Wachstum und Charakterisierung dünner PTCDA-Filme auf ...

2. Physikalische Grundlagen
Hieraus zeigt sich, dass die Transmissionswahrscheinlichkeit durch den Faktor e −2κz bestimmt
wird. Da der Tunnelstrom proportional zur Transmissionswahrscheinlichkeit ist,
zeigt dieser eine starke Abhängigkeit vom Abstand z und der Wurzel aus der effektiven
Barrierenhöhe U0 −E.
2.4.2. Theoretische Beschreibung des Tunnelstroms
Im Jahre 1961 entwickelte der Physiker Bardeen [24] einen Formalismus, der eine theoretische
Behandlung des Tunnelstroms in der Rastertunnelmikroskopie ermöglichte. Diese
Theorie basiert auf dem Tunnelprozess in einem Metall/Isolator-System. Dabei nahm er
an, dass die metallischen Elektroden ein schwach wechselwirkendes System darstellen, bei
dem der Tunnelprozess durch die Überlappung ihrer Wellenfunktion in der Oxidschicht
ermöglicht wird. Mittels der zeitabhängigen Störungstheorie entwickelte er einen Ausdruck
für den Tunnelstrom. Tersoff und Hamann [25] erweiterten diesen Ausdruck auf
den Metall-Vakuum-Metall-Tunnelprozess, wie er im STM vorliegt. Für den Grenzfall
des absoluten Temperaturnullpunkts T = 0 K und für kleine Vorspannungen UT erhielten
sie mit Hilfe der zeitabhängigen Störungstheorie erster Ordnung folgenden Ausdruck
für den Tunnelstrom:
I = 2π
� e2 UT
�
|Mµν| 2 δ(Eµ −EF)δ(Eν −EF). (2.4.4)
µ,ν
Eµ und Eν sind die Energien in den Zuständen ψµ und χν relativ zu den jeweiligen
Ferminiveaus der beiden Elektroden. Mµν ist das Tunnelmatrixelement zwischen den
Zuständen ψµ der ersten Elektrode und χν der zweiten Elektrode. Wie Bardeen [24]
gezeigt hat, wird das Matrixelement beschrieben durch
|Mµν| = �2
2m
�
d � fψ ∗ µ � ∇ψν −ψν � ∇ψ ∗ µ. (2.4.5)
Die Integration erfolgt über eine beliebige Fläche innerhalb der Vakuumbarriere. Um
Gleichung 2.4.5 exakt zu lösen, werden genaue Kenntnisse der Energien, Wellenfunktionen
und somit der atomaren Struktur der Spitze und Probe benötigt. Jedoch ist die Spitzengeometrie
in der Regel unbekannt, und deshalb führten Tersoff und Hamann folgendes
einfaches Modell ein. Durch die Annahme einer idealen Sondenspitze mit punktförmiger
Ladungsverteilung am Ort �rSpitze mit dem Radius R ermöglicht die Näherung eine auschließliche
Berücksichtigung von s-Wellenfunktionen für Elektronen in der Spitze. Durch
diese Näherung wird die Winkelabhängigkeit der Ladungsdichteverteilung vernachlässigt.
Damit ist das Tunnelmatrixelement proportional zum Zustand χν der Probe, und
somit ergibt sich der Tunnelstrom zu:
IT(�rSpitze,UT) ∝ �
|χν(�rSpitze)| 2 δ(Eν −EF) ≡ ρ(�rSpitze,EF). (2.4.6)
14
ν