FACHBEREICH ARCHITEKTUR - Goepf Bettschen

BAULEITER HOCHBAU
K U R S
S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E
8) FESTIGKEITSLEHRE
1) Allgemeines
2) Spannung und Festigkeit
3) Tragsicherheit, Sicherheitsgrad, Bemessungswerte
4) Zug- und Druckspannungen
5) Formänderungen und Formänderungsgesetze
a) Elastizität und Plastizität
b) Das Spannungs- Dehnungsdiagramm
c) Das Hook'sche Gesetz, Elastizitätsmodul
d) Längenänderungen durch Wärmeschwankungen
e) Querdehnungen
f) Formänderungen durch Schubkraft
6) Biegespannungen
7) Doppelbiegung
8) Biegung mit Längskraft
9) Schubspannungen
g.bettschen

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1 Allgemeines
In den vorherigen Kapiteln haben wir die am Balken auftretenden Beanspruchungsgrössen
Biegemoment, Querkraft und Normalkraft behandelt.
Diese Schnittkräfte allein können jedoch noch nichts über die Beanspruchung des
untersuchten Bauteils aussagen.
Es ist nun Aufgabe der Festigkeitslehre, auf Grund der berechneten Momente, Zug - Druck
- und Querkräfte auf die innere Beanspruchung des Bauwerkes zu schliessen.
In der
Festigkeitslehre
wird also
nachgeprüft, ob das
Bauwerk die
angreifenden Kräfte
aufnehmen kann.
2) Spannung und Festigkeit
Es gilt also jetzt, die Wirkung der Schnittgrössen auf die Querschnittsfläche zu
untersuchen.
Betrachten wir zum Beispiel einen Holzpfosten, der durch die Druckkraft F beansprucht
wird. Da die Auflagerfläche des Stempels gleich ist wie der Pfostenquerschnitt, wird sich
die Kraft gleichmässig über die ganze Fläche verteilen; das heisst, jede einzelne Faser
muss einen Teil des Druckes aufnehmen.
F
Flächenteilchen
Wir rechnen also die Kraft pro Faser aus.
Diese Kraft pro Faser darf nicht grösser werden,
als eine bestimmte Bruchkraft.
Als Bruchkraft bezeichnet man die Kraft bei der
die Faser bricht.
Es genügt, wenn wir die Kraft für ein kleines
Flächenteilchen berechnen.
In der Statik hat man den mm 2 oder den cm 2 als
Flächenteilchen gewählt.
Die Kräfte je Flächeneinheit nennt man
Spannungen.
Die Summe aller Spannungen ergibt wiederum die
Schnittgrösse, welche die Spannungen erzeugt
hat.
Die Einheit der Spannung ist N/mm 2
( oder N/cm 2 , kN/cm 2 usw.).
Wie die Kräfte selbst, sind auch die Spannungen Vektoren; diese
Spannungsvektoren werden durch Betrag, Richtung und Angriffspunkt festgelegt.
Wenn auf den Holzpfosten also z.B. die Druckkraft F = 10 kN wirkt und der Pfosten eine
Querschnittsfläche von 120/120 mm aufweist, so wirkt auf ihn eine gleichmässig über die
ganze Fläche verteilte Druckspannung von σ = F / A = 10'000/14'400 = 0.69 N/mm2.
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Bauteile können auf verschiedene Weise beansprucht werden.
deshalb unterscheidet man folgende Spannungsarten:
1) Zugspannung 2) Druckspannung 3) Scherspannung
σ Z
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σ D
4) Biegespannung 5) Schubspannung 6) Knickspannung
σ b
M
7) Torsionsspannung
F
τ T
8) Zusammengesetzte Beanspruchung infolge
mehrerer Beanspruchungsarten
Jeder Baustoff kann nur Spannungen bis zu einer bestimmten Höchstgrenze
ertragen, wenn diese Grenze überschritten wird tritt Bruch ein.
Die Spannung im Augenblick des Bruchs wird Bruchspannung oder
Bruchfestigkeit genannt.
Die Festigkeitswerte der verschiedenen Baustoffe werden mit Prüfmaschinen an
Probekörpern ermittelt. Die Prüfverfahren sind für die meisten Baustoffe genormt, weil sich
z.B. die Prüfdauer, die Probegrösse oder die Gestalt des Probekörpers auf die
Versuchsergebnisse auswirken können.
Die Festigkeiten sind nicht nur für die einzelnen Baustoffe verschieden, sie weichen auch
bei ein und demselben Material für die verschiedenen Beanspruchungsarten voneinander
ab. Beim Beton ist zum Beispiel die Druckfestigkeit wesentlich höher als die Zugfestigkeit,
oder beim Holz ist die Druckfestigkeit parallel zur Faser höher als die Druckfestigkeit
senkrecht zur Faser.
τ
τ a
σ K

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3) Tragwiderstand, Sicherheitsgrad, Bemessungswerte
Jegliches Bauen, von der Berechnung bis zur Ausführung, ist mit unvermeidlichen
Unsicherheiten behaftet. So sind z.B. die Lastannahmen nur Näherungswerte, bei der
Annahme des statischen Systems werden Vereinfachungen getroffen und die
angenommenen Werkstoffgrössen können von der Wirklichkeit abweichen. Deshalb
stimmen in einem Querschnitt die errechneten Schnittgrössen mit den wirklich
vorhandenen nicht überein. Anderseits besitzt das erstellte Bauwerk meist nicht genau die
erwünschte Tragfähigkeit, weil die verwendeten Baustoffe Streuungen in den Festigkeiten,
Fehlstellen oder Massabweichungen aufweisen können.
Aus diesen Gründen darf man das Bauwerk nicht bis zur theoretisch errechneten
Bruchspannung belasten; man mutet ihm nur einen Teil der Festigkeit zu.
Die Tragsicherheit wird durch den Vergleich des Bemessungswertes der
Beanspruchung mit demjenigen des Tragwiderstandes nachgewiesen :
Ed ≤ Rd
- Der Bemessungswert Ed der Beanspruchung berechnet sich anhand der in
der Norm enthaltenden Werte der Einwirkungen. Ed muss ein Extremwert der
Beanspruchungen sein.
- Der Bemessungswert Rd des Tragwiderstandes ist den verschiedenen
Konstruktionsnormen zu entnehmen.
Bemessungswert der Beanspruchung Ed
Gemäss den Nutzungsanforderungen werden nach SIA 261 oder projektspezifisch die
charakteristischen Werte der Nutzlasten und der ständigen Lasten bestimmt. Die
Multiplikation dieser Werte mit den Lastbeiwerten γf ergeben die Bemessungswerte Fd der
Einwirkungen. Die Antworten des Tragwerkes auf diese Einwirkungen (Schnittkräfte,
Spannungen, Auflagerreaktionen usw.) bezeichnet man als die Bemessungswerte Ed der
Auswirkungen.
Beispiele für Lastbeiwerte: (aus Norm Einwirkungen)
Lastbeiwert für Nutzlast γQ = 1.5
Lastbeiwert für ständige Last und Eigengewicht γG = 1.35
Bemessungswerte des Tragwiderstandes Rd
(Genaue Angaben : siehe entsprechende Normenwerke )
SIA 265) Holzbau
Nadelholz, C24
Biegung fm,d = 14 N/mm 2
Zug parallel zur Faser ft,0,d = 8 N/mm 2
Druck parallel zur Faser fc,0,d = 12 N/mm 2
Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 1.8 N/mm 2
Schub fv,d = 1.5 N/mm 2
Buche, Eiche, D30
Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 5.3 N/mm 2
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Brettschichtholz aus Nadelholz, GL24h
Biegung fm,d = 16 N/mm 2
Zug parallel zur Faser ft,0,d = 12 N/mm 2
Druck parallel zur Faser fc,0,d = 14.5 N/mm 2
Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 1.9 N/mm 2
Schub fv,d = 1.8 N/mm 2
SIA 263) Stahlbau
Stahl S235 Biegung und Zug fd = 224 N/mm 2
Schub τ,d = 129 N/mm 2
Stahl S355 Biegung und Zug fd = 338 N/mm 2
Schub τ,d = 195 N/mm 2
SIA 262) Betonbau
Normalbeton C20/25 Druckfestigkeit fc,d = 13.5 N/mm 2
Normalbeton C25/30 Druckfestigkeit fc,d = 16.5 N/mm 2
Betonstahl B500 Zugfestigkeit fs,d = 435 N/mm 2
Spannstahl z.B.Y1670 Zugfestigkeit fp,d = 1250 N/mm 2
Beispiel :
Nachweis einer Stahlstütze gem. Normen SIA
Nutzlast Qk = 60 kN (aus statischer Berechnung)
Ständige Last und Eigengewicht Gk = 40 kN (aus statischer Berechnung)
Lastbeiwerte (aus Norm Einwirkungen )
für Nutzlast γQ = 1.5, für ständige Last und Eigengewicht γG = 1.35
Bemessungswert der Beanspruchung:
Ed = γQ · Q + γG · G = 1.5 · 60 + 1.35 · 40 = 144 kN Q
G
Tragwiderstand der Stütze RK = 158 kN
(aus Berechnung oder aus Tabelle)
Allgemein wird nach Norm R als Tragwiderstand für alle Arten
von Tragwiderständen angegeben.
Tragwiderstandsbeiwert für Stahl γR = 1.05
(aus Norm SIA 263 Stahlbauten)
Bemessungswert des Tragwiderstandes:
Rd = R / γR = 158 / 1.05 = 150 kN
Nachweis:
Ed = 144 kN < Rd = 150 kN
→ Die Tragsicherheit ist also gewährleistet
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4) Zug- und Druckspannungen
a) Zugspannung σz :
Zugspannungen kommen bei Ankern, Zugstangen, Fachwerken, Zangen, Stahleinlagen im
Stahlbetonbau, Spanngliedern und dgl. vor.
Zugspannungen sind Normalspannungen, denn sie stehen auf der Querschnittsfläche
senkrecht, sie weisen von der Querschnittsfläche weg und erhalten meist positive
Vorzeichen.
Die Zugspannung im Augenblick des Bruches wird als Zugfestigkeit βz bezeichnet.
b) Druckspannung σD :
Druckspannungen treten z.B. bei Wänden, Stützen, Auflagern und Fundamenten auf.
Druckspannungen sind wie Zugspannungen Normalspannungen, sie weisen aber auf die
Querschnittsfläche hin und erhalten meist negative Vorzeichen.
Die Druckspannung im Augenblick des Bruches wird als die Druckfestigkeit βD
bezeichnet.
Will man infolge einer Normalkraft F in einem Querschnitt A die auftretende Spannung
kennen, so rechnet man :
⇒ σ = F / A ( Spannung = Kraft / Fläche )
Oft kennt man den Bemessungswert der Normalkrafteinwirkung Fd und den
Bemessungswert der Zugspannung f,d des Materials und will daraus die erforderliche
Fläche A rechnen :
⇒ A erforderlich = Fd / fd oder Fd / σd
Diese Formeln gelten aber nur, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind :
F F
Schwerpunkt S
Fläche A
- Die Bauteile haben eine gerade Achse
- Die gedrückten Körper sind so kurz und gedrungen, dass ein Ausknicken
nicht in Frage kommt.
- Die äusseren Kräfte greifen in den Schwerpunkten der Querschnitte und
in Richtung der Stabachse an.
- Es treten keine plötzlichen Querschnittsänderungen auf.
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Übungen zu Druck- und Zugspannungen
a: Tragfähigkeit eines Zugstabes aus Baustahl
Gesucht: Bemessungswert der Zugkraft von einem Rundstahl Durchmesser 16 mm aus
Baustahl S235 ?
Lösung:
b: Druckspannung in Betonpfeiler
Auf einen gedrungenen Betonpfeiler aus Normalbeton C25/30 von 40/40 cm
Querschnittsfläche wirkt eine Druckkraft Fd = 1’800 kN.
Genügen diese Abmessungen ? (Bemessungswert der Druckfestigkeit fc,d = 16.5 N/mm2 )
(Lösung selber erarbeiten)
c : Fundament bei zentrischer Belastung
Auf ein Einzelfundament wirkt eine zentrische Druckkraft von Nd = 910 kN.
Wie gross muss die Fundamentfläche sein, wenn der Bemessungswert der zulässigen
Bodenpressung mit σd = 240 kN/m 2 angenommen wird?
(Lösung selber erarbeiten)
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d : Zugarmierung in einem Unterzug
In einem Unterzug muss die Zugkraft durch die Bewehrung aus B500 aufgenommen
werden. Wie viele Armierungsstäbe mit Durchmesser 16 mm sind erforderlich, wenn der
gerechnete Bemessungswert der Zugkraft Zd = 340 kN beträgt?.
Lösung:
5) Formänderung und Formänderungsgesetze
a) Elastizität und Plastizität
Ein Körper wird durch eine Zugkraft gedehnt und durch eine Druckkraft gestaucht.
Ein Stoff verhält sich elastisch, wenn er nach der Entlastung seine ursprüngliche Gestalt
und damit seine ursprüngliche Länge wieder einnimmt. Die Eigenschaft der Elastizität
besitzen die Baustoffe vielfach nur bis zu einer je nach Material verschiedener Grenze der
Belastung.
Bei darüber hinausgehenden Belastungen treten auch Formänderungen auf, die nach der
Entlastung als bleibende oder plastische Formänderungen bestehen bleiben. Der
Baustoff verhält sich in diesem Belastungsbereich teils elastisch, teils plastisch.
Plastisches Verhalten wird auch als Plastizität bezeichnet.
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b) Das Spannungs- Dehnungsdiagramm
Um die Zusammenhänge zwischen Belastung und Dehnung anzugeben, kann man für
jeden Baustoff ein Spannungs- Dehnungsdiagramm aufstellen.
Wenn zum Beispiel ein Probestab auf der Zerreissmaschine geprüft wird, zeichnet eine
sich drehende Trommel selbständig auf der Ordinatenachse die Kraft F und auf der
Abszissenachse die Verlängerung Δ l auf.
Um nun allgemeingültige, von der Querschnittsfläche des Probestabes unabhängige,
Ergebnisse zu erhalten, geht man von Kraft und Verlängerung auf bezogene Grössen über.
Man teilt die Kraft durch die ursprüngliche Querschnittsfläche Ao und erhält dadurch auf
der Ordinatenachse die Spannung σ = F / Ao ; die Verlängerung wird durch die
ursprüngliche Länge l geteilt, wodurch sich die einheitslose Dehnung ε = Δl / l ergibt. Sie ist
bei gezogenen Körpern positiv, bei gedrückten negativ, ihr Vorzeichen entspricht also dem
Vorzeichen der Normalspannung.
plastischer
Bereich
elastischer
Bereich
σ = F/ A
0
Spannungs - Dehnungsdiagramm
P
E
001
β
S
S
β
ε = Δ l / lo (
Bruchdehnung
Bis zum Punkt P verläuft die Linie geradlinig. Es besteht auf dieser Strecke zwischen den
Dehnungen und Spannungen Verhältnisgleichheit ( Proportionalität).
Die Spannungen im Punkt P bezeichnet man als Proportionalitätsgrenze.
Bis zum Punkt E wachsen die Dehnungen etwas schneller als die Spannungen, die Linie
krümmt sich leicht, und bei einer Entlastung ergeben sich bereits kleine bleibende
Formänderungen.
Bis zu einer Dehnung von 0.01 % kann aber noch praktisch elastisches Verhalten
angenommen werden, deshalb wird dieser Punkt E als Elastizitätsgrenze bezeichnet.
Nach Erreichen des Punktes S dehnt sich der Körper ohne das eine weitere Laststeigerung
nötig ist. Der Stab streckt sich, der Stahl zum Beispiel fliesst.
Man nennt die Spannung an dieser Stelle S Fliessgrenze ( beim Zugversuch
Streckgrenze, beim Druckversuch Quetschgrenze). In diesem Bereich gehen die
Dehnungen nicht mehr ganz zurück, der Stab ist plastisch verformt worden.
Beim Stahl kann nach einer gewissen Streckung die Last noch einmal gesteigert werden (
Wiederverfestigung).
Im Punkt B ist die Höchstlast erreicht, an irgendeiner schwachen Stelle wird sogar bei jetzt
etwas sinkender Last der Stab zerrissen.
Die Bruchspannung berechnet man nach der Höchstlast βz = Fmax / Ao.
Die bis zum Bruch eintretende plastische Verformung nennt man die Bruchdehnung δ.
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βZ = F max / A o
Bruch

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Das Spannungs-
Dehnungsdiagramm sagt sehr viel
über das Verhalten eines
Baustoffes aus. 'Weiche'
Materialien haben grosse
Bruchdehnung und verformen sich
stark bevor sie die Bruchgrenze
erreichen.
Sehr spröde Stoffe anderseits
können eventuell sehr grosse
Fliessgrenzen aufweisen, dann
aber fast ohne weitere Dehnung
sofort zerreißen. ( Sprödbruch).
c) Das Hook'sche Gesetz und der Elastizitätsmodul
σ1
σ2
σ
ε2
ε1
tg ϕ = σ/ε = E
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ε
σ
S
Bruch
Die Spannungs- Dehnungslinie
verläuft bis zur Proportionalitätsgrenze
geradlinig, aus der Ähnlichkeit
der entstehenden Dreiecke gilt die
Beziehung :
⇒ Die Dehnungen sind den
Spannungen proportional.
Dieser zuerst vom englische Physiker Hooke ( 1678 ) ausgesprochene Satz wird nach ihm
das Hook’sche Gesetz genannt.
Das Verhältnis tgϕ = σ/ε wird als Elastizitätsmodul E bezeichnet.
E = σ / ε oder ε = σ / E ( Dehnung = Spannung / E-Modul )
Der Elastizitätsmodul ist eine Werkstoffkenngrösse mit der Einheit einer Spannung.
Das Hook’sche Gesetz gilt nur bis zur Proportionalitätsgrenze.
Wegen seiner einfachen Form wird es zur Vereinfachung der Berechnungen fast allgemein
benutzt. Es bildet die Grundlage der Elastizitätstheorie.
Einige der wichtigsten, aus Versuchen ermittelten und bei statischen Berechnungen
zu berücksichtigende Elastizitätsmodule sind :
Baustahl E = 210’000 N/mm 2
Grauguss E = 100’000 N/mm 2
Nadelholz C24 und Brettschichtholz GL24h
II - Faser E = 11’000 N/mm 2
┴ - Faser E = 300 N/mm 2
bewehrter Beton E = 21’000 - 33’000 N/mm 2
Mauerwerk aus Backsteinen E = 3’000 - 20’000 N/mm 2
Mauerwerk aus natürlichen Steinen E = 6’000 - 50’000 N/mm 2
ε

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Zusammenfassung Formeln :
Beispiele:
b) Zug auf Rundstab
Ein Rundstahl S235 mit Durchmesser 16 mm (RND 16 mm) von 8.00 m Länge wird durch
eine Zuglast von 28 kN gezogen.
Wie gross
wird die
Längenänderung ?
Lösung selber erarbeiten
F Kraft
Spannung
: σ = ( )
A Fläche
σ
Elastizitätsmodul:
E = ( Materialkonstante)
ε
σ Spannung Δl
Dehnung : ε = ( ) =
E E − Modul l
F ⋅l
Längenänderung:
Δl
= l ⋅ε
=
A⋅
E
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d) Längenänderungen durch Wärmeschwankungen
Temperaturänderungen können bei grösseren Bauwerken beträchtliche
Längenänderungen bewirken ( bei Abkühlung Verkürzung, bei Erwärmung Verlängerung).
Durch bewegliche Auflager kann erreicht werden, dass nicht hohe Zusatzspannungen
entstehen.
Die bei 1 Grad Temperaturänderung eintretende Längenänderung pro Längeneinheit
wird durch die Temperaturdehnzahl oder den Wärmeausdehnungskoeffizient αT
angegeben.
Längenänderung: Δ lT
= ± α T ⋅ t ⋅ l
Dehnung:
Ausdehnungskoeffizenten :
ε T =
Δ lT
l
= α T ⋅ t
Einheit für αT = 1 / .. Grad
Baustahl : αT = 0.000’012 ( meist αT ≅ 10 -5 Armierungstahl + Beton
)
: αT = 0.000’010 = 10 -5
Mauerwerk aus Backstein : αT = 0.000’006 = 0.6 ⋅10 -5
Holz in Faserrichtung : αT = 0.000’003 bis 0.000’009
Annahmen für Temperaturschwankungen
Bauten in Stahl und Leichtmetall : + 30 ° C bis - 30 ° C
Stahlbetonbauten : + 15 ° C bis - 25 ° C
Holzbauten - reine Holzbauten : + / - 0 ° C
Holzbauten - gemischte Bauweise : + 10 ° C bis - 5 ° C
Bauten aus Beton und Mauerwerk : + 10 ° C bis - 20 ° C
Ähnliche Längenänderungen wie eine Temperaturabnahme bewirkt das Schwinden von
Beton und Mörtel.
Beispiele:
a) Längenänderung durch Temperaturschwankung
Eine Betonbrücke von 30,0
m Länge erhält eine
Temperaturänderung
von - 25 ° C bis + 15 ° C.
Wie gross ist der
Verschiebungsweg vom
beweglichen Auflager ?
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b) Längenänderungen eines Stahlstabes
F = 17 kN
Rundstab Durchmesser 12 mm, Baustahl S235
L = 4.0 m
Gesucht: (Antworten auf 1/10 mm genau angeben!)
a) An den ursprünglich 4.0 m langen Stab wird eine Last von 17 kN angehängt
(Temperatur + 10 Grad C). Wie lang ist der Stab nach dem Anhängen der Last?
b) Im laufe des Tages erwärmt sich der belastete Stab von 10 Grad C auf + 30 Grad C.
Wie lang ist der Stab jetzt?
c) Druckkraft durch behinderte Wärmeausdehnung
Ein Walzprofil HEB 300 ( A= 18’100 mm 2 ) von 6.0 m Länge erwärmt sich bei einem
Brande um 50 ° C.
Welche Kraft wirkt auf das Auflager, wenn der Träger beidseitig fest verankert ist ?
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e) Querdehnungen
Bei Zugbeanspruchungen
beobachtet man nicht nur
Verlängerungen in Richtung
der Stabachse, es lassen
sich rechtwinklig dazu auch
Querzusammenziehungen,
Querkürzungen feststellen.
Ein gezogener Stab wird
nicht nur länger, sondern
gleichzeitig dünner.
Umgekehrt tritt bei Druck
neben der Verkürzung eine
Querschnittsvermehrung,
eine Querdehnung auf, ein
gedrückter Körper wird
kürzer und dicker.
Querdehnzahlen
Beton bei Zug : μ = 0.10 bis 0.125 Beton bei Druck: μ = 0.16 bis 0.20
Stahl und Eisen: μ = 0.30 Blei : μ = 0.43
Mit zunehmender Spödigkeit nimmt μ ab.
→ elastische Stoffe : 0 < μ < 0.5 → plastische Stoffe : μ = 0.5
Volumenänderung : Δ V = ± Δl / l ⋅ (1- 2⋅μ) ⋅ V
( Bei Zug → Volumenvermehrung, bei Druck → Volumenverminderung)
Für plastische Stoffe (μ = 0.5) wird Δ V = 0.
f) Formänderungen durch Schubkraft
Durch Schubkräfte entstehen nur
Verschiebungen benachbarter Querschnitte
gegeneinander.
Das Ausmass dieser Schiebung oder Gleitung
γ wird durch die Grösse der Winkeländerung
im Bogenmass (Radiant) ausgedrückt.
γ = Δz / Δ x
Wie wir bei den Dehnungen eine lineare Abhängigkeit von den Normalspannungen
feststellen konnten ( ε = σ / E ), lässt sich bei den Gleitungen Proportionalität zu den
Spannungen beobachten.
Die Proportionalitätskonstante wird Schubmodul G genannt.
Der Schubmodul G ist eine Werkstoffkenngrösse, die den Zusammenhang zwischen
Schubspannung τ und Winkeländerung γ angibt.
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6) Biegespannungen
Um die Biegespannungen bei Trägern und Balken zu berechnen, müssen wir folgende
Voraussetzungen und Annahmen treffen :
- Die Höhe des Trägers ist klein gegenüber der Länge.
- Durchbiegungen und Winkeländerungen sind so klein, dass sie auf den
Gleichgewichtszustand der äusseren Kräfte keinen Einfluss haben ( Theorie
I.Ordnung).
- Die Kräfte wirken senkrecht zur geraden Stabachse des Trägers und verursachen
reine Biegung (Biegung mit Längskraft wird später behandelt).
- Der Träger weist einen mindestens einfachen symmetrischen
Querschnitt auf.
- Die Wirkungslinien der angreifenden Kräfte liegen in der Ebene, die
durch Trägerachse und Symmetrieachse bestimmt wird.
- Nach Bernoulli macht man in guter Übereinstimmung mit der Wirklichkeit die
Annahme, dass Querschnitte, die im unbelasteten Träger eben sind und senkrecht
zur Trägerachse liegen, auch während der Biegung eben bleiben.
Der Balken wird sich unter Belastung durchbiegen, d.h. er wird durch ein Moment
beansprucht.
Druckspannungen
Am oberen Rand wird der Balken zusammengedrückt, am unteren Rand gezogen;
dazwischen befindet sich eine Faser, die weder gezogen noch gedrückt wird, man nennt
sie die neutrale Achse oder die Spannungsnulllinie.
Nach der Hypothese von Bernoulli bleiben ebene Querschnitte auch nach der Verformung
eben. Diese Formänderungsbedingung wurde durch Versuche nachgewiesen und
stimmt besonders gut für schlanke Stäbe.
Als Resultat der Ableitungen und Theorie zum Berechnen der Biegespannungen erhält
man die folgenden einfachen Formeln:
(Auf die Ableitungen und Theorie wird hier verzichtet)
My = σ ⋅ Iy / z
σ = My ⋅ z / Iy
neutrale Achse
Zugspannungen
σ =
Biegemomen t ⋅ Faserabst.
vonNullinie
Trägheitsmoment
Diese Gleichung ergibt die Biegespannung mit dem richtigen Vorzeichen, wenn die
lotrechte Koordinate z nach unten positiv, nach oben negativ eingeführt wird.
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Als weitere Vereinfachung setzt man Iy / zo = Wyo und Iy / zu = Wyu, man nennt Wyo das
obere und Wyu das untere Widerstandsmoment des Querschnittes.
⇒ Widerstandsmoment (mm 3 Wyo = Iy / zo ; Wyu = Iy /
)
Bei symmetrischen Querschnitten bezüglich der y - Achse ist Wyo = Wyu = Wy.
Mit den Widerstandsmomenten können wir nun auf einfache Weise die
Biegerandspannungen berechnen:
σo = My / Wyo
Die Biegegleichung gilt nicht für Stahlbetonträger, da der Baustoff Beton dem Hook’schen
Gesetz nicht folgt und die Zugspannungen nur den Stahleinlagen zugewiesen werden.
Armierungsstahl
Beispiele zu Biegespannungen
σu= My / Wyu
a) Verteilung der Biegespannungen über den ganzen Querschnitt.
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M
z
D
Z

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b) Minimal erforderlicher Träger
a) Holzbalken (C24) mit Breite b = 16 cm
b) Walzprofil IPE - Reihe (S235)
Diese Lösung soll erarbeitet werden
c) Erlaubte Last auf Holzbalken
qd = 15 kN / m’
2.50 m
Ein Holzbalken (Nadelholz, C24) mit 12 / 24 cm Querschnitt wird auf zwei Stützen
im Abstand l = 3.50 m aufgelegt.
Mit welcher gleichmässig verteilten Last darf er belastet werden,
wenn er a) hochkant und b) liegend versetzt wird ?
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7) Doppelbiegung
In vielen Fällen haben Träger ausser einer lotrechten Belastung auch waagrechte Lasten
aufzunehmen ( Erdbeben, Kranlasten, Windkräfte ).
Im Allgemeinen werden sie nach zwei senkrecht zueinander stehenden Hauptachsen
doppelt auf Biegen, d.h. auf Doppelbiegung beansprucht.
Bei der Berechnung der zugehörigen
Spannungen dürfen wir auf die
einfache Biegung zurückgreifen.
Es gilt nämlich das Superpositionsgesetz.
Die Belastung qz verursacht ein Moment um
die y -Achse, das wir wie gewohnt mit My
bezeichnen, die Belastung qy erzeugt ein
Moment Mz um die z -Achse.
-
d
a
c b
+
-
+
Unter Beachtung der Vorzeichen tritt grösste Zugspannung im obigen Beispiel in der linken
unteren Ecke c, die grösste Druckspannung in der rechten oberen Ecke a auf.
Bei dem hier betrachteten doppelsymmetrischen Querschnitt sind beide Spannungen dem
Betrage nach gleich gross, und es gilt die Formel :
σc = - σa = My / ⏐Wy⏐+ Mz / ⏐Wz⏐
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y
qz
z
qy
σcb = - σda = My / ⏐Wy⏐
σcd = - σab = Mz / ⏐Wz⏐
Für einen beliebigen Punkt P (y,z) des Querschnittes erhalten wir die Spannung mit Hilfe
der Trägheitsmomente :
σp = My ⋅ z / ⏐Iy⏐+ Mz ⋅ y / ⏐Iz⏐
( Momente und Koordinaten
mit Vorzeichen einsetzen)

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8) Biegung mit Längskraft
Oft kommt es vor, dass eine Normalkraft nicht in der Stabachse angreift, oder das ein
Balken durch Biegemomente und Normalkraft beansprucht wird. Beide Zustände können
gemeinsam betrachtet werden.
Greift eine Kraft aussermittig (exzentrisch) an, dann darf nicht mehr vorausgesetzt werden,
dass die Spannungen sich gleichmässig über die Querschnittsfläche verteilen.
Betrachten wir zum Beispiel einen Stab, der durch eine exzentrisch angreifende Zugkraft N
belastet wird. Dieser Belastungszustand lässt sich zerlegen in den mittig belasteten und
den nur mit einem Moment belasteten Stab. Für die Gesamtbelastung gelten dann auch
die Summen der Spannungszustände.
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9) Schubspannungen
Wenn zwei lose aufeinander liegende Balken belastet werden, biegt sich jeder von ihnen
für sich allein durch. Ihre Berührungsflächen verschieben sich dabei gegeneinander, weil
die Fasern mit entgegengesetzter Beanspruchung aufeinander treffen.
Die untersten Fasern des oberen Balkens erhalten die grössten Zugspannungen des
jeweiligen Querschnittes und verlängern sich daher am meisten; sie liegen auf den
obersten Fasern des unteren Balkens, die die grössten Druckspannungen erhalten und
sich deshalb am stärksten verkürzen.
Die gegenseitige Verschiebungen der Balken sind an den Auflagern am grössten und
nehmen bis zur Stelle des Maximalmomentes allmählich auf Null ab.
Um die Tragfähigkeit dieser zwei einzelnen Balken zu erhöhen, können sie miteinander zu
einem einzigen Balken verbunden werden.
Die Verbindung aus Nägeln, Dübeln, Bolzen oder Leim muss dann eine in Richtung der
Stabachse wirkende Längsschubkraft T aufnehmen.
Diese Längsschubkräfte sind aber auch bei einheitlichen Balken vorhanden. In den
Längsfasern entstehen jetzt die Längsschubspannungen τn, die die Schubfestigkeit des
betreffenden Baustoffes nicht überschreiten dürfen, damit keine Trennung der Fasern
eintritt.
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Gleichheit der Schubspannungen auf horizontalen und vertikalen Schnitten
Wenn man einen sehr kleinen Würfel aus einem Balken auf der Höhe der Nulllinie
herausschneidet, so ergibt sich zunächst aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen
Summe H = 0 und Summe V = 0, dass die Schubspannungen in den gegenüberliegenden
Flächen entgegengesetzt gleich gross sein müssen.
Aus der Bedingung Summe M = 0 folgt weiter, dass die Momente der Kräftepaare
entgegengesetzt gleich sind und also τh = τv ist.
A
τvl
τho
τhu
τvr
ΣH = 0 = τho⋅Δx⋅Δy+τhu⋅Δx⋅Δy = 0
→ τho = τhu
ΣH = 0 : → τvl= τvr
ΣMA = 0 :
=Δy⋅ τhu⋅Δx⋅Δy- Δx⋅ τvr⋅Δz⋅Δy = 0
→ τhu = τ vr
→ τ h = τ v
In jedem Punkt eines Balkens ist also die waagrechte Längsschubspannung τh gleich der
lotrechten Querschubspannung τv.
Die Querschubspannungen sind wie die Längsschubspannungen nicht
gleichmässig über die Querschnittsfläche verteilt; sie erreichen bei konstanter
Querschnittsbreite in der Nulllinie ihren Grösstwert und nehmen bis zu den
äussersten Fasern auf Null ab.
Bezogen auf die Würfelkante haben τh und τv immer dieselbe Richtung; entweder weisen
sie zur betreffenden Kante hin oder sind von ihr weggerichtet.
Als Resultat der Ableitungen und Theorie zum Berechnen der Schubspannungen
erhält man die folgenden einfachen Formeln:
(Auf die Ableitungen und Theorie wird hier verzichtet)
τ
=
V = Querkraft
S = statisches Moment
B = Breite b
I = Trägheitsmoment
V ⋅S
b⋅I
τmax
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h
b

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Beispiele zu Schubspannungen :
Verteilung der Schubspannungen im Rechteckquerschnitt
allgemein : Gegeben : V , Gesucht τ
h
Also:
b
A
B
τmax
im Punkt B : τ =
V ⋅ S
b ⋅ I
im Punkt A : S = 0 → τ = 0
Speziell beim Rechteckquerschnitt:
S
2
3
h h b ⋅ h b ⋅ h
= ⋅b
⋅ = I =
2 4 8 12
2
V ⋅b
⋅ h ⋅12
3⋅V
V
τ = = = 1.
5⋅
= τ
3
b ⋅8
⋅b
⋅h
2⋅
b ⋅ h A
V
τ = 1. 5⋅
= τ
A
Max. Schubspannung beim Rechteckquerschnitt max
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max

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Beispiel: Doppel –T- Querschnitt V = 19.2 kN
Dieses Beipiel dient nur zur Information und gehört nicht zum Pflichtstoff
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Zusammenfassung Werte und Formeln aus Kapitel 8:
Beispiele für Lastbeiwerte: (aus Norm Einwirkungen)
Lastbeiwert für Nutzlast γQ = 1.5
Lastbeiwert für ständige Last und Eigengewicht γG = 1.35
Bemessungswerte des Tragwiderstandes Rd
(Genaue Angaben : siehe entsprechende Normenwerke )
SIA 265) Holzbau
Nadelholz, C24
Biegung fm,d = 14 N/mm 2
Zug parallel zur Faser ft,0,d = 8 N/mm 2
Druck parallel zur Faser fc,0,d = 12 N/mm 2
Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 1.8 N/mm 2
Schub fv,d = 1.5 N/mm 2
Buche, Eiche, D30
Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 5.3 N/mm 2
Brettschichtholz aus Nadelholz, GL24h
Biegung fm,d = 16 N/mm 2
Zug parallel zur Faser ft,0,d = 12 N/mm 2
Druck parallel zur Faser fc,0,d = 14.5 N/mm 2
Druck senkrecht zur Faser fc,90,d = 1.9 N/mm 2
Schub fv,d = 1.8 N/mm 2
SIA 263) Stahlbau
Stahl S235 Biegung und Zug fd = 224 N/mm 2
Schub τ,d = 129 N/mm 2
Stahl S355 Biegung und Zug fd = 338 N/mm 2
Schub τ,d = 195 N/mm 2
SIA 262) Betonbau
Normalbeton C20/25 Druckfestigkeit fc,d = 13.5 N/mm 2
Normalbeton C25/30 Druckfestigkeit fc,d = 16.5 N/mm 2
Betonstahl B500 Zugfestigkeit fs,d = 435 N/mm 2
Spannstahl z.B.Y1670 Zugfestigkeit fp,d = 1250 N/mm 2
Elastizitätsmodule:
Baustahl E = 210’000 N/mm 2
Grauguss E = 100’000 N/mm 2
Nadelholz C24 und Brettschichtholz GL24h
II - Faser E = 11’000 N/mm 2
┴ - Faser E = 300 N/mm 2
bewehrter Beton E = 21’000 - 33’000 N/mm 2
Mauerwerk aus Backsteinen E = 3’000 - 20’000 N/mm 2
Mauerwerk aus natürlichen Steinen E = 6’000 - 50’000 N/mm 2
Spannung
F Kraft
: σ = ( )
A Fläche
σ
Elastizitätsmodul:
E = ( Materialkonstante)
ε
Dehnung
σ Spannung Δl
: ε = ( ) =
E E − Modul l
F ⋅l
Längenänderung:
Δl
= l ⋅ε
=
A⋅
E
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