(CAS) an allgemeinbildenden Gymnasien in Baden-Württemberg

Inhaltsverzeichnis
Programm 3
Mathematik
Jahrgang 7 5
Mittelsenkrechte und Innenkreis (C. Dauth) 6
Jahrgang 8 7
Lineare Funktionen (M. Hauser) 8
Lineare Funktionen (P. Stein) 14
Jahrgang 9 19
Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen (M. Hauser) 20
Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen (J. Mankel) 26
Quadratische Funktionen (H. Kümmel) 49
Jahrgang 10 59
Potenzen und Potenzfunktionen I (E. Conradi- Pinther) 60
Potenzen und Potenzfunktionen II (E. Conradi- Pinther) 63
Potenzgleichungen und -funktionen
lineares und exponentielles Wachstum (E. Conradi- Pinther) 66
Potenzfunktion – Exponentialfunktion (H. Kümmel) 78
Trigonometrie, Grafen und Gleichungen (H. Kümmel) 92
Exponentialfunktion und trigonometrische Funktion
in der Anwendung (H. Kümmel) 96
Oberstufe
Lehrplan für das Fach Mathematik mit einem Computer-
Algebra-System (CAS) an allgemeinbildenden Gymnasien
Klassenstufe 11 und Kursstufe (Bad.-Wür.) 112
Ganzrationale Funktion (R. Bellinger) 120
Funktionen mit Parametern (A. Bülthe) 121
Ganzrationale Funktionen (A. Bermel) 123
Regressionsanalyse (S. Stachniss-Carp) 124
Bedingte Wahrscheinlichkeiten (J. Stein) 135
Komplexe Zahlen (M. Kohn) 141
Gewöhnliche Differentialgleichungen (U. Brundiers-Zöll) 146
Naturwissenschaften
Untersuchung von Abkühlungs-Prozessen, mit Messw.-erf. (H. Kümmel) 147
2

SiNUS-Abschlussveranstaltung
Digitale Medien im Unterricht
am 20. Juni 2007 in Friedberg
Programm
10.00 Uhr Eröffnung und Begrüßung
10.15 Uhr Dr. Andreas Pallack, Soest:
SiNUS (NRW) zieht Bilanz: Ein- und
Ausblicke zum Einsatz CAS- fähiger
Taschenrechner im Unterricht (Sek.I/II).
Vortrag und Diskussion
11.15 Uhr Workshop I
12.45 Uhr Mittagspause
13.45 Uhr Workshop II
15.15 Uhr Kaffeepause
15.45 Uhr Berichte aus den Workshops
16.15 Uhr Ausblick
16.30 Uhr Ende der Veranstaltung
Parkmöglichkeiten stehen in der Tiefgarage des Kreishauses am
Europaplatz zur Verfügung.
Der Veranstaltungsort liegt etwa 10 Minuten Fußweg vom Bahnhof
Friedberg entfernt.
3

SiNUS-Abschlussveranstaltung: Workshops
Wir wollen über den Austausch der Erfahrungen der beteiligten CAS einsetzenden
Schulen mehr Sicherheit über sinnvolle Einsatzmöglichkeiten im Unterricht
bekommen. Dabei sollen Bezüge zu den SiNUS- Modulen hergestellt werden.
Erweiterte Fragestellung: Ab wann sollten diese GTR/CAS-Systeme eingesetzt
werden (Kosten – Nutzen Analyse)? In welchen Situationen sollten eher PCs zum
Einsatz kommen?
Mathematik
� Einführung von Funktionen mit Hilfe CAS-fähiger Taschenrechner an
verschiedenen Beispielen:
o lineare
o quadratische (Parabelwerkstatt)
o exponentielle und
o trigonometrische Funktionen;
� Geometrie: Untersuchungen am Dreieck
� Einführung der Differenzialrechnung
o Das ABC der ganzrationalen Funktionen
o Funktionenscharen
o Funktionen und Grenzwert
o Sind Steuern gerecht?
� Differentialgleichungen
� Bedingte Wahrscheinlichkeit
� Komplexe Zahlen
In einem ersten Durchgang sollen die anwesenden Teilnehmerinnen und Teilnehmer
ihre Unterrichtsbeiträge in einem zehnminütigen Vortrag (mit Hinweisen zur Didaktik
und Methodik sowie einem ersten Fazit) vorstellen. In dem sich dann anschließenden
Gedankenaustausch sollen folgende Fragen behandelt werden:
� Welche Mathematikinhalte lassen sich über PCs oder CAS-Systeme vertiefen
und wie sieht ein dazugehöriger Medienentwicklungsplan aus?
� Welche Inhalte müssen über (in der Regel schulinterne) Fortbildungen
angeboten werden?
� Wie lässt sich der Kauf von CAS- Rechnern sozialverträglich organisieren?
� Wie können die Schulbücher zu einer sinnvollen Integration digitaler Medien in
den Unterricht beitragen?
Naturwissenschaften
Anhand von Temperaturmessungen wird das Messen mit der Handheldtechnologie
eingeführt. Dazu stehen Schülerarbeitsbögen zur Verfügung, in denen die Aufgaben
technologieunabhängig formuliert sind. Erst in den Anweisungen zur Durchführung
der Experimente wird auf die jeweilig verwendete Technologie eingegangen.
Anschließend wird die Auswertung der Daten mit den Taschencomputern
besprochen.
Je nach zur Verfügung stehender Zeit werden weitere Experimente vorgestellt.
Zum Abschluss wird vorgestellt, wie der Einsatz der Taschencomputer
eigenständiges Lernen und schülerzentrierten Unterricht auch in dem
naturwissenschaftlichen Unterricht ermöglicht.
4

Andreas Pallack
SINUS-Transfer Hessen, 20.06.2007
SINUS zieht Bilanz:
Ein- und Ausblicke zum Einsatz CAS-
fähiger Taschenrechner im Unterricht

Andreas Pallack
SINUS-Transfer Hessen, 20.06.2007
SINUS zieht Bilanz:
CAS braucht man wirklich !?

Mathematikunterricht mag ich nicht
GK LK
++ + - -- ++ + - --
18,80% 25,70% 36,50% 16,80% 3,40% 5,80% 42,80% 47,10%
Einschub

Mathematik ist ein interessantes Fach
GK LK
++ + - -- ++ + - --
9,90% 33,20% 31,70% 20,90% 35,10% 47,60% 10,10% 4,80%
Einschub

Gute Kenntnisse in Mathematik sind für mein späteres Leben wichtig
GK LK
++ + - -- ++ + - --
13,10% 36,20% 33,50% 10,60% 34,60% 44,70% 15,90% 1,00%
Einschub

Mathematik ist nützlich in jedem Beruf
GK LK
++ + - -- ++ + - --
16,70% 42,90% 25,50% 8,90% 22,10% 49,50% 21,20% 2,90%
Einschub

Mathematik ist für ... wichtig.

Standardsetzung
- überprüfung
Standards setzen: Kernlehrpläne, Lehrpläne, KMK-Standards, EPA
- sicherung:
Die Rolle der neuen Technologien
Unterrichtsentwicklung / Förderangebote bereitstellen
Ergebnisse analysieren (Aufbereitung LSE, Diagnose, ...)
Standards überprüfen: VERA, LSE, P10, Abitur, (PISA, IQB-Test, ...)

These:
Im Abitur: CAS / NON CAS
Wann ist ein CAS ein CAS?
Es gibt zurzeit keine einzige tragfähige Kategorisierung (außer der Benennung einzelner
Funktionalitäten) von neuen Technologien für die Schule. Die klassischen Kategorien
stammen aus der kurzen Entstehensgeschichte neuer Technologien.
Arbeitsdefinition:
Ein CAS ist eine Technologie, mit der man mindestens Terme symbolisch ableiten und
Gleichungen exakt lösen kann.

Standards setzen: Kernlehrpläne, Lehrpläne, KMK-Standards, EPA
Das Ziel:
Mathematische Kompetenzen von
Schülerinnen und Schülern zu fördern
Unterrichtsentwicklung / Förderangebote bereitstellen
Ergebnisse analysieren (Aufbereitung LSE, Diagnose, ...)
Standards überprüfen: VERA, LSE, P10, Abitur, (PISA, IQB-Test, ...)

Erfahrungen
Im Rahmen des Modellversuchs SINUS-Transfer NRW wurden
etwa 30 Schulen (gezielt) bei der Anschaffung von neuen
Technologien unterstützt und im Modellversuch kontinuierlich
begleitet. Viele dieser und weiterer Schulen entschlossen sich für
den dauerhaften und breit angelegten Einsatz neuer Technologien.
Warum führen Schulen neue Technologien ein bzw. was hält sie
davon ab?

PRO
Moderner Unterricht
braucht zeitgemäße
Technologien
Rechenfertigkeiten
gehen verloren
CONTRA
Offene, realitätsbezogene
Aufgaben und aktives Lernen
Mathematik sollte ganz
ohne Rechner sein
Schwache Schüler
werden besonders
gefördert
Kosten
Bessere Ausbildung
der Schülerinnen und
Schüler
Alle 3 Jahre in neue
Technologien
einarbeiten? Das
mache ich nicht mit!
Themenspezifische Gründe
(z. B. keine Wahrscheinlichkeitstabellen
mehr)
Mehr Spaß
beim Lernen
Entlastung
vom Kalkül
Die Abnehmer
(Universitäten)
verlangen händisches
Rechnen
Schwache Schüler
werden noch
schwächer

Am Beispiel einer Probeklausur im Jahrgang 12 in NRW
und einer Beispielarbeit für das Abitur
Die Suche
nach der CAS-Spezifik

Sicht 2004:
Keine CAS-Aufgabe ohne CAS?
Eine gute CAS-Aufgabe für die Prüfung ist eine Aufgabe, die ohne den Einsatz von CAS
nicht angemessen lösbar ist.
Eine gute CAS-Aufgabe für den Unterricht ist eine Aufgabe, die den Erwerb
mathematikbezogener Kompetenzen nicht behindert und zusätzliche das Potenzial der
Technologie in den Unterricht trägt.

In NRW berühmt und berüchtigt:
Der CAS-Dino

Zur Anzeige wird der QuickTime
Dekompressor „TIFF (Unkomprimiert)“
benötigt.
Der CAS-Dino

Zur Anzeige wird der QuickTime
Dekompressor „TIFF (Unkomprimiert)“
benötigt.
Der CAS-Dino

Zur Anzeige wird der QuickTime
Dekompressor „TIFF (Unkomprimiert)“
benötigt.
Der CAS-Dino

Zur Anzeige wird der QuickTime
Dekompressor „TIFF (Unkomprimiert)“
benötigt.
Der CAS-Dino

Der wesentliche Unterschied zu Aufgaben ohne CAS besteht NICHT
(a) in der Art der Aufgabenstellung (Operatoren...) oder
(b) im Grad der Anwendungsbezogenheit bzw. der Authentizität.
Kurze Analyse

Der wesentliche Unterschied zu Aufgaben ohne CAS besteht
(a) im Komplexitätsgrad,
Kurze Analyse
(b) in der Tatsache, dass in der CAS-Version Nutzungskompetenzen abgefragt werden und
(c) darin, dass man den Prüflingen zutraut, mehrere alternative Zugänge zu beschreiben.

Unterricht
Offene Aufgaben, die
möglichst viel Eigentätigkeit
und auch Kreativität erlauben
Aufgaben, die im Sinne von
Prüfungsgerechtigkeit
eindeutig auswertbar sind
Prüfung
Schwerpunkt auf
Reflexion und Transfer
statt dem Abarbeiten von
Algorithmen
Zeichne einen Geist...
Authentische Aufgaben,
Durchführung des
Modellierungsprozesses
durch die Lernenden
Realitätsbezogene
Aufgaben, Aufbrechen des
Modellierungsprozesses,
Vorgabe der Modellierung
Angemessene Verteilung von
Reproduktion und Anwendung
(90 %) sowie Transfer und
Reflexion (10 %)

Ziel einer Prüfung…?
Das Ziel von Prüfungen ist nicht zu überprüfen, ob Schülerinnen und Schüler bestimmte
Aufgaben lösen können.
In den Zeiten zentraler Standardsetzung und Standardüberprüfung muss sich jede
einzelne Prüfungsaufgabe vor dem Hintergrund von in (Kern)lehrplänen ausgewiesenen
Kompetenzerwartungen messen lassen.
Ziel von Prüfungen ist entsprechend zu überprüfen, ob die Schülerinnen und Schüler im
angemessenen Maße über die geforderten Kompetenzen verfügen.

Plädoyer pro „Technologie“
contra Technologie-Aufgaben
Das eigentliche Potenzial von „Technologien“ liegt im Bereich der Unterrichtsentwicklung:
Lernende werden z. B. von algorithmischen Tätigkeiten entlastet. Der Schwerpunkt verlagert
sich hin zum verständnisvollen Umgang mit Mathematik.
CAS und andere Technologien werden erst in den Händen von Schülerinnen und Schülern zu
Werkzeugen. Dabei ist es sekundär, ob in der Prüfung spezielle CAS-Aufgaben behandelt
werden oder nicht. „Gute Aufgaben“ bleiben „gute Aufgaben“.
Wichtiger – und damit primär – ist das Zusammenspiel von Werkzeug und Lerngelegenheit.
Zentrale Frage: Welche Kompetenzen können Lernende in einem (Technologie-)
Lernarrangement erwerben?

Ein Beispiel
Beschreibe den Zusammenhang zwischen Länge, Breite, Umfang und Fläche eines im
Einheitsquadrat eingeschlossenen Rechtecks.

Irrwege
• Schülerinnen und Schüler müssen alle Aufgaben mit und ohne Technologie lösen können.
• Auch wenn die Technologie in der Klausur verwendet werden darf, müssen die
Schülerinnen und Schüler zeigen, dass sie die Aufgaben auch ohne Technologie lösen
könnten (latent intendierte Aufgaben).
• In der Klausur wird die eingesetzte Technologie nicht zugelassen.
• Alles was die Technologie zur Verfügung stellt, muss auch genutzt werden.
• Die Technologie wird in erster Linie zum Überprüfen von Ergebnissen eingesetzt.

Irrwege
• Schülerinnen und Schüler müssen alle Aufgaben mit und ohne Technologie lösen können: Keine
Zeit!
• Auch wenn die Technologie in der Klausur verwendet werden darf, müssen die Schülerinnen und
Schüler zeigen, dass sie die Aufgaben auch ohne Technologie lösen könnten (latent intendierte
Aufgaben): Kann in Klausuren kaum noch etwas abfragen.
• In der Klausur wird die eingesetzte Technologie nicht zugelassen: Wusst ich es doch, sie können
es nicht.
• Alles was die Technologie zur Verfügung stellt, muss auch genutzt werden: Im Abitur kommen
keine Aufgaben für den TR XY983-FR.
• Die Technologie wird in erster Linie zum Überprüfen von Ergebnissen eingesetzt: Alles zu teuer.

Sicht 2004:
Keine CAS-Aufgabe ohne CAS?
Eine gute CAS-Aufgabe für die Prüfung ist eine Aufgabe, die ohne den Einsatz von CAS
nicht angemessen lösbar ist.
Eine gute CAS-Aufgabe für den Unterricht ist eine Aufgabe, die den Erwerb
mathematikbezogener Kompetenzen nicht behindert und zusätzliche das Potenzial der
Technologie in den Unterricht trägt.

Sicht 2007:
Technologie Technolo
Keine CAS-Aufgabe ohne CAS?
Gute Technologie-Aufgaben für die Prüfung gibt es nicht, da sich das wahre Potenzial von
neuen Technologien nur im Bereich der Unterrichtsgestaltung offenbart.
Eine gute Technologie-Aufgabe für den Unterricht ist eine Aufgabe, die den Erwerb
mathematikbezogener Kompetenzen fördert und es Schülerinnen und Schülern erlaubt,
selbstständig Mathematik zu treiben.

Zukünftige Rolle
von neuen Technologien.
Das Problem, dass alles
mit allem vernetzt ist
Unterrichtsentwicklung / Förderangebote bereitstellen
Ergebnisse analysieren (Aufbereitung LSE, Diagnose, ...)
Standards überprüfen: VERA, LSE, P10, Abitur, (PISA, IQB-Test, ...)
Standards setzen: Kernlehrpläne, Lehrpläne, KMK-Standards, EPA

Zukünftige Rolle
von neuen Technologien.
Das Problem, dass alles
mit allem vernetzt ist
Unterrichtsentwicklung / Förderangebote bereitstellen
Ergebnisse analysieren (Aufbereitung LSE, Diagnose, ...)
Standards überprüfen: VERA, LSE, P10, Abitur, (PISA, IQB-Test, ...)
Standards setzen: Kernlehrpläne, Lehrpläne, KMK-Standards, EPA

Zukünftige Rolle
von neuen Technologien.
Das Problem, dass alles
mit allem vernetzt ist
Unterrichtsentwicklung / Förderangebote bereitstellen
Ergebnisse analysieren (Aufbereitung LSE, Diagnose, ...)
Standards überprüfen: VERA, LSE, P10, Abitur, (PISA, IQB-Test, ...)
Standards setzen: Kernlehrpläne, Lehrpläne, KMK-Standards, EPA

SINUS-Abschluss-Veranstaltung
Digitale Medien im Unterricht
am 20. Juni 2007 in Friedberg
Protokoll Gruppe Mathematik
Workshop 1 (11.30 bis 13.00 Uhr) und
Workshop 2 (14.00 bis 15.45 Uhr)
Moderation: Peter Prewitz, Viola Dengler
Erfahrungsberichte/Erfahrungsaustausch:
1) Dr. Jürgen Stein, Georg-Büchner-Gymnasium, Bad Vilbel:
Casio Class-Pad im Mathe-LK 13, projektartig eingesetzt
(Dokumentation siehe S. 135 ff);
In Zukunft: Einsatz in Klasse 11 geplant; Permanentausleihe
2) Edertal-Schule, Frankenberg;
Einsatz im Mathe-LK und Klasse 10, projektartig, sporadisch;
10-er waren eher „vorsichtig“ im Umgang mit den Geräten.
In Zukunft: Einsatz in gk 11 bis Abitur
3) (u. a.) Christian Dauth, Gesamtschule Konradsdorf, Ortenberg:
Casio Class-Pad;
a) gute Erfahrungen beim Einsatz in Klasse 11
(Rechenroutinen, Verschiebungs- und Streckungsregeln
bei unterschiedlichen Funktionstypen)
b) Klasse 10 Exponentialfunktionen
c) Klasse 6 „Zeichnen mit Class-Pad“, experimentelles
Arbeiten (Aufgaben „gehfaule Ameisen“), Problematik
exakter – numerischer Modus (Dokumentation S. 6)
4) Ralph Vogt, Friedrich-Ebert-Schule, Marburg:
TI voyage 200; Einsatz nur sporadisch; Arbeit sonst eher mit
excel (Tabellenkalkulation) und Euklid (dynamische Geometriesoftware)
5) Dr. Elke Conradi-Pinther, Freiherr-vom-Stein-Schule,
Gladenbach:
TI voyage 200, Permanentausleihe;
(Dokumentationen S. 26, S. 60 ff)
Einsatz im Wesentlichen durch 2 Kolleg(en)/innen;
Problematisch: geeignete Aufgaben finden; Dokumentation des
Rechnereinsatzes in Klassenarbeiten; „Berührungsängste“ auf
Seiten Kolleg(en)/innen und Schüler/innen;

In Zukunft: Interesse an weiterem Einsatz, noch mehr Rechner
zu bekommen.
6) Manfred Hauser, Martin-Luther-Schule, Marburg:
TI voyage 200, Ausleihe über mehrere Wochen;
(Dokumentationen S. 7, S. 20)
In Klassen 8 und 9: lineare Funktionen, lineare Optimierung;
quadratische Funktionen;
Verwendung von Schulbuchaufgaben, experimentelles Arbeiten
(Entdecken von Gesetzmäßigkeiten, Visualisierung der Rolle von
Parametern); Einsatz auch in Klassenarbeiten: Bearbeitung von
vielen Aufgaben möglich, Dokumentation der Rechnereingaben
und Interpretation der Ergebnisse wurden verlangt,
Klassenarbeiten waren „korrekturfreundlich“.
7) Peter Fischer (Schulprojektleiter SINUS), Martin-Luther-
Schule, Marburg:
Keine eigenen Erfahrungen gesammelt, aber interessiert an den
Erfahrungen der Kolleg(en)/innen.
8) Viola Dengler, Martin-Luther-Schule, Marburg:
TI voyage 200, Einsatz jeweils über mehrere Wochen, aber aus
Zeitmangel keine Dokumentationen erstellt;
a) Mathe-LK, Anfang 12/1: Exponentialfunktionen,
logistisches Wachstum; 1 Klausur mit CAS; Schüler/innen
entschieden sich gegen Abitur mit CAS und gegen
Anschaffung der Geräte (Gründe: CAS-Aufgaben wurden
als schwerer empfunden; Geräte zu teuer)
b) Klasse 9: Wiederholung lineare Funktionen, lineare
Optimierung; lineare Gleichungssysteme; quadratische
Funktionen und Gleichungen; Einsatz auch in
Klassenarbeiten (2 Teile: 1. Teil „händisch“, 2.Teil mit
CAS-Einsatz); experimentelles Arbeiten (Entdecken von
Gesetzmäßigkeiten, ... siehe Manfred Hauser)
c) Klasse 10: Potenz- und Exponentialfunktionen
In Zukunft: Interesse an weiterem Einsatz, noch mehr Rechner
zu bekommen; auch Permanent-Einsatz von 11 bis Abitur
gewünscht.
9) Alfred Bermel (e.a.), Main-Taunus-Schule, Hofheim:
In der Schule wird seit 1996 mit entsprechenden Rechnern
gearbeitet (über Sponsoring eines Schul-Pools);
TI voyage 200
(Dokumentationen S. 120 ff)
a) Mathe-LK: bis Abitur

) Klasse 11: Projekt „Steuer“ (Hilfsmittel Broschüre
„Finanzen und Steuern“); Problematik wird sehr schnell
sehr komplex, dadurch Gefahr, dass schwächere Schüler
„abgehängt“ werden, Klausur: Notendurchschnitt 5,7 NP;
Anspruch „Komplexität“ erfüllt, „Anwendungskompetenz“
eher nicht erfüllt.
Wichtig: kontinuierlicher Einsatz besser als sporadischer,
Vorsicht vor zu komplexen Aufgabenstellungen.
10) Peter Prewitz, Goethe-Gymnasium Bensheim, Zentrum für
Mathematik, Bensheim:
Akzeptanz der Beteiligten ist nötig (Lehrer/innen,
Schüler/innen, Eltern)
a) Einsatz in GOS bis Abitur: Einführung der Geräte
samstags in Form eines Workshops; Schüler/innen
zunächst vorsichtig; Eltern zunächst eher kritisch;
wichtig: Technologie situationsangepasst einsetzen.
b) Klasse 9: Quadratische Funktionen; verstärkter Einsatz
von kompetenzorientierten Aufgaben möglich; Akzeptanz
durch Schüler/innen hoch, Bedenken auf Seiten der Eltern
(Rechenfertigkeiten)
Bearbeitung der Leitfragen:
Welche Bildungs- bzw. Mathematik-Inhalte lassen sich mit Hilfe von
PCs oder CAS-Systemen vertiefen?
- Funktionale Zusammenhänge (alles, was Parameter betrifft)
- Daten zusammen fassen, Daten-Transfer
- Einsatz von Technologie unterstützt Kommunikation
- Umgang mit Handbüchern
- Überprüfung von eigenen Ergebnissen in selbstständiger Arbeit
- Verknüpfung Geometrie – Algebra
- Unterstützt Anspruch auf „Begründen“, „mathematisch
Argumentieren“
- Es können sehr schnell sehr viele Daten bearbeitet werden
- Möglichkeit, unterschiedliche Darstellungen von Funktionen parallel zu
verwenden
- Veränderungen können in ihrer Dynamik beobachtet werden
Wie könnte ein passender Medienentwicklungsplan aussehen?
Einsatz ab
- Klasse 5/6: Tabellenkalkulationsprogramme (z.B. Excel); dynamische
Geometrie-Software (z.B. Euklid Dynageo). Aber Konstruktionen per
Hand nicht vernachlässigen.

- Klasse 7: siehe oben
- Klasse 8: siehe oben, CAS oder/und entsprechende Software
(Funktionsplotter,...) z.B. lineare Funktionen, lineare Regression, lineare
Optimierung
- Klasse 9: siehe oben; z.B. quadratische Funktionen, quadratische
Regression, Extremwertprobleme
- Klasse 10: siehe oben; z.B. Potenzgesetze, Potenzfunktionen
(asymptotisches Verhalten), Exponentialfunktionen; kritisches
Hinterfragen der Rechnerergebnisse (Plots); Möglichkeit, mehr
realitätsbezogene Aufgaben zu bearbeiten
- Gymnasiale Oberstufe: vgl. bereits existierende umfangreiche
Literatur dazu
Wie lässt sich der Kauf bzw. Einsatz von PCs bzw. CAS-Systemen
sozialverträglich organisieren?
Probleme:
- Preis der Geräte – finanzielles Potential der Familien in den Schulen
bzw. Regionen unterschiedlich
- längerfristige Ansparmodelle – schnelle Entwicklung der
Rechnertechnologien
- Möglichkeiten, Sponsoren zu finden, regional unterschiedlich
- Bei PC-Einsatz: PC-Raumbelegungen müssen geplant werden und sind
daher oft nicht kurzfristig möglich
Lösungsansätze siehe Ergebnisse.
Welche Inhalte müssen über Fortbildungen angeboten werden?
Siehe Ergebnisse
Wie können die Schulbücher zu einer sinnvollen Integration digitaler
Medien in den Unterricht beitragen?
Siehe Ergebnisse.
Zusammenfassung der Ergebnisse:
(Möglicher) Medienplan (Jahrgänge/Inhalte/Technologie)
Klasse 5: „Wir lernen uns kennen“ (z.B. Tabellen: Eigenschaften, Schulwege)
- Tabellenkalkulation (TK)
Klasse 6: Figuren, Häuser
- TK
- Dynamische Geometrie-Software (Dynageo)
Die kleinen Rechner als Alternative?

Klasse 7:
- TK (Prozentrechnung, Zuordnung, funktionaler Zusammenhang)
- Dynageo
Klasse 8:
- TK
- Dynageo
- CAS
- beschreibende Statistik
- lineare Funktionen, lineare Optimierung
Klassen 9/10:
CAS, siehe oben
- Potenzgesetze und –Funktionen
- Exponentialfunktionen
GOS 11/12/13:
siehe entsprechende Literatur:
- (mit CAS – TI Voyage)
Lambacher-Schweizer Oberstufe mit CAS-Einsatz Gesamtband
Ausgabe C
Schülerbuch mit CD-ROM - 11./12. und 12./13. Schuljahr
978-3-12-733110-3
35,90 EUR
- (mit CAS – TI Voyage)
Lehrbuch Analysis Gymnasiale Oberstufe
ISBN: 978-3-89818-674-2
Preis: Euro 27,95 Prüfstückrabatt möglich
Schuljahre: 11,12,13
Bundesland: AL, BB, HE, NW, HB, SH, SL, BE, MV, ST, SN, TH, BY,
BW, RP, HH, NI
Ausgabe: 296 Seiten Festeinband
In derselben Reihe gibt es auch ein Lehrbuch zur Stochastik und
Anal.Geom.
- Elemente der Mathematik - Ausgabe 2004 für die SI in Sachsen -
Schülerband 9
978-3-507-87189-2
Preis: 18.95 EUR 33.00 CHF Abgabesymbol

- Elemente der Mathematik - Ausgabe 2004 für die SI in Sachsen -
Schülerband 10
978-3-507-87190-8
Preis: 18.95 EUR 33.00 CHF Abgabesymbol
erscheint voraussichtlich im 3. Quartal 2007
- (unterschiedliche Technologien, Schwerpunkt GTR)
Elemente der Mathematik - Mathematik mit neuen Technologien -
Gesamtband SII - Mathematik mit neuen Technologien
978-3-507-83990-8
Preis: 39.95 EUR 64.00 CHF
- (Mit TI-Voyage)
Weber, Karlheinz; Zillmer, Wolfgang: TCP, Mathematik 11-13, LK, 416
S. 24,5 cm, Verlag: DUDEN PAETEC, ISBN: 3-89517-222-7
Vorschläge zur Gestaltung von Fortbildungen
- Technische Einführung an bewährten Beispielen
- Nicht zu komplex, wenig „Vormachen“; Gelegenheit, selbstständig
(einfache) „Projekte“ bearbeiten; sensible Unterstützung durch den
Fortbildner
- Fortbildung von Multiplikatoren, Teambildung, Schneeballsystem
(Kooperationen innerhalb der Kollegien)
- Möglichkeiten zur Kompetenzorientierung (Bildungsstandards) aufzeigen
- Möglichkeiten zur Unterstützung des
eigenverantwortlichen/selbstregulierenden Lernens aufzeigen
Vorschläge zur (sozialverträglichen) Organisation der Versorgung mit
Technologie
- Aufbau von Geräte-Pools durch Sponsoring
- Mögliche Finanzierungsmodelle? (Ansparen; Leihgebühr; Klassengeldpool;
Lernmittelfreiheit)
- Berücksichtigung der Geschwindigkeit der Entwicklung der Technologien
(Technologie auf eine oder mehrere Jahrgangsstufen bezogen)
(Mögliche) Beiträge der Schulbuchverlage
Bisher: Bezug auf Einsatz digitaler Medien
- im Rahmen von „Exkursen“
- Aufgaben waren nach den Kriterien „händisch“ bzw. „Medieneinsatz“
„vorsortiert“

- Meist an bestimmtes Rechnermodell bzw. bestimmte Firma gebunden
Gewünscht wird für die Zukunft:
- Aufgabenvielfalt: Material zur inneren Differenzierung; Anwendungen;
Vernetzungen; Prüfungsaufgaben,...
- Eher technologiegebunden statt modellgebunden
- Angebot von Kompendien (vgl. mathbu.ch; kompaktes „Lernbuch“,
Aufgabenmaterial; Handreichung für Lehrer)
Für das Protokoll:
gez. Viola Dengler,
Marburg, 1. Juli 2007

Jahrgang 7 - Lehrplan
7.1 Prozentrechnung
7.2 Zuordnungen
7.3 Dreieckskonstruktionen
7.4 Ganze und rationale Zahlen
7.5 Einfache Gleichungen - Terme
7.6 Zinsrechnung
7.7 Stochastik - Statistik
5

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Mittelsenkrechte und Innenkreis.
Thema der Stunde(n): Konstruktion einer Mittelsenkrechte
Klasse/Jahrgangsstufe: 6
Ziel der UE
Este Erfahrungen und Grundkonstruktionen mit dem ClassPad.
(inkl. Mehrwert durch Die Schüler können mit dem ClassPad schnell und sauber zeichnen. Die an-
Nutzung dig. Medien) gefertigten Konstruktionen sind ohne Aufwand zu verändern.
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Bitte ankreuzen: X X
Darstell.
verw.
(K4)
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: X
Art des Materials: Arbeitsblatt
Bitte ankreuzen: X
AB inkl.
Lösungen
Klausur UE
Schule: Gesamtschule Konradsdorf
Schulform: Verwendet im A-Kurs der Jahrgangsstufe 6
Ort: Ortenberg
Ansprechpartner, Christian Dauth
e-Mail:
chris1904@nexgo.de
Datum: 09.06.2007
Didaktik/Methodik
(optional)
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Bitte ankreuzen: X X
Einzelarbeit
Partnerarbeit
Gruppenarbeit
Transfer
Projekt
Bitte ankreuzen: X
Unterlagen können bei Herrn Dauth (chris1904@nexgo.de) angefragt werden.
Sonstiges:

Lehrplan - Jahrgang 8
8.1 Prozent- und Zinsrechnung
8.2 Termumformungen und Gleichungen
8.3 Flächen und Körper
8.4 Stochastik
8.5 Lineare Funktionen

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Lineare Funktionen.
Thema der Stunde(n): Geraden, Gleichungssysteme, Schnittpunktbestimmung, Steigung.
Klasse/Jahrgangsstufe: Klasse 8
Ziel der UE
Lösen von Anwendungsaufgaben ohne „Ballast“ durch wiederholte gleiche
(inkl. Mehrwert durch Rechnungen, dynamische Vorstellung: Wie ändert sich der Graph, die
Nutzung dig. Medien) Lösung in Abhängigkeit von Parametern.
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Bitte ankreuzen: X X
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: X
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Bitte ankreuzen: X
Schule: Martin-Luther-Schule
Schulform: Gymnasium
Ort: Marburg
Ansprechpartner,
e-Mail:
ma.hau@t-online.de
Datum: 12.05.2007
Didaktik/Methodik
(optional)
Bitte ankreuzen:
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Einzelarbeit
Partnerarbeit
Bitte ankreuzen: X X
Sonstiges:
Klausur UE
Gruppenarbeit
Transfer
Projekt

Lineare Funktionen in Klasse 8 mit TI VOYAGE 200.
Im Rahmen linearer Funktionen wurde der Rechner VOYAGE 200 von Beginn
der Einheit bis zu deren Ende eingesetzt. Am Anfang stand eine Einführung in
die grundlegende Bedienung des Rechners. Dabei stellte sich heraus, dass dies
ohne Demonstration mit Hilfe eines View-Screen von den Schülern nicht zu
verfolgen war. Auch mit diesem Hilfsmittel musste langsam und behutsam
vorgegangen werden. Leider wird die Tastatur nicht dargestellt, so dass hier
viele Erläuterungen nötig sind.
Für eine einheitliche Darstellung mussten zunächst die Rechner auf eine
gemeinsame Grundeinstellung gebracht werden.
Unter wurden folgende Einstellungen vorgenommen:
Die Skalierung der x- und y-Achse wurde im ¡£¢ Menü , ¤ dann
[SetFactors] auf [ZOOM FACTORS] 4. gesetzt. Dies hat den Vorteil, dass mit
[ZoomDec] alle Schüler das gleiche Koordinatensystem mit gleicher
¤
Skaleneinteilung der x- und y-Achse benutzen. In ¤ diesem Menü sind dann
nur noch [ZoomIn] und[ZoomOut] notwendig, wenn der Zeichenbereich
angepasst werden muss. Eine Anpassung ¥ über ist weniger sinnvoll,
die gleiche Achsenteilung bleibt nicht erhalten.
Nach diesen Vorarbeiten ging es um den Zusammenhang einer linearen
Zuordnung und ihrem Graphen. Durch den Vergleich mehrer Graphen und
Variation der Steigung und des y-Achsenabschnittes wurde die Bedeutung der
Parameter erarbeitet. Durch diese dynamische Darstellungsweise ließen sich die
Zusammenhänge eindrucksvoll erarbeiten, ohne dass die Schüler selbst einen
Graphen z. B. mit einer Wertetabelle ins Heft gezeichnet hatten. Zum Zeichnen
im Heft war der Rechner lediglich hilfreich, um eine Wertetabelle mit
¥§¦ und ¥§¨ ohne Aufwand zu erzeugen. Die Handlungsanweisung
bei m=a/b um b Einheiten nach rechts und a Einheiten nach oben (unten) zu

gehen, musste herkömmlich über die Steigung zwischen zwei Punkten abgeleitet
werden. Der Rechner war keine Hilfe. Um den Rechner weiterhin sinnvoll
einzusetzen wurde, an dieser Stelle zur Berechnung der Geradengleichung durch
zwei Punkte die [solve] Funktion eingeführt.
Beispiel: Gerade durch P(1/3) und Q(4/7):
Leider werden keine gemischten Zahlen dargestellt. Umschaltung in die
Kommadarstellung kann über Eingabe eines Punktes hinter einer ganzen Zahl
oder Eingabe von ¥¡ .
Durch Ausweitung der Solve-Funktion konnten dann Schnittpunktaufgaben
berechnet werden. Dabei wollte ich mich nicht allein auf den Rechner verlassen,
sondern gab den Schülern das Gleichsetzungsverfahren (beide Gleichungen
nach y auflösen und gleich setzen) als universelles Verfahren an die Hand. Der
Rechner sollte uns diese Arbeit abnehmen. Wir konnten also komplexe
Gleichungssysteme lösen, die verschiedenen Lösungsverfahren sind aber nicht
bekannt. Eingehende Interpretation erfordert natürlich die Deutung der
verschiedenen Taschenrechnerergebnisse.
Ohne sich jetzt um das Handwerkszeug kümmern zu müssen, konnte wir nun
alle Probleme, die auf ein Gleichungssystem führen lösen. Insbesondere konnte

das Augenmerk auf das Aufstellen der Gleichungen gelegt werden und mehr
Aufgaben als üblich behandelt werden. Einige Schüler waren der Meinung, dass
das schriftliche Lösen der Gleichungen einfacher sei als mit dem Rechner.
Jedoch hatte keiner Schwierigkeiten beim Umgang mit der Solve-Funktion.
Den Abschluss bildeten Parameteraufgaben, etwa y=(1/c)*x+c mit Einsetzungen
c=1,2,3,4 im Vergleich etwa zu y=c*x+(1/c) bei gleichen Einsetzungen.
Durch Einsatz des Rechners konnten alle Aufgabentypen mit mehr Aufgaben
anschaulicher als herkömmlich gelöst werden. Den Schülern fehlen allerdings
Lösungsverfahren zum Gleichungslösen. Dies kann man entweder hinten
einschieben, oder in der Klasse 9 beim Lösen von Gleichungssystemen in einem
allgemeinerem Rahmen nachholen.
In der Anlage befindet sich die Klassenarbeit, die aus der Unterrichtseinheit
resultiert.

8C Nr. 5 15.05.07
1) Zeichne mit verschiedenene Farben in ein Koordinatensystem:
2
a) y = * x + 1,
5
3
b) y = −2*
x −1
c) 2* y − 3*
x = −4
2) a) Gib 3 verschiedene Geradengleichungen durch den Punkt P(3|5) an.
b) Der Graph einer linearen Funktion geht durch P(1|4,5) und Q(3,5|9,5). Wie
lautet die Gleichung?
c) Der Graph einer linearen Funktion schneidet die x-Achse bei 5 und die y-
Achse bei 6. Wie lautet die Gleichung?
3) Zeige, dass durch folgende 4 Geraden ein Parallelogramm bestimmt wird:
g 1 : y = 2 * x + 1,
5
g 2 : y = 2 * x + 3,
5
g 3 : 2 * y + 6*
x = −10
g : 2*
y = −20
− 6*
x
3
Bestimme die Eckpunkte des Parallelogramms.
4) a) Ein Jäger hat im Laufe der Jahre Hasen und Rebhühner gejagt. Insgesamt
waren es 20 Tiere mit 52 Beinen. Wie viele Hasen waren dabei?
b) Zwei Zahlen haben die Summe 90. Die zweite Zahl ist um 22 größer als die
erste. Wie heißen die Zahlen?
c) Herr Müller wäscht vor einer Urlaubsfahrt sein Auto für 12.- €. Dann tankt
er noch. Der Liter Benzin kostet 1,45 €. Herr Müller zahlt 38,10 €. Wie viel
Liter Benzin hat er getankt?
5) Setze in die Gleichung y = c * x + 3*
( 1−
c)
nacheinander für c die Zahlen
0,1,2,3 ein. Wie ändern sich die Graphen? Beschreibe und gib eine Erklärung.
A

8C Nr. 5 15.05.07
1) Zeichne mit verschiedenene Farben in ein Koordinatensystem:
3
a) y = * x + 2,
5
2
b) y = −3*
x − 2
c) 2* y −1* x = −2
2) a) Gib 3 verschiedene Geradengleichungen durch den Punkt P(5|3) an.
b) Der Graph einer linearen Funktion geht durch P(3|4,5) und Q(5,5|9,5). Wie
lautet die Gleichung?
c) Der Graph einer linearen Funktion schneidet die x-Achse bei 6 und die y-
Achse bei 5. Wie lautet die Gleichung?
3) Zeige, dass durch folgende 4 Geraden ein Parallelogramm bestimmt wird:
g 1 : y = 3*
x + 1,
5
g 2 : y = 3*
x + 5,
5
g 3 : 2*
y + 4*
x = −10
g : 2 * y = −20
− 4 * x
4
Bestimme die Eckpunkte des Parallelogramms.
4) a) Ein Jäger hat im Laufe der Jahre Hasen und Rebhühner gejagt. Insgesamt
waren es 21 Tiere mit 54 Beinen. Wie viele Hasen waren dabei?
b) Herr Müller wäscht vor einer Urlaubsfahrt sein Auto für 15.- €. Dann tankt
er noch. Der Liter Benzin kostet 1,55 €. Herr Müller zahlt 44,45 €. Wie viel
Liter Benzin hat er getankt?
c) Zwei Zahlen haben die Summe 100. Die zweite Zahl ist um 22 größer als
die erste. Wie heißen die Zahlen?
5) Setze in die Gleichung y = c * x + 3*
( 1−
c)
nacheinander für c die Zahlen
0,1,2,3 ein. Wie ändern sich die Graphen? Beschreibe und gib eine Erklärung.
B

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Lineare Funktionen
Thema der Stunde(n): Wiederholung linearer Funktionen
Klasse/Jahrgangsstufe: Jahrgang 9 und 10 Wahlpflichtunterricht Mathematik, A-, B-, C-Kurs
Ziel der UE
Wiederholen der Begriffe Funktion, Steigung, y-Achsenabschnitt,
(inkl. Mehrwert durch
Nutzung dig. Medien)
Parallelität, konstante Funktionen, abschnittsweise definierte Funktionen
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Bitte ankreuzen: x x
Taschenrechner
Bitte ankreuzen:
Art des Materials:
Bitte ankreuzen:
Darstell.
verw.
(K4)
ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
x
Arbeits- AB inkl.
blatt Lösungen
x x
Schule: IGS Kelsterbach
Schulform: Integrierte Gesamtschule
Ort: Kelsterbach
Klausur UE
Ansprechpartner,
e-Mail:
Petra Stein Mail: petrastein@igs-kelsterbach.de
Datum: Oktober 2006
Didaktik/Methodik
(optional)
Bitte ankreuzen:
Bitte ankreuzen:
Sonstiges:
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
x
EinzelPartnerGruppenarbeitarbeitarbeit x x
Transfer
Projekt
14

Bilder malen mit dem TI Voyage
1.) Stelle die folgenden Bilder mit deinem TI Voyage dar.
a) b)
c)
2.) Beschreibe, wie du vorgegangen bist.
Verwende dabei die Begriffe Steigung und y-Achsenabschnitt.
a)
b)
c)
15

Lösungen
a) b)
c)
16

Bilder malen mit dem TI Voyage
Du kannst mit dem Rechner auch nur bestimmte Stücke eines Graphen zeichnen.
1.) Stelle die folgenden Bilder mit deinem TI Voyage dar.
a) b)
2.) Du kannst auch komplizierte Bilder zeichnen.
Bekommst du den Fisch auf deinen Rechner?
Kannst du auch einen Babyfisch in den Bauch des großen Fisches zeichnen?
3.) Welche Strecken kannst du auf diese Art und Weise nicht zeichnen?
4.) Erfinde selbst weitere Bilder, die dein Nachbar dann darstellen soll.
17

Lösungen
1 a) 1 b)
2.)
3.) Alle senkrechten Strecken kann man nicht zeichnen, da sie keine Funktionen
sind.
18

Lehrplan - Jahrgang 9
9.1 Reelle Zahlen - Quadratische Funktionen/ Gleichungen
9.2 Flächen und Körper
9.3 Lineare Gleichungssysteme
9.4 Satzgruppe des Pythagoras
9.5 Kreis, Zylinder, Kegel
9.6 Ähnlichkeit
9.7 Strahlensätze
9.8 - Statistik
19

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen.
Thema der Stunde(n): Eigenschaften von Funktionen und Graphen, Nullstellen, p-q Formel.
Klasse/Jahrgangsstufe: 9
Ziel der UE
Behandlung komplexerer Funktionen und Gleichungen bei
(inkl. Mehrwert durch Anwendungssituationen, Wertetabellen ohne großen Aufwand erstellen,
Nutzung dig. Medien) Parameteraufgaben, Abhängigkeiten von Parametern dynamisch darstellen.
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: X X
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: X
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Klausur UE
Bitte ankreuzen: x x x
Schule: Martin-Luther-Schule
Schulform: Gymnasium
Ort: 35037 Marburg
Ansprechpartner, Manfred Hauser
e-Mail:
ma.hau@t-online.de
Datum: 12.04.07
Didaktik/Methodik
(optional)
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Transfer
Bitte ankreuzen: x x x
EinzelPartnerGruppen- Projekt
arbeitarbeitarbeit Bitte ankreuzen: x x
Sonstiges:

Kurzanleitung: Erste Schritte zur Arbeit mit voyage 200
Rückkehr zum Hauptmenü: Taste „Apps“ (mit der F1-Taste können shortcuts eingestellt
werden)
Rückkehr zum Programm-Menü: „Esc“
Löschen Eingabe: „clear“
Löschen alle Eingaben: Funktionstaste F1
Teile einer Eingabe löschen: ← - Taste untere Reihe
Anwählen eines Ausdrucks in einem Fenster: Richtungstasten (nach oben, nach unten) und
dann „enter“
Anwahl der Programme: Auswahl durch Richtungstasten und dann „enter“
oder Auswahl durch grüne Raute und dann grüne (Dritt-) Belegung
calculator/home: Vielfältige Rechnerfunktionen
„enter“ bewirkt das genaue Berechnen (falls möglich), grüne Raute + enter führt auf
Näherungswert
y = : Eingabe von Funktionen (Fehler bei der Eingabe werden angezeigt !)
F4: Markieren von Funktionen setzen bzw. entfernen
graph: Funktionsplotter (von markierten Funktionen) und weitere Möglichkeiten (F2 zoom-
Einstellungen, F3 schrittweises Abtasten (trace), F5 Berechnungen (math))
tblset: Einstellungen für das Erstellen von Tabellen
table: Erstellt Wertetabellen zu markierten Funktionen (über setup können die
Tabelleneinstellungen verändert werden)
Nur aus Hauptmenü „apps“ erreichbar:
f(x)=0 numerical equation solver: Lösung von Gleichungen numerisch
x1= polynomial root finder: Nullstellen von Polynomfunktionen
A|b simultaneous equation solver: Lösung von linearen Gleichungssystemen
Stats/List editor: Eingabe von Listen und Bearbeitungsmöglichkeiten, z.B. Approximationen
Manfred Hauser, MLS Marburg
21

Unterrichtseinheit Parabeln mit Ti Voyage
1. Bedienung des Rechners
1 2
3 −17
4 9
= ( ( 3 + 1/
4)
− ( 17 + 2 / 9)
) / ( 5 − ( 2 + 1/
17)
)
1
5 − 2
17
2. Eingabe einer Funktion y=f(x)
∞ # mit ΑΒΧ∆ und ÷ y bzw. f(x) eingeben
löschen mit Μ
3. Erstellen einer Tabelle
∞ & Startwert und Schrittweite eingeben
Graph Table OFF, um Schrittweite festzusetzen
Independent....ASK: x-Werte können mit ∞ ∋ manuell eingegeben
werden
Independent....AUTO: Startwert und Schrittweite sind aktiv
4.Tabelle auslesen
∞ ∋ erste Spalte: x-Werte, dann ein oder mehrere y-Werte
5. Formatierungen
3 Graph.........................Function
3 Display Digits............Float 12 oder nach Bedarf
3 Exponential Format...NORMAL
6. Graphen zeichnen
∞ ∃ Koordinatensystem definieren, xscl und yscl scalieren die Koordinatenachsen
∞ % zeichnet alle eingegebenen Funktionen [ZoomDec] ergibt dezimale
Koordinatenteilung wie im Heft
Inhalte der Einheit
1. Arbeit mit der Tabelle. Den größten und kleinsten Funktionswert einer
Parabel finden, mit Tabellenwerten den Graphen ohne Rechner zeichnen.
22

Beispiel: f(x)=x 2 – 4x + 3
2. Zeichnen aller möglichen Normalparabeln mit dem Rechner. Untersuchung
der Abhängigkeit von den verschiedensten Parametern. Dabei Übertragung
mit der Normalparabelschablone in das Heft und gleichzeitige
Nullstellenberechnung ohne Rechner. Beispiel: f(x)=(x-a) 2 , wie wirkt sich
der Parameter a auf den Graphen aus?
3. Gestauchte und gestreckte Parabeln im Vergleich zur Normalparabel in
ein Koordinatensystem zeichnen. Graphische Untersuchung allgemeiner
quadratischer Parameteraufgaben.
4. Nachdem alle Nullstellen und Schnittpunktberechnungen ohne Rechner
geübt waren, wurden die Ergebnisse mit der SOLVE Funktion überprüft.
23

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24

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25

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit : Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen
Thema der Stunde(n): • Einf. in das Arbeiten mit dem Voyage 200
• Problemlösen mit dem Voyage 200 („Kurierdienstaufgabe“)
• Eine Extremwertaufgabe als Einstieg zur UE („Regenrinnenaufgabe“)
• Eigenschaften von quadratischen Funktionen
• Einfluss von Parametern (Verschiebung, Streckung/ Stauchung)
• Eigenschaften zu y = x 2 + px + q
• Anwendungen
• Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung
• Mathearbeit
Klasse/Jahrgangsstufe: Klasse 9 (Gymnasium)
Ziel der UE
(inkl. Mehrwert durch
Nutzung dig. Medien)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
• Vgl. Lehrplan
• Anwendungsorientierter/ problemorientierter Einstieg zum Thema
quadratische Funktionen/ quadratische Gleichungen
• Experimenteller Ansatz mit Hilfe des Rechners möglich
• graphische Darstellung ist auch bei Beispielen aus dem Alltag mit
„krummen Zahlen“ kein Problem
• Zeitersparnis durch die Nutzung des Rechners
• Ständiger Wechsel der Anschauungsebene (Tabelle/Graph/Formel) möglich
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Bitte ankreuzen: x X x X
Darstell.
verw.
(K4)
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: X
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Klausur UE
Bitte ankreuzen: X
Schule: Freiherr-vom-Stei-Schule Gladenbach
Schulform: Gesamtschule mit gymnasialer Oberstufe
Ort: Gladenbach
Ansprechpartner, Jochen Mankel,
e-Mail:
jomankel@web.de
Didaktik/Methodik Einstieg Vertiefung Übung/ Transfer
(optional)
Bitte ankreuzen:
Wdhlg.
EinzelPartnerGruppen- Projekt
arbeitarbeitarbeit Bitte ankreuzen: x X x
26

An die
Eltern der Klassen 9 G1
Sehr geehrte Eltern,
Freiherr-vom-Stein-Schule
Gladenbach
Gesamtschule mit gymnasialer Oberstufe
wie Sie bestimmt wissen, nimmt unsere Schule schon seit einiger Zeit am sog. SINUS-
Transfer-Modellversuch teil. Im Rahmen dieses Projektes haben wir nun für etwa zwei
Jahre zwei Klassensätze CAS-Rechner der Fa. Texas Instruments (TI) als Leihgeräte zur
Verfügung gestellt bekommen, und Ihr Kind wird nun davon profitieren.
CAS steht für Computer-Algebra-System. Es handelt sich um eine neue
Rechnergeneration, denn ein CAS kann auch symbolisch mit „Buchstaben“ rechnen,
Gleichungen lösen, Funktionsgraphen zeichnen, etc.
Das Gerät, das Ihr Sohn/ Ihre Tochter jetzt befristet geliehen bekommt, hat einen Wert
von ca. 220 €. Es ist robust und für den täglichen Transport auf dem Schulweg geeignet.
Trotzdem muss sichergestellt sein, dass die SchülerInnen bzw. die Eltern für einen
eventuellen Verlust oder einer verschuldeten Beschädigung des Gerätes aufkommen.
Ich bitte Sie daher, die angefügte Erklärung auszufüllen und Ihrem Kind umgehend wieder
mitzugeben.
Ich hoffe, Ihr Kind hat viel Freude an dem Rechner.
Mit freundlichen Grüßen
27

Erklärung
Name des / der Erziehungsberechtigten:………………………………………………………
Mein Sohn/ meine Tochter ……………………………………………………………………..
erhält einen Taschencomputer TI Voyage 200 mit der Seriennummer ………………………..
der Fa. Texas Instruments als Leihgerät von der Freiherr-vom-Stein-Schule Gladenbach (vertreten
durch Herrn Jochen Mankel) sowie entsprechendes Zubehör und quittiert den Erhalt durch seine /
ihre Unterschrift.
Der / die Unterzeichnende haftet für Schäden an dem ausgeliehenen Gerät/Zubehör, die durch
unsachgerechtem Umgang mit ihm entstehen, und bei Verlust des Geräts/Zubehörs.
Bei Verlust oder Beschädigung des Geräts verpflichte ich mich, der Freiherr-vom-Stein-Schule ein
neues Gerät gleichen Typs mit dem gleichen Zubehör als Ersatzgerät zu beschaffen.
Bei Verlust oder Beschädigung des Zubehörs verpflichte ich mich, der Freiherr-vom-Stein-Schule
das gleiche Zubehör zu beschaffen.
Das folgende Zubehör wurde entliehen (bitte ankreuzen):
4 Batterien
1 Handbuch
1 Computerkabel (USB)
1 Verbindungskabel (TI zu TI)
1 CD ROM
1 Garantiebescheinigung
Am Ende der Nutzungsdauer (wird durch den unterrichtenden Mathematik-Lehrer bekannt
gegeben) wird mein Sohn /meine Tochter das ausgeliehene Gerät incl. Zubehör unaufgefordert
und in einem ordnungsgemäßen Zustand zurückgeben.
…………………………….., den………….. ……………………………………………….
(Unterschrift)
Ich habe o.g. Gerät / Zubehör erhalten. ……………………………………………………………….
(Datum / Unterschrift des Schülers / der Schülerin)
28

Einführung in das Arbeiten mit dem Yoyage 200
1. Grundlagen
Tastaturbelegung
Wechseln in den Algebra-Modus „Home“: APPS - Home
Zweitbelegung der Tasten (blaue gekennzeichnet): 2ND
Drittbelegung der Tasten (grün gekennzeichnet): ♦ „Raute-Taste“
Bewegung des Cursors
- Zeichen für Zeichen (Schritt für Schritt): Cursortasten „links“, „rechts“, „oben“, „unten“
- Schnelle Bewegung: 2ND Cursortasten
- An den Anfang/ an das Ende: ♦ Cursortasten
Weiterrechnen mit dem letzten Ergebnis
2ND ANS oder Markieren mit Cursor und kopieren in Eingabezeile durch Enter
Löschen
- in der Eingabezeile nach links/rechts: ← / ♦ DEL
- ganze Eingabezeile ab Cursor rechts/links: CLEAR CLEAR
- Einfügen (Überschreiben): 2ND INS
- ganzer History-Bereich F1 , 8: Clear Home (Lösche ganzen Bildschirm)
Klammern
- Rechenklammern
- Matrizen
- Listen
Rechenzeichen / Vorzeichen
- Grundrechenarten wie bei normalen TR: + , – , × , ÷
- Beachte: Vorzeichenminus ≠ Rechenminus
( – ) –
- Zur Eingabe von Potenzen verwende: ∧
Berechnen
( )
[ ]
{ }
- Berechne (bzw. Vereinfache) mit exaktem Ergebnis (Bruch):
- Berechne mit Näherungswert (Dezimalbruch):
♦
- Berechne den Wert des Term a 2 –4a für a = 6: a − 4 a 2ND ⏐ a = 6
2
(Anzeige: a − 4a a = 6)
Speichern / Definieren
Man kann einer Variablen (z.B. a) einen Wert (hier 5) zuweisen durch:
5 STO a ENTER ( für die Variable a ist nun der Wert 5 gespeichert!)
Berechnet man nun a + 2 so ist das Ergebnis 7.
Löschen von Variablen
Löschen aller Variablen a - z durch Aufruf von F6 (Clean Up), 1: Clear a-z (Lösche a-z)
Löschen des History-Bereichs und der Variablenwerte: F6 (Clean Up), 2: NewProb (Neue Aufgabe)
2
Enter
Enter / APPROX
29

2. Funktionen untersuchen mit dem Voyage 200
2.1 Eine Funktion f definieren
Bsp.: Definiere f(x) = 3x−2 :
3x−2 STO f(x) ENTER → Done
2.2 Einen Funktionswert einer vorher definierten Funktion berechnen
Berechne f(2) für die in 2.1 definierte Funktion f:
f(1) ENTER → 4
2.3 Eine Wertetabelle für eine vorher definierte Funktion erstellen
Berechne eine Wertetabelle für die Funktion f(x) = 3x-2:
F4 (3: TABLE) f(x) ENTER → Es wird eine Wertetabelle berechnet
2.4 Den Graphen einer oder mehrerer Funktionen zeichnen
1. Weg: Zeichne den Graphen einer vorher definierten Funktion f(x):
Wechsel in den y-Editor mit: ♦ Y=
Gib für y1 ein: f(x)
Wechsel anschließend in den Graphik-Modus: ♦ GRAPH
Der Funktionsgraph wird gezeichnet. Der Voyage 200 zeichnet beim Wechsel in den Graphik-
Modus immer die Funktionen y1(x), y2(x), ..., die im y-Editor durch einen Haken gekennzeichnet
sind.
2. Weg: Zeichne den Graphen einer Funktion durch Eingabe des Funktionsterms im y-Editor:
Gib den Funktionsterm direkt im y-Editor ein:
z.B. y2 = 0.5x+1
Die Funktion y2(x) ist nun festgelegt durch y2(x) = 0.5⋅x+1 und wird im Graphik-Fenster dargestellt.
3. Weg: Zeichne den Graphen durch Definition einer Funktion Y1(x), Y2(x) …
Definiere direkt eine Funktion im Home-Verzeichnis, die dann im y-Editor aufgeführt wird, und beim
Wechsel in den Graphik-Modus gezeichnet wird.
Z.B. –1.5x + 4 STO y3(x) ENTER
2.5 Den Zeichenbereich einstellen
1. Weg: Verändern des Zeichenbereichs durch die verschiedenen Zoom-Funktionen unter
2. Weg: Einstellen des Zeichenbereichs durch ♦ WINDOW
2.6 Funktionswerte am Graphen ablesen
Aktiviere den Spurmodus mit F3 . Mit den Cursor-Tasten (rechts/links) kannst du dich auf dem
ausgewählten Graphen bewegen. Die Koordinaten des aktuellen Punktes werden am unteren
Bildschirmrand angezeigt. ESC Beendet diesen Modus.
F2
30

3. Lösen von Gleichungen mit dem Befehl solve()
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Um Gleichungen zu lösen findet man im Menü Algebra den wichtigen Befehl 1: solve (bzw.
löse).
Beispiel 1: Löse die Gleichung 4(x–1) + 2x =4 nach x auf:
Eingabe: solve( 4(x–1) + 2x =4 , x)
Ausgabe: x = 4/3.
Beispiel 2: Löse die Gleichung x 4
+ y = 2 nach y auf:
4 5
Eingabe: solve(x/4+4/5*y=2 , y)
− (x − )
Ausgabe: y = 5 8
F2
16
4. Lösen von Gleichungssystemen
() 1 − 4x− 2y= 2
Wir wollen das lineare Gleichungssystem mit dem Voyage 200 lösen.
( 2) 2x+ 5y = 11
1. Weg: Mit dem Gleichsetzungsverfahren
Wir stellen die beiden Gleichungen nach y um und setzen anschließend die beiden Terme gleich.
Wir stellen zunächst die Gleichung 1 nach y um: solve(–4x–2y=2 , y) → y = -2x–1
Das Ergebnis kopieren wir in die Eingabezeile und speichern den Term –2x–1 unter y1(x):
-2x–1 STO y1(x) ENTER
Nun stellen wir die zweite Gleichung nach y um und speichern das Ergebnis unter y2(x):
−( 2x −11)
solve(2x+5y=11 , y) → y =
5
-(2x–11)/5 STO
ENTER
y2(x)
Im letzten Schritt muss man nur noch die beiden Terme y1(x) und y2(x) gleichsetzten und die
entstehende Gleichung nach x auflösen.
solve(y1(x) = y2(x), x) → x = –2
Den y-Wert berechnet man durch Einsetzen in y1(x) oder y2(x): y1(-2) → 3.
Damit haben wir die Lösung des LGS bestimmt: x = –2; y = 3; L={(-2⏐3)}
2. Weg: graphisches Lösungsverfahren
Man stellt die beiden Gleichungen nach y um und speichert das Ergebnis unter y1(x) bzw. y2(x) (Vgl.
1. Weg). Nun untersucht man die Graphen der Funktionen y1(x) und y2(x) auf Schnittpunkte im
Graphik-Fenster.
3. Weg: Löse das Gleichungssystem direkt nach x und y auf
Mit dem Befehl solve kann man ein lineares Gleichungssystem auch direkt lösen:
Eingabe: solve(-4x–2y=2 and 2x+5y = 11, {x,y}) ENTER
Ausgabe: x = -2 and y = 3.
31

Einführung in das Arbeiten mit dem Voyage 200 (Übungen)
1. Einfache Berechnungen
Berechne die folgenden Aufgaben mit dem Voyage 200 und notiere das Ergebnis auf dem
Arbeitsblatt.
Nr. Aufgabe Exaktes Ergebnis
(Auswertung mit ENTER)
13+15 =
1
5
2 5: 6 = =
6
1 1
3 + =
2 3
2⋅π⋅ 5 =
4
5 38 =
6 ( 5 4 5 )
7
2
− ⋅ =
(-5) 4 =
8 3⋅ 7
9
8
17
=
9
4x + 3x + 2(x-3)=
10
11
x
(x x) =
4
2
4 +
Berechne
3
⎛ x ⎞
2 ⋅⎜ ⎟ für x = –2
⎝ 3 ⎠
Näherungswert
(Auswertung mit APPROX)
2. Darstellen von Funktionen
Die Bahnkurve einer Kugel beim Kugelstoßen kann durch die Funktion k beschrieben
werden:
k:x( Abstandvom Abwurfpunkt in m)→ y
(Höhe der Kugel über dem Erdboden in m)
1
= −
4
2
+ + 2
Die Funktionsgleichung lautet: k(x) x x
Folgende Fragen wollen wir mit Hilfe des Voyage 200 beantworten:
1) Welche Höhe hat die Kugel im Abstand 0m, 1m, 2m , ...,5m Abstand vom Werfer?
2) Stelle die Funktion graphisch dar und bestimme am Graphen den höchsten Punkt der Flugbahn.
3) Bestimme am Graphen die Stoßweite.
Vorgehensweise:
1. Definiere zunächst die Funktion k(x) (siehe Funktion definieren).
2. Berechne die Funktionswerte k(0), k(1) usw.
3. Stelle die Funktion graphisch dar und untersuchen den Graphen im Spurmodus (F3 Spur).
32

Allgemeine Hinweise zur Unterrichtseinheit
Wir werden in der folgenden Unterrichtseinheit den graphikfähigen Taschenrechner Voyage
200 einsetzten. Der Voyage 200 soll uns als Hilfsmittel bei der graphischen Darstellung von
Funktionsgraphen dienen, und uns bei umfangreicheren Berechnungen entlasten.
Ein Schwerpunkt der Unterrichtseinheit liegt bei der Lösung von Problemen mit
Realitätsbezug. Die Mathematisierung der jeweiligen Problemstellung soll dabei in der Regel
„händisch“ erfolgen, d.h. ohne Einsatz des Rechners. Der Rechner dient uns lediglich als
Hilfsmittel zur Lösung der gestellten Aufgaben.
Es ist allerdings notwendig, dass gewisse Verfahren z.B. die Lösung von quadratischen
Gleichung „händisch“ d.h. ohne Rechner durchgeführt werden. Daher wird es natürlich auch
Phasen ohne Rechnereinsatz geben.
Wichtige Hinweise für die Arbeit mit dem Voyage 200:
Bei der Lösung einer Aufgabe mit dem Rechner ist stets eine handschriftliche Dokumentation
der Lösung im Heft zu erstellen. Diese schriftliche Dokumentation sollte die folgenden Dinge
beinhalten:
1. Die Mathematisierung der Problemstellung muss herausgearbeitet werden.
(z.B. Skizze, Einführung von Variablen, Aufstellung von Termen und Gleichungen)
2. Die zur Lösung erforderlichen Schritte sind nachvollziehbar darzustellen.
3. Graphen, die mit dem Voyage erstellt wurden, müssen stets ins Heft skizziert werden.
Hierbei muss vor allem auf die korrekte Darstellung der Koordinatenachsen geachtet
werden. Die verwendeten Window-Einstellungen sind anzugeben.
4. Benutzte Tabellen sind in relevanten Teilen anzugeben.
Aufgabe:
Ein Kurierdienst plant die Anschaffung eines neuen Autos. Es stehen die Modelle Bena und
Dieso zur Auswahl. Um eine Entscheidung treffen zu können, muss man die Kosten
vergleichen.
Anschaffungskosten Betriebskosten/Monat
Bena (Benziner) 17000 € 1500 €
Dieso (Diesel) 19500 € 1300 €
a) Stellt die Kostengleichung (Funktionsgleichung) für die Modelle Bena und Dieso auf.
b) Stellt die Gesamtkosten (in €) in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer (in Monaten)
graphisch dar.
c) Nach wie vielen Monaten haben sich die Mehrkosten für ein Dieselfahrzeug
„amortisiert“? (Wann sind die Gesamtkosten für beide Modelle gleich?)
Gib eine graphische Lösung und eine rechnerische Lösung an!
Erstelle ebenfalls für beide Modelle eine Tabelle!
33

Lösung der „Kurierdienstaufgabe“ mit dem Voyage 200
1. Definition der Funktionsvorschrift
3. Zeichenbereich (Window) einstellen
5. Auswahl des Zoombereichs (Zoombox)
7. Berechnung des Schnittpunkts
9. Darstellung der Wertetabelle (Teil 1)
2. Die Funktionen im y-Editor
4. Darstellung der beiden Graphen
6. Darstellung des vergrößerten Ausschnitts
8. Einstellungen der Wertetabelle
10. Darstellung der Wertetabelle (Teil 2)
34

Aufgabe 1:
Das neue Fertighaus der Firma „Hausglück“ soll eine Kastenrinne
mit rechteckigem Querschnitt erhalten. Die Dachrinne soll aus
vorgefertigten Aluminiumblechen der Breite b = 50 cm geformt
werden.
Der Chef der Firma „Hausglück“ überträgt die Ausformung der
Regenrinne seinem Planungsbüro. Eine erste Planungsskizze siehst
du unten.
Aufgabe 2:
Für weitere Bauvorhaben sollen breitere bzw. schmalere
Regenrinnen hergestellt werden. Dazu stehen vorgefertigte
Blechstreifen verschiedener Breite zur Verfügung. Bearbeitet die
Aufgabe für verschiedene Blechstreifen eurer Wahl.
Zeichnet die zugehörigen Graphen, beschreibt und vergleicht sie
miteinander. Stellt eure Ergebnisse auf einer Folie zusammen.
35

@
b)
c)
-a..
radratische FunFtionen der Fonn y = x2 + e
in Abhängigkeit volr e ddr.--Wälile den püameter e: (1) e > 0 (2)e

1. a) Stelle mit einem Rechneilr.rrrt i"dene quadratische Funktionen depForm y = (x - ü2
b)
c)
(2)d

Datum: 1-
Einstieg Einff uss von Parametern t y = ax2 Qüad ralTsehe Fun kti onen
1. Stelle mit einem Rechner verschiedene
quadratische Funktionen der por.
'in Abhängigkeit von a dar. wähle den parameter a: (l) a > 1 (z) 0( a (
skizziere die Graphen und gib die Funkrionsgleichungen
an.
Notiere gemeinsame und unterschiedliche Eigenschaften der Graphen.
2. Gegeben sind quadratische Funktionen
der Gleichung y = ax2 mit folgenden Ei-
genschaften. Finde jeweils eine mögliche
Funktionsgleichung und zeichne den
Graphen.
a) Der Graph ist eine nach oben geöffnete
und gestreckte parabel.
b) Der Graph ist eine gestauchte parabel
mit der Wertemerrge
{v € R I y < 0} .
c) Die Parabel ist keine Normalparabel,
sie ist monoton fallend für x > 0 und
monoton steigend für x < 0.
d) Die gestauchte parabel geht durch
den
punk* (r | +)
@ 2002 Schroedel Verlag GmbH
t
Y =ax-
I -(O -J

Datum:
a-r
F inetian
-.r rvfrvvl Einfluss von Parametern: y = ax2 + e Quadratische Fun ktionen
1. Skizäer_e die Graphen quadratischer Funktionen der Fonn y = a*2 + e . Unüerscheide dazu folgende FälIe:
(1) a>0 und e>0 (2) a>0 und e

üorns Eigenschaften zu y - x2+ Bx + q Q_uadratische Funktionen
-
Name:
:-uaturn:
In der Tabelle sind drei quadratische Funktionen und ihre Eigengchän." tusummengestellt.
t -
Ergänzedie Tabelle. Verwende einen Rechner ntmZeichnen der Graphen.'
Normalform
Scheitel-
Skizze des
Graphen
mit _
Angabe der
Window-
Werte an
den Achsen
Monoton
Monoton
ta-llend für
Kleinster
Funktionswert
Koordinaten der
Schnittpunlte mit
Gleichung der
1. Achse
@ 2002 Schroedel Verlag GmbH
y - (x -n)2 -v4
f(38):-12
Nach unten geöffnete
41
61

Quadratische Funktionen
Bemerkung:
Die Definitionsmenge Df einer Funktion f gibt an, welche Zahlen ich für x in die Gleichung einsetzen darf. Die
Wertemenge Wf gibt alle möglichen Werte y=f(x) an, die beim Einsetzen von x-Werten aus der
Definitionsmenge in die Funktionsgleichung entstehen.
1. Normalparabel y = x 2
Definitionsmenge : Df = ℜ Wertemenge: Wf = ℜ0 +
Der Graph von f heißt Normalparabel. Die Normalparabel
- ist symmetrisch zur y-Achse - hat den Ursprung 0 als Scheitelpunkt
- ist nach oben geöffnet - fällt links vom Scheitelpunkt
- steigt rechts vom Scheitelpunkt
2. Allgemeine quadratische Funktionen
2
Die Funktionsgleichung y = a ⋅ ( x − d ) + e heißt Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion.
Dabei können a, d und e beliebige reelle Zahlen sein.
2
Der Graph der Funktion f : x → a ⋅ ( x − d ) + e ist eine verschobene Parabel mit dem Scheitel
S(d│e).
Der Parameter d
gibt die Verschiebung in Richtung der x-Achse an: Für d>0 (d0 (e1 ist die Parabel nach oben geöffnet und gestreckt, d.h. enger als die Normalparabel.
Für 0

Name: Datum:
Zusau Anhalteweg von Autos Quadratiscneiunktionen
Der Anhalteweg eines Autos ist die gesamteStrecke,
die ein Auto zurücklegt, um
Gefahr zlrm Stillstand gebracht zu werden.
Der Anhalteweg setzt'sich aus zwei Teilen zusammen: dem Reaktionsweg und dem
tionsweg ist die Fahrstrecke, während der die Gefahr erkannt und das Bremspedal
Bremsen ansprechen. Erst am Ende des Reaktionsweges beginnt dann die eigentliche
der dann noch zurückgelegt wird, bis das Fahrzeug steht, ist der Brämsweg.
mit dem Unmöglichen rechnen...
Bremsweg
Jq
o
sofort reagieren.
Für den Reaktionsweg und den Bremsweg werden oft folgende Faustregeln angegeben:
(1) Der Reaklionsweg ist die Tachometeranzeige geteilt durch vier in Metem.
(2) Den Bremsweg erhält man, indem man vbn der Tachometeranzeige die Null am Ende streichfund das
so erhaltene Ergebnis mit sich selbst malninnnt.
Hinweß: Diese Regeln gelten nu4, wenn die Straße trocken und Bremsen und Reifen in einwandfreien
Zustand sind.
1. Berechne mithilfe der obigen Faustregeln Reaktions- und Bremsweg bei einer Geschwindigkeit 50
*
2. a) Erstelle mithilfe der Regeln eine Wertetabelle fiir Geschwindigkeiten von 10
*
zeichne den Graphen für den Anhalteweg als Funktion der Geschwindigkeit.
bis 100 +
b) Formuliere beide Faustregeln als Formeln und gewinne daraus einen Term firr den gesamten Anhalte-
weg als Funktion der Fahrzeuggeschwindigkeit.
3. Die Einführung der Geschwindigkeitsbegrenzungin
Wohngebieten hat ntm Teil große Diskussionen
ausgelöst. Bringt die Verminderung der zulässigenHöchstgeschwindigkeit
von 50 + auf 30 $ über-
haupt etwas?
4. Alnlich kontrovers wird über Geschwindigkeitsbegrenzungen aufAutobahnen diskutiert. Wie lang ist der
Anhalteweg bei 120 $ und bei 180 ,$? Ist eine Geschwindigkeitsbegränzung deiner Ansicht nach
sinnvoll?
5. Bei welcher Geschwindigkeit ist der Anhalteweg 100 m lang?
@ 2002 Schroedel Verlag GmbH
.
und
67
43

Zusau
Wenn ein Wasserstrahl aus eiqem Schlauch austritt,
.j
so ist die Höhe h des Wasserstrahls
über dem Erdboden
eine Funlction des waagerechten Abstands a vom
-schlauchende.
I4 der Physik kann man Ze1gen, dass diese Situation
.ziemlich ggnau dq"h den folgenden Term beschrieben
wird, falls der Strahl in elnem Winkel von 45o austritt:
h(a) = -; 104*ä*hn
Datum:
Dabei ist v die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers und h6 die Höhe des Schlauchendes über dem Boden.
Für die folgenden Aufgaben gehen wir von einer Höhe von he: 3 aus.
1. a) Lasse die Bahn des Wasserstrahls für die Austrittsgeschwindigkeit 5 t,10+,15+,...30T zeichnen.
Skizziere die Graohen dann hier.
' Mathematische Feuerwehr Quadratische Funktionen
b) Beschreibe die Graphen und vergleiche sie.
@ 2002 Schroedel Verlag GmbH 69
44

Name: Da=tum:
fcAS ) Zrs^t= Mathematische Feuerwehr (Fortsetzung) - Quadratische Funktionen
-
2. a) Bestimme die Reichweite a, des Strahls
für die verschiedenen Austrittsgeschwin-
digkeiten.
v (in f) 5 10 15 20 25 30
a, (in m)
b) Ermittle eine Gleichun g ^$ Berechnung der Reichweite in Abhängigkeit von der Austrittsgeschwin-
. digkeit.
3. a) Bestimme für die verschiedenen Austrittsgeschwindigkeiten die Koordinaten des Hochpunktes des
70
Wasserstrahls.
v (in t) 5 10 15 20 25 30
ar** (in m)
h** (in m)
b) Wie hängen die verschiedenen Maximalhöhen h** und die zugehörigen Abstände 8,,'"" von der Aus-
trittsgeschwindigkeit v ab?
c) Die Hochpunkte ( a*u* | h.* ) liegen auf dem Graphen einer Funktion. Kannst du die Funktionsglei-
chung herausfinden?
I
@ 2002 Schroedel Verlag GmbH
45

1. Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung
2
Für eine quadratische Gleichung der Form x + px + q = 0 gilt die Lösungsformel:
p ⎛ p ⎞
x1/ 2 = − ± ⎜ ⎟ − q
2 ⎝ 2 ⎠
2
2
(p-q-Formel)
⎛ p ⎞
Den Radikanden ⎜ ⎟ − q nennt man auch Diskriminante D.
⎝ 2 ⎠
a) Diskriminante kommt von discriminare (lat.): unterscheiden.
Man kann nämlich mit Hilfe der Diskriminante unterscheiden zwischen Gleichungen, die
• zwei reelle Lösungen
• genau eine reelle Lösung
• oder keine reelle Lösung
besitzen.
Erläutere, wie man diese Entscheidung mit Hilfe der Diskriminante treffen kann.
b) Finde die Anzahl der Lösungen mit Hilfe der Diskriminante.
(1) x 2 – 6x +18 = 0 (2) x 2 – 1,25x + 0,5 = 0 (3) x 2 + 4x – 8 = 0
c) Zeichne mit dem Voyage 200 die Graphen der Funktionen aus dem Aufgabenteil b) und
erläutere das Ergebnis aus b) anhand des Graphen. Skizziere die Graphen jeweils in das Heft!
2. Eine Firma stellt hochwertige CD-Spieler her. Ein Unternehmensberater untersucht die
Produktionskosten und den Zusammenhang zwischen Gewinn und Verkaufspreis. Er
präsentiert der Geschäftsleitung die Ergebnisse seiner Untersuchung:
“Es gibt einen Zusammenhang zwischen dem Verkaufspreis x und dem Gewinn G der Firma.
Man kann diesen Zusammenhang mathematisch mit einer Funktionsgleichung beschreiben:
G(x) = -0,5x 2 + 425x -75000.“
Um die Ergebnisse anschaulicher zu machen, benötigt der Unternehmensberater für seine
Präsentation weitere Informationen:
a) Bei welchem Verkaufspreis ist der sog. Break-Even-Punkt erreicht?
(Zur Information: Der Break-Even-Punkt ist der Punkt, bei dem weder Verlust noch
Gewinn gemacht wird.)
b) Bei welchem Verkaufspreis wird der höchste Gewinn erzielt?
c) Für welche Verkaufspreise wird Gewinn erzielt?
Löse die Aufgabe graphisch mit dem Voyage 200! Übertrage den ungefähren Verlauf des
Graphen ins Heft.
Löse die Aufgabe ebenfalls ohne Rechner!
46

Klasse 9G1 Mathematikarbeit Nr. 5 15.06.2007
Arbeitszeit: 2 Schulstunden Gruppe A
Aufgabe 1 (mit CAS):
Eine Firma, die Ski herstellt, hat untersucht, wie die Herstellungskosten K und die Einnahmen
E von der produzierten und verkauften Stückzahl x abhängen.
Modell: Die Firma nimmt der Einfachheit halber an, dass alle produzierten Ski verkauft werden.
Die Kosten K kann man errechnen mit der Funktionsgleichung K ( x)
= 80x
+ 60000
2
und die Einnahmen E durch E( x)
= −0,
1x
+ 400x
.
Der Gewinn G wird beschrieben durch G( x)
= E(
x)
− K(
x)
.
a) Zeichne die Graphen der Funktionen K(x) und E(x) mithilfe des CAS im Bereich
0≤x≤4000 und übertrage den ungefähren Verlauf in dein Heft. Achte auf die korrekte
Beschriftung der Koordinatenachsen und auf eine sinnvolle Skalierung. Gib den
verwendeten Windowbereich an.
b) Um Gewinn zu machen, müssen die Einnahmen E größer als die Kosten K sein.
Wie viele Ski müssen mindestens und wie viele dürfen höchstens verkauft werden, damit
die Firma „in der Gewinnzone“ bleibt. Löse diese Aufgabe sowohl graphisch als auch mit
der Tabelle. Beschreibe jeweils kurz deine Vorgehensweise.
c) Ermittle die Funktionsgleichung der Gewinnfunktion G(x) und bestimme die Nullstellen
von G(x) mit dem solve-Befehl. Bestimme mit Hilfe der Nullstellen die Anzahl x, für die
der Gewinn maximal ist. Begründe kurz deine Vorgehensweise.
47

Klasse 9G1 Mathematikarbeit Nr. 5 15.06.2007
Arbeitszeit: 2 Schulstunden Gruppe A
Aufgabe 2:
In dem nebenstehenden
Schaubild sind vier Funktions-
graphen dargestellt. Gib die zugehörige
Funktionsgleichung
sowohl in der Scheitelpunktsform
als auch in der
Normalform an.
Aufgabe 3:
Bestimme den Scheitelpunkt
der durch ihre Funktionsgleichungen
gegebenen
Parabeln.
Entscheide weiterhin, ob Sie
nach oben/unten geöffnet sind
und ob sie gestaucht/gestreckt
sind.
2
a) y = −(
x + 1)
b) 3 5
2 y = x −
3 5 2 1
c) y = ( x + ) −
2 4 2
2
d) y = x − 4x
+ 5
e) 3 12 9
2
y = − x + x −
f)
y = 13 − 4x
− 8x
2
Aufgabe 4:
Löse die quadratischen Gleichungen.
2
a) x + 2x
− 8 = 0
2
b) 0,
5x
+ 2x
− 6 = 0
c) 4 8 20
2
x − =
d) 4x 8x
12x
2
− =
2
e) x − 4x
+ 4 = −9
f) 5 5 0
2
x − x =
2
Aufgabe 5: Auf der Parabel mit der Gleichung y = ax + bx + c
Q(4⏐–3) und R(1⏐1,5). Bestimme die Parameter a, b und c.
liegen die Punkte P(0⏐1),
Aufgabe 6:
2
Der Flug eines Balles kann mit der Funktionsgleichung h ( x)
= −0,
02x
+ 0,
8x
+ 1,
8
beschrieben werden. Dabei ist x die Entfernung von der Abwurfstelle in Metern und h die
zugehörige Höhe in Metern. Erreicht der Ball die Höhe von 9 m (10 m)?
Wenn ja, wie weit entfernt von der Abwurfstelle wird diese Höhe erreicht?
Aufgabe 7:
Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 8 cm und 5 cm. Die kürzere Seite soll um x
cm verlängert und die längere Seite um x cm verkürzt werden.
a) Berechne für verschiedene Werte von x (x = 1, 2, 3) den Flächeninhalt des neuen
Rechtecks A(x).
b) Finde die Funktionsgleichung A(x). Bei welchem Wert von x ist der Flächeninhalt
maximal?
48

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit Quadratische Funktionen
(gem. Lehrplan):
Thema der Stunde(n): Erfragen von Vorstellungen – Problem Regenrinne
Klasse/Jahrgangsstufe: 9
Ziel der UE
Experimentelles Herangehen an reale Problemstellungen
(inkl. Mehrwert durch
Nutzung dig. Medien)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellieren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: x x x x
Taschenrechner
Bitte ankreuzen:
Art des Materials: Arbeitsblatt
Bitte ankreuzen: x
ClassPad FX-
9860
AB inkl.
Lösungen
CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Klausur UE
Schule: Goethe-Gymnasium Bensheim
Schulform: Gymnasium
Ort: Bensheim
Ansprechpartner,
e-Mail:
Datum:
Peter Prewitz
peter.prewitz@z-f-m.de
Didaktik/Methodik Einstieg Vertiefung Übung/
(optional)
Wdhlg.
Bitte ankreuzen: x
EinzelPartnerGruppenarbeitarbeitarbeit Bitte ankreuzen: x
Sonstiges:
x
Transfer
Projekt

Mathematik (Klasse 9)
„Regenrinne“
Ein Wohnhaus soll durch einen Anbau erweitert werden. Dazu
ist auch eine neue Regenrinne erforderlich.
Der Bauherr entscheidet sich aus ästhetischen Gründen für eine
Kastenrinne mit rechteckigem Querschnitt.
Im Gespräch mit dem Unternehmer erfährt der Bauherr, dass
die Verwendung vorgefertigter Kupferblechstreifen von 50 cm
Breite auch aus Kostengründen sinnvoll wäre. Der Bauherr
stimmt zu.
Der Unternehmer überträgt die Ausformung der Regenrinne
einem Auszubildenden.
Es sollen nun kastenförmige Regenrinnen aus verschieden
breiten Kupferblechstreifen hergestellt werden.
Bearbeite die Aufgabe für verschiedene Blechstreifen deiner
Wahl.
Zeichne die zugehörigen Graphen, beschreibe und vergleiche
sie miteinander.
Stelle deine Ergebnisse auf einem Poster für eine Wandzeitung
zusammen.
2

Mathematik (Klasse 9)
„Regenrinne“
Schülerlösung:
3

Mathematik (Klasse 9)
„Regenrinne“
4

Mathematik (Klasse 9)
„Regenrinne“
5

Mathematik (Klasse 9)
„Regenrinne“
6

Mathematik (Klasse 9)
„Regenrinne“
7

Mathematik (Klasse 9)
„Regenrinne“
8

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
Unterrichtseinheit Quadratische Funktion
(gem. Lehrplan):
Thema der Stunde(n):
Klasse/Jahrgangsstufe: 9
Ziel der UE
(inkl. Mehrwert durch
Nutzung dig. Medien)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: x x x x
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: x
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Bitte ankreuzen: x x
Schule:
Schulform:
Ort:
Ansprechpartner,
e-Mail:
Datum:
Didaktik/Methodik
(optional)
Klausur UE
Hartmut Kümmel
hartmut.kuemmel.biedenkopf@t-online.de
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Transfer
Bitte ankreuzen: x x
EinzelPartnerGruppen- Projekt
arbeitarbeitarbeit Bitte ankreuzen: x x x
Sonstiges:

3 - Parabelbilder
Stelle die folgenden Parabeln auf dem Bildschirm dar und gib den
zugehörenden Funktionsterm an.
Die Funktionsgleichungen sind:
50

Zu zweit oder alleine
Spielanleitung:
4 - Parabelspiel
Ein Spieler gibt den Zielpunkt auf der x-Achse vor. Der zweite
Spieler versucht, durch Veränderung der Parameter a und b der
Wurfparabel
y = -a·x 2 + b·x
den Zielpunkt genau zu treffen.
Bei Treffer wird gewechselt. a und b müssen nach jedem Wechsel
andere Werte annehmen.
Gewonnen hat der Spieler mit der geringsten Anzahl von Würfen.
(Mit ◊y und ◊Graph kann man zwischen den Fenstern hin und her wechseln.)
Hinweis:
Änderung des Zielpunktes mit APPS –
6 – Current – Enter,
c1 ändern,
Nach dem Spiel die Funktionsterme im
y-Editor löschen!!!
51

5 - Smiling Face
Zeichne das Smiling Face auf dem Bildschirm deines Rechners!
Tipp: Einstellung: Zoom Sqr
52

Aufgabe:
6 - Welche Parabel passt?
Sind das Parabeln ? Wenn ja bestimme eine Gleichung.
Beschreibe dabei, wie du
vorgehst.
53

Aufgaben:
1. Der Querschnitt durch den Kollektor
wird durch eine Kurve beschrieben.
Beschaffe dir ca. 10 Messpunkte
(x/y-Koordinaten), mit denen diese
Kurve beschrieben werden kann.
2. Gib deine Messwerte in den TI ein
und zeichne einen Plot der Punkte
7 - Sonnenkollektor
3. Suche eine passende Funktionsgleichung.
4. Auch der Rechner kann zu vorgegebenen Punkten eine passende Kurve finden.
Dazu mnusst du folgendermaßen vorgehen:
APPS - Data/Matrix-Editor - New -
Filenamen vergeben - x-Werte in c1, y-
Werte in c2 eingeben.
F2 - F1 - weiter siehe Abbildung.
5. Entscheide dich für einen geeigneten
Funktionstyp und lass den Rechner
eine Regressionskurve zeichnen.
Aus der Tabelle: F5 - Calculation Type
- auswählen, x auf c1 und y auf c2 setzen
und bei "Store RegEQ to...." einen
Speicherplatz im y-Editor angeben.
So könnte das Bild ( ◊ Graph) dann
aussehen:
54

Aufgaben:
Zeichne die beiden Geraden
8 - Experimente mit zwei Geraden
y1(x) = 2x - 4 und y2(x) = 1/2 x - 3
sowie das Produkt
y3(x) = y1(x) ⋅ y2(x)
Die Funktionsterme von y1(x) und y2(x) sollen so verändert werden, dass sich
der Graph von y3(x) nach bestimmten Regeln verändert.
(Wichtig: An y3(x) darf nichts verändert werden!)
1. Wie kann man die Parabel "auf den Kopf stellen"?
2. Was muss man tun, damit eine Parabel entsteht, die die x-Achse berührt?
3. Was muss man tun, damit der Scheitelpunkt der entstehenden Parabel
dieselben x-Koordinaten hat wie der Schnittpunkt der beiden linearen
Funktionsgraphen?
4. Welche Art von Parabeln kann man auf diese Art und Weise nicht erzeugen?
55

Parabeln stehen Modell
S. Stachniss-Carp
Brückenbau
Bei der Herstellung einer parabelförmigen Bogenbrücke wird jeweils von den
Talseiten aus eine Bogenhälfte in Richtung Talmitte gebaut. Nach ca. 15 m
Baulänge je Seite lässt der Bauleiter die hergestellten Bogenstücke ausmessen,
weil ihm Zweifel an der Herstellgenauigkeit kommen.
Hinweis: Der Nullpunkt des Koordinatensystems liegt im linken Brückenfuß.
X [m] Y[m]
25 5,7475
30 10,89
35 15,4275
106 14,3276
111 9,7461
116 4,5696
Stelle die Messpunkte graphisch dar und untersuche die Problematik.
56

Lösungshinweise
Die Dateneingabe erfolgt im Data/Matrix-Editor,
und zwar sinnvoll in
zwei Abschnitten unter Verwendung
von C1 und C2 für einen Brückenteil
und C3, C4 für den anderen.
Mit F2 Plot Setup und F1 Define
werden 2 Plots definiert und in einem
geeigneten Fenster gezeichnet.
Es ist fraglich, ob die beiden Brückenteile sich in genau einem Punkt treffen.
Zunächst werden für die rechte und die linke Seite Parabelfunktionen gesucht.
Dies kann über je ein Gleichungssystem mit dem Ansatz f(x) = ax 2 + bx + c
geschehen, z.B. für das linke Brückenstück
Das Gleichungssystem wird aufgestellt
und mit dem Solve-Befehl gelöst.
Die Lösung lautet dann
f1(x)=-0.0121x 2 + 1.694x – 29.04
Entsprechend findet man für y2(x) :
f2(x)=-0.0119x 2 + 1.666x – 28.56
Eine Regressionsrechnung liefert dasselbe
Ergebnis.
Zunächst sehen die Graphen noch
recht unauffällig auf.
Die Tatsache, dass sich unterschiedliche
Funktionsterme ergeben, sollte
misstrauisch machen!
Zoomen im Bereich des Scheitelpunktes
zeigt, dass die Brückenteile nicht
zusammenpassen werden. Die Berechnung
des jeweiligen Maximums
ergibt einen Höhenunterschied von
50 cm.
57

Es soll eine Korrektur der Baurichtungen vorgenommen werden, damit der geplante
Scheitelpunkt S0 (70/30) durchlaufen wird. Bestimme eine geeignete
Funktion.
Hier werden unterschiedliche Korrekturvorschläge gemacht werden, je nachdem,
welche Punkte zur Funktionsbildung herangezogen werden. Naheliegend
ist es, die beiden obersten Messpunkte und den Scheitelpunkt zu verwenden.
Die gesuchte Funktion ist dann y(x) = -0.012x 2 + 1.676x – 28.533.
Es stellen sich weitere Frage nach den Konsequenzen für die schon bestehenden
Bauabschnitte, wie weit differieren z.B. die Fußpunkte des rechten und
linken Bauabschnittes mit der neuen Bauform? Muss das Bestehende wieder
abgerissen werden?
Das Problem entstand bei einem deutsch-schweizerischen Brückenbau
und ging vor einigen Jahren durch die Presse.
In Deutschland beziehen sich die Höhenangaben NN auf den Meeresspiegel
der Nordsee, in der Schweiz bezieht man sich auf das
Mittelmeer. Beide Meere haben eine Höhendifferenz von ca. 50 cm.
58

Lehrplan - Jahrgang 10
10.1 Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Umkehrfunktion
10.2 Figuren und Körper
10.3 Trigonometrie
10G - Stochastik
59

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
1
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Potenzfunktionen
Thema der Stunde(n): Verlauf der Grundfunktionen ; Verschiebung und Streckung
Klasse/Jahrgangsstufe: 10
Ziel der UE
Verlauf der Graphen von Potenzfunktionen
(inkl. Mehrwert durch Umgang mit graphikfähigen Taschenrechnern. Die dabei gewonnenen
Nutzung dig. Medien) Kenntnisse werden bei anderen Funktionsklassen genutzt.
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
Verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: X X X
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: X
Art des Materials: Arbeitsblatt
Bitte ankreuzen: X
Schule: Eleonorenschule
Schulform: Gymnasium
Ort: Darmstadt
AB inkl.
Lösungen
Ansprechpartner,
e-Mail:
Detlev Lindenauer
Datum: 2006
Didaktik/Methodik
(optional)
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Klausur UE
Transfer
Bitte ankreuzen: X X
EinzelPartnerGruppen- Projekt
arbeitarbeitarbeit Bitte ankreuzen: X
Sonstiges:
Die Arbeitsblätter wurden während eines vierstündigen Landheimprojekts
bearbeitet.

Potenzfunktionen
Blatt 1: Wiederholung bekannter Funktionen
Du kennst bereits die linearen und quadratischen Funktionen.
Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet:
Dabei bedeutet die Steigung und der y-Achsenabschnitt.
Aufgabe:
Zeichne die Graphen in das Achsenkreuz.
(1) y = 2x – 2
(2) y = –3x + 2
2
(3) y = x + 1
3
Die Scheitelform der quadratischen Gleichung lautet :
Dabei bedeutet die Verschiebung in x-Richtung und die Verschiebung in
y-Richtung. beschreibt die Streckung der Parabel in y-Richtung.
Aufgabe:
Zeichne die Graphen in das Achsenkreuz.
(1)
y =
2(
x
− 3)
2 +
1 2
(2) y = − ( x + 1)
+ 3
2
(3)
y =
( x + 4)
2 −
2
1

U1.Fall: n gerade und n > 0
UAufgabe:
Potenzfunktionen
n
Blatt 2: Die Grundfunktion y = xP
P mit n > 0
Fülle die folgende Wertetabelle aus. Runde gegebenenfalls auf 2 Stellen nach dem Komma.
x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
y = xP
y = xP
y = xP
2
4
6
P
P
P
Zeichne die Graphen jetzt in ein Achsenkreuz. (Einteilung 1 Einheit = 1 cm).
Die Graphen haben gemeinsame Punkte. Diese sind:
Beschreibe die Symmetrie der Graphen.
Beschreibe den Verlauf der Funktionen. Benutze dazu die Begriffe streng monoton wachsend bzw.
streng monoton fallend.
U2.Fall: n ungerade und n > 0
Verfahre wie im 1. Fall. Nehme als Beispiele y = xP
P , y = xP
P und y = xP P.
Notiere jetzt die gewonnenen Erkenntnisse über die Graphen.
1
3
5

Potenzfunktionen
Blatt 3: Die Grundfunktion y = x n mit n < 0
Von jetzt an machen wir uns die Arbeit etwas leichter und erstellen die Wertetabellen mit einem
graphikfähigen Taschenrechner.
Aufgabe:
Erstelle geeignete Wertetabellen für die Funktionen
y = x –1 , y = x –2 , y = x –3 , y = x –4 , y = x –5 und y = x –6 .
(Die y-Werte kannst du auf zwei Stellen nach dem Komma runden).
Übertrage diese Wertetabellen in dein Heft.
Überlege, ob es Sinn macht – ähnlich wie auf dem Blatt 2 – eine Fallunterscheidung zu treffen.
Zeichne dann zusammengehörende Graphen jeweils in ein Achsenkreuz.
Alle Funktionen haben den Definitionsbereich D = R \ {0}.
Was bedeutet diese Angabe ? Erkläre auch, warum die Zahl 0 nicht zum Definitionsbereich gehört.
Fasse jetzt die Erkenntnisse über den Verlauf der Graphen wie auf dem Blatt 2 zusammen.
Ergänze dabei deine Betrachtungen um den Punkt, wie die Graphen für sehr große bzw. sehr kleine
Werte von x verlaufen. Beschreibe ebenso den Verlauf, wenn die x-Werte nahe bei 0 liegen.

Potenzfunktionen
Blatt 4: Die allgemeine Potenzfunktion y = a (x – c) n +d
Auch hier machen wir es uns leichter und benutzen den graphikfähigen Rechner.
Die allgemeine Potenzfunktion lautet: y = a (x – c) n + d.
Aufgabe 1:
Zeichne mit dem Rechner jeweils eine Grundfunktion und eine zugehörige allgemeine
Potenzfunktion, indem du für a, c und d einen Wert einsetzt. (am Anfang nicht alle Variablen auf
einmal belegen !). Probiere so lange aus bis du den folgenden Text ausfüllen kannst.
In der allgemeinen Potenzfunktion bedeutet c
d gibt an.
a beschreibt
Aufgabe 2:
Skizziere die folgenden Graphen jeweils in ein Achsenkreuz. Benutze dabei für jeden Graph eine
andere Farbe. Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem Rechner.
a)
b)
c)
y = ( x − 3)
1
y = ( x + 1
2
−
y = ( x + 1)
3 +
4
)
2 −
−
y = ( x − 3)
6
y = 2x
− 4
−
y = ( x + 2)
3 −
4 +
−1
y = x + 3
3
y = 3x
y = 0,
5(
x − 4)
2
1
2
2
−2
−
2

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Potenzen und Potenzfunktionen
Thema der Stunde(n): Klassenarbeit
Klasse/Jahrgangsstufe: 10 G
Ziel der UE
Lösen von Potenzgleichungen (rechnerisch; graphisch)
(inkl. Mehrwert durch Eigenschaften der Potenzfunktionen
Nutzung dig. Medien) Zusammenhang: Funktionsgraph Funktionsterm
(CAS-Rechner als Kontrollinstrument und als Medium zur schnellen
Visualisierung von Funktionsgraphen)
Kompetenzstufe Argum./ Problem- Modellie Darstell.
Komm.
(K1/ K6)
lösen
(K2)
ren
(K3)
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: X X
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: X
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Bitte ankreuzen: X
Schule: Freiherr-vom-Stein-Schule
Schulform: Kooperative Gesamtschule
Ort: Gladenbach / Hessen
Ansprechpartner, Dr. E. Conradi-Pinther
e-Mail:
con-pin@online.de
Datum: Dezember 2005
Didaktik/Methodik
(optional)
Bitte ankreuzen:
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Einzelarbeit
Bitte ankreuzen: X
Sonstiges:
Partnerarbeit
Klausur UE
Gruppenarbeit
Transfer
Projekt
60

2. Mathematikarbeit 10G2/con/8.12.05
Hinweis: Bei der Bemerkung „händisch“, muss der Rechenweg nachvollziehbar sein.
1. Aufgabe: („händisch“)
Löse die folgenden Gleichungen.
a.) (2x + 3) 7 = 128 b.) ( 17 + 3)
= 49
2
d.) x 7 − 4x
= 1−
3x
+ e.) 2x 2 − 13 = 45x −4
2. Aufgabe: („händisch“)
a.) Der Graph einer Funktion f(x) = c ⋅ x
x
2
3
c.) (2x) � = x� 1
n
verläuft durch die Punkte P(1 ; 4) u. Q(4; 32).
Bestimme c und n.
b.) Berechne die Schnittpunkte der Funktionsgraphen von f(x) = 5 − x und g(x) = 4x −1 .
3. Aufgabe: (mit CAS und „händisch“)
Zeichne die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen und erstelle einen „ Steckbrief“.
1
a.) f(x) = + 3
x − 2
b.) f(x) = 0,5·(x + 1) 4
4. Aufgabe: (mit CAS und „händisch“)
a.) Zeichne einen Funktionsgraphen, die dem folgenden Steckbrief entspricht, und gib dessen
Funktionsvorschrift an.
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt Y(0 ; 1) und hat bei x = 3 eine Polstelle ohne VZW. Es liegt
eine waagrechte Asymptote bei y = 0 vor. Der Wertebereich besteht aus der Menge der positiven, reellen
Zahlen.
b.) Bilde den nachfolgenden Funktionsgraphen auf deinem Rechner nach und gib dessen
Funktionsvorschrift an.
61

5. Aufgabe: (mit CAS)
a.) Spiegele die Graphen zu folgenden Funktionen wie angegeben und gib die neuen Funktionsterme
(zusammengefasst) an.
Funktion Handlung Neuer Funktionsterm
y= 0.5x 3 +1
gespiegelt an der y-
Achse
y= -1.4(2x - 4) 3 + 2 gespiegelt an der x-
Achse
y= -2x 3 - 3x + 2
gespiegelt am Ursprung
b.) Stelle die Funktionen f1(x) = 0.5 x 3 und f2(x) = (2x) 1/3 mit dem CAS dar.
Untersuche die Eigenschaften der beiden Graphen, bestimme den Schnittpunkt.
Der eine Graph ist durch Spiegelung aus dem anderen hervorgegangen.
Woran wurde gespiegelt?
62

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Potenzen und Potenzfunktionen
Thema der Stunde(n): Klassenarbeit
Klasse/Jahrgangsstufe: 10 G
Ziel der UE
Anwendung der Potenzgesetze ; Einführung in das Gebiet der Potenz-
(inkl. Mehrwert durch funktionen (CAS-Rechner als Kontrollinstrument und als Medium zur
Nutzung dig. Medien) schnellen Visualisierung von Funktionsgraphen)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Bitte ankreuzen: X X
Darstell.
verw.
(K4)
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: X
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Bitte ankreuzen: X
Schule: Freiherr-vom-Stein-Schule
Schulform: Kooperative Gesamtschule
Ort: Gladenbach / Hessen
Ansprechpartner, Dr. E. Conradi-Pinther
e-Mail:
con-pin@online.de
Datum: Oktober 2006
Didaktik/Methodik
(optional)
Bitte ankreuzen:
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Einzelarbeit
Partnerarbeit
Klausur UE
Gruppenarbeit
Transfer
Projekt
Bitte ankreuzen: X
Die Klassenarbeit wurde in zwei Teilen (ohne / mit CAS-Rechner) bearbeitet.
Sonstiges:
Die CAS-Aufgabe stellt für die SchülerInnen eine erhöhte Anforderung dar, da
veränderte Potenzfunktionen bis dato noch nicht im Unterricht behandelt wurden.
63

1. Mathematikarbeit 10G2/con/31.10.06
Hinweis: Für die Aufgaben auf diesem Blatt darf kein CAS-Rechner verwendet werden.
1.Aufgabe
Gruppe A
Der Rechenweg muss nachvollziehbar dargestellt werden.!!!
Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise.
a.) 433000000 b.) 0,00075 c.) (0,8·10 6 ):(2·10 –3 )
2.Aufgabe
Vereinfache soweit wie möglich und berechne die Potenzen, deren Wert kleiner als Hundert ist.
(Hinweis: Im Endergebnis dürfen die Exponenten keine negativen Zahlen oder Brüche enthalten.)
a.) x 3 y 0 z 8 y 4 z 6 b.) 3x 2 + 4x 3 – 5x 3 + x 0 – x 2
c.) 8 –5 : 4 –5 d.)
3
( 2 )
e.) a 5n ·a 2n–4 ·a 5–2n f.) 3x
⋅ 7x
g.) (–2a 3 ) 3 h.)
i.) (2x –3 – x 2 ) 2
j.)
4 4 , 1 10
8 ⋅ k.)
3 6
4 −
n+
4 n
x − x
l.) 2n
3
⎛ x ⎞
m.) n+
2 n
x + x
⎜ 4 1 ⎟ n+
⎝ x ⎠
n.) ((2 3 ) –1 ) 0 o.)
p.) (6a) n : (2ab) n
x−
y 2x−
y
d d
r.) + x+
y 2x+
y
d d
3.Aufgabe
q.)
− 1
3
2 −
⎛
⎜
⎝
0
1
x ⋅
−2
3
4
y 1
⋅ y ⋅ ⋅
3 x
x ⋅
3 −1
x
⋅
4 −2
a.) Ein Kraftwerk gibt eine elektrische Leistung von 900 MW ab. Wie viele 60-W-Glühbirnen
könnten mit dieser Leistung zum Leuchten gebracht werden?
b.) Forme in die angegebene Einheit um und verwende die wissenschaftliche Schreibweise.
(1) 6,01 hl (ml) (2) 80 nm (m)
12y
15x
−2
−1
18yx
⋅ 2
y 6y
x
5
5
x
5
⎞
⎟
⎠
64

Gruppe A
AB HIER MIT CAS
4.Aufgabe
a.) Zeichne die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = x 3 und g(x) = (x−3) 3 mit Hilfe des CAS-
Rechners. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den beiden Funktionsgraphen?
b.) Zeichne die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = x 3 und g(x) = 3 x mit Hilfe des CAS-
Rechners. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den beiden Funktionsgraphen?
c.) Zeichne die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = x 4 und g(x) = −x 4 + 4 mit Hilfe des CAS-
Rechners. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den beiden Funktionsgraphen?
2 eine Wertetabelle für [ ]
d.) Erstelle für die Funktion f(x) = x ∈ − 4;
4 und zeichne den
x
Funktionsgraphen in dein vorbereitetes Koordinatensystem. Beschreibe den Graphen.
65

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Potenzgleichungen und –funktionen; lineares und exponentielles Wachstum
Thema der Stunde(n): Klassenarbeiten (3x)
Klasse/Jahrgangsstufe: 10 G
Ziel der UE
Lösen von Potenzgleichungen und Exponentialgleichungen (rechnerisch;
(inkl. Mehrwert durch graphisch); Eigenschaften von Potenzfunktionen ; Zusammenhang:
Nutzung dig. Medien) Funktionsgraph Funktionsterm
Wachstums- und Zerfallsprozesse erkennen, beschreiben, darstellen und
berechnen können
(CAS-Rechner als Kontrollinstrument; als Medium zur schnellen
Visualisierung von Funktionsgraphen und Daten; als algebraische Hilfe zum
Lösen von Gleichungen, etc.)
Kompetenzstufe Argum./ Problem- Modellie Darstell.
Komm.
(K1/ K6)
lösen
(K2)
ren
(K3)
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: X X X X
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: X
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Bitte ankreuzen: X
Schule: Freiherr-vom-Stein-Schule
Schulform: Kooperative Gesamtschule
Ort: Gladenbach / Hessen
Ansprechpartner, Dr. E. Conradi-Pinther
e-Mail:
con-pin@online.de
Datum: November 2006 / Februar 2007
Didaktik/Methodik
(optional)
Bitte ankreuzen:
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Einzelarbeit
Bitte ankreuzen: X
Sonstiges:
Partnerarbeit
Klausur UE
Gruppenarbeit
Transfer
Projekt
66

2. Mathematikarbeit 10G2/con/28.11.06/A
Hinweis: Bei der Bemerkung „händisch“ muss der Rechenweg nachvollziehbar sein.
1. Aufgabe: („händisch“)
Löse die folgenden Gleichungen und gib die Lösungsmenge an. (Keine Dezimalzahlen als Ergebnisse.)
a.) 16x 4 − 81= 0 b.) (2x + 3) 7 −5
= 128 c.) x = −1024
3 2
d.) ( 17 + 3)
= 49
2 −2 2
x e.) x − 14 = −45x f.) x + 7 − 4x
= 1−
3x
2. Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion f(x) = x 3 .
Bestimme jeweils die Gleichung der Funktion, deren Graph aus dem von f entsteht durch:
a.) Verschiebung um 2 in y-Richtung und Verschiebung um 2 in x-Richtung,
b.) Stauchung mit dem Faktor 0,5 und Spiegelung an der x-Achse,
c.) Spiegelung an der y-Achse und dann Verschiebung um 2 in y-Richtung,
3. Aufgabe: („händisch“)
1 1
a.) Für welchen Wert a liegt der Punkt P( ; ) auf dem Graphen der Funktion f(x) = a·x
18 16
3 ?
b.) Der Graph einer Funktion f(x) = a·x n verläuft durch die Punkte P(1;4) u. Q(2; 32). Bestimme a und n.
4. Aufgabe: („händisch“)
Gib jeweils eine entsprechende Funktionsgleichung für den Fall an, dass ein 1m langer Gegenstand
(1) täglich um 5 cm wächst.
(2) wöchentlich um 25% abnimmt.
(3) sich monatlich verdreifacht.
(4) sich alle 6 Monate verdoppelt.
Gib dabei an, was du mit x bzw. y bezeichnest . Vergiss die Angabe der Einheiten nicht.
5. Aufgabe: (mit CAS und „händisch“)
Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen (nicht auf Papier) und erstelle einen „ Steckbrief“.
1
a.) f(x) = + 3
x − 2
b.) f(x) = 0,5·(x + 1) 4
Steckbrief: Definitionsbereich, Wertebereich, Symmetrie, Monotonie, Schnittpunkte mit der x-Achse
(Nullstellen), Schnittpunkte mit der y-Achse, Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte, Verhalten an den
Rändern des Definitionsbereiches, Verhalten an den Definitionslücken.
67

6. Aufgabe: (mit CAS und „händisch“)
Prüfe, ob die jeweilige Wertetabelle zu einem linearen oder exponentiellen Wachstum gehört, und gib die
zugehörige Funktionsvorschrift an.
Tabelle 1 Tabelle 2 Tabelle 3
X Y X Y X Y
0 4 0 3 0 27
1 12 1 3,5 1 9
2 36 2 4 2 3
3 108 3 4,5 3 1
7. Aufgabe: („händisch“)
Eine Wassermelone wiegt 0,150 kg. Bis zur Reife verdoppelt sich in jeder Woche das Gewicht.
(1) Wieviel wiegt die Melone nach 3 Wochen?
(2) Wieviel wiegt die Melone nach 2 Tagen?
(3) Wieviel Tage müssen vergehen, bis sie ein Gewicht von 3 kg hat?
8. Aufgabe: Welche Aussagen gelten für welche Funktionen? Kreuze an!
(Hinweis: Falsche Kreuze führen zu Punktabzug.)
(1) f1(x) = x 5 (2) f2(x) = −3x 4
(3) f3(x) = (x − 2) 2 + 3
(4) f4(x) = (x − 2) −1 + 3 (5) f5(x) = x −2 (6) f6(x) = x −1 + 3
Aussage (1) (2) (3) (4) (5) (6)
Der Graph hat nur negative Funktionswerte.
Der Graph ist eine Hyperbel oder besteht aus Hyperbelästen.
Der Graph ist monoton steigend.
Der Graph hat die y-Achse als Spiegelachse.
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Graph schneidet die y-Achse an der Stelle 3.
Der Graph geht durch den Punkt (1;1).
Der Graph „schmiegt“ sich an die x-Achse an.
Der Graph ist eine verschobene Parabel.
Die y-Achse ist Asymptote.
Der Graph schneidet die x-Achse nicht.
68

2. Mathematikarbeit 10G2/con/28.11.06/B
Hinweis: Bei der Bemerkung „händisch“ muss der Rechenweg nachvollziehbar sein.
1. Aufgabe: („händisch“)
Löse die folgenden Gleichungen und gib die Lösungsmenge an. (Keine Dezimalzahlen als Ergebnisse.)
a.) 81x 4 − 16= 0 b.) (3x + 2) 7 −5
= 128 c.) x = −1024
3 2
d.) ( 50 − 7)
= 49
2. Aufgabe:
2 −2 2
x e.) x − 14 = −45x f.) x + 7 − 4x
= 1−
3x
Gegeben sei die Funktion f(x) = x 4 .
Bestimme jeweils die Gleichung der Funktion, deren Graph aus dem von f entsteht durch:
d.) Verschiebung um 2 in y-Richtung und Verschiebung um 2 in x-Richtung,
e.) Stauchung mit dem Faktor 0,5 und Spiegelung an der x-Achse,
f.) Spiegelung an der y-Achse und dann Verschiebung um 2 in y-Richtung,
3. Aufgabe: („händisch“)
a.) Für welchen Wert a liegt der Punkt P(
1 1
;
18 16
) auf dem Graphen der Funktion f(x) = a·x 3 ?
b.) Der Graph einer Funktion f(x) = a·x n verläuft durch die Punkte P(1;4) u. Q(2; 32). Bestimme a und n.
4. Aufgabe: („händisch“)
Gib jeweils eine entsprechende Funktionsgleichung für den Fall an, dass ein 1m langer Gegenstand
(1) täglich um 5 cm abnimmt.
(2) wöchentlich um 25% wächst.
(3) sich monatlich verdreifacht.
(4) sich alle 6 Monate verdoppelt.
Gib dabei an, was du mit x bzw. y bezeichnest . Vergiss die Angabe der Einheiten nicht.
5. Aufgabe: (mit CAS und „händisch“)
Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen (nicht auf Papier) und erstelle einen „ Steckbrief“.
1
a.) f(x) = + 2
x − 3
b.) f(x) = 0,5·(x + 1) 3
Steckbrief: Definitionsbereich, Wertebereich, Symmetrie, Monotonie, Schnittpunkte mit der x-Achse
(Nullstellen), Schnittpunkte mit der y-Achse, Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte, Verhalten an den
Rändern des Definitionsbereiches, Verhalten an den Definitionslücken.
69

6. Aufgabe: (mit CAS und „händisch“)
Prüfe, ob die jeweilige Wertetabelle zu einem linearen oder exponentiellen Wachstum gehört, und gib die
zugehörige Funktionsvorschrift an.
Tabelle 1 Tabelle 2 Tabelle 3
X Y X Y X Y
0 4 0 3 0 27
1 12 1 3,5 1 9
2 36 2 4 2 3
3 108 3 4,5 3 1
7. Aufgabe: („händisch“)
Eine Wassermelone wiegt 0,150 kg. Bis zur Reife verdoppelt sich in jeder Woche das Gewicht.
(1) Wieviel wiegt die Melone nach 3 Wochen?
(2) Wieviel wiegt die Melone nach 2 Tagen?
(3) Wieviel Tage müssen vergehen, bis sie ein Gewicht von 3 kg hat?
8. Aufgabe: Welche Aussagen gelten für welche Funktionen? Kreuze an!
(Hinweis: Falsche Kreuze führen zu Punktabzug.)
(1) f1(x) = x 5 (2) f2(x) = −3x 4
(3) f3(x) = (x − 2) 2 + 3
(4) f4(x) = (x − 2) −1 + 3 (5) f5(x) = x −2 (6) f6(x) = x −1 + 3
Aussage (1) (2) (3) (4) (5) (6)
Der Graph hat nur negative Funktionswerte.
Der Graph ist eine Hyperbel oder besteht aus Hyperbelästen.
Der Graph ist monoton steigend.
Der Graph hat die y-Achse als Spiegelachse.
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Graph schneidet die y-Achse an der Stelle 3.
Der Graph geht durch den Punkt (1;1).
Der Graph „schmiegt“ sich an die x-Achse an.
Der Graph ist eine verschobene Parabel.
Die y-Achse ist Asymptote.
Der Graph schneidet die x-Achse nicht.
70

2. Mathematikarbeit (Gruppe A)
Hinweis: Für die Aufgaben auf diesem Blatt darf kein CAS-Rechner verwendet werden.
Der Rechenweg muss nachvollziehbar dargestellt werden.!!!
1. Aufgabe: Welche Aussagen gelten für welche Funktionen? Kreuze an!
(Hinweis: Falsche Kreuze führen zu Punktabzug.)
(1) f1(x) = x 5 (2) f2(x) = −3x 4
(3) f3(x) = (x − 2) 2 + 3
(4) f4(x) = (x − 2) −1 + 3 (5) f5(x) = x −2 (6) f6(x) = x −1 + 3
Aussage (1) (2) (3) (4) (5) (6)
Der Graph hat nur negative Funktionswerte.
Der Graph ist eine Hyperbel oder besteht aus Hyperbelästen.
Der Graph ist monoton steigend.
Der Graph hat die y-Achse als Spiegelachse.
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Graph schneidet die y-Achse an der Stelle 3.
Der Graph geht durch den Punkt (1;1).
Der Graph „schmiegt“ sich an die x-Achse an.
Der Graph ist eine verschobene Parabel.
Der Graph „schmiegt“ sich an die y-Achse an.
Der Graph schneidet die x-Achse nicht.
2. Aufgabe:
Löse die folgenden Gleichungen und gib die Lösungsmenge an. (Keine Dezimalzahlen als Ergebnisse.)
a) 16x 4 − 81= 0 b) (2x + 3) 7 −5
= 128 c) x = −1024
3 2
d) ( 17 + 3)
= 49
3. Aufgabe:
2 −2 2
x e) x − 14 = −45x f) x + 7 − 4x
= 1−
3x
Gegeben sei die Funktion f(x) = x 3 .
Bestimme jeweils die Gleichung der Funktion, deren Graph aus dem von f entsteht durch:
a.) Verschiebung um 2 in y-Richtung und Verschiebung um 3 in x-Richtung,
b.) Stauchung mit dem Faktor 0,5 und Spiegelung an der x-Achse,
c.) Spiegelung an der y-Achse und dann Verschiebung um 2 in y-Richtung.
4. Aufgabe:
a.) Bestimme die fehlenden Koordinaten, so dass der Punkt P(x│18) auf dem Graphen von
5
f ( x)
= 0.
5⋅
x + 2 liegt.
b.) Für welchen Wert a liegt der Punkt P(
1 1
;
18 16
) auf dem Graphen der Funktion f(x) = a·x 3 ?
c.) Der Graph einer Funktion f(x) = a·x n verläuft durch die Punkte P(1;4) u. Q(2; 32). Bestimme a und n.
71

Hinweis: Bei der Bemerkung „händisch“ muss der Rechenweg nachvollziehbar sein.
5. Aufgabe: (mit CAS und „händisch“)
3
Gegeben sei die Funktion f ( x)
= ( x −1)
−1
.
a) Skizziere den Funktionsgraphen der Funktion f im Intervall [-3;3].
b) Begründe, dass die Funktion umkehrbar ist, bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion und
skizziere deren Graphen in das selbe Koordinatensystem.
6. Aufgabe: („mit CAS und händisch“)
a) Berechne das Volumen eines Würfels mit einer Oberfläche von 120 cm 2 .
b) Drücke das Volumen V als Funktion der Oberfläche O aus. O (in cm
Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen der
Funktion mit dem CAS.
c) Berechne mit dem CAS ebenso die rechte Wertetabelle:
2 ) V (in cm 3 )
20
40
60
7. Aufgabe: (mit CAS)
Bestimme mit dem CAS graphisch die Lösung(en) der
3
Gleichung: x = 2x
−1
. Beschreibe deine Vorgehensweise und erstelle eine Skizze.
8. Aufgabe:
Prüfe, ob die jeweilige Wertetabelle zu einem linearen oder exponentiellen Wachstum gehört, und gib die
zugehörige Funktionsvorschrift an.
Tabelle 1 Tabelle 2 Tabelle 3 Tabelle 4
X Y X Y X Y X Y
0 4 3 3,5 0 27 0 10
1 12 4 4 1 9 2 30
2 36 5 4,5 2 3 4 90
3 108 6 5 3 1 6 270
9. Aufgabe: („händisch“ und CAS)
Eine Bevölkerung von 5 Millionen wächst jährlich um 4 %.
a) Mit welcher Formel kann man den Wachstum modellieren?
b) Berechne die Bevölkerungszahl nach 12 Jahren (15 Jahren, 20 Jahren).
c) Überprüfe mit dem CAS, bis wann sich die Bevölkerung verdoppelt hat.
d) Benötigst du zum Beantworten der Frage c) die Angabe über die Größe der Bevölkerung?
80
100
72

2. Mathematikarbeit (Gruppe B)
Hinweis: Für die Aufgaben auf diesem Blatt darf kein CAS-Rechner verwendet werden.
Der Rechenweg muss nachvollziehbar dargestellt werden.!!!
1. Aufgabe: Welche Aussagen gelten für welche Funktionen? Kreuze an!
(Hinweis: Falsche Kreuze führen zu Punktabzug.)
(1) f1(x) = x 5 (2) f2(x) = −3x 4
(3) f3(x) = (x − 2) 2 + 3
(4) f4(x) = (x − 2) −1 + 3 (5) f5(x) = x −2 (6) f6(x) = x −1 + 3
Aussage (1) (2) (3) (4) (5) (6)
Der Graph hat nur negative Funktionswerte.
Der Graph ist eine Hyperbel oder besteht aus Hyperbelästen.
Der Graph ist monoton steigend.
Der Graph hat die y-Achse als Spiegelachse.
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Der Graph schneidet die y-Achse an der Stelle 3.
Der Graph geht durch den Punkt (1;1).
Der Graph „schmiegt“ sich an die x-Achse an.
Der Graph ist eine verschobene Parabel.
Die y-Achse ist Asymptote.
Der Graph schneidet die x-Achse nicht.
2. Aufgabe:
Löse die folgenden Gleichungen und gib die Lösungsmenge an. (Keine Dezimalzahlen als Ergebnisse.)
a.) 81x 4 − 16= 0 b.) (3x + 2) 7 −5
= 128 c.) x = −1024
3 2
d.) ( 50 − 7)
= 49
3. Aufgabe:
2 −2 2
x e.) x − 14 = −45x f.) x + 7 − 4x
= 1−
3x
Gegeben sei die Funktion f(x) = x 3 .
Bestimme jeweils die Gleichung der Funktion, deren Graph aus dem von f entsteht durch:
a) Verschiebung um 2 in y-Richtung und Verschiebung um 3 in x-Richtung,
b) Stauchung mit dem Faktor 0,5 und Spiegelung an der x-Achse,
c) Spiegelung an der y-Achse und dann Verschiebung um 2 in y-Richtung.
4. Aufgabe:
a.) Bestimme die fehlenden Koordinaten, so dass der Punkt P(x│18) auf dem Graphen von
5
f ( x)
= 0.
5⋅
x + 2 liegt.
1 1
b.) Für welchen Wert a liegt der Punkt P( ; ) auf dem Graphen der Funktion f(x) = a·x
18 16
3 ?
c.) Der Graph einer Funktion f(x) = a·x n verläuft durch die Punkte P(1;4) u. Q(2; 32). Bestimme a und n.
73

Hinweis: Bei der Bemerkung „händisch“ muss der Rechenweg nachvollziehbar sein.
5. Aufgabe: (mit CAS und „händisch“)
3
Gegeben sei die Funktion f ( x)
= ( x + 1)
−1
.
a) Skizziere den Funktionsgraphen der Funktion f im Intervall [-3;3].
b) Begründe, dass die Funktion umkehrbar ist, bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion und
skizziere deren Graphen in das selbe Koordinatensystem.
6. Aufgabe: („mit CAS und händisch“)
a) Berechne das Volumen eines Würfels mit einer Oberfläche von 150 cm 2 .
b) Drücke das Volumen V als Funktion der Oberfläche O aus.
Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen der
Funktion mit dem CAS.
c) Berechne mit dem CAS ebenso die rechte Wertetabelle:
7. Aufgabe: (mit CAS)
Bestimme mit dem CAS graphisch die Lösung(en) der
O (in cm 2 ) V (in cm 3 )
3
Gleichung: − x = −2x
−1.
Beschreibe deine Vorgehensweise und erstelle eine Skizze.
8. Aufgabe:
Prüfe, ob die jeweilige Wertetabelle zu einem linearen oder exponentiellen Wachstum gehört, und gib die
zugehörige Funktionsvorschrift an.
Tabelle 1 Tabelle 2 Tabelle 3 Tabelle 4
X Y X Y X Y X Y
0 4 3 2,5 0 64 0 10
1 12 4 3 1 16 2 20
2 36 5 3,5 2 4 4 40
3 108 6 4 3 1 6 80
9. Aufgabe: („händisch“ und CAS)
Eine Bevölkerung von 5 Millionen wächst jährlich um 3 %.
a) Mit welcher Formel kann man den Wachstum modellieren?
b) Berechne die Bevölkerungszahl nach 15 Jahren (20 Jahren, 30 Jahren).
c) Überprüfe mit dem CAS, bis wann sich die Bevölkerung verdoppelt hat.
d) Benötigst du zum Beantworten der Frage c) die Angabe über die Größe der Bevölkerung?
20
40
60
80
100
74

10 G1 3. Mathematikarbeit (A) 27.02.2007
Dauer: 2. Schulstunden
Hinweis: Für die Aufgaben auf diesem Blatt darf kein Taschenrechner verwendet
werden. Die Rechnung und das Ergebnis bitte direkt auf das Aufgabenblatt
schreiben!
Aufgabe 1: Ermittle folgende Logarithmen ohne TR.
a) ( 27)
1
log5 ( =
125
log 3 = b) )
1
c) lg( 100000)
= d) log a ( ) = 3
a
e)
log ( b
3 2
0
b = f) log ( 5 )
g) lg( 60)
− lg( 2)
− lg( 3)
=
21
h) log 2 ( 7)
+ log 2 ( 12)
− log 2 ( ) =
4
p =
Aufgabe 2: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfache so weit wie
möglich.
12 ( )
1
2 ⋅ lg( u) + 4 ⋅ lg( u ) − ⋅ lg u =
3
Aufgabe 3: Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen.
a) ( x − 2)
= 3
b) ( x ) −1
= 1
log 2
c) log n ( 9n)
= −1
d) 3log 7 ( 5)
− log 7 ( 4)
= log 7 ( 8)
+ log 7 ( x)
log 5
75

10 G1 3. Mathematikarbeit (A) 27.02.2007
Dauer: 2. Schulstunden
Hinweis: Zur Lösung der folgenden Aufgaben kannst du den TR mit CAS benutzen. Der
Lösungsweg (z.B. Skizze des Graphen, Rechnung) ist dabei stets
nachvollziehbar im Heft darzustellen. Die Gleichungen müssen „händisch“
gelöst werden, d.h. ohne Benutzung des solve-Befehls.
Aufgabe 4:
Eine Bakterienkultur wächst pro Stunde um 24%. Zum Beginn der Messung zählt man 180
pro cm 2 .
a) Wie viele Bakterien pro cm 2 wird man nach 8,5h zählen?
b) Nach wie vielen Stunden wird man 2400 Bakterien pro cm 2 messen können?
Aufgabe 5:
Angenommen die Bevölkerung einer Stadt nimmt exponentiell ab. Im Jahr 1980 hatte die
Stadt 57000 Einwohner, im Jahr 1990 waren es 31000 Einwohner.
a) Wie viele Einwohner wird die Stadt voraussichtlich im Jahr 2001 haben?
b) In welchem Jahr wird, wenn die Einwohnerzahl weiter in dieser Weise abnimmt, die
Einwohnerzahl die 5000 Grenze unterschritten haben?
Aufgabe 6:
Herr K. hat 85000 € geerbt und möchte diesen Betrag so anlegen, dass sich in 15 Jahren der
Betrag verdoppelt hat.
a) Die Bank bietet ihm einen festen Zinssatz von 5,2% über die gesamte Laufzeit. Ist Herr K
damit einverstanden?
b) Welchen Zinssatz braucht Herr K., um sein Ziel zu erreichen?
Aufgabe 7:
Während Hauke nur darauf wartet, dass der Bierschaum endlich soweit reduziert ist dass er
sein Bier trinken kann, denkt seine Freundin Frauke über den Bierschaum nach: Erstens weil
sie nicht gerne Bier trinkt und zweitens, weil sie sich für Mathematik interessiert.
Als das Bier gebracht wurde, hatte der Schaum eine Höhe von 12 cm. Frauke beobachtet nun,
dass nach 10 s der Bierschaum nur noch 9 cm hoch ist. Sie weiß, dass die Bierschaumhöhe
exponentiell abnimmt (hat sie im Matheunterricht gelernt). Sie hat beobachtet, dass das Bier
schon 20 s auf dem Tresen herumstand, bis es endlich gebracht wurde.
a) Wie hoch stand der Schaum direkt nach dem Zapfen? Bestimme die Zerfallsfunktion für
den Bierschaum. Skizziere den Graphen der Zerfallsfunktion in ein geeignetes KO-System.
b) Wann kann Hauke sein Bier trinken (er trinkt erst dann, wenn der Schaum nur noch 2 cm
hoch ist)?
c) Die Brauerei wirbt mit dem Slogan: Unser Bier hat eine Bierschaumhaltbarkeit von 100 s.
Dies bedeudet, dass die Halbwertszeit größer oder gleich 100 s ist. Trifft dies auf das Bier von
Hauke zu?
Aufgabe 8:
76

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
Unterrichtseinheit Potenzfunktion - Exponentialfunktion
(gem. Lehrplan):
Thema der Stunde(n):
Klasse/Jahrgangsstufe: 10
Ziel der UE
(inkl. Mehrwert durch
Nutzung dig. Medien)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: x x x x
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: x
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Klausur UE
Bitte ankreuzen: x x x x
Schule:
Schulform:
Ort:
Ansprechpartner,
e-Mail:
Datum:
Didaktik/Methodik
(optional)
Hartmut Kümmel
hartmut.kuemmel.biedenkopf@t-online.de
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Bitte ankreuzen: x x
Einzelarbeit
Partnerarbeit
Bitte ankreuzen: x x
Sonstiges:
Gruppenarbeit
Transfer
Projekt

10 G1 3. Mathematikarbeit (A) 27.02.2007
Dauer: 2. Schulstunden
Das Bevölkerungswachstum der USA in der ersten Hälfte des 19 Jahhunderts wird durch die
folgende Tabelle beschrieben:
Jahr 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
t [a] 0 10 20 30 40 50 60 70
N [Mio] 3,9 5,3 7,2 9,6 12,9 17,1 23,2 31,4
a) Stelle die Werte graphisch mit dem CAS dar und bestimme eine „geeignete“
Exponentialfunktion, die das Bevölkerungswachstum beschreibt. Erläutere deine
Vorgehensweise.
b) Berechne den Zeitraum, in dem sich die Bevölkerung der USA jeweils verdoppelt hat.
c) Welche Bevölkerungszahlen konnten für das Jahr 1970 erwartet werden?
d) Aus späteren Volkszählungen sind folgende Angaben über die Bevölkerungszahlen
bekannt:
Jahr 1880 1900 1930 1970
N [Mio] 50,2 76,0 123,2 203,2
Überprüfe, ob die gefundene Wachstumsfunktion noch sinnvoll ist. Erläutere event.
Abweichungen.
Aufgabe 9:
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
x
a) 2 ⋅ 4 = 34
b)
6 ⋅
x 3x
⋅ 7 = 18 2
c)
9 ⋅3
= 2 ⋅5
5x+
1 2x
77

Zum Unterrichtsverlauf:
Nach „traditioneller“ Erarbeitung der Potenzgesetze wurde den Schülern der V200 zur
Verfügung gestellt. Die Schüler haben durchgängig – auch zu Hause – mit dem Rechner
gearbeitet.
Die Themen: „Potenzfunktionen und ihre Umkehrung“ und „Wachstum“ wurden mit
Rechnereinsatz unterrichtet.
Entsprechend zum Unterrichtsgang musste ein Teil der Klassenarbeit händisch bearbeitet
werden.
Beim Thema Wachstum wurden auch rekursive Darstellungen im Folgenmodus bearbeitet.
Damit konnten Aufgaben zum begrenzten Wachstum behandelt werden bzw. komplexere
Aufgabenstellungen mit zwei voneinander abhängigen Wachstumsfolgen wie in der Aufgabe
4 zum Schmetterlingshaus im Arbeitsblatt Wachstum 2.
Bei der Klassenarbeit stand der Rechner zur Verfügung.
79

Potenzfunktionen - Funktionenlabor
Funktionen mit der Funktionsgleichung y(x) = x n heißen Potenzfunktionen.
1) n ist eine natürliche Zahl.
a) Stelle die Graphen für n = 1 und n = 2 in einem geeigneten Fenster dar.
b) Untersuche welchen Einfluss der Exponent n auf den Graphen der
jeweiligen Potenzfunktion hat. Finde so viele Merkmale wie möglich. Trage
die Ergebnisse in Form einer Tabelle zusammen, so dass man die
Eigenschaften auf einen Blick erkennen kann.
2) n ist eine negative ganze Zahl.
a) Zeichne den Graphen von y(x) = x -1 . Vermutlich erkennst du den Graphen
von früher.....
b) Welchen Einfluss hat n auf die Graphen der Potenzfunktionen y(x) = x -n ?
Bearbeite die Fragestellung wie oben.
3 ) Ohne Rechner bearbeiten – mit Rechner kontrollieren!
Ordne jedem der Graphen die passende Potenzfunktion zu. Begründe deine
Entscheidung !
Y1(x) = x 2n y2(x) = x 2n+1 y3(x) = x -2n y4(x) = x -(2n+1)
a)
C)
Y1(x):
Y2(x):
Y3(x):
Y4(x):
b)
d)
Hilfe, ein Graph ist
doppelt, ein Bild
wurde vergessen....
Ergänze den fehlenden
Graphen.
80

Potenzfunktionen #1
1) Stelle die Funktionen
f1: y(x) = 0,5 x 3 , f2: y(x) = 1,2 x 3 , f3: y(x) = - 0,5 x 3 , f4: y(x) = - 0,5 (-x) 3
mit dem Rechner dar.
Beschreibe die Eigenschaften der Funktionen. (Welcher Zusammenhang
besteht zwischen dem Graf der Funktion und der algebraischen Form.
Skizziere den Graf und setze den Text daneben.)
2) Verschiebungen:
a) Verschiebe die Grafen von f1 ... f4 um 1 in und um 2 gegen die y-
Richtung.
Schreibe auf, wie Du dies bewerkstelligt hast, verwende dazu die Tabelle.
Verschiebung Funktionsterm alt Funktionsterm neu
um 1 in y-Richtung f1:
f2:
f3:
f4:
um 2 gegen die y-
Richtung
f1:
f2:
f3:
f4:
b) Verschiebe die Grafen von f1 ... f4 um 1 in und um 2 gegen die x-
Richtung.
Schreibe auf, wie Du dies bewerkstelligt hast, verwende dazu die Tabelle.
Verschiebung Funktionsterm alt Funktionsterm neu
um 1 in x-Richtung f1:
f2:
f3:
f4:
um 2 gegen die x-
Richtung
f1:
f2:
f3:
f4:
81

3) Veränderungen
a) Verändere den Parameter a in der Funktion f5: y=a⋅x 3 . Schreibe die
Veränderung auf und beschreibe, wie sich der Graf daraufhin verändert
hat.
Veränderung Folge
82

Potenzfunktionen #2
Erstelle die folgenden Abbildungen auf deinem Rechner. Beachte die Window-Einstellungen, die für
alle Bilder gilt. Notiere, wie Du vorgegangen bist. Notiere die Funktionsgleichungen.
Abb.1
Abb.2
Abb. 4
Abb.6
Abb. 8
Abb. 3
Abb. 5
Abb. 7
Abb. 9
83

Mathematik Arbeit Nr.: 1 10c 5.10.2005 A
Potenzen und Potenzfunktionen
Name:____________________________________
Note 1 2 3 4 5 6
Anzahl
Teil 1 Bearbeite die Aufgaben auf diesem Blatt ohne Taschenrechner.
1) Schreibe die folgenden Zahlen im normalen Zahlenformat als
Dezimalzahlen.
12,06⋅10 -2
0,0056⋅10 3
412,04⋅10 -3 0,00002⋅10 5
2) Schreibe die folgenden Zahlen im wissenschaftlichen Format (Einerstelle
plus Exponent, z.B. 2,345⋅10 2 )
3) Berechne:
3
3 −
231,05 0,000562 445 698,2 0,000 0056
6 ⋅ 6
6
6
3 5
( ) 12
4 5
4) Wende die Potenzgesetze an und vereinfache die folgenden Terme.
5)
x -5 ⋅y 4 ⋅x 4 ⋅ z -2 ⋅y -4 ⋅z 3
Die Darstellung zeigt den Graph
von y=(x-1) 3 . Skizziere den Graph
von
y=x 3
Window: xmin=-3, xmax=3
ymin= -5, ymax=5
(2x -3 - 4y 3 )⋅2x 3 y 2 −3
4 5
a b c
abx c
3 −1
2
3 6
2
84

6)
Die Darstellung zeigt den Graph
von y=x -3 .
Skizziere den Graph von y=x -3 +1
Window: wie oben
Die Darstellung zeigt den Graph
zu y = x -2 .
Skizziere den Graphen zu
y = x -4 .
Bestimme die
Funktionsgleichung zu dem
dargestellten Graph.
Window: wie oben
7) In der Ausgabezeile eines Taschenrechners erscheint die Anzeige:
5.457 E2 . Bestimme den Wert der Zahl (kreuze das Feld an)
1 ≤ x ≤ 10
10 ≤ x ≤ 100
100 ≤ x ≤ 1000
4
f : y = 3x
- 1 wird in x-Richtung um 3 und in
8) Der Graph der Funktion
y-Richtung um -1 verschoben.
Bestimme die Funktionsgleichung des so verschobenen Graphen.
f1: _________________________
85

Teil 2 - Mit V200
Name: ...........................................................................
n
9) Untersuche die Funktionen f : y = x mit∈ N.
Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede (Skizze!!).
10) Wähle die folgende Fenstereinstellung:
xmin:-0.5, xmax:13.5, ymin: -0.5, ymax: 5.5
Zeichne für x ≥ 0 die Graphen zu:
y = x 2 und y =
1
2
x sowie y = x 3 und y =
1
1
3
x .
Erläutere den Zusammenhang in möglichst allgemeiner Form.
11) Bestimme grafisch die Lösungen der folgenden Gleichung:
(x-2) 2 + 1 = 0.5 x 4
Erkläre, wie du dabei vorgehst.
86

Gleichungen lösen
Aufgabe 1:
Die Lösungsmenge der folgenden
Gleichungen kannst du an den
nebenstehenden Graphen ablesen.
a) - (x - 4) 4 + 5 = 4
L = { }
b) –0.15(x - 6) 5 –1 = 0
L = { }
c) - (x - 4) 4 + 5 = - 0.15(x - 6) 5 –1
L = { }
Aufgabe 2
Löse die folgende Gleichung auf möglichst viele verschiedene Arten (auch
händisch ohne Rechner!).
a) 4x 4 -25x 2 = 3x 2 (x 2 – 3)
b) 0.2(x-5) 4 – 3 = -(x-3) 2 + 2
c)
5 3
1+ x − 1= 2
Aufgabe 3
Stelle möglichst viele Gleichungen
auf, die zu den gegebenen Graphen
gehören können und gib jeweils die
(Näherungs)Lösungen an.
87

Arbeitsblatt Wachstum 1
Aufgabe 1
Frau Merle hat 36 000,- € geerbt und beschließt, angeregt durch die Rentendiskussion, diesen
Betrag für die Aufbesserung der Altersrente für 30 Jahre anzulegen. Die Versicherung
garantiert über diesen Zeitraum einen Zinssatz von 3,4%.
Herr Speitel hat ähnliche Gedanken wie Frau Merle und möchte auch etwas für seine
Altersrente tun. Er entschließt sich, über den gleichen Zeitraum von 30 Jahren jährlich 1200 €
auf ein Konto bei einer Versicherung einzuzahlen. Die Einzahlungen werden, garantiert für
die Laufzeit des Sparvertrages, mit 3,4% verzinst.
Beurteile beide Anlageformen.
Aufgabe 2
• Frau Merle hat sich ausgerechnet, dass ihr zur Aufbesserung ihrer in 30 Jahren zu
erwartenden Rente ein Betrag von 64000 € ausreicht. Entwickle verschiedene
Sparmodelle, so dass Frau Merle nach 30 Jahren Laufzeit des Sparvertrages etwa
64000 € besitzt.
• Herrn Speitel reicht das erzielte Kapital von 64000 € nach 30 Jahren Laufzeit nicht.
Variiere die Parameter in seiner Anlageform, so dass er sein Ziel – 90000 € - erreichen
kann.
Aufgabe 3
Herr S. will eine Hypothek in Höhe von 210 000,00 € bei der Bank aufnehmen. Die Bank
schlägt ihm ein Vertrag vor: 1% Tilgung und 6,7% Zinsen. Die Zinsen werden jeweils
nachschüssig auf die Restschuld berechnet.
Erstelle einen Rückzahlungsplan, aus dem neben der Restschuld die jährlichen Tilgungsraten
und die Zinsen, die Summe von beiden nennt man Annuität, hervorgehen.
Aufgabe 3b
Variiere die Parameter Zinssatz und Tilgungsrate. Beschreibe die Wirkung der
Veränderungen auf die Summe der Zinsen.
Aufgabe 4
Frau Karaban möchte ihrem Enkel, der in fünf Jahren Abitur machen wird, zu diesem
Ereignis einen Geldbetrag schenken. Sie will deshalb monatlich 100,- € ansparen. Folgende
Anlagemöglichkeiten stehen ihr zur Verfügung:
• Sie schließt mit der Bank einen Sparvertrag ab, bei dem sie über das Geld während der
fünf Jahre nicht verfügen kann und die Summe der Einzahlungen pro Jahr mit 2,9%
verzinst wird. Die Zinsen werden dem Kapital jeweils zugeschlagen.
• Sie will sich nicht durch einen Vertrag mit der Bank festlegen lassen und verzichtet
auf die Zinsen, die ihr viel zu niedrig erscheinen.
Beurteile beide Anlageformen.
88

Arbeitsblatt Wachstum 2
Aufgabe 1
Herr D. raucht täglich zwei Zigarren. Mit jeder Zigarre führt er seinem Körper 2,5 mg Nikotin
zu. Allerdings wird im Laufe des Tages 40% der vorhandenen Menge wieder abgebaut.
a) Beschreibe die Entwicklung des Nikotingehalts in seinem Körper.
b) Variiere die Parameter und beschreibe die Wirkungen der Veränderungen.
Aufgabe 2
Die Abkühlung einer erhitzten Flüssigkeit wurde untersucht. Die Messungen sind in der
Tabelle dargestellt.
Zeit in Minuten 0 5 10
Temperatur in °C 92 71,3 56,4
Die Außentemperatur blieb während der Messung konstant und betrug 18°C.
Bestimme die Zeit, nach der der Abkühlungsvorgang praktisch abgeschlossen ist.
Aufgabe 3
Nach zahlreichen Ermahnungen durch ihren Lehrer hat Frauke beschlossen täglich 15 neue
Vokabeln in Französisch zu lernen. Schon bald hat sie festgestellt, dass sie 20% der insgesamt
neu gelernten Vokabeln am nächsten Tag schon nicht mehr weiß. Sie lässt sich aber durch
diese Erkenntnis nicht entmutigen und lernt 6 Wochen lang täglich 15 Vokabeln.
Die Anzahl der sicher gelernten Vokabeln nennt man Wortschatz.
Bestimme den Wortschatz in Französisch von Frauke nach dieser Zeit.
Aufgabe 3b
Führe ein Experiment zur Lernfähigkeit mit älteren Personen in deinem Bekanntenkreis durch
und bestimme das Maß der Vergesslichkeit als Prozentzahl. Untersuche danach anhand des
Lösungsweges von Aufgabe 3 die Konsequenzen für den Wortschatz bzw. die Merkfähigkeit
der Personen.
Aufgabe 4
In einem Schmetterlingshaus werden zu Beginn der Saison 10 000 Schmetterlingspuppen
ausgesetzt. Man weiß, dass pro Tag 10% der vorhandenen Puppen sich in Schmetterlinge
verwandeln. Zum Saisonbeginn befinden sich noch 200 Schmetterlinge im Schmetterlingshaus.
Aus Erfahrung weiß man, dass pro Tag etwa 5% der insgesamt vorhandenen
Schmetterlinge sterben.
1. Beschreibe verbal den Verlauf des Schmetterlingsbestandes und stelle ihn qualitativ
mit einer Graphik dar.
2. Beschreibe den Verlauf des Schmetterlingsbestandes quantitativ durch eine Funktion.
3. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem man das Schmetterlingshaus besuchen sollte, wenn
man möglichst viele Schmetterlinge sehen möchte.
4. Überlege Maßnahmen, mit denen man längerfristig einen möglichst gleichmäßigen
Bestand von Schmetterlingen erreichen kann.
89

Mathematik-Arbeit Nr. 2 10c 9.12.2005
Wachstum und Zerfall, Gleichungen B
Name:_____________________________________________
Note 1 2 3 4 5 6
Anzahl
1) Eine Bakterienkultur wächst jede Stunde um 8%. Wenn am Anfang 50 000 Bakterien
vorhanden sind, wie viele sind es nach 7 Stunden?
Wie viele Stunden dauert es, bis die Zahl auf 200 000 angestiegen ist?
2) Angenommen, die Bevölkerung einer Stadt wächst exponentiell. Im Jahre 1970 hatte
die Stadt 35000 Einwohner, im Jahr 1990 waren es 51 000 Einwohner.
a) Wie viele werden es voraussichtlich im Jahr 2010 sein?
b) Wann wird die Einwohnerzahl dieser Stadt über 100 000 hinaus wachsen?
c) Stelle die Bevölkerungsentwicklung graphisch dar.
3) Für die folgenden Graphen ist eine Funktionsgleichung gesucht.
90

4) Die folgenden Gleichungen sind händisch zu lösen, also bitte die Zwischenschritte
angeben.
a) (20x – 2) 3 – 27 = 0 b) 3 2 x + 25 − 5 = 0
5) Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung und dokumentiere deinen
Lösungsweg. (Der Solve-Befehl ist verboten, es sind alternative Lösungsmethoden
gefragt!)
3 4
( x−1) − 2 = −( x−
3) + 2
6) Der Lachsbestand in der Elbe hat sich in den letzten Jahrzehnten drastisch verschlechtert.
Gründe dafür sind die schlechte Wasserqualität und die ungenügenden
Möglichkeiten flussaufwärts zu schwimmen, um geeignete Laichplätze zu erreichen.
Diese Situation hat zu einem jährlichen Schwund von (fiktiven) 10% geführt. Seit einiger
Zeit haben Angler Gegenmaßnahmen ergriffen. Sie züchten Lachse und setzen
jährlich ca. 1000 Tiere im Fluss aus.
a) Es gibt zur Zeit 6000 Lachse. Untersuche die Entwicklung des Lachsbestandes.
b) Der wachsende Lachsbestand ist auch anderen Anglern nicht entgangen, die
daraufhin wieder vermehrt angeln. Jährlich werden 1500 Lachse gefangen.
Wie entwickelt sich die Population, wenn der Bestand inzwischen auf 10000 Tiere
angestiegen war? Sterben die Lachse aus? Wenn ja, wann?
c) Inzwischen ist der Bestand auf 5000 Lachse gesunken und es sollen Fanquoten
festgelegt werden. Wie viele Lachse dürfen jährlich geangelt werden, damit der
Bestand nicht weiter sinkt? (Nach wie vor werden jährlich 1000 Jungtiere eingesetzt.)
91

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
Unterrichtseinheit Trigonometrie
(gem. Lehrplan):
Thema der Stunde(n): Graphen und Gleichungen
Klasse/Jahrgangsstufe: 10
Ziel der UE
(inkl. Mehrwert durch
Nutzung dig. Medien)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: x x
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: x
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Klausur UE
Bitte ankreuzen: x x x
Schule:
Schulform:
Ort:
Ansprechpartner,
e-Mail:
Datum:
Didaktik/Methodik
(optional)
Hartmut Kümmel
hartmut.kuemmel.biedenkopf@t-online.de
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Bitte ankreuzen: x x
Bitte ankreuzen:
Sonstiges:
Einzelarbeit
Partnerarbeit
Gruppenarbeit
Transfer
Projekt

M10+: Gleichungen und Graphen trigonometrischer Funktionen 1
Graphen und Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen (1)
Achte zuerst auf die Einstellungen der Betriebsart im MODE-Menü. Die untere Zeile im
Display gibt einen Teil dieser Einstellungen an. APPROX bedeutet, dass der TI89.. wie ein
gewöhnlicher Taschrechner mit Dezimalzahlen rechnet. Im Unterricht wird ein Durchgang
durch die Einstellungen des Mode-Menü gezeigt und Wichtiges hervorgehoben – aufgrund
der weitreichenden Möglichkeiten des TI-CAS wirst Du nur einen Teil davon verstehen.
1. Lasse einige Sinus-Kurven zeichnen
a) Gib die Funktionsterme ein und lasse die
Kurven zeichnen. Unter Style kannst Du
für jede Kurve verschiedene Hervorhebungen
mit dicken Linien usw. einstellen.
Abb.1: y-Editor-Fenster
b) Ordne die Funktionsterme y1(x), y2(x) und
y3(x) den Kurven in Abb.2 zu. Welcher
Funktionsterm gehört zu welcher Kurve?
(Kennzeichne die Kurven mit y1(x) usw.)
c) Welche Nullstellen hat Funktion y3(x) im
Vergleich zur Sinus-Kurve? Wie hängt die
Lage dieser Nullstellen mit dem Faktor bei
x zusammen?
d) Wie hängt die Form der Kurven mit dem
Faktor vor dem sin()-Ausdruck zusammen?
2. Erzeuge einige Sinus-Kurven
Verwerte die Erfahrungen aus Aufg.1 für das
Bild in Abb.3. Überlege, welche Terme definiert
werden müssen. Wähle als dick gezogene
Bezugsfunktion: y1(x)=sin(π/2*x)
3. Was fällt bei den Kurven auf?
Beschreibe die Lage der Nullstellen, der Maxima
und der Minima im Vergleich zur sin(x)-
Kurve. Zeichne das Bild in Deine Unterlagen
auf Karopapier. Warum ist das "komfortabel"
im Vergleich zur sin(x)-Kurve?
Wähle im Graph-Fenster Zoom.ZoomDec und
setze unter Punkt Zoom.SetFactors die Faktoren
auf 2. Wähle dann Zoom-ZoomIn und
setze das Zentrum auf xc=2 und yc=0.
Abb.2: Graph-Fenster
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
Abb.3: Graph-Fenster
Antworte ggf. auch auf der Rückseite �
Graphen&FktTerme&TI.doc [(c) H.Kümmel, Dez2006] Stand: 06.04.2007
93

M10+: Gleichungen und Graphen trigonometrischer Funktionen 2
Graphen und Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen (2)
4. Analysiere weitere Sinus-Kurven
a) Stelle mit dem TI89.. den Graphen
zur Funktion y1(x)=1.5*sin(x) als dick
gezogene Kurve dar.
b) Ordne die Funktionsterme
y2(x)=1.5*sin(x-1) und
y3(x)=1.5*sin(x-2)
den Kurven in Abb.4 zu.
(Kennzeichne die Kurven mit y1(x) usw.)
c) Welcher Funktionsterm gehört zum
verbleibenden Graphen
y4(x)= ..............................................
d) Erkläre, wie der Graph einer Funktion der
Form f(x)=1.5*sin(x+c) im Vergleich zur
in a) definierten Funktion y1(x) aussieht.
Wie hängt die Lage der Nullstellen mit
dem Wert des Summanden c zusammen?
e) Beschreibe die Lage der der Maxima und
Minima im Vergleich zur sin(x)-Kurve.
Wie wirkt sich c auf den Graphen aus?
6. Analyse weiterer Sinus-Kurven
Abb.5 zeigt einige im y-Editor des TI-CAS-
Rechners definierte Funktionsterme
Abb.5: y-Editor-Fenster
a) Erzeuge die Grafik in Abb.6. Ordne den
Kurven zur Abbildung passende Attribute
(Line, Dot, Thick) zu und kennzeichne die
Kurven in der Abbildung mit y1(x) usw.
b) Erkläre, wie der Graph einer Funktion der
Form f(x)=1.5*sin(b·x) im Vergleich zur
in a) definierten Funktion y1(x) aussieht.
c) Beschreibe die Lage der Nullstellen, Maxima
und Minima im Vergleich zu y1(x)
Abb.4: Graph-Fenster
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
Abb.6: Graph-Fenster
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
Graphen&FktTerme&TI.doc [(c) H.Kümmel, Dez2006] Stand: 06.04.2007
94

M10d Klassenarbeit Nr.2: Trigonometrie und Gleichungssysteme 2
Aufg.3. Verschiedene Methoden zum Lösen einer Gleichung
Gegeben ist die Gleichung 3 ⋅ Cos(
x)
= 2.
Ermittle die Lösungen nach der Anleitung.
3 a) Näherungsweise Lösung mit Hilfe von Funktions-Graphen
Formuliere, auf welche Weise ein
Schnittproblem die Lösungen liefert.
(Antwort auf der Rückseite formulieren)
Der Graph zu f( x)
= 3⋅
cos( x)
ist bereits
gezeichnet. Ermittle Näherungswerte
für die ersten drei positiven
Lösungen (im Bogenmaß):
x1 = ......................................
x 2 = ......................................
x 3 = ......................................
3 b) Näherungsweise Lösung mit Hilfe von Kreis-Konstruktionen
Erkläre, auf welche Weise eine Kreis-
Konstruktion die Lösungen liefert.
(Antwort auf der Rückseite formulieren)
Ermittle Näherungswerte für die ersten vier
positiven Lösungen (im Gradmaß).
ϕ 1 = ......................................
ϕ 2 = ......................................
ϕ 3 = ......................................
ϕ 4 = ......................................
Vergleiche die Ergebnisse mit Deinen
Lösungen in Aufgabe 2. Die Winkelmaße sind
passend umzurechnen.
3 c) Numerische Lösung mit dem Taschenrechner
Stelle die Gleichung so um, dass nur der Winkel zu einem gegebenen Kosinus-Wert gesucht
ist. Dann findest Du eine Antwort für ϕ 1 mit der ArcCos-Funktion (oft mit Taste [cos –1 ] o.ä.)
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Wie findest Du die weiteren Lösungen ϕ 2 und ϕ 3 (im aktuell gewählten Winkelmaß)?
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Kla2GlSysteme&Trigonometrie06XX.doc [H.Kümmel, Dez2006] Stand: 12.06.2007
95

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit Exponentialfunktion und Trigonometrische Funktion in der Anwendung
(gem. Lehrplan):
Thema der Stunde(n): Klanganalyse
Klasse/Jahrgangsstufe: 10
Ziel der UE
(inkl. Mehrwert durch
Nutzung dig. Medien)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: x x x x
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: x
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Klausur UE
Bitte ankreuzen: x x x
Schule:
Schulform:
Ort:
Ansprechpartner,
e-Mail:
Datum:
Didaktik/Methodik
(optional)
Hartmut Kümmel
hartmut.kuemmel.biedenkopf@t-online.de
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Transfer
Bitte ankreuzen: x x x
EinzelPartnerGruppen- Projekt
arbeitarbeitarbeit Bitte ankreuzen: x x x
Sonstiges:

Musik, Musik, Musik, . . .
” Musik“
SINUS-Transfer LTS
Eigentlich sollte es ja eine Unterrichtseinheit werden zum Thema ” Kunst und Mathematik“
–
eigentlich ist so etwas schon lange geplant,
eigentlich hat jeder von uns Pläne für Unterrichtsreihen zum Thema ” ... und Mathematik“
in der Schublade,
eigentlich zeigen viele Beobachtungen, dass Lehrer, die mit Freude/Engagement auch
einmal ” etwas abgedrehtere Themen“ im Unterricht behandeln bei ihren Schülern Freude
an Mathematik und Engagement für den Mathematikunterricht befördern.
Tatsächlich aber holt uns meist der Alltagund die Schulwirklichkeit ein: der Lehrplan
drückt, die nächste Klassenarbeit dräut; vielleicht sind das aber auch nur die Ausreden,
die naheliegen . . .
Hätte es etwas mehr Zeit gegeben, so hätte man (wie an anderer Stelle ausprobiert)
wesentlich mehr machen können:
Dann hätte man vielleicht mit dem schööönsten“ Rechteck angefangen (zeichnen, mes-
”
sen) und wäre beim Goldenen Schnitt gelandet. Diesen hätte man dann u. a. durch
seinen Kettenbruch dargestellt (merke: das schööönste Rechteck hat den schööönsten
”
Kettenbruch“; zur Erinnerung – oder als Anregung, sich damit zu beschäftigen – der
Goldene Schnitt φ = 1
2 (1 + √ 5) hat die Kettenbruchdarstellung φ =[1;1, 1, 1,...]).
Kettenbrüche hatten wir in dieser Lerngruppe in einem Studientag“ im vorigen Schul-
”
jahr bearbeitet – eigentlich wäre dies dann ein naheliegendes Wiederaufgreifen gewesen
...
Was könnte man nicht alles Schönes machen, wenn . . .
Die (nachträgliche) Bechreibung der Unterrichtseinheit lässt sie aufwändiger erscheinen als sie war.
Aus anderen Zusammenhängen waren Folien vorhanden, die zur Erleuchtung“ der (physikalischen,
”
musikalischen) Grundlagen hereingegeben wurden.
Die Beschreibungsoll primär keine Protokollierungsein. Sondern sie soll Lust machen, etwas Ähnliches
auszuprobieren (und das dann erfolgreicher als Projelt durchzuführen).
Nach den vielen Konjunktiven zur schnöden Wirklichkeit.
1 Lernvoraussetzungen
In dieser 10. Klasse sind die Potenzfunktionen und die Potenzrechnungbehandelt, die trigonometrischen
Funktionen eingeführt und Berechnungen am Dreieck durchgeführt.
Das Thema Bewegungen im Koordinatensystem“ sollte nach Beschluss des Jahrgangsteams für
”
die Vergleichsarbeit am Ende des Schuljahres an Hand der trigonometrische Funktionen (wieder)
aufgegriffen werden – hierzu sollte die kurze Unterrichtseinheit (u. a. unter Einsatz des TI-Systems)
dienen. Exponential- und Logarithmusfunktionen sind noch nicht behandelt und kommen später
dran.
97

2 Einstieg
–2–
” Musik“
Franziska spielt (zur Überraschungihrer Mitschüler) ein paar Stücke auf der Gitarre (aus der
Musikabteilungder Schule, das Ausleihen hat Franziska selbständigorganisiert). Mit Alexander
outet sich ein weiterer Gitarrespieler und präsentiert (trotz Verletzungam Finger) ein paar weitere
Takte.
Was ” ist“ ein Ton? Es fallen die Begriffe ” Schwingung“, ” Frequenz“ und ” Wellenlänge“ im Zusammenhangmit
” Ton“, ” Klang“, ” Geräusch“, ” Knall“:
Ton KlangGeräusch Knall
3 Was schwingt denn da?
Die schwingende Saite (oder auch die Flöte) sind bekannte Beispiele für schwingende ” Tonerzeuger“;
die Saite lässt sich gut mit einem (permanent in Schwingung versetzten) Springseil verdeutlichen:
schwingende Saite (stehende Welle)
Beispiel: für Saitenlänge L =1.5m −→ Wellenlänge λ0 =3m,
−→ Frequenz ν0 = 100 Hz, falls (näherungsweise) Schallgeschwindigkeit c = λ0 · ν0 = 300 m/s
Bei der Gitarre ist die Saitenlänge etwas halb so gross (Überschlag), die Tonhöhe ist also tatsächlich
in der richtigen Größenordnung (Kammerton a: 440 Hz; genauere Messungen folgen gleich).
Bei der Flöte (Orgelpfeife) muss man unterscheiden, ob am Ende ein Schwingungsbauch“ oder ein
”
” Schwingungsknoten“ ist:
98

–3–
offene Pfeife
” gedackte“ Pfeife
In der Pfeife hat man Bereiche mit großen und mit geringen Dichteschwankungen:
4Konsonanz (Wohlklang)
” Musik“
Der Ton eines Musikinstruments besteht praktisch nie aus einer reinen, sinusförmigen Schwingung
(das ergäbe auch einen langweiligen Klang). Es sind immer Obertöne dabei: bei der schwingenden
Saite kann eine stehende Welle sich ja nicht nur mit einem, sondern auch mit zwei, drei, . . .
Schwingungsbäuchen ausbilden:
Grundton 1. Oberton 2. Oberton
Diese Obertöne klingen (mit dem Grundton zusammen) besonders harmonisch – ein Tönesystem
muss also besonders auf diese Töne ” Rücksicht“ nehmen, d. h. diese Töne besonders gut beschreiben.
Der erste Oberton ist der mit doppelter Frequenz. Man nennt ihn wie bekannt Oktave und gibt ihm
in unserem Tönesystem den gleichen Namen wie dem Grundton (mit einer Markierung, z. B. einem
Strich ( ′ ), zur absoluten Tonhöhenfestlegung). Offensichtlich erreicht man (bei der Gitarre) diesen
Ton auch, in dem man die Saitenlänge halbiert (durch ” Abklemmen“ der Saite mit dem Finger).
Der nächste Oberton hat die dreifache Frequenz wie der Grundton. Dies würde man durch eine
Drittelungder Saite auch erreichen: bei Saiteninstrumenten klingen so starkt verkürzte (schwingungsfähige
Teile der) Saiten aber i. A. sehr ” schräg“. Den gleiche Ton, nur eine Oktave tiefer,
erhält man aber auch, wenn man die Saite auf 2/3 ihrer Länge verkürzt:
ν2 =3· ν0 ∼ = 3
2 ν0
Durch Halbierungder Frequenz wird der Ton also in die ursprüngliche Lage“ (Oktave) transfor-
”
miert.
Man erhält für die ersten Obertöne:
ν0
Grundton
Oktave
ν1 =2· ν0
ν2 =3· ν0 ∼ = 3
2 · ν0 Quinte
ν3 =4· ν0 ∼ = 2 · ν0 Oktave
ν4 =5· ν0 ∼ = 5
4 · ν0 Terz
ν5 =6· ν0 ∼ = 3 2 · ν0 Quinte
99

–4–
” Musik“
Ein Tönesystem muss also die Oktave, die Quinte und die Terz ” besonders gut wiedergeben“; bzw.
es muss die Frequenzverhältnisse 2/1, 3/2 und 5/4 ” besonders gut wiedergeben“.
5 Vermessung der Gitarre
Zurück zur Klasse 10E: jetzt wird erst einmal die Gitarre vermessen, um so experimentell die Stimmungfestzustellen.
Es wird mit Maßband (bzw. Geodreieck) die Länge des frei schwingenden Teils
der Saite (bzw. die Länge der schwingenden Luftsäule in den zusätzlich mitgebrachten Blockflöten)
gemessen, d. h. der Abstand vom Steg zum jeweiligen Bundstab:
aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Gitarre [8.4.2007]
unsere (Schul-)Gitarre: bereit zur Vermessung
Die Ergebnisse werden in eine Tabelle eingetragen (Arbeitsblatt: siehe Anhang). Sie sind durchaus
im Rahmen der zu erwartenden Genauigkeit – das sehen die Schüler allerdings zunächst nicht: ihre
Erwartungen an einfache physikalische Messungen sind offensichtlich auf fünf Stellen Genauigkeit
nach dem Komma geprägt – und das mit dem Maßband aus Mutters Nähkästchen! (Die Messungen
an den Blockflöten geben allerdings nicht so viel her. Die Löcher sind im Verhältnis zum Lochabstand
groß. Wo genau ist der Anfang, wo ist das Ende der schwingenden Luftsäule? Vielleicht sollte
man auf diese Messungen verzichten, um die Schüler nicht zu enttäuschen.)
6 Die harmonische Stimmung
Die (ursprüngliche?) pythagoräische Stimmungwar im Mittelalter gebräuchlich. Sie setzt alle Ganztonschritte
auf 8/9, alle Halbtonschritte auf 256/243; es entstehen komplizierter Brüche als bei der
100

–5–
” Musik“
harmonischen Stimmung. Diese ist eine Möglichkeit, die ” Unzulänglichkeiten“ einer reinen ” Quintenstimmung“
auszugleichen. Für die Dur-Tonleiter (hier am Beispiel C-Dur) sind die folgenden
(Frequenz-)Verhältnisse festgesetzt:
c d e f g a h c’
1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
24/24 27/24 30/24 32/24 36/24 40/24 45/24 48/24
1.000 1.125 1.250 1.333 1.500 1.667 1.875 2.000
Man erkennt für die Quinte und die Terz die oben (aus den Obertönen) bestimmten Werte wieder.
Aus ” ästhetischen Gründen“ sind alle Brüche auch mit dem gleichen Nenner (24) angegeben;
zusätzlich die Dezimalwerte (auf drei Nachkommastellen gerundet).
Mit dieser Tabelle sind die Messwerte aus dem vorigen Abschnitt zu vergleichen.
7 Unzulänglichkeit der harmonischen Stimmung
Bei der harmonischen Stimmung(und allen Stimmungen dieser Art) bleibt ein ” Rest“, der dazu
führt, dass Instrumente mit unterschiedlicher ” Grundtonart“ nicht perfekt zusammenspielen
können.
Die Problematik macht man sich am besten mit einer Klaviertastatur vor Augen klar; das Klavier
heutiger Art ist aber nicht harmonisch gestimmt (sondern ” temperiert“, s. u.):
Klaviertastatur, cis und des (z. B.) ist die gleiche
Taste zugeordnet
12 Quinten sind ungefähr (d. h. auf dem Klavier) gleich 7 Oktaven. In Klavierschreibweise (die
unterschiedlichen Oktaven nicht berücksichtigt):
c −→ g −→ d −→ a −→ e −→ h −→ fis −→ cis −→ gis −→ dis −→ ais −→ f −→ c
Wenn man richtigmitgezählt hat, ist man jetzt 7 Oktaven weiter wieder beim c angelangt. Man
muss also 2 7 mit (3/2) 12 vergleichen. Der Fehler, den man macht beträgt
27 ( 3/2) 12 = 524288
≈ 0.9865403685
531441
Historisch nähert man diesen Bruch durch
74
≈ 0.9864864865
73
an; 73
74 nennt man das pythagoräische Komma“.
”
Mankannauchsehen,dass
3 große Terzen ≈ 1Oktave(Fehler: ” kleine Diësis“ 125
128 )
bzw.
4 kleine Terzen ≈ 1Oktave(Fehler: ” große Diësis“ 625
648 )
S. und J. haben in ihrem Protokoll (siehe Anhang) versucht, diese Problematik zu verdeutlichen.
101

8 Temperierte Stimmung
–6–
” Musik“
Die (heute) allseits akzeptierte Lösungdes oben geschilderten Problems brachte die temperierte
Stimmung, die man Werckmeister (1691) zuschreibt; populär wurde sie, seit J. S. Bach (1722)
im Wohltemperierten Klavier“ zeigte, dass man mit einem so gestimmten Instrument in allen
”
Tonarten spielen kann.
Die Oktave wird in 12 (multiplikativ) gleichgroße Halbtonschritte eingeteilt. Zusätzlich zu den auf
drei Nachkommastellen gerundeten Näherungswerten sind zum Vergleich nochmal die entsprechenden
Werte der harmonischen Stimmunghinzugefügt (s. o.):
c d e f g a h c’
2 0/12 2 2/12 2 4/12 2 5/12 2 7/12 2 9/12 2 11/12 2 12/12
1.000 1.122 1.260 1.335 1.498 1.682 1.888 2.000
1.000 1.125 1.250 1.333 1.500 1.667 1.875 2.000
9 Arbeitsaufträge
Hier lassen sich in naheliegender Weise viele Arbeitsaufträge für die Schüler einarbeiten:
• Wiederholungder Potenzrechnung,
• absoluter und relativer Fehler,
• Wiederholungder Prozentrechnung,
• Unterschied cis–des (z. B.), eindeutig?
• ...
10 Warum 12 Halbtonschritte?
Diese Frage ist doch naheliegend. Gibt es einen (mathematischen) Grund, dass wir die Oktave
ausgerechnet in 12 Halbtonschritte unterteilen?
Diese Frage wurde im Unterricht nicht angeschnitten. Dabei hätte es nahegelegen (zurück zu den
Konjuktiven der Einleitung): mit Logarithmen hätte man ein (fast) Halbjahr umspannendes Projekt
bearbeiten können. Zumal, wie oben erwähnt, Kettenbrüche in dieser Lerngruppe bereits früher
erarbeitet worden waren.
Einige kurze Andeutungen:
Ein ” perfektes“ Tönesystem müsste mit m Quinten ( ” Quintenzirkel“) exakt n Oktaven
ergeben (oben hatten wir gesehen, dass 12 Quinten ” fast“ 7 Oktaven ergeben – der
Fehler ist das pythagoräische Komma). Es müsste also die Gleichunggelöst werden:
also
( 3
2 )m =2 n
x = ln(3)
− 1
ln(2)
bzw.
3
2 =2x
−→ ln(2 x )=x · ln(2) = ln(3) − ln(2)
102

–7–
Für die Kettenbruchzerlegung für diese (irrationale) Zahl erhält man
x =[0;1, 1, 2, 2, 3, 1, 5,...]
und damit die Näherungsbrüche ( ” beste Näherungen“)
{1, 1
2
3 7
, ,
5 12
, 24
41
31 179
, ,
53 306 ,...}
Eine Einteilungder Oktave in 5 Schritte ist für die Praxis sicherlich zu wenig(obwohl es
solche Tönesysteme gibt); damit ist 7
für die Quinte (also 12-er Einteilungder Oktave)
12
die nächst naheliegende Unterteilung.
Schönberghat Musik geschrieben für eine 53-er Einteilungder Oktave – die 41-er Einteilung
bringt bei fast gleicher Komplexität wenigVorteil.
nach: H.-J. Schmidt: ” Zu Schönberg’s Musiktheorie“, in: alpha, Heft 4(1991)11
11 Stehende Wellen mit dem TI-System
” Musik“
Die Einführung eines neuen Werkzeuges geschieht oft an inhaltlich bereits bekannten/verstandenen
Sachverhalten. Das Imitieren“ eines einfachen Beispiels ist m. E. oft eine bessere Einführungals
”
lange Befehlslisten.
Die graphische Darstellung der sin- und der cos-Funktion gemeinsam im Graphikbildschirm des
TI-Systems wird mit Hilfe des OH-Displays vorgeführt und von die Schülern nachvollzogen. Alle
(für unser Vorhaben) wesentlichen Bedienkonzepte des Systems lassen sich hieran zeigen:
• Einstellung des Berechnungsmodus des Algebra-Subsystems (für uns nicht wesentlich) und
des Winkelmaßes,
• Definition von Funktionstermen (im HOME -Bildschirm),
• Formulierungvon Funktionstermen im graphischen Subsystem nur in Abhängigkeit von der
Variablen x möglich,
• Eingabe und Markierung mehrerer Funktionsterme im Y= -Editor,
• Festlegung und Skalierung des Zeichenbereichs im WINDOW -Editor,
• Standard-Zoom ( ” Zurück-Finden“) und isotrope Darstellung(ZoomSqr),
• Spurverfolgung ( ” Trace“), Wechsel von einem Funktionsgraphen zum nächsten,
viel braucht man hier nicht!
Anschließend wird der Arbeitsauftragerteilt, das Bild einer stehenden Welle“ (wie oben bespro-
”
chen) mit dem TI-System zu reproduzieren. (Arbeitsblatt: siehe Anhang).
103

–8–
” Musik“
Hierbei geht es natürlich nicht nur um das Handling“ des Systems. Die Bedeutung des die Ampli-
”
tude der sin-Funktion bestimmenden Faktors soll verinnerlicht werden.
Durch die zweite Aufgabe auf dem Arbeitsblatt soll dieser Zusammenhang nahegelegt werden. Es
wird (vom Lehrer) explizit darauf hingewiesen, dass die beiden Aufgaben auf dem Arbeitsblatt als
” Einheit“ zu sehen sind und gemeinsam erarbeitet werden sollen.
Ein sehr gelungenes (und liebevoll mit nicht von der Schule bereitgestellen Werkzeugen ausgestaltetes)
Beispiel stellt das Protokoll von A., V. und S. dar (siehe Anlage).
M. E. zeigt sich bei Aufgabenstellungen dieser Art sehr schön ein Vorteil des TI-Systems: die Aufgabenstellung
ist offen genug, um die Mehrheit der Schüler zu reizen. Es gibt keine richtige“ Lösung
”
(der Lehrer hat auch später nicht verraten, welche Funktionsterme er in sein System eingegeben
hatte).
Andererseits ist die Offenheit auch nicht zu groß: der Graph der sin-Funktion ist den Schülern
bekannt. An früheren Beispielen (speziell bei Parabeln) ist die Bedeutungder Parameter für die
Lage des Graphen im Koordinatensystem diskutiert worden, speziell die Streckung (in a2-Richtung)
durch einen (multiplikativen) Vorfaktor.
Hier konnte, im besten Sinne, experimentelle Mathematik“ betrieben werden. Das graphische Sub-
”
system der TI-Systeme ermöglicht es, ausreichend schnell Antworten auf Parameter-Experimente“
”
zu erhalten.
Das Algebra-Subsystem wurde bei dieser Unterichtseinheit nicht benötigt.
12 Wie entsteht ein ” Klang“?
Wie oben angedeutet, entsteht ein ” Klang“ durch Überlagerung verschiedener (reiner) Töne, durch
Überlagerung verschiedener sin-Funktionen:
Klang ←− Überlagerung von Tönen (Grundton – Obertöne)
Man muss also (mathematisch) in der Lage sein, trigonometrische Funktionen mit unterschiedlichen
Frequenzen, mit unterschiedlichen Amplituden und gegenüber der ” Normallage“ verschoben
produzieren zu können.
Die Aufgabenstellung soll hier wiederholt werden:
Aufgabe: f(x) =a · sin(b · x + c)+d – welche Bedeutunghaben die Parameter a, b, c
bzw. d für das Aussehen des Funktionsgraphen?
Beschreibe knapp Dein Vorgehen!
104

–9–
Gib dazu Tabellen und Skizzen (von Graphen) an!
Das Ergebnis Deiner Untersuchungen soll in einem Merksatz“ zusammengefasst wer-
”
den!
” Musik“
Diese Aufgabenstellung ist ähnlich wie die vorige angelegt. Der Unterschied für die Schüler liegt in
der ” Komplexität“ (bei den PISA-Kompetenzdefinitionen: ” Mehrschrittigkeit“): Die Aufgabenstellungbeinhaltet
vier unabhängige Parameter (a, b, c, d).
(Natur-)wissenschaftliches Arbeiten lernen heißt, lernen, wie man mit solchen Situationen umgeht:
alle Parameter bis auf einen festhalten, nur diesen variieren, . . .
Viele Schüler waren überfordert mit dieser Aufgabenstellung. Individuelle Betreuung hilft – vor
allem, wenn sie durch Mitschüler geschieht. So können offenere Aufgabenstellungen Selbständigkeit
der Schüler und ihre Kooperation fördern.
Das oben schon erwähnte Protokoll von A., V. und S. (siehe Anlage) zeigt einige Möglichkeiten, die
diese Aufgabenstellung bietet. Sie sind ohne den Einsatz von elektronischen Medien so sicherlich
nicht zu erreichen.
105

Musik - Musik - Musik
Information:
1. Die C-Dur-Tonleiter kennt jeder:
c - d - e - f - g - a - h - c'
2. Entsprechend die A-Dur-Tonleiter:
a - h - cis - d - e - fis - gis - a'
3. Der "Kammerton" a hat eine Frequenz von 440 Hz
4. Die "Quintenfolge" beginnt:
5. c → g → d → a → e → h → !
Fülle die Tabelle aus!
Dabei bedeutet:
L : Länge der unverkürzten Saite
" : Länge des schwingenden Teils der Saite
⎛ " ⎞
⎜
:Verhältnis der experimentellen Werte
⎝ L⎠
⎛ " ⎞
⎜
⎝ L⎠
⎟ exp.
⎟ harm.
: Werte nach der temperierten Stimmung (Bruch, Dezimalzahl)
⎛ " ⎞
⎜ ⎟ : Werte nach der temperierten Stimmung
⎝ L⎠
temp.
f : Frequenz
23.1.2006
MATH10E
Ton
"
cm
a h cis d e fis gis a'
⎛ " ⎞
⎜
⎝ L⎠
1
⎛ " ⎞
⎜
⎝ L⎠
⎛ " ⎞
⎜
⎝ L⎠
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
f
⎟ exp.
⎟ harm.
⎟ temp.
⎞
⎟
⎠
Hz harm.
f
⎞
⎟
⎠
Hz temp.
1
1
440
440
Die "Quintenfolge" sagt, wie man z.B. von A-Dur nach H-Dur kommt. Berechne damit die Frequenz von h (in die
"richtige" Oktave zurückrechnen). Vergleiche mit den Werten der Tabelle.
⎛
⎜
⎝
f
⎞
⎟ = …
⎠
Hz h,Quinten
106

Frequenzberechnung:
g � Wie lautet die Frequenz?
Protokoll von Mathestunde : 31.01.2006
� Finde „Weg“ zum g.
Weg 1:
Quart Quart
a ----------> d ---------> g
440 Hz * 32/24 � d
440 Hz * 32/24 * 32/24 = 440 Hz * (32/24)² � ½ *440 Hz * (32/24)²
↑ eine Oktave zu hoch, deshalb �↑
� Ergebnis: Vg ≈ 391 Hz.
Weg 2:
Von: a ---------> g
Sek. Sext
a ---------> h ---------> g
440 Hz * 27/24 * 40/24 ≈ 412 Hz ≠ 391 Hz.
� Frequenz eines Tones hängt ab vom „Weg“ dahin.
„Temperierte Stimmung“
Verteile 12 Halbtöne gleichmäßig auf eine Oktave, d.h. teile 2 in 12 gleichmäßige Faktoren.
12
Gleichung => q = 2 ( q = gleichmäßiger Faktor)
d.h.: Vom a ---> h = 2 Halbtöne, also : 440 Hz * q² = …
Wie groß ist q?
=> q = 12 Wurzel aus 2 = 2 & 1/12
S. und J.
107

Parameter trigonometrischer Funktionen
Aufgabe 1: Verdeutliche eine stehende Welle mit dem TI-System.
Auf Deinem Rechner soll ein ” Bild“ wie das untenstehend abgebildete dargestellt werden.
3.2.2006
MATH10E
❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡❡
Aufgabe 2: f(x) =a · sin(b · x + c)+d – welche Bedeutunghaben die Parameter a, b, c bzw. d
für das Aussehen des Funktionsgraphen?
Beschreibe knapp Dein Vorgehen!
Gib dazu Tabellen und Skizzen (von Graphen) an!
Das Ergebnis Deiner Untersuchungen soll in einem Merksatz“ zusammengefasst werden!
”
108

Protokoll vom 03.02.06 und 07.02.06
Parameter trigonometrischer Funktionen
Zum Einstieg in das TI-System haben wir uns mit den Aufgaben vom Arbeitsblatt beschäftigt:
Aufgabe 1: Stehende Welle
-Benutzung des Y-Editors (Taste: Y=), wo man die Standardkurve der Sinusfunktion
Y1=sin(x) verändert:
Y1 = sin (x)
Y2 = -sin (x)
Y3 = 1/5 * sin (x)
Y4 = - 1/5 * sin (x)
Y5 = 2/5 * sin (x)
Y6 = - 2/5 * sin (x)
Y7 = 3/5 * sin (x)
Y8 = - 3/5 * sin (x)
Y9 = 4/5 * sin (x)
Y10= - 4/5 * sin (x)
- Nun kann man die Figur zeichnen lassen:
109

Aufgabe 2: Bedeutung der Parameter
Die Parameter a, b, c, und d geben Veränderungen der Sinus-Kurve an.
Um ihre Bedeutung herauszufinden, haben wir in die Gleichung
F(x) = a * Sin (b * x + c) + d nacheinander verschiede Zahlen eingesetzt:
a= Streckung/Stauchung des Graphen in a2-Richtung, Spiegelung des Graphen
a ist in der Normalkurve =1
a ist der Streckfaktor der Funktion:
Wenn a zwischen 1 und 0 liegt, wird die Kurve gestaucht
Wenn a größer als 1 ist, wird die Kurve gestreckt
Dabei ändert sich die Amplitude (der maximale Ausschlag).
Wenn a negativ ist, wird der gesamte Graph um die X-Achse gespiegelt, also umgekehrt
dargestellt
b = (horizontale) Streckung/Stauchung des Graphen in a1-Richtung
b ist in der Normalkurve = 1
Wenn b zwischen 1 und 0 liegt, wird die Kurve gestreckt
Wenn b größer als 1 ist, wird die Kurve gestaucht
� Effekt: die Periodenlänge wird mit 1/b gestreckt 2*Pi
b
110

c = Verschiebung des Graphen in Richtung der negativen a1-Achse
c ist in der Normalkurve = 0
wenn c allerdings
-negativ ist, verschiebt sich der Graph nach rechts
-positiv ist, verschiebt sich der Graph nach links
d = Verschiebung des Graphen in Richtung der positiven a2-Achse
d ist in der Normalkurve = 0
wenn d allerdings
-negativ ist, verschiebt sich der Graph an der a2-Achse nach unten
-positiv ist, verschiebt sich der Graph an der a2-Achse nach oben
Von A., V. & S.
111

Lehrplan für das Fach Mathematik
mit einem Computer-Algebra-System (CAS)
an allgemeinbildenden Gymnasien
in Baden-Württemberg
Hinweise:
Klassenstufe 11 und Kursstufe
Das CAS kann wahlweise ab Klassenstufe 11 oder 12 eingesetzt werden.
Vorlage für diesen Lehrplan ist der Lehrplan für die Klassenstufe 11 und die Kursstufe des
Gymnasiums im Fach Mathematik mit einem grafikfähigen Taschenrechner. Die Inhalte der
beiden Lehrpläne sind so abgestimmt, dass für beide Unterrichtsgänge gleiche Grundkompetenzen
erworben werden können.
112

VORBEMERKUNGEN
Im traditionellen Mathematikunterricht besitzen die Vermittlung und die Anwendung von Kalkülen
ein wesentlich größeres Gewicht als das Entdecken und das Verstehen zentraler Inhalte und
Problemlösungen. Um die allgemein bildende Funktion des Unterrichtsfaches Mathematik wirksam zu
entfalten, möchte der vorliegende Lehrplan dagegen die formal bestimmte Mathematik wie die
anwendungs- und problemlöseorientierte Mathematik in gleicher Weise zur Geltung bringen.
Unterrichtlich soll dies durch eine Akzentverschiebung weg von “Mathematik als Produkt” hin zu
“Mathematik als Prozess” realisiert werden:
Mathematik als Produkt
- Vermittlung und Anwendung eines Kalküls
- Weitergabe von Wissen, Zusammenhänge
vermitteln
- Abgeschlossenheit anstreben
- Von der Struktur zur Anwendung
- Im vorgegebenen Modell arbeiten
- Isolierte Probleme mit eindeutiger Lösung
- Begriffe vorgeben, Sätze formal beweisen
- Konvergente, ergebnisorientierte
Unterrichtsführung
- Fehler als Zeichen mangelhafter
Produktbeherrschung
Mathematik als Prozess
- Erarbeitung des und Einsicht in den Kalkül
- Aufbau von Wissen, Zusammenhänge
entdecken
- Offenheit bewusst zulassen
- Vom Problem zur Struktur
- Realität modellieren
- Vernetzte Problemfelder mit vielfältigen
Lösungen
- Begriffe entwickeln, Sätze finden, plausibel
begründen
- Offene prozessorientierte Unterrichtsführung
- Fehler als Anlass für konstruktive
Verbesserungen
Die zugehörigen Lehr- und Lernprozesse müssen daher verstärkt von “offenen Problemstellungen”
ausgehen, die das eigenständige mathematische Handeln der Schülerinnen und Schüler herausfordern.
Offene Aufgabenstellungen rücken auch das mathematische Modellbilden und das Interpretieren
formaler Ansätze und Ergebnisse in den Vordergrund. Deshalb müssen auch das sprachliche
Beschreiben von Problemlöseprozessen und die kritische Wertung der gefundenen Ergebnisse einen
deutlich größeren Stellenwert erhalten.
Kreatives experimentelles Entdecken von Problemlösungen und von Zusammenhängen wird durch
eine sachgerechte Anschauung wesentlich unterstützt. In Zukunft soll somit, insbesondere in der
Analysis, die schnelle und einfache Visualisierung eines Sachverhalts am Anfang des Denkprozesses
stehen und nicht als Ergebnis langwieriger Bemühungen am Ende. Damit erhält der Einsatz eines
Rechners zum Plotten von Schaubildern, Lösen von Gleichungen und formalen Operationen mit
mathematischen Objekten besondere Bedeutung. Er ermöglicht, die für das Fach Mathematik
unverzichtbare Kompetenz im Umgang mit Funktionen zu erwerben. Diese umfasst alle in den
Klassen 5 bis 11 behandelten Funktionstypen, ein Teil davon wird in der Kursstufe vertieft behandelt.
Das Vertraut werden mit der grundlegenden Funktionalität des verwendeten CAS erfolgt nicht als
isolierte Unterrichtseinheit sondern im Zusammenhang mit dem jeweiligen Inhalt.
Die Ansätze zum selbstorganisierten Lernen und zur Gewinnung von Methodenkompetenz sollen
verstärkt werden. Der Lehrplan gibt deshalb Hinweise für schülerzentrierten Unterricht und zeigt
Möglichkeiten für eine selbständige Erarbeitung durch die Schülerinnen und Schüler. Dazu gehören
insbesondere die Anregungen für projektorientiertes Arbeiten und selbstorganisiertes Lernen.
Unterrichtsformen, die durch Begriffe wie kumulatives Lernen, problemorientiertes Lernen, Lernen
aus Fehlern und neue Aufgabenkultur gekennzeichnet sind, sollen bevorzugt werden. Dazu tragen
verschiedene Formen der Gruppen- und Teamarbeit sowie der selbstverständliche Einbezug neuer
Medien und Technologien bei. Abwechslungsreiche, auch fächerverbindende Anwendungsaufgaben
ermöglichen eine horizontale wie auch vertikale Vernetzung und fördern so nachhaltiges Verständnis.
113

Gymnasium Mathematik Klasse 11
Lehrplaneinheit 1: Binomialverteilung
Viele Vorgänge, zum Beispiel in der Wirtschaft und im Gesundheitsbereich, lassen sich als Bernoulli-Kette
beschreiben. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler die Binomialverteilung exemplarisch für andere
Wahrscheinlichkeitsverteilungen kennen und bekommen Einblick in die grundsätzlichen Verfahren, Hypothesen zu
testen und zu beurteilen.
Bernoulli-Kette
Binomialverteilung
Testen von Hypothesen
Lehrplaneinheit 2: Funktionen
Jakob Bernoulli (1654 - 1705)
Eine anschauliche Vorstellung vom Begriff
Erwartungswert genügt.
Verzicht auf Einschränkung durch Tabellenwerke
Grafische Darstellung der Verteilung
Veranschaulichung des Fehlers 1. und 2. Art
Die Untersuchung reeller Funktionen ist eine zentrale Aufgabe der Schulmathematik. Bei dieser Einheit handelt es
sich um einen Zugang mit Hilfe eines Computer-Algebra-Systems ohne die Verwendung der Differentialkalküls.
Dabei wird der Funktionsbegriff allgemein geklärt. Das CAS fördert bei diesen Inhalten entdeckendes Lernen.
Ganzrationale Funktionen
Schaubild
Nullstellen
Faktorisieren Nullstellensatz , Nullstellenordnung und Schaubild
Verhalten für x → ∞
Symmetrie Gerade und ungerade Funktionen
Weitere Grundtypen von Funktionen und ihre
charakteristischen Eigenschaften
Bogenmaß
Gedacht ist insbesondere an:
1 1
f(x) = x , f(x) = , f(x) = ,
x 2
x
f(x) = sin(x), f(x) = cos(x),
x +
f(x) = a , f(x) = loga
(x), a ∈ R \ {1}
Skizzieren zugehöriger Schaubilder
Affine Bilder von Funktionen Verschiebung, achsenparallele Streckung
Interpretation als Kurvenscharen
Funktion, Definitionsmenge, Wertemenge
Allgemeiner Funktionsbegriff
Stetigkeit Anschaulicher Zugang genügt
Geraden Als Vorbereitung des Ableitungsbegriffs
Steigungswinkel und Steigung einer Geraden Insbesondere Steigung einer Geraden, die durch zwei
Punkte gegeben ist
Orthogonalität
Bestimmung von Geradengleichungen
114
< 25 >
- 2 -

Gymnasium Mathematik Klasse 11
Lehrplaneinheit 3: Änderungsverhalten, Differenzierbarkeit
Die Schülerinnen und Schüler lernen, wie sich mit Hilfe der Ableitungsfunktion das Änderungsverhalten von Funktionen
quantitativ beschreiben läßt. Die dazu erforderlichen Begriffe werden zunächst anschaulich gewonnen und,
soweit nötig, präzisiert. Mit der Ableitung erschließt sich ihnen ein wirkungsvolles Werkzeug zur Untersuchung
von Funktionen.
Mittlere und momentane Änderungsrate In verschiedenen anwendungsbezogenen Situationen
Unter dem Aspekt der lokalen Änderung, z. B.
Momentangeschwindigkeit, Momentanleistung
Differenzierbarkeit einer Funktion
Tangente und Normale
Ableitung, Ableitungsfunktion
Ableitung der Funktionen mit
k
f(x) = x (k ∈ ZZ ), f (x) = x
f(x) = sin(x), f(x) = cos(x)
Ableitungsregeln für c ⋅ f und f + g
Ableitung der ganzrationalen Funktion
Geometrische Deutung
Verwendung der Sprech- und Schreibweise für Grenzwerte
ohne formale Präzisierung
Gegenbeispiele (auch als Schülerreferate)
Bedeutung von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716),
Isaac Newton (1643 - 1727) und Leonhard Euler (1707 -
1783) für die Entwicklung der Analysis
G, LPE 1: Veränderungen durch Wissenschaft und
Entdeckungen
dy
Schreibweise: f '(x) bzw.
dx
Höhere Ableitungen Deutung von f " in Bezug auf das Änderungsverhalten
von f ' und von f
Bedingungen für Monotonie, Extremstellen und
Wendestellen
Notwendig, hinreichend
Lehrplaneinheit 4: Mathematik in der Praxis: Untersuchung von Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler erkennen, wie wichtig Funktionen für die mathematische Behandlung von
Problemen in Naturwissenschaft, Technik, Gesellschaft und Umwelt sind. Sie verwenden Funktionen für die
Beschreibung funktionaler Abhängigkeiten und deuten Eigenschaften des Funktionsterms und des Schaubilds
anwendungsbezogen. Durch den Einsatz eines CAS können auch realitätsnahe Probleme bearbeitet werden. Es
bieten sich Projektaufgaben an, auch im Hinblick auf die Verkehrs- und Umwelterziehung.
An eine isolierte Behandlung der Lehrplaneinheit ist nicht
gedacht.
Untersuchung von Funktionen in realem Bezug Die Möglichkeiten des CAS sind problemangemessen
einzusetzen (grafische, numerische bzw. symbolische
Lösungen).
Extremalprobleme
Bestimmung ganzrationaler Funktionen mit
vorgegebenen Eigenschaften
< 32 >
Ph, LPE 1: Kinematik einfacher geradliniger
¡
Bewegungen
115
< 18 >
- 3 -

Gymnasium Mathematik Stand 30.04.2001 Kursstufe
Aspekte eines schülerorientierten Unterrichts
Neben die Vermittlung von Inhalten tritt die selbstständige Erarbeitung durch die Schülerinnen und Schüler. An
geeigneten Stellen bearbeiten sie vorwiegend außerhalb des Unterrichts allein oder im Team ein Thema (siehe
Anhang: Vorschläge für Selbstorganisiertes Lernen) und leisten mit ihren Ergebnissen einen Beitrag zum Unterricht.
Dabei kommt es besonders auf die Dokumentation und die Präsentation der Ergebnisse an.
In den folgenden Lehrplaneinheiten werden auch Themen zum projektorientierten Arbeiten zur Wahl gestellt.
Diese können über die Lehrplaneinheit oder Kursstufe hinausführen und fördern damit das kumulative und vernetzte
Lernen. Mindestens eines dieser Themen ist zu bearbeiten.
Im Hinblick auf mündliche Prüfungen sollen das Darstellen und Begründen sowie das Verhalten in Prüfungssituationen
eingeübt werden.
Lehrplaneinheit 1: Folgen und Grenzwerte
Bei der Untersuchung von Folgen erfahren die Schülerinnen und Schüler die Notwendigkeit, ihre bisherige Vorstellung
von Grenzprozessen zu präzisieren. Sie lernen eine formale Beschreibung des Infinitesimalen kennen und
verstehen. So gewinnen sie eine vertiefte Einsicht in die Grundlagen der Analysis.
Folgen, rekursive Folgen
Grenzwert einer Folge
Im Vordergrund steht die Grenzwertidee und nicht das
formale Nachweisen von Grenzwerten.
Einsatz des CAS auch zur Visualisierung
Diskrete Modellierung von Wachstumsvorgängen
Numerische Bestimmung der eulerschen Zahl e
Leonhard Euler (1707-1783)
Konvergenz monotoner und beschränkter Folgen An eine formale Behandlung von Monotonie und
Beschränktheit ist nicht gedacht.
Der Zusammenhang mit der Intervallschachtelung sollte
veranschaulicht werden.
Vollständige Induktion
Grenzwerte von Funktionen
Projektorientiertes Arbeiten:
W Reihen
W Fibonacci
Lehrplaneinheit 2: Einführung in die Integralrechnung
Mögliche Themen für Schülerreferate:
Historische Texte
Bestimmung von π
Anwendung von Folgen
Folgen der fraktalen Geometrie
Iterationsverfahren
D ARB 1, Sprechen und Schreiben
Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass der Zusammenhang zwischen der Integral- und Differenzialrechnung
den Zusammenhang zwischen einer Größe und ihrer Änderung beschreibt. Bei der Einführung des Integrals erfahren
sie erneut die Tragweite des Grenzwertbegriffs. Ein CAS bietet die Möglichkeit, den Integralbegriff über die
Summation einzuführen und den Hauptsatz experimentell erfahren zu lassen.
Konstruktion von Funktionen über die
Änderungsrate
Integral, Integralfunktion
Stammfunktion
Eigenschaften des Integrals
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
Produktsummenbildung
Verschiedene Aspekte des Integralbegriffs wie z.B. aus
Änderungen rekonstruierter Bestand, Mittelwert, Flächen-
und Rauminhalt
116
< 20 >
< 15 >
- 2 -

Gymnasium Mathematik Stand 30.04.2001 Kursstufe
Lehrplaneinheit 3: Weiterführung der Differenzial- und Integralrechnung im Bereich
ausgewählter Funktionen
Die Methoden der Differenzial- und Integralrechnung werden weiterentwickelt. So finden die Schülerinnen und
Schüler Zugang zu weiteren wichtigen Funktionsklassen und lernen ihre charakteristischen Eigenschaften kennen.
Die Arbeit mit einem CAS ermöglicht das selbstständige Entdecken dieser wichtigen Eigenschaften. Damit erwerben
sie weitere Kompetenzen, konkrete Situationen zu mathematisieren. Sie stellen ihre Bearbeitung übersichtlich,
logisch richtig und sprachlich korrekt dar. Der unterrichtliche Stellenwert vollständiger Kurvenuntersuchungen reduziert
sich durch den Einsatz des CAS.
Produkt- und Quotientenregel
Verkettung von Funktionen, Kettenregel
Integration durch lineare Substitution
Gebrochen-rationale Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Ph(4) LPE 1, Radiales elektrisches Feld
Ph(2) LPE 1, Ph(4) LPE 4, Sinusfürmige
Wechselspannungen
Ph(2) LPE 2, Ph(4) LPE 5, Harmonische
Schwingungen
Ph(2) LPE 2, Ph(4) LPE 7, Elektromagnetische
Schwingungen
Exponentialfunktionen Logarithmusfunktion als Hilfsmittel, auch bei Integralen
Untersuchung zusammengesetzter Funktionen
W Funktionen mit zwei Veränderlichen
Lehrplaneinheit 4: Mathematik in der Praxis: Anwendungen der Differenzial- und
Integralrechnung
Anhand zahlreicher Beispiele gewinnen die Schülerinnen und Schüler Einblick in den Anwendungsaspekt der
Mathematik und erkennen damit die tragende Bedeutung mathematischer Methoden und Verfahren zur Lösung
vieler realer Probleme. Insbesondere werden sie sich der einzelnen Schritte des Modellierens bewusst: Problembeschreibung,
mathematische Modellierung, Durchführung der Modellrechnung, Interpretation, Modellkritik. Ein
CAS erlaubt ihnen nun auch Antworten in den Fällen zu geben, die sie ohne dieses Hilfsmittel nicht lösen können.
Die angewandten Arbeitsmethoden, auch der Umgang mit den entsprechenden Hilfsmitteln, führen die Schülerinnen
und Schüler an die Grundlagen wissenschaftlicher Arbeit heran.
Näherungsverfahren zur Bestimmung von
Nullstellen und Berechnung von Integralen
Anwendungen des Integrals
Rotationsvolumen
Wachstums- und Zerfallsprozesse
Die Differenzialgleichungen für natürliches,
beschränktes und logistisches Wachstum
Funktionen in realem Bezug
¡ 4
An eine isolierte Behandlung dieser Unterrichtseinheit ist
nicht gedacht.
Das Verständnis für das Prinzip steht im Vordergrund.
Newton-Verfahren, Isaac Newton (1643 - 1727)
Keplersche Regel, Johannes Kepler (1571 - 1630)
Schülerreferat
Z. B. auch Bogenlänge, Oberfläche, ¢¢
Mittelwert
Ph(2 u. 4) LPE 1, Energie des elektrischen Feldes
Ph(4) LPE 4, Effektivwerte
Funktionsanpassung Auch nichtlineare Regression
¢¢
117
< 36 >
< 25 >
- 3 -

Gymnasium Mathematik Stand 30.04.2001 Kursstufe
Offene Problemstellungen Beispiele aus Naturwissenschaften, Technik, Gesellschaft
und Umwelt
Selbstständige Bearbeitung von Beispielen aus
verschiedenen Sachgebieten in Form von
Schülerreferaten oder als Gruppenpuzzle
5
Projektorientiertes Arbeiten:
W Modellierung
W Differenzialgleichungen
W Dynamische Prozesse
W Splines, Taylorpolynome
Lehrplaneinheit 5: Lineare Gleichungssysteme, Vektoren
¡
B LPE 2, Rezeptor, LPE 3
Gk(2) LPE 12/1, Gk(4) LPE 13/1
Ph(4) LPE 4
Mit den linearen Gleichungssystemen lernen die Schülerinnen und Schüler ein zentrales Gebiet der Mathematik
kennen, das in vielen Bereichen von Wissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaft unentbehrliche Hilfsmittel
bereitstellt Die erworbenen Kenntnisse setzen sie bei der Behandlung realer Probleme aus unterschiedlichen
Fachgebieten ein. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit Vektoren im Anschauungsraum und werden mit ihnen
vertraut.
Gauß-Verfahren zur Lösung linearer
Gleichungssysteme (LGS)
Es ist empfehlenswert, dir Lehrplaneinheiten 5 und 6 zu
kombinieren.
Schülerreferat: Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
Strukturierte Darstellung der Lösungsmenge
Lineare Gleichungssysteme in realem Bezug Im Vordergrund steht die Anwendung
Das LGS wird i. A. mit Hilfe des CAS gelöst.
Vektoren Lösungen von LGS, Vektoren im Anschauungsraum
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
W Mehrstufige Prozesse
W Vektorraumstruktur
Lehrplaneinheit 6: Affine Geometrie im Anschauungsraum
Matrizen als Hilfsmittel
Hier bietet sich projektorientiertes Arbeiten an.
Die Schülerinnen und Schüler erfahren, wie sich Geraden und Ebenen im Raum durch einfache Gleichungen darstellen
lassen. Die Verwendung von Vektoren ermöglicht es ihnen, geometrische Fragestellungen nach Parallelität,
Inzidenz und Teilverhältnissen mit Hilfe eines geeignet gewählten Koordinatensystems durch einfache rechnerische
Verfahren zu beantworten. Sie sollen räumlich-geometrische Sachverhalte in Schrägbildern veranschaulichen
können. Sie erleben am Beispiel von Sätzen aus der affinen Geometrie die Eleganz vektorieller Beweismethoden
und lernen, solche Beweise selbst zu finden und zu führen.
Vektorgleichungen von Gerade und Ebene
Veranschaulichung im Schrägbild
Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und
Ebenen
Bestimmung von Teilverhältnissen
Beweisverfahren bei Sätzen der affinen Geometrie
Geeignet für eine selbstständige Erarbeitung zum Beispiel
in Form einer Planarbeit oder Gruppenarbeit
118
< 16 >
< 20 >
- 4 -

Gymnasium Mathematik Stand 30.04.2001 Kursstufe
Lehrplaneinheit 7: Metrische Geometrie im Anschauungsraum
Während bisher Lage und Inzidenz im Vordergrund der Betrachtungen standen, interessieren jetzt metrische Fragestellungen.
Die Schülerinnen und Schüler begreifen das Skalarprodukt als wertvolles Werkzeug, das durch seine
Einfachheit besticht und viele Anwendungen in Mathematik und Physik zulässt. Sie erleben, wie die
Raumgeometrie durch den Einsatz vektorieller Methoden angemessen beschrieben und erforscht werden kann. Sie
lernen deshalb die zur Verfügung stehenden Hilfsmittel sicher und sachgerecht zu verwenden. Ihre Fähigkeiten,
selbstständig Beweise zu führen, werden auf Sätze der metrischen Geometrie erweitert. In dieser Lehrplaneinheit
empfiehlt sich eine selbstständige Erarbeitung von Inhalten in Form einer Planarbeit, Gruppenarbeit oder
projektorientierten Arbeit.
Betrag eines Vektors
Skalarprodukt und Vektorprodukt Eigenschaften
Normalenform der Ebenengleichung
Abstände und Winkel
Geeignet für eine selbstständige Erarbeitung zum Beispiel
in Form einer Planarbeit oder Gruppenarbeit.
Darstellen und Bewerten verschiedener Zugänge und
Lösungswege
Kugel Hier ist an Lagebeziehungen und einfache Schnittprobleme
gedacht.
Beweisverfahren bei Sätzen der euklidischen
Geometrie
Anhang: Vorschläge für Selbstorganisiertes Lernen
Vorschläge von Sachgebieten, aus denen
Teilaspekte bearbeitet werden können:
W Themen der Vorschläge für projektorientiertes
Arbeiten aus der Kursstufe
Für die Zeit nach dem schriftlichen Abitur eignen sich
auch folgende Themen:
W Mathematik und Verkehr
W Analytische Geometrie der Kugel
W Affine Abbildungen
W Kegelschnitte
W Komplexe Zahlen
W Numerische Mathematik
W Elementare Zahlentheorie
W Anwendungen in verschiedenen
Lebensbereichen und Wissenschaften
W Grenzwertidee
W Umkehrung von Funktionen
W Geschichte der Mathematik W Chaos und Fraktale
W Besondere Leistungen von Frauen und
W Markoff-Ketten
Männern in der Mathematik
W Kryptologie
W Wahrscheinlichkeitsverteilungen W Boolesche Algebra
W Parametrisierte Kurven
W Taylor-Reihe
W Algebraische Kurven
119
< 25 >
- 5 -

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Ganzrationale Funktionen;
Thema der Stunde(n): Das ABC der ganzrationalen Funktionen
Klasse/Jahrgangsstufe: 11
Ziel der UE
Selbständige Erarbeitung und Vertiefung der Begriffe Extremstelle und
(inkl. Mehrwert durch Wendestelle mit Hilfe des Schülerheftes „das ABC der ganzrationalen
Nutzung dig. Medien) Funktionen“ von Klett, Führen eines Lerntagebuches, selbständiges Arbeiten
mit dem Voyage 200 (Anleitung in den Materialien)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Bitte ankreuzen: x x x
Darstell.
verw.
(K4)
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: x
Art des Materials: Arbeits- AB inkl. Klausur UE Schülerheft
blatt Lösungen
Von Klett (s.o.)
Bitte ankreuzen: x x
Schule: Main-Taunus-Schule,
Schulform: Gymnasium
Ort: Hofheim
Ansprechpartner, Ruth Bellinger
e-Mail:
Rubell266@aol.com
Datum: März 2006
Didaktik/Methodik
(optional)
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Bitte ankreuzen: x x
Einzelarbeit
Partnerarbeit
Gruppenarbeit
Transfer
Projekt
Bitte ankreuzen: x x x
Unterlagen können bei R. Bellinger (Rubell266@aol.com) angefragt werden.
Sonstiges:

121

122

123

11a, Be Einkommensteuerfunktion 2007 (EStG §32a) 1
Skizzieren Sie den Graphen der aktuellen Einkommensteuerfunktion ESt07 mit Hilfe des
Computeralgebrasystems (CAS; Voyage200).
Zu versteuerndes Einkommen Tarifliche Einkommensteuer
bis € 7664,- 0 (Grundfreibetrag)
von € 7665,- bis € 12739,- (883.74⋅ y+ 1500) ⋅ y
„y“ ist ein Zehntausendstel des € 7664,- übersteigenden Teils des abgerundeten zu versteuernden
Einkommens.
von € 12740,- bis € 52151,- (228.74⋅ z+ 2397) ⋅ z+
989
„z“ ist ein Zehntausendstel des € 12739,- übersteigenden Teils des abgerundeten zu versteuernden
Einkommens.
von € 52152,-
bis € 250000,-
ab € 250001,-
Exkurs01 EStG07 mit Voyage
0.42⋅ x − 7914 0.45⋅x− 15414
„x“ ist das auf volle Euro abgerundete zu versteuernde Einkommen. Der Steuerbetrag wird auf den
nächsten vollen Euro-Betrag abgerundet.
Hinweise zur Benutzung:
1. Zur Darstellung für 0

11a, Bermel Grenzsteuer
Der Grenzsteuertarif ab 2005
f:=piecewise([x < 7665 , 0],
[7664< x and x < 12740, diff((883.74* ((x-7664)/10000)+1500)*((x-7664)/10000),x)],
[x > 12739 and x52151, diff(0.42*x-7914,x)]):
plotfunc2d(f(x), x = 0..100000,YRange = 0 .. 0.6)
y
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 1e+5
x
Der Grenzsteuertarif ab 2007
f:=piecewise([x < 7665 , 0],
[7664< x and x < 12740, diff((883.74* ((x-7664)/10000)+1500)*((x-7664)/10000),x)],
[x > 12739 and x52151 and x250001, diff(0.45*x-15414,x)]):
plotfunc2d(f(x), x = 0..300000,YRange = 0 .. 0.6)
y
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0 50000 1e+5 1.5e+5 2e+5 2.5e+5 3e+5
x
Exkurs02 GStG07 mit MuPad

11a, Be Newton v. Iteration 1
Bestimmen Sie die Nullstelle von f ( x) = cosx−
x mit Hilfe des Computeralgebrasystems
(CAS; Voyage200).
Newton Iteration
cos(x)-x=0 (Nullstellenproblem) cos(x)=x (Schnittpunktproblem)
Hinweise zur Benutzung:
0. mode, FUNCTION
1. Überblick verschaffen
(y9(x)=cosx-x zeichnen)
2. Y= (Definition von Newtonformel)
3. WINDOW
4. HOME (y10(x) → newt(x))
5. Startwert xo=0.4 festlegen
6. newt(ans(1)) benutzen
Exkurs03 Newton v Iteration
Hinweise zur Benutzung:
0. mode, FUNCTION
1. Überblick verschaffen
(y7(x)=cosx und y8(x)=x zeichnen)
2. mode, SEQUENCE
3. Y= (Folge mit Startwert und F7)
4. Startwert xo=0.4 festlegen
5. Graph mit F3 (Trace)

11a, Be Stetigkeit und Differenzierbarkeit 1
Glatter Anschluss:
Zwei Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen von g1 : y11=0.2x+0.5 und g2 : y13=-0.2x+0.5
sollen durch eine Parabel mit der Funktionsgleichung von p: y12=cx 2 +a so ineinander
übergeführt werden, dass der Übergang in den Punkten P1(-1/?) und P2(1/?) „glatt“ ist, d.h.
stetig und differenzierbar.
Bestimmen Sie die Parameter a und c.
Die Überprüfung im Tracemodus legt den Schluss nahe, dass es sich bei den ermittelten
Parametern c=0.1 und a=0.6 um die geforderten handelt. Zur Sicherheit sollten sie noch
rechnerisch verifiziert werden.
Exkurs04 Glatter Anschluss

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit Funktionsklassen – Wiederholung der Eigenschaften verschiedener
(gem. Lehrplan): Funktionsklassen
Thema der Stunde(n): Verschieben, Stauchen und Strecken von Funktionen
„Eine Erarbeitung der allgemeinen Regeln“
Klasse/Jahrgangsstufe: 11
Ziel der UE
(inkl. Mehrwert durch
Nutzung dig. Medien)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Erarbeitung der allgemeingültigen Regeln für das Verschieben, Stauchen
und Strecken von Funktionen
Problemlösen
(K2)
Modelli
eren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: x
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: x
Art des Materials: Arbeitsblatt
Bitte ankreuzen: x
AB inkl.
Lösungen
Klausur UE
Schule: Gesamtschule Konradsdorf
Schulform: Kooperative Gesamtschule mit Oberstufe
Ort: Ortenberg
Ansprechpartner, Nathalie Hahn, Christian Dauth
e-Mail:
Nathalie77@gmx.de
Datum: 19.06.2007
Didaktik/Methodik Einstieg Vertiefung Übung/
(optional)
Wdhlg.
Bitte ankreuzen: x
EinzelPartner- Gruppen
arbeitarbeit -arbeit
Bitte ankreuzen: x x x
Sonstiges:
Transfer
Projekt

Funktionen
Wir haben bisher folgende Funktionsklassen betrachtet:
� Lineare Funktionen
� Quadratische Funktionen
� Trigonometrische Funktionen
� Exponentialfunktionen
Dabei haben wir festgestellt, dass sich jede Funktion verschieben, spiegeln,
stauchen und strecken lässt.
Aufgabe:
In der heutigen Stunde sollen Sie mithilfe des ClassPad eine für alle Funktions-
klassen allgemeingültige Regel zum Verschieben, Stauchen, Strecken und
Spiegeln aufstellen.
Lassen Sie sich dafür folgende Funktionen zeichnen und entwickeln Sie mithilfe
der Graphen die geforderte Regel.
f(x) = x f(x) = x² 1
f( x)
=
x
f(x) = x +1 f(x) = x²+1 1
f( x)
= + 1
x
f(x) = (x-2)² 1
f( x)
=
x + 1
f(x) = 2x f(x) = 2x² 1
f( x)
= 2
x
f(x) = 0,5x f(x) = 0,5x² 1
f( x)
= 0,5
x
f(x)= – x f(x)= – x² 1
f( x)
= −
x
f(x)=sin(x) f ( x) = e
x
f(x)=sin(x)+1 f( x) = e + 1
f(x)=sin(x+1)
x
f ( x) e +
=
x 1
f(x)=2sin(x) ( ) 2 x
f x = e
f(x)=0,5sin(x) ( ) 0,5 x
f x = e
f(x)= – sin(x) f ( x) =−
e
x

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
Unterrichtseinheit Regressionsanlalyse (Oberstufe)
(gem. Lehrplan):
Thema der Stunde(n):
Klasse/Jahrgangsstufe: 12-13
Ziel der UE
(inkl. Mehrwert durch
Nutzung dig. Medien)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: x x x x
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: x
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Klausur UE
Bitte ankreuzen: x x x x
Schule:
Schulform:
Ort:
Ansprechpartner,
e-Mail:
Datum:
Didaktik/Methodik
(optional)
Dr. Sabine Stachniss Carp
S.StachnissCarp@web.de
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Transfer
Bitte ankreuzen: x x x
EinzelPartnerGruppen- Projekt
arbeitarbeitarbeit Bitte ankreuzen: x x x
Sonstiges:

Erste Schritte mit dem V200
Graphen zeichnen
1) Zeichne den Graphen einer Funktion
Im Y-Fenster: Term definieren, z.B.:
Y(x)= 2x+5
In WINDOW die gewünschte
Fenstergröße einstellen (Achtung: das
Vorzeichenminus verwenden!)
mit GRAPH zeichnen lassen
Mit TABLE kann man sich die Wertetabelle dazu anschauen, mit TBLSET
kann die Schrittweite der Wertetabelle eingestellt werden (Startwert
und Schrittweite ∆tbl angeben, 2 x Enter nicht vergessen!)
2) Stelle gegebene Daten grafisch dar (Datenplot erstellen)
Zuerst muss man die Daten in den DATA/MATRIX-Editor eingeben: APPS
6:New. In dem ersten Kasten muss ein Name für das Datenblatt
eingegeben werden. (Damit sind die Daten automatisch gespeichert.) Hier:
daten1, 2 x Enter führt zum 2. Bild:
Erste Schritte mit dem V200 S. Stachniss-Carp 1251

In c1 und c2 werden die x- und y-Werte der Datenpunkte eingetragen. Man
kann auch in das Feld oberhalb von c1 bzw. c2 springen und eine Überschrift
eingeben.
Anschließend ins y-Fenster springen und mit F4 die Funktionen deaktivieren,
die nicht gezeichnet werden sollen. Mit dem Cursor auf Plot 1 gehen, Enter
Jetzt wird der Plot definiert. Wichtig ist die Angabe, wo x- und y-Werte zu
finden sind. Alles andere kann so bleiben. Mit Enter kommt man zurück zum y-
Fenster. GRAPH zeichnet den Plot.
Die Fenstereinstellung kann noch korrigiert werden, entweder per Hand über
WINDOW (siehe 1)) oder mit F2 9:ZoomData
Mit F3 Trace kann man von Punkt zu
Punkt springen und bekommt die
entsprechenden Koordinaten
angegeben.
Erste Schritte mit dem V200 S. Stachniss-Carp 1262

Lineare Funktionen als „Modell“ für Messwerte
Aufgabe 1
Messdaten:
Die Datenpunkte liegen sehr nahe an einer Geraden, die man als
”Ausgleichsgerade” oder ”Regressionsgerade” bezeichnet.
a) Stelle die Tabelle im Heft graphisch dar und zeichne eine
Ausgleichgerade, die sich möglichst gut der Punktmenge anpasst.
b) Bestimme die Gleichung.
Aufgabe 2
In einem Experiment wurde der elektrische Widerstand eines Drahtstücks bei
verschiedenen Temperaturen gemessen. Die Tabelle zeigt die Ergebnisse:
Temperatur T ( ° C ) 50 80 100 120 160
Widerstand R ( Ohm ) 53,3 58,4 61,9 65,3 72,3
a) Zeichne den Graphen des Widerstands in Abhängigkeit von der
Temperatur und zeige, dass ein linearer Zusammenhang besteht.
b) Bestimme die Gleichung der Ausgleichsgeraden.
c) Verwende die gefundene Gleichung, um den Widerstand bei 25° C zu
schätzen.
Aufgabe 3
Temperatur in ° C 20 40 60 80 100
Länge in cm 7,4 7,55 7,8 7,95 8,25
Die Geschwindigkeit eines Autos ( in m /s ), das von einer Kreuzung weg
beschleunigt, wird in der Tabelle in Zeitabständen von einer halben Sekunde
beschrieben.
Zeit t ( sec ) 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Geschwindigkeit v ( m / sec ) 1,58 3,26 4,84 6,38 8,24 9,72
Verwende ein lineares Modell, um die Beschleunigung des Fahrzeugs
herauszufinden.
127

Die Summe der Abstandsquadrate
fe(m,b) = (m+b-2) 2 + (2m+b-5) 2 + (3m+b-6) 2
Als Kurvenschar, b läuft als Scharparameter von -3 bis 3
Als Fläche im Raum
128

Hilfe: Zu gegebenen Messwerten eine „passende“ Funktion finden
Mit APPS findet man den DATA/Matrix-
Editor, das Datenblatt muss benannt werden
und wird damit automatisch abgespeichert.
Mit F2 PlotSetup und anschließend F1 Define
wird der Datenplot definiert.
Mit 2 mal ENTER kommt man zum
Datenblatt zurück.
◊ GRAPH öffnet den Bildschirm, eine
passende Fenstereinstellung erreicht man über
F2 Zoom 9:ZoomData. Gegebenfalls sollte
man über ◊ WINDOW das Zeichenfenster
und die Achsenskalierung korrigieren.
Um die eingebaute Regressionsfunktion des
Rechners zu erhalten, wird F5 Calc
aufgerufen und ein passender Funktionstyp
ausgewählt. ( Hier im Beispiel : y = a·x b )
Die ermittelte Funktion soll anschließend auf
y2(x) gespeichert.
Mit ◊ GRAPH wird die gefundene Funktion
gezeichnet.
129

Funktionen an Daten anpassen
1) Durchschnittstemperaturen
Hier die monatlichen Durchschnittstemperaturen von München:
Monat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Temp. 8 12.5 15.8 17.5 16.6 13.4 7.9 3 -0.7 -2.1 -0.9 3.3 8
Welche Kurve passt am besten zu den Daten ?
Gib die Daten ein, zeichne einen Scatterplot und versuche eine möglichst „gute“
Näherungsfunktion zu erhalten.
3) Planeten und ihre Umlaufzeit um die Sonne
Johannes Kepler (1571 - 1631) fand die folgenden Zusammenhänge:
Planet Entfernung von der
Sonne in Mio km
Umlaufdauer in Tagen
Merkur 57.9 88
Venus 108.2 225
Erde 149.6 365
Mars 227.9 687
Jupiter 778.3 4392
Saturn 1427 10753
Uranus 2870 30660
Neptun 4497 60150
Pluto 5907 90670
a) Stelle den Zusammenhang zwischen Entfernung der Planten von der Sonne
und ihrer Umlaufzeit graphisch dar.
b) Suche eine passende Funktion.
c) Formuliere den Zusammenhang als "Gesetz" und überprüfe deine
Vermutung.
130

Zu gegebenen Daten eine passende Funktion finden.....
Dr. Sibylle Stachniss-Carp
Aufgabe
Wenn man einen Luftballon aufbläst, ändert sich mit dem Volumen auch der Umfang.
Gibt es einen funktionalen Zusammenhang bzw. eine Funktionsgleichung, die dieses
näherungsweise beschreibt?
Arbeitsaufträge:
♦ Blasen Sie einen Luftballon auf (bis zum Platzen). Messen Sie dabei bei jedem
Atemstoß den zugehörigen Umfang des Luftballons. Sie sollten möglichst
gleichmäßig pusten, um die Anzahl der Atemstöße als Maß für das Volumen zu
benutzen.
♦ Geben Sie die Daten in den Taschencomputer in den DATA/MATRIX-Editor ein
und lassen Sie sich diese anschließend als Datenplot ausgeben.
♦ Überlegen Sie welcher Funktionstyp zu den Punkten passen könnte und variieren
Sie im y-Editor die Parameter solch einer Funktion, bis der Graph möglichst gut
passt.
Lösungshinweise:
1) Mit APPS findet man den DATA/Matrix-
Editor, das Datenblatt muss benannt
werden und wird damit automatisch
abgespeichert.
Mit F2 PlotSetup und anschließend F1
Define wird der Datenplot definiert.
Mit 2 mal ENTER kommt man zum Datenblatt zurück.
131

◊ GRAPH öffnet den Bildschirm, eine
passende Fenstereinstellung erreicht man
über F2 Zoom 9:ZoomData. Gegebenfalls
sollte man über ◊ WINDOW das Zeichenfenster
und die Achsenskalierung
korrigieren.
2) Welcher Funktionstyp könnte passen?
Nehmen wir an, der Luftballon habe
annähernd Kugelform. Dann hilft der
Zusammenhang zwischen Volumen und
Umfang weiter. Die Formel für V nach r
aufgelöst und in die Gleichung für den
Umfang eingesetzt ergibt
U = c⋅ V 1/3 , also eine Potenzfunktion der
Form y = a ⋅ x b .
Hier soll mit a und b experimentiert werden.
3) Es werden unterschiedliche Funktionen gefunden, welche Funktion ist die
Richtige?
Kriterien könnten sein:
der Abstand in y-Richtung soll minimal werden, das Quadrat garantiert ein
positives Vorzeichen, Ausreißer haben stärkeren Einfluss.
Diese Fehlersumme soll experimentell
minimiert werden.
Die Formel muss in die Kopfzeile von c3
eingegeben werden.
In der Kopfzeile von c4 steht: sum(c3).
4) Um die eingebaute Regressionsfunktion
des Rechners zu erhalten, wird F5 Calc
aufgerufen.
Die ermittelte Funktion soll anschließend auf y2(x) gespeichert und der Graph
gezeichnet werd
132

5) Das Gauss´sche Verfahren der kleinsten Quadrate kann auch weiter vertieft
werden. Allerdings sollte man jetzt exemplarisch einige Punkte vorgeben und
durch diese eine lineare Funktion legen lassen.
Arbeitsauftrag:
Bestimmen Sie für drei Punkte A(1/1), B(2/4) und C(3/2) eine Gerade so, dass die
Fehlerquadratsumme minimal ist. Lösen Sie das Problem mit Mitteln der Analysis
algebraisch-symbolisch und vergleichen Sie anschließend Ihr Ergebnis mit der
Regressionsgerade des Rechners.
Lösung:
Die optimale Gerade soll mittels partieller Ableitungen bestimmt werden. Die Schüler
müssen dieses Verfahren vorher nicht kennen, aber eine Demo mit DynaGeo ist für
das Verständnis hilfreich.
133

Approximation von Funktionen
1. Aufgabe: Anpassen von Funktionen zu vorgegebenen Daten
An einem Tag im Mai 2006 wurden folgende Temperaturen gemessen:
Uhrzeit 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00
Temperatur (C°) 8 9 14 15 12
a. Gesucht sind eine ganzrationale Funktion 3. Grades f3(x) und eine
ganzrationale Funktion 4. Grades f4(x), die sich den Datenpunkten möglichst
gut anpasst. Stellen Sie die Funktionsgraphen zusammen mit den
Datenpunkten in einem geeigneten Fester dar und vergleichen Sie die beiden
Kurven.
b. Approximieren Sie die Daten durch eine Sinusfunktion.
c. Berechnen Sie für alle drei Kurven jeweils die Temperaturen für 7.00 Uhr und
14.00 Uhr und daraus den Tagesmittelwert nach der „Meteorologenformel“:
TM = 0,25[T(7.00) + T(14.00) + 2T(21.00)].
Vergleichen Sie mit den durch Integration errechneten Mittelwerten.
(Tipp: In der Formelsammlung nachschlagen...)
2. Aufgabe: Beurteilung der Güte von Regressionsfunktion
In der Tabelle sind die Beiträge zur Rentenversicherung in % des Bruttogehaltes
angegeben.
1990 1992 1993 1994 1995 1996 1997
18.7 17.7 17.5 19.2 18.6 19.2 20.3
Der TI liefert verschiedene Regressionskurven für diese Daten. Vergleichen
Sie die Güte der linearen Anpassung mit der Anpassungen durch andere
Funktionstypen.
Vergleichen Sie dazu die Summen der quadrierten Abstände in y-Richtung
der Regressionsfunktionen von den Ausgangsdaten. Vergleichen Sie auch
mit dem Bestimmtheitsmaß R 2 , das bei der Anpassung mit ganzrationalen
Funktionen vom Rechner angegeben wird.
Tipp zur Eingabe: Wenn Sie die
Regressionsfunktion z.B. unter y3(x)
abspeichern, erhalten Sie im Data/Matrix-Editor
die jeweiligen Funktionswerte, wenn Sie in der
nächsten Spalte den Term y3(c1) direkt im Kopf
der Spalte eingeben.
134

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Stochastik – Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Thema der Stunde(n): Anonymisierte Umfragen (Randomized-Response-Technik)
Klasse/Jahrgangsstufe: Leistungskurs 13
Ziel der UE
Einschätzung der Genauigkeit des Ergebnisses einer anonymisierten
(inkl. Mehrwert durch Umfrage in Abhängigkeit von der Größe der Stichprobe sowie von der
Nutzung dig. Medien) Testmethode; digitale Medien ermöglichen die Durchführung einer großen
Anzahl von Testreihen in kurzer Zeit.
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: x x x
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: x
Art des Materials: Arbeitsblatt
Bitte ankreuzen: x
AB inkl.
Lösungen
Schule: Georg-Büchner-Gymnasium
Schulform: Gymnasium
Ort: Bad Vilbel
Ansprechpartner, Dr. Jürgen Stein
e-Mail:
Mail: dr.j.stein@gmx.de
Datum: November 2006
Didaktik/Methodik
(optional)
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Bitte ankreuzen: x
Einzelarbeit
Partnerarbeit
Klausur UE
Gruppenarbeit
Transfer
Projekt
Bitte ankreuzen: x
Sonstiges:
Dr. Jürgen Stein Unterricht mit digitalen Medien
1
135

1 Arbeitsblatt zur Einführung:
Mathematik-LK 13.1 Sn Anonymisierte Umfragen 6.11.2006
Anonymisierte Umfragen wendet man immer dann an, wenn man davon ausgehen muss, dass die
befragten Personen nicht ehrlich antworten – wir haben bereits darüber gesprochen. Wir wollen nun
eine solche Befragung mit dem ClassPad 300 simulieren, um uns einen Überblick über die
Genauigkeit der erhaltenen Ergebnisse zu verschaffen.
Beispiel Diebstahl:
Man will herausbekommen, wie hoch der Anteil derjenigen ist, die in der Altersgruppe von 14 bis 18
Jahren schon einmal geklaut haben. Dazu befragt man eine bestimmte Anzahl von Jugendlichen in
diesem Alter, die zunächst mithilfe eines Würfels ermitteln, ob sie wahrheitsgemäß antworten oder
lügen sollen. Wir wollen nun mithilfe verschiedener Simulationen herausfinden, wie gut das erhaltene
Ergebnis mit der Wirklichkeit übereinstimmt, wenn man verschiedene Testverfahren anwendet bzw.
eine verschieden große Stichprobe wählt. Wichtig ist dabei, dass hierbei zunächst auch die
„Wirklichkeit“ simuliert werden muss.
Wir beginnen also mit der Annahme, dass ein Drittel der befragten Jugendlichen schon einmal geklaut
hat und simulieren damit eine Gruppe von 20 Jugendlichen, die wir in Dieb (D) und Kein Dieb (K)
einteilen.
1. Überlegen Sie, wie man das mit einem Würfel simulieren kann und führen Sie diese
Simulation durch.
2. Ordnen Sie jedem Dieb die Zahl 1 zu, jedem Kein Dieb die Zahl -1.
Nun soll ein Testverfahren angewendet werden: Jeder der 20 Jugendlichen würfelt mit einem Würfel.
Wenn eine 1 fällt, soll man wahrheitsgemäß (w) antworten, wenn eine andere Zahl fällt, soll man
lügen (l).
3. Führen Sie auch diese Testreihe durch.
4. Ordnen Sie jedem Jugendlichen, der wahrheitsgemäß antwortet, die Zahl 1 zu, jedem, der
lügen soll, die Zahl -1.
5. Bilden Sie für jede Person das Produkt aus dem Ergebnis der ersten Simulation und der
zweiten. Überlegen Sie, was es bedeutet, wenn dieses Produkt 1 bzw. -1 ergibt. Zählen Sie die
Anzahl der Produkte, die 1 ergeben.
6. Rechnen Sie mit dem Ergebnis aus Aufgabe 5 den Anteil an Dieben an der Testgruppe aus.
Zeichnen Sie dazu ein Baumdiagramm.
7. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der „tatsächlichen“ Anzahl an Dieben, die in Aufgabe 1
simuliert wurde.
Versuchen Sie nun, diesen Versuch mithilfe des ClassPad 300 durchzuführen. Fangen Sie auch hier
mit 20 Jugendlichen an. Im nächsten Schritt ändern wir die Anzahl der Jugendlichen. Danach sollen
Sie sich andere Testverfahren überlegen.
Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D / K
1 / -1
w / l
1 / -1
Z3*Z5
Anzahl der Einsen in Zeile 6: _______
Dr. Jürgen Stein Unterricht mit digitalen Medien
2
136

2 Bemerkungen zum Arbeitsblatt
Die Anwendungsbereiche anonymisierter Umfragen sowie das Grundprinzip der
anonymisierten Datenerfassung und ihrer Auswertung mithilfe von Überlegungen zur
bedingten Wahrscheinlichkeit wurden im Vorfeld dieses Kurzprojektes anhand von zwei
Beispielen im Lehrbuch 1 besprochen.
Mit dem CAS-Rechner sollte nun die Genauigkeit einer solchen anonymisierten Umfrage
getestet werden. Der dazu gehörige Versuchsaufbau ist einigermaßen komplex: Zunächst
muss eine reale Situation simuliert werden, und zwar auf der Basis der Annahme, dass ein
Drittel der befragten Personen schon einmal geklaut hat. (Diese Vorannahme muss getroffen
werden!) Nun erstellt man mithilfe von Zufallszahlen eine Gruppe aus Dieben und
Nichtdieben. Für diese Gruppe wird dann eine anonymisierte Befragung simuliert, bei der
man aus der Anzahl derjenigen, die sich als Dieb bezeichnet haben (also Dieben, die die
Wahrheit gesagt haben und Nichtdieben, die gelogen haben), mit Hilfe von Überlegungen zur
bedingten Wahrscheinlichkeit die vermutete Anzahl an Dieben berechnet. Die Güte des Tests
erweist sich dann im Vergleich dieses Wertes mit der tatsächlichen Anzahl an Dieben.
Nun hätte die Möglichkeit bestanden, die Schülerinnen und Schüler selbstständig eine
geeignete Simulation entwickeln zu lassen. Dies ist sicherlich zu empfehlen, wenn viel Zeit
zur Verfügung steht, da dann auch die Qualität unterschiedlicher Simulationstechniken
verglichen werden kann, z. B. im Hinblick auf ihre Umsetzbarkeit mit einem CAS-Rechner.
Aus Zeitgründen und auch aufgrund der Komplexität des Vorgangs habe ich aber eine
geeignete Simulationstechnik 2 vorgegeben, die es mithilfe des Arbeitsblatts und eines Würfels
nachzuvollziehen galt.
Die Schülerinnen und Schüler hatten bei der schrittweisen Bearbeitung des Arbeitsblattes
keine größeren Probleme, die Schwierigkeit bestand eher darin, genau zu verstehen, was hier
eigentlich gemacht wird. Dabei fiel vor allem die Unterscheidung zwischen der ersten
Erzeugung von Zufallszahlen zur Simulation einer Testgruppe und der zweiten Erzeugung
von Zufallszahlen zur Simulation des Testvorgangs schwer.
Im Hinblick auf die Umsetzung mit dem ClassPad ergaben sich Probleme bei der Benutzung
der Listen im Statistik-Menu – so gelang es nicht, die erzeugten Zufallszahlen 1, 2, und 3 in
die Werte 1 bzw. -1 umzuwandeln. Deshalb entschied sich die Gruppe für eine Benutzung der
Tabellenkalkulation.
1
Mathematik 13.1, Leistungskurs Hessen, Cornelsen Verlag, Berlin 2002, S. 90 und S. 100.
2
Die Anregung erhielt ich durch A. Pallack, Mit CAS zum Abitur, Westermann Schroedel Diesterweg,
Braunschweig 2006, S. 89ff.
Dr. Jürgen Stein Unterricht mit digitalen Medien
3
137

3 Umsetzung mit dem ClassPad
Die Umsetzung mit dem ClassPad soll anhand des Falles n = 500 und des auf dem
Arbeitsblatt beschriebenen Testverfahrens dargestellt werden.
Zunächst einmal werden in der Spalte A 500 Zufallszahlen
zwischen 1 und 3 erzeugt. Die Zahl 1 steht dabei für einen Dieb,
die Zahlen 2 und 3 stehen für Nichtdiebe. Die Formel zur
Erzeugung einer ganzzahligen Zufallszahl zwischen 1 und 3
lautet rand (1,3).
In der Spalte B sollen diese Zufallszahlen nun so umgewandelt
werden, dass jede 1 erhalten bleibt und aus jeder 2 und 3 eine -1
wird. Dazu lautet die Formel =piecewise($A1=1,1,-1). Dabei
gibt $A1=1 den Wert aus Spalte A an, bei dem der hinter dem
ersten Komma stehende Wert, hier also 1, angenommen werden
soll, hinter dem zweiten Komma steht der Wert, der in allen
anderen Fällen angenommen werden soll, hier also -1.
Um die simulierte Anzahl an Dieben festzustellen, die man
später als Vergleichswert benötigt, kann z.B. in Zelle B501 die
Anzahl der Einsen in den Feldern B1 bis B500 aufsummiert
werden mit der Formel =(sum(B1:B500)+500)/2.
Im nächsten Schritt werden mit der Formel rand (1,6) in der
Spalte C 500 neue Zufallszahlen erzeugt, die die Werte 1 bis 6
annehmen können. Dies simuliert den Würfelvorgang der
Testteilnehmer, der darüber entscheidet, ob die Frage – im Falle
einer 1 – wahrheitsgemäß oder in allen anderen Fällen durch eine
Lüge zu beantworten ist.
In der Spalte D werden diese Zufallszahlen so umgewandelt,
dass jede 1 erhalten bleibt und aus den anderen Zahlen eine -1
wird. Die Formel lautet wieder =piecewise($C1=1,1,-1).
In Spalte E werden schließlich die Werte der Zeilen in den
Spalten B und D miteinander multipliziert mithilfe der Formel
=$B1�$D1. Das Produkt nimmt den Wert 1 an, wenn sich eine
Testperson als Dieb bezeichnet (also entweder ein Dieb die
Wahrheit sagt oder ein Nichtdieb lügt) und den Wert -1, wenn
sich jemand als Nichtdieb bezeichnet.
Um die Anzahl der sich als Dieb bezeichnenden Personen
festzustellen, kann nun z.B. in Zelle E501 die Anzahl der Einsen
in den Feldern E1 bis E500 aufsummiert werden mit der Formel
=(sum(E1:E500)+500)/2).
Alle weiteren Berechnungen könnten nun auch im Main-Menu
vorgenommen werden. Es ist aber recht übersichtlich, in der
Tabellenkalkulation zu bleiben.
Dr. Jürgen Stein Unterricht mit digitalen Medien
4
138

In eine beliebige freie Zelle (z. B. F1) kann der prozentuale
Anteil an Dieben in der simulierten Testgruppe eingetragen
werden durch die Formel =B501�100/500.
Durch Überlegungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit, die hier
nicht näher ausgeführt werden sollen, 3 kann nun von der Anzahl
derjenigen, die sich als Dieb bezeichnet haben, auf die tatsächliche
Anzahl an Dieben geschlossen werden. Dazu benötigt man,
z. B. in Zelle G1, die Formel =(-3�(E501/500-5/6))�100/2.
Damit stehen in den Feldern F1 und G1 die Vergleichswerte
direkt nebeneinander (im nebenstehenden Versuch betrug der
tatsächliche Anteil an Dieben 30,8%, der durch die Umfrage
vermutete Anteil 33,2%).
Beliebig häufige Wiederholungen der Testreihe sind nun dadurch
möglich, dass man mit dem Befehl Neuberechn. die gesamte
Tabelle neu berechnet. Den Schülerinnen und Schülern ist zudem
aufgefallen, dass ein Verlassen und Neustarten der
Tabellenkalkulation den gleichen Effekt hat, da wohl aufgrund
der beschränkten Speicherkapazität bei jedem Verlassen die
Werte gelöscht und bei Neustart neu berechnet werden.
4 Hinweise zur Auswertung
Bei der Durchführung der Testreihen mit jeweils 30-facher Wiederholung mit unterschiedlichen
Werten für n (hier n=20, n=100, n=500) sowie veränderten Testverfahren (Wahrheit in
1 1 1
der Fälle, Wahrheit in der Fälle und Wahrheit in der Fälle, jeweils für n=500) ergaben
6
3
10
sich recht interessante Erkenntnisse. Sicherlich weniger überraschend war die Beobachtung,
dass die Genauigkeit des Ergebnisses der anonymisierten Umfrage mit wachsendem n
zunimmt. Ergaben sich für n=20 Abweichungen von der tatsächlichen Anzahl an Dieben, die
im Mittel bei ca. 10% lagen, betrug diese mittlere Abweichung für n=100 etwa 4%. Für
n=500 betrug die mittlere Abweichung nur noch etwa 1,6%. Die Schülerinnen und Schüler
erkannten dabei aber auch, dass der individuelle Ausgang einer Testreihe in jedem Fall sehr
schwankend sein kann. Für n=20 wichen die Werte in einem Fall um 15% voneinander ab,
stimmten für einen anderen Fall aber exakt überein. Für n=100 betrug die größte Abweichung
9,5%, während die geringste 1% betrug. Für n=500 betrug die größte Abweichung 4%, es gab
aber auch exakte Übereinstimmungen. Dieses Ergebnis entsprach aufgrund der
Vorerfahrungen den Erwartungen des Kurses.
3
Siehe dazu z. B. Mathematik 13.1, Leistungskurs Hessen, Cornelsen Verlag, Berlin 2002, S. 90, oder A.
Pallack, Mit CAS zum Abitur, Westermann Schroedel Diesterweg, Braunschweig 2006, S. 91. Lediglich ein
1 5
kurzer Hinweis: Der Anteil j derer, die sich als Dieb bezeichnen, ergibt sich zu j = p + ( 1 − p)
, wobei p der
gesuchte Anteil an Dieben ist. Diese Gleichung muss also nach p aufgelöst werden.
Dr. Jürgen Stein Unterricht mit digitalen Medien
5
139
6
6

Überraschender für die Schülerinnen und Schüler war die Tatsache, dass sich auch das
Testverfahren auf die Genauigkeit des Ergebnisses der anonymisierten Umfrage auswirkt. Im
Vorfeld der Durchführung hatten die Schülerinnen und Schüler vermutet, dass dies keinen
1
Einfluss haben würde. Während sich bei dem Testverfahren, bei dem in der Fälle die
6
Wahrheit gesagt werden sollte, für n=500 eine mittlere Abweichung von 1,6% ergab (siehe
1
oben), betrug diese bereits etwa 5,5%, wenn in der Fälle die Wahrheit gesagt wurde. Falls
3
1
die Wahrheit nur in der Fälle gesagt wurde, betrug die mittlere Abweichung ca. 1,5%.
10
Weitere Tests deuteten darauf hin, dass bei einer weiteren Verminderung der Fälle, in denen
wahrheitsgemäß geantwortet werden muss, die Genauigkeit des Ergebnisses zunimmt.
Konfrontiert mit dieser Beobachtung mussten die Schülerinnen und Schüler ihre Prognose
revidieren. Dabei erkannte eine Schülerin, dass bei sinkender Anzahl an Fällen, in denen die
Wahrheit gesagt werden muss, der Grad der Anonymisierung sinkt, da diejenigen, die sich als
Dieb bezeichnen, mit hoher Wahrscheinlichkeit Nichtdiebe sind und umgekehrt. Für die
Praxis bedeutet dies, dass man einen Kompromiss schließen muss zwischen der Genauigkeit
des Testergebnisses und der Glaubwürdigkeit der behaupteten Anonymisierung gegenüber
den Testpersonen. Im Kurs herrschte Einigkeit darüber, dass das hier ausführlich
1
beschriebene Testverfahren, bei dem in der Fälle die Wahrheit gesagt werden muss, eine
6
gerade noch akzeptable Anonymisierung bei zufrieden stellender Genauigkeit des Ergebnisses
liefert.
Dr. Jürgen Stein Unterricht mit digitalen Medien
6
140

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan):
Komplexe Zahlen
Thema der Stunde(n): Lösung von Gleichungen
Klasse/Jahrgangsstufe: 13.2 LK
Ziel der UE
Die Schülerinnen und Schüler sollen Verfahren zur Lösung von komplexen
(inkl. Mehrwert durch Gleichungen kennen und anwenden lernen und diese mit den Ergebnissen
Nutzung dig. Medien) eines CAS-Systems vergleichen
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Bitte ankreuzen: x x
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: x
Art des Materials:
Arbeitsblatt
AB inkl.
Lösungen
Klausur UE
Bitte ankreuzen: x
Schule: Augustinerschule
Schulform: Gymnasium
Ort: Friedberg
Ansprechpartner,
e-Mail:
Martin-kohn@web.de
Datum: 11. Juni 2007
Didaktik/Methodik
(optional)
Bitte ankreuzen: x
Einzelarbeit
Bitte ankreuzen: x
Sonstiges:
Einstieg Vertiefung Übung/
Wdhlg.
Partnerarbeit
Gruppenarbeit
Transfer
Projekt

Einsatz des Casio ClassPad 300 im Mathematikunterricht
Jahrgang 13.2 Leistungskurs
Thema: Komplexe Zahlen
Autoren: Dr. Hanns-Joachim Strunck
Martin Kohn
Augustinerschule Friedberg
An der Augustinerschule Friedberg wurde der Rechner ClassPad300, der im Rahmen der
Sinus-Initiative von der Firma Casio in der Größenordnung von zwei Klassensätzen kostenfrei
zur Verfügung gestellt wurde, unterrichtsbegleitend eingesetzt.
Nach folgend finden Sie zwei Beispiele des Einsatzes des ClassPad zum Thema „Komplexe
Zahlen“, die im Unterricht eines Leistungskurses in der Jahrgangsstufe 13 durchgeführt
wurden.
Aufgabe
Faktorisieren Sie den folgenden Term im Bereich der komplexen und im Bereich der
reellen Zahlen:
T(x) = -3y 4
− 12y 2
Lösungsweg:
Terme werden faktorisiert mit dem „factor“-Befehl des ClassPad300.
Wählen Sie dazu in der Menüleiste [Aktion -> Transformation -> factor], um den
„factor“-Befehl zu benutzen.
Dahinter geben Sie in Klammern den Term −3y 4 − 12y² ein.
[(–)][ 3 ][ y ] [ 4 ] [►] [ − ] [ 1 ][ 2 ][ y ] [ 2 ] [►] [ ) ] [EXE]
Das Faktorisieren ergibt −3y 4 − 12y² = −3y² (y − 2i) (y + 2i).
Da in der Status-Leiste Kplx angezeigt ist, werden komplexe Zahlen bei der
Faktorisierung berücksichtigt. Dies war ja auch so gewünscht.
Um lediglich reelle Lösungen anzugeben, wechseln Sie in den Reellen Modus. Tippen
Sie dazu in der Ikon-Leiste auf < Settings >, wählen in der Menüleiste [Setup ->
Grundformat] und tippen in der Rubrik „Komplexe Zahlen“ auf das Kontrollkästchen,
so dass das Häkchen verschwindet. Anschließend tippen Sie auf Einst.
Um den selben Term im Bereich der reellen Zahlen zu faktorisieren, tippen Sie
entweder den Term wie oben beschrieben erneut ein und enden die Eingabe mit
[EXE]. Einfacher und schneller ist es, wenn Sie in die Eingabezeile von eben klicken
und die Faktorisierung durch Drücken von [EXE] erneut ausführen lassen.
Das Faktorisieren desselben Terms ergibt nun im reellen Modus
142

−3y 4 − 12y 2 = −3y 2 (y 2 + 4).
In der Status-Leiste ist Real angezeigt, so dass nur reelle Zahlen bei der
Faktorisierung berücksichtigt werden.
Während der Arbeit mit dem ClassPad trat folgender Gedankengang auf, den die
Schülerinnen und Schüler gemeinsam gelöst haben.
Aufgabe:
a) Lösen Sie die folgende Potenzgleichung mit dem ClassPad 300 und
bewerten Sie das Ergebnis:
Löst man diese Gleichung mit dem ClassPad 300, so erhält man die Lösung x = 1 /27.
Es fällt auf, dass der Rechner nicht alle Lösungen angibt. Neben der berechneten
Lösung tritt nämlich – etwa beim manueller Berechnung – mit -1/27 eine weitere
Lösung auf, die der Rechner nicht zu beachten scheint.
b) Überprüfen Sie die Richtigkeit beider Lösungen mit Hilfe des
ClassPad.
143

Die Gleichung wurde im obigen Beispiel unter gl1 abgespeichert. Der Rechner erkennt
die weitere Lösung nicht an.
Wenn wir allerdings die Lösung mit dem ClassPad 300 Schritt für Schritt errechnen, so
liefert er die beiden Lösungen:
In der obigen Rechnung wurde die jeweils vorangehende Ausgabe immer über (in
der Software-Tastatur rechts unten) aufgerufen.
c) Finden Sie die Ursache heraus, warum der ClassPad 300 die Lösung
x = - 1 /27 nicht anerkennt.
Versuchen wir einmal die Gleichung für x = - 1 /27 Schritt für Schritt auszuwerten:
144

Wir sehen, dass der ClassPad 300 dabei auf komplexe Zahlen zurückgreift und zwar in
diesem Fall auf eine komplexe Zahl, deren Betrag 9 ist (siehe untere Abbildung), was
auch die richtige Auswertung des Terms wäre.
Werten Sie den Term allerdings in noch kleineren Schritten aus und beachten Sie
dabei die Reihenfolge (potenzieren vor Wurzel ziehen), so gibt es keine Probleme. Im
umgekehrten Fall (letzte Zeile in unterer Abbildung) werden jedoch wieder komplexe
Zahlen verwendet.
Es lässt sich vermuten, dass der ClassPad 300 immer auf komplexe Zahlen
zurückgreift, wenn die k-te Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen wird, was in
manchen Fällen, wie diesem hier, zu Problemen führt.
d) Untersuchen Sie noch weitere Beispiele hinsichtlich dieser
Vermutung.
Die Unterrichtsideen basieren auf folgender, sehr empfehlenswerter Literatur:
- diverse Handreichungen und Handbücher, die von der Firma Casio freundlicherweise zur Verfügung gestellt
wurden
- Gebauer, Torsten: Arbeitsblätter zum Casio ClassPad 300. Berlin: Cornelsen, 2003
- http://www.hischer.de/uds/lehr/vum/TC/ClassPad/Arbeiten/Einsatz/Potenzgleichungen/Potenzgl.html
145

Unterrichtsmaterial für Einsatz
mit Taschenrechnern
(Kurzbeschreibung)
SINUS Hessen im
BLK-Modellversuch
SINUS-Transfer
Unterrichtseinheit
(gem. Lehrplan): Gewöhnliche Differentialgleichungen
Richtungsfeld, Differentialgleichungen erster Ordnung,
Existenz- und Eindeutigkeitssatz, elementare
Lösungsmethoden, Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Thema der Stunde(n): Richtungsfeld, Lösungen mit desolve, Anwendungsbeispiele,
Näherungsverfahren: Euler , Heun, Runge-Kutta, partielle Ableitungen bei
Funktionen mehrerer Veränderlicher, Darstellung von Funktionen mehrerer
Veränderlicher
Klasse/Jahrgangsstufe LK 13 II
:
Ziel der UE
(inkl. Mehrwert durch
Nutzung dig. Medien)
Kompetenzstufe Argum./
Komm.
(K1/ K6)
Einstieg in die Modellierung von „alltäglichen Problemen“ durch DGLN.
Richtungsfelder ohne TI eher mühsam bis unmöglich, Lösen der Dgln oft
nur mit komplizierten Verfahren, Näherungsverfahren hier gut
programmierbar und ohne unnötigen Rechenaufwand anwendbar.
Problemlösen
(K2)
Modellie
ren
(K3)
Darstell.
verw.
(K4)
Bitte ankreuzen: x x x x
Taschenrechner ClassPad FX-9860 CFX TI-Voy. TI-89 TI-84
Bitte ankreuzen: x
Art des Materials: Arbeits- AB inkl. Klausur UE
blätter Lösungen
Bitte ankreuzen: x x
Schule: Main – Taunus – Schule
Schulform: Gymnasium
Ort: 65719 Hofheim
Ansprechpartner, Ursula Brundiers-Zöll
e-Mail:
ursula.brundiers@gmx.de
Datum: Durchführung : Februar bis Mai 2006
Didaktik/Methodik Einstieg Vertiefung Übung/ Transfer
(optional)
Wdhlg.
Bitte ankreuzen: x x
EinzelPartner- Gruppen Projekt
arbeitarbeit -arbeit
Bitte ankreuzen: x x
Sonstiges: Die Näherungsverfahren wurden von einzelnen Schülern programmiert.

LK 13 Differenzialgleichungen Blatt 2
II. Anwendungsbeispiele , Aufstellen und Lösen der DGLn
Aufgabe 4: Die Stromstärke ändert sich in
einem Stromkreis nach i ´= 5 – 2·i
Welchem Wert nähert sich i bei wachsender Zeit t?
Lösen Sie zunächst allgemein und testen Sie die
Lösungen im Richtungsfeld!
Stellen Sie jeweils die Differentialgleichung auf und Lösen Sie diese mit dem TI.
Aufgabe 5:
Wird ein Geschoss in einen Sandwall geschossen, dann ist seine Verzögerung proportional zu seiner
Eintrittsgeschwindigkeit. (Faktor beträgt 110/sec).
1) Wie lange dauert es, bis das Geschoss praktisch zum Stillstand kommt, wenn seine
Geschwindigkeit beim Eintritt in den Sandwall 440 m/s beträgt?
2) Wie tief dringt es in den Sand ein?
Aufgabe 6: Ein Tank enthält 400 Liter Salzlösung, in der 100 kg Salz gelöst sind. Pro Minute fließen
12 Liter einer Salzlösung, die 1/8 kg Salz auf 1 Liter enthält, in den Tank, und die Mischung, die durch
ständiges Rühren gleichmäßig gehalten wird, fließt mit der gleichen Geschwindigkeit aus.
Bestimmen Sie die Salzmenge im Tank nach 90 Minuten!
Aufgabe 7: Traktrix (Mathekalender!!): Man zieht ein
Boot an einem straff gespannten Seil der Länge a und
läuft dabei auf einem Steg (y – Achse) senkrecht zum
Ufer (x-Achse) bei (0|0) los.
Gesucht ist die Kurve des Bootes.
Aufgabe 8: Lesen und lernen Sie im Buch dünn Seite 50 – 58 / dick Seite 60 – 68.
Aufgabe 9: Lösen Sie im Buch (dünn S. 60 , dick S. 89 ) die Aufgaben 21 bis 27.
P´T : Subtangente
P´N : Subnormale
Aufgabe 10: Lösen Sie im Buch (bsv Mall ) (dünn S. 65 , dick S. 105 ) die Aufgaben 45 bis 47.

LK 13 Differenzialgleichungen Blatt 3/4
III Näherungsverfahren (s. auch Applet auf http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/diffgl/)
mit Tabellenkalkulation des TI oder Excel.
1. Methode von Euler (Linearisierung)
y'0 = g(x 0 , y 0 ) gibt die Steigung der Tangente an den (gesuchten) Graphen G f im Punkt (x 0 / y 0 ) an.
Daher gilt: Mit h = x - x folgt
1 0
y ≈ y * = y + h g(x , y ) := y + h g
1 1 0 0 0 0 0
Auf diese Weise berechnet man y *
2
für x 2 = x 1 +h, dann y * usw. und zeichnet die Punkte ein.
3
Schreiben Sie ein Programm für den TI oder Verwenden Sie den DATA – Matrix –Editor.
Lösen Sie so die DGL y´ = x·y im Intervall [0 , 1] in 5 Schritten.
2. Methode von Heun
Man integriert die Differentialgleichung y' = g(x,y) auf beiden Seiten über das Intervall [x 0 , x 1 ] nach x :
Das bestimmte Integral wird nun mit Hilfe der Trapezregel für n = 1 berechnet.
y = y + h/2 ( g(x , y ) + g(x , y ) )
1 0 0 0 1 1
Dabei ist zu beachten, dass der (unbekannte!) Wert y benützt werden muss. Dieser Wert wird mit
1
Hilfe der Euler-Methode durch y * approximiert: y *= y + h g(x , y ) := y + h g
1 1 0 0 0 0 0
Man definiert g * := g(x , y *).Damit kann nun analog y **
1 1 1 2
für x 2 = x 1 +h, dann y usw. berechnet
3
werden.
y **
1
= y 0 + h/2 ( g 0 + g 1 *) mit y 1 *= y 0 + h g 0
Lösen Sie wieder die Aufgabe aus 1.
3. Methode von Runge-Kutta
Wie bei der Methode von Heun integriert man die Differentialgleichung y' = g(x,y).
Das bestimmte Integral wird nun aber nicht mit der Trapez- sondern mit der Simpsonregel (nachlesen
im Analysis Buch) berechnet. Dies bedingt aber, dass man über das Doppelintervall
[x 0 , x 2 ] mit x 2 = x 0 + 2h integrieren muss. Folglich muss zusätzlich der Wert y 1 = f(x 1 ) = f(x 0 + h) bekannt
sein. Dieser Wert y 1 wird mit dem Verfahren von Heun berechnet. Es gilt dann:
mit y 2 * als Näherungswert für das gesuchte y 2 .
Abgekürzt: y 2 := y 0 + h/3( g 0 + 4g 1 + g 2 *) ) Zur Berechnung von y2*:
Es gibt Differentialgleichungen, die man nicht direkt explizit lösen
kann. y´´ + 10 sin(0,5·y) = 0 sollte den Physikern bekannt
sein. Oder (x-2y+5)dx + (2x-y+4)dy = 0 oder die verunglückte
y´=
x
2
y
+ y
2
− x
Hier werden Verfahren für eine DGL 1. Ordnung vorgestellt.
Voraussetzung: Gegeben sei eine DGL der Form y' = g(x,y) mit
der Anfangsbedingung
y 0 = f(x 0 ) . ( Startpunkt (x 0 | y 0 ) )
G ht F kti t f( ) d St ll h d

Da man zwei Punkte des Graphen A(x , y ) und wegen der Methode von Heun B(x , y ) und die
0 0 1 1
Werte der Ableitungen f'(x ) = g(x ,y ) = g und f'(x ) = g(x ,y ) = g kennt, so kann man den Graphen
0 0 0 0 1 1 1 1
G durch eine Polynomfunktion k dritten Grades annähern:
f
k: P(x) = ax 3
+ bx 2
+ cx + d und P'(x) = 3ax 2 + 2bx + c
Man erhält die folgenden vier Gleichungen für die vier Unbekannten a, b, c und d:
y = P(x0) und y = P(x1) mit x = x + h und g = P´(x0) und g = P´(x1) mit x = x + h
0 1 1 0 0 1 1 0
Als Resultat für y * folgt:
2
y * = P(x ) = P(x + 2h) = 5y – 4y + 2h g + 4h g
2 2 0 0 1 0 1
Es gilt also für y :
2
y = y + h/3( g + 4g + g *) ) mit y * = 5y – 4y + 2h g + 4h g
2 0 0 1 2 2 0 1 0 1
Setzt man den gemäß Methode von Heun berechneten Wert für y
1
y = y + h/2( g + g *) mit y *= y + h g bei y * ein, so gilt:
1 0 0 1 1 0 0 2
y * = 5y – 4(y + h/2( g + g *)) + 2h g + 4h g =
2 0 0 0 1 0 1
= 5y – 4y - 2h g – 2h g * + 2h g + 4h g ,
0 0 0 1 0 1
also y * = y – 2h g * + 4h g mit y *= y + h g
2 0 1 1 1 0 0
Nun fasst man die zwei Integrationsschritte zu einem einzigen zusammen, d.h. 2h wird durch h, g
1
durch g , y durch y , g durch g und y durch y ersetzt:
1/2 1 1/2 2 1 2 1
y *= y + h/2 g , y = y + h/4(g + g *), y * = y – h g * + 2h g
1/2 0 0 1/2 0 0 1/2 1 0 1/2 1/2
y = y + h/6( g + 4g + g *) )
1 0 0 1/2 1
Mit den folgenden Definitionen für k bis k erhält man so die Formeln für die Methode
1 4
'Runge-Kutta 1. Art':
k := h g = h g(x , y ) ,
1 0 0 0
k := h g(x +h/2, y +k1/2) , k := h g(x +h/2, y +k1/4+ k2/4) , k := h g(x +h, y – k + 2k )
2 0 0 3 0 0 4 0 0 2 3
y = y + 1/6( k + 4k + k )
1 0 1 3 4
Es gibt auch die Runge-Kutta-Formeln 2. Art:
i:=0 k := h g(x , y ) , k := h g(x +h/2, y +k1/2) , k := h g(x +h/2, y + k2/2) , k := h g(x +h, y + k )
1 i i 2 i i 3 i i 4 i i 3
x = x + h
i i-1
y = y + 1/6( k + 2k + 2k + k )
i i-1 1 2 3 4
Berechnen Sie auch hiermit die Näherungswerte.
Aufgabe 11:
Erarbeiten Sie sich die
obigen Verfahren und
benutzen Sie den TI zur
Überprüfung folgender
Werte:
Aufgabe12:
Skizzieren Sie eine Lösung der DGL im angegebenen Intervall mit Hilfe aller drei Verfahren.

LK 13 Differenzialgleichungen Blatt 5
VI. Betrachtungen zu Funktionen mehrerer Veränderlicher, partiellen Ableitungen und
partiellen Differentialgleichungen.
Denken Sie auch in den letzten 3 Wochen an sorgfältige Aufzeichnungen Ihres Lernfortschritts!!
Grundbegriffe: eine Funktion mehrerer Veränderlicher ist y = f(x1,x2,...,xn) ,
wir betrachten nur z = f(x,y).
Beispiele: ergänzen Sie die Funktionsterme :
Produktionsfunktion: y = f( K,A ) = c ·K α · A β mit α + β =1 ( Cobb-Douglas )
K Kapitaleinheit, A Arbeitseinheit
http://www.fgn.unisg.ch/eurmacro/tutor/cobb-douglas-de.html
Materialverbrauch für einen Hohlraumquader mit Volumen V : M(x,y) =
Berechnung der Kabellänge von p Orten (ai,bi) mit einem Ort m (x,y) : L(x,y) =
Hut: eine nach unten geöffnete Parabel (0 | 0 | 4) bildet durch Drehung um die z- Achse einen Hut:
h(x,y) =
oder so etwas vielleicht als Dachform:
a) b)
c) d)
Sombrero

LK 13 Differenzialgleichungen Blatt 6
Das schauen Sie sich hier (http://bilderbuch.mathematik.uni-wuerzburg.de/themen/par2var.htm ) an,
das möchten Sie aber auch selber zeichnen:
Aufgabe 1: Graphen mit TI und/oder Derive und / oder MuPad
Zeichnen Sie die obigen Graphen (ab h(x,y) mit dem TI. (MODE/GRAPH/ 3D und F1 AXES ..und das
window passend! er braucht Zeit! Hübscher wird´s mit Derive und MuPad)
Für den Sombrero
a) Wie hoch ist das Maximum?
b) Zeigen Sie: Auf konzentrischen Kreisringen werden gleich hohe Werte erreicht.
c) Welche Höhe und Lage hat der erste “Maximumring” etwa?
d) Skizzieren Sie den Schnitt senkrecht zur y-Achse, der den Ursprung enthält. Betrachten Sie dazu
die Funktion f(x,0) .
e) Bestimmen Sie damit die Taylorreihe 6. Grades für f (x,0).
Partielle Ableitung
Bei der partiellen Ableitung werden alle Veränderlichen, bis auf eine konstant gesetzt und dann nach
dieser einen Veränderlichen abgeleitet. Die Veränderliche, nach der abgeleitet wird, schreibt man
tiefgestellt an die Funktion.
Beispiele dazu:
Aufgabe 2: Berechnen Sie für die Funktionen der Graphen der Dachformen jeweils die partiellen
Ableitungen und notieren Sie sie.
Aufgabe 3: Wie sieht dies aus: z (x,y) = 6 – x – x 2 -2y 2 . Zeichnen Sie .
Bestimmen Sie die Gleichung der Schnittkurve mit der Ebene x = 1 und die Gleichung der Tangente in
dieser Ebene im Punkt (1 | 1 | ? ) .
Aufgabe 4: Zeichnen Sie z (x,y) = cos(x) + cos(y) .
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene ( hier sind Kenntnisse aus 12 II gefragt) im Punkt
P(0,5 | 0 | ?) und zeichnen Sie sie auch ein.
Partielle Ableitungen zweiter Ordnung (2. Ableitung):
Bei der zweiten Ableitung kann wieder nach den verschiedenen Veränderlichen abgeleitet werden.
Dabei wird die Veränderliche, nach der abgleitet wird, wieder tiefgestellt neben die Funktion
geschrieben, neben die Veränderliche, nach der bei der ersten Ableitung abgeleitet wurde.
Aufgabe 5: Berechnen Sie für die Funktionen der Graphen der Dachformen jeweils die partiellen
Ableitungen zweiter Ordnung.
Nur zur Information: Partielles Differential und totales Differential
Mit dem partiellen Differential wird näherungsweise die absolute Veränderung (dyxi ) der Funktion
angegeben, wenn man eine Veränderliche xi um den Wert dxi verändert und alle anderen
Veränderlichen konstant setzt. dyxi = f´xi ·dxi
Das totale Differential gibt die näherungsweise absolute Veränderung der Funktion (dy) an, die eintritt,
wenn jede Veränderliche xi um dem Wert dxi verändert wird, wobei i = {1, ..., n}.
n
∑ ( x ⋅ i i
i=
1
dy = f′
dx )

LK 13 Differenzialgleichungen Blatt 7
Der Gradient
Der Gradient von f im Punkt a =(a1,a2,..,an) ist ein Vektor, dessen Komponenten die Werte der
partiellen Ableitungen in diesem Punkt sind. Dieser Vektor zeigt in die Richtung des stärksten
⎛f
′ x1(
a)
⎞
⎜ ⎟
Anstiegs der Funktion f. grad(f(a)) = ⎜f
′ x2(
a)
⎟
⎜
.
⎟
⎜ ⎟
⎜.
⎟
⎜ ⎟
⎝f
′ xn(
a)
⎠
Der Gradient steht jeweils senkrecht zur Höhenlinie der Funktion. Will man die Richtung des
geringsten Anstiegs von f ermitteln, ist die Richtung des Vektors umzukehren, d.h. er ist mit „–1“ zu
multiplizieren. Ähnlich dem Richtungsfeld erstellt man auch ein Gradientenfeld .
Aufgabe 6: Ordnen Sie die 3 Gradientenfelder den obigen 3 Dachformen zu.
I. II . III.
Totales Differential: Mit Hilfe des Gradienten kann man auch das totale Differential darstellen.
Dieses setzt sich aus dem Skalarprodukt des Gradienten mit dem Vektor der Veränderungen der
einzelnen Veränderlichen zusammen.
⎛dx
⎜
dy = grad (f(a))· ⎜dx
⎜
.
⎜
⎜.
⎜
⎝dx
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1
2
n
⎛f
′ x1(
a)
⎞ ⎛dx
⎜ ⎟ ⎜
= ⎜f
′ x2(
a)
⎟ · ⎜dx
⎜
.
⎟ ⎜
.
⎜ ⎟ ⎜
⎜.
⎟ ⎜.
⎜ ⎟ ⎜
⎝f
′ xn(
a)
⎠ ⎝dx
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1
2
n
n
∑ ( x ⋅ i i
i=
1
= f′
dx )
Aufgabe 7: Berechnen Sie den Gradienten der Funktion aus Aufgabe 3.
Und weil Sie es jetzt genau wissen wollen: schauen Sie die Bedeutung von „Nabla“, „rot“ und „div“
nach!!! http://photonik.physik.hu-berlin.de/ede/04mechanik/VANALYS.pdf oder
http://www.cg.tuwien.ac.at/research/vis/seminar9596/1-math/grad.html und geben Sie Gleichungen
und Problemstellungen aus Physik, Wirtschaft … an, bei denen man diese Operatoren zur
Beschreibung der Veränderungen braucht.
Hesse-Matrix: (nach Otto Hesse) fasst die partiellen zweiten Ableitungen einer mehrdimensionalen
Funktion f(x1, .. ,xn), die in die reellen Zahlen abbildet, zusammen:
Die Hesse-Matrix entspricht der Ableitung des Gradienten und ist wegen der Vertauschbarkeit der
Differentiationsreihenfolge …………………

LK 13 Differenzialgleichungen Blatt 8
Aufgabe 8: Gegeben sei die Funktion f: D� R , D = {(x,y,z) ∈R 3 : z ≠ 0 } mit
und jetzt zurück zum Thema des Halbjahres:
Berechnen Sie die Hessematrix H f von f an der Stelle (1 | -2 | 1).
Partielle Differentialgleichung : (Abkürzung PDGL oder PDE für eng. partial differential equation) ist
eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält. Sie dienen der mathematischen
Modellierung vieler physikalischer, biologischer, soziologischer und wirtschaftlicher Vorgänge!!!!
Die Lösungstheorie von partiellen Differentialgleichungen ist für lineare Gleichungen weit reichend
erforscht, bei nichtlinearen Gleichungen enthält die mathematische Theorie noch viele Lücken. Zur
praktischen Berechnung von Lösungen werden in der Regel numerische Verfahren herangezogen.
hier ein nicht numerisches Beispiel:
Aufgabe 9:
Diese partielle Differentialgleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit inhomogenen Rand-
und Anfangsbedingungen.
Zeigen Sie dass
ftt = fxx + 2(1-x 2 ) – 2(t – t 2 ) mit f(0,t) = t 2 , f(1,t) = t, f(x,0) = 0 , ft (x,0) = x 2
die Lösung f(x,t) = t 2 + x 2 ·(t – t 2 ) hat.
und einmal selbst probieren:
Aufgabe 10: Gegeben sei eine partielle Differentialgleichung
Bestimmen sie alle Lösungen der PDG der Form
mit den Nebenbedingungen
und jetzt die Zusammenfassung aller Halbjahre:
Aufgabe 11: Besuchen Sie im Internet die folgenden Seiten und lernen Sie alles:
mit 12II
http://berkeley.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/node148.html
mit 13 I
http://www.math.uni-konstanz.de/numerik/Lehrveranstaltungen/UebungNumStoch/Blatt02.pdf
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de:8080/Math-Net/Lehrveranstaltungen/Lehrmaterial/WS2005-
2006/Mathe_Bio/bio7.pdf
und das ist auch nicht zu schwer:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/cgi-bin/mosj.pl?q=differentialgleichungen

SiNUS-Abschlussveranstaltung 20. Juni 2007 in Friedberg
Digitale Medien im Unterricht
Protokoll des Workshop „Neue Experimente im NaWi-Unterricht“
mit Dr. Karl-Heinz Keunecke, Kiel
Argumente für den Einsatz
Siehe hierzu Powerpoint-Vortrag von Dr. Keunecke
Ausgewählte Experimente
Gezeigt wurden Fallversuche und Versuche zum Induktionsgesetz
Notwendige Werkzeugkompetenzen
o Rechnerkenntnisse (z.B. aus dem Mathematikunterricht)
o SW- bzw. Bedienungs-Know-how (hierzu gehören sowohl elementare als auch funktionale
Kenntnisse wie z.B. „Wie stelle ich Parameter ein?“ usw.)
o Auswerte-Know-how (z.B. Koordinatentransformation, Datendarstellungsformen,
Regressionen oder Differentialgleichungen)
Methodische Wege zur Vermittlung der Kompetenzen
o E-Learning
o Kurzbeschreibungen
o Struktogramme mit Prozessbeschreibungen
Erfahrungen der Teilnehmer
o Unterlagen für Lehrer (und Schüler) müssen so aufbereitet sein, dass sie ohne viel Aufwand
schnell eingesetzt werden können.
o Kreativität und Erweiterungen kommen automatisch, wenn das Basis-Know-how Normalität ist
und der tägliche Einsatz zur Selbstverständlichkeit geworden ist.
o In der Chemie ist der Einsatz digitaler Medien schwieriger als in der Physik, da hier die
Gesetzmäßigkeiten nicht so „klar“ sind: Störgrößen und Störparameter haben hier eine viel
größere Dimension.
o Ein kombinierter Einsatz digitaler Medien in Mathe, Physik, Chemie und Biologie ist hilfreich.
Es könne mit diesem Medium auch zusätzliche fächerübergreifende Verbindungen
geschaffen werden.
o Der Einsatz digitaler Medien kann helfen, die Mädchenquote in der Oberstufe zu erhöhen.
o Der Einsatz digitaler Medien ist bei entsprechender Aufgabenstellung auch in der
Mittelstufe möglich. Ein möglichst früher Einsatz sollte auf alle Fälle gefördert werden.
o Entwicklung und Verbreitung von lehrplanbezogenen Anwendungen (Übungen und Beispiele).
o Wichtig ist es auch, zielgruppenbezogene Schulungen anzubieten und durchzuführen.
Resümee
Der Einsatz digitaler Medien im Bereich NaWi ist sinnvoll und wichtig. Er wird erfolgreich durch:
o Einen Medienplan (was kann wann, wo und wie eingesetzt werden; Sek I bis Sek II)
o Schulinterne Fortbildung:
1. ganzheitlich für Einsteiger
2. Spezialschulungen für Erfahrungsträger und Fortgeschrittene
o Aufbau eines interdisziplinären (Mathe + NaWi) Netzwerkes von Erfahrungsträgern
Für das Protokoll:
gez. Franz Wild
Karben, 23. Juni 2007

Karl-Heinz Keunecke
Neue Experimente für die Physik
Messung zeitlich veränderlicher Größen
und deren Auswertung
mit CAS-Taschencomputern

Schüler nutzen neue Technologien

Experimente im Physikunterricht
Physikalische Problem
Mathematische Formulierung
des gesuchten Zusammenhanges
Lehrerexperiment
aus der Sammlung
Auswertung

Messwerterfassung und Auswertung
mit CAS-Taschencomputern
SuS planen Experimente
SuS führen
die Experimente durch
Auswertung mit CAS
Modellierung
Simulation
Physikalische Problem
(Mathematische) Formulierung
des gesuchten Zusammenhanges
Lehrerexperiment
aus der Sammlung
Auswertung

Messwerterfassung mit CAS-Taschencomputern
ermöglicht:
● zeitlich veränderliche Größen digital aufzuzeichnen,
● Messdaten auf vielfältige Weise (offline) grafisch darzustellen,
● eine mögliche individuelle Weiterbearbeitung der Messdaten,
● das Messen von mehr als 50 naturwissenschaftlichen Größen,
● einen mobilen Einsatz im Umfeld der Schülerinnen und Schüler.

Auswertung mit CAS-Taschencomputern
Kraftgesetz für Feder und Gummiband
Es werden F(t) und s(t)gemessen.
{ F i } wird gegen { s i } grafisch dargestellt.
Für die Feder gilt:
F
{ }
s
i
{ }
i
= d →
D
{ }
i

V = a*t
F=m*a eine Formel unter vielen?
s = s 0 +v 0 t+a/2 t²
E = m/2
v²
V = √(2as)
t = √(2h/g)
E = mgh
F = m*a
a=a 0 cosωt
T = 2π
√(m/D)
v= ωr A = ω²r

Grundgesetz der Mechanik
Wenn das Kraftgesetz bekannt ist, dann kann s(t) berechnet werden.
V = a*t
s = s 0 +v 0 t+a/2 t²
E = m/2
v²
V = √(2as)
F( t) = m⋅&& s( t)
t = √(2h/g)
E = mgh
F( t) = m⋅&& s( t)
a=a 0 cosωt
T = 2π
√(m/D)
v= ωr A = ω²r

Kräfte setzen Körper in Bewegung
oder ändern Bewegungen.
● Fahrbahn
● Bewegungen in der Ebene (Anschieben und
Abbremsen)
● Bewegungen gegen die Schwerkraft (Springen,
Hochwerfen)
● Mechanische Schwingungen

Wagen
Beschleunigungsmesser
Kraftmesser
Angriffspunkt
der Kraft

Kraft und Beschleunigung
beim Hin- und Herbewegen des Wagens
12

Kraft und Beschleunigung
beim Hin- und Herbewegen des Wagens
13

Kraftmesser
Beschleunigungsmesser
Feder-Massse-Pendel

Kraft und Beschleunigung am Pendel

Kraft und Beschleunigung am Pendel

Anheben einer Masse

Newtonsches Kraftgesetz
F
{ }
a
i
{ }
i
= m →
m
{ }
i

Kraft und Beschleunigung beim Springen

Kraft und Beschleunigung beim Springen

Das Grundgesetz der Mechanik als Differenzialgleichung
Freier Fall : F =m⋅¨x=g
¨x= g
m
Harmonische Schwingung : F=m⋅¨x=−D⋅x
¨x= −D
m ⋅x

Lösung der DGL mithilfe von
Differenzengleichungen
¨x= g
m � ˙v= g
m und ˙x=v

Induktionsgesetz
U = −n ⋅Φ&
ind
r
r
Φ = B ⋅ A

Experimenteller Nachweis des Induktionsgesetzes

Die Allgemeingültigkeit von Gesetzen
kann man nicht wirklich überzeugend
nur an einem speziellen Experiment zeigen,
in dem die Messergebnisse
konstante und damit einfach messbare
Größen sind.

Die Lampe ohne Batterie oder Akku
Die Lampe
ohne Batterie
oder Akkku

Magnetische Flussdichte
I Induktionsspannung
n
d

Magnetische Flussdichte und Induktionsspannung

Zusammenfassung
● Mit computerunterstützter Messwerterfassung
können auch zeitabhängigen Größen erfasst
und ausgewertet werden.
● Die Allgemeingültigkeit von Gesetzen kann man
nicht wirklich überzeugend nur an einem
speziellen Beispiel zeigen, in dem alle Größen
bewusst konstant gehalten sind.
● Die Verwendung von CAS erlaubt mit der
Lösung von Differenzengleichungen und
Differenzialgleichungen die beobachteten
Vorgänge auch mathematisch zu simulieren
und zu modellieren.

P10: Untersuchung von Abkühlungs-Prozessen (mit Messwerterfassung) 1
A. Versuch: Abkühlvorgang im Freien ("Isolierbecher gegen Porzellantasse)"
(Messwertaufnahme mit 2 Temperatur-Sensoren)
(Geräte: Vernier-Messwerterfassung... gesteuert mit Pgm. Datamate auf TI89)
Abb.1: Versuchsaufbau im Freien
Die zunächst aus dem Messwerterfassungs-System übernommenen
Daten geben die Zeit in sec an. Dies wurde mit dem
Data-Matrix-Editor des TI89.. in min umgerechnet. Zusätzlich
wurde die sehr große Anzahl der Messpunkte reduziert,
damit die Auswertung übersichtlich bleibt.
Die Bildschirmfotos in Abb.3 und Abb.4 zeigen einige Berechnungen
im Data-Matrix-Editor des TI89.. (siehe auch Aufgabenteil).
Für weitere Auswertungen wurden die Messwerte
umgerechnet: Die Spalten c5 und c6 enthalten die Differenz
zwischen der Temperatur im Wasser und der Außen-Temperatur
von 13,4°C (wegen dieses Werts waren wir im Freien).
Die Abbildung zeigt das Einstellen der Messzeitpunkte
("Samples") für ein anderes Experiment:
Abb.2: Datamate-TimeGraph-Einstellung
Weitere Einzelheiten zur Messwert-Erfassung mit dem
Programm DataMate werden hier nicht dokumentiert.
Abb.3: Definition der Spalte c4
Abb.4: Definition der Spalte c6
Abb.5: Messreihe "Abkühlvorgang"
(Datenmenge reduziert)
AbkühlKurven&Vernier(Portfolio).doc [H.Kümmel, Mar2007] Stand: 08.04.2007
147

P10: Untersuchung von Abkühlungs-Prozessen (mit Messwerterfassung) 2
B. Aufgaben zu unseren Abkühl-Experimenten (Physik)
Aufg.1: (zum Versuchsaufbau):
a) Skizziere mit Hilfe Deiner Aufzeichungen und des Fotos in Abb.1 den Versuchaufbau schematisch
(Wichtiges deutlich machen, Unwichtiges weglassen). Alle zur Datenerfassung
benutzten Geräte und ihre Verbindungen sind wichtig!
b) Notiere auch die beim Aufbau des Versuchs erfassten Werte (haben wir an alles gedacht?):
Wassermengen, Umgebungstemperatur, Masse der verwendeten Gefäße
c) Beschreibe kurz den Ablauf des Versuchs: Welche Größen wurden gemessen? In Abb.3
sind die Original-Messwerte dokumentiert. Welche physikalischen Größen wurden in
den Spalten c1, c2 und c3 der Tabelle erfasst (Größe und Einheit angeben)?
d) Welche Frage aus dem Alltag kann mit den Versuchsergebnissen beantwortet werden?
Aufg.2: (zur automatischen Datenerfassung):
a) Erkläre die Einstellungen unter "Time-Graph" in Abb.2. Wie sind die Zeitabstände und die
Anzahl der Messungen beim dokumentierten Versuch einzustellen? Warum wird diese Einstellung
vom Programm als "TIME GRAPH-7200" gekennzeichnet?
b) Die Bildschirmfotos in Abb.3 und Abb.4 zeigen zusätzlich zu den Messwerten weitere
Auswertungen, die komfortabel vom Data-Matrix-Editor ausgeführt werden:
Erkläre die Berechnung der Daten in Spalte c4.
Welche Formel im Kopf von Spalte c6 berechnet die Temperatur-Differenzen? (Abb.4)
Aufg.3: (erste Auswertungen):
Abb.6: Messreihen
a) Ergänze in der Abbildung die Skalierung der Zeit- und
der Temperatur-Achse (Skalenstriche beschriften)!
(in der Tabelle Abb.5 findest Du Informationen dazu)
b) Kann man anhand der Kurven herausfinden, welche
Kurve dem Isolierbecher aus Metall zuzuordnen ist?
(Hinweis: Die Ergebnisse entsprechen der Erwartung)
c) Formuliere anhand von Abb.6 (und ggf. mit kurzem Blick
auf Abb.5) ein erstes Ergebnis als Information über die
Haushaltsgeräte: Welches Gefäß hält die Wärme besser?
Aufg.4: (quantitative Auswertung):
a) Stelle die Messpunkte aus der Tabelle in Abb. 5 in einem geeigneten (ordentlich beschrifteten)
Diagramm dar und verbinde sie durch Kurven, die den vermutlichen Temperaturverlauf
darstellen. "Extrapoliere" den Verlauf: Wie wird sich die Temperatur weiterentwickeln?
Stelle Deine "Extrapolation" auf geeignete Weise im Diagramm dar.
b) Kann man einen zu beiden Temperaturverläufen passenden Funktionstyp erkennen?
Beschreibe zumindest, welche mathematischen Eigenschaften diese Art von Funktionen
haben muss (typische Gemeinsamkeiten im Verlauf der Graphen).
Bemerkung:
Weitergehende Aussagen über die Funktion T(t) zum Abkühlvorgang werden wir im
Mathematik-Unterricht behandeln. (es handelt sich um eine Exponentialfunktion)
AbkühlKurven&Vernier(Portfolio).doc [H.Kümmel, Mar2007] Stand: 08.04.2007
148

P10: Untersuchung von Abkühlungs-Prozessen (mit Messwerterfassung) 3
C. Ermitteln von Ausgleichskurven zum Temperaturverlauf (Mathematik)
Das Auswerten von umfangreichen Versuchsdaten ist mühsam und zeitraubend. Deshalb
enthalten GTR und CAS-Rechner Programme, die uns dabei unterstützen.
Abb.7: Messreihe mit Ausgleichskurven
Abb.8: Funktionsterme im y-Editor
Abb.9: Ausgleichskurve berechnen
Abb.10: Messpunkte, Graph zu y8(x)
Aufg.4: (CAS-Praktikum)
Führe analoge Berechnungen durch
für den Temperaturverlauf in Spalte
c5. Finde einen Funktionsterm, der
den Verlauf optimal beschreibt?
Aufg.1: (Funktionsterme ermitteln):
a) Es liegt die Vermutung nahe, dass der Temperaturverlauf
beim Abkühlen durch Exponentialfunktionen
dargestellt werden kann. Welche anderen Funktionen
kommen aufgrund der Messpunkte noch in
Frage?
b) In der Abb.7 sind zwei Kurven zu sehen, die durch
Erraten von Werten für a und b in der Form
x
f( x)
= a ⋅b
zustande kamen. Welche Werte für a
wurden jeweils gewählt (Skalierung beachten)?
c) Die Ausgleichskurven sollen den Temperaturverlauf
möglichst gut wiedergeben. Kritisiere beide Kurven!
Aufg.2: (Funktionsterme kritisieren):
a) Abb.7 zeigt das Grafik-Fenster des TI89 mit den
Kurven zu y6(x) und y7(x) aus Abb.8. Ordne den
Kurven die passenden Funktionsterme zu!
(Begründe Dein Vorgehen)
b) Die erratenen Funktionsterme sollen der Temperaturverlauf
möglichst gut wiedergeben. Beschreibe
die Auswirkung der für a und b angenommenen
Werte auf den Kurvenverlauf.
Information:
Funktionsterme automatisch berechnen:
Da es oft interessant ist, Datenpunkte durch einen
Funktionsterm zu beschreiben, bieten GTR und CAS-
Rechner auch dafür eine Unterstützung an.
Abb.9 zeigt die im Data-Matrix-Editor unter F5 [Calc]
verfügbare Hilfsmittel zur Berechnung von Ausgleichsfunktionen
(diese Verfahren werden in der Mathematik
als Regressions-Rechnung bezeichnet). Hier wurde
"exponentielle Regression" gewählt und der damit
ermittelte Funktionsterm unter y6(x) gespeichert.
Aufg.3: (Ergebnisse kritisieren):
a) Kann man sicher sein, dass ein Computer die bessere
Ausgleichsfunktion findet? (Beziehe Dich auf
die bereits formulierte Kritik in Aufg. 1c und 2b)
b) Die Kurve y8(x) (siehe Abb.19) verläuft auch recht
gut durch die Messpunkte. Diskutiere die Bedeutung
des Funktionsterms für dür die physikalischen
Gegebenheiten des Versuchs.
AbkühlKurven&Vernier(Portfolio).doc [H.Kümmel, Mar2007] Stand: 08.04.2007
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