Zur Beanspruchung stabilisierender Konstruktionen im Stahlbau

Manuel Krahwinkel,
Detmold
Zur Beanspruchung stabilisierender Konstruktionen
im Stahlbau
Technisch-wissenschaftliche Mitteilungen
Institut für Konstruktiven Ingenieurbau
Ruhr-Universität Bochum

Doktorarbeit eingereicht am: 28. November 2000
Tag der mündlichen Prüfung: 31. Januar 2001
Berichter:
Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann, Ruhr-Universität Bochum
Prof. Dr.-Ing. H.-J. Niemann, Ruhr-Universität Bochum

Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 1996 – 2000 während meiner Tätigkeit
als Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Konstruktiven Ingenieurbau der
Ruhr-Universität Bochum. Sie wurde von der Fakultät für Bauingenieurwesen als
Dissertation angenommen.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Professor Dr.-Ing. R. Kindmann für die
Unterstützung dieser Arbeit und für die Übernahme des Referates.
Herrn Prof. Dr.-Ing. H.-J. Niemann danke ich herzlich für die Übernahme des
Koreferates.
Weiterhin gilt mein Dank allen Kollegen für die schöne gemeinsame Zeit am
Lehrstuhl für Stahl- und Verbundbau.
Februar 2001 Manuel Krahwinkel
III

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung ...................................................................................................... 1
1.1 Problemstellung und Zielsetzung ................................................................... 1
1.2 Allgemeine Annahmen und Voraussetzungen................................................ 5
2 Stand der Forschung ....................................................................................... 6
2.1 Nachweis ausgesteifter biegedrillknickgefährdeter Träger ............................ 6
2.2 Nachweis von Stabilisierungskonstruktionen ................................................. 9
2.2.1 Berechnung von Stabilisierungslasten im Holzbau ........................................ 9
2.2.2 Berechnung von Stabilisierungslasten im Stahlbau ........................................ 10
2.2.3 Stabilisierungslasten von Trägern mit diskreten seitlichen Abstützungen ..... 16
3 Grundlagen der verwendeten Rechenprogramme............................................ 26
3.1 Programm BT II .............................................................................................. 26
3.2 Programm DRILL ........................................................................................... 30
4 Matrizenverfahren für Träger mit kontinuierlicher seitlicher Stützung .......... 33
5 Ingenieurmodell für Stabilisierungslasten beim Biegetorsionsproblem ......... 38
5.1 Vorbemerkungen............................................................................................. 38
5.2 Herleitung des Ersatzbelastungsverfahrens – Biegedrillknicken EBV-BDK . 38
5.3 Verifikation des EBV-BDK ............................................................................ 48
6 Stabilisierungslasten von Trägern mit gebundener Drehachse ....................... 54
6.1 Belastung durch Streckentorsionsmomente mx ............................................... 54
6.1.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 54
6.1.2 Einfluß der Lastabtragung durch Wölbkrafttorsion auf die
Trägerverformungen nach Theorie I. Ordnung ............................................... 55
6.1.3 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem EBV-BDK ........................... 56
6.1.4 Einfluß der Lastabtragung durch Wölbkrafttorsion auf die
Stabilisierungslasten ....................................................................................... 58
V

VI
6.2 Belastung durch konstante Schnittgrößen N und My....................................... 61
6.2.1 Lösung der Differentialgleichung bei sinusförmiger Vorkrümmung ............. 61
6.2.2 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem EBV-BDK ........................... 65
6.2.3 Stabilisierungslasten bei Normalkraftbeanspruchung .................................... 66
6.2.4 Stabilisierungslasten bei Biegemomentenbeanspruchung .............................. 69
6.2.5 Stabilisierungslasten bei unterbundener Torsionsverdrehung ........................ 71
6.2.6 Vorverdrehung als Imperfektionsannahme ..................................................... 72
6.2.7 Eigenformaffine Vorkrümmung als Imperfektionsannahme .......................... 80
6.3 Belastung durch veränderliche Schnittgrößen ................................................ 85
6.3.1 Matrizenverfahren für Träger mit gebundener Drehachse ............................. 85
6.3.1.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 85
6.3.1.2 Steifigkeitsmatrizen und Latvektoren zur Berechnung der
Trägerverformung ........................................................................................... 85
6.3.1.3 Beanspruchung der seitlichen Halterung ........................................................ 92
6.3.1.4 Vergleich mit FEM-Berechnungen ................................................................. 96
6.3.1.5 Berücksichtigung der Nachgiebigkeit der seitlichen Halterung ..................... 100
6.3.2 Einflußparameter für Stabilisierungslasten ..................................................... 107
6.3.2.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 107
6.3.2.2 Untersuchte Parameter .................................................................................... 107
6.3.2.3 Variation der Schnittgrößenverläufe ............................................................... 109
6.3.2.4 Variation der Trägerschlankheit und der Drehbettung ................................... 115
6.3.2.5 Variation des Verlaufs der Vorkrümmung .................................................... 122
6.3.3 Näherungsformeln für symmetrische Lastfälle ............................................... 127
7 Stabilisierungslasten von Trägern mit diskreten seitlichen Abstützungen ..... 134
7.1 Modellannahmen für aussteifende Verbände ................................................. 134
7.1.1 Verformungsverhalten von Fachwerkträgern ................................................. 134
7.1.2 Verbandsmodell 1: Schubfeld mit Schubsteifigkeit S* .................................. 137
7.1.3 Verbandsmodell 2: Einzelfedern Cy ................................................................ 137
7.1.4 Verbandsmodell 3: Diskrete Stützung gegen Seil mit Zugkraft S* ................ 138

7.2 Matrizenverfahren für Träger mit diskreten seitlichen Abstützungen ............ 140
7.2.1 Verbandsmodell 2: Einzelfedern Cy ................................................................ 140
7.2.2 Verbandsmodell 3: Diskrete Stützung gegen Seil mit Zugkraft S* ................ 145
7.3 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die Trägerverformungen und
Stabilisierungslasten ....................................................................................... 149
7.3.1 Auswahl der untersuchten Systeme ................................................................ 149
7.3.2 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die Trägerverformungen ......... 152
7.3.3 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die Stabilisierungslasten ......... 156
8 Beispiel zur Bemessung eines Dachverbandes................................................ 161
9 Zusammenfassung .......................................................................................... 168
Anhang............................................................................................................. 171
Literaturverzeichnis......................................................................................... 173
VII

VIII
Bezeichnungen
An dieser Stelle werden die wichtigsten, in der vorliegenden Arbeit verwendeten
Formelzeichen und Definitionen angegeben. Weitere Variablen werden bei ihrer
erstmaligen Nennung erläutert.
S Schwerpunkt
M Schubmittelpunkt
x Stabachse
y, z Hauptachsen des Querschnitts
� Verdrehung der Stabachse
v, w Verschiebung in Richtung y, z
�y, �z Verdrehung um Achse y, z
�0
v0, w0
vOG, vUG
Vorverdrehung der Stabachse
Vorverformung in Richtung y, z
Verschiebung von Obergurt, Untergurt in Richtung y
E Elastizitätsmodul
G Schubmodul
L Stützweite
h, b Höhe, Breite des Querschnitts
Abstand der Gurtmittelpunkte
hS
A Querschnittsfläche
Iy, Iz Trägheitsmoment um Achse y, z
IT St. Venant’scher Torsionswiderstand
I� Wölbwiderstand
2 Iy
� Iz
ip
� Polarer Trägheitsradius
A
c� Drehbettung um die Stabachse
cy Streckenwegfeder in Richtung y
Cy Einzelwegfeder in Richtung y
S* Schubfeldsteifigkeit
mx
qy, qz
Py, Pz
Streckentorsionsmoment
Streckenlasten in Richtung y, z
Einzellasten in Richtung y, z
N Normalkraft, als Zugkraft positiv
Vy, Vz Querkraft in Richtung y, z
Biegemoment um Achse y, z
My, Mz

NGurt Gurtnormalkraft, als Druckkraft positivqS Stabilisierungslast bei
kontinuierlicher Stützung in Richtung y
FS Stabilisierungslast bei diskreter Stützung in Richtung y
Querkraft in der Stabilisierungskonstruktion infolge Stabilisierungslast
QS
n Anzahl Verbandsfelder
�T Stabkennzahl für Torsion
�Ki Verzweigungslastfaktor
�M Teilsicherheitsbeiwert der Widerstandsgrößen
x
� �
L
Dimensionslose x-Koordinate
Indizes
m Feldmitte
Ki Verzweigungslast
OG Obergurt
UG Untergurt
0 Vorverformung
Sinus Sinusförmiger Verlauf
Parabel Parabelförmiger Verlauf
e� elastisch
p� plastisch
d Bemessungswert
IX

X
Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit behandelt die Stabilisierungslasten seitlich gestützter,
vorverformter Träger nach der Biegetorsionstheorie II. Ordnung. Unter dem Begriff
Stabilisierungslasten werden die Kräfte verstanden, die von einer Stabilisierungskonstruktion
auf einen biegedrillknickgefährdeten Träger übertragen werden. Sie
wirken auf die Stabilisierungskonstruktion belastend und auf den Träger stützend.
Es wird ein Ingenieurmodell für die Berechnung der Stabilisierungslasten von
biegedrillknickgefährdeten Trägern mit unverschieblicher oder nachgiebiger
kontinuierlicher oder diskreter seitlicher Stützung angegeben. Die Einflüsse aus der
Art der seitlichen Stützung, der planmäßigen Belastung, den geometrischen
Ersatzimperfektionen und der Drehbettung des stabilisierten Trägers auf die
Stabilisierungslasten werden untersucht und Anwendungsgrenzen praxisüblicher
Näherungslösungen aufgezeigt.

1 Einführung
1.1 Problemstellung und Zielsetzung
Die Tragfähigkeit von schlanken Stäben mit teilweise oder vollständig gedrücktem
Querschnitt wird durch die Möglichkeit der räumlichen Verformung beeinflußt. Die
geltenden technischen Vorschriften zur Bemessung von Stahlbauten unterscheiden
zwischen verschiedenen Formen des Stabilitätsversagens. Als Biegedrillknicken wird
in Abgrenzung zum Biegeknicken die Instabilität eines Stabes bezeichnet, bei der
zusätzlich zum Ausweichen in Richtung der Hauptachsen des Querschnitts auch eine
Verdrehung um die Stablängsachse auftritt. In Analogie zum Biegeknicken von
Stäben mit reiner Normalkraftbeanspruchung kann das Biegedrillknicken von biegebeanspruchten
Trägern vereinfachend mit dem seitlichen Ausweichen des gedrückten
Trägergurtes erkärt werden. Bild 1.1 zeigt die Verformungen eines biegebeanspruchten
Trägers, die mit dem Stabilitätsversagen Biegedrillknicken identifiziert
werden. Das seitliche Ausweichen des gedrückten Obergurtes bewirkt eine Verschiebung
v und eine Verdrehung � der Stabachse.
Bild 1.1 Mechanisches Modell für Stabilisierungskonstruktionen zur Behinderung der
Verformungen v und �
Die Biegedrillknickgefährdung von Stabtragwerken wird durch eine Vielzahl von
Parametern beeinflußt:
� Biegesteifigkeit und Torsionssteifigkeit
� Lagerungsbedingungen
� Planmäßige Belastung durch Querlasten, Biegemomente, Normalkräfte und
Torsion
� Abstand des Lastangriffspunktes von Querlasten zum Schubmittelpunkt
� Geometrische und strukturelle Imperfektionen
� Behinderung der Verschiebung v und der Verdrehung � durch Stabilisierungskonstruktionen
1

2
Der Begriff Stabilisierungskonstruktion wird für angrenzende Bauteile verwendet,
welche die Verformungen v und � eines biegedrillknickgefährdeten Trägers behindern.
Der Nachweis ausreichender Tragsicherheit für das Gesamtsystem aus stabilisiertem
Träger und stabilisierender Konstruktion erfolgt in der Regel durch eine
getrennte Berechnung der beiden Teilsysteme. Die aussteifende Wirkung der Stabilisierungskonstruktion
kann bei der Berechnung des stabilisierten Trägers durch den
Ansatz von Schubfeldsteifigkeiten S*, Streckenwegfedern cy, Einzelwegfedern Cy,
Streckendrehfedern c� oder Einzeldrehfedern C� gemäß Bild 1.1 berücksichtigt
werden.
Bild 1.2 Beispiele für Stabilisierungskonstruktionen
Bild 1.2 zeigt vier Beispiele für Stabilisierungskonstruktionen. Die Stahlbetonscheibe
gemäß Bild 1.2a wirkt aufgrund ihrer sehr großen Steifigkeit in Scheibenebene als
unverschiebliche seitliche Halterung der Stahlträger am Obergurt. Zusätzlich ergibt
sich durch die Biegesteifigkeit der Stahlbetonscheibe als Platte eine kontinuierliche
Drehbettung c� mit großer Steifigkeit.
Das in Bild 1.2b dargestellte Stahltrapezprofil stützt als Schubfeld mit Schubsteifigkeit
S* kontinuierlich den Obergurt der biegedrillknickgefährdeten Träger und
wirkt gleichzeitig als Drehbettung c� mit geringer Steifigkeit, welche durch die
lokalen Verformungen des Stahltrapezprofiles im Bereich der Verbindungsmittel
begrenzt wird.

Bild 1.2c zeigt gestapelte Trägerlagen von Haupt- und Nebenträgern, die am Stabende
horizontal unverschieblich gelagert sind. Vernachlässigt man Normalkraftverformungen
der Nebenträger, dann stellen sie unverschiebliche diskrete seitliche
Stützungen am Obergurt der Hauptträger dar. Durch die Biegesteifigkeit der
Nebenträger ergibt sich zusätzlich eine Behinderung der Torsionsverdrehung der
Hauptträger in Form von Einzeldrehfedern C�.
Der in Bild 1.2d dargestellte Verband wird als horizontal liegender Fachwerkträger
durch die Obergurte der stabilisierten Träger und zusätzliche Fachwerkstäbe in Form
von Druckpfosten und Zugdiagonalen gebildet. Durch die Steifigkeit des Fachwerkträgers
in der Verbandsebene wird die seitliche Verschiebung der stabilisierten Träger
in den diskreten Knotenpunkten des Verbandes elastisch behindert. Die aussteifende
Wirkung eines Verbandes ist kompliziert und kann weder durch ein kontinuierliches
Schubfeld noch durch diskrete Einzelwegfedern Cy als statisches Modell richtig
beschrieben werden. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird deshalb die Eignung
verschiedener Modellannahmen für die Abbildung aussteifender Verbände untersucht.
Um die aussteifende Wirkung einer Stabilisierungskonstruktion für den Tragsicherheitsnachweis
der stabilisierten Bauteile in Rechnung stellen zu können, ist es
erforderlich, eine sichere Aufnahme der auftretenden Stabilisierungslasten durch die
stabilisierende Konstruktion nachzuweisen. Unter dem Begriff Stabilisierungslasten
werden die Kräfte verstanden, die von der Stabilisierungskonstruktion auf den
biegedrillknickgefährdeten Träger übertragen werden. Sie wirken auf die stabilisierende
Konstruktion belastend und auf den Träger stützend.
Stabilisierungslast
Stabilisierungskonstruktion
mit Biegesteifigkeit EI*
Stabilisierter Trägergurt
mit Biegesteifigkeit EIz = 0
Vorkrümmung
Bild 1.3 Druckstabmodell zur Berechnung von Stabilisierungslasten nach Gerold [27]
3

4
Die Berechnung von Stabilisierungslasten zur Bemessung von stabilisierenden
Konstruktionen erfolgt in der Baupraxis fast ausschließlich mit Näherungsverfahren,
welche den Druckgurt von biegedrillknickgefährdeten Trägern isoliert vom restlichen
Querschnitt als kontinuierlich gestützten Druckstab mit konstanter Normalkraft
behandeln. Bild 1.3 zeigt das statische Modell zur Berechnung von Stabilisierungslasten
nach Gerold [27], welches diese Vorgehensweise veranschaulicht.
Durch die Vereinfachung des tatsächlich vorhandenen räumlichen Biegetorsionsproblems
auf das Druckstabmodell gemäß Bild 1.3 werden eine Vielzahl von
Einflußparametern vernachlässigt:
� Torsionssteifigkeit des stabilisierten Trägers
� Drehbettung des Trägers durch angrenzende Bauteile
� Verlauf des Biegemoments My (x)
� Verlauf und Größe der Querkraft Vz (x)
� Angriffspunkt im Querschnitt und Größe von Querlasten qz
� Exzentrizität zwischen einer im Schwerpunkt wirkenden Normalkraft N und der
Ebene der seitlichen Stützung in Höhe des Trägergurtes
� Verformungen v und � bei seitlicher Stützung in diskreten Punkten
Bei Trägern mit seitlicher Stützung am Obergurt und Belastung durch negative
Biegemomente ist der Zuggurt und nicht der Druckgurt seitlich gehalten. In diesen
Fällen kann das Druckstabmodell offensichtlich nicht zu richtigen Ergebnissen führen.
In mehreren Veröffentlichungen, die sich mit dem Nachweis ausgesteifter biegedrillknickgefährdeter
Träger befassen, wird festgestellt, daß ein Wissensdefizit bzgl. der
Beanspruchung von Stabilisierungskonstruktionen für biegebeanspruchte Bauteile
besteht. Stellvertretend seien hier Wang und Nethercot [105] zitiert:
„The problem of bracing effect is by no means well understood, especially the
determination of bracing strength requirements for design. In the field of
multiple bracing, very little work has been done. Therefore, there is a gap between
the understanding of the action of bracing and the use of bracing in
practice.”
Die Zielsetzung der vorliegenden Arbeit leitet sich aus dem sehr beschränkten Wissen
über das Tragverhalten von seitlich durch Verbände in diskreten Punkten gestützten
Trägern und aus dem Fehlen eines einfachen Modells bzw. Berechnungsverfahrens
für die Ermittlung der beim räumlichen Biegetorsionsproblem auftretenden
Stabilisierungslasten ab. Im Einzelnen können drei Ziele formuliert werden:

� Entwicklung eines Ingenieurmodells zur anschaulichen Beschreibung und
Berechnung der Stabilisierungslasten beim Biegetorsionsproblem nach Theorie II.
Ordnung mit Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion
� Untersuchung der Einflußparameter für Stabilisierungslasten beim Biegetorsionsproblem,
Analyse der auftretenden Effekte und Phänomene, um die Ergebnisse
von Programmberechnungen interpretieren zu können, und Überprüfung des
Näherungscharakters des Druckstabmodells nach Gerold im Hinblick auf eine
sichere und wirtschaftliche Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen
� Herleitung von Rechenverfahren oder Näherungsformeln auf der Grundlage des
räumlichen Biegetorsionsproblems, mit denen die Beanspruchung sowohl von
kontinuierlichen als auch von diskreten Stabilisierungskonstruktionen wie z.B.
Dachverbänden im Hallenbau ermittelt werden kann
1.2 Allgemeine Annahmen und Voraussetzungen
Für alle Herleitungen in der vorliegenden Arbeit gelten die folgenden Annahmen und
Voraussetzungen:
� Das Hook’sche Gesetz gilt uneingeschränkt bei der Berechnung der Schnittgrößen.
� Es werden nur doppeltsymmetrische, offene, dünnwandige Querschnitte
behandelt.
� Die Querschnitte sind so dünnwandig, daß die Verwölbung infolge Torsion
näherungsweise durch die Verwölbung der Profilmittellinie ersetzt werden kann.
� Die Belastungen behalten bei der Verformung des Stabes ihre ursprüngliche
Richtung bei, d.h. sie sind richtungstreu.
� Die Querschnittsform bleibt auch bei Verformung des Stabes erhalten.
� Örtliche Instabilität (Beulen) ist ausgeschlossen.
� Sämtliche Verformungen sind klein im Sinne der Gültigkeit der technischen
Biegelehre.
� Der Einfluß der Schubspannungen aus Querkraft (Bernoulli-Hypothese) und der
Einfluß der sekundären Schubspannungen aus Wölbkrafttorsion (Wagner-
Hypothese) auf die Verformungen des Stabes werden vernachlässigt.
� Die Lagerung der Träger wird als Gabellager ausgeführt.
5

6
2 Stand der Forschung
2.1 Nachweis ausgesteifter biegedrillknickgefährdeter Träger
Die Ausführung von abstützenden Bauteilen hat wesentlichen Einfluß auf das
Verformungsverhalten und die Tragfähigkeit von Stäben und Stabwerken. Die
Berücksichtigung aussteifender Bauteile beim Nachweis ausreichender Tragfähigkeit
von schlanken Trägern ist daher für eine wirtschaftliche Bemessung von zentraler
Bedeutung. Zahlreiche Forschungsvorhaben haben sich in der Vergangenheit mit der
Erfassung von Lagerungsbedingungen und Aussteifungen bei der Berechnung der
Traglasten räumlich beanspruchter Stabwerke befaßt. Aus diesen Untersuchungen
lassen sich Aussagen über die erforderliche Steifigkeit von Stabilisierungskonstruktionen
ableiten, um ein Stabilitätsversagen des ausgesteiften Trägers zu
verhindern. Im Folgenden soll ein kurzer Überblick über wichtige veröffentlichte
Erkenntnisse gegeben werden.
Klöppel/Unger [40] berechnen Verzweigungslasten durch numerische Integration der
Differentialgleichung des Biegetorsionsproblems mit Hilfe des Runge-Kutta-
Verfahrens. Sie untersuchen Zweifeldträger mit Gleichstreckenlast, Drehbettung c�
und Wegfederbettung cy am Obergurt. Die Steifigkeit der Bettungen wird in einer
Parameterstudie variert und führt zu folgenden qualitativen Aussagen:
� Eine Drehbettung c� ist wirksamer für die Erhöhung der Verzweigungslast, als eine
Wegfederbettung cy.
� Die Verzweigungslast steigt im Bereich geringer Steifigkeit der Wegfederbettung cy
stark an und geht dann asymptotisch gegen den Grenzwert für eine gebundene Dreh-
achse.
Fischer [18] ermittelt theoretisch und experimentell die Traglasten von Trägern, die
auf dem Oberflansch durch starre Bauteile wie Leichtbetonplatten oder Gitterroste
belastet werden. Anders als bei einer Drehbettung c�, bei welcher der Widerstand mit
wachsendem Drehwinkel � ansteigt, ist bei frei aufliegenden biegestarren lastübertragenden
Bauteilen die rückstellende Wirkung durch Auswandern der Last auf die
Flanschkante sofort bei einer Verdrehung voll wirksam. Die Traglast solcher Träger
ist aufgrund des rückdrehenden Momentes aus der Auflast auf der Flanschkante
größer als die ideale Verzweigungslast bei ortsfester Auflast in der Stegebene. Durch
das Auftreten von Seitenlasten oder exzentrischen Lasteinleitungen aufgrund von
Plattenfugen ergeben sich kleinere Traglasten.
Lindner [46] leitet mit Hilfe des elastischen Potentials eines vorverdrehten Stabes mit
Drehbettung Formeln für die Mindestdrehbettung c�, die einen Biegedrillknicknachweis
überflüssig macht, und Formeln für die Anschlußmomente zwischen Träger
und Drehbettung her. Es werden auch Überlegungen zur Größe der anzusetzenden
Vorverdrehung angestellt.

Fischer [19] gibt ebenfalls auf der Grundlage des elastischen Potentials Gleichungen
an, mit denen die Mindeststeifigkeit einer seitlichen Wegfederbettung cy berechnet
werden kann, so daß 95% der idealen Verzweigungslast bei gebundener Drehachse
erreicht werden.
Oxford [79] berechnet die Traglasten von Durchlaufträgern, die durch ein Schubfeld
am Obergurt und eine Drehbettung ausgesteift werden. Er wendet das Ritz-Verfahren
mit eingliedrigen Sinus-Ansätzen für die Verformungen auf das elastische Potential an
und berücksichtigt Vorverdrehungen und Vorkrümmungen als Imperfektionen. In [79]
finden sich auch Überlegungen zur Verminderung der Steifigkeit der Drehbettung
infolge Anschlußnachgiebigkeit bei Überschreitung des Kontaktmomentes.
Lindner/Schmidt [51] untersuchen experimentell die Traglasten von Systemen aus
rechtwinklig zueinander angeordneten Trägern, wobei der lastbringende Träger auf
den Obergurten der stabilitätsgefährdeten lastabnehmenden Träger aufgelagert ist. In
Anlehnung an Oxford [78] werden Formeln für die Anschlußnachgiebigkeit zwischen
den Trägerlagen angegeben. Die erfassten Einflüsse sind die Torsionssteifigkeit des
Obergurtes und die Querbiegesteifigkeit des Steges des lastabnehmenden Trägers.
Lindner/Gietzelt [52] untersuchen das Biegedrillknicken von Einfeldträgern mit
angeschweißten Stirnplatten an den Trägerenden. Sie berechnen Traglasten sowohl
mit einem räumlichen Stabwerksprogramm und Berücksichtigung von Wölbfedern an
beiden Stabenden, als auch mit einem FEM-Programm unter Verwendung von
Plattenelementen. Für baupraktisch relevante Schlankheiten wird die Stabrechnung als
ausreichend genau bezeichnet. Es werden Näherungslösungen für die Berechnung des
idealen Biegedrillknickmomentes unter Berücksichtigung der Wölbfedern angegeben.
Die Traglaststeigerung gegenüber Trägern ohne Stirnplatten ist in allen Fällen kleiner
als 20%.
In [54] und [55] machen Lindner/Stickel aus theoretischen und experimentellen
Untersuchungen abgeleitete Angaben zu den Traglasten von Bühnenträgern, die durch
die Schubsteifigkeit von Gitterrosten mit Klemmbefestigungen am Obergurt ausgesteift
werden.
In [56] und [57] stellt Lindner theoretische Überlegungen zur Stabilisierung von
Trägern durch die Drehbettung aufliegender Trapezprofile an. Die Gleichungen 7 bis
11 und die Tabelle 7 der DIN 18800 Teil 2 [1] gehen auf zusätzliche experimentelle
Untersuchungen zur Größe der ansetzbaren Drehbettung zurück.
Lindner/Groeschel [62] erweitern die Drehbettungswerte für Trapezprofile aus DIN
18800 Teil 2 [1] für die Befestigung mit Setzbolzen und die Berücksichtigung von
unterschiedlich großen Auflasten. Die aus Versuchen gewonnenen Formeln für die
Anschlußnachgiebigkeit sind leicht modifiziert auch in den Normkommentar [63] eingegangen.
Eine völlige Vernachlässigung der Anschlußnachgiebigkeit bis zum Erreichen
des Kontaktmomentes, wie in [75], [76], und [103] vorgeschlagen, wird in [63]
abgelehnt.
7

8
Krenk/Damkilde [43] untersuchen den Einfluß der konstruktiven Ausbildung der
Rahmenecken zwischen Riegel und Stielen auf die Traglast von Zweigelenkrahmen
im Hallenbau. Sie erweitern die klassische Theorie für dünnwandige Träger mit drei
Freiheitsgraden für Verschiebungen, drei Freiheitsgraden für Verdrehungen und
einem Freiheitsgrad für die Querschnittsverwölbung um einen weiteren Freiheitsgrad
für die Querschnittsdeformation infolge Stegbiegung und Gurttorsion.
Heil [31] führt Traglastberechnungen mit finiten Stabelementen an Einfeld- und
Durchlaufträgern mit Schubfeldern am Obergurt durch. Er leitet eine Formel für die
erforderliche Schubsteifigkeit her, so daß 95% der Traglast nach Theorie I. Ordnung
beim Einfeldträger erreicht werden. Für Durchlaufträger mit negativen Stützmomenten
ermittelt er die zusätzlich erforderliche Drehbettung der Träger.
Hanswille/Lindner/Münich [30] geben Näherungsformeln zur Berechnung des idealen
Biegedrillknickmomentes von Trägern mit gebundener Drehachse und Drehbettung
an. Zur Herleitung der Formeln wird die Analogie zwischen der Differentialgleichung
für das Biegetorsionsproblem mit gebundener Drehachse und Drehbettung und der
Differentialgleichung für den Druckstab mit elastischer Bettung verwendet.
Parvizinia [80] leitet Näherungsformeln für die Berechnung des idealen Biegedrillknickmomentes
von Trägern mit diskreten seitlichen Abstützungen aus genauen
Berechnungen nach der FE-Methode ab. Von Reyer/Stojic [83] liegen vergleichbare
Untersuchungen zum Stabilitätsversagen von diskret am Obergurt gestützten
Brettschichtholzträgern vor.
Die oben genannten Veröffentlichungen behandeln die Auswirkung verschiedenartiger
Stabilisierungskonstruktionen auf das Verformungsverhalten, auf die unplanmäßige
Beanspruchung und damit auf die Traglasten von biegedrillknickgefährdeten
Trägern. Im Mittelpunkt des Interesses steht dabei die Bemessung des ausgesteiften
Trägers mit der Fragestellung: „Wie wirkt sich die Steifigkeit der Stabilisierungskonstruktion
auf die Traglast des stabilisierten Trägers aus?“
Die Frage nach der Beanspruchung der Stabilisierungskonstruktion wird in der Regel
nicht beantwortet. Ein Grund für das fehlende Wissen über Stabilisierungslasten
biegedrillknickgefährdeter Träger ist sicher die Tatsache, daß in der Vergangenheit
überwiegend das Verzweigungsproblem von ideal geraden Trägern untersucht wurde.
Stabilisierungslasten lassen sich aber nur durch Berechnungen nach Theorie II. Ordnung
am imperfekten System ermitteln. Dabei wirken sich die angesetzten geometrischen
Ersatzimperfektionen des ausgesteiften Trägers auf die Ergebnisse aus,
wodurch die Komplexität des Problems vergrößert wird.

2.2 Nachweis von Stabilisierungskonstruktionen
2.2.1 Berechnung von Stabilisierungslasten im Holzbau
Für den Ingenieurholzbau finden sich Angaben zur Beanspruchung von Stabilisierungskonstruktionen
in DIN 1052 [6]. Dort wird Gleichung (2.1) für die Stabilisierungslasten
von Druckgurten von Fachwerkträgern und Gleichung (2.2) für
Stabilisierungslasten von Biegeträgern mit Rechteckquerschnitt angegeben. Die im
Holzbau als qS-Lasten bezeichneten Stabilisierungslasten werden gemäß DIN 1052
vereinfachend als konstante Gleichstreckenlast zur Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen
angesetzt.
� Druckgurte von Fachwerkträgern
m � NGurt
qS =
30 � L
� Biegeträger mit Rechteckquerschnitt
m � max M
qS =
350 � L � b
mit
m = Anzahl der auszusteifenden Druckgurte bzw. Träger
NGurt = mittlere Gurtkraft
max M = maximales Biegemoment des Einzelträgers aus lotrechter Belastung
L = Stützweite der Aussteifungskonstruktion
b = Trägerbreite
Gleichung (2.1) liegen folgende Annahmen und Einschränkungen zugrunde:
(2.1)
(2.2)
� Konstante Normalkraft
� Vorkrümmung der Druckgurte sinusförmig mit Stich v0,m = L/500
� Durchbiegung der Aussteifungskonstruktion unter Gebrauchslast vorh f � L/1000
Für Gleichung (2.2) gilt:
� Die Biegeträger sind an den Enden, also im Abstand L, gabelgelagert.
� Die Trägerform ist gerade, der Querschnitt konstant.
� Der Träger ist aus Brettschichtholz.
� Trägerhöhe h � 10 · b
� Die Stützung durch die Aussteifungskonstruktion erfolgt am Druckgurt.
� Lastangriff am oberen Querschnittsrand (Greift die Querlast weiter unten an, verkleinert
sich die auftretende qS-Last).
� Vorkrümmung der Biegeträger in der Ebene der Aussteifungskonstruktion
sinusförmig mit Stich v0,m = L/500
� Durchbiegung der Aussteifungskonstruktion unter Gebrauchslast vorh f � L/1000
9

10
Die Gleichungen (2.1) und (2.2) aus DIN 1052 gelten für spezielle Konstruktionen des
Ingenieurholzbaus. Aufgrund der genannten Annahmen und Einschränkungen lassen
sie sich nicht auf Konstruktionen des Stahlbaus anwenden.
Aus Sicht des Stahlbaus sind die Forschungsarbeiten zu Stabilisierungslasten im Holzbau
aber deshalb von Bedeutung, weil qualitative Ergebnisse wie die Verteilung der
Stabilisierungslasten in Trägerlängsrichtung auch auf Stahlkonstruktionen übertragen
werden können. Bild 2.1 aus [9] zeigt verschiedene Stabilisierungslastverläufe von
Brettschichtholzträgern mit Belastung durch Gleichstreckenlast qz.
Der konstante Verlauf nach DIN 1052 ist eine Vereinfachung für die Baupraxis.
Brüninghoff [10] ermittelt einen sinusförmigen Verlauf aus der Lösung der Differentialgleichungen
für den horizontal kontinuierlich gestützten Träger. Möhler/Müller
[68], die einen Verlauf mit bereichsweise negativen Stabilisierungslasten in Auflagernähe
angeben, führen neben numerischen Berechnungen auf der Grundlage des
Ritz’schen Verfahrens auch experimentelle Untersuchungen durch. Benning [9] führt
Vergleichsberechnungen zu den Versuchen von Möhler/Müller mit einem FEM-
Programm [8] durch und bestätigt den experimentell ermittelten Verlauf der
Stabilisierungslasten gemäß Abbildung c in Bild 2.1.
Bild 2.1 Verteilung der Stabilisierungslasten von Brettschichtholzträgern mit Belastung
durch Gleichstreckenlast qz [9]
2.2.2 Berechnung von Stabilisierungslasten im Stahlbau
DIN 18800 [1] stellt als maßgebende Norm für die Bemessung von Stahlkonstruktionen
keine einfachen Formeln für die Ermittlung der Beanspruchung von
Stabilisierungskonstruktionen analog zu Gleichung (2.1) und (2.2) zur Verfügung.
Stabilisierungslasten im Stahlbau werden überwiegend nach Gerold [27] oder nach
Petersen [82] berechnet.

Das heute übliche Näherungsverfahren zur Berechnung von Stabilisierungslasten im
Stahlbau wurde 1963 von Gerold [27] veröffentlicht. Grundlage ist das in Bild 1.3
dargestellte statische Modell, welches den Obergurt von Fachwerk- oder Vollwandbiegeträgern
als seitlich kontinuierlich gestützten Druckstab mit konstanter Normalkraftverteilung
interpretiert. Die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung liefert
bei sinusförmiger Vorverformung einen sinusförmigen Verlauf der Stabilisierungslast
qs gemäß Gleichung (2.3).
2
� � � x
qs = � � � NGurt � v�0�
� � � NGurt
� v0,
m � � sin
(2.3)
2
L L
mit
NGurt = Druckkraft im Obergurt
� = Vergrößerungsfaktor Theorie II. Ordnung
L = Stützweite
v� 0�
= Vorkrümmung
v0,m = L/500 = Stich der Vorverformung
Gerold zeigt in [28], daß bei stabilisierenden Verbänden die Nachgiebigkeit der Füllstabanschlüsse
infolge Schraubenschlupf für übliche Dachverbände im Stahlhallenbau
durch den Stich der angegebenen geometrischen Ersatzimperfektion mit abgedeckt
wird. Den Vergrößerungsfaktor � zur Berücksichtigung der Effekte aus Theorie II.
Ordnung berechnet er am Modell des Druckstabes mit Gleichung (2.4).
1
� �
(2.4)
N
1�
mit
Gurt
*
NKi
2 * 2 2
* � � EI � � EI / L
N Ki � � � S
2
2
L � � EI
1�
2 *
L �S
*
*
N Ki = Verzweigungslast des Verbandes als Knickstab
EI = Biegesteifigkeit des Verbandes
S * = Schubsteifigkeit des Verbandes
EI * = Biegesteifigkeit des Verbandes unter Berücksichtigung der Schubweichheit
Petersen [82] modifiziert das Verfahren von Gerold, indem er die Vorverformung
parabelförmig annimmt, woraus eine konstante Krümmung und damit eine Gleichstreckenlast
als Stabilisierungslast entstehen. Die Lösung wird von ihm derart aufbereitet,
daß Einzelkräfte aus Stabilisierung an diskreten Stützstellen berechnet werden
können. Die Normalkraft NGurt in Gleichung (2.3) wird von Petersen parabelförmig
entsprechend dem Momentenverlauf am Einfeldträger angesetzt. Daraus resultieren
11

12
bei seiner Lösung kleinere Stabilisierungslasten als bei Annahme einer konstanten
Normalkraftverteilung. Modellvorstellung für die Berechnung des Vergrößerungsfaktors
� für Theorie II. Ordnung bleibt aber auch bei ihm der gelenkig gelagerte
Druckstab mit der Ersatzbiegesteifigkeit EI * .
Die Tatsache, daß das Verfahren von Gerold der heutige Stand der Technik bei der
Bemessung von aussteifenden Verbänden ist, manifestiert sich im aktuellen Stand der
Normung. Nach Eurocode 3 [2], Abschnitt 5.2.4.4, dürfen Stabilisierungslasten als
wirkungsäquivalente Gleichlasten anstelle einer Vorverformung v0 mit Stich
v0,m = kr · L/500 (2.5)
mit
kr = Abminderungsfaktor zur Berücksichtigung der Anzahl der am Ausweichen
gehinderten Bauteile
angesetzt werden.
Der Vergrößerungsfaktor � ist implizit im Formelwerk des EC 3 enthalten, indem die
Verformung in der Ebene des aussteifenden Systems infolge von Stabilisierungslast
plus allen übrigen äußeren Lasten berechnet wird. Die Berechnung der für das Druckstabmodell
benötigten Druckkraft
M
NGurt = (2.6)
h
mit
M = Maximalmoment des ausgesteiften Biegeträgers
h = Trägerhöhe
ist nach [2] ausdrücklich gestattet.
Im Kommentar zu DIN 18800 [63] wird ebenfalls der Vergrößerungsfaktor � gemäß
Gleichung (2.4) verwendet, um Stabilisierungslasten als Gleichlast aus einer konstanten
Krümmung des Verbandes zu berechnen. Als Vorverformung ist nach [63]
Abschnitt 3.7 eine Vorverdrehung �0 oder alternativ auch eine Vorkrümmung v0
gemäß Bild 2.2 anzusetzen.
Bild 2.2 Ersatzimperfektion zur Berechnung von Aussteifungskonstruktionen nach [63]

�
v
0
0,
m
mit
1
� � r1
� r2
200
L
� � r1
� r2
400
r1, r2 = Abminderungsfaktoren nach DIN 18800 [1], Teil 2, Element 205
13
(2.7)
Schikora/Ostermeier [89] geben eine Näherungslösung für die Beanspruchung
stabilisierender Verbände auf der Basis zweier vereinfachter gekoppelter Differentialgleichungen
für das Biegetorsionsproblem nach Theorie II. Ordnung an. Um Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten für die Verformungen v und � zu
erhalten, werden die seitlichen Lasten qy sinusförmig und das Biegemoment des
Trägers My konstant angenommen. Die Steifigkeit des Verbandes wird als Wegfederbettung
cy abgebildet. Die aus diesen Annahmen folgende Näherungslösung für
die Stabilisierungslast berücksichtigt die Torsionssteifigkeit des Trägers und wurde
als Gleichung (2 – 3.31) in den Kommentar zu DIN 18800 [63] aufgenommen. Diese
Gleichung entspricht Gleichung (2.3) von Gerold, der Vergrößerungsfaktor � wird
aber anstelle von Gleichung (2.4) mit Gleichung (2.8) berechnet, die das räumliche
Tragverhalten berücksichtigt. Eigene Vergleichsberechnungen nach Biegetorsionstheorie
II. Ordnung mit dem FEM-Programm BT II [77] zeigen, daß Gleichung (2.8)
nur für den baupraktisch seltenen Fall mit konstantem Biegemoment My richtige
Ergebnisse liefert. Diesem Umstand wird im Kommentar zu DIN 18800 [63] dadurch
Rechnung getragen, daß empfohlen wird, Gleichung (2.4) für die Berechnung des
Vergrößerungsfaktors � zu verwenden, wenn sich gemäß Gleichung (2.8) ein
kleinerer Wert ergibt.
� �
N
N
*
Ki,
�
Gurt
�
1
0,
534
N
�
N
Gurt
*
Ki
mit
NGurt nach Gleichung (2.6)
N nach Gleichung (2.4)
*
Ki
*
Ki,
N � = (GIT + EI� ·
�
L
2
2
) / h
2
(2.8)
(2.9)
Friemann/Stroetmann [23] berechnen die Stabilisierungslasten von kontinuierlich
seitlich gestützten Biegeträgern mit veränderlichem Biegemomentenverlauf mit Hilfe
eines speziell für diese Untersuchungen entwickelten FEM-Programms [95]. Auf
diese Weise erfolgt erstmals eine systematische Untersuchung der Einflußfaktoren für
die Stabilisierungslasten des Biegetorsionsproblems.
Zusätzlich zu den Parameterstudien nach der FE-Methode wird in [23] eine Näherungslösung
zur Berechnung von Stabilisierungslasten auf der Grundlage der

14
Energiemethode vorgestellt. Dieses Näherungsverfahren erfordert die Lösung eines
linearen Gleichungssystems mit bis zu 10 Unbekannten, weshalb es hier als Matrizenverfahren
bezeichnet wird. Das Matrizenverfahren für Träger mit kontinuierlicher
seitlicher Stützung nach Friemann/Stroetmann [23] wird im Rahmen dieser Arbeit
modifiziert und erweitert. Eine ausführliche Erläuterung des Verfahrens erfolgt
deshalb in Abschnitt 4 an gesonderter Stelle.
Kritische Beurteilung
Die Näherungsansätze [2], [63], [27], [82] für die Stabilisierungslast qs, die alle auf
Gleichung (2.10) zurückgehen, unterscheiden sich im Wesentlichen durch die
angenommene Form der seitlichen Verformung v (Sinus oder Parabel) und den Stich
der Vorverformung v0,m. Sie liefern damit qualitativ gleichartige Ergebnisse. Da die
Berechnung von Stabilisierungslasten in der Baupraxis überwiegend mit diesen Näherungsansätzen
erfolgt, werden sie nachfolgend als „Standardverfahren“ bezeichnet.
Modellvorstellung der Standardverfahren ist für alle genannten Varianten immer der
Druckstab. Die Stabilisierungslasten berechnen sich immer gemäß Gleichung (2.10)
aus dem Produkt von Normalkraft und Stabkrümmung in Richtung der seitlichen
Halterung.
qs = - NGurt � v� �
(2.10)
Bei der Berechnung der Stabilisierungslasten von Biegeträgern mit veränderlichem
Momentenverlauf ergeben sich aber drei wesentliche Abweichungen zu den
Annahmen der Standardverfahren.
� Die Normalkraft im Druckgurt des Trägers nach Gleichung (2.6) ist nicht konstant
sondern veränderlich.
� Bei Trägern mit Obergurthalterung und negativen Stützmomenten ist im
Stützbereich der Zuggurt und nicht der Druckgurt seitlich gestützt.
� Die zu stabilisierenden Träger weisen nicht nur Verformungen v auf (ebenes
Problem), sondern auch Verdrehungen � (räumliches Problem).
Die vereinfachte Differentialgleichung zur Beschreibung der Stabilisierungslasten
infolge einer veränderlichen Normalkraft NGurt lautet für das Druckstabmodell
� �(
N � v�)
� � � N � v��
� N�
� v�
(2.11)
qs Gurt
Gurt Gurt
Gleichung (2.10) gilt als Sonderfall von Gleichung (2.11) nur für eine konstante
Normalkraft. Die Auswirkung einer veränderlichen Druckkraft auf den qualitativen
und quantitativen Verlauf der Stabilisierungskräfte soll anhand der Normalkraftverläufe
in Bild 2.3 gezeigt werden.
Mit Gleichung (2.12) als Näherung für die Verformungsfigur
� � x
v(x) = vm · sin L
(2.12)

folgt für die Stabilisierungslast gemäß Gleichung (2.11):
a)
� �x
( x)
� NGurt,
m � vm
� � sin
(2.13a)
L L
qs 2
� � 2�x
�
b) q ( x)
� NGurt,
m � vm
� ��
� cos
2
�
L � L �
2
2
s (2.13b)
� � �x
2�x
�
c) q ( x)
� NGurt,
m � vm
� � ��
sin � 2 � cos
2
�
L � L L �
2
s (2.13c)
In Bild 2.3 sind die Verläufe der Stabilisierungslasten für drei Basisfälle der Normalkraftverteilung
a bis c dargestellt. Es zeigt sich, daß für veränderliche Normalkraftverläufe
bereichsweise Stabilisierungskräfte mit umgekehrter Wirkungsrichtung
auftreten. Die Gleichung (2.13b) für den Basisfall b wird in [72] anhand von FEM-
Berechnungen als Näherungslösung für qs bestätigt. Grundlage der FEM-Berechnungen
ist als statisches System der durch einen Verband gestützte Druckstab mit
sinusförmiger Normalkraftverteilung.
Bild 2.3 Stabilisierungslasten für drei Basisfälle der Normalkraftverteilung
15

16
Petersen [82] macht den Vorschlag, bei durch Gleichstreckenlast erzeugter parabelförmiger
Normalkraftverteilung im Obergurt den Vergrößerungsfaktor � anstelle von
Gleichung (2.4) mit Gleichung (2.14) zu berechnen.
1
� �
(2.14)
N
1�
2 �
Gurt
*
NKi
Der Faktor 2 beruht dabei auf dem Knicklängenbeiwert � 2 = 0,695 2 � 0,5 des durch
einen parabelförmigen Normalkraftverlauf belasteten Druckstabes. Die Berechnung
der Stabilisierungslast gemäß [82] mit Gleichung (2.10) anstelle von Gleichung (2.11)
legt aber eine völlig unzutreffende Verteilung der Stabilisierungslast in Trägerlängsrichtung
zugrunde, was aus Bild 2.3 ersichtlich ist.
Die als Standardverfahren bezeichneten Ansätze zur näherungsweisen Berechnung
von Stabilisierungslasten weisen eine weitere Abweichung von der Realität auf, wenn
der zu stabilisierende Träger durch einen seitlichen Verband ausgesteift wird. Da der
Träger durch den Verband nur in diskreten Knotenpunkten seitlich gestützt wird, stellt
sich die Frage, welcher Fehler in Bezug auf die auftretenden Stabilisierungslasten
gemacht wird, wenn vereinfachend eine kontinuierliche Stützung zugrunde gelegt
wird. In der deutschsprachigen Literatur finden sich kaum Angaben zu
Stabilisierungslasten bei diskreter Stützung, es liegen aber aus dem angelsächsischen
Sprachraum eine Reihe von Veröffentlichungen vor.
2.2.3 Stabilisierungslasten von Trägern mit diskreten seitlichen
Abstützungen
Winter [108] veröffentlicht 1960 ein einfaches Modell zur Berechnung der erforderlichen
Steifigkeit und der auftretenden Stabilisierungslasten von diskreten Abstützungen
zur Aussteifung von Stützen und Trägern. Als Ziel dieser Veröffentlichung
formuliert er: „To devise a simple method which permits:
1) To calculate a safe lower limit (rather than an exact value) of the necessary
rigidity of the bracing such that the strength of the braced member will attain its
maximum possible value, and
2) For a bracing of rigidity equal to or larger than so calculated, to determine a safe,
lower limit (rather than an exact value) of the strength required of such bracing.”
Von Winter stammt der Begriff des “Full Bracing”, womit diejenige Federsteifigkeit
der Abstützung einer Stütze oder eines Trägers gemeint ist, für die ein mehrwelliges
Ausweichen mit Nulldurchgang der Knickfigur an den Stützstellen auftritt. Die
Stützfeder wirkt damit wie ein festes Lager.
Die Mehrzahl der im englischsprachigen Raum veröffentlichten Untersuchungen, die
sich mit Stabilisierungslasten beschäftigen, nehmen Bezug auf das von Winter

entwickelte Berechnungsmodell und bedienen sich ebenfalls des Begriffs des „Full
Bracing“. Seiner Bedeutung entsprechend wird das Winter-Modell nachfolgend kurz
erläutert.
Der Zusammenhang zwischen Federsteifigkeit und Verzweigungslast für einen ideal
geraden Druckstab mit Stützung durch eine seitliche Einzelfeder in Feldmitte ist in
Bild 2.4 dargestellt. Die Knickfigur ist zweiwellig mit Nulldurchgang an der Feder,
wenn die Federsteifigkeit mindestens
C = 2 · Pe/L (2.15)
beträgt, mit L als dem Abstand der Stützstellen und
Pe = � 2 · EI/L 2 (2.16)
als der Verzweigungslast für Knicken zwischen den Stützstellen. Winter bezeichnet
diese Federsteifigkeit als „ideale Federsteifigkeit“ Cideal, welche für die Stütze „Full
Bracing“ bewirkt, also in Bezug auf die Verzweigungslast genauso effektiv ist wie ein
festes Lager. Bei Federsteifigkeiten kleiner als Cideal tritt eine Knickfigur mit seitlicher
Verschiebung im Bereich der Stützfeder auf. Die Verzweigungslast PKi wächst
annähernd linear mit steigender Federsteifigkeit C, bis „Full Bracing“ erreicht ist. Die
genaue Beziehung zwischen C und PKi für 0 � C � Cideal ist eine trigonometrische
Funktion, die aber sehr gut durch eine Gerade, wie in Bild 2.4 dargestellt, angenähert
werden kann.
Bild 2.4 Zusammenhang zwischen Federsteifigkeit und Verzweigungslast
17

18
Bild 2.5 Winter-Modell [108]
Um die „ideale Federsteifigkeit“ berechnen zu können, entwickelte Winter das in Bild
2.5 dargestellte einfache Modell mit fiktivem Gelenk am Angriffspunkt der Stützfeder.
Die Annahme des Biegemomentengelenkes wird gerechtfertigt durch den
Wendepunkt in der Knickbiegelinie für Knicken zwischen äquidistanten Stützstellen.
Verrücken des mit einer Druckkraft P belasteten Stabes um ein Maß w, Freischneiden
im Bereich des fiktiven Gelenkes und Aufstellen des Momentengleichgewichtes
ergibt
P · w = C · w · L/2 (2.17)
Für P = Pe im Falle von “Full Bracing” ergibt sich die ideale Steifigkeit
C = Cideal = 2 · Pe/L (2.18),
was mit Bild 2.4 übereinstimmt. Für mehrere äquidistante Stützfedern kann die
„ideale Federsteifigkeit“ nach dem gleichen Prinzip berechnet werden. Es ergeben
sich die Zahlenwerte der Tabelle 2.1.
Tabelle 2.1 „Ideale Federsteifigkeit“ für Druckstäbe mit äquidistanten Stützfedern
Anzahl Stützfedern n 1 2 3 4 �
Cideal · L/Pe 2 3 3,41 3,63 4
L = Abstand der Stützfedern
Pe = PKi für Knicken zwischen den Stützstellen = � 2 · EI/L 2
Das Winter-Modell liefert auf diese Art und Weise die exakte Lösung für die „ideale
Federsteifigkeit“ für ebene Druckstäbe mit einer beliebigen Anzahl äquidistanter
Stützfedern.
Ergänzend zu seinen theoretischen Überlegungen wurden von Winter Traglastversuche
an Stützen mit unterschiedlich steifen diskreten Zwischenabstützungen durchgeführt.
Es wurde festgestellt, daß die Aussteifung von Stützen mit Federn der
Steifigkeit C = Cideal nicht ausreichend ist, um ein Ausknicken zwischen den Stütz-

stellen sicherzustellen. Dieser Umstand ist auf die strukturellen und geometrischen
Imperfektionen der im Traglastversuch getesteten Stützen zurückzuführen. Das
Modell in Bild 2.5 wird deshalb auf Druckstäbe mit geometrischer Ersatzimperfektion
w0 in Höhe der Stützstellen erweitert.
Ist in Bild 2.5 zusätzlich zur Verformung w eine Vorverformung w0 in Höhe der
Stützfeder vorhanden, so ergibt das Aufstellen des Momentengleichgewichts um das
fiktive Gelenk folgende Gleichungen
C � w
P ·(w0 + w) = � L
(2.19)
2
� P � w �
Cideal = � �1
� �
L � w �
2 0 (2.20)
Gleichung (2.20) ist zu entnehmen, daß die “ideale Federsteifigkeit” für Ausknicken
zwischen den Stützstellen bei imperfekten Druckstäben größer ist als bei ideal
geraden Druckstäben, welche den Angaben in Tabelle 2.1 zugrunde liegen. Durch
Einführen der Gesamtverformung
wges = w0 + w (2.21)
in Gleichung (2.19) erhält man
w
ges
w0
� (2.22)
2 � P
1�
C � L
und für C = Cideal = 2 · Pe/L
wges =
w0
P
1�
P
e
19
(2.23)
Die Stabilisierungskraft in der Stützfeder berechnet sich mit Gl. (2.19) und Gl. (2.22)
zu
F
c
2 � P
2 � P w0
� C � w � � ( w0
� w)
� �
(2.24)
L
L 2 � P
1�
C � L
und für C = Cideal = 2 · Pe/L zu
F
2 � P
L
w
P
1�
P
0
c � �
(2.25)
e
Aus Gleichung (2.24) folgt, daß die Stabilisierungskraft direkt proportional zur
Amplitude der Vorverformung w0 ist. Die Gleichungen (2.22) und (2.24) sind in Bild

20
2.6 graphisch dargestellt, um den Einfluß der vorhandenen Federsteifigkeit der
Stützfeder auf die Verformungen und Stabilisierungskräfte zu veranschaulichen. Entsprechend
Gl. (2.23) und Gl. (2.25) wachsen die Verformungen und die Stabilisierungskraft
ins Unendliche, wenn die Stütze nur mit C = Cideal ausgesteift wird und
die Druckkraft P sich der Verzweigungslast Pe nähert. Es genügt aber bereits eine
Federsteifigkeit C = 2 · Cideal, um die auftretenden Stabilisierungskräfte auf ein
endliches Maß zu reduzieren. Bild 2.6 ist zu entnehmen, daß sich für eine Vorverformung
w0 = L/500 und C = 2 · Cideal eine Stabilisierungskraft von 0,8 % der
Druckkraft P ergibt, wenn P = Pe die Verzweigungslast der ausgesteiften Stütze ist.
Durch ausreichend steife Abstützungen können demnach die auftretenden Stabilisierungslasten
klein gehalten werden.
wges = w0 + w
w0 = Vorverformung
FC = Stabilisierungskraft in der Stützfeder
P = Druckkraft
Pe = PKi für Knicken zwischen den Stützstellen
(Knicklänge = Abstand der Stützstellen)
Bild 2.6 Zusammenhang zwischen Belastungsintensität, Federsteifigkeit, Verformung
und Stabilisierungskraft bei vorverformtem Druckstab
Die zentrale Erkenntnis aus Winters theoretischen Überlegungen ist, daß ausreichend
steife Abstützungen nur sehr geringe Stabilisierungslasten erhalten, wohingegen die

Beanspruchung von nicht ausreichend steifen Abstützungen mit abnehmender Steifigkeit
stark zunimmt. Das Verhältnis von vorhandener Steifigkeit zu erforderlicher
Tragfähigkeit von Stabilisierungskonstruktionen ist also umgekehrt proportional.
Diese theoretische Erkenntnis wurde von Winter auch experimentell durch Versuche
an Stützen mit diskreten Halterungen bestätigt. Die im Traglastzustand der Stützen
gemessenen Stabilisierungslasten waren bei den Stützen mit steifen Halterungen
deutlich kleiner als bei den Stützen mit weniger steifen Halterungen. Dies ist umso
bemerkenswerter, weil die Belastung der Stützen mit steifen Halterungen aufgrund
der größeren Traglasten im Versuch deutlich größer war als die Belastung der
entsprechenden Stützen mit weniger steifen Halterungen.
Der Titel von Winters Veröffentlichung [108]: „Lateral Bracing of Columns and
Beams“ ist streng genommen irreführend, da ausschließlich Druckstäbe behandelt
werden. Um jedoch auch die Stabilisierungskonstruktionen von biegebeanspruchten
Trägern dimensionieren zu können, schlägt Winter vor, den Druckgurt von Biegeträgern
ersatzweise als ebenen Druckstab aufzufassen. Infolge der Vernachlässigung
der Torsionssteifigkeit und der Kopplung des Druckgurtes mit dem Zuggurt wird
vermutet, daß diese Näherung auf der „sicheren Seite“ liegt. Sie entspricht der
Modellvorstellung gemäß Bild 1.3, auf welcher auch die Standardverfahren nach
Gerold [27] oder Petersen [82] beruhen.
Für einfache ausgesuchte Systeme und Belastungen liegen auch Untersuchungen auf
der Basis des räumlichen Biegetorsionsproblems vor.
Mutton/Trahair [70] und Tong/Chen [100] behandeln Einfeldträger mit konstantem
Biegemoment My. Die Träger können eine exzentrische Einzelwegfeder Cy und eine
Einzeldrehfeder C� in Feldmitte aufweisen. Es werden geschlossene Lösungen für den
Zusammenhang zwischen den Federsteifigkeiten der Stützfedern und den Verzweigungslasten
für das Biegedrillknicken des ausgesteiften Trägers hergeleitet. In
Anlehnung an Winter werden auch Formeln zur Berechnung der Federsteifigkeiten für
„Full Bracing“ angegeben.
In einer weiteren Veröffentlichung werden von Tong/Chen [101] die im vorherigen
Absatz genannten Ergebnisse auch für Reihen paralleler Träger angegeben, die in
Feldmitte durch biegesteife Querträger gekoppelt sind. Die Belastung der Träger ist
auch hier auf konstante Biegemomente My beschränkt, um geschlossene formelmäßige
Lösungen herleiten zu können.
Helwig/Yura/Frank [32] untersuchen Systeme aus zwei parallelen I-Trägern unter
Gleichstreckenlast, die mit den im Brückenbau üblichen Querverbänden oder Querrahmen
miteinander gekoppelt sind. Sie führen FEM-Berechnungen mit dem Programm
ANSYS durch, wobei die zwei parallelen Längsträger und die biegesteifen
Querträger der Querrahmen mit 8-Knoten-Schalenelementen und die Querverbände
mit Fachwerkstabelementen modelliert werden. Im Rahmen einer Parameterstudie
werden drei verschiedene Vorverformungsfiguren und drei verschiedene Vorverformungsordinaten
der Obergurte der stabilisierten Längsträger angesetzt.
21

22
Die Ergebnisse der geometrisch nichtlinearen Berechnung zeigen eine große Abhängigkeit
der auftretenden Stabilisierungslasten von den angesetzten geometrischen
Ersatzimperfektionen. Ein Beispiel ist in Bild 2.7 dargestellt. Größe und Verteilung
der Stabilisierungslasten in Trägerlängsrichtung werden stark durch die Vorverformungsfigur
beeinflußt.
Bild 2.7 Stabilisierungskräfte von Einfeldträgern unter Gleichstreckenlast für
verschiedene Imperfektionsverläufe [32]

Bezüglich der Vorverformungsordinaten bei gegebener Vorverformungsfigur wird in
[32] festgestellt, daß die Stabilisierungslasten porportional zur Größe der angesetzten
geometrischen Ersatzimperfektionen sind. Dieses Ergebnis bedarf eigentlich keiner
Parameterstudie. Es ist leicht einsehbar, wenn man das in der FEM-Berechnung zu
lösende Gleichungssystem betrachtet.
Ke · V + Kg · (V + V0) = P (2.26)
Gleichung (2.26) läßt sich auch als Gleichung (2.27) schreiben:
(Ke + Kg) · V = P – Kg · V0
mit
Ke = Steifigkeitsmatrix nach Theorie I. Ordnung
Kg = Geometrische Steifigkeitsmatrix
V = Lösungsvektor der gesuchten Systemverformungen
V0 = Vektor der Vorverformungen
P = Vektor der äußeren Lasten
23
(2.27)
Das Produkt von geometrischer Steifigkeitsmatrix und Vorverformungsvektor kann
auf der rechten Seite von Gleichung (2.27) als ein zusätzlicher Lastvektor interpretiert
werden. Sind wie im vorliegenden Fall keine äußeren Lasten P in den Freiheitsgraden
senkrecht zur Haupttragrichtung vorhanden, so ergibt sich für diese Freiheitsgrade ein
linearer Zusammenhang zwischen V0 und V. Da die senkrecht zur Haupttragrichtung
vorhandenen Stabilisierungskonstruktionen ebenfalls die elastischen Verformungen V
erfahren, ergibt sich ein linearer Zusammenhang auch zwischen der Größe der
Vorverformung und der Größe der Stabilisierungslasten als Produkt der
Verformungen V mit den korrespondierenden Steifigkeiten der Stabilisierungskonstruktionen.
Von Wang/Nethercot [105] existiert eine Studie zur erforderlichen Steifigkeit und zur
erforderlichen Tragfähigkeit von Aussteifungen für Träger mit Einzellast in Feldmitte.
Sie führen Berechnungen nach der Fließzonentheorie unter Ansatz von Eigenspannungen
und geometrischen Imperfektionen mit einem FEM-Stabwerksprogramm
durch. Zur Anwendung kommen dabei räumliche Stabelemente mit 7 Freiheitsgraden
zur Erfassung der Wölbkrafttorsion und Federelemente Cx, Cy, Cz, C�, C�y, C�z, C�
zur Aussteifung in Richtung aller möglichen Freiheitsgrade. Eine Eichung des
benutzten Programms durch Nachrechnen der Traglasten aus experimentellen Versuchen
an Trägern mit unterschiedlichen traglaststeigernden Aussteifungen [104],
[109] ergab gute Übereinstimmungen. Die anschließend durchgeführte Parameterstudie
zeigt eine Abhängigkeit der Stabilisierungslasten von
� Art und Größe der Belastung des ausgesteiften Trägers,
� Art und Größe der Vorverformung des ausgesteiften Trägers,
� Art und Steifigkeit der Stützfedern,
� Anzahl und Angriffspunkt der Stützfedern in Trägerlängsrichtung und im Querschnitt.

24
Bestätigt wird durch die Studie der Ansatz von Winter bzgl. der Notwendigkeit,
mindestens die zweifache „ideale Federsteifigkeit“ des ebenen Winter-Modells gemäß
Tabelle 2.1 vorzusehen, um die Federkräfte infolge Stabilisierung zu reduzieren,
vergleiche dazu auch Bild 2.6. Alle berechneten Kräfte in den Stützfedern des
Druckgurtes betragen weniger als 1 % der Gurtnormalkraft, wenn die empfohlene
Federsteifigkeit vorhanden ist. Die Autoren stellen fest, daß die Stabilisierungslasten
generell kleiner sind und geringere Schwankungen zeigen, wenn die Versagensfigur
des ausgesteiften Trägers durch die Aussteifungen derart beeinflußt wird, daß sich
eine mehrwellige Form mit Ausweichen zwischen den Stützstellen ergibt.
Die Angaben zu Stabilisierungslasten in der britischen Stahlbaunorm BS 5950 [5]
gehen im Wesentlichen auf die oben genannte Studie von Wang und Nethercot [105]
zurück. BS 5950, Teil 1 (1985) fordert, daß seitliche Abstützungen „steif“ sein
müssen. In diesem Fall kann die Stabilisierungskraft in der Abstützung mit 1 % der
Druckkraft im stabilisierten Träger angenommen werden. Es wird jedoch nicht angegeben,
wann seitliche Abstützungen als „steif“ angesehen werden können. Diese 1%
Faustregel entspricht der Regelung in der alten nationalen Stahlbaunorm für Stabilitätsfälle
DIN 4114 [4], die zur Bemessung von Einzelabstützungen von Druckstäben
1/100 der Druckkraft im stabilisierten Bauteil vorschreibt.
Der Tatsache, daß eine Interaktion zwischen der Steifigkeit seitlicher Abstüzungen
und den auftretenden Stabilisierungslasten besteht, wurde in der aktuellen Ausgabe
von BS 5950, Teil 1 (1990) Rechnung getragen, indem die anzusetzenden Stabilisierungslasten
vergrößert wurden. In einer Erläuterung zur Norm von Nethercot und
Lawson [73] heißt es dazu:
„Although this still provides no guidance on required bracing stiffness – due
principally to the difficulty of devising a simple, safe, comprehensive yet
economic rule – the 1990 Code specifies somewhat larger bracing forces than in
the 1985 Code which are satisfactory for all normal forms of construction. By
implication they are conservative for “stiff” restraints.”
Die anzusetzenden Stabilisierungslasten für seitliche Abstützungen werden in BS
5950 (1990) wie folgt als Prozentsatz der maximalen Druckkraft im stabilisierten
Träger bzw. als Prozentsatz der maximalen Gurtkraft im Druckgurt von Biegeträgern
angegeben:
� Eine diskrete Abstützung: 2,5 %
� Mehrere diskrete Abstützungen:
2,5 % als Summe über alle Abstützungen
1 % für jede einzelne Abstützung
� Kontinuierliche Abstützung:
2,5 % verteilt als Gleichlast über die Trägerlänge
� Mehrere parallele Träger stützen sich gegen eine gemeinsame Aussteifung ab:
Die Stabilisierungslast für die Aussteifung ist die Summe der drei größten
Stabilisierungslasten der Einzelträger, also bis zu 7,5 %

Der Einfluß zusätzlicher Verformungen der seitlichen Abstützungen infolge äußerer
Horizontallasten wie z.B. Wind soll durch die oben angegebenen Stabilisierungslasten
mit abgedeckt sein. In [73] wird aber empfohlen, daß die Federsteifigkeit einer
seitlichen Aussteifung mindestens die 25-fache Eigenbiegesteifigkeit des ausgesteiften
Trägers um die schwache Achse aufweisen soll.
Die vereinfachende Angabe von Stabilisierungslasten an diskreten Stützstellen als
Prozentsatz der Gurtkraft im Druckgurt von Biegeträgern gemäß BS 5950 offenbart
das fehlende Wissen über den Einfluß der beim räumlichen Biegetorsionsproblem
auftretenden Effekte und Phänomene. Die Torsionssteifigkeit und eine evtl. vorhandene
Drehbettung des stabilisierten Trägers können nicht berücksichtigt werden. Es
fehlt darüber hinaus eine ingenieurmäßige Modellvorstellung zur Berechnung der
Stabilisierungslasten von Trägern mit seitlicher Stützung am Zuggurt. Eine
zutreffende Abschätzung der Stabilisierungslasten solcher Systeme ist infolge
fehlender Ingenieurmodelle oder Näherungslösungen nur mit computergestützten
Rechenprogrammen möglich, wie sie im folgenden Abschnitt vorgestellt werden.
25

26
3 Grundlagen der verwendeten Rechenprogramme
3.1 Programm BT II
Das Programm BT II [77] ist eine kommerzielle Software zum Nachweis biegedrillknickgefährdeter
Träger im Stahlbau. Die theoretischen Grundlagen des Programms
sind in [74] ausführlich beschrieben. Hier werden nur die wichtigsten Annahmen und
Einschränkungen wiedergegeben und die Möglichkeiten zur Berechnung von
Stabilisierungslasten seitlich gestützter Träger mit BT II erläutert.
BT II ermittelt an geraden räumlich belasteten Trägern mit beliebigem offenen dünnwandigen
Querschnitt Verformungen und Schnittgrößen nach Biegetorsionstheorie II.
Ordnung mit Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion nach der Finite-Elemente-
Methode. Als Einschränkungen des Programms sind ein ideal-elastisches Werkstoffgesetz,
ein für den gesamten Träger konstanter Elastizitätsmodul E und Schubmodul
G und elementweise konstante Querschnittswerte zu nennen.
Die verwendeten Stabelemente weisen an beiden Stabenden je sechs Freiheitsgrade
auf:
� Verschiebung v in y-Richtung
� Verschiebung w in z-Richtung
� Verdrehung � um die x-Achse
� Verdrehung �y um die y-Achse
� Verdrehung �z um die z-Achse
� Verdrillung bzw. Verwölbung ��
Als Ansatzfunktionen für die Verschiebungen quer zur Stabachse und für die
Torsionsverdrehung liegen den Elementen kubische Hermitesche Interpolationspolynome
der Ordnung 2 · � = 4 zugrunde. Die Ordnungszahl gibt an, wieviele
Einzelfunktionen zu den Hermite-Polynomen dieser Ordnung gehören. Die Polynome
der Ordnung 2 · � = 4 sind von ebenen Stabelementen her bekannt. Sie entsprechen
den Biegelinien eines Trägers nach Theorie I. Ordnung infolge der Randverschiebungen
w(x/L = 0) = 1 und w(x/L = 1) = 1 und der Randverdrehungen w�(x/L = 0) = 1
sowie w�(x/L = 1) = 1. Mit ihnen lassen sich alle geometrischen, aber nicht die
statischen Randbedingungen genau erfüllen. Da die Polynome nur maximal die dritte
Potenz der dimensionslosen Koordinate x/L enthalten, ist die zweite Ableitung eine
lineare, die dritte Ableitung sogar eine konstant verlaufende Funktion. Wählt man
Hermite-Polynome der Ordnung 2 · � = 4 als Ansatzfunktionen, so werden die
Biegemomente My und Mz im Definitionsbereich als linear veränderlich, die
Querkräfte Vy und Vz als konstant angenommen.
Die Polynome der Ordnung 2 · � = 4 werden auch in anderen Arbeiten, z.B. von
Kindmann [34], verwendet, da die Steifigkeitsmatrizen für Finite-Elemente damit

leicht aufzustellen sind. Es muß aber eine feinere Elementierung gewählt werden als
z.B. bei Verwendung von Polynomen der Ordnung 2 · � = 8, um genaue Lösungen zu
erhalten. Der Arbeitsaufwand, der durch die einfachere Aufstellung der Elementmatrizen
eingespart wird, verlagert sich auf die Lösung der wesentlich größeren
Systemmatrix, da die Zahl der Unbekannten des zu lösenden Gleichungssystems
größer wird. Die Anzahl der erforderlichen Elemente richtet sich nach der Gradiente
der Biegelinie. In den Trägerbereichen zwischen Lagerungen, Einzelfedern oder
Einzellasten sind bei BT II in der Regel zwischen 5 und 15 Elemente vorzusehen, um
Abweichungen von weniger als 5 % bei den Verformungen gegenüber der exakten
Lösung zu erreichen.
Die Berechnung der unbekannten Verformungen in den Elementknoten erfolgt nach
dem Weggrößenverfahren. Die geometrisch nichtlineare Berechnung nach Theorie II.
Ordnung gliedert sich in zwei Schritte. Im ersten Schritt werden die Schnittgrößen
nach Theorie I. Ordnung berechnet. Sie dienen als Grundlage zur Ermittlung der das
geometrisch nichtlineare Verhalten beschreibenden geometrischen Steifigkeitsmatrix.
Im zweiten Schritt erfolgt die Berechnung nach Theorie II. Ordnung, wobei die
Änderung der geometrischen Steifigkeitsmatrix infolge der Unterschiede zwischen
den Schnittgrößen nach Theorie I. und II. Ordnung unberücksichtigt bleibt.
Wird ein Lastniveau nur wenig kleiner als das zum niedrigsten Eigenwert (= kleinste
Biegedrillknicklast) gehörende vorgegeben, nehmen die Verformungen stark zu. Die
Ergebnisse sind in diesem Fall nur noch bedingt brauchbar, da die zugrunde gelegte
Theorie das Gleichgewicht zwar am verformten System formuliert, jedoch davon
ausgeht, daß die Verformungen klein sind. Kindmann [34] begrenzt die Torsionsverdrehung
auf � < 0,2 rad bei der Traglastberechnung. In [36] wird eine Begrenzung
von � < 0,3 rad vorgeschlagen.
Zur Berücksichtigung geometrischer Ersatzimperfektionen gestattet BT II den Ansatz
von Vorverformungen v0 und w0 in Richtung der beiden Querschnittshauptachsen
sowie Vorverdrehungen �0 um die Stablängsachse. Als Verlauf können sinus- oder
parabelförmige Halbwellen angegeben werden. Diese Vorverformungen werden nicht
durch eine Berechnung der imperfekten Systemgeometrie sondern durch Ersatzlasten
berücksichtigt, die sich aus der Multiplikation des Vorverformungsvektors mit der
geometrischen Steifigkeitsmatrix ergeben.
Um Biegedrillknicknachweise für Träger, die durch Stabilisierungskonstruktionen
ausgesteift werden, führen zu können, bietet BT II die Möglichkeit, kontinuierliche
oder diskrete federelastische Stützungen anzusetzen. Eine kontinuierliche Wegfederbettung
cy und diskrete Einzelwegfedern Cy können auch exzentrisch zum Schubmittelpunkt
angreifen. Das in der Praxis häufig auftretende Problem des Biegedrillknickens
mit gebundener Drehachse im Abstand z vom Schubmittelpunkt läßt sich
durch Ansatz einer elastischen Translationsbettung in y-Richung mit der Steifigkeit
cy = 10 8 bis 10 10 kN/cm 2 berechnen. Die sich einstellenden Verformungen v und �
führen bei Ansatz solch großer Bettungssteifigkeiten zu einer Verschiebung Null in
der vorgegebenen Zwangsdrehachse im Abstand z vom Schubmittelpunkt. Für eine
27

28
zusätzlich vorhandene Drehbettung c� spielt der Angriffspunkt im Querschnitt keine
Rolle, da die Erhaltung der Querschnittsform im Rahmen der Theorie vorausgesetzt
wird.
Die Stabilisierungskräfte, die auf die federelastischen seitlichen Abstützungen wirken,
müssen aus den von BT II berechneten Verformungen oder Schnittgrößen des stabilisierten
Trägers zurückgerechnet werden. Die zwei grundsätzlich vorhandenen Möglichkeiten
dazu sind in Bild 3.1 dargestellt.
Im oberen Teil von Bild 3.1 wird die Rückrechnung der Stabilisierungskräfte aus den
Verformungen des Trägers gezeigt. Die Stabilisierungslast ergibt sich in diesem Fall
aus dem Produkt von Bettungssteifigkeit und Verformung der Bettung bzw. Federsteifigkeit
und Verformung der Feder.
Im unteren Teil von Bild 3.1 wird die Rückrechnung der Stabilisierungskräfte aus den
Schnittgrößen des stabilisierten Trägers erläutert. Diese Möglichkeit ergibt sich, da
von BT II die Biegemomente My und Mz zwar auf das verschobene und verdrehte
Querschnittskoordinatensystem der verformten Lage bezogen ermittelt werden, die
Querkräfte Vz und Vy im Gegensatz dazu aber mit Bezug auf die unverformte Lage
ausgegeben werden.
*
Die Stabilisierungskräfte lassen sich als Änderung der Querkraft V y in Trägerlängsrichtung
berechnen, wobei der Kopfzeiger * den Bezug auf die unverformte Lage
kennzeichnet. Bei kontinuierlicher Stützung cy ergibt sich die mittlere Stützlast
q auf der Elementlänge LE zwischen den Knoten i und j als Änderung der Querkraft
c y
*
V y zwischen dem linken Elementende i und dem rechten Elementende j. Bei diskreter
*
V y am
Stützung Cy berechnet sich die Stützkraft F c als Differenz der Querkräfte
y
linken und am rechten Schnittufer des Knotens i, an dem eine Einzelfeder Cy angreift.
Die beiden beschriebenen Möglichkeiten zur Rückrechnung der Stabilisierungslasten
aus der seitlichen Verformung in Höhe der federelastischen Stützung bzw. aus der
*
Änderung der Querkraft V y des stabilisierten Trägers sind gleichwertig und führen,
von Rundungsungenauigkeiten abgesehen, zu denselben Ergebnissen.

29
)
z
v
(
c
q
y
y
c
y
c
�
�
�
�
�
)
z
v
(
C
F
y
y
C
y
C
�
�
�
�
�
E
*
i
,
y
*
j
,
y
c
L
V
V
q y
�
�
*
links
,
i
,
y
*
rechts
,
i
,
y
,
C
V
V
F y
�
�
Bild 3.1 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem Programm BT II
y
c
z
cy
y
C
z
Cy
*
i
,
y
V
*
j
,
y
V
LE
y
C
F
y
c
q
i
j
*
links
,
i
,
y
V
*
rechts
,
i
,
y
V
i

30
3.2 Programm DRILL
Das Programm DRILL [24] wurde zum Einsatz in der Lehre an der TU Darmstadt am
Institut für Stahlbau und Werkstoffmechanik entwickelt. Die theoretischen Grundlagen
des Programms und viele Beispielrechnungen sind in [22] ausführlich beschrieben.
An dieser Stelle werden analog zum Abschnitt 3.1 nur die wichtigsten Annahmen
und Einschränkungen wiedergegeben und die Möglichkeiten zur Berechnung von
Stabilisierungslasten seitlich gestützter Träger mit DRILL erläutert.
DRILL ermittelt an geraden, räumlich belasteten Trägern mit offenem dünnwandigem
Querschnitt Verformungen und Schnittgrößen nach Biegetorsionstheorie II. Ordnung
mit Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion auf der Grundlage der Energiemethode. Es
werden ein ideal-elastisches Werkstoffgesetz und konstante Querschnittswerte für den
gesamten zu berechnenden Träger vorausgesetzt.
Zur Lösung des Biegetorsionsproblems nach der Energiemethode wird das Potential
des zu berechnenden Trägers nach Theorie II. Ordnung in Abhängigkeit von den
Verformungen v und � aufgestellt. Eine Kopplung dieser zwei Verformungen mit der
Verschiebung w in der Trägerebene erfolgt nicht, die Lasten und Schnittgrößen in der
Trägerebene gehen jedoch über die Abtriebsgrößen infolge der Verformungen v und �
in das Potential ein. Daraus ergibt sich folgende Näherung.
Die allgemeine räumliche Theorie II. Ordnung ist nicht im Programm enthalten. Das
Potential bezieht sich nur auf die Verformungen rechtwinklig zur Trägerebene, wie es
der Voraussetzung des Verzweigungsproblems Biegedrillknicken entspricht. Die
Beanspruchungen in der Trägerebene werden getrennt nach Theorie I. oder II.
Ordnung berechnet, jedoch ohne Berücksichtigung eventueller Abtriebsgrößen aus
den Schnittgrößen rechtwinklig zur Trägerebene. Diese Näherung setzt voraus, daß
bei Anwendung der Theorie II. Ordnung die Trägerebene die Haupt-Lastebene ist.
Bildet man die erste Variation des Potentials und setzt sie zu Null, so wird die Gleichgewichtslage
des Trägers beschrieben. Hinter dieser Methode, die Gleichgewichtsbedingungen
zu formulieren, steckt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen. Die
erste Variation �� des Potentials ist identisch mit der virtuellen Arbeit �W des
Trägers, die sich ergibt, wenn man die vorausgesetzte Gleichgewichtslage um
virtuelle, d.h. infinitesimal kleine Verschiebungen variiert. Der Träger ist im
Gleichgewicht, wenn die virtuelle Arbeit der Lasten, Schnittgrößen und Bettungskräfte
zu Null wird. DRILL berücksichtigt dabei nur diejenigen Potentialanteile, die
mit den Verformungen v und � verknüpft sind.
Für die Lösung des Biegetorsionsproblems nach der Energiemethode kann der Träger
in mehrere Felder unterteilt werden. DRILL begrenzt die Felderanzahl auf n = 10.
Neue Felder sind immer dort einzuführen, wo Einzellasten oder Einzelmomente in der
Lastebene angreifen oder wo die Streckenlast qz eine Unstetigkeitsstelle hat. Außerdem
sind überall dort, wo Lager oder Einzelfedern vorhanden sind, Feldgrenzen zu
wählen.

Als Ansatzfunktionen für die unbekannten Verformungen v und � sowie für die
entsprechenden virtuellen Verschiebungen �v und �� innerhalb eines Feldes werden
Hermite-Polynome der Ordnung 2 · � = 8 genutzt. Dadurch lassen sich auch bei
Felderanzahlen von n < 10 in der Regel die Verformungen und Schnittgrößen im
gesamten Träger genau genug berechnen.
Zur Berücksichtigung geometrischer Ersatzimperfektionen gestattet DRILL den
Ansatz von Vorverformungen v0 und Vorverdrehungen �0. Es können parabelförmige
Halbwellen oder ein feldweise linearer Verlauf dieser Imperfektionen vorgegeben
werden. Die feldweise lineare Vorverformung als Polygonzug über den Gesamtträger
erlaubt näherungsweise die Vorgabe eigenformaffiner Vorverformungen, wenn als
Ordinaten der einzelnen Polygonpunkte die Verformungsordinaten einer zuvor
berechneten Eigenform des Trägers angesetzt werden.
Um das Biegedrillknicken von Trägern, die durch Stabilisierungskonstruktionen ausgesteift
werden, untersuchen zu können, bietet DRILL verschiedene Möglichkeiten,
kontinuierliche oder diskrete seitliche Stützungen zu berücksichtigen. In den Feldern
kann eine kontinuierliche seitliche Stützung mit Abstand z zum Schubmittelpunkt in
Form einer Translationsbettung cy oder in Form eines Schubfeldes mit der
Schubfeldsteifigkeit S * vorgegeben werden. Eine Translationsbettung cy behindert die
Verschiebung v, eine Schubfeldsteifigkeit S * behindert die Neigung v� in der Ebene
der Stützung. Durch Ansatz einer sehr großen Translationsbettung cy oder einer sehr
großen Schubfeldsteifigkeit S * wird eine gebundene Drehachse für den stabilisierten
Träger erzeugt. An den Feldgrenzen können als diskrete seitliche Stützungen Einzelfedern
Cy zur Behinderung der Verschiebung v oder auch unverschiebliche Lagerpunkte
Ay im Abstand z vom Schubmittelpunkt angreifen.
Die Stabilisierungskräfte, die auf die seitlichen Halterungen wirken, werden von
DRILL explizit berechnet und bei kontinuierlicher Stützung auch graphisch ausgegeben.
Bild 3.2 zeigt die unterschiedlichen Arten seitlicher Stützung, die mit DRILL
berücksichtigt werden können und die Elastizitätsgleichungen zur Berechnung der
Stabilisierungslasten, die auf diese seitlichen Halterungen wirken.
Bei kontinuierlicher Translationsbettung cy wird die Stabilisierungslast q c als
y
Produkt von Bettungssteifigkeit und Verformung der Bettung berechnet. Bei Stützung
durch ein Schubfeld mit der Schubsteifigkeit S * ermittelt DRILL die Schubfeldkraft
Q S*
als Produkt von Schubfeldsteifigkeit und Neigung v� des Trägers in der Schubfeldebene.
Die Stabilisierungslast q S*
wird nicht explizit angegeben, kann aber als
Änderung der Schubfeldkraft Q S*
in Trägerlängsrichtung nachträglich berechnet
werden. Die Kräfte, die auf diskrete seitliche Stützungen als Einzelfeder Cy oder als
unverschiebliches Lager Ay wirken, werden mit Bezug auf die unverformte Lage als
Auflagerkräfte ausgegeben.
31

32
zc
y
z S*
zc
y
z A y
S *
cy
Cy
Ay
q
c
y
� c
y
� ( v � z
*
c
y
� �)
q s*
� �S
� ( v��
� zS*
� ���) *
� S � ( v�
� z � ��)
Q S*
S*
F
C
y
� C
y
� ( v � z
C
y
� �)
Bild 3.2 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem Programm DRILL

4 Matrizenverfahren für Träger mit kontinuierlicher
seitlicher Stützung
Da Programme wie BT II [77] oder DRILL [24] zur Berechnung von Trägern mit
unterschiedlichen Aussteifungen nach der Biegetorsionstheorie II. Ordnung noch
nicht sehr verbreitet sind, wurde von Friemann/Stroetmann [23] eine Näherungslösung
auf der Grundlage der Energiemethode hergeleitet, die hier als
Matrizenverfahren bezeichnet wird. Die abgeleiteten Steifigkeitsmatrizen gelten für
einen beidseitig gabelgelagerten Einfeldträger mit doppeltsymmetrischem Querschnitt.
Die Einschränkung auf Gabellagerung ermöglicht die Anwendung einfacher
Sinusreihenansätze für die Funktionen zur Beschreibung der Verformungen v und �.
Die Beschränkung auf doppeltsymmetrische Querschnitte reduziert den Umfang der
Koeffizienten in der geometrischen Steifigkeitsmatrix. Eine Erweiterung auf
einfachsymmetrische Querschnitte ist aber möglich, siehe dazu [96].
Dem Matrizenverfahren nach Friemann/Stroetmann liegen folgende Annahmen und
Voraussetzungen zugrunde, die über die allgemeinen Annahmen und Voraussetzungen
dieser Arbeit gemäß Abschnitt 1.2 hinausgehen:
� kontinuierliche Bettung
� konstante Bettungswerte
� linearer Zusammenhang zwischen Bettungskraft bzw. –moment und der
zugehörigen Verformungsgröße
� über die Trägerlänge gleichbleibender Querschnitt
� über die Trägerlänge konstante äußere Lasten qz, qy, mx und eine konstante
Normalkraftbeanspruchung
Zur Berücksichtigung von veränderlichen Verläufen qy und mx müssen entsprechende
Lastvektoren bestimmt werden. Ein veränderlicher Verlauf von qz und
N führt zu einer anderen als der angegebenen geometrischen Steifigkeitsmatrix.
� Vernachlässigung der Kopplung der Verformungsgrößen v und � mit w
Mit dieser Vereinfachung wird eine Trennung der Nachweise zum Biegeknicken
in der x-z-Ebene und zum Biegedrillknicken vorgenommen (Element 112 in DIN
18800 Teil 2). Die Entkopplung gilt nur für das Verzweigungsproblem bei
planmäßig einachsiger Biegung ohne Vorverformungen, kann aber näherungsweise
auch für das Spannungsproblem mit Vorverformungen angenommen
werden. Ist der Momentenzuwachs My durch den Einfluß der Theorie II. Ordnung
aufgrund großer Durchbiegungen und Normalkräfte nicht mehr vernachlässigbar,
kann der Verlauf My nach Theorie II. Ordnung bei der Berechnung der
Biegetorsion zugrunde gelegt werden.
Die Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren des Matrizenverfahrens nach Friemann/Stroetmann
sind auf der Grundlage der Energiemethode unter Anwendung des
33

34
Ritz’schen Verfahrens hergeleitet. Die virtuelle Arbeit für das behandelte Problem ist
in den Gleichungen (4.1) bis (4.4) angegeben.
� W � �W
� �W
� �W
(4.1)
e
g
p
L
� �
0
z
�
T
BA � ( v��
� zA
� ���) � ( �v��
� zA
� ����
S* � ( v�
� zs
� ��)
� ( �v�
� zs
� ���
cy � ( v � zc
� �)
� ( �v
� zc
� ��
�We = [ EI � v��
� �v��
� EI � ��� � ����
� GI � �� � ���
+ )
+ )
+ )
+ c� � � � ��]
dx
(4.2)
L
2
�[
p
0
M y ( v��
� �� � � � �v��)
� qz
� zp
�Wg = � N � ( v�
� �v�
� i � �� � ���)
+ � � � � ��]
dx
(4.3)
L
[
�
�Wp = q � �v
� m � ��]
dx
(4.4)
0
y
x
Als Ansatzfunktionen für die Verschiebungen v und � werden Sinusreihen verwendet.
� � � � �
� � � �
�
�
�
� � �
5 i x
v vi
sin
(4.5)
i 1 L
� �
5
�
j�1
� j�
� � x �
�j
� sin �
�
�
�
(4.6)
� L �
Diese Funktionen haben den Vorteil, daß auch höhere Ableitungen definiert sind.
Setzt man die entsprechenden Ableitungen der Verformungsfunktionen sowie die
Lasten und Schnittgrößen in die virtuelle Arbeit ein und führt die Integration durch, so
erhält man die in Bild 4.1 angegebenen Steifigkeitsmatrizen Ke und Kg und den
Lastvektor P. Die Formulierung des Biegetorsionsproblems Theorie II. Ordnung
erfolgt über die Matrizengleichung (4.7).
(Ke + Kg) · V = P (4.7)
V T = [v T ; � T ]
= [v1, v2, v3, v4, v5, �1, �2,�3, �4, �5] (4.8)

Ke=
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5
c1+c4
+c5+c7
c
16·c1
+16·c4+
4·c5+c7
0 0 0 0
-c4 zA-c5 zS
-c7 zc
0 0 0 0
81·c1+
81·c4+
9·c5+c7
-16 c4 zA
-4 c5 zS
-c7 zc
0 0 0 0
256 c1+
256·c4+
16·c5+c7
4
4
EIz
� � EI�
� �
1 � c
3 2 �
3
2 � L
2 � L
c
625 c1+
625 c4+
25 c5+c7
0 0 0 0
-81 c4 zA
-9 c5 zS
-c7 zc
0 0 0 0
Symmetrie
GIT
� �
2 � L
0 0 0
-256 c4 zA
-16 c5 zS
-c7 zc
0 0 0 0
c2+c3+c4· 2
z A +
c5· 2 z S +c6+
c7· 2 z c
2
4
BA
� �
3 � c4
�
3
2�
L
16·c2+4 c3
0 0
0
-625 c4 zA
-25 c5 zS
-c7 zc
0 0 0 0
2
+16 c4· z A
+4 c5· 2
z S
+c6+c7· 2 z S
c
5
0 0 0
81 c2+9 c3
2
+81 c4· z A
+9 c5· 2 z S +
2
c6+c7· z c
2
S*
��
�
2 � L
256 c2+16 c3
2
+256 c4· z A
2
+16 c5· z S
2
+c6+c7· z c
c6 � c�
0 0
�
L
2
0
35
625 c2+25 c3
2
+625 c4· z A
2
+25 c5· z S
2
+c6+c7· z c
c7 � cy
�
L
2

Kg=
36
g
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5
g1 0 0 0 0 -g3 (1+� 2 /3)-g4 g5 8/9 g3 3/4 g5 16/225 g3 5/36
1
N � �
�
2 � L
4 g1 0 0 0 g5 32/9
2
-g3 (1+4 � 2 /3)
-4 g4
9 g1 0 0 g3 27/4 g5 216/25
g5 96/25 g3 32/9 g5 160/441
-g3 (1+3·� 2 )
-9 g4
g5 432/49 g3 135/16
16 g1 0 g5 256/225 g3 128/9 g5 768/49
-g3 (1+16 � 2 /3)
-16 g4
g5 1280/81
25 g1 g3 125/36 g5 1000/441 g3 375/16 g5 2000/81
-g3 (1+25 � 2 /3)
-25 g4
g2+g6 0 0 0 0
4 g2+g6 0 0 0
Symmetrie 9 g2+g6 0 0
16 g2+g6 0
25 g2+g6
g
2
2
N � ip
� �
�
2 � L
2
g
3 �
M
L
0
g
4
( Mi
� Mk
) � �
�
4 � L
2
g
5
� Mi
� M
�
L
2 L qy/� -g1 g3 (1+� 2 /3)+g4
0 0 -g5 32/9
2 L qy/(3 �) 0 -g3 27/4
0 0 -g5 256/225
2 L qy/(5 �) 0 -g3 125/36
P1 = 2 L mx/� P2 = g3 (1+� 2 /3)+g4 · v1,0 P3 = -g2-g6 · �1,0
0 -g5 8/9 0
2 L mx/(3 �) -g3 3/4 0
0 -g5 16/225 0
2 L mx/(5 �) -g3 5/36 0
k
g6 � qz
� zq
�
Bild 4.1 Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren des Matrizenverfahrens nach Friemann/
Stroetmann [23]
Vorverformungen, die durch die Ansatzfunktionen beschrieben werden können, lassen
sich durch einen zusätzlichen Lastvektor Pv erfassen.
Pv = -Kg · V0
V
T
0
� [ v
T
0
; �
T
0
]
(4.9)
= [v1,0, v2,0,v3,0, v4,0, v5,0, �1,0, �2,0, �3,0, �4,0, �5,0] (4.10)
V0 entspricht dem Vektor der Ansatzfreiwerte zur Beschreibung des vorverformten
Zustandes. Die Rückrechnung der Schnittgrößen und der Bettungskräfte bzw.
Stabilisierungslasten erfolgt mit Hilfe des Lösungsvektors V über entsprechende
Elastizitätsbeziehungen.
L
2

� Beanspruchung einer Translationsbettung cy
v c = v – zc · � (4.11)
y
q c = cy ·
y
= cy ·
�
�
��
v cy
5
� i � � � x 5
�
� j�
� � x ��
v i �sin�
� � zc
� �j
�sin�
��
(4.12)
� L � j 1 � L ���
� �
i�1�
� Beanspruchung eines Schubfeldes mit Schubsteifigkeit S*
v � � v��
� z � ��� (4.13)
�S *
S
qS* � �S*
�v�S�
*
� 5
2
� � � � � � �
5
2
i � i x �
� j�
� � � j�
� � x ��
= S * ���vi����sin� � � zS
���j����sin�
��
(4.14)
��
i�1�L��L�j�1�L��L���
QS* � S*
�v�S
*
� 5 i � � � i � � � x 5
�
j�
� � j�
� � x ��
� S * ���vi��cos�
� � zS
���j��cos�
��
(4.15)
��
i�1L�L�j�1L�L���
� Beanspruchung eines Aussteifungsträgers mit Biegesteifigkeit BA
v ����
v����
� z � ����� (4.16)
�A A
qA � BA
� v�A�
��
� 5
4
� � � � � � �
5
4
i � i x �
� j�
� � � j�
� � x ��
= B A � ��vi����sin�
� � zA
���j����sin�
��
(4.17)
��
i�1�L��L�j�1�L��L���
� Beanspruchung einer Drehbettung
� � � � �
�
�
5 � j�
� � x �
m � c � � � c � �j
� sin�
�
(4.18)
j 1 � L �
Bei der Auswertung der Gleichungen (4.11) bis (4.18) ist zu beachten, daß auch bei
mehrgliedrigen Verformungsansätzen die Genauigkeit der Ergebnisse umso mehr
zurückgeht, je höher die Ableitungen sind, mit denen die Größen beschrieben werden.
Friemann/Stroetmann [23] geben für ein Beispiel mit seitlicher Stützung durch ein
Schubfeld Abweichungen zwischen der maximalen Stabilisierungslast gemäß
Gleichung (4.14) und der maximalen Stabilisierungslast aus einer FEM-Berechnung
von 5 bis 10 % je nach betrachtetem Lastfall an. Für die Gleichungen (4.12), (4.15)
und (4.18) ergeben sich noch bessere Übereinstimmungen.
37

38
5 Ingenieurmodell für Stabilisierungslasten beim
Biegetorsionsproblem
5.1 Vorbemerkungen
Die praxisüblichen Standardverfahren zur Berechnung von Stabilisierungslasten
behandeln den Druckgurt von Biegeträgern als Druckstab. Diese einfache
Modellvorstellung ermöglicht die Beschreibung von Stabilisierungslasten als
Funktion der Normalkraft und der Verformung des stabilisierten Gurtes auf der
Grundlage der Differentialgleichung des Druckstabes.
EI � v����
�
�
�
(5.1)
z,
Gurt
Gurt
�NGurt � v�Gurt
� qy,
Gurt
Wird der Gurt in y-Richtung durch eine Stabilisierungskonstruktion seitlich gestützt,
so kann die auf die seitliche Halterung wirkende Stabilisierungslast als Ersatzbelastung
für den Einfluß der Gurtnormalkraft in Verbindung mit der Verschiebung des
Gurtes in y-Richtung aufgefaßt werden.
� �� N � v�
q S � qy,
Gurt,
Ersatz � � Gurt Gurt
(5.2)
Mit Gleichung (5.2) können die Stabilisierungslasten beim Biegeknickproblem
berechnet werden. Die Anwendung dieser Gleichung auf das tatsächlich vorliegende
räumliche Biegetorsionsproblem stellt eine Näherung dar.
Zur Beschreibung der beim Biegetorsionsproblem auftretenden Stabilisierungslasten
kann das Konzept der Ersatzbelastung aus dem Druckstabmodell auf das räumliche
Modell eines seitlich gestützten biegedrillknickgefährdeten Trägers übertragen
werden. Dieses Verfahren wird als „Ersatzbelastungsverfahren – Biegedrillknicken“
oder kurz EBV-BDK bezeichnet.
Mit dem EBV-BDK wird ein Ingenieurmodell für die Stabilisierungslasten beim
Biegetorsionsproblem hergeleitet, mit dessen Hilfe die Einflüsse aus Imperfektionen,
elastischen Verformungen und planmäßiger Belastung von seitlich gestützten Trägern
als horizontale Ersatzlasten qy in Höhe der Gurte von doppeltsymmetrischen I-Querschnitten
behandelt werden können.
5.2 Herleitung des Ersatzbelastungsverfahrens –
Biegedrillknicken EBV-BDK
Das Biegetorsionsproblem eines durch Normalkraft und Biegung um die y-Achse
belasteten vorgekrümmten und vorverdrehten Trägers mit doppeltsymmetrischem

Querschnitt kann mit den gekoppelten Differentialgleichungen (5.3a) und (5.3b) beschrieben
werden.
EI � v����
� ( M � ( � � �)
) ��
� ( N � ( v � v)
�)
� � q
(5.3a)
z
y
0
EI� ������ � GIT
� ��� � c�
� � � qz
� zp
� ( �0
� �)
y
0
2
p
0
0
� M � ( v � v)
��
� ( N � i � ( � � �)
�)
� � m
(5.3b)
Durch Ableiten der Klammerausdrücke ergeben sich die Gleichungen (5.4a) und
(5.4b).
EI
z
� v����
� M
0
y
� ��� � 2 � V
0
0
� N � v��
� N�
� v�
� N � v��
� N�
� v�
� q
EI
� � � GIT
� � c�
� N �i
����� 2
p
� ��� � N�
�i
0
��� 2
p
0
z
� �� � q � � � M
��
�
0
q
z
2
p
� �� � N �i
z
� z
p
� ��� 0
y
� �
0
� q
� N�
�i
2
p
x
z
y
y
� ��� � z
� ��
p
� 2 � V
� � �
� m
x
M
z
y
���
�
0
q
z
� v��
� M
� �
y
� v��
39
(5.4a)
(5.4b)
Isoliert man die Steifigkeitsanteile, die mit den vierten Ableitungen der Verformungen
v und � gekoppelt sind und faßt man die übrigen Steifigkeits- und Lastterme als
Ersatzbelastungen auf, so lassen sich die Gleichungen (5.4a) und (5.4b) als Gleichung
(5.5a) und (5.5b) schreiben.
EI � v����
� q � q
(5.5a)
z
EI ����� �
mit
y
y,
Ersatz
� � � mx
mx,
Ersatz
(5.5b)
� M � ��� � 2 � V � �� � q � �
qy,Ersatz = y 0 z 0 z 0
� M y ����
� 2 � Vz
� �� � qz
� �
� N � v�0
� � N�
� v�0
� N � v��
� N�
��� � v�
mx,Ersatz = GI T � � c�
� � � qz
� zp
� �0
� qz
� zp
� �
� M y � v�0
� � M y � v��
� N � i
2
p
����
� N�
� i
0
2
p
2
p
� �� � N � i
0
� ��� � N�
� i
Die Berücksichtigung der Auswirkungen von Geometrieänderungen durch den Ansatz
von Ersatzbelastungen ist für ebene Druckstäbe eine übliche Vorgehensweise und in
DIN 18800 [1] Teil 2 fest verankert. Bild 5.1 zeigt zwei Beispiele für Ersatzlasten, die
gemäß [1] anstelle geometrischer Ersatzimperfektionen angesetzt werden können.
2
p
� ��

40
Bild 5.1 Ersatzbelastungen für Druckstäbe nach DIN 18800 Teil 2
Es können aber nicht nur die Auswirkungen von spannungslosen Vorverformungen
sondern auch die Auswirkungen von elastischen Verformungen infolge äußerer
Lasten durch den Ansatz von Ersatzbelastungen berücksichtigt werden. Ein Beispiel
dafür ist der Ansatz vergrößerter Stockwerksquerkräfte nach Element (521) der DIN
18800 [1] Teil 2 bei der Berechnung verschieblicher Rahmentragwerke. Ausführlich
wird der Ansatz von Ersatzlasten zur Berechnung ebener Rahmentragwerke von
Terlau [97] diskutiert.
Die Gleichungen (5.5a) und (5.5b) stellen eine Übertragung der Modellvorstellung
Ersatzbelastung auf das räumliche Biegetorsionsproblem dar. Bei der Formulierung
des Ersatzstreckentorsionsmomentes mx,Ersatz gemäß Gleichung (5.5b) ist zu beachten,
daß die Auswirkungen von Torsionsverdrehungen � in Verbindung mit der St.
Venant’schen Torsionssteifigkeit GIT und der Drehbettung c� ebenfalls der Ersatzbelastung
zugerechnet werden und damit der Einfluß der Torsionssteifigkeit von
Träger und Drehbettung auf die Stabilisierungslasten berücksichtigt wird.
Man kann Gleichung (5.5a) als Biegung um die z-Achse unter Ersatzbelastung qy und
Gleichung (5.5b) als reine Wölbkrafttorsion unter Ersatzbelastung mx verstehen. Die
Wirkung der St. Venant’schen Torsionssteifigkeit GIT und der Drehbettung c� sind
dabei nicht vernachlässigt, sondern in der Ersatzbelastung mx,Ersatz enthalten.
Reine Wölbkrafttorsion läßt sich als Gurtbiegung interpretieren. Siehe dazu Bild 5.2
nach Roik [86]. Das Torsionsmoment mx und mx,Ersatz kann deshalb analog zu dem
Kräftepaar in Bild 5.2 in ein Kräftepaar aus Ersatzlasten qy,OG und qy,UG in Höhe der
Querschnittsgurte zerlegt werden. Bild 5.3 verdeutlicht diese Vorgehensweise, die mit
„Gleichgewicht am Querschnitt“ beschrieben werden kann. Mit hS als dem Abstand
der Gurtmittelpunkte erhält man die Obergurtlast qy,OG und die Untergurtlast qy,UG
gemäß Gleichung (5.6a) und (5.6b).

Bild 5.2 Analogie zwischen reiner Wölbkrafttorsion und Gurtbiegung nach Roik [86]
41

42
Bild 5.3 Gleichgewicht am Querschnitt
1
1
� � ( qy
� qy,
Ersatz ) � � ( mx
� mx,
)
(5.6a)
2
h
qy, OG
Ersatz
S
1
1
� � ( qy
� qy,
Ersatz ) � �(
mx
� mx,
)
(5.6b)
2
h
qy, UG
Ersatz
S
Benutzt man für die Gleichungen (5.6a) und (5.6b) anstelle der rechten Seiten die
linken Seiten der Gleichungen (5.5a) und (5.5b), so ergeben sich die Gleichungen
(5.7a) und (5.7b).
q
q
1
1
� � EIz
� v����
� � EI�
������
2
h
y , OG
(5.7a)
S
1
1
� � EIz
� v����
� � EI�
� ����� 2
h
y , UG
(5.7b)
S
Diese lassen sich mit Hilfe der Beziehungen (5.8) bis (5.11) in die Gleichung (5.12a)
„Obergurtbiegung“ und die Gleichung (5.12b) „Untergurtbiegung“ überführen.
1
( vOG
v )
2
� � � (5.8)
v UG
1
� � �(
vOG
� v UG )
(5.9)
h
mit
S
vOG = Verschiebung des Obergurtes in y-Richtung
vUG = Verschiebung des Untergurtes in y-Richtung
2
hS
I Iz
4
� � � (5.10)
I
z,
OG
Iz
� Iz,
UG �
(5.11)
2

mit
Iz,OG = Biegesteifigkeit des Obergurtes um die z-Achse
Iz,UG = Biegesteifigkeit des Untergurtes um die z-Achse
Die Gleichungen (5.8) und (5.9) gelten für kleine Verdrehungen �. Die Gleichungen
(5.10) und (5.11) gelten für doppeltsymmetrische I-Profile, wenn die Beiträge des
Steges und der Walzausrundungen bei der Berechnung von Iz vernachlässigt werden.
1 1
1
hS
1
qy, OG � � 2 � EIz,
OG � � ( v�OG
���
� v�UG
���
) � � 2 � EIz,
OG � � � ( v�OG
���
� v�UG
���
)
2 2
hS
4 hS
� EI � v����
(5.12a)
z,
OG
OG
1 1
1
hS
1
qy, UG � � 2 � EIz,
UG � � ( v�OG
���
� v�UG
���
) � � 2 � EIz,
UG � � � ( v�OG
���
� v�UG
���
)
2 2
hS
4 hS
� EI � v����
(5.12b)
z,
UG
UG
Mit den Gleichungen (5.5a), (5.5b) und (5.6a), (5.6b) ergeben sich die Gleichungen
(5.13a), (5.13b) für die Ersatzlasten qy in Höhe der Querschnittsgurte.
1 m
qy, OG � � qy
�
2 h
x
S
� N M y � N�
� � � � � v�0
� � � v�
�
0
2 h �
� S �
2
� 2
2
ip
M � �
y
i �
p
� 1 zp
�
� � N � � � ���0
� � � N�
� � V �
z ���0
� q � �
z � � � �
�
0
hS
2 � � h � �
S
2 h �
� S
�
� � �
�
� N M y � N�
� � � � � v��
� � v�
� 2 h �
� S �
2
� 2
� � 2 �
� ip
M y GI � � ��� � � i
T
p
� N � � �
N�
� � V � � ��
�
� �
z
h
�
S 2 hS
hS
�
� � �
�
�
�
� �
�
1 zp
�
c�
� q � � �
�
� �
� z
(5.13a)
� � �
� �
2 hS
�
hS
�
1 mx
qy, UG � �q
y �
2 hS
� N M y � N�
�
� � � � v�0
� � � v�
�
0
2 h �
� S �
2
2
2
43

44
� 2
2
ip
M � �
y
i �
p
� 1 zp
�
� ��
N � � � � ��0� � ��
N�
� � V �
z � ��0
� q � �
z � � � �
�
0
hS
2 � � h � �
S
2 h �
� S
�
� �
�
�
� N M y � N�
� � � � � v��
� � v�
� 2 h �
� S �
2
� 2
� � 2 �
� ip
M y GI � � ��� � � i
T
p
� � N � � �
� N�
� � V � � ��
�
� �
z
h
�
S 2 hS
hS
�
� �
�
�
�
�
� �
�
1 zp
�
c�
� q � � �
�
� �
� z
(5.13b)
� � �
� �
2 hS
�
hS
�
Sind die Verformungen v, � und ihre Ableitungen v � , v��,
��,
��� bekannt, so können
mit Hilfe der Gleichungen (5.13a) und (5.13b) die Stabilisierungslasten berechnet
werden, die auf die Trägergurte und auf eine seitliche Halterung am Obergurt bzw. am
Untergurt wirken. Die Art der seitlichen Halterung (unverschieblich, biegesteif,
schubsteif, Wegfeder, kontinuierlich oder diskret) geht über die Verformungen v, �
und deren Ableitungen in die Gleichungen (5.13a) und (5.13b) ein. Diese Gleichungen
sind damit universell anwendbar auf alle Aussteifungen in Höhe der Querschnittsgurte.
Es ergeben sich bei Vorhandensein einer kontinuierlichen seitlichen Stützung zusätzliche
Steifigkeitsterme zur Gurtbiegesteifigkeit EIz,OG bzw. EIz,UG als rechte Seite in
den Gleichungen (5.12a) und (5.12b). Diese zusätzlichen Steifigkeitsterme sind in
Gleichung (5.14a) für Stützung am Obergurt und Gleichung (5.14b) für Stützung am
Untergurt angegeben. Die Steifigkeit einer unverschieblichen seitlichen Halterung (in
der Literatur meist als „gebundene Drehachse“ bezeichnet) ist unendlich. Die
Ersatzlast qy,OG bzw. qy,UG wird bei unverschieblichem Gurt ausschließlich von der
seitlichen Halterung aufgenommen und bewirkt keine zusätzliche Biegung um die z-
Achse im gehaltenen Gurt.
q � EI � v����
� EI � v����
� S*
�v��
� c � v
(5.14a)
y,
OG
y,
UG
z,
OG
z,
UG
OG
UG
A
A
OG
UG
OG
q � EI � v����
� EI � v����
� S*
�v��
� c � v
(5.14b)
mit
EIA = Biegesteifigkeit eines Aussteifungsträgers
S* = Schubsteifigkeit eines Schubfeldes
cy = Federsteifigkeit einer Translationsbettung
UG
Die in Abschnitt 4 beschriebene Art der Berechnung von Bettungskräften mit den
Gleichungen (4.11) bis (4.18) als Bettungssteifigkeit multipliziert mit Bettungsverformung
ist vorteilhaft, wenn die Steifigkeit der seitlichen Halterung eine endliche
Größe besitzt. Sie versagt allerdings bei der Ermittlung von Stabilisierungslasten, die
y
y
OG
UG

auf eine unverschiebliche Halterung wirken. Für das EBV-BDK mit den Ersatzlasten
gemäß Gleichung (5.13a) und (5.13b) gilt diese Einschränkung nicht.
Die Stabilisierungslast qS, die auf eine elastisch verschiebliche seitliche Halterung
wirkt, kann berechnet werden, indem man den Anteil q EI , der von der Gurtbiege-
z
steifigkeit des Trägers abgetragen wird, von den Ersatzlasten qy,OG und qy,UG
subtrahiert. Dieser Lastanteil ist für Ober- und Untergurt mit Gleichung (5.15a) und
(5.15b) gegeben.
q
q
EI z
EI z
, OG
, UG
� EI
� EI
z,
OG
z,
UG
� v����
OG
� v����
UG
EI
�
2
z
EI
�
2
z
� h �
� ����
S � v � � ����� �
� 2 �
� h �
� ����
S � v � � ����� �
� 2 �
45
(5.15a)
(5.15b)
Durch Subtraktion dieser Anteile in den Gleichungen (5.13a) und (5.13b) erhält man
die Stabilisierungslasten qS gemäß Gleichung (5.16a) und (5.16b).
1 mx
qS, OG � � qy
�
2 hS
� N M y � N�
� � � � � v�0
� � � v�
�
0
2 h �
� S �
2
� 2
2
ip
M � �
y
i �
p
� 1 zp
�
� � N � � � ���0
� � � N�
� � V �
z ���0
� q � �
z � � � �
� hS
2 � � h � �
S
2 h �
� S
�
� � �
�
� N M y � N�
� � � � � v��
� � v�
� 2 h �
� S �
2
� 2
� � 2 �
� ip
M y GI � � ��� � � i
T
p
� N � � �
N�
� � V � � ��
�
� �
z
h
�
S 2 hS
hS
�
� � �
�
�
�
� �
�
1 zp
�
c�
� q � � �
�
� �
� z � � �
� �
2 hS
�
hS
�
� �
EI � h �
�
� ����
S
� � v � � ����� 2 � 2 �
z (5.16a)
0

46
1 m
qS, UG � � qy
�
2 h
x
S
� N M y � N�
� � � � � v�0
� � � v�
�
0
2 h �
� S �
2
� 2
2
ip
M � �
y
i �
p
� 1 zp
�
� ��
N � � � � ��0� � ��
N�
� � V �
z � ��0
� q � �
z � � � �
� hS
2 � � h � �
S
2 h �
� S
�
� �
�
�
� N M y � N�
� � � � � v��
� � v�
� 2 h �
� S �
2
� 2
� � 2 �
� ip
M y GI � � ��� � � i
T
p
� � N � � �
� N�
� � V � � ��
�
� �
z
h
�
S 2 hS
hS
�
� �
�
�
�
�
� �
�
1 zp
�
c�
� q � � �
�
� �
� z � � �
� �
2 hS
�
hS
�
� �
EI � h �
�
� ����
S
� � v � ������
2 � 2 �
z (5.16b)
Bei gebundener Drehachse sind die Verformungen v und � nicht mehr unabhängig
voneinander. Für gebundene Drehachse im Obergurtmittelpunkt gilt Gleichung
(5.17a), für gebundene Drehachse im Untergurtmittelpunkt Gleichung (5.17b).
hS
v � ���
(5.17a)
2
hS
v � ���
(5.17b)
2
Die geometrischen Ersatzimperfektionen v0 und �0 sind aber in jedem Fall unabhängig
voneinander, da für sie keine Rand- und Verträglichkeitsbedingungen eingehalten
werden müssen.
Für den Fall „gebundene Drehachse am Obergurt“ kann die Stabilisierungslast für die
Obergurthalterung mit Gleichung (5.18a) berechnet werden, die sich ergibt, wenn man
die Beziehung (5.17a) in (5.16a) einsetzt. Gleichung (5.18b) beschreibt die
Stabilisierungslast der Untergurthalterung für den Fall „gebundene Drehachse am
Untergurt“, wenn man analog die Beziehung (5.17b) in (5.16b) einsetzt.
0

qS,OG =
qS,UG =
1 m
qy, OG � � qy
�
2 h
x
S
� N M y � N�
� � � � � v�0
� � � v�
�
0
2 h �
� S �
2
� 2
2
ip
M � �
y
ip
� � N � � � ���0
� � � N�
�
� hS
2 � � hS
�
� �
� � 1 zp
�
� V �
z ���0
� q � �
z � � � �
� �
0
2 h �
� S
�
�
�
�
� 2
� ip
� � N �
� � hS
� �
� � �
�
�
� 2
h
�
S � GI � � i
T
p h � �
� � � ��� � �
�
S
�
N � � � V � � ��
� � � � � z
4 hS
hS
4
�
�
� � � � �
�
�
�
� �
�
1 zp
�
c�
� q � � �
�
� �
� z � � �
� �
2 hS
�
hS
�
(5.18a)
1 m
qy, UG � � qy
�
2 h
x
S
� N M y � N�
� � � � � v�0
� � � v�
�
0
2 h �
� S �
2
� 2
2
ip
M � �
y
i �
p
� 1 zp
�
� ��
N � � � � ��0� � ��
N�
� � V �
z � ��0
� q � �
z � � � �
�
0
hS
2 � � h � �
S
2 h �
� S
�
� �
�
�
�
� �
�
�
� 2 �
�
� 2 �
� h i S p � GIT
� � h i � �
� � ��� � �
� S p
� � N � � �
N � � � V � ���
� � � � � � � z
4 hS
hS
4 hS
�
� � � � � � � �
�
�
�
� �
�
1 zp
�
c�
� q � � �
�
� �
� z
(5.18b)
� � �
� �
2 hS
�
hS
�
Bei einem Vergleich der Formeln (5.16a), (5.16b) für freie Drehachse mit den
Formeln (5.18a), (5.18b) für gebundene Drehachse fällt auf, daß sich die Anteile aus
Biegemoment My mit den Verformungen v � �,
��� bei gebundener Drehachse gegenseitig
aufheben. Die Anteile aus den Gurtbiegesteifigkeiten EIz,OG und EIz,UG entfallen
ebenfalls bei gebundener Drehachse, so daß die Gleichungen (5.18a) und (5.18b)
keine vierten Ableitungen der Verformungen v und � enthalten.
47

48
5.3 Verifikation des EBV-BDK
In diesem Abschnitt wird anhand ausgewählter Beispiele gezeigt, daß Stabilisierungslasten
mit dem EBV-BDK zutreffend ermittelt werden können. Dazu wird
der Lösungsvektor der Verformungen gemäß Gleichung (4.8) aus dem in Abschnitt 4
beschriebenen Matrizenverfahren nach Friemann/Stroetmann sowohl auf die
Elastizitätsgleichungen (4.11) bis (4.18) als auch auf die Gleichungen (5.16a), (5.16b)
für die Ersatzlasten des EBV-BDK angewendet. Die so erhaltenen Ergebnisse werden
zusätzlich mit Programmberechnungen nach Biegetorsionstheorie II. Ordnung
verglichen, die nachfolgend als genaue Lösung bezeichnet werden.
Bild 5.4 Beispiel für Stabilisierungslasten eines Trägers mit Schubfeld am Obergurt
nach [23]
Untersucht wird das in Bild 5.4 dargestellte Beispiel aus der Literatur [23]. Die Stabilisierungslasten
des gabelgelagerten und durch ein Schubfeld gestützten Trägers
werden für drei verschiedene Lastfälle berechnet, wobei der Lastangriff der Querlast
qz und die Stützung durch das Schubfeld im Obergurtmittelpunkt erfolgen.
Alle drei Lastfälle weisen ein gleich großes maximales Feldmoment von
MF = 1125 kNm auf. Die auf das Schubfeld wirkenden Stabilisierungslasten sind
aber sowohl bezüglich der Maximalwerte als auch bezüglich der Veränderlichkeit in
Trägerlängsrichtung für alle drei Lastfälle sehr unterschiedlich.
In den Bildern 5.5a bis 5.5c sind die Verläufe der Stabilisierungslast qS graphisch
dargestellt. Man erkennt, daß die Ergebnisse der genauen Berechnung sehr gut sowohl
von der Elastizitätsgleichung (4.14) als auch von der Gleichung (5.16a) des EBV-
BDK angenähert werden können. Lediglich der starke Abfall der negativen Stabilisierungslasten
in Auflagernähe bei den Lastfällen 1 und 2 kann mit dem EBV-BDK
nicht abgebildet werden. Dieses Phänomen kann mit der Zunahme der Eigenbiegesteifigkeit
des stabilisierten Trägers um die schwache Achse in Auflagernähe relativ

zur Steifigkeit der seitlichen Halterung erklärt werden. In dem Maße, in dem die
Schubfeldbelastung in Auflagernähe abnimmt, steigt die Querkraft Vy im Träger
selbst.
qs [kN/m]
2
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-1,5
LF 1: q z= 10 kN/m
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
DRILL
Friemann/Stroetmann Gl. (4.14)
EBV-BDK Gl. (5.16a)
Bild 5.5a Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL,
Gleichung (4.14) und Gleichung (5.16a) für LF1
qs [kN/m]
-2
-4
-6
-8
LF 2: q z= 20 kN/m, M s= -1125 kNm
6
4
2
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
DRILL
Friemann/Stroetmann Gl. (4.14)
EBV-BDK Gl. (5.16a)
Bild 5.5b Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL,
Gleichung (4.14) und Gleichung (5.16a) für LF2
49

50
qs [kN/m]
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
LF 3: M s= 1125 kNm
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
DRILL
Friemann/Stroetmann Gl. (4.14)
EBV-BDK Gl. (5.16a)
Bild 5.5c Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL,
Gleichung (4.14) und Gleichung (5.16a) für LF3
Im Lastfall 3 mit konstantem Biegemoment liefern die Programmberechnung und die
beiden Näherungsgleichungen identische Ergebnisse, da die Sinushalbwelle für die
Trägerverformungen v und � in diesem Fall die exakte Lösung darstellt.
Einfluß der Steifigkeit der Gurthalterung auf die Güte der mit dem EBV-BDK
berechneten Stabilisierungslasten
Da die nach EBV-BDK berechneten Ergebnisse für die Stabilisierungslasten qS vom
Verhältnis Gurtbiegesteifigkeit des Trägers zu Steifigkeit der Gurthalterung beeinflußt
werden, soll anhand eines zweiten Beispieles gezeigt werden, wie groß dieser Einfluß
ist und für welche Steifigkeitsverhältnisse das EBV-BDK brauchbare Ergebnisse
liefert.
Bild 5.6 Einfeldträger mit Wegfederbettung am Obergurt

Es wird der in Bild 5.6 dargestellte Träger mit Wegfederbettung am Obergurt untersucht,
wobei die Größe der Federsteifigkeit cy variiert wird. Als Bezugswert für die
Federsteifigkeit cy dient die Gurtbiegesteifigkeit auf der Grundlage einer Sinushalbwelle
als Verformungsfigur des Trägers gemäß Gleichung (5.19).
4
4
cGurt 4
EIz
� 21000 �1318
�
� � �
� � 13,
48 kN/m 4
2
2 L 2 �100
10
2 (5.19)
Die Federsteifigkeit der seitlichen Halterung cy wird gemäß Gleichung (5.20) auf die
Gurtbiegesteifigkeit des Trägers normiert. Man erhält dadurch eine bezogene
Federsteifigkeit cy .
cy
cy � (5.20)
c
Gurt
Die Berechnung der Stabilisierungslasten für den Träger in Bild 5.6 erfolgt für
bezogene Federsteifigkeiten cy � 10 , 100 und 1000. Die Ergebnisse sind in den
Bildern 5.7a bis 5.7c graphisch dokumentiert. Dabei sind die Stabilisierungslasten des
EBV-BDK Gleichung (5.16a) jeweils den Ergebnissen der Elastizitätsgleichung (4.12)
und den Ergebnissen einer FEM-Berechnung mit dem Programm BTII [77]
gegenübergestellt.
qs [kN/m]
0,4
0,3
0,2
0,1
-0,2
-0,3
-0,4
c y = 134,8 kN/m 2
0
0 0,25 0,5 0,75 1
-0,1
x/L
BT II
Friemann/Stroetmann Gl. (4.12)
EBV-BDK Gl. (5.16a)
Bild 5.7a Stabilisierungslasten für Wegfederbettung am Obergurt c y = 10
51

52
qs [kN/m]
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
-0,2
-0,3
-0,4
c y = 1348 kN/m 2
0
0
-0,1
0,25 0,5 0,75 1
x/L
BT II
Friemann/Stroetmann Gl. (4.12)
EBV-BDK Gl. (5.16a)
Bild 5.7b Stabilisierungslasten für Wegfederbettung am Obergurt c y = 100
qs [kN/m]
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
-0,2
-0,3
-0,4
c y = 13480 kN/m 2
0
0
-0,1
0,25 0,5 0,75 1
x/L
BT II
Friemann/Stroetmann Gl. (4.12)
EBV-BDK Gl. (5.16a)
Bild 5.7c Stabilisierungslasten für Wegfederbettung am Obergurt c y = 1000

Mit den berechneten, in den Bildern 5.7a bis 5.7c graphisch dargestellten Stabilisierungslasten
qS lassen sich folgende Erkenntnisse gewinnen.
� Die Elastizitätsgleichung (4.12) liefert in allen Fällen eine gute Übereinstimmung
mit der FEM-Berechnung.
� Die Gleichung (5.16a) des EBV-BDK führt bei kleinen Federsteifigkeiten cy zu
schlechten Ergebnissen für die Stabilisierungslasten qS. Dies liegt am relativ
großen Anteil der Gurtbiegesteifigkeit in Verbindung mit den Verformungen
v � ���,
����� , die durch die Sinusreihen offensichtlich nur unzureichend beschrieben
werden können. Für die 1000-fache Federsteifigkeit cy sind die Ergebnisse des
EBV-BDK von vergleichbarer Güte wie diejenigen der Elastizitätsgleichung.
Die untersuchten Beispiele zeigen, daß das EBV-BDK zur Berechnung von Stabilisierungslasten
seitlich gestützter Träger geeignet ist, wenn eine quasi gebundene
Drehachse in Höhe der Trägergurte vorliegt. Die Berechnung der Stabilisierungslasten
mit den Gleichungen (5.16a) und (5.16b) hat dabei den Vorteil, daß der Einfluß der
verschiedenen Parameter wie Normalkraftverlauf N, Biegemomentenverlauf My,
Querkraftverlauf Vz, Lastangriffspunkt zp, Torsionssteifigkeit GIT, Drehbettung c�,
Vorverformung v0, �0 und elastische Verformung v, � auf die Stabilisierungslasten
sichtbar wird.
Nachteilig wirkt sich auf die Genauigkeit der berechneten Stabilisierungslasten eine
seitliche Halterung mit geringer Steifigkeit aus. In diesem Fall wird ein größerer
Anteil der Stabilisierungslasten durch die Eigenbiegesteifigkeit des Trägergurtes
abgetragen (jeweils letzter Summand in den Gleichungen (5.16a) und (5.16b)). Da
dieser Term die vierten Ableitungen der Verformungen v und � enthält, ist die Näherungslösung
mit Sinusreihenansätzen für v und � zu ungenau. Baupraktische seitliche
Aussteifungen für Träger in Form von Stahlbetonscheiben, Verbänden oder Schubfeldern
sind in der Regel jedoch einige Zehnerpotenzen steifer als die Eigenbiegesteifigkeit
des Trägers um die z-Achse.
Für den Grenzfall der unverschieblichen gebundenen Drehachse am Ober- oder
Untergurt gehen die Gleichungen (5.16a), (5.16b) in die Gleichungen (5.18a), (5.18b)
über. Da in diesen Gleichungen keine höheren Ableitungen als die zweite Ableitung
der Verformung � auftreten, weisen die mit Sinusreihenansätzen berechneten Ergebnisse
eine steigende Genauigkeit auf, in dem Maße wie die Steifigkeit der seitlichen
Halterung im Verhältnis zur Eigenbiegesteifigkeit des gestützten Trägergurtes
zunimmt.
53

54
6 Stabilisierungslasten von Trägern mit gebundener
Drehachse
6.1 Belastung durch Streckentorsionsmomente mx
6.1.1 Vorbemerkungen
Die Vielzahl der Einflüsse auf Stabilisierungslasten beim Biegetorsionsproblem nach
Theorie II. Ordnung mit Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion führt dazu, daß die
Ergebnisse von Programmberechnungen z.B. mit BT II [77] oder DRILL [24] im
Hinblick auf den Einfluß einzelner Systemparameter wie planmäßige Belastung,
Vorverformung oder Drehbettung des stabilisierten Trägers nur schwer interpretiert
werden können. Um die Anschauung zum Tragverhalten von seitlich gestützten
Biegeträgern und den auftretenden Stabilisierungslasten zu fördern, ist es daher
erforderlich, bewußt einfache Systeme und Belastungen zu untersuchen, an denen der
Einfluß einzelner Systemparameter nachvollzogen werden kann.
Als einfachster Fall der Art der seitlichen Stützung wird in Abschnitt 6 einheitlich
eine kontinuierliche unverschiebliche seitliche Halterung im Obergurtmittelpunkt
zugrunde gelegt, wodurch sich für den stabilisierten Träger eine gebundene Drehachse
ergibt. Als weitere Vereinfachung wird in Abschnitt 6.1 mit dem Lastfall konstantes
Streckentorsionsmoment mx ein Problem der Theorie I. Ordnung untersucht. Es soll
damit geklärt werden, welchen Einfluß die Torsionssteifigkeit und die Drehbettung
eines seitlich gestützten Trägers auf die Kräfte in der seitlichen Halterung eines
torsionsbeanspruchten Trägers ausüben, ohne daß Effekte der Theorie II. Ordnung
eine Rolle spielen.
Bild 6.1 zeigt ein Beispiel für den hier behandelten Fall eines gabelgelagerten Trägers
mit gebundener Drehachse im Obergurtmittelpunkt und Belastung durch konstantes
Streckentorsionsmoment mx. Da in diesem Fall kein Stabilitätsproblem vorliegt, ist es
streng genommen nicht richtig, die Kräfte, welche auf die Obergurthalterung wirken,
als Stabilisierungslasten zu bezeichnen. Die Belastung der Obergurthalterung entsteht
als Auflagerreaktion, da die Torsionsverdrehung � des Trägers durch die Exzentrizität
der Halterung zum Schubmittelpunkt behindert wird.
Bild 6.1 Gabelgelagerter Träger mit gebundener Drehachse im Obergurtmittelpunkt
und Belastung durch Streckentrosionsmoment mx

6.1.2 Einfluß der Lastabtragung durch Wölbkrafttorsion auf die
Trägerverformungen nach Theorie I. Ordnung
Durch Ausnutzung der Analogie zwischen den Differentialgleichungen für Biegung
mit Zugkraft, Gleichung (6.1), und Wölbkrafttorsion, Gleichung (6.2), kann
Gleichung (6.3) als Näherung für die Verdrehung �m des Trägers in Feldmitte angegeben
werden.
EI � w����
� Z�
w��
� c � w � q
(6.1)
y
EI ����� ��� �
�
w
z
� , D � � GIT
� � c�
��
mx
(6.2)
m
�
5
384
I�,D = 2 · I�
4
mx
� L
�
EI
�,
D
��
T
55
(6.3)
(6.4)
1
� T �
(6.5)
2
�T
1�
2
�
�
I
T
*
T
mit
� L �
GI
EI
T
�,
D
2
*
T
* GI
� T � L �
(6.6)
EI
�,
D
c�
L
� IT
� �
(6.7)
2 G �
I�,D = Wölbwiderstand, bezogen auf den Drillruhepunkt in Obergurtmitte
�T = Verringerungsfaktor zur Berücksichtigung der St. Venant’schen Torsions-
�T =
steifigkeit
Stabkennzahl, *
� T = Stabkennzahl mit Drehbettung
*
I T = ideeller St. Venant’scher Torsionswiderstand mit näherungsweiser Berücksichtigung
der Drehbettung c� durch Annahme einer Sinushalbwelle als
Verlauf der Verdrehung �
Für einen Träger ohne Obergurthalterung gelten ebenfalls die Gleichungen (6.3) bis
(6.7). In diesem Fall ist aber der Schubmittelpunkt der Drillruhepunkt und damit gilt
Gleichung (6.8) anstelle von Gleichung (6.4).
I�,D = I� (6.8)
Für das Verhältnis der Torsionsverdrehung �m,frei bei freier Drehachse zur Torsionsverdrehung
�m,gebunden bei gebundener Drehachse am Obergurt kann Gleichung (6.9)
angegeben werden. Sie nimmt Zahlenwerte zwischen 1 und 2 an.

56
�
�
m,
frei
m,
gebunden
� 2
L GI
�
T
2�
�
1�
�
2
� � 2�
EI
�
2
L GIT*
1�
�
2
� EI
�
*
�
�
�
�
�
(6.9)
Bei großen Trägerlängen L strebt Gleichung (6.9) gegen den Wert 1. In diesem Fall
überwiegt die Lastabtragung durch St. Venant’sche Torsion und die seitliche
Halterung hat praktisch keinen Einfluß auf die Verdrehung �.
Bei kleinen Trägerlängen L strebt Gleichung (6.9) gegen den Wert 2. In diesem Fall
überwiegt die Lastabtragung durch Wöblkrafttorsion oder anschaulich durch Gurtbiegung.
Die seitliche Halterung am Obergurt verhindert die Verformung des
Obergurtes, so daß nur Untergurtbiegung auftritt und dadurch im Grenzfall der reinen
Wölbkrafttorsion die Verdrehung � im Vergleich zur freien Drehachse genau halbiert
wird.
Aus diesen einfachen Überlegungen läßt sich die Aussage ableiten, daß eine seitliche
Halterung bei kurzen Trägern mit überwiegendem Lastabtrag durch Wölbkrafttorsion
stärker beansprucht wird als eine seitliche Halterung bei langen Trägern mit überwiegendem
Lastabtrag durch St. Venant’sche Torsion.
6.1.3 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem EBV-BDK
Gemäß dem in Abschnitt 5 hergeleiteten Ersatzbelastungsverfahren-Biegedrillknicken
können die Kräfte in der seitlichen Halterung für den vorliegenden Fall mit Gleichung
(6.10) berechnet werden.
1
S � �(
mx
� GI ����
� c�
��
) (6.10)
h
q T
S
Die unbekannte Verformung � und ihre zweite Ableitung ��� werden mit der
Energiemethode bestimmt, wobei als Ansatzfunktionen symmetrische Sinusreihen mit
ungerader Halbwellenanzahl verwendet werden.
� �
�
j
�
j
j�
��
x
�sin
j = 1,3,5,7,9 (6.11)
L
Durch Einsetzen der Ansatzfunktionen in die virtuelle Arbeit des vorliegenden
Problems und Durchführung der Integration erhält man ein Gleichungssystem zur
Berechnung der Freiwerte �j. Die virtuelle Arbeit der inneren Torsionsschnittgrößen
und der Drehbettung gemäß Gleichung (6.13) liefert eine Steifigkeitsmatrix, die
virtuelle Arbeit des äußeren Torsionsmomentes gemäß Gleichung (6.14) einen
Lastvektor.
� W � �W
� �W
(6.12)
e
p

L
�We � ��
�2�EI� ����
�����
� GIT
���
����
� c�
��
����dx
(6.13)
0
L
��mx����
�W
� dx
(6.14)
p
0
Die Integralausdrücke der Produkte von Sinus- und Cosinusfunktionen mit unterschiedlicher
Halbwellenanzahl j werden zu Null, so daß nur die Hauptdiagonale der
Steifigkeitsmatrix besetzt ist. Das Gleichungssystem zur Berechnung der Freiwerte �j
ist entkoppelt, da ein Problem nach Theorie I. Ordnung vorliegt. Für jeden Freiwert �j
gilt Gleichung (6.15).
�
�
�
� 4
j�
��
�
j � 2�
EI
�
4�
m
x
j (6.15)
4
2
2
� � j �GIT
� c
4
2 �
�
�
L
�
�
L
Die Belastung der seitlichen Halterung am Obergurt wird mit Hilfe der so ermittelten
Verdrehung � des Trägers berechnet. Gemäß Gleichung (6.16) kann eine Aufspaltung
in drei Anteile erfolgen.
q
q
q
S � qS,
m � qS,
GI � q
x
T S,
c�
S,
m
x
S, GIT
S
�
�
�
�
57
(6.16)
m x � (6.17)
h
GI
� �
h
S
T
�
�
�
c�
j�
��
x
� � ��
� �sin
� h
L
j
2
� j�
� � j�
��
x
��
� �sin
� L � L
(6.18)
qS , c
j
(6.19)
S
Die als Stabilisierungsquerkraft QS bezeichnete aufintegrierte Belastung der seitlichen
Halterung, die der Schubfeldkraft in einem Schubfeld oder der Querkraft in einem
Aussteifungsverband entspricht, ergibt sich durch Integration der Gleichungen (6.17)
bis (6.19) und Einarbeitung der Randbedingungen des gabelgelagerten Trägers.
Q
Q
S
� QS,
m � QS,
GI � QS,
c
S, mx
x
m
�
h
x
S
�
T
L � x �
��1
� 2�
�
2 � L �
�
(6.20)
(6.21)
GIT
� � ��
�
hS
j�
� j�
��
x
� �cos
L L
(6.22)
c�
� � ��
�
� h
L j�
��
x
� �cos
j�
� L
Q , GI
j
S T
QS , c
j
(6.23)
S

58
6.1.4 Einfluß der Lastabtragung durch Wölbkrafttorsion auf die
Stabilisierungslasten
Um den Einfluß der Lastabtragung durch Wölbkrafttorsion, St. Venant’sche Torsion
und Drehbettung aufzuzeigen, werden die Stabilisierungslast qS und die Stabilisierungsquerkraft
QS mit den oben hergeleiteten Formeln für den Träger in Bild 6.1
berechnet. Das Torsionstragverhalten des Trägers, charakterisiert durch die Stabkenn-
zahl �T bzw. *
T
� gemäß Gleichung (6.6), wird für diesen Zweck variiert, indem jeweils
drei verschiedene Trägerlängen mit und ohne Drehbettung untersucht werden.
Bild 6.2 zeigt den Verlauf der Stabilisierungslast qS in Trägerlängsrichtung für alle
sechs untersuchten Varianten. Es sind jeweils alle Einzelanteile q S,
m , q
x S,
GI , q
T S,
c ,
�
und qS als Summe der Einzelanteile über die Trägerlänge graphisch dargestellt.
Trägerlänge L, Drehbettung c� und Stabkennzahl �T bzw. *
� T der Varianten sind im
Kopf der einzelnen Diagramme angegeben. Bild 6.3 zeigt in analoger Weise den
Verlauf der Stabilisierungsquerkraft QS für alle sechs untersuchten Varianten.
Anhand der berechneten Beispiele ist deutlich zu erkennen, wie die Stabilisierungslast
qS mit größer werdender Trägerlänge im Feldbereich des Trägers reduziert wird. Der
negative Anteil q , der den positiven konstanten Anteil q aus der äußeren Be-
S,
GIT
S,
mx
lastung reduziert, wächst entsprechend der zunehmenden Lastabtragung durch St. Venant’sche
Torsion bei größer werdender Stabkennzahl �T. Für Stabkennzahlen �T > 5
überwiegt der Lastabtrag durch St. Venant’sche Torsion und die Stabilisierungslast qS
in Feldmitte geht gegen Null.
Auch durch Vorhandensein einer Drehbettung c� wird die Stabilisierungslast qS
reduziert. Die Wirkung einer Drehbettung fällt dabei umso größer aus, je länger der
untersuchte Träger ist. Beim kurzen Träger mit Drehbettung ( *
� T = 2,56) überwiegt
die Reduzierung der Stabilisierungslast infolge GIT. Für den langen Träger mit Drehbettung
( *
� T = 21,78) ist der Beitrag der Eigentorsionssteifigkeit des Trägers zum
Lastabtrag im Vergleich zur Drehbettung zu vernachlässigen.
Bezüglich der maximalen Stabilisierungsquerkraft QS am Auflager fällt auf, daß sich
das Anwachsen von Q S,
m und die Reduzierung durch Q
x
S,
GI und Q
T
S,
c mit
�
steigender Trägerlänge ungefähr die Waage halten. Die maximale Querkraft in der
seitlichen Halterung weist deshalb für alle sechs untersuchten Varianten die gleiche
Größenordnung auf.
Um den Fehler abschätzen zu können, der durch die Approximation der
Trägerverdrehung � durch Sinusreihen entsteht, wurden alle sechs Beispielvarianten
auch mit dem FEM-Programm BT II berechnet. Die Abweichung in der Verformung
� und in der Querkraft QS beträgt in allen Fällen weniger als 1 % über die gesamte
Trägerlänge.

L = 5 m c � = 0 �T = 2,24
qs [kN/m]
3,0
2,0
1,0
0,0
0 0,5 1
-1,0
-2,0
L = 10 m c � = 0 �T = 4,48
qs [kN/m]
3,0
2,0
1,0
-2,0
-3,0
x/L
qs,GIt
qs,mx
0,0
0 0,5 1
-1,0
L = 20 m c � = 0 �T = 8,97
qs [kN/m]
3,0
2,0
1,0
-2,0
x/L
qs
qs,GIt
qs,mx
qs
qs,GIt
qs,mx
0,0
0 0,5 1
-1,0
qs
L = 5 m c � = 5 kNm/m
� � T = 2,56
qs [kN/m]
3,0
2,0
1,0
-1,0
-2,0
59
0,0
0 0,5 1
L = 10 m c � = 5 kNm/m
� � T = 6,69
qs [kN/m]
3,0
2,0
1,0
-1,0
-2,0
x/L
qs,GIt
qs,mx
qs,c
qs �
0,0
0 0,5 1
L = 20 m c � = 5 kNm/m
� � T = 21,78
3,0
2,0
1,0
-2,0
x/L
qs,GIt
qs,mx
qs,c
qs �
0,0
0 0,5 1
-1,0
-3,0
-3,0
x/L
x/L
Bild 6.2 Anteile an der Stabilisierungslast qS des Trägers aus Bild 6.1 für verschiedene
Trägerlängen mit und ohne Drehbettung
qs [kN/m]
qs,GIt
qs,mx
qs,c
qs �

60
L = 5 m c � = 0 �T = 2,24
Qs [kN]
8,0
4,0
0,0
0 0,5 1
-4,0
-8,0
L = 10 m c � = 0 �T = 4,48
Qs [kN]
16,0
8,0
-8,0
-16,0
x/L
Qs,GIt
Qs,mx
Qs
0,0
0 0,5 1
L = 20 m c � = 0 �T = 8,97
Qs [kN]
32,0
16,0
x/L
Qs,GIt
Qs,mx
Qs
0,0
0 0,5 1
-16,0
-32,0
x/L
Qs,GIt
Qs,mx
Qs
L = 5 m c � = 5 kNm/m
� � T = 2,56
Qs [kN]
8,0
4,0
0,0
0 0,5 1
-4,0
-8,0
L = 10 m c � = 5 kNm/m
� � T = 6,69
Qs [kN]
16,0
8,0
-8,0
-16,0
x/L
Qs,GIt
Qs,mx
Qs,c
Qs �
0,0
0 0,5 1
L = 20 m c � = 5 kNm/m
� � T = 21,78
Qs [kN]
32,0
16,0
-16,0
-32,0
x/L
Qs,GIt
Qs,mx
Qs,c
Qs �
0,0
0 0,5 1
x/L
Qs,GIt
Qs,mx
Qs,c�
Qs
Bild 6.3 Anteile an der Stabilisierungsquerkraft QS des Trägers aus Bild 6.1 für verschiedene
Trägerlängen mit und ohne Drehbettung

6.2 Belastung durch konstante Schnittgrößen N und My
6.2.1 Lösung der Differentialgleichung bei sinusförmiger Vorkrümmung
In Abschnitt 6.2 wird die Berechnung der Stabilisierungslasten obergurtgestützter
Träger auf eine unplanmäßige Torsionsbeanspruchung infolge einachsiger Biegung
mit Normalkraft und Vorverformung nach Theorie II. Ordnung erweitert. Um
geschlossene formelmäßige Lösungen angeben zu können, werden konstante Schnittgrößenverläufe
vorausgesetzt.
Betrachtet wird der gabelgelagerte Einfeldträger mit Drehbettung und gebundener
Drehachse im Obergurtmittelpunkt gemäß Bild 6.4. Die Belastung kann aus einer in
Trägerlängsrichtung konstanten Normalkraft N und aus einem in Trägerlängsrichtung
konstanten Biegemoment My bestehen. Eine positive Normalkraft N ist als Zugkraft
definiert. Für das Biegemoment My gilt, daß bei positivem Vorzeichen der Obergurt
und bei negativem Vorzeichen der Untergurt gedrückt wird. Als geometrische
Ersatzimperfektion wird in Übereinstimmung mit den Regelungen im EC3 [2] und im
Normkommentar zu DIN 18800 [63] eine Vorkrümmung v0 als Sinushalbwelle angesetzt.
Die Differentialgleichung der Verdrehung � zur Beschreibung des vorliegenden
Problems mit gebundener Drehachse lautet
2
EI
������
� GI
����
� c
� �
T �
��
�
h
S
�
�
�
� 4
�
�
�
� � � �� 2
� h
� S 2
M ���
� � i � � N ���
y
hS = mx – qy · (6.24)
2
mit
mx = äußeres Streckentorsionsmoment
qy = Streckenlast im Schubmittelpunkt des Trägers angreifend
Bild 6.4 Gabelgelagerter Einfeldträger mit gebundener Drehachse am Obergurt, sinusförmiger
Vorkrümmung und Belastung durch konstantes Biegemoment My
bzw. konstante Normalkraft N
p
61

62
Da im vorliegenden Fall keine äußeren Lasten mx und qy angreifen, ergibt sich die
rechte Seite von Gleichung (6.24) nur infolge der Vorverformung in Verbindung mit
den Schnittgrößen des Trägers. Zur Herleitung dieser Ersatzbelastung infolge
Vorverformung ist es erforderlich, die gekoppelten Differentialgleichungen der Verformungen
v und � (6.25) und (6.26) des vorverformten Trägers mit freier Drehachse
zu betrachten. Der Grund dafür liegt darin, daß die geometrische Ersatzimperfektion
nicht mit den Randbedingungen des Systems verträglich sein muß und folglich auch
nicht der bei gebundener Drehachse vorliegenden kinematischen Beziehung zwischen
den Verformungen v und � unterliegt.
z
�My�( �0
� �)
�� � ( N �(
v0
� v)
�)
� q y
EI � v����
�
�
(6.25)
2 �
�N �i
p �(
�0
� �)
��
m x
EI ����� ��� ��
�
� � � GIT
� � c�
��
� M y �(
v0
� v)
�
(6.26)
Bringt man die Terme, die die Vorverformungen v0 und �0 enthalten, auf die rechte
Seite, kann man sie als Ersatzbelastungen infolge Vorverformung behandeln.
q � �M
����
� N � v��
(6.27)
y,
0
x,
0
y
y
0
0
0
2
p
m � �M
� v��
� N �i
����
(6.28)
0
Durch Einsetzen in Gleichung (6.24) erhält man die Differentialgleichung des
vorverformten Trägers mit gebundener Drehachse.
2
EI�
������
� GIT
����
� c
� 2
hS
2 �
��
� hS
�(
M y ���)
� � � i � p �(
N ���)
�
�
�
4 �
� �
2 hS
hS
= � M y � v�0�
� N �i
p ���0
� � M y � ���0
� � N � � v�0�
2 2
(6.29)
� �
Für den Sonderfall von in Trägerlängsrichtung konstanten Querschnitts- und
Bettungswerten in Verbindung mit konstanten Schnittgrößen N und My liegt eine
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten vor. Wird als Form der Vorverformung,
wie in Bild 6.4, eine Sinushalbwelle gewählt, so ergibt sich als exakte
Lösung für den Verlauf der Verdrehung � ebenfalls eine mit den Randbedingungen
des gabelgelagerten Trägers verträgliche Sinushalbwelle.
��
x
� ( x)
� �m
�sin
(6.30)
L
Wird als Form der Vorverformung eine quadratische Parabel gewählt, so ist die rechte
Seite von Gleichung (6.29) keine Sinushalbwelle, sondern konstant. Die Lösung für
die Verdrehung � weicht in diesem Fall von der Sinushalbwelle der Gleichung (6.30)
ab.
Für die Verdrehung �m in Feldmitte des Trägers mit Sinushalbwelle als Form der
Vorkrümmung v0 ergibt sich als exakte Lösung:

�
m
�
2�
EI
�
2
�
�
L
2
� hS
�
v0,
m ��
N � � M y �
� 2 �
2
2
L � hS
2 �
� GIT
� c � � N ��
i �
� 2 �
� p � M
� 4 �
� �
y
� h
S
63
(6.31)
Man kann dem Zähler von Gleichung (6.31) entnehmen, daß der Stich der Verdrehung
�m proportional zum Stich der Vorkrümmung v0,m ist. Zugkräfte und Biegemomente
mit gezogenem Untergurt verursachen positive Verdrehungen �, wenn die Vorkrümmung
v0 in positiver y-Richtung angesetzt wird. Für Druckkräfte und Biegemomente
mit gedrücktem Untergurt ergeben sich negative Verdrehungen �.
Bei Betrachtung des Nenners von Gleichung (6.31) erkennt man, daß Zugkräfte oder
Biegemomente mit gezogenem Untergurt die Verdrehung � verringern und Druckkräfte
oder Biegemomente mit gedrücktem Untergurt die Verdrehung � vergrößern.
Dies entspricht der Anschauung, daß Druckspannungen im ungestützten Untergurt des
Trägers zu einem Stabilitätsproblem führen, welches durch eine überproportionale
Zunahme der Verformungen bei Laststeigerung gekennzeichnet ist.
Für reine Normalkraftbeanspruchung kann Gleichung (6.31) auch als Gleichung
(6.32) geschrieben werden. Betrachtet man reine Biegemomentenbeanspruchung,
ergibt sich analog Gleichung (6.33).
v0,
m
� m �
��
2 �,
N
(6.32)
Ki,
1
� h i �
� S p
� 2�
�
� 2 h �
�
S �
v0,
m
� m � ��
�,
M
(6.33)
Ki,
1
h
mit
S
N
NKi,
1
�� , N �
Ki,
1 N
1�
N
(6.34)
Ki,
1
�
2
2
1
�
L �
N �
�
Ki,
1 � �
�
2�
EI�
� � GIT
� c�
�
2
2
� �
�
(6.35)
2
h �
�
� s 2 L
�
�
�
� ip
�
� 4 �

64
M
y
M Ki,
1
�� , M �
(6.36)
Ki,
1 M y
1�
M
Ki,
1
�
2
2
1 �
L �
M �
�
Ki,
1 � �
�
2�
EI�
� � GIT
� c�
�
2
2 �
(6.37)
hS
� L
� �
NKi,1 gemäß Gleichung (6.35) und MKi,1 gemäß Gleichung (6.37) sind die idealen
Verzweigungslasten für reine Normalkraftbeanspruchung bzw. reine Biegemomentenbeanspruchung
für den Fall, daß eine einwellige Verzweigungsfigur zum kleinsten
Eigenwert gehört. Für die Berechnung der Faktoren � �,
N und �
Ki,
1 �,
M , die den
Ki,
1
Effekt der Theorie II. Ordnung beschreiben, sind die Schnittgrößen N und My jeweils
mit Vorzeichen einzusetzen.
Bild 6.5 Effekt der Theorie II. Ordnung als Verdrehung �m infolge Vorkrümmung v0,m
bei Belastung durch positives oder negatives Biegemoment My

In Bild 6.5 ist Gleichung (6.36) zur Beschreibung der Trägerverdrehung � als
Funktion der Lastintensität eines Biegemomentes My jeweils für die beiden Fälle
„Druckgurt gehalten“ und „Zuggurt gehalten“ graphisch aufgetragen. Bei gehaltenem
Druckgurt wächst die Verdrehung � degressiv infolge Laststeigerung. Bei gehaltenem
Zuggurt wächst sie progressiv und strebt gegen Unendlich, wenn die Belastung sich
der Verzweigungslast nähert. Man beachte den unterschiedlichen Ordinatenmaßstab
der beiden Diagramme in Bild 6.5. Die Verdrehungen � bei Druckgurtstützung sind
stets kleiner als diejenigen bei Zuggurtstützung.
6.2.2 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem EBV-BDK
Auf die sich einstellenden Trägerverdrehungen � wird hier deswegen eingegangen, da
sie einen direkten Einfluß auf die Stabilisierungslasten in der gebundenen Drehachse
ausüben. In der durch das EBV-BDK bereitgestellten Formulierung der Stabilisierungslasten
als Produkt von Schnittgrößen bzw. Torsionssteifigkeiten mit den
Trägerverformungen bzw. deren Ableitungen lassen sich alle Anteile entweder der
geometrischen Ersatzimperfektion v0 oder der elastischen Verformung � zuordnen.
Die Stabilisierungslast kann damit gemäß Gleichung (6.38) in einen Imperfektionsanteil
und in einen Verformungsanteil aufgespalten werden.
q
q
q
S � qS,
v � q
0 S,
�
S, v0
S,
2
65
(6.38)
� � � � N M y � ��
x
� v0,
m ��
� �
�sin
L �
��
�
2 h �
�
(6.39)
� � �
S � L
2
2
2
� � �
� � i h � GI c L �
p S T
��
x
m � N � �
� � �
� � � ��
� � � � � � � ��
� � �sin
(6.40)
� L � � � hS
4 � hS
hS
� L
� � �
� � �
�
Die als Stabilisierungsquerkraft QS bezeichnete aufintegrierte Stabilisierungslast, die
der Schubfeldkraft in einem Schubfeld oder der Querkraft in einem Aussteifungsverband
entspricht, ergibt sich durch Integration der Gleichungen (6.39) und (6.40)
unter Berücksichtigung der Randbedingungen des gabelgelagerten Trägers.
Q
Q
Q
S � QS,
v � Q
0 S,
�
S, v0
S,
(6.41)
� � N M y � ��
x
� v0,
m � �
�cos
L �
��
�
2 h �
�
(6.42)
�
S � L
2
2
� � � i h � GI c L �
p S T
��
x
m � N � �
� � �
� � � � � � � � � � ��
� � �cos
(6.43)
L � � hS
4 � hS
hS
� L
� � �
� � �
�
mit �m gemäß Gleichung (6.31)

66
6.2.3 Stabilisierungslasten bei Normalkraftbeanspruchung
Um das Verständnis für die beim Torsionsproblem auftretenden Einflußfaktoren für
Stabilisierungslasten zu fördern, sollen das Vorzeichen und die relative Größe der
einzelnen Stabilisierungslastanteile aus Imperfektion und aus elastischer Verformung
analysiert werden. In Bild 6.6 sind zu diesem Zweck die Vorverformung v0, die
elatische Verformung � und die zugehörigen Stabilisierungslastanteile qS,
v und q
0 S,
�
mit ihren Vorzeichen bzw. ihrer Wirkungsrichtung jeweils für einen Träger mit
Zugnormalkraft und für einen Träger mit Drucknormalkraft dargestellt. Beide Träger
sind bis auf das Vorzeichen der angreifenden Normalkraft identisch.
Da beide Träger die gleiche Vorverformung v0 aufweisen, sind die Imperfektionsanteile
der Stabilisierungslast qS, v betragsmäßig gleich groß, aber aufgrund des
0
Vorzeichens der Normalkraft in dem einen Fall positiv und in dem anderen negativ.
Für die Zugnormalkraft ergibt sich eine kleine positive, für die Drucknormalkraft eine
größere negative Verdrehung �. Da die Verformungsanteile der Stabilisierungslast
q S,
� proportional zur Verdrehung � sind, ergibt sich für die Drucknormalkraft eine
betragsmäßig größere Stabilisierungslast qS,� als für die Zugnormalkraft. Parameterstudien
zeigen, daß die Summanden, welche die St. Venant’sche Torsionssteifigkeit
GIT und die eventuell vorhandene Drehbettung c� enthalten, die Gleichung
(6.40) dominieren. Der Normalkraftanteil in Gleichung (6.40) wirkt sich deshalb
kaum aus.
In beiden Fällen, Zugnormalkraft und Drucknormalkraft, stimmt die Wirkungsrichtung
des Imperfektionsanteils q S,
v und des Verformungsanteils q
0
S,
� der
Stabilisierungslast überein. Der Imperfektionsanteil q S,
v , der anschaulich am Modell
0
„Druckgurt = Druckstab“ als Produkt der Gurtkraft N/2 mit der Vorkrümmung v� 0�
gedeutet werden kann, wird also in beiden Fällen durch den Verformungsanteil q S,
�
noch verstärkt. Vernachlässigt man die Verdrehung � von normalkraftbelasteten
Trägern bei der Berechnung der auf die Gurthalterung wirkenden Stabilisierungslast,
so macht man einen Fehler auf der „unsicheren Seite“.
Bemerkenswert ist weiterhin die Tatsache, daß beim Träger mit Zugnormalkraft
überhaupt Stabilisierungslasten auf die Gurthalterung wirken, da ohne Druckspannungen
im Träger auch kein Stabilitätsproblem vorliegen kann. Anschaulich kann
man die entstehende qS-Last (der Name Stabilisierungslast ist hier streng genommen
nicht richtig) dadurch erklären, daß die Zugkraft N bestrebt ist, die Imperfektion v0
wieder gerade zu ziehen. Dies wird durch die seitliche Halterung des Gurtes behindert,
wodurch die qS-Last entsteht.

Bild 6.6 Wirkungsrichtung und Größe der Stabilisierungslast infolge Vorkrümmung v0
und Verdrehung � für positive und negative Normalkraft N
Der Einfluß der Drehbettung c� auf die Stabilisierungslast kann am besten anhand
eines Beispiels verdeutlicht werden. Es wird der in Bild 6.4 dargestellte Träger
untersucht, wobei als Profil ein IPE 400 mit Stützweite L = 20 m und Stich der
Vorkrümmung v0,m = L/500 = 4 cm gewählt wird. Die Drehbettung des Trägers wird
zwischen c� = 0 und c� = 50 kNm/m variiert. Die sich für eine Zug- bzw.
Drucknormalkraft von N = 250 kN in Feldmitte ergebenden Stabilisierungslasten
gemäß Gleichung (6.38) bis (6.40) sind in Tabelle 6.1 zusammengestellt.
Man erkennt, daß bei Zugnormalkraft der Verformungsanteil qS,� betragsmäßig stets
kleiner als der Imperfektionsanteil q S,
v ist. Bei Drucknormalkraft verhält es sich
0
umgekehrt. Hier ist der Verformungsanteil qS,� betragsmäßig stets größer als der
Imperfektionsanteil q S,
v . Dieser Sachverhalt wird in Bild 6.6 durch die unter-
0
schiedlich groß dargestellten Anteile an der Stabilisierungslast verdeutlicht.
67

68
Tabelle 6.1 Stabilisierungslast in Abhängigkeit von der Drehbettung c� bei Belastung
durch Vorkrümmung v0 und Normalkraft N
c�
Bild 6.4 mit: IPE 400, L = 20 m, v0,m = + 4 cm
N = + 250 kN N = - 250 kN
q S,
v qS, � , m q S,
m q S,
v qS, � , m q S,
m
0,
m
[kNm/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m]
0 -0,123 -0,077 -0,200 0,123 0,179 0,303
1 -0,123 -0,095 -0,218 0,123 0,147 0,271
2 -0,123 -0,103 -0,226 0,123 0,138 0,262
3 -0,123 -0,107 -0,231 0,123 0,134 0,258
4 -0,123 -0,110 -0,234 0,123 0,132 0,255
5 -0,123 -0,112 -0,236 0,123 0,131 0,254
10 -0,123 -0,117 -0,240 0,123 0,127 0,251
20 -0,123 -0,120 -0,243 0,123 0,125 0,249
30 -0,123 -0,121 -0,244 0,123 0,125 0,248
40 -0,123 -0,122 -0,245 0,123 0,124 0,248
50 -0,123 -0,122 -0,245 0,123 0,124 0,248
Für große Drehbettungen c� strebt der Zahlenwert des Verformungsanteils qS,� gegen
den Zahlenwert des Imperfektionsanteils q S,
v . Der Grenzwert der Stabilisierungslast
0
bei Belastung durch Vorkrümmung v0 und Normalkraft N ist demnach für unendlich
steife Drehbettung c�:
q
S,
c
���
� 2�
q
S,
v0
� N � v��
0
0,
m
(6.44)
Bei Belastung durch Zugnormalkraft ist die auftretende Stabilisierungslast stets
kleiner als q , bei Belastung durch Drucknormalkraft ist sie stets größer.
S,
c��
�
Eine Ermittlung der Stabilisierungslast von exzentrisch seitlich gestützten Druckstäben
mit Gleichung (6.44) unter Vernachlässigung der Verdrehung � ist deshalb
nicht zulässig. Die tatsächliche Beanspruchung der Stabilisierungskonstruktion wird
bei dieser Vorgehensweise immer unterschätzt. Entscheidend für die Größe der
auftretenden Torsionsverdrehung � und damit für die Größe der Stabilisierungslast qS
ist das Verhältnis von Druckkraft zu Verzweigungslast NKi des betrachteten Systems.
Durch eine Drehbettung c� wird die Verzweigungslast NKi angehoben, woraus eine
Reduzierung der Stabilisierungslast im Vergleich zu einem Druckstab ohne
Drehbettung erfolgt.

6.2.4 Stabilisierungslasten bei Biegemomentenbeanspruchung
Bild 6.7 Wirkungsrichtung und Größe der Stabilisierungslast infolge Vorkrümmung v0
und Verdrehung � für positives und negatives Biegemoment My
Analog zu Bild 6.6 sind in Bild 6.7 die Vorverformung v0, die elastische Verformung
� und die zugehörigen Stabilisierungslastanteile qS, v und qS,� im richtigen Größen-
0
verhältnis mit ihrem Vorzeichen bzw. ihrer Wirkungsrichtung jeweils für einen Träger
mit positivem und für einen Träger mit negativem Biegemoment My dargestellt.
In Übereinstimmung mit den normalkraftbelasteten Trägern ist der Imperfektionsanteil
der Stabilisierungslast q S,
v positiv, wenn der gehaltene Gurt gedrückt wird und
0
negativ, wenn der gehaltene Gurt gezogen wird. Im Gegensatz zu den normalkraftbelasteten
Trägern wirken der Imperfektionsanteil q S,
v und der Verformungs-
0
anteil qS,� aber bei den biegebeanspruchten Trägern in entgegengesetzten Richtungen.
Am anschaulichsten läßt sich dies mit einem zweiten Beispiel zeigen. Es wird dafür
wieder der in Bild 6.4 dargestellte Träger als Profil IPE 400 mit Stützweite L = 20 m
und Stich der Vorkrümmung v0,m = L/500 = 4 cm untersucht, wobei die Belastung
69

70
diesmal aus einem positiven bzw. einem negativen Biegemoment My = 100 kNm
besteht. Die sich bei Variation der Drehbettung c� in Feldmitte ergebenden Stabilisierungslasten
gemäß Gleichung (6.38) bis (6.40) sind in Tabelle 6.2 zusammengestellt.
Tabelle 6.2 Stabilisierungslast in Abhängigkeit von der Drehbettung c� bei Belastung
durch Vorkrümmung v0 und Biegemoment My
Bild 6.4 mit: IPE 400, L = 20 m, v0,m = + 4 cm
My = + 100 kNm My = - 100 kNm
c� q S,
v qS, � , m q S,
m q S,
v qS, � , m q S,
m
0,
m
[kNm/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m]
0 0,255 -0,124 0,131 -0,255 1,352 1,096
1 0,255 -0,166 0,089 -0,255 0,433 0,177
2 0,255 -0,188 0,067 -0,255 0,352 0,096
3 0,255 -0,201 0,054 -0,255 0,322 0,066
4 0,255 -0,210 0,045 -0,255 0,306 0,050
5 0,255 -0,217 0,039 -0,255 0,296 0,041
10 0,255 -0,233 0,023 -0,255 0,276 0,021
20 0,255 -0,243 0,012 -0,255 0,266 0,010
30 0,255 -0,247 0,009 -0,255 0,262 0,007
40 0,255 -0,249 0,007 -0,255 0,261 0,005
50 0,255 -0,250 0,005 -0,255 0,260 0,004
Der Betrag des Verformungsanteils der Stabilisierungslast qS,� konvergiert bei
steigender Drehbettung c� gegen den Betrag des Imperfektionsanteils q S,
v . Da die
0
beiden Anteile ein unterschiedliches Vorzeichen aufweisen, wird die Stabilisierungslast
qS im Grenzfall einer unendlich steifen Drehbettung c� zu null. Dies gilt
sowohl für Belastung durch ein positives als auch für Belastung durch ein negatives
Biegemoment My.
Für ein positives Biegemoment ist der Verformungsanteil qS,� betragsmäßig stets
kleiner als der Imperfektionsanteil q S,
v . Die Stabilisierungslast qS kann bei Druck-
0
gurtstützung deshalb nicht größer werden als der Imperfektionsanteil q S,
v , der sich
0
anschaulich aus dem Produkt der Gurtkraft My/hS mit der Vorkrümmung v� 0�
zusammensetzt.
Für negatives Biegemoment ist der Verformungsanteil qS,� betragsmäßig stets größer
als der Imperfektionsanteil q . Es ergeben sich deshalb bei Vorkrümmung v0 in
S,
v0
positiver y-Richtung stets positive Stabilisierungslasten, sowohl bei Druckgurt- als
auch bei Zuggurtstützung. Bei Zuggurtstützung besteht aber die Gefahr, daß die
Trägerverdrehung � und damit auch die Stabilisierungslast qS stark anwachsen, wenn
nur eine geringe Drehbettung c� vorhanden ist.
0,
m

6.2.5 Stabilisierungslasten bei unterbundener Torsionsverdrehung
Die Tatsache, daß die Stabilisierungslast bei großer vorhandener Drehbettung c� für
Normalkraftbelastung gegen den Wert qS = N · v� 0�
und für Biegebelastung gegen den
Wert qS = 0 konvergiert, kann anschaulich mit Bild 6.8 erklärt werden.
Da die Verdrehung � durch die große Drehbettung c� unterbunden wird, können die
Trägergurte als ebene normalkraftbeanspruchte Stäbe behandelt werden. Bei Trägern
mit Normalkraft wird jedem Gurt NGurt = N/2 und bei Trägern mit Biegemoment wird
jedem Gurt NGurt = � My/hS zugeordnet. Diese Gurtkräfte ergeben in Verbindung mit
der Vorkrümmung v� 0�
des Trägers Abtriebskräfte senkrecht zur Stabachse.
Im Falle des biegebelasteten Trägers sind diese Abtriebskräfte entgegengesetzt,
wodurch sie sich gegenseitig aufheben. Das entstehende Torsionsmoment wird durch
die Drehbettung c� aufgenommen. Im Falle des normalkraftbelasteten Trägers wirken
die Abtriebskräfte in die gleiche Richtung. Für Gleichgewicht in y-Richtung ist
deshalb eine Auflagerreaktion in der Obergurthalterung erforderlich, welche als
Stabilisierungslast qS bezeichnet wird.
Bild 6.8 Modellvorstellung für die Ermittlung der Stabilisierungslast qS im Grenzfall c� = �
71

72
Eine alternative Erklärung kann durch die Behandlung der Vorverformung als Ersatzbelastung
erfolgen. Dazu werden die bereits weiter oben abgeleiteten Gleichungen
(6.45) und (6.46) verwendet.
q � �M
����
� N � v��
(6.45)
y,
0
x,
0
y
y
0
0
0
2
p
m � �M
� v��
� N �i
����
(6.46)
0
Für den hier betrachteten Fall des Trägers mit Vorkrümmung v0 ergibt sich infolge
Biegemoment My ein Ersatztorsionsmoment mx,0, das durch die Drehbettung c�
aufgenommen wird. Infolge Normalkraft N ergibt sich eine Ersatzstreckenlast qy,0, die
durch die Obergurthalterung abgetragen wird.
6.2.6 Vorverdrehung als Imperfektionsannahme
Ausgehend von dem mit Gleichung (6.45) und (6.46) verdeutlichten Sachverhalt, daß
bei biegebelasteten Trägern eine Vorkrümmung v0 als Ersatztorsionsmoment mx,0 und
eine Vorverdrehung �0 als Ersatzstreckenlast qy,0 behandelt werden können, formulieren
Friemann/Stroetmann [23] die Forderung, daß zur Bemessung einer seitlichen
Abstützung von Biegeträgern eine Vorverdrehung �0 anzusetzen ist. Diese Forderung
ergibt sich aus der Überlegung, daß ein Ersatztorsionsmoment mx,0 überwiegend durch
eine vorhandene Drehbettung c� aufgenommen wird und eine Ersatzstreckenlast qy,0
im Wesentlichen die seitliche Abstützung belastet.
Um diesen Gedanken zu diskutieren, wird erneut der gabelgelagerte Einfeldträger mit
Drehbettung und gebundener Drehachse im Obergurtmittelpunkt gemäß Bild 6.4
betrachtet. Die geometrische Ersatzimperfektion besteht diesmal aber nicht aus einer
Vorkrümmung v0, sondern aus einer Vorverdrehung �0 gemäß Gleichung (6.47).
��
x
� 0 ( x)
� �0,
m �sin
(6.47)
L
Zur Berechnung der Verdrehung �m in Feldmitte des Trägers ergibt sich daraus,
analog zu Gleichung (6.31) für den Träger mit Vorkrümmung v0, die Gleichung
(6.48).
�
m
�
2�
EI
�
2
�
�
L
2
�
0,
m
� GI
T
� 2 hS
�
��
� N �i
p � M y � �
�
2 �
2
2
L � hS
2 �
� c N � i �
� � � �
2 �
� p � M y � h
� 4 �
� �
S
(6.48)
Die Gleichungen des EBV-BDK zur Berechnung der Stabilisierungslast qS und der
Stabilisierungsquerkraft QS sind für den vorliegenden Fall nachfolgend angegeben,

wobei sich jeweils nur die Imperfektionsanteile qS, � bzw.
Q
0 S,
� von den für eine
0
Vorkrümmung v0 gültigen Gleichungen (6.38) bis (6.43) unterscheiden.
q
q
q
Q
Q
Q
q
q
S � S,
� �
0 S,
�
73
(6.49)
2
2
� � � � i M �
� p y ��
x
0,
m N �
� � � ��
� � � � � �sin
(6.50)
� L � � hS
2 �
�
�
L
S, 0
S,
2
2
2
� � �
� � i h � GI c L �
p S T
��
x
m � N � �
� � �
� � � ��
� � � � � � � ��
� � �sin
(6.51)
� L � � � hS
4 � hS
hS
� L
� � �
� � �
�
S � QS,
� � Q
0 S,
�
(6.52)
2
� � i M �
� p y x
N � ��
� � �0,
m � � � � � �cos
(6.53)
L � hS
2 �
�
�
L
S, 0
S,
2
2
� � � i h � GI c L �
p S T
��
x
m � N � �
� � �
� � � � � � � � � � ��
� � �cos
(6.54)
L � � hS
4 � hS
hS
� L
� � �
� � �
�
Anzusetzende Imperfektion
Die geltenden technischen Vorschriften schlagen den Ansatz einer einwelligen sinus-
oder parabelförmigen Vorkrümmung v0 vor, um Stabilisierungslasten zu berechnen.
Im Rahmen dieser Regelungen werden auch Angaben über die Größe der
anzusetzenden Vorkrümmung gemacht.
L
� r1
� r �
Kommentar zu DIN 18800 [63]
400
v0, m 2
v0, m r
mit
r1
L
� k �
EC3 [2]
500
= Abminderungsfaktor zur Berücksichtigung der Länge des ausgesteiften Bau-
teils
r2, kr = Abminderungsfaktoren zur Berücksichtigung, daß mehrere Bauteile durch
eine gemeinsame Stabilisierungskonstruktion ausgesteift werden
In der Praxis wird häufig auch der pauschale Ansatz von Gerold benutzt.
L
500
v0, m � Gerold [27]

74
Die nach den Normen anzusetzende Vorkrümmung v0 schwankt zwar von Anwendungsfall
zu Anwendungsfall aufgrund der verschiedenen Abminderungsfaktoren,
weicht aber selten nennenswert von dem pauschalen Ansatz nach Gerold ab. Für den
Biegedrillknicknachweis von Trägern mit I-Querschnitt werden darüber hinaus
ähnliche Vorkrümmungsordinaten in DIN 18800 Teil 2 [1] vorgeschrieben:
Walzprofile mit h/b > 1,2 (Knickspannungslinie b):
v0, m �
L
500
Schweißprofile (Knickspannungslinie c):
v0, m �
L
400
Die Größe der anzusetzenden Vorkrümmung zum Nachweis des ausgesteiften biegedrillknickgefährdeten
Trägers und zum Nachweis der Stabilisierungskonstruktion ist
damit zwar nicht identisch, die Größenordnung ist aber eindeutig festgelegt. Sie
schwankt zwischen
L
500
v0, m � und
L
400
v0, m � .
Angaben zur Größe einer alternativ anzusetzenden Vorverdrehung �0 sucht man in
den technischen Vorschriften vergebens. Die Messungen, Annahmen und Vorschläge,
welche man dazu in der Literatur findet, sind sehr uneinheitlich, was unbefriedigend
ist, wenn man bedenkt, daß die Größe der Stabilisierungslasten proportional zum
Stich der Vorverdrehung �0,m ist. Nachfolgend wird eine Übersicht über die in der
Literatur gemachten Angaben zu Vorverdrehungsordinaten �0,m von Stahlkonstruktionen
gegeben.
[63] �0,m = 0,06 rad
Konservative Annahme zur Berechnung der Anschlußmomente, die auf eine
Drehbettung c� wirken
[47] �0,m = 0,04 rad
Vorschlag für Traglastberechnungen von biegebeanspruchten Trägern
[79] �0,m =
L
500�
h
Vorschlag für Traglastberechnungen von Pfetten, die durch die Biege- und
Schubsteifigkeit der Dacheindeckung ausgesteift werden.
[46] �0,m = 0,0133 rad
Messungen geometrischer Imperfektionen von in der Herstellung befindlichen
Bauwerken in Schweden (ohne Quellenangabe)

L
[46] �0,m =
1000�
h
Theoretische Überführung der an Druckstäben gemessenen Vorkrümmung von
L/1000 in eine Vorverdrehung (führt für Trägerschlankheiten L/h = 50 zu sehr
großen Vorverdrehungen �0,m = 0,05 rad)
[46] �0,m = 0,03 rad
Vorschlag zur Berechnung der Anschlußmomente, die auf eine Drehbettung c�
wirken
[58] �0,m = 0,005 rad
Mittelwert plus zweifache Standardabweichung von umfangreichen Messungen
der Vorverdrehungen von Kaltprofilpfetten
[113] �0,m = 0,0175 rad
Vorschlag für die Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen, die eine Verdrehung
� behindern
[110] �0,m = 0,0166 rad
Maximalwert der gemessenen Vorverdrehungen an vier Walzträgern L = 7,3 m
für Traglastversuche in den USA
(im Mittel wurden �0,m = 0,006 rad gemessen)
Zur Ergänzung der Zahlenwerte für Vorverdrehungen �0,m von Stahlkonstruktionen
werden nachfolgend auch solche von Spannbetonbindern aufgeführt. Für die Biegedrillknicknachweise
schlanker Spannbetonträger wird im Gegensatz zum Stahlbau
nicht nur eine Vorkrümmung v0, sondern zusätzlich auch eine Vorverdrehung �0
angesetzt. Man findet aus diesem Grund eine Reihe von Vorschlägen für
Vorverdrehungen �0. Die durch massivbauspezifische Schalungs-, Lagerungs- und
Einbauungenauigkeiten verursachten Vorverdrehungen lassen sich zwar nicht als
geometrische Ersatzimperfektionen für Stahlkonstruktionen verwenden, sie können
aber als Anhaltswerte für Vorverdrehungen von Stahlkonstruktionen dienen. Die
geringeren Fertigungstoleranzen des Stahlbaus im Vergleich zum Massivbau legen die
Vermutung nahe, daß die Vorverdrehungen von Spannbetonträgern obere Grenzwerte
für die Vorverdrehungen von Stahlträgern darstellen. Die nachfolgend angegebenen
Vorverdrehungsordinaten von Spannbetonträgern sind aber zum Teil deutlich kleiner
als Werte, die für Stahlträger vorgeschlagen werden, so daß sich die Frage stellt, ob
die Vorschläge für Stahlträger nicht viel zu konservativ sind.
[41] �0,m = 0,004 rad
Maximalwert der gemessenen Vorverdrehungen an sechs Spannbetonträgern h =
1,30 m, L = 25,6 m für Traglastversuche
(im Mittel wurden �0,m = 0,003 rad gemessen)
75

76
[66] �0,m = 0,005 rad
Vorschlag für eine zusätzlich zu einer Vorkrümmung v0,m = L/500 anzusetzende
Imperfektion für Traglastberechnungen
[42] �0,m = 0,0075 rad
Vorschlag für eine zusätzlich zu einer Vorkrümmung v0,m = L/500 anzusetzende
Imperfektion für Traglastberechnungen
[93] �0,m = 0,01 bis 0,02 rad im Bauzustand
�0,m = 0,005 bis 0,01 rad im Endzustand
Empfohlene Richtwerte für die Bemessung der Gabellager an den Trägerenden
Die aus der Literatur zusammengetragenen Angaben über Vorverdrehungsordinaten
�0,m weisen eine sehr starke Streuung auf. Die Zahlenwerte reichen dabei von
gemessenen geometrischen Imperfektionen �0,m = 0,004 rad bis zu geschätzten geometrischen
Ersatzimperfektionen von �0,m = 0,06 rad, welche zusätzliche strukturelle
Imperfektionen wie Eigenspannungen oder Fließgrenzenstreuungen und den Steifigkeitsverlust
infolge Fließzonenausbreitung mit abdecken sollen.
Untersuchungen von Lindner [47] zeigen, daß der Einfluß von Eigenspannungen auf
die Traglasten biegebeanspruchter Stäbe maximal 5 % und auf die Traglasten normalkraftbeanspruchter
Stäbe maximal 15 % beträgt. Der weitaus größte Anteil an den
anzusetzenden geometrischen Ersatzimperfektionen entfällt auf geometrische Imperfektionen
und Fließzonenausbreitung. Die große Streuung der Vorschläge für
Vorverdrehungsordinaten �0,m in der Literatur ist deshalb nicht durch die
Unterscheidung zwischen rein geometrischen Imperfektionen und Ersatzimperfektionen
zu erklären, sondern auch durch fehlendes Wissen über realistische
geometrische Imperfektionen.
Im Normkommentar zu DIN 18800 [63] wird ausgeführt, daß die Art der Imperfektionsannahme
als Vorkrümmung v0, als Vorverdrehung �0 oder als Exzentrizität
von Querlasten nur einen geringen Einfluß auf die rechnerische Traglast hat. Aus
diesem Grund konnte einheitlich eine Vorkrümmung v0 als anzusetzende Vorverformung
für Biegedrillknicknachweise festgelegt werden.
Auch die Größe der angesetzten Vorverformungen wirkt sich bei reiner Biegung und
mäßigen Trägerschlankheiten nur schwach auf die Traglast aus. Vergleichende Traglastberechnungen
von Lindner [47] an Stäben mit längenunabhängiger Vorverdrehung
�0,m = 0,04 rad und längenabhängiger Vorverdrehung �0,m = L/(500 · h) ergaben nur
geringe Abweichungen in den Traglasten.
Gänzlich anders ist die Situation, wenn man sich nicht für die Traglast des ausgesteiften
Trägers interessiert, sondern für die Stabilisierungslasten, die auf die Aussteifungskonstruktion
wirken. Wie bereits erläutert, bewirkt eine Verdoppelung der Vorverformungsordinate
auch eine Verdoppelung der Stabilisierungslasten. Die Imperfektionsannahmen
spielen damit bei der Berechnung von Stabilisierungslasten eine
wichtigere Rolle als beim Traglastproblem.

Vergleich von Stabilisierungslasten infolge Vorverdrehung mit
Stabilisierungslasten infolge Vorkrümmung
Bezüglich der stark streuenden Angaben zu Vorverdrehungsordinaten �0,m aus der
Literatur ergibt sich die Schwierigkeit der Auswahl von geeigneten Werten. Ein
theoretischer Ansatz hierzu ist die Berechnung derjenigen Vorverdrehungsordinate
�0,m die zur gleichen Trägerverdrehung �m in Feldmitte führt wie eine Vorkrümmung
mit der Ordinate v0,m. Durch einen Vergleich der Gleichung (6.31) (�m als Funktion
von v0,m) und Gleichung (6.48) (�m als Funktion von �0,m) lassen sich die folgenden
Beziehungen ableiten.
� My = 0, N � 0
h
� 0,
m � �v0,
m �
2�
(6.55)
S
S
2
ip
� N = 0, My � 0
2
� 0,
m � �v0,
m �
h
(6.56)
Die Gleichungen des EBV-BDK zur Berechnung der Stabilisierungslasten lauten:
q
q
q
q
S � qS,
v � qS,
� � q
0 0 S,
�
S, v0
2
77
(6.57)
� � � � N M y � ��
x
� v0,
m ��
� �
�sin
L �
��
�
2 h �
�
(6.58)
� � �
S � L
2
2
� � � � i M �
� p y ��
x
0,
m N �
� � � ��
� � � � � �sin
(6.59)
� L � � hS
2 �
�
�
L
S, 0
S,
2
2
2
� � �
� � i h � GI c L �
p S T
��
x
m � N � �
� � �
� � � ��
� � � � � � � ��
� � �sin
(6.60)
� L � � � hS
4 � hS
hS
� L
� � �
� � �
�
Wählt man als Imperfektion anstelle der Vorkrümmung v0,m eine Vorverdrehung �0,m
gemäß Gleichung (6.55) bzw. Gleichung (6.56), so ergibt sich jeweils die gleiche
Verdrehung �m und damit auch der gleiche Verformungsanteil der Stabilisierungslast
qS,�. Um auch den zugehörigen Imperfektionsanteil der Stabilisierungslast zu berechnen,
werden Gleichung (6.55) bzw. (6.56) in Gleichung (6.59) eingesetzt. Das
Ergebnis ist Gleichung (6.61) und Gleichung (6.62) zu entnehmen.
� My = 0, N � 0
q
� �
�
� �
2
2
hS
� � � ip
x
S,
v
�
0 0,
m
N � ��
� � � � �
sin � q
2 � � � � � �
S,
v
(6.61)
0
2�
ip
� L � � h � S L

78
� N = 0, My � 0
2
2 � � � M y ��
x
S,
� � �v
0 0,
m � ��
� � �sin
� qS,
v
(6.62)
0
hS
� L � 2 L
q �
Der Imperfektionsanteil der Stabilisierungslasten infolge Vorverdrehung qS, � ist
0
genau so groß wie der Imperfektionsanteil der Stabilisierungslast infolge Vorkrümmung
q , wirkt aber in entgegengesetzter Richtung. Der Ansatz einer Vorver-
S,
v0
drehung �0 führt damit zwangsläufig immer zu anderen Stabilisierungslasten als der
Ansatz einer Vorkrümmung v0, auch wenn die sich einstellende Verdrehung �m des
stabilisierten Trägers identisch ist. Ein ergänzendes Zahlenbeispiel soll dies verdeutlichen.
Betrachtet wird dafür erneut der Träger gemäß Bild 6.4, wobei die Vorverformung
alternativ zur Vorkrümmung v0 auch als Vorverdrehung �0 gemäß Gleichung (6.55)
bzw. Gleichung (6.56) angesetzt wird. Als Träger wird wieder ein IPE 400, L = 20 m
gewählt, wodurch dieses Beispiel eine Ergänzung der Ergebnisse in Tabelle 6.1 und
Tabelle 6.2 darstellt. Die Drehbettung c� des Trägers ist in allen an dieser Stelle
berechneten Fällen Null.
In Tabelle 6.3 sind die Ergebnisse für die Trägerverdrehung �m und die Stabilisierungslast
qS,m in Feldmitte jeweils für die vier möglichen Lastfälle positive bzw.
negative Normalkraft N und positives bzw. negatives Biegemoment My
zusammengestellt. Als Vorverdrehung �0,m ergibt sich für das untersuchte Beispiel bei
Normalkraftbelastung
hS
� 0,
m � �v0,
m � � �0,
26717 rad (6.63)
2
2�
i
und bei Biegemomentenbelastung
p
2
� 0,
m � �v
0,
m � � �0,
20699 rad (6.64)
h
S
Der Ansatz dieser Vorverdrehungen verursacht jeweils die gleiche Trägerverdrehung
�m wie eine Vorkrümmung v0,m = L/500 = 4 cm.
Man erkennt an den Zahlenbeispielen in Tabelle 6.3, daß sich der Imperfektionsanteil
und der Verformungsanteil der Stabilisierungslast bei Normalkraftbelastung mit
Vorverdrehung �0 und bei Biegemomentenbelastung mit Vorkrümmung v0 subtrahieren.
Bei Normalkraftbelastung mit Vorkrümmung v0 und bei Biegemomentenbelastung
mit Vorverdrehung �0 addieren sich die beiden Anteile, so daß betragsmäßig
größere Stabilisierungslasten entstehen. Daraus kann die weiter oben zitierte
Forderung abgeleitet werden, daß bei Normalkraftbelastung eine Vorkrümmung v0
und bei Biegemomentenbelastung eine Vorverdrehung �0 anzusetzen ist, um
Stabilisierungslasten zu berechnen.

Tabelle 6.3 Verdrehung � und Stabilisierungslast qS infolge Imperfektionsannahme als
Vorkrümmung v0 bzw. Vorverdrehung �0
IPE 400
L = 20 m �m m
q S,
v0,
m
qS, � 0,
qS,�,m qS,m
c� = 0 [rad] [kN/m] [kN/m] [kN/m]
N = + 250 kN
v0,m = + 4 cm
N = + 250 kN
�0,m = -0,26717 rad
N = -250 kN
v0,m = + 4 cm
N = -250 kN
�0,m = -0,26717 rad
My = +100 kNm
v0,m = + 4 cm
My = +100 kNm
�0,m = -0,20699 rad
My = -100 kNm
v0,m = + 4 cm
My = -100 kNm
�0,m = -0,20699 rad
+0,0307 -0,123 -0,077 -0,200
+0,0307 +0,123 -0,077 +0,046
-0,0646 +0,123 +0,179 +0,303
-0,0646 -0,123 +0,179 +0,056
+0,0470 +0,255 -0,124 +0,131
+0,0470 -0,255 -0,124 -0,380
-0,5116 -0,255 +1,352 +1,096
-0,5116 +0,255 +1,352 +1,607
Wenn der Träger mit Obergurthalterung zusätzlich durch eine Drehbettung c� ausgesteift
wird, dann ergibt sich für die Vorverdrehung �0 ein analoges Konvergenzverhalten
der Stabilisierungslast qS, wie es für die Vorkrümmung v0 in Tabelle 6.1 und
Tabelle 6.2 belegt wird. Im Grenzfall einer unendlich steifen Drehbettung c� berechnet
man folgende Stabilisierungslast:
q
S,
c
�
��
� N � v��
� M
0
y
� ��� �
0
��N�v�M��� 0,
m
y
0,
m
� � �
� � �
� L �
2
� � x
� sin
L
79
(6.65)
Die Schwierigkeit bei der Umsetzung der Empfehlung, daß für die Berechnung der
Stabilisierungslasten biegebeanspruchter Träger eine Vorverdrehung �0 anzusetzen
ist, besteht in der Auswahl einer geeigneten Vorverdrehungsordinate �0,m. Eine allgemeingültige
Aussage, daß Stabilisierungslasten infolge Vorverdrehung größer als
Stabilisierungslasten infolge Vorkrümmung sind, kann nur für Vorverdrehungen �0,m
gemäß Gleichung (6.56) gemacht werden, da in diesem Fall der Verformungsanteil
der Stabilisierungslast qS,� für Vorkrümmung v0 und Vorverdrehung �0 identisch ist.
Mit v0,m = L/500 und üblichen Trägerschlankheiten zwischen L/h = 20 und L/h = 60
sind demnach folgende Vorverdrehungsordinaten anzusetzen:

80
� � 0,
08 bis 0,24 rad (6.66)
0,
m
Diese Zahlenwerte sind deutlich größer als alle Messwerte und alle aus theoretischen
Überlegungen gewonnenen Angaben in der Literatur, wodurch der Ansatz einer
Vorverdrehung �0 grundsätzlich in Frage gestellt wird. Da es unsinnig erscheint, mit
unrealistisch großen Vorverdrehungsordinaten �0,m zu rechnen, wird vorgeschlagen,
als Imperfektionsannahme für den Biegedrillknicknachweis des ausgesteiften Trägers
und für den Nachweis der Stabilisierungskonstruktion einheitlich eine Vorkrümmung
v0 zu verwenden.
Für den Ansatz einer Vorkrümmung v0 sprechen noch weitere Gründe. Die geometrischen
Ersatzimperfektionen werden, wie bereits erläutert, durch die geometrischen
Imperfektionen dominiert. Zieht man die Angaben der Walzprofilhersteller
bzgl. zulässiger Abweichungen von der idealen Geometrie gewalzter Stahlträger zu
Rate, so werden dort zulässige Krümmungen aber keine zulässigen Verdrehungen
definiert. Betrachtet man die geometrische Ersatzimperfektion als vergrößerte geometrische
Imperfektion, so ist die (zwischen den Trägerenden) einwellige Vorkrümmung
v0 häufig die einzige plausible Imperfektionsannahme. Dies gilt insbesondere dann,
wenn durch Verbindungsmittelschlupf oder äußere Horizontallasten wie Wind
zusätzliche Verformungen senkrecht zur Haupttragrichtung der stabilisierten Träger
eingeprägt werden.
6.2.7 Eigenformaffine Vorkrümmung als Imperfektionsannahme
Im ersten Satz von Element 202 der DIN 18800 Teil 2 [1] wird gefordert, daß die
geometrischen Ersatzimperfektionen so anzusetzen sind, daß sie sich der zum niedrigsten
Knickeigenwert gehörenden Verformungsfigur möglichst gut anpassen. Der
zweite Satz von Element 202 besagt, daß die Ersatzimperfektionen in ungünstiger
Richtung anzusetzen sind. Diese beiden Forderungen können im Widerspruch zueinander
stehen, da die ungünstigste Ersatzimperfektion in Bezug auf die Beanspruchung
des ausgesteiften Trägers und die Beanspruchung der Stabilisierungskonstruktion
nicht identisch sein müssen. Maximale Stabilisierungslasten können auch für andere
als eigenformaffine Vorverformungen auftreten.
Für den in Bild 6.4 dargestellten gabelgelagerten Einfeldträger mit Drehbettung c�,
gebundener Drehachse am Obergurt und Belastung durch konstantes negatives Biegemoment
My bzw. konstante negative Normalkraft N besteht die Eigenform zum niedrigsten
Eigenwert aus einer Sinusfunktion mit mehreren kürzeren Halbwellen, wenn
die Drehbettung c� eine gewisse Größe übersteigt. Für Träger ohne Drehbettung ist
der Ansatz einer einwelligen Vorkrümmung v0 als Sinushalbwelle stets affin zur
Eigenform.
Die idealen Verzweigungslasten für reine Normalkraftbelastung bzw. reine Biegemomentenbelastung
berechnen sich in Abhängigkeit der Halbwellenanzahl i der Eigenform
zum niedrigsten Eigenwert.

�
2
2
1
� i � � �
� L � �
N Ki,
i � � �2
� EI�
��
� � GIT
� c�
��
� �
(6.67)
� hS
2 � ��
� L �
� i � � �
� � i �
��
p
� 4 �
�
2
2
1 � i � � �
� L � �
M Ki,
i � � �2
� EI�
��
� � GIT
� c�
��
� �
(6.68)
hS
��
� L �
� i � � � ��
Maßgebend ist diejenige Halbwellenanzahl i, für welche die Verzweigungslast zum
Minimum wird. Sie läßt sich in Abhängigkeit vom Paramter � gemäß Gleichung
(6.69) bestimmen.
� �
�
�
�
4
c�
� L
2�
EI
2
�
� i = 1
81
(6.69)
In diesem Fall ist die Eigenform einwellig und NKi,i wird zu NKi,1 gemäß Gleichung
(6.35) bzw. MKi,i wird zu MKi,1 gemäß Gleichung (6.37).
�
�
�
2
� i > 1
In diesem Fall ist die Eigenform mehrwellig. Als untere Schranke für die Verzweigungslast
kann dann die bekannte Engesser-Lösung als Tangente an die Girlandenkurve
angegeben werden, welche nicht mehr abhängig von der Halbwellenanzahl i ist.
�2�2�EI �c
GI �
1
N �
Ki,
min � �
2
� � T
(6.70)
� hS
2 �
� � i � p
�
�
4
�
�
�2�2�EI �c
GI �
1
M �
Ki,
min � �
� � T
(6.71)
hS
Alternativ zu Gleichung (6.69) läßt sich auch eine maximale Trägerlänge L oder eine
maximale Drehbettung c� angeben, für die gerade noch eine einwellige Eigenform
vorliegt.
L � �
�
�
c
�
� 4
� �8
�
c
�
� � �
� 8�
� � � EI
� L �
1
4
EI � � �
�
(6.72)
�
4
�
(6.73)

82
Unabhängig von der Eigenform stellt sich bei einer Berechnung des vorverformten
Trägers mit konstantem Schnittgrößenverlauf für die Verdrehung � immer diejenige
Halbwellenanzahl ein, die mit der Halbwellenanzahl der Vorverformung übereinstimmt.
Bild 6.9 soll diesen Sachverhalt veranschaulichen.
Bild 6.9 Verdrehung �, Stabilisierungslast qS und Stabilisierungsquerkraft QS für
negatives Biegemoment My und einwellige bzw. mehrwellige Vorkrümmung v0
Die sich bei einer Berechnung des vorverformten Trägers nach Theorie II. Ordnung
ergebende Verdrehung �, die Stabilisierungslast qS und die Stabilisierungsquerkraft
QS sind jeweils für eine einwellige und für eine dreiwellige sinusförmige Vorkrümmung
angegeben. Ist die Eigenform bei kleiner Trägerlänge L oder kleiner
Drehbettung c� einwellig, so ergibt sich die maximale Beanspruchung der Obergurt-

halterung, wenn eine ebenfalls einwellige Vorverformung angesetzt wird. Liegt eine
mehrwellige Eigenform vor, dann ist die Frage, welche Form der Ersatzimperfektion
maximale Stabilisierungslasten verursacht, schon schwieriger zu beantworten.
Bei konstantem Biegemoment My und einwelliger Vorkrümmung v0 berechnet sich
die Verdrehung �m in Feldmitte gemäß Gleichung (6.74).
v0,
m
� m � ��
�,
M
(6.74)
Ki,
1
h
S
M
y
M Ki,
1
�� , M �
(6.75)
Ki,
1 M y
1�
M
mit
Ki,
1
MKi,1 = MKi,i gemäß Gleichung (6.68) und i = 1
Die Stabilisierungslast qS in Feldmitte als Summe aus Imperfektionsanteil q S,
v und
0
Verformungsanteil qS,� kann damit als Gleichung (6.76) angegeben werden:
2 � �
2
� � � M
�
y
�
� �
GIT
c�
� L �
q �
S , m � v0,
m ��
� � � � � ��
�
� � 2 2 � �
� �
� �,
M
(6.76)
Ki,
1
L h
� S � hS
hS
� � � � ��
Die zugehörige maximale Querkraft in der seitlichen Halterung berechnet sich gemäß
Gleichung (6.77).
� �
2
� M
�
y
�
� �
GIT
c�
� L �
Q �
S , max � v0,
m � � � � � ��
�
� � 2 2 � �
� �,
M
(6.77)
Ki,
1
L h
� S � hS
hS
� � � � ��
Wird anstelle einer einwelligen eine mehrwellige Vorkrümmung v0 gemäß Gleichung
(6.78) angesetzt, dann ändern sich die Gleichungen (6.74) bis (6.77) wie folgt:
v
0
( x)
v0,
m i � ��
x
� �sin
(6.78)
i L
v0,
m
� m , i � ��
�,
M
(6.79)
Ki,
i
i � h
S
M
y
M Ki,
i
�� , M �
(6.80)
Ki,
i M y
1�
M
Ki,
i
83

84
mit
MKi,i gemäß Gleichung (6.68)
i = Halbwellenanzahl der angesetzten Vorkrümmung v0
2 � �
2
v
� �
0,
m � i � � � M y
� �
GIT
c�
� L �
q � � � � � � �
S , m,
i � �
��
�
� � 2 2 � �
� �
� �,
M
(6.81)
Ki,
i
i L h
� S � hS
hS
� i � � � � ��
� �
2
� M
�
y
�
� �
GIT
c�
� L �
Q �
S , max, i � v0,
m � � � � � ��
�
� � 2 2 � �
� �,
M
(6.82)
Ki,
i
L h
� S � hS
hS
� i � � � � ��
Die Frage, ob eine einwellige oder eine eigenformaffine mehrwellige Vorverformung
eine größere bemessungsrelevante Querkraft QS in der Obergurthalterung verursacht,
kann duch einen Vergleich der Gleichungen (6.77) für QS,max und (6.82) für QS,max,i
entschieden werden. Die eigenformaffine mehrwellige Vorverformung ist maßgebend
für QS, wenn das den Träger belastende negative Biegemoment My betragsmäßig
größer ist als der Ausdruck gemäß Gleichung (6.83).
M
y
M
�
Ki,
i
�GI
� �
��
c
�
T
2
� L � � �GI
� � � � � M Ki,
1 � �
� � � ��
��
c
2 2
� L � � L �
� � � � �
� i � � � � � �
�
T
� L �
� � �
� i � � �
2
�
�
��
(6.83)
Wenn Gleichung (6.83) erfüllt ist, dann ist QS,max,i gemäß Gleichung (6.82) größer als
QS,max gemäß Gleichung (6.77). In einem solchen Fall ist der durch � �,
MKi,
i
repräsentierte Einfluß der Theorie II. Ordnung bei mehrwelliger Imperfekton so viel
größer als der durch � �,
M repräsentierte Einfluß der Theorie II. Ordnung bei
Ki,
1
einwelliger Imperfektion, daß sich trotz Vorzeichenwechsel der Stabilisierungslast qS
bei mehrwelliger Imperfektion eine größere Beanspruchung QS der Obergurthalterung
ergibt. Für wirtschaftlich bemessene Träger mit ausreichend großer Drehbettung c�
zur Reduzierung der Biegedrillknickgefahr ist aber die einwellige Imperfektion ohne
Vorzeichenwechsel der Stabilisierungslast qS maßgebend, da der Einfluß der Theorie
II. Ordnung in diesen Fällen nur gering ist.
Anhand dieser Überlegungen wird deutlich, daß der Ansatz eigenformaffiner
Imperfektionen nur bei Systemen mit hoher Stabilitätsgefährdung bzw. niedrigem
Verzweigungslastfaktor �Ki zu maximalen Beanspruchungen der Stabilisierungskonstruktion
führen kann. Für Träger mit geringer Stabilitätsgefährdung, deren
Querschnittstragfähigkeit weitgehend ausgenutzt werden kann, bewirkt die einwellige
Imperfektionsannahme eine maximale Beanspruchung der seitlichen Halterung.

6.3 Belastung durch veränderliche Schnittgrößen
6.3.1 Matrizenverfahren für Träger mit gebundener Drehachse
6.3.1.1 Vorbemerkungen
Biegeträger in der Baupraxis werden überwiegend durch veränderliche Biegemomentenverläufe
beansprucht. Als planmäßige Schnittgröße tritt in diesen Fällen neben dem
Biegemoment My auch immer die Querkraft Vz auf. Eine geschlossene formelmäßige
Lösung der Differentialgleichung des Biegetorsionsproblems wie in Abschnitt 6.2
kann aufgrund der Veränderlichkeit von My als Koeffizient in der Differentialgleichung
nicht angegeben werden. Als Näherungslösung für das Biegetorsionsproblem
wird deshalb das in Abschnitt 4 erläuterte Matrizenverfahren für Träger mit
kontinuierlicher seitlicher Stützung auf Träger mit gebundener Drehachse übertragen.
Der Übergang von einer steifen seitlichen Halterung zu einer unverschieblichen
gebundenen Drehachse hat dabei den Vorteil, daß durch die geometrische Beziehung
zwischen den Verformungen v und � die Anzahl der unbekannten Freiwerte zur
Berechnung des Verformungszustandes des stabilisierten Trägers halbiert wird. Dies
ist ein entscheidender Vorteil bei der Ableitung von Näherungsformeln für die
Berechnung der Stabilisierungslasten ausgesuchter praxisrelevanter Systeme und
Belastungssituationen.
Ein in der Praxis häufig auftretender Fall sind Träger mit auf dem Obergurt aufliegenden
Trapezprofilen oder Pfetten. Trennt man den Träger gedanklich von den im
rechten Winkel aufliegenden Bauteilen, so kann deren Wirkung durch eine Gleichstreckenlast
qz, eine Drehbettung c� und eine seitliche Halterung am Obergurt in Form
eines kontinuierlichen Schubfeldes (bei Trapezprofilen) oder in Form diskreter Stützstellen
(bei Abstützung von Pfetten gegen einen Verband) berücksichtigt werden. Der
Träger wird durch die aufliegenden Bauteile also sowohl belastet als auch gestützt.
Die Steifigkeit von Schubfeldern oder Verbänden ist häufig so groß, daß näherungsweise
eine gebundene Drehachse für den Träger am Obergurt vorliegt. Inwiefern sich
die Stabilisierungslasten bei diskreter Stützung durch einen Verband von den
Stabilisierungslasten bei kontinuierlicher Stützung durch ein Schubfeld unterscheiden,
wird in Abschnitt 7 untersucht.
6.3.1.2 Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren zur Berechnung der
Trägerverformung
Da Vertikallasten qz und Horizontallasten qy durch die am Obergurt angeschlossenen
Bauteile auf den Träger übertragen werden, greifen sie in Höhe der Drehachse an. Die
virtuelle Arbeit für diesen Fall des Trägers mit gebundener Drehachse und Lastangriff
der Querlasten in Höhe des Obergurtmittelpunktes ist in den Gleichungen (6.84) bis
(6.87) angegeben.
85

86
�W = �We + �Wg + �Wp
� e
L
�
0
�
T
�
(6.84)
W � � [ 2 � EI � ��� � ����
� GI � �� � ���
� c � � � ��]
dx
(6.85)
L � 2
h 2 � s
� Wg
� ��[
N � � i �
�
� p � �� � ���
� My
� hs
� �� � ���]
dx
4 �
(6.86)
0 � �
L
� W � [ m � ] dx
(6.87)
p �
0
x ��
Da die Querlast qy keinen Hebelarm bzgl. der gebundenen Drehachse aufweist,
entsteht das Streckentorsionsmoment mx in Gleichung (6.87) nur infolge
Vorverformung. Setzt man gemäß Kommentar zu DIN 18800 eine Vorkrümmung v0
an, so ergibt sich ein Ersatzstreckentorsionsmoment mx,0 gemäß Gleichung (6.88a) für
v0(x) als Sinushalbwelle oder Gleichung (6.88b) für v0(x) als Parabel.
� hS
� � hS
� � � � x
� mx,
0 � ��M
y � � N�
� v�0�
� �M
y � � N�
� v0,
m,
Sinus � � sin (6.88a)
� 2 � � 2 � L L
mx 2
� h �
h
8
m ��
�
�
�
� 2 � � 2 �
L
S
S
x � mx,
0 � ��M
y � � N�
� v0
� �M
y � � N�
� v0,
m,
Parabel
(6.88b)
2
Bild 6.10 Gewählter Biegemomentenverlauf des Trägers mit gebundener Drehachse
2

Bild 6.11 Ersatzweise Berücksichtigung der Dachneigung bei satteldachförmigen
Rahmenriegeln
Die Normalkraft N sei über die Trägerlänge konstant. Der gewählte Biegemomentenverlauf
des Trägers ist in den Gleichungen (6.89a), (6.89b) und in Bild 6.10 angegeben.
Die Randmomente MyA und MyB des Trägers können infolge Durchlaufträger-
oder Rahmentragwirkung entstehen, wenn der betrachtete gabelgelagerte Einfeldträger
aus einem entsprechenden Gesamtsystem gedanklich herausgetrennt wird. Der
dreiecksförmige Momentenverlauf infolge gedachter Einzellast Pz in Feldmitte dient
zur Erzeugung einer Momentenlinie, wie sie infolge Geometrie bei symmetrischen
satteldachförmigen Rahmentragwerken auftritt. Siehe dazu Bild 6.11.
x � 0,5 · L:
x � x x 2 � L x
My � MyA
� ( M yB � MyA)
� � 4 � M0
� ( ) � Pz
� �
L �
� �
L L �
�
(6.89a)
� � 2 L
x � 0,5 · L:
x � x x 2 � L � x �
M � MyA
� ( MyB
� MyA)
� � 4 � M0
� �
� � ( ) �
� � Pz
� � �
�1
� �
�
L � L L � 2 � L �
2
qz
� L
mit M0
�
8
y (6.89b)
Als Ansatzfunktionen für die Verdrehung � werden analog zum Matrizenverfahren
nach Friemann/Stroetmann [23] Sinusreihen verwendet.
87

88
� �
5
�
j�1
� j�
� � x �
�j
� sin �
�
�
�
(6.90)
� L �
Durch Einsetzen der entsprechenden Ableitungen der Verformungsfunktionen sowie
der Lasten und Schnittgrößen in die virtuelle Arbeit und Ausführung der Integration
erhält man die in Bild 6.12 angegebenen Steifigkeitsmatrizen Ke, Kg und den
Lastvektor P. Die gesuchten Freiwerte der Ansatzfunktionen für die Trägerverformungen
des Biegetorsionsproblems nach Theorie II. Ordnung Gleichung (6.92)
ergeben sich als Lösung der Matrizengleichung (6.91).
(Ke + Kg) · V = P (6.91)
V T = [�1, �2, �3, �4, �5] (6.92)
Für Fälle, die noch weitere kurzwelligere Sinusreihenansätze mit j > 5 für eine ausreichend
exakte Berechnung der Trägerverformungen benötigen, sind die Gleichungen
zur Ermittlung der einzelnen Matrix- bzw. Vektorelemente in Tabelle 6.4
angegeben.
Tabelle 6.4 Bildungsgesetze für die Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren gemäß Bild 6.12
Steifigkeitsmatrix Theorie I. Ordnung Ke
i = j:
Ke,ij = j 4 · e1 + j 2 · e2 + e3
i � j:
Ke,ij = 0
Geometrische Steifigkeitsmatrix Kg
i = j ungerade:
2
2 2 �
2 � 1 j 4
Kg, ij � j � g1
� j � � g2
� ( j � � ) � g3
� � ( 1�
) � g
2 2
4 6 4 8 j � �
i = j gerade:
2
2 2 �
2 � 1 j
Kg, ij � j � g1
� j � � g2
� ( j � � ) � g3
� � g
4 6 4 8
i � j beide ungerade oder beide gerade:
K
g,
ij
( i � j )
� �2
� i � j�
� g
2 2 2
( i � j )
2
2
�
2
3
2
2
�
2 � �
2
i � j
� ( i
2
� j
2
)
2
2
2
4
2 2
� � � 4 � ( i � j )
2
2
� 2 � cos[( �i
� j)
� ] � ( i � j)
� 2 � cos[( i � j)
� ] � ( i � j)
�� g4
i � j einer ungerade und einer gerade
( i � j )
�
�2
� i � j�
� ( g
2 2 2
( i � j )
� g
Kg, ij
2 3
2
2
)
�
2
4

Lastvektor PSinus für Vorkrümmung v0 als Sinushalbwelle
j = 1:
1
PSinus, j � � P1,
Sinus
2
j > 1 ungerade:
1
� � P2,
Sinus
4
� 1 1 �
� � � P 2 � � 3,
Sinus
� 6 4�
�
1 � 4 �
� � �1�
� P 2 �
8 � � �
4 � j
PSinus, j � 2 2 2
� � ( j �1)
1
� P3,
Sinus �
���
8 � j
2 2 2
2 � � � ( j �1)
�
2
4,
Sinus
2
2
� 2 � cos[( j �1)
� ] � ( j �1)
� 2 � cos[( j �1)
� ] � ( j �1)
�� P4,
Sinus
j gerade:
� 4 � j
PSinus, j �
� ( P2,
Sinus � P3,
Sinus)
2 2 2
� � ( 1�
j )
Lastvektor PParabel für Vorkrümmung v0 als Parabel
j ungerade:
2
1
1 4
PParabel, j � � P1,
Parabel � � P2,
Parabel � � ( 1�
) � P
2 2
j�
� j�
�
j�
� j � �
�
j
2
2
� �
2
�
� sin( j�
) � P
2
4,
Parabel
j gerade:
1
PParabel, j �
� � ( P2,
Parabel � P3,
Parabel)
j�
�
�
2
3,
Parabel
89

90
Kg =
Ke =
�1 �2 �3 �4 �5
e1 + e2 + e3 0 0 0 0
Symmetrie
16 · e1
+ 4 · e2 + e3
0 0 0
81 · e1
+ 9 · e2 + e3
0 0
256 · e1
+ 16 · e2 + e3
0
625 · e1
+ 25 · e2 + e3
�1 �2 �3 �4 �5
2
�
g1
� �g
2
4
2 � � 1 �
�
�
� � �g
3
6 4 �
�
� �
1 � 4 �
+ ��1 � 2 � ·g4
8 � � �
20
( g2
g3
)
9
� �
15
� � g3
16
3
� · g4 2
2�
136
( g2
g3
)
225
� �
2
4 � g1
� � � g2
65
� �g
3
144
5
� · g4 2
18�
� 2 2 1 �
� � �
�
� � � � g3
3 4 �
� �
1
� � g4
2
156
� ( g2
� g3
)
25
20
� �g
3
9
40
� · g4 2
9�
580
� ( g2
� g3
)
441
9 2
9 � g1
� � � � g2
4
� 3 2 1 �
� � �
�
� � � � g
2 4 �
� �
9 � 4 �
� ��1
� � � g4 2
8 � 9�
�
3
600
( g
49
�
2
Symmetrie � � � � � � � g3
2 �
g
16�
g1
� 4�
� � g
� 8 1 �
�
� 3 4 �
�
+ 2 ·g4
2
3
)
2
255
� � g
64
15
� � 2
2�
�
1640
( g
81
�
2 �
3
g4
g
25 2
25�
g1
� � � � g
4
� 25 2 1 �
� � �
�
� � � � g
6 4 �
� �
25 � 4 �
��1
� � �
8 � 25�
�
� 2
3
)
2
3
g4

91
e1 = 3
4
L
EI
�
�
�
e2 =
L
2
1
GI
2
T
�
�
�
e3 =
2
L
c �
�
g1 =
L
2
1
h
M
i
4
h
N
2
S
yA
2
p
2
S
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
g2 = � � L
h
M
4
M
M
S
0
yA
yB
�
�
�
�
�
g3 = 4 · M0 L
h S
�
g4 =
2
S
z h
2
P
�
�
�
Sinus
,
2
Sinus
,
1
P
4
1
P
2
1
�
�
� Sinus
,
4
2
Sinus
,
3
2
P
4
1
8
1
P
4
1
6
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1
)
P
P
(
9
8
Sinus
,
3
Sinus
,
2
2
�
�
�
�
� �2
Sinus
,
4
2
Sinus
,
3
2
P
2
1
P
16
3
�
�
�
�
�
�
�3
)
P
P
(
225
16
Sinus
,
3
Sinus
,
2
2
�
�
�
�
� �4
Sinus
,
4
2
Sinus
,
3
2
P
18
1
P
144
5
�
�
�
�
�
�
�5
Parabel
,
2
Parabel
,
1
P
1
P
2
�
�
�
�
�
Parabel
,
4
2
Parabel
,
3
2
P
2
P
4
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1
)
P
P
(
2
1
Parabel
,
3
Parabel
,
2
�
�
�
� �2
Parabel
,
4
2
Parabel
,
3
2
Parabel
,
2
Parabel
,
1
P
9
2
P
9
4
1
3
1
P
3
1
P
3
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�3
)
P
P
(
4
1
Parabel
,
3
Parabel
,
2
�
�
�
� �4
Parabel
,
4
2
Parabel
,
3
2
Parabel
,
2
Parabel
,
1
P
25
2
P
25
4
1
5
1
P
5
1
P
5
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�5
P1,Sinus =
L
v
M
2
h
N
2
Sinus
,
m
,
0
yA
S
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
L
8
v
M
2
h
N
P Parabel
,
m
,
0
yA
s
Parabel
,
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
P2,Sinus = � �
L
v
M
4
M
M
2
Sinus
,
m
,
0
0
yA
yB
�
�
�
�
�
� � �
L
8
v
M
4
M
M
P Parabel
,
m
,
0
0
yA
yB
Parabel
,
2
�
�
�
�
�
�
P3,Sinus =
L
v
M
4
2
Sinus
,
m
,
0
0
�
�
�
�
�
L
8
v
M
4
P Parabel
,
m
,
0
0
Parabel
,
3
�
�
�
�
�
P4,Sinus = 2
Sinus
,
m
,
0
z v
2
P
�
�
� 8
v
2
P
P Parabel
,
m
,
0
z
Parabel
,
4
�
�
�
Bild 6.12 Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren für gebundene Drehachse und
Lastangriff am Obergurt
PSinus =
PParabel =

92
6.3.1.3 Beanspruchung der seitlichen Halterung
Wird der Lösungsvektor V aus der Matrizengleichung (6.91) ermittelt, so können
auch die Stabilisierungslasten qS für die seitliche Halterung am Obergurt mit den
Gleichungen des EBV-BDK berechnet werden.
Aus Gleichung (5.18a) wird für den hier vorliegenden Fall Gleichung (6.93) mit:
hS mx = qy ·
2
hS zp = -
2
N�
� 0
�0
�
q
S,
OG
0
�
�
N M
� �
�
�
2 h
�
�
�
�
� i
� � v��
� � �
� 0 N
� �
�
h
� �
h
�
S � � GI
�
4 � hS
�
�
�
� � ��� � V
�
�
� ��
� �
�
c�
� q � � � �
� z �
�
hS
�
(6.93)
� qy
y
2
p
T
z
S
S
Die Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.93) setzt sich aus den drei Anteilen äußere
Last (qy), Imperfektionsanteil (v0) und Verformungsanteil (�) zusammen. Nimmt man
diese Strukturierung vor, so kann Gleichung (6.93) als Gleichung (6.94) geschrieben
werden.
qS,OG = qS,
OG,
q � qS,
OG,
v � q
y
0 S,
OG,
�
mit
q
q
q
S,
OG,
q
S,
OG,
v
y �
0
S,
OG,
�
q
y
� N My
�
� �
� � � v�0�
2 h �
�
� S �
� � 2
�
i �
� p hS
� GI
� N � � �
� � �
� �
hS
4
�
h
S
T
�
� �
�
�
��� � V
z
� �� �
�
�
�q
�
z
c
�
h
�
S
�
�
� � �
�
(6.94)
Für den Imperfektionsanteil ergibt sich entweder Gleichung (6.95a) für v0(x) als
Sinushalbwelle oder Gleichung (6.95b) für v0(x) als Parabel.
q
q
S, OG,
v0,
Sinus
S,
OG,
v
0
, Parabel
( x)
2
� N My
( x)
� � � � � � x
� �
��
� � v0,
m,
Sinus ��
� �sin
2 h �
�
(6.95a)
�
S � � L � L
� N M y ( x)
�
8
( x)
�
�
��
� � v0,
m,
Parabel �
2
2 h �
�
(6.95b)
�
S �
L

Für den Verformungsanteil gilt Gleichung (6.96).
�
�
�
�
�
�
�
�
2
� j�
� � j�
� � x
�j
��
� �sin
� L � L
5 j�
� j�
� � x
� Vz
( x)
��
�j
� � cos
� L L
2
qS,OG,� (x) = �
i
5
� p hS
� GIT
� N � � � � �
� � � � �
hS
4 hS
j�1
�
�
�q
�
j
1
c 5
� � j�
� � x
�
j sin
h �
� � � �
(6.96)
S � j 1 L
� z �
�
Die bemessungsrelevante Querkraft QS in der seitlichen Halterung kann durch Integration
von Gleichung (6.93) ermittelt werden, wenn die Randbedingungen gemäß
Gleichung (6.99a) und (6.99b) für die Bestimmung der Integrationskonstanten genutzt
werden.
QS S
(6.97)
( x)
� ��
q ( x)
dx
MS S
(6.98)
( x)
� � Q ( x)
dx
h
� �
��� (6.99a)
2
S
MS (x=0) = v ( x � 0)
� � ( x � 0)
� 0
hS
MS(
x � L)
� v��(
x � L)
� � ���( x � L)
� 0
(6.99b)
2
Mit den Momentenverläufen gemäß Gleichung (6.89a), (6.89b) und durch Integration
der Gleichungen (6.95a), (6.95b) und (6.96) erhält man die nachfolgenden Gleichungen
für die Querkraft QS in der seitlichen Halterung.
Q
S,
OG
� QS,
OG,
q � QS,
OG,
v � QS,
OG,
�
L � 2 � x �
QS, OG,
q ( x)
� qy
� ��1
� �
y 2 � L �
y
0
x � 0,5 · L:
� N MyA
� � � � x
QS, OG,
v ( x)
� �
v0,
m,
Sinus � cos
0,
Sinus �
� � � �
2 h �
�
� S � L L
v0,
m,
Sinus � � 1 � � � x 4 � x � � x �
� �MyB � MyA
� 4 � M0
�������sin � � � � cos �
hS
L � � � L � � L L �
�
�
2
v
�
�
0,
m,
Sinus � � 2 x � � x � 2 � x � � � � x 4
� 4 � M � � � � � � � � � �
0
sin
�
� 2 � � cos
�
�
2
h
�
S L L L
�
� � � L � �
L �
�
P v0,
m,
Sinus � � � x x � � x �
� � � �sin
� � � � cos �1�
2 h � L L L �
S
93
(6.100)
(6.101)
z (6.102a)

94
x � 0,5 · L:
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
L
x
cos
L
v
h
M
2
N
)
x
(
Q Sinus
,
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� 3 5
6.3.1.4 Vergleich mit FEM-Berechnungen
(6.104b)
Die Gleichungen (6.100) bis (6.104) für die bemessungsrelevante Stabilisierungsquerkraft
QS werden für einen Träger mit unterschiedlichen Biegemomentenverläufen,
unterschiedlicher Form der Vorverformung v0 mit und ohne Drehbettung ausgewertet
und mit den Ergebnissen von FEM-Berechnungen mit dem Programm BTII verglichen.
Die Parameter des untersuchten Beispiels werden wie folgt variiert:
� Profil: IPE 400
� Trägerlänge: L = 20 m
� Translationsbettung: cy = 10 8 kN/cm 2 , zcy = -hS/2 = -19,325 cm
� Drehbettung: c� = 0 bzw. c� = 5 kNm/m
� Vorverformung: v0,m = L/500 als Sinushalbwelle bzw. als Parabel
� Belastung: Lastfälle LF 1 bis LF 9 gemäß Bild 6.13
Alle Lastfälle weisen ein Biegemoment in Feldmitte von |Mym| = 100 kNm auf.
Ausnahme ist LF1 mit My = 0 und N � 0.
My
100
N � � � � � �250
kN (6.105)
h 0,
4
Es werden alle Lastfälle jeweils mit v0(x) als Sinushalbwelle bzw. als Parabel und
c� = 0 bzw. 5 kNm/m untersucht. Die Stabilisierungsquerkraft QS,FEM aus der FEM-
Berechnung ist in den Tabellen 6.5a bis 6.5d jeweils für alle Lastfälle in den
Zehntelspunkten angegeben. Die als Näherungslösung gemäß EBV-BDK mit
Gleichung (6.100) berechnete Stabilisierungsquerkraft QS,EBV ist nur jeweils dann
ergänzend aufgeführt, wenn eine Abweichung zur genauen Lösung QS,FEM auftritt.
Tabelle 6.5a: v0(x) als Sinushalbwelle, c� = 0, LF 1 bis 9
Tabelle 6.5b: v0(x) als Sinushalbwelle, c� = 5 kNm/m, LF 1 bis 9
Tabelle 6.5c: v0(x) als Parabel, c� = 0, LF 1 bis 9
Tabelle 6.5d: v0(x) als Parabel, c� = 5 kNm/m, LF 1 bis 9

LF1: N = -250 kN
LF2: MyA = MyB = +100 kNm
LF3: MyA = MyB = -100 kNm
LF4: M0 = 100 kNm
qz = 2 kN/m
LF5: MyA = MyB = -100 kNm
M0 = 200 kNm
qz = 4 kN/m
LF6: MyA = MyB = -200 kNm
M0 = 300 kNm
qz = 6 kN/m
LF7: MyB = -100 kNm
M0 = 150 kNm
qz = 3 kN/m
LF8: MyB = -200 kNm
M0 = 200 kNm
qz = 4 kN/m
LF9: Mym = 100 kNm
Pz = 20 kN
Bild 6.13 Berechnete Lastfälle zur Bestätigung der Gleichungen (6.100) bis (6.104)
97

98
Tabelle 6.5a Stabilisierungsquerkraft QS in [kN] für v0(x) als Sinushalbwelle, c� = 0
x/L
LF1
EBV
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
FEM
LF2
EBV
FEM
LF3
EBV
FEM
LF4
EBV
FEM
LF5
EBV
FEM
LF6
EBV
FEM
LF7
EBV
FEM
LF8
EBV
FEM
LF9
EBV
FEM
1,93
0,84
6,99
0,34
0,35
-0,45
-0,42
-4,17
-4,42
0,43
0,44
0,58
0,61
-0,29
-0,28
1,83
0,79
6,65
0,68
0,67
0,61
0,59
0,97
1,03
0,89
0,87
1,24
1,22
-0,09
1,56
0,68
5,66
0,86
0,85
1,27
1,24
3,90
4,08
1,06
1,04
1,44
1,41
0,11
1,13
0,49
4,11
0,77
0,76
1,27
1,24
3,90
4,06
0,85
0,83
1,06
1,05
0,22
0,21
0,60
0,26
2,16
0,44
0,75
2,17
2,37
0,35
0,30
0,31
0,19
0,15
0
0
0
0
0
0
-0,26
-0,58
-0,60
0
-0,60
-0,26
-2,16
-0,44
-0,75
-2,17
-2,37
-0,81
-0,80
-1,38
-1,39
-0,19
-0,15
-1,13
-0,49
-4,11
-0,77
-0,76
-1,27
-1,24
-3,90
-4,06
-1,12
-1,09
-1,84
-1,80
-0,22
-0,21
-1,56
-0,68
-5,66
-0,86
-0,85
-1,27
-1,24
-3,90
-4,08
-0,99
-0,97
-1,46
-1,44
-1,83
-0,79
-6,65
-0,68
-0,67
-0,61
-0,59
-0,97
-1,03
-0,39
-0,38
0,01
0,00
-1,93
-0,84
-6,99
-0,34
-0,35
Tabelle 6.5b Stabilisierungsquerkraft QS in [kN] für v0(x) als Sinushalbwelle, c� = 5 kNm/m
x/L
LF1
EBV
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
FEM
LF2
EBV
FEM
LF3
EBV
FEM
LF4
EBV
FEM
LF5
EBV
FEM
LF6
EBV
FEM
LF7
EBV
FEM
LF8
EBV
FEM
LF9
EBV
FEM
1,62
0,25
0,26
0,04
-0,13
-0,25
-0,24
0,06
0,09
-0,11
1,54
0,23
0,25
0,14
0,06
0,05
-0,02
-0,03
0,19
0,18
0,23
-0,05
1,31
0,20
0,21
0,22
0,23
0,22
0,23
0,22
0,26
0,25
0,30
0,29
0,03
0,95
0,15
0,15
0,22
0,28
0,33
0,32
0,22
0,21
0,21
0,08
0,50
0,08
0,08
0,13
0,19
0,18
0,23
0,07
0,01
0,08
0
0
0
0
0
0
-0,10
-0,21
-0,20
0
-0,50
-0,08
-0,08
-0,13
-0,19
-0,18
-0,23
-0,24
-0,33
-0,08
-0,95
-0,15
-0,15
-0,22
-0,28
-0,33
-0,32
-0,28
-0,27
-0,30
-0,08
-0,11
-1,31
-0,20
-0,21
-0,22
-0,23
-0,22
-0,23
-0,22
-0,19
-0,14
-0,13
-0,03
0,09
-1,54
-0,23
-0,25
-0,14
-0,06
-0,05
0,02
0,03
-0,02
0,07
0,08
0,05
0,45
0,42
4,17
4,42
0,45
0,43
2,03
0,29
0,28
-1,62
-0,25
-0,26
-0,04
0,13
0,25
0,24
0,14
0,13
0,22
0,20
0,11

Tabelle 6.5c Stabilisierungsquerkraft QS in [kN] für v0(x) als Parabel, c� = 0
x/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
LF1
EBV
FEM
LF2
EBV
FEM
LF3
EBV
FEM
LF4
EBV
FEM
LF5
EBV
FEM
LF6
EBV
FEM
LF7
EBV
FEM
LF8
EBV
FEM
LF9
EBV
FEM
2,24
2,23
1,18
1,14
7,01
7,02
0,39
0,40
-0,56
-0,50
-3,09
-3,15
0,49
0,61
0,62
-0,23
-0,22
1,95
0,84
0,85
6,90
6,87
0,69
0,57
0,54
0,67
0,74
0,87
0,86
1,12
-0,06
1,53
0,61
5,88
5,87
0,81
0,80
1,12
1,09
2,64
2,69
0,96
0,94
1,19
1,18
0,09
1,04
0,41
0,40
4,25
4,24
0,69
0,68
1,09
1,06
2,65
2,67
0,72
0,70
0,81
0,80
0,17
0,16
0,53
0,20
2,23
2,22
0,38
0,63
1,49
1,56
0,26
0,15
0,14
0,11
0
0
0
0
0
0
-0,27
-0,57
0
-0,53
-0,20
-2,23
-2,22
-0,38
-0,63
-1,49
-1,56
-0,73
-1,17
-0,14
-0,11
-1,04
-0,41
-0,40
-4,25
-4,24
-0,69
-0,68
-1,09
-1,06
-2,65
-2,67
-1,00
-0,98
-1,47
-1,46
-0,17
-0,16
-1,53
-0,61
-5,88
-5,87
-0,81
-0,80
-1,12
-1,09
-2,64
-2,69
-0,92
-0,90
-1,16
-1,95
-0,84
-0,85
-6,90
-6,87
-0,69
-0,57
-0,54
-0,67
-0,74
-0,38
-0,36
-0,01
-0,02
-2,24
-2,23
-1,18
-1,14
-7,01
-7,02
-0,39
-0,40
Tabelle 6.5d Stabilisierungsquerkraft QS in [kN] für v0(x) als Parabel, c� = 5 kNm/m
x/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
LF1
EBV
FEM
LF2
EBV
FEM
LF3
EBV
FEM
LF4
EBV
FEM
LF5
EBV
FEM
LF6
EBV
FEM
LF7
EBV
FEM
LF8
EBV
FEM
LF9
EBV
FEM
1,93
1,92
0,55
0,51
0,07
0,10
0,10
0,09
-0,28
-0,24
-0,49
-0,43
0,13
0,18
0,16
-0,07
-0,06
1,65
0,26
0,29
0,28
0,17
0,16
0,09
0,07
0,03
0,08
0,21
0,26
0,27
-0,03
1,26
0,13
0,26
0,19
0,23
0,22
0,22
0,22
0,24
0,25
0,02
0,84
0,85
0,07
0,16
0,16
0,24
0,23
0,27
0,28
0,15
0,14
0,13
0,05
0,42
0,02
0,03
0,08
0,07
0,09
0,15
0,14
0,20
0,19
0,03
-0,04
0,05
0,04
0
0
0
0
0
0
-0,11
-0,10
-0,21
-0,20
0
-0,42
-0,02
-0,03
-0,08
-0,07
-0,09
-0,15
-0,14
-0,20
-0,19
-0,20
-0,29
-0,05
-0,04
-0,84
-0,85
-0,07
-0,16
-0,16
-0,24
-0,23
-0,27
-0,28
-0,24
-0,25
-0,26
-0,05
-0,09
-1,26
-0,13
-0,26
-0,19
-0,23
-0,22
-0,22
-0,20
-0,19
-0,15
-0,14
-0,02
0,06
-1,65
-0,26
-0,29
-0,28
-0,17
-0,16
-0,09
-0,07
-0,03
-0,08
-0,05
-0,04
0,01
0,04
0,03
0,56
0,50
3,09
3,15
0,59
0,53
1,87
1,83
0,23
0,22
-1,93
-1,92
-0,55
-0,51
-0,07
-0,10
-0,10
-0,09
0,28
0,24
0,49
0,43
0,30
0,25
0,47
0,40
0,07
0,06
99

100
Für die Lastfälle LF1, LF2 und LF3 mit konstanter Normalkraft bzw. konstantem
Biegemoment in Verbindung mit einer Vorverformung als Sinushalbwelle liegt der
Sonderfall der Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten vor. Die Sinushalbwelle
für die Verdrehung � des Trägers mit �1 � 0 und �2 = �3 = �4 = �5 = 0 ist
für diese Fälle die exakte Lösung. In den Tabellen 6.5a und 6.5b äußert sich dies
darin, daß die Stabilisierungsquerkraft der Näherungslösung QS,EBV keine Abweichung
zur genauen Lösung QS,FEM aufweist.
Für die anderen Lastfälle LF4 bis LF9 treten geringe Abweichungen zwischen der
Näherungslösung QS,EBV gemäß Gleichung (6.100) und der genauen Lösung QS,FEM
auf. Man erkennt, daß der Verlauf der Stabilisierungsquerkraft QS über die
Trägerlänge für die einzelnen Lastfälle sehr unterschiedlich ist. Der den Gleichungen
(6.104a) und (6.104b) zugrunde liegende 5-gliedrige Sinusansatz für die Verdrehung
� des Trägers ist aber offensichtlich ausreichend, um die Veränderlichkeit der
Stabilisierungslasten in Trägerlängsrichtung richtig abzubilden.
Ein Vergleich der Stabilisierungslasten infolge Vorverformung als Sinushalbwelle mit
den Stabilisierungslasten infolge Vorverformung als Parabel zeigt, daß diese beiden
häufig als gleichwertig eingeschätzten Vorverformungsannahmen zu sehr unterschiedlichen
Ergebnissen führen können. Weiterhin wird deutlich, daß die Stabilisierungslasten
durch eine vorhandene Drehbettung c� stark reduziert werden. Der Einfluß der
verschiedenen Systemparameter Drehbettung, Vorverformung und planmäßige
Belastung in der Trägerebene wird systematisch in Abschnitt 6.3.2 behandelt. An
dieser Stelle soll anhand der Vergleichsrechnungen mit dem FEM-Programm BT II
nur belegt werden, daß die genannten Parameter durch die Gleichungen des EBV-
BDK richtig erfaßt werden.
6.3.1.5 Berücksichtigung der Nachgiebigkeit der seitlichen Halterung
Durch Annahme einer unverschieblichen gebundenen Drehachse in der Ebene der
seitlichen Stützung werden die Freiwerte zur Beschreibung der Verformungen des
stabilisierten Trägers im Vergleich zu einem Träger mit nachgiebiger seitlicher Halterung
halbiert. Diese Halbierung der wesentlichen Systemfreiheitsgrade ist ein entscheidender
Vorteil bei der Ableitung von Näherungsformeln für die Berechnung von
Stabilisierungslasten. Die Nachgiebigkeit einer Obergurthalterung kann bei Erhaltung
dieses Vorteils näherungsweise durch den Ansatz einer vergrößerten Vorverformung
v 0 berücksichtigt werden, welche die seitliche Verformung der nachgiebigen
Halterung mit abdeckt. Diese Vorgehensweise wird nachfolgend erläutert.
Ist die kontinuierliche seitliche Halterung des Obergurts nicht unverschieblich sondern
schubweich, was auf Trapezprofilschubfelder und näherungsweise auf engmaschige
Verbände zutrifft, so wird sich der Obergurt infolge der qS-Lasten gemäß
Gleichung (6.94) verschieben. Die Obergurtverformung in y-Richtung infolge
Schubweichheit der seitlichen Halterung kann mit Gleichung (6.106) berechnet
werden.

vOG(x) =
M S (6.106)
( x)
S*
mit MS ( x)
� ���q
S(
x)
dxdx
S * = Schubsteifigkeit der Obergurthalterung in [kN]
101
Für die Obergurtverformung in Feldmitte wird bei Ansatz einer Vorverformung v0 als
Sinushalbwelle aus Gleichung (6.106) Gleichung (6.107). Der erste Summand in der
Gleichung (6.107) stellt die Obergurtverformung infolge äußerer Gleichstreckenlast qy
dar. Die restlichen Summanden beschreiben die Obergurtverformung infolge Imperfektionsanteil
der Stabilisierungslast qS (v0,m) und infolge Verformungsanteil der
Stabilisierungslast qS (V) = qS (�1, �2, �3, �4, �5).
L
vOG,m = vOG(x= )
2
� 2
1 qy
� L � N 1 � 1
��
�
�
�
� 1 6 2
� � � v0,
m � � � � � �MyA � MyB��4�M0����
��
�
2
S*
��
8 � 2 hS
� 2
� 4 � � ��
� 2
�
Pz
� L � 1 1 ��
�
� ip
h
�
S GIT
�
� � � N � � � ��1��3��5� h �
� �
S 2 �
� � � � � �
� hS
4 h
�
� � � � � �
�
S �
� � � �
� yB yA � 2 M M
1
� � � � �
�
M0
� � � � � 2 � � � 2 � ��
� 8 � � ��
� �2
� � � � � � � � � � � � � ��
2 1
3
5
� � � 2 � � 9 6 � � 25 10 ��
P �
�
z �
� 1 1 � � 1 1 � � 1 1 �
� � L � �
� � � �
1 �
� �
� � �
� � �3
� �
��
� �
� 5 �
� � �
�
2
�
� � 2 � � � 2 3�
� � 2 5�
��
2
� � � � � ��
�
c�
�
L �3
�5
� q � � �
�
�
� � �
��
� � �
�
� �
1 �
�
hS
� � � � � 9 25 ���
z (6.107)
Man kann zeigen, daß sich diese Obergurtverformung fast ausschließlich aus einer
Schwerpunktverschiebung v des Trägers und nur zu einem kleinen Bruchteil aus einer
Querschnittsverdrehung � zusammensetzt. Dies liegt daran, daß die Torsionssteifigkeit
baupraktisch üblicher Träger deutlich größer ist als die Biegesteifigkeit um
die schwache Achse. Es kann also näherungsweise unterstellt werden, daß die
Obergurtverformung vOG für den Träger eine Schwerpunktverformung v bewirkt,
ohne eine Querschnittsverdrehung � zu verursachen. Folglich kann man die Stabilisierungslasten
eines Trägers mit kontinuierlicher schubweicher Obergurthalterung
näherungsweise dadurch berechnen, daß man anstelle der geometrischen Ersatzimperfektion
v0,m die vergrößerte Vorverformung v 0,
m gemäß Gleichung (6.108)
ansetzt.

102
v � v � v
(6.108)
0,
m
0,
m
OG,
m
Es wird also ersatzweise ein Träger mit gebundener Drehachse berechnet, dessen
Vorverformung infolge äußerer Last qy und Stabilisierungslast qS vergrößert wird.
Daraus läßt sich folgende iterative Vorgehensweise ableiten:
Tabelle 6.6 Iterationsschema zur Berechnung der vergrößerten Vorverformung 0,
m
0. Schritt
( 0)
Gl. (6.107) � v �q� 1. Schritt:
( 0)
0,
m � v0,
m
v � v
Gl. (6.91) mit
OG,
m
( 0)
OG,
m
0,
m
y
( 0)
0,
m
v � v � V
( 0)
( 1)
( 0)
( 0)
Gl. (6.107) � vOG,
m[
qy
, qS(
v0,
m),
qS(
V )]
2. Schritt:
( 1)
0,
m
v � v � v
0,
m
Gl. (6.91) mit
( 1)
OG,
m
0,
m
( 1)
0,
m
v � v � V
( 1)
( 2)
( 1)
( 1)
OG, m y S 0,
m S V
Gl. (6.107) � v [ q , q ( v ), q ( )]
3. Schritt:
( 2)
0,
m
v � v � v
0,
m
Gl. (6.91) mit
( 2)
OG,
m
0,
m
( 2)
0,
m
v � v � V
( 2)
( 3)
( 2)
( 2)
OG, m y S 0,
m S V
Gl. (6.107) � v [ q , q ( v ), q ( )]
Diese Schritte werden wiederholt, bis Konvergenz eintritt.
v
( i�
1)
( i)
0,
m � v0,
m
� �
Die Aussage, daß die Querschnittsverdrehung � gegenüber der Querschnittsverschiebung
v vernachlässigt werden kann, wenn eine Verschiebung des Obergurtes
infolge Nachgiebigkeit der seitlichen Halterung auftritt, soll nachfolgend formelmäßig
belegt werden. Betrachtet wird dafür ein gabelgelagerter Einfeldträger, der in
Feldmitte durch eine Einzellast Py in Höhe des Obergurtes belastet wird. Die
v

Obergurtverschiebung vOG setzt sich gemäß Bild 6.14 bzw. Gleichung (6.109) aus
zwei Anteilen vOG,v und vOG,� zusammen.
Bild 6.14 Anteile der Verformungen v und � an der Obergurtverformung vOG
hS
v OG � v � � � � vOG,
v � vOG,
�
(6.109)
2
103
Für die Verschiebung vm in Feldmitte gilt Gleichung (6.110), für die Verdrehung �m
in Feldmitte näherungsweise Gleichung (6.111) mit dem Verringerungsfaktor �T
gemäß Gleichung (6.113). Vergleiche dazu auch [36] und Gleichung (6.5) in
Abschnitt 6.1.2. Gleichung (6.115) für den ideellen St. Venant’schen Torsions-
widerstand mit Berücksichtigung der Drehbettung gilt nur, wenn der Verlauf der
Verdrehung � eine Sinushalbwelle ist. An dieser Stelle ist die Verwendung von *
I T
sinnvoll, da keine exakten Verformungen berechnet werden, sondern nur der
qualitative Einfluß einer Drehbettung c� aufgezeigt werden soll.
v
3
3
Py
� L
Py
� e � L
m � (6.110) �m
� � �T
48 � EIz
48 � EI�
mit
h
e �
2
�
1
�
1�
S
(6.112)
� T
2
�T
2
�
*
T � L �
*
GIT
EI�
(6.114)
*
IT
2
c L
IT
� � 2 G �
(6.111)
(6.113)
� � (6.115)
Bildet man das Verhältnis von Obergurtverformung infolge � zu Obergurtverformung
infolge v, so erhält man ein Maß für den Fehler, den man bei Vernachlässigung der
Verdrehung � macht.
v
v
OG,
�
OG,
v
�
P
y
hS
2
3
� � L � �
48 � EI
�
T
hS
48 � EI
� �
2 P � L
y
z
3
2
hS
EIz
= � � �T
� �T
4 EI�
(6.116)

104
Ist der Wert �T klein (z.B. �T � 0,1), dann ist auch der Fehler, der durch Vernachlässigung
des Anteils vOG,� entsteht, zu vernachlässigen. In Tabelle 6.7 ist Gleichung
(6.116) für ein Profil IPE 400 mit verschiedenen Trägerlängen L und Drehbettungen
c� ausgewertet. Man erkennt, daß für baupraktische Trägerlängen von L � 10 m die
Näherung � � 0 erfüllt ist.
Tabelle 6.7 �T gemäß Gleichung (6.113) für ein Profil IPE 400 mit verschiedenen Trägerlängen
L und Drehbettungen c�
L [m]
5 10 15 20 25 30
c� [kNm/m]
0 0,495 0,197 0,098 0,058 0,038 0,027
5 0,429 0,099 0,028 0,010 0,005 0,002
10 0,379 0,066 0,016 0,006 0,002 0,001
20 0,306 0,040 0,009 0,003 0,001 0,001
Anhand des in Bild 5.4 dargestellten Beispiels soll die Berechnung von Stabilisierungslasten
mit den Steifigkeitsmatrizen für gebundene Drehachse gemäß Bild 6.12
und der iterativen Vergrößerung der Vorverformung v0 zur Berücksichtigung der
Nachgiebigkeit der Obergurthalterung gemäß Tabelle 6.6 vorgeführt werden.
Für LF1 (Gleichstreckenlast), LF2 (Gleichstreckenlast und negative Randmomente)
und LF3 (konstantes Moment) ist der Verlauf der Iteration nachfolgend angegeben:
�
�
�
( 3)
0,
m
LF1 LF2 LF3
0
0 (
OG, m � v 0
) 0 (
OG, m � v 0
) 0 (
OG, m �
v )
v ) 0 (
v ) 0 (
v ) 0 (
0, m � 6 cm
0, m � 6 cm
0, m � 6 cm
( 1)
OG,
m
v = 0,77 cm �
( 1)
0,
m
v = 6,77 cm
( 2)
OG,
m
v = 0,87 cm �
( 2)
0,
m
v = 6,87 cm
v �
( 3)
OG,
m
v = 0,88 cm �
( 2)
0,
m
v = 6,9 cm
�
( 4)
0,
m
( 1)
OG,
m
v = 1,31 cm �
( 1)
0,
m
v = 7,31 cm
( 2)
OG,
m
v = 1,60 cm �
( 2)
0,
m
v = 7,60 cm
( 3)
OG,
m
v = 1,67 cm �
( 3)
0,
m
v = 7,67 cm
( 4)
OG,
m
v = 1,68 cm
( 3)
0,
m
v � v = 7,7 cm
( 3)
0,
m
( 1)
OG,
m
v = 0,63 cm
( 1)
0,
m
v = 6,63 cm
( 2)
OG,
m
v = 0,70 cm
( 2)
0,
m
v = 6,70 cm
v �
( 3)
OG,
m
v = 0,70 cm
( 2)
0,
m
v = 6,7 cm

Es werden also folgende Vorverformungsordinaten für die Berechnung am System
mit gebundener Drehachse angesetzt:
LF1: v0, m � 6,
9 cm
LF2: v0, m � 7,
7 cm
LF3: 6,
7 cm
v0, m �
105
Die sich daraus ergebenden Stabilisierungslasten qS gemäß Gleichung (6.94) sind in
den Bildern 6.15a, 6.15b und 6.15c jeweils den genauen Ergebnissen aus einer
Berechnung mit dem Programm DRILL [24] gegenübergestellt. Die Übereinstimmung
der Ergebnisse ist gut und bestätigt damit die Überlegungen zur näherungsweisen
Berechnung von Trägern mit schubweicher Obergurthalterung als Träger
mit gebundener Drehachse am Obergurt und vergrößerter Vorverformung v0.
qs [kN/m]
2
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-1,5
LF 1: q z= 10 kN/m
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
DRILL, v0m = 6 cm
EBV-BDK Gl. (6.94), v0m = 6,9 cm
Bild 6.15a Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL mit
v0,m = 6 cm und Gleichung (6.94) mit v0,m = v 0,
m = 6,9 cm für LF1 des Beispiels
aus Bild 5.4

106
qs [kN/m]
LF 2: qz= 20 kN/m, Ms= -1125 kNm
6
4
2
0
0 0,25 0,5 0,75 1
-2
-4
-6
-8
x/L
DRILL, v0m = 6 cm
EBV-BDK Gl. (6.94), v0m = 7,7 cm
Bild 6.15b Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL
mit v0,m = 6 cm und Gleichung (6.94) mit v0,m = v 0,
m = 7,7 cm für LF2 des
Beispiels aus Bild 5.4
qs [kN/m]
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
LF 3: M s= 1125 kNm
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
DRILL, v0m = 6 cm
EBV-BDK Gl. (6.94), v0m = 6,7 cm
Bild 6.15c Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL,
mit v0,m = 6 cm und Gleichung (6.94) mit v0,m = v 0,
m = 6,7 cm für LF3 des
Beispiels aus Bild 5.4

6.3.2 Einflußparameter für Stabilisierungslasten
6.3.2.1 Vorbemerkungen
107
In Abschnitt 6.3.1.4 wird anhand der Berechnungsbeispiele aus Bild 6.13 und den
Tabellen 6.5a bis 6.5d belegt, daß die Stabilisierungslast qS mit Gleichung (6.94) und
die Stabilisierungsquerkraft QS mit Gleichung (6.100) in sehr guter Näherung zu
genauen Programmberechnungen ermittelt werden können, wenn die Verdrehung �
des untersuchten Trägers mit einem 5-gliedrigen Sinusreihen-Ansatz approximiert
wird. Die untersuchten Varianten bezüglich des Verlaufs der planmäßigen Belastung
in der Trägerebene, des Verlaufs der Vorkrümmung v0 und der vorhandenen
Drehbettung c� des seitlich am Obergurt gestützten Trägers zeigen dabei eine große
Abhängigkeit der auftretenden Stabilisierungslasten von diesen Systemparametern.
In Abschnitt 6.3.2 wird der Einfluß der Systemparamter planmäßige Belastung,
Schlankheit, Drehbettung und Vorverformung des stabilisierten Trägers systematisch
untersucht. Die Aufspaltung der Stabilisierungslast qS gemäß Gleichung (6.94) in
mehrere Anteile ermöglicht dabei eine Einsicht in die Zusammenhänge zwischen den
planmäßigen Schnittgrößenverläufen, den spannungslosen und den elastischen
Verformungen des Trägers einerseits und den auftretenden Stabilisierungslasten
andererseits. Auf diese Weise kann das Verständnis für die beim Biegetorsionsproblem
auftretenden Stabilisierungslasten gefördert werden, mit dessen Hilfe sich
auch Größe und Verlauf der Stabilisierungslasten von Trägern abschätzen lassen, die
von den hier behandelten Beispielen abweichen.
6.3.2.2 Untersuchte Parameter
Bild 6.16 zeigt das statische System mit Querschnitt, Vorverformung und vier
Schnittgrößenverläufen, welches als Grundlage für die Parameterstudie in diesem
Abschnitt dient. Für alle untersuchten Beispiele gilt einheitlich:
� Profil: IPE 400
� Stich der Vorkrümmung: v0,m = L/500
� Maximales Biegemoment: My = My,el,d = 250 kNm
� Angriffspunkt der Querlast und der seitlichen Halterung im Obergurtmittelpunkt
Aus der Vielzahl möglicher Schnittgrößenverläufe wurden vier Basisfälle ausgewählt:
� LF1: Positive Randmomente
� LF2: Gleichstreckenlast
� LF3: Negative Randmomente und Gleichstreckenlast
� LF4: Einseitiges negatives Randmoment und Gleichstreckenlast
Bei gleichem maximalem Biegemoment My ergeben sich für die vier Lastfälle unterschiedlich
große Querkräfte Vz und Gleichstreckenlasten qz, welche in Abhängigkeit

108
von der Trägerlänge L ebenfalls in Bild 6.16 angegeben sind. Die Paramterstudie in
diesem Abschnitt erstreckt sich auf die Variation der Schnittgrößenverläufe LF1 bis
LF4, die Variation der Trägerschlankheit L/h, die Variation der Drehbettung c� und
die Variation des Verlaufs der Vorkrümmung v0 als Sinus- oder als Parabelfunktion.
Bild 6.16 Statisches System, Querschnitt, Vorverformung und Schnittgrößenverläufe als
Grundlage für die Untersuchungen in Abschnitt 6.3.2

6.3.2.3 Variation der Schnittgrößenverläufe
109
Als Einführungsbeispiel wird ein Träger ohne Drehbettung mit sinusförmiger Vorkrümmung
betrachtet. Die Trägerschlankheit wird zu L/h = 40 gewählt, woraus eine
Trägerlänge von L = 16 m resultiert. Der Verzweigungslastfaktor für diese Schlankheit
liegt im Lastfall 3 mit den beidseitigen negativen Randmomenten bei �Ki = 1,38.
Der mit Gleichung (6.94) berechnete Verlauf der Stabilisierungslast qS über die
Trägerlänge ist für alle vier untersuchten Lastfälle in Bild 6.17a dargestellt. Bild 6.17b
zeigt die aus qS resultierende Querkraft QS in der seitlichen Halterung gemäß
Gleichung (6.100).
Die Beanspruchung der seitlichen Halterung ist für die vier untersuchten Lastfälle
sehr unterschiedlich groß, obwohl in allen Fällen ein gleich großes maximales Biegemoment
in Feldmitte vorliegt. Auffällig ist die Tatsache, daß der Lastfall 1 mit
konstantem Biegemoment die geringsten Stabilisierungslasten verursacht. Die in der
Literatur häufig vertretene Ansicht, daß ein veränderlicher Biegemomentenverlauf als
Näherung auf der sicheren Seite durch einen konstanten Biegemomentenverlauf mit
gleichem Maximalwert ersetzt werden kann, wird mit diesem Beispiel eindeutig
widerlegt.
Da die Verdrehung � des stabilisierten Trägers für die Erklärung der auftretenden
Stabilisierungslasten eine entscheidende Rolle spielt, ist ihr Verlauf über die
Trägerlänge für alle vier untersuchten Lastfälle in Bild 6.17c dargestellt.
Die Lastfälle 1 und 2 mit durchgehend gehaltenem Druckgurt weisen nur geringe
Verdrehungen auf. Bei Lastfall 4 mit einseitigem negativem Randmoment verschiebt
sich das Maximum der Verdrehung � von der Feldmitte hin zum Auflager mit dem
negativen Randmoment. Der bereichsweise gedrückte freie Untergurt des Trägers
führt zu einer spürbaren Vergrößerung der maximalen Verdrehung im Vergleich zu
den Lastfällen 1 und 2. Noch deutlicher sichtbar wird das vorliegende Stabilitätsproblem
bei gedrücktem Untergurt für den Lastfall 3 mit beidseitigen negativen
Randmomenten. Der Verzweigungslastfaktor liegt im Lastfall 3 nur bei �Ki = 1,38,
wohingegen er in den Lastfällen 1 und 2 unendlich ist, da der Druckgurt des
stabilisierten Trägers auf der gesamten Länge gehalten ist.
Ein Vergleich der Bilder 6.17a und 6.17c offenbart, daß mit steigender Torsionsverdrehung
� auch die positive Stabilisierungslast qS in Feldmitte anwächst. Die
Lastfälle 2, 3 und 4 mit veränderlichem Biegemomentenverlauf verursachen negative
Stabilisierungslasten qS in Auflagernähe, welche ebenfalls mit steigender Torsionsverdrehung
� anwachsen.
Der Nulldurchgang der Stabilisierungslast qS markiert jeweils die Stelle der maximalen
Querkraft QS in der seitlichen Halterung. Für Lastfall 1 liegt das Maximum von
QS am Auflager, für die anderen Lastfälle etwa in den Viertelspunkten des Trägers.

110
Eine anschauliche Erklärung der großen Unterschiede zwischen den Stabilisierungslasten
der vier verschiedenen Schnittgrößenverläufe gelingt mit der Aufspaltung der
Stabilisierungslast qS in die Anteile der einzelnen Einflußparameter gemäß Gleichung
(6.117).
q
S � qS,
v � qS,
GI � qS,
V � qS,
q � q
0
T
z z S,
c�
mit
q
S,
v0
q
q
q
q
S,
GI
S,
Vz
S,
q
S,
c
T
� M
�
h
S
GI
�
h
S
� �Vz
� q
z z
�
� c
�
h
qs [kN/m]
y
T
� �
S
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
�
� v��
0
� ��� � ��
� �
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
qs LF 1 qs LF 2
qs LF 3 qs LF 4
(6.117)
Bild 6.17a Stabilisierungslasten qS für vier verschiedene Schnittgrößenverläufe mit
gleichem maximalem Biegemoment My in Feldmitte

Qs [kN]
15
10
5
-5
-10
-15
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
Qs LF 1 Qs LF 2
Qs LF 3 Qs LF 4
Bild 6.17b Stabilisierungsquerkräfte QS für vier verschiedene Schnittgrößenverläufe mit
gleichem maximalem Biegemoment My in Feldmitte
[rad]
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
LF 1 LF 2
LF 3 LF 4
Bild 6.17c Torsionsverdrehungen � für vier verschiedene Schnittgrößenverläufe mit
gleichem maximalem Biegemoment My in Feldmitte
111

112
Die Bilder 6.18a bis 6.18d zeigen die Aufspaltung der Stabilisierungslast qS in ihre
einzelnen Anteile für alle vier untersuchten Schnittgrößenverläufe. Für Lastfall 1 mit
konstantem Biegemoment setzt sich die Stabilisierungslast nur aus dem Imperfek-
tionsanteil
S,
GIT
q und dem Verformungsanteil der St. Venant’schen Torsionssteifigkeit
S,
v0
q zusammen. Der Imperfektionsanteil
q als Produkt von Gurtkraft und
S,
v0
Vorkrümmung entspricht dabei genau derjenigen Stabilisierungslast, die am Druckstabmodell
nach Gerold gemäß Bild 1.3 ermittelt werden kann.
Ein Vergleich der Stabilisierungslast qS mit dem Imperfektionsanteil
q liefert für
S,
v0
jedes Bild 6.18a bis 6.18d deshalb jeweils eine Aussage darüber, welcher Fehler bei
der Berechnung der Stabilisierungslast mit dem Druckstabmodell gemacht wird. Für
den in Bild 6.18a dargestellten Lastfall 1 ist dieser Fehler gering, da die
Stabilisierungslast durch den Imperfektionsanteil q S,
v dominiert wird und lediglich
0
eine geringfügige Reduzierung von q infolge q erfolgt.
qs [kN/m]
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
Lastfall 1
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0
S,
v0
S,
GIT
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
qs qs v0 qs GIt
Bild 6.18a Anteile an der Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.117) für Lastfall 1

qs [kN/m]
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-1,5
Lastfall 2
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
qs qs v0 qs GIt
qs Vz qs qz
Bild 6.18b Anteile an der Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.117) für Lastfall 2
qs [kN/m]
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
Lastfall 3
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
qs qs v0 qs GIt
qs Vz qs qz
Bild 6.18c Anteile an der Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.117) für Lastfall 3
113

114
qs [kN/m]
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
Lastfall 4
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
qs qs v0 qs GIt
qs Vz qs qz
Bild 6.18d Anteile an der Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.117) für Lastfall 4
Für die anderen drei in den Bildern 6.18b bis 6.18d dargestellten Lastfälle sind die
Abweichungen zwischen den Stabilisierungslasten des räumlichen Modells qS und den
Stabilisierungslasten des Druckstabmodells q S,
v so erheblich, daß das Druck-
0
stabmodell als ungeeignet beurteilt werden muß, um die Stabilisierungslasten von
Trägern mit veränderlichem Biegemomentenverlauf zu ermitteln. Die auftretenden
Stabilisierungslasten können durch das Druckstabmodell nicht richtig beschrieben
werden, da sie primär durch die Torsionsverdrehung � hervorgerufen werden, die
infolge Theorie II. Ordnung am vorgekrümmten Träger entsteht.
Bild 6.18b mit den Stabilisierungslastanteilen für Lastfall 2 ist zu entnehmen, daß die
negativen Stabilisierungslasten in Auflagernähe aus dem Querkraftanteil q S,
v her-
z
rühren. Die positive Stabilisierungslast in Feldmitte setzt sich aus dem Imperfektionsanteil
q S,
v und aus dem Querlastanteil q
0
S,
q zusammen, wobei analog zu Lastfall 1
z
eine leichte Reduzierung infolge q erfolgt.
S,
GIT
Der Unterschied zwischen den Stabilisierungslasten im Lastfall 1 mit konstantem
Biegemoment und den Stabilisierungslasten im Lastfall 2 mit Gleichstreckenlast wird
durch die im Lastfall 2 zusätzlich vorhandenen Auswirkungen der Querkraft Vz und
der Querlast qz verursacht. Eine große Querlast qz bewirkt große positive Stabilisierungslasten
in Feldmitte. Große Querkräfte Vz führen zu großen negativen Stabilisierungslasten
in Auflagernähe.

115
Neben der Größe der planmäßigen Belastung in der Trägerebene spielt die Verdrehung
� des stabilisierten Trägers eine entscheidende Rolle für die entstehenden
Stabilisierungslasten. Sehr deutlich wird dies anhand der Stabilisierungslastanteile für
Lastfall 3 in Bild 6.18c. Da sich in diesem Lastfall eine sehr große Verdrehung von
� > 0,2 rad einstellt, ergeben sich positive Stabilisierungslasten q S,
q in Feldmitte und
z
negative Stabilisierungslasten q S,
V am Auflager, die um ein Vielfaches größer sind
z
als im Lastfall 2 mit einer sehr viel kleineren Verdrehung. Eine Verdoppelung des
Stabilisierungslastanteils q S,
q beim Übergang von Lastfall 2 zu Lastfall 3 ist auf die
z
im Lastfall 3 doppelt so große Querlast qz zurückzuführen. Die darüber hinausgehende
Vergrößerung der Stabilisierungslasten hängt mit dem Anwachsen der Verdrehung �
infolge Theorie II. Ordnung zusammen.
Im Lastfall 4 mit einseitigem negativem Randmoment liegt sowohl die Größe der
planmäßigen Belastung qz und Vz als auch die Größe der maximalen Verdrehung �
zwischen den Werten der Lastfälle 2 und 3. Die Größe der in Bild 6.18d dargestellten
Stabilisierungslastanteile für den Lastfall 4 liegt deshalb ebenfalls zwischen den
Werten der entsprechenden Anteile in den Lastfällen 2 und 3. Die asymmetrische
Eigenschaft des Lastfalls 4 wirkt sich hauptsächlich auf die negativen Stabilisierungslasten
in Auflagernähe aus. Die größeren negativen Stabilisierungslasten entstehen
am rechten Auflager mit der größeren Querkraft Vz.
6.3.2.4 Variation der Trägerschlankheit und der Drehbettung
Um die Fragestellung zu beantworten, wie sich die Trägerschlankheit L/h und eine
Drehbettung c� auf die Stabilisierungslasten der seitlich am Obergurt gestützten
Träger auswirken, werden weitere Varianten des Lastfalls 2 Gleichstreckenlast und
des Lastfalls 3 Gleichstreckenlast mit beidseitigen negativen Randmomenten untersucht.
Eine Gegenüberstellung der Stabilisierungslasten qS und der Stabilisierungsquerkräfte
QS erfolgt für die berechneten Varianten des Lastfalls 2 in Bild 6.19 und
für die berechneten Varianten des Lastfalls 3 in Bild 6.20.
Die Untersuchung erstreckt sich auf jeweils drei Schlankheiten L/h = 30, 40 und 50
bzw. Trägerlängen von L = 12, 16 und 20 m, wobei jeweils ein Träger ohne
Drehbettung und ein Träger mit Drehbettung berechnet wird. Die angesetzte
Drehbettung von c� = 5 kNm/m ist ein unterer Grenzwert für die Drehbettung, welche
durch ein aufliegendes Trapezprofil verursacht wird. Andere aufliegende Bauteile wie
Pfetten oder eine Betonplatte verursachen deutlich größere Drehbettungswerte.
Eine Vergleichbarkeit der in den Bildern 6.19 und 6.20 dargestellten Stabilisierungslasten
bei unterschiedlicher Trägerlänge L wird durch die Verwendung der dimensionslosen
Koordinate x/L als Abszisse gewährleistet.

116
Lastfall 2, v 0 = Sinus
qs [kN/m]
2
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-1,5
L=12m, ctheta=0 L=16m, ctheta=0
L=20m, ctheta=0 L=12m, ctheta=5kNm/m
L=16m, ctheta=5kNm/m L=20m, ctheta=5kNm/m
0
0 0,25 0,5 0,75 1
Lastfall 2, v 0 = Sinus
Qs [kN]
4
3
2
1
0
0 0,25 0,5 0,75 1
-1
-2
-3
-4
x/L
L=12m, ctheta=0 L=16m, ctheta=0
L=20m, ctheta=0 L=12m, ctheta=5kNm/m
L=16m, ctheta=5kNm/m L=20m, ctheta=5kNm/m
x/L
Bild 6.19 Beanspruchung der seitlichen Halterung bei Variation der Trägerschlankheit
L/h und der Drehbettung c� im Lastfall 2

qs [kN/m]
Lastfall 3, v 0 = Sinus
5
2,5
-2,5
-5
-7,5
-10
-12,5
0
0 0,25 0,5 0,75 1
-15
Lastfall 3, v 0 = Sinus
Qs [kN]
25
20
15
10
5
-10
-15
-20
-25
L=12m, ctheta=0 L=16m, ctheta=0
L=20m, ctheta=0 L=12m, ctheta=5kNm/m
L=16m, ctheta=5kNm/m L=20m, ctheta=5kNm/m
0
0
-5
0,25 0,5 0,75 1
x/L
L=12m, ctheta=0 L=16m, ctheta=0
L=20m, ctheta=0 L=12m, ctheta=5kNm/m
L=16m, ctheta=5kNm/m L=20m, ctheta=5kNm/m
x/L
Bild 6.20 Beanspruchung der seitlichen Halterung bei Variation der Trägerschlankheit
L/h und der Drehbettung c� im Lastfall 3
117

118
Die Nulldurchgänge der Stabilisierungslast qS, welche die Stellen der maximalen
Stabilisierungsquerkraft QS markieren, liegen für alle Varianten bei etwa 0,2 · L und
0,8 · L. Bei Änderung der Trägerlänge oder der Drehbettung ändern sich nur die
Maximalwerte der positiven Stabilisierungslast qS in Feldmitte und der negativen
Stabilisierungslast qS am Auflager. Der qualitative Verlauf der Stabilisierungslast in
Trägerlängsrichtung ist unabhängig von Trägerlänge und Drehbettung.
Die sowohl größten positiven als auch größten negativen Stabilisierungslasten
ergeben sich im Lastfall 2 für den kürzesten der untersuchten Träger. Das hat verschiedene
Ursachen, die anschaulich mit Hilfe der Aufspaltung der Stabilisierungslast
in die Anteile der einzelnen Einflußparameter gemäß Gleichung (6.117) erklärt
werden können. Die im Vergleich zu den längeren Trägern größeren positiven
Stabilisierungslasten in Feldmitte beruhen auf der größeren Krümmung v� 0�
und der
größeren Querlast qz. Die größeren negativen Stabilisierungslasten am Auflager
beruhen auf den größeren Querkräften Vz. Ein zusätzlich auftretender Effekt, der
ausführlich in Abschnitt 6.1 aufgezeigt wird, ist die mit der Trägerlänge zunehmende
Lastabtragung durch die St. Venant’sche Torsionssteifigkeit GIT, welche zu einer
Entlastung der seitlichen Halterung bei langen Trägern führt.
Im Lastfall 3 mit negativen Randmomenten werden die beschriebenen Effekte durch
die zunehmende Torsionsverdrehung � bei wachsender Trägerschlankheit überlagert.
Da bei diesem Lastfall infolge des Ausweichens des bereichsweise gedrückten nicht
gehaltenen Untergurtes die Torsionsverdrehung � stark ansteigt, ergeben sich für den
längsten der untersuchten Träger mit der größten Verdrehung � die größten Stabilisierungslasten.
Ist zusätzlich zur seitlichen Halterung eine Drehbettung des stabilisierten Trägers
vorhanden, so werden die Stabilisierungskräfte deutlich reduziert. Die Drehbettung c�
wirkt dabei auf zwei Arten entlastend für die seitliche Halterung. Zum einen werden
die auftretende Torsionsverdrehung � und damit die Stabilisierungslastanteile q S,
q z
und q S,
V reduziert und zum anderen erfolgt eine direkte Aufnahme der Torsions-
z
beanspruchung des stabilisierten Trägers durch die Drehbettung c�, was sich durch
den negativen Anteil q S,
c in Gleichung (6.117) ausdrückt. Da bei Lastfall 3 mit
�
stabilitätsgefährdetem Untergurt die großen auftretenden Torsionsverdrehungen � die
Ursache für die großen entstehenden Stabilisierungslasten sind, ist die Reduzierung
der Stabilisierungslasten infolge Drehbettung deutlich ausgeprägter als im Lastfall 2.
Den dominanten Einfluß, den die Drehbettung auf die Beanspruchung der seitlichen
Halterung ausübt, kann man sehr gut durch einen Vergleich der Bilder 6.21a und
6.21b belegen. Dargestellt ist die maximale Querkraft QS in der seitlichen Halterung
für vier Lastfälle in Abhängigkeit von der Trägerschlankheit L/h. Bild 6.21a zeigt die
Werte von QS für Träger ohne Drehbettung, Bild 6.21b für Träger mit Drehbettung
c� = 5 kNm/m.

max Qs [kN]
v 0 = Sinus, c � = 0
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
LF 1 LF 2 LF 3 LF 4
0,0
20 25 30 35 40 45 50
Bild 6.21a Maximale Querkraft QS in der seitlichen Halterung für vier Lastfälle in
Abhängigkeit von der Schlankheit L/h bei Trägern ohne Drehbettung
v 0 = Sinus, c � = 5 kNm/m
max Qs [kN]
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
20 25 30 35 40 45 50
L/h
LF 1 LF 2 LF 3 LF 4
Bild 6.21b Maximale Querkraft QS in der seitlichen Halterung für vier Lastfälle in Abhängigkeit
von der Schlankheit L/h bei Trägern mit Drehbettung c� = 5 kNm/m
L/h
119

120
Eine Analyse der Ergebnisse für Träger ohne Drehbettung in Bild 6.21a ergibt, daß
die Beanspruchung der seitlichen Halterung bei Momentenbeanspruchung ohne Vorzeichenwechsel
für den baupraktisch interessanten Schlankheitsbereich zwischen
L/h = 20 und L/h = 50 annähernd konstant ist. Bei Momentenbeanspruchung mit
Vorzeichenwechsel steigt die maximale Querkraft in der seitlichen Halterung mit
zunehmender Schlankheit und damit auch zunehmender Torsionsverdrehung � stark
an. Die Art des Schnittgrößenverlaufs mit beidseitigem oder mit einseitigem negativem
Randmoment hat in diesem Fall eine große Auswirkung auf die Beanspruchung
der seitlichen Halterung.
Für Träger mit Drehbettung stellt sich die Situation gänzlich anders dar. Bild 6.21b ist
zu entnehmen, daß die maximale Querkraft für alle Lastfälle bei zunehmender
Trägerschlankheit abnimmt und nicht ansteigt. Die Lastfälle 3 und 4 mit bereichsweise
negativer Momentenbeanspruchung zeigen das gleiche gutmütige Verhalten in
Bezug auf die Beanspruchung der seitlichen Halterung wie die Lastfälle 1 und 2 mit
ausschließlich positivem Biegemomentenverlauf, wenn eine Drehbettung vorhanden
ist.
Um den Effekt der Entlastung der seitlichen Halterung durch die direkte Aufnahme
der Torsionsbeanspruchung des stabilisierten Trägers durch die Drehbettung c� zu
zeigen, werden in den Bildern 6.22a und 6.22b die Stabilisierungslastanteile gemäß
Gleichung (6.117) für Lastfall 2 und 3 des Einführungsbeispiels dargestellt, diesmal
aber mit einer Drehbettung c� = 5 kNm/m. Als zusätzlicher Anteil an der Stabilisierungslast
ist daher der Anteil q vorhanden.
S,
c�
Die infolge Theorie II. Ordnung entstehende Torsionsbeanspruchung des vorgekrümmten
Trägers wird zu einem Teil von der Drehbettung aufgenommen, wodurch
die Torsionsbelastung des stabilisierten Trägers und damit auch die Kräfte in der
seitlichen Halterung reduziert werden. Die Reduktion der Stabilisierungslast qS,
repräsentiert durch den negativen Anteil q S,
c , ist für Lastfall 2 und 3 in den Bildern
�
6.22a und 6.22b deutlich zu erkennen.
Die am räumlichen Modell berechnete Stabilisierungslast qS ist sowohl für Lastfall 2
in Bild 6.22a als auch für Lastfall 3 in Bild 6.22b kleiner als der Imperfektionsanteil
q S,
v , welcher der am Druckstabmodell berechneten Stabilisierungslast ohne
0
Berücksichtigung der Verdrehung � entspricht. Für eine Bemessung der
Stabilisierungskonstruktion könnte in diesen Fällen als Näherung auf der „sicheren
Seite“ die Stabilisierungslast q des Druckstabmodells verwendet werden.
S,
v0

qs [kN/m]
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
Lastfall 2
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 5 kNm/m
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
qs qs v0
qs GIt qs Vz
qs qz qs ctheta
Bild 6.22a Anteile an der Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.117) für Lastfall 2 mit
Drehbettung
qs [kN/m]
Lastfall 3
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 5 kNm/m
1
0,5
-0,5
-1
-1,5
0
0 0,25 0,5 0,75 1
x/L
qs qs v0
qs GIt qs Vz
qs qz qs ctheta
Bild 6.22b Anteile an der Stabilisierungslast gemäß gleichung (6.117) für Lastfall 3 mit
Drehbettung
121

122
Der Imperfektionsanteil
q , welcher sehr einfach auch ohne Kenntnis der
S,
v0
Trägerverdrehung � infolge Theorie II. Ordnung zu berechnen ist, stellt für Lastfälle
mit Gleichstreckenlast qz immer eine obere Schranke für die tatsächliche Stabili-
sierungslast qS dar, wenn die mit der Trägerverdrehung � zusammenhängenden negativen
Anteile q S,
GI und q
T S,
c betragsmäßig größer sind als der positive Anteil q
�
S,
q .
z
Da sowohl der die Stabilisierungslast vergrößernde Anteil q S,
q als auch der die Sta-
z
bilisierungslast vermindernde Anteil q S,
c proportional zur Trägerverdrehung � sind,
�
kann unter Vernachlässigung von q S,
GI eine Mindestdrehbettung min c� angegeben
T
werden, für welche q S,
c betragsmäßig größer als q
�
S,
q und damit q
z
S,
v größer als qS
0
ist.
c� > qz · hS = min c� (6.118)
Ist bei Lastfällen mit Gleichstreckenlast qz die vorhandene Drehbettung c� größer als
die Mindestdrehbettung gemäß Gleichung (6.118), dann kann die Stabilisierungslast
qS als Näherung auf der „sicheren Seite“ mit Gleichung (6.119) berechnet werden.
q
S
� My
� qS,
v � � v�
0
0�
(6.119)
h
S
Durch den Nachweis der Mindestdrehbettung kann die Berücksichtigung der Verdrehung
� des stabilisierten Trägers bei der Berechnung der Stabilisierungslasten
entfallen, wodurch der Berechnungsaufwand erheblich reduziert wird.
6.3.2.5 Variation des Verlaufs der Vorkrümmung
Für alle bisher im Rahmen dieses Abschnitts berechneten Beispiele wurde stets eine
Sinushalbwelle als Verlauf der Vorkrümmung v0 angesetzt. DIN 18800 Teil 2 [1]
gestattet alternativ aber auch den Ansatz einer Vorkrümmung als quadratische
Parabel. Nachfolgend wird untersucht, wie sich die Vorverformungsannahme als
Sinus- oder als Parabelfunktion qualitativ und quantitativ auf die Stabilisierungslasten
seitlich gestützter Träger auswirkt.
In Bild 6.23 erfolgt eine Gegenüberstellung der Stabilisierungslast qS und der Stabilisierungsquerkraft
QS in den Lastfällen 1 und 2 des Einführungsbeispiels jeweils für
sinusförmige und parabelförmige Vorkrümmungen v0.

qs [kN/m]
Qs [kN]
L = 16 m, c � = 0
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-1,5
qs Sinus LF 1 qs Sinus LF 2
qs Parabel LF 1 qs Parabel LF 2
0
0 0,25 0,5 0,75 1
L = 16 m, c � = 0
5
4
3
2
1
0
0 0,25 0,5 0,75 1
-1
-2
-3
-4
-5
x/L
Qs Sinus LF 1 Qs Sinus LF 2
Qs Parabel LF 1 Qs Parabel LF 2
x/L
Bild 6.23 Gegenüberstellung der Stabilisierungslasten in den Lastfällen 1 und 2 jeweils
für sinusförmige und parabelförmige Vorkrümmung v0
123

124
Für Lastfall 1 mit konstantem Biegemoment ist der qualitative Verlauf der Stabilisierungslast
qS sehr unterschiedlich. Bei sinusförmiger Vorkrümmung tritt die größte
Stabilisierungslast in Feldmitte auf, bei parabelförmiger Vorkrümmung ist sie am
Auflager maximal. Diese Verteilung der Stabilisierungslasten wird durch den
Imperfektionsanteil q S,
v verursacht, welcher proportional zu v� 0
0�
ist. Der Lastfall
konstantes Biegemoment mit parabelförmiger Vorkrümmung entspricht der Belastung
durch ein konstantes äußeres Torsionsmoment mx. Vergleiche dazu auch Bild 6.2 in
Abschnitt 6.1. Die größere bemessungsrelevante Querkraft QS ergibt sich im Lastfall 1
für die fülligere parabelförmige Vorverformungsannahme.
Für Lastfall 2 Gleichstreckenlast ist der Verlauf der Stabilisierungslast bei parabelförmiger
Vorkrümmung annähernd affin zum Verlauf der Stabilisierungslast bei
sinusförmiger Vorkrümmung. Die sinusförmige Vorverformung verursacht aber einen
stärker veränderlichen qS-Verlauf mit größeren positiven Stabilisierungslasten in
Feldmitte und größeren negativen Stabilisierungslasten in Auflagernähe. Die größere
maximale Querkraft QS ergibt sich im Gegensatz zu Lastfall 1 bei sinusförmiger
Vorverformung. Die Lastfälle 3 und 4 mit Gleichstreckenlast und beidseitigem bzw.
einseitigem negativem Randmoment verhalten sich bezüglich des Einflusses der
Vorverformungsannahme auf den qualitativen Verlauf der Stabilisierungslasten
analog zu Lastfall 2, weshalb hier auf eine graphische Darstellung verzichtet wird. Die
größere maximale Querkraft QS ergibt sich für alle drei Lastfälle mit veränderlichem
Biegemomentenverlauf infolge sinusförmiger Vorverformung.
Die quantitative Auswirkung der Vorverformungsannahme auf die bemessungsrelevante
Querkraft QS in der Stabilisierungskonstruktion wird anhand einer Parameterstudie
für die Lastfälle 2 und 3 untersucht. Die Variation der Parameter erstreckt
sich auf den Lastfall, die Drehbettung c� und die Trägerschlankheit L/h. Die Ergebnisse
für die maximale Torsionsverdrehung � und die maximale Querkraft QS sind in
Tabelle 6.8 gegenübergestellt. Als Bezugswert für die jeweils angegebene prozentuale
Abweichung dienen die Ergebnisse bei sinusförmiger Vorverformung.
In allen untersuchten Fällen ist die sinusförmige Vorkrümmung ungünstiger für die
Beanspruchung der Stabilisierungskonstruktion als die parabelförmige Vorkrümmung.
Die im Vergleich zu max QS,Parabel größere Querkraft max QS,Sinus kann durch die
größere Torsionsverdrehung max �Sinus bei sinusförmiger Vorkrümmung erklärt
werden. Die gute Übereinstimmung in der prozentualen Abweichung von max � und
max QS belegt dies.
Die Parameterstudie zeigt, daß die prozentuale Abweichung zwischen den Verformungen
und Schnittgrößen bei sinusförmiger und bei parabelförmiger Vorkrümmung
relativ unabhängig von der Trägerschlankheit und der Drehbettung c� ist. Im
Lastfall 2 liefert die sinusförmige Imperfektion etwa 5% und im Lastfall 3 etwa 13%
größere Beanspruchungen als die parabelförmige Imperfektion. Für die absolute Abweichung
zwischen QS, Sinus und QS,Parabel spielt aber eine entscheidende Rolle, ob große
Beanspruchungen, wie sie bei Trägern ohne Drehbettung auftreten, oder ob kleine
Beanspruchungen von Trägern mit Drehbettung miteinander verglichen werden.

125
Tabelle 6.8 Auswirkung der Form der Vorkrümmung v0 als Sinus- oder als Parabelfunktion
auf die maximale Torsionsverdrehung � und auf die maximale Querkraft QS in
der seitlichen Halterung
Lastfall 2: Gleichstreckenlast, c� = 0
L/h max ��Sinus max ��Parabel Abweichung max Qs Sinus max Qs Parabel Abweichung
[-] [rad] [rad] [%] [kN] [kN] [%]
20 0,0293 0,0282 -3,75 3,310 3,158 -4,56
25 0,0406 0,0390 -3,94 3,374 3,213 -4,76
30 0,0518 0,0498 -3,86 3,433 3,269 -4,77
35 0,0629 0,0604 -3,97 3,484 3,322 -4,66
40 0,0738 0,0709 -3,93 3,529 3,369 -4,53
45 0,0846 0,0813 -3,90 3,568 3,413 -4,35
50 0,0954 0,0917 -3,88 3,602 3,452 -4,17
Lastfall 2: Gleichstreckenlast, c� = 5 kNm/m
L/h max ��Sinus max ��Parabel Abweichung max Qs Sinus max Qs Parabel Abweichung
[-] [rad] [rad] [%] [kN] [kN] [%]
20 0,0230 0,0220 -4,35 2,602 2,470 -5,10
25 0,0274 0,0262 -4,38 2,296 2,161 -5,88
30 0,0298 0,0285 -4,36 1,999 1,868 -6,56
35 0,0308 0,0292 -5,19 1,732 1,607 -7,21
40 0,0308 0,0291 -5,52 1,501 1,382 -7,89
45 0,0302 0,0284 -5,96 1,305 1,193 -8,56
50 0,0294 0,0275 -6,46 1,141 1,035 -9,32
Lastfall 3: Gleichstreckenlast und negative Randmomente, c� = 0
L/h max ��Sinus max ��Parabel Abweichung max Qs Sinus max Qs Parabel Abweichung
[-] [rad] [rad] [%] [kN] [kN] [%]
20 0,0474 0,0410 -13,50 5,716 5,023 -12,12
25 0,0768 0,0664 -13,54 6,982 6,106 -12,55
30 0,1145 0,0988 -13,71 8,498 7,404 -12,87
35 0,1642 0,1414 -13,89 10,435 9,055 -13,23
40 0,2331 0,2002 -14,11 13,087 11,306 -13,61
45 0,3366 0,2882 -14,38 17,053 14,674 -13,95
50 0,5126 0,4375 -14,65 23,855 20,425 -14,38
Lastfall 3: Gleichstreckenlast und negative Randmomente, c� = 5 kNm/m
L/h max ��Sinus max ��Parabel Abweichung max Qs Sinus max Qs Parabel Abweichung
[-] [rad] [rad] [%] [kN] [kN] [%]
20 0,0307 0,0266 -13,36 3,777 3,336 -11,69
25 0,0361 0,0312 -13,57 3,391 2,990 -11,80
30 0,0375 0,0324 -13,60 2,903 2,559 -11,85
35 0,0366 0,0316 -13,66 2,443 2,153 -11,86
40 0,0347 0,0299 -13,83 2,053 1,809 -11,87
45 0,0326 0,0280 -14,11 1,736 1,530 -11,91
50 0,0305 0,0262 -14,10 1,484 1,306 -12,04

126
Bild 6.24 verdeutlicht diesen Sachverhalt, indem die Ergebnisse für max QS im
Lastfall 3 aus Tabelle 6.8 graphisch dargestellt werden. Große absolute Abweichungen
zwischen den Stabilisierungslasten infolge sinusförmiger und parabelförmiger
Vorverformung sind bei schlanken Trägern ohne Drehbettung zu erwarten, bei denen
sich große Torsionsverdrehungen � infolge Theorie II. Ordnung einstellen.
max Qs [kN]
max Qs Lastfall 3
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
Sinus, ctheta=0 Parabel, ctheta=0
Sinus, ctheta=5kNm/m Parabel, ctheta=5kNm/m
0,0
20 25 30 35 40 45 50
Bild 6.24 Gegenüberstellung der maximalen Querkraft QS in der seitlichen Halterung im
Lastfall 3 jeweils für sinusförmige und parabelförmige Vorkrümmung v0 bei
Variation der Trägerschlankheit und der Drehbettung
Als Fazit dieser Parameterstudie wird der Ansatz einer sinusförmigen Vorkrümmung
empfohlen, weil dadurch in den meisten baupraktisch relevanten Fällen größere
Beanspruchungen des stabilisierten Trägers und der Stabilisierungskonstruktion
entstehen als bei parabelförmiger Vorkrümmung.
L/h

6.3.3 Näherungsformeln für symmetrische Lastfälle
127
Die Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen ist im Stahlbau eine sehr häufig
auftretende Aufgabe. Für eine schnelle technische Bearbeitung dieser Bemessungsaufgabe
werden von der Baupraxis Näherungsformeln nachgefragt, die auch ohne
Computereinsatz anwendbar sind. Numerische Berechnungen nach Biegetorsionstheorie
II. Ordnung sind in der Regel zu aufwendig für die Ermittlung von Stabilisierungslasten.
In der Baupraxis werden deshalb überwiegend einfache Näherungsansätze
wie das Druckstabmodell nach Gerold gemäß Bild 1.3 verwendet, um die
Beanspruchung von Stabilisierungskonstruktionen zu ermitteln.
Die in Abschnitt 6.3.2 durchgeführte Analyse der maßgebenden Einflußparameter für
Stabilisierungslasten zeigt, daß die Torsionsverdrehung � einen sehr entscheidenden
Einfluß ausübt, welcher durch das praxisübliche Druckstabmodell nicht berücksichtigt
werden kann. Es ist daher wünschenswert, Näherungsformeln abzuleiten, die das
Biegetorsionsproblem erfassen, aber dennoch einfach genug sind, um eine Handrechnung
zu ermöglichen.
Beschränkt man die planmäßige Belastung des stabilisierten Trägers auf symmetrische
Lastbilder, so kann das Matrizenverfahren für Träger mit gebundener
Drehachse aus Abschnitt 6.3.1 derart vereinfacht werden, daß Näherungsformeln für
die Stabilisierungslast qS angegeben werden können. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften
und der Koppelung der Verformungen v und � bei gebundener
Drehachse läßt sich der Verformungszustand des stabilisierten Trägers in guter
Näherung durch einen nur zweiparametrigen Ansatz gemäß Gleichung (6.120)
beschreiben.
� � x 3�
� � x
� ( x)
� �1
� sin � �3
� sin
(6.120)
L
L
Bei sinusförmiger Vorkrümmung v0 und Belastung durch Normalkraft N,
Randmomente My,R, Einzellast Pz und Gleichstreckenlast qz gemäß Bild 6.25 können
die Gleichungen (6.121a) und (6.121b) für die Berechnung der freien Parameter
angegeben werden.
1
� 1 � � �K33 � P1
� K13
� P3
�
(6.121a)
D
1
� 3 � � �K11 � P3
� K13
� P1
�
(6.121b)
D
mit
D � K � K � K
11
33
K11 = Ke,11 + Kg,11
K13 = Kg,13
K33 = Ke,33 + Kg,33
2
13

128
K
K
K
e,
11
e,
33
g , 11
4
2
� EI�
� GI 3 T
�
�
�
L
�
�
L
1 �
� � � c
2 L
�
L
2
4
2
� 81�
EI�
� 9 � GI
3 T
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� � h
� �N
� �
�
��
� 4
� q
2
S
L
� � h
2
� i
2
p
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�
�
� M
�
y,
R
1 �
� � � c
2 L
� h
�
L
2
� 2
1 �
� � � � qz
��
2 L
S
� 15 �
� ��
� � Pz
� h
� 16 �
Kg , 13 z S
S
K
P
1
g,
33
�
� � h
� �N
� �
�
��
� 4
1 � hS
� � N �
2 � 2
2
S
� i
2
p
� M
�
�
�
� M
�
y,
R
�
� � v
�
y,
R
0,
m
� h
� 3 �
� ��
�
� 4 �
� 2
9 �
� � � � qz
��
2 L
S
2
�
� � q
L
z
�
L
� v
2
L � 3 � � 1 �
P3 � qz
� � v0,
m � ��
� � Pz
� v0,
m � ��
�
2 � 16 � � 4 �
0
�
L
� h
2
�
, m
S
L
� h
2
S
� 2
� 1 �
� � �
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�
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� P
� 12 4 �
� 3
� � � �
� 4
2
� 2
� 1 �
� � �
�
�
�
� P
� 12 4 �
z
� h
1 �
� � � P
4 �
z
� v
0,
m
z
S
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� 1 �
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� 16 4 �
� h
S
� 9
� �
�16
� 2
� 1 �
� � �
�
�
�
� 16 4 �
Bild 6.25 Träger mit Lastangriff und seitlicher Stützung am Obergurt unter symmetrischer
Belastung
Die Stabilisierungslast qS des symmetrischen Systems in Bild 6.25 kann für den
zweiparametrigen Ansatz zur Beschreibung der Trägerverformungen mit Gleichung
(6.122) berechnet werden. Die zugehörige Stabilisierungsquerkraft QS ist mit
Gleichung (6.123) zu ermitteln. Die Gültigkeit der beiden Gleichungen ist aufgrund
� �
2
1 �
� �
4 �

129
des Schnittgrößenverlaufs infolge Einzellast Pz in Feldmitte auf den Bereich x/L � 0,5
beschränkt.
��
�
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��
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x
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L
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L
x
L
x
2
L
q
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1
2
N
L
x
q
z
2
2
z
R
,
y
S
S
L
x
sin
L
v
2
m
,
0
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x
3
sin
L
3
L
x
sin
L
h
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4
h
h
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3
2
1
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S
S
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x
3
cos
L
3
L
x
cos
L
2
P
L
x
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1
2
L
q
3
1
z
z
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x
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sin
L
x
sin
h
c
q 3
1
S
z (6.122)
L
x
cos
L
v
h
M
2
N
L
x
Q m
,
0
S
R
,
y
S
�
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x
cos
L
x
L
x
2
L
x
sin
L
x
2
1
h
v
2
L
q
2
2
S
m
,
0
z
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L
x
cos
L
x
L
x
sin
1
h
v
2
P
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0
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L
x
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L
3
L
x
cos
L
h
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T
S
S
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L
x
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L
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L
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L
x
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cos
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L
x
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sin
L
x
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1
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L
x
3
cos
3
L
L
x
cos
L
h
c
q 3
1
S
z
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L
x
3
sin
1
L
x
sin
1
2
P
3
1
z (6.123)

130
Ist die kontinuierliche seitliche Halterung des Obergurtes nicht unverschieblich
sondern schubweich mit Schubsteifigkeit S*, so können die Gleichungen (6.121) bis
(6.123) trotzdem verwendet werden, wenn anstelle der geometrischen Ersatzimperfektion
v0,m die vergrößerte Vorverformung v 0,
m gemäß Gleichung (6.124) eingesetzt
wird.
v � v � v
(6.124)
v
0,
m
OG,
m
�
0,
m
1
S*
�
� �
��
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��
q
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��
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OG,
m
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8
2
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2
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S
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2
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hS
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3
hS
4 � hS
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2
qz 3
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���� y,
R
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�
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Pz
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2
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2
2 � P
��
z � 2 �
� � � � L � �1�
��
��
� � 2 � � ����
2
c�
z �
(6.125)
hS
Die vergrößerte Vorverformung v 0,
m deckt den Einfluß der seitlichen Verformung
der nachgiebigen Obergurthalterung vOG,m infolge äußerer Hotizontallasten qy und
infolge Stabilisierungslasten ab. Diese Vorgehensweise ist in Abschnitt 6.3.1.5 ausführlich
erläutert.
Da sich die Obergurtverschiebung vOG,m und die auftretenden Stabilisierungslasten
gegenseitig beeinflussen, wird in Abschnitt 6.3.1.5 ein iteratives Verfahren zur
Berechnung der vergrößerten Vorverformung v 0,
m vorgeschlagen. Vereinfachend ist
es selbstverständlich auch möglich, eine vergrößerte Vorverformung z.B. mit
v = 1,2 � v0,m
0,
m
vorzuschätzen und anschließend mit Gleichung (6.125) zu zeigen, daß die tatsächliche
Obergurtverschiebung vOG,m weniger als 20 % von v0,m beträgt.
Vergleich der Näherungslösung mit FEM-Berechnungen
Anhand von Vergleichsberechnungen mit dem FEM-Programm BT II soll die Güte
der Näherungsformeln für die Stabilisierungslast qS, Gleichung (6.122), und die
Stabilisierungsquerkraft QS, Gleichung (6.123), beurteilt werden. Grundlage der

untersuchten Beispiele ist das System in Bild 6.25 mit einem Stich der Vorkrümmung
von v0,m = L/500.
131
Für die in Tabelle 6.9 zusammengefaßten Testbeispiele wird eine Gleichstreckenlast
qz als Belastung gewählt, die so groß ist, daß jeweils das plastische Grenzbiegemoment
Mp�,y,d des betrachteten Trägers aus Stahl St 52 erreicht wird. Eine
Drehbettung c� wird nicht angesetzt, da der Druckgurt der untersuchten Träger auf der
gesamten Länge gehalten ist.
Die Variation der Testbeispiele in Tabelle 6.9 erstreckt sich auf jeweils 3 Profile der
IPE-Reihe und der HEB-Reihe, wobei die Trägerschlankheit einheitlich mit L/h = 50
gewählt wird. Für das Profil IPE 400 erfolgt zusätzlich eine Variation der Trägerschlankheit
zwischen L/h = 20 und L/h = 50.
Tabelle 6.9 Vergleich der Stabilisierungslasten aus der Näherungslösung mit FEM-
Berechnungen für verschiedene Profile und Trägerschlankheiten L/h bei
Belastung durch Gleichstreckenlast qz und Ausnutzung des plastischen
Grenzbiegemomentes Mp�,y,d
max qS [kN/m] Abweichung max QS [kN] Abweichung
Mp�,y,d, St 52 Näherung FEM [%] Näherung FEM [%]
IPE 400, L/h = 20 4,47 4,44 +0,7 7,12 7,15 -0,4
IPE 400, L/h = 30 3,20 3,15 +1,6 7,56 7,64 -1,0
IPE 400, L/h = 40 2,48 2,44 +1,6 7,81 7,96 -1,9
IPE 400, L/h = 50 2,03 1,99 +2,0 7,96 8,18 -2,7
IPE 200, L/h = 50 1,19 1,15 +3,5 2,22 2,28 -2,6
IPE 600, L/h = 50 2,58 2,55 +1,2 15,53 16,11 -3,6
HEB 200, L/h = 50 2,06 2,01 +2,5 3,64 3,68 -1,1
HEB 400, L/h = 50 3,38 3,29 +2,7 12,22 12,42 -1,6
HEB 600, L/h = 50 3,73 3,60 +3,6 20,72 21,26 -2,5
Ein Vergleich der maximalen Stabilisierungslast qS gemäß Gleichung (6.122) mit den
Ergebnissen der FEM-Berechnung zeigt, daß die Näherungslösung für alle untersuchten
Beispiele geringfügig zu große Werte liefert. Für die maximale Stabilisierungsquerkraft
QS liefert die Näherungslösung, Gleichung (6.123), geringfügig zu
kleine Werte. Die relative Abweichung zwischen Näherungslösung und FEM-Berechnung
ist aber in allen Fällen kleiner als 4 %, was im Hinblick auf eine Bemessung der
Stabilisierungskonstruktion mit den Beanspruchungen aus der Näherungslösung als
tolerabel beurteilt wird.
Durch eine zweite Serie von Testbeispielen soll die Eignung der Näherungsformeln
auch für Biegemomentenverläufe mit wechselndem Vorzeichen belegt werden. Die in
der Baupraxis aus Gründen der Wirtschaftlichkeit angestrebte Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit
der stabilisierten Träger ist bei Obergurtstützung und bereichs-

132
weise negativer Biegemomentenbeanspruchung in der Regel nur bei Berücksichtigung
einer Drehbettung möglich. Um zu einer Auswahl realistischer Testbeispiele zu
gelangen, wird deshalb eine Mindestdrehbettung gemäß Gleichung (8) in Element
(309) der DIN 18800 Teil 2 [1] angesetzt.
2
Mpl,
k
, k � � k�
EIz,
k
c� � k
(6.126)
v
mit
c�,k = Mindestdrehbettung, für die ein Biegedrillknicknachweis entfallen kann
k� = 0,23 für gebundene Drehachse am Obergurt und Momentenverlauf gemäß
Zeile 2b in Tabelle 6 der DIN 18800 Teil 2
kv = 0,35 bei Ausnutzung der elastischen Querschnittstragfähigkeit
kv = 1,0 bei Ausnutzung der plastischen Querschnittstragfähigkeit
Tabelle 6.10 dient als Übersicht über die betrachteten Beispiele mit Biegemomentenverlauf
gemäß Zeile 2b in Tabelle 6 der DIN 18800 Teil 2, d.h. mit betragsmäßig
gleich großen Feld- und Stützmomenten. Untersucht werden drei Profile der IPE-
Reihe mit einer Trägerschlankheit von L/h = 50, wobei jeweils vier Varianten mit
Ausnutzung der elastischen und der plastischen Querschnittstragfähigkeit für die
Werkstoffgüten St 37 und St 52 berechnet werden.
Tabelle 6.10 Vergleich der Stabilisierungslasten aus der Näherungslösung mit FEM-Berechnungen
für verschiedene Profile mit Schlankheit L/h = 50 bei Belastung
durch Gleichstreckenlast qz und negative Randmomente
-My,d -My,d max qS [kN/m] Abweichung
My,d
[kNm]
c�,k
[kNm/m]
Näherung
FEM [%]
max QS [kN] Abweichung
Nähe-
rung
FEM [%]
+ My,d
IPE 200
St 37 elastisch 42,33 0,76 0,54 0,51 +5,9 0,81 0,82 -1,2
St 37 plastisch 48,14 2,16 0,37 0,36 +2,8 0,53 0,52 +1,9
St 52 elastisch 63,49 1,70 0,71 0,68 +4,4 1,07 1,11 -3,6
St 52 plastisch 72,21 4,87 0,44 0,43 +2,3 0,62 0,61 +1,6
IPE 400
St 37 elastisch 252,22 2,86 0,80 0,76 +5,3 2,44 2,57 -5,0
St 37 plastisch 285,20 8,18 0,49 0,47 +4,3 1,39 1,38 +0,7
St 52 elastisch 378,33 6,44 0,95 0,91 +4,4 2,88 3,02 -4,6
St 52 plastisch 427,80 18,40 0,57 0,56 +1,8 1,57 1,56 +0,6
IPE 600
St 37 elastisch 669,60 8,04 0,70 0,67 +4,5 3,17 3,24 -2,2
St 37 plastisch 766,34 22,98 0,43 0,43 0,0 1,79 1,78 +0,6
St 52 elastisch 1004,40 18,10 0,82 0,79 +3,8 3,55 3,50 +1,4
St 52 plastisch 1149,51 51,70 0,49 0,51 -3,9 1,98 1,99 -0,5

133
In der zweiten Spalte der Tabelle 6.10 sind die als Belastung angesetzten elastischen
und plastischen Grenzbiegemomente angegeben. Der dritten Spalte ist die angesetzte
Drehbettung gemäß Gleichung (6.126) zu entnehmen, welche nach Element (309) der
DIN 18800 Teil 2 erforderlich ist, um keine Abminderung der Grenzbiegemomente
infolge Stabilitätseinfluß vornehmen zu müssen.
Ein Vergleich der maximalen Stabilisierungslast qS gemäß Gleichung (6.123) mit den
genauen Ergebnissen aus einer FEM-Berechnng zeigt maximale relative Abweichungen
von 6 % zur sicheren Seite und von 5 % zur unsicheren Seite. Die Genauigkeit
der Näherungsformeln steigt dabei tendenziell mit zunehmender Größe der
vorhandenen Drehbettung.
Zusammenfassend kann die Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen mit den in
diesem Abschnitt angegebenen Näherungsformeln für Stabilisierungslasten empfohlen
werden. Die Berücksichtigung des vorliegenden Biegetorsionsproblems nach Theorie
II. Ordnung mit Wölbkrafttorsion stellt eine entscheidende Verbesserung der praxisüblichen
Näherungsverfahren zur Berechnung von Stabilisierungslasten dar, welche
den Druckgurt der stabilisierten Träger ersatzweise als Druckstab behandeln.

134
7 Stabilisierungslasten von Trägern mit diskreten
seitlichen Abstützungen
7.1 Modellannahmen für aussteifende Verbände
7.1.1 Verformungsverhalten von Fachwerkträgern
Stabilisierungskonstruktionen werden im Stahlbau sehr häufig als aussteifende
Verbände ausgeführt. Der Begriff Verband wird für einen Fachwerkträger verwendet,
der die seitliche Verformung des stabilisierten Trägers in der Verbandsebene behindert.
Bild 7.1 zeigt ein typisches Beispiel für die Stabilisierung von zwei Biegeträgern
durch einen aussteifenden Verband in der Obergurtebene. Durch Anordnung von
Fachwerkstäben als Pfosten und Diagonalen entsteht ein horizontal liegender Fachwerkträger,
dessen Gurte durch die stabilisierten Träger selbst gebildet werden. Für
die Diagonalen werden häufig Rund-, Flach- oder Winkelstähle verwendet, die unter
Druckbelastung ausknicken. Statisch wirksam unter Belastung ist deshalb nur jeweils
eine der beiden gekreuzten Diagonalen in einem Verbandsfeld.
Bild 7.1 Trägerpaar mit aussteifendem Verband am Obergurt
Zur Berücksichtigung der aussteifenden Wirkung des Verbandes auf die stabilisierten
Träger können verschiedene Modellannahmen getroffen werden. Die Modellierung
und Berechnung des gesamten Systems aus mehreren parallelen Trägern und den
dazwischenliegenden Fachwerkstäben ist bei Berücksichtigung der Effekte aus Theorie
II. Ordnung und Wölbkrafttorsion zu aufwendig für baupraktische Anwendungen.

135
Ein übliches Verfahren ist deshalb die Betrachtung nur eines stabilisierten Trägers mit
Stützung durch eine Stabilisierungskonstruktion, deren Steifigkeit durch die Anzahl
der insgesamt auszusteifenden Träger dividiert wird.
Bei dieser Vorgehensweise wird die aussteifende Wirkung des Verbandes vereinfachend
nur für Verformungen in y-Richtung unterstellt. Am räumlichen System der
durch Fachwerkstäbe am Obergurt gekoppelten Biegeträger ergeben sich aber
zusätzlich Zwangsbeanspruchungen in den Fachwerkstäben aus der Verformung der
Biegeträger in z-Richtung. Die Zwangsbeanspruchungen entstehen durch die Längung
der Verbandsdiagonalen infolge der unterschiedlich großen Verschiebung der beiden
Stabenden einer Diagonalen in z-Richtung. Wird rechnerisch eine Verbindung
zwischen den Verbandsdiagonalen und den Biegeträgern ohne Schlupf unterstellt, so
ergeben sich Zwangsbeanspruchungen als Produkt von Dehnsteifigkeit und Längung
der Diagonalen, welche die Größenordnung der Beanspruchung des Verbandes
infolge von planmäßigen äußeren Lasten und Stabilisierungslasten aufweisen können.
Dies zeigen mit dem allgemeinen FEM-Programm SOFISTIK durchgeführte Vergleichsberechnungen
für das in Bild 7.1 dargestellte System aus einem Trägerpaar mit
aussteifendem Verband am Obergurt, wobei die stabilisierten Träger durch Faltwerkselemente
und die Verbandsstäbe durch Fachwerksstabelemente modelliert wurden.
Die theoretische Längung von Verbandsdiagonalen infolge der Durchbiegung der
angeschlossenen Träger in z-Richtung beträgt für übliche Abmessungen von
Dachverbänden im Hallenbau deutlich weniger als 1 mm. Bei realen Konstruktionen
ist deshalb ein vollständiger Abbau der beschriebenen Zwangsbeanspruchungen durch
Verbindungsmittelschlupf zu erwarten, wodurch eine Vernachlässigung dieser Beanspruchungen
bei der Bemessung von Verbänden mit geschraubten Füllstabanschlüssen
gerechtfertigt wird.
Für die Abbildung der aussteifenden Wirkung eines Verbandes auf die Verschiebung
der stabilisierten Träger in y-Richtung gibt es verschiedene Ansätze wie elastische
Bettungen cy, Federn Cy oder Schubfeldsteifigkeiten S*, die das tatsächliche Verformungsverhalten
eines Fachwerkträgers mehr oder weniger exakt beschreiben.
Gemeinsame Grundlage der verschiedenen nachfolgend erläuterten Modellannahmen
für aussteifende Verbände ist die Berücksichtigung der Füllstabverformungen, die als
Schubweichheit des Fachwerkträgers interpretiert werden können.
Bild 7.2 Durchbiegung eines Fachwerkträgers infolge Normalkraftverformung der Füllstäbe

136
Bild 7.2 zeigt die Durchbiegung eines Fachwerkträgers infolge Normalkraftverformung
der Füllstäbe. Die Verzerrung der ursprünglich rechteckigen Kontur eines Verbandsfeldes
infolge Längung der Diagonalen und Stauchung der Pfosten entspricht
der Verzerrung eines Schubfeldes unter konstanter Schubbeanspruchung. Durch den
Vergleich der Durchbiegungen des Fachwerkträgers mit den Durchbiegungen eines
schubweichen Ersatzträgers kann eine ideelle Schubsteifigkeit S* des Verbandes
gemäß Gleichung (7.1) angegeben werden.
mit
S* Ideelle Schubsteifigkeit des Verbandes
EAP Dehnsteifigkeit der Verbandspfosten
EAD Dehnsteifigkeit der Verbandsdiagonalen
� Neigung der Diagonalen gegen die Horizontale
Normalkraft in den Verbandspfosten
NP
ND
Normalkraft in den Verbandsdiagonalen
Q Querkraft im schubweichen Ersatzträger
n Anzahl Verbandsfelder
L Stützweite des Verbandes bzw. des schubweichen Ersatzträgers
h Bauhöhe des Verbandes
d Länge einer Diagonalen
LP Gesamtlänge aller Verbandspfosten
LD Gesamtlänge aller Verbandsdiagonalen
f Durchbiegung
h
sin � �
d
h � n
tan � �
L
LP = n � h LD = n � d = n �h/sin �
NP = Q ND = Q/sin �
f
�
L
�
0
Q � Q
dx �
S*
L
�
0
P
NP
� N
EA
n�h/
tan �
n�h
P
P
dx �
Q � Q Q � Q
� dx � dx
S*
� �
EA
0
0
P
L
D
�
0
ND
� N
EA
n � h 1 n � h n � h 1
� � � � 3
S*
tan � EA EA sin �
S*
�
tan � 1
�
EA EA
P
D
P
D
1
1
� 2
sin � � cos�
D
D
n�h
/ sin �
�
0
dx
Q � Q 1
� dx 2 EA sin �
D
(7.1)

7.1.2 Verbandsmodell 1: Schubfeld mit Schubsteifigkeit S*
137
Die einfachste Modellannahme für einen aussteifenden Verband ist die Behandlung
als kontinuierliches Schubfeld mit der Schubsteifigkeit S* gemäß Gleichung (7.1).
Die Verschmierung der diskreten seitlichen Stützung in den Knotenpunkten des Fachwerkträgers
zu einer kontinuierlichen seitlichen Stützung durch ein Schubfeld dient
als Näherung für engmaschige Verbände. Lokale Instabilitäten wie seitliches Ausweichen
zwischen benachbarten Stützstellen bei weitmaschigen Verbänden können
durch dieses Modell nicht erfaßt werden.
7.1.3 Verbandsmodell 2: Einzelfedern Cy
Eine Möglichkeit zur Berücksichtigung der seitlichen Stützung in diskreten Punkten
ist die Modellierung des aussteifenden Verbandes durch Einzelfedern Cy, die in den
Knotenpunkten des Verbandes angreifen. Die Federsteifigkeit Cy ist für jede
Stützstelle individuell verschieden, da der Widerstand, den der aussteifende Verband
einer Verschiebung in y-Richtung entgegensetzt, in Feldmitte am geringsten ist und zu
den Auflagern hin zunimmt. Die Berechnung der Federsteifigkeit Cy als Reziprokwert
der Verschiebung des Verbandes in y-Richtung infolge Einzellast Fy = „1“ an der
betrachteten Stützstelle führt zu einer Überschätzung der vorhandenen Steifigkeit,
weil Lasten in den übrigen Knotenpunkten zusätzliche Verformungen an der betrachteten
Stützstelle verursachen. Die Annahme eines konstanten Verlaufs der Stabilisierungslasten
in Trägerlängsrichtung liegt für die Berechnung der Federsteifigkeiten
auf der sicheren Seite. Werden die Einzellasten Fy in den Knoten des Verbandes zu
einer Gleichstreckenlast qy verschmiert, so kann für die Federsteifigkeiten Cy an der
jeweiligen Stelle � = x/L Gleichung (7.2) abgeleitet werden.
qy � Fy
�
f
C
�
y �
1
S*
F
f
n
L
q
�
y
y
� L
8
2
� 4 � ( � � �
S*
2 S*
� � � � �
L n � ( � � � ) L
2
)
Cy (7.2)
2
mit
S* Ideelle Schubsteifigkeit des Verbandes
L Stützweite des Verbandes
n Anzahl Verbandsfelder
�=x/L Bezogene x-Koordinate der betrachteten Stützstelle
� Beiwert zur Berücksichtigung von Anzahl und Lage der Stützfedern

138
Der Beiwert � ist für äquidistante Feldweiten der Verbandsfelder nachfolgend angegeben.
Für Federn an Stellen mit � > 0,5 gilt Symmetrie zur Feldmitte.
n = 2:
1
� � : � � 4
2
n = 3:
1
� � : � � 3
3
n = 4:
1
1
� � : � � 2,
667 � � : � � 2
4
2
n = 5:
1
2
� � : � � 2,
5 � � : � � 1,
667
5
5
n = 6:
1
1
1
� � : � � 2,
4 � � : � � 1,
5 � � : � � 1,
333
6
3
2
Die Modellierung der Stützwirkung eines Verbandes durch Einzelfedern Cy gemäß
Gleichung (7.2) ist trotz der Ermittlung individueller von der Lage in Trägerlängsrichtung
abhängiger Federsteifigkeiten eine Näherung. Mit Blick auf den verformten
Fachwerkträger in Bild 7.2 wird deutlich, daß die Füllstäbe eines Verbandsfeldes die
Relativverschiebung der beiden angrenzenden Knotenpunkte behindern. Einzelfedern
Cy wirken nur der Absolutverschiebung an ihrem Angriffspunkt entgegen. Deshalb
besteht eine vom Fachwerkträger abweichende Stützwirkung.
7.1.4 Verbandsmodell 3: Diskrete Stützung gegen Seil mit Zugkraft S*
Die stabilisierende Wirkung eines kontinuierlichen Schubfeldes mit der Schubsteifigkeit
S* entspricht der stabilisierenden Wirkung, die durch eine kontinuierliche
Stützung gegen ein Seil mit Zugkraft S* hervorgerufen wird. Bild 7.3 zeigt diese
Analogie zwischen Schubfeld und Seil mit Zugkraft. Sie rührt daher, daß sowohl
durch ein Schubfeld als auch durch ein Zugseil die Neigung der Stabachse v� S*
in
Höhe der Stützkonstruktion behindert wird.

Bild 7.3 Analogie zwischen einem Schubfeld mit Steifigkeit S* und einem mit S* gespannten
Seil nach Heil [31]
139
Liegt keine kontinuierliche Stützung durch ein Schubfeld sondern eine diskrete
Stützung durch einen schubweichen Verband vor, so kann die Seilanalogie modifiziert
werden, indem eine Koppelung des stabilisierten Trägers mit dem Seil nur in
diskreten Punkten angenommen wird. Bild 7.4 zeigt ein Beispiel für diese Modellvorstellung
nach Schardt [88].
Bild 7.4 Analogie zwischen der Aussteifung durch einen schubweichen Verband und
der Abstützung gegen ein Seil mit Zugkraft nach Schardt [88]
Bei diskreter Stützung des stabilisierten Trägers gegen ein Seil ist die verformte
Geometrie des Seiles ein Polygonzug mit abschnittsweise konstanter Neigung der
Seilachse v� S*
. Die stabilisierende Kraft in den diskreten Koppelungen zwischen
Träger und Seil ist proportional zur Änderung der Neigung der Seilachse � v�S
* an der
jeweils betrachteten Stützstelle dieses Polygonzuges.
Verbandsmodell 3 ist die Modellvariante, die das Verformungsverhalten eines Fachwerkträgers
am besten beschreibt. Im Unterschied zu Verbandsmodell 1 wird die nur
in diskreten Punkten vorhandene Stützung durch einen Verband berücksichtigt und im
Unterschied zu Verbandsmodell 2 wird die Aktivierung der Steifigkeit der Stabili-

140
sierungskonstruktion durch die Relativverschiebung benachbarter Knotenpunkte des
Verbandes abgebildet.
Zur Klärung, welchen Einfluß die Modellierung des aussteifenden Verbandes auf die
Verformungen und Stabilisierungslasten des gestützten Trägers ausübt, wird das
Matrizenverfahren für Träger mit kontinuierlicher seitlicher Stützung aus Abschnitt 4
auf die diskreten Verbandsmodelle 2 und 3 erweitert.
7.2 Matrizenverfahren für Träger mit diskreten seitlichen
Abstützungen
7.2.1 Verbandsmodell 2: Einzelfedern Cy
Bild 7.5 Angriffspunkt und Bezeichnung von Einzelfedern Cy bei äquidistanter seitlicher
Stützung

141
Voraussetzung für die Erweiterung des Matrizenverfahrens aus Abschnitt 4 auf Träger
mit Einzelfedern Cy ist die Festlegung der möglichen Angriffspunkte der Einzelfedern
in Trägerlängsrichtung. Vorgesehen wird eine äquidistante seitliche Stützung mit bis
zu n = 6 Verbandsfeldern. Bild 7.5 zeigt die daraus resultierende Position der Einzelfedern
und deren Bezeichnung mit der dimensionslosen x-Koordinate � = x/L als
Indizierung.
Die virtuelle Arbeit der n-1 Einzelfedern ist mit Gleichung (7.3) gegeben.
�W
e
�
� � n 1
k�1
C
y,
k
� ( v
k
� z
Cy
� � ) � ( �v
k
k
� z
Cy
� �� )
k
(7.3)
Die Verschiebung vK am Angriffspunkt der Einzelfeder Cy,k kann als Funktion der 5
Freiwerte der Ansatzfunktionen für die Verschiebung v mit den Gleichungen (7.4a)
bis (7.4k) berechnet werden. Die Verdrehung �k ergibt sich analog als Funktion der 5
Freiwerte der Ansatzfunktionen für die Verdrehung �.
� = 1/2: v1/2 = v1 – v3 + v5 (7.4a)
� = 1/3: v1/3 = 0,866 � (v1 + v2 – v4 – v5) (7.4b)
� = 2/3: v2/3 = 0,866 � (v1 – v2 + v4 – v5) (7.4c)
� = 1/4: v1/4 = v2 + 0,707 � (v1 + v3 – v5) (7.4d)
� = 3/4: v3/4 = -v2 + 0,707 � (v1 + v3 – v5) (7.4e)
� = 1/5: v1/5 = 0,588 � (v1 + v4) + 0,951 �(v2 + v3) (7.4f)
� = 2/5: v2/5 = 0,951 � (v1 – v4) + 0,588 � (v2 – v3) (7.4g)
� = 3/5: v3/5 = 0,951 � (v1 + v4) + 0,588 � (-v2 - v3) (7.4h)
� = 4/5: v4/5 = 0,588 � (v1 – v4) + 0,951 � (-v2 + v3) (7.4i)
� = 1/6: v1/6 = 0,5 � (v1 + v5) + 0,866 � (v2 + v4) + v3
� = 5/6: v5/6 = 0,5 � (v1 + v5) + 0,866 � (-v2 – v4) + v3
(7.4j)
(7.4k)
Durch Einsetzen dieser Beziehungen in die virtuelle Arbeit gemäß Gleichung (7.3)
wird die Steifigkeitsmatrix der Einzelfedern K e,
C gewonnen. Sie ergänzt die
y
Steifigkeitsmatrix Ke in Bild 4.1 um die Anteile aus den Einzelfedern. Aus der
Matrizengleichung (4.7) wird damit Gleichung (7.5).
( K � Ke,
C � Kg
) � V � P
(7.5)
e y

142
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5
K z y � �
K1 C 1
K z y � �
K2 C 2
K z y � �
K3 C 3
2
K � Symmetrie C 1 K z y �
e,
C
y
K z y � �
K4 C 4
K z y � �
K5 C 5
2
C
K z y �
2
2
C
K z y �
mit
K1 = Cy,1/2
+ 0,75 · (Cy,1/3 + Cy,2/3)
+ 0,5 · (Cy,1/4 + Cy,3/4)
+ 0,3455 · (Cy,1/5 + Cy,4/5) + 0,9045 · (Cy,2/5 + Cy,3/5)
+ 0,25 · (Cy,1/6 + Cy,5/6)
K2 = 0,75 · (Cy,1/3 + Cy,2/3)
+ Cy,1/4 + Cy,3/4
+ 0,945 · (Cy,1/5 + Cy,4/5) + 0,3455 · (Cy,2/5 + Cy,3/5)
+ 0,75 · (Cy, 1/6 + Cy,5/6)
K3 = Cy,1/2
+ 0,5 · (Cy,1/4 + Cy,3/4)
+ 0,9045 · (Cy,1/5 + Cy,4/5) + 0,3455 · (Cy,2/5 + Cy,3/5)
+ Cy,1/6 + Cy,5/6
K4 = 0,75 · (Cy,1/3 + Cy,2/3)
+ 0,3455 · (Cy,1/5 + Cy,4/5) + 0,9045 · (Cy,2/5 + Cy,3/5)
+ 0,75 · (Cy,1/6 + Cy, 5/6)
K5 = Cy,1/2
+ 0,75 · (Cy,1/3 + Cy,2/3)
+ 0,5 · (Cy,1/4 + Cy,3/4)
+ 0,25 · (Cy,1/6 + Cy,5/6)
3
2
C
K z y �
4
2
C
z � K
y
5

Ist der Vektor V aus der Lösung der Matrizengleichung (7.5) bekannt, so können die
Stützkräfte in den Einzelfedern mit der Elastizitätsgleichung (7.6) berechnet werden.
FS, k y,
k k Cy
k �
C ( v z ) � � � � (7.6)
143
Zur Beurteilung der Genauigkeit der Stabilisierungskräfte FS,k, die mit Gleichung
(7.6) auf der Grundlage eines jeweils 5-gliedrigen Sinusreihenansatzes für die Verformungen
v und � berechnet werden können, wird das Beispiel in Bild 7.6 untersucht.
Der durch eine Gleichstreckenlast und ungleiche negative Randmomente beanspruchte
Träger des Testbeispiels wird durch eine Drehbettung und 4 äquidistante
Einzelfedern Cy ausgesteift. Bezüglich der seitlichen Stützung erfolgt eine Berechnung
von zwei Varianten mit Angriffspunkt der Einzelfedern im Schwerpunkt und am
Obergurt des Trägers.
Bild 7.6 Testbeispiel zum Matrizenverfahren mit Einzelfedern Cy
Ein Vergleich der mit dem Matrizenverfahren berechneten Stabilisierungskräfte mit
den exakten Werten aus einer FEM-Berechnung mit dem Programm BT II erfolgt in
Tabelle 7.1. Die Übereinstimmung der Ergebnisse ist gut. Die relative Abweichung
der Stabilisierungskräfte des Matrizenverfahrens von den Stabilisierungskräften der
FEM-Berechnung ist in beiden Varianten und an allen Stützstellen kleiner als 5 %.

144
Der Verformungszustand des diskret gestützten Trägers kann durch die 5-gliedrigen
Sinusreihenansätze offensichtlich ausreichend genau beschrieben werden.
Tabelle 7.1 Abweichungen zwischen den Stabilisierungskräften aus einer Berechnung mit
dem Matrizenverfahren und aus einer Berechnung mit dem Programm BT II
für das Testbeispiel aus Bild 7.6
Cy im
FS,1/5
FS,2/5
FS,3/5
FS,4/5
Schwerpunkt [kN] [kN] [kN] [kN]
Matrizenverfahren -2,46 4,19 3,13 -3,29
BT II -2,52 4,17 3,27 -3,26
Abweichung [%] -2,4 +0,5 -4,3 +0,9
Cy am Obergurt
FS,1/5
[kN]
FS,2/5
[kN]
FS,3/5
[kN]
FS,4/5
[kN]
Matrizenverfahren -0,94 1,95 1,67 -1,49
BT II -0,97 1,94 1,70 -1,43
Abweichung [%] -3,1 +0,5 -1,8 +4,2

7.2.2 Verbandsmodell 3: Diskrete Stützung gegen Seil mit Zugkraft S*
145
Die Implementierung des Verbandsmodells 3 in das Matrizenverfahren aus Abschnitt
4 erfordert einige Vorüberlegungen bezüglich der Ermittlung der diskreten Stabilisierungskräfte
und bezüglich der virtuellen Arbeit, die diese Kräfte an den Verformungen
des Seiles mit Zugkraft S* leisten. Zur Erläuterung der Zusammenhänge
zwischen den Verformungen und den Stabilisierungskräften dient Bild 7.7
Bild 7.7 Stabilisierungskräfte bei diskreter Stützung gegen ein Seil mit Zugkraft S*
Dargestellt ist die Situation eines in y-Richtung verformten Trägers mit drei diskreten
Abstützungen gegen ein Seil mit Zugkraft S*, das neben dem Träger in Höhe des
Schubmittelpunktes gespannt ist. Die Stützkräfte in den Verbindungsstäben zwischen
Träger und Seil entstehen infolge Umlenkung der Seilkraft S*. Sie sind proportional
zur Änderung der Neigung der Seilachse �v´ an der jeweils betrachteten Stützstelle.
Bei äquidistanten Abständen zwischen den Stützstellen berechnet sich die Neigungsänderung
der Seilachse � v�k
im Punkt k gemäß Gleichung (7.7).

146
n
� v�k � � ( �vk
�1
� 2 � vk
� vk
�1)
(7.7)
L
mit
n = Anzahl der Verbandsfelder
L = Stützweite des Verbandes
vk = Verschiebung v im Knoten k
vk-1 = Verschiebung v im linken Nachbarknoten von Knoten k
vk+1 = Verschiebung v im rechten Nachbarknoten von Knoten k
Das Seilmodell berücksichtigt auf diese Weise die Aktivierung der Steifigkeit der
Stabilisierungskonstruktion durch die Relativverschiebung benachbarter Knotenpunkte
eines aussteifenden Verbandes. Tritt keine Relativverschiebung benachbarter
Knotenpunkte auf, so werden auch keine Stützkräfte geweckt.
Durch Freischneiden eines Knotens, in dem ein Verbindungsstab an das Stützseil
angeschlossen ist, und Aufstellen des Gleichgewichtes in y-Richtung erhält man unter
der Annahme kleiner Verformungen die Gleichung (7.8) für die Stützkraft im Verbindungsstab.
n
FS, k � �S*
��v�k
� S*
� � ��vk�1�2�vk�vk�1� (7.8)
L
Die virtuelle Arbeit, die durch das Stützseil geleistet wird, ist das Produkt aus Stützkraft
und virtueller Verschiebung �v, summiert über alle n-1 Stützstellen.
n 1
� e � �Fk k 1
�
�
W � �v
k
n
S k�1
k k�1
� �vk
(7.9)
L
� � n 1
k�1
= * � � ��v�2�v�v� Für das Beispiel in Bild 7.7 mit n = 4 Verbandsfeldern und n - 1 = 3 Stützstellen
ergibt sich die virtuelle Arbeit wie folgt:
4
L
�We � S*
� � �( 2 � v1
� v2)
� �v1
( �v1
� 2 � v2
� v3)
� �v2
� � ( �v
� 2 � v ) � �v
�
Liegt der Angriffspunkt des aussteifenden Verbandes bzw. des Stützseils nicht im
Schubmittelpunkt des stabilisierten Trägers sondern im Abstand zv versetzt, müssen
die Gleichungen (7.8) und (7.9) noch um die Verschiebungsanteile infolge Torsionsverdrehung
� des stabilisierten Trägers ergänzt werden.
n
FS, k � S*
� � �� vk
�1
� 2 � vk
� vk
�1
� zv
� ���k�1�2��k��k�1��(7.10) L
2
3
3

�W
e
n
� S*
� �
L
� � n 1
k�1
�
� ( v
k�1
147
� zv
� �k�1)
� 2 � ( vk
� zv
� �k
)
v � � z � � ) � � ( �v
� z � �� )
(7.11)
� ( k 1 v k�1
k v k
Zur Implementierung des Verbandsmodells 3 in das Matrizenverfahren aus Abschnitt
4 werden die Verformungen vk und �k jeweils durch die 5 Freiwerte der Ansatzfunktionen
für die Verschiebung v und die 5 Freiwerte der Ansatzfunktionen für die
Verdrehung � ausgedrückt. Durch Einsetzen dieser Gleichungen (7.4a) bis (7.4k) in
die virtuelle Arbeit gemäß Gleichung (7.11) ergibt sich die Steifigkeitsmatrix des
Stützseiles Ke,S*. Da in der virtuellen Arbeit gemäß Gleichung (7.11) gemischte
Terme mit Verformungen benachbarter Knotenpunkte des aussteifenden Verbandes
auftreten, ergeben sich bei unterschiedlicher Anzahl der Verbandsfelder unterschiedliche
Steifigkeitsmatrizen Ke,S*. An dieser Stelle wird beispielhaft die Steifigkeitsmatrix
Ke,S* für n = 4 Verbandsfelder angegeben. Die Steifigkeitsmatrizen für n = 2,
3, 5 und 6 Verbandsfelder sind im Anhang abgedruckt.
Ke,
S*
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5
0,586
-0,586
� zv
2 -2� zv
3,414
S*
� 8 �
Symmetrie 3,414
L
n = 4
0,586
2
� zv
2�
2
zv
-3,414
� zv
3,414
2
� zv
-3,414
� zv
3,414
2
� zv

148
Zur Bestimmung der gesuchten Verformungen des stabilisierten Trägers wird die um
den Einfluß des Stützseiles erweiterte Gleichung (7.12) aus dem Matrizenverfahren in
Abschnitt 4 gelöst.
(Ke + Ke,S* + Kg) � V = P (7.12)
Mit dem Lösungsvektor V der Freiwerte der Ansatzfunktionen können die Verformungen
vk und �k an den diskreten Stützstellen aus den Gleichungen (7.4a) bis (7.4k)
berechnet werden. Die Stabilisierungskraft FS,k an der Stützstelle k ergibt sich dann
aus den Verformungen am Knoten k und den Verformungen an den Nachbarknoten
gemäß Gleichung (7.10). Für den beispielhaft betrachteten Fall mit n = 4 Verbandsfeldern
lauten die Gleichungen zur Berechnung der Stabilisierungskräfte wie folgt:
4
FS, 1/
4 � S*
� � 1/
4 1/
2 v 1/
4 �
L
�2�v�v�z��2����� 1/
2
4
FS, 1/
2 � S*
� � 1/
4 1/
2 3/
4 v 1/
4 1/
2 �
L
��v�2�v�v�z����2����� 4
FS, 3/
4 � S*
� � 1/
2 3/
4 v 1/
2 �
L
��v�2�v�z�����2��� Für den allgemeinen Fall mit n Verbandsfeldern werden die Stabilisierungskräfte
analog für jede Stützstelle k mit Gleichung (7.10) berechnet.
3/
4
3/
4

7.3 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die
Trägerverformungen und Stabilisierungslasten
7.3.1 Auswahl der untersuchten Systeme
149
Die Frage, welchen Einfluß die Modellierung von aussteifenden Verbänden als
kontinuierliche oder diskrete seitliche Stützung biegedrillknickgefährdeter Träger auf
die Trägerverformungen und Stabilisierungslasten ausübt, kann aufgrund der Vielzahl
vorhandener Systemparameter nur anhand von ausgesuchten Beispielen beantwortet
werden. Da die mit Hilfe dieser Beispiele gewonnenen Erkenntnisse nur bedingt auf
andere Stützweiten, Profile, Verbandsgeometrien, Drehbettungen und Lastfälle übertragen
werden können, kommt der Auswahl der zu untersuchenden Systeme und
Lastfälle eine besondere Bedeutung zu.
Die häufigste Anwendung stabilisierender Verbände im Stahlbau sind Dach- und
Wandverbände zur Aussteifung von Rahmentragwerken im Hallenbau. Die Stützweite
dieser Rahmentragwerke und die Stützweite der aussteifenden Dachverbände liegt
überwiegend zwischen 10 und 30 m. Als Querschnitt für die primär auf Biegung
belasteten Rahmenriegel werden in der Regel Profile der IPE-Reihe verwendet,
welche durch den Dachverband seitlich in diskreten Punkten gestützt und zusätzlich
durch die Drehbettung infolge aufliegender Pfetten oder Trapezprofile ausgesteift
werden. Da der Abstand zwischen den einzelnen Hallenrahmen häufig 5 bis 6 m
beträgt und die Neigung der Verbandsdiagonalen statisch günstig mit ungefähr 45°
gewählt werden kann, werden überwiegend Verbandsgeometrien mit 2 bis 6 Verbandsfeldern
ausgeführt, wobei der Abstand der Verbandspfosten etwa 5 m beträgt.
Der Bemessungswert der Gleichstreckenlast qz auf dem Obergurt der Rahmenriegel
liegt bei den genannten Rahmenabständen zwischen 5 und 10 kN/m je nach Dachaufbau
und Schneelastzone. Der Biegemomentenverlauf der stabilisierten Rahmenriegel
weist neben dem positiven Feldmoment aus der Gleichstreckenlast in der Regel
auch negative Stützmomente auf, die aus der Rahmentragwirkung herrühren.
Die in diesem Abschnitt zur Beurteilung des Einflusses der diskreten Stützung untersuchten
Systeme und Lastfälle sind in Bild 7.8 dargestellt. Die Berechnungsbeispiele
sind so gewählt, daß der oben genannte Anwendungsbereich für stabilisierende Dachverbände
im Stalhallenbau abgedeckt wird.
Untersucht werden fünf verschiedene Systeme, bestehend aus stabilisiertem Träger
und aussteifendem Verband mit n = 2 bis 6 Verbandsfeldern. Die Stützweite von
Träger und Verband wird zwischen 10 und 30 m variiert, wobei der Abstand der
Verbandsknotenpunkte als Stützstellen für den stabilisierten Träger mit 5 m konstant
bleibt. Um die Variationsbreite möglicher Biegemomentenverläufe abzudecken,
werden für jedes System drei Lastfälle ohne Randmomente mit einseitigem und mit
beidseitigen negativen Randmomenten berechnet. Durch Variation der Gleichstreckenlast
qz zwischen 5 und 10 kN/m weisen alle drei Lastfälle trotz unterschiedlicher
Randmomente ein gleich großes positives Feldmoment auf.

150
Bild 7.8 Zur Beurteilung des Einflusses der diskreten Stützung untersuchte Systeme
und Lastfälle

151
Das sich mit der Stützweite des stabilisierten Trägers ändernde Feldmoment ist für
alle fünf Systeme in Bild 7.8 ebenso angegeben wie das gewählte Trägerprofil aus der
IPE-Reihe.
Tabelle 7.2 Ausnutzung der plastischen Querschnittstragfähigkeit der gewählten Trägerprofile
nach Theorie I. Ordnung
Stützweite Profil Beanspruchung Beanspruchbarkeit Ausnutzung
L [m]
St 37 My [kNm] Mpl,y,d [kNm] My/Mpl,y,d
10 IPE 240 62,5 80,0 0,78
15 IPE 330 140,6 175,5 0,80
20 IPE 400 250,0 285,2 0,87
25 IPE 500 390,6 478,7 0,81
30 IPE 600 562,5 766,3 0,73
Tabelle 7.2 zeigt die aus der Biegemomentenbeanspruchung abgeleitete Profilwahl.
Die Querschnitte wurden so gewählt, daß das vollplastische Biegemoment Mpl,y,d ohne
Stabilitätseinfluß zu ungefähr 80 % ausgenutzt wird. Ein Nachweis ausreichender
Querschnittstragfähigkeit bei zusätzlicher Beanspruchung durch die Schnittgrößen Mz
und M� infolge Theorie II. Ordnung nach Kindmann/Ding [36] kann für alle untersuchten
Systeme erbracht werden.
Zur Berechnung der Schubsteifigkeit des aussteifenden Verbandes werden einheitlich
folgende Füllstabquerschnitte festgelegt:
Pfosten: Rohrquerschnitt 88,9 x 3,2 Ap = 8,62 cm 2
Diagonalen: Rundstahl � 20 AD = 3,14 cm 2
Mit Gleichung (7.1) und � = 45° berechnet sich daraus eine Schubsteifigkeit des
Verbandes von S* = 20653 kN. Aus der Annahme, daß jeweils 5 Rahmenriegel durch
einen Verband stabilisiert werden, folgt die in Bild 7.8 angegebene, den Berechnungsbeispielen
zugrunde gelegte Schubsteifigkeit von S* = 4000 kN.
Als Drehbettung für die stabilisierten Rahmenriegel wird einheitlich ein Stahltrapezprofil
100/275/0,75 in Positivlage mit Befestigung in jedem zweiten Untergurt
angesetzt, wodurch eher geringe Drehbettungswerte im Vergleich zu einem Pfettendach
erzielt werden. Ein Nachweis der seitlich gestützten Rahmenriegel nach Theorie
II. Ordnung ohne diese geringe Drehbettung gelingt aber nicht, so daß sie unbedingt
berücksichtigt werden muß.
Die Berechnung der vorhandenen Drehbettung erfolgt gemäß Kommentar zu DIN
18800 [63] unter Berücksichtigung der Einflüsse aus der Biegesteifigkeit des Stahltrapezprofils,
der Profilverformung des stabilisierten Trägers und der Anschlußverformung,
die sich bei kleinen Gurtbreiten und geringen Auflasten besonders
negativ auswirkt. In Ergänzung zu den Regelungen in DIN 18800 Teil 2, Element
(309) gestattet der Normkommentar [63] die Berücksichtigung der günstigen
Auswirkung aus der Auflast, welche durch das Auswandern auf die Flanschkante
infolge des Verdrehvorganges einen rückdrehenden Einfluß ausübt. Für die

152
Berechnungsbeispiele gemäß Bild 7.8 wird dieser Einfluß berücksichtigt. Die angesetzten
Drehbettungswerte sind in Abhängigkeit von Trägerprofil und Größe der
Auflast in Tabelle 7.3 angegeben.
Tabelle 7.3 Drehbettung durch Trapezprofil 100/275/0,75, berechnet gemäß Kommentar
zu DIN 18800 [63] unter Berücksichtigung der Größe der Auflast
c�,k
[kNm/m]
Lastfall 1
qz = 5 kN/m
Lastfall 2
qz = 10 kN/m
Lastfall 3
qz = 7,5 kN/m
IPE 240 5,2 6,6 5,9
IPE 330 7,1 9,0 8,0
IPE 400 8,1 10,1 9,1
IPE 500 9,0 11,4 10,3
IPE 600 9,2 11,7 10,5
7.3.2 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die
Trägerverformungen
Zur Klärung, welchen Einfluß die Modellierung aussteifender Verbände auf die
Verformungen der ausgesteiften Träger ausübt, werden die drei in Abschnitt 7.1
erläuterten Verbandsmodelle für die Berechnung der verschiedenen Systeme und
Lastfälle aus Bild 7.8 verwendet. Ein Vergleich von kontinuierlichem Schubfeldmodell
und diskretem Seilmodell soll die Auswirkung der seitlichen Stützung in
diskreten Punkten aufzeigen. Der ergänzende Vergleich von Federmodell und Seilmodell
erlaubt es den durch das Seilmodell erfaßten Einfluß der Relativverschiebung
benachbarter Knotenpunkte des Verbandes zu beurteilen.
Die seitliche Stützung der untersuchten Träger gemäß Bild 7.8 durch den
aussteifenden Verband erfolgt in Höhe des Obergurtmittelpunktes. Durch ein Schubfeld
wird die Neigung der Obergurtachse v� OG behindert. Einzelfedern setzen der
Absolutverschiebung vOG in diskreten Punkten einen Widerstand entgegen und bei
diskreter Abstützung gegen ein Seil mit Zugkraft wird Arbeit infolge der Relativverschiebung
�vOG zwischen benachbarten diskreten Stützstellen geleistet. Die aus den
unterschiedlichen Verbandsmodellen resultierenden unterschiedlichen maximalen
Obergurtverschiebungen der untersuchten Träger sind in Tabelle 7.4 zusammengestellt.
Das Seilmodell ist die Modellvariante mit der besten Abbildung des Verformungsverhaltens
eines aussteifenden Verbandes und wird als Maßstab für die Güte
der anderen beiden Verbandsmodelle verwendet. Für die Systeme mit 2 und 3
Verbandsfeldern ist die Übereinstimmung der maximalen Obergurtverschiebung von
Federmodell und Seilmodell deutlich besser als von Schubfeldmodell und Seilmodell.

153
Für das System mit 2 Verbandsfeldern liefern die beiden diskreten Verbandsmodelle
sogar identische Ergebnisse, da nur eine diskrete Zwischenstützung vorhanden ist,
deren Absolutverschiebung identisch ist mit der Relativverschiebung in bezug auf die
unverschieblichen benachbarten Auflagerknoten des Verbandes. Die identische aussteifende
Wirkung von Federmodell und Seilmodell gilt auch für das System mit 3
Verbandsfeldern, wenn ein symmetrischer Lastfall berechnet wird. Im asymmetrischen
Lastfall 3 tritt eine Relativverschiebung zwischen den beiden Stützstellen in
den Drittelspunkten des Verbandes auf, woraus eine leichte Abweichung zwischen
den Verformungen der beiden diskreten Verbandsmodelle resultiert.
Tabelle 7.4 Vergleich der mit den drei Verbandsmodellen Schubfeld, Einzelfedern und Seil
mit Zugkraft ermittelten maximalen Obergurtverschiebung vOG für die Systeme
und Lastfälle gemäß Bild 7.8
max vOG
[cm]
n = 2
L = 10 m
n = 3
L = 15 m
n = 4
L = 20 m
n = 5
L = 25 m
n = 6
L = 30 m
Lastfall 1
Schubfeldmodell 0,031 0,080 0,167 0,291 0,476
Federmodell 0,063 0,299 0,346 0,599 0,988
Seilmodell 0,063 0,299 0,185 0,284 0,499
Lastfall 2
Schubfeldmodell 0,025 0,065 0,137 0,239 0,401
Federmodell 0,070 0,327 0,393 0,679 1,129
Seilmodell 0,070 0,327 0,161 0,239 0,430
Lastfall 3
Schubfeldmodell 0,029 0,074 0,156 0,270 0,448
Federmodell 0,295 0,318 0,392 0,643 1,087
Seilmodell 0,295 0,320 0,193 0,296 0,478
Die Ergebnisse in Tabelle 7.4 zeigen eine klare Zweiteilung bzgl. der Systeme mit 3
und weniger und der Systeme mit 4 und mehr Verbandsfeldern. Für 2 und 3 Verbandsfelder
werden die Systemverformungen mit dem diskreten Federmodell genauer
ermittelt. Für 4, 5 und 6 Verbandsfelder liefert das kontinuierliche Schubfeldmodell
bessere Ergebnisse, wenn jeweils das Seilmodell als Vergleichsmaßstab angelegt
wird. Dies gilt unabhängig vom betrachteten Lastfall.
Stellvertretend für die Systeme mit 3 und weniger Verbandsfeldern sind die Systemverformungen
ausgedrückt als Verschiebung von Ober- und Untergurt des stabilisierten
Trägers für das System mit 3 Verbandsfeldern und Belastung durch Lastfall 3 in
Bild 7.9 dargestellt. Die Lage der diskreten Stützstellen am Obergurt ist jeweils durch
ein Kreuz kenntlich gemacht.

154
L = 15 m, n = 3, LF 3
v Gurt [cm]
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 0,25 0,5 0,75 1
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
OG Federn UG Federn OG Seil
UG Seil OG Schubfeld UG Schubfeld
Bild 7.9 Vergleich der seitlichen Verschiebung von Ober- und Untergurt des stabilisierten
Trägers für die drei Verbandsmodelle Schubfeld, Einzelfedern und Seil
mit Zugkraft bei dreifeldrigem Verband und Lastfall 3 gemäß Bild 7.8
L = 20 m, n = 4, LF 3
v Gurt [cm]
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
x/L
OG Federn UG Federn OG Seil
UG Seil OG Schubfeld UG Schubfeld
0
0 0,25 0,5 0,75 1
Bild 7.10 Vergleich der seitlichen Verschiebung von Ober- und Untergurt des stabilisierten
Trägers für die drei Verbandsmodelle Schubfeld, Einzelfedern und Seil
mit Zugkraft bei vierfeldrigem Verband und Lastfall 3 gemäß Bild 7.8
x/L

155
Die gute Übereinstimmung der Verformungen von Federmodell und Seilmodell ist
deutlich zu erkennen. In Abweichung zum Schubfeldmodell mit kontinuierlicher
Stützung des Obergurtes tritt bei den beiden diskreten Verbandsmodellen eine mehrwellige
Verschiebungsfigur des Obergurtes auf. Dies entspricht der Anschauung, daß
ein seitliches Ausweichen des Obergurtes zwischen den diskreten Stützstellen möglich
ist. Eine Modellierung dieses Systems mit dreifeldrigem Verband durch Annahme
einer kontinuierlichen Stützung durch ein Schubfeld eignet sich offensichtlich nicht
zur Beschreibung der aussteifenden Wirkung des Verbandes.
Stellvertretend für die Systeme mit 4 und mehr Verbandsfeldern sind in Bild 7.10 die
Ober- und Untergurtverschiebung des stabilisierten Trägers für das System mit 4 Verbandsfeldern
und Belastung durch Lastfall 3 angegeben. Im Gegensatz zu dem System
mit 3 Verbandsfeldern zeigen bei dem System mit 4 Verbandsfeldern die Verformungen
des Schubfeldmodells eine gute Übereinstimmung mit dem Seilmodell. Die
Verschmierung des diskreten Verbandes zu einem kontinuierlichen Schubfeld ist bei 4
und mehr Verbandsfeldern demnach ein besseres Modell für die Beschreibung der
aussteifenden Wirkung des Verbandes als das Federmodell, welches den Einfluß der
Relativverschiebung benachbarter Knotenpunkte des Verbandes nicht beschreiben
kann.
Eine weitere Erkenntnis aus den in Bild 7.10 dargestellten Verformungen des Systems
mit 4 Verbandsfeldern ist die Tatsache, daß ein n-feldriger Verband am Obergurt des
stabilisierten Trägers nicht zwangsläufig auch eine n-wellige Verschiebungsfigur des
Obergurtes erzwingt. Die Obergurtverformung bei diskreter Stützung durch Einzelfedern
ist zwar mehrwellig, wird aber offensichtlich nur wenig durch Anzahl und
Lage der diskreten Stützstellen beeinflußt.
Als ergänzendes Beispiel für den geringen Einfluß der diskreten Stützung sind die
Verformungen des Systems mit fünffeldrigem Verband und Belastung durch Lastfall
1 in Bild 7.11 dargestellt. Die Obergurtverformung bei diskreter Stützung durch
Einzelfedern stellt sich auch für dieses System dreiwellig ein, obschon eine symmetrische
fünfwellige Verschiebungsfigur des Obergurtes bei Stützung in den
Fünftelspunkten und symmetrischer Belastung möglich ist.
Die durch das Seilmodell abgebildete diskrete Stützung durch einen fünffeldrigen
Verband übt auf den stabilisierten Träger die gleiche aussteifende Wirkung aus wie
die kontinuierliche Stützung durch ein Schubfeld, was aus den nahezu identischen
Verformungen von Seilmodell und Schubfeldmodell hervorgeht. Diese Übereinstimmung
zwischen Seilmodell und Schubfeldmodell gilt auch für alle anderen untersuchten
Systeme mit 4 und mehr Verbandsfeldern unabhängig vom betrachteten
Lastfall.
Eine Berechnung der Verformungen und Schnittgrößen von durch Verbände ausgesteifte,
biegedrillknickgefährdeten Trägern nach Theorie II. Ordnung ist praktisch
nur durch den Einsatz von Computerprogrammen wie BT II [77] oder DRILL [24]
möglich. Die Berücksichtigung der aussteifenden Wirkung eines Verbandes kann im
Rahmen einer solchen Programmberechnung nur durch den Ansatz von Einzelfedern

156
oder durch den Ansatz eines Schubfeldes erfolgen. Als Ergebnis der Untersuchungen
zum Einfluß der verschiedenen Verbandsmodelle auf die Verformungen des
stabilisierten Trägers kann zusammenfassend die Empfehlung ausgesprochen werden,
für Systeme mit 3 und weniger Verbandsfeldern das Federmodell und für Systeme mit
4 und mehr Verbandsfeldern das Schubfeldmodell zu verwenden.
v Gurt [cm]
L = 25 m, n = 5, LF 1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,25 0,5 0,75 1
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
OG Federn UG Federn OG Seil
UG Seil OG Schubfeld UG Schubfeld
Bild 7.11 Vergleich der seitlichen Verschiebung von Ober- und Untergurt des stabilisierten
Trägers für die drei Verbandsmodelle Schubfeld, Einzelfedern und Seil
mit Zugkraft bei fünffeldrigem Verband und Lastfall 1 gemäß Bild 7.8
7.3.3 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die
Stabilisierungslasten
Stabilisierungslasten diskret gestützter Träger wirken als Einzellasten an den diskreten
Stützstellen und sind deshalb nicht unmittelbar mit den Stabilisierungsstreckenlasten
bei kontinuierlicher Stützung vergleichbar. Eine Beurteilung, ob sich signifikante
Unterschiede zwischen der Beanspruchung einer diskreten und einer kontinuierlichen
Stabilisierungskonstruktion ergeben, ist aber anhand der Stabilisierungsquerkraft
möglich, die sich durch Summation der diskreten Stützkräfte bzw. durch Integration
der Stabilisierungsstreckenlasten ergibt.
Mit dem Federmodell und dem Seilmodell stehen zwei Möglichkeiten zur Berechnung
diskreter Stützkräfte zur Verfügung. Die Stützkräfte des Federmodells werden gemäß
Gleichung (7.6) aus der Verformung der Einzelfedern berechnet. Die Stützkräfte des
x/L

Seilmodells ergeben sich gemäß Gleichung (7.10) aus der Umlenkung der Zugkraft im
Seil an den diskreten Stützstellen.
157
Wie bereits erläutert, wird die aussteifende Wirkung eines Verbandes durch das
Seilmodell genauer erfaßt als durch das Federmodell. Ein Vergleich der mit den
beiden diskreten Verbandsmodellen berechneten Stabilisierungskräfte soll klären, ob
ein großer Einfluß des verwendeten Modells vorliegt und ob die mit dem Federmodell
berechneten Stabilisierungskräfte für eine Bemessung der Stabilisierungskonstruktion
auf der sicheren Seite liegen. In Tabelle 7.5 sind zu diesem Zweck die mit dem Federmodell
und dem Seilmodell berechneten diskreten Stützkräfte für die verschiedenen
Systeme und Lastfälle gemäß Bild 7.8 gegenübergestellt.
Tabelle 7.5 Vergleich der mit dem Federmodell und dem Seilmodell berechneten diskreten
Stützkräfte für die Systeme und Lastfälle gemäß Bild 7.8
Stützkräfte
FS [kN]
LF1 LF2 LF3
qz = 5 kN/m qz = 10 kN/m qz = 7,5 kN/m
Federmodell Seilmodell Federmodell Seilmodell Federmodell Seilmodell
FS,1/2 0,917 0,917 1,016 1,016 0,886 0,886
FS,1/3 0,508 0,508 0,355 0,355 0,861 0,924
FS,2/3 0,508 0,508 0,355 0,355 0,027 -0,054
FS,1/4 -0,060 -0,049 -0,459 -0,560 0,324 0,297
FS,1/2 1,259 1,393 1,428 1,732 1,344 1,534
FS,3/4 -0,060 -0,049 -0,459 -0,560 -0,808 -0,862
FS,1/5 -0,443 -0,499 -0,946 -1,204 -0,153 -0,302
FS,2/5 1,096 1,278 1,130 1,437 1,559 1,827
FS,3/5 1,096 1,278 1,130 1,437 0,680 0,850
FS,4/5 -0,443 -0,499 -0,946 -1,204 -1,213 -1,355
FS,1/6 -0,716 -0,874 -1,298 -1,795 -0,469 -0,763
FS,1/3 0,719 0,991 0,575 0,914 1,408 1,651
FS,1/2 1,596 1,680 1,824 2,064 1,711 1,837
FS,2/3 0,719 0,991 0,575 0,914 -0,010 0,288
FS,5/6 -0,716 -0,874 -1,298 -1,795 -1,600 -1,892

158
Für das System mit zweifeldrigem Verband ergeben sich am Federmodell und am
Seilmodell identische Ergebnisse für die Stützkraft in Feldmitte. Bei dreifeldrigem
Verband und symmetrischem Lastfall sind die Stützkräfte in den Drittelspunkten
ebenfalls identisch. Für alle anderen Systeme und Lastfälle treten Abweichungen
zwischen den Stützkräften der beiden Modellvarianten auf.
Das Seilmodell liefert für die Systeme mit 4 und mehr Verbandsfeldern bis zu 20 %
größere Stützkräfte als das Federmodell. Die Verteilung der Stabilisierungslasten auf
die einzelnen Stützstellen zeigt aber eine gute Übereinstimmung der beiden
Verbandsmodelle untereinander und auch eine gute Übereinstimmung mit der
Verteilung der Stabilisierungslasten bei kontinuierlicher Stützung. In Abschnitt 6 wird
für kontinuierlich gestützte Träger mit Belastung durch Gleichstreckenlast gezeigt,
daß maximale positive Stabilisierungslasten in Feldmitte und negative Stabilisierungslasten
in Auflagernähe auftreten. Dieser Verlauf der Stabilisierungskräfte ist auch aus
den diskreten Stützkräften in Tabelle 7.5 ablesbar.
Ein unmittelbarer Vergleich von Stabilisierungseinzellasten bei diskreter Stützung mit
Stabilisierungsstreckenlasten bei kontinuierlicher Stützung ist nicht möglich. Um
dennoch einen Vergleich zwischen der Beanspruchung einer diskreten und einer
kontinuierlichen Stabilisierungskonstruktion anstrengen zu können, wird die Querkraft
in der seitlichen Halterung betrachtet.
In Abschnitt 7.3.2 wird gezeigt, daß die aussteifende Wirkung von Verbänden mit 4
oder mehr Verbandsfeldern in sehr guter Näherung durch die aussteifende Wirkung
eines kontinuierlichen Schubfeldes abgebildet werden kann. Es ist deshalb naheliegend,
auch eine gute Übereinstimmung zwischen der Schubfeldkraft und der
Verbandsquerkraft zu vermuten.
In den Bildern 7.12 und 7.13 erfolgt beispielhaft eine Gegenüberstellung der Stabilisierungsquerkräfte
von Schubfeldmodell und Seilmodell für einen fünffeldrigen und
einen sechsfeldrigen Verband. Die Schubfeldkraft ist mit Gleichung (4.15) berechnet,
die Verbandsquerkraft des Seilmodells aus den diskreten Stützkräften in Tabelle 7.5.
Die Stabilisierungsquerkräfte des kontinuierlichen Schubfeldmodells und des diskreten
Seilmodells zeigen eine sehr gute Übereinstimmung sowohl bezüglich der
Verteilung in Trägerlängsrichtung als auch bezüglich des bemessungsrelevanten
Maximalwertes. Diese gute Übereinstimmung ist auch für alle anderen untersuchten
Lastfälle und Systeme mit 4 oder mehr Verbandsfeldern gegeben. Das Einschneiden
der Querkraftlinie bei diskreter Stützung in die Querkraftlinie bei kontinuierlicher
Stützung ist für die Dimensionierung eines aussteifenden Verbandes unproblematisch,
da in der Regel alle Pfosten und Diagonalen mit gleichem Querschnitt ausgeführt
werden und die Bemessung mit dem Maximalwert der Verbandsquerkraft erfolgt.

Qs [kN]
L = 25 m, n = 5, LF 1
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-1,5
Schubfeldmodell Seilmodell
0
0 0,25 0,5 0,75 1
Bild 7.12 Stabilisierungsquerkraft für die Verbandsmodelle Schubfeld und Seil mit
Zugkraft bei fünffeldrigem Verband und Lastfall 1 gemäß Bild 7.8
L = 30 m, n = 6, LF 1
Qs [kN]
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 0,25 0,5 0,75 1
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
x/L
Schubfeldmodell Seilmodell
Bild 7.13 Stabilisierungsquerkraft für die Verbandsmodelle Schubfeld und Seil mit
Zugkraft bei sechsfeldrigem Verband und Lastfall 1 gemäß Bild 7.8
x/L
159

160
Zusammenfassend lassen sich folgende Empfehlungen für die Bemessung von
aussteifenden Verbänden geben:
� Für Verbände mit 3 oder weniger Verbandsfeldern sollte das Federmodell zur
Berechnung der diskreten Stützkräfte verwendet werden.
� Für Verbände mit 4 oder mehr Verbandsfeldern kann die Schubfeldkraft aus dem
kontinuierlichen Schubfeldmodell als Näherung für die Verbandsquerkraft dienen.
In diesen Fällen sind auch die Näherungsformeln für die Ermittlung der Beanspruchung
einer kontinuierlichen seitlichen Halterung aus Abschnitt 6.3.3
anwendbar.

8 Beispiel zur Bemessung eines Dachverbandes
Bild 8.1 Statisches System, planmäßige Lasten und geometrische Ersatzimperfektionen
161

162
Anhand des in Bild 8.1 dargestellten Beispiels für einen typischen Dachverband einer
Stahlhalle soll die Anwendung der hergeleiteten Näherungsformeln für die
Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen gezeigt werden. Der untersuchte
Dachverband dient zur Aufnahme äußerer Windlasten und zur Stabilisierung mehrerer
Rahmenriegel, die durch Drucknormalkräfte, negative Stützmomente und Gleichstreckenlasten
beansprucht werden. Sämtliche Beanspruchungen sind �M-fache
Bemessungswerte. Geometrie und Querschnitte der untersuchten Konstruktion sind
Bild 8.1 zu entnehmen.
Die Ermittlung der Beanspruchung des Dachverbandes erfolgt mit zwei verschiedenen
Berechnungsmodellen:
� Standardverfahren nach Gerold [27] bzw. Petersen [82] (Modell: Druckstab)
� Näherungsformeln aus Abschnitt 6.3.3
(Modell: Biegedrillknickgefährdeter Träger)
Modell: Druckstab
Das Modell nach Gerold bzw. Petersen behandelt die Obergurte der Rahmenriegel als
Druckstäbe mit konstanter Druckkraft NGurt. Vergleiche dazu Abschnitt 2.2.2.
M
N 250
� kN
y,
m
NGurt = � � 25 � 672
hS
2 0,
3865
mit
M
y,
m
2
qz
� L 10 � 20
� My,
R � � �250
� � �250
kNm
8
8
hS = h – tg = 40 – 1,35 = 38,65 cm
2
Die Schubsteifigkeit des Dachverbandes kann z.B. nach Roik [86] Seite 163 berechnet
werden. Der Dachverband mit Schubsteifigkeit S* = 20000 kN dient zur
Stabilisierung von i = 5 Rahmenriegeln. Die beiden äußeren Rahmenriegel weisen nur
die halbe Lasteinzugsfläche auf und werden zusammen als ein Rahmenriegel
behandelt. Der Vergrößerungsfaktor � zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung
kann deshalb gemäß Gleichung (2.4) berechnet werden, wenn die Summe aller i = 5
Gurtkräfte eingesetzt wird.
1
� �
i � N
1�
N
mit
*
N
Ki
*
Gurt
*
Ki
1
� � 1,
202
5 � 672
1�
20000
� S � 20000 kN = Verzweigungslast des Verbandes als schubweicher Druckstab

163
Die auf den Dachverband wirkende Stabilisierungslast setzt sich aus einem Anteil
infolge Vorkrümmung v0 und aus einem Anteil infolge Verformung unter äußeren
Windlasten qy zusammen. Die Auswirkung der Verformung unter Windlasten qy wird
dadurch berücksichtigt, daß sowohl die Stabilisierungslasten infolge Vorkrümmung v0
als auch die Windlasten mit dem Vergrößerungsfaktor � multipliziert werden.
2
�
qS, m � v0,
m � � i � N 2 Gurt
L
2
�
� 0, 04 � � 5 � 672 � 3,
32 kN/m
2
20
Die maximale Verbandsquerkraft ergibt sich sowohl infolge konstanter Windlast als
auch infolge sinusförmig verteilter Stabilisierungslast an den Auflagern des
Dachverbandes.
max Q
Verband
� qy
� L qS,
m � L �
� � ��
� � �
�
� 2 � �
� 2,
0 � 20 3,
32 � 20 �
� 1, 202 � � � � � 49,
4 kN
� 2 � �
Modell: Biegedrillknickgefährdeter Träger
Für die Anwendung der das räumliche Biegetorsionsproblem beschreibenden
Näherungsformeln aus Abschnitt 6.3.3 wird nur ein zu stabilisierender Rahmenriegel
mit anteiliger Schubsteifigkeit des aussteifenden Verbandes und anteiliger Windlast
betrachtet.
S
q
*
y
*
S 20000
� � � 4000 kN
i 5
qy
2,
0
� � � 0,
4 kN/m
i 5
Die Berechnung des Verformungszustandes der stabilisierten Rahmenriegel erfolgt
iterativ, da die seitliche Stützung durch den Dachverband elastisch verschieblich ist,
die Gleichungen (6.121a) und (6.121b) zur Ermittlung der Torsionsverdrehung � aber
nur für eine unverschiebliche seitliche Stützung gelten. Die Lösung dieses Problems
ist der Ansatz einer vergrößerten Vorverformung v0,m bei der Berechnung der
Rahmenriegel als Träger mit unverschieblicher seitlicher Stützung. Die vergrößerte
Vorverformung v 0,
m berechnet sich gemäß Gleichung (6.124) als Summe aus der
geometrischen Ersatzimperfektion v0,m und aus der Verschiebung des Dachverbandes
unter Wind- und Stabilisierungslasten. Da die Verschiebung des Dachverbandes
infolge Stabilisierungslasten zu Beginn der Berechnung noch nicht bekannt ist, erfolgt
eine iterative Vergrößerung der Vorverformung v 0,
m .

164
Im ersten Berechnungsschritt wird die Verformung des Dachverbandes unter äußeren
Windlasten ermittelt:
v
OG,
m
2
q L
2
1 y � 1 0,
004 � 2000
� � � �
� 0,
5 cm
*
S 8 4000 8
Als vergrößerte Vorverformung v 0,
m ergibt sich damit gemäß Gleichung (6.124)
v = v0,m + vOG,m = 4,0 + 0,5 = 4,5 cm
0,
m
Die Berechnung der Torsionsverdrehung � der stabilisierten Rahmenriegel erfolgt mit
den Gleichungen (6.121a) und (6.121b). Dazu werden folgende Eingangswerte
benötigt.
E = 21000 kN/cm 2
G = 8100 kN/cm 2
IT = 51,08 cm 4
I� = 490048 cm 6
hS = 38,65 cm
2
i p = 289,4 cm 2
L = 2000 cm
c� = 5 kNm/m
N = -50 kN
My,R = -25000 kNcm
qz = 0,1 kN/cm
Mit diesen Werten ergeben sich die Koeffizienten und die Determinante der 2 x 2-
Steifigkeitsmatrix zur Bestimmung der gesuchten Freiwerte �1 und �3.
K11 = Ke,11 + Kg,11 = 5892,864 kNcm
K13 = Kg,13 = -3623,44 kNcm
K33 = Ke,33 + Kg,33 = 29787,72 kNcm
D = K11 � K33 -
2
K 13 = 1,62 � 10 8 (kNcm) 2
Die Koeffizienten des Lastvektors werden mit der vergrößerten Vorverformung
v = 4,5 cm berechnet.
0,
m
P1 = 194,299 kNcm
P3 = - 84,375 kNcm
Mit Gleichung (6.121a) und (6.121b) erhält man
1
� 1 � � �K33 � P1
� K13
� P3
��0, 03375 rad
D
1
� 3 � � �K11 � P3
� K13
� P1
��0, 00127 rad
D

165
Die Torsionsverdrehung � der Rahmenriegel verursacht Stabilisierungslasten, welche
die Verformung des Dachverbandes aus äußeren Windlasten noch vergrößern. Die
Obergurtverschiebung der Rahmenriegel infolge Wind- und Stabilisierungslasten wird
mit Gleichung (6.125) berechnet.
Mit 4,
5
v0, m � cm
�1 = 0,03375 rad
�3 = 0,00127 rad
ergibt sich vOG,m = 0,8 cm.
In einem zweiten Iterationsschritt wird eine neue vergrößerte Vorverformung v 0,
m
ermittelt.
v = v0,m + vOG,m = 4,0 + 0,8 = 4,8 cm
0,
m
Damit ändern sich auch die Koeffizienten des Lastvektors.
P1 = 207,252 kNcm
P3 = - 90,000 kNcm
Die erneute Auswertung der Gleichungen (6.121a) und (6.121b) ergibt
�1 = 0,03601 rad
�3 = 0,00136 rad
Die im Vergleich zum ersten Iterationsschritt vergrößerte Torsionsverdrehung bewirkt
eine Zunahme der Stabilisierungslasten und dadurch auch eine erneute Vergrößerung
der Obergurtverschiebung gemäß Gleichung (6.125).
Mit v0, m � 4,
8 cm
�1 = 0,03601 rad
�3 = 0,00136 rad
ergibt sich bei Vernachlässigung von Verformungszuwächsen von weniger als 1 mm
aber wieder der Wert vOG,m = 0,8 cm, so daß die iterative Ermittlung des Verformungszustandes
bereits nach dem zweiten Iterationsschritt abgebrochen werden kann.
Durch Einsetzen der Größen v 0,
m , �1 und �3 in die Gleichungen (6.122) und (6.123)
werden die Stabilisierungslast qS und die Verbandsquerkraft infolge Stabilisierung QS
ermittelt.
Die Ergebnisse einer Auswertung der Gleichungen (6.122) und (6.123) in den
Zehntelspunkten der Stützweite L sind in Tabelle 8.1 angegeben.

166
Tabelle 8.1 Beanspruchung des Dachverbandes durch Windlasten qy und
Stabilisierungslasten qS
x
�
L
� x qy qS qy + qS Qy QS Qy + QS
[-] [cm] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN] [kN] [kN]
0 0 0,4 -0,630 -0,230 4,00 -0,47 3,53
0,1 200 0,4 -0,610 -0,210 3,20 0,84 4,04
0,2 400 0,4 -0,273 0,127 2,40 1,76 4,16
0,3 600 0,4 0,162 0,562 1,60 1,87 3,47
0,4 800 0,4 0,503 0,903 0,80 1,18 1,98
0,5 1000 0,4 0,630 1,030 0,00 0,00 0,00
Für die Bemessung des Dachverbandes sind die Beanspruchungen aus Windlasten qy
und aus Stabilisierungslasten qS zu überlagern. In Feldmitte wirkt die Stabilisierungslast
in Richtung der Windlast, am Auflager wirkt sie entgegengesetzt. Die maximale
Querkraft im Dachverband tritt etwa bei x = 4 m auf. Für die volle Windlast und i = 5
zu stabilisierende Rahmenriegel erhält man
max QVerband = i � (Qy + QS) = 5 � 4,16 = 20,8 kN
Das Anschlußmoment m� zwischen den Rahmenriegeln und der als Drehbettung
wirkenden Dacheindeckung ergibt sich aus dem Produkt der maximalen Torsionsverdrehung
max � mit der Federsteifigkeit c�.
max � = �1 - �3 = 0,036 – 0,001 = 0,035 rad
m� = max � � c� = 0,035 � 5 = 0,175 kNm/m
Diese Beanspruchung ist deutlich kleiner als das Kontaktmoment mk, welches durch
das Auswandern der Auflast qz auf die Gurtkante bei einer Verdrehung des
Querschnitts übertragen werden kann.
b 0,
18
� q � � 10 � � 0,
90 kNm/m
2 2
mk z
Die Verbindungsmittel zwischen Rahmenriegel und Dacheindeckung brauchen
deshalb nicht für die Übertragung des Anschlußmomentes m� nachgewiesen werden.
Bemessung des Dachverbandes
Die maßgebende Beanspruchung der Verbandspfosten und Verbandsdiagonalen ergibt
sich aus der maximalen Verbandsquerkraft.
Pfosten: max NP = max QVerband
Diagonalen: max ND = 2 � max QVerband

Modell: Druckstab
max NP = 49,4 kN
max ND = 2 � 49,4 = 69,9 kN
Modell: Biegedrillknickgefährdeter Träger
max NP = 20,8 kN
max ND = 2 � 20,8 = 29,4 kN
Beanspruchbarkeit der Verbandspfosten:
Rohrquerschnitt 88,9 x 3,2, St 37, Knickspannungskurve a
A = 8,62 cm 2 , i = 3,03 cm
�
�
K
K
�
SK i
�
�
�
K
a
500
� � 165,
0
3,
03
165,
0
� � 1,
78
92,
9
�
� �
0,
276
grenz NP = � � A � fy,k = 0,276 � 8,62 � 24 = 57,1 kN
Beanspruchbarkeit der Verbandsdiagonalen:
Rundstahl � 20 als Gewindestange 4.6
Asch = 3,14 cm 2 , Asp = 2,45 cm 2
grenz ND = Asp � fy,k/1,1 = 2,45 � 24/1,1 = 53,5 kN
Ausnutzung der gewählten Querschnitte:
Modell: Druckstab:
max N
grenz N
P
49,
4
�
57,
1
P �
0,
87
max ND
69,
9
� � 1,
31 � 1
grenz N 53,
5
D
Modell: Biegedrillknickgefährdeter Träger:
max N
grenz N
max N
grenz N
P
20,
8
�
57,
1
P �
29,
4
�
53,
5
D �
D
0,
36
0,
55
167
Die Unterschiede in der Beanspruchung des Dachverbandes infolge Stabilisierung der
Rahmenriegel bei einer Berechnung am Druckstabmodell im Vergleich zu einer
Berechnung am räumlichen Modell des biegedrillknickgefährdeten Trägers sind sehr
groß. Durch die Ermittlung der Stabilisierungslasten mit dem Standardverfahren nach
Gerold bzw. Petersen wird die Beanspruchung des Dachverbandes im vorliegenden
Beispiel deutlich überschätzt. Eine ausreichende Tragfähigkeit der Verbandsdiagonalen
kann mit dem vereinfachten Druckstabmodell nicht nachgewiesen werden.
Eine genauere Berechnung des vorliegenden räumlichen Biegetorsionsproblems zeigt
aber, daß der Dachverband ausreichend dimensioniert ist.

168
9 Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit werden die Stabilisierungslasten seitlich gestützter,
vorverformter Träger nach der Biegetorsionstheorie II. Ordnung behandelt.
Untersucht werden biegedrillknickgefährdete Träger, welche durch stabilisierende
Konstruktionen kontinuierlich oder in diskreten Punkten seitlich gestützt werden.
Mit dem aus der Differentialgleichung der Wölbkrafttorsion abgeleiteten Ingenieurmodell,
welches als „Ersatzbelastungsverfahren – Biegedrillknicken“ oder kurz EBV-
BDK bezeichnet wird, können Stabilisierungslasten als Funktion der Schnittgrößen
und Verformungen des stabilisierten Trägers berechnet werden. Der den Gleichungen
(5.13a) und (5.13b) für Ersatzlasten qy in Höhe der Querschnittsgurte zugrunde
liegende Ansatz ist die Analogie zwischen reiner Wölbkrafttorsion und Gurtbiegung.
Das EBV-BDK eröffnet die Möglichkeit, die Auswirkungen von Imperfektionen,
elastischen Verformungen und planmäßiger Belastung von seitlich gestützten Trägern
auf die Stabilisierungslasten formelmäßig zu beschreiben. Auf diese Weise wird
zusätzlich zur Schaffung einer Berechnungsmöglichkeit für Stabilisierungslasten auch
ein Beitrag zum Verständnis für den Einfluß einzelner Systemparameter wie Schnittgrößenverläufe,
Drehbettung oder Imperfektionsannahmen geleistet.
Für vorverformte Träger mit gebundener Drehachse am Obergurt und Belastung durch
konstante Normalkraft N und konstantes Biegemoment My werden mit den
Gleichungen (6.38) bis (6.43) und (6.48) bis (6.54) genaue Lösungen für die Berechnung
der Stabilisierungslasten angegeben. Die formelmäßige Aufspaltung der
Stabilisierungslasten in einen Anteil aus Imperfektion und einen Anteil aus elastischer
Verformung zeigt, daß die Torsionsverdrehung � bei Belastung durch
Drucknormalkraft oder negatives Biegemoment mit ungestütztem Druckgurt eine
Vergrößerung der Stabilisierungslasten bewirkt. Das Druckstabmodell nach Gerold
bzw. Petersen, welches die Torsionsverdrehung � bei der Berechnung der Stabilisierungslasten
nicht berücksichtigt, kann für diese Fälle nicht verwendet werden.
Für vorverformte Träger mit gebundener Drehachse am Obergurt und Belastung durch
veränderliche Biegemomentenverläufe wird in Abschnitt 6.3.1 eine Näherungslösung
für die Berechnung der Stabilisierungslasten in Form eines Matrizenverfahrens
bereitgestellt. Die Verformungen des stabilisierten Trägers werden durch Sinusreihen
als Ansatzfunktionen approximiert, deren freie Parameter aus einer Matrizengleichung
berechnet werden können. Da die Bildungsgesetze für die Steifigkeitsmatrizen und
Lastvektoren der Matrizengleichung in Tabelle 6.4 angegeben werden, ist eine
Anpassung der Genauigkeit der Näherungslösung durch die gewählte Anzahl der
Reihenglieder möglich.
Für die im Rahmen dieser Arbeit untersuchten Beispiele ist ein maximal fünfparametriger
Ansatz ausreichend, um Abweichungen in den berechneten Stabilisierungslasten
von weniger als 5 % im Vergleich zu genauen Programmberechnungen

169
zu erhalten. Bei symmetrischen Lastfällen kann diese Genauigkeit schon mit
zweiparametrigen Ansätzen erreicht werden, wodurch die Ableitung von Näherungsformeln
für eine Handrechnung in Abschnitt 6.3.3 ermöglicht wird. Um auch
Systeme mit nachgiebiger seitlicher Stützung berechnen zu können, wird in Abschnitt
6.3.1.5 zusätzlich ein Verfahren angegeben, mit dem die Schubweichheit der
Obergurthalterung näherungsweise berücksichtigt wird, ohne daß die Anzahl
erforderlicher freier Parameter zur Beschreibung der Trägerverformungen erhöht
werden muß.
Für die Ermittlung der Stabilisierungslasten von Trägern, die durch Verbände ausgesteift
werden, wird in Abschnitt 7.2 ein Näherungsverfahren zur Berechnung
kontinuierlich gestützter Träger aus der Literatur auf diskret gestützte Träger
erweitert. Der in Abschnitt 7.3 dokumentierte Vergleich verschiedener
Modellannahmen für aussteifende Verbände zeigt, daß die Beanspruchung von
Verbänden mit vier und mehr Verbandsfeldern infolge Stabilisierung in guter
Näherung mit der Beanspruchung von kontinuierlichen Schubfeldern mit gleicher
Schubsteifigkeit übereinstimmt. Eine Bemessung solcher Verbände kann deshalb mit
den Gleichungen (6.94) und (6.100) des Matrizenverfahrens aus Abschnitt 6.3.1 oder
mit den hergeleiteten Näherungsformeln (6.122) und (6.123) aus Abschnitt 6.3.3 für
die Berechnung der Stabilisierungslasten von Trägern mit kontinuierlicher
schubweicher Obergurthalterung erfolgen.
Die mit Hilfe des EBV-BDK in Abschnitt 6.3.2 durchgeführten Paramterstudien
zeigen, daß die Torsionsverdrehung � von seitlich am Obergurt gestützten Trägern
einen entscheidenden Einfluß auf die Stabilisierungslasten ausübt. Bei Trägern mit
Belastung durch Randmomente und Querlasten qz oder Pz sind die Stabilisierungslasten
in Trägerlängsrichtung stark veränderlich. Eine große Gleichstreckenlast
qz bewirkt große positive Stabilisierungslasten in Feldmitte, große Querkräfte Vz
führen zu großen negativen Stabilisierungslasten in Auflagernähe. Die in der Literatur
häufig vertretene Ansicht, daß ein veränderlicher Biegemomentenverlauf als
Näherung auf der sicheren Seite durch einen konstanten Biegemomentenverlauf mit
gleichem Maximalwert ersetzt werden kann, ist nicht richtig, da der Einfluß der
Querlasten in Verbindung mit der Torsionsverdrehung � unberücksichtigt bleibt.
Es wurde in Abschnitt 6.3.2 gezeigt, daß das Druckstabmodell nach Gerold bzw.
Petersen für die Berechnung der Stabilisierungslasten von Trägern ohne Drehbettung
weit auf der unsicheren Seite liegen kann. Bei Trägern mit Drehbettung führen aber
selbst sehr kleine Drehbettungswerte, wie sie durch Stahltrapezprofile erzielt werden,
zu einer sehr starken Reduzierung der Stabilisierungslasten.
Für Träger mit Belastung durch Randmomente und Gleichstreckenlast qz können die
Stabilisierungslasten als Näherung auf der sicheren Seite mit dem Druckstabmodell
nach Gerold berechnet werden, wenn eine Mindestdrehbettung min c� gemäß
Gleichung (6.118) vorhanden ist.
min c� = qz � hS

170
Bei der Untersuchung der Systeme aus Stabilisierungskonstruktion und stabilisiertem
Träger wurden in der vorliegenden Arbeit Imperfektionsannahmen in Form von
einwelligen sinusförmigen oder parabelförmigen Vorkrümmungen in Übereinstimmung
mit den geltenden technischen Vorschriften verwendet. Es wurde festgestellt,
daß der Ansatz sinusförmiger Vorkrümmungen je nach betrachtetem Lastfall
bis zu 15 % größere Verformungen und Stabilisierungslasten verursacht, als der
Ansatz parabelförmiger Vorkrümmungen.
Für Belastung durch konstantes Biegemoment My werden in den Abschnitten 6.2.6
und 6.2.7 auch eine Vorverdrehung �0 und eine eigenformaffine mehrwellige
Vorkrümmung v0 als Imperfektionsannahmen diskutiert. Die Fragen, in welchen
Fällen eigenformaffine Vorverformungen des stabilisierten Trägers zu einer
maximalen Beanspruchung der Stabilisierungskonstruktion führen und welche
Vorverformungsordinaten zur Skalierung der Eigenformen anzusetzen sind, bedürfen
weiterer Klärung.

Anhang
Steifigkeitsmatrizen für das Verbandsmodell 3:
Diskrete Stützung gegen Seil mit Zugkraft S* im Abstand zv vom Schubmittelpunkt
Ke,
S*
Ke,
S*
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5
1 � zv
1 � zv
S*
� 4 �
Symmetrie 1 � zv
L
n = 2
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5
2
z v
1 � zv
3 -3 � zV
2
z v
3 -3 � zV
S*
� 4, 5�
Symmetrie 1 � zv
L
n = 3
2
z v
3 � 2 z v
3 � 2 z v
2
z v
2
z v
171

172
Ke,
S*
Ke,
S*
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5
0,479
1,730
3,274
S*
� 10 �
Symmetrie
L
4,525
-0,479
� zv
0,479
2
� zv
-1,730
� zv
1,730
2
� zv
-3,274
� zv
3,274
2
� zv
-4,525
� zv
4,525
2
� zv
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5
0,402
-0,402
� zv
1,5 -1,5� zv
S*
� 12 �
Symmetrie 5,598
L
3 -3� zv
4,5 -4,5� zv
0,402
2
� zv
n = 5
1,5�
2
zv
3
2
� zv
n = 6 4,5
2
� zv
-5,598
� zv
5,598
2
� zv

Literaturverzeichnis
Vorschriften:
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[42] König, G., Pauli, W.: Nachweis der Kippstabilität von schlanken Fertigteilträgern
aus Stahlbeton und Spannbeton. Beton- und Stahlbetonbau 87 (1992),
Heft 5, S. 109-112 und Heft 6, S. 149-151
[43] Krenk, S., Damkilde, L.: Torsionssteifigkeit und Deformation von
Rahmenecken aus I-Trägern. Stahlbau 61 (1992), Heft 6, S. 173-178
[44] Krüger, U.: Stahlbau, Teil 1 – Grundlagen, 1. Auflage 1998,
Teil 2 – Stabilitätslehre, Stahlhoch- und Industriebau, 1. Auflage 1998, Verlag
Ernst & Sohn, Berlin
[45] Lawson, R.-M., Nethercot, D.-A.: Lateral stability of I-beams restrained by
profiled sheeting. The Structural Engineer, 63B, No. 1, March 1985, pp. 1-7
[46] Lindner, J.: Anschlußmomente von Trägern, die zur Kippaussteifung
herangezogen werden. Bautechnik 50 (1973), Heft 10, S. 342-344
[47] Lindner, J.: Der Einfluß von Eigenspannungen auf die Traglast von I-Trägern.
Stahlbau 43 (1974), Heft 2, S. 39-45 und Heft 3, S. 86-91

[48] Lindner, J.: Traglastkurven für I-Träger, die durch außermittige Querlasten
beansprucht werden. Stahlbau 43 (1974), Heft 10, S. 307-313
[49] Lindner, J., Kurth, W.: Biegedrillknickversuche an querbelasteten Walzträgern.
Bauingenieur 53 (1978), S. 373-377
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[50] Lindner, J., Gietzelt, R.: Biegedrillknicken – Erläuterungen, Versuche,
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[51] Lindner, J., Schmidt, J.-S.: Biegedrillknicken von I-Trägern unter
Berücksichtigung wirklichkeitsnaher Lasteinleitung. Stahlbau 51 (1982), Heft
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[52] Lindner, J., Gietzelt, R.: Stabilisierung von Biegeträgern mit I-Profil durch
angeschweißte Kopfplatten. Stahlbau 53 (1984), Heft 3, S. 69-74
[53] Lindner, J., Gietzelt, R.: Imperfektionsannahmen für Stützenschiefstellungen.
Stahlbau 53 (1984), Heft 4, S. 97-101
[54] Lindner, J., Stickel, J.: Zur Stabilisierung von I-Trägern durch Gitterroste.
Stahlbau 54 (1985), Heft 12, S. 369-374
[55] Lindner, J.: Gitterroste mit Klemmbefestigungen zur Aussteifung von IPE-
Trägern. Stahlbau 55 (1986), Heft 9, S. 263-268
[56] Lindner, J.: Stabilisierung von Trägern durch Trapezbleche. Stahlbau 56
(1987), Heft 1, S. 9-15
[57] Lindner, J.: Stabilisierung von Biegeträgern durch Drehbettung – eine
Klarstellung. Stahlbau 56 (1987), Heft 12, S. 365-373
[58] Lindner, J., Gregull, T.: Zur Berechnung von Pfetten aus Kaltprofilen. Stahlbau
58 (1989), Heft 3, S. 87-91
[59] Lindner, J.: Verzweigungslasten für das Biegedrillknicken beim Einfeldträger
mit Kragarm und gebundener Drehachse. Stahlbau 61 (1992), Heft 5,
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3. Auflage 1993, Stahlbau-Verlagsgesellschaft, Köln
[61] Lindner, J.: Stahlbau. In: Hütte Taschenbücher der Technik, Bautechnik,
Band VI, Konstruktiver Ingenieurbau 3: Massiv- und Stahlbau, 29. Auflage
1993, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg

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[62] Lindner, J., Groeschel, F.: Drehbettungswerte für die Profilblechbefestigung
mit Setzbolzen bei unterschiedlich großen Auflasten. Stahlbau 65 (1996),
Heft 6, S. 218-224
[63] Lindner, J., Scheer, J., Schmidt, H.: Stahlbauten, Erläuterungen zu DIN 18800
Teil 1 bis 4, 3. Auflage 1998, Beuth-Verlag, Berlin
[64] Lutz, A.-L., Fisher, J.: A Unified Approach for Stability Bracing Requirements.
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und nicht vorgespannter, parallelgurtiger Stahlbetonträger mit einfach
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S. 25-32 und Heft 3, S. 59-64
[67] Möhler, K., Herröder, W.: Seitenlast zur Bemessung der Aussteifungskonstruktion
parallelgurtiger Brettschichtträger. Bauen mit Holz, Heft 11,
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[72] Natterer, J., Kessel, M.-H.: Theoretische und experimentelle Untersuchungen
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1075, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Lehrstuhl für Holzkonstruktionen,
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[74] Osterrieder, P.: Traglastberechnung von räumlichen Stabtragwerken bei großen
Verformungen mit finiten Elementen. Dissertation. Universität Stuttgart, 1983
[75] Osterrieder, P., Voigt, M., Saal, H.: Zur Neuregelung des
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Biegetorsionstheorie II. Ordnung. Bauingenieur 65 (1990), S. 469-475
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Radlastangriff. Stahlbau 32 (1963), Heft 12, S. 360-367
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in geneigten Dächern bis zum Erreichen der plastischen Grenzlast durch die
Biege- und Schubsteifigkeit der Dacheindeckung. Stahlbau 45 (1976), Heft 10,
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[80] Parvizinia, H.: Zum Biegedrillknicken bei Trägern mit diskreten seitlichen
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Biegedrillknicken gevouteter Hallenrahmen. Stahlbau 67 (1998), Heft 10,
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[82] Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, 2. Auflage 1982,
Vieweg-Verlag, Braunschweig
[83] Reyer, E., Stojic, D.: Zum genaueren Nachweis der Kippstabilität biegebeanspruchter
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des Obergurtes nach Theorie II. Ordnung. Informationsdienst
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[85] Roik, K., Kindmann, R.: Berechnung stabilitätsgefährdeter Stabwerke mit
Berücksichtigung von Entlastungsbereichen. Stahlbau 51 (1982), Heft 10,
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[86] Roik, K.: Vorlesungen über Stahlbau, Grundlagen. 2. Auflage 1983, Verlag
Ernst & Sohn, Berlin
[87] Saal, H., Hornung, U.: Grenztragfähigkeit von Zweigelenkhallenrahmen.
Festschrift J. Lindner, 1997
[88] Schardt, R.: Verallgemeinerte Technische Biegetheorie. VBT I – Lineare
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[89] Schikora, K., Ostermeier, B.: Betrachtungen zur Beanspruchung
stabilisierender Verbände. Bauingenieur 62 (1987), S. 189-195
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mit voutenförmig ausgebildeten Stützen und Riegeln. Stahlbau 55 (1986), Heft
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[91] Staller, A.: Zur Beanspruchung stabilisierender Verbände im Stahlbau.
Stahlbau 48 (1979), Heft 2, S. 45-50
[92] Stirböck, K., Valtinat, G.: Zur Kippsicherheit von Deckenträgern mit
Kippaussteifungen. Stahlbau 53 (1984), Heft 2, S. 33-40
[93] Streit, W., Gottschalk, H.: Überschlägige Bemessung von Kipphalterungen für
Stahlbeton- und Spannbetonbinder. Bauingenieur 61 (1986), S. 555-559
[94] Strigl, G.: Die Berücksichtigung der Imperfektionen beim Traglastnachweis
gedrückter Konstruktionen. Stahlbau 47 (1978), Heft 10, S. 294-302
[95] Stroetmann, R.: Zur Stabilitätsberechnung räumlicher Tragsysteme mit
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Instituts für Stahlbau und Werkstoffmechanik der Technischen Universität
Darmstadt, Heft 61, 1999
[96] Stroetmann, R.: Zur Stabilität von in Querrichtung gekoppelten Biegeträgern.
Stahlbau 69 (2000), Heft 5, S. 391 – 408

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für Stahl- und Verbundbau, Ruhr-Universität Bochum, Band 6, 1997
[98] Timoshenko, S., Gere, J.: Theory of Elastic Stability. McGraw-Hill, New York,
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[99] Thiele, A., Lohse, W.: Stahlbau Teil 1, 23. Auflage 1997, Teil 2, 18. Auflage
1997, Teubner-Verlag, Stuttgart
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[103] Vogel, U., Heil, W.: Traglast-Tabellen. Tabellen für die Bemessung
durchlaufender I-Träger mit und ohne Normalkraft nach dem Traglastverfahren
(DIN 18800, Teil 2). 3. Auflage 1993, Verlag Stahleisen, Düsseldorf
[104] Wakayabashi, M., Nakamura, T.: Buckling of laterally braced beams.
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[105] Wang, Y.-C., Nethercot, D.-A.: Ultimate Strength Analysis of Three-
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[106] Werner, F., Lehmkuhl, H., Osterrieder, P.: Möglichkeiten praktischer
Stabilitätsnachweise. Festschrift J. Lindner, 1997
[107] Weston, G., Nethercot, D.-A., Crisfield, M.-A.: Lateral Buckling in Continuous
Composite Bridge Girders. The Structural Engineer, Vol. 69, No. 5, 5 March
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[108] Winter, G.: Lateral Bracing of Columns and Beams. Trans. ASCE, Vol. 125,
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[109] Wong-Chung, A.-D., Kitiporuchai, S.: Partially Braced Inelastic Beam
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[111] Yura, J.-A.: Fundamentals of Beam Bracing. Proc. SSRC Conf. “Is Your
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[112] Yura, J.-A.: Winters Bracing Model Revisited. 50 th Anni. Proc. SSRC, 1994,
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[113] Yura, J.-A.: Bracing for Stability – State – of – the – Art. Proc. Struct. Congr.
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