Schalentragwerke - Technische Universität Dresden
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Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Mechanik und Flächentragwerke<br />
Professur für <strong>Technische</strong> Mechanik, Festigkeitslehre und Flächentragwerke<br />
Prof. Dr.-Ing. Bernd W. Zastrau<br />
Vorlesungsmanuskript<br />
zur Lehrveranstaltung<br />
<strong>Schalentragwerke</strong><br />
zusammengestellt von<br />
apl. Prof. Dr.-Ing. C. Neuberg<br />
und<br />
Dipl.-Ing. R. Schlebusch<br />
TECHNISCHE<br />
UNIVERSIT ÄT<br />
DRESDEN<br />
Postanschrift: 01062 <strong>Dresden</strong> Dienstgebäude: Beyerbau Zi. 111 Telefon: 0351 / 463 33508 (Sekr. 35369)<br />
Fax: 0351 / 463 37200
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Vorwort<br />
Liebe Studierende,<br />
mit diesem Manuskript zum Fach <strong>Schalentragwerke</strong> als Teil des Prüfungsfaches Baumechanik<br />
wird Ihnen ein Überblick über die wichtigsten Schalenformen und über die Lösungswege für<br />
deren Berechnung gegeben. Damit sollen Sie in die Lage versetzt werden, Näherungslösungen,<br />
zu denen auch die meistens auf der Finite-Element-Methode basierenden Rechenprogramme<br />
gehören, kritisch zu beurteilen und sich in das Konstruieren von <strong>Schalentragwerke</strong>n einzuarbeiten.<br />
Treffend hat Girkmann im Vorwort seines Grundlagenwerkes [4] über Flächentragwerke<br />
festgestellt:<br />
” Richtiges Konstruieren setzt die Kenntnis des Spieles der inneren Kräfte voraus<br />
und der Konstrukteur muss zugleich wissen, durch welche Maßnahmen er das<br />
Kräftespiel günstig zu beeinflussen vermag.“<br />
Der in der Vorlesung vermittelte und damit auch in diesem Skript enthaltene Lehrstoff ist<br />
nur als eine Einführung in das Fach <strong>Schalentragwerke</strong> zu sehen. Für die praktische Berechnung<br />
von weitgespannten Flächentragwerken müssen Sie sich an Hand der Literatur, von der<br />
einige grundlegende Werke am Ende des Skriptes genannt sind, selbst weiterbilden. Insbesondere<br />
wird dabei die Tensorschreibweise eine zentrale Stellung einnehmen. Darauf gehen<br />
Basar/Krätzig in ihrem Vorwort von [1] ein, in dem sie feststellen:<br />
” Insbesondere nichtlineare Fragestellungen lassen sich überhaupt nur mit Hilfe<br />
des Tensorkalküls in systematischer Form darstellen. Darüber hinaus haben<br />
jüngere Forschungsarbeiten gezeigt, wie vorzüglich sich tensoriell formulierte<br />
Algorithmen in Computerprogramme umsetzen lassen, die wegen der Allgemeingültigkeit<br />
ihrer Darstellung ein ungleich weiteres Anwendungsspektrum aufweisen<br />
als konventionell formulierte.“<br />
Das vorliegende Skript ist im wesentlichen auf Grund der Fülle des Lehrstoffes und der<br />
vielen schreibintensiven Formeln entstanden. Es enthält leere Rahmen für Skizzen, die in der<br />
Vorlesung gefüllt werden. Damit dürfte die Schreibarbeit und damit die Fehleranfälligkeit<br />
Ihrer Mitschrift deutlich vermindert werden.<br />
Mitteilungen über Fehler und Anregungen werden gern entgegengenommen.<br />
Alle Beteiligten wünschen Ihnen mit diesen Unterlagen viel Erfolg.<br />
<strong>Dresden</strong>, im Februar 2005
Inhaltsverzeichnis<br />
Inhaltsverzeichnis 5<br />
Abbildungsverzeichnis 7<br />
1 Einführung in die Theorie der Schalen 9<br />
2 Berechnungsgrundlagen einer technischen Schalentheorie 15<br />
2.1 Voraussetzungen, Annahmen und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.2 Geometrie der Schalenmittelfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.3 Spannungen und Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
2.4 Problemklassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3 Membrantheorie von Rotationsschalen 23<br />
3.1 Geometrie und Beschreibung von Rotationsschalen . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.2 Belastung von Rotationsschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.3 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.4 Gleichgewichtsbedingungen für rotationssymmetrische Belastung . . . . . . . 27<br />
3.5 Formänderung unter rotationssymmetrischer Belastung . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.6 Verknüpfung von Schnittgrößen und Formänderungen – Werkstoffgesetz . . . 29<br />
3.7 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.8 Rotationsschalen besonderer Meridianform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.8.1 Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.8.2 Kegelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
3.8.3 Kreiszylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
3.8.4 Beliebige Meridianform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
4 Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale 39<br />
4.1 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
4.2 Formänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.3 Werkstoffgesetz und Schnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.4 Flüggesches Differentialgleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
4.5 Donnell–Jenkins–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
4.6 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
4.7 Rotationssymmetrisch belastete Kreiszylinderschale . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
4.7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
4.7.2 Angriff von Randschnittgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
5
6 INHALTSVERZEICHNIS<br />
5 Biegetheorie von Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
59<br />
5.1 Schalen allgemeiner Meridianform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
6 Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer<br />
Belastung 65<br />
6.1 Randstörung der kurzen und der langen Zylinderschale . . . . . . . . . . . . 65<br />
6.1.1 Kurze Zylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
6.1.2 Lange Zylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
6.2 Geckelersche Näherung der Randstörung von Rotationsschalen . . . . . . 71<br />
6.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
6.2.2 Spezialisierung für die Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
6.2.3 Spezialisierung für die Kegelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
6.3 Schnittkräfte und Formänderungen von Verstärkungsringen (Kreisringträgern) 79<br />
Literaturverzeichnis 83<br />
Anhang: Klausurhilfsmittel Membrantheorie A.1<br />
Anhang: Klausurhilfsmittel Biegetheorie B.1<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
Abbildungsverzeichnis<br />
1.1 Hebelarm z der inneren Kräfte und Verteilung der Spannungen σ . . . . . . . 10<br />
1.2 Entwicklung der <strong>Schalentragwerke</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.3 Kühlturm Weisweiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.4 Dachschale von Candela in Xochimilco/Mexiko . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.5 Dachschale von Isler in Deitingen/Schweiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.6 Dachschalen des Opernhauses in Sydney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.7 Kleiner Sportpalast von Nervi in Rom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.8 Faulbehälter Ilverich/Düsseldorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.9 Schwimmbad Sechslingspforte Hamburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.1 Bezeichnungen der Schale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.2 Hauptkrümmungen einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.3 Rotationsschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.4 Zylinder- und Translationsschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.5 Zusammengesetzte Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.6 Torusschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.7 Schalenmittelfläche und Schalenelement dxdy im globalen Koordinatensystem<br />
XY Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
2.8 Schalenelement mit lokalen Koordinaten xyz mit Spannungen (diese nur an der<br />
Vorderseite gezeichnet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
2.9 Dehnungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.10 Querkräfte, Biege- und Drillmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3.1 Die Schalengeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.2 Eigengewichtsbelastung g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.3 Schneebelastung s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.4 Windbelastung w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.5 Belastung und Schnittgrößen am Schalenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.6 Gleichgewicht am Schalenabschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.7 Formänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.8 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.9 Geometrie und Belastung der Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.10 Schnittkraftverläufe der Kugelschale unter Eigengewicht . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.11 Kugelschale unter Laternenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.12 Schnittkraftverläufe der Kugelschale unter Laternenlast . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.13 Geometrie der Kegelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
3.14 Kegelstumpfschale mit Laternenlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
7
8 ABBILDUNGSVERZEICHNIS<br />
3.15 Schnittkraftverläufe der Kegelstumpfschale mit Laternenlast . . . . . . . . . . 36<br />
3.16 Kreiszylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
3.17 Schale mit beliebiger Meridianform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
4.1 Zylinderkoordinaten x, ϑ, a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
4.2 Schnittgrößen der Kreiszylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
4.3 Formänderungen der Schalenmittelfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
4.4 Schnitte zur Bestimmung der Formänderung der Schalenmittelfläche . . . . . . 44<br />
4.5 Schnitt längs Erzeugender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
4.6 Schnitt längs Breitenkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
4.7 Geschlossene Kreiszylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
4.8 Tonnenschale mit Endscheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
4.9 Flüssigkeitsbehälter, Belastung und Verformungsskizze . . . . . . . . . . . . . 54<br />
4.10 Qualitativer Funktionsverlauf eines Summanden der Randschnittgrößen . . . . 56<br />
4.11 Typische Verläufe für die homogene Lösung des Randproblemes . . . . . . . . 57<br />
5.1 Membrananteil der Schnittgrößen (ohne Beschränkung auf Rotationssymmetrie) 60<br />
5.2 Ergänzende Biegeschnittgrößen für rotationssymmetrische Beanspruchungszustände<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
5.3 Zusammenhang der Krümmung 1/r2 mit χ und ∆r0 . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
5.4 Schnittgrößen am Rand der unbelasteten Schale . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
6.1 Geometrie und Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
6.2 X1 am oberen Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
6.3 X2 am oberen Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
6.4 Randbelastungen an der Zylinderschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
6.5 Definition der Winkel ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
6.6 Definition des Winkels ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
6.7 Horizontalkraft X1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
6.8 Randbelastungen an der Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
6.9 Definition der Koordinate s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
6.10 Randbelastungen an der Kegelschale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
6.11 Die Funktionen ζ1 und ζ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
6.12 Definition der Belastungen und Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
6.13 Ersatzweise Radialbelastung pz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
6.14 Gleichgewicht zwischen den Momenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
Kapitel 1<br />
Einführung in die Theorie der Schalen<br />
Aufbauend auf der in einem früheren Semester behandelten Theorie der Scheiben und Platten,<br />
die eine ebene Mittelfläche aufweisen, werden in diesem Skript die <strong>Schalentragwerke</strong><br />
behandelt, deren Mittelfläche gekrümmt ist und die deshalb auch als gekrümmte Flächentragwerke<br />
bezeichnet werden.<br />
Die Festigkeit der Schalen beruht auf der räumlichen Anordnung des Baustoffes, nicht so<br />
sehr auf dessen Festigkeit. Durch Versuche mit einem Blatt Papier kann das sehr leicht<br />
festgestellt werden. (Die Versuchsbeschreibung folgt im wesentlichen derjenigen von Rabich<br />
[11] in seinem 3. Lehrbrief.)<br />
Halten wir das Blatt in waagerechter Lage an einem Rand fest wie bei einer am Rand<br />
eingespannten und frei auskragenden Platte, so hängt das Blatt wie ein Tuch herunter.<br />
Die Biegesteifigkeit des Querschnittes ist so klein, dass sie bei weitem nicht ausreicht, das<br />
Eigengewicht dieser ” Platte“ zu tragen.<br />
Wenn wir aber das Blatt an zwei Punkten festhalten, wirkt es wie eine Scheibe auf zwei<br />
Stützen. Die Dehnsteifigkeit des Querschnittes ist so groß, dass unter Eigengewicht keine<br />
Formänderungen sichtbar sind.<br />
Nun legen wir das Blatt wieder waagerecht, geben ihm aber eine leicht zylindrische Form. Wir<br />
halten es an den beiden oberen Ecken fest und stützen es unten in waagerechter Richtung.<br />
Jetzt wirkt das Blatt wie ein am Rand eingespannte Schale. Sie ist so steif, dass keine<br />
Formänderungen sichtbar sind. Da sich die Abmessungen des Blattes nicht geändert haben,<br />
muss dieser Effekt auf der großen Dehnsteifigkeit beruhen.<br />
Wir betrachten nun die inneren Kräfte. Im ersten Versuch (bei der Platte) ist der Hebelarm<br />
z der inneren Kräfte kleiner als die Plattendicke h(z < h) (Abb. 1.1a). Daher sind die Randspannungen<br />
σP sehr groß, und daraus folgen die großen Formänderungen der Kragplatte.<br />
Bei der Beanspruchung des Papiermodells in senkrechter Richtung, also als Scheibe, ist der<br />
Hebelarm z der inneren Kräfte um ein Vielfaches größer als die Scheibendicke h(z ≫ h).<br />
Daher sind die Spannungen σS sehr klein (Abb. 1.1b), so dass auch die Formänderungen sehr<br />
klein bleiben. Bei der Schale (Abb. 1.1c) sind die Spannungen in der Mittelfläche ähnlich<br />
verteilt wie bei der Scheibe. Infolge ihrer räumlichen Anordnung entsteht ein Hebelarm z<br />
der inneren Kräfte, der ebenfalls wesentlich größer ist als die Schalendicke h(z ≫ h). Daher<br />
sind auch die Spannungen und Formänderungen sehr klein. Die Tragfähigkeit beruht also auf<br />
der räumlichen Verteilung von Dehnungsspannungen, die den großen Hebelarm der inneren<br />
Kräfte bewirkt.<br />
9
10 1. Einführung in die Theorie der Schalen<br />
Abb. 1.1: Hebelarm z der inneren Kräfte und Verteilung der Spannungen σ<br />
Die Spannungsverteilung über die Dicke h der Schale ist trapezförmig (Abb. 1.1c). Sie setzt<br />
sich aus der konstanten Dehnungsspannung σS und der linearen Biegespannung mit der<br />
Randspannung σP zusammen. Daher besteht der Spannungszustand der Schale aus einer<br />
Kombination von Scheiben- und Plattenwirkung. Bei einer guten Schalenkonstruktion sind<br />
die Biegespannungen klein gegenüber den Dehnungsspannungen. Sind die Biegespannungen<br />
so klein, dass wir sie gegenüber den Dehnungsspannungen ganz vernachlässigen können, so<br />
bleibt ein reiner Dehnungsspannungszustand übrig, der Membranspannungszustand (oder<br />
kurz: Membranzustand) genannt wird. Ein solcher Zustand stellt sich wegen der sehr kleinen<br />
Dicke bei dem Papiermodell ein.<br />
Der Hebelarm z der inneren Kräfte hängt jedoch von der Schalenform ab, also von der<br />
Höhendifferenz H zwischen oberstem und unterstem Punkt der Zylinderschale. Wenn wir H<br />
verkleinern, die Schale also immer flacher werden lassen, so kommt ein Augenblick, wo die<br />
Schale zur Platte wird, so dass sie wieder wie ein Tuch herunterhängt. Dieser Effekt wird<br />
durch einen Beulvorgang eingeleitet. Mit abnehmendem Hebelarm z werden die Dehnungsspannungen<br />
bald so groß, dass die Fläche ausbeult und die Schalenform verloren geht. Dann<br />
bleibt nur die geringe Tragwirkung aus der Plattensteifigkeit übrig. Besonders deutlich sehen<br />
wir das, wenn wir die Schale mit der konkaven Seite nach unten halten. Die Schalenränder<br />
beulen bei gleicher Druckspannung viel früher aus als die inneren Schalenteile.<br />
Diese Überlegungen zeigen uns bereits die wesentlichen Merkmale einer Schalenkonstruktion:<br />
• Die Schale muss so gestützt sein und ausgesteift sein, dass sie ihre Form nicht verändern<br />
kann.<br />
• Die Biegesteifigkeit der Schalenfläche muss so groß sein, dass keine Beulgefahr entsteht.<br />
• Die Schale sollte so geformt, belastet und gestützt sein, dass ein möglichst biegungsfreier<br />
Membranzustand entsteht.<br />
Bei Beachtung dieser Grundsätze gelingt es, die wirtschaftlichen Vorteile einer Schalenkonstruktion<br />
auszunutzen, die in dem geringen spezifischen Baustoffeinsatz und in der Kopplung<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
von Tragkonstruktion und Raumabschluss bestehen. Nicht übersehen werden darf aber der<br />
hohe Lohnaufwand für die Herstellung der großen gekrümmten Flächen.<br />
Eine allgemeine Übersicht über die Brauchbarkeit der Membrantheorie gibt die folgende<br />
Tabelle, in der ein Parameter<br />
α = 100h<br />
r<br />
11<br />
(1.1)<br />
(h: Schalendicke, r: Radius der Mittelfläche) als Kenngröße eingeführt wird. Dieser Parameter<br />
ist gleichzeitig ein Ausdruck für die Leichtigkeit (manchmal auch Schlankheit genannt) einer<br />
Schale (eine Schale ist um so schlanker, je kleiner α ist).<br />
Parameter Anwendungsbereich Membrantheorie<br />
α = 20 (r = 5h) Gültigkeitsgrenze der Theorie unbrauchbar<br />
dünner Schalen (Biegetheorie)<br />
20 > α > 10 sehr dicke Schalen (Rohre) unbrauchbar<br />
10 > α > 4 dicke Schalen (Schornsteine) bedingt brauchbar<br />
4 > α > 0, 5 dünne Schalen (Dächer) brauchbar<br />
0, 5 > α (r > 200h) sehr dünne Schalen (Stahlbehälter, brauchbar<br />
Membranen) (bedingt, wg. Stabilität)<br />
Tabelle 1.1: Brauchbarkeit der Membrantheorie<br />
Als Geburtsstunde der modernen Schalen wird i.a. das Jahr 1923 genannt. In diesem Jahr<br />
entstand das Schalendach über der Absprengerei der Fa. Schott in Jena, bei der eine Schale<br />
mit 6 cm Dicke eine Spannweite von 40 m überdacht und damit die sogenannte Gewölbekühnheit<br />
” Spannweite / Schalendicke“ = 4 000/6 = 666 erreicht, während bis zu diesem Zeitpunkt<br />
die größte erreichte Kühnheit mit 50 (Pantheon in Rom: 44) angegeben wird. Der Entwurf,<br />
die Berechnung und Konstruktion dieser Schale (wie auch der weiterer Schalendächer) geht<br />
auf Bauersfeld und Dischinger zurück. Zumpe [13] hat diese Zahlen in einer in der<br />
Abbildung 1.2 wiedergegebenen Zeittafel zusammengefasst, die eindrucksvoll diesen oben<br />
genannten Sprung zum Ausdruck bringt.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
12 1. Einführung in die Theorie der Schalen<br />
Abb. 1.2: Entwicklung der <strong>Schalentragwerke</strong><br />
In den folgenden Abbildungen 1.3 bis 1.9 sind aus der sehr großen Vielfalt der möglichen<br />
Schalenformen (s. Abschnitt 2.2) einige ausgeführte typische <strong>Schalentragwerke</strong> dargestellt.<br />
Abb. 1.3: Kühlturm Weisweiler Abb. 1.4: Dachschale von Candela in Xochimilco/Mexiko<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
Abb. 1.5: Dachschale von Isler in Deitingen/Schweiz<br />
Abb. 1.6: Dachschalen des Opernhauses in Sydney<br />
Abb. 1.7: Kleiner Sportpalast von Nervi in Rom<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005<br />
13
14 1. Einführung in die Theorie der Schalen<br />
Abb. 1.8: Faulbehälter Ilverich/Düsseldorf<br />
Abb. 1.9: Schwimmbad Sechslingspforte Hamburg<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
Kapitel 2<br />
Berechnungsgrundlagen einer<br />
technischen Schalentheorie<br />
2.1 Voraussetzungen, Annahmen und Definitionen<br />
Annahmen bezüglich:<br />
Abb. 2.1: Bezeichnungen der Schale<br />
1. Geometrie<br />
• Schalenmittelfläche (SMF) beliebig gekrümmt (s. Abschnitt 2.2): F(X, Y, Z) = 0<br />
• Dünne-Hypothese: h ≪ lX, h ≪ lY und h ≪ r1, h ≪ r2<br />
mit h �= Schalendicke,<br />
lX, lY �= Hauptabmessungen und<br />
r1, r2 �= Hauptkrümmungsradien (s. Abb. 2.2) der Schalenmittelfläche<br />
• Schalendicke konstant (bzw. nur schwach veränderlich)<br />
15
16 2. Berechnungsgrundlagen einer technischen Schalentheorie<br />
2. Belastung<br />
• auf den Schalenlaibungen (Werte, bezogen auf die Schalenmittelfläche)<br />
– tangential: px, py<br />
– normal: pz<br />
• auf den Schalenrändern<br />
– Randkräfte: nx, ny, nxy, nyx, qx, qy (oder nx0, ny0, . . ., nxR, nyR, . . . .)<br />
– Randmomente: mx, my, mxy, myx<br />
• keine konzentrierten Lasten (insbesondere keine Einzelkräfte und -momente)<br />
3. Kinematik<br />
• Infinitesimale Formänderungen<br />
• Kirchhoff–Love–Hypothese (Normalen, die vor der Verformung senkrecht zur<br />
Schalenmittelfläche sind, sind auch nach der Verformung senkrecht (normal) zur<br />
Schalenmittelfläche)<br />
→ <strong>Technische</strong> Schalentheorie<br />
4. Werkstoffverhalten<br />
• Werkstoff sei:<br />
– homogen<br />
– ideal elastisch<br />
– isotrop<br />
– Mit der Bedingung einer in Dickenrichtung zu vernachlässigenden Spannung<br />
σz
2.2 Geometrie der Schalenmittelfläche 17<br />
2.2 Geometrie der Schalenmittelfläche<br />
Hauptkrümmungsradien 1 :<br />
r1 = 1<br />
, r2 = 1<br />
k1<br />
k2<br />
Gausssches Krümmungsmaß:<br />
k = k1k2<br />
Mittlere Krümmung:<br />
(2.2)<br />
(2.3)<br />
H = 1<br />
2 (k1 + k2) (2.4)<br />
k = k1k2 = 1<br />
r1r2<br />
Abb. 2.2: Hauptkrümmungen einer Fläche<br />
> 0: r1, r2 auf gleicher Schalenseite → positiv gekrümmte Fläche<br />
= 0: r1 → ∞ oder r2 → ∞ → abwickelbare Fläche<br />
< 0: r1, r2 auf entgegengesetzter Schalenseite → negativ gekrümmte Fläche<br />
Grundformen von Schalenmittelflächen:<br />
1. Rotationsschalen:<br />
Kugelschale (r1 = r2 = a): X 2 + Y 2 + Z 2 − a 2 = 0<br />
Kegelschale: X 2 + Y 2 − Z 2<br />
�<br />
a<br />
�2 = 0<br />
c<br />
Rotationsparaboloid: X 2 + Y 2 − Z a<br />
einschaliges Rotationshyperboloid:<br />
= 0<br />
c<br />
X 2 + Y 2 − Z 2<br />
�<br />
a<br />
�2 − a<br />
c<br />
2 = 0<br />
2. Zylinderschalen:<br />
Kreiszylinderschale (r1 = a, r2 → ∞): X 2 + Y 2 − a 2 = 0<br />
Elliptische Zylinderschale:<br />
3. Translationsschalen:<br />
Elliptisches Paraboloid:<br />
Hyperbolisches Paraboloid:<br />
X2 2 Y<br />
+ − 1 = 0<br />
a2 b2 X2 2 Y Z<br />
+ −<br />
a2 b2 c<br />
X2 2 Y Z<br />
− −<br />
a2 b2 c<br />
1 Hauptkrümmungen sind minimale und maximale Krümmungen bei gleichzeitigem Verschwinden der<br />
Verwindung.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005<br />
= 0<br />
= 0
18 2. Berechnungsgrundlagen einer technischen Schalentheorie<br />
Abb. 2.3: Rotationsschalen<br />
Abb. 2.4: Zylinder- und Translationsschalen<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
2.2 Geometrie der Schalenmittelfläche 19<br />
4. Zusammengesetzte Schalen:<br />
Abb. 2.5: Zusammengesetzte Schalen<br />
Der Intze-Behälter (Abb. 2.5) ist dadurch gekennzeichnet, dass für den Hauptlastfall die<br />
horizontale Belastung des Auflagers zu Null wird, d.h. die Horizontalkomponenten der beiden<br />
Schalen gleichen sich (am Auflager oder am Ringträger) aus.<br />
Die Torusschale (Abb. 2.6) vereinigt alle Krümmungen in einer Schale.<br />
Abb. 2.6: Torusschale<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
20 2. Berechnungsgrundlagen einer technischen Schalentheorie<br />
2.3 Spannungen und Schnittgrößen<br />
Abb. 2.7: Schalenmittelfläche und Schalenelement<br />
dxdy im globalen Koordinatensystem<br />
XY Z<br />
Definitionen der Schnittkräfte:<br />
Längskräfte [kN/m]:<br />
nx =<br />
� + h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
σx<br />
�<br />
1 + z<br />
Schubkräfte [kN/m]:<br />
nxy =<br />
� + h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
τxy<br />
ry<br />
�<br />
1 + z<br />
�<br />
dz ny =<br />
ry<br />
�<br />
dz nyx =<br />
Abb. 2.8: Schalenelement mit lokalen Koordinaten<br />
xyz und Spannungen (diese nur an<br />
der Vorderseite gezeichnet)<br />
� + h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
σy<br />
� + h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
�<br />
1 + z<br />
τyx<br />
rx<br />
�<br />
1 + z<br />
�<br />
dz (2.5)<br />
rx<br />
�<br />
dz (2.6)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
2.3 Spannungen und Schnittgrößen 21<br />
Biegemomente [kNm/m]:<br />
� h<br />
+ 2<br />
mx = −<br />
− h<br />
�<br />
σx 1 +<br />
2<br />
z<br />
�<br />
z dz my = −<br />
ry<br />
Drillmomente [kNm/m]:<br />
� h<br />
+<br />
2<br />
mxy = −<br />
− h<br />
�<br />
τxy 1 +<br />
2<br />
z<br />
�<br />
z dz myx = −<br />
ry<br />
Querkräfte [kN/m]:<br />
� h<br />
+ 2<br />
qx = −<br />
− h<br />
�<br />
τxz 1 +<br />
2<br />
z<br />
�<br />
dz qy = −<br />
ry<br />
Positive Schnittgrößen am Element:<br />
� + h<br />
2<br />
� + h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
σy<br />
� + h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
τyz<br />
�<br />
1 + z<br />
τyx<br />
�<br />
1 + z<br />
rx<br />
�<br />
1 + z<br />
rx<br />
�<br />
z dz (2.7)<br />
rx<br />
�<br />
z dz (2.8)<br />
�<br />
dz (2.9)<br />
Die Definition der positiven Schnittgrößen ist den Abbildungen 2.9 und 2.10 zu entnehmen.<br />
Abb. 2.9: Dehnungskräfte Abb. 2.10: Querkräfte, Biege- und Drillmomente<br />
Anmerkung: Positive Biegemomente liefern bei obiger Definition analog zur Plattentheorie<br />
auf der Schaleninnenseite (-unterseite) Zugspannungen.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
22 2. Berechnungsgrundlagen einer technischen Schalentheorie<br />
2.4 Problemklassifizierung<br />
Die eingeführten Schnittgrößen enthalten Membrananteile wie bei der Scheibentheorie und<br />
Biegeanteile wie bei der Plattentheorie. Die Zahl der Schnittgrößen beträgt 10, weshalb bei<br />
nur 6 möglichen Gleichgewichtsbedingungen jede vollständige Schalentheorie innerlich 4-fach<br />
statisch unbestimmt sein muss.<br />
Im Gegensatz zur Membrantheorie der Scheiben ist, wie später noch zu zeigen sein wird,<br />
auch bei einer Belastung senkrecht zur Schalenmittelfläche Gleichgewicht allein infolge der<br />
Membranschnittkräfte möglich.<br />
Die folgende Übersicht erlaubt eine Klassifizierung von Aufgabenstellungen im Rahmen der<br />
Schalentheorie, dabei sind im Vorgriff auf die in der Hauptsache zu behandelnden Rotationsschalen<br />
die entsprechenden Schnittgrößen gleichfalls mit angegeben.<br />
nx, ny, nxy, nyx<br />
n ϕ, n ϑ, n ϕϑ, n ϑϕ<br />
� �� �<br />
Dehnungskräfte<br />
mx, my, mxy, myx, qx, qy<br />
m ϕ, m ϑ, m ϕϑ, m ϑϕ, q ϕ, q ϑ<br />
� �� �<br />
Biegeschnittgrößen<br />
� �� �<br />
Schalenbiegetheorie = Dehnungs- und Biegezustand<br />
Dehnungszustand: Biegezustand:<br />
Scheibe Mittelfläche eben Platte<br />
Membrantheorie<br />
Mittelfläche<br />
gekrümmt (Schale) Theorie der dehnungslosen Verformungen<br />
Schnittgrößen: 4<br />
Gleichgewichtsbed.: 3+1<br />
Schnittgrößen: 6<br />
Gleichgewichtsbed.: 1+3<br />
=⇒ innerlich statisch bestimmt =⇒ innerlich 2 - fach statisch unbestimmt<br />
einfache Berechnung gefährlich bei <strong>Schalentragwerke</strong>n,<br />
vermeiden<br />
wirtschaftliche Konstruktion<br />
Membrantheorie Schalenbiegetheorie Theorie der dehnungslosen Verformung<br />
der SMF<br />
DS �= 0 DS �= 0 DS = 0<br />
BS = 0 BS �= 0 BS �= 0<br />
� �� �<br />
technisch wichtiger<br />
Anwendungsbereich<br />
DS �= Dehnsteifigkeit und BS �= Biegesteifigkeit<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
Kapitel 3<br />
Membrantheorie von Rotationsschalen<br />
3.1 Geometrie und Beschreibung von Rotationsschalen<br />
ϑ : Winkel zwischen P und beliebiger<br />
Nullrichtung in der Breitenkreisebene<br />
ϕ : Winkel zwischen Schalenachse<br />
und Schalennormalen in P<br />
r1 : Meridiankrümmungsradius in P<br />
(1. Hauptkrümmungsradius)<br />
: 2. Hauptkrümmungsradius in P:<br />
r2<br />
r2 = r0<br />
sin ϕ =<br />
r0<br />
cos (90 ◦ − ϕ)<br />
r0 : Breitenkreisradius in P<br />
X, Y, Z : globales kartesisches Koordinatensystem<br />
x, y, z : lokales kartesisches Koordinatensystem<br />
in P<br />
3.2 Belastung von Rotationsschalen<br />
Vorzeichendefinition der Belastung:<br />
px : positiv in Koordinatenrichtung +x (= +ϕ)<br />
py : positiv in Koordinatenrichtung +y (= +ϑ)<br />
pz : positiv in Koordinatenrichtung −z<br />
alle in<br />
�<br />
K kN<br />
bzw.<br />
L2 m2 Abb. 3.1: Bezeichnungen der Schale<br />
�<br />
, Kraft pro Flächeneinheit der Schalenmittelfläche<br />
23
24 3. Membrantheorie von Rotationsschalen<br />
• Eigengewicht g:<br />
geg.: g<br />
[Kraft pro Schalenmittelflächeneinheit]<br />
py =0<br />
px =g sin ϕ<br />
pz =g cosϕ<br />
• Schneebelastung s:<br />
geg.: s<br />
[Kraft pro Grundrissflächeneinheit]<br />
py =0<br />
px =scosϕsin ϕ<br />
pz =scos 2 ϕ<br />
• Windbelastung w:<br />
px =0<br />
py =0<br />
pz =w<br />
Abb. 3.2: Eigengewichtsbelastung g<br />
Abb. 3.3: Schneebelastung s<br />
Beispiel für die Approximation einer gemessenen Winddruckverteilung:<br />
pz = q sin ϕ (0, 5 cosϑ + 1, 2 cos2ϑ − 0, 7) mit q �= Staudruck<br />
allgemein gilt: px = px (q, ϕ, ϑ); py = py (q, ϕ, ϑ); pz = pz (q, ϕ, ϑ).<br />
Abb. 3.4: Windbelastung w<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
3.3 Gleichgewichtsbedingungen 25<br />
3.3 Gleichgewichtsbedingungen<br />
Abb. 3.5: Belastung und Schnittgrößen am Schalenelement<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
26 3. Membrantheorie von Rotationsschalen<br />
Kräftegleichgewicht:<br />
• in x-Richtung (ϕ-Richtung):<br />
∂nϑϕ<br />
∂ϑ dϑr1<br />
∂ (nϕr0)<br />
dϕ +<br />
∂ϕ dϕ dϑ − nϑr1 dϕ dϑ cos ϕ + pxr0 dϑr1 dϕ = 0 (3.1)<br />
• in y-Richtung (ϑ-Richtung):<br />
∂nϑ<br />
∂ϑ dϑr1 dϕ +<br />
• in z-Richtung:<br />
mit<br />
∂ (nϕϑr0)<br />
dϕ dϑ + nϑϕr1 dϕ dϑ cosϕ + pyr0 dϑr1 dϕ = 0 (3.2)<br />
∂ϕ<br />
nϑr1 dϕ dϑ sin ϕ + nϕr0 dϑdϕ + pzr0 dϑr1 dϕ = 0 (3.3)<br />
z<br />
rx<br />
ergibt sich:<br />
≪ 1 und z<br />
ry<br />
≪ 1 ⇒ 1 + z<br />
rx<br />
≈ 1 + z<br />
ry<br />
≈ 1 sowie τxy = τyx ⇒ nϕϑ = nϑϕ<br />
(3.4)<br />
∂nϕϑ<br />
∂ϑ r1<br />
∂ (nϕr0)<br />
+<br />
∂ϕ − nϑr1 cos ϕ + pxr0r1 = 0 (3.5)<br />
∂nϑ<br />
∂ϑ r1 +<br />
∂ (nϕϑr0)<br />
∂ϕ<br />
mit r0 = r2 sin ϕ.<br />
+ nϕϑr1 cosϕ + pyr0r1 = 0 (3.6)<br />
nϑ<br />
r2<br />
+ nϕ<br />
r1<br />
Für das Differentialgleichungssystem der Membrantheorie gilt:<br />
Unbekannte: nϕ, nϑ, nϑϕ = nϕϑ<br />
Bestimmungsgleichungen: 3<br />
+ pz = 0 (3.7)<br />
=⇒ das Gleichungssystem ist lösbar! Der Membranspannungszustand ist also ein statisch<br />
bestimmter Zustand.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
3.4 Gleichgewichtsbedingungen für rotationssymmetrische Belastung 27<br />
3.4 Gleichgewichtsbedingungen für rotationssymmetrische<br />
Belastung<br />
Voraussetzung: py ≡ 0<br />
Folge:<br />
1. keine Veränderlichkeit in ϑ−Richtung:<br />
∂ (. . .)<br />
∂ϑ<br />
2. keine zu einem Meridian antimetrischen Schnittgrößen: nϑϕ = nϕϑ = 0<br />
Damit vereinfacht sich das Differentialgleichungssystem aus Abschnitt 3.3 zu:<br />
∂ (nϕr0)<br />
∂ϕ − nϑr1 cosϕ + pxr0r1 = 0 (3.8)<br />
nϑ<br />
r2<br />
+ nϕ<br />
r1<br />
Unbekannte : nϕ, nϑ<br />
Bestimmungsgleichungen : 2<br />
=⇒ das Gleichungssystem ist lösbar!<br />
Übergang zu gewöhnlicher Differentialgleichung:<br />
= 0<br />
+ pz = 0 (3.9)<br />
d (nϕr0)<br />
dϕ − nϑr1 cosϕ + pxr0r1 = 0 (3.10)<br />
nϑr1 + nϕr2 + pzr1r2 = 0 (3.11)<br />
Nach Elimination von nϑ und Zusammenfassung:<br />
d (nϕr0)<br />
dϕ<br />
sin ϕ + nϕr0 cosϕ = −pxr0r1 sin ϕ − pzr0r1 cosϕ (3.12)<br />
Analytische Integration:<br />
d<br />
dϕ (nϕr0 sin ϕ) = −pxr0r1 sin ϕ − pzr0r1 cosϕ (3.13)<br />
�<br />
nϕr0 sin ϕ = − {pxr0r1 sin ϕ + pzr0r1 cos ϕ} dϕ (3.14)<br />
nϕ = − 1<br />
��<br />
�<br />
(px sin ϕ + pz cosϕ)r0r1 dϕ + C1<br />
r0 sin ϕ<br />
�<br />
nϑ = −r2 pz +<br />
(3.15)<br />
nϕ<br />
�<br />
(3.16)<br />
r1<br />
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28 3. Membrantheorie von Rotationsschalen<br />
Anschauliche Integration:<br />
PΣ: Gesamtlast oberhalb ϕ:<br />
� KV = 0 :<br />
0 = PΣ + nϕ2πr0 sin ϕ (3.17)<br />
PΣ<br />
nϕ = −<br />
2πr0 sin ϕ<br />
�<br />
nϑ = −r2<br />
pz + nϕ<br />
r1<br />
�<br />
(3.18)<br />
(3.19)<br />
Abb. 3.6: Gleichgewicht am Schalenabschnitt<br />
3.5 Formänderung unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
Abb. 3.7: Formänderungen<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
3.6 Verknüpfung von Schnittgrößen und Formänderungen – Werkstoffgesetz 29<br />
εϕ =<br />
�<br />
ds + ∂u<br />
∂ϕ dϕ<br />
�<br />
r1+w<br />
− ds r1<br />
≈<br />
ds<br />
1<br />
� �<br />
∂u<br />
+ w<br />
r1 ∂ϕ<br />
εϑ = 2π (r0 + ∆r0) − 2πr0<br />
2πr0<br />
= ∆r0<br />
r0<br />
= 1<br />
r0<br />
(3.20)<br />
(u cosϕ + w sin ϕ) (3.21)<br />
Für rotationssymmetrische Problemstellungen ist analog zu den Schnittgrößen ein Übergang<br />
zu gewöhnlichen Differentialgleichungen möglich. Damit wird:<br />
εϕ = 1<br />
� �<br />
du<br />
+ w<br />
(3.22)<br />
dϕ<br />
r1<br />
Auflösung nach u, w:<br />
r1εϕ − r2εϑ<br />
=<br />
sin ϕ<br />
du 1 cosϕ<br />
− u<br />
dϕ sin ϕ sin 2 ϕ<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
d u<br />
dϕ sin ϕ<br />
�� �<br />
r1εϕ − r2εϑ<br />
u = sin ϕ<br />
dϕ + C2<br />
sin ϕ<br />
(3.23)<br />
w = r0εϑ<br />
− u cotϕ<br />
sin ϕ<br />
(3.24)<br />
∆r0 = u cosϕ + w sin ϕ<br />
χ =<br />
(3.25)<br />
u<br />
−<br />
r1<br />
∂w<br />
�<br />
1<br />
= u −<br />
r1∂ϕ r1<br />
∂w<br />
�<br />
bzw.<br />
∂ϕ<br />
χ = 1<br />
�<br />
u − dw<br />
�<br />
dϕ<br />
(3.26)<br />
r1<br />
3.6 Verknüpfung von Schnittgrößen und Formänderungen<br />
– Werkstoffgesetz<br />
Werkstoffgleichungen:<br />
• Werkstoff homogen und isotrop<br />
• Hookesches (linear elastisches) Material<br />
εx = 1<br />
E (σx − µσy) ; εy = 1<br />
E (σy − µσx) ; γxy = τxy<br />
G<br />
mit: E Elastizitätsmodul<br />
G Gleitmodul, Schubmodul G =<br />
µ Querdehnungszahl<br />
E<br />
2 (1 + µ)<br />
= τyx<br />
G = γyx (3.27)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
30 3. Membrantheorie von Rotationsschalen<br />
→ ebener Spannungszustand<br />
Scheibenschnittgrößen: Membranschnittgrößen:<br />
nx = σxt = D (εx + µεy) nx = σxh = D (εx + µεy) (3.28)<br />
ny = σyt = D (εy + µεx) ny = σyh = D (εy + µεx) (3.29)<br />
1 − µ<br />
nxy = τxyt = D<br />
mit den Dehnsteifigkeiten:<br />
D = Et<br />
1 − µ 2<br />
3.7 Randbedingungen<br />
2 γxy nxy = τxyh = D<br />
D = Eh<br />
1 − µ 2<br />
1 − µ<br />
2 γxy (3.30)<br />
(3.31)<br />
Für die Membrantheorie gilt näherungsweise, dass die Schnittgrößen (mϕ, mϑ, mϕϑ, qϕ, qϑ)<br />
der Biegetheorie im Vergleich zu denen der Membrantheorie (nϕ, nϑ, nϕϑ) klein sind. Für<br />
eine korrekte Beurteilung, ob die Biegeschnittgrößen für die Tragwirkung vernachlässigt werden<br />
können, ist entweder eine Beurteilung der zugeordneten maximalen Spannungen oder<br />
der zugeordneten Verformungsenergie maßgeblich.<br />
Dies wird in Randnähe durch die Wahl der Randbedingungen insbesondere beeinflusst.<br />
kein Gleichgewicht<br />
im Rahmen der<br />
Membrantheorie<br />
mögliche<br />
Randbedingung für<br />
Membrantheorie<br />
Abb. 3.8: Randbedingungen<br />
Randbedingungen mit<br />
Randstörung/<br />
Biegestörung<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
3.8 Rotationsschalen besonderer Meridianform 31<br />
3.8 Rotationsschalen besonderer Meridianform<br />
3.8.1 Kugelschale<br />
r1 = r2 = r (3.32)<br />
r0 = r sin ϕ (3.33)<br />
Abb. 3.9: Geometrie und Belastung der Kugelschale<br />
Grundgleichungen:<br />
nϕ = − 1<br />
��<br />
�<br />
(px sin ϕ + pz cosϕ) r0r1 dϕ + C1<br />
(3.34)<br />
r0 sin ϕ<br />
nϕ = − r<br />
sin 2 ��<br />
(px sin ϕ + pr cosϕ)sin ϕ dϕ + C<br />
ϕ<br />
∗ �<br />
1<br />
(3.35)<br />
nϑ = − (nϕ + prr) (3.36)<br />
�� �<br />
r1εϕ − r2εϑ<br />
u = sin ϕ<br />
dϕ + C2<br />
(3.37)<br />
sin ϕ<br />
��<br />
1<br />
Ehu = r sin ϕ (1 + µ)<br />
sin ϕ (nϕ − nϑ) dϕ + C ∗ �<br />
2<br />
(3.38)<br />
��<br />
1<br />
Ehw = r (nϑ − µnϕ) − r cosϕ(1 + µ)<br />
sin ϕ (nϕ − nϑ) dϕ + C ∗ �<br />
2 (3.39)<br />
Eh∆r0 = −r sin ϕ [rpr + nϕ (1 + µ)] (3.40)<br />
�<br />
Ehχ = −r (1 + µ)px − dpr<br />
�<br />
(3.41)<br />
dϕ<br />
Anmerkung:<br />
∆r0 = Änderung des Breitenkreishalbmessers r0 (positiv nach außen)<br />
χ = Änderung des Winkels ϕ, d.h. Drehung der Meridiantangente<br />
(positiv im Sinne von ϕ)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
32 3. Membrantheorie von Rotationsschalen<br />
Eigengewicht: g = γh ⇒ px = g sin ϕ; pr = g cosϕ<br />
nϕ = − r<br />
sin 2 �� �<br />
�g � 2 2 ∗<br />
sin ϕ + g cos ϕ sin ϕ dϕ + C1 (3.42)<br />
ϕ<br />
nϕ = − gr<br />
sin2 [− cosϕ + C∗∗ 1 ] (3.43)<br />
ϕ<br />
nϑ = gr<br />
sin 2 � ∗∗ C1 − cosϕ<br />
[− cos ϕ + C∗∗ 1 ] − gr cosϕ = gr<br />
ϕ sin 2 �<br />
− cosϕ<br />
(3.44)<br />
ϕ<br />
Stetige Lösung für ϕ = 0 ⇒ C ∗∗<br />
1<br />
= 1<br />
1 − cosϕ<br />
sin 2 ϕ =<br />
1<br />
1 + cosϕ<br />
1<br />
nϕ = −gr<br />
1 + cosϕ<br />
�<br />
�<br />
1<br />
nϑ = gr − cosϕ<br />
1 + cos ϕ<br />
Eh∆r0 = gr 2 � �<br />
1 + µ<br />
sin ϕ<br />
− cos ϕ<br />
1 + cos ϕ<br />
Zahlenbeispiel:<br />
(3.45)<br />
(3.46)<br />
(3.47)<br />
Ehχ = −gr sin ϕ (2 + µ) (3.48)<br />
Abb. 3.10: Schnittkraftverläufe der Kugelschale unter Eigengewicht<br />
(an einer vertikalen Bezugsgerade aufgetragen)<br />
r = 24 m; h = 10 cm; γ = 24 kN/m 3 ; g = 2, 4 kN/m 2<br />
nϑ (ϕ = 90 ◦ ) = 2, 4 · 24 kN/m = 57, 6 kN/m<br />
57, 6<br />
σϑ =<br />
0, 1 kN/m2 = 576 kN/m 2 = 57, 6 N/cm 2<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
3.8 Rotationsschalen besonderer Meridianform 33<br />
Laternenlast:<br />
nϕ = − r<br />
sin 2 ��<br />
ϕ<br />
nϕ (ϕ = ϕo) = nϕo = − r<br />
Abb. 3.11: Kugelschale unter Laternenlast<br />
(px sin ϕ + pz cosϕ)sin ϕ dϕ + C ∗ 1<br />
sin<br />
= −nϕo<br />
2 ϕo<br />
sin 2 [C<br />
ϕo<br />
∗ 1 ] ⇒ C∗ 1<br />
nϕ = − r<br />
sin2 �<br />
−<br />
ϕ<br />
sin2 �<br />
ϕo sin<br />
nϕo = nϕo<br />
r<br />
2 ϕo<br />
sin2 ϕ<br />
sin ϕo<br />
nϕ = −G<br />
sin 2 (Druckkraft!)<br />
ϕ<br />
nϑ = −nϕ = + G sinϕo<br />
sin 2 ϕ<br />
sin ϕo<br />
Eh∆r0 = + Gr (1 + µ)<br />
sin ϕ<br />
Ehχ = 0<br />
(Zugkraft!)<br />
Abb. 3.12: Schnittkraftverläufe der Kugelschale unter Laternenlast<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005<br />
r<br />
�
34 3. Membrantheorie von Rotationsschalen<br />
Biegestörungen an der Einleitungsstelle beachten!<br />
3.8.2 Kegelschale<br />
ϕ = konst. (3.49)<br />
r1 = ∞ (3.50)<br />
r2 = s cot ϕ (3.51)<br />
r0 = s cosϕ (3.52)<br />
ds = r1dϕ (3.53)<br />
Abb. 3.13: Geometrie der Kegelschale<br />
Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Gleichungen (3.5) bis (3.7)):<br />
Meridianrichtung:<br />
∂nϕϑ<br />
∂ϑ<br />
1<br />
cosϕ<br />
Ringrichtung:<br />
∂nϑ<br />
∂ϑ<br />
1<br />
cosϕ<br />
Normalenrichtung:<br />
+ ∂ (nϕr0)<br />
r1∂ϕ<br />
+ ∂ (nϕϑr0)<br />
r1∂ϕ<br />
1<br />
cosϕ − nϑ<br />
r0<br />
+ px = 0 (3.54)<br />
cosϕ<br />
1<br />
cosϕ + nϕϑ + py<br />
r0<br />
cosϕ<br />
= 0 (3.55)<br />
r2<br />
nϑ + nϕ + pzr2 = 0 (3.56)<br />
r1<br />
Grenzübergang zur Kegelschale:<br />
∂nϕϑ<br />
∂ϑ<br />
∂nϑ<br />
∂ϑ<br />
1<br />
cosϕ<br />
1 ∂ (nϕϑs)<br />
+ + nϕϑ + pys = 0<br />
cosϕ ∂s<br />
(3.58)<br />
nϑ + pzs cot ϕ = 0 (3.59)<br />
+ ∂ (nϕs)<br />
∂s − nϑ + pxs = 0 (3.57)<br />
Alternativ gilt folgende Schreibweise:<br />
nϕ = ns; nϕϑ = nϑϕ = nϑs; ....... ⇒ ϕ �=s (3.60)<br />
Rotationssymmetrische Belastung:<br />
py = 0;<br />
∂ (. . .)<br />
∂ϑ = 0; nϕϑ = 0;<br />
∂ (. . .)<br />
∂s<br />
= d (. . .)<br />
ds<br />
(3.61)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
3.8 Rotationsschalen besonderer Meridianform 35<br />
d (nϕs)<br />
ds − nϑ + pxs = 0 (3.62)<br />
Beispiel:<br />
nϑ + pzs cotϕ = 0 (3.63)<br />
nϕ = ns = − 1<br />
��<br />
�<br />
(px + pz cot ϕ)sds + C<br />
(3.64)<br />
s<br />
Lastfall Eigengewicht:<br />
px = g sin ϕ; pz = g cosϕ;<br />
nϑ = −pzs cotϕ (3.65)<br />
nϑ = −pz cot ϕs = −g cos2 ϕ<br />
sin ϕ s<br />
ns = − 1<br />
�� �<br />
g sin ϕ + g<br />
s<br />
cos2 � �<br />
ϕ<br />
s ds + C<br />
sin ϕ<br />
ns = − g C<br />
s −<br />
2 sin ϕ s<br />
Geschlossene Kegelschale: Die Stetigkeit bei s = 0 verlangt C = 0:<br />
⇒ ns = − g<br />
2 sin ϕ s<br />
Für eine zusätzliche Laternenlast PΣ = G2πr0 am oberen Schalenrand gilt:<br />
Abb. 3.14: Kegelstumpfschale mit Laternenlast<br />
s = so : ns sin ϕ = − PΣ<br />
(PΣ = Gesamtlast der Laterne)<br />
2πr0<br />
− g<br />
2 so − C<br />
sin ϕ = −<br />
so<br />
PΣ PΣ<br />
g<br />
= − ⇒ C = −<br />
2πr0 2πso cosϕ 2 sin ϕ s2o + PΣ<br />
π sin 2ϕ<br />
Dies liefert die Membranschnittgrößen:<br />
ns = − g s<br />
2 sin ϕ<br />
2 − s2 o<br />
s<br />
nϑ = −g cos2 ϕ<br />
sin ϕ s<br />
− PΣ 1<br />
π sin 2ϕ s<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
36 3. Membrantheorie von Rotationsschalen<br />
Formänderungen:<br />
Abb. 3.15: Schnittkraftverläufe der Kegelstumpfschale mit Laternenlast<br />
Für die Bestimmung der Formänderungen bei der Kegelschale empfiehlt sich eine alternative<br />
Beziehung für χ, die hier ohne Herleitung angegeben ist:<br />
χ = (εϕ − εϑ) cotϕ − r2<br />
r1<br />
∂εϑ<br />
∂ϕ<br />
Insgesamt erhält man folgende Resultate für die Formänderungen:<br />
∆r0 = εϑr0 = εϑr2 sin ϕ<br />
∆r0 = 1<br />
Eh (nϑ − µns) r2 sin ϕ = 1<br />
Eh (nϑ − µns)scosϕ (3.66)<br />
χ = 1<br />
�<br />
(1 + µ)(ns − nϑ)cot ϕ −<br />
Eh<br />
r2 ∂<br />
∂ϕ (nϑ<br />
�<br />
− µns)<br />
Für den Kegel verwendet man zweckmäßigerweise:<br />
r1dϕ = ds; r2 = s cot ϕ<br />
Dies ergibt:<br />
χ =<br />
cot ϕ<br />
Eh<br />
�<br />
(1 + µ) (ns − nϑ) − s d<br />
ds (nϑ<br />
�<br />
− µns)<br />
r1<br />
(3.67)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
3.8 Rotationsschalen besonderer Meridianform 37<br />
3.8.3 Kreiszylinderschale<br />
r1 = ∞ (3.68)<br />
r2 = konst. = r0<br />
ϕ = π<br />
2<br />
(3.69)<br />
(3.70)<br />
Abb. 3.16: Kreiszylinderschale<br />
Ausgegangen wird von den Gleichungen (3.5) bis (3.7), die durch r1 dividiert bzw. mit r0<br />
multipliziert werden:<br />
∂nϕϑ<br />
∂ϑ − nϑ<br />
∂ (nϕr0)<br />
cos ϕ + + pxr0 = 0 (3.71)<br />
∂s<br />
∂nϑ<br />
∂ϑ<br />
+ ∂ (nϕϑr0)<br />
∂s<br />
+ nϕϑ cosϕ + pyr0 = 0 (3.72)<br />
Grenzübergang zur Kreiszylinderschale (ϕ = π<br />
2<br />
∂nϑϕ<br />
∂ϑ<br />
∂nϑ<br />
∂ϑ<br />
nϑ + pzr0 = 0 (3.73)<br />
; cosϕ = 0):<br />
+ ∂nϕ<br />
∂s r0 + pxr0 = 0 (3.74)<br />
+ ∂nϕϑ<br />
∂s r0 + pyr0 = 0 (3.75)<br />
nϑ + pzr0 = 0 (3.76)<br />
Alternativ gilt folgende Schreibweise:<br />
nϕ = nx; nϕϑ = nϑϕ = nϑx; r0 �= a (3.77)<br />
Für rotationssymmetrische Belastung:<br />
py = 0;<br />
∂ (. . .)<br />
∂ϑ = 0; nϑx = 0;<br />
folgt:<br />
dnx<br />
dx + px<br />
�<br />
= 0 ⇒ nx = −<br />
nϑ + pzr0 = 0 ⇒ nϑ = −pzr0<br />
∂ (. . .)<br />
∂s<br />
= d (. . .)<br />
ds<br />
= d (. . .)<br />
dx<br />
(3.78)<br />
px dx + C (3.79)<br />
(3.80)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
38 3. Membrantheorie von Rotationsschalen<br />
Verformungen:<br />
∆r0 = 1<br />
Eh (nϑ − µnx) r0<br />
χ = − r0 d<br />
Eh dx (nϑ − µnx) = r2 0<br />
Eh<br />
u = 1<br />
�<br />
(nx − µnϑ) dx + C2<br />
Eh<br />
� dpz<br />
dx<br />
3.8.4 Beliebige Meridianform<br />
nϕ = − PΣ(ϕ ′ )<br />
nϑ = r′ 0<br />
sin ϕ ′<br />
2πr ′ 0 sin ϕ ′<br />
�<br />
−pz − nϕ<br />
r ′ 1<br />
− µpx<br />
r0<br />
�<br />
= −r ′ �<br />
2 pz + nϕ<br />
r ′ �<br />
1<br />
Abb. 3.17: Schale mit beliebiger Meridianform<br />
�<br />
(3.81)<br />
(3.82)<br />
(3.83)<br />
(3.84)<br />
(3.85)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
Kapitel 4<br />
Allgemeine technische Biegetheorie<br />
der Kreiszylinderschale<br />
Allgemeines:<br />
Beschreibung der Geometrie der Schalenmittelfläche<br />
analog Abschnitt 3.1 mit<br />
r1 = ∞ (4.1)<br />
r2 = a (4.2)<br />
4.1 Gleichgewichtsbedingungen<br />
∂ (. . .)<br />
Kennzeichnung:<br />
∂x = (. . .)′ ∂ (. . .)<br />
; = (. . .)•<br />
∂ϑ<br />
Zu den Membranschnittgrößen nx, nϑ, nxϑ, nϑx treten<br />
2 Biegemomente: mx, mϑ<br />
2 Drillmomente: mxϑ, mϑx<br />
2 Querkräfte: qx, qϑ<br />
hinzu. Insgesamt sind also 10 Schnittgrößen vorhanden.<br />
39<br />
Abb. 4.1: Zylinderkoordinaten x, ϑ, a
40 4. Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale<br />
Definition der Schnittkräfte:<br />
Die Definition der Schnittgrößen ist analog zu Abschnitt 2.3 zu übernehmen, wobei hier gilt<br />
ry = a und rx = ∞.<br />
Längskräfte [kN/m]:<br />
nx =<br />
� + h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
σx<br />
�<br />
Schubkräfte [kN/m]:<br />
nxϑ =<br />
� + h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
τxy<br />
1 + z<br />
�<br />
a<br />
�<br />
1 + z<br />
�<br />
a<br />
Biegemomente [kNm/m]:<br />
� h<br />
+ 2<br />
mx = −<br />
− h<br />
�<br />
σx<br />
2<br />
1 + z<br />
a<br />
Drillmomente [kNm/m]:<br />
� h<br />
+ 2<br />
mxϑ = −<br />
− h<br />
�<br />
τxy<br />
2<br />
Querkräfte [kN/m]:<br />
1 + z<br />
a<br />
� h<br />
+ 2<br />
qx = −<br />
− h<br />
�<br />
τxz 1 +<br />
2<br />
z<br />
�<br />
a<br />
Kräftegleichgewicht:<br />
• in x-Richtung:<br />
dz nϑ =<br />
dz nϑx =<br />
� + h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
� + h<br />
2<br />
− h<br />
2<br />
σy dz (4.3)<br />
τyx dz (4.4)<br />
�<br />
� h<br />
+ 2<br />
z dz mϑ = −<br />
− h<br />
σyz dz (4.5)<br />
2<br />
�<br />
� h<br />
+ 2<br />
z dz mϑx = −<br />
− h<br />
τyxz dz (4.6)<br />
2<br />
� h<br />
+ 2<br />
dz qϑ = −<br />
− h<br />
τyz dz (4.7)<br />
2<br />
n ′ x dxa dϑ + n• ϑx dϑdx + pxa dϑdx = 0 (4.8)<br />
• in y-Richtung (ϑ-Richtung):<br />
n ′ xa + n • ϑx + pxa = 0 (4.9)<br />
n • ϑ dϑdx + n′ xϑ dxa dϑ − qϑ dϑdx + py a dϑdx = 0 (4.10)<br />
• in z-Richtung:<br />
n • ϑ + n′ xϑ a − qϑ + pya = 0 (4.11)<br />
q • ϑ + nϑ + q ′ x a + pza = 0 (4.12)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
4.1 Gleichgewichtsbedingungen 41<br />
Momentengleichgewicht:<br />
• um die x-Achse:<br />
Abb. 4.2: Schnittgrößen der Kreiszylinderschale<br />
m ′ xϑdxa dϑ − qϑ dxa dϑ − q • a dϑ<br />
ϑ dϑdx<br />
2 + m•ϑ dϑdx = 0 (4.13)<br />
−qϑa + m ′ xϑa + m • ϑ = 0 (4.14)<br />
• um die y-Achse:<br />
−m • ϑx + qxa − m ′ xa = 0 (4.15)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
42 4. Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale<br />
• um die z-Achse:<br />
mϑx + (nxϑ − nϑx)a = 0 (4.16)<br />
(mit Boltzmann-Axiom näherungsweise 1 erfüllt)<br />
Elimination der Querkräfte:<br />
qϑ = m ′ xϑ + m• ϑ<br />
qxa = m • ϑx + m′ x a q′ x<br />
a<br />
q • ϑ = m′• xϑ<br />
m•• ϑ<br />
+<br />
a = m•′<br />
ϑx + m′′ x<br />
Einsetzen ergibt eine Reduzierung auf 3 Gleichungen:<br />
(4.17)<br />
a<br />
a (4.18)<br />
n ′ x a + n• ϑx + pxa = 0 (4.19)<br />
n • ϑ + n′ xϑ a − m′ xϑ − m• ϑ<br />
a + pya = 0 (4.20)<br />
m ′• xϑ + m•• ϑ<br />
a + nϑ + m •′<br />
ϑx + m ′′ xa + pza = 0 (4.21)<br />
Gleichgewichtsbedingungen bei drehsymmetrischer Belastung:<br />
Voraussetzung: py = 0<br />
Folgen der Drehsymmetrie:<br />
∂ (. . .)<br />
∂ϑ = 0; mxϑ = qϑ = nxϑ = 0 (4.22)<br />
ergibt:<br />
n ′ x a + pxa = 0 (integrierbar) (4.23)<br />
nϑ + m ′′ xa + pza = 0 (4.24)<br />
1 vgl. Flügge für ergänzende Kommentare<br />
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4.2 Formänderungen 43<br />
4.2 Formänderungen<br />
Verschiebungen u, v, w in x-, ϑ(s)-, z-Richtung:<br />
Formänderungen der Schalenmittelfläche:<br />
Verzerrungen der Schalenmittelfläche<br />
(Abb. 4.3 und 4.4):<br />
εx = u′ dx<br />
= u′<br />
dx<br />
∂v<br />
εϑ = ∂s ds<br />
(a + w) dϑ − a dϑ<br />
+<br />
ds a dϑ<br />
εϑ = v• w<br />
+<br />
a a<br />
γxϑ = γ1 + γ2 = v′ dx ∂u ds<br />
+<br />
dx ∂s ds<br />
= u•<br />
+ v′<br />
a<br />
(4.25)<br />
(4.26)<br />
(4.27)<br />
Verschiebungen des Punktes D (Abb. 4.4):<br />
u + ∂u<br />
∂s<br />
ds, v + ∂v<br />
∂s<br />
Abb. 4.3: Formänderungen der Schalenmittelfläche<br />
∂w<br />
ds, w + ds (4.28)<br />
∂s<br />
Verschiebungen des Punktes B (Abb. 4.4):<br />
u + u ′ dx, v + v ′ dx, w + w ′ dx (4.29)<br />
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44 4. Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale<br />
Schnitt längs Erzeugender Schnitt längs Breitenkreis<br />
Abb. 4.4: Schnitte zur Bestimmung der Formänderung der Schalenmittelfläche<br />
Formänderungen des Schalenkontinuums:<br />
Wie zuvor, jedoch gilt 2 :<br />
u, v, w ⇒ uz, vz, wz<br />
a ⇒ a + z<br />
Annahme: wz ≈ w, dann<br />
uz = u − zw ′<br />
(4.30)<br />
Abb. 4.5: Schnitt längs Erzeugender<br />
2 Ab hier werden die Bezeichnungen uz = u(z), vz = v(z) und wz = w(z) benutzt.<br />
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4.3 Werkstoffgesetz und Schnittgrößen 45<br />
vz + z w• + z<br />
= va<br />
a a<br />
a + z<br />
⇒ vz = v<br />
a<br />
− zw•<br />
a (4.31)<br />
Verzerrungen des Schalenkontinuums:<br />
εx(z) = u ′ z = u′ − zw ′′<br />
εϑ(z) = v• z wz<br />
+<br />
a + z a + z<br />
�<br />
1<br />
= v<br />
•a + z<br />
a + z a<br />
γxϑ(z) = u•z a + z + v′ u• + z<br />
z = + v′a<br />
a + z a −<br />
aus der Dünnehypothese: z ≪ a ⇒ a + z ≈ a:<br />
εx(z) = u ′ − zw ′′<br />
εϑ(z) = v•<br />
a<br />
+ w<br />
a<br />
− zw••<br />
a 2<br />
γxϑ(z) = u•<br />
a + v′ − 2 z<br />
a w′•<br />
Abb. 4.6: Schnitt längs Breitenkreis<br />
�<br />
+ w − zw••<br />
a<br />
� �<br />
z z<br />
+ w<br />
a + z a<br />
′•<br />
4.3 Werkstoffgesetz und Schnittgrößen<br />
σx = E<br />
1 − µ 2 (εx + µεϑ) = E<br />
1 − µ 2<br />
�<br />
σϑ = E<br />
1 − µ 2 (εϑ + µεx) = E<br />
1 − µ 2<br />
u ′ − zw ′′ + µ<br />
� 1<br />
a<br />
� • u<br />
τxϑ = τϑx = Gγxϑ = G<br />
a + v′ − 2 z<br />
a w′•<br />
�<br />
=<br />
a<br />
�<br />
v • + w − zw••<br />
�<br />
v • + w − zw••<br />
��<br />
a<br />
�<br />
E<br />
2 (1 + µ)<br />
a<br />
+ µ [u ′ − zw ′′ ]<br />
� u •<br />
�<br />
a + v′ − 2 z<br />
a w′•<br />
�<br />
(4.32)<br />
(4.33)<br />
(4.34)<br />
(4.35)<br />
(4.36)<br />
(4.37)<br />
(4.38)<br />
(4.39)<br />
(4.40)<br />
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46 4. Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale<br />
Mit der Definition der Schnittgrößen aus Abschnitt 2.3 und ry = a; rx = ∞; Index: y �= ϑ<br />
sowie z<br />
= z<br />
a ≪ 1 ≈ 0 erhält man nxϑ = nϑx; mxϑ = mϑx. Mit<br />
ry<br />
D = Eh<br />
(Dehnsteifigkeit) und B =<br />
1 − µ 2<br />
Eh 3<br />
12 (1 − µ 2 )<br />
ergibt sich für die Anteile aus der Verzerrung der Schalenmittelfläche<br />
�<br />
nx = D u ′ + µ<br />
a [v• �<br />
+ w]<br />
�<br />
1<br />
ny = D<br />
a [v• + w] + µu ′<br />
�<br />
� � • 1 − µ u<br />
nxϑ = nϑx = D + v′<br />
2 a<br />
(Biegesteifigkeit) (4.41)<br />
und aus der Verzerrung des Schalenkontinuums analog zur Plattenbiegung<br />
�<br />
mx = B w ′′ + µ w••<br />
a2 �<br />
� �<br />
•• w<br />
mϑ = B + µw′′<br />
a2 mxϑ = mϑx = B (1 − µ) w′•<br />
a<br />
Mit den Verzerrungen der Schalenmittelfläche folgt<br />
(4.42)<br />
(4.43)<br />
(4.44)<br />
(4.45)<br />
(4.46)<br />
(4.47)<br />
nx = D (εx + µεϑ) (4.48)<br />
nϑ = D (εϑ + µεx) (4.49)<br />
1 − µ<br />
nxϑ = nϑx = D<br />
2 γxϑ (4.50)<br />
Schließlich werden die Querkräfte durch die Verschiebungen ausgedrückt, indem die Momentengleichgewichtsbedingungen<br />
um die x-Achse und y-Achse (s. Abschnitt 4.1) nach den<br />
Querkräften aufgelöst und die darin auftretenden Ableitungen der Momente durch w ersetzt<br />
werden:<br />
Hinweis: keine selbständigen konstitutiven Gleichungen (Werkstoffgleichungen).<br />
� ′′• w w•••<br />
qϑ = B +<br />
a a3 �<br />
;<br />
� ••′ w<br />
qx = B<br />
a2 �<br />
+ w′′′<br />
Unbekannte und Anzahl der Gleichungen:<br />
Unbekannte: nx, nϑ, nxϑ = nϑx, mx, mϑ, mxϑ = mϑx, qϑ, qx,<br />
(14 Unbekannte) u, v, w, εx, εϑ, γxϑ = γϑx<br />
Gleichungen: 5 Gleichgewichtsbedingungen<br />
(14 Bestimmungs- 6 Werkstoffgleichungen<br />
gleichungen) 3 kinematische Beziehungen<br />
(4.51)<br />
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4.4 Flüggesches Differentialgleichungssystem 47<br />
4.4 Flüggesches Differentialgleichungssystem<br />
Flügge benutzt die Verzerrungsbeziehungen sowie die vollständigen Definitionsgleichungen<br />
für die Schnittgrößen:<br />
mit ry = a; rx = ∞ und Index y �= ϑ.<br />
Werkstoffgleichungen:<br />
Mit der Reihenentwicklung<br />
ln<br />
1 a + 2h a − 1<br />
h<br />
=<br />
h a 2<br />
h3<br />
+ + . . . (4.52)<br />
12a3 folgt z.B. aus Gl. (4.3) mit dem Hookeschen Gesetz [1. Gleichungsteil von Gl. (4.38) bzw.<br />
(4.39)], in das die Gleichungen (4.32) und (4.33) eingeführt werden, nach einigen Zwischenrechnungen:<br />
nx = D<br />
a (au′ + µ [v • + w]) − B<br />
a w′′<br />
(4.53)<br />
nϑ = D<br />
a (v• + w + µau ′ ) + B<br />
a3 (w + w•• )<br />
1 − µ<br />
nxϑ = D<br />
2a<br />
(4.54)<br />
(u• + av ′ 1 − µ<br />
) + B<br />
2a2 (v′ − w ′• )<br />
1 − µ<br />
nϑx = D<br />
2a<br />
(4.55)<br />
(u• + av ′ 1 − µ<br />
) + B<br />
2a3 (u• + aw ′• )<br />
mx =<br />
(4.56)<br />
B<br />
a2 �<br />
2 ′′ •• ′ •<br />
a w + µw − au − µv �<br />
mϑ =<br />
(4.57)<br />
B � �<br />
•• 2 ′′<br />
w + µa w + w (4.58)<br />
a 2<br />
B (1 − µ)<br />
mxϑ =<br />
a<br />
B (1 − µ)<br />
mϑx =<br />
a2 Differentialgleichungssystem:<br />
(w ′• − v ′ ) (4.59)<br />
�<br />
aw ′• + u•<br />
�<br />
av′<br />
−<br />
2 2<br />
(4.60)<br />
Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen Gl.(4.19) bis (4.21) liefert mit k = B h2<br />
=<br />
Da2 12a2: a 2 u ′′ 1 − µ<br />
+<br />
2 u•• + µaw ′ 1 + µ<br />
+<br />
2 av′• �<br />
1 − µ<br />
+ k<br />
2 u•• − a 3 w ′′′ 1 − µ<br />
+<br />
2 aw′••<br />
�<br />
+ pxa2 = 0 (4.61)<br />
D<br />
v •• 1 + µ<br />
+<br />
2 au′• 1 − µ<br />
+<br />
2 a2v ′′ + w • �<br />
3 (1 − µ)<br />
+ k a<br />
2<br />
2 v ′′ 3 − µ<br />
−<br />
2 a2w ′′•<br />
�<br />
+ pya2 = 0 (4.62)<br />
D<br />
�<br />
v • + w + µau ′ + k<br />
1 − µ<br />
2 au′•• − a 3 u ′′′ 3 − µ<br />
−<br />
2 a2v ′′• +<br />
+ a 4 w ′′′′ + 2a 2 w ′′•• + w •••• + 2w •• + w<br />
�<br />
+ pza 2<br />
D<br />
= 0 (4.63)<br />
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48 4. Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale<br />
4.5 Donnell–Jenkins–Theorie<br />
Donnell–Jenkins–Theorie ⇒ Randstörungsberechnung<br />
d.h. px = py = pz = 0<br />
benutzte Werkstoffgleichung:<br />
�<br />
nx = D u ′ + µ<br />
a [v• �<br />
+ w]<br />
�<br />
1<br />
ny = D<br />
a [v• + w] + µu ′<br />
�<br />
� � • 1 − µ u<br />
nxϑ = nϑx = D + v′<br />
2 a<br />
�<br />
mx = B w ′′ + µ w••<br />
a2 �<br />
� �<br />
•• w<br />
mϑ = B + µw′′<br />
a2 mxϑ = mϑx = B (1 − µ) w′•<br />
a<br />
Verzerrungsbeziehungen der Schalenmittelfläche:<br />
εx = u ′ ; εϑ = v•<br />
a<br />
Annahme: qϑ in der Gleichung (4.11)<br />
w<br />
+<br />
a ; γxϑ = u•<br />
+ v′<br />
a<br />
(4.64)<br />
(4.65)<br />
(4.66)<br />
(4.67)<br />
(4.68)<br />
(4.69)<br />
(4.70)<br />
n • ϑ + n′ xϑ a − qϑ + pya = 0 (4.71)<br />
vernachlässigbar (�= quasi-vollständige Biegetheorie oder vereinfachtes Flüggesches Differentialgleichungssystem)<br />
Damit folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen aus Abschnitt 4.1:<br />
n ′ xa + n • ϑx = 0 (4.72)<br />
n • ϑ + n′ xϑa = 0 (4.73)<br />
q • ϑ + nϑ + q ′ xa = 0 (4.74)<br />
−qϑa + m ′ xϑa + m • ϑ = 0 (4.75)<br />
qxa − m • ϑx − m ′ xa = 0 (4.76)<br />
Reduktion der Gleichungen auf eine Differentialgleichung 8. Ordnung:<br />
Einführung einer Spannungsfunktion F:<br />
nx = F •• ; nϑ = a 2 F ′′ ; nxϑ = nϑx = −aF ′•<br />
Damit Erfüllung des Kräftegleichgewichtes in x- und y-Richtung:<br />
(4.77)<br />
aF ••′ − aF ′•• = 0 (4.78)<br />
a 2 F ′′• − a 2 F ′•′ = 0 (4.79)<br />
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4.5 Donnell–Jenkins–Theorie 49<br />
Aus den drei Formänderungsbedingungen<br />
εx = u ′ ; εϑ = v•<br />
a<br />
w<br />
+<br />
a ; γxϑ = u•<br />
+ v′<br />
a<br />
(4.80)<br />
folgt durch Auflösen der ersten beiden Gleichungen nach u und v und anschließendem Einsetzen<br />
in die 3. Bedingung die Identität (Verträglichkeitsbedingung):<br />
a 2 ε ′′ ϑ<br />
+ ε••<br />
x<br />
− aγ′•<br />
xϑ − aw′′ = 0 (4.81)<br />
Aus den Gleichungen für die Verzerrungen der Schalenmittelfläche:<br />
εϑ = nϑ − µnx<br />
D (1 − µ 2 )<br />
εx = nx − µnϑ<br />
D (1 − µ 2 )<br />
γxϑ = 2nxϑ<br />
D (1 − µ)<br />
ergeben sich mit der Spannungsfunktion F die nachfolgenden Gleichungen:<br />
εϑ = a2F ′′ − µF ••<br />
D (1 − µ 2 )<br />
εx = F •• − µa2F ′′<br />
γxϑ =<br />
D (1 − µ 2 )<br />
′• −2aF<br />
D (1 − µ) = −2aF ′• (1 + µ)<br />
D (1 − µ 2 )<br />
Einsetzen in die Verträglichkeitsbedingung liefert:<br />
Mit<br />
(4.82)<br />
(4.83)<br />
(4.84)<br />
(4.85)<br />
(4.86)<br />
(4.87)<br />
a2 D (1 − µ 2 �<br />
2 ′′′′ ••′′<br />
a F − µF<br />
)<br />
� + F •••• − µa2F ′′••<br />
D (1 − µ 2 ) + a2aF ′′•• (1 + µ)<br />
D (1 − µ 2 ) − aw′′ = 0 (4.88)<br />
∆ = a<br />
2<br />
∂2 ∂2<br />
+<br />
∂x2 ∂ϑ2 läßt sich dies auch darstellen durch:<br />
(4.89)<br />
∆∆F − D � 1 − µ 2� aw ′′ = 0 (4.90)<br />
Dies ist die 1. Differentialgleichung für F und w.<br />
2. Differentialgleichung:<br />
Mit der 3. Gleichgewichtsbedingung, in der die Querkräfte mittels der 4. und 5. Gleichgewichtsbedingung<br />
eliminiert werden, mit nϑ = a 2 F ′′ sowie den Verzerrungsgleichungen für<br />
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50 4. Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale<br />
das Schalenkontinuum folgt:<br />
2B (1 − µ) w′′••<br />
a<br />
+ B<br />
a<br />
2m •′<br />
xϑ + 1<br />
a m•• ϑ + nϑ + m ′′ xa = 0<br />
� �<br />
•••• w<br />
+ µw′′•• + a<br />
a2 (4.91)<br />
2 F ′′ �<br />
+ aB w ′′′′ + µw••′′<br />
a2 �<br />
= 0 (4.92)<br />
B<br />
a3 �<br />
4 ′′′′ 2 ′′•• ••••<br />
a w + 2a w + w �<br />
+ a<br />
� �� �<br />
∆∆w<br />
2 F ′′ = 0 (4.93)<br />
Dies ist die 2. Differentialgleichung für F und w.<br />
∆∆w + a5<br />
B F ′′ = 0 (4.94)<br />
Nun sollen die Differentialgleichungen durch eine einzige Differentialgleichung dargestellt<br />
werden.<br />
Hierfür bestehen folgende Möglichkeiten:<br />
1. durch eine komplexe Differentialgleichung 4. Ordnung: Zerna, Ing.-Archiv 1952, S. 317-<br />
362<br />
2. durch eine Differentialgleichung 8. Ordnung<br />
Dazu Anwendung von:<br />
• ′′ auf die 1. Differentialgleichung<br />
• ∆∆ auf die 2. Differentialgleichung<br />
Dies ergibt:<br />
∆∆∆∆w + a5<br />
B ∆∆ (F ′′ ) = 0<br />
(∆∆F) ′′ − D � 1 − µ 2� aw ′′′′ = 0<br />
Möglicher Lösungsansatz<br />
∆∆ (F ′′ ) = (∆∆F) ′′<br />
⇒ ∆∆∆∆w + a 6D<br />
�<br />
2<br />
1 − µ<br />
B<br />
� w ′′′′ = 0 (4.95)<br />
λx<br />
w = Ce ( a ) cos mϑ (4.96)<br />
w = Ce mϑ sin λx nπa<br />
; λ =<br />
a l<br />
Lösungsansatz abhängig<br />
(a) von der Darstellung der partikulären Lösung<br />
(b) von den Randbedingungen<br />
z.B. Tonnendächer (4.97)<br />
(c) von den durch die partikuläre Lösung schon erfüllten Randbedingungen<br />
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4.6 Randbedingungen 51<br />
4.6 Randbedingungen<br />
Differentialgleichung 8. Ordnung<br />
⇒ an jedem Rand sind 4 Randbedingungen anzupassen; vorhanden sind 5 Randschnittgrößen<br />
je Rand<br />
⇒ Ersatzkräfte einführen<br />
Für den Rand ϑ = konst. sind vorhanden: nϑ; nϑx; mϑ; mϑx; qϑ<br />
Einführung der Randquerkraft (Ersatzquerkraft):<br />
q ϑ = qϑ + m ′ ϑx<br />
⇒ damit statisch gleichwertig: nϑ; nϑx; mϑ; q ϑ<br />
Für den Rand x = konst. sind vorhanden: nx; nxϑ; mx; mxϑ; qx<br />
Einführung der Randquerkraft:<br />
q x = qx + 1<br />
a m• xϑ<br />
(4.98)<br />
(4.99)<br />
Ersatzquerkraft aus mxϑ radial gerichtet ⇒ Seitenkräfte in Richtung der Breitenkreistangente<br />
Einführung der Randscherkraft:<br />
nxϑ = nxϑ − 1<br />
a mxϑ<br />
⇒ damit statisch gleichwertig: nx; mx; nxϑ; q x<br />
1. Beispiel: geschlossene Kreiszylinderschale<br />
Randbedingungen bei<br />
x = 0 : nx = q x = nxϑ = mx = 0(kräftefrei)<br />
x = l : w = w ′ = u = v = 0 (eingespannt)<br />
(4.100)<br />
Abb. 4.7: Geschlossene Kreiszylinderschale<br />
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52 4. Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale<br />
2. Beispiel: Tonnenschale mit Endscheiben<br />
Abb. 4.8: Tonnenschale mit Endscheiben<br />
Endscheibe: biegeweich in x-Richtung; Randbedingungen der Schale bei:<br />
x = 0 : w = v = nx = mx = 0<br />
x = l : w = v = nx = mx = 0<br />
ϑ = ϑ1,2 : nϑ = q ϑ = nϑx = mϑ = 0<br />
4.7 Rotationssymmetrisch belastete Kreiszylinderschale<br />
4.7.1 Allgemeines<br />
Die rotationssymmetrisch belastete Kreiszylinderschale ergibt sich als Sonderfall der in den<br />
Abschnitten 4.1 bis 4.3 zusammengestellten Beziehungen Gleichgewicht, Formänderungen<br />
und Werkstoffgesetz. Es sei ferner vorausgesetzt, dass auch ein drehsymmetrischer Schalenkörper<br />
zu behandeln ist.<br />
Dann gilt mit:<br />
py = 0;<br />
∂ (. . .)<br />
∂ϑ = (. . .)• = 0; und: mxϑ = 0; qϑ = nxϑ = 0 (4.101)<br />
für die Gleichgewichtsbedingungen<br />
n ′ x a + pxa = 0 (4.102)<br />
nϑ + m ′′ xa + pza = 0 (4.103)<br />
qx − m ′ x = 0 (4.104)<br />
Integration liefert die Meridiankraft in Abhängigkeit der Meridiankoordinate x<br />
�<br />
nx = − px dx + C (4.105)<br />
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4.7 Rotationssymmetrisch belastete Kreiszylinderschale 53<br />
Die Verträglichkeitsbedingungen vereinfachen sich mit v = 0 zu<br />
εx = u ′ ; εϑ = w<br />
a ; γxϑ = 0 (4.106)<br />
und für die Verschiebung und Verdrehung der Schalenmittelfläche gilt:<br />
∆r0 = w = εϑa; χ = −w ′<br />
Mit den Werkstoffgesetzen<br />
εx = nx − µnϑ<br />
D (1 − µ 2 ) ; εϑ = nϑ − µnx<br />
D (1 − µ 2 )<br />
und den Gleichungen (4.106) erhält man die Schnittgrößen zu<br />
�<br />
nx = D u ′ + µ<br />
a w<br />
�<br />
�<br />
w<br />
�<br />
nϑ = D + µu′<br />
a<br />
mx = Bw ′′<br />
mϑ = Bµw ′′<br />
(4.107)<br />
(4.108)<br />
(4.109)<br />
(4.110)<br />
(4.111)<br />
(4.112)<br />
Durch Einsetzen von mx in die 3. Gleichgewichtsbedingung (Analogie zur Stabtheorie) kann<br />
dann ebenfalls die Querkraft durch die Durchbiegung ausgedrückt werden:<br />
qx = (Bw ′′ ) ′<br />
Für die Differentialgleichung verbleibt<br />
(Bw ′′ ) ′′ + D<br />
(4.113)<br />
�<br />
w<br />
�<br />
+ µu′ + pz = 0 (4.114)<br />
a<br />
�<br />
a<br />
D u ′ + µ<br />
a w<br />
� ′<br />
+ px = 0 (4.115)<br />
Da nx unabhängig berechenbar ist, wird i.a. u ′ in der ersten Beziehung durch den auf der<br />
Vorseite angegebenen Ausdruck für nx substituiert:<br />
(Bw ′′ ) ′′ + � 1 − µ 2� D<br />
a2w + µnx<br />
a + pz = 0 (4.116)<br />
Mit den beiden Differentialgleichungen zuzüglich den Randbedingungen in u, w, χ sowie<br />
nx, qx, mx lassen sich alle ” Behälter“–Probleme für Zylinderschalen konstanter Wandstärke<br />
behandeln.<br />
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54 4. Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale<br />
Beispiel für die Anwendung der Biegetheorie:<br />
Flüssigkeitsbehälter konstanter Wandstärke<br />
Abb. 4.9: Flüssigkeitsbehälter, Belastung und Verformungsskizze<br />
Bestimmung der partikulären Lösung wp:<br />
Bw ′′′′<br />
p + � 1 − µ 2� D<br />
a2wp γa<br />
− γx = 0 ⇒ wp = +<br />
2<br />
(1 − µ 2 x (4.117)<br />
)D<br />
weiterhin:<br />
u ′ p<br />
γa<br />
= −µ<br />
(1 − µ 2 x (4.118)<br />
)D<br />
Schnittgrößen:<br />
nxp = 0 (4.119)<br />
nϑp = γax (4.120)<br />
mxp = mϑp = qxp = 0 (4.121)<br />
Vergleich der Lösungen mit Membrantheorie ⇒ gleiches Ergebnis<br />
⇒ Membranlösung �= partikuläre Lösung Biegetheorie<br />
Zur Anpassung an Randbedingungen ⇒ Randstörungsproblem<br />
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4.7 Rotationssymmetrisch belastete Kreiszylinderschale 55<br />
4.7.2 Angriff von Randschnittgrößen<br />
Man kann die Membranlösung der Schalentheorie i.a. als partikuläre Lösung der Biegetheorie<br />
betrachten. Dann verbleibt zur Erfüllung der Biegerandbedingungen in w, χ, qx und mx das<br />
homogene Differentialgleichungssystem bzw. die Gleichung<br />
Bw ′′′′<br />
h + � 1 − µ 2� D<br />
a 2wh = 0 (4.122)<br />
Für dieses Biegeproblem, das wegen des Angriffs von Randschnittgrößen als Randstörungsproblem<br />
bezeichnet wird, ist mit der Abkürzung<br />
κ 4 =<br />
1 − µ2<br />
4<br />
D<br />
B a2 = 3 � 1 − µ 2�� a<br />
�2 h<br />
folgende bekannte Differentialgleichung 4.Ordnung angebbar:<br />
(4.123)<br />
a 4 w ′′′′<br />
h + 4κ4 wh = 0 (4.124)<br />
Lösungsansatz:<br />
wh = Ae λx<br />
(4.125)<br />
a 4 λ 4 + 4κ 4 = 0<br />
�<br />
λ<br />
(4.126)<br />
2 �<br />
κ<br />
� ��<br />
2<br />
+ 2i λ<br />
a<br />
2 �<br />
κ<br />
� �<br />
2<br />
− 2i = 0<br />
a<br />
(4.127)<br />
⇒ λ1/2 = ± (1 + i) κ<br />
a<br />
⇒ λ3/4 = ± (1 − i)<br />
(4.128)<br />
κ<br />
a<br />
(4.129)<br />
allgemeine Lösung mit α = κ<br />
a :<br />
wh = e −αx (C1 cosαx + C2 sin αx) + e αx (C3 cosαx + C4 sin αx) (4.130)<br />
Die Integrationskonstanten sind aus den Randbedingungen zu bestimmen, wobei pro Rand<br />
zwei Randbedingungen vorzugeben sind. Die Funktionen für die Durchbiegung sind vom Typ<br />
abklingende bzw. aufklingende (angefachte) Schwingungen.<br />
1. Summand: e −αx (C1 cosαx + C2 sin αx)<br />
2. Summand: e αx (C3 cosαx + C4 sin αx)<br />
Mit Einführung einer neuen Koordinate x = l − x (l �= Länge des Zylinders) wird der 2.<br />
Summand auch zu einer (vom gegenüberliegenden Rand) abklingenden Schwingung:<br />
e −αx � C1 cos αx + C2 sin αx �<br />
(4.131)<br />
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56 4. Allgemeine technische Biegetheorie der Kreiszylinderschale<br />
Das Abklingen ist über die Periode T beschreibbar.<br />
αT = 2π; T = 2π κ<br />
; α =<br />
α a<br />
An<br />
An+1<br />
= e−αx<br />
e −α(x+T) = eαT = e 2π<br />
⇒ An+1 = 1<br />
535, 5 An<br />
Die Abklinglänge hängt im wesentlichen von der<br />
Schalendicke und dem Krümmungsradius ab.<br />
Für<br />
h<br />
a<br />
1<br />
≈ , µ = 0, 3<br />
100<br />
2π<br />
= a =<br />
κ<br />
⇒ T = 2π<br />
α<br />
2πa<br />
� ≈ 0, 5a<br />
3 (1 − µ 2 ) · 10<br />
4<br />
Abb. 4.10: Qualitativer Funktionsverlauf<br />
eines Summanden der Randschnittgrößen<br />
d.h. bei einer Entfernung vom Rand von etwa 0, 5a beträgt der Wert der Randgröße nur<br />
noch 0, 2% des Wertes am Rand.<br />
Für praktische Fälle kann man davon ausgehen, dass eine Randstörung für αx ≥ 4 abgeklungen<br />
ist!<br />
Die Anpassung an die Größen am Rand erfolgt über<br />
w = wh + wp, χ = χh + χp, mx = mxh, qx = qxh; χ = − dw<br />
dx<br />
Für die Schnittgrößen lautet mit dem Materialgesetz<br />
mx = Bw ′′<br />
h<br />
= B � e −αx (C1 cos αx + C2 sin αx) � ′′<br />
(4.132)<br />
(4.133)<br />
(4.134)<br />
= B2α 2 e −αx (C1 sin αx − C2 cosαx) (4.135)<br />
qx = B � e −αx (C1 cos αx + C2 sin αx) � ′′′<br />
(4.136)<br />
= B2α 3 e −αx {C1 (cos αx − sin αx) + C2 (cosαx + sin αx)} (4.137)<br />
Anwendung auf das zuvor eingeführte Beispiel:<br />
oberer Rand:<br />
mx (x = 0) = 0<br />
qx (x = 0) = 0<br />
unterer Rand:<br />
w (x = l) = w (x = 0) = wh (x = 0) + wp (x = 0) = 0 ⇒ wh = −wp<br />
χ (x = l) = χ (x = 0) = χh (x = 0) + χp (x = 0) = 0 ⇒ χh = −χp<br />
Beachte bei Differentiation nach x statt x tritt ein Vorzeichenwechsel auf (wichtig für χ und<br />
qx).<br />
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4.7 Rotationssymmetrisch belastete Kreiszylinderschale 57<br />
Bei den gewählten Abmessungen von l ≥ a<br />
kann aus mechanischer Sicht auf die gleichzeitige<br />
2<br />
Erfüllung der Randbedingungen an beiden Rändern verzichtet werden. Dann gilt:<br />
oben (x = 0):<br />
B2α 2 e −α0 (C1 sin α0 − C2 cosα0) = mx (0) = 0<br />
B2α 3 e −α0 {C1 (cosα0 − sin α0) + C2 (cosα0 + sin α0)} = qx (0) = 0<br />
⇒ B2α 2 (C1 · 0 − C2) = mx (0) ⇒ C2 = − mx (0)<br />
= 0<br />
2Bα2 ⇒ B2α 3 {C1 + C2} = qx (0) ⇒ C1 = qx (0)<br />
=<br />
2<br />
1<br />
⇒ wh = e−αx<br />
2Bα2 usw.<br />
2Bα2 ��<br />
qx (0)<br />
α + mx<br />
�<br />
�<br />
(0) cosαx − mx (0)sin αx<br />
unten (x = 0) (C1 und C2 statt C1 und C2 ):<br />
2Bα3 + mx (0)<br />
2Bα<br />
e −αx � C1 cosαx + C2 sin αx � = wh (x = 0)<br />
αe −αx � −C1 (cosαx + sin αx) + C2 (cosαx − sin αx) � = +χh (x = 0)<br />
⇒ C1 = wh (x = 0)<br />
⇒ C2 = χh (x = 0)<br />
+ C1 =<br />
α<br />
χh (x = 0)<br />
+ wh (x = 0)<br />
α<br />
⇒ wh = e −αx<br />
�<br />
� �<br />
χh (x = 0)<br />
wh (x = 0)cos αx + + wh (x = 0)<br />
α<br />
mit<br />
wh = −wp<br />
χh = −χp<br />
Hinweis: Auflösung für w �= 0, χ = 0 bzw.<br />
w = 0, χ �= 0 für Weggrößenverfahren.<br />
Näheres dazu siehe Kapitel 6.<br />
�<br />
qx (0)<br />
α + mx<br />
�<br />
(0) = 0<br />
�<br />
sin αx<br />
�<br />
χh = + dw<br />
dx<br />
Abb. 4.11: Typische Verläufe für die homogene<br />
Lösung des Randproblemes<br />
Auf eine vollständige Lösung wird hier verzichtet, da i.a. wegen des starken Abklingens nur<br />
ein Teil der homogenen Lösung verwendet wird. Außerdem werden bei der Differentiation<br />
Vernachlässigungen eingeführt.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005<br />
�
Kapitel 5<br />
Biegetheorie von Rotationsschalen<br />
unter rotationssymmetrischer<br />
Belastung 1<br />
5.1 Schalen allgemeiner Meridianform<br />
Für die Aufstellung einer Biegetheorie gemäß der Vorgabe für diesen Abschnitt sind bei<br />
den Gleichgewichtsbeziehungen die Veränderlichkeit in Richtung ϑ zu streichen sowie die<br />
Schubterme nicht zu verwenden.<br />
Vergleichbar zur Plattentheorie bzw. zur Biegetheorie des Zylinders entfallen weiterhin mϕϑ<br />
mit mϑϕ sowie qϑ.<br />
Damit ergeben sich aus den Abb. 5.1 und 5.2 die folgenden Gleichgewichtsbedingungen:<br />
Kräftegleichgewicht:<br />
• in x-Richtung:<br />
∂ (nϕr0)<br />
∂ϕ<br />
• in z-Richtung:<br />
dϕ dϑ − nϑr1 dϕ dϑ cosϕ − qϕr0 dϑdϕ + pxr0 dϑr1 dϕ = 0 (5.1)<br />
nϑr1 dϕ dϑ sinϕ + nϕr0 dϑdϕ +<br />
∂ (nϕr0)<br />
∂ϕ − nϑr1 cos ϕ − qϕr0 + pxr0 r1 = 0 (5.2)<br />
∂ (qϕr0)<br />
∂ϕ<br />
nϑr1 sin ϕ + nϕr0 +<br />
1 ∂(...)<br />
Nicht zu verwechseln mit drehsymmetrisch, dort ist zwar ∂ϑ<br />
Drillmoment.<br />
59<br />
dϕ dϑ + pzr0 dϑr1 dϕ = 0 (5.3)<br />
∂ (qϕr0)<br />
∂ϕ + pzr0r1 = 0 (5.4)<br />
= 0, nicht aber die Schubkraft und das
60 5. Biegetheorie von Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
Abb. 5.1: Membrananteil der Schnittgrößen (ohne Beschränkung auf Rotationssymmetrie)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
5.1 Schalen allgemeiner Meridianform 61<br />
Abb. 5.2: Ergänzende Biegeschnittgrößen für rotationssymmetrische Beanspruchungszustände<br />
Momentengleichgewicht:<br />
• um die y-Achse (im Elementmittelpunkt):<br />
�<br />
�<br />
∂ (mϕr0)<br />
− mϕr0 + dϕ dϑ + mϕr0 dϑ<br />
∂ϕ<br />
��<br />
� �<br />
∂ (qϕr0)<br />
dϕ<br />
+ qϕr0 + dϕ dϑ + qϕr0 dϑ r1<br />
∂ϕ<br />
2 + mϑr1 dϕ dϑ cosϕ = 0 (5.5)<br />
∂ (mϕr0)<br />
− + mϑr1 cosϕ + qϕr0r1 = 0<br />
∂ϕ<br />
(5.6)<br />
Die Verformungen der Schalenmittelfläche können unverändert aus Abschnitt 3.5 übernom-<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
62 5. Biegetheorie von Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
men werden:<br />
∆r0 = u cosϕ + w sin ϕ = εϑr0<br />
χ =<br />
(5.7)<br />
1<br />
�<br />
u −<br />
r1<br />
∂w<br />
�<br />
∂ϕ<br />
εϕ =<br />
(5.8)<br />
1<br />
� �<br />
∂u<br />
+ w<br />
r1 ∂ϕ<br />
(5.9)<br />
εϑ = 1<br />
(u cosϕ + w sin ϕ) = 1<br />
(u cotϕ + w) (5.10)<br />
r0<br />
r2<br />
Das Werkstoffgesetz gilt mit der bereits zuvor getroffenen Annahme für die schwache<br />
Krümmung für die Membranschnittgrößen unverändert:<br />
�<br />
1<br />
nϕ = D (εϕ + µεϑ) = D<br />
r1<br />
�<br />
1<br />
nϑ = D (εϑ + µεϕ) = D<br />
r2<br />
� �<br />
∂u<br />
+ w +<br />
∂ϕ µ<br />
r2<br />
(u cotϕ + w) + µ<br />
�<br />
(u cotϕ + w)<br />
r1<br />
� ��<br />
∂u<br />
+ w<br />
∂ϕ<br />
(5.11)<br />
(5.12)<br />
Für die Formulierung der Momentenkrümmungsbeziehung fehlt noch die Veränderung der<br />
Verkrümmung in Richtung ϑ infolge der Verformung.<br />
r2 sin ϕ ≈ r2 sin [180 ◦ − (ϕ + χ)] (5.13)<br />
∆r0 ≪ r2 sin ϕ (5.14)<br />
Mit den Additionstheoremen und<br />
folgt<br />
cosχ ≈ 1; sin χ ≈ χ (5.15)<br />
r2 sin ϕ = r2 (sin ϕ cosχ + cosϕsin χ)<br />
(5.16)<br />
≈ r2 (sin ϕ + χ cosϕ) (5.17)<br />
r2 ≈ r2 (1 + χ cot ϕ)<br />
r2<br />
r2 ≈<br />
1 + χ cotϕ<br />
(5.18)<br />
(5.19)<br />
Abb. 5.3: Zusammenhang der Krümmung<br />
1/r2 mit χ und ∆r0<br />
Die Krümmungsänderungen in beiden Koordinatenrichtungen<br />
κϕ = 1<br />
r1<br />
∂χ<br />
∂ϕ ; κϑ = 1<br />
liefern die Biegemomente<br />
r2<br />
− 1<br />
� �<br />
1 ∂χ µ<br />
mϕ = −B (κϕ + µκϑ) = −B + χ cot ϕ<br />
r1 ∂ϕ r2<br />
�<br />
1<br />
mϑ = −B (κϑ + µκϕ) = −B χ cotϕ +<br />
r2<br />
µ<br />
�<br />
∂χ<br />
r1 ∂ϕ<br />
r2<br />
= 1<br />
χ cotϕ (5.20)<br />
r2<br />
(5.21)<br />
(5.22)<br />
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5.1 Schalen allgemeiner Meridianform 63<br />
Weiterhin gilt<br />
qϕ = 1<br />
�<br />
−mϑr1 cosϕ +<br />
r0r1<br />
�<br />
∂ (mϕr0)<br />
∂ϕ<br />
Eine geschlossene Lösung für dieses Differentialgleichungssystem ist nicht bekannt.<br />
Für den unbelasteten Fall<br />
(5.23)<br />
px = pz = 0 (5.24)<br />
existiert eine Näherung, die ebenfalls für die Behandlung des Randangriffs von Schnittgrößen<br />
verwendbar ist.<br />
Partikuläre Lösung für lastfreien Rand:<br />
qϕh cosϕ + nϕh sin ϕ = 0 (5.25)<br />
nϕh = −qϕh cotϕ (5.26)<br />
nϑh wird durch Einsetzen von nϕh in (5.2)<br />
gewonnen:<br />
nϑh = − 1<br />
r1<br />
∂ (qϕhr2)<br />
∂ϕ<br />
(5.27)<br />
Übergang zu den Biegeschnittgrößen nach Näherung:<br />
Abb. 5.4: Schnittgrößen am Rand der unbelasteten<br />
Schale<br />
Ableitungen sind um das Dämpfungsmaß größer als die Ausgangsfunktion (Geckeler) ⇒<br />
Vernachlässigung der jeweils geringeren Ableitungen in einer Gleichung:<br />
mϕh = − B<br />
r1<br />
∂χh<br />
∂ϕ<br />
Für mϑh wegen 0 ≤ µ ≤ 0, 5 (ggf. nahe Null) Verwendung beider Ausdrücke<br />
�<br />
1<br />
mϑh = −B χh cotϕ +<br />
r2<br />
µ<br />
�<br />
∂χh<br />
r1 ∂ϕ<br />
sowie<br />
qϕh ∼ = − B<br />
r2 ∂<br />
1<br />
2χh ∂ϕ2 nach nochmaliger Vernachlässigung der niedrigeren Ableitung.<br />
Diese Vereinfachung ist nur für ϕ > 20 ◦ bis 30 ◦ ( ” hohe“ Schale) gestattet.<br />
Weitere Umformungen und Vereinfachungen<br />
χh = (εϕ − εϑ)cot ϕ − r2<br />
εϑ =<br />
r1<br />
∂εϑ<br />
∂ϕ<br />
∂εϑ<br />
≈ −r2<br />
r1 ∂ϕ<br />
(5.28)<br />
(5.29)<br />
(5.30)<br />
(5.31)<br />
1<br />
D (1 − µ 2 ) (nϑ − µnϕ) (5.32)<br />
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64 5. Biegetheorie von Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
liefern mit den zuvor gegebenen Gleichungen<br />
mit<br />
r 4d 2<br />
4χh ds4 + 4κ4χh = 0 (5.33)<br />
ds = r2dϕ; κ 4 = 3 � 1 − µ 2� r 2 2<br />
h 2<br />
(5.34)<br />
eine zur Kreiszylinderschale [vgl. Gl. (4.124)] vergleichbare Differentialgleichung für die Neigung.<br />
Mit Rücksicht auf die Rotationssymmetrie wurde in der letzten Differentialgleichung die<br />
partielle Differentiation durch eine gewöhnliche Differentiation ersetzt.<br />
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Kapitel 6<br />
Randstörungstheorie für<br />
Rotationsschalen unter<br />
rotationssymmetrischer Belastung<br />
6.1 Randstörung der kurzen und der langen Zylinderschale<br />
Aus Abschnitt 4.7:<br />
Lösung der Differentialgleichung der Zylinderschale, die nur an den Rändern belastet ist:<br />
w = wh = e −αx (C1 cosαx + C2 sin αx) + e −αx � C1 cosαx + C2 sin αx �<br />
(6.1)<br />
mit<br />
α = κ<br />
a<br />
�<br />
1 a�<br />
= 3 (1 − µ 2 )<br />
a h<br />
�<br />
�3<br />
(1 − µ 2 )<br />
=<br />
(6.2)<br />
ah<br />
Abb. 6.1: Geometrie und Koordinatensysteme<br />
65
66 6. Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
6.1.1 Kurze Zylinderschale<br />
αl < 4 (bzw. 2π bei erforderlicher großer Genauigkeit)<br />
Oberer und unterer Rand beeinflussen sich gegenseitig.<br />
Zweckmäßig Lösung mittels e ±αx = cosh αx ± sinh αx umformen<br />
mit<br />
w = c1η1 + c2η2 + c3η3 + c4η4<br />
(6.3)<br />
η1 = cos αx cosh αx; η2 = cos αx sinh αx (6.4)<br />
η3 = sin αx cosh αx; η4 = sin αx sinh αx (6.5)<br />
Zum Ausnutzen von Symmetrieeigenschaften ist ein Aufspalten der Lösung in zwei Teile<br />
möglich:<br />
wsym = c1η1 + c4η4; wantim = c2η2 + c3η3 (6.6)<br />
Ableitungen von w:<br />
w ′ = α [c1 (−η3 + η2) + c2 (−η4 + η1) + c3 (η1 + η4) + c4 (η2 + η3)] (6.7)<br />
w ′′ = α 2 [c1 (−η1 − η4 − η4 + η1) + c2 (−η2 − η3 − η3 + η2)<br />
+ c3 (−η3 + η2 + η2 + η3) + c4 (−η4 + η1 + η1 + η4)]<br />
= −2α 2 [c1 (+η4) + c2 (+η3) + c3 (−η2) + c4 (−η1)] (6.8)<br />
w ′′′ = −2α 3 [c1 (+η2 + η3) + c2 (+η1 + η4) + c3 (+η4 − η1) + c4 (+η3 − η2)] (6.9)<br />
Einsetzen in die Schnittkraftgleichungen (aus Abschnitt 4.7):<br />
�<br />
nx = D u ′ + µ<br />
a w<br />
�<br />
= 0 −→ u ′ = − µ<br />
w<br />
a<br />
�<br />
w<br />
�<br />
nϑ = D + µu′ =<br />
a<br />
(6.10)<br />
Eh<br />
1 − µ 2<br />
�<br />
w µ2<br />
−<br />
a a w<br />
�<br />
= Eh<br />
w<br />
a<br />
(6.11)<br />
= Eh<br />
a (c1η1 + c2η2 + c3η3 + c4η4) (6.12)<br />
mx = Bw ′′ = −2Bα 2 [c1η4 + c2η3 − c3η2 − c4η1] (6.13)<br />
mϑ = Bµw ′′ = µmx<br />
(6.14)<br />
qx = Bw ′′′<br />
(B = konst.) (6.15)<br />
= −2Bα 3 [c1 (η2 + η3) + c2 (η1 + η4) + c3 (η4 − η1) + c4 (η3 − η2)] (6.16)<br />
Aus den Randbedingungen an den Rändern x = 0 und x = l lassen sich die 4 Konstanten<br />
bestimmen.<br />
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6.1 Randstörung der kurzen und der langen Zylinderschale 67<br />
6.1.2 Lange Zylinderschale<br />
αl ≥ 4 (bzw. 2π)<br />
In diesem Fall können die Ränder getrennt betrachtet werden; sie beeinflussen sich gegenseitig<br />
nicht.<br />
Bei Störungen am oberen Rand gilt:<br />
w = e −αx (C1 cosαx + C2 sin αx) (6.17)<br />
bei Störungen am unteren Rand:<br />
w = e −αx � C1 cosαx + C2 sin αx � , (6.18)<br />
wobei die letztere Lösung mit den zugehörigen Schnittgrößen auch ersetzt werden kann durch<br />
die obere Lösung mit den zugehörigen Schnittgrößen, wenn statt x dann x gesetzt wird und<br />
die Größen qx und χ = − dw<br />
wegen der Gegenläufigkeit der Koordinaten mit dem Faktor<br />
dx<br />
(−1) multipliziert werden.<br />
Einführung der Funktionen<br />
ζ1 = e −αx cosαx und ζ2 = e −αx sin αx (6.19)<br />
liefert<br />
w = C1ζ1 + C2ζ2<br />
w ′ = C1 (−αζ1 − αζ2) + C2 (−αζ2 + αζ1)<br />
(6.20)<br />
= −α [C1 (ζ1 + ζ2) + C2 (ζ2 − ζ1)] (6.21)<br />
w ′′ = −α 2 [C1 (−ζ1 − ζ2 − ζ2 + ζ1) + C2 (−ζ2 + ζ1 + ζ1 + ζ2)]<br />
= +2α 2 [C1ζ2 − C2ζ1] (6.22)<br />
w ′′′ = +2α 3 [C1 (−ζ2 + ζ1) − C2 (−ζ1 − ζ2)]<br />
= +2α 3 [C1 (ζ1 − ζ2) + C2 (ζ1 + ζ2)] (6.23)<br />
Schnittgrößen:<br />
nx = 0 (6.24)<br />
nϑ = Eh<br />
a [C1ζ1 + C2ζ2] (6.25)<br />
mx = Bw ′′ = 2Bα 2 [C1ζ2 − C2ζ1] (6.26)<br />
mϑ = µmx<br />
(6.27)<br />
qx = Bw ′′′ = 2Bα 3 [C1 (ζ1 − ζ2) + C2 (ζ1 + ζ2)] (6.28)<br />
Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen. Um den Zusammenhang der Zylinderschale<br />
mit den anschließenden Bauteilen berechnen zu können, ist es bei Anwendung<br />
der Kraftgrößenmethode zweckmäßig, zwei statisch unbestimmte Randgrößen X1 und X2 zu<br />
definieren.<br />
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68 6. Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
X1:<br />
Randbedingungen bei x = 0<br />
(ζ1 = 1; ζ2 = 0):<br />
mx = 0 ⇒ C2 = 0 (6.29)<br />
qx = X1⇒ C1 = 1<br />
2Bα3X1 (6.30)<br />
Abb. 6.2: X1 am oberen Rand<br />
Einsetzen dieser Konstanten in die Formänderungs- und Schnittgrößengleichungen liefert mit<br />
Bα 4 = Eh<br />
4a 2:<br />
1<br />
w1 = X1<br />
2Bα3ζ1 2a<br />
= X1<br />
2α Eh ζ1<br />
(6.31)<br />
χ1 = − dw<br />
dx<br />
2a<br />
= +X1<br />
2α2 Eh (ζ1 + ζ2) (6.32)<br />
Eh α4a<br />
nϑ1 = X1<br />
a<br />
2<br />
2Eh ζ1 = X12aαζ1 (6.33)<br />
nx1 = 0 (6.34)<br />
2 X1<br />
mx1 = 2Bα<br />
2Bα3ζ2 mϑ1 = µmx1<br />
= X1<br />
α ζ2<br />
(6.35)<br />
(6.36)<br />
3<br />
X1<br />
qx1 = 2Bα<br />
2Bα3 (ζ1 − ζ2) = X1 (ζ1 − ζ2) (6.37)<br />
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6.1 Randstörung der kurzen und der langen Zylinderschale 69<br />
X2:<br />
Randbedingungen bei x = 0<br />
(ζ1 = 1; ζ2 = 0):<br />
mx = X2:<br />
X2 = 2Bα 2 (−C2) ⇒ C2 = − X2<br />
2Bα 2<br />
qx = 0:<br />
0 = C1 + C2 ⇒ C1 = −C2 = X2<br />
2Bα 2<br />
(6.38)<br />
(6.39)<br />
Abb. 6.3: X2 am oberen Rand<br />
α<br />
w2 = X2<br />
24a2 2Eh (ζ1 − ζ2)<br />
2a<br />
= X2<br />
2α2 Eh (ζ1 − ζ2) (6.40)<br />
χ2 = − dw2<br />
dx = X2α34a2 2Eh 2ζ1<br />
4a<br />
= X2<br />
2α3 Eh ζ1<br />
(6.41)<br />
nϑ2 = Eh X2α<br />
a<br />
24a2 (ζ1 − ζ2) = X22aα<br />
2Eh<br />
2 (ζ1 − ζ2) (6.42)<br />
nx2 = 0 (6.43)<br />
2 x2<br />
mx2 = 2Bα<br />
2Bα2 (ζ1 + ζ2) = X2 (ζ1 + ζ2) (6.44)<br />
mϑ2 = µmx2<br />
(6.45)<br />
3<br />
X2<br />
qx2 = −2Bα<br />
2Bα22ζ2 = −X22αζ2 (6.46)<br />
Werden die Randverformungen δik der Zylinderschale im gleichen Richtungssinn wie die<br />
überzähligen Größen definiert, so erhält man am Rand x = 0 (mit Xi = 1):<br />
δ11 = +w1 (0) = 2a2α Eh<br />
δ12 = +w2 (0) = 2a2α2 Eh<br />
δ21 = +χ1 = 2a2α2 Eh<br />
δ22 = +χ2 = 4a2α3 Eh<br />
(6.47)<br />
(6.48)<br />
(6.49)<br />
(6.50)<br />
Zur praktischen Handhabung sind diese Gleichungen, erweitert um eine Randgrößenbelastung<br />
am unteren Rand, auf der folgenden Seite zusammengestellt worden.<br />
In gleicher Weise lassen sich bei Anwendung der Formänderungsmethode die Größengleichungen<br />
für die geometrischen Randbedingungen w = 1, χ = 0 bzw. w = 0, χ = 1 aufstellen.<br />
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70 6. Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
α =<br />
X1 = 1:<br />
� �3 (1 − µ 2 )<br />
ah<br />
Abb. 6.4: Randbelastungen an der Zylinderschale<br />
; ξ = xα; ζ1 = e −ξ cosξ; ζ2 = e −ξ sin ξ; αl ≥ 4 (6.51)<br />
δ11 = 2a2α Eh ; δ21 = 2a2α2 ; (6.52)<br />
Eh<br />
nϑ = 2aαζ1; mx = 1<br />
α ζ2; qx = ± (ζ1 − ζ2) ; (6.53)<br />
w = 2a2 α<br />
Eh ζ1; χ = ± 2a2 α 2<br />
Eh (ζ1 + ζ2); mϑ = µmx (6.54)<br />
X2 = 1:<br />
δ12 = 2a2α2 Eh ; δ22 = 4a2α3 ;<br />
Eh<br />
(6.55)<br />
nϑ = 2aα 2 (ζ1 − ζ2) ; mx = (ζ1 + ζ2) ; qx = ∓2αζ2; (6.56)<br />
w = 2a2 α 2<br />
Eh (ζ1 − ζ2); χ = ± 4a2 α 3<br />
Eh ζ1; mϑ = µmx (6.57)<br />
Bemerkung: oberes Vorzeichen gilt für Lastangriff am oberen Rand,<br />
unteres Vorzeichen gilt für Lastangriff am unteren Rand.<br />
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6.2 Geckelersche Näherung der Randstörung von Rotationsschalen 71<br />
6.2 Geckelersche Näherung der Randstörung von Rotationsschalen<br />
6.2.1 Allgemeines<br />
Wie bereits im Abschnitt 5 Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung eingeführt,<br />
wird bei der Herleitung einer Näherungslösung für die homogene Differentialgleichung<br />
von der Vereinfachung nach Geckeler ausgegangen. Diese besagt, dass unter den<br />
Voraussetzungen der konstanten Wanddicke und eines Wertes von cot ϕ, der klein genug ist<br />
(d.h. ϕ >≈ 20 ◦ ), eine höhere Ableitung einer Funktion groß gegenüber der nächstniederen<br />
Ableitung derselben Funktion ist.<br />
6.2.2 Spezialisierung für die Kugelschale<br />
Mit ds = r2dϕ = rdϕ vereinfacht sich die Differentialgleichung aus Abschnitt 5 zu<br />
d 4 χ<br />
dϕ 4 + 4κ4 χ = 0 mit κ =<br />
�<br />
r �<br />
3 (1 − µ 2 ) (6.58)<br />
h<br />
Eine zweite Differentialgleichung für qϕ erhält man auf analogem Weg:<br />
d 4 qϕ<br />
dϕ 4 + 4κ4 qϕ = 0 (6.59)<br />
Diese Gleichung ist für ϕ = x mit der Differentialgleichung der Zylinderschale identisch. Für<br />
a<br />
Randkräfte, die an einer langen Schale (κ (ϕu − ϕo) ≥ 4 bzw. 2π) angreifen, lautet daher<br />
die abklingende Lösung (vgl. Abschnitt 6.1.2):<br />
Mit<br />
qϕ = e −ßϕ (c1 cos κϕ + c2 sin κϕ) (6.60)<br />
ζ 1 = e −ßϕ cos κϕ; ζ2 = e −ßϕ sin κϕ (6.61)<br />
entsteht<br />
qϕ = c1ζ 1 + c2ζ 2, (6.62)<br />
Abb. 6.5: Definition der Winkel ϕ<br />
sodass damit die Schnittkräfte in der Schale angegeben werden können:<br />
nϕ = −qϕ cotϕ = − � �<br />
c1ζ1 + c2ζ2 cotϕ (6.63)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
72 6. Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
Aus der 2. Gleichgewichtsbedingung in Abschnitt 5 folgt durch Einsetzen dieser Beziehungen:<br />
nϑ = −nϕ − 1 d<br />
sin ϕ dϕ (qϕ sin ϕ)<br />
= +qϕ cot ϕ − 1<br />
�<br />
dqϕ<br />
sin ϕ dϕ sin ϕ + qϕ<br />
�<br />
cosϕ<br />
= − dqϕ<br />
dϕ = +κ � � � � ��<br />
c1 ζ1 + ζ2 + c2 ζ2 − ζ1 . (6.64)<br />
Unter Benutzung weiterer Gleichungen aus Abschnitt 5 ergibt sich:<br />
εϑ = 1<br />
Eh (nϑ − µnϕ) ≈ 1<br />
Eh nϑ = 1<br />
Eh κ � � � � ��<br />
c1 ζ1 + ζ2 + c2 ζ2 − ζ1 χ ≈ − dεϑ 2κ2 � �<br />
= c1ζ2 − c2ζ1 dϕ<br />
mϕ = − B<br />
r<br />
Eh<br />
dχ<br />
= −B<br />
dϕ r<br />
2κ 3<br />
Eh<br />
� � � � ��<br />
c1 ζ1 − ζ2 + c2 ζ1 + ζ2 = − Eh32 r2<br />
h23 (1 − µ 2 )<br />
r12 (1 − µ 2 � � � � ��<br />
c1 ζ1 − ζ2 + c2 ζ1 + ζ2 ) κEh<br />
= − r � � � � ��<br />
c1 ζ1 − ζ2 + c2 ζ1 + ζ2 2κ<br />
mϑ = − B<br />
�<br />
χ cotϕ + µ<br />
r<br />
dχ<br />
�<br />
= µmϕ −<br />
dϕ<br />
Eh32r23 (1 − µ 2 )<br />
r12 (1 − µ 2 )Ehκ 2h2 cot ϕ � �<br />
c1ζ2 − c2ζ1 r cot ϕ<br />
= µmϕ −<br />
2κ2 � �<br />
c1ζ2 − c2ζ1 ∆r = rεϑ = rκ � � � � ��<br />
c1 ζ1 + ζ2 + c2 ζ2 − ζ1 Eh<br />
(6.65)<br />
(6.66)<br />
(6.67)<br />
(6.68)<br />
(6.69)<br />
Für die praktische Berechnung wird anstelle des von der Rotationsachse gemessenen Winkels<br />
ϕ mit dem vom oberen Schalenrand o gemessenen Winkel ωo bzw. mit dem vom unteren<br />
Schalenrand u gemessenen Winkel ωu gerechnet:<br />
ωo = ϕ − ϕo<br />
(6.70)<br />
ωu = ϕu − ϕ (6.71)<br />
wobei<br />
ist.<br />
ζ1 = e −ßω cos κω (6.72)<br />
ζ2 = e −ßω sin κω (6.73)<br />
ω := ωo bzw. ωu<br />
(6.74)<br />
Abb. 6.6: Definition des Winkels ω<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
6.2 Geckelersche Näherung der Randstörung von Rotationsschalen 73<br />
Damit erhält man die folgenden allgemeinen Formeln zur Ermittlung der Schnittgrößen und<br />
Formänderungen (oberes Vorzeichen gilt für eine Randstörung am oberen Rand, unteres<br />
Vorzeichen gilt für eine Randstörung am unteren Rand):<br />
qϕ = C1ζ1 + C2ζ2<br />
(6.75)<br />
nϕ = − cot ϕ (C1ζ1 + C2ζ2) (6.76)<br />
nϑ = ±κ [C1 (ζ1 + ζ2) + C2 (ζ2 − ζ1)] (6.77)<br />
mϕ = ∓ r<br />
2κ [C1 (ζ1 − ζ2) + C2 (ζ1 + ζ2)]<br />
r cotϕ<br />
mϑ = µmϕ −<br />
2κ<br />
(6.78)<br />
2<br />
[C1ζ2 − C2ζ1]<br />
∆r = ±<br />
(6.79)<br />
rκ<br />
Eh [C1 (ζ1 + ζ2) + C2 (ζ2 − ζ1)] (6.80)<br />
χ = 2κ2<br />
Eh [C1ζ2 − C2ζ1] (6.81)<br />
Aus diesen Gleichungen können die von den Randstörungen hervorgerufenen Wirkungen<br />
ermittelt werden, z.B. gelten für eine am Rand (ω = 0) angreifende horizontale Kraft folgende<br />
Randbedingungen:<br />
nϕ = ∓X1 cosϕ o<br />
u<br />
(6.82)<br />
mϕ = 0 (6.83)<br />
Abb. 6.7: Horizontalkraft X1<br />
Aus diesen Beziehungen können die Konstanten C1 und C2 ermittelt und danach in die<br />
Schnittgrößen- und Formänderungsgleichungen eingesetzt werden.<br />
Nachfolgend sind die Gleichungen für eine am oberen bzw. unteren Rand angreifende horizontale<br />
Kraft X1 und ebenso auch für ein Randmoment X2 angegeben.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
74 6. Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
κ =<br />
X1 = 1:<br />
Abb. 6.8: Randbelastungen an der Kugelschale<br />
�<br />
r �<br />
3 (1 − µ 2 ); ξ = κω; ζ1 = e<br />
h<br />
−ξ cos ξ; ζ2 = e −ξ sin ξ; κ (ϕu − ϕo) ≥ 4<br />
δ11 = 2rκ<br />
Eh sin2 ϕ o<br />
u ; δ21 = 2κ2<br />
sin ϕ o<br />
u Eh ;<br />
nϕ = ∓ (ζ1 − ζ2)cot ϕ sin ϕ o<br />
u ; nϑ = 2κζ1 sin ϕ o<br />
u ;<br />
qϕ = ± (ζ1 − ζ2)sin ϕ o<br />
u ; mϕ = r<br />
κ ζ2 sin ϕ o<br />
u ; mϑ ≈ µmϕ;<br />
∆r = 2rκ<br />
Eh ζ1 sin ϕ sinϕ o<br />
u<br />
X2 = 1:<br />
δ12 = 2κ2<br />
Eh<br />
; χ = ±2κ2<br />
Eh (ζ1 + ζ2)sin ϕ o<br />
u .<br />
sin ϕ o<br />
u ; δ22 = 4κ3<br />
Ehr ;<br />
nϕ = ± 2κ<br />
r ζ2 cot ϕ; nϑ = 2κ2<br />
r (ζ1 − ζ2);<br />
qϕ = ∓ 2κ<br />
r ζ2; mϕ = (ζ1 + ζ2) ; mϑ ≈ µmϕ;<br />
∆r = 2κ2<br />
Eh (ζ1 − ζ2)sin ϕ; χ = ± 4κ3<br />
Ehr ζ1.<br />
Bemerkung: Oberer Rand (ϕo): obere Vorzeichen,<br />
Unterer Rand (ϕu): untere Vorzeichen.<br />
Für ϕo < 20 ◦ , ϕu < 20 ◦ wird das Ergebnis ungenau.<br />
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6.2 Geckelersche Näherung der Randstörung von Rotationsschalen 75<br />
6.2.3 Spezialisierung für die Kegelschale<br />
Die im Abschnitt 5 angegebenen Gleichungen vereinfachen sich mit<br />
ϕ = konst.; (6.84)<br />
r1 = ∞; (6.85)<br />
r2 = s cotϕ (6.86)<br />
r0 = s cosϕ; (6.87)<br />
r1dϕ = ds; (6.88)<br />
h = konst. (6.89)<br />
Umbezeichnung der Schnittgrößen:<br />
nϕ → ns; qϕ → qs; mϕ → ms<br />
� �<br />
du µ<br />
ns = D + (u + w tan ϕ)<br />
ds s<br />
� �<br />
1<br />
nϑ = D (u + w tan ϕ) + µdu<br />
s ds<br />
�<br />
dχ µ<br />
ms = −B +<br />
ds s χ<br />
�<br />
� �<br />
1<br />
mϑ = −B χ + µdχ<br />
s ds<br />
qs = 1<br />
� �<br />
d (mss)<br />
−mϑ +<br />
s ds<br />
Formänderungen und Verzerrungen:<br />
∆r0 = εϑs cosϕ; χ = − dw<br />
ds<br />
Abb. 6.9: Definition der Koordinate s<br />
(6.90)<br />
(6.91)<br />
(6.92)<br />
(6.93)<br />
(6.94)<br />
(6.95)<br />
εs = du<br />
ds ; εϑ = 1<br />
(u + w tan ϕ) (6.96)<br />
s<br />
Gleichgewichtsbedingungen:<br />
d (nss)<br />
−ns +<br />
ds + pxs = 0 (6.97)<br />
d (qss)<br />
nϑ tanϕ +<br />
ds + pzs = 0 (6.98)<br />
d (mss)<br />
−mϑ +<br />
ds − qss = 0 (6.99)<br />
Diese Gleichungen führen zu einer Besselschen Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren<br />
Lösung der Literatur [7, 6] entnommen werden kann.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
76 6. Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
Für eine Näherungslösung wird davon ausgegangen, dass h klein gegenüber den anderen<br />
Schalenmaßen ist und dass damit der Einfluss der Randstörungskräfte vom Rand schnell<br />
abklingt. Weiterhin wird die von der Zylinder- und Kugelschale bekannte Näherung nach<br />
Geckeler benutzt.<br />
Damit erhält man folgende Differentialgleichung:<br />
χ IV + 4α 4 χ = 0 (6.100)<br />
mit<br />
�<br />
tan ϕ�<br />
α = 3 (1 − µ 2 ) (6.101)<br />
sh<br />
α ähnlich wie bei der Zylinderschale, nur durch s nicht mehr konstant. Dadurch große mathematische<br />
Schwierigkeiten bei der Lösung der Differentialgleichung.<br />
Annahme: Abklingzahl α wird in Randnähe als konstant betrachtet:<br />
�<br />
tan ϕ�<br />
αo = 3 (1 − µ 2 )<br />
soh<br />
�<br />
tan ϕ�<br />
αu = 3 (1 − µ 2 )<br />
suh<br />
am oberen Rand,<br />
am unteren Rand.<br />
(6.102)<br />
(6.103)<br />
Führt man als neue Veränderliche die Entfernung s1 vom oberen Schalenrand und s2 vom<br />
unteren Schalenrand ein, kann die Lösung der Differentialgleichung wie bei den anderen<br />
besprochenen Schalenformen mit<br />
bzw.<br />
χo = e −αos1 (C1 cosαos1 + C2 sin αos1) (6.104)<br />
χu = e −αus2 (C1 cosαus2 + C2 sin αus2) (6.105)<br />
angegeben werden.<br />
Mit den Abkürzungen<br />
ξo = αos1 und ξu = αus2 (6.106)<br />
ζ 1, o<br />
u = e−ξ o u cosξ o<br />
u<br />
und ζ 2, o<br />
u = e−ξ o u sin ξ o<br />
u<br />
(6.107)<br />
erhält man die Schnittgrößen und Formänderungen in Abhängigkeit von C1 und C2, die aus<br />
den Randbedingungen ermittelt werden. Auf den folgenden Seiten sind die Schnittgrößen<br />
und Formänderungen für eine horizontale Ringkraft X1 und ein Ringmoment X2 angegeben,<br />
getrennt für den Angriff am oberen und unteren Schalenrand.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
6.2 Geckelersche Näherung der Randstörung von Rotationsschalen 77<br />
αo =<br />
Abb. 6.10: Randbelastungen an der Kegelschalen<br />
�<br />
tanϕ �<br />
3 (1 − µ 2 ); αu =<br />
soh<br />
ζ o<br />
1, u = e−ξ o u cosξ o<br />
u ; ζ2, o<br />
u = e−ξ o u sin ξ o<br />
u<br />
X1 = 1 am oberen Rand:<br />
δ11 = 2s2 o<br />
Eh αo cos 2 ϕ; δ21 = 1<br />
�<br />
tanϕ �<br />
3 (1 − µ 2 ); ξo = α0s1; ξu = αus2<br />
suh<br />
2Bα 2 o<br />
; B =<br />
sin ϕ;<br />
Eh 3<br />
12 (1 − µ 2 ) ; αu (su − so) ≥ 4<br />
ns = − (ζ1,o − ζ2,o) cosϕ; nϑ = (2sαoζ1,o − ζ1,o + ζ2,o)cos ϕ;<br />
qs = (ζ1,o − ζ2,o) sin ϕ; ms = 1<br />
ζ2,o sin ϕ; mϑ ≈ µms;<br />
∆r = 2s2<br />
Eh αoζ1,o cos 2 ϕ; χ = 1<br />
2Bα2 (ζ1,o + ζ2,o)sin ϕ.<br />
o<br />
X2 = 1 am oberen Rand:<br />
αo<br />
δ12 = 1<br />
2Bα2 sin ϕ;<br />
o<br />
δ22 = 1<br />
;<br />
Bαo<br />
ns = 2αoζ2,o cot ϕ; nϑ = 2αo cot ϕ [sαo (ζ1,o − ζ2,o) + ζ2,o] ;<br />
qs = −2αoζ2,o; ms = ζ1,o + ζ2,o; mϑ ≈ µms;<br />
∆r = 2s2 α 2 o<br />
Eh<br />
cos 2 ϕ<br />
sin ϕ (ζ1,o − ζ2,o) ; χ = 1<br />
Bαo<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005<br />
ζ1,o.
78 6. Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
X1 = 1 am unteren Rand:<br />
δ11 = 2s2 u<br />
Eh αu cos 2 ϕ; δ21 = 1<br />
2Bα 2 u<br />
sin ϕ;<br />
ns = (ζ1,u − ζ2,u) cosϕ; nϑ = (2sαuζ1,u + ζ1,u − ζ2,u) cosϕ;<br />
qs = − (ζ1,u − ζ2,u)sin ϕ; ms = 1<br />
ζ2,u sin ϕ; mϑ ≈ µms;<br />
αu<br />
∆r = 2s2<br />
Eh αuζ1,u cos 2 ϕ; χ = − 1<br />
2Bα2 (ζ1,u + ζ2,u) sin ϕ.<br />
u<br />
X2 = 1 am unteren Rand:<br />
δ12 = 1<br />
2Bα2 sin ϕ;<br />
u<br />
δ22 = 1<br />
;<br />
Bαu<br />
ns = −2αuζ2,u cot ϕ; nϑ = 2αu cot ϕ [sαu (ζ1,u − ζ2,u) − ζ2,u] ;<br />
qs = 2αuζ2,u; ms = ζ1,u + ζ2,u; mϑ ≈ µms;<br />
∆r = 2s2 α 2 u<br />
Eh<br />
cos 2 ϕ<br />
sin ϕ (ζ1,u − ζ2,u); χ = − 1<br />
Für ϕ < 50 ◦ wird das Ergebnis ungenau.<br />
Bαu<br />
ζ1,u.<br />
Abb. 6.11: Die Funktionen ζ1 und ζ2<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
6.3 Schnittkräfte und Formänderungen von Verstärkungsringen (Kreisringträgern) 79<br />
6.3 Schnittkräfte und Formänderungen von Verstärkungsringen<br />
(Kreisringträgern)<br />
Kreisringträger als Kreiszylinderschale aufgefaßt:<br />
Abb. 6.12: Definition der Belastungen und Verformungen<br />
H0, V0 : Horizontal- und Vertikalkomponente der Ringträgerbelastung (Kraft pro Länge, z.B<br />
kN<br />
m )<br />
M0 : auf die Querschnittsschwerlinie bezogenes Moment der Ringträgerbelastung (Kraft<br />
mal Länge, bezogen auf die Längeneinheit der Schwerlinie, z.B. kNm<br />
m )<br />
∆r0 : Verschiebung des Querschnittsschwerpunktes, nach außen positiv<br />
χ0<br />
: Verdrehung des Querschnitts; eine positive Verdrehung erzeugt eine positive Verschiebung<br />
der Querschnittsoberseite<br />
• Verschiebung und Verdrehung des Ringträgers (RT) infolge H0 und V0:<br />
� h<br />
+ 2<br />
px = 0; nx = −<br />
− h<br />
pxds + C = −V0<br />
2<br />
pz = − H0<br />
; nϑ = −pzr0 = + H0<br />
h0<br />
∆r0 = 1<br />
(nϑ − µnx)r0<br />
Eb0<br />
= 1<br />
� �<br />
H0<br />
r0 + µV0<br />
Eb0 h0<br />
∆r0 = r2 �<br />
0<br />
H0 + µ<br />
EA<br />
h0<br />
V0<br />
r0<br />
�<br />
r0<br />
h0<br />
r0 = r2 �<br />
0<br />
H0 + µ<br />
Eb0h0<br />
h0<br />
r0<br />
mit A = b0h0<br />
V0<br />
�<br />
(6.108)<br />
(6.109)<br />
(6.110)<br />
Im allgemeinen ist der 2. Summand gegenüber dem 1. Summanden vernachlässigbar.<br />
Er muß beachtet werden, wenn H0 klein ist, z.B. wenn die an den RT anschließenden<br />
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80 6. Randstörungstheorie für Rotationsschalen unter rotationssymmetrischer Belastung<br />
Bauteile keine oder sehr geringe Horizontalkräfte auf den RT ausüben, d.h. nahezu<br />
senkrecht am RT anschließen.<br />
χ0 = r2 � �<br />
0 dpz<br />
− µpx = 0 (6.111)<br />
Eb0 ds r0<br />
• Verschiebung und Verdrehung des RT infolge M0:<br />
px = 0; nx = 0 (6.112)<br />
pR = M0<br />
W<br />
pz = pR<br />
h0<br />
2<br />
= 6M0<br />
1h 2 0<br />
(6.113)<br />
x = 12M0<br />
h3 x (6.114)<br />
0<br />
nϑ = −pzr0 = − 12r0<br />
M0x (6.115)<br />
h 3 0<br />
nϑ (x = 0) = 0 (6.116)<br />
∆r0 = 0 (6.117)<br />
χ0 = r2 0 dpz<br />
Eb0 dx = r2 0 12M0<br />
Eb0 h3 0<br />
χ0 = r2 0<br />
EI M0; I = b0h3 0<br />
12<br />
• Schnittkräfte im RT infolge H0:<br />
Längskraft<br />
N = nϑh0 = H0<br />
r0h0 = H0r0<br />
h0<br />
• Schnittkräfte im RT infolge V0:<br />
Abb. 6.13: Ersatzweise Radialbelastung pz<br />
(6.118)<br />
(6.119)<br />
Es treten – abgesehen von der vertikalen Pressung infolge V0 – keine Schnittkräfte auf.<br />
• Schnittkräfte im RT infolge M0:<br />
Biegemoment M (um die horizontale Querschnittsachse):<br />
M =<br />
� + h 0<br />
2<br />
− h 0<br />
2<br />
nϑxdx = − 12r0<br />
h3 M0<br />
0<br />
� + h 0<br />
2<br />
− h 0<br />
2<br />
x 2 dx = −M0r0<br />
(6.120)<br />
(Positive Momente M erzeugen an der Ringträgerunterseite Zugspannungen,<br />
s. Abb. 6.14)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
6.3 Schnittkräfte und Formänderungen von Verstärkungsringen (Kreisringträgern) 81<br />
oder aus der Gleichgewichtsbedingung:<br />
�� �<br />
M<br />
Tang.<br />
Abb. 6.14: Gleichgewicht zwischen den Momenten<br />
= 0 = M0r0dϑ + 2M sin dϑ<br />
; M = −M0r0<br />
(6.121)<br />
2<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
Literaturverzeichnis<br />
[1] Bas¸ar, Y. und W. B. Krätzig: Mechanik der Flächentragwerke. Friedr. Vieweg &<br />
Sohn, Braunschweig und Wiesbaden, 1. Auflage, 1985.<br />
[2] Beyer, K.: Die Statik im Stahlbetonbau. Springer, Berlin, 6. Auflage, 1956.<br />
[3] Flügge, W.: Statik und Dynamik der Schalen. Springer, Berlin, 3. Auflage, 1962.<br />
[4] Girkmann, K.: Flächentragwerke. Springer, Wien, 6. Auflage, 1978.<br />
[5] Hake, E. und K. Meskouris: Statik der Flächentragwerke. Springer, Berlin, Heidelberg,<br />
2001.<br />
[6] Hampe, E.: Statik rotationssymmetrischer Flächentragwerke. VEB Verlag für Bauwesen,<br />
Berlin, 1968–1973.<br />
[7] Markus, G.: Theorie und Berechnung rotationssymmetrischer Bauwerke. Werner–<br />
Verlag, Düsseldorf, 2. Auflage, 1976.<br />
[8] Mehlhorn, G. und H. Mang: Der Ingenieurbau; Band: Rechnerorientierte Baumechanik;<br />
Abschnitt Flächentragwerke. W. Ernst & Sohn, Berlin, 1996.<br />
[9] Pflüger, A.: Elementare Schalenstatik. Springer, Berlin, Göttingen und Heidelberg,<br />
1957.<br />
[10] Rabich, R.: Platten, Scheiben, Schalen. Ingenieurtaschenbuch Bauwesen, Band 1, B.<br />
G. Teubner–Verlagsgesellschaft, Leipzig, 3. Auflage, 1963.<br />
[11] Rabich, R.: Theorie der Flächentragwerke, Lehrbriefe 1 bis 4. Verlag Technik Berlin,<br />
1969.<br />
[12] Timoshenko, S. and S. Woinowsky-Krieger: Theory of Plates and Shells.<br />
McGraw-Hill, New York, 2. edition, 1959.<br />
[13] Zumpe, G.: Zur Entwicklung der Flächentragwerke. Wiss. Z. TU <strong>Dresden</strong>, 6:74–84,<br />
1982.<br />
83
Rotationsschalen mit rotationssymmetrischer Belastung/Membrantheorie A.1<br />
1. Kugelschale<br />
nϕ = − r<br />
sin 2 ��<br />
ϕ<br />
(pϕ + pz cot ϕ)sin 2 ϕ dϕ + C1<br />
nϑ = −nϕ − rpz<br />
∆r = − r<br />
Eh sin ϕ [rpz + nϕ (1 + µ)]<br />
χ = − r<br />
�<br />
(1 + µ)pϕ −<br />
Eh<br />
dpz<br />
�<br />
dϕ<br />
Sonderfälle:<br />
1.1 Schale oben geschlossen<br />
Eigengewicht g Schneelast p<br />
nϕ = −<br />
gr<br />
1 + cosϕ<br />
�<br />
�<br />
1<br />
nϑ = −gr cosϕ −<br />
1 + cosϕ<br />
∆r = gr2 � �<br />
sin ϕ 1 + µ<br />
− cosϕ<br />
Eh 1 + cosϕ<br />
�<br />
nϕ = − pr<br />
2<br />
nϑ = − pr<br />
2<br />
cos 2ϕ<br />
∆r = pr2 sin ϕ<br />
Eh<br />
�<br />
1 + µ<br />
2 − cos2 �<br />
ϕ<br />
χ = − gr<br />
pr<br />
sin ϕ (2 + µ) χ = − sin 2ϕ (3 + µ)<br />
Eh 2Eh<br />
Flüssigkeitsdruck (Wichte γ)<br />
pϕ = 0<br />
pz = ±γ [H ± r (1 − cosϕ)]<br />
nϕ = ∓ γr2<br />
6<br />
nϑ = ∓ γr2<br />
6<br />
�<br />
3 H<br />
�<br />
3 H<br />
r ±<br />
∆r = ∓ γr3 sin ϕ<br />
2Eh<br />
χ = + γr2<br />
sin ϕ<br />
Eh<br />
�<br />
1 − 2 cos2 ��<br />
ϕ<br />
1 + cos ϕ<br />
�<br />
r ∓ 1 ± 23 − 2 cos2 ϕ<br />
1 + cosϕ<br />
� H<br />
r<br />
5 − µ<br />
(1 − µ) ±<br />
3 ∓ 6 cosϕ + 2 (2 − µ)cos2 �<br />
ϕ<br />
3 (1 + cosϕ)<br />
Die oberen Vorzeichen gelten für Stützböden, die unteren für<br />
Hängeböden.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” Arbeitsblatt <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
A.2 Rotationsschalen mit rotationssymmetrischer Belastung/Membrantheorie<br />
1.2 Schale oben offen und zusätzlich mit n o am oberen Rand belastet<br />
Eigengewicht g<br />
�<br />
cos ϕo − cosϕ<br />
nϕ = −gr<br />
sin2 �<br />
sin<br />
+ nϕo<br />
ϕ<br />
2 ϕo<br />
sin2 ϕ<br />
�<br />
cosϕo − cosϕ<br />
nϑ = gr<br />
sin 2 �<br />
sin<br />
− cosϕ − nϕo<br />
ϕ<br />
2 ϕo<br />
sin 2 ϕ<br />
∆r = gr2<br />
� �<br />
cosϕo − cosϕ<br />
(1 + µ) − sin ϕ cosϕ − nϕor<br />
Eh sin ϕ<br />
sin2 ϕo<br />
sin ϕ<br />
χ = − gr<br />
sin ϕ (2 + µ)<br />
Eh<br />
Schneelast p<br />
nϕ = − pr<br />
�<br />
1 −<br />
2<br />
sin2 ϕo<br />
sin 2 �<br />
sin<br />
+ nϕo<br />
ϕ<br />
2 ϕo<br />
sin 2 ϕ<br />
nϑ = − pr<br />
�<br />
cos 2ϕ +<br />
2<br />
sin2 ϕo<br />
sin 2 �<br />
sin<br />
− nϕo<br />
ϕ<br />
2 ϕo<br />
sin 2 ϕ<br />
∆r = pr2 ��<br />
sin ϕ<br />
1 −<br />
2Eh<br />
sin2 ϕo<br />
sin 2 �<br />
(1 + µ) − 2 cos<br />
ϕ<br />
2 �<br />
ϕ − nϕor sin2 ϕo<br />
sin ϕ<br />
χ = − pr<br />
sin 2ϕ (3 + µ)<br />
2Eh<br />
2. Kegelschale<br />
ns = − 1<br />
��<br />
s<br />
nϑ = −pzs cotϕ<br />
1 + µ<br />
Eh<br />
1 + µ<br />
Eh<br />
�<br />
(px + pz cotϕ) s ds + C<br />
∆r = 1<br />
Eh (nϑ − µns) s cosϕ<br />
�<br />
cot ϕ<br />
χ = (1 + µ)(ns − nϑ) − s<br />
Eh<br />
d<br />
ds (nϑ<br />
�<br />
− µns)<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” Arbeitsblatt <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
Rotationsschalen mit rotationssymmetrischer Belastung/Membrantheorie A.3<br />
Sonderfälle:<br />
2.1 Schale oben geschlossen:<br />
Eigengewicht g Schneelast p<br />
ns = − g<br />
2 sin ϕ s ns<br />
p cotϕ<br />
= − s<br />
2<br />
nϑ = − g cos2 ϕ<br />
sin ϕ s nϑ = −p cos3 ϕ<br />
sin ϕ s<br />
g cot ϕ<br />
�<br />
∆r = − cos<br />
Eh<br />
2 ϕ − µ<br />
�<br />
s<br />
2<br />
2<br />
p cosϕcotϕ<br />
�<br />
∆r = − cos<br />
Eh<br />
2 ϕ − µ<br />
�<br />
s<br />
2<br />
2<br />
g cosϕ<br />
χ =<br />
Eh sin 2 �<br />
(2 + µ) cos<br />
ϕ<br />
2 ϕ − 1<br />
�<br />
− µ s<br />
2<br />
χ = p cot2 �<br />
ϕ<br />
(2 + µ)cos<br />
Eh<br />
2 ϕ − 1<br />
�<br />
− µ s<br />
2<br />
Flüssigkeitsdruck (Wichte γ)<br />
pz = ±γ [H ± s sin ϕ]<br />
ns = ∓ 1<br />
� �<br />
3H<br />
γs cosϕ ± 2s<br />
6 sin ϕ<br />
� �<br />
H<br />
nϑ = ∓γs cosϕ ± s<br />
sin ϕ<br />
∆r = ∓ γs2 cos2 �<br />
ϕ H<br />
�<br />
1 −<br />
Eh sin ϕ<br />
µ<br />
�<br />
2<br />
�<br />
± s<br />
1 − µ<br />
3<br />
χ = ± γs<br />
6Eh cot2 ϕ [9H ± 16s sinϕ]<br />
Die oberen Vorzeichen gelten für Stützböden (linkes Bild), die unteren für Hängeböden.<br />
2.2 Schale oben offen und zusätzlich mit nso am oberen Rand belastet:<br />
Eigengewicht g<br />
ns = − gs<br />
2 sin ϕ<br />
nϑ = − g cos2 ϕ<br />
sin ϕ s<br />
�<br />
1 −<br />
∆r = − gs2<br />
2Eh cotϕ<br />
χ =<br />
gs cosϕ<br />
2Eh sin 2 ϕ<br />
� � �<br />
so<br />
2 so<br />
+ nso<br />
s s<br />
�<br />
2 cos 2 �<br />
ϕ − µ 1 −<br />
�<br />
2 (2 + µ)cos 2 ϕ − 1 +<br />
� so<br />
s<br />
� so<br />
s<br />
� 2 ��<br />
� 2<br />
� �<br />
µso cosϕ<br />
− nso<br />
Eh<br />
�<br />
cotϕ so<br />
− 2µ + nso<br />
Eh s<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” Arbeitsblatt <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
A.4 Rotationsschalen mit rotationssymmetrischer Belastung/Membrantheorie<br />
Schneelast p<br />
ns = − ps<br />
2<br />
�<br />
1 −<br />
nϑ = −ps cos3 ϕ<br />
sin ϕ<br />
� � �<br />
so<br />
2 so<br />
cot ϕ + nso<br />
s<br />
s<br />
�<br />
2 cos 2 �<br />
ϕ − µ 1 −<br />
� so<br />
� 2 ��<br />
∆r = − ps2 cos2 ϕ<br />
2Eh sin ϕ<br />
s<br />
χ = ps<br />
2Eh cot2 �<br />
ϕ 2 (2 + µ)cos 2 �<br />
so<br />
ϕ − 2µ +<br />
s<br />
3. Zylinderschale:<br />
Sonderfälle:<br />
3.1 Eigengewicht g =γh und Auflast q:<br />
� 2<br />
µso cosϕ<br />
− nso<br />
Eh<br />
�<br />
cotϕ so<br />
− 1 + nso<br />
Eh s<br />
nϑ = −apz<br />
�<br />
nx = − pxdx + nx0<br />
u = 1<br />
�<br />
Eh<br />
w = a<br />
χ = a2<br />
Eh<br />
(nx − µnϑ)dx + u0<br />
Eh (nϑ − µnx)<br />
� dpz<br />
dx<br />
− µpx<br />
a<br />
nϑ = 0; nx = −γhx − q;<br />
u = 1<br />
�<br />
−γh<br />
Eh<br />
x2<br />
�<br />
− qx + u0; w =<br />
2 µa<br />
1<br />
(γhx + q); χ = −<br />
Eh Eh µγha<br />
3.2 Flüssigkeitsdruck (Wichte γ F) bei vollem Behälter :<br />
nϑ = aγFx; nx = 0;<br />
u = − 1<br />
2Eh µaγFx 2 + u0; w = 1<br />
Eh γFa 2 x; χ = − 1 2<br />
γFa<br />
Eh<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” Arbeitsblatt <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005<br />
�
Randbelastung an Rotationsschalen/Biegetheorie B.1<br />
1. Zylinderschale<br />
α =<br />
X1 = 1:<br />
� �3 (1 − µ 2 )<br />
ah<br />
; ξ = xα; ζ1 = e −ξ cosξ; ζ2 = e −ξ sin ξ; αl ≥ 4<br />
δ11 = 2a2 α<br />
Eh ; δ21 = 2a2 α 2<br />
Eh ;<br />
nϑ = 2aαζ1; mx = 1<br />
α ζ2; qx = ± (ζ1 − ζ2);<br />
w = 2a2α Eh ζ1; χ = ± 2a2α2 Eh (ζ1<br />
X2 = 1:<br />
+ ζ2) ; mϑ = µmx<br />
δ12 = 2a2 α 2<br />
Eh ; δ22 = 4a2 α 3<br />
Eh ;<br />
nϑ = 2aα 2 (ζ1 − ζ2) ; mx = (ζ1 + ζ2) ; qx = ∓2αζ2;<br />
w = 2a2 α 2<br />
Eh (ζ1 − ζ2) ; χ = ± 4a2 α 3<br />
Bemerkung:<br />
Eh ζ1; mϑ = µmx<br />
oberes Vorzeichen gilt für Lastangriff am oberen Rand,<br />
unteres Vorzeichen gilt für Lastangriff am unteren Rand.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” Arbeitsblatt <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
B.2 Randbelastung an Rotationsschalen/Biegetheorie<br />
2. Kugelschale<br />
κ =<br />
X1 = 1:<br />
�<br />
r �<br />
3 (1 − µ 2 ); ξ = κω; ζ1 = e<br />
h<br />
−ξ cosξ; ζ2 = e −ξ sin ξ; κ (ϕu − ϕo) ≥ 4<br />
δ11 = 2rκ<br />
Eh sin2 ϕ o<br />
u ; δ21 = 2κ2<br />
sin ϕ o<br />
u Eh ;<br />
nϕ = ∓ (ζ1 − ζ2) cot ϕ sinϕ o<br />
u ; nϑ = 2κζ1 sin ϕ o<br />
u ;<br />
qϕ = ± (ζ1 − ζ2) sin ϕ o<br />
u ; mϕ = r<br />
κ ζ2 sin ϕ o<br />
u ; mϑ ≈ µmϕ;<br />
∆r = 2rκ<br />
Eh ζ1 sin ϕ sin ϕ o<br />
u<br />
X2 = 1:<br />
δ12 = 2κ2<br />
Eh<br />
; χ = ±2κ2<br />
Eh (ζ1 + ζ2) sin ϕ o<br />
u .<br />
sin ϕ o<br />
u ; δ22 = 4κ3<br />
Ehr ;<br />
nϕ = ± 2κ<br />
r ζ2 cotϕ; nϑ = 2κ2<br />
r (ζ1 − ζ2) ;<br />
qϕ = ∓ 2κ<br />
r ζ2; mϕ = (ζ1 + ζ2); mϑ ≈ µmϕ;<br />
∆r = 2κ2<br />
Eh (ζ1 − ζ2) sin ϕ; χ = ± 4κ3<br />
Ehr ζ1.<br />
Bemerkung:<br />
Oberer Rand (ϕo): obere Vorzeichen,<br />
Unterer Rand (ϕu): untere Vorzeichen.<br />
Für ϕo < 20 ◦ , ϕu < 20 ◦ wird das Ergebnis ungenau.<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” Arbeitsblatt <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005
Randbelastung an Rotationsschalen/Biegetheorie B.3<br />
3. Kegelschale<br />
αo =<br />
�<br />
tanϕ �<br />
3 (1 − µ 2 ); αu =<br />
soh<br />
ζ o<br />
1, u = e−ξ o u cosξ o<br />
u ; ζ2, o<br />
u = e−ξ o u sin ξ o<br />
u<br />
X1 = 1 am oberen Rand:<br />
�<br />
tanϕ �<br />
3 (1 − µ 2 ); ξo = αos1; ξu = αus2<br />
suh<br />
; B =<br />
δ11 = 2s2o Eh αo cos 2 ϕ; δ12 = 1<br />
2Bα2 sin ϕ;<br />
o<br />
Eh 3<br />
12 (1 − µ 2 ) ; αu(su − so) ≥ 4<br />
ns = − (ζ1,o − ζ2,o)cosϕ; nϑ = (2sαoζ1,o − ζ1,o + ζ2,o)cosϕ;<br />
qs = (ζ1,o − ζ2,o) sin ϕ; ms = 1<br />
ζ2,o sin ϕ; mϑ ≈ µms;<br />
αo<br />
∆r = 2s2<br />
Eh αoζ1,o cos 2 ϕ; χ = 1<br />
X2 = 1 am oberen Rand:<br />
δ12 = 1<br />
2Bα2 sin ϕ; δ22 =<br />
o<br />
1<br />
;<br />
Bαo<br />
2Bα2 (ζ1,o + ζ2,o) sin ϕ.<br />
o<br />
ns = 2αoζ2,o cotϕ; nϑ = 2αo cot ϕ [sαo (ζ1,o − ζ2,o) + ζ2,o] ;<br />
qs = −2αoζ2,o; ms = ζ1,o + ζ2,o; mϑ ≈ µms;<br />
∆r = 2s2 α 2 o<br />
Eh<br />
cos 2 ϕ<br />
sin ϕ (ζ1,o − ζ2,o); χ = 1<br />
Bαo<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” Arbeitsblatt <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005<br />
ζ1,o.
B.4 Randbelastung an Rotationsschalen/Biegetheorie<br />
X1 = 1 am unteren Rand:<br />
δ11 = 2s2 u<br />
Eh αu cos 2 ϕ; δ21 = 1<br />
2Bα2 sin ϕ;<br />
u<br />
ns = (ζ1,u − ζ2,u)cos ϕ; nϑ = (2sαuζ1,u + ζ1,u − ζ2,u)cos ϕ;<br />
qs = − (ζ1,u − ζ2,u)sin ϕ; ms = 1<br />
αu<br />
∆r = 2s2<br />
Eh αuζ1,u cos 2 ϕ; χ = − 1<br />
X2 = 1 am unteren Rand:<br />
δ12 = 1<br />
2Bα2 sin ϕ; δ22 =<br />
u<br />
1<br />
;<br />
Bαu<br />
ζ2,u sin ϕ; mϑ ≈ µms;<br />
2Bα2 (ζ1,u + ζ2,u) sin ϕ.<br />
u<br />
ns = −2αuζ2,u cot ϕ; nϑ = 2αu cot ϕ [sαu (ζ1,u − ζ2,u) − ζ2,u];<br />
qs = 2αuζ2,u; ms = ζ1,u + ζ2,u; mϑ ≈ µms;<br />
∆r = 2s2 α 2 u<br />
Eh<br />
cos 2 ϕ<br />
sin ϕ (ζ1,u − ζ2,u); χ = − 1<br />
Für ϕ < 50 ◦ wird das Ergebnis ungenau.<br />
4. Die Funktionen ζ1, ζ2, ζ1 + ζ2, ζ1 − ζ2<br />
Bαu<br />
TU <strong>Dresden</strong>, BIW Skript: ” Arbeitsblatt <strong>Schalentragwerke</strong>“ Stand 2/2005<br />
ζ1,u.