Schalentragwerke - Technische Universität Dresden

Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke 

Professur für Technische Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke 

Prof. Dr.-Ing. Bernd W. Zastrau 

Vorlesungsmanuskript 

zur Lehrveranstaltung 

Schalentragwerke 

zusammengestellt von 

apl. Prof. Dr.-Ing. C. Neuberg 

und 

Dipl.-Ing. R. Schlebusch 

TECHNISCHE 

UNIVERSIT ÄT 

DRESDEN 

Postanschrift: 01062 Dresden Dienstgebäude: Beyerbau Zi. 111 Telefon: 0351 / 463 33508 (Sekr. 35369) 

Fax: 0351 / 463 37200

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Vorwort 

Liebe Studierende, 

mit diesem Manuskript zum Fach Schalentragwerke als Teil des Prüfungsfaches Baumechanik 

wird Ihnen ein Überblick über die wichtigsten Schalenformen und über die Lösungswege für 

deren Berechnung gegeben. Damit sollen Sie in die Lage versetzt werden, Näherungslösungen, 

zu denen auch die meistens auf der Finite-Element-Methode basierenden Rechenprogramme 

gehören, kritisch zu beurteilen und sich in das Konstruieren von Schalentragwerken einzuarbeiten. 

Treffend hat Girkmann im Vorwort seines Grundlagenwerkes [4] über Flächentragwerke 

festgestellt: 

” Richtiges Konstruieren setzt die Kenntnis des Spieles der inneren Kräfte voraus 

und der Konstrukteur muss zugleich wissen, durch welche Maßnahmen er das 

Kräftespiel günstig zu beeinflussen vermag.“ 

Der in der Vorlesung vermittelte und damit auch in diesem Skript enthaltene Lehrstoff ist 

nur als eine Einführung in das Fach Schalentragwerke zu sehen. Für die praktische Berechnung 

von weitgespannten Flächentragwerken müssen Sie sich an Hand der Literatur, von der 

einige grundlegende Werke am Ende des Skriptes genannt sind, selbst weiterbilden. Insbesondere 

wird dabei die Tensorschreibweise eine zentrale Stellung einnehmen. Darauf gehen 

Basar/Krätzig in ihrem Vorwort von [1] ein, in dem sie feststellen: 

” Insbesondere nichtlineare Fragestellungen lassen sich überhaupt nur mit Hilfe 

des Tensorkalküls in systematischer Form darstellen. Darüber hinaus haben 

jüngere Forschungsarbeiten gezeigt, wie vorzüglich sich tensoriell formulierte 

Algorithmen in Computerprogramme umsetzen lassen, die wegen der Allgemeingültigkeit 

ihrer Darstellung ein ungleich weiteres Anwendungsspektrum aufweisen 

als konventionell formulierte.“ 

Das vorliegende Skript ist im wesentlichen auf Grund der Fülle des Lehrstoffes und der 

vielen schreibintensiven Formeln entstanden. Es enthält leere Rahmen für Skizzen, die in der 

Vorlesung gefüllt werden. Damit dürfte die Schreibarbeit und damit die Fehleranfälligkeit 

Ihrer Mitschrift deutlich vermindert werden. 

Mitteilungen über Fehler und Anregungen werden gern entgegengenommen. 

Alle Beteiligten wünschen Ihnen mit diesen Unterlagen viel Erfolg. 

Dresden, im Februar 2005

Inhaltsverzeichnis 

Inhaltsverzeichnis 5 

Abbildungsverzeichnis 7 

1 Einführung in die Theorie der Schalen 9 

2 Berechnungsgrundlagen einer technischen Schalentheorie 15 

2.1 Voraussetzungen, Annahmen und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.2 Geometrie der Schalenmittelfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.3 Spannungen und Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.4 Problemklassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3 Membrantheorie von Rotationsschalen 23 

3.1 Geometrie und Beschreibung von Rotationsschalen . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.2 Belastung von Rotationsschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.3 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.4 Gleichgewichtsbedingungen für rotationssymmetrische Belastung . . . . . . . 27 

3.5 Formänderung unter rotationssymmetrischer Belastung . . . . . . . . . . . . 28 

3.6 Verknüpfung von Schnittgrößen und Formänderungen – Werkstoffgesetz . . . 29 

3.7 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.8 Rotationsschalen besonderer Meridianform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.8.1 Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.8.2 Kegelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3.8.3 Kreiszylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

3.8.4 Beliebige Meridianform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4 Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale 39 

4.1 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

4.2 Formänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.3 Werkstoffgesetz und Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

4.4 Flüggesches Differentialgleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

4.5 Donnell–Jenkins–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

4.6 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

4.7 Rotationssymmetrisch belastete Kreiszylinderschale . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.7.2 Angriff von Randschnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

5

6 INHALTSVERZEICHNIS 

5 Biegetheorie von Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung 

59 

5.1 Schalen allgemeiner Meridianform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

6 Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer 

Belastung 65 

6.1 Randstörung der kurzen und der langen Zylinderschale . . . . . . . . . . . . 65 

6.1.1 Kurze Zylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

6.1.2 Lange Zylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

6.2 Geckelersche Näherung der Randstörung von Rotationsschalen . . . . . . 71 

6.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

6.2.2 Spezialisierung für die Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

6.2.3 Spezialisierung für die Kegelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

6.3 Schnittkräfte und Formänderungen von Verstärkungsringen (Kreisringträgern) 79 

Literaturverzeichnis 83 

Anhang: Klausurhilfsmittel Membrantheorie A.1 

Anhang: Klausurhilfsmittel Biegetheorie B.1 

TU Dresden, BIW Skript: ” Schalentragwerke“ Stand 2/2005

Abbildungsverzeichnis 

1.1 Hebelarm z der inneren Kräfte und Verteilung der Spannungen σ . . . . . . . 10 

1.2 Entwicklung der Schalentragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.3 Kühlturm Weisweiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.4 Dachschale von Candela in Xochimilco/Mexiko . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.5 Dachschale von Isler in Deitingen/Schweiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.6 Dachschalen des Opernhauses in Sydney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.7 Kleiner Sportpalast von Nervi in Rom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

1.8 Faulbehälter Ilverich/Düsseldorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

1.9 Schwimmbad Sechslingspforte Hamburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.1 Bezeichnungen der Schale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.2 Hauptkrümmungen einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.3 Rotationsschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.4 Zylinder- und Translationsschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.5 Zusammengesetzte Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.6 Torusschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.7 Schalenmittelfläche und Schalenelement dxdy im globalen Koordinatensystem 

XY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.8 Schalenelement mit lokalen Koordinaten xyz mit Spannungen (diese nur an der 

Vorderseite gezeichnet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.9 Dehnungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

2.10 Querkräfte, Biege- und Drillmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3.1 Die Schalengeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.2 Eigengewichtsbelastung g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.3 Schneebelastung s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.4 Windbelastung w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.5 Belastung und Schnittgrößen am Schalenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.6 Gleichgewicht am Schalenabschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.7 Formänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.8 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.9 Geometrie und Belastung der Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.10 Schnittkraftverläufe der Kugelschale unter Eigengewicht . . . . . . . . . . . . 32 

3.11 Kugelschale unter Laternenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.12 Schnittkraftverläufe der Kugelschale unter Laternenlast . . . . . . . . . . . . . 33 

3.13 Geometrie der Kegelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3.14 Kegelstumpfschale mit Laternenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

7

8 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 

3.15 Schnittkraftverläufe der Kegelstumpfschale mit Laternenlast . . . . . . . . . . 36 

3.16 Kreiszylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

3.17 Schale mit beliebiger Meridianform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.1 Zylinderkoordinaten x, ϑ, a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

4.2 Schnittgrößen der Kreiszylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.3 Formänderungen der Schalenmittelfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.4 Schnitte zur Bestimmung der Formänderung der Schalenmittelfläche . . . . . . 44 

4.5 Schnitt längs Erzeugender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

4.6 Schnitt längs Breitenkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

4.7 Geschlossene Kreiszylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

4.8 Tonnenschale mit Endscheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.9 Flüssigkeitsbehälter, Belastung und Verformungsskizze . . . . . . . . . . . . . 54 

4.10 Qualitativer Funktionsverlauf eines Summanden der Randschnittgrößen . . . . 56 

4.11 Typische Verläufe für die homogene Lösung des Randproblemes . . . . . . . . 57 

5.1 Membrananteil der Schnittgrößen (ohne Beschränkung auf Rotationssymmetrie) 60 

5.2 Ergänzende Biegeschnittgrößen für rotationssymmetrische Beanspruchungszustände 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

5.3 Zusammenhang der Krümmung 1/r2 mit χ und ∆r0 . . . . . . . . . . . . . . . 62 

5.4 Schnittgrößen am Rand der unbelasteten Schale . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

6.1 Geometrie und Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

6.2 X1 am oberen Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

6.3 X2 am oberen Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

6.4 Randbelastungen an der Zylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

6.5 Definition der Winkel ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

6.6 Definition des Winkels ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 

6.7 Horizontalkraft X1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

6.8 Randbelastungen an der Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

6.9 Definition der Koordinate s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

6.10 Randbelastungen an der Kegelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

6.11 Die Funktionen ζ1 und ζ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

6.12 Definition der Belastungen und Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

6.13 Ersatzweise Radialbelastung pz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

6.14 Gleichgewicht zwischen den Momenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 


Kapitel 1 

Einführung in die Theorie der Schalen 

Aufbauend auf der in einem früheren Semester behandelten Theorie der Scheiben und Platten, 

die eine ebene Mittelfläche aufweisen, werden in diesem Skript die Schalentragwerke 

behandelt, deren Mittelfläche gekrümmt ist und die deshalb auch als gekrümmte Flächentragwerke 

bezeichnet werden. 

Die Festigkeit der Schalen beruht auf der räumlichen Anordnung des Baustoffes, nicht so 

sehr auf dessen Festigkeit. Durch Versuche mit einem Blatt Papier kann das sehr leicht 

festgestellt werden. (Die Versuchsbeschreibung folgt im wesentlichen derjenigen von Rabich 

[11] in seinem 3. Lehrbrief.) 

Halten wir das Blatt in waagerechter Lage an einem Rand fest wie bei einer am Rand 

eingespannten und frei auskragenden Platte, so hängt das Blatt wie ein Tuch herunter. 

Die Biegesteifigkeit des Querschnittes ist so klein, dass sie bei weitem nicht ausreicht, das 

Eigengewicht dieser ” Platte“ zu tragen. 

Wenn wir aber das Blatt an zwei Punkten festhalten, wirkt es wie eine Scheibe auf zwei 

Stützen. Die Dehnsteifigkeit des Querschnittes ist so groß, dass unter Eigengewicht keine 

Formänderungen sichtbar sind. 

Nun legen wir das Blatt wieder waagerecht, geben ihm aber eine leicht zylindrische Form. Wir 

halten es an den beiden oberen Ecken fest und stützen es unten in waagerechter Richtung. 

Jetzt wirkt das Blatt wie ein am Rand eingespannte Schale. Sie ist so steif, dass keine 

Formänderungen sichtbar sind. Da sich die Abmessungen des Blattes nicht geändert haben, 

muss dieser Effekt auf der großen Dehnsteifigkeit beruhen. 

Wir betrachten nun die inneren Kräfte. Im ersten Versuch (bei der Platte) ist der Hebelarm 

z der inneren Kräfte kleiner als die Plattendicke h(z < h) (Abb. 1.1a). Daher sind die Randspannungen 

σP sehr groß, und daraus folgen die großen Formänderungen der Kragplatte. 

Bei der Beanspruchung des Papiermodells in senkrechter Richtung, also als Scheibe, ist der 

Hebelarm z der inneren Kräfte um ein Vielfaches größer als die Scheibendicke h(z ≫ h). 

Daher sind die Spannungen σS sehr klein (Abb. 1.1b), so dass auch die Formänderungen sehr 

klein bleiben. Bei der Schale (Abb. 1.1c) sind die Spannungen in der Mittelfläche ähnlich 

verteilt wie bei der Scheibe. Infolge ihrer räumlichen Anordnung entsteht ein Hebelarm z 

der inneren Kräfte, der ebenfalls wesentlich größer ist als die Schalendicke h(z ≫ h). Daher 

sind auch die Spannungen und Formänderungen sehr klein. Die Tragfähigkeit beruht also auf 

der räumlichen Verteilung von Dehnungsspannungen, die den großen Hebelarm der inneren 

Kräfte bewirkt. 

9

10 1. Einführung in die Theorie der Schalen 

Abb. 1.1: Hebelarm z der inneren Kräfte und Verteilung der Spannungen σ 

Die Spannungsverteilung über die Dicke h der Schale ist trapezförmig (Abb. 1.1c). Sie setzt 

sich aus der konstanten Dehnungsspannung σS und der linearen Biegespannung mit der 

Randspannung σP zusammen. Daher besteht der Spannungszustand der Schale aus einer 

Kombination von Scheiben- und Plattenwirkung. Bei einer guten Schalenkonstruktion sind 

die Biegespannungen klein gegenüber den Dehnungsspannungen. Sind die Biegespannungen 

so klein, dass wir sie gegenüber den Dehnungsspannungen ganz vernachlässigen können, so 

bleibt ein reiner Dehnungsspannungszustand übrig, der Membranspannungszustand (oder 

kurz: Membranzustand) genannt wird. Ein solcher Zustand stellt sich wegen der sehr kleinen 

Dicke bei dem Papiermodell ein. 

Der Hebelarm z der inneren Kräfte hängt jedoch von der Schalenform ab, also von der 

Höhendifferenz H zwischen oberstem und unterstem Punkt der Zylinderschale. Wenn wir H 

verkleinern, die Schale also immer flacher werden lassen, so kommt ein Augenblick, wo die 

Schale zur Platte wird, so dass sie wieder wie ein Tuch herunterhängt. Dieser Effekt wird 

durch einen Beulvorgang eingeleitet. Mit abnehmendem Hebelarm z werden die Dehnungsspannungen 

bald so groß, dass die Fläche ausbeult und die Schalenform verloren geht. Dann 

bleibt nur die geringe Tragwirkung aus der Plattensteifigkeit übrig. Besonders deutlich sehen 

wir das, wenn wir die Schale mit der konkaven Seite nach unten halten. Die Schalenränder 

beulen bei gleicher Druckspannung viel früher aus als die inneren Schalenteile. 

Diese Überlegungen zeigen uns bereits die wesentlichen Merkmale einer Schalenkonstruktion: 

• Die Schale muss so gestützt sein und ausgesteift sein, dass sie ihre Form nicht verändern 

kann. 

• Die Biegesteifigkeit der Schalenfläche muss so groß sein, dass keine Beulgefahr entsteht. 

• Die Schale sollte so geformt, belastet und gestützt sein, dass ein möglichst biegungsfreier 

Membranzustand entsteht. 

Bei Beachtung dieser Grundsätze gelingt es, die wirtschaftlichen Vorteile einer Schalenkonstruktion 

auszunutzen, die in dem geringen spezifischen Baustoffeinsatz und in der Kopplung 


von Tragkonstruktion und Raumabschluss bestehen. Nicht übersehen werden darf aber der 

hohe Lohnaufwand für die Herstellung der großen gekrümmten Flächen. 

Eine allgemeine Übersicht über die Brauchbarkeit der Membrantheorie gibt die folgende 

Tabelle, in der ein Parameter 

α = 100h 

r 

11 

(1.1) 

(h: Schalendicke, r: Radius der Mittelfläche) als Kenngröße eingeführt wird. Dieser Parameter 

ist gleichzeitig ein Ausdruck für die Leichtigkeit (manchmal auch Schlankheit genannt) einer 

Schale (eine Schale ist um so schlanker, je kleiner α ist). 

Parameter Anwendungsbereich Membrantheorie 

α = 20 (r = 5h) Gültigkeitsgrenze der Theorie unbrauchbar 

dünner Schalen (Biegetheorie) 

20 > α > 10 sehr dicke Schalen (Rohre) unbrauchbar 

10 > α > 4 dicke Schalen (Schornsteine) bedingt brauchbar 

4 > α > 0, 5 dünne Schalen (Dächer) brauchbar 

0, 5 > α (r > 200h) sehr dünne Schalen (Stahlbehälter, brauchbar 

Membranen) (bedingt, wg. Stabilität) 

Tabelle 1.1: Brauchbarkeit der Membrantheorie 

Als Geburtsstunde der modernen Schalen wird i.a. das Jahr 1923 genannt. In diesem Jahr 

entstand das Schalendach über der Absprengerei der Fa. Schott in Jena, bei der eine Schale 

mit 6 cm Dicke eine Spannweite von 40 m überdacht und damit die sogenannte Gewölbekühnheit 

” Spannweite / Schalendicke“ = 4 000/6 = 666 erreicht, während bis zu diesem Zeitpunkt 

die größte erreichte Kühnheit mit 50 (Pantheon in Rom: 44) angegeben wird. Der Entwurf, 

die Berechnung und Konstruktion dieser Schale (wie auch der weiterer Schalendächer) geht 

auf Bauersfeld und Dischinger zurück. Zumpe [13] hat diese Zahlen in einer in der 

Abbildung 1.2 wiedergegebenen Zeittafel zusammengefasst, die eindrucksvoll diesen oben 

genannten Sprung zum Ausdruck bringt. 



Abb. 1.2: Entwicklung der Schalentragwerke 

In den folgenden Abbildungen 1.3 bis 1.9 sind aus der sehr großen Vielfalt der möglichen 

Schalenformen (s. Abschnitt 2.2) einige ausgeführte typische Schalentragwerke dargestellt. 

Abb. 1.3: Kühlturm Weisweiler Abb. 1.4: Dachschale von Candela in Xochimilco/Mexiko 


Abb. 1.5: Dachschale von Isler in Deitingen/Schweiz 

Abb. 1.6: Dachschalen des Opernhauses in Sydney 

Abb. 1.7: Kleiner Sportpalast von Nervi in Rom 

TU Dresden, BIW Skript: ” Schalentragwerke“ Stand 2/2005 

13


Abb. 1.8: Faulbehälter Ilverich/Düsseldorf 

Abb. 1.9: Schwimmbad Sechslingspforte Hamburg 


Kapitel 2 

Berechnungsgrundlagen einer 

technischen Schalentheorie 

2.1 Voraussetzungen, Annahmen und Definitionen 

Annahmen bezüglich: 

Abb. 2.1: Bezeichnungen der Schale 

1. Geometrie 

• Schalenmittelfläche (SMF) beliebig gekrümmt (s. Abschnitt 2.2): F(X, Y, Z) = 0 

• Dünne-Hypothese: h ≪ lX, h ≪ lY und h ≪ r1, h ≪ r2 

mit h �= Schalendicke, 

lX, lY �= Hauptabmessungen und 

r1, r2 �= Hauptkrümmungsradien (s. Abb. 2.2) der Schalenmittelfläche 

• Schalendicke konstant (bzw. nur schwach veränderlich) 

15

16 2. Berechnungsgrundlagen einer technischen Schalentheorie 

2. Belastung 

• auf den Schalenlaibungen (Werte, bezogen auf die Schalenmittelfläche) 

– tangential: px, py 

– normal: pz 

• auf den Schalenrändern 

– Randkräfte: nx, ny, nxy, nyx, qx, qy (oder nx0, ny0, . . ., nxR, nyR, . . . .) 

– Randmomente: mx, my, mxy, myx 

• keine konzentrierten Lasten (insbesondere keine Einzelkräfte und -momente) 

3. Kinematik 

• Infinitesimale Formänderungen 

• Kirchhoff–Love–Hypothese (Normalen, die vor der Verformung senkrecht zur 

Schalenmittelfläche sind, sind auch nach der Verformung senkrecht (normal) zur 

Schalenmittelfläche) 

→ Technische Schalentheorie 

4. Werkstoffverhalten 

• Werkstoff sei: 

– homogen 

– ideal elastisch 

– isotrop 

– Mit der Bedingung einer in Dickenrichtung zu vernachlässigenden Spannung 

σz

2.2 Geometrie der Schalenmittelfläche 17 

2.2 Geometrie der Schalenmittelfläche 

Hauptkrümmungsradien 1 : 

r1 = 1 

, r2 = 1 

k1 

k2 

Gausssches Krümmungsmaß: 

k = k1k2 

Mittlere Krümmung: 

(2.2) 

(2.3) 

H = 1 

2 (k1 + k2) (2.4) 

k = k1k2 = 1 

r1r2 

Abb. 2.2: Hauptkrümmungen einer Fläche 

> 0: r1, r2 auf gleicher Schalenseite → positiv gekrümmte Fläche 

= 0: r1 → ∞ oder r2 → ∞ → abwickelbare Fläche 

< 0: r1, r2 auf entgegengesetzter Schalenseite → negativ gekrümmte Fläche 

Grundformen von Schalenmittelflächen: 

1. Rotationsschalen: 

Kugelschale (r1 = r2 = a): X 2 + Y 2 + Z 2 − a 2 = 0 

Kegelschale: X 2 + Y 2 − Z 2 

� 

a 

�2 = 0 

c 

Rotationsparaboloid: X 2 + Y 2 − Z a 

einschaliges Rotationshyperboloid: 

= 0 

c 

X 2 + Y 2 − Z 2 

� 

a 

�2 − a 

c 

2 = 0 

2. Zylinderschalen: 

Kreiszylinderschale (r1 = a, r2 → ∞): X 2 + Y 2 − a 2 = 0 

Elliptische Zylinderschale: 

3. Translationsschalen: 

Elliptisches Paraboloid: 

Hyperbolisches Paraboloid: 

X2 2 Y 

+ − 1 = 0 

a2 b2 X2 2 Y Z 

+ − 

a2 b2 c 

X2 2 Y Z 

− − 

a2 b2 c 

1 Hauptkrümmungen sind minimale und maximale Krümmungen bei gleichzeitigem Verschwinden der 

Verwindung. 


= 0 

= 0


Abb. 2.3: Rotationsschalen 

Abb. 2.4: Zylinder- und Translationsschalen 


2.2 Geometrie der Schalenmittelfläche 19 

4. Zusammengesetzte Schalen: 

Abb. 2.5: Zusammengesetzte Schalen 

Der Intze-Behälter (Abb. 2.5) ist dadurch gekennzeichnet, dass für den Hauptlastfall die 

horizontale Belastung des Auflagers zu Null wird, d.h. die Horizontalkomponenten der beiden 

Schalen gleichen sich (am Auflager oder am Ringträger) aus. 

Die Torusschale (Abb. 2.6) vereinigt alle Krümmungen in einer Schale. 

Abb. 2.6: Torusschale 



2.3 Spannungen und Schnittgrößen 

Abb. 2.7: Schalenmittelfläche und Schalenelement 

dxdy im globalen Koordinatensystem 

XY Z 

Definitionen der Schnittkräfte: 

Längskräfte [kN/m]: 

nx = 

� + h 

2 

− h 

2 

σx 

� 

1 + z 

Schubkräfte [kN/m]: 

nxy = 

� + h 

2 

− h 

2 

τxy 

ry 

� 

1 + z 

� 

dz ny = 

ry 

� 

dz nyx = 

Abb. 2.8: Schalenelement mit lokalen Koordinaten 

xyz und Spannungen (diese nur an 

der Vorderseite gezeichnet) 

� + h 

2 

− h 

2 

σy 

� + h 

2 

− h 

2 

� 

1 + z 

τyx 

rx 

� 

1 + z 

� 

dz (2.5) 

rx 

� 

dz (2.6) 


2.3 Spannungen und Schnittgrößen 21 

Biegemomente [kNm/m]: 

� h 

+ 2 

mx = − 

− h 

� 

σx 1 + 

2 

z 

� 

z dz my = − 

ry 

Drillmomente [kNm/m]: 

� h 

+ 

2 

mxy = − 

− h 

� 

τxy 1 + 

2 

z 

� 

z dz myx = − 

ry 

Querkräfte [kN/m]: 

� h 

+ 2 

qx = − 

− h 

� 

τxz 1 + 

2 

z 

� 

dz qy = − 

ry 

Positive Schnittgrößen am Element: 

� + h 

2 

� + h 

2 

− h 

2 

− h 

2 

σy 

� + h 

2 

− h 

2 

τyz 

� 

1 + z 

τyx 

� 

1 + z 

rx 

� 

1 + z 

rx 

� 

z dz (2.7) 

rx 

� 

z dz (2.8) 

� 

dz (2.9) 

Die Definition der positiven Schnittgrößen ist den Abbildungen 2.9 und 2.10 zu entnehmen. 

Abb. 2.9: Dehnungskräfte Abb. 2.10: Querkräfte, Biege- und Drillmomente 

Anmerkung: Positive Biegemomente liefern bei obiger Definition analog zur Plattentheorie 

auf der Schaleninnenseite (-unterseite) Zugspannungen. 



2.4 Problemklassifizierung 

Die eingeführten Schnittgrößen enthalten Membrananteile wie bei der Scheibentheorie und 

Biegeanteile wie bei der Plattentheorie. Die Zahl der Schnittgrößen beträgt 10, weshalb bei 

nur 6 möglichen Gleichgewichtsbedingungen jede vollständige Schalentheorie innerlich 4-fach 

statisch unbestimmt sein muss. 

Im Gegensatz zur Membrantheorie der Scheiben ist, wie später noch zu zeigen sein wird, 

auch bei einer Belastung senkrecht zur Schalenmittelfläche Gleichgewicht allein infolge der 

Membranschnittkräfte möglich. 

Die folgende Übersicht erlaubt eine Klassifizierung von Aufgabenstellungen im Rahmen der 

Schalentheorie, dabei sind im Vorgriff auf die in der Hauptsache zu behandelnden Rotationsschalen 

die entsprechenden Schnittgrößen gleichfalls mit angegeben. 

nx, ny, nxy, nyx 

n ϕ, n ϑ, n ϕϑ, n ϑϕ 

� �� 

Dehnungskräfte 

mx, my, mxy, myx, qx, qy 

m ϕ, m ϑ, m ϕϑ, m ϑϕ, q ϕ, q ϑ 

� �� 

Biegeschnittgrößen 

� �� 

Schalenbiegetheorie = Dehnungs- und Biegezustand 

Dehnungszustand: Biegezustand: 

Scheibe Mittelfläche eben Platte 

Membrantheorie 

Mittelfläche 

gekrümmt (Schale) Theorie der dehnungslosen Verformungen 

Schnittgrößen: 4 

Gleichgewichtsbed.: 3+1 

Schnittgrößen: 6 

Gleichgewichtsbed.: 1+3 

=⇒ innerlich statisch bestimmt =⇒ innerlich 2 - fach statisch unbestimmt 

einfache Berechnung gefährlich bei Schalentragwerken, 

vermeiden 

wirtschaftliche Konstruktion 

Membrantheorie Schalenbiegetheorie Theorie der dehnungslosen Verformung 

der SMF 

DS �= 0 DS �= 0 DS = 0 

BS = 0 BS �= 0 BS �= 0 

� �� 

technisch wichtiger 

Anwendungsbereich 

DS �= Dehnsteifigkeit und BS �= Biegesteifigkeit 


Kapitel 3 

Membrantheorie von Rotationsschalen 

3.1 Geometrie und Beschreibung von Rotationsschalen 

ϑ : Winkel zwischen P und beliebiger 

Nullrichtung in der Breitenkreisebene 

ϕ : Winkel zwischen Schalenachse 

und Schalennormalen in P 

r1 : Meridiankrümmungsradius in P 

(1. Hauptkrümmungsradius) 

: 2. Hauptkrümmungsradius in P: 

r2 

r2 = r0 

sin ϕ = 

r0 

cos (90 ◦ − ϕ) 

r0 : Breitenkreisradius in P 

X, Y, Z : globales kartesisches Koordinatensystem 

x, y, z : lokales kartesisches Koordinatensystem 

in P 

3.2 Belastung von Rotationsschalen 

Vorzeichendefinition der Belastung: 

px : positiv in Koordinatenrichtung +x (= +ϕ) 

py : positiv in Koordinatenrichtung +y (= +ϑ) 

pz : positiv in Koordinatenrichtung −z 

alle in 

� 

K kN 

bzw. 

L2 m2 Abb. 3.1: Bezeichnungen der Schale 

� 

, Kraft pro Flächeneinheit der Schalenmittelfläche 

23

24 3. Membrantheorie von Rotationsschalen 

• Eigengewicht g: 

geg.: g 

[Kraft pro Schalenmittelflächeneinheit] 

py =0 

px =g sin ϕ 

pz =g cosϕ 

• Schneebelastung s: 

geg.: s 

[Kraft pro Grundrissflächeneinheit] 

py =0 

px =scosϕsin ϕ 

pz =scos 2 ϕ 

• Windbelastung w: 

px =0 

py =0 

pz =w 

Abb. 3.2: Eigengewichtsbelastung g 

Abb. 3.3: Schneebelastung s 

Beispiel für die Approximation einer gemessenen Winddruckverteilung: 

pz = q sin ϕ (0, 5 cosϑ + 1, 2 cos2ϑ − 0, 7) mit q �= Staudruck 

allgemein gilt: px = px (q, ϕ, ϑ); py = py (q, ϕ, ϑ); pz = pz (q, ϕ, ϑ). 

Abb. 3.4: Windbelastung w 


3.3 Gleichgewichtsbedingungen 25 

3.3 Gleichgewichtsbedingungen 

Abb. 3.5: Belastung und Schnittgrößen am Schalenelement 



Kräftegleichgewicht: 

• in x-Richtung (ϕ-Richtung): 

∂nϑϕ 

∂ϑ dϑr1 

∂ (nϕr0) 

dϕ + 

∂ϕ dϕ dϑ − nϑr1 dϕ dϑ cos ϕ + pxr0 dϑr1 dϕ = 0 (3.1) 

• in y-Richtung (ϑ-Richtung): 

∂nϑ 

∂ϑ dϑr1 dϕ + 

• in z-Richtung: 

mit 

∂ (nϕϑr0) 

dϕ dϑ + nϑϕr1 dϕ dϑ cosϕ + pyr0 dϑr1 dϕ = 0 (3.2) 

∂ϕ 

nϑr1 dϕ dϑ sin ϕ + nϕr0 dϑdϕ + pzr0 dϑr1 dϕ = 0 (3.3) 

z 

rx 

ergibt sich: 

≪ 1 und z 

ry 

≪ 1 ⇒ 1 + z 

rx 

≈ 1 + z 

ry 

≈ 1 sowie τxy = τyx ⇒ nϕϑ = nϑϕ 

(3.4) 

∂nϕϑ 

∂ϑ r1 

∂ (nϕr0) 

+ 

∂ϕ − nϑr1 cos ϕ + pxr0r1 = 0 (3.5) 

∂nϑ 

∂ϑ r1 + 

∂ (nϕϑr0) 

∂ϕ 

mit r0 = r2 sin ϕ. 

+ nϕϑr1 cosϕ + pyr0r1 = 0 (3.6) 

nϑ 

r2 

+ nϕ 

r1 

Für das Differentialgleichungssystem der Membrantheorie gilt: 

Unbekannte: nϕ, nϑ, nϑϕ = nϕϑ 

Bestimmungsgleichungen: 3 

+ pz = 0 (3.7) 

=⇒ das Gleichungssystem ist lösbar! Der Membranspannungszustand ist also ein statisch 

bestimmter Zustand. 


3.4 Gleichgewichtsbedingungen für rotationssymmetrische Belastung 27 

3.4 Gleichgewichtsbedingungen für rotationssymmetrische 

Belastung 

Voraussetzung: py ≡ 0 

Folge: 

1. keine Veränderlichkeit in ϑ−Richtung: 

∂ (. . .) 

∂ϑ 

2. keine zu einem Meridian antimetrischen Schnittgrößen: nϑϕ = nϕϑ = 0 

Damit vereinfacht sich das Differentialgleichungssystem aus Abschnitt 3.3 zu: 

∂ (nϕr0) 

∂ϕ − nϑr1 cosϕ + pxr0r1 = 0 (3.8) 

nϑ 

r2 

+ nϕ 

r1 

Unbekannte : nϕ, nϑ 

Bestimmungsgleichungen : 2 

=⇒ das Gleichungssystem ist lösbar! 

Übergang zu gewöhnlicher Differentialgleichung: 

= 0 

+ pz = 0 (3.9) 

d (nϕr0) 

dϕ − nϑr1 cosϕ + pxr0r1 = 0 (3.10) 

nϑr1 + nϕr2 + pzr1r2 = 0 (3.11) 

Nach Elimination von nϑ und Zusammenfassung: 

d (nϕr0) 

dϕ 

sin ϕ + nϕr0 cosϕ = −pxr0r1 sin ϕ − pzr0r1 cosϕ (3.12) 

Analytische Integration: 

d 

dϕ (nϕr0 sin ϕ) = −pxr0r1 sin ϕ − pzr0r1 cosϕ (3.13) 

� 

nϕr0 sin ϕ = − {pxr0r1 sin ϕ + pzr0r1 cos ϕ} dϕ (3.14) 

nϕ = − 1 

�� 

� 

(px sin ϕ + pz cosϕ)r0r1 dϕ + C1 

r0 sin ϕ 

� 

nϑ = −r2 pz + 

(3.15) 

nϕ 

� 

(3.16) 

r1 



Anschauliche Integration: 

PΣ: Gesamtlast oberhalb ϕ: 

� KV = 0 : 

0 = PΣ + nϕ2πr0 sin ϕ (3.17) 

PΣ 

nϕ = − 

2πr0 sin ϕ 

� 

nϑ = −r2 

pz + nϕ 

r1 

� 

(3.18) 

(3.19) 

Abb. 3.6: Gleichgewicht am Schalenabschnitt 

3.5 Formänderung unter rotationssymmetrischer Belastung 

Abb. 3.7: Formänderungen 


3.6 Verknüpfung von Schnittgrößen und Formänderungen – Werkstoffgesetz 29 

εϕ = 

� 

ds + ∂u 

∂ϕ dϕ 

� 

r1+w 

− ds r1 

≈ 

ds 

1 

� � 

∂u 

+ w 

r1 ∂ϕ 

εϑ = 2π (r0 + ∆r0) − 2πr0 

2πr0 

= ∆r0 

r0 

= 1 

r0 

(3.20) 

(u cosϕ + w sin ϕ) (3.21) 

Für rotationssymmetrische Problemstellungen ist analog zu den Schnittgrößen ein Übergang 

zu gewöhnlichen Differentialgleichungen möglich. Damit wird: 

εϕ = 1 

� � 

du 

+ w 

(3.22) 

dϕ 

r1 

Auflösung nach u, w: 

r1εϕ − r2εϑ 

= 

sin ϕ 

du 1 cosϕ 

− u 

dϕ sin ϕ sin 2 ϕ 

� 

� 

�� 

� 

� 

d u 

dϕ sin ϕ 

�� 


u = sin ϕ 

dϕ + C2 

sin ϕ 

(3.23) 

w = r0εϑ 

− u cotϕ 

sin ϕ 

(3.24) 

∆r0 = u cosϕ + w sin ϕ 

χ = 

(3.25) 

u 

− 

r1 

∂w 

� 

1 

= u − 

r1∂ϕ r1 

∂w 

� 

bzw. 

∂ϕ 

χ = 1 

� 

u − dw 

� 

dϕ 

(3.26) 

r1 

3.6 Verknüpfung von Schnittgrößen und Formänderungen 

– Werkstoffgesetz 

Werkstoffgleichungen: 

• Werkstoff homogen und isotrop 

• Hookesches (linear elastisches) Material 

εx = 1 

E (σx − µσy) ; εy = 1 

E (σy − µσx) ; γxy = τxy 

G 

mit: E Elastizitätsmodul 

G Gleitmodul, Schubmodul G = 

µ Querdehnungszahl 

E 

2 (1 + µ) 

= τyx 

G = γyx (3.27) 



→ ebener Spannungszustand 

Scheibenschnittgrößen: Membranschnittgrößen: 

nx = σxt = D (εx + µεy) nx = σxh = D (εx + µεy) (3.28) 

ny = σyt = D (εy + µεx) ny = σyh = D (εy + µεx) (3.29) 

1 − µ 

nxy = τxyt = D 

mit den Dehnsteifigkeiten: 

D = Et 

1 − µ 2 

3.7 Randbedingungen 

2 γxy nxy = τxyh = D 

D = Eh 

1 − µ 2 

1 − µ 

2 γxy (3.30) 

(3.31) 

Für die Membrantheorie gilt näherungsweise, dass die Schnittgrößen (mϕ, mϑ, mϕϑ, qϕ, qϑ) 

der Biegetheorie im Vergleich zu denen der Membrantheorie (nϕ, nϑ, nϕϑ) klein sind. Für 

eine korrekte Beurteilung, ob die Biegeschnittgrößen für die Tragwirkung vernachlässigt werden 

können, ist entweder eine Beurteilung der zugeordneten maximalen Spannungen oder 

der zugeordneten Verformungsenergie maßgeblich. 

Dies wird in Randnähe durch die Wahl der Randbedingungen insbesondere beeinflusst. 

kein Gleichgewicht 

im Rahmen der 


mögliche 

Randbedingung für 


Abb. 3.8: Randbedingungen 

Randbedingungen mit 

Randstörung/ 

Biegestörung 


3.8 Rotationsschalen besonderer Meridianform 31 

3.8 Rotationsschalen besonderer Meridianform 

3.8.1 Kugelschale 

r1 = r2 = r (3.32) 

r0 = r sin ϕ (3.33) 

Abb. 3.9: Geometrie und Belastung der Kugelschale 

Grundgleichungen: 

nϕ = − 1 

�� 

� 

(px sin ϕ + pz cosϕ) r0r1 dϕ + C1 

(3.34) 

r0 sin ϕ 

nϕ = − r 

sin 2 �� 

(px sin ϕ + pr cosϕ)sin ϕ dϕ + C 

ϕ 

∗ � 

1 

(3.35) 

nϑ = − (nϕ + prr) (3.36) 

�� 


u = sin ϕ 

dϕ + C2 

(3.37) 

sin ϕ 

�� 

1 

Ehu = r sin ϕ (1 + µ) 

sin ϕ (nϕ − nϑ) dϕ + C ∗ � 

2 

(3.38) 

�� 

1 

Ehw = r (nϑ − µnϕ) − r cosϕ(1 + µ) 

sin ϕ (nϕ − nϑ) dϕ + C ∗ � 

2 (3.39) 

Eh∆r0 = −r sin ϕ [rpr + nϕ (1 + µ)] (3.40) 

� 

Ehχ = −r (1 + µ)px − dpr 

� 

(3.41) 

dϕ 

Anmerkung: 

∆r0 = Änderung des Breitenkreishalbmessers r0 (positiv nach außen) 

χ = Änderung des Winkels ϕ, d.h. Drehung der Meridiantangente 

(positiv im Sinne von ϕ) 



Eigengewicht: g = γh ⇒ px = g sin ϕ; pr = g cosϕ 

nϕ = − r 

sin 2 �� 

�g � 2 2 ∗ 

sin ϕ + g cos ϕ sin ϕ dϕ + C1 (3.42) 

ϕ 

nϕ = − gr 

sin2 [− cosϕ + C∗∗ 1 ] (3.43) 

ϕ 

nϑ = gr 

sin 2 � ∗∗ C1 − cosϕ 

[− cos ϕ + C∗∗ 1 ] − gr cosϕ = gr 

ϕ sin 2 � 

− cosϕ 

(3.44) 

ϕ 

Stetige Lösung für ϕ = 0 ⇒ C ∗∗ 

1 

= 1 

1 − cosϕ 

sin 2 ϕ = 

1 

1 + cosϕ 

1 

nϕ = −gr 

1 + cosϕ 

� 

� 

1 

nϑ = gr − cosϕ 

1 + cos ϕ 

Eh∆r0 = gr 2 � � 

1 + µ 

sin ϕ 

− cos ϕ 

1 + cos ϕ 

Zahlenbeispiel: 

(3.45) 

(3.46) 

(3.47) 

Ehχ = −gr sin ϕ (2 + µ) (3.48) 

Abb. 3.10: Schnittkraftverläufe der Kugelschale unter Eigengewicht 

(an einer vertikalen Bezugsgerade aufgetragen) 

r = 24 m; h = 10 cm; γ = 24 kN/m 3 ; g = 2, 4 kN/m 2 

nϑ (ϕ = 90 ◦ ) = 2, 4 · 24 kN/m = 57, 6 kN/m 

57, 6 

σϑ = 

0, 1 kN/m2 = 576 kN/m 2 = 57, 6 N/cm 2 



Laternenlast: 

nϕ = − r 

sin 2 �� 

ϕ 

nϕ (ϕ = ϕo) = nϕo = − r 

Abb. 3.11: Kugelschale unter Laternenlast 

(px sin ϕ + pz cosϕ)sin ϕ dϕ + C ∗ 1 

sin 

= −nϕo 

2 ϕo 

sin 2 [C 

ϕo 

∗ 1 ] ⇒ C∗ 1 

nϕ = − r 

sin2 � 

− 

ϕ 

sin2 � 

ϕo sin 

nϕo = nϕo 

r 

2 ϕo 

sin2 ϕ 

sin ϕo 

nϕ = −G 

sin 2 (Druckkraft!) 

ϕ 

nϑ = −nϕ = + G sinϕo 

sin 2 ϕ 

sin ϕo 

Eh∆r0 = + Gr (1 + µ) 

sin ϕ 

Ehχ = 0 

(Zugkraft!) 

Abb. 3.12: Schnittkraftverläufe der Kugelschale unter Laternenlast 


r 

�


Biegestörungen an der Einleitungsstelle beachten! 

3.8.2 Kegelschale 

ϕ = konst. (3.49) 

r1 = ∞ (3.50) 

r2 = s cot ϕ (3.51) 

r0 = s cosϕ (3.52) 

ds = r1dϕ (3.53) 

Abb. 3.13: Geometrie der Kegelschale 

Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Gleichungen (3.5) bis (3.7)): 

Meridianrichtung: 

∂nϕϑ 

∂ϑ 

1 

cosϕ 

Ringrichtung: 

∂nϑ 

∂ϑ 

1 

cosϕ 

Normalenrichtung: 

+ ∂ (nϕr0) 

r1∂ϕ 

+ ∂ (nϕϑr0) 

r1∂ϕ 

1 

cosϕ − nϑ 

r0 

+ px = 0 (3.54) 

cosϕ 

1 

cosϕ + nϕϑ + py 

r0 

cosϕ 

= 0 (3.55) 

r2 

nϑ + nϕ + pzr2 = 0 (3.56) 

r1 

Grenzübergang zur Kegelschale: 

∂nϕϑ 

∂ϑ 

∂nϑ 

∂ϑ 

1 

cosϕ 

1 ∂ (nϕϑs) 

+ + nϕϑ + pys = 0 

cosϕ ∂s 

(3.58) 

nϑ + pzs cot ϕ = 0 (3.59) 

+ ∂ (nϕs) 

∂s − nϑ + pxs = 0 (3.57) 

Alternativ gilt folgende Schreibweise: 

nϕ = ns; nϕϑ = nϑϕ = nϑs; ....... ⇒ ϕ �=s (3.60) 

Rotationssymmetrische Belastung: 

py = 0; 

∂ (. . .) 

∂ϑ = 0; nϕϑ = 0; 

∂ (. . .) 

∂s 

= d (. . .) 

ds 

(3.61) 



d (nϕs) 

ds − nϑ + pxs = 0 (3.62) 

Beispiel: 

nϑ + pzs cotϕ = 0 (3.63) 

nϕ = ns = − 1 

�� 

� 

(px + pz cot ϕ)sds + C 

(3.64) 

s 

Lastfall Eigengewicht: 

px = g sin ϕ; pz = g cosϕ; 

nϑ = −pzs cotϕ (3.65) 

nϑ = −pz cot ϕs = −g cos2 ϕ 

sin ϕ s 

ns = − 1 

�� 

g sin ϕ + g 

s 

cos2 � � 

ϕ 

s ds + C 

sin ϕ 

ns = − g C 

s − 

2 sin ϕ s 

Geschlossene Kegelschale: Die Stetigkeit bei s = 0 verlangt C = 0: 

⇒ ns = − g 

2 sin ϕ s 

Für eine zusätzliche Laternenlast PΣ = G2πr0 am oberen Schalenrand gilt: 

Abb. 3.14: Kegelstumpfschale mit Laternenlast 

s = so : ns sin ϕ = − PΣ 

(PΣ = Gesamtlast der Laterne) 

2πr0 

− g 

2 so − C 

sin ϕ = − 

so 

PΣ PΣ 

g 

= − ⇒ C = − 

2πr0 2πso cosϕ 2 sin ϕ s2o + PΣ 

π sin 2ϕ 

Dies liefert die Membranschnittgrößen: 

ns = − g s 

2 sin ϕ 

2 − s2 o 

s 

nϑ = −g cos2 ϕ 

sin ϕ s 

− PΣ 1 

π sin 2ϕ s 



Formänderungen: 

Abb. 3.15: Schnittkraftverläufe der Kegelstumpfschale mit Laternenlast 

Für die Bestimmung der Formänderungen bei der Kegelschale empfiehlt sich eine alternative 

Beziehung für χ, die hier ohne Herleitung angegeben ist: 

χ = (εϕ − εϑ) cotϕ − r2 

r1 

∂εϑ 

∂ϕ 

Insgesamt erhält man folgende Resultate für die Formänderungen: 

∆r0 = εϑr0 = εϑr2 sin ϕ 

∆r0 = 1 

Eh (nϑ − µns) r2 sin ϕ = 1 

Eh (nϑ − µns)scosϕ (3.66) 

χ = 1 

� 

(1 + µ)(ns − nϑ)cot ϕ − 

Eh 

r2 ∂ 

∂ϕ (nϑ 

� 

− µns) 

Für den Kegel verwendet man zweckmäßigerweise: 

r1dϕ = ds; r2 = s cot ϕ 

Dies ergibt: 

χ = 

cot ϕ 

Eh 

� 

(1 + µ) (ns − nϑ) − s d 

ds (nϑ 

� 

− µns) 

r1 

(3.67) 



3.8.3 Kreiszylinderschale 

r1 = ∞ (3.68) 

r2 = konst. = r0 

ϕ = π 

2 

(3.69) 

(3.70) 

Abb. 3.16: Kreiszylinderschale 

Ausgegangen wird von den Gleichungen (3.5) bis (3.7), die durch r1 dividiert bzw. mit r0 

multipliziert werden: 

∂nϕϑ 

∂ϑ − nϑ 

∂ (nϕr0) 

cos ϕ + + pxr0 = 0 (3.71) 

∂s 

∂nϑ 

∂ϑ 

+ ∂ (nϕϑr0) 

∂s 

+ nϕϑ cosϕ + pyr0 = 0 (3.72) 

Grenzübergang zur Kreiszylinderschale (ϕ = π 

2 

∂nϑϕ 

∂ϑ 

∂nϑ 

∂ϑ 

nϑ + pzr0 = 0 (3.73) 

; cosϕ = 0): 

+ ∂nϕ 

∂s r0 + pxr0 = 0 (3.74) 

+ ∂nϕϑ 

∂s r0 + pyr0 = 0 (3.75) 

nϑ + pzr0 = 0 (3.76) 

Alternativ gilt folgende Schreibweise: 

nϕ = nx; nϕϑ = nϑϕ = nϑx; r0 �= a (3.77) 

Für rotationssymmetrische Belastung: 

py = 0; 

∂ (. . .) 

∂ϑ = 0; nϑx = 0; 

folgt: 

dnx 

dx + px 

� 

= 0 ⇒ nx = − 

nϑ + pzr0 = 0 ⇒ nϑ = −pzr0 

∂ (. . .) 

∂s 

= d (. . .) 

ds 

= d (. . .) 

dx 

(3.78) 

px dx + C (3.79) 

(3.80) 



Verformungen: 

∆r0 = 1 

Eh (nϑ − µnx) r0 

χ = − r0 d 

Eh dx (nϑ − µnx) = r2 0 

Eh 

u = 1 

� 

(nx − µnϑ) dx + C2 

Eh 

� dpz 

dx 

3.8.4 Beliebige Meridianform 

nϕ = − PΣ(ϕ ′ ) 

nϑ = r′ 0 

sin ϕ ′ 

2πr ′ 0 sin ϕ ′ 

� 

−pz − nϕ 

r ′ 1 

− µpx 

r0 

� 

= −r ′ � 

2 pz + nϕ 

r ′ � 

1 

Abb. 3.17: Schale mit beliebiger Meridianform 

� 

(3.81) 

(3.82) 

(3.83) 

(3.84) 

(3.85) 


Kapitel 4 

Allgemeine technische Biegetheorie 

der Kreiszylinderschale 

Allgemeines: 

Beschreibung der Geometrie der Schalenmittelfläche 

analog Abschnitt 3.1 mit 

r1 = ∞ (4.1) 

r2 = a (4.2) 

4.1 Gleichgewichtsbedingungen 

∂ (. . .) 

Kennzeichnung: 

∂x = (. . .)′ ∂ (. . .) 

; = (. . .)• 

∂ϑ 

Zu den Membranschnittgrößen nx, nϑ, nxϑ, nϑx treten 

2 Biegemomente: mx, mϑ 

2 Drillmomente: mxϑ, mϑx 

2 Querkräfte: qx, qϑ 

hinzu. Insgesamt sind also 10 Schnittgrößen vorhanden. 

39 

Abb. 4.1: Zylinderkoordinaten x, ϑ, a

40 4. Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale 

Definition der Schnittkräfte: 

Die Definition der Schnittgrößen ist analog zu Abschnitt 2.3 zu übernehmen, wobei hier gilt 

ry = a und rx = ∞. 

Längskräfte [kN/m]: 

nx = 

� + h 

2 

− h 

2 

σx 

� 

Schubkräfte [kN/m]: 

nxϑ = 

� + h 

2 

− h 

2 

τxy 

1 + z 

� 

a 

� 

1 + z 

� 

a 

Biegemomente [kNm/m]: 

� h 

+ 2 

mx = − 

− h 

� 

σx 

2 

1 + z 

a 

Drillmomente [kNm/m]: 

� h 

+ 2 

mxϑ = − 

− h 

� 

τxy 

2 

Querkräfte [kN/m]: 

1 + z 

a 

� h 

+ 2 

qx = − 

− h 

� 

τxz 1 + 

2 

z 

� 

a 


• in x-Richtung: 

dz nϑ = 

dz nϑx = 

� + h 

2 

− h 

2 

� + h 

2 

− h 

2 

σy dz (4.3) 

τyx dz (4.4) 

� 

� h 

+ 2 

z dz mϑ = − 

− h 

σyz dz (4.5) 

2 

� 

� h 

+ 2 

z dz mϑx = − 

− h 

τyxz dz (4.6) 

2 

� h 

+ 2 

dz qϑ = − 

− h 

τyz dz (4.7) 

2 

n ′ x dxa dϑ + n• ϑx dϑdx + pxa dϑdx = 0 (4.8) 

• in y-Richtung (ϑ-Richtung): 

n ′ xa + n • ϑx + pxa = 0 (4.9) 

n • ϑ dϑdx + n′ xϑ dxa dϑ − qϑ dϑdx + py a dϑdx = 0 (4.10) 


n • ϑ + n′ xϑ a − qϑ + pya = 0 (4.11) 

q • ϑ + nϑ + q ′ x a + pza = 0 (4.12) 


4.1 Gleichgewichtsbedingungen 41 

Momentengleichgewicht: 

• um die x-Achse: 

Abb. 4.2: Schnittgrößen der Kreiszylinderschale 

m ′ xϑdxa dϑ − qϑ dxa dϑ − q • a dϑ 

ϑ dϑdx 

2 + m•ϑ dϑdx = 0 (4.13) 

−qϑa + m ′ xϑa + m • ϑ = 0 (4.14) 

• um die y-Achse: 

−m • ϑx + qxa − m ′ xa = 0 (4.15) 



• um die z-Achse: 

mϑx + (nxϑ − nϑx)a = 0 (4.16) 

(mit Boltzmann-Axiom näherungsweise 1 erfüllt) 

Elimination der Querkräfte: 

qϑ = m ′ xϑ + m• ϑ 

qxa = m • ϑx + m′ x a q′ x 

a 

q • ϑ = m′• xϑ 

m•• ϑ 

+ 

a = m•′ 

ϑx + m′′ x 

Einsetzen ergibt eine Reduzierung auf 3 Gleichungen: 

(4.17) 

a 

a (4.18) 

n ′ x a + n• ϑx + pxa = 0 (4.19) 

n • ϑ + n′ xϑ a − m′ xϑ − m• ϑ 

a + pya = 0 (4.20) 

m ′• xϑ + m•• ϑ 

a + nϑ + m •′ 

ϑx + m ′′ xa + pza = 0 (4.21) 

Gleichgewichtsbedingungen bei drehsymmetrischer Belastung: 

Voraussetzung: py = 0 

Folgen der Drehsymmetrie: 

∂ (. . .) 

∂ϑ = 0; mxϑ = qϑ = nxϑ = 0 (4.22) 

ergibt: 

n ′ x a + pxa = 0 (integrierbar) (4.23) 

nϑ + m ′′ xa + pza = 0 (4.24) 

1 vgl. Flügge für ergänzende Kommentare 


4.2 Formänderungen 43 

4.2 Formänderungen 

Verschiebungen u, v, w in x-, ϑ(s)-, z-Richtung: 

Formänderungen der Schalenmittelfläche: 

Verzerrungen der Schalenmittelfläche 

(Abb. 4.3 und 4.4): 

εx = u′ dx 

= u′ 

dx 

∂v 

εϑ = ∂s ds 

(a + w) dϑ − a dϑ 

+ 

ds a dϑ 

εϑ = v• w 

+ 

a a 

γxϑ = γ1 + γ2 = v′ dx ∂u ds 

+ 

dx ∂s ds 

= u• 

+ v′ 

a 

(4.25) 

(4.26) 

(4.27) 

Verschiebungen des Punktes D (Abb. 4.4): 

u + ∂u 

∂s 

ds, v + ∂v 

∂s 

Abb. 4.3: Formänderungen der Schalenmittelfläche 

∂w 

ds, w + ds (4.28) 

∂s 

Verschiebungen des Punktes B (Abb. 4.4): 

u + u ′ dx, v + v ′ dx, w + w ′ dx (4.29) 



Schnitt längs Erzeugender Schnitt längs Breitenkreis 

Abb. 4.4: Schnitte zur Bestimmung der Formänderung der Schalenmittelfläche 

Formänderungen des Schalenkontinuums: 

Wie zuvor, jedoch gilt 2 : 

u, v, w ⇒ uz, vz, wz 

a ⇒ a + z 

Annahme: wz ≈ w, dann 

uz = u − zw ′ 

(4.30) 

Abb. 4.5: Schnitt längs Erzeugender 

2 Ab hier werden die Bezeichnungen uz = u(z), vz = v(z) und wz = w(z) benutzt. 


4.3 Werkstoffgesetz und Schnittgrößen 45 

vz + z w• + z 

= va 

a a 

a + z 

⇒ vz = v 

a 

− zw• 

a (4.31) 

Verzerrungen des Schalenkontinuums: 

εx(z) = u ′ z = u′ − zw ′′ 

εϑ(z) = v• z wz 

+ 

a + z a + z 

� 

1 

= v 

•a + z 

a + z a 

γxϑ(z) = u•z a + z + v′ u• + z 

z = + v′a 

a + z a − 

aus der Dünnehypothese: z ≪ a ⇒ a + z ≈ a: 

εx(z) = u ′ − zw ′′ 

εϑ(z) = v• 

a 

+ w 

a 

− zw•• 

a 2 

γxϑ(z) = u• 

a + v′ − 2 z 

a w′• 

Abb. 4.6: Schnitt längs Breitenkreis 

� 

+ w − zw•• 

a 

� � 

z z 

+ w 

a + z a 

′• 

4.3 Werkstoffgesetz und Schnittgrößen 

σx = E 

1 − µ 2 (εx + µεϑ) = E 

1 − µ 2 

� 

σϑ = E 

1 − µ 2 (εϑ + µεx) = E 

1 − µ 2 

u ′ − zw ′′ + µ 

� 1 

a 

� • u 

τxϑ = τϑx = Gγxϑ = G 

a + v′ − 2 z 

a w′• 

� 

= 

a 

� 

v • + w − zw•• 

� 

v • + w − zw•• 

�� 

a 

� 

E 

2 (1 + µ) 

a 

+ µ [u ′ − zw ′′ ] 

� u • 

� 

a + v′ − 2 z 

a w′• 

� 

(4.32) 

(4.33) 

(4.34) 

(4.35) 

(4.36) 

(4.37) 

(4.38) 

(4.39) 

(4.40) 



Mit der Definition der Schnittgrößen aus Abschnitt 2.3 und ry = a; rx = ∞; Index: y �= ϑ 

sowie z 

= z 

a ≪ 1 ≈ 0 erhält man nxϑ = nϑx; mxϑ = mϑx. Mit 

ry 

D = Eh 

(Dehnsteifigkeit) und B = 

1 − µ 2 

Eh 3 

12 (1 − µ 2 ) 

ergibt sich für die Anteile aus der Verzerrung der Schalenmittelfläche 

� 

nx = D u ′ + µ 

a [v• � 

+ w] 

� 

1 

ny = D 

a [v• + w] + µu ′ 

� 

� � • 1 − µ u 

nxϑ = nϑx = D + v′ 

2 a 

(Biegesteifigkeit) (4.41) 

und aus der Verzerrung des Schalenkontinuums analog zur Plattenbiegung 

� 

mx = B w ′′ + µ w•• 

a2 � 

� � 

•• w 

mϑ = B + µw′′ 

a2 mxϑ = mϑx = B (1 − µ) w′• 

a 

Mit den Verzerrungen der Schalenmittelfläche folgt 

(4.42) 

(4.43) 

(4.44) 

(4.45) 

(4.46) 

(4.47) 

nx = D (εx + µεϑ) (4.48) 

nϑ = D (εϑ + µεx) (4.49) 

1 − µ 

nxϑ = nϑx = D 

2 γxϑ (4.50) 

Schließlich werden die Querkräfte durch die Verschiebungen ausgedrückt, indem die Momentengleichgewichtsbedingungen 

um die x-Achse und y-Achse (s. Abschnitt 4.1) nach den 

Querkräften aufgelöst und die darin auftretenden Ableitungen der Momente durch w ersetzt 

werden: 

Hinweis: keine selbständigen konstitutiven Gleichungen (Werkstoffgleichungen). 

� ′′• w w••• 

qϑ = B + 

a a3 � 

; 

� ••′ w 

qx = B 

a2 � 

+ w′′′ 

Unbekannte und Anzahl der Gleichungen: 

Unbekannte: nx, nϑ, nxϑ = nϑx, mx, mϑ, mxϑ = mϑx, qϑ, qx, 

(14 Unbekannte) u, v, w, εx, εϑ, γxϑ = γϑx 

Gleichungen: 5 Gleichgewichtsbedingungen 

(14 Bestimmungs- 6 Werkstoffgleichungen 

gleichungen) 3 kinematische Beziehungen 

(4.51) 


4.4 Flüggesches Differentialgleichungssystem 47 

4.4 Flüggesches Differentialgleichungssystem 

Flügge benutzt die Verzerrungsbeziehungen sowie die vollständigen Definitionsgleichungen 

für die Schnittgrößen: 

mit ry = a; rx = ∞ und Index y �= ϑ. 

Werkstoffgleichungen: 

Mit der Reihenentwicklung 

ln 

1 a + 2h a − 1 

h 

= 

h a 2 

h3 

+ + . . . (4.52) 

12a3 folgt z.B. aus Gl. (4.3) mit dem Hookeschen Gesetz [1. Gleichungsteil von Gl. (4.38) bzw. 

(4.39)], in das die Gleichungen (4.32) und (4.33) eingeführt werden, nach einigen Zwischenrechnungen: 

nx = D 

a (au′ + µ [v • + w]) − B 

a w′′ 

(4.53) 

nϑ = D 

a (v• + w + µau ′ ) + B 

a3 (w + w•• ) 

1 − µ 

nxϑ = D 

2a 

(4.54) 

(u• + av ′ 1 − µ 

) + B 

2a2 (v′ − w ′• ) 

1 − µ 

nϑx = D 

2a 

(4.55) 

(u• + av ′ 1 − µ 

) + B 

2a3 (u• + aw ′• ) 

mx = 

(4.56) 

B 

a2 � 

2 ′′ •• ′ • 

a w + µw − au − µv � 

mϑ = 

(4.57) 

B � � 

•• 2 ′′ 

w + µa w + w (4.58) 

a 2 

B (1 − µ) 

mxϑ = 

a 

B (1 − µ) 

mϑx = 

a2 Differentialgleichungssystem: 

(w ′• − v ′ ) (4.59) 

� 

aw ′• + u• 

� 

av′ 

− 

2 2 

(4.60) 

Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen Gl.(4.19) bis (4.21) liefert mit k = B h2 

= 

Da2 12a2: a 2 u ′′ 1 − µ 

+ 

2 u•• + µaw ′ 1 + µ 

+ 

2 av′• � 

1 − µ 

+ k 

2 u•• − a 3 w ′′′ 1 − µ 

+ 

2 aw′•• 

� 

+ pxa2 = 0 (4.61) 

D 

v •• 1 + µ 

+ 

2 au′• 1 − µ 

+ 

2 a2v ′′ + w • � 

3 (1 − µ) 

+ k a 

2 

2 v ′′ 3 − µ 

− 

2 a2w ′′• 

� 

+ pya2 = 0 (4.62) 

D 

� 

v • + w + µau ′ + k 

1 − µ 

2 au′•• − a 3 u ′′′ 3 − µ 

− 

2 a2v ′′• + 

+ a 4 w ′′′′ + 2a 2 w ′′•• + w •••• + 2w •• + w 

� 

+ pza 2 

D 

= 0 (4.63) 



4.5 Donnell–Jenkins–Theorie 

Donnell–Jenkins–Theorie ⇒ Randstörungsberechnung 

d.h. px = py = pz = 0 

benutzte Werkstoffgleichung: 

� 

nx = D u ′ + µ 

a [v• � 

+ w] 

� 

1 

ny = D 

a [v• + w] + µu ′ 

� 

� � • 1 − µ u 

nxϑ = nϑx = D + v′ 

2 a 

� 

mx = B w ′′ + µ w•• 

a2 � 

� � 

•• w 

mϑ = B + µw′′ 

a2 mxϑ = mϑx = B (1 − µ) w′• 

a 

Verzerrungsbeziehungen der Schalenmittelfläche: 

εx = u ′ ; εϑ = v• 

a 

Annahme: qϑ in der Gleichung (4.11) 

w 

+ 

a ; γxϑ = u• 

+ v′ 

a 

(4.64) 

(4.65) 

(4.66) 

(4.67) 

(4.68) 

(4.69) 

(4.70) 

n • ϑ + n′ xϑ a − qϑ + pya = 0 (4.71) 

vernachlässigbar (�= quasi-vollständige Biegetheorie oder vereinfachtes Flüggesches Differentialgleichungssystem) 

Damit folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen aus Abschnitt 4.1: 

n ′ xa + n • ϑx = 0 (4.72) 

n • ϑ + n′ xϑa = 0 (4.73) 

q • ϑ + nϑ + q ′ xa = 0 (4.74) 

−qϑa + m ′ xϑa + m • ϑ = 0 (4.75) 

qxa − m • ϑx − m ′ xa = 0 (4.76) 

Reduktion der Gleichungen auf eine Differentialgleichung 8. Ordnung: 

Einführung einer Spannungsfunktion F: 

nx = F •• ; nϑ = a 2 F ′′ ; nxϑ = nϑx = −aF ′• 

Damit Erfüllung des Kräftegleichgewichtes in x- und y-Richtung: 

(4.77) 

aF ••′ − aF ′•• = 0 (4.78) 

a 2 F ′′• − a 2 F ′•′ = 0 (4.79) 


4.5 Donnell–Jenkins–Theorie 49 

Aus den drei Formänderungsbedingungen 

εx = u ′ ; εϑ = v• 

a 

w 

+ 

a ; γxϑ = u• 

+ v′ 

a 

(4.80) 

folgt durch Auflösen der ersten beiden Gleichungen nach u und v und anschließendem Einsetzen 

in die 3. Bedingung die Identität (Verträglichkeitsbedingung): 

a 2 ε ′′ ϑ 

+ ε•• 

x 

− aγ′• 

xϑ − aw′′ = 0 (4.81) 

Aus den Gleichungen für die Verzerrungen der Schalenmittelfläche: 

εϑ = nϑ − µnx 

D (1 − µ 2 ) 

εx = nx − µnϑ 

D (1 − µ 2 ) 

γxϑ = 2nxϑ 

D (1 − µ) 

ergeben sich mit der Spannungsfunktion F die nachfolgenden Gleichungen: 

εϑ = a2F ′′ − µF •• 

D (1 − µ 2 ) 

εx = F •• − µa2F ′′ 

γxϑ = 

D (1 − µ 2 ) 

′• −2aF 

D (1 − µ) = −2aF ′• (1 + µ) 

D (1 − µ 2 ) 

Einsetzen in die Verträglichkeitsbedingung liefert: 

Mit 

(4.82) 

(4.83) 

(4.84) 

(4.85) 

(4.86) 

(4.87) 

a2 D (1 − µ 2 � 

2 ′′′′ ••′′ 

a F − µF 

) 

� + F •••• − µa2F ′′•• 

D (1 − µ 2 ) + a2aF ′′•• (1 + µ) 

D (1 − µ 2 ) − aw′′ = 0 (4.88) 

∆ = a 

2 

∂2 ∂2 

+ 

∂x2 ∂ϑ2 läßt sich dies auch darstellen durch: 

(4.89) 

∆∆F − D � 1 − µ 2� aw ′′ = 0 (4.90) 

Dies ist die 1. Differentialgleichung für F und w. 

2. Differentialgleichung: 

Mit der 3. Gleichgewichtsbedingung, in der die Querkräfte mittels der 4. und 5. Gleichgewichtsbedingung 

eliminiert werden, mit nϑ = a 2 F ′′ sowie den Verzerrungsgleichungen für 



das Schalenkontinuum folgt: 

2B (1 − µ) w′′•• 

a 

+ B 

a 

2m •′ 

xϑ + 1 

a m•• ϑ + nϑ + m ′′ xa = 0 

� � 

•••• w 

+ µw′′•• + a 

a2 (4.91) 

2 F ′′ � 

+ aB w ′′′′ + µw••′′ 

a2 � 

= 0 (4.92) 

B 

a3 � 

4 ′′′′ 2 ′′•• •••• 

a w + 2a w + w � 

+ a 

� �� 

∆∆w 

2 F ′′ = 0 (4.93) 

Dies ist die 2. Differentialgleichung für F und w. 

∆∆w + a5 

B F ′′ = 0 (4.94) 

Nun sollen die Differentialgleichungen durch eine einzige Differentialgleichung dargestellt 

werden. 

Hierfür bestehen folgende Möglichkeiten: 

1. durch eine komplexe Differentialgleichung 4. Ordnung: Zerna, Ing.-Archiv 1952, S. 317- 

362 

2. durch eine Differentialgleichung 8. Ordnung 

Dazu Anwendung von: 

• ′′ auf die 1. Differentialgleichung 

• ∆∆ auf die 2. Differentialgleichung 

Dies ergibt: 

∆∆∆∆w + a5 

B ∆∆ (F ′′ ) = 0 

(∆∆F) ′′ − D � 1 − µ 2� aw ′′′′ = 0 

Möglicher Lösungsansatz 

∆∆ (F ′′ ) = (∆∆F) ′′ 

⇒ ∆∆∆∆w + a 6D 

� 

2 

1 − µ 

B 

� w ′′′′ = 0 (4.95) 

λx 

w = Ce ( a ) cos mϑ (4.96) 

w = Ce mϑ sin λx nπa 

; λ = 

a l 

Lösungsansatz abhängig 

(a) von der Darstellung der partikulären Lösung 

(b) von den Randbedingungen 

z.B. Tonnendächer (4.97) 

(c) von den durch die partikuläre Lösung schon erfüllten Randbedingungen 


4.6 Randbedingungen 51 

4.6 Randbedingungen 

Differentialgleichung 8. Ordnung 

⇒ an jedem Rand sind 4 Randbedingungen anzupassen; vorhanden sind 5 Randschnittgrößen 

je Rand 

⇒ Ersatzkräfte einführen 

Für den Rand ϑ = konst. sind vorhanden: nϑ; nϑx; mϑ; mϑx; qϑ 

Einführung der Randquerkraft (Ersatzquerkraft): 

q ϑ = qϑ + m ′ ϑx 

⇒ damit statisch gleichwertig: nϑ; nϑx; mϑ; q ϑ 

Für den Rand x = konst. sind vorhanden: nx; nxϑ; mx; mxϑ; qx 

Einführung der Randquerkraft: 

q x = qx + 1 

a m• xϑ 

(4.98) 

(4.99) 

Ersatzquerkraft aus mxϑ radial gerichtet ⇒ Seitenkräfte in Richtung der Breitenkreistangente 

Einführung der Randscherkraft: 

nxϑ = nxϑ − 1 

a mxϑ 

⇒ damit statisch gleichwertig: nx; mx; nxϑ; q x 

1. Beispiel: geschlossene Kreiszylinderschale 

Randbedingungen bei 

x = 0 : nx = q x = nxϑ = mx = 0(kräftefrei) 

x = l : w = w ′ = u = v = 0 (eingespannt) 

(4.100) 

Abb. 4.7: Geschlossene Kreiszylinderschale 



2. Beispiel: Tonnenschale mit Endscheiben 

Abb. 4.8: Tonnenschale mit Endscheiben 

Endscheibe: biegeweich in x-Richtung; Randbedingungen der Schale bei: 

x = 0 : w = v = nx = mx = 0 

x = l : w = v = nx = mx = 0 

ϑ = ϑ1,2 : nϑ = q ϑ = nϑx = mϑ = 0 

4.7 Rotationssymmetrisch belastete Kreiszylinderschale 

4.7.1 Allgemeines 

Die rotationssymmetrisch belastete Kreiszylinderschale ergibt sich als Sonderfall der in den 

Abschnitten 4.1 bis 4.3 zusammengestellten Beziehungen Gleichgewicht, Formänderungen 

und Werkstoffgesetz. Es sei ferner vorausgesetzt, dass auch ein drehsymmetrischer Schalenkörper 

zu behandeln ist. 

Dann gilt mit: 

py = 0; 

∂ (. . .) 

∂ϑ = (. . .)• = 0; und: mxϑ = 0; qϑ = nxϑ = 0 (4.101) 

für die Gleichgewichtsbedingungen 

n ′ x a + pxa = 0 (4.102) 

nϑ + m ′′ xa + pza = 0 (4.103) 

qx − m ′ x = 0 (4.104) 

Integration liefert die Meridiankraft in Abhängigkeit der Meridiankoordinate x 

� 

nx = − px dx + C (4.105) 


4.7 Rotationssymmetrisch belastete Kreiszylinderschale 53 

Die Verträglichkeitsbedingungen vereinfachen sich mit v = 0 zu 

εx = u ′ ; εϑ = w 

a ; γxϑ = 0 (4.106) 

und für die Verschiebung und Verdrehung der Schalenmittelfläche gilt: 

∆r0 = w = εϑa; χ = −w ′ 

Mit den Werkstoffgesetzen 

εx = nx − µnϑ 

D (1 − µ 2 ) ; εϑ = nϑ − µnx 

D (1 − µ 2 ) 

und den Gleichungen (4.106) erhält man die Schnittgrößen zu 

� 

nx = D u ′ + µ 

a w 

� 

� 

w 

� 

nϑ = D + µu′ 

a 

mx = Bw ′′ 

mϑ = Bµw ′′ 

(4.107) 

(4.108) 

(4.109) 

(4.110) 

(4.111) 

(4.112) 

Durch Einsetzen von mx in die 3. Gleichgewichtsbedingung (Analogie zur Stabtheorie) kann 

dann ebenfalls die Querkraft durch die Durchbiegung ausgedrückt werden: 

qx = (Bw ′′ ) ′ 

Für die Differentialgleichung verbleibt 

(Bw ′′ ) ′′ + D 

(4.113) 

� 

w 

� 

+ µu′ + pz = 0 (4.114) 

a 

� 

a 

D u ′ + µ 

a w 

� ′ 

+ px = 0 (4.115) 

Da nx unabhängig berechenbar ist, wird i.a. u ′ in der ersten Beziehung durch den auf der 

Vorseite angegebenen Ausdruck für nx substituiert: 

(Bw ′′ ) ′′ + � 1 − µ 2� D 

a2w + µnx 

a + pz = 0 (4.116) 

Mit den beiden Differentialgleichungen zuzüglich den Randbedingungen in u, w, χ sowie 

nx, qx, mx lassen sich alle ” Behälter“–Probleme für Zylinderschalen konstanter Wandstärke 

behandeln. 



Beispiel für die Anwendung der Biegetheorie: 

Flüssigkeitsbehälter konstanter Wandstärke 

Abb. 4.9: Flüssigkeitsbehälter, Belastung und Verformungsskizze 

Bestimmung der partikulären Lösung wp: 

Bw ′′′′ 

p + � 1 − µ 2� D 

a2wp γa 

− γx = 0 ⇒ wp = + 

2 

(1 − µ 2 x (4.117) 

)D 

weiterhin: 

u ′ p 

γa 

= −µ 

(1 − µ 2 x (4.118) 

)D 

Schnittgrößen: 

nxp = 0 (4.119) 

nϑp = γax (4.120) 

mxp = mϑp = qxp = 0 (4.121) 

Vergleich der Lösungen mit Membrantheorie ⇒ gleiches Ergebnis 

⇒ Membranlösung �= partikuläre Lösung Biegetheorie 

Zur Anpassung an Randbedingungen ⇒ Randstörungsproblem 



4.7.2 Angriff von Randschnittgrößen 

Man kann die Membranlösung der Schalentheorie i.a. als partikuläre Lösung der Biegetheorie 

betrachten. Dann verbleibt zur Erfüllung der Biegerandbedingungen in w, χ, qx und mx das 

homogene Differentialgleichungssystem bzw. die Gleichung 

Bw ′′′′ 

h + � 1 − µ 2� D 

a 2wh = 0 (4.122) 

Für dieses Biegeproblem, das wegen des Angriffs von Randschnittgrößen als Randstörungsproblem 

bezeichnet wird, ist mit der Abkürzung 

κ 4 = 

1 − µ2 

4 

D 

B a2 = 3 � 1 − µ 2�� a 

�2 h 

folgende bekannte Differentialgleichung 4.Ordnung angebbar: 

(4.123) 

a 4 w ′′′′ 

h + 4κ4 wh = 0 (4.124) 

Lösungsansatz: 

wh = Ae λx 

(4.125) 

a 4 λ 4 + 4κ 4 = 0 

� 

λ 

(4.126) 

2 � 

κ 

� �� 

2 

+ 2i λ 

a 

2 � 

κ 

� � 

2 

− 2i = 0 

a 

(4.127) 

⇒ λ1/2 = ± (1 + i) κ 

a 

⇒ λ3/4 = ± (1 − i) 

(4.128) 

κ 

a 

(4.129) 

allgemeine Lösung mit α = κ 

a : 

wh = e −αx (C1 cosαx + C2 sin αx) + e αx (C3 cosαx + C4 sin αx) (4.130) 

Die Integrationskonstanten sind aus den Randbedingungen zu bestimmen, wobei pro Rand 

zwei Randbedingungen vorzugeben sind. Die Funktionen für die Durchbiegung sind vom Typ 

abklingende bzw. aufklingende (angefachte) Schwingungen. 

1. Summand: e −αx (C1 cosαx + C2 sin αx) 

2. Summand: e αx (C3 cosαx + C4 sin αx) 

Mit Einführung einer neuen Koordinate x = l − x (l �= Länge des Zylinders) wird der 2. 

Summand auch zu einer (vom gegenüberliegenden Rand) abklingenden Schwingung: 

e −αx � C1 cos αx + C2 sin αx � 

(4.131) 



Das Abklingen ist über die Periode T beschreibbar. 

αT = 2π; T = 2π κ 

; α = 

α a 

An 

An+1 

= e−αx 

e −α(x+T) = eαT = e 2π 

⇒ An+1 = 1 

535, 5 An 

Die Abklinglänge hängt im wesentlichen von der 

Schalendicke und dem Krümmungsradius ab. 

Für 

h 

a 

1 

≈ , µ = 0, 3 

100 

2π 

= a = 

κ 

⇒ T = 2π 

α 

2πa 

� ≈ 0, 5a 

3 (1 − µ 2 ) · 10 

4 

Abb. 4.10: Qualitativer Funktionsverlauf 

eines Summanden der Randschnittgrößen 

d.h. bei einer Entfernung vom Rand von etwa 0, 5a beträgt der Wert der Randgröße nur 

noch 0, 2% des Wertes am Rand. 

Für praktische Fälle kann man davon ausgehen, dass eine Randstörung für αx ≥ 4 abgeklungen 

ist! 

Die Anpassung an die Größen am Rand erfolgt über 

w = wh + wp, χ = χh + χp, mx = mxh, qx = qxh; χ = − dw 

dx 

Für die Schnittgrößen lautet mit dem Materialgesetz 

mx = Bw ′′ 

h 

= B � e −αx (C1 cos αx + C2 sin αx) � ′′ 

(4.132) 

(4.133) 

(4.134) 

= B2α 2 e −αx (C1 sin αx − C2 cosαx) (4.135) 

qx = B � e −αx (C1 cos αx + C2 sin αx) � ′′′ 

(4.136) 

= B2α 3 e −αx {C1 (cos αx − sin αx) + C2 (cosαx + sin αx)} (4.137) 

Anwendung auf das zuvor eingeführte Beispiel: 

oberer Rand: 

mx (x = 0) = 0 

qx (x = 0) = 0 

unterer Rand: 

w (x = l) = w (x = 0) = wh (x = 0) + wp (x = 0) = 0 ⇒ wh = −wp 

χ (x = l) = χ (x = 0) = χh (x = 0) + χp (x = 0) = 0 ⇒ χh = −χp 

Beachte bei Differentiation nach x statt x tritt ein Vorzeichenwechsel auf (wichtig für χ und 

qx). 



Bei den gewählten Abmessungen von l ≥ a 

kann aus mechanischer Sicht auf die gleichzeitige 

2 

Erfüllung der Randbedingungen an beiden Rändern verzichtet werden. Dann gilt: 

oben (x = 0): 

B2α 2 e −α0 (C1 sin α0 − C2 cosα0) = mx (0) = 0 

B2α 3 e −α0 {C1 (cosα0 − sin α0) + C2 (cosα0 + sin α0)} = qx (0) = 0 

⇒ B2α 2 (C1 · 0 − C2) = mx (0) ⇒ C2 = − mx (0) 

= 0 

2Bα2 ⇒ B2α 3 {C1 + C2} = qx (0) ⇒ C1 = qx (0) 

= 

2 

1 

⇒ wh = e−αx 

2Bα2 usw. 

2Bα2 �� 

qx (0) 

α + mx 

� 

� 

(0) cosαx − mx (0)sin αx 

unten (x = 0) (C1 und C2 statt C1 und C2 ): 

2Bα3 + mx (0) 

2Bα 

e −αx � C1 cosαx + C2 sin αx � = wh (x = 0) 

αe −αx � −C1 (cosαx + sin αx) + C2 (cosαx − sin αx) � = +χh (x = 0) 

⇒ C1 = wh (x = 0) 

⇒ C2 = χh (x = 0) 

+ C1 = 

α 

χh (x = 0) 

+ wh (x = 0) 

α 

⇒ wh = e −αx 

� 

� � 

χh (x = 0) 

wh (x = 0)cos αx + + wh (x = 0) 

α 

mit 

wh = −wp 

χh = −χp 

Hinweis: Auflösung für w �= 0, χ = 0 bzw. 

w = 0, χ �= 0 für Weggrößenverfahren. 

Näheres dazu siehe Kapitel 6. 

� 

qx (0) 

α + mx 

� 

(0) = 0 

� 

sin αx 

� 

χh = + dw 

dx 

Abb. 4.11: Typische Verläufe für die homogene 

Lösung des Randproblemes 

Auf eine vollständige Lösung wird hier verzichtet, da i.a. wegen des starken Abklingens nur 

ein Teil der homogenen Lösung verwendet wird. Außerdem werden bei der Differentiation 

Vernachlässigungen eingeführt. 


�

Kapitel 5 

Biegetheorie von Rotationsschalen 

unter rotationssymmetrischer 

Belastung 1 

5.1 Schalen allgemeiner Meridianform 

Für die Aufstellung einer Biegetheorie gemäß der Vorgabe für diesen Abschnitt sind bei 

den Gleichgewichtsbeziehungen die Veränderlichkeit in Richtung ϑ zu streichen sowie die 

Schubterme nicht zu verwenden. 

Vergleichbar zur Plattentheorie bzw. zur Biegetheorie des Zylinders entfallen weiterhin mϕϑ 

mit mϑϕ sowie qϑ. 

Damit ergeben sich aus den Abb. 5.1 und 5.2 die folgenden Gleichgewichtsbedingungen: 


• in x-Richtung: 

∂ (nϕr0) 

∂ϕ 


dϕ dϑ − nϑr1 dϕ dϑ cosϕ − qϕr0 dϑdϕ + pxr0 dϑr1 dϕ = 0 (5.1) 

nϑr1 dϕ dϑ sinϕ + nϕr0 dϑdϕ + 

∂ (nϕr0) 

∂ϕ − nϑr1 cos ϕ − qϕr0 + pxr0 r1 = 0 (5.2) 

∂ (qϕr0) 

∂ϕ 

nϑr1 sin ϕ + nϕr0 + 

1 ∂(...) 

Nicht zu verwechseln mit drehsymmetrisch, dort ist zwar ∂ϑ 

Drillmoment. 

59 

dϕ dϑ + pzr0 dϑr1 dϕ = 0 (5.3) 

∂ (qϕr0) 

∂ϕ + pzr0r1 = 0 (5.4) 

= 0, nicht aber die Schubkraft und das

60 5. Biegetheorie von Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung 

Abb. 5.1: Membrananteil der Schnittgrößen (ohne Beschränkung auf Rotationssymmetrie) 


5.1 Schalen allgemeiner Meridianform 61 

Abb. 5.2: Ergänzende Biegeschnittgrößen für rotationssymmetrische Beanspruchungszustände 

Momentengleichgewicht: 

• um die y-Achse (im Elementmittelpunkt): 

� 

� 

∂ (mϕr0) 

− mϕr0 + dϕ dϑ + mϕr0 dϑ 

∂ϕ 

�� 

� � 

∂ (qϕr0) 

dϕ 

+ qϕr0 + dϕ dϑ + qϕr0 dϑ r1 

∂ϕ 

2 + mϑr1 dϕ dϑ cosϕ = 0 (5.5) 

∂ (mϕr0) 

− + mϑr1 cosϕ + qϕr0r1 = 0 

∂ϕ 

(5.6) 

Die Verformungen der Schalenmittelfläche können unverändert aus Abschnitt 3.5 übernom- 



men werden: 

∆r0 = u cosϕ + w sin ϕ = εϑr0 

χ = 

(5.7) 

1 

� 

u − 

r1 

∂w 

� 

∂ϕ 

εϕ = 

(5.8) 

1 

� � 

∂u 

+ w 

r1 ∂ϕ 

(5.9) 

εϑ = 1 

(u cosϕ + w sin ϕ) = 1 

(u cotϕ + w) (5.10) 

r0 

r2 

Das Werkstoffgesetz gilt mit der bereits zuvor getroffenen Annahme für die schwache 

Krümmung für die Membranschnittgrößen unverändert: 

� 

1 

nϕ = D (εϕ + µεϑ) = D 

r1 

� 

1 

nϑ = D (εϑ + µεϕ) = D 

r2 

� � 

∂u 

+ w + 

∂ϕ µ 

r2 

(u cotϕ + w) + µ 

� 

(u cotϕ + w) 

r1 

� �� 

∂u 

+ w 

∂ϕ 

(5.11) 

(5.12) 

Für die Formulierung der Momentenkrümmungsbeziehung fehlt noch die Veränderung der 

Verkrümmung in Richtung ϑ infolge der Verformung. 

r2 sin ϕ ≈ r2 sin [180 ◦ − (ϕ + χ)] (5.13) 

∆r0 ≪ r2 sin ϕ (5.14) 

Mit den Additionstheoremen und 

folgt 

cosχ ≈ 1; sin χ ≈ χ (5.15) 

r2 sin ϕ = r2 (sin ϕ cosχ + cosϕsin χ) 

(5.16) 

≈ r2 (sin ϕ + χ cosϕ) (5.17) 

r2 ≈ r2 (1 + χ cot ϕ) 

r2 

r2 ≈ 

1 + χ cotϕ 

(5.18) 

(5.19) 

Abb. 5.3: Zusammenhang der Krümmung 

1/r2 mit χ und ∆r0 

Die Krümmungsänderungen in beiden Koordinatenrichtungen 

κϕ = 1 

r1 

∂χ 

∂ϕ ; κϑ = 1 

liefern die Biegemomente 

r2 

− 1 

� � 

1 ∂χ µ 

mϕ = −B (κϕ + µκϑ) = −B + χ cot ϕ 

r1 ∂ϕ r2 

� 

1 

mϑ = −B (κϑ + µκϕ) = −B χ cotϕ + 

r2 

µ 

� 

∂χ 

r1 ∂ϕ 

r2 

= 1 

χ cotϕ (5.20) 

r2 

(5.21) 

(5.22) 


5.1 Schalen allgemeiner Meridianform 63 

Weiterhin gilt 

qϕ = 1 

� 

−mϑr1 cosϕ + 

r0r1 

� 

∂ (mϕr0) 

∂ϕ 

Eine geschlossene Lösung für dieses Differentialgleichungssystem ist nicht bekannt. 

Für den unbelasteten Fall 

(5.23) 

px = pz = 0 (5.24) 

existiert eine Näherung, die ebenfalls für die Behandlung des Randangriffs von Schnittgrößen 

verwendbar ist. 

Partikuläre Lösung für lastfreien Rand: 

qϕh cosϕ + nϕh sin ϕ = 0 (5.25) 

nϕh = −qϕh cotϕ (5.26) 

nϑh wird durch Einsetzen von nϕh in (5.2) 

gewonnen: 

nϑh = − 1 

r1 

∂ (qϕhr2) 

∂ϕ 

(5.27) 

Übergang zu den Biegeschnittgrößen nach Näherung: 

Abb. 5.4: Schnittgrößen am Rand der unbelasteten 

Schale 

Ableitungen sind um das Dämpfungsmaß größer als die Ausgangsfunktion (Geckeler) ⇒ 

Vernachlässigung der jeweils geringeren Ableitungen in einer Gleichung: 

mϕh = − B 

r1 

∂χh 

∂ϕ 

Für mϑh wegen 0 ≤ µ ≤ 0, 5 (ggf. nahe Null) Verwendung beider Ausdrücke 

� 

1 

mϑh = −B χh cotϕ + 

r2 

µ 

� 

∂χh 

r1 ∂ϕ 

sowie 

qϕh ∼ = − B 

r2 ∂ 

1 

2χh ∂ϕ2 nach nochmaliger Vernachlässigung der niedrigeren Ableitung. 

Diese Vereinfachung ist nur für ϕ > 20 ◦ bis 30 ◦ ( ” hohe“ Schale) gestattet. 

Weitere Umformungen und Vereinfachungen 

χh = (εϕ − εϑ)cot ϕ − r2 

εϑ = 

r1 

∂εϑ 

∂ϕ 

∂εϑ 

≈ −r2 

r1 ∂ϕ 

(5.28) 

(5.29) 

(5.30) 

(5.31) 

1 

D (1 − µ 2 ) (nϑ − µnϕ) (5.32) 



liefern mit den zuvor gegebenen Gleichungen 

mit 

r 4d 2 

4χh ds4 + 4κ4χh = 0 (5.33) 

ds = r2dϕ; κ 4 = 3 � 1 − µ 2� r 2 2 

h 2 

(5.34) 

eine zur Kreiszylinderschale [vgl. Gl. (4.124)] vergleichbare Differentialgleichung für die Neigung. 

Mit Rücksicht auf die Rotationssymmetrie wurde in der letzten Differentialgleichung die 

partielle Differentiation durch eine gewöhnliche Differentiation ersetzt. 


Kapitel 6 

Randstörungstheorie für 

Rotationsschalen unter 

rotationssymmetrischer Belastung 

6.1 Randstörung der kurzen und der langen Zylinderschale 

Aus Abschnitt 4.7: 

Lösung der Differentialgleichung der Zylinderschale, die nur an den Rändern belastet ist: 

w = wh = e −αx (C1 cosαx + C2 sin αx) + e −αx � C1 cosαx + C2 sin αx � 

(6.1) 

mit 

α = κ 

a 

� 

1 a� 

= 3 (1 − µ 2 ) 

a h 

� 

�3 

(1 − µ 2 ) 

= 

(6.2) 

ah 

Abb. 6.1: Geometrie und Koordinatensysteme 

65

66 6. Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung 

6.1.1 Kurze Zylinderschale 

αl < 4 (bzw. 2π bei erforderlicher großer Genauigkeit) 

Oberer und unterer Rand beeinflussen sich gegenseitig. 

Zweckmäßig Lösung mittels e ±αx = cosh αx ± sinh αx umformen 

mit 

w = c1η1 + c2η2 + c3η3 + c4η4 

(6.3) 

η1 = cos αx cosh αx; η2 = cos αx sinh αx (6.4) 

η3 = sin αx cosh αx; η4 = sin αx sinh αx (6.5) 

Zum Ausnutzen von Symmetrieeigenschaften ist ein Aufspalten der Lösung in zwei Teile 

möglich: 

wsym = c1η1 + c4η4; wantim = c2η2 + c3η3 (6.6) 

Ableitungen von w: 

w ′ = α [c1 (−η3 + η2) + c2 (−η4 + η1) + c3 (η1 + η4) + c4 (η2 + η3)] (6.7) 

w ′′ = α 2 [c1 (−η1 − η4 − η4 + η1) + c2 (−η2 − η3 − η3 + η2) 

+ c3 (−η3 + η2 + η2 + η3) + c4 (−η4 + η1 + η1 + η4)] 

= −2α 2 [c1 (+η4) + c2 (+η3) + c3 (−η2) + c4 (−η1)] (6.8) 

w ′′′ = −2α 3 [c1 (+η2 + η3) + c2 (+η1 + η4) + c3 (+η4 − η1) + c4 (+η3 − η2)] (6.9) 

Einsetzen in die Schnittkraftgleichungen (aus Abschnitt 4.7): 

� 

nx = D u ′ + µ 

a w 

� 

= 0 −→ u ′ = − µ 

w 

a 

� 

w 

� 

nϑ = D + µu′ = 

a 

(6.10) 

Eh 

1 − µ 2 

� 

w µ2 

− 

a a w 

� 

= Eh 

w 

a 

(6.11) 

= Eh 

a (c1η1 + c2η2 + c3η3 + c4η4) (6.12) 

mx = Bw ′′ = −2Bα 2 [c1η4 + c2η3 − c3η2 − c4η1] (6.13) 

mϑ = Bµw ′′ = µmx 

(6.14) 

qx = Bw ′′′ 

(B = konst.) (6.15) 

= −2Bα 3 [c1 (η2 + η3) + c2 (η1 + η4) + c3 (η4 − η1) + c4 (η3 − η2)] (6.16) 

Aus den Randbedingungen an den Rändern x = 0 und x = l lassen sich die 4 Konstanten 

bestimmen. 


6.1 Randstörung der kurzen und der langen Zylinderschale 67 

6.1.2 Lange Zylinderschale 

αl ≥ 4 (bzw. 2π) 

In diesem Fall können die Ränder getrennt betrachtet werden; sie beeinflussen sich gegenseitig 

nicht. 

Bei Störungen am oberen Rand gilt: 

w = e −αx (C1 cosαx + C2 sin αx) (6.17) 

bei Störungen am unteren Rand: 

w = e −αx � C1 cosαx + C2 sin αx � , (6.18) 

wobei die letztere Lösung mit den zugehörigen Schnittgrößen auch ersetzt werden kann durch 

die obere Lösung mit den zugehörigen Schnittgrößen, wenn statt x dann x gesetzt wird und 

die Größen qx und χ = − dw 

wegen der Gegenläufigkeit der Koordinaten mit dem Faktor 

dx 

(−1) multipliziert werden. 

Einführung der Funktionen 

ζ1 = e −αx cosαx und ζ2 = e −αx sin αx (6.19) 

liefert 

w = C1ζ1 + C2ζ2 

w ′ = C1 (−αζ1 − αζ2) + C2 (−αζ2 + αζ1) 

(6.20) 

= −α [C1 (ζ1 + ζ2) + C2 (ζ2 − ζ1)] (6.21) 

w ′′ = −α 2 [C1 (−ζ1 − ζ2 − ζ2 + ζ1) + C2 (−ζ2 + ζ1 + ζ1 + ζ2)] 

= +2α 2 [C1ζ2 − C2ζ1] (6.22) 

w ′′′ = +2α 3 [C1 (−ζ2 + ζ1) − C2 (−ζ1 − ζ2)] 

= +2α 3 [C1 (ζ1 − ζ2) + C2 (ζ1 + ζ2)] (6.23) 

Schnittgrößen: 

nx = 0 (6.24) 

nϑ = Eh 

a [C1ζ1 + C2ζ2] (6.25) 

mx = Bw ′′ = 2Bα 2 [C1ζ2 − C2ζ1] (6.26) 

mϑ = µmx 

(6.27) 

qx = Bw ′′′ = 2Bα 3 [C1 (ζ1 − ζ2) + C2 (ζ1 + ζ2)] (6.28) 

Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen. Um den Zusammenhang der Zylinderschale 

mit den anschließenden Bauteilen berechnen zu können, ist es bei Anwendung 

der Kraftgrößenmethode zweckmäßig, zwei statisch unbestimmte Randgrößen X1 und X2 zu 

definieren. 



X1: 

Randbedingungen bei x = 0 

(ζ1 = 1; ζ2 = 0): 

mx = 0 ⇒ C2 = 0 (6.29) 

qx = X1⇒ C1 = 1 

2Bα3X1 (6.30) 

Abb. 6.2: X1 am oberen Rand 

Einsetzen dieser Konstanten in die Formänderungs- und Schnittgrößengleichungen liefert mit 

Bα 4 = Eh 

4a 2: 

1 

w1 = X1 

2Bα3ζ1 2a 

= X1 

2α Eh ζ1 

(6.31) 

χ1 = − dw 

dx 

2a 

= +X1 

2α2 Eh (ζ1 + ζ2) (6.32) 

Eh α4a 

nϑ1 = X1 

a 

2 

2Eh ζ1 = X12aαζ1 (6.33) 

nx1 = 0 (6.34) 

2 X1 

mx1 = 2Bα 

2Bα3ζ2 mϑ1 = µmx1 

= X1 

α ζ2 

(6.35) 

(6.36) 

3 

X1 

qx1 = 2Bα 

2Bα3 (ζ1 − ζ2) = X1 (ζ1 − ζ2) (6.37) 


6.1 Randstörung der kurzen und der langen Zylinderschale 69 

X2: 

Randbedingungen bei x = 0 

(ζ1 = 1; ζ2 = 0): 

mx = X2: 

X2 = 2Bα 2 (−C2) ⇒ C2 = − X2 

2Bα 2 

qx = 0: 

0 = C1 + C2 ⇒ C1 = −C2 = X2 

2Bα 2 

(6.38) 

(6.39) 

Abb. 6.3: X2 am oberen Rand 

α 

w2 = X2 

24a2 2Eh (ζ1 − ζ2) 

2a 

= X2 

2α2 Eh (ζ1 − ζ2) (6.40) 

χ2 = − dw2 

dx = X2α34a2 2Eh 2ζ1 

4a 

= X2 

2α3 Eh ζ1 

(6.41) 

nϑ2 = Eh X2α 

a 

24a2 (ζ1 − ζ2) = X22aα 

2Eh 

2 (ζ1 − ζ2) (6.42) 

nx2 = 0 (6.43) 

2 x2 

mx2 = 2Bα 

2Bα2 (ζ1 + ζ2) = X2 (ζ1 + ζ2) (6.44) 

mϑ2 = µmx2 

(6.45) 

3 

X2 

qx2 = −2Bα 

2Bα22ζ2 = −X22αζ2 (6.46) 

Werden die Randverformungen δik der Zylinderschale im gleichen Richtungssinn wie die 

überzähligen Größen definiert, so erhält man am Rand x = 0 (mit Xi = 1): 

δ11 = +w1 (0) = 2a2α Eh 

δ12 = +w2 (0) = 2a2α2 Eh 

δ21 = +χ1 = 2a2α2 Eh 

δ22 = +χ2 = 4a2α3 Eh 

(6.47) 

(6.48) 

(6.49) 

(6.50) 

Zur praktischen Handhabung sind diese Gleichungen, erweitert um eine Randgrößenbelastung 

am unteren Rand, auf der folgenden Seite zusammengestellt worden. 

In gleicher Weise lassen sich bei Anwendung der Formänderungsmethode die Größengleichungen 

für die geometrischen Randbedingungen w = 1, χ = 0 bzw. w = 0, χ = 1 aufstellen. 



α = 

X1 = 1: 

� �3 (1 − µ 2 ) 

ah 

Abb. 6.4: Randbelastungen an der Zylinderschale 

; ξ = xα; ζ1 = e −ξ cosξ; ζ2 = e −ξ sin ξ; αl ≥ 4 (6.51) 

δ11 = 2a2α Eh ; δ21 = 2a2α2 ; (6.52) 

Eh 

nϑ = 2aαζ1; mx = 1 

α ζ2; qx = ± (ζ1 − ζ2) ; (6.53) 

w = 2a2 α 

Eh ζ1; χ = ± 2a2 α 2 

Eh (ζ1 + ζ2); mϑ = µmx (6.54) 

X2 = 1: 

δ12 = 2a2α2 Eh ; δ22 = 4a2α3 ; 

Eh 

(6.55) 

nϑ = 2aα 2 (ζ1 − ζ2) ; mx = (ζ1 + ζ2) ; qx = ∓2αζ2; (6.56) 

w = 2a2 α 2 

Eh (ζ1 − ζ2); χ = ± 4a2 α 3 

Eh ζ1; mϑ = µmx (6.57) 

Bemerkung: oberes Vorzeichen gilt für Lastangriff am oberen Rand, 

unteres Vorzeichen gilt für Lastangriff am unteren Rand. 


6.2 Geckelersche Näherung der Randstörung von Rotationsschalen 71 

6.2 Geckelersche Näherung der Randstörung von Rotationsschalen 

6.2.1 Allgemeines 

Wie bereits im Abschnitt 5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung eingeführt, 

wird bei der Herleitung einer Näherungslösung für die homogene Differentialgleichung 

von der Vereinfachung nach Geckeler ausgegangen. Diese besagt, dass unter den 

Voraussetzungen der konstanten Wanddicke und eines Wertes von cot ϕ, der klein genug ist 

(d.h. ϕ >≈ 20 ◦ ), eine höhere Ableitung einer Funktion groß gegenüber der nächstniederen 

Ableitung derselben Funktion ist. 

6.2.2 Spezialisierung für die Kugelschale 

Mit ds = r2dϕ = rdϕ vereinfacht sich die Differentialgleichung aus Abschnitt 5 zu 

d 4 χ 

dϕ 4 + 4κ4 χ = 0 mit κ = 

� 

r � 

3 (1 − µ 2 ) (6.58) 

h 

Eine zweite Differentialgleichung für qϕ erhält man auf analogem Weg: 

d 4 qϕ 

dϕ 4 + 4κ4 qϕ = 0 (6.59) 

Diese Gleichung ist für ϕ = x mit der Differentialgleichung der Zylinderschale identisch. Für 

a 

Randkräfte, die an einer langen Schale (κ (ϕu − ϕo) ≥ 4 bzw. 2π) angreifen, lautet daher 

die abklingende Lösung (vgl. Abschnitt 6.1.2): 

Mit 

qϕ = e −ßϕ (c1 cos κϕ + c2 sin κϕ) (6.60) 

ζ 1 = e −ßϕ cos κϕ; ζ2 = e −ßϕ sin κϕ (6.61) 

entsteht 

qϕ = c1ζ 1 + c2ζ 2, (6.62) 

Abb. 6.5: Definition der Winkel ϕ 

sodass damit die Schnittkräfte in der Schale angegeben werden können: 

nϕ = −qϕ cotϕ = − � � 

c1ζ1 + c2ζ2 cotϕ (6.63) 



Aus der 2. Gleichgewichtsbedingung in Abschnitt 5 folgt durch Einsetzen dieser Beziehungen: 

nϑ = −nϕ − 1 d 

sin ϕ dϕ (qϕ sin ϕ) 

= +qϕ cot ϕ − 1 

� 

dqϕ 

sin ϕ dϕ sin ϕ + qϕ 

� 

cosϕ 

= − dqϕ 

dϕ = +κ � � � � �� 

c1 ζ1 + ζ2 + c2 ζ2 − ζ1 . (6.64) 

Unter Benutzung weiterer Gleichungen aus Abschnitt 5 ergibt sich: 

εϑ = 1 

Eh (nϑ − µnϕ) ≈ 1 

Eh nϑ = 1 

Eh κ � � � � �� 

c1 ζ1 + ζ2 + c2 ζ2 − ζ1 χ ≈ − dεϑ 2κ2 � � 

= c1ζ2 − c2ζ1 dϕ 

mϕ = − B 

r 

Eh 

dχ 

= −B 

dϕ r 

2κ 3 

Eh 

� � � � �� 

c1 ζ1 − ζ2 + c2 ζ1 + ζ2 = − Eh32 r2 

h23 (1 − µ 2 ) 

r12 (1 − µ 2 � � � � �� 

c1 ζ1 − ζ2 + c2 ζ1 + ζ2 ) κEh 

= − r � � � � �� 

c1 ζ1 − ζ2 + c2 ζ1 + ζ2 2κ 

mϑ = − B 

� 

χ cotϕ + µ 

r 

dχ 

� 

= µmϕ − 

dϕ 

Eh32r23 (1 − µ 2 ) 

r12 (1 − µ 2 )Ehκ 2h2 cot ϕ � � 

c1ζ2 − c2ζ1 r cot ϕ 

= µmϕ − 

2κ2 � � 

c1ζ2 − c2ζ1 ∆r = rεϑ = rκ � � � � �� 

c1 ζ1 + ζ2 + c2 ζ2 − ζ1 Eh 

(6.65) 

(6.66) 

(6.67) 

(6.68) 

(6.69) 

Für die praktische Berechnung wird anstelle des von der Rotationsachse gemessenen Winkels 

ϕ mit dem vom oberen Schalenrand o gemessenen Winkel ωo bzw. mit dem vom unteren 

Schalenrand u gemessenen Winkel ωu gerechnet: 

ωo = ϕ − ϕo 

(6.70) 

ωu = ϕu − ϕ (6.71) 

wobei 

ist. 

ζ1 = e −ßω cos κω (6.72) 

ζ2 = e −ßω sin κω (6.73) 

ω := ωo bzw. ωu 

(6.74) 

Abb. 6.6: Definition des Winkels ω 



Damit erhält man die folgenden allgemeinen Formeln zur Ermittlung der Schnittgrößen und 

Formänderungen (oberes Vorzeichen gilt für eine Randstörung am oberen Rand, unteres 

Vorzeichen gilt für eine Randstörung am unteren Rand): 

qϕ = C1ζ1 + C2ζ2 

(6.75) 

nϕ = − cot ϕ (C1ζ1 + C2ζ2) (6.76) 

nϑ = ±κ [C1 (ζ1 + ζ2) + C2 (ζ2 − ζ1)] (6.77) 

mϕ = ∓ r 

2κ [C1 (ζ1 − ζ2) + C2 (ζ1 + ζ2)] 

r cotϕ 

mϑ = µmϕ − 

2κ 

(6.78) 

2 

[C1ζ2 − C2ζ1] 

∆r = ± 

(6.79) 

rκ 

Eh [C1 (ζ1 + ζ2) + C2 (ζ2 − ζ1)] (6.80) 

χ = 2κ2 

Eh [C1ζ2 − C2ζ1] (6.81) 

Aus diesen Gleichungen können die von den Randstörungen hervorgerufenen Wirkungen 

ermittelt werden, z.B. gelten für eine am Rand (ω = 0) angreifende horizontale Kraft folgende 

Randbedingungen: 

nϕ = ∓X1 cosϕ o 

u 

(6.82) 

mϕ = 0 (6.83) 

Abb. 6.7: Horizontalkraft X1 

Aus diesen Beziehungen können die Konstanten C1 und C2 ermittelt und danach in die 

Schnittgrößen- und Formänderungsgleichungen eingesetzt werden. 

Nachfolgend sind die Gleichungen für eine am oberen bzw. unteren Rand angreifende horizontale 

Kraft X1 und ebenso auch für ein Randmoment X2 angegeben. 



κ = 

X1 = 1: 

Abb. 6.8: Randbelastungen an der Kugelschale 

� 

r � 

3 (1 − µ 2 ); ξ = κω; ζ1 = e 

h 

−ξ cos ξ; ζ2 = e −ξ sin ξ; κ (ϕu − ϕo) ≥ 4 

δ11 = 2rκ 

Eh sin2 ϕ o 

u ; δ21 = 2κ2 

sin ϕ o 

u Eh ; 

nϕ = ∓ (ζ1 − ζ2)cot ϕ sin ϕ o 

u ; nϑ = 2κζ1 sin ϕ o 

u ; 

qϕ = ± (ζ1 − ζ2)sin ϕ o 

u ; mϕ = r 

κ ζ2 sin ϕ o 

u ; mϑ ≈ µmϕ; 

∆r = 2rκ 

Eh ζ1 sin ϕ sinϕ o 

u 

X2 = 1: 

δ12 = 2κ2 

Eh 

; χ = ±2κ2 

Eh (ζ1 + ζ2)sin ϕ o 

u . 

sin ϕ o 

u ; δ22 = 4κ3 

Ehr ; 

nϕ = ± 2κ 

r ζ2 cot ϕ; nϑ = 2κ2 

r (ζ1 − ζ2); 

qϕ = ∓ 2κ 

r ζ2; mϕ = (ζ1 + ζ2) ; mϑ ≈ µmϕ; 

∆r = 2κ2 

Eh (ζ1 − ζ2)sin ϕ; χ = ± 4κ3 

Ehr ζ1. 

Bemerkung: Oberer Rand (ϕo): obere Vorzeichen, 

Unterer Rand (ϕu): untere Vorzeichen. 

Für ϕo < 20 ◦ , ϕu < 20 ◦ wird das Ergebnis ungenau. 



6.2.3 Spezialisierung für die Kegelschale 

Die im Abschnitt 5 angegebenen Gleichungen vereinfachen sich mit 

ϕ = konst.; (6.84) 

r1 = ∞; (6.85) 

r2 = s cotϕ (6.86) 

r0 = s cosϕ; (6.87) 

r1dϕ = ds; (6.88) 

h = konst. (6.89) 

Umbezeichnung der Schnittgrößen: 

nϕ → ns; qϕ → qs; mϕ → ms 

� � 

du µ 

ns = D + (u + w tan ϕ) 

ds s 

� � 

1 

nϑ = D (u + w tan ϕ) + µdu 

s ds 

� 

dχ µ 

ms = −B + 

ds s χ 

� 

� � 

1 

mϑ = −B χ + µdχ 

s ds 

qs = 1 

� � 

d (mss) 

−mϑ + 

s ds 

Formänderungen und Verzerrungen: 

∆r0 = εϑs cosϕ; χ = − dw 

ds 

Abb. 6.9: Definition der Koordinate s 

(6.90) 

(6.91) 

(6.92) 

(6.93) 

(6.94) 

(6.95) 

εs = du 

ds ; εϑ = 1 

(u + w tan ϕ) (6.96) 

s 

Gleichgewichtsbedingungen: 

d (nss) 

−ns + 

ds + pxs = 0 (6.97) 

d (qss) 

nϑ tanϕ + 

ds + pzs = 0 (6.98) 

d (mss) 

−mϑ + 

ds − qss = 0 (6.99) 

Diese Gleichungen führen zu einer Besselschen Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren 

Lösung der Literatur [7, 6] entnommen werden kann. 



Für eine Näherungslösung wird davon ausgegangen, dass h klein gegenüber den anderen 

Schalenmaßen ist und dass damit der Einfluss der Randstörungskräfte vom Rand schnell 

abklingt. Weiterhin wird die von der Zylinder- und Kugelschale bekannte Näherung nach 

Geckeler benutzt. 

Damit erhält man folgende Differentialgleichung: 

χ IV + 4α 4 χ = 0 (6.100) 

mit 

� 

tan ϕ� 

α = 3 (1 − µ 2 ) (6.101) 

sh 

α ähnlich wie bei der Zylinderschale, nur durch s nicht mehr konstant. Dadurch große mathematische 

Schwierigkeiten bei der Lösung der Differentialgleichung. 

Annahme: Abklingzahl α wird in Randnähe als konstant betrachtet: 

� 

tan ϕ� 

αo = 3 (1 − µ 2 ) 

soh 

� 

tan ϕ� 

αu = 3 (1 − µ 2 ) 

suh 

am oberen Rand, 

am unteren Rand. 

(6.102) 

(6.103) 

Führt man als neue Veränderliche die Entfernung s1 vom oberen Schalenrand und s2 vom 

unteren Schalenrand ein, kann die Lösung der Differentialgleichung wie bei den anderen 

besprochenen Schalenformen mit 

bzw. 

χo = e −αos1 (C1 cosαos1 + C2 sin αos1) (6.104) 

χu = e −αus2 (C1 cosαus2 + C2 sin αus2) (6.105) 

angegeben werden. 

Mit den Abkürzungen 

ξo = αos1 und ξu = αus2 (6.106) 

ζ 1, o 

u = e−ξ o u cosξ o 

u 

und ζ 2, o 

u = e−ξ o u sin ξ o 

u 

(6.107) 

erhält man die Schnittgrößen und Formänderungen in Abhängigkeit von C1 und C2, die aus 

den Randbedingungen ermittelt werden. Auf den folgenden Seiten sind die Schnittgrößen 

und Formänderungen für eine horizontale Ringkraft X1 und ein Ringmoment X2 angegeben, 

getrennt für den Angriff am oberen und unteren Schalenrand. 



αo = 

Abb. 6.10: Randbelastungen an der Kegelschalen 

� 

tanϕ � 

3 (1 − µ 2 ); αu = 

soh 

ζ o 

1, u = e−ξ o u cosξ o 

u ; ζ2, o 


u 

X1 = 1 am oberen Rand: 

δ11 = 2s2 o 

Eh αo cos 2 ϕ; δ21 = 1 

� 

tanϕ � 

3 (1 − µ 2 ); ξo = α0s1; ξu = αus2 

suh 

2Bα 2 o 

; B = 

sin ϕ; 

Eh 3 

12 (1 − µ 2 ) ; αu (su − so) ≥ 4 

ns = − (ζ1,o − ζ2,o) cosϕ; nϑ = (2sαoζ1,o − ζ1,o + ζ2,o)cos ϕ; 

qs = (ζ1,o − ζ2,o) sin ϕ; ms = 1 

ζ2,o sin ϕ; mϑ ≈ µms; 

∆r = 2s2 

Eh αoζ1,o cos 2 ϕ; χ = 1 

2Bα2 (ζ1,o + ζ2,o)sin ϕ. 

o 


αo 

δ12 = 1 

2Bα2 sin ϕ; 

o 

δ22 = 1 

; 

Bαo 

ns = 2αoζ2,o cot ϕ; nϑ = 2αo cot ϕ [sαo (ζ1,o − ζ2,o) + ζ2,o] ; 

qs = −2αoζ2,o; ms = ζ1,o + ζ2,o; mϑ ≈ µms; 

∆r = 2s2 α 2 o 

Eh 

cos 2 ϕ 

sin ϕ (ζ1,o − ζ2,o) ; χ = 1 

Bαo 


ζ1,o.


X1 = 1 am unteren Rand: 

δ11 = 2s2 u 

Eh αu cos 2 ϕ; δ21 = 1 

2Bα 2 u 

sin ϕ; 

ns = (ζ1,u − ζ2,u) cosϕ; nϑ = (2sαuζ1,u + ζ1,u − ζ2,u) cosϕ; 

qs = − (ζ1,u − ζ2,u)sin ϕ; ms = 1 

ζ2,u sin ϕ; mϑ ≈ µms; 

αu 

∆r = 2s2 

Eh αuζ1,u cos 2 ϕ; χ = − 1 

2Bα2 (ζ1,u + ζ2,u) sin ϕ. 

u 


δ12 = 1 

2Bα2 sin ϕ; 

u 

δ22 = 1 

; 

Bαu 

ns = −2αuζ2,u cot ϕ; nϑ = 2αu cot ϕ [sαu (ζ1,u − ζ2,u) − ζ2,u] ; 

qs = 2αuζ2,u; ms = ζ1,u + ζ2,u; mϑ ≈ µms; 

∆r = 2s2 α 2 u 

Eh 

cos 2 ϕ 

sin ϕ (ζ1,u − ζ2,u); χ = − 1 

Für ϕ < 50 ◦ wird das Ergebnis ungenau. 

Bαu 

ζ1,u. 

Abb. 6.11: Die Funktionen ζ1 und ζ2 



6.3 Schnittkräfte und Formänderungen von Verstärkungsringen 

(Kreisringträgern) 

Kreisringträger als Kreiszylinderschale aufgefaßt: 

Abb. 6.12: Definition der Belastungen und Verformungen 

H0, V0 : Horizontal- und Vertikalkomponente der Ringträgerbelastung (Kraft pro Länge, z.B 

kN 

m ) 

M0 : auf die Querschnittsschwerlinie bezogenes Moment der Ringträgerbelastung (Kraft 

mal Länge, bezogen auf die Längeneinheit der Schwerlinie, z.B. kNm 

m ) 

∆r0 : Verschiebung des Querschnittsschwerpunktes, nach außen positiv 

χ0 

: Verdrehung des Querschnitts; eine positive Verdrehung erzeugt eine positive Verschiebung 

der Querschnittsoberseite 

• Verschiebung und Verdrehung des Ringträgers (RT) infolge H0 und V0: 

� h 

+ 2 

px = 0; nx = − 

− h 

pxds + C = −V0 

2 

pz = − H0 

; nϑ = −pzr0 = + H0 

h0 

∆r0 = 1 

(nϑ − µnx)r0 

Eb0 

= 1 

� � 

H0 

r0 + µV0 

Eb0 h0 

∆r0 = r2 � 

0 

H0 + µ 

EA 

h0 

V0 

r0 

� 

r0 

h0 

r0 = r2 � 

0 

H0 + µ 

Eb0h0 

h0 

r0 

mit A = b0h0 

V0 

� 

(6.108) 

(6.109) 

(6.110) 

Im allgemeinen ist der 2. Summand gegenüber dem 1. Summanden vernachlässigbar. 

Er muß beachtet werden, wenn H0 klein ist, z.B. wenn die an den RT anschließenden 



Bauteile keine oder sehr geringe Horizontalkräfte auf den RT ausüben, d.h. nahezu 

senkrecht am RT anschließen. 

χ0 = r2 � � 

0 dpz 

− µpx = 0 (6.111) 

Eb0 ds r0 

• Verschiebung und Verdrehung des RT infolge M0: 

px = 0; nx = 0 (6.112) 

pR = M0 

W 

pz = pR 

h0 

2 

= 6M0 

1h 2 0 

(6.113) 

x = 12M0 

h3 x (6.114) 

0 

nϑ = −pzr0 = − 12r0 

M0x (6.115) 

h 3 0 

nϑ (x = 0) = 0 (6.116) 

∆r0 = 0 (6.117) 

χ0 = r2 0 dpz 

Eb0 dx = r2 0 12M0 

Eb0 h3 0 

χ0 = r2 0 

EI M0; I = b0h3 0 

12 

• Schnittkräfte im RT infolge H0: 

Längskraft 

N = nϑh0 = H0 

r0h0 = H0r0 

h0 

• Schnittkräfte im RT infolge V0: 

Abb. 6.13: Ersatzweise Radialbelastung pz 

(6.118) 

(6.119) 

Es treten – abgesehen von der vertikalen Pressung infolge V0 – keine Schnittkräfte auf. 

• Schnittkräfte im RT infolge M0: 

Biegemoment M (um die horizontale Querschnittsachse): 

M = 

� + h 0 

2 

− h 0 

2 

nϑxdx = − 12r0 

h3 M0 

0 

� + h 0 

2 

− h 0 

2 

x 2 dx = −M0r0 

(6.120) 

(Positive Momente M erzeugen an der Ringträgerunterseite Zugspannungen, 

s. Abb. 6.14) 



oder aus der Gleichgewichtsbedingung: 

�� 

M 

Tang. 

Abb. 6.14: Gleichgewicht zwischen den Momenten 

= 0 = M0r0dϑ + 2M sin dϑ 

; M = −M0r0 

(6.121) 

2 


Literaturverzeichnis 

[1] Bas¸ar, Y. und W. B. Krätzig: Mechanik der Flächentragwerke. Friedr. Vieweg & 

Sohn, Braunschweig und Wiesbaden, 1. Auflage, 1985. 

[2] Beyer, K.: Die Statik im Stahlbetonbau. Springer, Berlin, 6. Auflage, 1956. 

[3] Flügge, W.: Statik und Dynamik der Schalen. Springer, Berlin, 3. Auflage, 1962. 

[4] Girkmann, K.: Flächentragwerke. Springer, Wien, 6. Auflage, 1978. 

[5] Hake, E. und K. Meskouris: Statik der Flächentragwerke. Springer, Berlin, Heidelberg, 

2001. 

[6] Hampe, E.: Statik rotationssymmetrischer Flächentragwerke. VEB Verlag für Bauwesen, 

Berlin, 1968–1973. 

[7] Markus, G.: Theorie und Berechnung rotationssymmetrischer Bauwerke. Werner– 

Verlag, Düsseldorf, 2. Auflage, 1976. 

[8] Mehlhorn, G. und H. Mang: Der Ingenieurbau; Band: Rechnerorientierte Baumechanik; 

Abschnitt Flächentragwerke. W. Ernst & Sohn, Berlin, 1996. 

[9] Pflüger, A.: Elementare Schalenstatik. Springer, Berlin, Göttingen und Heidelberg, 

1957. 

[10] Rabich, R.: Platten, Scheiben, Schalen. Ingenieurtaschenbuch Bauwesen, Band 1, B. 

G. Teubner–Verlagsgesellschaft, Leipzig, 3. Auflage, 1963. 

[11] Rabich, R.: Theorie der Flächentragwerke, Lehrbriefe 1 bis 4. Verlag Technik Berlin, 

1969. 

[12] Timoshenko, S. and S. Woinowsky-Krieger: Theory of Plates and Shells. 

McGraw-Hill, New York, 2. edition, 1959. 

[13] Zumpe, G.: Zur Entwicklung der Flächentragwerke. Wiss. Z. TU Dresden, 6:74–84, 

1982. 

83

Rotationsschalen mit rotationssymmetrischer Belastung/Membrantheorie A.1 

1. Kugelschale 

nϕ = − r 

sin 2 �� 

ϕ 

(pϕ + pz cot ϕ)sin 2 ϕ dϕ + C1 

nϑ = −nϕ − rpz 

∆r = − r 

Eh sin ϕ [rpz + nϕ (1 + µ)] 

χ = − r 

� 

(1 + µ)pϕ − 

Eh 

dpz 

� 

dϕ 

Sonderfälle: 

1.1 Schale oben geschlossen 

Eigengewicht g Schneelast p 

nϕ = − 

gr 

1 + cosϕ 

� 

� 

1 

nϑ = −gr cosϕ − 

1 + cosϕ 

∆r = gr2 � � 

sin ϕ 1 + µ 

− cosϕ 

Eh 1 + cosϕ 

� 

nϕ = − pr 

2 

nϑ = − pr 

2 

cos 2ϕ 

∆r = pr2 sin ϕ 

Eh 

� 

1 + µ 

2 − cos2 � 

ϕ 

χ = − gr 

pr 

sin ϕ (2 + µ) χ = − sin 2ϕ (3 + µ) 

Eh 2Eh 

Flüssigkeitsdruck (Wichte γ) 

pϕ = 0 

pz = ±γ [H ± r (1 − cosϕ)] 

nϕ = ∓ γr2 

6 

nϑ = ∓ γr2 

6 

� 

3 H 

� 

3 H 

r ± 

∆r = ∓ γr3 sin ϕ 

2Eh 

χ = + γr2 

sin ϕ 

Eh 

� 

1 − 2 cos2 �� 

ϕ 

1 + cos ϕ 

� 

r ∓ 1 ± 23 − 2 cos2 ϕ 

1 + cosϕ 

� H 

r 

5 − µ 

(1 − µ) ± 

3 ∓ 6 cosϕ + 2 (2 − µ)cos2 � 

ϕ 

3 (1 + cosϕ) 

Die oberen Vorzeichen gelten für Stützböden, die unteren für 

Hängeböden. 

TU Dresden, BIW Skript: ” Arbeitsblatt Schalentragwerke“ Stand 2/2005

A.2 Rotationsschalen mit rotationssymmetrischer Belastung/Membrantheorie 

1.2 Schale oben offen und zusätzlich mit n o am oberen Rand belastet 

Eigengewicht g 

� 

cos ϕo − cosϕ 

nϕ = −gr 

sin2 � 

sin 

+ nϕo 

ϕ 

2 ϕo 

sin2 ϕ 

� 

cosϕo − cosϕ 

nϑ = gr 

sin 2 � 

sin 

− cosϕ − nϕo 

ϕ 

2 ϕo 

sin 2 ϕ 

∆r = gr2 

� � 

cosϕo − cosϕ 

(1 + µ) − sin ϕ cosϕ − nϕor 

Eh sin ϕ 

sin2 ϕo 

sin ϕ 

χ = − gr 

sin ϕ (2 + µ) 

Eh 

Schneelast p 

nϕ = − pr 

� 

1 − 

2 

sin2 ϕo 

sin 2 � 

sin 

+ nϕo 

ϕ 

2 ϕo 

sin 2 ϕ 

nϑ = − pr 

� 

cos 2ϕ + 

2 

sin2 ϕo 

sin 2 � 

sin 

− nϕo 

ϕ 

2 ϕo 

sin 2 ϕ 

∆r = pr2 �� 

sin ϕ 

1 − 

2Eh 

sin2 ϕo 

sin 2 � 

(1 + µ) − 2 cos 

ϕ 

2 � 

ϕ − nϕor sin2 ϕo 

sin ϕ 

χ = − pr 

sin 2ϕ (3 + µ) 

2Eh 

2. Kegelschale 

ns = − 1 

�� 

s 

nϑ = −pzs cotϕ 

1 + µ 

Eh 

1 + µ 

Eh 

� 

(px + pz cotϕ) s ds + C 

∆r = 1 

Eh (nϑ − µns) s cosϕ 

� 

cot ϕ 

χ = (1 + µ)(ns − nϑ) − s 

Eh 

d 

ds (nϑ 

� 

− µns) 


Rotationsschalen mit rotationssymmetrischer Belastung/Membrantheorie A.3 

Sonderfälle: 

2.1 Schale oben geschlossen: 

Eigengewicht g Schneelast p 

ns = − g 

2 sin ϕ s ns 

p cotϕ 

= − s 

2 

nϑ = − g cos2 ϕ 

sin ϕ s nϑ = −p cos3 ϕ 

sin ϕ s 

g cot ϕ 

� 

∆r = − cos 

Eh 

2 ϕ − µ 

� 

s 

2 

2 

p cosϕcotϕ 

� 

∆r = − cos 

Eh 

2 ϕ − µ 

� 

s 

2 

2 

g cosϕ 

χ = 

Eh sin 2 � 

(2 + µ) cos 

ϕ 

2 ϕ − 1 

� 

− µ s 

2 

χ = p cot2 � 

ϕ 

(2 + µ)cos 

Eh 

2 ϕ − 1 

� 

− µ s 

2 

Flüssigkeitsdruck (Wichte γ) 

pz = ±γ [H ± s sin ϕ] 

ns = ∓ 1 

� � 

3H 

γs cosϕ ± 2s 

6 sin ϕ 

� � 

H 

nϑ = ∓γs cosϕ ± s 

sin ϕ 

∆r = ∓ γs2 cos2 � 

ϕ H 

� 

1 − 

Eh sin ϕ 

µ 

� 

2 

� 

± s 

1 − µ 

3 

χ = ± γs 

6Eh cot2 ϕ [9H ± 16s sinϕ] 

Die oberen Vorzeichen gelten für Stützböden (linkes Bild), die unteren für Hängeböden. 

2.2 Schale oben offen und zusätzlich mit nso am oberen Rand belastet: 

Eigengewicht g 

ns = − gs 

2 sin ϕ 

nϑ = − g cos2 ϕ 

sin ϕ s 

� 

1 − 

∆r = − gs2 

2Eh cotϕ 

χ = 

gs cosϕ 

2Eh sin 2 ϕ 

� � � 

so 

2 so 

+ nso 

s s 

� 

2 cos 2 � 

ϕ − µ 1 − 

� 

2 (2 + µ)cos 2 ϕ − 1 + 

� so 

s 

� so 

s 

� 2 �� 

� 2 

� � 

µso cosϕ 

− nso 

Eh 

� 

cotϕ so 

− 2µ + nso 

Eh s 


A.4 Rotationsschalen mit rotationssymmetrischer Belastung/Membrantheorie 

Schneelast p 

ns = − ps 

2 

� 

1 − 

nϑ = −ps cos3 ϕ 

sin ϕ 

� � � 

so 

2 so 

cot ϕ + nso 

s 

s 

� 

2 cos 2 � 

ϕ − µ 1 − 

� so 

� 2 �� 

∆r = − ps2 cos2 ϕ 

2Eh sin ϕ 

s 

χ = ps 

2Eh cot2 � 

ϕ 2 (2 + µ)cos 2 � 

so 

ϕ − 2µ + 

s 

3. Zylinderschale: 

Sonderfälle: 

3.1 Eigengewicht g =γh und Auflast q: 

� 2 

µso cosϕ 

− nso 

Eh 

� 

cotϕ so 

− 1 + nso 

Eh s 

nϑ = −apz 

� 

nx = − pxdx + nx0 

u = 1 

� 

Eh 

w = a 

χ = a2 

Eh 

(nx − µnϑ)dx + u0 

Eh (nϑ − µnx) 

� dpz 

dx 

− µpx 

a 

nϑ = 0; nx = −γhx − q; 

u = 1 

� 

−γh 

Eh 

x2 

� 

− qx + u0; w = 

2 µa 

1 

(γhx + q); χ = − 

Eh Eh µγha 

3.2 Flüssigkeitsdruck (Wichte γ F) bei vollem Behälter : 

nϑ = aγFx; nx = 0; 

u = − 1 

2Eh µaγFx 2 + u0; w = 1 

Eh γFa 2 x; χ = − 1 2 

γFa 

Eh 

TU Dresden, BIW Skript: ” Arbeitsblatt Schalentragwerke“ Stand 2/2005 

�

Randbelastung an Rotationsschalen/Biegetheorie B.1 

1. Zylinderschale 

α = 

X1 = 1: 

� �3 (1 − µ 2 ) 

ah 

; ξ = xα; ζ1 = e −ξ cosξ; ζ2 = e −ξ sin ξ; αl ≥ 4 

δ11 = 2a2 α 

Eh ; δ21 = 2a2 α 2 

Eh ; 

nϑ = 2aαζ1; mx = 1 

α ζ2; qx = ± (ζ1 − ζ2); 

w = 2a2α Eh ζ1; χ = ± 2a2α2 Eh (ζ1 

X2 = 1: 

+ ζ2) ; mϑ = µmx 

δ12 = 2a2 α 2 

Eh ; δ22 = 4a2 α 3 

Eh ; 

nϑ = 2aα 2 (ζ1 − ζ2) ; mx = (ζ1 + ζ2) ; qx = ∓2αζ2; 

w = 2a2 α 2 

Eh (ζ1 − ζ2) ; χ = ± 4a2 α 3 

Bemerkung: 

Eh ζ1; mϑ = µmx 

oberes Vorzeichen gilt für Lastangriff am oberen Rand, 

unteres Vorzeichen gilt für Lastangriff am unteren Rand. 


B.2 Randbelastung an Rotationsschalen/Biegetheorie 

2. Kugelschale 

κ = 

X1 = 1: 

� 

r � 

3 (1 − µ 2 ); ξ = κω; ζ1 = e 

h 

−ξ cosξ; ζ2 = e −ξ sin ξ; κ (ϕu − ϕo) ≥ 4 

δ11 = 2rκ 

Eh sin2 ϕ o 

u ; δ21 = 2κ2 

sin ϕ o 

u Eh ; 

nϕ = ∓ (ζ1 − ζ2) cot ϕ sinϕ o 

u ; nϑ = 2κζ1 sin ϕ o 

u ; 

qϕ = ± (ζ1 − ζ2) sin ϕ o 

u ; mϕ = r 

κ ζ2 sin ϕ o 

u ; mϑ ≈ µmϕ; 

∆r = 2rκ 

Eh ζ1 sin ϕ sin ϕ o 

u 

X2 = 1: 

δ12 = 2κ2 

Eh 

; χ = ±2κ2 

Eh (ζ1 + ζ2) sin ϕ o 

u . 

sin ϕ o 

u ; δ22 = 4κ3 

Ehr ; 

nϕ = ± 2κ 

r ζ2 cotϕ; nϑ = 2κ2 

r (ζ1 − ζ2) ; 

qϕ = ∓ 2κ 

r ζ2; mϕ = (ζ1 + ζ2); mϑ ≈ µmϕ; 

∆r = 2κ2 

Eh (ζ1 − ζ2) sin ϕ; χ = ± 4κ3 

Ehr ζ1. 

Bemerkung: 

Oberer Rand (ϕo): obere Vorzeichen, 

Unterer Rand (ϕu): untere Vorzeichen. 

Für ϕo < 20 ◦ , ϕu < 20 ◦ wird das Ergebnis ungenau. 


Randbelastung an Rotationsschalen/Biegetheorie B.3 

3. Kegelschale 

αo = 

� 

tanϕ � 

3 (1 − µ 2 ); αu = 

soh 

ζ o 

1, u = e−ξ o u cosξ o 

u ; ζ2, o 


u 


� 

tanϕ � 

3 (1 − µ 2 ); ξo = αos1; ξu = αus2 

suh 

; B = 

δ11 = 2s2o Eh αo cos 2 ϕ; δ12 = 1 

2Bα2 sin ϕ; 

o 

Eh 3 

12 (1 − µ 2 ) ; αu(su − so) ≥ 4 

ns = − (ζ1,o − ζ2,o)cosϕ; nϑ = (2sαoζ1,o − ζ1,o + ζ2,o)cosϕ; 

qs = (ζ1,o − ζ2,o) sin ϕ; ms = 1 

ζ2,o sin ϕ; mϑ ≈ µms; 

αo 

∆r = 2s2 

Eh αoζ1,o cos 2 ϕ; χ = 1 


δ12 = 1 

2Bα2 sin ϕ; δ22 = 

o 

1 

; 

Bαo 

2Bα2 (ζ1,o + ζ2,o) sin ϕ. 

o 

ns = 2αoζ2,o cotϕ; nϑ = 2αo cot ϕ [sαo (ζ1,o − ζ2,o) + ζ2,o] ; 

qs = −2αoζ2,o; ms = ζ1,o + ζ2,o; mϑ ≈ µms; 

∆r = 2s2 α 2 o 

Eh 

cos 2 ϕ 

sin ϕ (ζ1,o − ζ2,o); χ = 1 

Bαo 


ζ1,o.

B.4 Randbelastung an Rotationsschalen/Biegetheorie 


δ11 = 2s2 u 

Eh αu cos 2 ϕ; δ21 = 1 

2Bα2 sin ϕ; 

u 

ns = (ζ1,u − ζ2,u)cos ϕ; nϑ = (2sαuζ1,u + ζ1,u − ζ2,u)cos ϕ; 

qs = − (ζ1,u − ζ2,u)sin ϕ; ms = 1 

αu 

∆r = 2s2 

Eh αuζ1,u cos 2 ϕ; χ = − 1 


δ12 = 1 

2Bα2 sin ϕ; δ22 = 

u 

1 

; 

Bαu 

ζ2,u sin ϕ; mϑ ≈ µms; 

2Bα2 (ζ1,u + ζ2,u) sin ϕ. 

u 

ns = −2αuζ2,u cot ϕ; nϑ = 2αu cot ϕ [sαu (ζ1,u − ζ2,u) − ζ2,u]; 

qs = 2αuζ2,u; ms = ζ1,u + ζ2,u; mϑ ≈ µms; 

∆r = 2s2 α 2 u 

Eh 

cos 2 ϕ 

sin ϕ (ζ1,u − ζ2,u); χ = − 1 

Für ϕ < 50 ◦ wird das Ergebnis ungenau. 

4. Die Funktionen ζ1, ζ2, ζ1 + ζ2, ζ1 − ζ2 

Bαu 


ζ1,u.

Schalentragwerke - Technische Universität Dresden

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