15,09<br />
6 1 3,40 5,350 4,773 4,917 0,613 0,541 20,1 25,42<br />
8 1,25 3,17 7,188 6,466 6,647 0,767 0,677 36,6 62,46<br />
10 1,5 3,03 9,026 8,160 8,376 0,920 0,812 58,0 124,6<br />
12 1,75 2,94 10,863 9,853 10,106 1,074 0,947 84,3 218,3<br />
14 2 2,87 12,701 11,546 11,835 1,227 1,083 115 347,9<br />
16 2 2,48 14,701 13,546 13,835 1,227 1,083 157 554,9<br />
18 2,5 2,78 16,376 14,933 15,294 1,534 1,353 192 750,5<br />
20 2,5 2,48 18,376 16,933 17,294 1,534 1,353 245 1082<br />
22 2,5 2,24 20,376 18,933 19,294 1,534 1,353 303 1488<br />
24 3 2,48 22,051 20,319 20,752 1,840 1,624 353 1871<br />
27 3 2,18 25,051 23,319 23,752 1,840 1,624 459 2774<br />
30 3,5 2,30 27,727 25,706 26,211 2,147 1,894 561 3748<br />
33 3,5 2,08 30,727 28,706 29,211 2,147 1,894 694 5157<br />
36 4 2,18 33,402 31,093 31,670 2,454 2,165 817 6588<br />
39 4 2,00 36,402 34,093 34,670 2,454 2,165 976 8601<br />
42 4,5 2,10 39,077 36,479 37,129 2,760 2,436 1120 10 574<br />
45 4,5 1,95 42,077 39,479 40,129 2,760 2,436 1300 13 222<br />
48 5 2,04 44,752 41,866 42,587 3,067 2,706 1470 15 899<br />
52 5 1,87 48,752 45,866 46,587 3,067 2,706 1760 20 829<br />
56 5,5 1,91 52,428 49,252 50,046 3,374 2,977 2030 25 801<br />
60 5,5 1,78 56,428 53,252 54,046 3,374 2,977 2360 32 342<br />
64 6 1,82 60,103 56,639 57,505 3,681 3,248 2680 39 138<br />
68 6 1,71 64,103 60,639 61,505 3,681 3,248 3060 47 750<br />
1) H1 ist die Tragtiefe (siehe Handbuch <strong>Maschinenbau</strong>, D Festigkeitslehre: Flächenpressung im Gewinde)<br />
W ps<br />
mm 3<br />
271<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Schraubenverbindungen<br />
272<br />
10.2.14 Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103<br />
Maße in mm<br />
Gewindedurchmesser<br />
d<br />
Steigung<br />
P<br />
Steigungswinkel<br />
�<br />
��<br />
in Grad<br />
Tragtiefe<br />
H 1<br />
H 1 = 0,5 P<br />
Bezeichnung für<br />
a) eingängiges Gewinde z.B.<br />
Tr 75 � 10 Gewindedurchmesser<br />
d = 75 mm,<br />
Steigung P = 10 mm = Teilung<br />
b) zweigängiges Gewinde z.B.<br />
Tr 75 � 20 P 10 Gewindedurchmesser<br />
d = 75 mm,<br />
Steigung Ph = 20 mm,<br />
Teilung P = 10 mm<br />
Steigung Ph<br />
20 mm<br />
Gangzahl z =<br />
= = 2<br />
Teilung P 10 mm<br />
Flankendurchmesser<br />
D 2 = d 2<br />
D 2 = d – H 1<br />
Kerndurchmesser<br />
d 3<br />
Kernquerschnitt<br />
A 3 =<br />
2<br />
3 4 d<br />
π<br />
mm 2<br />
polares Widerstandsmoment<br />
3<br />
Wp = 3 16 d<br />
π<br />
8 1,5 3,77 0,75 7,25 6,2 30,2 46,8<br />
10 2 4,05 1 9 7,5 44,2 82,8<br />
12 3 5,20 1,5 10,5 9 63,6 143<br />
16 4 5,20 2 14 11,5 104 299<br />
20 4 4,05 2 18 15,5 189 731<br />
24 5 4,23 2,5 21,5 18,5 269 1243<br />
28 5 3,57 2,5 25,5 22,5 398 2237<br />
32 6 3,77 3 29 25 491 3068<br />
36 6 3,31 3 33 29 661 4789<br />
40 7 3,49 3,5 36,5 32 804 6434<br />
44 7 3,15 3,5 40,5 36 1018 9161<br />
48 8 3,31 4 44 39 1195 11 647<br />
52 8 3,04 4 48 43 1452 15 611<br />
60 9 2,95 4,5 55,5 50 1963 24 544<br />
65 10 3,04 5 60 54 2290 30 918<br />
70 10 2,80 5 65 59 2734 40 326<br />
75 10 2,60 5 70 64 3217 51 472<br />
80 10 2,43 5 75 69 3739 64 503<br />
85 12 2,77 6 79 72 4071 73 287<br />
90 12 2,60 6 84 77 4656 89 640<br />
95 12 2,46 6 89 82 5281 108 261<br />
100 12 2,33 6 94 87 5945 129 297<br />
110 12 2,10 6 104 97 7390 179 203<br />
120 14 2,26 7 113 104 8495 220 867<br />
mm 3
10.3 Federn<br />
10.3.1 Federkennlinie,<br />
Federrate,<br />
Federarbeit,<br />
Eigenfrequenz<br />
Federkennlinie,<br />
Federrate c,<br />
Federarbeit W f<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
Normen (Auswahl) <strong>und</strong> Richtlinien<br />
DIN 2088 Zylindrische Schraubenfedern aus r<strong>und</strong>en Drähten <strong>und</strong><br />
Stäben, Berechnung <strong>und</strong> Konstruktion von kaltgeformten<br />
Drehfedern (Schenkelfedern)<br />
DIN 2089 Zylindrische Schraubenfedern aus r<strong>und</strong>en Drähten <strong>und</strong><br />
Stäben, Berechnung <strong>und</strong> Konstruktion von Druck- <strong>und</strong><br />
Zugfedern<br />
DIN 2090 Zylindrische Schraubendruckfedern aus Flachstahl,<br />
Berechnung<br />
DIN 2091 Drehstabfedern mit r<strong>und</strong>em Querschnitt, Berechnung<br />
<strong>und</strong> Konstruktion<br />
DIN 2092 Tellerfedern, Berechnung<br />
DIN 2093 Tellerfedern, Maße <strong>und</strong> Güteeigenschaften<br />
DIN 2094 Blattfedern für Straßenfahrzeuge, Anforderung, Prüfung<br />
DIN 2095 Zylindrische Druckfedern aus R<strong>und</strong>draht, kaltgeformt<br />
DIN 2097 Zylindrische Zugfedern aus R<strong>und</strong>draht<br />
Für Zug-, Druck- <strong>und</strong> Biegefedern:<br />
c = − F2 F1 ∆F<br />
=<br />
f − f ∆ f<br />
oder<br />
c = dF<br />
df<br />
2 1<br />
c � tan �<br />
Wf = + F1 F2 c<br />
∆f<br />
= ( f2− 2<br />
2 f1<br />
)<br />
2 2<br />
F f c Wf N mm<br />
N<br />
mm Nmm<br />
Für Drehstabfedern:<br />
M2 − M1 ∆M<br />
c = = oder<br />
ϕ2 − ϕ1 ∆ϕ<br />
c = dM<br />
dϕ<br />
c � tan �<br />
M1+ M2 c 2 2<br />
Wf = ∆ϕ<br />
= ( ϕ2 −ϕ1<br />
)<br />
2 2<br />
M �� c W f<br />
Nmm rad Nmm<br />
rad Nmm<br />
F Federkraft<br />
f Federweg<br />
M Federmoment<br />
� � Drehwinkel<br />
Beachte: In den Gleichungen für Drehstabfedern steht das Feder-<br />
moment M für die Federkraft F sowie der Drehwinkel � für den<br />
Federweg f (Analogie: M � F, � � f).<br />
273<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
Resultierende Federrate c 0<br />
bei hintereinandergeschalteten<br />
Federn<br />
Resultierende Federrate c 0<br />
bei parallelgeschalteten<br />
Federn<br />
Eigenfrequenz v e<br />
(Federmasse<br />
vernachlässigt)<br />
274<br />
Wegen F 0 = F 1 = F 2 = ...<br />
<strong>und</strong> f 0 = f 1 �� f 2 � ...<br />
wird<br />
1 1 1<br />
= + + ...<br />
c0 c1 c2<br />
Bei zwei Federn gilt:<br />
cc 1 2<br />
c0 =<br />
c1+ c2<br />
Wegen F 0 = F 1 � F 2 + ...<br />
<strong>und</strong> f 0 = f 1 = f 2 = ...<br />
wird<br />
c 0 = c 1 � c 2 � ...<br />
ve = 1<br />
2 π<br />
c<br />
m<br />
für Zug-, Druck- <strong>und</strong><br />
Biegefedern<br />
c, c D Federraten<br />
m Masse des abgefederten<br />
Körpers<br />
J Trägheitsmoment des<br />
Körpers, bezogen auf die<br />
Drehachse<br />
Hz Hertz (1 Hz = 1<br />
s )<br />
1<br />
ve =<br />
2 π<br />
cD<br />
J<br />
für Drehstabfedern<br />
v e c c D m J<br />
1<br />
= Hz<br />
s<br />
N<br />
m<br />
Nm<br />
rad<br />
kg kgm 2<br />
In der Gleichung für Drehstabfedern steht das Trägheitsmoment J für<br />
die Masse m (Analogie: J � m).
10.3.2 Metallfedern<br />
Größen <strong>und</strong> Einheiten<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
Spannung �, � in N/mm 2 , Elastizitätsmodul E <strong>und</strong> Schubmodul G in N/mm 2 (E Stahl = 210 000 N/mm 2 ,<br />
G Stahl = 83 000 N/mm 2 ), Federkraft (Federbelastung) F in N, Federmoment (Kraftmoment, Drehmoment)<br />
M in Nmm, Federrate c in N/mm (bei Drehstabfedern in Nmm/rad), Federarbeit W f in Nmm,<br />
Widerstandsmoment W in mm 3 , Flächenmoment 2. Grades I in mm 4 , Federvolumen V in mm 3 , Federweg<br />
f in mm, Drehwinkel � in rad, sämtliche Längenmaße in mm.<br />
10.3.2.1 Rechteck-Blattfeder<br />
Fl 6Fl<br />
�b = = ≤σ<br />
2 bzul<br />
Wx bh<br />
Fl3 4Fl3<br />
f = =<br />
3E<br />
I 3<br />
x bh E<br />
2 2<br />
fmax = bzul<br />
3hE σ<br />
l<br />
Ebh3<br />
c =<br />
3 4l<br />
2<br />
V σb<br />
Wf =<br />
18E<br />
V =b h l<br />
Zulässige Biegespannung �b zul:<br />
Bei ruhender Belastung �b zul = 0,7 Rm mit Rm = 1300 ... 1500 N/mm2 für Federstahl.<br />
Bei schwingender Belastung gilt das Dauerfestigkeits- oder Gestaltfestigkeitsdiagramm.<br />
Dann muss sein:<br />
�b zul � �m � 0,7 �A �A Ausschlagfestigkeit<br />
�a vorh � 0,75 �A �a Ausschlagspannung<br />
Anhaltswert für � A = 50 N/mm 2 für Federstahl.<br />
10.3.2.2 Dreieck-Blattfeder<br />
Fl 6Fl<br />
�b = = ≤σ<br />
2 bzul<br />
Wx bh<br />
Fl3 6Fl3<br />
f = =<br />
2E<br />
I 3<br />
x bh E<br />
l2σbzul<br />
�b zul wie oben fmax =<br />
hE<br />
10.3.2.3 Trapez-Blattfeder<br />
Fl 6Fl<br />
�b = = ≤σ<br />
2 bzul<br />
Wx bh<br />
Fl3 4Fl3<br />
f = KTr = KTr<br />
3E<br />
I<br />
3<br />
x bh E<br />
2l<br />
2 σbzul<br />
�b zul wie oben fmax = KTr<br />
3hE<br />
bh3E c =<br />
3 6l<br />
2<br />
V σb<br />
Wf =<br />
6E<br />
V = 1<br />
2 bhl<br />
bh3E c =<br />
4K<br />
3<br />
Tr l<br />
2<br />
KTrV σb<br />
Wf =<br />
⎛ b' ⎞<br />
91 ⎜ + ⎟E<br />
⎝ b ⎠<br />
1 ⎛ b'⎞<br />
Formfaktor KTr aus nachstehendem Diagramm V = bhl⎜1+<br />
⎟<br />
2 ⎝ b ⎠<br />
275<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
276<br />
10.3.2.4 Geschichtete Blattfeder<br />
F l<br />
�b = ≤ σbzul<br />
Wx<br />
6F l<br />
�b = ≤ σ 2 bzul<br />
zbh<br />
3 3<br />
Fl 4Fl<br />
f = KTr = KTr<br />
3E<br />
I<br />
3<br />
x zbh E<br />
2l<br />
2σbzul fmax = KTr<br />
3hE<br />
� b zul = 600 N/mm 2 für Vorderfedern an<br />
Fahrzeugen<br />
�<br />
� b zul = 750 N/mm 2 für Hinterfedern<br />
z Anzahl der Blätter<br />
z' Anzahl der Blätter von der Länge L<br />
Formfaktor K Tr aus nachstehendem Diagramm<br />
10.3.2.5 Spiralfeder<br />
M<br />
�b = 10 KSp ≤ σ 3 bzul<br />
d<br />
M<br />
ϕ =<br />
E x<br />
l<br />
I<br />
2 σ<br />
ϕ max =<br />
dE<br />
l<br />
zbh3E c =<br />
4K<br />
3<br />
Tr l<br />
2<br />
KTrV σb<br />
Wf =<br />
⎛ z' ⎞<br />
91 ⎜ + ⎟E<br />
⎝ z ⎠<br />
1 ⎛ z'⎞<br />
V = bhl⎜1+<br />
⎟<br />
2 ⎝ z ⎠<br />
bzul<br />
4<br />
π dE<br />
c =<br />
64l<br />
V<br />
für Kreisquerschnitt Wf =<br />
8E<br />
M<br />
�b = 6 KSp bh2<br />
≤ σbzul<br />
M l<br />
ϕ = ;<br />
E I x<br />
2 σ<br />
ϕ max =<br />
hE<br />
l<br />
bzul<br />
σ 2<br />
3<br />
bh E<br />
c =<br />
12l<br />
2 2<br />
π(<br />
ra−ri) V σ 2<br />
für Rechteckquerschnitt l = Wf =<br />
( d oder h) + w<br />
6E<br />
KSp aus vorstehendem Diagramm<br />
Die zulässige Biegespannung �b zul ist abhängig vom Drahtwerkstoff<br />
(patentiert-gezogener Federdraht) <strong>und</strong> vom Drahtdurchmesser.<br />
Drahtdurchmesser d in mm 2 3 4 5 6 8 10<br />
Anhaltswerte: �b zul in N/mm 2 1200 1170 1130 980 920 860 800
10.3.2.6 Drehfeder (Schenkelfeder)<br />
�b = 10 KSp Fr<br />
≤ σ 3 bzul<br />
d<br />
F r<br />
ϕ =<br />
E x<br />
l<br />
I<br />
2l<br />
bzul<br />
�max =<br />
( doder h) E<br />
�b zul wie in 10.3.2.5<br />
KSp aus Diagramm in 10.3.2.4<br />
2 2<br />
l = if ( Dmπ) + s<br />
gestreckte Lände der<br />
Windungen<br />
Bei schwingender Belastung ist<br />
der Beiwert k zu berücksichtigen.<br />
(Diagramm unter Entwurfs-<br />
berechnung, unten)<br />
Entwurfsberechnung des Drahtdurchmessers d:<br />
3<br />
Fr<br />
d = k1<br />
1−<br />
k2<br />
σ<br />
Größen c <strong>und</strong> W f<br />
wie in 10.3.2.5<br />
i f Anzahl der federnden Windungen<br />
s Windungssteigung<br />
d, r F k 1, k 2<br />
mm N 1<br />
10.3.2.7 Drehstabfeder (Drehmoment M = Torsionsmoment T)<br />
T 16T<br />
� t max = = ≤τ<br />
3 tzul<br />
Wp π d<br />
d<br />
16T<br />
≥ 3<br />
π τtzul<br />
d τ<br />
d ≥<br />
ϕG<br />
l<br />
tzul<br />
T l 32T<br />
l<br />
� = =<br />
G I 4<br />
p π dG<br />
� max =<br />
2l<br />
τ<br />
dG<br />
tzul<br />
π dG 4<br />
c =<br />
32 l<br />
V<br />
Wf =<br />
16G<br />
τ 2<br />
t<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
3<br />
k2 = 0,06<br />
i<br />
Fr<br />
D<br />
k1 = 0,22 für d < 5 mm<br />
k1 = 0,24 für d � 5 mm<br />
� t zul für 50 CrV4 � 700 N/mm 2 für nicht gesetzte Stäbe, � 1000 N/mm 2 für gesetzte Stäbe;<br />
� t zul = ± 100 ... 200 N/mm 2 für Dauerbeanspruchung bei geschliffener Oberfläche.<br />
Sonst: Gestaltfestigkeit � G � 700 N/mm 2 , Ausschlagfestigkeit � A � ± 200 N/mm 2 , es muss sein:<br />
� m � � A � � G <strong>und</strong> � a zul � 0,75 � A.<br />
10.3.2.8 Ringfeder<br />
F<br />
≤ σ<br />
� = zul<br />
π ham btan(<br />
β + r)<br />
� Außenring =<br />
m<br />
�Innenring = σ ≤<br />
h im<br />
F hm<br />
N<br />
= σ ≤800<br />
π h btan( β + r)<br />
h mm<br />
h<br />
am am<br />
N<br />
1200<br />
mm<br />
LF ⎛ Da D ⎞<br />
i<br />
f =<br />
⎜ + ⎟<br />
bE 2 π tan βtan( β+<br />
r)<br />
⎝h h ⎠<br />
2<br />
am im<br />
tan( β + r)<br />
Für Belasten: Fbel = Fel tan β<br />
Fel allein von der elastischen Verformung<br />
herrührende Federkraft<br />
für Entlasten: F entl = F el<br />
tan( β − r)<br />
tan β<br />
F ;( r ≤ r<br />
)<br />
3<br />
F entl � 1 bel entl bel<br />
2<br />
r � 9° für schwere Ringe,<br />
r � 7º für leichte Ringe,<br />
Da<br />
β = 14 ° , b ≈<br />
4<br />
1<br />
hm = ( Da −Di)<br />
4<br />
277<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
278<br />
10.3.2.9 Zylindrische Schrauben-Druckfeder<br />
� i =<br />
d ≥<br />
8FD Gdf<br />
= ≤τ<br />
m<br />
πd3 πi<br />
2<br />
fDm 3<br />
8FD<br />
π τ<br />
3<br />
m f<br />
4<br />
m<br />
izul<br />
8D i F<br />
f =<br />
dG<br />
izul<br />
4<br />
dG<br />
c =<br />
8iD<br />
3<br />
f m<br />
L Bl = (i f � 1,8) d = i g d i g = i f � 1,8<br />
L 0 = L Bl � S a � f 2<br />
G Schubmodul<br />
G Stahl = 83 000 N/mm 2<br />
4<br />
dfG<br />
F =<br />
8iD<br />
� i ideelle Schubspannung<br />
3<br />
f m<br />
i f Anzahl der federnden Windungen<br />
4<br />
1 dG<br />
i = ⋅<br />
f<br />
c 8D3<br />
m<br />
2<br />
V τ<br />
Wf<br />
=<br />
4G<br />
ig Gesamtzahl der Windungen<br />
LBl Blocklänge<br />
Sa Summe aller Windungsabstände<br />
Anhaltswerte für die zulässige Drahtdurchmesser in mm 2 4 6 8 10<br />
ideelle Schubspannung � i zul in N/mm2 900 750 670 620 570<br />
Ermittlung der Summe der Mindestabstände S a bei kaltgeformten Druckfedern<br />
nach DIN 2095<br />
d<br />
mm<br />
0,07 ... 0,5<br />
über 0,5 ... 1,0<br />
über 1,0 ... 1,6<br />
über 1,6 ... 2,5<br />
über 2,5 ... 4,0<br />
über 4,0 ... 6,3<br />
über 6,3 ... 10<br />
über 10 ... 17<br />
Berechnungsformel<br />
für S a in mm<br />
0,5 d � x d 2 i f<br />
0,4 d � x d 2 i f<br />
0,3 d � x d 2 i f<br />
0,2 d � x d 2 i f<br />
1 d � x d 2 i f<br />
1 d � x d 2 i f<br />
1 d � x d 2 i f<br />
1 d � x d 2 i f<br />
x-Werte in 1/mm bei Wickelverhältnis<br />
w = m D<br />
d<br />
4 ... 6 über 6 ... 8 über 8 ... 12 über 12<br />
0,50 0,75 1,00 1,50<br />
0,20 0,40 0,60 1,00<br />
0,05 0,15 0,25 0,40<br />
0,035 0,10 0,20 0,30<br />
0,02 0,04 0,06 0,10<br />
0,015 0,03 0,045 0,06<br />
0,01 0,02 0,030 0,04<br />
0,005 0,01 0,018 0,022<br />
Entwurfsberechnung des Drahtdurchmessers d bei gegebener größter Federkraft F 2 <strong>und</strong> geschätzten<br />
Durchmessern D a <strong>und</strong> D i:<br />
3 d � k1 F2Da 2( k 3 2<br />
1 F2Di) d � k 3<br />
1 F2Di +<br />
3D<br />
i<br />
d, D a, D i F 2 k 1<br />
mm N 1<br />
k1= 0,15 bei d < 5mm ⎫⎪<br />
für Federstahldraht C<br />
⎬⎪<br />
k = 0,16 bei d<br />
= 5 mm...14 mm ⎭ (siehe Dauerfestigkeitsdiagramm)<br />
1
Die Gleichung � i = 8 FD m / ��d 3 berücksichtigt nicht<br />
die Spannungserhöhung durch die Drahtkrümmung.<br />
Bei schwingender Belastung der Feder wird diese<br />
Spannungserhöhung berücksichtigt. Es gilt dann:<br />
� k1 =<br />
� k2 =<br />
8F D Gdf<br />
k = k < τ<br />
π π<br />
1 m 1<br />
d3 i 2<br />
fDm 8F D Gdf<br />
k = k < τ<br />
π π<br />
2 m 2<br />
3 d 2 ifDm kO<br />
kH<br />
�F = F 2 – F 1<br />
k Beiwert nach nebenstehendem Diagramm in<br />
Abhängigkeit vom Wickelverhältnis. Kurve a für<br />
Schraubendruckfeder, Kurve b für Drehfedern<br />
� kO Oberspannungsfestigkeit aus dem Dauerfestigkeitsdiagramm<br />
für kaltgeformte Druckfedern<br />
aus Federstahldraht C<br />
Zusätzliche Bedingungen:<br />
Die Hubspannung � kh (berechnet mit dem Federhub<br />
h = f 2 – f 1 = �f) darf die Dauerhubfestigkeit � kH<br />
(siehe Diagramm) nicht überschreiten:<br />
k<br />
Gdh<br />
< τ<br />
� kh =<br />
2 kH<br />
π iD f m<br />
� kh =<br />
8 ∆ FD<br />
k<br />
π d<br />
m<br />
3<br />
< τ<br />
kH<br />
(h Federhub) oder<br />
�F = F 2 – F 1<br />
Ebenso darf die größte Schubspannung � k2<br />
(berechnet mit dem Federweg f 2) die Oberspannungsfestigkeit<br />
� kO (siehe Diagramm) nicht überschreiten:<br />
� k2 =<br />
� k2 =<br />
Gdf<br />
k<br />
π iD<br />
2<br />
2<br />
f m<br />
8F D<br />
k<br />
π d<br />
2 m<br />
3<br />
< τ<br />
kO<br />
< τ<br />
kO<br />
Zur Überprüfung der Dauerhaltbarkeit bestimmt man<br />
aus dem Federweg f 1 oder nach<br />
� k1 =<br />
8F D<br />
k<br />
π d<br />
1 m<br />
3<br />
die Spannung � k1, setzt � k1 = � kU (Unterspannungsfestigkeit<br />
aus dem Diagramm <strong>und</strong> liest � kO <strong>und</strong> � kH<br />
ab.<br />
Sicherheit gegen Ausknicken ist ausreichend, wenn<br />
die geometrischen Größen im nebenstehenden<br />
Diagramm einen Schnittpunkt unterhalb der Kurven<br />
ergeben.<br />
Kurve a: Federn mit geführten Einspannenden<br />
Kurve b: Federn mit veränderlichen Auflage-<br />
bedingungen<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
Dauerfestigkeitsdiagramm für kaltgeformte<br />
Druckfedern aus Federstahldraht C<br />
279<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
280<br />
10.3.2.10 Zylindrische Schrauben-Zugfeder<br />
Bei Zugfedern ohne innere Vorspannung gelten die Spannungs- <strong>und</strong> Formänderungsgleichungen wie<br />
bei Druckfedern in 10.3.2.9, ebenso die Anhaltswerte für � i zul.<br />
Bei Zugfedern mit innerer Vorspannkraft F 0 ist statt F die Differenz F – F 0 einzusetzen. Die innere<br />
Vorspannkraft F 0 ergibt sich aus<br />
F 0 = F – f c<br />
4<br />
Gd<br />
F0 = F − f<br />
8iD<br />
3<br />
f m<br />
Damit wird nachgeprüft:<br />
� i 0 =<br />
8F D<br />
0 m<br />
3<br />
π d<br />
Richtwerte für<br />
� i 0 zul<br />
≤ τ<br />
i0zul<br />
10.3.2.11 Tellerfedern<br />
Herstellungsverfahren<br />
Wickelverhältnis w = D m/d<br />
w = 4 ... 10 w �10 ... 15<br />
kalt- auf Wickelbank 0,25 · �i zul 0,14 · �i zul<br />
geformt auf Automat 0,14 · �i zul 0,07 · �i zul<br />
Normen<br />
DIN 2092 Tellerfedern, Berechnung<br />
DIN 2093 Tellerfedern, Maße, Qualitätsforderungen<br />
Formelzeichen <strong>und</strong> Einheiten<br />
D a, D i mm Außen-, Innendurchmesser des Federtellers<br />
D 0 mm Durchmesser des Stülpmittelpunktkreises<br />
E N/mm 2 Elastizitätsmodul (für Federstahl<br />
E = 206000 N/mm 2 )<br />
F N Federkraft des Einzeltellers<br />
L 0 mm Länge von Federsäule oder Federpaket, unbelastet<br />
L C mm berechnete Länge von Federsäule oder Federpaket, platt gedrückt<br />
N Anzahl der Lastspiele bis zum Bruch<br />
R N/mm Federrate<br />
W Nmm Federungsarbeit<br />
H 0 = l 0 – t, h' 0 mm lichte Tellerhöhe des unbelasteten Einzeltellers<br />
(Rechengröße = Federweg bis zur Plananlage)<br />
bei Tellerfedern ohne Auflagefläche, mit Auflagefläche<br />
S (s 1, s 2, s 3... ) mm Federweg des Einzeltellers (bei F 1, F 2, F 3 ...)<br />
s 0,75 mm Federweg des Einzeltellers beim Federweg s = 0,75 h 0<br />
t, t' mm Tellerdicke, reduzierte Dicke bei Tellern mit Auflagefläche (Gruppe 3)<br />
� Poisson-Zahl (� = 0,3 für Stahl)<br />
� (� I, � II, � III, � OM) N/mm 2 rechnerische Normalspannung (für die Querschnitte nach Bild in 10.3.2.11.1)<br />
� h N/mm 2 Hubspannung bei Dauerschwingbeanspruchung der Feder<br />
� 0, � u N/mm 2 rechnerische Oberspannung, Unterspannung bei Schwingbeanspruchung<br />
� O, � U N/mm 2 Ober-, Unterspannung der Dauerschwingfestigkeit<br />
� H = � O – � U N/mm 2 Dauerhubfestigkeit
10.3.2.11.1 Maße, Begriffe<br />
<strong>und</strong> Bezeichnungen<br />
Maße der Einzelteller<br />
Querschnitt (schematisch)<br />
einer Tellerfeder<br />
a) ohne Auflagefläche,<br />
b) mit Auflagefläche<br />
Federkennlinien von<br />
Einzeltellern mit verschiedenen<br />
Verhältnissen<br />
h 0/t = lichte Tellerhöhe<br />
h 0/Tellerdicke t,<br />
(gestrichelte Ordinate gilt<br />
für Werte nach DIN 2093).<br />
Kombinationen<br />
geschichteter Tellerfedern<br />
a) Federpaket,<br />
b) Federsäule<br />
a) b)<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
a) ohne Auflagefläche, b) mit Auflagefläche <strong>und</strong> Lage der Berechnungspunkte<br />
(I, II, III, IV, OM), I <strong>und</strong> II sind Krafteinleitungskreise,<br />
S ist der Stülpmittelpunkt.<br />
281<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
282<br />
10.3.2.11.2 Berechnungen<br />
F, s,l 0, t, h 0 siehe<br />
10.3.2.11.3 (Tabelle)<br />
Berechnungsgleichungen<br />
für die Einzeltellerfeder<br />
Kennwerte K<br />
Federkraft F bei beliebigem<br />
Federweg s des<br />
Einzeltellers (s 1, s 2, s 3 ...)<br />
Federpaket mit n Anzahl der gleichsinnig geschichteten<br />
Einzelteller:<br />
Gesamtfederkraft F ges = n · F<br />
Gesamtfederweg s ges = s<br />
Pakethöhe (unbelastet) L 0 = l 0 � (n – 1) · t<br />
Pakethöhe (belastet) L = L 0 – s ges<br />
Federsäule mit Anzahl i der wechselsinnig aneinander gereihten<br />
Pakete <strong>und</strong> je n Einzelteller:<br />
Gesamtfederkraft L ges = n · F<br />
Gesamtfederweg s ges = i · s<br />
Säulenlänge L 0 = i · [l 0 � (n – 1) · t]<br />
(unbelastet) = i · (h 0 � n · t)<br />
Säulenlänge L = L 0 – s ges<br />
(belastet) = i · (h 0 � n · t – s)<br />
� = e D<br />
D i<br />
Durchmesserverhältnis<br />
2<br />
⎛δ−1⎞ ⎜ ⎟<br />
1 ⎝ δ ⎠<br />
K1<br />
= ⋅<br />
π δ + 1 2<br />
−<br />
−1<br />
ln<br />
⎛δ−1⎞ ⎜ −1⎟<br />
6 ⎝ lnδ<br />
⎠<br />
K2<br />
= ⋅<br />
π lnδ<br />
δ δ<br />
3 δ −1<br />
K3<br />
= ⋅<br />
π lnδ<br />
2<br />
C1 ⎛C1⎞ 4 = − + ⎜ ⎟ + 2<br />
K C<br />
2 ⎝ 2 ⎠<br />
K 4 = 1 bei Federteller ohne Auflagefläche<br />
⎛t'⎞ ⎜ ⎟<br />
⎝t⎠ C1 =<br />
⎛1 l0 t' 3⎞⎛5 l0<br />
t'<br />
3⎞<br />
⎜ ⋅ − + ⎟⎜ ⋅ − + ⎟<br />
⎝4 t t 4⎠⎝8 t t 8⎠<br />
2<br />
C ⎡<br />
1 5 ⎛l0⎞ ⎤<br />
C2 = ⎢ ⋅ 1 1<br />
3 ⎜ − ⎟ + ⎥<br />
⎛t'⎞ ⎢⎣32 ⎝ t ⎠ ⎥⎦<br />
⎜ ⎟<br />
⎝t⎠ 2<br />
4E<br />
t4 ⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎤<br />
= ⋅ ⋅ 2s 2 h0 s h0<br />
s<br />
F K4 ⎢K4 ⎜ − ⎟⎜ − ⎟+<br />
1⎥<br />
1−<br />
µ 2 KD2<br />
t⎣ ⎝ t t ⎠⎝ t 2t⎠<br />
⎦<br />
1 e<br />
Beachte: Für Tellerfedern der Gruppe 3 mit Auflagefläche <strong>und</strong><br />
reduzierter Dicke t' ist in allen Gleichungen t durch t' <strong>und</strong> h 0 durch<br />
h' 0 = l 0 – t' zu ersetzen.
Federkraft F C bei platt<br />
gedrückter Tellerfeder<br />
(s = h 0)<br />
Rechnerische Spannungen<br />
(negative Beträge sind<br />
Druckspannungen)<br />
Federrate R<br />
Federungsarbeit W<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
3<br />
4E<br />
th0<br />
2<br />
FC = Fh0 =<br />
K<br />
2 2 4<br />
1 µ KD 1 e<br />
⋅ ⋅<br />
−<br />
4E<br />
Für Federstahl kann mit dem Faktor = 905 495 N/mm<br />
1−<br />
µ 2<br />
2<br />
gerechnet werden (Elastizitätsmodul E = 206000 N/mm 2 <strong>und</strong><br />
Poisson-Zahl µ = 0,3).<br />
4E t s 3<br />
σ =− ⋅ ⋅K ⋅ ⋅ ≤σ<br />
2<br />
0M 2 2 4 zul<br />
1−<br />
µ KD 1 e t π<br />
4E<br />
t s<br />
σI<br />
=− ⋅ ⋅K4 ⋅ ⋅<br />
1−<br />
µ<br />
t<br />
2<br />
2 2 KD 1 e<br />
⎡ ⎛hs⎞ ⎤<br />
⋅⎢K ⋅K − + K ⎥≤<br />
⎣ ⎝ t 2t⎠<br />
⎦<br />
0<br />
4 2⎜ ⎟ 3 σzul<br />
4E<br />
t s<br />
σII<br />
=− ⋅ ⋅K4 ⋅ ⋅<br />
1−<br />
µ<br />
t<br />
2<br />
2 2 KD 1 e<br />
⎡ ⎛hs⎞ ⎤<br />
⋅⎢K ⋅K − −K ⎥≤<br />
⎣ ⎝ t 2t⎠<br />
⎦<br />
0<br />
4 2⎜ ⎟ 3 σzul<br />
4E<br />
t s<br />
σIII<br />
=− ⋅ ⋅K4 ⋅ ⋅<br />
1−<br />
µ<br />
t<br />
2<br />
2 KD2<br />
1 e<br />
⎡ ⎛hs⎞ ⎤<br />
⋅⎢K ⋅( K −2K ) ⋅ − −K ⎥≤<br />
⎣ ⎝ t 2t⎠<br />
⎦<br />
0<br />
4 2 3 ⎜ ⎟ 3 σzul<br />
4E t 1 s<br />
σ =− ⋅ ⋅K ⋅ ⋅ ⋅<br />
δ t<br />
VI2 2 4<br />
1−<br />
µ KD 1 e<br />
2<br />
⎡ ⎛hs⎞ ⎤<br />
⋅⎢K ⋅( K −2K ) ⋅ − + K ⎥≤<br />
⎣ ⎝ t 2t⎠<br />
⎦<br />
0<br />
4 2 3 ⎜ ⎟ 3 σzul<br />
4E<br />
t<br />
R = ⋅ ⋅K 2<br />
4 ⋅<br />
1−<br />
µ<br />
3<br />
2 KD2<br />
1 e<br />
⎡ ⎧ 2 2<br />
2 ⎪⎛h0⎞ h0 s 3⎛s⎞⎫⎪<br />
⎤<br />
· ⎢K4⋅⎨⎜ ⎟ −3⋅ ⋅ + ⎜ ⎟⎬+<br />
1⎥<br />
⎣⎢ ⎪⎩⎝ t ⎠ t t 2⎝t<br />
⎠⎪⎭<br />
⎦⎥<br />
2<br />
4E<br />
t5 2 ⎛s⎞ ⎡ ⎛ 0<br />
W =<br />
2 h s ⎞ ⎤<br />
⋅ ⋅K 2 2 4 ⋅⎜ ⎟ ⋅⎢K4⎜ − ⎟+<br />
1⎥<br />
1−<br />
µ KD 1 e ⎝t ⎠ ⎣ ⎝ t 2t⎠<br />
⎦<br />
283<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
Festigkeitsnachweis bei<br />
statischer Belastung:<br />
Für diese <strong>und</strong> die so<br />
genannte quasistatische<br />
Belastung bei N < 10 4<br />
Lastspielen wählt man die<br />
Tellerfeder aus Tabelle<br />
10.3.2.11.3 so aus, dass die<br />
vorhandene größte<br />
Federkraft F kleiner ist als<br />
die in der Tabelle<br />
angegebene zulässige<br />
Federkraft F 0,75 bei dem<br />
Federweg s 0,75 = 0,75 · h 0.<br />
Die im Querschnitt I<br />
auftretende Druckspannung<br />
� I soll 2 400 N/mm 2<br />
bei dem Federweg<br />
s = 0,75 · h 0 = s 0,75 nicht<br />
überschreiten.<br />
Nachweis bei schwingender<br />
Belastung<br />
(Dauerfestigkeit):<br />
Gr<strong>und</strong>lage für den Nachweis<br />
der Dauer- oder<br />
Zeitfestigkeit sind die in<br />
den dargestellten Dauerfestigkeitsdiagrammen<br />
(Goodman-Diagramme).<br />
Zur Auswertung werden die<br />
vorhandenen rechnerischen<br />
oberen <strong>und</strong> unteren<br />
Zugspannungen � IIo � IIu<br />
� IIIo � IIIu in den Querschnitten<br />
II <strong>und</strong> III mit den entsprechenden<br />
Gleichungen<br />
ermittelt. Diese Werte müssen<br />
kleiner sein als die<br />
Spannungshubgrenzen in<br />
den Dauerfestigkeitsdiagrammen.<br />
284<br />
Dauer- <strong>und</strong> Zeitfestigkeitsdiagramm der Tellerfedergruppe 1 mit<br />
t � 1,25 mm<br />
Dauer- <strong>und</strong> Zeitfestigkeitsdiagramm der Tellerfedergruppe 2 mit<br />
1,25 mm � t � 6 mm<br />
Dauer <strong>und</strong> Zeitfestigkeitsdiagramm der Tellerfedergruppe 3 mit<br />
6 mm � t � 14 mm
10.3.2.11.3 Original-SCHNORR 1) Tellerfedern (nach DIN 2093), erweitert<br />
De Außendurchmesser<br />
Di Innendurchmesser<br />
t Tellerdicke des Einzelltellers<br />
l0 Bauhöhe des unbelasteten<br />
Federtellers<br />
h 0 = l 0 – t Federweg bis zur Plananlage der<br />
Tellerfeder ohne Auflagefläche<br />
h 0 = lichte Höhe am unbelasteten Einzelteller<br />
F 0,75 Federkraft am Einzelteller bei<br />
Federweg s 0,75 = 0,75 · h o<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
s 0,75 Federweg am Einzelteller bei s = 0,75 · h o<br />
� OM 2) , � II 3) , � III Rechnerische Spannung an der<br />
Stelle OM, II, III (siehe Bild in 10.3.2.11.1)<br />
1) t' ist die verringerte Tellerdicke der Gruppe 3<br />
(Grenzabmaße nach DIN 2093, Abschnitt 6.2).<br />
2) rechnerische Druckspannung am oberen<br />
Mantelpunkt OM (siehe Bild in 10.3.2.11.1).<br />
3) größte rechnerische Zugspannung an der<br />
Tellerunterseite,<br />
*) Werte gelten für die Stelle II, sonst für Stelle III<br />
(siehe Bild in 10.3.2.11.1).<br />
bei<br />
s = 0,75·h 0<br />
bei<br />
s � 1,0 · h 0<br />
Reihe De Di t (t’)<br />
1) l0 h0 h0 /t F0,75 s0,75 �OM �<br />
*)<br />
II , *)<br />
�III �OM mm mm mm mm mm N mm N/mm 2<br />
N/mm 2<br />
N/mm 2<br />
C 8 4,2 0,2 0,45 0,25 1,25 39 0,19 – 762 1040 – 1000<br />
B 8 4,2 0,3 0,55 0,25 0,83 119 0,19 – 1140 1330 – 1510<br />
A 8 4,2 0,4 0,6 0,2 0,50 210 0,15 – 1200 1220 – 1610<br />
C 10 5,2 0,25 0,55 0,3 1,20 58 0,23 – 734 980 – 957<br />
B 10 5,2 0,4 0,7 0,3 0,75 213 0,23 – 1170 1300 – 1530<br />
A 10 5,2 0,5 0,75 0,25 0,50 329 0,19 – 1210 1240 – 1600<br />
C 12,5 6,2 0,35 0,8 0,45 1,29 152 0,34 – 944 1280 – 1250<br />
B 12,5 6,2 0,5 0,85 0,35 0,70 291 0,26 – 1000 1110 – 1390<br />
A 12,5 6,2 0,7 1 0,3 0,43 673 0,23 – 1280 1420 – 1670<br />
C 14 7,2 0,35 0,8 0,45 1,29 123 0,34 – 769 1060 – 1020<br />
B 14 7,2 0,5 0,9 0,4 0,80 279 0,3 – 970 1100 – 1290<br />
A 14 7,2 0,8 1,1 0,3 0,38 813 0,23 – 1190 1340 – 1550<br />
C 16 8,2 0,4 0,9 0,5 1,25 155 0,38 – 751 1020 – 988<br />
B 16 8,2 0,6 1,05 0,45 0,75 412 0,34 – 1010 1120 – 1330<br />
A 16 8,2 0,9 1,25 0,35 0,39 1000 0,26 – 1160 1290 – 1560<br />
C 18 9,2 0,45 1,05 0,6 1,33 214 0,45 – 789 1110 – 1050<br />
B 18 9,2 0,7 1,2 0,5 0,71 572 0,38 – 1040 1130 – 1360<br />
A 18 9,2 1 1,4 0,4 0,40 1250 0,3 – 1170 1300 – 1560<br />
C 20 10,2 0,5 1,15 0,65 1,30 254 0,49 – 772 1070 – 1020<br />
B 20 10,2 0,8 1,35 0,55 0,69 745 0,41 – 1030 1110 – 1390<br />
A 20 10,2 1,1 1,55 0,45 0,41 1530 0,34 – 1180 1300 – 1560<br />
C 22,5 11,2 0,6 1,4 0,8 1,33 425 0,6 – 883 1230 – 1180<br />
B 22,5 11,2 0,8 1,45 0,65 0,81 710 0,49 – 962 1080 – 1280<br />
A 22,5 11,2 1,25 1,75 0,5 0,40 1950 0,38 – 1170 1320 – 1530<br />
C 25 12,2 0,7 1,6 0,9 1,29 601 0,68 – 936 1270 – 1240<br />
B 25 12,2 0,9 1,6 0,7 0,78 868 0,53 – 938 1030 – 1240<br />
A 25 12,2 1,5 2,05 0,55 0,37 2910 0,41 – 1210 1410 – 1620<br />
C 28 14,2 0,8 1,8 1 1,25 801 0,75 – 961 1300 – 1280<br />
B 28 14,2 1 1,8 0,8 0,80 1110 0,6 – 961 1090 – 1280<br />
A 28 14,2 1,5 2,15 0,65 0,43 2850 0,49 – 1180 1280 – 1560<br />
C 31,5 16,3 0,8 1,85 1,05 1,31 687 0,79 – 810 1130 – 1080<br />
B 31,5 16,3 1,25 2,15 0,9 0,72 1920 0,68 – 1090 1190 – 1440<br />
A 31,5 16,3 1,75 2,45 0,7 0,40 3900 0,53 – 1190 1310 – 1570<br />
C 35,5 18,3 0,9 2,05 1,15 1,28 831 0,86 – 779 1080 – 1040<br />
B 35,5 18,3 1,25 2,25 1 0,80 1700 0,75 – 944 1070 – 1260<br />
A 35,5 18,3 2 2,8 0,8 0,40 5190 0,6 – 1210 1330 – 1610<br />
C 40 20,4 1 2,3 1,3 1,30 1020 0,98 – 772 1070 – 1020<br />
B 40 20,4 1,5 2,65 1,15 0,77 2620 0,86 – 1020 1130 – 1360<br />
A 40 20,4 2,25 3,15 0,9 0,40 6540 0,68 – 1210 1340 – 1600<br />
285<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
286<br />
bei<br />
s = 0,75·h 0<br />
bei<br />
s � 1,0 · h 0<br />
Reihe D e D i t (t’) 1) l 0 h 0 h 0 /t F 0,75 s 0,75 � OM � II *) , �III *) � OM<br />
mm mm mm mm mm N mm N/mm 2<br />
N/mm 2<br />
N/mm 2<br />
C 45 22,4 1,25 2,85 1,6 1,28 1890 1,2 – 920 1250 – 1230<br />
B 45 22,4 1,75 3,05 1,3 0,74 3660 0,98 – 1050 1150 – 1400<br />
A 45 22,4 2,5 3,5 1 0,40 7720 0,75 – 1150 1300 – 1530<br />
C 50 25,4 1,25 2,85 1,6 1,28 1550 1,2 – 754 1040 – 1010<br />
B 50 25,4 2 3,4 1,4 0,70 4760 1,05 – 1060 1140 – 1410<br />
A 50 25,4 3 4,1 1,1 0,37 12000 0,83 – 1250 1430 – 1660<br />
C 56 28,5 1,5 3,45 1,95 1,30 2620 1,46 – 879 1220 – 1170<br />
B 56 28,5 2 3,6 1,6 0,80 4440 1,2 – 963 1090 – 1280<br />
A 56 28,5 3 4,3 1,3 0,43 11400 0,98 – 1180 1280 – 1570<br />
C 63 31 1,8 4,15 2,35 1,31 4240 1,76 – 985 1350 – 1320<br />
B 63 31 2,5 4,25 1,75 0,70 7180 1,31 – 1020 1090 – 1360<br />
A 63 31 3,5 4,9 1,4 0,40 15000 1,05 – 1140 1300 – 1520<br />
C 71 36 2 4,6 2,6 1,30 5140 1,95 – 971 1340 – 1300<br />
B 71 36 2,5 4,5 2 0,80 6730 1,5 – 934 1060 – 1250<br />
A 71 36 4 5,6 1,6 0,40 20500 1,2 – 1200 1330 – 1590<br />
C 80 41 2,25 5,2 2,95 1,31 6610 2,21 – 982 1370 – 1310<br />
B 80 41 3 5,3 2,3 0,77 10500 1,73 – 1030 1140 – 1360<br />
A 80 41 5 6,7 1,7 0,34 33700 1,28 – 1260 1460 – 1680<br />
C 90 46 2,5 5,7 3,2 1,28 7680 2,4 – 935 1290 – 1250<br />
B 90 46 3,5 6 2,5 0,71 14200 1,88 – 1030 1120 – 1360<br />
A 90 46 5 7 2 0,40 31400 1,5 – 1170 1300 – 1560<br />
C 100 51 2,7 6,2 3,5 1,30 8610 2,63 – 895 1240 – 1190<br />
B 100 51 3,5 6,3 2,8 0,80 13100 2,1 – 926 1050 – 1240<br />
A 100 51 6 8,2 2,2 0,37 48000 1,65 – 1250 1420 – 1660<br />
C 112 57 3 6,9 3,9 1,30 10500 2,93 – 882 1220 – 1170<br />
B 112 57 4 7,2 3,2 0,80 17800 2,4 – 963 1090 – 1280<br />
A 112 57 6 8,5 2,5 0,42 43800 1,88 – 1130 1240 – 1510<br />
C 125 64 3,5 8 4,5 1,29 15400 3,38 – 956 1320 – 1270<br />
B 125 64 5 8,5 3,5 0,70 30000 2,63 – 1060 1150 – 1420<br />
A 125 64 8 10,6 2,6 0,41 85900 1,95 – 1280 1330 – 1710<br />
C 140 72 3,8 8,7 4,9 1,29 17200 3,68 – 904 1250 – 1200<br />
B 140 72 5 9 4 0,80 27900 3 – 970 1110 – 1290<br />
A 140 72 8 11,2 3,2 0,49 85300 2,4 – 1260 1280 – 1680<br />
C 160 82 4,3 9,9 5,6 1,30 21800 4,2 – 892 1240 – 1190<br />
B 160 82 6 10,5 4,5 0,75 41100 3,38 – 1000 1110 – 1330<br />
A 160 82 10 13,5 3,5 0,44 139000 2,63 – 1320 1340 – 1750<br />
C 180 92 4,8 11 6,2 1,29 26400 4,65 – 869 1200 – 1160<br />
B 180 92 6 11,1 5,1 0,85 37500 3,83 – 895 1040 – 1190<br />
A 180 92 10 14 4 0,49 125000 3 – 1180 1200 – 1580<br />
C 200 102 5,5 12,5 7 1,27 36100 5,25 – 910 1250 – 1210<br />
B 200 102 8 13,6 5,6 0,81 76400 4,2 – 1060 1250 – 1410<br />
A 200 102 12 16,2 4,2 0,44 183000 3,15 – 1210 1230 – 1610<br />
C 225 112 6,5 13,6 7,1 1,19 44600 5,33 – 840 1140 – 1120<br />
B 225 112 8 14,5 6,5 0,93 70800 4,88 – 951 1180 – 1270<br />
A 225 112 12 17 5 0,51 171000 3,75 – 1120 1140 – 1490<br />
C 250 127 7 14,8 7,8 1,21 50500 5,85 – 814 1120 – 1090<br />
B 250 127 10 17 7 0,81 119000 5,25 – 1050 1240 – 1410<br />
A 250 127 14 19,6 5,6 0,50 249000 4,2 – 1200 1220 – 1600<br />
1) Adolf Schnorr <strong>GmbH</strong> + Co. KG, 71050 Sindelfingen
10.3.3 Gummifedern<br />
Anmerkung zu Gummifedern:<br />
Die prozentuale Dämpfung beträgt<br />
d = (W fzu – W fab) · 100/W fab = 6...30 %.<br />
Der E-Modul aus E = 2 G (1 + �) = 3 G (mit � = 0,5) gilt nur<br />
für Federn, bei denen keine Behinderungen an den<br />
Befestigungsstellen durch Reibung oder chemische Bindung<br />
eintritt. Die Zerreißfestigkeit beträgt etwa 15 N/mm 2 .<br />
Die Dauerfestigkeit ist abhängig von Beanspruchungsart,<br />
Gummiqualität, Herstellungsverfahren <strong>und</strong> Form.<br />
Allseitig eingeschlossener Gummi kann nicht federn<br />
(Formfaktor k = �). Zugbeanspruchung ist bei Gummi zu<br />
vermeiden.<br />
Richtwerte für die zulässige Spannung � zul in N/mm 2<br />
Beanspruchung<br />
Druck<br />
Parallelschub<br />
Drehschub<br />
Verdrehschub<br />
Beanspruchung: Druck<br />
F fE<br />
σ = = ≤σ<br />
A h<br />
zul<br />
Belastung<br />
statisch dynamisch<br />
3<br />
1,5<br />
2<br />
1,5<br />
Fh<br />
f =<br />
EA<br />
± 1<br />
± 0,4<br />
± 0,7<br />
± 0,4<br />
fEA<br />
F =<br />
h<br />
� G � 3 N/mm 2 ; � A �� 1 N/mm 2 ; Gleichungen gelten für f � 0,2 h<br />
Beanspruchung der Scheibenfeder: Parallelschub<br />
F fG<br />
τ = γ G = = ≤τ<br />
A h<br />
bei kleinem � ist: � = f<br />
h<br />
zul<br />
Fh<br />
f =<br />
GA<br />
fGA<br />
F =<br />
h<br />
AE<br />
c =<br />
h<br />
AG<br />
c =<br />
h<br />
f F<br />
F<br />
sonst: aus tan � = = tan ; f = h tan<br />
h AG AG<br />
Beanspruchung der Hülsenfeder: Parallelschub<br />
F F<br />
τ = γ G = = ≤τ<br />
A 2 π rh<br />
zul<br />
f<br />
F<br />
r<br />
2<br />
F 2 hG<br />
= ln<br />
c = =<br />
2 π hG r1<br />
f r2<br />
ln<br />
r1<br />
π<br />
F<br />
γ =<br />
2 π<br />
rhG<br />
Maschinenelemente<br />
Federn<br />
287<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
288<br />
Beanspruchung der Hülsenfeder: Drehschub<br />
M<br />
M<br />
⎛<br />
1 1<br />
⎞<br />
= ≤<br />
2 zul ϕ = ⎜ − ⎟<br />
2 π r l 4 π lG⎜<br />
2 2<br />
r1 r<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
τ τ<br />
Beanspruchung der Scheibenfeder: Verdrehschub<br />
ϕ rG 2<br />
τ = γG= ≤τ<br />
s<br />
γ s ≈ ϕ r<br />
zul<br />
10.4 Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
Normen (Auswahl)<br />
2 π<br />
4<br />
Gϕ<br />
4 4<br />
M = r2 −r1<br />
s<br />
M 4 π lG<br />
c = =<br />
ϕ ⎛<br />
1<br />
⎞ ⎛<br />
1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟−⎜ ⎟<br />
⎜<br />
r<br />
⎟ ⎜<br />
r<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
(4 )<br />
2 2<br />
1 2<br />
DIN 509 Freistiche<br />
DIN 668, 670, 671 Blanker R<strong>und</strong>stahl<br />
DIN 669 Blanke Stahlwellen<br />
DIN 743 Tragfähigkeitsberechnung von Wellen <strong>und</strong> Achsen<br />
DIN 748 Zylindrische Wellenenden<br />
DIN 1448, 1449 Keglige Wellenenden mit Außen-, Innengewinde<br />
DIN 59360 Geschliffen-polierter R<strong>und</strong>stahl<br />
10.4.1 Achsen<br />
2 3 3 r2<br />
M = πGϕ(<br />
r2 −r1<br />
)<br />
3<br />
s2<br />
Gr<strong>und</strong>lagen zur Berechnung von Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen siehe auch Abschnitt 9 Festigkeitslehre.
Vorhandene<br />
Biegespannung � b<br />
10.4.2 Wellen<br />
10.4.2.1 Konstruktionsentwurf<br />
Maschinenelemente<br />
Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
M bx �b =<br />
Wx<br />
�b N<br />
2 mm<br />
Mb Nmm<br />
W<br />
mm3 Mbx Biegemoment an beliebiger Schnittstelle x-x<br />
Wx Axiales Widerstandsmoment an der gewählten Schnittstelle,<br />
siehe 9 Festigkeitslehre.<br />
Zusätzliche Schubbeanspruchung ist meist gering <strong>und</strong> wird vernachlässigt.<br />
Zusammenstellung wichtiger Normen für den Konstruktionsentwurf einer Getriebewelle<br />
*) 6308 <strong>und</strong> 6409 sind die Bezeichnungen für Wälzlager<br />
DIN 76 Teil 1 Gewindeausläufe; Gewindefreistiche für Metrisches ISO-Gewinde<br />
DIN 116 Antriebselemente; Scheibenkupplungen, Maße, Drehmomente, Drehzahlen<br />
DIN 125 Scheiben<br />
DIN 128 Federringe<br />
ISO 273 Durchgangslöcher für Schrauben<br />
DIN 336 Teil 1 Durchmesser für Bohrwerkzeuge für Gewindekernlöcher<br />
DIN 471 Teil 1 Sicherungsringe für Wellen<br />
DIN 509 Freistiche<br />
DIN 611 Wälzlagerteile, Wälzlagerzubehör <strong>und</strong> Gelenklager<br />
IIN 931, DIN 933 Sechskantschrauben<br />
DIN 1448 Teil 1 Kegelige Wellenenden mit Außengewinde<br />
DIN 3760 Radial - Wellendichtringe<br />
DIN 6885 Passfedern, Nuten<br />
DIN 13 Teil 1 Metrisches ISO-Gewinde, Regelgewinde<br />
289<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
290<br />
10.4.2.2 Überschlägige<br />
Ermittlung der<br />
Wellendurchmesser<br />
Beanspruchung<br />
Wellendurchmesser d<br />
– nur Drehmoment M T<br />
bzw. Leistung P <strong>und</strong><br />
Drehzahl n bekannt –<br />
Biegemoment M b <strong>und</strong><br />
Torsionsmoment M T<br />
bekannt –<br />
Vergleichsspannung � V<br />
Anstrengungsverhältnis � 0<br />
Vergleichsmoment M V<br />
Wellendurchmesser d<br />
Bei Wellen liegt gleichzeitige Torsions- <strong>und</strong> Biegebeanspruchung vor.<br />
Durch die Zahnrad-, Riemenzug- <strong>und</strong> sonstigen Kräfte treten noch<br />
kleine, meist vernachlässigbare Schubspannungen auf. Häufig ist das<br />
Biegemoment vorerst nicht bekannt. Der Wellendurchmesser d wird<br />
dann überschlägig berechnet.<br />
3 3 P<br />
d � c1 MT ≈ c2<br />
n<br />
Wellenentwurf mit gleichzeitiger<br />
Torsions- <strong>und</strong> Biegebeanspruchung,<br />
Kräfte F <strong>und</strong> Längen l bekannt<br />
2 2<br />
b 0 t bzul<br />
�v = σ + 3( α τ ) ≤σ<br />
σbzul<br />
�� =<br />
1,73 τtzul<br />
d c 1, c 2 M T P n<br />
mm 1 Nmm kW min –1<br />
Rechnerischer Wellendurchmesser<br />
� b vorhandene Biegespannung<br />
� t vorhandene Torsionsspannung<br />
Man setzt � 0 � 1,0, wenn � b <strong>und</strong> � t im gleichen Belastungsfall<br />
(z.B. beide wechselnd) auftreten, � 0 � 0,7 wenn � b wechselnd <strong>und</strong><br />
� t schwellend oder ruhend auftritt (häufigster Fall).<br />
� b zul zulässige Biegespannung je nach Belastungsfall, siehe<br />
Abschnitt Festigkeitslehre.<br />
Sind Torsionsmoment <strong>und</strong> Biegemoment bekannt, dann lässt sich der<br />
Wellendurchmesser mit dem Vergleichsmoment M V berechnen:<br />
M V =<br />
d ≥<br />
3<br />
2<br />
+ α 2<br />
0 T<br />
Mb0,75( M )<br />
MV<br />
0,1σ<br />
bzul<br />
MV, Mb, MT �0 Nmm 1<br />
d M V � b zul<br />
mm Nmm 2<br />
N<br />
mm
10.4.3 Stützkräfte <strong>und</strong><br />
Biegemomente an<br />
Getriebewellen<br />
(siehe auch 10.6.1<br />
Kräfte am Zahnrad)<br />
resultierende Radialkraft<br />
F Ar in A<br />
resultierende Radialkraft<br />
F Br in B<br />
maximales Biegemoment<br />
M b max in B<br />
Diese Gleichungen gelten<br />
für entgegengesetzten<br />
Richtungssinn der<br />
Axialkraft F a in den<br />
obigen Gleichungen<br />
resultierende Radialkraft<br />
F Ar in A<br />
resultierende Radialkraft<br />
F Br in B<br />
maximales Biegemoment<br />
M b max in C<br />
Diese Gleichungen gelten<br />
für entgegengesetzten<br />
Richtungssinn der<br />
Axialkraft F a in den<br />
obigen Gleichungen<br />
Maschinenelemente<br />
Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
Bezeichnungen: Umfangskraft F t =M/r; Radialkraft F r; Axialkraft F a;<br />
F V Vorspannkraft für Riemen nach 9.1; Biegemomente M b in Nmm,<br />
alle Längenmaße l <strong>und</strong> r in mm.<br />
1<br />
F ( F F r) ( F )<br />
l<br />
2 2<br />
Ar = r l2+ a + t l2<br />
1<br />
F ( F F r) ( F )<br />
l<br />
2 2<br />
Br = r l1+ a + t l1<br />
2 2<br />
bmax= Ar l= ( r l2+ a ) + ( t l2)<br />
M F F F r F<br />
zm 1 n<br />
r =<br />
2cosβ<br />
F<br />
1<br />
( F<br />
l<br />
F r) ( F )<br />
1<br />
F 2 2<br />
Br = ( Frl1− Far) + ( Ftl1)<br />
l<br />
2 2<br />
Ar = r l2− a + t l2<br />
2 2<br />
bmax= Ar l= ( r l2− a ) + ( t l2)<br />
M F F F r F<br />
1<br />
F ( F F r) ( F )<br />
l<br />
2 2<br />
Ar = r l2+ a + t l2<br />
F<br />
1<br />
( F<br />
l<br />
F r) ( F )<br />
zm 1 n<br />
r =<br />
2cosβ<br />
2 2<br />
Br = r l1− a + t l1<br />
M b max 1 = F Ar l 1 oder M b max 2 = F Br l 2<br />
(beide Beträge ausrechnen <strong>und</strong> mit dem größeren<br />
Betrag weiterrechnen)<br />
F<br />
1<br />
( F<br />
l<br />
F r) ( F )<br />
1<br />
F 2 2<br />
Br = ( Frl1+ Far) + ( Ftl1)<br />
l<br />
2 2<br />
Ar = r l2− a + t l2<br />
M b max 1 = F Ar l 1 oder M b max 2 = F Br l 2<br />
(beide Beträge ausrechnen <strong>und</strong> mit dem größeren<br />
Betrag weiterrechnen)<br />
291<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
resultierende Radialkraft<br />
F Ar in A<br />
resultierende Radialkraft<br />
F Br in B<br />
Biegemomente M b in B<br />
<strong>und</strong> C<br />
resultierende Radialkraft<br />
F Ar in A<br />
resultierende Radialkraft<br />
F Br in B<br />
Biegemomente M b in C<br />
<strong>und</strong> D<br />
292<br />
1<br />
F [ F( ) F cos F r] [ F( ) F sin ]<br />
l<br />
2 2<br />
Ar = r l2 −l3 − v αl3 + a + t l2 −l3 − vl3 α<br />
1<br />
F [ F F cos ( ) F r] [ F F sin ( )]<br />
l<br />
2 2<br />
Br = r l1+ v α l1+ l2− a + t l1+ v α l1+ l2<br />
M b(B) = F v l 3<br />
M b(C) = F Ar l 1<br />
zm 1 n<br />
r =<br />
2cosβ<br />
1<br />
FAr = [ Fr1( l2+ l3) −Fr2l3cosα−Ft2l3sinα−Fa1r1− l<br />
2<br />
− Fa2r2cos α] + [ Ft1( l2+ l3) + Ft2l3cosα−<br />
2<br />
−Fr2l3 sinα−Fa2r2sin α]<br />
1<br />
FBr = [ Fr1l1− ( l1+ l2)(<br />
Ft2sinα+ Fr2cos α)<br />
+ Fa1r1+ l<br />
M b(C) = F Ar l 1<br />
M b(D) = F Br l 3<br />
2<br />
+ Fa2r2cos α] + [ Ft1l1− ( l1+ l2)(<br />
Fr2sinα−<br />
2<br />
− Ft2cos α) + Fa2r2sin α]<br />
zm 1 n<br />
r =<br />
2cos<br />
β
10.4.4 Berechnung der<br />
Tragfähigkeit nach<br />
DIN 743<br />
10.4.4.1 Sicherheitsnachweis<br />
gegen<br />
Dauerbruch<br />
Sicherheitsnachweis S<br />
gegen Dauerfestigkeit<br />
Sicherheitsnachweis S<br />
bei reiner Biegebeanspruchung<br />
Sicherheitsnachweis S<br />
bei reiner Torsions-<br />
beanspruchung<br />
10.4.4.2 Ermittlung der<br />
Gestaltfestigkeit<br />
Technologischer<br />
Größeneinflussfaktor K 1<br />
Für die Streckgrenze<br />
allgemeiner <strong>und</strong> höherfester<br />
Baustähle im nicht<br />
vergüteten Zustand gilt:<br />
S =<br />
1<br />
2 2<br />
⎛ σz,d σ ⎞ ⎛<br />
b τ ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ t ⎟<br />
⎜ +<br />
σz,dADK σ ⎟ + ⎜<br />
b ADK τ ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ t ADK ⎠<br />
Maschinenelemente<br />
Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
S � z, d � b � t � z,dADK � bADK � tADK<br />
N<br />
1<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
� z,d, � b, � t vorhandene Zug-, Druck-, Biege- <strong>und</strong> Torsionsspannungen.<br />
� z,dADK, � bADK, � tADK Gestalt- oder Bauteil-Ausschlagfestigkeit.<br />
Die Indizes � <strong>und</strong> � fassen jeweils die Beanspruchungen Zug, Druck,<br />
Biegung (�) bzw. Abscheren <strong>und</strong> Torsion (�) zusammen.<br />
S �b �bADK S = bADK σ<br />
N<br />
N<br />
σb 1<br />
mm2<br />
mm2<br />
τ<br />
Bei S = tADK<br />
τ<br />
t<br />
S � t � bADK<br />
N<br />
1<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
⎛ d ⎞<br />
K1 d<br />
eff<br />
eff<br />
K1 = 1 – 0,23 · lg⎜<br />
⎟<br />
⎝10 mm⎠<br />
1 mm<br />
Für Nitrierstähle <strong>und</strong> Baustähle (nicht vergütet)<br />
⎛ d ⎞<br />
K1 deff, dB eff<br />
K1 = 1 – 0,26 · lg⎜<br />
⎟<br />
⎝2⋅dB⎠ 1 mm<br />
Für Baustähle (nicht vergütet)<br />
293<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
Für Vergütungsstähle<br />
<strong>und</strong> Baustähle im<br />
vergüteten Zustand,<br />
CrNiMo-Einsatzstähle im<br />
gehärteten Zustand gilt:<br />
Für Einsatzstähle im<br />
gehärteten Zustand außer<br />
CrNiMo-Einsatzstähle gilt:<br />
Geometrischer<br />
Einflussfaktor K 2<br />
Für Biegungs- <strong>und</strong><br />
Torsionsbeanspruchungen<br />
berechnet sich K 2 aus:<br />
Einflussfaktor der Oberflächenrauheit<br />
K F�, K F��<br />
Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung<br />
K V<br />
294<br />
⎛d⎞ K1 deff, dB eff<br />
K1 = 1 – 0,26 · lg⎜<br />
⎟<br />
⎝ dB<br />
⎠ 1 mm<br />
Für Vergütungsstähle, vergütete Baustähle <strong>und</strong> NiCrMo-Einsatzstähle<br />
(gehärtet)<br />
⎛d⎞ K1 deff, d<br />
eff<br />
B<br />
K1 = 1 – 0,41 · lg⎜<br />
⎟<br />
⎝ dB<br />
⎠ 1 mm<br />
Für Einsatzstähle (gehärtet) außer CrNiMo-Einsatzstähle<br />
Dieser Faktor berücksichtigt, dass bei größer werdendem Durchmesser<br />
die Biegewechselfestigkeit in die Zug/Druckwechselfestigkeit<br />
übergeht <strong>und</strong> die Torsionswechselfestigkeit sinkt.<br />
Für die Zug- <strong>und</strong> Druckbeanspruchung ist K 2 = 1.<br />
⎛ ⎛ d ⎞<br />
⎜lg⎜ ⎟<br />
7,5 mm<br />
K2 =1 – 0,2 · lg⎜<br />
⎝ ⎠⎟<br />
⎜ lg 20 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
K2 d<br />
1 mm<br />
Bei Kreisringquerschnitten ist d der Außendurchmesser.<br />
Dieser Faktor berücksichtigt den Einfluss der Oberflächen-Rauheit auf<br />
die Dauerfestigkeit von Wellen <strong>und</strong> Achsen.<br />
Für die Zug-, Druck- oder Biegebeanspruchung gilt:<br />
KF�= 1−0,22⋅lg( RZ) ⋅lg(( σB/<br />
20) −1)<br />
KF� , KFt Rm RZ N<br />
Rm Zugfestigkeit, Rm � 2000<br />
2 mm<br />
N<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
�m<br />
R Z gemittelte Rautiefe<br />
Für die Torsionsbeanspruchung gilt: K F� = 0,575 K F� � 0,425<br />
Dieser Faktor berücksichtigt in Abhängigkeit vom Wellen- bzw.<br />
Achsendurchmesser bei einem gekerbten Probestab. Veränderungen<br />
von Spannung <strong>und</strong> Härte, z.B. durch Nitrieren oder Kugelstrahlen, an<br />
der Wellen- oder Achsenoberfläche (siehe DIN 743-2, Seite 13).<br />
Nitrieren:<br />
Für d = 8 mm bis 25 mm: K V = 1,15 ... 1,25<br />
Für d = 25 mm bis 40 mm: K V = 1,10 ... 1,15<br />
Einsatzhärten:<br />
Für d = 8 mm bis 25 mm: K V = 1,20 ... 2,10<br />
Für d = 25 mm bis 40 mm: K V = 1,10 ... 1,50<br />
Kugelstrahlen:<br />
Für d = 8 mm bis 25 mm: K V = 1,10 ... 1,30<br />
Für d = 25 mm bis 40 mm: K V = 1,10 ... 1,20
Einflussfaktor<br />
Kerbwirkung � �, �<br />
Aus den vier Einflussfaktoren<br />
K V, K 2, K F <strong>und</strong> �<br />
wird je nach Beanspruchungsart<br />
ein Gesamteinflussfaktor<br />
K �,�<br />
gebildet.<br />
Mit den Gleichungen für<br />
die Bauteil-Wechsel-<br />
festigkeiten � z,d,bWK <strong>und</strong><br />
� tWK können die<br />
Gleichungen für die<br />
Gestaltfestigkeit definiert<br />
werden.<br />
Faktor der Mittelspannungsempfindlichkeit<br />
für<br />
Zug- <strong>und</strong> Druckbeanspruchung<br />
� z,dK:<br />
Maschinenelemente<br />
Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
Richtwerte für Kerbwirkungszahlen siehe Festigkeitslehre. Genauere<br />
<strong>und</strong> umfangreichere Werte in DIN 743-2.<br />
Kerbwirkungszahlen für Welle-Nabe-Verbindungen werden errechnet<br />
aus<br />
0,38<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ Rm<br />
⎟<br />
�� � 3,0 · ⎜ N ⎟<br />
1000 ⎟<br />
⎝ mm2<br />
⎠<br />
� � � 0,56 · � � � 0,1<br />
� �, �<br />
R m<br />
N<br />
1<br />
mm2<br />
Für Zug-, Druck- oder Biegebeanspruchung gilt:<br />
⎛β1 ⎞ 1<br />
K� = ⎜ σ<br />
+ −1⎟⋅ ⎝K2 KFσ⎠ KV<br />
Für Torsionsbeanspruchung gilt:<br />
⎛β⎞ K� = ⎜ τ 1 1<br />
+ −1⎟⋅ ⎝K2 KFτ⎠ KV<br />
für Zug- <strong>und</strong> Druckbeanspruchung � z,dWK:<br />
0,4 ⋅R ⋅K<br />
�z,dWK =<br />
m<br />
Kσ<br />
1<br />
für Biegebeanspruchung � bWK:<br />
0,5 ⋅R �z,dWK, �bWK Rm K1, K�,� m⋅K1 �bWK =<br />
K<br />
N<br />
N<br />
σ<br />
mm2<br />
mm2<br />
1<br />
für Biegebeanspruchung � tWK:<br />
0,3 ⋅R ⋅K<br />
m 1<br />
� tWK =<br />
Kτ<br />
Bei der Berechnung der Bauteil-Wechselfestigkeit ist der Größeneinflussfaktor<br />
K1 zu bestimmen (siehe oben).<br />
für Zug- <strong>und</strong> Druckbeanspruchung � z,dK:<br />
� z,dK =<br />
σ<br />
z,dWK<br />
2⋅K ⋅R −σ<br />
1 m z,dWK<br />
� z,dWK, � bWK, � z,d,b,�K R m K 1, K �,�<br />
N<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
für Biegebeanspruchung � bK:<br />
� bK =<br />
σbWK<br />
2⋅K ⋅R −σ<br />
1 m bWK<br />
für Torsionsbeanspruchung � �K:<br />
τtWK<br />
� �K =<br />
2⋅K ⋅R −τ<br />
1 m tWK<br />
1<br />
295<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
Vergleichsmittel-<br />
spannung � mv<br />
Vergleichsmittel-<br />
spannung � mv<br />
296<br />
Gestaltfestigkeit<br />
10.4.4.3 Sicherheitsnachweis<br />
gegen<br />
Fließgrenze<br />
Sicherheit S<br />
bei gleichzeitigem Auftreten<br />
von Zug, Druck<br />
<strong>und</strong> Torsion<br />
Sicherheit S<br />
bei reiner Biege-<br />
beanspruchung<br />
Sicherheit S<br />
bei reiner Torsionsbeanspruchung<br />
ergibt sich als Funktion aus der Bauteil-Fließgrenze <strong>und</strong> der<br />
Mittelspannungsempfindlichkeit.<br />
� mv =<br />
� mv =<br />
( K ⋅K ⋅γ ⋅R ) −σ<br />
− ψ<br />
1 2F F e z,d,bWK<br />
1 z,d,bWK<br />
( K ⋅K ⋅γ⋅R )<br />
− τ<br />
1 2F F e<br />
3<br />
1−<br />
ψtWK<br />
tWK<br />
K1 Technologischer Größeneinflussfaktor nach Gleichung in 10.4.4.2<br />
K2F Faktor für die statische Stützwirkung; bei einer Vollwelle für<br />
Biegung <strong>und</strong> Torsion ist K2F = 1,2, bei einer Hohlwelle für<br />
Biegung <strong>und</strong> Torsion ist K2F = 1,05<br />
� F Erhöhungsfaktor der Fließgrenze Re; für Biegebeanspruchung<br />
ist � F = 1,1, für Torsionsbeanspruchung ist � F = 1,0<br />
für Zug- <strong>und</strong> Druckbeanspruchung � z,d,ADK:<br />
� z,d,ADK = � z,dWK – � z,dK · � mv<br />
für Biegebeanspruchung � bADK:<br />
� bADK = � bWK – � bK · � mv<br />
für Torsionsbeanspruchung � tADK:<br />
� tADK = � tWK – � tK · � mv<br />
S =<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⎛σz,dmax σ ⎞ ⎛<br />
b max τ ⎞<br />
t max<br />
⎜ + ⎟ ⎜ ⎟<br />
σz,dFK σ ⎟ + ⎜<br />
bFK τ ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ tFK ⎠<br />
� z,dmax, � bmax, � tmax vorhandene Maximalspannungen infolge der<br />
Betriebsbelastung. � z,dFK, � bFK, � FK Bauteil-Fließgrenze für die<br />
jeweilige Beanspruchung.<br />
S �bmax �b FK<br />
S = bFK σ<br />
N N<br />
σbmax 1<br />
mm2<br />
mm2<br />
S � t max � t FK<br />
S = tFK τ<br />
N N<br />
τtmax 1 mm2<br />
mm2
10.4.4.4 Ermittlung der<br />
Bauteil-Fließgrenze<br />
� �z,b,dFK<br />
<strong>und</strong> � t FK<br />
Bauteil-Fließgrenze<br />
� z,b,dFK für Zug-, Druck-<br />
<strong>und</strong> Biegebeanspruchung<br />
Bauteil-Fließgrenze � t FK<br />
für Torsions-<br />
beanspruchung<br />
� z,b,dFK = K 1 · K 2F · � F · R e<br />
� z,d,bFK, � t FK R e K 1, K 2F, � F<br />
N<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
( K1⋅K2⋅γF⋅Re) �tFK =<br />
3<br />
N<br />
mm2<br />
� z,d,bFK, � t FK R e K 1, K 2F, � F<br />
N<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
N<br />
mm2<br />
Maschinenelemente<br />
Achsen, Wellen <strong>und</strong> Zapfen<br />
K 1 Technologischer Größeneinflussfaktor K1 nach Gleichung in<br />
10.4.4.2<br />
K 1F Faktor für die statische Stützwirkung; bei einer Vollwelle für<br />
Biegung <strong>und</strong> Torsion ist K 2F = 1,2 bei einer Hohlwelle für Biegung<br />
<strong>und</strong> Torsion ist K 2F = 1,05<br />
� F Erhöhungsfaktor der Fließgrenze R e, für Biegebeanspruchung ist<br />
� F = 1,1, für Torsionsbeanspruchung ist � F = 1,0<br />
R e Streckgrenze nach DIN 743-3. Bei gehärteter Randschicht gelten<br />
die Werte für den weicheren Kern.<br />
297<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
298<br />
10.5 Nabenverbindungen<br />
10.5.1 Kraftschlüssige (reibschlüssige) Nabenverbindungen (Beispiele)<br />
Hauptvorteil: Spielfreie Übertragung wechselnder Drehmomente<br />
zylindrischer<br />
Pressverband<br />
kegliger Pressverband<br />
(Wellenkegel)<br />
kegliger Pressverband<br />
(Kegelbuchse)<br />
geteilte Nabe<br />
Einlegekeil<br />
Ringfederspannelement<br />
Pressverbände (Presssitzverbindungen)<br />
Vorwiegend für nicht zu lösende Verbindung <strong>und</strong> zur Aufnahme großer,<br />
wechselnder <strong>und</strong> stoßartiger Drehmomente <strong>und</strong> Axialkräfte:<br />
Verbindungsbeispiele: Riemenscheiben, Zahnräder, Kupplungen,<br />
Schwungräder im Großmaschinenbau, aber auch in der Feinwerktechnik.<br />
Ausführung als Längs- <strong>und</strong> Querpressverband (Schrumpfverbindung).<br />
Besonders wirtschaftliche Verbindungsart.<br />
Leicht lösbare <strong>und</strong> in Drehrichtung nachstellbare Verbindung auf dem<br />
Wellenende zur Aufnahme großer, wechselnder <strong>und</strong> stoßartiger<br />
Drehmomente.<br />
Verbindungsbeispiele: Wie beim zylindrischen Pressverband, außerdem<br />
bei Werkzeugen <strong>und</strong> in den Spindeln von Werkzeugmaschinen <strong>und</strong> bei<br />
Wälzlagern mit Spannhülse <strong>und</strong> Abziehhülse.<br />
Wegen der Herstellwerkzeuge <strong>und</strong> der Lehren möglichst genormte Kegel<br />
verwenden (siehe keglige Wellenenden mit Kegel 1 : 10 nach DIN 1448).<br />
Die Naben werden durch Schrauben oder Muttern aufgepresst, die<br />
Werkzeuge durch die Axialkraft beim Fertigen (zum Beispiel Bohrer).<br />
Kegelbuchsen sind meist geschlitzt.<br />
Klemmsitzverbindung<br />
Leicht lösbare <strong>und</strong> in Längs- <strong>und</strong> Drehrichtung nachstellbare Verbindung<br />
zur Aufnahme wechselnder kleinerer Drehmomente. Bei größerer Drehmomentenaufnahme<br />
werden zusätzlich Passfedern oder Tangentkeile<br />
angebracht.<br />
Verbindungsbeispiele: Riemen- <strong>und</strong> Gurtscheiben, Hebel auf glatten<br />
Wellen. Die Nabe ist geschlitzt oder geteilt.<br />
Keilsitzverbindung<br />
Lösbare Verbindung zur Aufnahme wechselnder Drehmomente.<br />
Kleinere Drehmomentenaufnahme beim Flach- <strong>und</strong> Hohlkeil, große <strong>und</strong><br />
stoßartige Drehmomentenaufnahme beim Tangentkeil. Die Keilneigung<br />
beträgt meistens 1 : 100.<br />
Verbindungsbeispiele: Schwere Scheiben, Räder <strong>und</strong> Kupplungen im<br />
Bagger- <strong>und</strong> Landmaschinenbau, insgesamt bei schwererem <strong>und</strong> rauem<br />
Betrieb.<br />
Die Verbindung mit dem Hohlkeil ist nachstellbar.<br />
Ringfeder-Spannverbindung<br />
Leicht lösbare <strong>und</strong> in Längs- <strong>und</strong> Drehrichtung nachstellbare Verbindung<br />
zur Aufnahme großer, wechselnder <strong>und</strong> stoßartiger Drehmomente.<br />
Das übertragbare Drehmoment ist abhängig von der Anzahl der Spannelemente.<br />
Hierzu sind die Angaben der Herstellerfirmen zu beachten, zum Beispiel<br />
Fa. Ringfeder <strong>GmbH</strong>, Krefeld-Uerdingen.
10.5.2 Formschlüssige Nabenverbindungen (Beispiele)<br />
Hauptvorteil: Lagesicherung<br />
Querstiftverbindung<br />
Längsstiftverbindung<br />
Einlegepassfeder<br />
Polygonprofil<br />
Kerbzahnprofil<br />
Vielnutprofil<br />
Stiftverbindungen<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
Lösbare Verbindung zur Aufnahme meist richtungskonstanter kleinerer<br />
Drehmomente.<br />
Verbindungsbeispiele: B<strong>und</strong>e an Wellen, Stellringe, Radnaben, Hebel,<br />
Buchsen.<br />
Verwendet werden Kegelstifte nach DIN 1 mit Kegel 1 : 50, Zylinderstifte<br />
nach DIN 7, für hochbeanspruchte Teile auch gehärtete Zylinderstifte<br />
nach DIN 6325.<br />
Hinzu kommen Kerbstifte <strong>und</strong> Spannhülsen<br />
Passfederverbindung<br />
Leicht lösbare <strong>und</strong> verschiebbare Verbindung zur Aufnahme richtungskonstanter<br />
Drehmomente.<br />
Verbindungsbeispiele: Riemenscheiben, Kupplungen, Zahnräder. Gegen<br />
axiales Verschieben ist eine zusätzliche Sicherung vorzusehen (Wellenb<strong>und</strong>,<br />
Axialsicherungsring).<br />
Gleitpassfedern werden zum Beispiel bei Verschieberädern in Getrieben<br />
verwendet.<br />
Profilwellenverbindungen<br />
Profil Wellenverbindungen sind Formschlussverbindungen für hohe <strong>und</strong><br />
höchste Belastungen.<br />
Das Polygonprofil ist nicht genormt. Hierzu sind die Angaben der Hersteller<br />
zu verwenden, zum Beispiel: Fortuna-Werke, Stuttgart-Bad Cannstadt<br />
oder Fa. Manurhin, Mühlhausen (Elsaß).<br />
Das Kerbzahnprofil ist nach DIN 5481 genormt. Die Verbindung ist leicht<br />
lösbar <strong>und</strong> feinverstellbar. Verwendung zum Beispiel bei Achsschenkeln<br />
<strong>und</strong> Drehstabfedern an Kraftfahrzeugen.<br />
Ein Sonderfall ist die Stirnverzahnung (Hirthverzahnung) als Plan-Kerbverzahnung.<br />
Hersteller: A. Hirth AG, Stuttgart-Zuffenhausen.<br />
Das Vielnutprofil ist als „Keilwellenprofil“ genormt. Die Bezeichnung „Keilwellenprofil“<br />
ist irreführend, weil die Wirkungsweise der Passfederverbindung<br />
(Formschluss) entspricht, nicht aber der Keilverbindung.<br />
Die Verbindung ist leicht lösbar <strong>und</strong> verschiebbar. Verwendung zum Beispiel<br />
bei Verschieberädergetrieben, bei Kraftfahrzeugkupplungen <strong>und</strong><br />
Antriebswellen von Fahrzeugen.<br />
299<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
300<br />
10.5.3 Zylindrische<br />
Pressverbände<br />
10.5.3.1 Begriffe bei<br />
Pressverbänden<br />
Der Pressverband<br />
Die Presspassung<br />
Herstellen von Pressverbänden<br />
(Fügeart)<br />
Durchmesser<br />
Bezeichnungen<br />
<strong>und</strong> Fugenlänge l F<br />
Durchmesserverhältnis Q<br />
Das Übermaß U<br />
Die Glättung G<br />
Normen (Auswahl)<br />
DIN 7190 Berechnung <strong>und</strong> Anwendung von Pressverbänden<br />
DIN 4766 Ermittlung der Rauheitsmessgrößen R a, R z, R max<br />
ist eine kraftschlüssige (reibschlüssige) Nabenverbindung ohne<br />
zusätzliche Bauteile wie Passfedern <strong>und</strong> Keile.<br />
Außenteil (Nabe) <strong>und</strong> Innenteil (Welle) erhalten eine Presspassung,<br />
sie haben also vor dem Fügen immer ein Übermaß U. Nach dem<br />
Fügen stehen sie unter einer Normalspannung � mit dem Fugendruck<br />
p in der Fuge.<br />
ist eine Passung, bei der immer ein Übermaß U vorhanden ist. Das<br />
Höchstmaß der Bohrung ist daher also kleiner als das Mindestmaß<br />
der Welle. Zur Presspassung zählt auch der Fall U = 0.<br />
durch Einpressen (Längseinpressen des Innenteils): Längspressverband<br />
durch Erwärmen des Außenteils (Schrumpfen des Außenteils)<br />
durch Unterkühlen des Innenteils (Dehnen des innenteils)<br />
durch hydraulisches Fügen <strong>und</strong> Lösen (Dehnen des Außenteils)<br />
DF Fugendurchmesser (ungefähr<br />
gleich dem Nenndurchmesser<br />
der Passung)<br />
Dil Innendurchmesser des<br />
Innenteils I (Welle)<br />
DaI Außendurchmesser des<br />
Innenteils I, DaI � DF DaA Außendurchmesser des<br />
Außenteils A<br />
DiA Innendurchmesser des<br />
Außenteils A (Nabe),<br />
DiA � DF lF Fugenlänge (lF < 1,5 DF) D F<br />
QA = 1<br />
D aA<br />
< QI = i D<br />
1<br />
D F<br />
<<br />
l<br />
ist die Differenz des Außendurchmessers des Innenteils I <strong>und</strong> des<br />
Innendurchmessers des Außenteils A:<br />
U = D aI – D iA<br />
ist der Übermaßverlust �U, der beim Fügen durch Glätten der<br />
Fügeflächen auftritt:<br />
G � 0,8 (R ziA � R zaI) R z gemittelte Rautiefe nach DIN 4768 Teil 1
Wirksames Übermaß U W<br />
(Haftmaß), wirksames<br />
Fugendruck p<br />
Fasenlänge l e <strong>und</strong><br />
Fasenwinkel �<br />
10.5.3.2 Berechnen von<br />
Pressverbänden<br />
Erforderlicher<br />
Fugendruck p<br />
(Pressungsgleichung)<br />
<strong>und</strong> zulässige<br />
Flächenpressung p zul<br />
Haftbeiwert � <strong>und</strong><br />
Rutschbeiwert � e<br />
(Mittelwerte)<br />
Der Rutschbeiwert � e wird<br />
zur Berechnung der<br />
Einpresskraft F e gebraucht.<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
ist das um G = �U verringerte Übermaß, also das Übermaß nach dem<br />
Fügen:<br />
U W = U – G<br />
ist die nach dem Fügen in der Fuge auftretende Flächenpressung.<br />
l e = 3<br />
D F<br />
2M<br />
p ≥ ≤ p<br />
2 zul<br />
π D F lF ν<br />
M H = F H<br />
DF<br />
π 2<br />
= p DFlFν≥M 2 2<br />
Anhaltswerte für p zul<br />
Belastung Stahl Gusseisen<br />
ruhend<br />
<strong>und</strong><br />
schwellend<br />
Re<br />
p zul =<br />
1,5<br />
Re<br />
p zul =<br />
3<br />
wechselnd<br />
<strong>und</strong><br />
stoßartig<br />
Re<br />
p zul =<br />
2,5<br />
Re<br />
p zul =<br />
4<br />
M D F, l F �� P n p<br />
Nmm mm 1 kW min –1<br />
M Wellendrehmoment<br />
M = 9,55 · 10 6 P/n<br />
D F Fugendurchmesser<br />
l F Fugenlänge<br />
� Haftbeiwert<br />
p zul zulässige<br />
Flächenpressung<br />
R e (oder R p 0,2) sowie R m aus den Dauerfestigkeitsdiagrammen<br />
Längspressverband<br />
Werkstoffe<br />
Welle/Nabe<br />
Stahl/Stahl<br />
Stahl/Stahlguss<br />
Stahl/Gusseisen<br />
Stahl/Guss<br />
Querpressverband<br />
Haftbeiwert �<br />
trocken<br />
0,1 (0,1)<br />
0,12 (0,1)<br />
0,07 (0,03)<br />
Rutschbeiwert � e<br />
geschmiert<br />
0,08 (0,06)<br />
0,06<br />
0,05<br />
N<br />
mm2<br />
Werkstoffe, Fügeart, Schmierung Haftbeiwert �<br />
Stahl/Stahl hydraulisches Fügen, Mineralöl<br />
Stahl/Stahl hydraulisches Fügen, entfettete<br />
Fügeflächen<br />
Glyzerin – aufgetragen<br />
Stahl/Stahl Schrumpfen des Außenteils<br />
Stahl/Gusseisen hydraulisches Fügen, Mineralöl<br />
Stahl/Gusseisen hydraulisches Fügen, entfettete<br />
Fügeflächen<br />
0,12<br />
0,18<br />
0,14<br />
0,1<br />
0,16<br />
301<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
Herleitung der<br />
Pressungsgleichung<br />
Formänderungs-<br />
Hauptgleichung für<br />
Pressverbände<br />
Elastizitätsmodul E<br />
<strong>und</strong> Querdehnzahl �<br />
(Mittelwerte)<br />
302<br />
Normalkraft F N = p A F = p � D F l F<br />
Fugenfläche A F = � D F l F<br />
Haftkraft F H = F N � = p � D F l F �<br />
Normalkraft F N = pA F = p � D F l F<br />
Haftmoment<br />
DF<br />
π 2<br />
MH = FH = p DFlFν≥M 2 2<br />
p =<br />
l ν ≤ 2M<br />
p<br />
2 zul<br />
π DF<br />
F<br />
p M DF, lF ��<br />
N<br />
2 mm<br />
Nmm mm 1<br />
⎡ 2 2<br />
1<br />
⎛<br />
1+ Q<br />
⎞<br />
A 1<br />
⎛<br />
1+<br />
Q<br />
⎞⎤<br />
Uw = pD ⎢ ⎜<br />
F µ ⎟ ⎜ I<br />
2 A<br />
µ ⎟⎥<br />
E ⎜<br />
+<br />
2<br />
A 1 Q<br />
⎟<br />
+ −<br />
E ⎜ I⎟<br />
⎣⎢ ⎝ − A ⎠ I⎝1−Q ⎠⎦⎥<br />
I<br />
U w p, E A , E I Q A, Q I, � A, � I<br />
N<br />
mm 2 mm<br />
1<br />
M Drehmoment, M H<br />
Haftmoment<br />
F N Normalkraft, F H Haftkraft -<br />
(Reibkraft )<br />
Uw wirksames Übermaß nach dem Fügen (auch Haftmaß<br />
genannt)<br />
p Fugendruck (Flächenpressung in den Fügeflächen)<br />
lF Fugenlänge<br />
EA, EI Elastizitätsmodul des Außenteil; A (Nabe) <strong>und</strong> des Innenteils<br />
I (Welle)<br />
�A, � I Querdehnzahl des Außenteils A (Nabe) <strong>und</strong> des Innenteils I<br />
(Welle)<br />
QA, QI, Durchmesserverhältnis: QA = DF/D aA � 1 QI = DiI/D F � 1<br />
Die Querdehnzahl � ist das Verhältnis der Querdehnung � q eines<br />
zugbeanspruchten Stabes zur Längsdehnung � (� = � q/� ) <strong>und</strong> hat<br />
somit die Einheit 1. Die Querdehnung ist immer kleiner als die<br />
Längsdehnung, (� � 1).<br />
(Beispiel: � Stahl � 0,3).<br />
Werkstoff<br />
Elastizitätsmodul E<br />
N<br />
mm2<br />
Querdehnzahl �<br />
Einheit 1<br />
Stahl 210 000 0,3<br />
EN-GJL-200 105 000 0,25<br />
EN-GJS-500-7 150 000 0,28<br />
Bronze, Cu-Leg. 80 000 0,35<br />
Al.-Legierungen 70 000 0,33<br />
ν
Formänderungsgleichungen<br />
für Pressverbände mit<br />
Vollwelle (Q I = D iI/D F = 0)<br />
Formänderungsgleichung<br />
für Vollwelle <strong>und</strong> gleichelastische<br />
Werkstoffe<br />
(E A = E I = E)<br />
Übermaß U<br />
Glättung G<br />
Einpresskraft F e<br />
Spannungsverteilung im<br />
Pressverband<br />
(Spannungsbild)<br />
⎡ 2<br />
1<br />
⎛<br />
1+<br />
Q<br />
⎞<br />
1<br />
⎤<br />
pD⎢ F 2 A 1 ⎥<br />
E ⎜<br />
A 1 Q<br />
⎟<br />
I<br />
⎣⎢ ⎝ −<br />
E ⎥<br />
A ⎠ I ⎦<br />
Uw = ⎜ A<br />
+ µ ⎟+<br />
( −µ<br />
)<br />
U w, D F p, E A, E I Q A, Q I, � A, � I<br />
N<br />
mm<br />
mm2<br />
2pDF<br />
Uw = 2<br />
E(1 −Q<br />
)<br />
A<br />
1<br />
U w, D F p, E Q A<br />
N<br />
mm 2 mm<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
U = U w �� G<br />
gemessenes<br />
Übermaß<br />
vor dem Fügen<br />
wirksames<br />
Übermaß<br />
(Haftmaß)<br />
1<br />
Glättung (Übermaßverlust<br />
�U beim Fügen der<br />
Teile)<br />
G = 0,8 (R zAi � R zIa) R z gemittelte Rautiefe nach DIN 4166<br />
Beispiele für G (Mittelwerte):<br />
polierte Oberfläche G = 0,002 mm = 2 �m<br />
feingeschliffene Oberfläche G = 0,005 mm = 5 �m<br />
feingedrehte Oberfläche G = 0,010 mm = 10 �m<br />
F e = p g � D F l F � e<br />
Herleitung der Gleichung:<br />
p g größter vorhandener Fugendruck F R = F N � e<br />
D F Fugendurchmesser F N = p g A F<br />
l F Fugenlänge A F = � D F l F<br />
� e Rutschbeiwert F e = F R = p g � D F l F � e<br />
F e p g D F, l F � e<br />
N<br />
N 2 mm<br />
mm 1<br />
�zmA mittlere tangentiale Zugspannung im Außenteil<br />
� dmI mittlere tangentiale Druckspannung im Innenteil<br />
FS Nabensprengkraft<br />
� tA Tangentialspannung im Außenteil<br />
� rA Radialspannung im Außenteil<br />
� tI Tangentialspannung im Innenteil<br />
� rI Radialspannung im Innenteil<br />
Für Überschlagsrechnungen kann man sich die Tangentialspannungen<br />
� rA <strong>und</strong> � tI gleichmäßig verteilt vorstellen (� zmA <strong>und</strong> � dmI)<br />
303<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
Spannungsgleichungen<br />
(siehe Spannungsbild)<br />
304<br />
Nabensprengkraft F S<br />
Mittlere tangentiale<br />
Zugspannung � zmA<br />
(siehe Spannungsbild)<br />
Mittlere tangentiale<br />
Druckspannung � dml<br />
(siehe Spannungsbild)<br />
Fügetemperatur �� für<br />
Schrumpfen<br />
Tangentialspannung �t Radialspannung �r Außenteil Innenteil Außenteil Innenteil<br />
2<br />
1+<br />
QA<br />
�t Ai = p<br />
2<br />
1−QA<br />
2<br />
2QA<br />
� t Aa = p<br />
2<br />
1−QA<br />
F S = pD F l F<br />
2<br />
�t Ii = p<br />
2<br />
1−Q I<br />
2<br />
1+<br />
QA<br />
�t Ia = p<br />
2<br />
1−QA<br />
FS pDFlF<br />
�zmA = =<br />
ANabe ( DaA − DiA)<br />
lF<br />
pDF pDF<br />
�zmA =<br />
≈<br />
DaA −DiADaA −DF<br />
FS pDFlF<br />
�dmI = =<br />
AWelle ( DF−DIi) lF<br />
pDF<br />
�dmI =<br />
DF−DIi Für die Vollwelle gilt mit DIi = 0:<br />
pDF<br />
�dmI = = p<br />
DF<br />
− 0<br />
U+ USϑ<br />
�� =<br />
α D F<br />
D F<br />
US� �<br />
1000<br />
U Übermaß in mm<br />
US� erforderliches Fügespiel in mm<br />
� Längenausdehnungskoeffizient des Werkstoffs:<br />
�Stahl = 11 · 10 –6 1/°C<br />
�Gusseisen = 9 · 10 –6 1/°C<br />
Herleitung einer Gleichung:<br />
� r Ai = p � r Ii = 0<br />
� r Aa = 0 � r Ia = p<br />
Mit dem Längenausdehnungskoeffizienten � in m/(m ºC) = 1/°C<br />
beträgt die Verlängerung �l eines Metallstabes der Ursprungslänge l 0<br />
bei seiner Erwärmung um die Temperaturdifferenz ��:<br />
�l = � �� l 0.<br />
Für den Außenteil (Nabe) eines Pressverbands ist �l = U � U S� <strong>und</strong><br />
l 0 = D F.<br />
Damit wird analog zu �l = � �� l 0:<br />
U � U S� = � �� D F<br />
<strong>und</strong> daraus die obige Gleichung für ��.
10.5.3.4 Festlegen einer Presspassung<br />
Bei Einzelfertigung führt man die Nabenbohrung aus <strong>und</strong><br />
fertigt nach deren Istmaß die Welle für das errechnete<br />
Übermaß U.<br />
Bei Serienfertigung müssen größere Toleranzen zugelassen<br />
werden.<br />
Man muss also eine Presspassung festlegen. Eine Auswahl<br />
der ISO-Toleranzlagen <strong>und</strong> -Qualitäten zeigt Tabelle 10.1.13<br />
für das im <strong>Maschinenbau</strong> übliche System der Einheitsbohrung.<br />
Da sich kleinere Toleranzen bei Wellen leichter einhalten<br />
lassen als bei Bohrungen, wählt man zweckmäßig:<br />
Bohrung H7 mit Wellen der Qualität 6<br />
Bohrung H8 mit Wellen der Qualität 7 usw.<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
Liegt ein Toleranzfeld für die Bohrung vor, zum Beispiel H7, findet man das Toleranzfeld für eine Welle<br />
folgendermaßen:<br />
Das errechnete Übermaß wird gleich dem Kleinstübermaß P u gesetzt <strong>und</strong> die Toleranz der Bohrung T B<br />
addiert.<br />
Damit hat man das vorläufige untere Abmaß einer Welle:<br />
e i = P u � T B<br />
P u = U<br />
Mit diesem Wert geht man in der Tabelle 10.1.14 in die Zeile für den vorliegenden Nennmaßbereich<br />
<strong>und</strong> wählt dort für die vorher festgelegte Qualität ein Toleranzfeld für die Welle, bei dem das<br />
angegebene untere Abmaß dem errechneten am nächsten kommt (siehe Beispiel).<br />
Beispiel:<br />
Nennmaßbereich 35 mm<br />
Toleranzfeld für die Bohrung H7<br />
Qualität für die Welle 6<br />
Toleranz der Bohrung TB = 25 µm<br />
errechnetes Übermaß U = 60 µm = Pu unteres Abmaß der Welle: e i = P u � T B = 60 µm � 25 µm = 85 µm<br />
Toleranzfeld der Welle: X 6 mit e i = 80 µm <strong>und</strong><br />
e s = 96 µm<br />
Damit können die Höchstpassung P o <strong>und</strong> die Mindestpassung P u berechnet werden:<br />
P o = E i – e s = 25 µm – 80 µm = – 55 µm<br />
P u = E S – e i = 0 – 96 µm = – 96 µm<br />
305<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
306<br />
10.5.4 Keglige Pressverbände(Kegelsitzverbindungen)<br />
10.5.4.1 Begriffe am Kegel<br />
Kegelmaße:<br />
Kegelverhältnis C<br />
Kegelwinkel � <strong>und</strong><br />
α<br />
Einstellwinkel<br />
2<br />
Normen (Auswahl)<br />
DIN 254 Kegel<br />
DIN 1448, 1449 Keglige Wellenenden<br />
DIN 7178 Kegeltoleranz- <strong>und</strong> Kegelpasssystem<br />
ISO 3040 Eintragung von Maßen <strong>und</strong> Toleranzen für Kegel<br />
Kegel sind im technischen Sinn sind keglige Werkstücke mit Kreisquerschnitt<br />
(spitze Kegel <strong>und</strong> Kegelstümpfe).<br />
Bezeichnung eines Kegels mit dem Kegelwinkel<br />
� = 30º – Kegel 30º<br />
Bezeichnung eines Kegels mit dem Kegelverhältnis<br />
C = 1 : 10 – Kegel 1 : 10<br />
d1, d2 Kegeldurchmesser<br />
d1+ d2<br />
dm =<br />
2<br />
mittlerer Kegeldurchmesser<br />
l Kegellänge<br />
� � Kegelwinkel<br />
α<br />
2<br />
Einstellwinkel zum Fertigen <strong>und</strong> Prüfen des Kegels<br />
C =<br />
d1−d2 l<br />
C = 1 : x = 1<br />
d2 = d1 – C l<br />
x<br />
Das Kegelverhältnis wird in der Form:<br />
C = 1 : x angegeben, zum Beispiel C = 1 : 5<br />
Aus dem schraffierten rechtwinkligen Dreieck lässt sich ablesen:<br />
α d1−d2 α<br />
tan = ⇒ C = 2tan<br />
2 2l 2<br />
α C<br />
= arc tan<br />
2 2<br />
C<br />
� = 2 arc tan<br />
2<br />
α<br />
d2 = d1 – 2 l tan<br />
2
10.5.4.2 Vorzugswerte für<br />
Kegel<br />
10.5.4.3 Berechnungsformeln<br />
für keglige<br />
Pressverbände<br />
Erforderliche<br />
Einpresskraft F e<br />
Vorhandene<br />
Fugenpressung p<br />
Einpresskraft F e für<br />
einen bestimmten<br />
Fugendruck p<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
Kegelverhältnis C = 1 : x Kegelwinkel �<br />
α<br />
Einstellwinkel<br />
2<br />
1 : 0,2886751 120°<br />
60°<br />
1 : 0,5<br />
90°<br />
45°<br />
1 : 1,8660254 30°<br />
15°<br />
1 : 3<br />
18° 55'29" � 18,925° 9° 27'44"<br />
1 : 5<br />
11° 25'16" � 11,421° 5° 42'38"<br />
1 : 10<br />
5° 43'29" � 5,725° 2° 51'45"<br />
1 : 20<br />
2° 51'51" � 2,864° 1° 25'56"<br />
1 : 50<br />
1° 8'45" � 1,146° 34'23"<br />
1 : 100<br />
34'22" � 0,573° 17'11"<br />
Werkzeugkegel <strong>und</strong> Aufnahmekegel an Werkzeugmaschinenspindeln,<br />
die so genannten Morsekegel (DIN 228), haben ein Kegelverhältnis<br />
von ungefähr 1 : 20.<br />
2 MT<br />
⎛α⎞ = ⋅ sin⎜ + r ⎟<br />
d ν ⎝2⎠ Fe<br />
e<br />
m e<br />
M<br />
T<br />
9,55 106<br />
P<br />
= ⋅ ⋅<br />
n<br />
⎛α⎞ 2MTcos⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
p =<br />
2<br />
� p<br />
2 zul<br />
pνe dm<br />
lF<br />
⎛α⎞ Fe = � pdmlF · sin⎜ + re<br />
⎟<br />
⎝2⎠ F e M T d m, l F � e P n p<br />
N Nmm mm 1 kW min –1<br />
N<br />
mm2<br />
MT Drehmoment<br />
P Wellenleistung<br />
n Drehzahl<br />
α<br />
2<br />
Einstellwinkel<br />
re Reibwinkel aus tan re = �e re = arctan �e �e Rutschbeiwert<br />
dm mittlerer Kegeldurchmesser<br />
lF Fugenlänge<br />
307<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
308<br />
10.5.5 Maße für keglige Wellenenden mit Außengewinde<br />
Bezeichnung eines langen kegligen Wellenendes mit<br />
Passfeder <strong>und</strong> Durchmesser d 1 = 40 mm:<br />
Wellenende 40 � 82 DIN 1448<br />
Maße in mm<br />
Durchmesser d 1 6 7 8 9 10 11 12 14 16 19 20 22 24 25 28<br />
lang 10 12 15 18 28 36 42<br />
Kegellänge l 1 kurz – – – – 16 22 24<br />
Gewindelänge l2 6 8 8 12 14 18<br />
Gewinde M4 M6 M8 � 1 M10 � 1,25 M12 � 1,25 M16 � 1,5<br />
Passfeder<br />
Nuttiefe t1 b � h<br />
lang<br />
kurz<br />
–<br />
–<br />
2 � 2<br />
1,6 1,7<br />
– –<br />
3 � 3<br />
2,3 2,5<br />
– 2,2<br />
4 � 4<br />
3,2<br />
2,9<br />
3,4<br />
3,1<br />
5 � 5<br />
3,9<br />
3,6<br />
4,1<br />
3,6<br />
Durchmesser d1 30 32 35 38 40 42 45 48 50 55 60 65 70 75 80<br />
Kegellänge l1 lang<br />
kurz<br />
58<br />
36<br />
82<br />
54<br />
105<br />
70<br />
130<br />
90<br />
Gewindelänge l2 22 28 35 40<br />
Gewinde M20 � 1,5 M24 � 2 M30 � 2 M36 � 3 M42 � 3 M48 � 3 M56 � 4<br />
Passfeder<br />
Nuttiefe t1 b � h 5 � 5<br />
lang 4,5<br />
kurz 3,9<br />
6 � 6<br />
5<br />
4,4<br />
10 � 8 12 � 8<br />
7,1<br />
6,4<br />
14 � 9<br />
7,6<br />
6,9<br />
16 � 10<br />
8,6<br />
7,8<br />
18 � 11<br />
9,6<br />
8,8<br />
20 � 12<br />
10,8<br />
9,8<br />
10.5.6 Richtwerte für Nabenabmessungen<br />
Verbindungsart<br />
zylindrische <strong>und</strong> keglige Pressverbände <strong>und</strong><br />
Spannverbindungen<br />
Klemmsitz- <strong>und</strong> Keilsitzverbindungen<br />
Keilwelle, Kerbverzahnung<br />
Passfederverbindungen<br />
längs bewegliche Naben<br />
lose sitzende (sich drehende) Naben<br />
d Wellendurchmesser<br />
Nabendurchmesser DaA Naben aus<br />
Stahl oder<br />
Gusseisen<br />
Stahlguss<br />
2,2 ... 2,6 d<br />
2 ... 2,2 d<br />
1,8 ... 2 d<br />
1,8 ... 2 d<br />
1,8 ... 2 d<br />
1,8 ... 2 d<br />
Gusseisen<br />
Nabenlänge l<br />
Stahl oder<br />
Stahlguss<br />
2 ... 2,5 d 1,2 ... 1,5 d 0,8 ... 1 d<br />
1,8 ... 2 d 1,6 ... 2 d 1,2 ... 1,5 d<br />
1,6 ... 1,8 d1 0,8 ... 1 d1 0,6 ... 0,8 d1 1,6 ... 1,8 d 1,8 ... 2 d 1,6 ... 1,8 d<br />
1,6 ... 1,8 d 2 ... 2,2 d 1,8 ... 2 d<br />
1,6 ... 1,8 d 2 ... 2,2 d<br />
Die Werte für Keilwelle <strong>und</strong> Kerbverzahnung sind Mindestwerte (d 1 „Kerndurchmesser“). Bei größeren<br />
Scheiben oder Rädern mit seitlichen Kippkräften ist die Nabenlänge noch zu vergrößern.<br />
Allgemein gelten die größeren Werte bei Werkstoffen geringerer Festigkeit, die kleineren Werte bei<br />
Werkstoffen höherer Festigkeit.
10.5.7 Klemmsitzverbindungen<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
Klemmsitzverbindungen werden mit geteilter oder geschlitzter Nabe hergestellt.<br />
Mit Schrauben, Schrumpfringen oder Kegelringen werden die beiden Nabenhälften so auf die Welle<br />
gepresst, dass ohne Rutschen ein gegebenes Drehmoment M übertragen werden kann. Die dazu<br />
erforderliche Verspannkraft wird hier Sprengkraft F S genannt. Die in der Fugenfläche entstehende<br />
Flächenpressung heißt Fugendruck p. Der errechnete Betrag ist mit der zulässigen Flächenpressung<br />
für den Werkstoff mit der geringeren Festigkeit zu vergleichen.<br />
Die beiden folgenden Gleichungen gelten unter der Annahme, dass die Spannungsverteilung bei der<br />
Klemmsitzverbindung die gleiche ist wie beim zylindrischen Pressverband.<br />
Insbesondere wird von einer gleichmäßigen Verteilung des Fugendrucks in der Fugenfläche ausgegangen.<br />
Vor allem bei der geschlitzten Nabe ist eine gleichmäßige Verteilung des Fugendrucks kaum zu erzielen.<br />
Die zulässige Flächenpressung p zul sollte daher kleiner angesetzt werden als beim zylindrischen<br />
Pressverband.<br />
Sicherheitshalber ist in der Gleichung für die Sprengkraft F S der Rutschbeiwert � e zu verwenden, der<br />
kleiner ist als der Haftbeiwert �, der in den Gleichungen für den zylindrischen Pressverband verwendet<br />
wird (siehe Tabelle in 10.5.3.2).<br />
Sprengkraft F S<br />
(gesamte<br />
Verspannkraft)<br />
Vorhandener<br />
Fugendruck p<br />
Zulässige<br />
Flächenpressung p zul<br />
F S =<br />
2 M<br />
π νeDF M = 9,55 · 106 P<br />
n<br />
FS<br />
p = ≤ pzul<br />
DF<br />
lF<br />
p =<br />
l ≤ 2 M<br />
p<br />
2 zul<br />
2 π D F F<br />
F S p, p zul M D F, l F � e P n<br />
N<br />
N 2 mm<br />
für Stahl-Nabe: pzul = e R<br />
oder<br />
3<br />
für Gusseisen-Nabe: pzul = m R<br />
3<br />
Nmm mm 1 kW min –1<br />
Rp,<br />
0,2<br />
3<br />
309<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
310<br />
10.5.8 Keilsitzverbindungen<br />
Keilsitzverbindungen werden in der Praxis nicht berechnet, weil die Eintreibkraft, von der die Zuverlässigkeit<br />
des Reibschlusses abhängt, rechnerisch kaum erfasst werden kann.<br />
Für bestimmte Wellen- <strong>und</strong> Nabenabmessungen sind die Abmessungen der Keile den Normen zu entnehmen,<br />
die in der folgenden Darstellung angegeben sind. Die Passfeder ist hier zur Vervollständigung<br />
noch einmal aufgenommen worden:<br />
Ringfederspannverbindungen<br />
Ringfederspannverbindungen werden in der Praxis nicht berechnet. Die Hersteller liefern <strong>Tabellen</strong> für<br />
die Abmessungen <strong>und</strong> die übertragbaren Drehmomente, die aus Versuchsergebnissen zusammengestellt<br />
wurden.<br />
Man verwendet Ringfederspannelemente <strong>und</strong> -spannsätze. Die Kraftumsetzung von Axial- in Radialspannkräfte<br />
an den keglig aufeinandergeschobenen Ringen erfolgt wie bei Keilen. Die Neigungswinkel<br />
der kegligen Flächen sind so groß, dass keine Selbsthemmung auftritt. Wird die Verbindung gelöst,<br />
lässt sich die Spannverbindung leicht ausbauen.<br />
Einbau <strong>und</strong> Einbaubeispiel für Ringfederspannverbindungen<br />
Ringfederspannelemente bestehen aus den Spannelementen<br />
1, das sind keglige Stahlringe, dem Druckring<br />
2, den Spannschrauben 3 <strong>und</strong> den Distanzhülsen 4.<br />
Welle <strong>und</strong> Nabe brauchen eine zusätzliche Zentrierung<br />
Z. Zum Aufeinanderschieben der kegligen Spannelemente<br />
(Ringpaare) ist ein ausreichender Spannweg s<br />
vorzusehen.<br />
Er wird in den <strong>Tabellen</strong> der Herstellerfirmen angegeben.<br />
Wegen der exponential abfallenden Wirkung können<br />
nur bis zu n = 4 Spannelemente hintereinandergeschaltet<br />
werden.<br />
Spannsätze bestehen aus dem Außenring 1, dem<br />
Innenring 2, den beiden Druckringen 3 <strong>und</strong> den gleichmäßig<br />
am Umfang verteilten Spannschrauben 4, mit<br />
denen die Druckringe 3 axial verspannt werden.<br />
Dadurch wird der Innenring elastisch zusammengepresst<br />
(Wellensitz), der Außenring gedehnt (Nabensitz).<br />
Auch für Spannsätze ist eine zusätzliche Zentrierung<br />
von Welle <strong>und</strong> Nabe erforderlich.
10.5.9 Ringfederspannverbindungen, Maße, Kräfte <strong>und</strong> Drehmomente<br />
(nach Ringfeder <strong>GmbH</strong>, Krefeld-Uerdingen)<br />
M (100) ist das von einem<br />
Spannelement<br />
übertragbare Drehmoment<br />
bei<br />
N<br />
p = 100<br />
2 mm<br />
Flächenpressung.<br />
Entsprechendes gilt für<br />
F (100) <strong>und</strong> F ax(100).<br />
Ermittlung der Anzahl<br />
hintereinander<br />
geschalteter Elemente in<br />
11.6.2.<br />
Bei zwei Spannsätzen<br />
verdoppeln sich die<br />
Beträge des<br />
übertragbaren<br />
Drehmoments M <strong>und</strong><br />
der übertragbaren<br />
Axialkraft F ax<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
Maße Kräfte Drehmoment Spannweg s<br />
d � D l1 l2 F0 F (100) Fax(100) M (100) in mm bei n<br />
mm mm mm kN kN kN Nm 1 2 3 4<br />
10 � 13 4,5 3,7 6,95 6,30 1,40 7,0 2 2 3 3<br />
12 � 15 4,5 3,7 6,95 7,50 1,67 10,0 2 2 3 3<br />
14 � 18 6,3 5,3 11,20 12,60 2,80 19,6 3 3 4 5<br />
16 � 20 6,3 5,3 10,10 14,40 3,19 25,5 3 3 4 5<br />
18 � 22 6,3 5,3 9,10 16,20 3,60 32,4 3 3 4 5<br />
20 � 25 6,3 5,3 12,05 18,00 4,00 40 3 3 4 5<br />
22 � 26 6,3 5,3 9,05 19,80 4,40 48 3 3 4 5<br />
25 � 30 6,3 5,3 9,90 22,50 5,00 62 3 3 4 5<br />
28 � 32 6,3 5,3 7,40 25,20 5,60 78 3 3 4 5<br />
30 � 35 6,3 5,3 8,50 27,00 6,00 90 3 3 4 5<br />
35 � 40 7 6 10,10 35,60 7,90 138 3 3 4 5<br />
40 � 45 8 6,6 13,80 45,00 9,95 199 3 4 5 6<br />
45 � 57 10 8,6 28,20 66,00 14,60 328 3 4 5 6<br />
50 � 57 10 8,6 23,50 73,00 16,20 405 3 4 5 6<br />
55 � 62 12 10,4 21,80 80,00 17,80 490 3 4 5 6<br />
60 � 68 12 10,4 27,40 106,00 23,50 705 3 4 5 7<br />
63 � 71 12 10,4 26,30 111,00 24,80 780 3 4 5 7<br />
65 � 73 14 12,2 25,40 115,00 25,60 830 3 4 5 7<br />
70 � 79 14 12,2 31,00 145,00 32,00 1120 3 5 6 7<br />
75 � 84 17 15 34,60 155,00 34,40 1290 3 5 6 7<br />
80 � 91 17 15 48,00 203,00 45,00 1810 4 5 6 8<br />
85 � 96 17 15 45,60 216,00 48,00 2040 4 5 6 8<br />
90 � 101 17 15 43,40 229,00 51,00 2290 4 5 6 8<br />
95 � 106 17 15 41,20 242,00 54,00 2550 4 5 6 8<br />
100 � 114 21 18,7 60,70 317,00 70,00 3520 4 6 7 9<br />
Maße Dreh- Flächenpressung Schrauben DIN 912<br />
d � D<br />
mm<br />
l1 l2 l<br />
mm mm mm<br />
Kraft<br />
Fax kN<br />
moment<br />
M<br />
Nm<br />
PWelle PNabe N/mm2 N/mm 2<br />
Anzahl<br />
Gewinde<br />
d1 MA Nm<br />
30 � 55 20 17 27,5 33,4 500 175 95 10 M 6 � 18 14<br />
35 � 60 20 17 27,5 40 700 180 105 12 M 6 � 18 14<br />
40 � 65 20 17 27,5 46 920 180 110 14 M 6 � 18 14<br />
45 � 75 24 20 33,5 72 1610 210 125 12 M 8 � 22 35<br />
50 � 80 24 20 33,5 71 1770 190 115 12 M 8 � 22 35<br />
55 � 85 24 20 33,5 83 2270 200 130 14 M 8 � 22 35<br />
60 � 90 24 20 33,5 83 2470 180 120 14 M 8 � 22 35<br />
65 � 95 24 20 33,5 93 3040 190 130 16 M 8 � 22 35<br />
70 � 110 28 24 39,5 132 4600 210 130 14 M 10 � 25 70<br />
75 � 115 28 24 39,5 131 4900 195 125 14 M 10 � 25 70<br />
80 � 120 28 24 39,5 131 5200 180 120 14 M 10 � 25 70<br />
85 � 125 28 24 39,5 148 6300 195 130 16 M 10 � 25 70<br />
90 � 130 28 24 39,5 147 6600 180 125 16 M 10 � 25 70<br />
95 � 135 28 24 39,5 167 7900 195 135 18 M 10 � 25 70<br />
100 � 145 30 26 44 192 9600 195 135 14 M 12 � 30 125<br />
110 � 155 30 26 44 191 10500 180 125 14 M 12 � 30 125<br />
120 � 165 30 26 44 218 13100 185 135 16 M 12 � 30 125<br />
130 � 180 38 34 52 272 17600 165 115 20 M 12 � 35 125<br />
311<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
312<br />
10.5.10 Ermittlung der<br />
Anzahl n der<br />
Spannelemente<br />
<strong>und</strong> der axialen<br />
Spannkraft F a<br />
Anzahl n für gegebenes<br />
Drehmoment M in Nm<br />
Pressungsfaktor f p<br />
Anzahl n für gegebene<br />
Axialkraft F ax in kN<br />
Erforderliche axiale<br />
Gesamtspannkraft<br />
F a in kN<br />
M<br />
n = fp fn M(100)<br />
M (100) übertragbares Drehmoment M in Nm nach Tabelle 10.5.9 für<br />
ein Spannelement <strong>und</strong> eine Flächenpressung von<br />
p = 100 N/mm2 fp Pressungsfaktor (nachfolgend)<br />
fn Anzahlfaktor, abhängig von der Anzahl der<br />
hintereinandergeschalteten Elemente:<br />
pw<br />
fp =<br />
p(100)<br />
p w<br />
pw pw Re Rm für n = 2 ist f n = 1,55,<br />
für n = 3 ist f n = 1,85 <strong>und</strong><br />
für n = 4 ist f n = 2,02.<br />
N<br />
p(100)<br />
= 100<br />
mm2<br />
Grenzwert der Flächenpressung für den Wellen- oder<br />
Nabenwerkstoff<br />
= 0,9 Re (oder Rp 0,2) für (Stahl <strong>und</strong> Stahlguss)<br />
= 0,6 Rm für Gusseisen<br />
Streckgrenze, Rp 0,2 0,2-Dehngrenze<br />
Zugfestigkeit alle Werte aus den Dauerfestigkeitsdiagrammen<br />
F<br />
n = fp fn Fax(100)<br />
Fax(100) Axialkraft in kN nach Tabelle 10.5.9 für ein Spannelement <strong>und</strong><br />
eine Flächenpressung von p = 100 N/mm2 fp Pressungsfaktor (nachfolgend)<br />
fn Anzahlfaktor, abhängig von der Anzahl der hintereinander<br />
geschalteten Elemente:<br />
für n = 2 ist f n = 1,55,<br />
für n = 3 ist f n = 1,85 <strong>und</strong><br />
für n = 4 ist f n = 2,02.<br />
F a = F 0 � F (100) f p<br />
F0 axiale Spannkraft in kN nach Tabelle 10.5.9 zur Überbrückung<br />
des Passungsspiels bei H6/H7 <strong>und</strong> einer gemittelten Rautiefe<br />
Rz � 6 µm<br />
F (100) axiale Spannkraft in kN nach Tabelle 10.5.9 bei einer Flächenpressung<br />
p = 100 N/mm2 fp Pressungsfaktor
10.5.11 Längsstiftverbindung<br />
Bauverhältnisse<br />
(Anhaltswerte)<br />
Nabendicke s' in mm<br />
(M in Nm einsetzen)<br />
Übertragbares<br />
Drehmoment M<br />
Querstiftverbindung<br />
Bauverhältnisse<br />
(Anhaltswerte)<br />
Übertragbares<br />
Drehmoment M<br />
Übertragbare<br />
Längskraft F l<br />
Zulässige<br />
Beanspruchungen<br />
d S<br />
= 0,13 ... 0,16<br />
d<br />
l<br />
= 1,0 ... 1,5 l Nabenlänge<br />
d<br />
s' = (3,2 ... 3,9) 3 M für Gusseisen-Nabe<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
s' = (2,4 ... 3,2) 3 M für Stahl- <strong>und</strong> Stahlguss-Nabe<br />
M P n<br />
M = 9550 P<br />
n Nm kW min –1<br />
dS d lS M ≤ pzul (Nabe)<br />
4<br />
p zul siehe unten<br />
l S<br />
dS<br />
d<br />
da<br />
d<br />
Stiftlänge<br />
= 0,2 ... 0,3<br />
= 2,5 für Gusseisen-Nabe<br />
= 2,0 für Stahl- <strong>und</strong> Stahlguss-Nabe<br />
2<br />
ddS<br />
π<br />
M � τazul<br />
4<br />
M � dS s (d � s) pzul (Nabe)<br />
M d, dS, s � azul, pzul P n<br />
N<br />
Nmm mm<br />
mm2<br />
2<br />
π dS Fl ≤ τazul<br />
2<br />
M d S, d, l S p zul<br />
N<br />
Nmm mm 2 mm<br />
kW min –1<br />
M = 9,55 · 106 P<br />
n<br />
N<br />
pzul (Nabe) = (120 ... 180) für Stahl <strong>und</strong> Gusseisen<br />
2 mm<br />
N<br />
= (90 ... 120) für Gusseisen<br />
mm 2<br />
N<br />
�a zul = (90 ... 130) für S235JR ... E295, 10S20K der<br />
2 mm<br />
Kegel- <strong>und</strong> Zylinderstifte<br />
N<br />
= (140 ... 170) für E335 <strong>und</strong> E360 der Kerbstifte<br />
mm 2<br />
bei Schwellbelastung 70 %, bei Wechselbelastung 50 % der<br />
zulässigen Beanspruchung ansetzen<br />
313<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
314<br />
10.5.12 Passfederverbindungen<br />
10.5.12.1 Maße für zylindrische Wellenenden mit Passfedern <strong>und</strong> übertragbare Drehmomente<br />
Maße in mm<br />
Bezeichnung der Passfeder Form A<br />
für d = 40 mm, Breite b = 12 mm<br />
Höhe h = 8 mm, Passfederlänge l P = 70 mm:<br />
Passfeder A12 � 8 � 70 DIN 6885<br />
Bezeichnung eines zylindrischen Wellenendes<br />
von d = 40 mm <strong>und</strong> l = 110 mm:<br />
Wellenende 40 � 110 DIN 748<br />
l Passfedermaße 1)<br />
Wellendurchmesser<br />
d kurz lang<br />
Toleranzfeld<br />
Breite mal Wellennut- Nabennut-<br />
Höhe tiefe t1 tiefe t2 b � h<br />
Richtwerte für das<br />
übertragbare Drehmoment M in<br />
Nm<br />
reine<br />
Torsion 2)<br />
Torsion <strong>und</strong><br />
Biegung 3)<br />
6 – 16 – – – 1,7 0 ,7<br />
10 15 23 4 � 4 2,5 1,8 7,9 3 ,3<br />
16 28 40 5 � 5 3 2,3 32 14<br />
20 36 50 6 � 6 3,5 2,8 63 26<br />
25<br />
30<br />
42<br />
58<br />
60<br />
80<br />
k6<br />
H7<br />
8 � 7 4 3,3<br />
120<br />
210<br />
52<br />
89<br />
35 58 80 10 � 8 5 3,3 340 140<br />
40 82 110 12 � 8 5 3,8 500 210<br />
45<br />
50<br />
82<br />
82<br />
110<br />
110<br />
14 � 9 5,5 3,8<br />
720<br />
980<br />
300<br />
410<br />
55 82 110 16 � 10 6 4,3 1,3 � 103 550<br />
60 105 140 18 � 11 7 4,4 1,7 � 103 710<br />
70 105 140 20 � 12 7,5 4,9 2,7 � 103 1,1 � 103 80 130 170 22 � 14 9 5,4 4� 103 1,7 � 103 90 130 170 25 � 14 9 5,4 5,7 � 103 2,4 � 103 100 165 210 28 � 16 10 6,4 7,85 � 103 3,3 � 103 120 165 210 32 � 18 11 7,4 13,6 � 103 5,7 � 103 140 200 250 36 � 20 12 8,4 21,5 � 103 9,1 � 103 160 240 300 40 � 22 13 9,4 32,2 � 103 13,5 � 103 180 240 300 45 � 25 15 10,4 45,8 � 103 19,2 � 103 200 280 350 50 � 28 17 11,4 62,8 � 103 26,4 � 103 220 280 350 83,6 � 103 35,1 � 103 k6<br />
H7<br />
56 � 32 20 12,4<br />
250 330 410<br />
123 � 103 51,6 � 103 1) Passfederlänge lp in mm:<br />
2)<br />
3)<br />
8/10/12/14/16/18/20/22/25/28/32/36/40/45/50/56/63/70/80/90/100/110/125/140/160/180/200/220/250/280/315/355/400<br />
berechnet mit M = 7,85 · 10 –3 · d 3 M M<br />
t t<br />
aus �t = =<br />
Wp ( π /16) d<br />
= �<br />
3 t zul = 40 N/mm 2<br />
berechnet mit M = 3,3 · 10 –3 · d 3 M M<br />
aus �b = = = �<br />
3 b zul = 70 N/mm<br />
W ( π /32) d<br />
2 sowie mit M = MV =<br />
für s 0 = 0,7 <strong>und</strong> M b = 2 M t (Biegemoment = 2 � Torsionsmoment)<br />
2 2<br />
M + 0,75 ⋅(<br />
α M )<br />
b 0 t
10.5.12.2 Passfederverbindungen<br />
(Nachrechnung)<br />
Vorhandene<br />
Flächenpressung p W<br />
an der Welle<br />
Vorhandene<br />
Flächenpressung p N<br />
an der Nabe<br />
Zulässige<br />
Flächenpressung p zul<br />
Herleitung der<br />
Gleichungen für die<br />
Flächenpressung p W, p N<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
Die beiden letzten Spalten der Tabelle im Abschnitt 10.5.12 enthalten Richtwerte<br />
für das übertragbare Drehmoment.<br />
Im Normalfall ist das zu übertragende Drehmoment M bekannt oder kann über<br />
die gegebene Leistung P <strong>und</strong> die Wellendrehzahl n errechnet werden. Mit dem<br />
Drehmoment M werden der Wellendurchmesser d <strong>und</strong> die zugehörige Passfeder<br />
(b � h) festgelegt.<br />
Abgesehen von der Gleitfeder muss die Passfederlänge l p etwas kleiner sein als<br />
die Nabenlänge l. Werden für die Nabenlänge l die in der Tabelle im Abschnitt<br />
10.5.6 angegebenen Richtwerte verwendet, erübrigt es sich, die Flächenpressung<br />
p zu überprüfen (p � p zul ). Nur bei kürzeren Naben ist die folgende<br />
Nachrechnung erforderlich.<br />
2 M<br />
p = p<br />
W zul<br />
d t t1 ≤<br />
l<br />
M = 9,55 · 106 P<br />
n<br />
2 M<br />
p = p<br />
N zul<br />
d t( h t1) ≤<br />
l −<br />
p M d, l t , t 1 P n<br />
N<br />
2 mm<br />
Nmm mm kW min–1<br />
d Wellendurchmesser<br />
t 1 Wellennuttiefe<br />
l t tragende Länge an der Passfeder<br />
l t = l p bei den Passfederformen A <strong>und</strong> B<br />
für die Wellennut<br />
l t = l p – b bei Passfederform A für die<br />
Nabennut<br />
Mit Sicherheit vS gegenüber der Streckgrenze Re oder Rp 0,2<br />
(0,2-Dehngrenze) <strong>und</strong> vB gegenüber der Bruchfestigkeit Rm des<br />
Wellen- oder Nabenwerkstoffs setzt man je nach Betriebsweise<br />
(Stoßanfall):<br />
R e<br />
pzul = für Stahl <strong>und</strong> Stahlguss mit �S = 1,3 ... 2,5<br />
νS<br />
R m<br />
pzul = für Gusseisen mit �B = 3 ... 4<br />
νB<br />
⎛dt1⎞ − M + FuW⎜ − ⎟=<br />
0<br />
⎝2 2⎠<br />
M<br />
FuW<br />
=<br />
d t1<br />
−<br />
2 2<br />
FuW FuW<br />
pW<br />
= =<br />
AW<br />
lt<br />
t1<br />
2M 2M<br />
pW<br />
= ≈<br />
( d − t1) lt t1 d lt<br />
t1<br />
⎛dh t1⎞<br />
M FuN 0<br />
2 2<br />
−<br />
− ⎜ + ⎟=<br />
⎝ ⎠<br />
M<br />
FuN<br />
=<br />
d h−t1 +<br />
2 2<br />
FuN FuN<br />
pN<br />
= =<br />
A N lt<br />
( h−t1) p<br />
N<br />
2 M<br />
=<br />
( d+ h−t ) l ( h−t )<br />
2 M<br />
p N=<br />
d l ( h−t )<br />
t 1<br />
1 t 1<br />
315<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Nabenverbindungen<br />
316<br />
10.5.13 Keilwellenverbindung<br />
Nennmaße für Welle<br />
<strong>und</strong> Nabe<br />
(Auswahl aus ISO 14:<br />
Keilwellenverbindung mit<br />
geraden Flanken, Übersicht)<br />
Nabendicke s in mm<br />
(M in Nm einsetzen)<br />
Nabenlänge l in mm<br />
(M in Nm einsetzen)<br />
Flächenpressung p<br />
Zulässige<br />
Flächenpressung p zul<br />
Innendurchmesser<br />
d 1 in mm<br />
Außendurchmesser<br />
d 2 in mm<br />
Anzahl<br />
der<br />
Keile<br />
z<br />
Keil<br />
Breite<br />
b in mm<br />
18 22 6 5<br />
21 25 6 5<br />
23 28 6 6<br />
26 32 6 6<br />
28 34 6 7<br />
32 38 8 6<br />
36 42 8 7<br />
42 48 8 8<br />
46 54 8 9<br />
52 – – –<br />
62 72 8 12<br />
82 – – –<br />
92 102 10 14<br />
102 112 10 16<br />
112 125 10 18<br />
s = (2,6 ... 3,2) 3 M für Gusseisen-Nabe<br />
s = (2,2 ... 3) 3 M für Stahl <strong>und</strong> Stahlguss-Nabe<br />
M P n<br />
M = 9550 P<br />
n Nm kW min –1<br />
l = (4,5 ... 6,5) 3 M für Gusseisen-Nabe<br />
l = (2,8 ... 4,5) 3 M für Stahl <strong>und</strong> Stahlguss-Nabe<br />
2 M<br />
p = pzul<br />
0,75 zh d ≤<br />
l<br />
1 m<br />
P M h1, l, dm z<br />
N<br />
2 mm<br />
Nmm mm 1<br />
d2 − d1<br />
h1 = 0,8<br />
2<br />
d1+ d2<br />
dm<br />
=<br />
2<br />
Faktor 0,75 (nach Versuchen tragen<br />
nur etwa 75 % der Mitnehmerflächen)<br />
pzul = e(Nabe) R<br />
S<br />
für Stahl-Nabe<br />
pzul = m(Nabe) R<br />
S<br />
für Gusseisen-Nabe<br />
R e (R p 0,2) <strong>und</strong> R m aus den Dauerfestigkeitsdiagrammen.<br />
Für stoßfrei wechselnde Betriebslast wird bei Befestigungsnaben:<br />
S = 2,5 (1,7)<br />
für unbelastet verschobene Verschiebenaben: S = 8 (5)<br />
für unbelastet verschobene Verschiebenaben: S = (15)<br />
für Stahl-Nabe <strong>und</strong> (3) für Gusseisen-Nabe<br />
Klammerwerte bei gehärteten oder vergüteten Sitzflächen der Welle
10.6 Zahnradgetriebe<br />
10.6.1 Kräfte am Zahnrad<br />
10.6.1.1 Benennung<br />
Normen (Auswahl)<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
DIN 780 Modulreihe für Zahnräder<br />
DIN 867 Bezugsprofil für Stirnräder mit Evolventenverzahnung<br />
DIN 868 Allgemeine Begriffe <strong>und</strong> Bestimmungsgrößen für<br />
Zahnräder<br />
DIN 3960 Begriffe <strong>und</strong> Bestimmungsgrößen für Stirnräder <strong>und</strong><br />
Stirnradpaare<br />
DIN 3971 Begriffe <strong>und</strong> Bestimmungsgrößen für Kegelräder <strong>und</strong><br />
Kegelradpaare<br />
DIN 3975 Begriffe <strong>und</strong> Bestimmungsgrößen für<br />
Zylinderschneckengetriebe<br />
DIN 3990 Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern<br />
DIN 3991 Tragfähigkeitsberechnung von Kegelrädern<br />
P Leistung<br />
M T Drehmoment<br />
F bn Zahnnormalkraft normal zur<br />
Berührungslinie<br />
F bt Zahnnormalkraft im Stirnschnitt<br />
F t Umfangskraft bei Stirn-<br />
rädern im Teilkreis im Stirnschnitt<br />
F tn Umfangskraft im Normalschnitt<br />
F tm Umfangskraft bei Kegel-<br />
rädern im Teilkreis in Mitte<br />
Zahnbreite<br />
d Teilkreisdurchmesser<br />
d w Betriebswälzkreisdurchmesser<br />
d m mittlerer Teilkreisdurchmesser<br />
bei Kegelrädern (bezogen auf<br />
Mitte Zahnbreite)<br />
� 0 Herstell-Eingriffswinkel (bei<br />
Normverzahnung ist � 0 = 20°)<br />
� n Eingriffswinkel im<br />
Normalschnitt am Teilkreis<br />
� t Eingriffswinkel im Stirnschnitt<br />
am Teilkreis<br />
� wt Betriebseingriffswinkel im<br />
Stirnschnitt<br />
� Schrägungswinkel am Teilkreis<br />
� m Schrägungswinkel am Teilkreis<br />
in Mitte Zahnbreite bei<br />
Kegelrädern<br />
� b Schrägungswinkel am Gr<strong>und</strong>kreis<br />
� Teilkegelwinkel<br />
� Achsenwinkel<br />
� m mittlerer Steigungswinkel der<br />
Schnecke<br />
r' Reibwinkel<br />
m n Normalmodul<br />
m t Stirnmodul<br />
317<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
318<br />
10.6.1.2 Einheiten<br />
10.6.1.3 Geradstirnrad<br />
Umfangskraft F t am<br />
Teilkreis<br />
Normalkraft F bn normal<br />
zur Berührungslinie<br />
Radialkraft F r<br />
10.6.1.4 Schrägstirnrad<br />
Umfangskraft F t am<br />
Teilkreis<br />
Radialkraft F r<br />
Axialkraft F a<br />
Indizes bezogen auf Indizes bezogen auf<br />
kein Index<br />
a<br />
b<br />
f<br />
m<br />
n<br />
Teilkreis<br />
Kopfkreis<br />
Gr<strong>und</strong>kreis<br />
Fußkreis<br />
Mitte Zahnbreite<br />
bei Kegelrädern<br />
Normalschnitt oder<br />
Ersatz-Geradstirnrad<br />
t<br />
v<br />
w<br />
C<br />
1<br />
2<br />
Stirnschnitt<br />
Ergänzungskegel<br />
bei Kegelrädern<br />
Betriebswälzkreis<br />
Wälzpunkt<br />
Ritzel<br />
Rad<br />
Zur Berechnung des Drehmoments M T1 in Nmm aus der Leistung P in<br />
kW <strong>und</strong> der Drehzahl n 1 in min –1 (= 1/min = U/min) wird die bekannte<br />
Zahlenwertgleichung benutzt:<br />
M T1 = 9,55 · 10 6<br />
P<br />
n<br />
1<br />
MT1 P n1 Nmm kW min –1<br />
Für alle folgenden Gleichungen zweckmäßig:<br />
Drehmoment M T1 in Nmm, Kräfte F in N, sämtliche Längen (Durchmesser,<br />
Modul) in mm.<br />
2M 2M<br />
Ft = =<br />
d z m<br />
Ft<br />
Fbn =<br />
cos α<br />
T1 T1<br />
1 1 n<br />
n<br />
F r = F t tan � n<br />
2MT1 2MT1cosβ Ft = =<br />
d z m<br />
Fttanαn Fr =<br />
cos β<br />
F a = F t tan �<br />
1 1 n
10.6.1.5 Geradzahn-<br />
Kegelrad<br />
Umfangskraft F tm im Teilkreis<br />
in Mitte Zahnbreite<br />
Radialkraft F r<br />
(für Achsenwinkel<br />
� = 90º ist F r1 = F a2 <strong>und</strong><br />
F r2 = F a1)<br />
Axialkraft F a<br />
(für Achsenwinkel<br />
� = 90º ist F a1 = F r2 <strong>und</strong><br />
F a2 = F r1)<br />
10.6.1.6 Schrägzahn-<br />
Kegelrad<br />
Umfangskraft F tm im Teilkreis<br />
in Mitte Zahnbreite<br />
Radialkraft F r<br />
(für Achsenwinkel<br />
� = 90º ist F r1 = F a2 <strong>und</strong><br />
F r2 = F a1)<br />
Axialkraft F a<br />
10.6.1.7 Schnecke <strong>und</strong><br />
Schneckenrad<br />
Umfangskraft F t<br />
Radialkraft F r<br />
Axialkraft F a<br />
2M<br />
Ftm =<br />
d<br />
T1<br />
m1<br />
F r1 = F tm tan � n cos � 1<br />
F r2 = F tm tan � n cos � 2<br />
F a1 = F tm tan � n sin � 1<br />
F a2 = F tm tan � n sin � 2<br />
2M<br />
Ftm =<br />
d<br />
T1<br />
m1<br />
⎛<br />
F 1) cosδ<br />
⎞<br />
r1 = F ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
tm tanαn�tan βsinδ1 cos βm<br />
⎛<br />
F 2) cosδ<br />
⎞<br />
r2 = F ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
tm tanαn± tan βsinδ2 cos βm<br />
⎛<br />
F 3) sinδ<br />
⎞<br />
a1 = F ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
tm tanαn± tan βcosδ1 cos βm<br />
⎛<br />
4) sinδ<br />
⎞<br />
Fa2 = F ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
tm tanαn�tan βcosδ2 cos βm<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
1) (–) bei gleicher, (�) bei entgegengesetzter Spiral- <strong>und</strong> Drehrichtung<br />
2) (�) bei gleicher, (–) bei entgegengesetzter Spiral- <strong>und</strong> Drehrichtung<br />
3) (�) bei gleicher, (–) bei entgegengesetzter Spiral- <strong>und</strong> Drehrichtung<br />
4) (–) bei gleicher, (�) bei entgegengesetzter Spiral- <strong>und</strong> Drehrichtung<br />
2M<br />
Ft1 = Fa2 =<br />
d<br />
F r1 =F r2 = F t1<br />
F a1 = F t2<br />
2M<br />
d<br />
T1<br />
m1<br />
tanαn cosr'<br />
sin( γ + r')<br />
T2<br />
2<br />
m<br />
Ft1<br />
Fa1 = Ft2 =<br />
tan( γ + r')<br />
m<br />
319<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
320<br />
10.6.2 Einzelrad- <strong>und</strong> Paarungsgleichungen für Gerad- <strong>und</strong> Schrägstirnräder<br />
Die Berechnungsgleichungen gelten für den allgemeinen<br />
Fall des Schrägstirnrad-V-Getriebes.<br />
Für die Sonderfälle ist zu setzen:<br />
Schrägstirnrad-Nullgetriebe: x 1 = x 2 =0<br />
Schrägstirnrad-V-Nullgetriebe: x 2 = – x 1<br />
Geradstirnrad-Nullgetriebe: � = 0º, x 1 = x 2 =0<br />
Geradstirnrad-V-Nullgetriebe: � = 0º, x 2 = – x 1<br />
Geradstirnrad-V-Getriebe: � = 0º, also cos � = 1<br />
Für das DIN-Verzahnungssystem ist der Herstell-<br />
Eingriffswinkel � n = 20º, also<br />
cos � n = 0,93969 tan � n = 0,36397<br />
sin � n = 0,34202 ev � n = 0,01490<br />
Die Berechnungsgleichungen gelten auch für Innengetriebe.<br />
Dafür sind<br />
die Zähnezahl z 2 des Innenrades,<br />
alle Durchmesser des Innenrades,<br />
das Zähnezahlverhältnis u = z 2/z 1 <strong>und</strong> der<br />
Achsabstand a mit negativem Vorzeichen<br />
einzusetzen.<br />
Außerdem ist festgelegt: Die Profilverschiebung ist<br />
positiv, wenn durch sie die Zahndicke vergrößert wird.<br />
Übersetzung i<br />
Ersatzzähnezahl z n<br />
Grenzzähnezahl z g<br />
Profilverschiebungs-<br />
faktor x für z � z g<br />
ω<br />
i = = = = =<br />
ω<br />
b2<br />
n1 1 z2 d2<br />
d<br />
n z d d<br />
2 2 1 1 b1<br />
z z<br />
zn =<br />
≈<br />
cos2 β cos β cos3<br />
β<br />
b<br />
� b siehe Schrägungswinkel<br />
z g =17 cos 3 ��<br />
z<br />
17 −<br />
cos3<br />
β<br />
x �<br />
17<br />
b Zahnbreite<br />
c Kopfspiel<br />
pt, pn Teilkreisteilung<br />
r, rn Teilkreisradius<br />
rb, rbn Gr<strong>und</strong>kreisradius<br />
st, sn Zahndicke<br />
�t, �n Eingriffswinkel am Teilkreis<br />
� Schrägungswinkel am Teilkreis<br />
Index t für Stirnschnitt<br />
Index n für Normalschnitt<br />
Grenzzähnezahl z g der DIN-Gerad-<br />
verzahnung (� = 0)
Achsabstand a d ohne<br />
Profilverschiebung<br />
(Rechengröße)<br />
Eingriffswinkel im Stirnschnitt<br />
am Teilkreis � t<br />
Stirnmodul m t<br />
Teilkreisteilung im<br />
Stirnschnitt p t<br />
Teilkreisteilung<br />
im Normalschnitt p n<br />
Eingriffsteilung im<br />
Stirnschnitt p et<br />
Eingriffsteilung<br />
im Normalschnitt p en<br />
Schrägungswinkel am<br />
Gr<strong>und</strong>kreis � b<br />
Teilkreisdurchmesser d<br />
Gr<strong>und</strong>kreisdurchmesser d b<br />
Kopfkreisdurchmesser d a<br />
erforderliche<br />
Kopfkürzung k m n<br />
Fußkreisdurchmesser d f<br />
Evolventenfunktion des<br />
Winkels �<br />
mn<br />
ad = ( z1 z2)<br />
2cosβ<br />
+<br />
tan � t =<br />
mn<br />
mt =<br />
cos β<br />
tanαn<br />
cos β<br />
d<br />
mn<br />
pt = = mt<br />
=<br />
z cos β<br />
π<br />
π<br />
π<br />
n = n = t β cos<br />
p πm πm<br />
p π d<br />
pet = pt cos �t = � mt cos �t = =<br />
cos β z<br />
p en = p n cos � n = � m n cos � n<br />
tan � b = tan � cos � t<br />
sin � b = sin � cos � n<br />
zm 1 n<br />
d1 = zm 1 t<br />
cos β =<br />
mn<br />
db1 = d1cosαt = z1<br />
cosαt<br />
cos β<br />
mn<br />
db2 = d2cosαt = z2<br />
cosαt<br />
cos β<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
bei Geradverzahnung ist � = 0<br />
<strong>und</strong> damit � t = � n = 20º<br />
Für Geradstirnrad ist: m t = m n = m<br />
m n Normalmodul<br />
en b<br />
z m<br />
d z m<br />
cos β<br />
2 n<br />
2 = = 2 t<br />
z2mn da1 = 2( a+ mn −x2mn) − d2 = 2[ a+ mn(1 −x2)] −<br />
cos β<br />
zm 1 n<br />
da2 = 2( a+ mn −x1mn) − d1= 2[ a+ mn(1 −x1)] −<br />
cos β<br />
mn z1+ z2<br />
kmn = ⋅ + ( x1+ x2) mn −a<br />
cos β 2<br />
d = d −2( h −x<br />
m )<br />
f1 1 fP 1 n<br />
d = d −2( h −x<br />
m )<br />
f2 2 fP 2 n<br />
⎛ α°<br />
⎞<br />
inv α = tanα− arc α = tanα−⎜π⎟<br />
⎝ 180° ⎠<br />
321<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
Betriebseingriffswinkel<br />
im Stirnschnitt � wt <strong>und</strong><br />
im Normalschnitt � wn<br />
Betriebseingriffswinkel<br />
im Stirnschnitt � wt bei<br />
vorgeschriebenem<br />
Achsabstand a<br />
Betriebswälzkreisdurchmesser<br />
d w<br />
322<br />
Achsabstand a<br />
Kopfspiel einer<br />
Radpaarung c<br />
Summe der Profilverschiebungsfaktoren<br />
x 1 � x 2<br />
Zahnkopfhöhe des<br />
Werkzeugs h fP für<br />
Bezugsprofil I, II, III, IV<br />
Schrägungswinkel am<br />
Betriebswälzkreis � w<br />
Profilüberdeckung � ��<br />
Sprungüberdeckung � �<br />
Gesamtüberdeckung �<br />
Zahndickennennmaß,<br />
Stirnschnitt s t<br />
x + x<br />
inv α 2 tanα inv α<br />
1 2<br />
wt = n+ t<br />
z1+ z2<br />
d d<br />
cosα<br />
wt = =<br />
d d<br />
b1 b2<br />
w1 w2<br />
sinαn<br />
sinαwn = sinαwt⋅<br />
sinα<br />
mn( z1+ z2)<br />
cos αt<br />
ad<br />
cosαwt = ⋅ = cosαt<br />
2a cosβa<br />
d<br />
d z m<br />
b1 t<br />
w1 = = 1 t ⋅<br />
cosαwt cosαwt<br />
t<br />
cosα<br />
α<br />
db2<br />
cos t<br />
dw2 = = z2mt⋅ cosαwt cosαwt<br />
mn z1+ z2<br />
cosαt<br />
a = ⋅ ⋅<br />
cos β 2 cosα<br />
wt<br />
d + d d + d<br />
c = a− = a−<br />
2 2<br />
a1 f 2 a2 f1<br />
( z1+ z2)(inv<br />
αwt −inv<br />
αt)<br />
x1+ x2<br />
=<br />
2tanα<br />
n<br />
⎛ π ⋅αt<br />
⎞<br />
⎜inv αt = tan αt<br />
− ⎟ o<br />
⎝ 180 ⎠<br />
mn<br />
mt<br />
=<br />
cos β<br />
⎛ π α ⎞<br />
⎜inv α = tan α−<br />
⎟<br />
⎝ o 180 ⎠<br />
I: hfP = 1,167 mn II: hfP = 1,25 mn 3<br />
III: hfP = 1,25 mn � 0,25 m 3<br />
IV: hfP = 1,25 mn � 0,6 m<br />
2atanβ tan β w =<br />
m ( z + z )<br />
ε =<br />
α<br />
t 1 2<br />
1 2 2 1 2 2<br />
2 a1 b1 2 a2 b2<br />
n<br />
t t<br />
mn<br />
mt<br />
=<br />
cos β<br />
d − d ± d −d −asinα<br />
π m cos α<br />
Minuszeichen gilt für Innengetriebe, dabei ist a mit negativem<br />
Vorzeichen einzusetzen.<br />
btan β bsin<br />
β<br />
ε β = =<br />
πm πm<br />
� = � � � � �<br />
t n<br />
⎛π⎞ st1= mt⎜ + 2x1tanαn⎟ ⎝2⎠ wt<br />
⎛π⎞ st2= mt⎜ + 2x2tanαn⎟ ⎝2⎠ n
Zahndickennennmaß im<br />
Normalschnitt s n<br />
Zahndicke auf dem<br />
Kopfkreis s a<br />
10.6.3 Einzelrad- <strong>und</strong><br />
Paarungsgleichungen<br />
für Kegelräder<br />
Übersetzung i<br />
Zähnezahlverhältnis u<br />
Achsenwinkel ��<br />
Teilkegelwinkel �<br />
⎛π⎞ sn1 = mn⎜ + 2x1tanαn⎟ ⎝2⎠ Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
⎛π⎞ sn2 = mn⎜ + 2x2tanαn⎟ ⎝2⎠ ⎡1⎛π⎞ ⎤<br />
sa = da⎢ ⎜ + 2x tan αn⎟−(inv αta −inv<br />
αt)<br />
⎥<br />
⎣z⎝2⎠ ⎦<br />
d<br />
cosα = cosα<br />
ta t<br />
da<br />
Die Gleichungen gelten, wenn nicht anders angegeben, für Kegelräder<br />
mit schrägen Zähnen, die unter dem Achsenwinkel von 90° als<br />
V-Nullgetriebe arbeiten: Schrägungswinkel in Mitte Zahnbreite � m,<br />
Achsenwinkel � = 90°, Profilverschiebungsfaktor x 2 = – x 1, Profilverschiebung<br />
� 2 = – � 1. Für Kegelräder mit geraden Zähnen ist in den<br />
Gleichungen � m = 0 zu setzen, für Nullgetriebe x = 0.<br />
n1 z2 d2<br />
sinδ2<br />
i = = = =<br />
n z d sinδ<br />
2 1 1 1<br />
z Rad<br />
u = ≥1<br />
z<br />
Ritzel<br />
� = � 1 � � 2<br />
o<br />
1<br />
für Σ = 90 : tanδ1=<br />
= ⎪<br />
u z2<br />
⎪⎪⎬<br />
o für Σ < 90 : tanδ1=<br />
δ2 = Σ −δ1<br />
o für Σ 90 : tanδ1<br />
1<br />
sinΣ<br />
u + cos Σ ⎪<br />
o sin(180 − Σ ) ⎪<br />
> = ⎪<br />
o<br />
u −cos(180 −Σ) ⎭<br />
z<br />
⎫<br />
323<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
324<br />
Teilkreisdurchmesser d<br />
Teilkegellänge R (außen)<br />
<strong>und</strong> Zahnbreite b<br />
Teilkegellänge R i (innen)<br />
mittlere Teilkegellänge R m<br />
Teilkreisdurchmesser in<br />
Mitte Zahnbreite d m<br />
äußerer Normalmodul m na<br />
Normalmodul in Mitte<br />
Zahnbreite m nm<br />
Ergänzungszähnezahl z v<br />
Ersatzzähnezahl z n<br />
Zähnezahl des<br />
Planrades z p<br />
Zahnkopfhöhe h a<br />
(außen)<br />
Kopfspiel c<br />
d 1 = z 1 m t d 2 = z 2 m t m t Stirnmodul<br />
Bei Geradzahn-Kegelrädern ist der Stirnmodul zugleich der Normalmodul<br />
(Stirnschnitt = Normalschnitt), er wird als Normmodul festgelegt:<br />
m t = m n = m.<br />
d1 d2<br />
R = =<br />
2sinδ 2sinδ<br />
R i = R – b<br />
b<br />
Rm= R−<br />
2<br />
1 2<br />
d m1 = d 1 – b sin� 1<br />
m na = m t cos � m<br />
Rm<br />
mnm = mtcos<br />
βm<br />
R<br />
dm1 dm2<br />
mnm<br />
= cos βm = cos βm<br />
z z<br />
z<br />
v1<br />
z1<br />
=<br />
cosδ<br />
z<br />
1 2<br />
1<br />
v1<br />
n1 ≈<br />
cos3<br />
βm<br />
z<br />
z<br />
v2<br />
z2<br />
=<br />
cosδ<br />
z<br />
R<br />
b ≤ ausführen<br />
3<br />
d m2 = d 2 – b sin� 2<br />
2<br />
v2<br />
n2 ≈<br />
cos3<br />
βm<br />
z<br />
m nm ist identisch mit dem Normalmodul<br />
der Ergänzungs-<br />
<strong>und</strong> der Ersatzverzahnung<br />
Bei Geradzahn-Kegelrädern ist mit � m = 0° <strong>und</strong> cos � m = 1<br />
z n1 = z v1 <strong>und</strong> z n2 = z v2.<br />
z2<br />
zp<br />
=<br />
sinδ<br />
2<br />
h = (1 + x) m h = (1 − x) m = 2m<br />
−h<br />
a1 na a2 na na a1<br />
c = y m na<br />
y = 0,167 oder y = 0,2
10.6.4 Einzelrad- <strong>und</strong><br />
Paarungsgleichungen<br />
für Schneckengetriebe<br />
Übersetzung i<br />
(m Achsmodul, z 1 Gangzahl<br />
der Schnecke)<br />
Erfahrungswerte für i,<br />
Gangzahl z 1 <strong>und</strong> � ges<br />
Zähnezahl z 2 des<br />
Schneckenrades<br />
Steigungshöhe der<br />
Schnecke P<br />
mittlerer Steigungswinkel<br />
� m<br />
Formzahl z F<br />
Zahnfußhöhe h f<br />
Kopfkreisdurchmesser<br />
d k1 der Schnecke<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
Index 1 gilt für die Schnecke, 2 für das Schneckenrad, Index n für die<br />
Größe im Normalschnitt, Index a im Achsschnitt<br />
n1 z2 d2 d2<br />
i = = = =<br />
n z mz d tanγ<br />
M<br />
T1<br />
2 1 1 m1 m<br />
M<br />
=<br />
i η<br />
T2<br />
ges<br />
i möglichst keine ganze Zahl<br />
bei mehrgängiger Schnecke<br />
� ges Gesamtwirkungsgrad des<br />
Schneckengetriebes<br />
i � 30 15 ... 29 10 ... 14 6 ... 9<br />
z 1 1 2 3 4<br />
� ges 0,7 0,8 0,85 0,9<br />
z 2 = i z 1<br />
z 2 möglichst � 25 Zähne<br />
P = z 1 p a = z 1 m � p a Achsteilung, m Achsmodul<br />
= d m1 � tan � m<br />
mz z<br />
tan γ m = =<br />
d z<br />
dm1<br />
zF<br />
=<br />
m<br />
1 1<br />
m1 F<br />
mn<br />
cos γ m =<br />
m<br />
h f1 = 2 m na – h a1 � c h f2 = 2 m na – h a2 � c c Kopfspiel<br />
c = 0,2 m<br />
d k1 = d m1 � 2 h k1<br />
325<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
326<br />
Kopfwinkel � a<br />
Fußwinkel � f<br />
Kopfkegelwinkel � a<br />
innerer Kopfkreisdurchmesser<br />
d i<br />
Innenkegelhöhe g<br />
Mittenkreisdurchmesser<br />
d m2<br />
Kopfkreisdurchmesser<br />
d k2<br />
Fußkreisdurchmesser<br />
d f2<br />
Außendurchmesser<br />
d a2<br />
Profilverschiebung<br />
erforderlich bei<br />
Mindest-Profilverschiebungsfaktor<br />
Achsabstand a<br />
(z F Formzahl)<br />
Zahnbreite b<br />
Wirkungsgrad � z der<br />
Verzahnung<br />
(�' = tan r' Gleitreibzahl)<br />
h<br />
tan κ a1 =<br />
R<br />
a1<br />
h<br />
tan κ f1=<br />
R<br />
f1<br />
h<br />
tan κ a2 =<br />
R<br />
a2<br />
h<br />
tan κ f2 =<br />
R<br />
δa1 = δ1+ κa1<br />
δa2 = δ2+ κa2<br />
b sinδ<br />
di1 = da1−2<br />
cos κ<br />
d i1<br />
g1<br />
=<br />
2tanδ<br />
a1<br />
a1<br />
a1<br />
dm2 = d2± 2xm = 2a−dm1<br />
f2<br />
b sinδ<br />
di2 = da2−2<br />
cos κ<br />
d i2<br />
g2<br />
=<br />
2tanδ<br />
d = d ± 2xm+ 2h d = d + 2h<br />
k2 2 k2 k2 2 k2<br />
d = d − (4 m+ c) c = 0,2m<br />
f2 k2<br />
d = d −2h<br />
c Kopfspiel<br />
f2 2 f2<br />
da2 = dk2+ m<br />
2h<br />
kf<br />
z2 < zg<br />
=<br />
msin2 αa<br />
x<br />
min<br />
zg−z2 = zg = 17 bei �a = 20º<br />
z<br />
g<br />
dm1 + d2 m<br />
a= ± xm = ( zF+ z2± 2 x)<br />
2 2<br />
a2<br />
a2<br />
a2<br />
h kf Kopfhöhe des Fräsers<br />
� a Eingriffswinkel im Achsschnitt<br />
b = (0,4 ... 0,5) (d k1 � 4 m) für Bronzerad<br />
b = (0,4 ... 0,5) (d k1 � 4 m) � 1,8 m für Leichtmetallrad<br />
tanγ<br />
ηz<br />
=<br />
tan( γ )<br />
m<br />
m + r'<br />
bei treibender Schnecke<br />
tan( γm<br />
− r')<br />
ηz<br />
=<br />
tanγ<br />
m<br />
bei treibendem<br />
Schneckenrad<br />
a Schnecke auf Drehmaschine<br />
geschlichtet, vergütet<br />
b Schnecke gehärtet, geschliffen
Gesamtwirkungsgrad<br />
� ges<br />
Normalteilung p n<br />
Normalmodul m n<br />
Moduln für Schnecke <strong>und</strong><br />
Schneckenrad (DIN 780)<br />
in mm: 1, 1,25, 1,6, 2, 2,5,<br />
3,15, 4, 5, 6,3, 8, 10, 12,5,<br />
16, 20<br />
Mittenkreisdurchmesser<br />
d m1 der Schnecke<br />
Zahnhöhen h<br />
Kopfhöhen h k<br />
Fußhöhen h f<br />
in Abhängigkeit von � m<br />
Eingriffswinkel im<br />
Normal- <strong>und</strong><br />
Achsschnitt<br />
Kopfkreisdurchmesser d k1<br />
der Schnecke<br />
Fußkreisdurchmesser d f1<br />
der Schnecke<br />
Schneckenlänge<br />
L in mm<br />
Umfangsgeschwindigkeit v<br />
(Zahlenwertgleichung)<br />
Gleitgeschwindigkeit v g<br />
Teilkreisdurchmesser d 2<br />
� ges = � z � L<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
� L = � L1 � L2 = Wirkungsgrad der Lagerung<br />
� � L1 für Schneckenwelle<br />
� � L2 für Schneckenrad<br />
� � L1 = � L2 � 0,97 bei Wälzlagern<br />
� � L1 = � L2 � 0,94 bei Gleitlagern<br />
p n = p a cos � m m n = m cos � m m = m a = Achsmodul<br />
Für Schnecken wird der Modul im Achsschnitt (Achsmodul)<br />
m a = m als Normmodul gewählt;<br />
m a ist zugleich Modul für das Schneckenrad im Stirnschnitt<br />
zm zm<br />
d = = = z m dm1 ist eine Rechengröße<br />
1 1 n<br />
m1 F<br />
tan γm sin γm<br />
h 1 = h 2 =<br />
h k1 =<br />
h k2 =<br />
h f1 =<br />
h f2 =<br />
tanαn<br />
tanαa<br />
=<br />
cos γ<br />
m<br />
� m � 15º � m � 15º<br />
2,2 m<br />
m<br />
m � xm<br />
h 1 – h k1<br />
h 2 – h k2<br />
|<br />
2,2 m n<br />
m n<br />
m n � xm n<br />
Richtwerte für � n<br />
�m �n0 20º 22,5º 25º 30º<br />
bis 15º 15 ... 25º 25 ... 35º über 35º<br />
dk1 = dm1+ 2h<br />
Profilverschiebung hat keinen Einfluss<br />
k1<br />
auf die Schnecken-Abmessungen<br />
d = d −2h<br />
f1 k1 1<br />
L m z<br />
≈ 2 (1 + 2 ) L m z2<br />
≈ 2 2 −4<br />
für normale Belastung für hohe Belastung<br />
d n d n<br />
v v<br />
60000 60000<br />
π m1 1 π m2 2<br />
1= 2 =<br />
v1<br />
vg<br />
=<br />
cos γ<br />
m<br />
z2mn d2 = z2m =<br />
cos γ<br />
m<br />
v 1, v 2 d m1, d m2 n 1, n 2<br />
m<br />
s<br />
mm min –1<br />
327<br />
10
10<br />
Maschinenelemente<br />
Zahnradgetriebe<br />
328<br />
10.6.5 Wirkungsgrad,<br />
Kühlöldurchsatz<br />
<strong>und</strong> Schmierarten<br />
der Getriebe<br />
Gesamtwirkungsgrad � ges<br />
in einer Getriebestufe<br />
erforderlicher<br />
Kühlöldurchsatz � V k bei<br />
Ölumlaufkühlung<br />
erforderliche<br />
Schmierarten<br />
� ges = 0,96 ... 0,98<br />
bei Schneckengetrieben<br />
gesondert berechnen<br />
nach 10.6.4<br />
η<br />
1−<br />
ges<br />
V� k = P1 c r( ϑ1−ϑ2) 3<br />
enthält Verzahnungsverluste,<br />
Lagerverluste, Plantschverluste bei<br />
Ölfüllung bis Zahnfuß, Verluste durch<br />
Wellenabdichtungen<br />
Vk � P1 r �� �ges, c<br />
m<br />
s<br />
kg<br />
W<br />
m3<br />
P1 Antriebsleistung<br />
c spezifische Wärmekapazität des Öls für Maschinenöl ist:<br />
J<br />
c = 1675 (1 K = 1 °C)<br />
kgK<br />
kg<br />
r Dichte des Öls � 900<br />
3 m (Maschinenöl)<br />
�1, �2 Temperatur des zu- <strong>und</strong> abfließenden Öls<br />
ºC 1<br />
Teilkreisgeschwindigkeit in m/s Art der Schmierung<br />
0 ... 0,8<br />
0,8 ... 4<br />
4 ... 12<br />
12 ... 60<br />
Fett auftragen<br />
Fett- oder Öltauchschmierung,<br />
Öltauchschmierung<br />
Spritzschmierung
Normen (Auswahl) 1)<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
DIN 884 Walzenfräser, DIN 885 Scheibenfräser<br />
DIN 1412 Spiralbohrer aus Schnellarbeitsstahl, Anschliffformen<br />
DIN 1415 Räumwerkzeuge; Einteilung, Benennung, Bauarten<br />
DIN 1416 Räumwerkzeuge; Gestaltung von Schneidzahn <strong>und</strong> Spankammer<br />
DIN 1417 Räumwerkzeuge; R<strong>und</strong>e <strong>und</strong> eckige Schäfte<br />
DIN 1418 Räumwerkzeuge; Schafthalter <strong>und</strong> Endstückhalter für Räumwerkzeuge<br />
DIN 1836 Werkzeug-Anwendungsgruppen zum Zerspanen<br />
DIN 4951 Gerade Drehmeißel mit Schneiden aus Hartmetall<br />
DIN 4971 Gerade Drehmeißel mit Schneidplatte aus Hartmetall<br />
DIN ISO 5419 Spiralbohrer, Benennungen, Definitionen <strong>und</strong> Formen<br />
DIN 6580 Begriffe der Zerspantechnik, Bewegungen <strong>und</strong> Geometrie des Zerspanvorgangs<br />
DIN 6581 Begriffe der Zerspantechnik, Bezugssysteme <strong>und</strong> Winkel am Schneidteil des Werkzeugs<br />
DIN 6582 Begriffe der Zerspantechnik, Ergänzende Begriffe am Werkzeug<br />
DIN 6583 Begriffe der Zerspantechnik, Standbegriffe<br />
DIN 6584 Begriffe der Zerspantechnik; Kräfte, Energie, Arbeit, Leistungen<br />
DIN 6588 Fertigungsverfahren Zerteilen<br />
DIN 6589 Fertigungsverfahren Spanen; Teil 0: Allgemeines; Einordnung, Unterteilung, Begriffe<br />
Teil 1: Drehen, Teil 2: Bohren, Teil 3: Fräsen, Teil 4: Hobeln <strong>und</strong> Stoßen, Teil 5: Räumen,<br />
Teil 6: Sägen, Teil 7: Feilen <strong>und</strong> Raspeln, Teil 8: Bürstspanen, Teil 9: Schaben <strong>und</strong> Meißeln,<br />
Teil 11: Schleifen mit rotierendem Werkzeug, Teil 12: Bandschleifen, Teil 13: Hubschleifen,<br />
Teil 14: Honen, Teil 15: Läppen, Teil 17: Gleitspanen<br />
DIN 69120 Gerade Schleifscheiben<br />
1) Nähere Angaben in http://beuth.de<br />
11.1 Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
11.1.1 Bewegungen, Kräfte, Schnittgrößen <strong>und</strong> Spanungsgrößen<br />
Bewegungen, Geschwindigkeiten <strong>und</strong><br />
Kräfte beim Drehen (Außendrehen)<br />
F Zerspankraft (Kräfte in Bezug auf das Werkzeug)<br />
F a Axialkraft<br />
F c Schnittkraft<br />
F f Vorschubkraft<br />
F p Passivkraft<br />
v c Schnittgeschwindigkeit<br />
v f Vorschubgeschwindigkeit<br />
v e Wirkgeschwindigkeit<br />
f Vorschub<br />
a p Schnitttiefe<br />
� r Einstellwinkel<br />
� Vorschubrichtungswinkel (beim Drehen 90°)<br />
� Wirkrichtungswinkel<br />
Schnittgrößen <strong>und</strong> Spanungsgrößen<br />
f Vorschub<br />
a p Schnitttiefe<br />
b Spanungsbreite<br />
h Spanungsdicke<br />
A Spanungsquerschnitt<br />
l s Schnittbogenlänge<br />
m Bogenspandicke<br />
329<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
330<br />
Schnitttiefe a p<br />
Vorschub f<br />
Vorschübe f nach<br />
DIN 803 (Auszug)<br />
Spanungsdicke h<br />
Spanungsbreite b<br />
Spanungsquerschnitt A<br />
Spanungsverhältnis � s<br />
Tiefe des Eingriffs der Hauptschneide.<br />
Berechnung der erforderlichen Schnittiefe a p erf für eine ökonomische<br />
Nutzung der Motorleistung beim R<strong>und</strong>drehen:<br />
a<br />
perf<br />
4<br />
mηg 6⋅10 P<br />
=<br />
fk v<br />
c c<br />
P m Motorleistung<br />
� g Getriebewirkungsgrad<br />
f Längsvorschub der Maschine<br />
k c spezifische Schnittkraft<br />
v c Schnittgeschwindigkeit<br />
a p erf P m f k c v c<br />
mm kW mm<br />
U<br />
N<br />
2<br />
mm<br />
Weg, den das Werkzeug während einer Umdrehung (U) des Werkstücks<br />
in Vorschubrichtung zurücklegt.<br />
Für eine vorgegebene Rautiefe R t gilt bei r � 0,67 f:<br />
ferf = 8rRt<br />
f erf<br />
mm<br />
U<br />
r, R t<br />
mm<br />
r Radius der ger<strong>und</strong>eten Schneidenecke<br />
des Zerspanwerkzeugs<br />
R t vorgegebene Rautiefe<br />
0,01 0,0315 0,1 0,315 1 3,15<br />
0,0112 0,0355 0,112 0,355 1,12 3,55<br />
0,0125 0,04 0,125 0,4 1,25 4<br />
0,014 0,045 0,14 0,45 1,4 4,5<br />
0,016 0,05 0,16 0,5 1,6 5<br />
0,018 0,056 0,18 0,56 1,8 5,6<br />
0,02 0,063 0,2 0,63 2 6,3<br />
0,0224 0,071 0,224 0,71 2,24 7,1<br />
0,025 0,08 0,25 0,8 2,5 8<br />
0,028 0,09 0,28 0,9 2,8 9<br />
Die angegebenen Vorschübe sind ger<strong>und</strong>ete Nennwerte der Gr<strong>und</strong>reihe<br />
R 20 (Normzahlen) in mm/U mit dem Stufensprung � = 1,12.<br />
Für gröbere Vorschubstufungen kann von 1 ausgehend wahlweise<br />
jeder 2., 3., 4. oder 6. Zahlenwert der Gr<strong>und</strong>reihe zu Vorschubreihen<br />
mit den Stufensprüngen � 2 , � 3 , � 4 <strong>und</strong> � 6 zusammengestellt werden.<br />
h= f sin κr<br />
a p<br />
b =<br />
sin κr<br />
A = bh= ap f<br />
b a p<br />
s = =<br />
h 2 f sin κr<br />
ε<br />
m<br />
min
Schnittgeschwindigkeit v c<br />
(Richtwerte in 11.1.2)<br />
erforderliche Drehzahl<br />
n erf des Werkstücks<br />
Maschinendrehzahl n<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
Momentanbewegung des Werkzeugs in Schnittrichtung relativ zum<br />
Werkstück<br />
d n<br />
v c =<br />
1000<br />
π<br />
d Werkstückdurchmesser<br />
n Drehzahl des Werkstücks<br />
v c d n<br />
m<br />
mm<br />
mm min –1<br />
Umrechnung der Richtwerte v c auf abweichende Standzeitvorgaben<br />
bei sonst unveränderten Spanungsbedingungen:<br />
y<br />
⎛T⎞ vc1 = vc⎜ ⎟<br />
⎝T1⎠ v c1, v c T, T 1 y<br />
m<br />
mm<br />
uc1 Schnittgeschwindigkeit, auf T1 umgerechnet<br />
vc empfohlene Schnittgeschwindigkeit nach 11.1.3<br />
T Standzeit, die bei vc erreicht wird<br />
vorgegebene Standzeitforderung (z.B. Tz oder Tk )<br />
T 1<br />
y Standzeitexponent (nach 1.8)<br />
min 1<br />
nerf vc d<br />
1000vc<br />
nerf<br />
=<br />
d π min –1 m<br />
mm<br />
min<br />
v c empfohlene Schnittgeschwindigkeit (nach 11.1.3)<br />
d Werkstückdurchmesser<br />
Bei der Festlegung der Werkstückdrehzahl sind bei Stufengetrieben<br />
die einstellbaren Maschinendrehzahlen zu beachten:<br />
Drehzahlen n (Lastdrehzahlen) nach DIN 804 in min –1<br />
10 31,5 100 315 1000 3150<br />
11,2 35,5 112 355 1120 3550<br />
12,5 40 125 400 1250 4000<br />
14 45 140 450 1400 4500<br />
16 50 160 500 1600 5000<br />
18 56 180 560 1800 5600<br />
20 63 200 630 2000 6300<br />
22,4 71 224 710 2240 7100<br />
25 80 250 800 2500 8000<br />
28 90 280 900 2800 9000<br />
Die angegebenen Drehzahlen sind Lastdrehzahlen (Abtriebsdrehzahlen<br />
bei Nennbelastung des Motors) als ger<strong>und</strong>ete Nennwerte der<br />
Gr<strong>und</strong>reihe R 20 (Normzahlen) mit dem Stufensprung � = 1,12.<br />
Für gröbere Drehzahlstufungen kann wahlweise jeder 2., 3., 4. oder 6.<br />
Zahlenwert der Gr<strong>und</strong>reihe zu Drehzahlreihen mit den Stufensprüngen<br />
� 2 , � 3 , � 4 <strong>und</strong> � 6 zusammengestellt werden.<br />
Aus dem Drehzahlangebot der Maschine wird die Drehzahl gewählt,<br />
die der erforderlichen Drehzahl (n erf) am nächsten liegt.<br />
331<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
wirkliche Schnittgeschwindigkeit<br />
v cw<br />
332<br />
wirkliche Standzeit T w<br />
Vorschub-<br />
geschwindigkeit v f<br />
Wirkgeschwindigkeit v e<br />
Ist eine Mindeststandzeit gefordert, so wird die nächstkleinere<br />
Maschinendrehzahl gewählt (Maschinendiagramm).<br />
Maschinendiagramm<br />
mit einfach geteilten<br />
Koordinatenachsen<br />
d n<br />
v cw =<br />
3 10<br />
π<br />
d Werkstückdurchmesser<br />
n gewählte Maschinendrehzahl<br />
Maschinendiagramm<br />
mit logarithmisch geteilten<br />
Koordinatenachsen<br />
v cw d n<br />
m<br />
min<br />
mm min –1<br />
1<br />
Tw, T vc, vcw y<br />
⎛ v ⎞y<br />
c<br />
Tw= T⎜ ⎟<br />
m<br />
⎝vcw ⎠ min<br />
1<br />
min<br />
v c , T vorgegebenes zusammengehörendes Wertepaar (nach 11.1.3)<br />
v cw<br />
wirkliche Schnittgeschwindigkeit<br />
y Standzeitexponent (nach 11.1.7)<br />
Momentangeschwindigkeit des Werkzeugs in Vorschubrichtung:<br />
vf = f n mm<br />
min<br />
f Vorschub in mm / U<br />
n Drehzahl des Werkstücks<br />
v f f n<br />
mm<br />
U<br />
min –1<br />
Momentangeschwindigkeit des betrachteten Schneidenpunkts<br />
(Bezugspunkt) in Wirkrichtung relativ zum Werkstück:<br />
2 2<br />
ve = vc + vf bei ϕ = 90<br />
vc vf<br />
ve<br />
= =<br />
cos η sinη<br />
v f � v c ⇒ v e � v c<br />
o
11.1.2 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc beim Drehen<br />
Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle, AWF 158 <strong>und</strong> allgemeinen Hinweisen aus<br />
dem Schrifttum abgeleitet worden.<br />
1) 2)<br />
c r<br />
κ<br />
Schnittgeschwindigkeit in in m/min bei Vorschub in mm/U <strong>und</strong> Einstellwinkel<br />
v f<br />
Schneidstoff 3)<br />
Werkstoff<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
1) Die eingetragenen Werte gelten für Schnitttiefe ap bis 2,24 mm. Über 2,24 bis 7,1 mm sind die Werte um 1 Stufe der Reihe R10 um angenähert 20 % <strong>und</strong> über 7,1<br />
bis 22,4 mm um 1 Stufe der Reihe R5 angenähert 40 % zu kürzen.<br />
2) Die Werte vc müssen beim Abdrehen einer Kruste, Gusshaut oder bei Sandeinschlüssen um 30 ... 50 % verringert werden.<br />
3) Die Standzeit T beträgt für gelötete Drehmeißel (L) aus HM = 240 mm; aus HSS = 60 min; für Wendeschneidplatten (W) aus HM <strong>und</strong> Keramik =15 min.<br />
333<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
334<br />
11.1.3 Werkzeugwinkel<br />
Werkzeug-Bezugssystem<br />
<strong>und</strong> Werkzeugwinkel am<br />
Drehwerkzeug (gerader,<br />
rechter Drehmeißel)<br />
� o Orthogonalfreiwinkel<br />
� o Orthogonalkeilwinkel<br />
� o Orthogonalspanwinkel<br />
� � o + � o + � o = 90º<br />
� r Einstellwinkel<br />
� r Eckenwinkel<br />
� s Neigungswinkel<br />
Werkzeug-Bezugsebene P r<br />
Werkzeug-Schneiden-<br />
ebene P s<br />
Werkzeug-Orthogonalebene<br />
P o<br />
Ebene durch den betrachteten Schneidenpunkt,<br />
rechtwinklig zur Richtung<br />
der Schnittbewegung <strong>und</strong> parallel zur<br />
Auflagefläche des Drehwerkzeugs.<br />
Ebene rechtwinklig zur Werkzeug-<br />
Bezugsebene. Sie enthält die (gerade)<br />
Hauptschneide.<br />
Ebene durch den betrachteten<br />
Schneidenpunkt, rechtwinklig zur<br />
Werkzeug-Bezugsebene <strong>und</strong><br />
rechtwinklig zur Werkzeug-<br />
Schneidenebene. In dieser Ebene<br />
werden die Winkel am Schneidkeil<br />
gemessen.
Arbeitsebene P f<br />
Orthogonalfreiwinkel � o<br />
Orthogonalkeilwinkel � o<br />
Orthogonalspanwinkel � o<br />
Einstellwinkel � r<br />
Eckenwinkel � r<br />
Neigungswinkel � s<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
Ebene durch den betrachteten Schneidenpunkt,<br />
rechtwinklig zur Werkzeug-<br />
Bezugsebene.<br />
Sie enthält die Richtungen von Vorschub-<br />
<strong>und</strong> Schnittbewegung.<br />
Winkel zwischen Freifläche <strong>und</strong> Werkzeug-Schneidenebene, gemessen<br />
in der Werkzeug-Orthogonalebene.<br />
Empfohlene Freiwinkel liegen im Bereich von 5° ... 12°.<br />
Winkel zwischen Freifläche <strong>und</strong> Spanfläche, gemessen in der Werkzeug-Orthogonalebene.<br />
Er soll mit Rücksicht auf das Standverhalten des Werkzeugs<br />
möglichst groß sein.<br />
� o = 90° – � o – � o<br />
Winkel zwischen Spanfläche <strong>und</strong> Werkzeug-Bezugsebene, gemessen<br />
in der Werkzeug-Orthogonalebene.<br />
Empfohlene Spanwinkel liegen im Bereich von 0° ... 20°.<br />
Bei höherer Belastung <strong>und</strong> größerem Wärmeaufkommen –<br />
(Beispiel: Schruppzerspanung) werden auch negative Spanwinkel (bis<br />
etwa – 20°) angewendet. Der Schneidkeil ist dann mechanisch <strong>und</strong><br />
thermisch höher belastbar <strong>und</strong> die Schneidkeilschwächung bei Kolkverschleiß<br />
geringer.<br />
Winkel zwischen Arbeitsebene <strong>und</strong> Werkzeug-Schneidenebene,<br />
gemessen in der Werkzeug-Bezugsebene.<br />
Empfohlene Einstellwinkel liegen im Bereich von 45° ... 90°.<br />
Winkel zwischen den Werkzeug-Schneidenebenen zusammengehörender<br />
Haupt- <strong>und</strong> Nebenschneiden, gemessen in der Werkzeug-<br />
Bezugsebene.<br />
Empfohlener Eckenwinkel für Vorschübe bis 1 mm/U: � r = 90°<br />
(bei größeren Vorschüben ist � r größer).<br />
Winkel zwischen Hauptschneide <strong>und</strong> Werkzeug-Bezugsebene, gemessen<br />
in der Werkzeug-Schneidenebene.<br />
Empfohlene Neigungswinkel von 5° ... 20° (positiv oder negativ).<br />
335<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
336<br />
11.1.4 Zerspankräfte<br />
Schnittkraft F c<br />
(nach Kienzle)<br />
spezifische Schnittkraft k c<br />
spezifische Schnittkraft k c<br />
(rechnerisch)<br />
Hauptwert der spezifischen<br />
Schnittkraft k c1·1 <strong>und</strong><br />
Spanungsdickenexponent z<br />
Schnittgeschwindigkeits-<br />
Korrekturfaktor Kv für<br />
�<br />
� � � ��������<br />
���<br />
Spanwinkel-<br />
Korrekturfaktor K �<br />
F c = a p fk c<br />
a p Schnitttiefe<br />
f Vorschub<br />
k c spezifische Schnittkraft<br />
Richtwerte aus 11.1.5<br />
k<br />
k K K K K K K<br />
h<br />
c11 ⋅<br />
c =<br />
z v γ ws wv ks f<br />
h Spanungsdicke nach 11.1.1<br />
z Spanungsdickenexponent<br />
K Korrekturfaktoren<br />
F c a p f k c<br />
N mm<br />
mm<br />
U<br />
N<br />
2<br />
mm<br />
k c, k c1·1 h z K<br />
N<br />
2<br />
mm<br />
mm 1 1<br />
k c1·1 ist die spezifische Schnittkraft für 1 mm 2 Spanungsquerschnitt<br />
(1 mm Spanungsdicke mal 1 mm Spanungsbreite)<br />
Richtwerte für k c1·1 in N/mm 2 <strong>und</strong> Spanungsdickenexponent z<br />
Werkstoff k c1·1 z<br />
S 2335 JR<br />
E295<br />
E335<br />
E360<br />
C15<br />
C35<br />
C45<br />
C60<br />
16 Mn Cr 5<br />
25 Cr Mo 4<br />
GE 240<br />
EN-GJL-200<br />
Messing<br />
Gussbronze<br />
v 0,153<br />
vc<br />
1780<br />
1990<br />
2110<br />
2260<br />
1820<br />
1860<br />
2220<br />
2130<br />
2100<br />
2070<br />
1600<br />
1020<br />
780<br />
1780<br />
0,17<br />
0,26<br />
0,17<br />
0,30<br />
0,22<br />
0,20<br />
0,14<br />
0,18<br />
0,26<br />
0,25<br />
0,17<br />
0,25<br />
0,18<br />
0,17<br />
2,023<br />
m<br />
K = für v c < 100<br />
min<br />
K<br />
1,380<br />
v = für<br />
0,07 c<br />
vc<br />
1<br />
K v = für c<br />
m<br />
v > 100<br />
min<br />
m<br />
v = 100<br />
min<br />
K � = 1,09 – 0,015 � 0°<br />
für langspanende Werkstoffe<br />
(z.B. Stahl)<br />
K � = 1,03 – 0,015 � 0°<br />
für kurzspanende Werkstoffe<br />
(z.B. Gusseisen)<br />
<strong>Tabellen</strong>werte gelten für<br />
h = 0,05 ... 2,5 mm<br />
� s � 4
Schneidstoff-<br />
Korrekturfaktor K ws<br />
Werkzeugverschleiß-<br />
Korrekturfaktor K wv<br />
Kühlschmierungs-<br />
Korrekturfaktor K ks<br />
Werkstückform-<br />
Korrekturfaktor K f<br />
Vorschubkraft F f<br />
Aktivkraft F a<br />
Passivkraft F p<br />
Drangkraft F d<br />
Zerspankraft F<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
K ws = 1,05 für Schnellarbeitsstahl<br />
K ws = 1 für Hartmetall<br />
K ws = 0,9 ... 0,95 für Schneidkeramik<br />
K wv = 1,3 ... 1,5<br />
für Drehen, Hobeln <strong>und</strong> Räumen<br />
K wv = 1,25 ... 1,4<br />
für Bohren <strong>und</strong> Fräsen<br />
K wv = 1 bei scharfer Schneide<br />
K ks = 1 für trockene Zerspanung<br />
K ks = 0,85 für nicht wassermischbare Kühlschmierstoffe<br />
K ks = 0,9 für Kühlschmier-Emulsionen<br />
K f = 1 für konvexe Bearbeitungsflächen<br />
(Beispiel: Außendrehen)<br />
K f =1,1 für ebene Bearbeitungsflächen<br />
(Beispiel: Hobeln, Räumen)<br />
K f = 1,2 für konkave Bearbeitungsflächen<br />
(Beispiel: Innendrehen, Bohren, Fräsen)<br />
Komponente der Zerspankraft F in Vorschubrichtung.<br />
Resultierende aus Schnittkraft F c <strong>und</strong> Vorschubkraft F f:<br />
2 2<br />
a = c + f<br />
F F F<br />
Komponente der Zerspankraft F rechtwinklig zur Arbeitsebene.<br />
Sie verformt während der Zerspanung das Werkstück in seiner Einspannung<br />
<strong>und</strong> verursacht dadurch Formfehler.<br />
Resultierende aus Vorschubkraft F f <strong>und</strong> Passivkraft F p:<br />
2 2<br />
Fd = Ff+ Fp<br />
Resultierende aus Schnittkraft F c, Vorschubkraft F f <strong>und</strong> Passivkraft F p:<br />
2 2 2<br />
F = Fc + Ff+ Fp<br />
337<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
11.1.5 Richtwerte für die spezifische Schnittkraft k c beim Drehen<br />
338<br />
Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle, AWF 158 <strong>und</strong> allgemeinen Hinweisen aus<br />
dem Schrifttum abgeleitet worden.<br />
c r<br />
2 κ<br />
Schnittgeschwindigkeit k in N/mm bei Vorschub fin<br />
mm/U <strong>und</strong> Einstellwinkel<br />
Werkstoff
11.1.6 Leistungsbedarf<br />
Leistungsflussbild einer<br />
Drehmaschine<br />
P c Schnittleistung<br />
P f Vorschubleistung<br />
P e Wirkleistung<br />
(Zerspanleistung)<br />
P m Motorleistung<br />
P el elektrische Motorleistung<br />
P vm Verlustleistung im<br />
Motor<br />
P vg Verlustleistung im<br />
Getriebe<br />
P v Verlustleistung im<br />
Antrieb<br />
Schnittleistung P c<br />
Vorschubleistung P f<br />
Motorleistung P m<br />
Zeitspanungsvolumen Q<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
Pc Fc ap f kc vc Fv a<br />
c c pf kcvc P c = =<br />
6⋅104 6⋅104 kW N mm mm N m<br />
2<br />
U mm min<br />
F f v f P f<br />
Fv f f<br />
P f =<br />
4 mm<br />
6⋅10 N<br />
min W<br />
F c Schnittkraft (11.1.4)<br />
v c Schnittgeschwindigkeit (11.1.1)<br />
F f Vorschubkraft<br />
v f Vorschubgeschwindigkeit (11.1.1)<br />
Bei der Berechnung des Leistungsbedarfs ist die Vorschubleistung P f<br />
wegen der geringen Vorschubgeschwindigkeit v f vernachlässigbar.<br />
Pc<br />
Pm<br />
=<br />
ηg<br />
Pc �g Schnittleistung<br />
Getriebewirkungsgrad � g = 0,7 ...0,85<br />
P m, P c<br />
� g<br />
kW 1<br />
Abzuspanendes Werkstoffvolumen (Spanungsvolumen V) je Zeiteinheit<br />
Q = A⋅ v = a ⋅f ⋅v<br />
c p c<br />
4<br />
6⋅10 ⋅Pc<br />
Q =<br />
k<br />
c<br />
A Spanungsquerschnitt<br />
a p Schnitttiefe<br />
f Vorschub<br />
v c Schnittgeschwindigkeit<br />
P c Schnittleistung<br />
k c spezifische Schnittkraft<br />
Q A a p f v c P c k c<br />
3<br />
cm<br />
min mm2 mm mm<br />
U<br />
m<br />
min<br />
N<br />
kW<br />
mm<br />
2<br />
339<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
340<br />
11.1.7 Standverhalten<br />
Standgleichung<br />
Richtwerte für<br />
Außendrehen<br />
Für spanende Fertigung durch Außendrehen gilt bei bestimmtem<br />
Werkstoff <strong>und</strong> Schneidstoff:<br />
κ<br />
vc T f ap � r K, y, p, q<br />
− y p q p q<br />
vcT f ap (sin r)<br />
≈ K m<br />
min<br />
min<br />
mm<br />
U<br />
mm ° 1<br />
vc Schnittgeschwindigkeit<br />
T Standzeit<br />
K Konstante<br />
f Vorschub<br />
y Standzeitexponent<br />
ap Schnitttiefe<br />
p Spanungsdickenexponent<br />
�r Einstellwinkel<br />
q Spanungsbreitenexponent<br />
Richtwerte nach H. Hennermann, Werkstattblatt 576,<br />
Carl Hanser Verlag<br />
Werkstoff Schneidstoff<br />
f<br />
mm/U<br />
K y p q<br />
S 235 JR P 10 0,1 ... 0,6 615 0,25 0,25 0,1<br />
S 275 JR<br />
C 15 M 20 0,1 ... 1,0 590 0,3 0,16 0,09<br />
E 295 P 10 0,1 ... 0,6 480 0,3 0,3 0,1<br />
C 35 M 30 0,1 ... 1,2 410 0,3 0,2 0,08<br />
E 335 P 10 0,1 ... 0,6 380 0,22 0,25 0,1<br />
C 45 M 30 0,1 ... 1,2 380 0,3 0,19 0,08<br />
E 360 P 10 0,1 ... 0,6 330 0,25 0,25 0,1<br />
C 60 M 30 0,1 ... 1,2 330 0,31 0,2 0,08<br />
16 Mn Cr 5 P 10 0,1 ... 0,6 300 0,3 0,25 0,1<br />
25 Cr Mo 4 P 30 0,3 ... 1,5 180 0,27 0,3 0,1<br />
GS 20 M 30 0,1 ... 1,2 400 0,3 0,2 0,1<br />
GE 240 P 10 0,1 ... 0,6 240 0,3 0,3 0,1<br />
EN-GJL-200 M 20 0,3 ... 0,6 245 0,5 0,18 0,11<br />
Messing K 20 0,1 ... 0,6 5000 0,59 0,18 0,1<br />
Gussbronze K 20 0,1 ... 0,6 1800 0,41 0,25 0,1<br />
Die <strong>Tabellen</strong>werte beziehen sich auf eine zulässige Verschleißmarkenbreite<br />
VB zul = 0,8 mm <strong>und</strong> gelten für folgende Werkzeugwinkel:<br />
� 0 � 0 � s<br />
Stahl, Stahlguss 5° ... 8° 12° – 4°<br />
Gusseisen 5° ... 8° 0° ... 6° 0°<br />
Messing, Bronze 8° 8º ... 12° 0°<br />
Wird eine von VB = 0,8 mm abweichende maximal zulässige Verschleißmarkenbreite<br />
VB' (� 0,8 mm) vorgegeben, so wird für T die<br />
Größe T' in die Rechnung eingesetzt:<br />
0,8<br />
T, T' VB'<br />
T' = T<br />
VB' min mm
Berechnung der<br />
Standzeit T<br />
Berechnung der<br />
Standgeschwindigkeit v cT<br />
11.1.8 Hauptnutzungszeit<br />
Hauptnutzungszeit t h<br />
beim R<strong>und</strong>drehen<br />
Hauptnutzungszeit t h beim<br />
Plandrehen, n konstant<br />
T ≈<br />
v<br />
y<br />
≈<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
K<br />
p q p q<br />
c p (sin r)<br />
v f a κ −<br />
K<br />
cT y p q<br />
T f a p q<br />
p (sin κr) −<br />
L + + +<br />
t h = =<br />
v f n<br />
f<br />
lw la lü ls<br />
L Werkzeugweg in<br />
Vorschubrichtung<br />
v f Vorschubgeschwindigkeit<br />
(Längsvorschub)<br />
l w Drehlänge am<br />
Werkstück<br />
l a Anlaufweg, Richtwert:<br />
1... 2 mm<br />
l ü Überlaufweg, Richtwert:<br />
1 ... 2 mm<br />
l s Schneidenzugabe<br />
(werkzeugabhängig)<br />
ls<br />
t<br />
ap ap<br />
Schnitttiefe<br />
=<br />
tan κ κ Einstellwinkel<br />
r r<br />
+ +<br />
+ + +<br />
L w a s<br />
h = =<br />
vff n<br />
l l l L lw la lü ls<br />
t h = =<br />
vff n<br />
Stirnfläche des Werkstücks ist<br />
ein Vollkreis<br />
Stirnfläche des Werkstücks ist<br />
ein Kreisring<br />
L Werkzeugweg in Vorschubrichtung d Werkstückdurchmesser<br />
vf lw Vorschubgeschwindigkeit (Planvorschub) da − di<br />
Drehlänge am Werkstück<br />
lw = für Kreisringfläche<br />
2<br />
d<br />
lw = für Vollkreisfläche<br />
2<br />
da di Außendurchmesser<br />
Innendurchmesser<br />
341<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
Hauptnutzungszeit t h beim<br />
Plandrehen, v c = konstant<br />
342<br />
l a Anlaufweg, Richtwert: 1 ... 2 mm<br />
l ü Überlaufweg, Richtwert: 1 ... 2 mm<br />
l s Schneidenzugabe (werkzeugabhängig)<br />
ap<br />
a p Schnitttiefe<br />
ls<br />
=<br />
tan κr κr<br />
Einstellwinkel<br />
Die Werkstückdrehzahl wird bei Stufengetrieben nach Berechnung<br />
der erforderlichen Drehzahl n erf aus der Drehzahlreihe der Maschine<br />
gewählt:<br />
vc<br />
naerf<br />
=<br />
da<br />
π<br />
vc<br />
nmerf<br />
=<br />
dm<br />
π<br />
bei kleinerem Drehdurchmesserbereich<br />
bei größerem Drehdurchmesserbereich<br />
Schnittgeschwindigkeit<br />
Außendurchmesser des Werkstücks<br />
vc da dm mittlerer Werkstückdurchmesser<br />
d<br />
m<br />
da + di<br />
= für Kreisringfläche<br />
2<br />
d<br />
d m = für Vollkreisfläche<br />
2<br />
Da der stufenlose Antrieb immer nur einen durch endliche Drehzahlwerte<br />
begrenzten Abtriebsdrehzahlbereich (n min ... n max) erzeugen<br />
kann, ist der mit v c = konstant überarbeitbare Durchmesserbereich<br />
ebenfalls begrenzt. Eine Plandrehbearbeitung mit v c = konstant ist<br />
daher nur möglich, wenn die Durchmesser der Bearbeitungsfläche<br />
(Drehdurchmesser D a <strong>und</strong> D i) innerhalb des Grenzdurchmesserbereichs<br />
d min ... d max liegen.<br />
Grenzdurchmesser:<br />
v v<br />
dmin = dmax<br />
=<br />
πn πn<br />
dmin dmax nmax nmin c c<br />
max min<br />
kleinstmöglicher Drehdurchmesser für vc = konstant<br />
größtmöglicher Drehdurchmesser für vc = konstant<br />
(größte Umlaufdurchmesser der Maschine beachten)<br />
größte Abtriebsdrehzahl des Antriebs<br />
kleinste Abtriebsdrehzahl des Antriebs
Plandrehen einer Kreisringfläche<br />
(bei D i � d min <strong>und</strong> D a � d max)<br />
Zerspanung von D a bis D i mit<br />
v c = konstant.<br />
t<br />
h<br />
2 2<br />
a − i<br />
( D D ) π<br />
=<br />
4fv<br />
Da Da = da + 2 (la + ls )<br />
d a<br />
c<br />
größter Drehdurchmesser:<br />
Außendurchmesser des<br />
Werkstücks<br />
la Anlaufweg<br />
(Richtwert: 1 ... 2 mm)<br />
ls Schneidenzugabe<br />
(werkzeugabhängig)<br />
a p a p Schnitttiefe<br />
ls<br />
=<br />
tan κr κr<br />
Einstellwinkel<br />
D i<br />
kleinster Drehdurchmesser:<br />
D i = d i – 2 l ü<br />
d i<br />
l ü<br />
Innendurchmesser des<br />
Werkstücks<br />
Überlaufweg<br />
(Richtwert: 1 ... 2 mm)<br />
Plandrehen einer Kreisringfläche<br />
(bei D i � d min <strong>und</strong> D a � d max)<br />
Zerspanung von D a bis d min<br />
mit v c = konstant <strong>und</strong><br />
von d min bis D i mit<br />
n max = konstant.<br />
2 2<br />
( Da + dmin −2<br />
dminDi) π<br />
t h =<br />
4fvc<br />
dmin Grenzdurchmesser, kleinstmöglicher<br />
Drehdurchmesser<br />
für vc = konstant<br />
Plandrehen einer Vollkreisfläche<br />
(bei D i = 0 (� d min) <strong>und</strong><br />
D a � d max)<br />
Zerspanung von D a<br />
bis d min mit v c = konstant<br />
<strong>und</strong> von d min bis D i = 0 mit<br />
n max = konstant.<br />
t<br />
h<br />
2 2<br />
a + min<br />
( D d ) π<br />
=<br />
4fv<br />
c<br />
d min Grenzdurchmesser, kleinstmöglicher<br />
Drehdurchmesser<br />
für v c = konstant<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
343<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Drehen <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>begriffe der Zerspantechnik<br />
Hauptnutzungszeit t h<br />
beim Abstechdrehen<br />
Rohteilstange als Voll-<br />
material<br />
L lw t h = =<br />
vf la f n<br />
ls<br />
lw Drehlänge am Werkstück<br />
344<br />
+ +<br />
d<br />
lw = d Stangendurchmesser<br />
2<br />
la Anlaufweg (Richtwert: 1 mm)<br />
ls Schneidenzugabe:<br />
ls = 0,2 · b für � = 11°<br />
b Einstechbreite:<br />
b � 0,05 · d + 1,7<br />
(b <strong>und</strong> d in mm)<br />
Abstimmung auf marktgängige<br />
Werkzeugbreiten<br />
Rohteilstange als Rohr-<br />
material<br />
+ + +<br />
L lw th<br />
= =<br />
vf la lü f n<br />
ls<br />
lw Drehlänge am Werkstück<br />
d − d<br />
l = a i<br />
w<br />
2<br />
da Außendurchmesser<br />
di Innendurchmesser<br />
Anlaufweg (Richtwert: 1 mm)<br />
l a<br />
l ü<br />
l s<br />
Überlaufweg (Richtwert: 1 mm)<br />
Schneidenzugabe<br />
Berechnung von b:<br />
d = d a einsetzen<br />
Richtwerte für Vorschub f des Stechwerkzeugs<br />
Werkstoff Schneidstoff f in mm<br />
U<br />
Stahl unlegiert bis 200 HB P 40 0,05 ... 0,25<br />
bis 250 HB P 40 0,05 ... 0,2<br />
Stahl legiert bis 325 HB P 40 0,05 ... 0,2<br />
über 325 HB P 40 0,05 ... 0,16<br />
Gusseisen bis 300 HB K 10 0,1 ... 0,3<br />
Messing unbegrenzt K 10 0,05 ... 0,4<br />
Bronze unbegrenzt K 10 0,05 ... 0,25
11.2 Fräsen<br />
11.2.1 Schnittgrößen <strong>und</strong><br />
Spanungsgrößen<br />
Schnittgrößen <strong>und</strong> Spanungsgrößen<br />
beim Fräsen<br />
(Umfangsfräsen im Gegenlaufverfahren)<br />
a p Schnitttiefe oder Schnittbreite<br />
a e Arbeitseingriff<br />
f Vorschub<br />
fz Vorschub pro Schneide<br />
Schnittvorschub<br />
f c<br />
Schnitttiefe oder<br />
Schnittbreite a p<br />
Arbeitseingriff a e<br />
Vorschub f<br />
Zerspantechnik<br />
Fräsen<br />
Richtwerte für Schnittgeschwindigkeit v c beim Abstechdrehen<br />
Werkstoff Schneidstoff v c in m<br />
min<br />
Stahl unlegiert bis 200 HB P 40 75 ... 110<br />
bis 250 HB P 40 70 ... 90<br />
Stahl legiert bis 250 HB P 40 70 ... 90<br />
bis 325 HB P 40 55 ... 80<br />
über 325 HB P 40 45 ... 60<br />
Gusseisen bis 200 HB K 10 70 ... 95<br />
bis 300 HB K 10 45 ... 65<br />
Messing unbegrenzt K 10 bis 250<br />
Bronze unbegrenzt K 10 bis 130<br />
Tiefe (Stirnfräsen) oder Breite (Umfangsfräsen) des Eingriffs der<br />
Hauptschneide am Fräserumfang, gemessen rechtwinklig zur Arbeitsebene<br />
Breite (Stirnfräsen) oder Tiefe (Umfangsfräsen) des Eingriffs der<br />
Hauptschneide an der Fräserstirn, gemessen in der Arbeitsebene <strong>und</strong><br />
rechtwinklig zur Vorschubrichtung.<br />
Weg, den das Werkstück während einer Umdrehung (U) in Vorschubrichtung<br />
zurücklegt:<br />
f = zfz z Anzahl der Werkzeugschneiden am Fräswerkzeug<br />
fz Vorschub je Schneide<br />
f<br />
mm<br />
U<br />
fz z<br />
mm 1<br />
Richtwerte für z für Fräswerkzeuge aus Schnellarbeitsstahl<br />
Werkzeug<br />
50 60<br />
Fräserdurchmesser in mm<br />
75 90 110 130 150 200 300<br />
Walzenfräser 6 6 6 8 8 10 10<br />
Walzenstirnfräser 8 8 10 12 12 14 16<br />
Scheibenfräser 8 8 10 12 12 14 16 18<br />
Messerkopf 8 10 10 12 16<br />
345<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Fräsen<br />
346<br />
Vorschub f z je Schneide<br />
Schnittvorschub f c<br />
Spanungsbreite b<br />
Spanungsquerschnitt A<br />
Vorschub je Fräserzahn (Zahnvorschub)<br />
f<br />
fz<br />
=<br />
z<br />
Richtwerte für Zahnvorschub f z<br />
Werkzeug<br />
Walzenfräser,<br />
Walzenstirnfräser<br />
(Schnellarbeitsstahl)<br />
Formfräser, hinterdreht<br />
(Schnellarbeitsstahl)<br />
Messerkopf<br />
(Schnellarbeitsstahl)<br />
Messerkopf<br />
(Hartmetall)<br />
f z<br />
v c<br />
f z<br />
v c<br />
fz vc fz vc f Vorschub des Werkzeugs in mm/U<br />
z Anzahl der Werkzeugschneiden<br />
Werkstoff<br />
Stahl Gusseisen AI-Legierung<br />
ausgehärtet<br />
0,10 ... 0,25<br />
10 ... 25<br />
0,03 ... 0,04<br />
15 ... 24<br />
0,3<br />
15 ... 30<br />
0,2<br />
100 ... 200<br />
0,10 ... 0,25<br />
10 ... 22<br />
0,02 ... 0,01<br />
10 ... 20<br />
0,10 ... 0,30<br />
12 ... 25<br />
0,30 ... 0,40<br />
30 ... 100<br />
0,05 ... 0,08<br />
150 ... 350<br />
0,02<br />
150 ... 250<br />
0,1<br />
200 ... 300<br />
0,06<br />
300 ... 400<br />
fz Vorschub je Schneide (Zahnvorschub) in mm/Schneidzahn<br />
vc Schnittgeschwindigkeit in m/min für Gegenlaufverfahren<br />
Für das Gleichlaufverfahren können die angegebenen Richtwerte um<br />
75 % erhöht werden.<br />
Größere Richtwerte für v c gelten jeweils für Schlichtzerspanung.<br />
Kleinere Richtwerte für v c gelten jeweils für Schruppzerspanung.<br />
Richtwerte gelten für Arbeitseingriffe a e (Umfangsfräsen) oder Schnitttiefen<br />
a p (Stirnfräsen):<br />
3 mm bei Walzenfräsern<br />
5 mm bei Walzenstirnfräsern<br />
bis 8 mm bei Messerköpfen<br />
Abstand zweier unmittelbar nacheinander entstehender Schnittflächen,<br />
gemessen in der Arbeitsebene rechtwinklig zur Schnittrichtung:<br />
f c � f z sin �<br />
f z Vorschub je Schneide<br />
� Vorschubrichtungswinkel (veränderlich)<br />
genauer:<br />
2<br />
z cos<br />
f<br />
fc = fzsinϕ<br />
+<br />
d<br />
ϕ<br />
d Fräserdurchmesser<br />
Umfangsfräsen: b= ap<br />
Stirnfräsen:<br />
A = bh =<br />
fcap ap<br />
b =<br />
sin κr
Spanungsdicke h<br />
(nicht gleich bleibend)<br />
Spanungsverhältnis � s<br />
11.2.2 Geschwindigkeiten<br />
Umfangsfräsen<br />
(Seitenansicht)<br />
Stirnfräsen (Draufsicht)<br />
v c Schnittgeschwindigkeit<br />
v f Vorschubgeschwindigkeit<br />
v e Wirkgeschwindigkeit<br />
� Wirkrichtungswinkel<br />
� Vorschubrichtungswinkel<br />
Schnittgeschwindigkeit v c<br />
(Richtwerte in 11.2.1)<br />
Umfangsfräsen: h = f c<br />
Stirnfräsen: h = f c sin � r<br />
Mittenspanungsdicke siehe 11.2.4<br />
Umfangsfräsen<br />
(Seitenansicht)<br />
b<br />
a<br />
p<br />
s = =<br />
h f 2<br />
csin κr<br />
ε<br />
d n<br />
v c =<br />
1000<br />
π<br />
Stirnfräsen<br />
(Draufsicht)<br />
Zerspantechnik<br />
Fräsen<br />
v c d n<br />
m<br />
min<br />
mm min –1<br />
347<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Fräsen<br />
erforderliche<br />
Werkzeugdrehzahl n erf<br />
348<br />
Vorschubgeschwindigkeit v f<br />
Wirkgeschwindigkeit v e<br />
11.2.3 Werkzeugwinkel<br />
n erf v c d<br />
1000vc<br />
nerf<br />
=<br />
d π min –1 m<br />
min mm<br />
vc empfohlene Schnittgeschwindigkeit<br />
d Werkzeugdurchmesser (Fräserdurchmesser)<br />
Momentangeschwindigkeit des Werkstücks in Vorschubrichtung:<br />
vf f n fz z<br />
vf = f n = fzzn mm<br />
min<br />
mm<br />
U<br />
min –1 mm 1<br />
f Vorschub in mm/U<br />
z Anzahl der Werkzeugschneiden<br />
fz Vorschub je Schneide<br />
(Zahnvorschub)<br />
n Werkzeugdrehzahl (Fräserdrehzahl)<br />
Momentangeschwindigkeit des betrachteten Schneidenpunkts in<br />
Wirkrichtung.<br />
Die Wirkgeschwindigkeit ist die Resultierende aus Schnittgeschwindigkeit<br />
v c <strong>und</strong> Vorschubgeschwindigkeit v f:<br />
v ϕ v + v ϕ<br />
v v v v v<br />
ϕ−η ϕ−η csin f ccos<br />
e = = f ≤ c ⇒ e ≈ c<br />
sin( ) cos( )<br />
Werkzeugwinkel am Messerkopf � o Orthogonalfreiwinkel<br />
� o Orthogonalkeilwinkel<br />
� o Orthogonalspanwinkel<br />
� � o � � o � � o = 90°<br />
�r Einstellwinkel<br />
� r Eckenwinkel<br />
� s Neigungswinkel<br />
Werkzeugwinkel am drallverzahnten<br />
zylindrischen Walzenfräser
Orthogonalfreiwinkel � o<br />
(siehe auch 11.1.3)<br />
Orthogonalkeilwinkel � o<br />
(siehe 11.1.3)<br />
Orthogonalspanwinkel � o<br />
(siehe auch 11.1.3)<br />
Einstellwinkel � r<br />
(siehe auch 11.1.3)<br />
Eckenwinkel � r<br />
(siehe auch 11.1.3)<br />
Neigungswinkel � s<br />
(siehe auch 11.1.3)<br />
Richtwertel:<br />
Walzenfräser � o = 5° ... 8°<br />
(Schnellarbeitsstahl)<br />
Messerkopf � o = 3° ...8°<br />
(Hartmetall)<br />
Zerspantechnik<br />
Fräsen<br />
Richtwerte gelten für Gegenlaufverfahren<br />
(für Gleichlaufverfahren gelten etwa doppelt so große Richtwerte).<br />
Richtwerte:<br />
Walzenfräser � o = 10° ... 15°<br />
(Schnellarbeitsstahl)<br />
Formfräser, hinterdreht � o = 0° ... 5°<br />
(Schnellarbeitsstahl)<br />
Messerkopf � o = 6° ... 15°<br />
(Hartmetall)<br />
Richtwerte gelten für Gegenlaufverfahren<br />
(für Gleichlaufverfahren gelten etwa doppelt so große Richtwerte).<br />
Bei zylindrischen Walzenfräsern ist � r = 90°<br />
Richtwert für normale Messerköpfe � r = 60°<br />
Weitwinkelfräsen bei günstigstem Standverhalten des<br />
Messerkopfs nach M. Kronenberg mit � r � 20°<br />
Bei zylindrischen Walzenfräsern ist � r = 90º<br />
Richtwerte für Werkzeuge aus Schnellarbeitsstahl:<br />
drallverzahnte Walzenfräser � s = 35° ... 40°<br />
geradverzahnte Walzenfräser � s = 0°<br />
Scheibenfräser � s = 45°<br />
Messerkopf � s = 7° ... 9°<br />
Der Neigungswinkel ist bei drallverzahnten Fräsern der Drallwinkel.<br />
� s negativ: Fräser hat Linksdrall<br />
� s positiv: Fräser hat Rechtsdrall<br />
349<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Fräsen<br />
350<br />
11.2.4 Zerspankräfte<br />
Zerspankräfte beim Umfangsfräsen mit drallverzahntem<br />
Walzenfräser im Gegenlaufverfahren<br />
(Kräfte bezogen auf das Werkzeug)<br />
Schnittkraft F czm<br />
beim Umfangsfräsen<br />
(Mittelwert)<br />
F czm = a p h m k c<br />
F czm a p, h m k c<br />
N<br />
N mm 2<br />
mm<br />
a p Schnittbreite<br />
h m Mittenspanungsdicke:<br />
o<br />
360 ae<br />
m = ⋅<br />
o z<br />
h f<br />
π∆ϕ<br />
d<br />
Zerspankräfte beim Stirnfräsen mit<br />
Messerkopf<br />
(Kräfte bezogen auf das Werkzeug)<br />
Fcz Schnittkraft an der Einzelschneide<br />
(leistungsführend)<br />
Ffz Vorschubkraft an der Einzelschneide<br />
(leistungsführend)<br />
Faz Aktivkraft an der Einzelschneide<br />
FcNz Schnitt-Normalkraft an der Einzelschneide<br />
FfNz Vorschub-Normalkraft an der Einzelschneide<br />
Fpz Passivkraft an der Einzelschneide<br />
Zerspankraft an der Einzelschneide<br />
F z<br />
�� Eingriffswinkel:<br />
2ae<br />
cos �� = 1−<br />
d<br />
ae Arbeitseingriff<br />
d Fräserdurchmesser<br />
fz Vorschub je Schneide<br />
(Zahnvorschub)<br />
kc spezifische Schnittkraft<br />
M Drehmoment der Schnittkräfte an allen<br />
gleichzeitig im Schnitt stehenden<br />
Werkzeugschneiden
spezifische Schnittkraft k c<br />
Schnittkraft F czm<br />
beim Stirnfräsen<br />
(Mittelwert)<br />
Vorschubkraft F fz<br />
Aktivkraft F az<br />
Vorschub-Normalkraft F fNz<br />
Passivkraft F pz<br />
Zerspankraft F z<br />
k<br />
k K K K K K K<br />
c11 ⋅<br />
c =<br />
z v γ ws wv ks f<br />
h m<br />
k c1·1 Hauptwert der spezifischen<br />
Schnittkraft (1.5 Nr. 4)<br />
z Spanungsdickenexponent (11.1.4)<br />
K Korrekturfaktoren (11.1.4)<br />
F czm = a p h m k c<br />
a p Schnitttiefe<br />
h m Mittenspanungsdicke:<br />
360 a<br />
h f<br />
π∆ϕ<br />
d<br />
o<br />
m = ⋅<br />
o<br />
e<br />
zsin κr<br />
� �� Eingriffswinkel<br />
für außermittiges Stirnfräsen:<br />
�� = � 2 – � 1<br />
2ü1<br />
cos ϕ 1 = 1−<br />
d<br />
2ü2<br />
cos ϕ 2 = 1−<br />
d<br />
für mittiges Stirnfräsen:<br />
∆ϕ<br />
ae<br />
sin =<br />
2 d<br />
ü Fräserüberstand<br />
ae Arbeitseingriff<br />
d Fräserdurchmesser<br />
fz Vorschub je Schneide<br />
(Zahnvorschub)<br />
� �r Einstellwinkel<br />
kc spezifische Schnittkraft<br />
wenn � > 90°,<br />
cos � negativ<br />
ansetzen<br />
Zerspantechnik<br />
Fräsen<br />
k c, k c1·1 h z K<br />
N<br />
2<br />
mm<br />
Komponente der Aktivkraft F az in Vorschubrichtung<br />
Komponente der Zerspankraft F z in der Arbeitsebene:<br />
2 2<br />
Faz = Ffz + FfNz<br />
mm 1 1<br />
Komponente der Aktivkraft F az in der Arbeitsebene, rechtwinklig zur<br />
Vorschubrichtung:<br />
2 2<br />
fNz az fz<br />
F = F −F<br />
Komponente der Zerspankraft F z rechtwinklig zur Arbeitsebene:<br />
2 2<br />
pz = z − az<br />
F F F<br />
Gesamtkraft, die während der Zerspanung auf die Einzelschneide<br />
einwirkt.<br />
351<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Fräsen<br />
352<br />
11.2.5 Leistungsbedarf<br />
Schnittleistung P c<br />
Motorleistung P m<br />
11.2.6 Hauptnutzungszeit<br />
Hauptnutzungszeit t h beim<br />
Umfangsfräsen<br />
l w Werkstücklänge in Fräsrichtung<br />
l a Anlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm)<br />
l ü Überlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm)<br />
v f Vorschubgeschwindigkeit<br />
l f Fräserzugabe:<br />
lf = ae( d − ae)<br />
ae Arbeitseingriff<br />
d Fräserdurchmesser<br />
(Richtwert: d � 4 ae )<br />
F z v<br />
P =<br />
6⋅10 czm e c<br />
c 4<br />
P c F czm z e v c<br />
kW N 1<br />
m<br />
min<br />
Fczm Schnittkraft (Mittelwert) nach 11.2.4<br />
Anzahl der gleichzeitig im Schnitt stehenden Werkzeugschneiden:<br />
z e<br />
o<br />
ϕ z<br />
ze<br />
=<br />
o<br />
360<br />
∆<br />
�� Eingriffswinkel; z Anzahl der Werkzeugschneiden<br />
Schnittgeschwindigkeit nach 11.2.2<br />
v c<br />
Pc<br />
Pm<br />
=<br />
ηg<br />
� g Getriebewirkungsgrad<br />
� � g = 0,6 ... 0,8<br />
Umfangsfräsen (Schruppen <strong>und</strong> Schlichten)<br />
Umfangsstirnfräsen (Schruppen)<br />
t<br />
h<br />
L + + +<br />
= =<br />
v v<br />
lwla lü lf<br />
f f<br />
Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück<br />
Umfangsstirnfräsen (Schlichten)<br />
t<br />
h<br />
L + + +<br />
= =<br />
v v<br />
lwla lü 2lf<br />
f f<br />
Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück
Hauptnutzungszeit t h<br />
beim außermittigen<br />
Stirnfräsen x � 0<br />
Darstellung der<br />
Werkzeugbewegung<br />
relativ zum Werkstück<br />
Stirnfräsen (Schruppen)<br />
für 0 � x � e a d<br />
<strong>und</strong> � ae gilt:<br />
2 2<br />
L lw + la+ l ü +lfa −lfü<br />
t h = =<br />
vf vf<br />
Darstellung der<br />
Werkzeugbewegung<br />
relativ<br />
zum Werkstück<br />
Stirnfräsen (Schlichten)<br />
für 0 � x � e a d<br />
<strong>und</strong> � ae gilt:<br />
2 2<br />
L lw + la+ l ü +lfa+ lfü<br />
t h = =<br />
vf vf<br />
l fa<br />
Fräserzugabe (Anlaufseite):<br />
d<br />
fa =<br />
2<br />
l<br />
d Fräserdurchmesser<br />
l fü<br />
Fräserzugabe (Überlaufseite):<br />
Zerspantechnik<br />
Fräsen<br />
l w Werkstücklänge in Fräsrichtung<br />
l a Anlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm)<br />
l ü Überlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm)<br />
v f Vorschubgeschwindigkeit<br />
2<br />
2<br />
d ⎛ae⎞ l fü = − ⎜ + x⎟<br />
für Schruppen<br />
4 ⎝ 2 ⎠<br />
fü = d<br />
l für Schlichten<br />
2<br />
d Fräserdurchmesser<br />
ae Arbeitseingriff<br />
x Mittenversatz des Fräsers<br />
353<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Fräsen<br />
Hauptnutzungszeit t h<br />
beim mittigen Stirnfräsen<br />
x = 0<br />
l w Werkstücklänge in<br />
Fräsrichtung<br />
l a Anlaufweg<br />
(Richtwert: 1 ... 2 mm)<br />
l ü Überlaufweg<br />
(Richtwert: 1 ... 2 mm)<br />
l fa Fräserzugabe (Anlaufseite):<br />
d<br />
lfa<br />
=<br />
2<br />
lfü Fräserzugabe (Überlaufseite):<br />
354<br />
1<br />
2 l<br />
für Schruppen<br />
d<br />
lfü<br />
=<br />
2<br />
für Schlichten<br />
2 2<br />
fü = d −ae<br />
d Fräserdurchmesser<br />
a e Arbeitseingriff<br />
v f Vorschubgeschwindigkeit<br />
Stirnfräsen (Schruppen)<br />
für d � a e gilt:<br />
L lw + la+ lü+ lfa −lfü<br />
t h = =<br />
vf vf<br />
Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück<br />
Stirnfräsen (Schlichten)<br />
für d � a e gilt:<br />
L lw + la+ lü+ lfa+ lfü<br />
t h = =<br />
vf vf<br />
Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück
11.3 Bohren<br />
11.3.1 Schnittgrößen <strong>und</strong><br />
Spanungsgrößen<br />
Schnittgrößen <strong>und</strong><br />
Spanungsgrößen beim<br />
Bohren<br />
d Bohrerdurchmesser<br />
(Nenndurchmesser)<br />
d i Durchmesser der Vorbohrung<br />
(beim Aufbohren)<br />
f z Vorschub je Schneide<br />
z Anzahl der Schneiden<br />
(Spiralbohrer z = 2)<br />
a p Schnitttiefe<br />
b Spanungsbreite<br />
h Spanungsdicke<br />
A Spanungsquerschnitt<br />
� r Einstellwinkel<br />
� Spitzenwinkel<br />
Schnitttiefe a p<br />
(Schnittbreite)<br />
Vorschub f<br />
Vorschub f z je Schneide<br />
Zerspantechnik<br />
Bohren<br />
Tiefe oder Breite des Eingriffs rechtwinklig zur Arbeitsebene<br />
d<br />
a p = beim Bohren ins Volle<br />
2<br />
Weg, den das Werkzeug während<br />
einer Umdrehung (U) in Vorschubrichtung<br />
zurücklegt.<br />
Richtwerte nach 11.3.3<br />
f<br />
fz<br />
=<br />
z<br />
f Vorschub<br />
z Anzahl der Werkzeugschneiden<br />
Für zweischneidige Spiralbohrer ist<br />
f<br />
f z =<br />
2<br />
a<br />
d − d<br />
i<br />
p = beim Aufbohren<br />
2<br />
355<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Bohren<br />
356<br />
Spanungsbreite b<br />
Spanungsdicke h<br />
Spanungsquerschnitt A<br />
Spanungsbreite b<br />
Spanungsdicke h<br />
Spanungsquerschnitt A<br />
11.3.2 Geschwindigkeiten<br />
Geschwindigkeiten beim<br />
Bohren relativ zum<br />
Werkstück<br />
v c Schnittgeschwindigkeit<br />
v f Vorschubgeschwindigkeit<br />
v e Wirkgeschwindigkeit<br />
� Wirkrichtungswinkel<br />
� Vorschubrichtungswinkel<br />
(beim Bohren 90°)<br />
Schnittgeschwindigkeit<br />
v c (Richtwerte in 11.3.3)<br />
Umrechnung der Schnittgeschwindigkeit<br />
v c L2000<br />
(Bohrarbeitskennziffer)<br />
b<br />
d<br />
= ⎪<br />
2sinκr<br />
⎪⎪⎪⎪⎬<br />
f sin κr<br />
h= = fzsin<br />
κr<br />
Bohren ins Volle<br />
2<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
df dfz<br />
A = =<br />
⎪<br />
4 2 ⎪<br />
⎭<br />
⎫<br />
d − di<br />
⎫<br />
b = ⎪<br />
2sinκr<br />
⎪⎪⎪⎪<br />
κ<br />
f sin r<br />
h= fzsin<br />
κr<br />
2<br />
⎪<br />
⎬⎪⎪ Aufbohren<br />
d − di<br />
A= f<br />
4<br />
d − di<br />
A= fz<br />
2<br />
d n<br />
v c =<br />
1000<br />
π<br />
d Bohrerdurchmesser<br />
n Werkzeugdrehzahl<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎭<br />
v c d n<br />
m<br />
min<br />
mm min–1<br />
Schnittgeschwindigkeitsempfehlungen beziehen sich beim Bohren<br />
meist auf eine Standlänge (L, gesamter Standweg des Bohrers in Vorschubrichtung),<br />
die unter den in der Richtwerttabelle genannten Spanungsbedingungen<br />
erreicht wird. Dabei verwendet man als Bezugsgröße<br />
häufig eine Gesamtbohrtiefe von 2000 mm. Die auf diese<br />
Standlänge bezogene Schnittgeschwindigkeit ist die Bohrarbeitskennziffer<br />
v c L2000.
Standzeit T<br />
erforderliche<br />
Werkzeugdrehzahl n erf<br />
Vorschub-<br />
geschwindigkeit v f<br />
Wirkgeschwindigkeit v e<br />
Zerspantechnik<br />
Bohren<br />
Umrechnung der Richtwerte (vc L2000) auf abweichende Standlängen<br />
bei sonst unveränderten Spanungsbedingungen:<br />
z<br />
⎛2000⎞ vc= vcL2000⎜<br />
⎟<br />
⎝ L ⎠<br />
v c L2000 Schnittgeschwindigkeit<br />
für L = 2000 mm<br />
(Bohrarbeitskennziffer)<br />
L vorgegebene Standlänge<br />
in mm<br />
z Standlängenexponent<br />
Richtwerte für Spiralbohrer aus<br />
Schnellarbeitsstahl nach<br />
M. Kronenberg<br />
Werkstoff z<br />
E 295<br />
E 360<br />
0,114<br />
0,06<br />
Die Verknüpfung von Schnittgeschwindigkeit <strong>und</strong> vorgegebenem<br />
Standweg ist beim Bohren verfahrensbedingt unsicher. Genauere<br />
Zuordnung von Standwegen <strong>und</strong> Standgeschwindigkeiten erfordern<br />
eine spezielle Untersuchung des vorliegenden Einzelfalls.<br />
Berechnung der Standzeit T aus der Standlänge L<br />
π<br />
Ld<br />
T =<br />
fvc<br />
d Bohrerdurchmesser<br />
f Vorschub<br />
vc Schnittgeschwindigkeit<br />
(Standgeschwindigkeit für Standlänge L )<br />
nerf vc d<br />
1000vc<br />
nerf<br />
=<br />
d π min –1 m<br />
min mm<br />
v c empfohlene Schnittgeschwindigkeit nach 4.3 oder umgerechnet<br />
d Bohrerdurchmesser<br />
Bei der Festlegung der Werkzeugdrehzahl sind die einstellbaren<br />
Maschinendrehzahlen (Drehzahlen an der Bohrspindel) zu beachten.<br />
Bohrmaschinen mit gestuftem Hauptgetriebe erzeugen Normdrehzahlen<br />
nach DIN 804 (11.1.1).<br />
v f = f n<br />
v f = zf z n<br />
f Vorschub<br />
f z Vorschub je Schneide<br />
z Anzahl der Werkzeugschneiden<br />
n Werkzeugdrehzahl<br />
v f f f z z n<br />
mm<br />
min<br />
mm<br />
U<br />
mm 1 min –1<br />
Momentangeschwindigkeit des betrachteten äußeren Schneidenpunkts<br />
(Bezugspunkt) der Hauptschneide in Wirkrichtung:<br />
2 2<br />
ve = vc + vfbei<br />
� = 90°<br />
vc vf<br />
ve<br />
= =<br />
cos sin<br />
η η<br />
vf ≤vc ⇒ve ≈vc<br />
357<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Bohren<br />
358<br />
11.3.3 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit v c <strong>und</strong> den Vorschub f beim Bohren<br />
Werkstoff<br />
S 235 JR, C22<br />
S 275 JQ<br />
Zugfestigkeit<br />
R m in<br />
N/mm 2<br />
bis 500<br />
E 295, C 35 500 … 600<br />
E335, C45 600 … 700<br />
E 360, C 60 700 … 850<br />
Mn-, Cr Ni-Cr<br />
Mo- <strong>und</strong><br />
andere<br />
legierte<br />
700 … 850<br />
850 … 1<br />
000<br />
Stähle 1 000 … 1<br />
400<br />
EN-GJL-150 150 … 250<br />
EN-GJL-250 250 … 350<br />
Temperguss<br />
Cu Sn Zn-Leg.<br />
Cu Sn-Guss-Leg.<br />
Cu Zn-Guss-Leg.<br />
Al-Guss-Leg.<br />
SS Schnellarbeitsstahl<br />
P 30, K 10, K 20 Hartmetalle<br />
Schneidwerkzeug<br />
S S<br />
P 30<br />
S S<br />
P 30<br />
S S<br />
P 30<br />
S S<br />
P 30<br />
S S<br />
P 30<br />
S S<br />
P 30<br />
S S<br />
P 30<br />
S S<br />
K 20<br />
S S<br />
K 10<br />
S S<br />
K 10<br />
S S<br />
K 20<br />
S S<br />
K20<br />
S S<br />
K20<br />
Schnittgeschwindigkeit<br />
Vorschub f in mm/U bei<br />
Bohrerdurchmesser<br />
v c in m/min bis 4 � 4…10 � 10…25 � 25…63<br />
35 … 30<br />
80… 75<br />
30 … 25<br />
75 … 70<br />
25 … 20<br />
70 … 65<br />
20 … 15<br />
65 … 60<br />
18 … 14<br />
40 … 30<br />
14 … 12<br />
30 … 25<br />
12 … 8<br />
25 … 20<br />
35 … 25<br />
90 … 70<br />
25 … 20<br />
40 … 30<br />
25 … 18<br />
60 … 40<br />
75 … 50<br />
85 …60<br />
60 … 40<br />
100 … 75<br />
200 … 150<br />
300 … 250<br />
0,18<br />
0,1<br />
0,16<br />
0,08<br />
0,12<br />
0,06<br />
0,11<br />
0,05<br />
0,1<br />
0,025<br />
0,09<br />
0,02<br />
0,06<br />
0,016<br />
0,16<br />
0,05<br />
0,12<br />
0,04<br />
0,1<br />
0,03<br />
0,12<br />
0,06<br />
0,1<br />
0,06<br />
0,16<br />
0,06<br />
Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus<br />
„Betriebstechnisches Praktikum“ von Thiele-Staelin abgeleitet worden.<br />
0,28<br />
0,12<br />
0,25<br />
0,1<br />
0,2<br />
0,08<br />
0,18<br />
0,06<br />
0,16<br />
0,03<br />
0,14<br />
0,025<br />
0,1<br />
0,02<br />
0,25<br />
0,08<br />
0,2<br />
0,06<br />
0,16<br />
0,05<br />
0,18<br />
0,08<br />
0,14<br />
0,08<br />
0,25<br />
0,08<br />
0,36<br />
0,16<br />
0,32<br />
0,12<br />
0,25<br />
0,1<br />
0,22<br />
0,08<br />
0,02<br />
0,04<br />
0,18<br />
0,03<br />
0,16<br />
0,025<br />
0,4<br />
0,12<br />
0,3<br />
0,1<br />
0,25<br />
0,08<br />
0,25<br />
0,1<br />
0,2<br />
0,1<br />
0,3<br />
0,1<br />
0,45<br />
0,2<br />
0,40<br />
0,16<br />
0,32<br />
0,12<br />
0,28<br />
0,01<br />
0,25<br />
0,05<br />
0,22<br />
0,04<br />
0,2<br />
0,03<br />
0,5<br />
0,16<br />
0,4<br />
0,12<br />
0,4<br />
0,12<br />
0,36<br />
0,12<br />
0,28<br />
0,12<br />
0,4<br />
0,12
11.3.4 Richtwerte für spezifische Schnittkraft beim Bohren<br />
Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle, AWF 158 <strong>und</strong> allgemeinen Hinweisen aus<br />
dem Schrifttum abgeleitet worden.<br />
c r<br />
2 κ<br />
Schnittgeschwindikeit k in N/mm bei Vorschub fin<br />
mm/U <strong>und</strong> Einstellwinkel<br />
Werkstoff<br />
Zerspantechnik<br />
Bohren<br />
359<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Bohren<br />
360<br />
11.3.5 Werkzeugwinkel<br />
Werkzeugwinkel<br />
am Bohrwerkzeug<br />
(Spiralbohrer)<br />
�o Orthogonalfreiwinkel<br />
�o Orthogonalkeilwinkel<br />
�o Orthogonalspanwinkel<br />
�f Seitenfreiwinkel<br />
�f Seitenkeilwinkel<br />
�f Seitenspanwinkel<br />
�r Einstellwinkel<br />
� Spitzenwinkel<br />
�s Neigungswinkel<br />
�r Eckenwinkel<br />
�r Querschneidenwinkel<br />
k Dicke des Bohrerkerns<br />
(an der Bohrerspitze)<br />
Orthogonalfreiwinkel � o<br />
(siehe auch 11.1.3)<br />
Orthogonalkeilwinkel � o<br />
(siehe auch 11.1.3)<br />
Orthogonalspanwinkel � o<br />
(siehe auch 11.1.3)<br />
Seitenfreiwinkel � f,<br />
gemessen in der<br />
Arbeitsebene<br />
Der Winkel nimmt bei Kegelmantelschliff vom Außendurchmesser<br />
zum Bohrerkern hin zu.<br />
Bohren von Stahl: � o = 8° (außen) bis 30° (innen)<br />
Der Winkel ist über die ganze Länge der Hauptschneide praktisch<br />
konstant.<br />
Der Winkel nimmt durch die Form der Spannute vom Außendurchmesser<br />
zum Bohrerkern hin bis zu negativen Werten (im Bereich der<br />
Querschneide bis – 60°) ab.<br />
tan γ f + cos κr⋅tan λs<br />
γ o = arctan<br />
sin κ<br />
α = κ ⋅ α − κ ⋅ λ<br />
r<br />
� f Seitenspanwinkel<br />
�r Einstellwinkel<br />
� s Neigungswinkel<br />
f arccot(sin r cot o cos r tan s)<br />
�f Einstellwinkel<br />
� o Orthogonalfreiwinkel<br />
� s Neigungswinkel<br />
Richtwerte für Werkzeug-Anwendungsgruppen N, H, W<br />
Werkstoff Gruppe � f<br />
Stahl, Stahlguss, Gusseisen<br />
Messing, Bronze<br />
Al-Legierung<br />
N<br />
H<br />
W<br />
6° ... 15°<br />
8° ... 18°<br />
8° ... 18°
Seitenkeilwinkel � f,<br />
gemessen in der<br />
Arbeitsebene<br />
Seitenspanwinkel � f,<br />
gemessen in der<br />
Arbeitsebene<br />
Einstellwinkel � r<br />
(siehe auch 11.1.3)<br />
Spitzenwinkel ��<br />
Neigungswinkel � s<br />
Eckenwinkel � r<br />
(siehe auch 11.1.3)<br />
Querschneidenwinkel �<br />
Zerspantechnik<br />
Bohren<br />
� f = 90° – � f – � f �f Seitenfreiwinkel<br />
�f Seitenspanwinkel<br />
Der Seitenspanwinkel ist der Neigungswinkel der Nebenschneide<br />
(Komplementwinkel des äußeren Steigungswinkels) <strong>und</strong> damit der<br />
Drallwinkel des Spiralbohrers.<br />
f arctan<br />
n<br />
d π<br />
γ =<br />
h<br />
Richtwerte<br />
d Bohrerdurchmesser (Schneidendurchmesser an<br />
der Bohrerspitze)<br />
h n Steigung der Nebenschneide<br />
Werkstoff Gruppe � f<br />
Stahl, Stahlguss, Gusseisen N 16° ... 30°<br />
Messing, Bronze H 10° ... 13°<br />
Al-Legierung W 35° ... 40°<br />
Anwendungsgruppe<br />
N für normale Werkstoffe<br />
H für harte <strong>und</strong> spröde Werkstoffe<br />
W für weiche <strong>und</strong> zähe Werkstoffe<br />
σ<br />
κ r = � Spitzenwinkel<br />
2<br />
Hüllkegelwinkel der beiden Hauptschneiden des Spiralbohrers:<br />
�<br />
� = 2 � r � r Einstellwinkel<br />
Richtwerte<br />
Werkstoff Gruppe �<br />
Stahl, Stahlguss, Gusseisen N 118°<br />
Messing, Bronze H 118° ... 140°<br />
Al-Legierung W 140°<br />
Der Neigungswinkel ergibt sich aus der Kerndicke des Spiralbohrers<br />
an der Bohrerspitze.<br />
k sin<br />
tan λ s =<br />
d<br />
κ<br />
o<br />
o 360 − σ<br />
εr = 180 − κr<br />
=<br />
2<br />
r<br />
k Kerndicke des Spiralbohrers an der Bohrerspitze<br />
Mindestwert k min = 0,197 · d 0,839<br />
� r Einstellwinkel<br />
d Bohrerdurchmesser<br />
(Schneidendurchmesser an der Bohrerspitze)<br />
� r Einstellwinkel<br />
� Spitzenwinkel<br />
Winkel zur Bestimmung der Lage der Querschneide zur Hauptschneide.<br />
Der Querschneidenwinkel ist von der Art des Hinterschliffs der Freifläche<br />
abhängig <strong>und</strong> beträgt im Normalfall (bei � f = 6° außen) � = 55°.<br />
361<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Bohren<br />
362<br />
11.3.6 Zerspankräfte<br />
Zerspankräfte beim<br />
Bohren bezogen auf das<br />
Werkzeug<br />
F cz Schnittkraft an der Einzelschneide<br />
(leistungsführend)<br />
F fz Vorschubkraft an der Einzelschneide<br />
(leistungsführend)<br />
F pz Passivkraft an der Einzelschneide<br />
F z Zerspankraft an der Einzelschneide<br />
M Schnittmoment<br />
Schnittkraft F cz<br />
je Einzelschneide<br />
spezifische Schnittkraft k c<br />
Vorschubkraft F f<br />
df<br />
Fcz = kcS 4<br />
d − di<br />
Fcz = f kcS 4<br />
beim Bohren<br />
ins Volle<br />
beim Aufbohren<br />
d Bohrerdurchmesser<br />
d i Durchmesser der Vorbohrung (beim Aufbohren)<br />
f Vorschub<br />
k c spezifische Schnittkraft<br />
S Verfahrensfaktor<br />
S = 1 für Bohren ins Volle<br />
S = 0,95 für Aufbohren<br />
F cz d, d i, f k c S<br />
N<br />
N mm 2<br />
mm<br />
Ermittlung entweder als Richtwert nach 11.3.4 oder rechnerisch:<br />
kc11<br />
⋅<br />
kc = K<br />
z wsKwv h<br />
k c1·1 Hauptwert der spezifischen Schnittkraft (11.1.4)<br />
h Spanungsdicke<br />
z Spanungsdickenexponent (11.1.4)<br />
K Korrekturfaktoren (11.1.4)<br />
1<br />
k c, k c1·1 h z K<br />
N<br />
mm<br />
2<br />
mm 1 1<br />
Die Vorschubkraft wird besonders durch die Länge der Querschneide<br />
an der Bohrerspitze beeinflusst <strong>und</strong> beansprucht das Bohrwerkzeug<br />
auch auf Knickung (Ausspitzung der Querschneide).<br />
Die bisher bekannten Berechnungsverfahren für F f ergeben keine<br />
ausreichende Übereinstimmung. Daher wird hier auf die Ermittlung<br />
der Vorschubkraft verzichtet.
Schnittmoment M<br />
11.3.7 Leistungsbedarf<br />
Schnittleistung P c<br />
Vorschubleistung P f<br />
Motorleistung P m<br />
Zerspantechnik<br />
Bohren<br />
Drehmoment des aus beiden Schnittkräften F cz nach 11.3.6 gebildeten<br />
Kräftepaars.<br />
Bohren ins Volle Aufbohren<br />
d<br />
M = Fcz<br />
2<br />
d+ di<br />
M = Fcz<br />
2<br />
2 π Mn Mn<br />
P c = =<br />
4 6⋅10 9550<br />
M Schnittmoment<br />
n Werkzeugdrehzahl<br />
Fcz vc<br />
P c =<br />
4 6⋅10 Bohren ins Volle<br />
M F cz d, d i<br />
Nm N m<br />
P c M n<br />
kW Nm min –1<br />
⎛ d ⎞<br />
Pc Fcz vc d, d<br />
i<br />
i<br />
Fcz vc⎜1+<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
P c =<br />
Aufbohren<br />
4<br />
kW N<br />
6⋅10 m<br />
min mm<br />
Fcz Schnittkraft an der Einzelschneide<br />
vc Schnittgeschwindigkeit (außen)<br />
d Bohrerdurchmesser<br />
d i Durchmesser der Vorbohrung (beim Aufbohren)<br />
Bei der Berechnung des Bedarfs an Wirkleistung ist die Vorschubleistung<br />
wegen der geringen Vorschubgeschwindigkeit vernachlässigbar.<br />
Pc<br />
Pm<br />
=<br />
ηg<br />
�<br />
� g Getriebewirkungsgrad<br />
� g = 0,75 ... 0,9<br />
363<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Bohren<br />
364<br />
11.3.8 Hauptnutzungszeit<br />
Hauptnutzungszeit t h<br />
beim Bohren ins Volle<br />
Hauptnutzungszeit t h<br />
beim Aufbohren<br />
L lw + la+ lü+ ls<br />
t h = =<br />
vff n<br />
Durchgangsbohrung Gr<strong>und</strong>bohrung<br />
l w Länge des zylindrischen<br />
Bohrungsteils<br />
l a Anlaufweg (Richtwert: 1 mm)<br />
l ü Überlaufweg<br />
Richtwerte: l ü = 2 mm<br />
bei Durchgangsbohrungen<br />
l ü = 0 bei Gr<strong>und</strong>bohrungen<br />
L lw + la+ lü+ ls<br />
t h = =<br />
vff n<br />
ls Schneidenzugabe<br />
(werkzeugabhängig)<br />
d d<br />
ls<br />
= =<br />
2tanκ<br />
σ<br />
r 2tan<br />
2<br />
�r Einstellwinkel � Spitzenwinkel<br />
ls � 0,3 d für Werkzeug-Anwendungsgruppe<br />
N mit � = 118° ...120°<br />
f Vorschub n Werkzeugdrehzahl<br />
Durchgangsbohrung Gr<strong>und</strong>bohrung<br />
l w Länge des zylindrischen<br />
Bohrungsteils<br />
l a Anlaufweg (Richtwert: 1 mm)<br />
l ü Überlaufweg<br />
Richtwerte: l ü = 2 mm<br />
bei Durchgangsbohrungen<br />
l ü = 0 bei Gr<strong>und</strong>bohrungen<br />
ls Schneidenzugabe<br />
(werkzeugabhängig)<br />
d −di d −di<br />
ls<br />
= =<br />
2tanκ<br />
σ<br />
r 2tan<br />
2<br />
�r Einstellwinkel � Spitzenwinkel<br />
ls � 0,3 (d – di) für Werkzeug-Anwendungsgruppe<br />
N mit � = 118° ...120°<br />
f Vorschub n Werkzeugdrehzahl
11.4 Schleifen<br />
11.4.1 Schnittgrößen<br />
Schnittgrößen beim<br />
Umfangsschleifen als<br />
Längsschleifen<br />
Beim Umfangsschleifen als<br />
Einstechschleifen wird der<br />
Axialvorschub durch den<br />
Radialvorschub ersetzt.<br />
ae Arbeitseingriff<br />
fa Axialvorschub<br />
fz Vorschub je Einzelkorn<br />
(R<strong>und</strong>vorschub)<br />
dw Werkstückdurchmesser<br />
B Schleifscheibenbreite<br />
Arbeitseingriff a e<br />
Axialvorschub f a<br />
(Seitenvorschub)<br />
Zerspantechnik<br />
Schleifen<br />
Beim Umfangslängsschleifen die Tiefe des Eingriffs des Werkzeugs,<br />
gemessen in der Arbeitsebene rechtwinklig zum R<strong>und</strong>vorschub. Der<br />
Arbeitseingriff wird durch Werkzeugzustellung direkt eingestellt.<br />
Richtwerte für a e in mm:<br />
Stahl<br />
Gusseisen<br />
Schruppen Schlichten<br />
0,003 ... 0,04<br />
0,006 ... 0,04<br />
0,002 ... 0,013<br />
0,004 ... 0,020<br />
Ausfeuern ohne Zustellung (a e = 0) verbessert Genauigkeit <strong>und</strong> Oberflächengüte.<br />
Beim Umfangslängsschleifen der Weg, den das Werkzeug während<br />
einer Umdrehung des Werkstücks in Vorschubrichtung zurücklegt:<br />
Richtwerte: Schruppschleifen f a = 0,60 ... 0,75 · B<br />
Schlichtschleifen f a = 0,25 ... 0,50 · B<br />
365<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Schleifen<br />
Vorschub f z je Einzelkorn<br />
(R<strong>und</strong>vorschub)<br />
effektiver<br />
Kornabstand � ke<br />
Geschwindigkeitsverhältnis<br />
q<br />
366<br />
Radialvorschub f r<br />
Beim Umfangsschleifen der Weg, den ein Punkt auf dem Werkstückumfang<br />
während des Eingriffs eines Einzelkorns durch den R<strong>und</strong>vorschub<br />
zurücklegt:<br />
fz<br />
λ<br />
fz �ke q<br />
q mm mm 1<br />
= ke<br />
� ke effektiver Kornabstand<br />
q Geschwindigkeitsverhältnis<br />
statistischer Mittelwert (nach J. Peklenik)<br />
� ke � c – 0,928 a e<br />
�ke ae mm� �m<br />
a e Arbeitseingriff<br />
c Konstante, berücksichtigt die Körnung<br />
des Schleifwerkzeugs:<br />
vc<br />
q =<br />
vw<br />
vc Schnittgeschwindigkeit<br />
vw Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks<br />
Richtwerte für q<br />
Außenr<strong>und</strong>schleifen<br />
Innenr<strong>und</strong>schleifen<br />
Flachschleifen<br />
Körnung c<br />
60<br />
80<br />
100<br />
120<br />
150<br />
Stahl Gusseisen Al-Legierung<br />
125<br />
80<br />
80<br />
100<br />
63<br />
63<br />
50<br />
32<br />
32<br />
41,5<br />
49,5<br />
57,5<br />
62,8<br />
66,5<br />
Beim Umfangseinstechschleifen der Weg, den das Werkzeug während<br />
einer Umdrehung des Werkstücks in Vorschubrichtung zurücklegt:<br />
Richtwerte für f r in mm<br />
U<br />
Stahl<br />
Gusseinen<br />
Schruppen Schlichten<br />
0,002 ... 0,024<br />
0,006 ... 0,030<br />
0,0004 ... 0,0050<br />
0,0012 ... 0,0060
11.4.2 Geschwindigkeiten<br />
n s Drehzahl der Schleifscheibe<br />
v s Umfangsgeschwindigkeit der<br />
Schleifscheibe<br />
n w Drehzahl des Werkstücks<br />
v w Umfangsgeschwindigkeit des<br />
Werkstücks<br />
v c Schnittgeschwindigkeit<br />
v fa Axialvorschubgeschwindigkeit<br />
(beim Längsschleifen)<br />
v fr Radialvorschubgeschwindigkeit<br />
(beim Einstechschleifen)<br />
Umfangsgeschwindigkeit v s<br />
der Schleifscheibe<br />
Umfangsgeschwindigkeit v w<br />
des Werkstücks<br />
dπns v s =<br />
4 6⋅10 Umfangsschleifen<br />
als Längsschleifen<br />
d Durchmesser der Schleifscheibe<br />
n s Drehzahl der Schleifscheibe<br />
Zerspantechnik<br />
Schleifen<br />
Umfangsschleifen<br />
als Einstechschleifen<br />
v s d n s<br />
m<br />
s<br />
mm min –1<br />
Da n s � n w, ist die Umfangsgeschwindigkeit der Schleifscheibe praktisch<br />
die Schnittgeschwindigkeit (siehe 11.4.1) beim Schleifen.<br />
d π n<br />
v w =<br />
1000<br />
dw nw w w<br />
v w d w n w<br />
m<br />
min<br />
Durchmesser des Werkstücks<br />
Drehzahl des Werkstücks (R<strong>und</strong>vorschubbewegung)<br />
Richtwerte für v w in m<br />
min<br />
Außenr<strong>und</strong>schleifen<br />
(Schruppen)<br />
Außenr<strong>und</strong>schleifen<br />
(Schlichten)<br />
Innenr<strong>und</strong>schleifen<br />
Stahl<br />
unlegiert<br />
12 ... 18<br />
8 ... 12<br />
18 ... 24<br />
Stahl<br />
legiert<br />
15 ... 18<br />
10... 14<br />
20 ... 25<br />
mm min–1<br />
Gusseisen Al-Legierung<br />
12 ... 15<br />
9 ... 12<br />
21 ... 24<br />
30 ...40<br />
24 ... 30<br />
30 ...40<br />
367<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Schleifen<br />
368<br />
Schnittgeschwindigkeit v c<br />
Axialvorschubgeschwindigkeit<br />
v fa<br />
Radialvorschubgeschwindigkeit<br />
v fr<br />
11.4.3 Werkzeugwinkel<br />
vc = vs + vw vc = vs – vw vs vw beim Gegenlaufschleifen<br />
beim Gleichlaufschleifen<br />
Umfangsgeschwindigkeit der Schleifscheibe<br />
Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks<br />
vs ≥ vw � vc � vs d Durchmesser der Schleifscheibe<br />
vc � vs = d � ns ns Drehzahl der Schleifscheibe<br />
Richtwerte für v c in m/s<br />
Außenr<strong>und</strong>schleifen<br />
Innenr<strong>und</strong>schleifen<br />
Flachschleifen<br />
(Umfangsschleifen)<br />
Stahl Gusseisen Al-Legierung<br />
32<br />
25<br />
32<br />
25<br />
20<br />
25<br />
16<br />
12<br />
16<br />
Zulässige Höchstgeschwindigkeiten für Schleifkörper (Unfallverhütungsvorschriften)<br />
nur nach Angaben der Hersteller einstellen.<br />
Aus den hohen Schnittgeschwindigkeiten <strong>und</strong> dem geringen Arbeitseingriff<br />
ergeben sich für das Einzelkorn sehr kurze Eingriffszeiten von<br />
0,03 ms ... 0,15 ms (hohe örtliche Erwärmung an der Wirkstelle).<br />
v fa = f a n w<br />
f a Axialvorschub (Seitenvorschub)<br />
n w Drehzahl des Werkstücks<br />
v fr = f r n w<br />
fr Radialvorschub<br />
nw Drehzahl des Werkstücks<br />
v fa f a n w<br />
mm<br />
min<br />
mm<br />
U<br />
min –1<br />
v fr f r n w<br />
mm<br />
min<br />
mm<br />
U<br />
min –1<br />
Die im Schleifwerkzeug fest eingeb<strong>und</strong>enen Schleifmittelkörner bilden<br />
Schneidteile mit geometrisch unbestimmten Schneidkeilen. Eine<br />
definierbare <strong>und</strong> beeinflussbare Schneidkeilgeometrie liegt daher<br />
nicht vor.<br />
Nach statistischen Untersuchungen<br />
der Schleifscheibentopografie kann<br />
eine mittlere Kornschneide mit einem<br />
Schneidkeil verglichen werden, dessen<br />
Spanwinkel zwischen – 30° <strong>und</strong><br />
– 80° liegt.
11.4.4 Zerspankräfte<br />
Zerspankräfte beim<br />
Umfangsschleifen bezogen<br />
auf das Werkzeug<br />
F cz Schnittkraft am Einzelkorn<br />
F cNz Schnitt-Normalkraft am<br />
Einzelkorn<br />
F az Aktivkraft am Einzelkorn<br />
Ffz Vorschubkraft am Einzelkorn<br />
FfNz Vorschub-Normalkraft am<br />
Einzelkorn<br />
Zerspankraft am Einzelkorn<br />
F z<br />
Schnittkraft F czm<br />
Mittenspanungsdicke h m<br />
spezifische Schnittkraft k c<br />
Zerspantechnik<br />
Schleifen<br />
Komponente (Mittelwert) der Zerspankraft F z in Schnittrichtung:<br />
F czm = bh m k c S<br />
b wirksame Schleifbreite<br />
b = f a beim Außenr<strong>und</strong>längsschleifen<br />
f a Axialvorschub (Seitenvorschub)<br />
λ ⎛ ⎞<br />
ke 1 1<br />
hm= ae⎜<br />
+ ⎟<br />
q ⎝d dw⎠<br />
λ ⎛ ⎞<br />
ke 1 1<br />
hm= ae⎜<br />
− ⎟<br />
q ⎝d dw⎠<br />
= ke e<br />
h m<br />
F czm b, h m k c S<br />
N<br />
N mm 2<br />
mm<br />
Außenr<strong>und</strong>längsschleifen<br />
Innenr<strong>und</strong>längsschleifen<br />
λ a<br />
q d Flachschleifen<br />
� ke effektiver Kornabstand (siehe 11.4.1)<br />
q Geschwindigkeitsverhältnis (11.4.1)<br />
ae Arbeitseingriff (11.4.1)<br />
d Durchmesser der Schleifscheibe<br />
dw Durchmesser des Werkstücks<br />
k<br />
k<br />
⋅<br />
= c11<br />
c z h m<br />
k c, k c1·1 h z<br />
N<br />
mm2<br />
mm 1<br />
k c1·1 Hauptwert der spezifischen<br />
Schnittkraft (11.1.4)<br />
z Spanungsdickenexponent<br />
(11.1.4)<br />
Verfahrensfaktor S (nach Preger)<br />
1<br />
369<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Schleifen<br />
370<br />
11.4.5 Leistungsbedarf<br />
Schnittleistung P c<br />
Anzahl der gleichzeitig<br />
schneidenden<br />
Schleifkörner z e<br />
Eingriffswinkel �� für<br />
Außenr<strong>und</strong>schleifen<br />
(konvexe Oberfläche)<br />
Eingriffswinkel �� für<br />
Innenr<strong>und</strong>schleifen<br />
(konkave Oberfläche)<br />
Eingriffswinkel ��<br />
für Flachschleifen<br />
(ebene Oberfläche)<br />
Motorleistung P m<br />
11.4.6 Hauptnutzungszeit<br />
Hauptnutzungszeit t h<br />
beim R<strong>und</strong>schleifen<br />
(Längsschleifen)<br />
zwischen Spitzen<br />
= czm e c F z v<br />
Pc<br />
3 10<br />
Fczm Schnittkraft (Mittelwert) nach 11.4.4<br />
Schnittgeschwindigkeit nach 11.4.2<br />
v c<br />
ze<br />
o d π∆ϕ<br />
=<br />
o λ<br />
ke 360<br />
d Durchmesser der Schleifscheibe<br />
�ke effektiver Kornabstand nach 11.4.1<br />
o<br />
o 360 ae<br />
∆ϕ<br />
≈<br />
π ⎛ d ⎞<br />
d⎜1+<br />
⎟<br />
⎝ dw<br />
⎠<br />
ae Arbeitseingriff nach 11.4.1<br />
d Durchmesser der Schleifscheibe<br />
d w Durchmesser des Werkstücks<br />
o<br />
o 360 ae<br />
∆ϕ<br />
≈<br />
π ⎛ d ⎞<br />
d⎜1−⎟<br />
⎝ dw<br />
⎠<br />
360 a<br />
∆ϕ<br />
≈<br />
π d<br />
o<br />
o e<br />
Pc<br />
Pm<br />
=<br />
ηg<br />
P c F czm z e v c<br />
kW N 1<br />
m<br />
z e d ��� � ke<br />
1 mm ° mm<br />
P c Schnittleistung<br />
� g Getriebewirkungsgrad<br />
� � g = 0,4 ... 0,6 je nach Bauart <strong>und</strong> Belastungsgrad der Maschine<br />
B<br />
L<br />
lw<br />
−<br />
t<br />
3<br />
h = i = i<br />
v f n<br />
fa a w<br />
lw Werkstücklänge in Schleifrichtung (Längsrichtung)<br />
B Schleifscheibenbreite<br />
fa Axialvorschub<br />
nw Drehzahl des Werkstücks<br />
n<br />
w<br />
v<br />
=<br />
d<br />
w<br />
w π<br />
u w Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks<br />
d w Durchmesser des Werkstücks<br />
s
i Anzahl der erforderlichen Zustellschritte<br />
(Schleifhübe):<br />
dw − df<br />
i = Außenr<strong>und</strong>schleifen<br />
2a<br />
e<br />
d − d<br />
i =<br />
2a<br />
f w<br />
e<br />
Innenr<strong>und</strong>schleifen<br />
d w Durchmesser des Werkstücks<br />
(Ausgangsdurchmesser)<br />
d f Fertigdurchmesser des Werkstücks<br />
a e Arbeitseingriff<br />
Hauptnutzungszeit t h<br />
beim R<strong>und</strong>schleifen<br />
(Einstechschleifen)<br />
zwischen Spitzen<br />
dw Durchmesser des Werkstücks<br />
(Ausgangsdurchmesser)<br />
df Fertigdurchmesser des Werkstücks<br />
la Anlaufweg (Richtwert: 0,1 ... 0,3 mm)<br />
fr Radialvorschub<br />
nw Drehzahl des Werkstücks<br />
v w<br />
nw<br />
=<br />
dw<br />
π<br />
v w Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks<br />
d w Durchmesser des Werkstücks<br />
Hauptnutzungszeit t h<br />
beim spitzenlosen<br />
R<strong>und</strong>schleifen<br />
(Durchgangsschleifen)<br />
B Schleifscheibenbreite<br />
d r Durchmesser der Regelscheibe<br />
n r Drehzahl der Regelscheibe<br />
� Verstellwinkel der Regelscheibe<br />
Richtwert für Längsschleifen: � = 3° ... 5°<br />
i w Anzahl der aufeinander folgenden<br />
Werkstücke beim Durchgangsschleifen<br />
l w Länge des einzelnen Werkstücks<br />
t<br />
Zerspantechnik<br />
Schleifen<br />
Darstellung gilt sinngemäß auch für das Innenr<strong>und</strong>schleifen<br />
dw − df<br />
L<br />
+ l<br />
t<br />
2<br />
h=<br />
=<br />
v f n<br />
h<br />
fr r w<br />
i + B<br />
= =<br />
v 0,95 d n sin α<br />
L wlw fa r π<br />
r<br />
a<br />
371<br />
11
11<br />
Zerspantechnik<br />
Schleifen<br />
Hauptnutzungszeit t h<br />
beim spitzenlosen<br />
R<strong>und</strong>schleifen<br />
(Einstechschleifen)<br />
dw Durchmesser des Werkstücks<br />
(Ausgangsdurchmesser)<br />
df Fertigdurchmesser des Werkstücks<br />
la Anlaufweg (Richtwert: 0,1 ... 0,3 mm)<br />
fr Radialvorschub<br />
nw Drehzahl des Werkstücks<br />
372<br />
dr<br />
nw = 0,95 nr dw<br />
n r Drehzahl der Regelscheibe<br />
d r Durchmesser der Regelscheibe<br />
d w Durchmesser des Werkstücks<br />
t<br />
h<br />
dw − df<br />
L<br />
+<br />
= =<br />
2<br />
v f n<br />
fr r w<br />
la
Sachwortverzeichnis<br />
0,2-Dehngrenze 95<br />
Abgleichbedingung 124<br />
Ableitung 37<br />
Abmaße, Grenzmaße, Toleranzen 249<br />
Abscherbeanspruchung 235<br />
Abscheren <strong>und</strong> Torsion 235, 236, 293<br />
Abscherfestigkeit 235<br />
Abscher-Hauptgleichung 235<br />
Abscherspannung, vorhandene 235<br />
–, zulässige 235<br />
absolut schwarzer Körper 176<br />
Absolutwert 1<br />
Abstechdrehen, Hauptnutzungszeit 344<br />
Abszissen 29<br />
Abtriebsdrehzahl 342<br />
Abtriebsdrehzahlbereich 342<br />
Abtriebsmoment 200<br />
Abziehhülse 298<br />
Achsabstand 322<br />
– ohne Profilverschiebung 321<br />
Achsen 290<br />
–, Normen (Auswahl) 288<br />
Achsenabschnittsform der Geraden 27<br />
Achsenwinkel 323<br />
Achsmodul 325<br />
Achsschnitt, Eingriffswinkel 326<br />
Achteck 14<br />
–, regelmäßiges 52<br />
Additionstheoreme 21, 24 ff.<br />
adiabate (isentrope) Zustandsänderung 169<br />
Admittanz 141<br />
Aktivkraft 337, 351<br />
Aliphaten 74<br />
Alkalimetalle 67<br />
allgemeine Linearform der Geradengleichung 27<br />
Allgemeintoleranzen für Fasen <strong>und</strong> R<strong>und</strong>ungshalbmesser<br />
nach DIN ISO 2768-1 251<br />
– – Form <strong>und</strong> Lage nach DIN ISO 2768-2 251<br />
– – Längenmaße nach DIN ISO 2768-1 251<br />
– – Winkelmaße nach DIN ISO 2768-1 251<br />
Aluminium <strong>und</strong> Aluminiumlegierungen, Bezeichnung<br />
104<br />
Aluminiumgusslegierungen 105<br />
Aluminiumknetlegierungen 105<br />
AL-Wert 129, 136<br />
Amplitude 195<br />
Analytische Geometrie 26<br />
Anfangsgeschwindigkeit 191<br />
Anfangsparameter 45<br />
Anfangswinkelgeschwindigkeit 194<br />
Ångström 60<br />
Anhaltswert 275<br />
– für die zulässige ideelle Schubspannung 278<br />
Ankreis 17<br />
373<br />
Anlaufweg 342, 344, 352, 354, 364, 371<br />
Anpresskraft 187<br />
Anstrengungsverhältnis 239, 290<br />
Anströmwinkel 207<br />
Antiparallelschaltung 158<br />
Antriebsmoment 200<br />
Antriebswelle 299<br />
Anziehdrehmoment 186<br />
–, erforderliches 266<br />
Anziehfaktor 265<br />
–, Richtwerte 265<br />
Äquivalent 1<br />
–, elektrochemisches 86<br />
Äquivalentmenge 88<br />
Äquivalentmengenkonzentration 89<br />
Arbeit 56, 204<br />
– der Gewichtskraft 199<br />
– der konstanten Kraft 199<br />
– einer veränderlichen Kraft 199<br />
–, äußere 167 ff.<br />
–, elektrische 117<br />
–, konstantes Drehmoment 200<br />
–, technische 167 ff.<br />
–, verrichtete 199<br />
Arbeitsebene 335<br />
Arbeitseingriff 345, 353, 365, 366<br />
Arbeitspunkt 118, 151, 153<br />
Arbeitssatz (Wuchtsatz) 204<br />
Archimedische Spirale 12, 46<br />
Arcusfunktion 23<br />
Areafunktion 26<br />
Argument 7<br />
Arithmetische Reihen, Definition 32<br />
Arithmetisches Mittel 4<br />
Aromaten 77<br />
Asymptoten 31, 43, 48<br />
Atmosphärendruck, umgebender 161, 205<br />
atmosphärische Druckdifferenz, Überdruck 161<br />
Atombindung 70<br />
–, polarisierte 70<br />
Atomkern 63<br />
Atommasse, relative 63<br />
Aufbohren 355 f., 363<br />
Auflagereibmoment 186<br />
Aufnahmekegel 307<br />
Auftrieb 206<br />
Ausfeuern 365<br />
Ausflusszahl 208<br />
Ausflusszeit 209<br />
Ausknicken 279<br />
Auslenkung 194 f.<br />
–, maximale 195<br />
Auslenkung-Zeit-Diagramm 195<br />
Ausnutzungsgrad 259 ff.<br />
Ausschlagfestigkeit 259, 267, 269, 277
374 Sachwortverzeichnis<br />
Ausschlagkraft 267<br />
Ausschlagspannung 259 f., 267, 269<br />
Außendrehen 337, 340<br />
–, Richtwerte 340<br />
Außendurchmesser 326<br />
Außenleiter 148<br />
Außenpressung 243<br />
Außenr<strong>und</strong>längsschleifen 369<br />
Außenr<strong>und</strong>schleifen 367, 371<br />
Ausspitzung 362<br />
Avogadro-Konstante 59, 87<br />
axiale Flächenmomente 226<br />
– –, Widerstandsmomente, Flächeninhalte,<br />
Trägheitsradius 225, 227<br />
Axialkraft 298, 318, 319<br />
–, Bezeichnungen 291<br />
Axialkraftanteil 264<br />
–, in den verspannten Platten (Plattenzusatzkraft)<br />
264<br />
Axialsicherungsring 299<br />
Axialspannung 241<br />
Axialvorschub 365<br />
– (Seitenvorschub), Richtwerte 365<br />
Axialvorschubgeschwindigkeit 368<br />
Backenbremse 188<br />
– mit tangentialem Drehpunkt 189<br />
– mit unterzogenem Drehpunkt 189<br />
Bahnpunkt, Geschwindigkeit 192<br />
bainitisches Gusseisen 104<br />
Ballungsregel 134<br />
Bandbremse, einfache 189<br />
Bandbremszaum 189<br />
Base 78<br />
Basis 6<br />
Baustahl 99, 293<br />
–, vergütet 294<br />
Bauteil-Ausschlagfestigkeit 293<br />
Bauteil-Fließgrenze 296<br />
–, Biegebeanspruchung 297<br />
–, Ermittlung 297<br />
–, Torsionsbeanspruchung 297<br />
Bauteil-Wechselfestigkeit, Berechnung 295<br />
–, Gleichungen 295<br />
Bauverhältnisse (Anhaltswerte) 313<br />
Beanspruchung 290<br />
–, zusammengesetzte 238, 239<br />
Befestigungsnabe 316<br />
Belastung, dynamische 218<br />
–, quasistatische 284<br />
–, schwingende 279<br />
–, zulässige 217 f., 235<br />
Belastungsfall 233, 290<br />
Belastungsnachweis 217 f., 235, 236<br />
Beleuchtungsstärke 59<br />
Berechnung axial belasteter Schrauben ohne<br />
Vorspannung 259<br />
– einer vorgespannten Schraubenverbindung<br />
bei axial wirkender Betriebskraft 260<br />
– vorgespannter Schraubenverbindungen bei<br />
Aufnahme einer Querkraft 267<br />
Berechnungsgleichungen für die Einzeltellerfeder<br />
Kennwerte K 282<br />
Bernoulli'sche Druckgleichung 207<br />
Beschleunigung 55, 190 f., 195, 201, 204<br />
Beschleunigungsarbeit 200 ff.<br />
Beschleunigungskraft 204<br />
Beschleunigungsmoment 204<br />
–, resultierendes 202<br />
Beschleunigung-Zeit-Diagramm 196<br />
Bestimmung des maximalen Biegemomentes<br />
219<br />
Betrag 1<br />
Betriebsbelastung 296<br />
Betriebseingriffswinkel 322<br />
– im Normalschnitt 322<br />
– im Stirnschnitt 322<br />
Betriebskraft, axiale 262, 264, 267<br />
–, dynamische 267<br />
–, gegebene 259<br />
Betriebslast 316<br />
Betriebswälzkreis 318<br />
Betriebswälzkreisdurchmesser 322<br />
Bewegung, drehende (rotatorische) 204<br />
–, geradlinige (translatorische) 204<br />
–, geradlinige gleichmäßig beschleunigte<br />
(verzögerte) 190<br />
Bewegungsschraube, Berechnung 268<br />
–, zulässige Flächenpressung, Richtwerte 269<br />
Bezugsprofil 322<br />
Biegebeanspruchung 218, 221<br />
–, Sicherheit 296<br />
Biegefeder 273<br />
Biegelinie 222<br />
Biegemoment 235, 239, 289 f., 292<br />
–, maximales 222, 291<br />
Biegemomentenfläche 219<br />
Biegespannung 276<br />
–, vorhandene 218, 289<br />
–, zulässige 275, 290<br />
Biegewechselfestigkeit 294<br />
Biegung <strong>und</strong> Torsion 240<br />
Bildungs- <strong>und</strong> Verbrennungswärme 92<br />
Bildungsenthalpie 91<br />
Bindigkeit 71<br />
Bindungswertigkeit 71<br />
Binomische <strong>Formeln</strong>, Polynome 3<br />
bipolare Transistoren 155 f.<br />
Blattfeder 273<br />
–, geschichtete 276<br />
Blindfaktor 141<br />
Blindgröße, Blindwiderstand 141 ff.<br />
Blindleistungskompensation 147<br />
Blocklänge 278<br />
Bodenkraft 205<br />
Bogenanschluss 53<br />
Bogenelement 43<br />
Bogenhöhe 13<br />
Bogenlänge, mittlere 13<br />
Bogenmaß 19, 188, 195<br />
– des ebenen Winkels 19<br />
Bohren 337, 355, 358 f.<br />
– ins Volle 355 f., 363
Sachwortverzeichnis 375<br />
–, Geschwindigkeiten 356<br />
–, Schnittgrößen <strong>und</strong> Spanungsgrößen 355<br />
–, Zerspankräfte 362<br />
Bohrerkern 360<br />
Bohrerspitze 360<br />
Bohrung, Toleranzfeld 305<br />
Bohrungsmaße 248<br />
Boltzmann-Konstante 59<br />
Brechung magnetischer Feldlinien 130<br />
Breitenverhältnis 276<br />
Bremse 188<br />
Bremskraft 188<br />
Bremsmoment 188<br />
Bremszaum 189<br />
Brennpunkt 30<br />
Brennstrahl 30<br />
Brennstrahlenlänge 31<br />
Bruchdehnung 95<br />
–, Zerreißversuch 216<br />
Brüche 3<br />
Brucheinschnürung 95<br />
Bruchfestigkeit 315<br />
Brückenschaltung 124<br />
Candela 59<br />
Carnot'scher Kreisprozess 171<br />
Celsiustemperatur 163<br />
Coulomb 125<br />
Coulomb'sches Gesetz 126<br />
CrNiMo-Einsatzstähle 294<br />
Culmann'sche Gerade 180<br />
d'Alembert'scher Satz 201<br />
Dämpfung, prozentuale 287<br />
Darstellung, goniometrische 7<br />
Dauerbeanspruchung 277<br />
Dauerbruch, Sicherheitsnachweis 293<br />
Dauerfestigkeit 294<br />
–, Nachweis 284<br />
–, Sicherheitsnachweis 293<br />
Dauerfestigkeitsdiagramm (Goodman-<br />
Diagramme) 284, 301, 312, 316<br />
Dauerhaltbarkeit 279<br />
Dauerhubfestigkeit 279 f.<br />
Dauerkurzschlussstrom 138<br />
Dehnung 215 f.<br />
Dehnungshypothese (C. Bach) 239<br />
Diac 158, 160<br />
diamagnetisch 128<br />
Dichte 56, 176<br />
– von Wasser 211<br />
Dichtebestimmung von Gasen 209<br />
Dielektrikum 126 f.<br />
Dielektrizitätskonstante 125<br />
Dielektrizitätszahl 125<br />
differentieller Widerstand 151, 153 f.<br />
Differenzbremse 189<br />
Differenzial 2<br />
Differenzial- <strong>und</strong> Integralrechnung, Anwendungen<br />
42<br />
Differenzialgleichung der freien ungedämpften<br />
Schwingung 195<br />
Differenzialquotient 2<br />
Differenzialrechnung 35<br />
–, Ableitungen elementarer Funktionen 36<br />
–, Gr<strong>und</strong>regeln 35<br />
DIN-Geradverzahnung 320<br />
DIN-Verzahnungssystem 320<br />
Diode 151 f.<br />
Dipol 71<br />
Diskriminante 11, 29<br />
Dissoziation, elektrolytische 83<br />
Dissoziationsgrad 83<br />
Dissoziationskonstanten 83<br />
Drahtdurchmesser, Entwurfsberechnung 277 f.<br />
Drallwinkel 349, 361<br />
Drangkraft 337<br />
Drehachse 202<br />
Drehbewegung, gleichförmige 192<br />
Drehen 329<br />
–, Bewegungen 329<br />
–, Geschwindigkeiten 329<br />
–, Kräfte 329<br />
Drehenergie (Drehwucht) 202<br />
Drehfeder (Schenkelfeder) 277<br />
Drehfrequenz 55<br />
Drehimpulsänderung 204<br />
Drehmaschine, Leistungsflussbild 339<br />
Drehmeißel, gerader, rechter 334<br />
Drehmoment 56, 199 f.<br />
–, resultierendes 202<br />
–, stoßartiges 298<br />
–, zu übertragendes 268<br />
Drehschub 287, 288<br />
Drehstabfeder 273 f., 277, 299<br />
Drehstromnetz 148<br />
Drehstromtechnik 148 ff.<br />
Drehwinkel 193 ff., 200, 204, 273<br />
–, überstrichener 193<br />
Drehwucht 204<br />
Drehzahl 55, 202<br />
–, erforderliche 331<br />
Drehzahlwerte 342<br />
Dreieck 13<br />
–, gleichseitiges 13, 51<br />
–, schiefwinkliges 18<br />
Dreieck-Blattfeder 275<br />
Dreieckfläche 182<br />
Dreieckschaltung 148 ff.<br />
Dreieckspannung 148<br />
Dreiecksumfang 182<br />
Drei-Kräfteverfahren 180<br />
Drillungswiderstand 237<br />
Drosselspule 137<br />
Druck 56, 205<br />
– <strong>und</strong> Biegung 238<br />
–, absoluter 161, 205<br />
–, hydrostatischer (Schweredruck) 205<br />
–, statischer 207 f.<br />
–, statischer, Messung 207<br />
Druckabfall 209 f.<br />
Druckänderungsarbeit 167<br />
Druckfeder 273<br />
–, kaltgeformte 278 f.
376 Sachwortverzeichnis<br />
–, kaltgeformte, Dauerfestigkeitsdiagramm 279<br />
–, zylindrische 273<br />
Druckgusswerkstoffe 108<br />
Druckhöhe, konstante 209<br />
Druckkraft 233<br />
Druckspannung 233, 284<br />
–, größte 218<br />
–, mittlere tangentiale 304<br />
–, resultierende 238<br />
–, vorhandene 234<br />
Druckübersetzung 205<br />
Durchbiegung 222<br />
Durchbruchbereich 154<br />
Durchbruchspannung 151, 154<br />
Durchflussgeschwindigkeit, mittlere 206<br />
Durchflusszahl 208<br />
Durchflutungsgesetz 129<br />
Durchgangsbohrung 270, 364<br />
Durchlassbereich 151<br />
Durchlassstrom 151, 158<br />
Durchmesserverhältnis 300<br />
Dynamik der Drehung (Rotation) 202<br />
– – Verschiebebewegung (Translation) 201<br />
dynamisches Gr<strong>und</strong>gesetz für freien Fall 201<br />
– – für Tangenten- <strong>und</strong> Normalenrichtung 201<br />
– –, allgemein 201 f.<br />
Ebene, schiefe 185<br />
Eckenwinkel 334 f., 349, 360 f.<br />
Edelgas 69<br />
Edelmetall 68<br />
Effektivwert 139 f.<br />
Eigenfrequenz 273 f.<br />
Einflussfaktor, geometrischer 294<br />
Eingriffsteilung, Normalschnitt 321<br />
–, Stirnschnitt 321<br />
Eingriffswinkel 352<br />
–, Außenr<strong>und</strong>schleifen 370<br />
–, Flachschleifen 370<br />
–, Innenr<strong>und</strong>schleifen 370<br />
–, Normal- <strong>und</strong> Achsschnitt 327<br />
–, Stirnschnitt 321<br />
–, Teilkreis 320<br />
Eingriffszeit 368<br />
Einheit 189<br />
–, imaginäre 7<br />
– der vorkommenden physikalischen Größen<br />
197<br />
– des ebenen Winkels, Begriff 19<br />
Einheitsbohrung 305<br />
Einlegekeil 298<br />
Einpressen 300<br />
Einpresskraft 301, 303<br />
–, erforderliche 307<br />
Einsatzhärten 294<br />
Einsatzstahl 101, 294<br />
Einsetzregel (Substitutionsmethode) 37<br />
Einstechschleifen 365<br />
Einstellwinkel 306 f., 334 f., 340, 342, 351, 360 f.,<br />
364<br />
–, Richtwerte 349<br />
Einweg-Gleichrichtung 140<br />
Einzellast 222<br />
Einzelrad- <strong>und</strong> Paarungsgleichungen für Gerad-<br />
<strong>und</strong> Schrägstirnräder 320<br />
Einzelteller, Maße 281<br />
Eisen-Kohlenstoff-Diagramm 96<br />
Elastizitätsmodul 56, 95, 222, 275, 302<br />
– E <strong>und</strong> Schubmodul G verschiedener Werkstoffe<br />
220<br />
elektrische Feldstärke 125<br />
elektrischer Fluss 125<br />
elektrisches Feld 125 ff.<br />
Elektrizitätsmengen 58<br />
Elektrolyse 85<br />
Elektrolyt 83<br />
Elektronegativität 69<br />
Elektronenhülle 66<br />
Elektronik 151 ff.<br />
Elektrotechnik 115 ff.<br />
Elektrowärme 118<br />
Element, galvanisches 85<br />
Elementarladung, elektrische 59<br />
Elementar-Teilchen 63<br />
Ellipse 10, 30<br />
Ellipsenkonstruktion 52<br />
Ellipsenumfang 31<br />
Emissionsverhältnis 165, 176<br />
Endgeschwindigkeit 191<br />
Endparameter 45<br />
Endwinkelgeschwindigkeit 193<br />
Energie 56<br />
– (Bewegungsenergie), kinetische 201<br />
–, Änderung der inneren 168<br />
–, Änderung der inneren 170<br />
–, elektrische 58, 117, 125<br />
–, innere 166, 169<br />
–, potenzielle (Energie der Lage) 201<br />
–, spezifische innere 57, 166<br />
Energiedichte 125, 129<br />
Energieerhaltungssatz 201<br />
Energieerhaltungssatz der Drehung 202<br />
Energieinhalt 125, 129<br />
Energiekosten 117<br />
Energieprinzip, (H. v. Helmholtz) 162<br />
Energieverlust beim Stoß 198<br />
– beim vollkommen unelastischen Stoß 198<br />
Englergrade, Umrechnung 206<br />
Enthalpie 57, 167<br />
–, Änderung 168, 170<br />
–, spezifische 57, 167<br />
Entropie 169<br />
–, Änderung 168, 170 f.<br />
Erdalkalimetall 67<br />
Erdmetall 67<br />
Ergänzungskegel 318<br />
Ergänzungsverzahnung 324<br />
Ergänzungszähnezahl 324<br />
Erhöhungsfaktor 297<br />
–, Fließgrenze 296<br />
Ersatz-Geradstirnrad 318<br />
Ersatzhohlzylinder 263<br />
Ersatzkraft 185<br />
Ersatz-Spannungsquelle 119, 130
Sachwortverzeichnis 377<br />
Ersatz-Stromquelle 119<br />
Ersatzverzahnung 324<br />
Ersatzzähnezahl 320, 324<br />
Euklid 16<br />
Eulergleichung 234<br />
Euler'sche Knickung 234<br />
– Zahl 188<br />
Evolventenfunktion 321<br />
Expansion, adiabate 171<br />
–, isotherme 171<br />
Expansionszahl 208<br />
experimentelle Bestimmung des Trägheitsmomentes<br />
eines Körpers 197<br />
Exponentialform 7<br />
Exponentialfunktion 11<br />
– <strong>und</strong> logarithmische Funktion 6<br />
Exponentialgleichung 9<br />
–, lösen 6<br />
Extremwert 43, 48<br />
Exzentrizität, lineare 31<br />
–, numerische 31<br />
Fachwerk 181<br />
Fahrwiderstand 187<br />
Fahrwiderstandszahl 187<br />
Fakultät 1<br />
Fall, freier 190, 218<br />
Fallbeschleunigung 55, 190, 201, 205, 217<br />
Fallhöhe 190<br />
– nach Wurfweite 192<br />
–, freie 198<br />
–, Geschwindigkeit 192<br />
Farad 125<br />
Faraday’sche Gesetze 86<br />
Faraday-Konstante 59, 86<br />
Fasenlänge 301<br />
Fasenwinkel 301<br />
Federarbeit 273<br />
Federhub 279<br />
Federkennlinie 273, 281<br />
Federkraft 200, 273, 277, 278, 282 ff.<br />
Federmoment 273, 275<br />
Feder 273, 286<br />
–, Berechnungen 282<br />
–, hintereinandergeschaltete 274<br />
–, Maße, Begriffe <strong>und</strong> Bezeichnungen 281<br />
–, parallelgeschaltete 274<br />
Federpaket 281 f.<br />
Federrate 195 f., 273, 275, 283<br />
–, (Federsteifigkeit) 200<br />
– in N/mm 217<br />
–, resultierende 274<br />
Federsäule 281 f.<br />
Federstahl 283<br />
Federstahldraht, Dauerfestigkeitsdiagramm 278<br />
Federteller ohne Auflagefläche 282<br />
Federungsarbeit 283<br />
Federvolumen 275<br />
Federweg 200, 273, 275, 279, 281, 284<br />
Feinkornbaustahl, schweißgeeigneter 100<br />
Feldkonstante, elektrische 59, 125<br />
–, magnetische 59, 128<br />
Feldstärke 128 ff.<br />
–, elektrische 58<br />
Ferroelektrika 125<br />
ferromagnetisch 128<br />
Fertigung, spanende 340<br />
Festigkeitseigenschaften der Schraubenstähle<br />
nach DIN EN 20898 269<br />
Festigkeitshypothese 239<br />
Festigkeitskennwert 239<br />
Festigkeitsklasse 259<br />
Festigkeitsnachweis 269<br />
–, statische Belastung 284<br />
Festsitz 254<br />
Flächen 12 f.<br />
Flächenberechnung 45<br />
– in Polarkoordinaten 46<br />
Flächeninhalt eines Dreiecks 27<br />
Flächenintegral (bestimmtes Integral) 37<br />
Flächenmoment 228 f., 232, 237<br />
–, axiales 218, 219, 233<br />
–, erforderliches 233<br />
–, polares 196, 219<br />
– 2. Grades, Widerstandsmoment, Trägheitsradius<br />
56, 219, 231<br />
Flächenpressung 241, 244, 267, 311 f., 316<br />
– an der Nabe, vorhandene 315<br />
– an der Welle, vorhandene 315<br />
– der Prismenführung 241<br />
– ebener Flächen 241<br />
–, Grenzwert 312<br />
–, Herleitung der Gleichungen 315<br />
– im Gewinde 242, 259<br />
– im Gleitlager 242<br />
– im Kegelzapfen 241<br />
– in Kegelkupplung 242<br />
–, mittlere 187<br />
–, zulässige 301, 309, 315 f.<br />
Flächenschwerpunkt 183<br />
Flachkeil 310<br />
Flachschleifen (Umfangsschleifen) 368 f.<br />
Flankendurchmesser 260, 272<br />
Flankenradius 186<br />
Flaschenzug (Rollenzug) 188<br />
Fliehkraft 202, 240<br />
Fließgrenze, Sicherheitsnachweis 296<br />
Fluss, magnetischer 58<br />
Flussdichte 128 ff.<br />
–, elektrische 58<br />
Flüssigkeitsvolumen, verdrängtes 206<br />
Form, konkave 370<br />
–, konvexe 370<br />
Formänderung 215 f.<br />
Formänderungsarbeit 200, 217, 236<br />
Formänderungsgleichungen 280<br />
<strong>Formeln</strong> von Euler 33<br />
Formelzeichen <strong>und</strong> Einheiten 280<br />
Formfaktor 139 f., 275 f., 287<br />
Formfräser 349<br />
Formschlussverbindung 299<br />
Formtoleranz 252<br />
Formzahl 325<br />
Fourier-Entwicklung 195
378 Sachwortverzeichnis<br />
Fräsen 337<br />
Fräserüberstand 351<br />
Fräserzugabe 352<br />
Freimachen 177<br />
Freiwinkel 335<br />
Frequenz 55, 139, 141, 195<br />
Fügefläche 300<br />
Fügen 300<br />
–, hydraulisches 300<br />
Fugendruck 300 f., 303, 309<br />
– (Pressungsgleichung), erforderlicher 301<br />
Fugendruck, Einpresskraft 307<br />
–, Verteilung 309<br />
–, vorhandener 309<br />
Fugendurchmesser 301<br />
Fugenfläche 309<br />
Fugenlänge 300 f., 307<br />
Fugenpressung, vorhandene 307<br />
Fügespiel, erforderliches 304<br />
Fünfeck 14<br />
–, regelmäßiges 52<br />
Funktionen der halben Winkel 22<br />
– für Winkelvielfache 22<br />
Funktion, gerade 44<br />
–, inverse trigonometrische 12<br />
–, logarithmische 11<br />
–, trigonometrische 11, 20, 22, 25<br />
–, ungerade 45<br />
–, unecht gebrochene rationale 48<br />
Funktionswerte 20<br />
Fußhöhe 327<br />
Fußkreis 318<br />
Fußkreisdurchmesser 321, 326, 327<br />
Fußwinkel 326<br />
Gangzahl der Schnecke 325<br />
–, Erfahrungswerte 325<br />
Ganze Zahlen 1<br />
Gas 69<br />
Gas, vollkommenes 162<br />
Gasgemisch, Gleichungen 171<br />
Gaskonstante 171<br />
–, individuelle 166<br />
–, spezifische 57, 166, 176<br />
–, universelle 57, 59, 166<br />
Gasmechanik 166<br />
Gegenkraft 188<br />
Gegenlaufschleifen 368<br />
Gegenlaufverfahren 346, 349<br />
Gegenüberstellung einander entsprechender<br />
Größen <strong>und</strong> Definitionsgleichungen für<br />
Schiebung <strong>und</strong> Drehung 204<br />
Gemischpartner 171<br />
Gemischvolumen 171<br />
Generatorregel 133<br />
geometrische Größe, Sechskantschraube 246<br />
– Gr<strong>und</strong>konstruktion 49<br />
– Reihe, Definition 32<br />
geometrisches Mittel 4, 32<br />
Gerade 10<br />
Geradstirnrad 318<br />
– -Nullgetriebe 320<br />
– -V-Getriebe 320<br />
– -V-Nullgetriebe 320<br />
Geradverzahnung 321<br />
Geradzahn-Kegelräder 319, 324<br />
Gesamtdruck 171<br />
Gesamteinflussfaktor 295<br />
Gesamtfederkraft 282<br />
Gesamtfederweg 282<br />
Gesamtmasse 171<br />
Gesamtresultierende 179<br />
Gesamtr<strong>und</strong>lauftoleranz 252<br />
Gesamtschwerachse 220<br />
Gesamtschwerpunkt 220<br />
Gesamtspannkraft, erforderliche axiale 312<br />
Gesamtüberdeckung 322<br />
Gesamtvolumen 171<br />
Gesamtwirkungsgrad 200, 327<br />
Geschwindigkeit 55, 204, 209, 367<br />
–, gemeinsame 198<br />
–, maximale 196<br />
–, mittlere 197<br />
– nach dem Stoß 198<br />
– nach dem vollkommen elastischen Stoß 198<br />
Geschwindigkeitsänderung 190<br />
Geschwindigkeitsdruck 207<br />
Geschwindigkeitsverhältnis, Richtwerte 366<br />
Geschwindigkeitszahl 208<br />
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm 196<br />
Gesetz von Boyle-Mariotte 163<br />
– – Dalton 171<br />
– – Gay-Lussac 163<br />
Gestalt-Ausschlagfestigkeit 293<br />
Gestaltfestigkeit 277, 296<br />
–, Ermittlung 293<br />
–, Gleichungen 295<br />
Getriebestufe, Gesamtwirkungsgrad 328<br />
Getriebewelle, Konstruktionsentwurf 289<br />
–, Stützkräfte <strong>und</strong> Biegemomente, Kräfte am<br />
Zahnrad 291<br />
Getriebewirkungsgrad 330, 339, 363, 370<br />
Gewichtskraft 56, 185 f., 218<br />
Gewinde, eingängiges 272<br />
–, zweigängiges 272<br />
Gewindedurchmesser 272<br />
Gewindereibmoment 186, 268<br />
Gewindesteigung 259, 266<br />
Gewindesteigungswinkel 260<br />
Glätten 300<br />
Glättung 300, 303<br />
Gleichanteil 140<br />
Gleichgewicht, chemisches 81<br />
Gleichgewichtskraft 235<br />
Gleichgewichtslage 195<br />
Gleichlaufschleifen 368<br />
Gleichlaufverfahren 346, 349<br />
Gleichrichtung 140<br />
Gleichrichtwert 139 f.<br />
Gleichsetzen 48<br />
Gleichstromtechnik 118 ff.<br />
Gleichung, goniometrische 9<br />
–, logarithmische 9<br />
–, quadratische 8 f.
Sachwortverzeichnis 379<br />
Gleitfeder 315<br />
Gleitgeschwindigkeit 327<br />
Gleitlager 327<br />
Gleitpassfeder 299<br />
Gleitreibkraft 185<br />
Gleitreibung <strong>und</strong> Haftreibung 185<br />
Gleitreibzahl 190, 268, 326<br />
Gleitsitz 254<br />
Gleitung 215<br />
goniometrische Gleichungen 9<br />
Grad Celsius 172<br />
– Fahrenheit 172<br />
– Kelvin 172<br />
– Rankine 172<br />
Grammäquivalent 89<br />
Gravitationskonstante 59<br />
Grenzabmaß, Eintragung 250<br />
Grenzdurchmesser 342 f.<br />
Grenzdurchmesserbereich 342<br />
Grenzflächenpressung, Richtwerte 267<br />
Grenzschlankheitsgrad 233 f.<br />
Grenzwert 2, 43<br />
Grenzwinkel 185<br />
Grenzzähnezahl 320<br />
griechisches Alphabet 2<br />
Größen <strong>und</strong> Einheiten 275<br />
Größeneinflussfaktor 295<br />
–, technologischer 293, 296 f.<br />
Gr<strong>und</strong>bohrung 364<br />
Gr<strong>und</strong>eigenschaft der Ellipse 30<br />
– – Hyperbel 30<br />
Gr<strong>und</strong>integral 38<br />
Gr<strong>und</strong>kreis 318<br />
Gr<strong>und</strong>kreisdurchmesser 321<br />
Gr<strong>und</strong>kreisradius 320<br />
Gr<strong>und</strong>reihe 331<br />
Gr<strong>und</strong>toleranz 248<br />
– der Nennmaßbereiche 250<br />
Gruppe 66<br />
–, funktionelle 77<br />
GTO-Thyristor 159<br />
Guldin'sche Regeln 184<br />
Gummifeder 287<br />
Gurtscheibe 298<br />
Gusseisen mit Kugelgraphit 103<br />
– – Lamellengraphit 102<br />
– – Vermiculargraphit 104<br />
– -Nabe 309, 313, 316<br />
Gusseisensorten, Bezeichnung 101<br />
Gütefaktor 141<br />
Haftbeiwert 301<br />
–, trocken 301<br />
Haftkraft 302<br />
Haftmoment 302<br />
Haftreibkraft 185<br />
Haftreibwinkel 185<br />
Haftreibzahl 185, 190<br />
Haftsitz 254<br />
Halbleiterdiode 151 f.<br />
Halbparameter 30<br />
Halogen 69<br />
Haltekraft 185, 187<br />
Haltepunkt 97<br />
Haltespannung 157 f.<br />
Haltestrom 157 f.<br />
Handspindelpresse 268<br />
harmonisches Mittel 4<br />
Härteprüfung nach Brinell 93<br />
– – Rockwell 94<br />
– – Vickers 94<br />
Hauptflächenmoment 220<br />
Hauptnutzungszeit 341, 364, 370<br />
– beim Aufbohren 364<br />
– – außermittigen Stirnfräsen 353<br />
Hauptnutzungszeit beim Bohren ins Volle 364<br />
– – mittigen Stirnfräsen 354<br />
– – R<strong>und</strong>schleifen (Längsschleifen) 370 f.<br />
– – spitzenlosen R<strong>und</strong>schleifen (Durchgangsschleifen)<br />
371<br />
– – spitzenlosen R<strong>und</strong>schleifen (Einstechschleifen)<br />
372<br />
Hauptquantenzahl 66<br />
Hauptscheitel 30<br />
Hauptschneide 330, 335, 361<br />
Hauptspannung 216<br />
Hauptwert der spezifischen Schnittkraft 362<br />
– – spezifischen Schnittkraft, Richtwerte 336<br />
Hefnerkerze 59<br />
Heizwert 92<br />
Herstell-Eingriffswinkel 317, 320<br />
Hertz 274<br />
Hesse'sche Normalform 27 f.<br />
Hinterschliff 361<br />
Hirthverzahnung 299<br />
Hobeln 337<br />
Höchstpassung 305<br />
Hohlkeil 310<br />
Hohlkugel (Kugelschale) 203<br />
Hohlwelle 296<br />
Hohlzapfen 187<br />
Hohlzylinder 203<br />
–, umlaufender 241<br />
Hohlzylinder unter Druck 243<br />
Hooke`sches Gesetz 95<br />
horizontaler Wurf (ohne Luftwiderstand) 192<br />
Hubhöhe 199<br />
Hubspannung 279<br />
Hüllkegelwinkel 361<br />
Hülsenfeder, Beanspruchung 287 f.<br />
H<strong>und</strong>’sche Regel 66<br />
Hyperbel 11, 30<br />
–, gleichseitige 31<br />
Hyperbelfunktion 11<br />
–, Definitionen 25<br />
–, inverse 12<br />
Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie<br />
239 f.<br />
Impedanz 141<br />
Impulserhaltungssatz 204<br />
Impulserhaltungssatz (Antriebssatz) 201 f.<br />
Induktanz 141<br />
Induktion 128 f.
380 Sachwortverzeichnis<br />
Induktionsgesetz 130<br />
Induktionskonstante 128<br />
Induktivität 58, 129, 135 ff.<br />
Inkreis 17<br />
Inkreisradius 13<br />
Innendrehen 337<br />
Innenkegelhöhe 326<br />
Innenkreis 51<br />
Innenpressung 243<br />
Innenr<strong>und</strong>längsschleifen 369<br />
Innenr<strong>und</strong>schleifen 367, 371<br />
Innen-Sechskantschraube 246, 270<br />
Innenwiderstand 118, 121, 123<br />
Integral 37<br />
–, bestimmtes 2<br />
–, unbestimmtes 2<br />
Integrale algebraischer Funktionen 38<br />
– transzendenter Funktionen 40<br />
–, häufig vorkommende 38 f.<br />
–, uneigentliche 42<br />
Integrand 42<br />
Integrationsregeln 36<br />
Integrationsweg 42<br />
inverse trigonometrische Funktionen 12<br />
Ionenbindung 70<br />
Ionenprodukt 83<br />
Ionenwertigkeit 71<br />
ISO-Regelgewinde, metrisches 266<br />
– -Toleranz 250<br />
– -Toleranzlagen 305<br />
Isotope 63<br />
I-Träger nach DIN, warmgewalzte schmale 231<br />
–, mittelbreiter, Bezeichnung 232<br />
–, schmaler, Bezeichnung 231<br />
–, warmgewalzte 232<br />
Joule 163, 199<br />
Kapazitanz 141<br />
Kapazität 125 ff.<br />
–, elektrische 58<br />
Kegel, Begriffe 306<br />
–, gerade <strong>und</strong> schiefe 184<br />
–, Normen 306<br />
–, Vorzugswerte 307<br />
Kegelbuchse 298<br />
Kegeldurchmesser, mittlerer 306<br />
Kegelmantel <strong>und</strong> Pyramidenmantel 183<br />
Kegelmantelschliff 360<br />
Kegelmaße 306<br />
Kegelpasssystem 306<br />
Kegelräder, Einzelrad- <strong>und</strong> Paarungsgleichungen<br />
323<br />
Kegelring 309<br />
Kegelstift 313<br />
Kegelstumpf 183<br />
–, gerader <strong>und</strong> schiefer 184<br />
Kegeltoleranzpasssystem 306<br />
Kegelverhältnis 306 f.<br />
Kegelwinkel 306 f.<br />
Keil 14, 184, 310<br />
Keilgetriebe 187<br />
Keilsitzverbindung 298, 310<br />
Keilwelle, Werte 308<br />
Keilwellenprofil 299<br />
Keilwellenverbindung 316<br />
– mit geraden Flanken (Übersicht) 316<br />
Kelvin 161<br />
Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit<br />
nach DIN EN ISO 1302 253<br />
Kerbschlagarbeit 95<br />
Kerbschlagbiegeversuch 95<br />
Kerbstift 299, 313<br />
Kerbverzahnung, Werte 308<br />
Kerbwirkung, Einflussfaktor 295<br />
Kerbwirkungszahl 269<br />
–, Richtwerte 295<br />
Kerbzahnprofil 299<br />
Kerndicke 361<br />
Kerndurchmesser 272<br />
Kernquerschnitt 272<br />
–, erforderlicher 268<br />
Kesselbetrieb (Mittelwerte) 176<br />
Kettenregel 35<br />
Kilomol 57<br />
Kippspannung 157 f.<br />
Kippstrom 157<br />
Kirchhoff'sche Sätze 119<br />
Klammerregeln 3<br />
Kleinstübermaß 305<br />
Klemmenspannung 118<br />
Klemmkraft 264<br />
–, erforderliche 267 f.<br />
Klemmlänge 263<br />
Klemmsitzverbindung 298, 309<br />
Knickkraft nach Euler 233<br />
Knicklänge, freie 233<br />
Knicksicherheit 233<br />
Knickspannung 233 f.<br />
Knickung 217, 233, 362<br />
Knotenpunkt 181<br />
Knotenpunkt-Satz 119<br />
Koaxialitätstoleranz 252<br />
kohärente Einheit (gesetzliche Einheit, zugleich<br />
SI-Einheit) 199<br />
– – des ebenen Winkels 19<br />
Kolbenbeschleunigung 197<br />
Kolbengeschwindigkei 197<br />
Kolbenkraft 205<br />
Kolbenweg 197, 205<br />
Kolkverschleiß 335<br />
Kombination geschichteter Tellerfedern 281<br />
Kompensation 147<br />
Kompensationskapazität 147<br />
komplexe Zahlen 1, 7<br />
Kompression, adiabate 171<br />
–, isotherme 171<br />
Kondensanz 141<br />
Kondensator 125 ff.<br />
Konduktanz 115, 141<br />
Konduktivität 115<br />
Konstanten, allgemeine <strong>und</strong> atomare 59<br />
–, häufig gebrauchte 2<br />
Konstantenregel 36
Sachwortverzeichnis 381<br />
Konstruktionsentwurf, Zusammenstellung wichtiger<br />
Normen 289<br />
Kontinuitätsgleichung 207<br />
Kontraktionszahl 208<br />
Konvektion 164<br />
Konvergenzbereich 33<br />
Konzentration 81<br />
Koordinationszahl 72<br />
Kopfauflagefläche 270<br />
Kopfhöhe 327<br />
Kopfkegelwinkel 326<br />
Kopfkreis 318<br />
Kopfkreisdurchmesser 321, 325 ff.<br />
–, innerer 326<br />
Kopfkürzung, erforderliche 321<br />
Kopfspiel 320, 324, 326<br />
– einer Radpaarung 322<br />
Kopfwinkel 326<br />
Kornabstand, effektiver 366, 369<br />
Körper 14<br />
Körperschwerpunkt 183 f., 202<br />
Kosecans 20<br />
Kosinus 20<br />
Kosinussatz 18<br />
Kotangens 20<br />
Kraft 56<br />
Krafteck 181<br />
Krafteinleitung, zentrische 263<br />
Krafteinleitungsfaktor 262, 264<br />
Krafteinleitungsfall, allgemeiner 264<br />
Krafteinleitungskreis 281<br />
Kräftemaßstab 219<br />
Kräfteplan 180, 219<br />
Kräftesystem, allgemeines ebenes 178, 180<br />
–, – räumliches 178, 181<br />
–, zentrales 181<br />
–, – ebenes 178, 180 f.<br />
–, – räumliches 178, 180 f.<br />
Kraftfahrzeugkupplungen 299<br />
Kraft-Linie 200<br />
Kraftmoment 235<br />
Kraftteinleitungspunkt 264<br />
Kraftverhältnis 263<br />
Kraftweg 188<br />
Kraft-Weg-Diagramm 199<br />
Kraftwirkung im elektrischen Feld 125 f.<br />
– – magnetischen Feld 132 ff.<br />
Kreis 10, 13, 29<br />
Kreisabschnitt 13<br />
Kreisabschnittsfläche 182 f.<br />
Kreisbewegung, gleichmäßig beschleunigte<br />
(verzögerte) 193<br />
Kreisbogen 52, 182<br />
Kreisevolvente 12<br />
Kreisfläche 45<br />
Kreisfrequenz 139, 195<br />
Kreisfunktion 23<br />
Kreisgleichung in Parameterform 29<br />
Kreiskegel 203<br />
–, gerader 15<br />
Kreiskegelstumpf 203<br />
Kreiskegelstumpf, gerader 15<br />
Kreisprozessarbeit 171<br />
Kreisradius 13<br />
Kreisring 13<br />
Kreisringstückfläche 183<br />
Kreisringtorus 15<br />
Kreisröhre 206<br />
Kreissektor 13<br />
Kreiszylinder 14, 203<br />
–, abgeschrägter gerader 183<br />
–, schief abgeschnitten 15<br />
Krümmung 44<br />
Krümmungskreis 31<br />
Krümmungsradius 30, 44, 201<br />
Kugel 15, 203<br />
–, kegelig durchbohrte 15<br />
–, zylindrisch durchbohrte 15<br />
Kugelabschnitt 184<br />
Kugelausschnitt 15, 184<br />
Kugelsektor 15<br />
Kugelstrahl 294<br />
Kugelvolumen 46<br />
Kühlschmierungs-Korrekturfaktor 337<br />
Kunststoffe, thermoplastische 112<br />
Kupfer <strong>und</strong> Kupferlegierungen, Bezeichnung 106<br />
Kupfergusslegierungen 107<br />
Kupferknetlegierungen 107<br />
Kupplung 298 f.<br />
Kurbelradius 197<br />
Kurvendiskussion 47<br />
Kurvenlänge 46<br />
Kurzschlussspannung 120, 138<br />
Kurzschlussstrom 116, 118, 120<br />
Kurzzeichen für Kunststoffe <strong>und</strong> Verfahren 110<br />
Ladung, elektrische 58<br />
Ladungszahl 71<br />
Lageplan 219<br />
Lager, zweiwertiges 180 f.<br />
Lagerkraft 180<br />
Lagermetalle <strong>und</strong> Gleitwerkstoffe 109<br />
Lagerreibung 187<br />
Lagetoleranzen 252<br />
Längenausdehnungskoeffizient 162, 174, 218,<br />
304<br />
Längenmaßstab 219<br />
Längenzunahme 162<br />
Längsdehnung 302<br />
Längslager (Spurzapfen) 187<br />
Längspressverband 298, 300 f.<br />
Längsschleifen, Richtwert 371<br />
Längsstiftverbindung 313<br />
Längsvorschub der Maschine 330<br />
Lastdrehzahl 331<br />
Lastweg 188<br />
Laufsitz 254<br />
–, enger 254<br />
–, leichter 254<br />
–, weiter 254<br />
Lauge 78<br />
Leerlaufspannung 118, 120<br />
Leerlaufstrom 120<br />
Leichtmetalle 68
382 Sachwortverzeichnis<br />
Leistung 56, 200, 204<br />
– bei Drehstrom 149<br />
– des Generators 116<br />
–, elektrische 116 f.<br />
–, Übersetzung <strong>und</strong> Wirkungsgrad 200<br />
Leistungsanpassung 117<br />
Leistungsbedarf 339, 352, 363<br />
Leistungsfaktor 115, 141, 147<br />
Leistungsverlust 115, 147<br />
Leiter im elektrischen Feld 126<br />
– – magnetischen Feld 131 ff.<br />
–, paralleler 135 f.<br />
Leitfähigkeit 115<br />
Leitstrahl 47<br />
Leitwert 115<br />
–, elektrischer 58, 120 f.<br />
Lenz'sche Regel 130, 133<br />
Leuchtdichte 59<br />
Lichtausbeute 59<br />
Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum 59<br />
Lichtmenge 59<br />
Lichtstärke 59<br />
Lichtstrom 59<br />
Limes 1<br />
linearer Mittelwert 140<br />
– Widerstand 153<br />
Linkehandregel 134<br />
Lochleibungsdruck, Flächenpressung am Nietschaft<br />
242<br />
Logarithmus 1, 6<br />
–, dekadischer (Briggs'scher) 6<br />
–, natürlicher 6<br />
Logarithmensysteme 6<br />
logarithmische Funktionen 11<br />
– Gleichungen 9<br />
Löslichkeitsprodukt L 84<br />
Lösung, molare 88<br />
Lösungsformel 8<br />
Lot fällen 49<br />
Luftdruck 207<br />
Luftspule 135 f.<br />
Luftwiderstand 187<br />
Mach'sche Zahl 206<br />
magnetische Flussdichte, Induktion 58, 128 ff.<br />
magnetisches Feld 128 ff., 135<br />
Magnetquantenzahl 66<br />
Manometer 209<br />
Mantel der Kugelzone <strong>und</strong> der Kugelhaube 183<br />
– des abgestumpften Kreiskegels 183<br />
Mantelfläche 14<br />
Mantelschwerpunkt 183<br />
Maschen-Satz 119<br />
Maschinendiagramm 332<br />
Maschinendrehzahl 331<br />
Maschinenöl 328<br />
Maße für keglige Wellenenden mit Außengewinde<br />
308<br />
– – zylindrische Wellenenden mit Passfedern<br />
<strong>und</strong> übertragbare Drehmomente 314<br />
Masse, äquivalente 89<br />
–, molare 57, 87<br />
Masseneinheit, atomare 63<br />
Massenstrom (praktischer) 207 ff.<br />
Massenwirkungsgesetz 82<br />
Massenzahl 63<br />
mathematische Zeichen (nach DIN 1302) 1<br />
Maximalspannungen, vorhandene 296<br />
Maximum 43, 48<br />
mechanische Arbeit 199<br />
– Teilarbeit 199<br />
Messbereichserweiterung 123<br />
Messerkopf nach M. Kronenberg 349<br />
Messschaltung 123<br />
Messung des Gesamtdrucks 207<br />
– – Staudrucks (Prandtl'sches Staurohr) 207<br />
Metallbindung 70<br />
Metalle 67<br />
–, hochschmelzende 68<br />
–, höchstschmelzende 68<br />
Metallfeder 275<br />
Metrisches ISO-Feingewinde 246<br />
Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 271<br />
– –, Bezeichnung des Regelgewindes 244<br />
– ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 272<br />
– –, Bezeichnung eingängiges Gewinde 245<br />
– –, Bezeichnung zweigängiges Gewinde 245<br />
Metrisches Regelgewinde, Bezeichnung 271<br />
–, System 60<br />
Mindestpassung 305<br />
Mindest-Profilverschiebungsfaktor 326<br />
Mindeststandzeit 332<br />
Minimum 43, 48<br />
Mischelement 63<br />
Mischgröße 140<br />
Mischungskreuz 90<br />
Mischungsregel 90<br />
Mischungstemperatur, (Gemischtemperatur) 161<br />
Mittel, geometrisches 4, 32<br />
–, harmonisches 4<br />
Mittellage 195<br />
Mittellinie, seitenhalbierende 17<br />
Mittelpunkt eines Kreises 50<br />
Mittelpunktsgleichung 31<br />
Mittelspannungsempfindlichkeit 295 f.<br />
Mittelwert 139 f.<br />
–, statistischer (nach J. Peklenik) 366<br />
Mittenkreisdurchmesser 326 f.<br />
Mittenrauwert 253<br />
Mittenspanungsdicke 347, 369<br />
Mittenversatz 353<br />
Modul für Schnecke <strong>und</strong> Schneckenrad 327<br />
– -Verhältnis 217<br />
Mohr'scher Spannungskreis 216<br />
Molarität 88<br />
Molekülmasse, relative 87<br />
Mollweide'sche <strong>Formeln</strong> 18<br />
Molvolumen 88<br />
Moment, inneres 235<br />
Momentanbewegung 331<br />
Momentangeschwindigkeit 332, 357<br />
Moment-Drehwinkel-Diagramm 199<br />
Momentenfläche 219<br />
Momentengleichgewicht 215
Sachwortverzeichnis 383<br />
Momentenlinie 200, 222<br />
Momentensatz 179<br />
Momentenstoß 204<br />
Momentenverlauf 222<br />
Montagevorspannkraft 265<br />
Montagevorspannung 266<br />
Morsekegel 307<br />
Motorleistung 339, 352, 363<br />
–, elektrische 339<br />
Motorregel 134<br />
Mutterauflage 263<br />
Mutterhöhe, erforderliche 268<br />
Nabe, geschlitzte 309<br />
–, geteilte 298<br />
Nabenabmessung, Richtwerte 308<br />
Nabendicke 313, 316<br />
Nabenlänge 316<br />
Nabennut 315<br />
Nabensprengkraft 304<br />
Nabenverbindung, formschlüssige 299<br />
–, kraftschlüssige 300<br />
–, reibschlüssige, (Beispiele) 298<br />
Nachweis bei schwingender Belastung, (Dauerfestigkeit)<br />
284<br />
Nasenflachkeil 310<br />
natürliche Logarithmen 6<br />
– Zahlen 1<br />
Nebenquantenzahl l 66<br />
Nebenscheitel 30<br />
Nebenschneide 335, 361<br />
Neigungswinkel 185, 334 f., 349, 360 f.<br />
–, Richtwerte 349<br />
Nennmaßbereich 305<br />
Nennmaß für Welle 316<br />
Neuneck, regelmäßiges 52<br />
Neutralleiter 148<br />
N-Gate-Thyristor 159<br />
nichtlinearer Widerstand 153<br />
Nichtmetalle, feste 69<br />
NiCrMo-Einsatzstähle 294<br />
Nitrieren 294<br />
Nitrierstahl 101, 293<br />
Normalengleichung 29 f.<br />
Normalform 8<br />
– der Geraden 27<br />
Normalkraft 185, 187, 189, 241, 318<br />
Normallösung 89<br />
Normalmodul 321, 324, 327<br />
Normalmodul, äußerer 324<br />
Normalpotential 85<br />
Normalschnitt 318, 320<br />
Normalspannung 215, 217, 239 f.<br />
–, Hooke'sches Gesetz 216<br />
Normalteilung 327<br />
Normdrehzahl 357<br />
Normen 247<br />
– (Auswahl) <strong>und</strong> Richtlinien 273<br />
–, Bezugsliteratur 259<br />
Normfallbeschleunigung 201<br />
Normgewichtskraft 201<br />
Normvolumen 161 f.<br />
– idealer Gase, molares 59<br />
–, molares 88, 166<br />
–, spezifisches 172<br />
Normzahlen 247<br />
– der Reihe R5 261<br />
Normzustand, physikalischer 166<br />
NPN-Transistor 155<br />
Nulldurchgang 219<br />
Nullgetriebe 323<br />
Nullkippspannung 157 f.<br />
Nulllage 195<br />
Nullpunkt 45<br />
Nullsetzung 48<br />
Nullstelle 42<br />
Numerus 6<br />
Nutzarbeit 200<br />
Nutzleistung 200<br />
Nutzung, ökonomische 330<br />
Oberfläche 14, 184<br />
Oberflächenbeiwert 269<br />
Oberflächenrauheit 294<br />
–, Einflussfaktor 294<br />
Oberflächentemperatur 163<br />
Oberflächenverfestigung, Einflussfaktor 294<br />
Oberspannungsfestigkeit, Dauerfestigkeitsdiagramm<br />
279<br />
Ohm'sches Gesetz 118<br />
– – des Magnetkreises 128<br />
Öl, Dichte 328<br />
–, spezifische Wärmekapazität 328<br />
Ölumlaufkühlung, erforderlicher Kühlöldurchsatz<br />
328<br />
Optik 59<br />
Orbital 66<br />
Ordinatenabschnitt 27<br />
Ordnungszahl 63<br />
Original-SCHNORR Tellerfedern 285<br />
orthogonal 1<br />
Orthogonalfreiwinkel 334 f., 360<br />
–, Richtwerte 349<br />
Orthogonalkeilwinkel 334 f., 349, 360<br />
Orthogonalspanwinkel 334 f., 360<br />
–, Richtwerte 349<br />
Oxydationszahl 71<br />
Parabel 10, 30<br />
–, kubische 10<br />
–, semikubische 10<br />
Parabelfläche 183<br />
Parallele 51<br />
Parallelogramm 12<br />
Parallelogrammumfang <strong>und</strong> -fläche 182<br />
Parallelschaltung von Blindwiderständen 144 ff.<br />
– – Induktivitäten 138<br />
– – Kondensatoren 127<br />
– – Widerständen u. Quellen 120 ff.<br />
Parallelschub 287<br />
paramagnetisch 128<br />
Parameterdarstellung 44 f., 47<br />
Partialdruck 171 f.<br />
Pascal 205
384 Sachwortverzeichnis<br />
Passfeder 298, 308, 310, 314<br />
–, tragende Länge 315<br />
Passfederlänge 314 f.<br />
Passfedermaß 314<br />
Passfederverbindung 299, 314<br />
– (Nachrechnung) 315<br />
Passivkraft 337, 351, 362<br />
Passtoleranzen, empfohlene 257<br />
Passtoleranzfelder, ausgewählte 255<br />
Passungsart 249<br />
Passungsauswahl 257<br />
–, (Toleranzfeldauswahl) 248<br />
Passungsgr<strong>und</strong>begriffe 249<br />
Passungsspiel 312<br />
Passungssystem Einheitsbohrung 248<br />
– Einheitswelle 248<br />
Pauli-Prinzip 66<br />
Pendelart 196<br />
Pendelgleichung 196<br />
Pendelstütze 181<br />
Periode 66<br />
Periodendauer 139, 194<br />
– (Schwingungsdauer) 195<br />
periodische Schwingung 194<br />
Permeabilität 58, 128, 130, 136<br />
Permeanz 128<br />
Permittivität (früher Dielektrizitätskonstante) 58,<br />
125<br />
Permittivitätszahl 125<br />
P-Gate-Thyristor 159<br />
Phase 195<br />
Phasenanschnitt 140<br />
Phasenanschnittsteuerung 160<br />
pH-Wert 84<br />
Physikalische Größen, Definitionsgleichungen<br />
<strong>und</strong> Einheiten 55<br />
Planck-Konstante 59<br />
Plandrehbearbeitung 342<br />
Plandrehen einer Kreisringfläche 343<br />
– – Vollkreisfläche 343<br />
–, Hauptnutzungszeit 341 f.<br />
Plan-Kerbverzahnung 299<br />
Planrad, Zähnezahl 324<br />
Plantschverluste 328<br />
Planvorschub 341<br />
Plastomere, thermoplastische 112<br />
Plattenkondensator 127<br />
PNP-Transistor 155<br />
Poisson-Zahl 216 f., 240 f., 280, 283<br />
Polabstand 219<br />
Polargleichung 31<br />
Polarkoordinaten 44, 47<br />
Polstelle 42, 48<br />
Polyamide 113<br />
Polycarbonat 113<br />
Polyester, linear 113<br />
Polyethylen 112<br />
Polyetrafluorethylen 112<br />
Polygonprofil 299<br />
Polymethylmetacrylat 113<br />
Polynom 3<br />
–, quadratisches 11<br />
– dritten Grades 11<br />
Polyoxymethylen 113<br />
Polyphenylensulfid 113<br />
Polypropylen 112<br />
Polystyrol-Copolymere, schlagfeste 112<br />
Polystyrol 112<br />
Polyvinylchlorid 112<br />
Potenzen von Funktionen 22<br />
Potenzfunktionen 10 f.<br />
Potenzieren 4<br />
Potenzrechnung 4<br />
Potenzreihe 33 f.<br />
Presse, hydraulische 205<br />
Presspassung 300<br />
–, festlegen 305<br />
Presssitz 254<br />
Pressung, Kugel gegen Ebene 242<br />
–, Kugel gegen Kugel 242<br />
–, Walze gegen Ebene 243<br />
–, Walze gegen Walze 243<br />
Pressungsfaktor 312<br />
Pressungsgleichung, Herleitung 302<br />
Pressverband 300, 304<br />
–, Berechnung 301<br />
–, Formänderungs-Hauptgleichung 302<br />
–, (Fügeart), Herstellung 300<br />
–, kegliger, Berechnungsformeln 307<br />
–, – (Kegelbuchse) 298<br />
–, – (Wellenkegel) 298<br />
–, (Kegelsitzverbindungen), kegliger 306<br />
– mit Vollwelle, Formänderungsgleichungen<br />
303<br />
–, Normen 300<br />
– (Presssitzverbindungen) 298<br />
– (Spannungsbild) 303<br />
–, zylindrischer 298, 300, 309<br />
Prinzip des kleinsten Zwanges 81<br />
Prisma (<strong>und</strong> Zylinder) mit parallelen Stirnflächen,<br />
gerades <strong>und</strong> schiefes 183<br />
Prismatoid 14<br />
Prismoid 14<br />
Probestab, gekerbter 294<br />
Produkt von Funktionen 22<br />
Produktregel 35<br />
–, (partielle Integration) 37<br />
Profilüberdeckung 322<br />
Profilumfang 228 ff.<br />
Profilverschiebung 320, 326 f.<br />
Profilverschiebungsfaktor 320, 322 f.<br />
Profilwellenverbindung 299<br />
Projektionssatz 18<br />
proportional 1<br />
Punkt-Steigungsform der Geraden 27<br />
Pyramide 14<br />
–, gerade <strong>und</strong> schiefe 184<br />
Pyramidenstumpf 14<br />
–, mit beliebiger Gr<strong>und</strong>fläche 184<br />
Pythagoras 16<br />
Quader 14<br />
Quellenspannung 118 f.<br />
Querdehnung 216 f., 302
Sachwortverzeichnis 385<br />
Querdehnzahl 302<br />
Querkraft 235, 239<br />
Querkraftfläche 219<br />
Querkraft-Schubspannung 239<br />
Querlager (Tragzapfen) 187<br />
Querpressverband 298, 301<br />
Querschneide 361<br />
Querschneidenwinkel 360 f.<br />
Querschnitt, erforderlicher 217, 235<br />
–, gefährdeter 235<br />
–, unsymmetrischer 220<br />
– für Biegung <strong>und</strong> Knickung 225<br />
Querschnitts-Abmessungen, Gleichungen 221<br />
Querschnittsnachweis 217 f., 235 f.<br />
Querstiftverbindung 313<br />
Quotientenregel 35<br />
Radialkraft 242, 318<br />
–, Achsenwinkel 319<br />
–, Bezeichnungen 291<br />
–, resultierende 291 f.<br />
Radialspannung 241, 243<br />
Radialvorschub 365, 371<br />
–, Richtwerte 366<br />
Radialvorschubgeschwindigkeit 368<br />
Radnabe 299<br />
Randfaser 235<br />
Randschicht, gehärtete 297<br />
Rationale Zahlen 1<br />
Rauheitsklasse 253<br />
Rauigkeiten, körnige 210<br />
Räumen 337<br />
Raumschaffungsarbeit 166<br />
Raumwinkel 55<br />
Rautiefe 330<br />
–, gemittelte 294, 300, 303, 312<br />
–, vorgegebene 330<br />
Reaktanz 141<br />
Reaktion, endotherme 91<br />
–, exotherme 91<br />
–, umkehrbare 81<br />
Reaktionsenthalpie 91<br />
Reaktionsgleichung 80<br />
rechnerische Bestimmung unbekannter Kräfte<br />
(rechnerische Gleichgewichtsaufgabe) 181<br />
Rechteck, Quader 203<br />
Rechteck-Blattfeder 275<br />
Rechtehandregel 133<br />
Rechtsschraubenregel 133<br />
rechtwinkliges Dreieck, allgemeine Beziehungen<br />
16<br />
Reduktion der Trägheitsmomente, Getriebe 202<br />
reelle Zahlen 1<br />
Regel, logarithmische 35<br />
Reibarbeit 201<br />
Reibkraft 185<br />
Reibleistung 187<br />
Reibmoment 187<br />
Reibschluss 310<br />
Reibung 185<br />
– auf schiefer Ebene 185<br />
– in Maschinenelementen 186<br />
Reibungsarbeit 199<br />
Reibungswinkel, Trapezgewinde 269<br />
Reibungszahl, Trapezgewinde 269<br />
Reibwinkel 185, 190, 307<br />
– im Gewinde 260, 269<br />
Reibzahl 185, 188, 199<br />
– der Mutterauflage 186<br />
– im Gewinde 186<br />
–, Richtwerte 266<br />
Reihen 32<br />
–, Definition 32<br />
Reihenschaltung von Blindwiderständen 142 f.<br />
– – Induktivitäten 138<br />
– – Kondensatoren 127<br />
– – Widerständen u. Quellen 122<br />
Reinelemente 63<br />
Rekursionsformel 41<br />
Relationen, graphische Darstellung 10<br />
Reluktanz 128<br />
Resistanz 115, 141<br />
Resistivität 115<br />
Resonanzbedingung 141<br />
Reststrom 156<br />
Resultierende aus Schnittkraft 337<br />
–, rechnerische Bestimmung 178<br />
–, zeichnerische Bestimmung 178<br />
Reynolds'sche Zahl 206<br />
Reynoldszahl, kritische 207<br />
Re-Zahl, Umstellung 210<br />
Rhombus 12<br />
Richtwert, spezifische Schnittkraft 362<br />
Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit beim<br />
Drehen 333<br />
– – – – <strong>und</strong> den Vorschub 358<br />
– – – spezifische Schnittkraft beim Drehen<br />
338<br />
– – Fräswerkzeuge aus Schnellarbeitsstahl<br />
345<br />
– – Schnittgeschwindigkeit 345<br />
– – spezifische Schnittkraft 359<br />
– – Vorschub des Stechwerkzeugs 344<br />
–, Neigungswinkel 349<br />
–, Orthogonalfreiwinkel 349<br />
–, Orthogonalspanwinkel 349<br />
–, Umrechnung 331<br />
–, Vorschub 346<br />
Riemenscheibe 298 f.<br />
Ring 203<br />
Ring, umlaufender 241<br />
Ringbreite 13<br />
Ringfeder 277<br />
Ringfederspannelement 298<br />
Ringfederspannverbindung 298, 310<br />
–, Einbau <strong>und</strong> Einbaubeispiel 310<br />
–, Maße, Kräfte <strong>und</strong> Drehmomente 311<br />
Ringpaar 310<br />
Ritzel 318<br />
Rohrreibungszahl 209 f.<br />
Rohteilstange 344<br />
Rollbedingung 187<br />
Rolle (Leit- oder Umlenkrolle), feste 188<br />
–, lose 188
386 Sachwortverzeichnis<br />
Rollen- <strong>und</strong> Flaschenzüge 188<br />
Rollenzug, Wirkungsgrad 190<br />
Rollkraft 187<br />
Rollreibung 187<br />
Rollwiderstand 187<br />
Rotationskörper, Mantelflächen 47<br />
–, Volumen 46<br />
Rotationsparaboloid 46<br />
Rp 0,2 0,2-Dehngrenze 259<br />
– – der Schraube 269<br />
Rücksprunghöhe 198<br />
Rückstellkraft 196<br />
Rückstellmoment 196<br />
Ruhemasse des Elektrons 59<br />
– – Protons 59<br />
R<strong>und</strong>drehen 330<br />
–, Hauptnutzungszeit 341<br />
R<strong>und</strong>heitstoleranz 252<br />
R<strong>und</strong>vorschub 365 f.<br />
R<strong>und</strong>vorschubbewegung 367<br />
Rutschbeiwert 301, 303, 307, 309<br />
–, geschmiert 301<br />
Sacklochgewinde, Einschraublänge 271<br />
Säure 80<br />
Schallgeschwindigkeit 206<br />
Scheibenfeder, Beanspruchung 287 f.<br />
Scheibenfräser 349<br />
Scheinwiderstand 141 ff.<br />
Scheitel 30<br />
Scheitelfaktor 139 f.<br />
Scheitelgleichung 29 ff.<br />
Scheitelradius 31<br />
Scheitelwert 139<br />
Schema einer arithmetischen Stufung 32<br />
– – geometrischen Stufung 32<br />
Schenkeldicke 230<br />
Schiebergeschwindigkeit 192<br />
Schieberweg 192<br />
Schiebesitz 254<br />
Schiebung 217<br />
schiefe Ebene 185<br />
schiefwinkliges Dreieck, allgemeine Beziehungen<br />
17<br />
Schlankheitsfaktor 279<br />
Schlankheitsgrad 233 f.<br />
Schleifbreite, wirksame 369<br />
Schleifen 365<br />
Schleifhub 371<br />
Schleifscheibentopografie 368<br />
Schleusenspannung, Schwellspannung 151<br />
Schlichten 353<br />
Schlichtschleifen 365<br />
Schlichtzerspanung 346<br />
Schlüsselweite 263<br />
Schlusslinien-Verfahren 181<br />
Schmelzenthalpie 162, 173<br />
Schmelzpunkt fester Stoffe 174<br />
Schmelztemperatur 162<br />
Schmierart, erforderliche 328<br />
Schmierung, Art 328<br />
Schnecke 325, 327<br />
– <strong>und</strong> Schneckenrad 319<br />
–, mehrgängige 325<br />
–, Steigungshöhe 325<br />
–, treibende 326<br />
Schnecken-Abmessungen 327<br />
Schneckengetriebe 328<br />
–, Einzelrad- <strong>und</strong> Paarungsgleichungen 325<br />
–, Gesamtwirkungsgrad 325<br />
Schneckenlänge 327<br />
Schneckenrad 325, 327<br />
–, treibend 326<br />
–, Zähnezahl 325<br />
Schneckenwelle 327<br />
Schneidenpunkt 332, 335, 355<br />
Schneidenzugabe 344, 364<br />
Schneidkeil 334, 368<br />
Schneidkeilgeometrie 368<br />
Schneidkeilschwächung 335<br />
Schneidstoff-Korrekturfaktor 337<br />
Schnittbreite 345<br />
Schnittgeschwindigkeit 330 f., 339, 342, 367<br />
–, empfohlene 331, 348<br />
–, Richtwerte 331, 356, 368<br />
–, Umrechnung (Bohrarbeitskennziffer) 356<br />
–, wirkliche 332<br />
Schnittgeschwindigkeitsempfehlungen 356<br />
Schnittgeschwindigkeits-Korrekturfaktor 336<br />
Schnittgrößen 329, 345, 355, 365<br />
– beim Umfangsschleifen 365<br />
Schnittkraft 337, 339, 362, 369<br />
– (nach Kienzle) 336<br />
– am Einzelkorn 369<br />
– an der Einzelschneide 363<br />
– je Einzelschneide 362<br />
–, spezifische 330, 336, 339, 351, 362, 369<br />
–, – (rechnerisch) 336<br />
Schnittkraftverlauf, theoretischer 350 f.<br />
Schnittleistung 339, 352, 363, 370<br />
Schnittmoment 362 f.<br />
Schnittpunkt zweier Geraden 27<br />
Schnitttiefe 330, 339, 342, 345, 351<br />
–, (Schnittbreite) 355<br />
Schnittvorschub 345 f.<br />
Schnittwinkel 28, 216<br />
Schrägstirnrad 318<br />
– -Nullgetriebe 320<br />
– -V-Getriebe, Berechnungsgleichungen 320<br />
– -V-Nullgetriebe 320<br />
Schrägungswinkel 321 f.<br />
– am Teilkreis 320<br />
Schrägzahn-Kegelrad 319<br />
Schraube 186<br />
–, Abmessungen 261<br />
–, Axialkraftanteil 263<br />
Schraubendruckfeder, zylindrische 273, 278<br />
Schraubenfederpendel 196<br />
Schraubenkraft 264<br />
Schraubenlängskraft 267<br />
Schraubenverbindung 259, 261<br />
–, vorgespannte 262<br />
–, zentrisch vorgespannte 262<br />
Schrauben-Zugfeder, zylindrische 280
Sachwortverzeichnis 387<br />
Schrumpfen 235<br />
–, Fügetemperatur 304<br />
Schrumpfmaß, Pressverbindung 243<br />
Schrumpfring 309<br />
Schrumpfverbindung 298<br />
Schruppen 353<br />
Schruppschleifen 365<br />
Schruppzerspanung 335, 346<br />
Schub 240<br />
Schubbeanspruchung 289<br />
Schubkurbelgetriebe 197<br />
Schubmodul 56, 196, 217, 236, 275, 278<br />
Schubspannung 215, 235, 239 f., 279<br />
–, Hooke'sches Gesetz 217<br />
–, ideelle 278<br />
–, maximale 216, 238<br />
Schubspannungshypothese (Mohr) 239<br />
Schubspannungsverteilung 235<br />
Schubstangenverhältnis 197<br />
schwarzer Körper, Strahlungskonstante 57<br />
Schwellbelastung 313<br />
Schwellfestigkeit 269<br />
Schwerachse 202, 206, 219<br />
Schweredruck 207<br />
Schwerependel 196<br />
Schwerlinie 183<br />
Schwermetalle, niedrigschmelzende 68<br />
Schwerpunkt 182<br />
– eines Dreiecks 27<br />
Schwerpunktslage 220<br />
Schwingung, lineare 194<br />
–, periodische 194<br />
–, ungedämpfte 195<br />
Schwingungsbeginn 195<br />
Schwingungsdauer 194<br />
–, gemessene 197<br />
Schwingungsgehalt 140<br />
Schwingungsweite 195<br />
Schwingungszahl 195<br />
Schwungrad 298<br />
Sechseck 14<br />
–, regelmäßiges 13, 52<br />
Sechskantsäule 14<br />
Sechskantschraube M10, Bezeichnung 270<br />
–, Bezeichnung 246<br />
–, Dehnlängen 262<br />
–, Dehnquerschnitte 262<br />
–, elastische Nachgiebigkeit 262<br />
–, F-Kontrolle 263<br />
–, geometrische Größen 270<br />
Sehnenlänge 13<br />
Seileck 181<br />
Seileckfläche 219<br />
Seileckverfahren 178<br />
Seilreibung 188<br />
Seilstrahl 181<br />
Seitenfreiwinkel 360 f.<br />
Seitenhalbierende 182<br />
Seitenkeilwinkel 360 f.<br />
Seitenkraft 206<br />
Seitenspanwinkel 360 f.<br />
–, Richtwerte 361<br />
Seitenvorschub 368<br />
Sekans 20<br />
Selbsthemmung 185 ff., 310<br />
Selbsthemmungsbedingung 185<br />
Selbstinduktion 131<br />
seltene Erden (Lanthanoiden) 67<br />
Senkrechte im Punkt P 49<br />
Senkschraube, Bezeichnung 270<br />
– mit Schlitz 270<br />
Senkung 270<br />
Setzbeträge, Richtwerte 265<br />
Setzkraft 264 f., 267<br />
Shore-Härte 287<br />
Shunt 123<br />
Sicherheit 296<br />
Siebeneck, regelmäßiges 52<br />
Siede- <strong>und</strong> Kondensationspunkt 174<br />
Siedetemperatur 162<br />
SI-Einheit 55<br />
Sinus 20<br />
Sinussatz 18<br />
Sinusschwingung 195<br />
– (harmonische Schwingung) 194<br />
Spanfläche 335<br />
Spannelement 311 f.<br />
– der axialen Spannkraft, Ermittlung der Anzahl<br />
312<br />
Spannhülse 298 f.<br />
Spannkraft 188<br />
–, axiale 312<br />
Spannkraft, gegebene 259<br />
Spannsatz 310 f.<br />
Spannschloss 259<br />
Spannschraube 310<br />
Spannung am Innenrand 243<br />
–, elektrische 58, 115 ff.<br />
–, rechnerische 283<br />
Spannungserzeugung 130 f.<br />
Spannungsfall 115<br />
Spannungsfehlerschaltung 123<br />
Spannungsgleichungen (siehe Spannungsbild)<br />
304<br />
Spannungshubgrenze 284<br />
Spannungsnachweis 217 f., 235 f.<br />
Spannungsquelle 119 f.<br />
Spannungsquerschnitt 260, 266<br />
–, erforderlicher 259 f., 261, 268<br />
Spannungsreihe 85<br />
Spannungsteiler 124<br />
Spannungsverlust 115<br />
Spannungsverteilung 235, 303<br />
– bei Biegebeanspruchung 228<br />
Spannungszustand, ebener 215<br />
–, einachsiger 215<br />
–, mehrachsiger 239<br />
Spannute 360<br />
Spannweg 311<br />
Spanungsbedingung 331, 356<br />
Spanungsbreite 330, 346, 356<br />
Spanungsbreitenexponent 340<br />
Spanungsdicke 330, 347, 356
388 Sachwortverzeichnis<br />
Spanungsdickenexponent 336, 340, 351, 362,<br />
369<br />
Spanungsgröße 329, 345, 355<br />
Spanungsquerschnitt 330, 336, 339, 346, 356<br />
Spanungsverhältnis 330, 347<br />
Spanungsvolumen 339<br />
Spanwinkel 335, 368<br />
Spanwinkel-Korrekturfaktor 336<br />
Sperrbereich 151<br />
Spielpassung 249<br />
Spieltoleranzfeld 254, 257<br />
Spinquantenzahl 66<br />
Spiralbohrer, Richtwerte 357<br />
–, zweischneidige 355<br />
Spiralfeder 276<br />
Spitzenwinkel 360 f., 364<br />
– des Gewindes 186<br />
Sprengkraft 309<br />
–, (gesamte Verspannkraft) 309<br />
Sprungüberdeckung 322<br />
Stahl- <strong>und</strong> Stahlguss-Nabe 313, 316<br />
Stähle, Bezeichnungssystem 97<br />
Stahlflansch 263<br />
Stahlguss 101<br />
Stahl-Nabe 309<br />
Standardpotentiale 85<br />
Standgeschwindigkeit, Berechnung 341<br />
Standgleichung 340<br />
Standlänge 356 f.<br />
Standlängenexponent 357<br />
Standverhalten 340, 349<br />
Standweg 356<br />
Standzeit 331, 340, 357<br />
–, Berechnung 341<br />
–, wirkliche 332<br />
Standzeitexponent 331 f., 340<br />
Standzeitforderung, vorgegebene 331<br />
Standzeitvorgaben 331<br />
Statik der Flüssigkeiten 205<br />
statisch bestimmt 181<br />
– unbestimmt 181<br />
Staudruck 207, 211<br />
Staurand nach Prandtl 208<br />
Stefan-Boltzmann-Konstante 59<br />
– – Gesetz 165<br />
Steighöhe 190<br />
Steigung 272<br />
Steigung <strong>und</strong> Steigungswinkel 27<br />
Steigungswinkel 31, 269, 272<br />
– am Flankenradius 186<br />
– des Gewindes 266<br />
–, mittlerer 325<br />
Stellring 299<br />
Sternpunktleiter 148 f.<br />
Sternschaltung 148 ff.<br />
Sternspannung 148<br />
Steuerstrom 157<br />
Stiftverbindung 299<br />
Stirnfräsen 345 ff., 350<br />
–, außermittiges 351<br />
–, mittiges 351<br />
–, Schnittkraft 351<br />
Stirnmodul 321, 324<br />
Stirnschnitt 318, 320<br />
Stirnverzahnung 299<br />
Stoffmenge 87<br />
Stoffmengenkonzentration 88<br />
Stokes 206<br />
Stoß, gerader zentrischer 198<br />
–, vollkommen elastischer 198<br />
–, vollkommen unelastischer 198<br />
Stoßabschnitt 198<br />
Stoßanfall 315<br />
Stoßkraft 198<br />
Stoßlinie 198<br />
Stoßzahl 198<br />
Stoßzahlbestimmung 198<br />
Strahlungsaustauschzahl 165<br />
Strahlungsfluss 165<br />
– des wirklichen Körpers 165<br />
Strahlungskonstante 57<br />
–, allgemeine 165<br />
Strahlungszahl 176<br />
Strangspannung 148<br />
Strangstrom 148<br />
Strecke halbieren (Mittelsenkrechte) 49<br />
Streckenlast 219, 222<br />
Streckgrenze 95, 259 f., 293, 297, 315<br />
–, Rp 0,2 0,2-Dehngrenze 312<br />
Stromdichte 115<br />
Stromfehlerschaltung 123<br />
Stromflusswinkel 140, 160<br />
Stromstärke 115, 118<br />
–, elektrische 58<br />
Strömung, gestörte 207<br />
–, laminare 207, 210<br />
–, turbulente 207, 210<br />
Strömungsgeschwindigkeit 206 f.<br />
–, kritische 206<br />
Strömungsgleichungen 206<br />
Strömungsrichtung 207<br />
Stufensprung 331<br />
Stülpmittelpunkt 281<br />
Stützfläche 177<br />
Stützkraft 181, 222<br />
– bestimmen 219<br />
–, Biegemomente <strong>und</strong> Durchbiegungen 222 ff.<br />
Stützwirkung, statische 297<br />
Substitutionsgleichung 37<br />
Summenbremse 189<br />
Summenformel 21<br />
Summenregel 36<br />
Suszeptanz 141<br />
Symbole für Form <strong>und</strong> Lagetoleranzen nach DIN<br />
ISO 1101 252<br />
System, metastabiles 96<br />
–, metrisches 60<br />
–, stabiles 96<br />
systematische Benennung anorganischer Verbindungen<br />
73<br />
– – organischer Verbindungen 74<br />
– – von Säuren <strong>und</strong> Säureresten 74<br />
Tangens 20
Sachwortverzeichnis 389<br />
Tangenssatz 18<br />
Tangente 51<br />
Tangentengleichung 29 ff.<br />
Tangentialbeschleunigung 194<br />
Tangentialkraft 200, 235<br />
Tangentialspannung 235, 240 f., 243<br />
Tangentialverzögerung 194<br />
Tangentkeil 298<br />
technische Stromrichtung 118<br />
Teilkegellänge 324<br />
–, mittlere 324<br />
Teilkegelwinkel 323<br />
Teilkreis 318<br />
Teilkreisdurchmesser 321, 324, 327<br />
Teilkreisgeschwindigkeit 328<br />
Teilkreisradius 320<br />
Teilkreisteilung 320<br />
–, Normalschnitt 321<br />
Teilkreisteilung, Stirnschnitt 321<br />
Tellerfeder 280, 284<br />
–, Auflagefläche 282<br />
–, Berechnung 273<br />
–, Querschnitt 281<br />
Tellerhöhe, lichte 281<br />
Tellerrad am Kraftfahrzeug 267<br />
Temperatur, thermodynamische 57, 163<br />
Temperaturänderung 218<br />
Temperaturbeiwert 116<br />
Temperatur-Fixpunkte 172<br />
Temperatur-Linie 163 f.<br />
Temperatur-Umrechnungen 172<br />
Tetmajer 233<br />
– -Gleichungen für Knickspannung 233 f.<br />
Thyristor 157 ff.<br />
Toleranzeinheit 248<br />
Toleranzen in Zeichnungen, Eintragung 250<br />
– <strong>und</strong> Passungen, Gr<strong>und</strong>begriffe 247 ff.<br />
Toleranzklasse, Eintragung 250<br />
Torsion <strong>und</strong> Abscheren 238<br />
Torsionsbeanspruchung, reine, Sicherheitsnachweis<br />
293<br />
Torsionsbeanspruchung, Sicherheit 296<br />
Torsionsmoment 239, 290<br />
–, zulässiges 236<br />
Torsionspendel 196<br />
Torsionsschubspannung 239<br />
Torsionsspannung 260, 266<br />
–, vorhandene 236<br />
Torsionswechselfestigkeit 294<br />
Totlage 197<br />
Träger 221<br />
Tragfähigkeit, Berechnung nach DIN 743 293<br />
Trägheitskreis 220<br />
Trägheitsmoment 56, 195 f., 202 ff., 274<br />
–, Definitionsgleichung 202<br />
– für gegebene parallele Drehachse 202<br />
– für parallele Schwerachse 202<br />
– (Massenmomente 2. Grades), Gleichungen<br />
203<br />
Trägheitsradius 202, 219, 228 ff.<br />
Tragtiefe 244, 246, 271 f.<br />
Transformator, einphasig 138<br />
Transistor 155 f.<br />
–, Kennwerte, Grenzwerte 156<br />
–, Verstärkung 156<br />
–, Vierquadranten-Kennlinienfeld 155<br />
Trapez 13<br />
Trapez-Blattfeder 275<br />
Trapezfläche 182<br />
Triac 159 f.<br />
Triebkraft (Kolbenkraft) 205<br />
trigonometrische Funktionen, Gr<strong>und</strong>formeln 21<br />
Tripel 1<br />
Überdruck 209<br />
Übergangspassung 249<br />
Übergangstoleranzfeld 254, 257<br />
Überlaufweg 342, 344, 352, 364<br />
Übermaß 300, 303<br />
– (Haftmaß) 301<br />
–, errechnetes 305<br />
Übermaßpassung 249<br />
Übermaßtoleranzfeld 254, 257<br />
Übermaßverlust 300<br />
überschlägige Ermittlung des erforderlichen<br />
Spannungsquerschnitts <strong>und</strong> Wahl des Gewindes<br />
260<br />
Übersetzung 200, 320, 323, 325<br />
Übersetzungsverhältnis, Trafo 138<br />
Umdrehungsparaboloid 184<br />
Umfangseinstechschleifen 366<br />
Umfangsfräsen 345 ff., 350, 352<br />
–, Schnittkraft 350<br />
Umfangsgeschwindigkeit 55, 192 f., 197, 202,<br />
370<br />
– (Zahlenwertgleichung) 327<br />
– der Schleifscheibe 367<br />
– des Werkstücks 367<br />
Umfangskraft 188, 319<br />
–, Bezeichnungen 291<br />
–, Teilkreis 318<br />
Umfangslängsschleifen 365<br />
Umfangsschleifen, Einstechschleifen 367<br />
–, Längsschleifen 367<br />
Umfangsstirnfräsen 352<br />
Umkehrfunktion 6<br />
Umkreis, Radius 17<br />
Umkreisradius 13<br />
Umlaufdurchmesser 342<br />
Umlaufsinn 119<br />
Umrechnung von km/h in m/s 190<br />
– – Winkeleinheiten 19<br />
Umrechnungstabelle für Leistungseinheiten 60<br />
– – metrische Längeneinheiten 60<br />
Umschlingungswinkel 188<br />
Umwandlung, passiver Wechselstromzweipole<br />
146<br />
–, Stern-Dreieck 150<br />
Unendlichkeitsstelle 43, 48<br />
Unterdruck 161<br />
Unterspannung 279<br />
Unterspannungsfestigkeit 279<br />
U-Stahl, Bezeichnung 228<br />
–, warmgewalzter r<strong>und</strong>kantiger 228
390 Sachwortverzeichnis<br />
v, t-Diagramm 190<br />
VDI-Richtlinie 2230 261<br />
Ventil 210, 212<br />
Verdampfungs- <strong>und</strong> Kondensationsenthalpie 174<br />
Verdampfungsenthalpie 162<br />
Verdrehschub 287 f.<br />
Verfahrensfaktor, Aufbohren 362<br />
–, Bohren ins Volle 362<br />
Vergleichsmittelspannung 296<br />
Vergleichsmoment 240, 290<br />
Vergleichsspannung 239 f., 260, 290<br />
– (reduzierte Spannung) 266, 268<br />
–, Bestimmung 239<br />
Vergütungsstahl 100, 294<br />
Verlängerung 216 f.<br />
Verlustfaktor 141<br />
Verlustleistung 115 f., 151, 156 f.<br />
Verlustleistung im Antrieb 339<br />
– – Getriebe 339<br />
– – Motor 339<br />
Verschiebekraft 185<br />
–, resultierende 186<br />
Verschieberäder 299<br />
Verschieberädergetriebe 299<br />
Verschiebesatz von Steiner 202, 220<br />
Verschleißmarkenbreite 340<br />
Verspannkraft 309<br />
–, zentrische 263<br />
Verspannungsbild 264<br />
Verspannungsdiagramm 262, 264<br />
Verzögerung 191<br />
Vickershärte 94<br />
Vieleck 13<br />
–, regelmäßiges 13<br />
Viereck (Quadrat) 13<br />
Vier-Kräfteverfahren 180<br />
Vierschichtdiode 158<br />
Viéta 9<br />
Viskosität, dynamische 56<br />
–, kinematische 56<br />
V-Nullgetriebe 323<br />
Vollwelle <strong>und</strong> gleichelastische Werkstoffe, Formänderungsgleichung<br />
303<br />
Vollwinkel <strong>und</strong> rechter Winkel 19<br />
Vollzapfen 187<br />
Volumen 14, 184<br />
–, spezifisches 161, 166<br />
Volumenänderungsarbeit 167<br />
Volumenausdehnungskoeffizient 162 f., 174<br />
Volumendehnung 217<br />
Volumenstrom 207, 209<br />
–, (theoretischer) 208<br />
Volumenzunahme 162<br />
Vorschub 330, 335, 345<br />
– je Einzelkorn (R<strong>und</strong>vorschub) 365 f.<br />
– – Schneide 355<br />
– pro Schneide 345<br />
–, Richtwerte 346, 355<br />
– DIN 803 (Auszug) 330<br />
Vorschubgeschwindigkeit 332, 339, 348, 357<br />
Vorschubkraft 337, 339, 351, 362<br />
Vorschubleistung 339, 363<br />
Vorschub-Normalkraft 351<br />
Vorschubreihe 330<br />
Vorschubrichtung 330<br />
Vorschubrichtungswinkel 346, 347<br />
Vorschubstufung 330<br />
Vorspannkraft 262, 264<br />
– für Riemen, Bezeichnungen 291<br />
–, gegebene axiale 260<br />
Vorspannung, innere 280<br />
Vorspannungskraftverlust 265<br />
Vorzeichenregeln 3<br />
ω, t-Diagramm 193<br />
Walzenfräser, drallverzahnter 349<br />
–, geradverzahnter 349<br />
–, zylindrischer 348 f.<br />
Wälzlager 298, 327<br />
–, Bezeichnungen 289<br />
Wälzpunkt 318<br />
Wandrauigkeit, absolute 211 f.<br />
–, relative 210<br />
Wärme 57, 161<br />
–, spezifische 57, 161<br />
–, zu- oder abgeführte 168, 170<br />
Wärmeausdehnung 162<br />
– fester Körper 162<br />
– flüssiger Körper 162<br />
– von Gasen 162<br />
Wärmedurchgang 164<br />
Wärmedurchgangskoeffizient 57, 165<br />
Wärmedurchgangszahl 165, 176<br />
Wärmekapazität 118<br />
–, mittlere spezifische 161, 173<br />
–, spezifische 57, 166, 172<br />
Wärmeleitfähigkeit 57, 163<br />
Wärmeleitung 163<br />
Wärmeleitzahl fester Stoffe 175<br />
– von Flüssigkeiten 175<br />
– von Gasen 175<br />
Wärmemenge 57, 118, 161<br />
Wärmespannung 218<br />
Wärmestrahlung 165<br />
Wärmestrom 163 ff.<br />
Wärmeübergang 164<br />
Wärmeübergangskoeffizient 57, 164<br />
Wärmeübergangszahl 164, 175<br />
–, <strong>Formeln</strong> 164<br />
Wärmeübertragung 163 f.<br />
Wärmewirkungsgrad 118<br />
Wattsek<strong>und</strong>e 199<br />
Wechselbelastung 313<br />
Wechselgrößen, Kennwerte 139 f.<br />
–, Mischgrößen 140<br />
Wechselpermeabilität 136<br />
Wechselstromtechnik 139 ff.<br />
Weg 191<br />
Weitwinkelfräsen 349<br />
Welle 289 f.<br />
–, Toleranzfeld 305<br />
–, unteres Abmaß 305<br />
–, Normen (Auswahl) 288
Sachwortverzeichnis 391<br />
Welle-Nabe-Verbindungen, Kerbwirkungszahlen<br />
295<br />
Wellenb<strong>und</strong> 299<br />
Wellendrehmoment 301<br />
Wellendrehzahl 315<br />
Wellendurchmesser 290<br />
–, rechnerischer 290<br />
–, überschlägige Ermittlung 290<br />
Wellenende, kegliges 298, 306, 308<br />
Wellenentwurf 290<br />
Wellenleistung 188<br />
Wellenmaße 248<br />
Wellennut 315<br />
Wellennuttiefe 315<br />
Welligkeit 140<br />
Wendepunkt 43, 48, 222<br />
Wendeschneidplatte 333<br />
Werkstoffe, anorganisch nichtmetallische 108<br />
–, kurzspanende 336<br />
–, langspanende 336<br />
Werkstoffvolumen 339<br />
Werkstück, Momentangeschwindigkeit 348<br />
Werkstückdrehzahl 331<br />
Werkstückform-Korrekturfaktor 337<br />
Werkzeug-Anwendungsgruppen 361<br />
– – Richtwerte 360<br />
Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück<br />
353 f.<br />
Werkzeug-Bezugsebene 334<br />
– -Bezugssystem 334<br />
Werkzeugdrehzahl 357, 363<br />
–, erforderliche 348, 357<br />
Werkzeugkegel 307<br />
Werkzeug-Orthogonalebene 335<br />
Werkzeug-Schneidenebene 334<br />
Werkzeugverschleiß-Korrekturfaktor 337<br />
Werkzeugwinkel 334, 348, 360, 368<br />
– am Bohrwerkzeug (Spiralbohrer) 360<br />
– am Messerkopf 348<br />
Wertigkeit, stöchiometrische 71<br />
Wichte 161<br />
Wickelverhältnis 278 ff.<br />
Widerstand, elektrischer 58, 115<br />
– in Rohrleitungen 209 f.<br />
–, linearer 153<br />
–, magnetischer 128<br />
–, nichtlinearer 153<br />
–, spezifischer 115 f.<br />
–, temperaturabhängiger 116<br />
Widerstandsmoment 229 ff., 237<br />
–, axiales 218, 220, 289<br />
–, erforderliches 218<br />
–, – polares (Zahlenwertgleichung) 236<br />
–, polares 220, 266, 272<br />
Widerstandszahl 210<br />
– von Leitungsteilen 212<br />
Windungssteigung 277<br />
Winkel halbieren 50<br />
–, ebener 55<br />
Winkelbeschleunigung 55, 193 f., 202, 204<br />
Winkelgeschwindigkeit 55, 187, 192 f., 200, 202,<br />
204, 240<br />
–, maximale 196<br />
Winkelgeschwindigkeitslinie 193<br />
Winkelhalbierende 17, 28, 183<br />
Winkelstahl, Bezeichnung 229<br />
–, ungleichschenkliger, Bezeichnung 230<br />
–, warmgewalzter gleichschenkliger r<strong>und</strong>kantiger<br />
229<br />
–, – ungleichschenkliger r<strong>und</strong>kantiger 230<br />
Winkelverzögerung 194<br />
Wirkabstand 179, 235<br />
– der Auflagereibung 186<br />
Wirkdruck 208<br />
Wirkgeschwindigkeit 332, 347f., 357<br />
Wirkgröße 141<br />
Wirkleistung 363<br />
– (Zerspanleistung) 339<br />
Wirkrichtungswinkel 347<br />
Wirkungsgrad 117 f., 188, 200, 205, 269, 326<br />
– bei Lastheben 187<br />
– des Rollenzugs 188<br />
–, Kühlöldurchsatz <strong>und</strong> Schmierarten der Getriebe<br />
328<br />
–, thermischer 162, 171<br />
Wirkwiderstand 115, 141<br />
Wurf schräg nach oben (ohne Luftwiderstand)<br />
192<br />
–, senkrechter 190<br />
Wurfdauer 192<br />
Würfel 14<br />
Wurfgleichungen 192<br />
Wurfhöhe 192<br />
Wurfweite 192<br />
Wurzelgleichung 9<br />
Wurzelrechnung (Radizieren) 5<br />
Zähigkeit, dynamische 206, 210 f.<br />
–, kinematische 206, 210 f.<br />
–, Umrechnungen 206<br />
Zahl, komplexe 1, 7<br />
–, rationale 1<br />
–, reelle 1<br />
Zahlenpaar, konjugiert komplexes 7<br />
Zahlenwertgleichung 200<br />
Zahn im Normalschnitt 318 ff.<br />
– – Stirnschnitt 320<br />
Zahnbreite 320, 326<br />
Zahndicke 320<br />
–, Kopfkreis 323<br />
Zahndickennennmaß, Normalschnitt 323<br />
–, Stirnschnitt 322<br />
Zähnezahlverhältnis 320, 323<br />
Zahnfußhöhe 325<br />
Zahnhöhe 327<br />
Zahnkopfhöhe 322, 324<br />
Zahnrad 298 f.<br />
–, Kräfte 317<br />
Zahnradgetriebe 317<br />
–, Normen 317<br />
Zahnvorschub 346<br />
Zapfen 290<br />
–, Normen (Auswahl) 288<br />
Zapfenradius 187
392 Sachwortverzeichnis<br />
Zapfenreibzahl 187<br />
Z-Diode 154<br />
Zehneck 14<br />
Zehnerpotenz 5<br />
zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte<br />
(zeichnerische Gleichgewichtsaufgabe) 180<br />
Zeichnung, Eintragung von Toleranzen 250<br />
Zeigerdiagramm 139, 148<br />
Zeit 191<br />
Zeitabschnitt 190<br />
Zeitdiagramm 139<br />
Zeitfestigkeit, Nachweis 284<br />
Zeitfestigkeitsdiagramm 284<br />
Zentipoise 206<br />
Zentrifugalmoment 219<br />
Zentripetalkraft 201<br />
Zentriwinkel 182<br />
Zerreißfestigkeit 287<br />
Zerspankraft 336 f., 350 f., 362, 369<br />
– am Einzelkorn 369<br />
– beim Umfangsschleifen 369<br />
–, Komponente 337<br />
Zerspantechnik 329<br />
–, Gr<strong>und</strong>begriffe 329<br />
–, Normen (Auswahl) 329<br />
Zug <strong>und</strong> Biegung 238<br />
Zug- <strong>und</strong> Druckbeanspruchung 217<br />
Zug/Druck <strong>und</strong> Torsion 240<br />
Zug/Druckwechselfestigkeit 294<br />
Zugbeanspruchung 287<br />
Zugfeder 273<br />
–, innere Vorspannkraft 280<br />
–, zylindrische 273<br />
Zugfestigkeit 95<br />
Zughauptgleichung 260<br />
Zugkraft 188, 260<br />
– wirkt parallel zur Ebene 185<br />
– – waagerecht 185<br />
Zugspannung 240, 259 f., 284<br />
–, größte 218<br />
–, mittlere tangentiale 304<br />
–, resultierende 238<br />
Zugversuch 95<br />
Zündspannung 159<br />
Zündstrom 159<br />
Zündwinkel 140, 160<br />
Zustandsänderung, adiabate 170 f.<br />
–, Carnot'scher Kreisprozess, Gleichungen 167<br />
–, isobare 168<br />
–, isochore 167, 169<br />
–, isotherme 169<br />
–, isovolume 167<br />
–, polytrope 170<br />
–, polytrope, Sonderfälle 170<br />
Zustandsgleichung idealer Gase, allgemeine 166<br />
Zweigelenkstab 177<br />
Zwei-Kräfteverfahren 180<br />
Zweipunkteform der Geraden 27<br />
Zweirichtungs-Diode 158<br />
– -Thyristordiode, Diac 158<br />
– -Thyristortriode, Triac 159<br />
Zweiweg-Gleichrichtung 140<br />
Zykloide 12<br />
Zykloidenbogen 45<br />
Zylinderdeckel-Verschraubung 261<br />
Zylinderführung 186<br />
Zylindermantel 203<br />
Zylinderspule 136<br />
Zylinderstift 299, 313