Wachstum und Charakterisierung dünner PTCDA-Filme auf ...
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2. Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Hieraus zeigt sich, dass die Transmissionswahrscheinlichkeit durch den Faktor e −2κz bestimmt<br />
wird. Da der Tunnelstrom proportional zur Transmissionswahrscheinlichkeit ist,<br />
zeigt dieser eine starke Abhängigkeit vom Abstand z <strong>und</strong> der Wurzel aus der effektiven<br />
Barrierenhöhe U0 −E.<br />
2.4.2. Theoretische Beschreibung des Tunnelstroms<br />
Im Jahre 1961 entwickelte der Physiker Bardeen [24] einen Formalismus, der eine theoretische<br />
Behandlung des Tunnelstroms in der Rastertunnelmikroskopie ermöglichte. Diese<br />
Theorie basiert <strong>auf</strong> dem Tunnelprozess in einem Metall/Isolator-System. Dabei nahm er<br />
an, dass die metallischen Elektroden ein schwach wechselwirkendes System darstellen, bei<br />
dem der Tunnelprozess durch die Überlappung ihrer Wellenfunktion in der Oxidschicht<br />
ermöglicht wird. Mittels der zeitabhängigen Störungstheorie entwickelte er einen Ausdruck<br />
für den Tunnelstrom. Tersoff <strong>und</strong> Hamann [25] erweiterten diesen Ausdruck <strong>auf</strong><br />
den Metall-Vakuum-Metall-Tunnelprozess, wie er im STM vorliegt. Für den Grenzfall<br />
des absoluten Temperaturnullpunkts T = 0 K <strong>und</strong> für kleine Vorspannungen UT erhielten<br />
sie mit Hilfe der zeitabhängigen Störungstheorie erster Ordnung folgenden Ausdruck<br />
für den Tunnelstrom:<br />
I = 2π<br />
� e2 UT<br />
�<br />
|Mµν| 2 δ(Eµ −EF)δ(Eν −EF). (2.4.4)<br />
µ,ν<br />
Eµ <strong>und</strong> Eν sind die Energien in den Zuständen ψµ <strong>und</strong> χν relativ zu den jeweiligen<br />
Ferminiveaus der beiden Elektroden. Mµν ist das Tunnelmatrixelement zwischen den<br />
Zuständen ψµ der ersten Elektrode <strong>und</strong> χν der zweiten Elektrode. Wie Bardeen [24]<br />
gezeigt hat, wird das Matrixelement beschrieben durch<br />
|Mµν| = �2<br />
2m<br />
�<br />
d � fψ ∗ µ � ∇ψν −ψν � ∇ψ ∗ µ. (2.4.5)<br />
Die Integration erfolgt über eine beliebige Fläche innerhalb der Vakuumbarriere. Um<br />
Gleichung 2.4.5 exakt zu lösen, werden genaue Kenntnisse der Energien, Wellenfunktionen<br />
<strong>und</strong> somit der atomaren Struktur der Spitze <strong>und</strong> Probe benötigt. Jedoch ist die Spitzengeometrie<br />
in der Regel unbekannt, <strong>und</strong> deshalb führten Tersoff <strong>und</strong> Hamann folgendes<br />
einfaches Modell ein. Durch die Annahme einer idealen Sondenspitze mit punktförmiger<br />
Ladungsverteilung am Ort �rSpitze mit dem Radius R ermöglicht die Näherung eine auschließliche<br />
Berücksichtigung von s-Wellenfunktionen für Elektronen in der Spitze. Durch<br />
diese Näherung wird die Winkelabhängigkeit der Ladungsdichteverteilung vernachlässigt.<br />
Damit ist das Tunnelmatrixelement proportional zum Zustand χν der Probe, <strong>und</strong><br />
somit ergibt sich der Tunnelstrom zu:<br />
IT(�rSpitze,UT) ∝ �<br />
|χν(�rSpitze)| 2 δ(Eν −EF) ≡ ρ(�rSpitze,EF). (2.4.6)<br />
14<br />
ν