Zur Beanspruchung stabilisierender Konstruktionen im Stahlbau
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Manuel Krahwinkel,<br />
Detmold<br />
<strong>Zur</strong> <strong>Beanspruchung</strong> <strong>stabilisierender</strong> <strong>Konstruktionen</strong><br />
<strong>im</strong> <strong>Stahlbau</strong><br />
Technisch-wissenschaftliche Mitteilungen<br />
Institut für Konstruktiven Ingenieurbau<br />
Ruhr-Universität Bochum
Doktorarbeit eingereicht am: 28. November 2000<br />
Tag der mündlichen Prüfung: 31. Januar 2001<br />
Berichter:<br />
Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann, Ruhr-Universität Bochum<br />
Prof. Dr.-Ing. H.-J. Niemann, Ruhr-Universität Bochum
Vorwort<br />
Die vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 1996 – 2000 während meiner Tätigkeit<br />
als Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Konstruktiven Ingenieurbau der<br />
Ruhr-Universität Bochum. Sie wurde von der Fakultät für Bauingenieurwesen als<br />
Dissertation angenommen.<br />
Mein besonderer Dank gilt Herrn Professor Dr.-Ing. R. Kindmann für die<br />
Unterstützung dieser Arbeit und für die Übernahme des Referates.<br />
Herrn Prof. Dr.-Ing. H.-J. Niemann danke ich herzlich für die Übernahme des<br />
Koreferates.<br />
Weiterhin gilt mein Dank allen Kollegen für die schöne gemeinsame Zeit am<br />
Lehrstuhl für Stahl- und Verbundbau.<br />
Februar 2001 Manuel Krahwinkel<br />
III
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Einführung ...................................................................................................... 1<br />
1.1 Problemstellung und Zielsetzung ................................................................... 1<br />
1.2 Allgemeine Annahmen und Voraussetzungen................................................ 5<br />
2 Stand der Forschung ....................................................................................... 6<br />
2.1 Nachweis ausgesteifter biegedrillknickgefährdeter Träger ............................ 6<br />
2.2 Nachweis von Stabilisierungskonstruktionen ................................................. 9<br />
2.2.1 Berechnung von Stabilisierungslasten <strong>im</strong> Holzbau ........................................ 9<br />
2.2.2 Berechnung von Stabilisierungslasten <strong>im</strong> <strong>Stahlbau</strong> ........................................ 10<br />
2.2.3 Stabilisierungslasten von Trägern mit diskreten seitlichen Abstützungen ..... 16<br />
3 Grundlagen der verwendeten Rechenprogramme............................................ 26<br />
3.1 Programm BT II .............................................................................................. 26<br />
3.2 Programm DRILL ........................................................................................... 30<br />
4 Matrizenverfahren für Träger mit kontinuierlicher seitlicher Stützung .......... 33<br />
5 Ingenieurmodell für Stabilisierungslasten be<strong>im</strong> Biegetorsionsproblem ......... 38<br />
5.1 Vorbemerkungen............................................................................................. 38<br />
5.2 Herleitung des Ersatzbelastungsverfahrens – Biegedrillknicken EBV-BDK . 38<br />
5.3 Verifikation des EBV-BDK ............................................................................ 48<br />
6 Stabilisierungslasten von Trägern mit gebundener Drehachse ....................... 54<br />
6.1 Belastung durch Streckentorsionsmomente mx ............................................... 54<br />
6.1.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 54<br />
6.1.2 Einfluß der Lastabtragung durch Wölbkrafttorsion auf die<br />
Trägerverformungen nach Theorie I. Ordnung ............................................... 55<br />
6.1.3 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem EBV-BDK ........................... 56<br />
6.1.4 Einfluß der Lastabtragung durch Wölbkrafttorsion auf die<br />
Stabilisierungslasten ....................................................................................... 58<br />
V
VI<br />
6.2 Belastung durch konstante Schnittgrößen N und My....................................... 61<br />
6.2.1 Lösung der Differentialgleichung bei sinusförmiger Vorkrümmung ............. 61<br />
6.2.2 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem EBV-BDK ........................... 65<br />
6.2.3 Stabilisierungslasten bei Normalkraftbeanspruchung .................................... 66<br />
6.2.4 Stabilisierungslasten bei Biegemomentenbeanspruchung .............................. 69<br />
6.2.5 Stabilisierungslasten bei unterbundener Torsionsverdrehung ........................ 71<br />
6.2.6 Vorverdrehung als Imperfektionsannahme ..................................................... 72<br />
6.2.7 Eigenformaffine Vorkrümmung als Imperfektionsannahme .......................... 80<br />
6.3 Belastung durch veränderliche Schnittgrößen ................................................ 85<br />
6.3.1 Matrizenverfahren für Träger mit gebundener Drehachse ............................. 85<br />
6.3.1.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 85<br />
6.3.1.2 Steifigkeitsmatrizen und Latvektoren zur Berechnung der<br />
Trägerverformung ........................................................................................... 85<br />
6.3.1.3 <strong>Beanspruchung</strong> der seitlichen Halterung ........................................................ 92<br />
6.3.1.4 Vergleich mit FEM-Berechnungen ................................................................. 96<br />
6.3.1.5 Berücksichtigung der Nachgiebigkeit der seitlichen Halterung ..................... 100<br />
6.3.2 Einflußparameter für Stabilisierungslasten ..................................................... 107<br />
6.3.2.1 Vorbemerkungen ............................................................................................ 107<br />
6.3.2.2 Untersuchte Parameter .................................................................................... 107<br />
6.3.2.3 Variation der Schnittgrößenverläufe ............................................................... 109<br />
6.3.2.4 Variation der Trägerschlankheit und der Drehbettung ................................... 115<br />
6.3.2.5 Variation des Verlaufs der Vorkrümmung .................................................... 122<br />
6.3.3 Näherungsformeln für symmetrische Lastfälle ............................................... 127<br />
7 Stabilisierungslasten von Trägern mit diskreten seitlichen Abstützungen ..... 134<br />
7.1 Modellannahmen für aussteifende Verbände ................................................. 134<br />
7.1.1 Verformungsverhalten von Fachwerkträgern ................................................. 134<br />
7.1.2 Verbandsmodell 1: Schubfeld mit Schubsteifigkeit S* .................................. 137<br />
7.1.3 Verbandsmodell 2: Einzelfedern Cy ................................................................ 137<br />
7.1.4 Verbandsmodell 3: Diskrete Stützung gegen Seil mit Zugkraft S* ................ 138
7.2 Matrizenverfahren für Träger mit diskreten seitlichen Abstützungen ............ 140<br />
7.2.1 Verbandsmodell 2: Einzelfedern Cy ................................................................ 140<br />
7.2.2 Verbandsmodell 3: Diskrete Stützung gegen Seil mit Zugkraft S* ................ 145<br />
7.3 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die Trägerverformungen und<br />
Stabilisierungslasten ....................................................................................... 149<br />
7.3.1 Auswahl der untersuchten Systeme ................................................................ 149<br />
7.3.2 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die Trägerverformungen ......... 152<br />
7.3.3 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die Stabilisierungslasten ......... 156<br />
8 Beispiel zur Bemessung eines Dachverbandes................................................ 161<br />
9 Zusammenfassung .......................................................................................... 168<br />
Anhang............................................................................................................. 171<br />
Literaturverzeichnis......................................................................................... 173<br />
VII
VIII<br />
Bezeichnungen<br />
An dieser Stelle werden die wichtigsten, in der vorliegenden Arbeit verwendeten<br />
Formelzeichen und Definitionen angegeben. Weitere Variablen werden bei ihrer<br />
erstmaligen Nennung erläutert.<br />
S Schwerpunkt<br />
M Schubmittelpunkt<br />
x Stabachse<br />
y, z Hauptachsen des Querschnitts<br />
� Verdrehung der Stabachse<br />
v, w Verschiebung in Richtung y, z<br />
�y, �z Verdrehung um Achse y, z<br />
�0<br />
v0, w0<br />
vOG, vUG<br />
Vorverdrehung der Stabachse<br />
Vorverformung in Richtung y, z<br />
Verschiebung von Obergurt, Untergurt in Richtung y<br />
E Elastizitätsmodul<br />
G Schubmodul<br />
L Stützweite<br />
h, b Höhe, Breite des Querschnitts<br />
Abstand der Gurtmittelpunkte<br />
hS<br />
A Querschnittsfläche<br />
Iy, Iz Trägheitsmoment um Achse y, z<br />
IT St. Venant’scher Torsionswiderstand<br />
I� Wölbwiderstand<br />
2 Iy<br />
� Iz<br />
ip<br />
� Polarer Trägheitsradius<br />
A<br />
c� Drehbettung um die Stabachse<br />
cy Streckenwegfeder in Richtung y<br />
Cy Einzelwegfeder in Richtung y<br />
S* Schubfeldsteifigkeit<br />
mx<br />
qy, qz<br />
Py, Pz<br />
Streckentorsionsmoment<br />
Streckenlasten in Richtung y, z<br />
Einzellasten in Richtung y, z<br />
N Normalkraft, als Zugkraft positiv<br />
Vy, Vz Querkraft in Richtung y, z<br />
Biegemoment um Achse y, z<br />
My, Mz
NGurt Gurtnormalkraft, als Druckkraft positivqS Stabilisierungslast bei<br />
kontinuierlicher Stützung in Richtung y<br />
FS Stabilisierungslast bei diskreter Stützung in Richtung y<br />
Querkraft in der Stabilisierungskonstruktion infolge Stabilisierungslast<br />
QS<br />
n Anzahl Verbandsfelder<br />
�T Stabkennzahl für Torsion<br />
�Ki Verzweigungslastfaktor<br />
�M Teilsicherheitsbeiwert der Widerstandsgrößen<br />
x<br />
� �<br />
L<br />
D<strong>im</strong>ensionslose x-Koordinate<br />
Indizes<br />
m Feldmitte<br />
Ki Verzweigungslast<br />
OG Obergurt<br />
UG Untergurt<br />
0 Vorverformung<br />
Sinus Sinusförmiger Verlauf<br />
Parabel Parabelförmiger Verlauf<br />
e� elastisch<br />
p� plastisch<br />
d Bemessungswert<br />
IX
X<br />
Kurzfassung<br />
Die vorliegende Arbeit behandelt die Stabilisierungslasten seitlich gestützter,<br />
vorverformter Träger nach der Biegetorsionstheorie II. Ordnung. Unter dem Begriff<br />
Stabilisierungslasten werden die Kräfte verstanden, die von einer Stabilisierungskonstruktion<br />
auf einen biegedrillknickgefährdeten Träger übertragen werden. Sie<br />
wirken auf die Stabilisierungskonstruktion belastend und auf den Träger stützend.<br />
Es wird ein Ingenieurmodell für die Berechnung der Stabilisierungslasten von<br />
biegedrillknickgefährdeten Trägern mit unverschieblicher oder nachgiebiger<br />
kontinuierlicher oder diskreter seitlicher Stützung angegeben. Die Einflüsse aus der<br />
Art der seitlichen Stützung, der planmäßigen Belastung, den geometrischen<br />
Ersatz<strong>im</strong>perfektionen und der Drehbettung des stabilisierten Trägers auf die<br />
Stabilisierungslasten werden untersucht und Anwendungsgrenzen praxisüblicher<br />
Näherungslösungen aufgezeigt.
1 Einführung<br />
1.1 Problemstellung und Zielsetzung<br />
Die Tragfähigkeit von schlanken Stäben mit teilweise oder vollständig gedrücktem<br />
Querschnitt wird durch die Möglichkeit der räumlichen Verformung beeinflußt. Die<br />
geltenden technischen Vorschriften zur Bemessung von <strong>Stahlbau</strong>ten unterscheiden<br />
zwischen verschiedenen Formen des Stabilitätsversagens. Als Biegedrillknicken wird<br />
in Abgrenzung zum Biegeknicken die Instabilität eines Stabes bezeichnet, bei der<br />
zusätzlich zum Ausweichen in Richtung der Hauptachsen des Querschnitts auch eine<br />
Verdrehung um die Stablängsachse auftritt. In Analogie zum Biegeknicken von<br />
Stäben mit reiner Normalkraftbeanspruchung kann das Biegedrillknicken von biegebeanspruchten<br />
Trägern vereinfachend mit dem seitlichen Ausweichen des gedrückten<br />
Trägergurtes erkärt werden. Bild 1.1 zeigt die Verformungen eines biegebeanspruchten<br />
Trägers, die mit dem Stabilitätsversagen Biegedrillknicken identifiziert<br />
werden. Das seitliche Ausweichen des gedrückten Obergurtes bewirkt eine Verschiebung<br />
v und eine Verdrehung � der Stabachse.<br />
Bild 1.1 Mechanisches Modell für Stabilisierungskonstruktionen zur Behinderung der<br />
Verformungen v und �<br />
Die Biegedrillknickgefährdung von Stabtragwerken wird durch eine Vielzahl von<br />
Parametern beeinflußt:<br />
� Biegesteifigkeit und Torsionssteifigkeit<br />
� Lagerungsbedingungen<br />
� Planmäßige Belastung durch Querlasten, Biegemomente, Normalkräfte und<br />
Torsion<br />
� Abstand des Lastangriffspunktes von Querlasten zum Schubmittelpunkt<br />
� Geometrische und strukturelle Imperfektionen<br />
� Behinderung der Verschiebung v und der Verdrehung � durch Stabilisierungskonstruktionen<br />
1
2<br />
Der Begriff Stabilisierungskonstruktion wird für angrenzende Bauteile verwendet,<br />
welche die Verformungen v und � eines biegedrillknickgefährdeten Trägers behindern.<br />
Der Nachweis ausreichender Tragsicherheit für das Gesamtsystem aus stabilisiertem<br />
Träger und <strong>stabilisierender</strong> Konstruktion erfolgt in der Regel durch eine<br />
getrennte Berechnung der beiden Teilsysteme. Die aussteifende Wirkung der Stabilisierungskonstruktion<br />
kann bei der Berechnung des stabilisierten Trägers durch den<br />
Ansatz von Schubfeldsteifigkeiten S*, Streckenwegfedern cy, Einzelwegfedern Cy,<br />
Streckendrehfedern c� oder Einzeldrehfedern C� gemäß Bild 1.1 berücksichtigt<br />
werden.<br />
Bild 1.2 Beispiele für Stabilisierungskonstruktionen<br />
Bild 1.2 zeigt vier Beispiele für Stabilisierungskonstruktionen. Die Stahlbetonscheibe<br />
gemäß Bild 1.2a wirkt aufgrund ihrer sehr großen Steifigkeit in Scheibenebene als<br />
unverschiebliche seitliche Halterung der Stahlträger am Obergurt. Zusätzlich ergibt<br />
sich durch die Biegesteifigkeit der Stahlbetonscheibe als Platte eine kontinuierliche<br />
Drehbettung c� mit großer Steifigkeit.<br />
Das in Bild 1.2b dargestellte Stahltrapezprofil stützt als Schubfeld mit Schubsteifigkeit<br />
S* kontinuierlich den Obergurt der biegedrillknickgefährdeten Träger und<br />
wirkt gleichzeitig als Drehbettung c� mit geringer Steifigkeit, welche durch die<br />
lokalen Verformungen des Stahltrapezprofiles <strong>im</strong> Bereich der Verbindungsmittel<br />
begrenzt wird.
Bild 1.2c zeigt gestapelte Trägerlagen von Haupt- und Nebenträgern, die am Stabende<br />
horizontal unverschieblich gelagert sind. Vernachlässigt man Normalkraftverformungen<br />
der Nebenträger, dann stellen sie unverschiebliche diskrete seitliche<br />
Stützungen am Obergurt der Hauptträger dar. Durch die Biegesteifigkeit der<br />
Nebenträger ergibt sich zusätzlich eine Behinderung der Torsionsverdrehung der<br />
Hauptträger in Form von Einzeldrehfedern C�.<br />
Der in Bild 1.2d dargestellte Verband wird als horizontal liegender Fachwerkträger<br />
durch die Obergurte der stabilisierten Träger und zusätzliche Fachwerkstäbe in Form<br />
von Druckpfosten und Zugdiagonalen gebildet. Durch die Steifigkeit des Fachwerkträgers<br />
in der Verbandsebene wird die seitliche Verschiebung der stabilisierten Träger<br />
in den diskreten Knotenpunkten des Verbandes elastisch behindert. Die aussteifende<br />
Wirkung eines Verbandes ist kompliziert und kann weder durch ein kontinuierliches<br />
Schubfeld noch durch diskrete Einzelwegfedern Cy als statisches Modell richtig<br />
beschrieben werden. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird deshalb die Eignung<br />
verschiedener Modellannahmen für die Abbildung aussteifender Verbände untersucht.<br />
Um die aussteifende Wirkung einer Stabilisierungskonstruktion für den Tragsicherheitsnachweis<br />
der stabilisierten Bauteile in Rechnung stellen zu können, ist es<br />
erforderlich, eine sichere Aufnahme der auftretenden Stabilisierungslasten durch die<br />
stabilisierende Konstruktion nachzuweisen. Unter dem Begriff Stabilisierungslasten<br />
werden die Kräfte verstanden, die von der Stabilisierungskonstruktion auf den<br />
biegedrillknickgefährdeten Träger übertragen werden. Sie wirken auf die stabilisierende<br />
Konstruktion belastend und auf den Träger stützend.<br />
Stabilisierungslast<br />
Stabilisierungskonstruktion<br />
mit Biegesteifigkeit EI*<br />
Stabilisierter Trägergurt<br />
mit Biegesteifigkeit EIz = 0<br />
Vorkrümmung<br />
Bild 1.3 Druckstabmodell zur Berechnung von Stabilisierungslasten nach Gerold [27]<br />
3
4<br />
Die Berechnung von Stabilisierungslasten zur Bemessung von stabilisierenden<br />
<strong>Konstruktionen</strong> erfolgt in der Baupraxis fast ausschließlich mit Näherungsverfahren,<br />
welche den Druckgurt von biegedrillknickgefährdeten Trägern isoliert vom restlichen<br />
Querschnitt als kontinuierlich gestützten Druckstab mit konstanter Normalkraft<br />
behandeln. Bild 1.3 zeigt das statische Modell zur Berechnung von Stabilisierungslasten<br />
nach Gerold [27], welches diese Vorgehensweise veranschaulicht.<br />
Durch die Vereinfachung des tatsächlich vorhandenen räumlichen Biegetorsionsproblems<br />
auf das Druckstabmodell gemäß Bild 1.3 werden eine Vielzahl von<br />
Einflußparametern vernachlässigt:<br />
� Torsionssteifigkeit des stabilisierten Trägers<br />
� Drehbettung des Trägers durch angrenzende Bauteile<br />
� Verlauf des Biegemoments My (x)<br />
� Verlauf und Größe der Querkraft Vz (x)<br />
� Angriffspunkt <strong>im</strong> Querschnitt und Größe von Querlasten qz<br />
� Exzentrizität zwischen einer <strong>im</strong> Schwerpunkt wirkenden Normalkraft N und der<br />
Ebene der seitlichen Stützung in Höhe des Trägergurtes<br />
� Verformungen v und � bei seitlicher Stützung in diskreten Punkten<br />
Bei Trägern mit seitlicher Stützung am Obergurt und Belastung durch negative<br />
Biegemomente ist der Zuggurt und nicht der Druckgurt seitlich gehalten. In diesen<br />
Fällen kann das Druckstabmodell offensichtlich nicht zu richtigen Ergebnissen führen.<br />
In mehreren Veröffentlichungen, die sich mit dem Nachweis ausgesteifter biegedrillknickgefährdeter<br />
Träger befassen, wird festgestellt, daß ein Wissensdefizit bzgl. der<br />
<strong>Beanspruchung</strong> von Stabilisierungskonstruktionen für biegebeanspruchte Bauteile<br />
besteht. Stellvertretend seien hier Wang und Nethercot [105] zitiert:<br />
„The problem of bracing effect is by no means well understood, especially the<br />
determination of bracing strength requirements for design. In the field of<br />
multiple bracing, very little work has been done. Therefore, there is a gap between<br />
the understanding of the action of bracing and the use of bracing in<br />
practice.”<br />
Die Zielsetzung der vorliegenden Arbeit leitet sich aus dem sehr beschränkten Wissen<br />
über das Tragverhalten von seitlich durch Verbände in diskreten Punkten gestützten<br />
Trägern und aus dem Fehlen eines einfachen Modells bzw. Berechnungsverfahrens<br />
für die Ermittlung der be<strong>im</strong> räumlichen Biegetorsionsproblem auftretenden<br />
Stabilisierungslasten ab. Im Einzelnen können drei Ziele formuliert werden:
� Entwicklung eines Ingenieurmodells zur anschaulichen Beschreibung und<br />
Berechnung der Stabilisierungslasten be<strong>im</strong> Biegetorsionsproblem nach Theorie II.<br />
Ordnung mit Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion<br />
� Untersuchung der Einflußparameter für Stabilisierungslasten be<strong>im</strong> Biegetorsionsproblem,<br />
Analyse der auftretenden Effekte und Phänomene, um die Ergebnisse<br />
von Programmberechnungen interpretieren zu können, und Überprüfung des<br />
Näherungscharakters des Druckstabmodells nach Gerold <strong>im</strong> Hinblick auf eine<br />
sichere und wirtschaftliche Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen<br />
� Herleitung von Rechenverfahren oder Näherungsformeln auf der Grundlage des<br />
räumlichen Biegetorsionsproblems, mit denen die <strong>Beanspruchung</strong> sowohl von<br />
kontinuierlichen als auch von diskreten Stabilisierungskonstruktionen wie z.B.<br />
Dachverbänden <strong>im</strong> Hallenbau ermittelt werden kann<br />
1.2 Allgemeine Annahmen und Voraussetzungen<br />
Für alle Herleitungen in der vorliegenden Arbeit gelten die folgenden Annahmen und<br />
Voraussetzungen:<br />
� Das Hook’sche Gesetz gilt uneingeschränkt bei der Berechnung der Schnittgrößen.<br />
� Es werden nur doppeltsymmetrische, offene, dünnwandige Querschnitte<br />
behandelt.<br />
� Die Querschnitte sind so dünnwandig, daß die Verwölbung infolge Torsion<br />
näherungsweise durch die Verwölbung der Profilmittellinie ersetzt werden kann.<br />
� Die Belastungen behalten bei der Verformung des Stabes ihre ursprüngliche<br />
Richtung bei, d.h. sie sind richtungstreu.<br />
� Die Querschnittsform bleibt auch bei Verformung des Stabes erhalten.<br />
� Örtliche Instabilität (Beulen) ist ausgeschlossen.<br />
� Sämtliche Verformungen sind klein <strong>im</strong> Sinne der Gültigkeit der technischen<br />
Biegelehre.<br />
� Der Einfluß der Schubspannungen aus Querkraft (Bernoulli-Hypothese) und der<br />
Einfluß der sekundären Schubspannungen aus Wölbkrafttorsion (Wagner-<br />
Hypothese) auf die Verformungen des Stabes werden vernachlässigt.<br />
� Die Lagerung der Träger wird als Gabellager ausgeführt.<br />
5
6<br />
2 Stand der Forschung<br />
2.1 Nachweis ausgesteifter biegedrillknickgefährdeter Träger<br />
Die Ausführung von abstützenden Bauteilen hat wesentlichen Einfluß auf das<br />
Verformungsverhalten und die Tragfähigkeit von Stäben und Stabwerken. Die<br />
Berücksichtigung aussteifender Bauteile be<strong>im</strong> Nachweis ausreichender Tragfähigkeit<br />
von schlanken Trägern ist daher für eine wirtschaftliche Bemessung von zentraler<br />
Bedeutung. Zahlreiche Forschungsvorhaben haben sich in der Vergangenheit mit der<br />
Erfassung von Lagerungsbedingungen und Aussteifungen bei der Berechnung der<br />
Traglasten räumlich beanspruchter Stabwerke befaßt. Aus diesen Untersuchungen<br />
lassen sich Aussagen über die erforderliche Steifigkeit von Stabilisierungskonstruktionen<br />
ableiten, um ein Stabilitätsversagen des ausgesteiften Trägers zu<br />
verhindern. Im Folgenden soll ein kurzer Überblick über wichtige veröffentlichte<br />
Erkenntnisse gegeben werden.<br />
Klöppel/Unger [40] berechnen Verzweigungslasten durch numerische Integration der<br />
Differentialgleichung des Biegetorsionsproblems mit Hilfe des Runge-Kutta-<br />
Verfahrens. Sie untersuchen Zweifeldträger mit Gleichstreckenlast, Drehbettung c�<br />
und Wegfederbettung cy am Obergurt. Die Steifigkeit der Bettungen wird in einer<br />
Parameterstudie variert und führt zu folgenden qualitativen Aussagen:<br />
� Eine Drehbettung c� ist wirksamer für die Erhöhung der Verzweigungslast, als eine<br />
Wegfederbettung cy.<br />
� Die Verzweigungslast steigt <strong>im</strong> Bereich geringer Steifigkeit der Wegfederbettung cy<br />
stark an und geht dann asymptotisch gegen den Grenzwert für eine gebundene Dreh-<br />
achse.<br />
Fischer [18] ermittelt theoretisch und exper<strong>im</strong>entell die Traglasten von Trägern, die<br />
auf dem Oberflansch durch starre Bauteile wie Leichtbetonplatten oder Gitterroste<br />
belastet werden. Anders als bei einer Drehbettung c�, bei welcher der Widerstand mit<br />
wachsendem Drehwinkel � ansteigt, ist bei frei aufliegenden biegestarren lastübertragenden<br />
Bauteilen die rückstellende Wirkung durch Auswandern der Last auf die<br />
Flanschkante sofort bei einer Verdrehung voll wirksam. Die Traglast solcher Träger<br />
ist aufgrund des rückdrehenden Momentes aus der Auflast auf der Flanschkante<br />
größer als die ideale Verzweigungslast bei ortsfester Auflast in der Stegebene. Durch<br />
das Auftreten von Seitenlasten oder exzentrischen Lasteinleitungen aufgrund von<br />
Plattenfugen ergeben sich kleinere Traglasten.<br />
Lindner [46] leitet mit Hilfe des elastischen Potentials eines vorverdrehten Stabes mit<br />
Drehbettung Formeln für die Mindestdrehbettung c�, die einen Biegedrillknicknachweis<br />
überflüssig macht, und Formeln für die Anschlußmomente zwischen Träger<br />
und Drehbettung her. Es werden auch Überlegungen zur Größe der anzusetzenden<br />
Vorverdrehung angestellt.
Fischer [19] gibt ebenfalls auf der Grundlage des elastischen Potentials Gleichungen<br />
an, mit denen die Mindeststeifigkeit einer seitlichen Wegfederbettung cy berechnet<br />
werden kann, so daß 95% der idealen Verzweigungslast bei gebundener Drehachse<br />
erreicht werden.<br />
Oxford [79] berechnet die Traglasten von Durchlaufträgern, die durch ein Schubfeld<br />
am Obergurt und eine Drehbettung ausgesteift werden. Er wendet das Ritz-Verfahren<br />
mit eingliedrigen Sinus-Ansätzen für die Verformungen auf das elastische Potential an<br />
und berücksichtigt Vorverdrehungen und Vorkrümmungen als Imperfektionen. In [79]<br />
finden sich auch Überlegungen zur Verminderung der Steifigkeit der Drehbettung<br />
infolge Anschlußnachgiebigkeit bei Überschreitung des Kontaktmomentes.<br />
Lindner/Schmidt [51] untersuchen exper<strong>im</strong>entell die Traglasten von Systemen aus<br />
rechtwinklig zueinander angeordneten Trägern, wobei der lastbringende Träger auf<br />
den Obergurten der stabilitätsgefährdeten lastabnehmenden Träger aufgelagert ist. In<br />
Anlehnung an Oxford [78] werden Formeln für die Anschlußnachgiebigkeit zwischen<br />
den Trägerlagen angegeben. Die erfassten Einflüsse sind die Torsionssteifigkeit des<br />
Obergurtes und die Querbiegesteifigkeit des Steges des lastabnehmenden Trägers.<br />
Lindner/Gietzelt [52] untersuchen das Biegedrillknicken von Einfeldträgern mit<br />
angeschweißten Stirnplatten an den Trägerenden. Sie berechnen Traglasten sowohl<br />
mit einem räumlichen Stabwerksprogramm und Berücksichtigung von Wölbfedern an<br />
beiden Stabenden, als auch mit einem FEM-Programm unter Verwendung von<br />
Plattenelementen. Für baupraktisch relevante Schlankheiten wird die Stabrechnung als<br />
ausreichend genau bezeichnet. Es werden Näherungslösungen für die Berechnung des<br />
idealen Biegedrillknickmomentes unter Berücksichtigung der Wölbfedern angegeben.<br />
Die Traglaststeigerung gegenüber Trägern ohne Stirnplatten ist in allen Fällen kleiner<br />
als 20%.<br />
In [54] und [55] machen Lindner/Stickel aus theoretischen und exper<strong>im</strong>entellen<br />
Untersuchungen abgeleitete Angaben zu den Traglasten von Bühnenträgern, die durch<br />
die Schubsteifigkeit von Gitterrosten mit Klemmbefestigungen am Obergurt ausgesteift<br />
werden.<br />
In [56] und [57] stellt Lindner theoretische Überlegungen zur Stabilisierung von<br />
Trägern durch die Drehbettung aufliegender Trapezprofile an. Die Gleichungen 7 bis<br />
11 und die Tabelle 7 der DIN 18800 Teil 2 [1] gehen auf zusätzliche exper<strong>im</strong>entelle<br />
Untersuchungen zur Größe der ansetzbaren Drehbettung zurück.<br />
Lindner/Groeschel [62] erweitern die Drehbettungswerte für Trapezprofile aus DIN<br />
18800 Teil 2 [1] für die Befestigung mit Setzbolzen und die Berücksichtigung von<br />
unterschiedlich großen Auflasten. Die aus Versuchen gewonnenen Formeln für die<br />
Anschlußnachgiebigkeit sind leicht modifiziert auch in den Normkommentar [63] eingegangen.<br />
Eine völlige Vernachlässigung der Anschlußnachgiebigkeit bis zum Erreichen<br />
des Kontaktmomentes, wie in [75], [76], und [103] vorgeschlagen, wird in [63]<br />
abgelehnt.<br />
7
8<br />
Krenk/Damkilde [43] untersuchen den Einfluß der konstruktiven Ausbildung der<br />
Rahmenecken zwischen Riegel und Stielen auf die Traglast von Zweigelenkrahmen<br />
<strong>im</strong> Hallenbau. Sie erweitern die klassische Theorie für dünnwandige Träger mit drei<br />
Freiheitsgraden für Verschiebungen, drei Freiheitsgraden für Verdrehungen und<br />
einem Freiheitsgrad für die Querschnittsverwölbung um einen weiteren Freiheitsgrad<br />
für die Querschnittsdeformation infolge Stegbiegung und Gurttorsion.<br />
Heil [31] führt Traglastberechnungen mit finiten Stabelementen an Einfeld- und<br />
Durchlaufträgern mit Schubfeldern am Obergurt durch. Er leitet eine Formel für die<br />
erforderliche Schubsteifigkeit her, so daß 95% der Traglast nach Theorie I. Ordnung<br />
be<strong>im</strong> Einfeldträger erreicht werden. Für Durchlaufträger mit negativen Stützmomenten<br />
ermittelt er die zusätzlich erforderliche Drehbettung der Träger.<br />
Hanswille/Lindner/Münich [30] geben Näherungsformeln zur Berechnung des idealen<br />
Biegedrillknickmomentes von Trägern mit gebundener Drehachse und Drehbettung<br />
an. <strong>Zur</strong> Herleitung der Formeln wird die Analogie zwischen der Differentialgleichung<br />
für das Biegetorsionsproblem mit gebundener Drehachse und Drehbettung und der<br />
Differentialgleichung für den Druckstab mit elastischer Bettung verwendet.<br />
Parvizinia [80] leitet Näherungsformeln für die Berechnung des idealen Biegedrillknickmomentes<br />
von Trägern mit diskreten seitlichen Abstützungen aus genauen<br />
Berechnungen nach der FE-Methode ab. Von Reyer/Stojic [83] liegen vergleichbare<br />
Untersuchungen zum Stabilitätsversagen von diskret am Obergurt gestützten<br />
Brettschichtholzträgern vor.<br />
Die oben genannten Veröffentlichungen behandeln die Auswirkung verschiedenartiger<br />
Stabilisierungskonstruktionen auf das Verformungsverhalten, auf die unplanmäßige<br />
<strong>Beanspruchung</strong> und damit auf die Traglasten von biegedrillknickgefährdeten<br />
Trägern. Im Mittelpunkt des Interesses steht dabei die Bemessung des ausgesteiften<br />
Trägers mit der Fragestellung: „Wie wirkt sich die Steifigkeit der Stabilisierungskonstruktion<br />
auf die Traglast des stabilisierten Trägers aus?“<br />
Die Frage nach der <strong>Beanspruchung</strong> der Stabilisierungskonstruktion wird in der Regel<br />
nicht beantwortet. Ein Grund für das fehlende Wissen über Stabilisierungslasten<br />
biegedrillknickgefährdeter Träger ist sicher die Tatsache, daß in der Vergangenheit<br />
überwiegend das Verzweigungsproblem von ideal geraden Trägern untersucht wurde.<br />
Stabilisierungslasten lassen sich aber nur durch Berechnungen nach Theorie II. Ordnung<br />
am <strong>im</strong>perfekten System ermitteln. Dabei wirken sich die angesetzten geometrischen<br />
Ersatz<strong>im</strong>perfektionen des ausgesteiften Trägers auf die Ergebnisse aus,<br />
wodurch die Komplexität des Problems vergrößert wird.
2.2 Nachweis von Stabilisierungskonstruktionen<br />
2.2.1 Berechnung von Stabilisierungslasten <strong>im</strong> Holzbau<br />
Für den Ingenieurholzbau finden sich Angaben zur <strong>Beanspruchung</strong> von Stabilisierungskonstruktionen<br />
in DIN 1052 [6]. Dort wird Gleichung (2.1) für die Stabilisierungslasten<br />
von Druckgurten von Fachwerkträgern und Gleichung (2.2) für<br />
Stabilisierungslasten von Biegeträgern mit Rechteckquerschnitt angegeben. Die <strong>im</strong><br />
Holzbau als qS-Lasten bezeichneten Stabilisierungslasten werden gemäß DIN 1052<br />
vereinfachend als konstante Gleichstreckenlast zur Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen<br />
angesetzt.<br />
� Druckgurte von Fachwerkträgern<br />
m � NGurt<br />
qS =<br />
30 � L<br />
� Biegeträger mit Rechteckquerschnitt<br />
m � max M<br />
qS =<br />
350 � L � b<br />
mit<br />
m = Anzahl der auszusteifenden Druckgurte bzw. Träger<br />
NGurt = mittlere Gurtkraft<br />
max M = max<strong>im</strong>ales Biegemoment des Einzelträgers aus lotrechter Belastung<br />
L = Stützweite der Aussteifungskonstruktion<br />
b = Trägerbreite<br />
Gleichung (2.1) liegen folgende Annahmen und Einschränkungen zugrunde:<br />
(2.1)<br />
(2.2)<br />
� Konstante Normalkraft<br />
� Vorkrümmung der Druckgurte sinusförmig mit Stich v0,m = L/500<br />
� Durchbiegung der Aussteifungskonstruktion unter Gebrauchslast vorh f � L/1000<br />
Für Gleichung (2.2) gilt:<br />
� Die Biegeträger sind an den Enden, also <strong>im</strong> Abstand L, gabelgelagert.<br />
� Die Trägerform ist gerade, der Querschnitt konstant.<br />
� Der Träger ist aus Brettschichtholz.<br />
� Trägerhöhe h � 10 · b<br />
� Die Stützung durch die Aussteifungskonstruktion erfolgt am Druckgurt.<br />
� Lastangriff am oberen Querschnittsrand (Greift die Querlast weiter unten an, verkleinert<br />
sich die auftretende qS-Last).<br />
� Vorkrümmung der Biegeträger in der Ebene der Aussteifungskonstruktion<br />
sinusförmig mit Stich v0,m = L/500<br />
� Durchbiegung der Aussteifungskonstruktion unter Gebrauchslast vorh f � L/1000<br />
9
10<br />
Die Gleichungen (2.1) und (2.2) aus DIN 1052 gelten für spezielle <strong>Konstruktionen</strong> des<br />
Ingenieurholzbaus. Aufgrund der genannten Annahmen und Einschränkungen lassen<br />
sie sich nicht auf <strong>Konstruktionen</strong> des <strong>Stahlbau</strong>s anwenden.<br />
Aus Sicht des <strong>Stahlbau</strong>s sind die Forschungsarbeiten zu Stabilisierungslasten <strong>im</strong> Holzbau<br />
aber deshalb von Bedeutung, weil qualitative Ergebnisse wie die Verteilung der<br />
Stabilisierungslasten in Trägerlängsrichtung auch auf Stahlkonstruktionen übertragen<br />
werden können. Bild 2.1 aus [9] zeigt verschiedene Stabilisierungslastverläufe von<br />
Brettschichtholzträgern mit Belastung durch Gleichstreckenlast qz.<br />
Der konstante Verlauf nach DIN 1052 ist eine Vereinfachung für die Baupraxis.<br />
Brüninghoff [10] ermittelt einen sinusförmigen Verlauf aus der Lösung der Differentialgleichungen<br />
für den horizontal kontinuierlich gestützten Träger. Möhler/Müller<br />
[68], die einen Verlauf mit bereichsweise negativen Stabilisierungslasten in Auflagernähe<br />
angeben, führen neben numerischen Berechnungen auf der Grundlage des<br />
Ritz’schen Verfahrens auch exper<strong>im</strong>entelle Untersuchungen durch. Benning [9] führt<br />
Vergleichsberechnungen zu den Versuchen von Möhler/Müller mit einem FEM-<br />
Programm [8] durch und bestätigt den exper<strong>im</strong>entell ermittelten Verlauf der<br />
Stabilisierungslasten gemäß Abbildung c in Bild 2.1.<br />
Bild 2.1 Verteilung der Stabilisierungslasten von Brettschichtholzträgern mit Belastung<br />
durch Gleichstreckenlast qz [9]<br />
2.2.2 Berechnung von Stabilisierungslasten <strong>im</strong> <strong>Stahlbau</strong><br />
DIN 18800 [1] stellt als maßgebende Norm für die Bemessung von Stahlkonstruktionen<br />
keine einfachen Formeln für die Ermittlung der <strong>Beanspruchung</strong> von<br />
Stabilisierungskonstruktionen analog zu Gleichung (2.1) und (2.2) zur Verfügung.<br />
Stabilisierungslasten <strong>im</strong> <strong>Stahlbau</strong> werden überwiegend nach Gerold [27] oder nach<br />
Petersen [82] berechnet.
Das heute übliche Näherungsverfahren zur Berechnung von Stabilisierungslasten <strong>im</strong><br />
<strong>Stahlbau</strong> wurde 1963 von Gerold [27] veröffentlicht. Grundlage ist das in Bild 1.3<br />
dargestellte statische Modell, welches den Obergurt von Fachwerk- oder Vollwandbiegeträgern<br />
als seitlich kontinuierlich gestützten Druckstab mit konstanter Normalkraftverteilung<br />
interpretiert. Die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung liefert<br />
bei sinusförmiger Vorverformung einen sinusförmigen Verlauf der Stabilisierungslast<br />
qs gemäß Gleichung (2.3).<br />
2<br />
� � � x<br />
qs = � � � NGurt � v�0�<br />
� � � NGurt<br />
� v0,<br />
m � � sin<br />
(2.3)<br />
2<br />
L L<br />
mit<br />
NGurt = Druckkraft <strong>im</strong> Obergurt<br />
� = Vergrößerungsfaktor Theorie II. Ordnung<br />
L = Stützweite<br />
v� 0�<br />
= Vorkrümmung<br />
v0,m = L/500 = Stich der Vorverformung<br />
Gerold zeigt in [28], daß bei stabilisierenden Verbänden die Nachgiebigkeit der Füllstabanschlüsse<br />
infolge Schraubenschlupf für übliche Dachverbände <strong>im</strong> Stahlhallenbau<br />
durch den Stich der angegebenen geometrischen Ersatz<strong>im</strong>perfektion mit abgedeckt<br />
wird. Den Vergrößerungsfaktor � zur Berücksichtigung der Effekte aus Theorie II.<br />
Ordnung berechnet er am Modell des Druckstabes mit Gleichung (2.4).<br />
1<br />
� �<br />
(2.4)<br />
N<br />
1�<br />
mit<br />
Gurt<br />
*<br />
NKi<br />
2 * 2 2<br />
* � � EI � � EI / L<br />
N Ki � � � S<br />
2<br />
2<br />
L � � EI<br />
1�<br />
2 *<br />
L �S<br />
*<br />
*<br />
N Ki = Verzweigungslast des Verbandes als Knickstab<br />
EI = Biegesteifigkeit des Verbandes<br />
S * = Schubsteifigkeit des Verbandes<br />
EI * = Biegesteifigkeit des Verbandes unter Berücksichtigung der Schubweichheit<br />
Petersen [82] modifiziert das Verfahren von Gerold, indem er die Vorverformung<br />
parabelförmig ann<strong>im</strong>mt, woraus eine konstante Krümmung und damit eine Gleichstreckenlast<br />
als Stabilisierungslast entstehen. Die Lösung wird von ihm derart aufbereitet,<br />
daß Einzelkräfte aus Stabilisierung an diskreten Stützstellen berechnet werden<br />
können. Die Normalkraft NGurt in Gleichung (2.3) wird von Petersen parabelförmig<br />
entsprechend dem Momentenverlauf am Einfeldträger angesetzt. Daraus resultieren<br />
11
12<br />
bei seiner Lösung kleinere Stabilisierungslasten als bei Annahme einer konstanten<br />
Normalkraftverteilung. Modellvorstellung für die Berechnung des Vergrößerungsfaktors<br />
� für Theorie II. Ordnung bleibt aber auch bei ihm der gelenkig gelagerte<br />
Druckstab mit der Ersatzbiegesteifigkeit EI * .<br />
Die Tatsache, daß das Verfahren von Gerold der heutige Stand der Technik bei der<br />
Bemessung von aussteifenden Verbänden ist, manifestiert sich <strong>im</strong> aktuellen Stand der<br />
Normung. Nach Eurocode 3 [2], Abschnitt 5.2.4.4, dürfen Stabilisierungslasten als<br />
wirkungsäquivalente Gleichlasten anstelle einer Vorverformung v0 mit Stich<br />
v0,m = kr · L/500 (2.5)<br />
mit<br />
kr = Abminderungsfaktor zur Berücksichtigung der Anzahl der am Ausweichen<br />
gehinderten Bauteile<br />
angesetzt werden.<br />
Der Vergrößerungsfaktor � ist <strong>im</strong>plizit <strong>im</strong> Formelwerk des EC 3 enthalten, indem die<br />
Verformung in der Ebene des aussteifenden Systems infolge von Stabilisierungslast<br />
plus allen übrigen äußeren Lasten berechnet wird. Die Berechnung der für das Druckstabmodell<br />
benötigten Druckkraft<br />
M<br />
NGurt = (2.6)<br />
h<br />
mit<br />
M = Max<strong>im</strong>almoment des ausgesteiften Biegeträgers<br />
h = Trägerhöhe<br />
ist nach [2] ausdrücklich gestattet.<br />
Im Kommentar zu DIN 18800 [63] wird ebenfalls der Vergrößerungsfaktor � gemäß<br />
Gleichung (2.4) verwendet, um Stabilisierungslasten als Gleichlast aus einer konstanten<br />
Krümmung des Verbandes zu berechnen. Als Vorverformung ist nach [63]<br />
Abschnitt 3.7 eine Vorverdrehung �0 oder alternativ auch eine Vorkrümmung v0<br />
gemäß Bild 2.2 anzusetzen.<br />
Bild 2.2 Ersatz<strong>im</strong>perfektion zur Berechnung von Aussteifungskonstruktionen nach [63]
�<br />
v<br />
0<br />
0,<br />
m<br />
mit<br />
1<br />
� � r1<br />
� r2<br />
200<br />
L<br />
� � r1<br />
� r2<br />
400<br />
r1, r2 = Abminderungsfaktoren nach DIN 18800 [1], Teil 2, Element 205<br />
13<br />
(2.7)<br />
Schikora/Ostermeier [89] geben eine Näherungslösung für die <strong>Beanspruchung</strong><br />
<strong>stabilisierender</strong> Verbände auf der Basis zweier vereinfachter gekoppelter Differentialgleichungen<br />
für das Biegetorsionsproblem nach Theorie II. Ordnung an. Um Differentialgleichungen<br />
mit konstanten Koeffizienten für die Verformungen v und � zu<br />
erhalten, werden die seitlichen Lasten qy sinusförmig und das Biegemoment des<br />
Trägers My konstant angenommen. Die Steifigkeit des Verbandes wird als Wegfederbettung<br />
cy abgebildet. Die aus diesen Annahmen folgende Näherungslösung für<br />
die Stabilisierungslast berücksichtigt die Torsionssteifigkeit des Trägers und wurde<br />
als Gleichung (2 – 3.31) in den Kommentar zu DIN 18800 [63] aufgenommen. Diese<br />
Gleichung entspricht Gleichung (2.3) von Gerold, der Vergrößerungsfaktor � wird<br />
aber anstelle von Gleichung (2.4) mit Gleichung (2.8) berechnet, die das räumliche<br />
Tragverhalten berücksichtigt. Eigene Vergleichsberechnungen nach Biegetorsionstheorie<br />
II. Ordnung mit dem FEM-Programm BT II [77] zeigen, daß Gleichung (2.8)<br />
nur für den baupraktisch seltenen Fall mit konstantem Biegemoment My richtige<br />
Ergebnisse liefert. Diesem Umstand wird <strong>im</strong> Kommentar zu DIN 18800 [63] dadurch<br />
Rechnung getragen, daß empfohlen wird, Gleichung (2.4) für die Berechnung des<br />
Vergrößerungsfaktors � zu verwenden, wenn sich gemäß Gleichung (2.8) ein<br />
kleinerer Wert ergibt.<br />
� �<br />
N<br />
N<br />
*<br />
Ki,<br />
�<br />
Gurt<br />
�<br />
1<br />
0,<br />
534<br />
N<br />
�<br />
N<br />
Gurt<br />
*<br />
Ki<br />
mit<br />
NGurt nach Gleichung (2.6)<br />
N nach Gleichung (2.4)<br />
*<br />
Ki<br />
*<br />
Ki,<br />
N � = (GIT + EI� ·<br />
�<br />
L<br />
2<br />
2<br />
) / h<br />
2<br />
(2.8)<br />
(2.9)<br />
Friemann/Stroetmann [23] berechnen die Stabilisierungslasten von kontinuierlich<br />
seitlich gestützten Biegeträgern mit veränderlichem Biegemomentenverlauf mit Hilfe<br />
eines speziell für diese Untersuchungen entwickelten FEM-Programms [95]. Auf<br />
diese Weise erfolgt erstmals eine systematische Untersuchung der Einflußfaktoren für<br />
die Stabilisierungslasten des Biegetorsionsproblems.<br />
Zusätzlich zu den Parameterstudien nach der FE-Methode wird in [23] eine Näherungslösung<br />
zur Berechnung von Stabilisierungslasten auf der Grundlage der
14<br />
Energiemethode vorgestellt. Dieses Näherungsverfahren erfordert die Lösung eines<br />
linearen Gleichungssystems mit bis zu 10 Unbekannten, weshalb es hier als Matrizenverfahren<br />
bezeichnet wird. Das Matrizenverfahren für Träger mit kontinuierlicher<br />
seitlicher Stützung nach Friemann/Stroetmann [23] wird <strong>im</strong> Rahmen dieser Arbeit<br />
modifiziert und erweitert. Eine ausführliche Erläuterung des Verfahrens erfolgt<br />
deshalb in Abschnitt 4 an gesonderter Stelle.<br />
Kritische Beurteilung<br />
Die Näherungsansätze [2], [63], [27], [82] für die Stabilisierungslast qs, die alle auf<br />
Gleichung (2.10) zurückgehen, unterscheiden sich <strong>im</strong> Wesentlichen durch die<br />
angenommene Form der seitlichen Verformung v (Sinus oder Parabel) und den Stich<br />
der Vorverformung v0,m. Sie liefern damit qualitativ gleichartige Ergebnisse. Da die<br />
Berechnung von Stabilisierungslasten in der Baupraxis überwiegend mit diesen Näherungsansätzen<br />
erfolgt, werden sie nachfolgend als „Standardverfahren“ bezeichnet.<br />
Modellvorstellung der Standardverfahren ist für alle genannten Varianten <strong>im</strong>mer der<br />
Druckstab. Die Stabilisierungslasten berechnen sich <strong>im</strong>mer gemäß Gleichung (2.10)<br />
aus dem Produkt von Normalkraft und Stabkrümmung in Richtung der seitlichen<br />
Halterung.<br />
qs = - NGurt � v� �<br />
(2.10)<br />
Bei der Berechnung der Stabilisierungslasten von Biegeträgern mit veränderlichem<br />
Momentenverlauf ergeben sich aber drei wesentliche Abweichungen zu den<br />
Annahmen der Standardverfahren.<br />
� Die Normalkraft <strong>im</strong> Druckgurt des Trägers nach Gleichung (2.6) ist nicht konstant<br />
sondern veränderlich.<br />
� Bei Trägern mit Obergurthalterung und negativen Stützmomenten ist <strong>im</strong><br />
Stützbereich der Zuggurt und nicht der Druckgurt seitlich gestützt.<br />
� Die zu stabilisierenden Träger weisen nicht nur Verformungen v auf (ebenes<br />
Problem), sondern auch Verdrehungen � (räumliches Problem).<br />
Die vereinfachte Differentialgleichung zur Beschreibung der Stabilisierungslasten<br />
infolge einer veränderlichen Normalkraft NGurt lautet für das Druckstabmodell<br />
� �(<br />
N � v�)<br />
� � � N � v��<br />
� N�<br />
� v�<br />
(2.11)<br />
qs Gurt<br />
Gurt Gurt<br />
Gleichung (2.10) gilt als Sonderfall von Gleichung (2.11) nur für eine konstante<br />
Normalkraft. Die Auswirkung einer veränderlichen Druckkraft auf den qualitativen<br />
und quantitativen Verlauf der Stabilisierungskräfte soll anhand der Normalkraftverläufe<br />
in Bild 2.3 gezeigt werden.<br />
Mit Gleichung (2.12) als Näherung für die Verformungsfigur<br />
� � x<br />
v(x) = vm · sin L<br />
(2.12)
folgt für die Stabilisierungslast gemäß Gleichung (2.11):<br />
a)<br />
� �x<br />
( x)<br />
� NGurt,<br />
m � vm<br />
� � sin<br />
(2.13a)<br />
L L<br />
qs 2<br />
� � 2�x<br />
�<br />
b) q ( x)<br />
� NGurt,<br />
m � vm<br />
� ��<br />
� cos<br />
2<br />
�<br />
L � L �<br />
2<br />
2<br />
s (2.13b)<br />
� � �x<br />
2�x<br />
�<br />
c) q ( x)<br />
� NGurt,<br />
m � vm<br />
� � ��<br />
sin � 2 � cos<br />
2<br />
�<br />
L � L L �<br />
2<br />
s (2.13c)<br />
In Bild 2.3 sind die Verläufe der Stabilisierungslasten für drei Basisfälle der Normalkraftverteilung<br />
a bis c dargestellt. Es zeigt sich, daß für veränderliche Normalkraftverläufe<br />
bereichsweise Stabilisierungskräfte mit umgekehrter Wirkungsrichtung<br />
auftreten. Die Gleichung (2.13b) für den Basisfall b wird in [72] anhand von FEM-<br />
Berechnungen als Näherungslösung für qs bestätigt. Grundlage der FEM-Berechnungen<br />
ist als statisches System der durch einen Verband gestützte Druckstab mit<br />
sinusförmiger Normalkraftverteilung.<br />
Bild 2.3 Stabilisierungslasten für drei Basisfälle der Normalkraftverteilung<br />
15
16<br />
Petersen [82] macht den Vorschlag, bei durch Gleichstreckenlast erzeugter parabelförmiger<br />
Normalkraftverteilung <strong>im</strong> Obergurt den Vergrößerungsfaktor � anstelle von<br />
Gleichung (2.4) mit Gleichung (2.14) zu berechnen.<br />
1<br />
� �<br />
(2.14)<br />
N<br />
1�<br />
2 �<br />
Gurt<br />
*<br />
NKi<br />
Der Faktor 2 beruht dabei auf dem Knicklängenbeiwert � 2 = 0,695 2 � 0,5 des durch<br />
einen parabelförmigen Normalkraftverlauf belasteten Druckstabes. Die Berechnung<br />
der Stabilisierungslast gemäß [82] mit Gleichung (2.10) anstelle von Gleichung (2.11)<br />
legt aber eine völlig unzutreffende Verteilung der Stabilisierungslast in Trägerlängsrichtung<br />
zugrunde, was aus Bild 2.3 ersichtlich ist.<br />
Die als Standardverfahren bezeichneten Ansätze zur näherungsweisen Berechnung<br />
von Stabilisierungslasten weisen eine weitere Abweichung von der Realität auf, wenn<br />
der zu stabilisierende Träger durch einen seitlichen Verband ausgesteift wird. Da der<br />
Träger durch den Verband nur in diskreten Knotenpunkten seitlich gestützt wird, stellt<br />
sich die Frage, welcher Fehler in Bezug auf die auftretenden Stabilisierungslasten<br />
gemacht wird, wenn vereinfachend eine kontinuierliche Stützung zugrunde gelegt<br />
wird. In der deutschsprachigen Literatur finden sich kaum Angaben zu<br />
Stabilisierungslasten bei diskreter Stützung, es liegen aber aus dem angelsächsischen<br />
Sprachraum eine Reihe von Veröffentlichungen vor.<br />
2.2.3 Stabilisierungslasten von Trägern mit diskreten seitlichen<br />
Abstützungen<br />
Winter [108] veröffentlicht 1960 ein einfaches Modell zur Berechnung der erforderlichen<br />
Steifigkeit und der auftretenden Stabilisierungslasten von diskreten Abstützungen<br />
zur Aussteifung von Stützen und Trägern. Als Ziel dieser Veröffentlichung<br />
formuliert er: „To devise a s<strong>im</strong>ple method which permits:<br />
1) To calculate a safe lower l<strong>im</strong>it (rather than an exact value) of the necessary<br />
rigidity of the bracing such that the strength of the braced member will attain its<br />
max<strong>im</strong>um possible value, and<br />
2) For a bracing of rigidity equal to or larger than so calculated, to determine a safe,<br />
lower l<strong>im</strong>it (rather than an exact value) of the strength required of such bracing.”<br />
Von Winter stammt der Begriff des “Full Bracing”, womit diejenige Federsteifigkeit<br />
der Abstützung einer Stütze oder eines Trägers gemeint ist, für die ein mehrwelliges<br />
Ausweichen mit Nulldurchgang der Knickfigur an den Stützstellen auftritt. Die<br />
Stützfeder wirkt damit wie ein festes Lager.<br />
Die Mehrzahl der <strong>im</strong> englischsprachigen Raum veröffentlichten Untersuchungen, die<br />
sich mit Stabilisierungslasten beschäftigen, nehmen Bezug auf das von Winter
entwickelte Berechnungsmodell und bedienen sich ebenfalls des Begriffs des „Full<br />
Bracing“. Seiner Bedeutung entsprechend wird das Winter-Modell nachfolgend kurz<br />
erläutert.<br />
Der Zusammenhang zwischen Federsteifigkeit und Verzweigungslast für einen ideal<br />
geraden Druckstab mit Stützung durch eine seitliche Einzelfeder in Feldmitte ist in<br />
Bild 2.4 dargestellt. Die Knickfigur ist zweiwellig mit Nulldurchgang an der Feder,<br />
wenn die Federsteifigkeit mindestens<br />
C = 2 · Pe/L (2.15)<br />
beträgt, mit L als dem Abstand der Stützstellen und<br />
Pe = � 2 · EI/L 2 (2.16)<br />
als der Verzweigungslast für Knicken zwischen den Stützstellen. Winter bezeichnet<br />
diese Federsteifigkeit als „ideale Federsteifigkeit“ Cideal, welche für die Stütze „Full<br />
Bracing“ bewirkt, also in Bezug auf die Verzweigungslast genauso effektiv ist wie ein<br />
festes Lager. Bei Federsteifigkeiten kleiner als Cideal tritt eine Knickfigur mit seitlicher<br />
Verschiebung <strong>im</strong> Bereich der Stützfeder auf. Die Verzweigungslast PKi wächst<br />
annähernd linear mit steigender Federsteifigkeit C, bis „Full Bracing“ erreicht ist. Die<br />
genaue Beziehung zwischen C und PKi für 0 � C � Cideal ist eine trigonometrische<br />
Funktion, die aber sehr gut durch eine Gerade, wie in Bild 2.4 dargestellt, angenähert<br />
werden kann.<br />
Bild 2.4 Zusammenhang zwischen Federsteifigkeit und Verzweigungslast<br />
17
18<br />
Bild 2.5 Winter-Modell [108]<br />
Um die „ideale Federsteifigkeit“ berechnen zu können, entwickelte Winter das in Bild<br />
2.5 dargestellte einfache Modell mit fiktivem Gelenk am Angriffspunkt der Stützfeder.<br />
Die Annahme des Biegemomentengelenkes wird gerechtfertigt durch den<br />
Wendepunkt in der Knickbiegelinie für Knicken zwischen äquidistanten Stützstellen.<br />
Verrücken des mit einer Druckkraft P belasteten Stabes um ein Maß w, Freischneiden<br />
<strong>im</strong> Bereich des fiktiven Gelenkes und Aufstellen des Momentengleichgewichtes<br />
ergibt<br />
P · w = C · w · L/2 (2.17)<br />
Für P = Pe <strong>im</strong> Falle von “Full Bracing” ergibt sich die ideale Steifigkeit<br />
C = Cideal = 2 · Pe/L (2.18),<br />
was mit Bild 2.4 übereinst<strong>im</strong>mt. Für mehrere äquidistante Stützfedern kann die<br />
„ideale Federsteifigkeit“ nach dem gleichen Prinzip berechnet werden. Es ergeben<br />
sich die Zahlenwerte der Tabelle 2.1.<br />
Tabelle 2.1 „Ideale Federsteifigkeit“ für Druckstäbe mit äquidistanten Stützfedern<br />
Anzahl Stützfedern n 1 2 3 4 �<br />
Cideal · L/Pe 2 3 3,41 3,63 4<br />
L = Abstand der Stützfedern<br />
Pe = PKi für Knicken zwischen den Stützstellen = � 2 · EI/L 2<br />
Das Winter-Modell liefert auf diese Art und Weise die exakte Lösung für die „ideale<br />
Federsteifigkeit“ für ebene Druckstäbe mit einer beliebigen Anzahl äquidistanter<br />
Stützfedern.<br />
Ergänzend zu seinen theoretischen Überlegungen wurden von Winter Traglastversuche<br />
an Stützen mit unterschiedlich steifen diskreten Zwischenabstützungen durchgeführt.<br />
Es wurde festgestellt, daß die Aussteifung von Stützen mit Federn der<br />
Steifigkeit C = Cideal nicht ausreichend ist, um ein Ausknicken zwischen den Stütz-
stellen sicherzustellen. Dieser Umstand ist auf die strukturellen und geometrischen<br />
Imperfektionen der <strong>im</strong> Traglastversuch getesteten Stützen zurückzuführen. Das<br />
Modell in Bild 2.5 wird deshalb auf Druckstäbe mit geometrischer Ersatz<strong>im</strong>perfektion<br />
w0 in Höhe der Stützstellen erweitert.<br />
Ist in Bild 2.5 zusätzlich zur Verformung w eine Vorverformung w0 in Höhe der<br />
Stützfeder vorhanden, so ergibt das Aufstellen des Momentengleichgewichts um das<br />
fiktive Gelenk folgende Gleichungen<br />
C � w<br />
P ·(w0 + w) = � L<br />
(2.19)<br />
2<br />
� P � w �<br />
Cideal = � �1<br />
� �<br />
L � w �<br />
2 0 (2.20)<br />
Gleichung (2.20) ist zu entnehmen, daß die “ideale Federsteifigkeit” für Ausknicken<br />
zwischen den Stützstellen bei <strong>im</strong>perfekten Druckstäben größer ist als bei ideal<br />
geraden Druckstäben, welche den Angaben in Tabelle 2.1 zugrunde liegen. Durch<br />
Einführen der Gesamtverformung<br />
wges = w0 + w (2.21)<br />
in Gleichung (2.19) erhält man<br />
w<br />
ges<br />
w0<br />
� (2.22)<br />
2 � P<br />
1�<br />
C � L<br />
und für C = Cideal = 2 · Pe/L<br />
wges =<br />
w0<br />
P<br />
1�<br />
P<br />
e<br />
19<br />
(2.23)<br />
Die Stabilisierungskraft in der Stützfeder berechnet sich mit Gl. (2.19) und Gl. (2.22)<br />
zu<br />
F<br />
c<br />
2 � P<br />
2 � P w0<br />
� C � w � � ( w0<br />
� w)<br />
� �<br />
(2.24)<br />
L<br />
L 2 � P<br />
1�<br />
C � L<br />
und für C = Cideal = 2 · Pe/L zu<br />
F<br />
2 � P<br />
L<br />
w<br />
P<br />
1�<br />
P<br />
0<br />
c � �<br />
(2.25)<br />
e<br />
Aus Gleichung (2.24) folgt, daß die Stabilisierungskraft direkt proportional zur<br />
Amplitude der Vorverformung w0 ist. Die Gleichungen (2.22) und (2.24) sind in Bild
20<br />
2.6 graphisch dargestellt, um den Einfluß der vorhandenen Federsteifigkeit der<br />
Stützfeder auf die Verformungen und Stabilisierungskräfte zu veranschaulichen. Entsprechend<br />
Gl. (2.23) und Gl. (2.25) wachsen die Verformungen und die Stabilisierungskraft<br />
ins Unendliche, wenn die Stütze nur mit C = Cideal ausgesteift wird und<br />
die Druckkraft P sich der Verzweigungslast Pe nähert. Es genügt aber bereits eine<br />
Federsteifigkeit C = 2 · Cideal, um die auftretenden Stabilisierungskräfte auf ein<br />
endliches Maß zu reduzieren. Bild 2.6 ist zu entnehmen, daß sich für eine Vorverformung<br />
w0 = L/500 und C = 2 · Cideal eine Stabilisierungskraft von 0,8 % der<br />
Druckkraft P ergibt, wenn P = Pe die Verzweigungslast der ausgesteiften Stütze ist.<br />
Durch ausreichend steife Abstützungen können demnach die auftretenden Stabilisierungslasten<br />
klein gehalten werden.<br />
wges = w0 + w<br />
w0 = Vorverformung<br />
FC = Stabilisierungskraft in der Stützfeder<br />
P = Druckkraft<br />
Pe = PKi für Knicken zwischen den Stützstellen<br />
(Knicklänge = Abstand der Stützstellen)<br />
Bild 2.6 Zusammenhang zwischen Belastungsintensität, Federsteifigkeit, Verformung<br />
und Stabilisierungskraft bei vorverformtem Druckstab<br />
Die zentrale Erkenntnis aus Winters theoretischen Überlegungen ist, daß ausreichend<br />
steife Abstützungen nur sehr geringe Stabilisierungslasten erhalten, wohingegen die
<strong>Beanspruchung</strong> von nicht ausreichend steifen Abstützungen mit abnehmender Steifigkeit<br />
stark zun<strong>im</strong>mt. Das Verhältnis von vorhandener Steifigkeit zu erforderlicher<br />
Tragfähigkeit von Stabilisierungskonstruktionen ist also umgekehrt proportional.<br />
Diese theoretische Erkenntnis wurde von Winter auch exper<strong>im</strong>entell durch Versuche<br />
an Stützen mit diskreten Halterungen bestätigt. Die <strong>im</strong> Traglastzustand der Stützen<br />
gemessenen Stabilisierungslasten waren bei den Stützen mit steifen Halterungen<br />
deutlich kleiner als bei den Stützen mit weniger steifen Halterungen. Dies ist umso<br />
bemerkenswerter, weil die Belastung der Stützen mit steifen Halterungen aufgrund<br />
der größeren Traglasten <strong>im</strong> Versuch deutlich größer war als die Belastung der<br />
entsprechenden Stützen mit weniger steifen Halterungen.<br />
Der Titel von Winters Veröffentlichung [108]: „Lateral Bracing of Columns and<br />
Beams“ ist streng genommen irreführend, da ausschließlich Druckstäbe behandelt<br />
werden. Um jedoch auch die Stabilisierungskonstruktionen von biegebeanspruchten<br />
Trägern d<strong>im</strong>ensionieren zu können, schlägt Winter vor, den Druckgurt von Biegeträgern<br />
ersatzweise als ebenen Druckstab aufzufassen. Infolge der Vernachlässigung<br />
der Torsionssteifigkeit und der Kopplung des Druckgurtes mit dem Zuggurt wird<br />
vermutet, daß diese Näherung auf der „sicheren Seite“ liegt. Sie entspricht der<br />
Modellvorstellung gemäß Bild 1.3, auf welcher auch die Standardverfahren nach<br />
Gerold [27] oder Petersen [82] beruhen.<br />
Für einfache ausgesuchte Systeme und Belastungen liegen auch Untersuchungen auf<br />
der Basis des räumlichen Biegetorsionsproblems vor.<br />
Mutton/Trahair [70] und Tong/Chen [100] behandeln Einfeldträger mit konstantem<br />
Biegemoment My. Die Träger können eine exzentrische Einzelwegfeder Cy und eine<br />
Einzeldrehfeder C� in Feldmitte aufweisen. Es werden geschlossene Lösungen für den<br />
Zusammenhang zwischen den Federsteifigkeiten der Stützfedern und den Verzweigungslasten<br />
für das Biegedrillknicken des ausgesteiften Trägers hergeleitet. In<br />
Anlehnung an Winter werden auch Formeln zur Berechnung der Federsteifigkeiten für<br />
„Full Bracing“ angegeben.<br />
In einer weiteren Veröffentlichung werden von Tong/Chen [101] die <strong>im</strong> vorherigen<br />
Absatz genannten Ergebnisse auch für Reihen paralleler Träger angegeben, die in<br />
Feldmitte durch biegesteife Querträger gekoppelt sind. Die Belastung der Träger ist<br />
auch hier auf konstante Biegemomente My beschränkt, um geschlossene formelmäßige<br />
Lösungen herleiten zu können.<br />
Helwig/Yura/Frank [32] untersuchen Systeme aus zwei parallelen I-Trägern unter<br />
Gleichstreckenlast, die mit den <strong>im</strong> Brückenbau üblichen Querverbänden oder Querrahmen<br />
miteinander gekoppelt sind. Sie führen FEM-Berechnungen mit dem Programm<br />
ANSYS durch, wobei die zwei parallelen Längsträger und die biegesteifen<br />
Querträger der Querrahmen mit 8-Knoten-Schalenelementen und die Querverbände<br />
mit Fachwerkstabelementen modelliert werden. Im Rahmen einer Parameterstudie<br />
werden drei verschiedene Vorverformungsfiguren und drei verschiedene Vorverformungsordinaten<br />
der Obergurte der stabilisierten Längsträger angesetzt.<br />
21
22<br />
Die Ergebnisse der geometrisch nichtlinearen Berechnung zeigen eine große Abhängigkeit<br />
der auftretenden Stabilisierungslasten von den angesetzten geometrischen<br />
Ersatz<strong>im</strong>perfektionen. Ein Beispiel ist in Bild 2.7 dargestellt. Größe und Verteilung<br />
der Stabilisierungslasten in Trägerlängsrichtung werden stark durch die Vorverformungsfigur<br />
beeinflußt.<br />
Bild 2.7 Stabilisierungskräfte von Einfeldträgern unter Gleichstreckenlast für<br />
verschiedene Imperfektionsverläufe [32]
Bezüglich der Vorverformungsordinaten bei gegebener Vorverformungsfigur wird in<br />
[32] festgestellt, daß die Stabilisierungslasten porportional zur Größe der angesetzten<br />
geometrischen Ersatz<strong>im</strong>perfektionen sind. Dieses Ergebnis bedarf eigentlich keiner<br />
Parameterstudie. Es ist leicht einsehbar, wenn man das in der FEM-Berechnung zu<br />
lösende Gleichungssystem betrachtet.<br />
Ke · V + Kg · (V + V0) = P (2.26)<br />
Gleichung (2.26) läßt sich auch als Gleichung (2.27) schreiben:<br />
(Ke + Kg) · V = P – Kg · V0<br />
mit<br />
Ke = Steifigkeitsmatrix nach Theorie I. Ordnung<br />
Kg = Geometrische Steifigkeitsmatrix<br />
V = Lösungsvektor der gesuchten Systemverformungen<br />
V0 = Vektor der Vorverformungen<br />
P = Vektor der äußeren Lasten<br />
23<br />
(2.27)<br />
Das Produkt von geometrischer Steifigkeitsmatrix und Vorverformungsvektor kann<br />
auf der rechten Seite von Gleichung (2.27) als ein zusätzlicher Lastvektor interpretiert<br />
werden. Sind wie <strong>im</strong> vorliegenden Fall keine äußeren Lasten P in den Freiheitsgraden<br />
senkrecht zur Haupttragrichtung vorhanden, so ergibt sich für diese Freiheitsgrade ein<br />
linearer Zusammenhang zwischen V0 und V. Da die senkrecht zur Haupttragrichtung<br />
vorhandenen Stabilisierungskonstruktionen ebenfalls die elastischen Verformungen V<br />
erfahren, ergibt sich ein linearer Zusammenhang auch zwischen der Größe der<br />
Vorverformung und der Größe der Stabilisierungslasten als Produkt der<br />
Verformungen V mit den korrespondierenden Steifigkeiten der Stabilisierungskonstruktionen.<br />
Von Wang/Nethercot [105] existiert eine Studie zur erforderlichen Steifigkeit und zur<br />
erforderlichen Tragfähigkeit von Aussteifungen für Träger mit Einzellast in Feldmitte.<br />
Sie führen Berechnungen nach der Fließzonentheorie unter Ansatz von Eigenspannungen<br />
und geometrischen Imperfektionen mit einem FEM-Stabwerksprogramm<br />
durch. <strong>Zur</strong> Anwendung kommen dabei räumliche Stabelemente mit 7 Freiheitsgraden<br />
zur Erfassung der Wölbkrafttorsion und Federelemente Cx, Cy, Cz, C�, C�y, C�z, C�<br />
zur Aussteifung in Richtung aller möglichen Freiheitsgrade. Eine Eichung des<br />
benutzten Programms durch Nachrechnen der Traglasten aus exper<strong>im</strong>entellen Versuchen<br />
an Trägern mit unterschiedlichen traglaststeigernden Aussteifungen [104],<br />
[109] ergab gute Übereinst<strong>im</strong>mungen. Die anschließend durchgeführte Parameterstudie<br />
zeigt eine Abhängigkeit der Stabilisierungslasten von<br />
� Art und Größe der Belastung des ausgesteiften Trägers,<br />
� Art und Größe der Vorverformung des ausgesteiften Trägers,<br />
� Art und Steifigkeit der Stützfedern,<br />
� Anzahl und Angriffspunkt der Stützfedern in Trägerlängsrichtung und <strong>im</strong> Querschnitt.
24<br />
Bestätigt wird durch die Studie der Ansatz von Winter bzgl. der Notwendigkeit,<br />
mindestens die zweifache „ideale Federsteifigkeit“ des ebenen Winter-Modells gemäß<br />
Tabelle 2.1 vorzusehen, um die Federkräfte infolge Stabilisierung zu reduzieren,<br />
vergleiche dazu auch Bild 2.6. Alle berechneten Kräfte in den Stützfedern des<br />
Druckgurtes betragen weniger als 1 % der Gurtnormalkraft, wenn die empfohlene<br />
Federsteifigkeit vorhanden ist. Die Autoren stellen fest, daß die Stabilisierungslasten<br />
generell kleiner sind und geringere Schwankungen zeigen, wenn die Versagensfigur<br />
des ausgesteiften Trägers durch die Aussteifungen derart beeinflußt wird, daß sich<br />
eine mehrwellige Form mit Ausweichen zwischen den Stützstellen ergibt.<br />
Die Angaben zu Stabilisierungslasten in der britischen <strong>Stahlbau</strong>norm BS 5950 [5]<br />
gehen <strong>im</strong> Wesentlichen auf die oben genannte Studie von Wang und Nethercot [105]<br />
zurück. BS 5950, Teil 1 (1985) fordert, daß seitliche Abstützungen „steif“ sein<br />
müssen. In diesem Fall kann die Stabilisierungskraft in der Abstützung mit 1 % der<br />
Druckkraft <strong>im</strong> stabilisierten Träger angenommen werden. Es wird jedoch nicht angegeben,<br />
wann seitliche Abstützungen als „steif“ angesehen werden können. Diese 1%<br />
Faustregel entspricht der Regelung in der alten nationalen <strong>Stahlbau</strong>norm für Stabilitätsfälle<br />
DIN 4114 [4], die zur Bemessung von Einzelabstützungen von Druckstäben<br />
1/100 der Druckkraft <strong>im</strong> stabilisierten Bauteil vorschreibt.<br />
Der Tatsache, daß eine Interaktion zwischen der Steifigkeit seitlicher Abstüzungen<br />
und den auftretenden Stabilisierungslasten besteht, wurde in der aktuellen Ausgabe<br />
von BS 5950, Teil 1 (1990) Rechnung getragen, indem die anzusetzenden Stabilisierungslasten<br />
vergrößert wurden. In einer Erläuterung zur Norm von Nethercot und<br />
Lawson [73] heißt es dazu:<br />
„Although this still provides no guidance on required bracing stiffness – due<br />
principally to the difficulty of devising a s<strong>im</strong>ple, safe, comprehensive yet<br />
economic rule – the 1990 Code specifies somewhat larger bracing forces than in<br />
the 1985 Code which are satisfactory for all normal forms of construction. By<br />
<strong>im</strong>plication they are conservative for “stiff” restraints.”<br />
Die anzusetzenden Stabilisierungslasten für seitliche Abstützungen werden in BS<br />
5950 (1990) wie folgt als Prozentsatz der max<strong>im</strong>alen Druckkraft <strong>im</strong> stabilisierten<br />
Träger bzw. als Prozentsatz der max<strong>im</strong>alen Gurtkraft <strong>im</strong> Druckgurt von Biegeträgern<br />
angegeben:<br />
� Eine diskrete Abstützung: 2,5 %<br />
� Mehrere diskrete Abstützungen:<br />
2,5 % als Summe über alle Abstützungen<br />
1 % für jede einzelne Abstützung<br />
� Kontinuierliche Abstützung:<br />
2,5 % verteilt als Gleichlast über die Trägerlänge<br />
� Mehrere parallele Träger stützen sich gegen eine gemeinsame Aussteifung ab:<br />
Die Stabilisierungslast für die Aussteifung ist die Summe der drei größten<br />
Stabilisierungslasten der Einzelträger, also bis zu 7,5 %
Der Einfluß zusätzlicher Verformungen der seitlichen Abstützungen infolge äußerer<br />
Horizontallasten wie z.B. Wind soll durch die oben angegebenen Stabilisierungslasten<br />
mit abgedeckt sein. In [73] wird aber empfohlen, daß die Federsteifigkeit einer<br />
seitlichen Aussteifung mindestens die 25-fache Eigenbiegesteifigkeit des ausgesteiften<br />
Trägers um die schwache Achse aufweisen soll.<br />
Die vereinfachende Angabe von Stabilisierungslasten an diskreten Stützstellen als<br />
Prozentsatz der Gurtkraft <strong>im</strong> Druckgurt von Biegeträgern gemäß BS 5950 offenbart<br />
das fehlende Wissen über den Einfluß der be<strong>im</strong> räumlichen Biegetorsionsproblem<br />
auftretenden Effekte und Phänomene. Die Torsionssteifigkeit und eine evtl. vorhandene<br />
Drehbettung des stabilisierten Trägers können nicht berücksichtigt werden. Es<br />
fehlt darüber hinaus eine ingenieurmäßige Modellvorstellung zur Berechnung der<br />
Stabilisierungslasten von Trägern mit seitlicher Stützung am Zuggurt. Eine<br />
zutreffende Abschätzung der Stabilisierungslasten solcher Systeme ist infolge<br />
fehlender Ingenieurmodelle oder Näherungslösungen nur mit computergestützten<br />
Rechenprogrammen möglich, wie sie <strong>im</strong> folgenden Abschnitt vorgestellt werden.<br />
25
26<br />
3 Grundlagen der verwendeten Rechenprogramme<br />
3.1 Programm BT II<br />
Das Programm BT II [77] ist eine kommerzielle Software zum Nachweis biegedrillknickgefährdeter<br />
Träger <strong>im</strong> <strong>Stahlbau</strong>. Die theoretischen Grundlagen des Programms<br />
sind in [74] ausführlich beschrieben. Hier werden nur die wichtigsten Annahmen und<br />
Einschränkungen wiedergegeben und die Möglichkeiten zur Berechnung von<br />
Stabilisierungslasten seitlich gestützter Träger mit BT II erläutert.<br />
BT II ermittelt an geraden räumlich belasteten Trägern mit beliebigem offenen dünnwandigen<br />
Querschnitt Verformungen und Schnittgrößen nach Biegetorsionstheorie II.<br />
Ordnung mit Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion nach der Finite-Elemente-<br />
Methode. Als Einschränkungen des Programms sind ein ideal-elastisches Werkstoffgesetz,<br />
ein für den gesamten Träger konstanter Elastizitätsmodul E und Schubmodul<br />
G und elementweise konstante Querschnittswerte zu nennen.<br />
Die verwendeten Stabelemente weisen an beiden Stabenden je sechs Freiheitsgrade<br />
auf:<br />
� Verschiebung v in y-Richtung<br />
� Verschiebung w in z-Richtung<br />
� Verdrehung � um die x-Achse<br />
� Verdrehung �y um die y-Achse<br />
� Verdrehung �z um die z-Achse<br />
� Verdrillung bzw. Verwölbung ��<br />
Als Ansatzfunktionen für die Verschiebungen quer zur Stabachse und für die<br />
Torsionsverdrehung liegen den Elementen kubische Hermitesche Interpolationspolynome<br />
der Ordnung 2 · � = 4 zugrunde. Die Ordnungszahl gibt an, wieviele<br />
Einzelfunktionen zu den Hermite-Polynomen dieser Ordnung gehören. Die Polynome<br />
der Ordnung 2 · � = 4 sind von ebenen Stabelementen her bekannt. Sie entsprechen<br />
den Biegelinien eines Trägers nach Theorie I. Ordnung infolge der Randverschiebungen<br />
w(x/L = 0) = 1 und w(x/L = 1) = 1 und der Randverdrehungen w�(x/L = 0) = 1<br />
sowie w�(x/L = 1) = 1. Mit ihnen lassen sich alle geometrischen, aber nicht die<br />
statischen Randbedingungen genau erfüllen. Da die Polynome nur max<strong>im</strong>al die dritte<br />
Potenz der d<strong>im</strong>ensionslosen Koordinate x/L enthalten, ist die zweite Ableitung eine<br />
lineare, die dritte Ableitung sogar eine konstant verlaufende Funktion. Wählt man<br />
Hermite-Polynome der Ordnung 2 · � = 4 als Ansatzfunktionen, so werden die<br />
Biegemomente My und Mz <strong>im</strong> Definitionsbereich als linear veränderlich, die<br />
Querkräfte Vy und Vz als konstant angenommen.<br />
Die Polynome der Ordnung 2 · � = 4 werden auch in anderen Arbeiten, z.B. von<br />
Kindmann [34], verwendet, da die Steifigkeitsmatrizen für Finite-Elemente damit
leicht aufzustellen sind. Es muß aber eine feinere Elementierung gewählt werden als<br />
z.B. bei Verwendung von Polynomen der Ordnung 2 · � = 8, um genaue Lösungen zu<br />
erhalten. Der Arbeitsaufwand, der durch die einfachere Aufstellung der Elementmatrizen<br />
eingespart wird, verlagert sich auf die Lösung der wesentlich größeren<br />
Systemmatrix, da die Zahl der Unbekannten des zu lösenden Gleichungssystems<br />
größer wird. Die Anzahl der erforderlichen Elemente richtet sich nach der Gradiente<br />
der Biegelinie. In den Trägerbereichen zwischen Lagerungen, Einzelfedern oder<br />
Einzellasten sind bei BT II in der Regel zwischen 5 und 15 Elemente vorzusehen, um<br />
Abweichungen von weniger als 5 % bei den Verformungen gegenüber der exakten<br />
Lösung zu erreichen.<br />
Die Berechnung der unbekannten Verformungen in den Elementknoten erfolgt nach<br />
dem Weggrößenverfahren. Die geometrisch nichtlineare Berechnung nach Theorie II.<br />
Ordnung gliedert sich in zwei Schritte. Im ersten Schritt werden die Schnittgrößen<br />
nach Theorie I. Ordnung berechnet. Sie dienen als Grundlage zur Ermittlung der das<br />
geometrisch nichtlineare Verhalten beschreibenden geometrischen Steifigkeitsmatrix.<br />
Im zweiten Schritt erfolgt die Berechnung nach Theorie II. Ordnung, wobei die<br />
Änderung der geometrischen Steifigkeitsmatrix infolge der Unterschiede zwischen<br />
den Schnittgrößen nach Theorie I. und II. Ordnung unberücksichtigt bleibt.<br />
Wird ein Lastniveau nur wenig kleiner als das zum niedrigsten Eigenwert (= kleinste<br />
Biegedrillknicklast) gehörende vorgegeben, nehmen die Verformungen stark zu. Die<br />
Ergebnisse sind in diesem Fall nur noch bedingt brauchbar, da die zugrunde gelegte<br />
Theorie das Gleichgewicht zwar am verformten System formuliert, jedoch davon<br />
ausgeht, daß die Verformungen klein sind. Kindmann [34] begrenzt die Torsionsverdrehung<br />
auf � < 0,2 rad bei der Traglastberechnung. In [36] wird eine Begrenzung<br />
von � < 0,3 rad vorgeschlagen.<br />
<strong>Zur</strong> Berücksichtigung geometrischer Ersatz<strong>im</strong>perfektionen gestattet BT II den Ansatz<br />
von Vorverformungen v0 und w0 in Richtung der beiden Querschnittshauptachsen<br />
sowie Vorverdrehungen �0 um die Stablängsachse. Als Verlauf können sinus- oder<br />
parabelförmige Halbwellen angegeben werden. Diese Vorverformungen werden nicht<br />
durch eine Berechnung der <strong>im</strong>perfekten Systemgeometrie sondern durch Ersatzlasten<br />
berücksichtigt, die sich aus der Multiplikation des Vorverformungsvektors mit der<br />
geometrischen Steifigkeitsmatrix ergeben.<br />
Um Biegedrillknicknachweise für Träger, die durch Stabilisierungskonstruktionen<br />
ausgesteift werden, führen zu können, bietet BT II die Möglichkeit, kontinuierliche<br />
oder diskrete federelastische Stützungen anzusetzen. Eine kontinuierliche Wegfederbettung<br />
cy und diskrete Einzelwegfedern Cy können auch exzentrisch zum Schubmittelpunkt<br />
angreifen. Das in der Praxis häufig auftretende Problem des Biegedrillknickens<br />
mit gebundener Drehachse <strong>im</strong> Abstand z vom Schubmittelpunkt läßt sich<br />
durch Ansatz einer elastischen Translationsbettung in y-Richung mit der Steifigkeit<br />
cy = 10 8 bis 10 10 kN/cm 2 berechnen. Die sich einstellenden Verformungen v und �<br />
führen bei Ansatz solch großer Bettungssteifigkeiten zu einer Verschiebung Null in<br />
der vorgegebenen Zwangsdrehachse <strong>im</strong> Abstand z vom Schubmittelpunkt. Für eine<br />
27
28<br />
zusätzlich vorhandene Drehbettung c� spielt der Angriffspunkt <strong>im</strong> Querschnitt keine<br />
Rolle, da die Erhaltung der Querschnittsform <strong>im</strong> Rahmen der Theorie vorausgesetzt<br />
wird.<br />
Die Stabilisierungskräfte, die auf die federelastischen seitlichen Abstützungen wirken,<br />
müssen aus den von BT II berechneten Verformungen oder Schnittgrößen des stabilisierten<br />
Trägers zurückgerechnet werden. Die zwei grundsätzlich vorhandenen Möglichkeiten<br />
dazu sind in Bild 3.1 dargestellt.<br />
Im oberen Teil von Bild 3.1 wird die Rückrechnung der Stabilisierungskräfte aus den<br />
Verformungen des Trägers gezeigt. Die Stabilisierungslast ergibt sich in diesem Fall<br />
aus dem Produkt von Bettungssteifigkeit und Verformung der Bettung bzw. Federsteifigkeit<br />
und Verformung der Feder.<br />
Im unteren Teil von Bild 3.1 wird die Rückrechnung der Stabilisierungskräfte aus den<br />
Schnittgrößen des stabilisierten Trägers erläutert. Diese Möglichkeit ergibt sich, da<br />
von BT II die Biegemomente My und Mz zwar auf das verschobene und verdrehte<br />
Querschnittskoordinatensystem der verformten Lage bezogen ermittelt werden, die<br />
Querkräfte Vz und Vy <strong>im</strong> Gegensatz dazu aber mit Bezug auf die unverformte Lage<br />
ausgegeben werden.<br />
*<br />
Die Stabilisierungskräfte lassen sich als Änderung der Querkraft V y in Trägerlängsrichtung<br />
berechnen, wobei der Kopfzeiger * den Bezug auf die unverformte Lage<br />
kennzeichnet. Bei kontinuierlicher Stützung cy ergibt sich die mittlere Stützlast<br />
q auf der Elementlänge LE zwischen den Knoten i und j als Änderung der Querkraft<br />
c y<br />
*<br />
V y zwischen dem linken Elementende i und dem rechten Elementende j. Bei diskreter<br />
*<br />
V y am<br />
Stützung Cy berechnet sich die Stützkraft F c als Differenz der Querkräfte<br />
y<br />
linken und am rechten Schnittufer des Knotens i, an dem eine Einzelfeder Cy angreift.<br />
Die beiden beschriebenen Möglichkeiten zur Rückrechnung der Stabilisierungslasten<br />
aus der seitlichen Verformung in Höhe der federelastischen Stützung bzw. aus der<br />
*<br />
Änderung der Querkraft V y des stabilisierten Trägers sind gleichwertig und führen,<br />
von Rundungsungenauigkeiten abgesehen, zu denselben Ergebnissen.
29<br />
)<br />
z<br />
v<br />
(<br />
c<br />
q<br />
y<br />
y<br />
c<br />
y<br />
c<br />
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)<br />
z<br />
v<br />
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C<br />
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y<br />
C<br />
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y<br />
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c<br />
L<br />
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V<br />
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�<br />
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links<br />
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i<br />
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y<br />
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rechts<br />
,<br />
i<br />
,<br />
y<br />
,<br />
C<br />
V<br />
V<br />
F y<br />
�<br />
�<br />
Bild 3.1 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem Programm BT II<br />
y<br />
c<br />
z<br />
cy<br />
y<br />
C<br />
z<br />
Cy<br />
*<br />
i<br />
,<br />
y<br />
V<br />
*<br />
j<br />
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y<br />
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links<br />
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,<br />
y<br />
V<br />
*<br />
rechts<br />
,<br />
i<br />
,<br />
y<br />
V<br />
i
30<br />
3.2 Programm DRILL<br />
Das Programm DRILL [24] wurde zum Einsatz in der Lehre an der TU Darmstadt am<br />
Institut für <strong>Stahlbau</strong> und Werkstoffmechanik entwickelt. Die theoretischen Grundlagen<br />
des Programms und viele Beispielrechnungen sind in [22] ausführlich beschrieben.<br />
An dieser Stelle werden analog zum Abschnitt 3.1 nur die wichtigsten Annahmen<br />
und Einschränkungen wiedergegeben und die Möglichkeiten zur Berechnung von<br />
Stabilisierungslasten seitlich gestützter Träger mit DRILL erläutert.<br />
DRILL ermittelt an geraden, räumlich belasteten Trägern mit offenem dünnwandigem<br />
Querschnitt Verformungen und Schnittgrößen nach Biegetorsionstheorie II. Ordnung<br />
mit Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion auf der Grundlage der Energiemethode. Es<br />
werden ein ideal-elastisches Werkstoffgesetz und konstante Querschnittswerte für den<br />
gesamten zu berechnenden Träger vorausgesetzt.<br />
<strong>Zur</strong> Lösung des Biegetorsionsproblems nach der Energiemethode wird das Potential<br />
des zu berechnenden Trägers nach Theorie II. Ordnung in Abhängigkeit von den<br />
Verformungen v und � aufgestellt. Eine Kopplung dieser zwei Verformungen mit der<br />
Verschiebung w in der Trägerebene erfolgt nicht, die Lasten und Schnittgrößen in der<br />
Trägerebene gehen jedoch über die Abtriebsgrößen infolge der Verformungen v und �<br />
in das Potential ein. Daraus ergibt sich folgende Näherung.<br />
Die allgemeine räumliche Theorie II. Ordnung ist nicht <strong>im</strong> Programm enthalten. Das<br />
Potential bezieht sich nur auf die Verformungen rechtwinklig zur Trägerebene, wie es<br />
der Voraussetzung des Verzweigungsproblems Biegedrillknicken entspricht. Die<br />
<strong>Beanspruchung</strong>en in der Trägerebene werden getrennt nach Theorie I. oder II.<br />
Ordnung berechnet, jedoch ohne Berücksichtigung eventueller Abtriebsgrößen aus<br />
den Schnittgrößen rechtwinklig zur Trägerebene. Diese Näherung setzt voraus, daß<br />
bei Anwendung der Theorie II. Ordnung die Trägerebene die Haupt-Lastebene ist.<br />
Bildet man die erste Variation des Potentials und setzt sie zu Null, so wird die Gleichgewichtslage<br />
des Trägers beschrieben. Hinter dieser Methode, die Gleichgewichtsbedingungen<br />
zu formulieren, steckt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen. Die<br />
erste Variation �� des Potentials ist identisch mit der virtuellen Arbeit �W des<br />
Trägers, die sich ergibt, wenn man die vorausgesetzte Gleichgewichtslage um<br />
virtuelle, d.h. infinites<strong>im</strong>al kleine Verschiebungen variiert. Der Träger ist <strong>im</strong><br />
Gleichgewicht, wenn die virtuelle Arbeit der Lasten, Schnittgrößen und Bettungskräfte<br />
zu Null wird. DRILL berücksichtigt dabei nur diejenigen Potentialanteile, die<br />
mit den Verformungen v und � verknüpft sind.<br />
Für die Lösung des Biegetorsionsproblems nach der Energiemethode kann der Träger<br />
in mehrere Felder unterteilt werden. DRILL begrenzt die Felderanzahl auf n = 10.<br />
Neue Felder sind <strong>im</strong>mer dort einzuführen, wo Einzellasten oder Einzelmomente in der<br />
Lastebene angreifen oder wo die Streckenlast qz eine Unstetigkeitsstelle hat. Außerdem<br />
sind überall dort, wo Lager oder Einzelfedern vorhanden sind, Feldgrenzen zu<br />
wählen.
Als Ansatzfunktionen für die unbekannten Verformungen v und � sowie für die<br />
entsprechenden virtuellen Verschiebungen �v und �� innerhalb eines Feldes werden<br />
Hermite-Polynome der Ordnung 2 · � = 8 genutzt. Dadurch lassen sich auch bei<br />
Felderanzahlen von n < 10 in der Regel die Verformungen und Schnittgrößen <strong>im</strong><br />
gesamten Träger genau genug berechnen.<br />
<strong>Zur</strong> Berücksichtigung geometrischer Ersatz<strong>im</strong>perfektionen gestattet DRILL den<br />
Ansatz von Vorverformungen v0 und Vorverdrehungen �0. Es können parabelförmige<br />
Halbwellen oder ein feldweise linearer Verlauf dieser Imperfektionen vorgegeben<br />
werden. Die feldweise lineare Vorverformung als Polygonzug über den Gesamtträger<br />
erlaubt näherungsweise die Vorgabe eigenformaffiner Vorverformungen, wenn als<br />
Ordinaten der einzelnen Polygonpunkte die Verformungsordinaten einer zuvor<br />
berechneten Eigenform des Trägers angesetzt werden.<br />
Um das Biegedrillknicken von Trägern, die durch Stabilisierungskonstruktionen ausgesteift<br />
werden, untersuchen zu können, bietet DRILL verschiedene Möglichkeiten,<br />
kontinuierliche oder diskrete seitliche Stützungen zu berücksichtigen. In den Feldern<br />
kann eine kontinuierliche seitliche Stützung mit Abstand z zum Schubmittelpunkt in<br />
Form einer Translationsbettung cy oder in Form eines Schubfeldes mit der<br />
Schubfeldsteifigkeit S * vorgegeben werden. Eine Translationsbettung cy behindert die<br />
Verschiebung v, eine Schubfeldsteifigkeit S * behindert die Neigung v� in der Ebene<br />
der Stützung. Durch Ansatz einer sehr großen Translationsbettung cy oder einer sehr<br />
großen Schubfeldsteifigkeit S * wird eine gebundene Drehachse für den stabilisierten<br />
Träger erzeugt. An den Feldgrenzen können als diskrete seitliche Stützungen Einzelfedern<br />
Cy zur Behinderung der Verschiebung v oder auch unverschiebliche Lagerpunkte<br />
Ay <strong>im</strong> Abstand z vom Schubmittelpunkt angreifen.<br />
Die Stabilisierungskräfte, die auf die seitlichen Halterungen wirken, werden von<br />
DRILL explizit berechnet und bei kontinuierlicher Stützung auch graphisch ausgegeben.<br />
Bild 3.2 zeigt die unterschiedlichen Arten seitlicher Stützung, die mit DRILL<br />
berücksichtigt werden können und die Elastizitätsgleichungen zur Berechnung der<br />
Stabilisierungslasten, die auf diese seitlichen Halterungen wirken.<br />
Bei kontinuierlicher Translationsbettung cy wird die Stabilisierungslast q c als<br />
y<br />
Produkt von Bettungssteifigkeit und Verformung der Bettung berechnet. Bei Stützung<br />
durch ein Schubfeld mit der Schubsteifigkeit S * ermittelt DRILL die Schubfeldkraft<br />
Q S*<br />
als Produkt von Schubfeldsteifigkeit und Neigung v� des Trägers in der Schubfeldebene.<br />
Die Stabilisierungslast q S*<br />
wird nicht explizit angegeben, kann aber als<br />
Änderung der Schubfeldkraft Q S*<br />
in Trägerlängsrichtung nachträglich berechnet<br />
werden. Die Kräfte, die auf diskrete seitliche Stützungen als Einzelfeder Cy oder als<br />
unverschiebliches Lager Ay wirken, werden mit Bezug auf die unverformte Lage als<br />
Auflagerkräfte ausgegeben.<br />
31
32<br />
zc<br />
y<br />
z S*<br />
zc<br />
y<br />
z A y<br />
S *<br />
cy<br />
Cy<br />
Ay<br />
q<br />
c<br />
y<br />
� c<br />
y<br />
� ( v � z<br />
*<br />
c<br />
y<br />
� �)<br />
q s*<br />
� �S<br />
� ( v��<br />
� zS*<br />
� ���) *<br />
� S � ( v�<br />
� z � ��)<br />
Q S*<br />
S*<br />
F<br />
C<br />
y<br />
� C<br />
y<br />
� ( v � z<br />
C<br />
y<br />
� �)<br />
Bild 3.2 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem Programm DRILL
4 Matrizenverfahren für Träger mit kontinuierlicher<br />
seitlicher Stützung<br />
Da Programme wie BT II [77] oder DRILL [24] zur Berechnung von Trägern mit<br />
unterschiedlichen Aussteifungen nach der Biegetorsionstheorie II. Ordnung noch<br />
nicht sehr verbreitet sind, wurde von Friemann/Stroetmann [23] eine Näherungslösung<br />
auf der Grundlage der Energiemethode hergeleitet, die hier als<br />
Matrizenverfahren bezeichnet wird. Die abgeleiteten Steifigkeitsmatrizen gelten für<br />
einen beidseitig gabelgelagerten Einfeldträger mit doppeltsymmetrischem Querschnitt.<br />
Die Einschränkung auf Gabellagerung ermöglicht die Anwendung einfacher<br />
Sinusreihenansätze für die Funktionen zur Beschreibung der Verformungen v und �.<br />
Die Beschränkung auf doppeltsymmetrische Querschnitte reduziert den Umfang der<br />
Koeffizienten in der geometrischen Steifigkeitsmatrix. Eine Erweiterung auf<br />
einfachsymmetrische Querschnitte ist aber möglich, siehe dazu [96].<br />
Dem Matrizenverfahren nach Friemann/Stroetmann liegen folgende Annahmen und<br />
Voraussetzungen zugrunde, die über die allgemeinen Annahmen und Voraussetzungen<br />
dieser Arbeit gemäß Abschnitt 1.2 hinausgehen:<br />
� kontinuierliche Bettung<br />
� konstante Bettungswerte<br />
� linearer Zusammenhang zwischen Bettungskraft bzw. –moment und der<br />
zugehörigen Verformungsgröße<br />
� über die Trägerlänge gleichbleibender Querschnitt<br />
� über die Trägerlänge konstante äußere Lasten qz, qy, mx und eine konstante<br />
Normalkraftbeanspruchung<br />
<strong>Zur</strong> Berücksichtigung von veränderlichen Verläufen qy und mx müssen entsprechende<br />
Lastvektoren best<strong>im</strong>mt werden. Ein veränderlicher Verlauf von qz und<br />
N führt zu einer anderen als der angegebenen geometrischen Steifigkeitsmatrix.<br />
� Vernachlässigung der Kopplung der Verformungsgrößen v und � mit w<br />
Mit dieser Vereinfachung wird eine Trennung der Nachweise zum Biegeknicken<br />
in der x-z-Ebene und zum Biegedrillknicken vorgenommen (Element 112 in DIN<br />
18800 Teil 2). Die Entkopplung gilt nur für das Verzweigungsproblem bei<br />
planmäßig einachsiger Biegung ohne Vorverformungen, kann aber näherungsweise<br />
auch für das Spannungsproblem mit Vorverformungen angenommen<br />
werden. Ist der Momentenzuwachs My durch den Einfluß der Theorie II. Ordnung<br />
aufgrund großer Durchbiegungen und Normalkräfte nicht mehr vernachlässigbar,<br />
kann der Verlauf My nach Theorie II. Ordnung bei der Berechnung der<br />
Biegetorsion zugrunde gelegt werden.<br />
Die Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren des Matrizenverfahrens nach Friemann/Stroetmann<br />
sind auf der Grundlage der Energiemethode unter Anwendung des<br />
33
34<br />
Ritz’schen Verfahrens hergeleitet. Die virtuelle Arbeit für das behandelte Problem ist<br />
in den Gleichungen (4.1) bis (4.4) angegeben.<br />
� W � �W<br />
� �W<br />
� �W<br />
(4.1)<br />
e<br />
g<br />
p<br />
L<br />
� �<br />
0<br />
z<br />
�<br />
T<br />
BA � ( v��<br />
� zA<br />
� ���) � ( �v��<br />
� zA<br />
� ����<br />
S* � ( v�<br />
� zs<br />
� ��)<br />
� ( �v�<br />
� zs<br />
� ���<br />
cy � ( v � zc<br />
� �)<br />
� ( �v<br />
� zc<br />
� ��<br />
�We = [ EI � v��<br />
� �v��<br />
� EI � ��� � ����<br />
� GI � �� � ���<br />
+ )<br />
+ )<br />
+ )<br />
+ c� � � � ��]<br />
dx<br />
(4.2)<br />
L<br />
2<br />
�[<br />
p<br />
0<br />
M y ( v��<br />
� �� � � � �v��)<br />
� qz<br />
� zp<br />
�Wg = � N � ( v�<br />
� �v�<br />
� i � �� � ���)<br />
+ � � � � ��]<br />
dx<br />
(4.3)<br />
L<br />
[<br />
�<br />
�Wp = q � �v<br />
� m � ��]<br />
dx<br />
(4.4)<br />
0<br />
y<br />
x<br />
Als Ansatzfunktionen für die Verschiebungen v und � werden Sinusreihen verwendet.<br />
� � � � �<br />
� � � �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � �<br />
5 i x<br />
v vi<br />
sin<br />
(4.5)<br />
i 1 L<br />
� �<br />
5<br />
�<br />
j�1<br />
� j�<br />
� � x �<br />
�j<br />
� sin �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
(4.6)<br />
� L �<br />
Diese Funktionen haben den Vorteil, daß auch höhere Ableitungen definiert sind.<br />
Setzt man die entsprechenden Ableitungen der Verformungsfunktionen sowie die<br />
Lasten und Schnittgrößen in die virtuelle Arbeit ein und führt die Integration durch, so<br />
erhält man die in Bild 4.1 angegebenen Steifigkeitsmatrizen Ke und Kg und den<br />
Lastvektor P. Die Formulierung des Biegetorsionsproblems Theorie II. Ordnung<br />
erfolgt über die Matrizengleichung (4.7).<br />
(Ke + Kg) · V = P (4.7)<br />
V T = [v T ; � T ]<br />
= [v1, v2, v3, v4, v5, �1, �2,�3, �4, �5] (4.8)
Ke=<br />
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5<br />
c1+c4<br />
+c5+c7<br />
c<br />
16·c1<br />
+16·c4+<br />
4·c5+c7<br />
0 0 0 0<br />
-c4 zA-c5 zS<br />
-c7 zc<br />
0 0 0 0<br />
81·c1+<br />
81·c4+<br />
9·c5+c7<br />
-16 c4 zA<br />
-4 c5 zS<br />
-c7 zc<br />
0 0 0 0<br />
256 c1+<br />
256·c4+<br />
16·c5+c7<br />
4<br />
4<br />
EIz<br />
� � EI�<br />
� �<br />
1 � c<br />
3 2 �<br />
3<br />
2 � L<br />
2 � L<br />
c<br />
625 c1+<br />
625 c4+<br />
25 c5+c7<br />
0 0 0 0<br />
-81 c4 zA<br />
-9 c5 zS<br />
-c7 zc<br />
0 0 0 0<br />
Symmetrie<br />
GIT<br />
� �<br />
2 � L<br />
0 0 0<br />
-256 c4 zA<br />
-16 c5 zS<br />
-c7 zc<br />
0 0 0 0<br />
c2+c3+c4· 2<br />
z A +<br />
c5· 2 z S +c6+<br />
c7· 2 z c<br />
2<br />
4<br />
BA<br />
� �<br />
3 � c4<br />
�<br />
3<br />
2�<br />
L<br />
16·c2+4 c3<br />
0 0<br />
0<br />
-625 c4 zA<br />
-25 c5 zS<br />
-c7 zc<br />
0 0 0 0<br />
2<br />
+16 c4· z A<br />
+4 c5· 2<br />
z S<br />
+c6+c7· 2 z S<br />
c<br />
5<br />
0 0 0<br />
81 c2+9 c3<br />
2<br />
+81 c4· z A<br />
+9 c5· 2 z S +<br />
2<br />
c6+c7· z c<br />
2<br />
S*<br />
��<br />
�<br />
2 � L<br />
256 c2+16 c3<br />
2<br />
+256 c4· z A<br />
2<br />
+16 c5· z S<br />
2<br />
+c6+c7· z c<br />
c6 � c�<br />
0 0<br />
�<br />
L<br />
2<br />
0<br />
35<br />
625 c2+25 c3<br />
2<br />
+625 c4· z A<br />
2<br />
+25 c5· z S<br />
2<br />
+c6+c7· z c<br />
c7 � cy<br />
�<br />
L<br />
2
Kg=<br />
36<br />
g<br />
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5<br />
g1 0 0 0 0 -g3 (1+� 2 /3)-g4 g5 8/9 g3 3/4 g5 16/225 g3 5/36<br />
1<br />
N � �<br />
�<br />
2 � L<br />
4 g1 0 0 0 g5 32/9<br />
2<br />
-g3 (1+4 � 2 /3)<br />
-4 g4<br />
9 g1 0 0 g3 27/4 g5 216/25<br />
g5 96/25 g3 32/9 g5 160/441<br />
-g3 (1+3·� 2 )<br />
-9 g4<br />
g5 432/49 g3 135/16<br />
16 g1 0 g5 256/225 g3 128/9 g5 768/49<br />
-g3 (1+16 � 2 /3)<br />
-16 g4<br />
g5 1280/81<br />
25 g1 g3 125/36 g5 1000/441 g3 375/16 g5 2000/81<br />
-g3 (1+25 � 2 /3)<br />
-25 g4<br />
g2+g6 0 0 0 0<br />
4 g2+g6 0 0 0<br />
Symmetrie 9 g2+g6 0 0<br />
16 g2+g6 0<br />
25 g2+g6<br />
g<br />
2<br />
2<br />
N � ip<br />
� �<br />
�<br />
2 � L<br />
2<br />
g<br />
3 �<br />
M<br />
L<br />
0<br />
g<br />
4<br />
( Mi<br />
� Mk<br />
) � �<br />
�<br />
4 � L<br />
2<br />
g<br />
5<br />
� Mi<br />
� M<br />
�<br />
L<br />
2 L qy/� -g1 g3 (1+� 2 /3)+g4<br />
0 0 -g5 32/9<br />
2 L qy/(3 �) 0 -g3 27/4<br />
0 0 -g5 256/225<br />
2 L qy/(5 �) 0 -g3 125/36<br />
P1 = 2 L mx/� P2 = g3 (1+� 2 /3)+g4 · v1,0 P3 = -g2-g6 · �1,0<br />
0 -g5 8/9 0<br />
2 L mx/(3 �) -g3 3/4 0<br />
0 -g5 16/225 0<br />
2 L mx/(5 �) -g3 5/36 0<br />
k<br />
g6 � qz<br />
� zq<br />
�<br />
Bild 4.1 Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren des Matrizenverfahrens nach Friemann/<br />
Stroetmann [23]<br />
Vorverformungen, die durch die Ansatzfunktionen beschrieben werden können, lassen<br />
sich durch einen zusätzlichen Lastvektor Pv erfassen.<br />
Pv = -Kg · V0<br />
V<br />
T<br />
0<br />
� [ v<br />
T<br />
0<br />
; �<br />
T<br />
0<br />
]<br />
(4.9)<br />
= [v1,0, v2,0,v3,0, v4,0, v5,0, �1,0, �2,0, �3,0, �4,0, �5,0] (4.10)<br />
V0 entspricht dem Vektor der Ansatzfreiwerte zur Beschreibung des vorverformten<br />
Zustandes. Die Rückrechnung der Schnittgrößen und der Bettungskräfte bzw.<br />
Stabilisierungslasten erfolgt mit Hilfe des Lösungsvektors V über entsprechende<br />
Elastizitätsbeziehungen.<br />
L<br />
2
� <strong>Beanspruchung</strong> einer Translationsbettung cy<br />
v c = v – zc · � (4.11)<br />
y<br />
q c = cy ·<br />
y<br />
= cy ·<br />
�<br />
�<br />
��<br />
v cy<br />
5<br />
� i � � � x 5<br />
�<br />
� j�<br />
� � x ��<br />
v i �sin�<br />
� � zc<br />
� �j<br />
�sin�<br />
��<br />
(4.12)<br />
� L � j 1 � L ���<br />
� �<br />
i�1�<br />
� <strong>Beanspruchung</strong> eines Schubfeldes mit Schubsteifigkeit S*<br />
v � � v��<br />
� z � ��� (4.13)<br />
�S *<br />
S<br />
qS* � �S*<br />
�v�S�<br />
*<br />
� 5<br />
2<br />
� � � � � � �<br />
5<br />
2<br />
i � i x �<br />
� j�<br />
� � � j�<br />
� � x ��<br />
= S * ���vi����sin� � � zS<br />
���j����sin�<br />
��<br />
(4.14)<br />
��<br />
i�1�L��L�j�1�L��L���<br />
QS* � S*<br />
�v�S<br />
*<br />
� 5 i � � � i � � � x 5<br />
�<br />
j�<br />
� � j�<br />
� � x ��<br />
� S * ���vi��cos�<br />
� � zS<br />
���j��cos�<br />
��<br />
(4.15)<br />
��<br />
i�1L�L�j�1L�L���<br />
� <strong>Beanspruchung</strong> eines Aussteifungsträgers mit Biegesteifigkeit BA<br />
v ����<br />
v����<br />
� z � ����� (4.16)<br />
�A A<br />
qA � BA<br />
� v�A�<br />
��<br />
� 5<br />
4<br />
� � � � � � �<br />
5<br />
4<br />
i � i x �<br />
� j�<br />
� � � j�<br />
� � x ��<br />
= B A � ��vi����sin�<br />
� � zA<br />
���j����sin�<br />
��<br />
(4.17)<br />
��<br />
i�1�L��L�j�1�L��L���<br />
� <strong>Beanspruchung</strong> einer Drehbettung<br />
� � � � �<br />
�<br />
�<br />
5 � j�<br />
� � x �<br />
m � c � � � c � �j<br />
� sin�<br />
�<br />
(4.18)<br />
j 1 � L �<br />
Bei der Auswertung der Gleichungen (4.11) bis (4.18) ist zu beachten, daß auch bei<br />
mehrgliedrigen Verformungsansätzen die Genauigkeit der Ergebnisse umso mehr<br />
zurückgeht, je höher die Ableitungen sind, mit denen die Größen beschrieben werden.<br />
Friemann/Stroetmann [23] geben für ein Beispiel mit seitlicher Stützung durch ein<br />
Schubfeld Abweichungen zwischen der max<strong>im</strong>alen Stabilisierungslast gemäß<br />
Gleichung (4.14) und der max<strong>im</strong>alen Stabilisierungslast aus einer FEM-Berechnung<br />
von 5 bis 10 % je nach betrachtetem Lastfall an. Für die Gleichungen (4.12), (4.15)<br />
und (4.18) ergeben sich noch bessere Übereinst<strong>im</strong>mungen.<br />
37
38<br />
5 Ingenieurmodell für Stabilisierungslasten be<strong>im</strong><br />
Biegetorsionsproblem<br />
5.1 Vorbemerkungen<br />
Die praxisüblichen Standardverfahren zur Berechnung von Stabilisierungslasten<br />
behandeln den Druckgurt von Biegeträgern als Druckstab. Diese einfache<br />
Modellvorstellung ermöglicht die Beschreibung von Stabilisierungslasten als<br />
Funktion der Normalkraft und der Verformung des stabilisierten Gurtes auf der<br />
Grundlage der Differentialgleichung des Druckstabes.<br />
EI � v����<br />
�<br />
�<br />
�<br />
(5.1)<br />
z,<br />
Gurt<br />
Gurt<br />
�NGurt � v�Gurt<br />
� qy,<br />
Gurt<br />
Wird der Gurt in y-Richtung durch eine Stabilisierungskonstruktion seitlich gestützt,<br />
so kann die auf die seitliche Halterung wirkende Stabilisierungslast als Ersatzbelastung<br />
für den Einfluß der Gurtnormalkraft in Verbindung mit der Verschiebung des<br />
Gurtes in y-Richtung aufgefaßt werden.<br />
� �� N � v�<br />
q S � qy,<br />
Gurt,<br />
Ersatz � � Gurt Gurt<br />
(5.2)<br />
Mit Gleichung (5.2) können die Stabilisierungslasten be<strong>im</strong> Biegeknickproblem<br />
berechnet werden. Die Anwendung dieser Gleichung auf das tatsächlich vorliegende<br />
räumliche Biegetorsionsproblem stellt eine Näherung dar.<br />
<strong>Zur</strong> Beschreibung der be<strong>im</strong> Biegetorsionsproblem auftretenden Stabilisierungslasten<br />
kann das Konzept der Ersatzbelastung aus dem Druckstabmodell auf das räumliche<br />
Modell eines seitlich gestützten biegedrillknickgefährdeten Trägers übertragen<br />
werden. Dieses Verfahren wird als „Ersatzbelastungsverfahren – Biegedrillknicken“<br />
oder kurz EBV-BDK bezeichnet.<br />
Mit dem EBV-BDK wird ein Ingenieurmodell für die Stabilisierungslasten be<strong>im</strong><br />
Biegetorsionsproblem hergeleitet, mit dessen Hilfe die Einflüsse aus Imperfektionen,<br />
elastischen Verformungen und planmäßiger Belastung von seitlich gestützten Trägern<br />
als horizontale Ersatzlasten qy in Höhe der Gurte von doppeltsymmetrischen I-Querschnitten<br />
behandelt werden können.<br />
5.2 Herleitung des Ersatzbelastungsverfahrens –<br />
Biegedrillknicken EBV-BDK<br />
Das Biegetorsionsproblem eines durch Normalkraft und Biegung um die y-Achse<br />
belasteten vorgekrümmten und vorverdrehten Trägers mit doppeltsymmetrischem
Querschnitt kann mit den gekoppelten Differentialgleichungen (5.3a) und (5.3b) beschrieben<br />
werden.<br />
EI � v����<br />
� ( M � ( � � �)<br />
) ��<br />
� ( N � ( v � v)<br />
�)<br />
� � q<br />
(5.3a)<br />
z<br />
y<br />
0<br />
EI� ������ � GIT<br />
� ��� � c�<br />
� � � qz<br />
� zp<br />
� ( �0<br />
� �)<br />
y<br />
0<br />
2<br />
p<br />
0<br />
0<br />
� M � ( v � v)<br />
��<br />
� ( N � i � ( � � �)<br />
�)<br />
� � m<br />
(5.3b)<br />
Durch Ableiten der Klammerausdrücke ergeben sich die Gleichungen (5.4a) und<br />
(5.4b).<br />
EI<br />
z<br />
� v����<br />
� M<br />
0<br />
y<br />
� ��� � 2 � V<br />
0<br />
0<br />
� N � v��<br />
� N�<br />
� v�<br />
� N � v��<br />
� N�<br />
� v�<br />
� q<br />
EI<br />
� � � GIT<br />
� � c�<br />
� N �i<br />
����� 2<br />
p<br />
� ��� � N�<br />
�i<br />
0<br />
��� 2<br />
p<br />
0<br />
z<br />
� �� � q � � � M<br />
��<br />
�<br />
0<br />
q<br />
z<br />
2<br />
p<br />
� �� � N �i<br />
z<br />
� z<br />
p<br />
� ��� 0<br />
y<br />
� �<br />
0<br />
� q<br />
� N�<br />
�i<br />
2<br />
p<br />
x<br />
z<br />
y<br />
y<br />
� ��� � z<br />
� ��<br />
p<br />
� 2 � V<br />
� � �<br />
� m<br />
x<br />
M<br />
z<br />
y<br />
���<br />
�<br />
0<br />
q<br />
z<br />
� v��<br />
� M<br />
� �<br />
y<br />
� v��<br />
39<br />
(5.4a)<br />
(5.4b)<br />
Isoliert man die Steifigkeitsanteile, die mit den vierten Ableitungen der Verformungen<br />
v und � gekoppelt sind und faßt man die übrigen Steifigkeits- und Lastterme als<br />
Ersatzbelastungen auf, so lassen sich die Gleichungen (5.4a) und (5.4b) als Gleichung<br />
(5.5a) und (5.5b) schreiben.<br />
EI � v����<br />
� q � q<br />
(5.5a)<br />
z<br />
EI ����� �<br />
mit<br />
y<br />
y,<br />
Ersatz<br />
� � � mx<br />
mx,<br />
Ersatz<br />
(5.5b)<br />
� M � ��� � 2 � V � �� � q � �<br />
qy,Ersatz = y 0 z 0 z 0<br />
� M y ����<br />
� 2 � Vz<br />
� �� � qz<br />
� �<br />
� N � v�0<br />
� � N�<br />
� v�0<br />
� N � v��<br />
� N�<br />
��� � v�<br />
mx,Ersatz = GI T � � c�<br />
� � � qz<br />
� zp<br />
� �0<br />
� qz<br />
� zp<br />
� �<br />
� M y � v�0<br />
� � M y � v��<br />
� N � i<br />
2<br />
p<br />
����<br />
� N�<br />
� i<br />
0<br />
2<br />
p<br />
2<br />
p<br />
� �� � N � i<br />
0<br />
� ��� � N�<br />
� i<br />
Die Berücksichtigung der Auswirkungen von Geometrieänderungen durch den Ansatz<br />
von Ersatzbelastungen ist für ebene Druckstäbe eine übliche Vorgehensweise und in<br />
DIN 18800 [1] Teil 2 fest verankert. Bild 5.1 zeigt zwei Beispiele für Ersatzlasten, die<br />
gemäß [1] anstelle geometrischer Ersatz<strong>im</strong>perfektionen angesetzt werden können.<br />
2<br />
p<br />
� ��
40<br />
Bild 5.1 Ersatzbelastungen für Druckstäbe nach DIN 18800 Teil 2<br />
Es können aber nicht nur die Auswirkungen von spannungslosen Vorverformungen<br />
sondern auch die Auswirkungen von elastischen Verformungen infolge äußerer<br />
Lasten durch den Ansatz von Ersatzbelastungen berücksichtigt werden. Ein Beispiel<br />
dafür ist der Ansatz vergrößerter Stockwerksquerkräfte nach Element (521) der DIN<br />
18800 [1] Teil 2 bei der Berechnung verschieblicher Rahmentragwerke. Ausführlich<br />
wird der Ansatz von Ersatzlasten zur Berechnung ebener Rahmentragwerke von<br />
Terlau [97] diskutiert.<br />
Die Gleichungen (5.5a) und (5.5b) stellen eine Übertragung der Modellvorstellung<br />
Ersatzbelastung auf das räumliche Biegetorsionsproblem dar. Bei der Formulierung<br />
des Ersatzstreckentorsionsmomentes mx,Ersatz gemäß Gleichung (5.5b) ist zu beachten,<br />
daß die Auswirkungen von Torsionsverdrehungen � in Verbindung mit der St.<br />
Venant’schen Torsionssteifigkeit GIT und der Drehbettung c� ebenfalls der Ersatzbelastung<br />
zugerechnet werden und damit der Einfluß der Torsionssteifigkeit von<br />
Träger und Drehbettung auf die Stabilisierungslasten berücksichtigt wird.<br />
Man kann Gleichung (5.5a) als Biegung um die z-Achse unter Ersatzbelastung qy und<br />
Gleichung (5.5b) als reine Wölbkrafttorsion unter Ersatzbelastung mx verstehen. Die<br />
Wirkung der St. Venant’schen Torsionssteifigkeit GIT und der Drehbettung c� sind<br />
dabei nicht vernachlässigt, sondern in der Ersatzbelastung mx,Ersatz enthalten.<br />
Reine Wölbkrafttorsion läßt sich als Gurtbiegung interpretieren. Siehe dazu Bild 5.2<br />
nach Roik [86]. Das Torsionsmoment mx und mx,Ersatz kann deshalb analog zu dem<br />
Kräftepaar in Bild 5.2 in ein Kräftepaar aus Ersatzlasten qy,OG und qy,UG in Höhe der<br />
Querschnittsgurte zerlegt werden. Bild 5.3 verdeutlicht diese Vorgehensweise, die mit<br />
„Gleichgewicht am Querschnitt“ beschrieben werden kann. Mit hS als dem Abstand<br />
der Gurtmittelpunkte erhält man die Obergurtlast qy,OG und die Untergurtlast qy,UG<br />
gemäß Gleichung (5.6a) und (5.6b).
Bild 5.2 Analogie zwischen reiner Wölbkrafttorsion und Gurtbiegung nach Roik [86]<br />
41
42<br />
Bild 5.3 Gleichgewicht am Querschnitt<br />
1<br />
1<br />
� � ( qy<br />
� qy,<br />
Ersatz ) � � ( mx<br />
� mx,<br />
)<br />
(5.6a)<br />
2<br />
h<br />
qy, OG<br />
Ersatz<br />
S<br />
1<br />
1<br />
� � ( qy<br />
� qy,<br />
Ersatz ) � �(<br />
mx<br />
� mx,<br />
)<br />
(5.6b)<br />
2<br />
h<br />
qy, UG<br />
Ersatz<br />
S<br />
Benutzt man für die Gleichungen (5.6a) und (5.6b) anstelle der rechten Seiten die<br />
linken Seiten der Gleichungen (5.5a) und (5.5b), so ergeben sich die Gleichungen<br />
(5.7a) und (5.7b).<br />
q<br />
q<br />
1<br />
1<br />
� � EIz<br />
� v����<br />
� � EI�<br />
������<br />
2<br />
h<br />
y , OG<br />
(5.7a)<br />
S<br />
1<br />
1<br />
� � EIz<br />
� v����<br />
� � EI�<br />
� ����� 2<br />
h<br />
y , UG<br />
(5.7b)<br />
S<br />
Diese lassen sich mit Hilfe der Beziehungen (5.8) bis (5.11) in die Gleichung (5.12a)<br />
„Obergurtbiegung“ und die Gleichung (5.12b) „Untergurtbiegung“ überführen.<br />
1<br />
( vOG<br />
v )<br />
2<br />
� � � (5.8)<br />
v UG<br />
1<br />
� � �(<br />
vOG<br />
� v UG )<br />
(5.9)<br />
h<br />
mit<br />
S<br />
vOG = Verschiebung des Obergurtes in y-Richtung<br />
vUG = Verschiebung des Untergurtes in y-Richtung<br />
2<br />
hS<br />
I Iz<br />
4<br />
� � � (5.10)<br />
I<br />
z,<br />
OG<br />
Iz<br />
� Iz,<br />
UG �<br />
(5.11)<br />
2
mit<br />
Iz,OG = Biegesteifigkeit des Obergurtes um die z-Achse<br />
Iz,UG = Biegesteifigkeit des Untergurtes um die z-Achse<br />
Die Gleichungen (5.8) und (5.9) gelten für kleine Verdrehungen �. Die Gleichungen<br />
(5.10) und (5.11) gelten für doppeltsymmetrische I-Profile, wenn die Beiträge des<br />
Steges und der Walzausrundungen bei der Berechnung von Iz vernachlässigt werden.<br />
1 1<br />
1<br />
hS<br />
1<br />
qy, OG � � 2 � EIz,<br />
OG � � ( v�OG<br />
���<br />
� v�UG<br />
���<br />
) � � 2 � EIz,<br />
OG � � � ( v�OG<br />
���<br />
� v�UG<br />
���<br />
)<br />
2 2<br />
hS<br />
4 hS<br />
� EI � v����<br />
(5.12a)<br />
z,<br />
OG<br />
OG<br />
1 1<br />
1<br />
hS<br />
1<br />
qy, UG � � 2 � EIz,<br />
UG � � ( v�OG<br />
���<br />
� v�UG<br />
���<br />
) � � 2 � EIz,<br />
UG � � � ( v�OG<br />
���<br />
� v�UG<br />
���<br />
)<br />
2 2<br />
hS<br />
4 hS<br />
� EI � v����<br />
(5.12b)<br />
z,<br />
UG<br />
UG<br />
Mit den Gleichungen (5.5a), (5.5b) und (5.6a), (5.6b) ergeben sich die Gleichungen<br />
(5.13a), (5.13b) für die Ersatzlasten qy in Höhe der Querschnittsgurte.<br />
1 m<br />
qy, OG � � qy<br />
�<br />
2 h<br />
x<br />
S<br />
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� � � � � v�0<br />
� � � v�<br />
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2<br />
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S<br />
2 h �<br />
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1 zp<br />
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� �<br />
� z<br />
(5.13a)<br />
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� �<br />
2 hS<br />
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hS<br />
�<br />
1 mx<br />
qy, UG � �q<br />
y �<br />
2 hS<br />
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0<br />
2 h �<br />
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2<br />
2<br />
2<br />
43
44<br />
� 2<br />
2<br />
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y<br />
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hS<br />
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� z<br />
(5.13b)<br />
� � �<br />
� �<br />
2 hS<br />
�<br />
hS<br />
�<br />
Sind die Verformungen v, � und ihre Ableitungen v � , v��,<br />
��,<br />
��� bekannt, so können<br />
mit Hilfe der Gleichungen (5.13a) und (5.13b) die Stabilisierungslasten berechnet<br />
werden, die auf die Trägergurte und auf eine seitliche Halterung am Obergurt bzw. am<br />
Untergurt wirken. Die Art der seitlichen Halterung (unverschieblich, biegesteif,<br />
schubsteif, Wegfeder, kontinuierlich oder diskret) geht über die Verformungen v, �<br />
und deren Ableitungen in die Gleichungen (5.13a) und (5.13b) ein. Diese Gleichungen<br />
sind damit universell anwendbar auf alle Aussteifungen in Höhe der Querschnittsgurte.<br />
Es ergeben sich bei Vorhandensein einer kontinuierlichen seitlichen Stützung zusätzliche<br />
Steifigkeitsterme zur Gurtbiegesteifigkeit EIz,OG bzw. EIz,UG als rechte Seite in<br />
den Gleichungen (5.12a) und (5.12b). Diese zusätzlichen Steifigkeitsterme sind in<br />
Gleichung (5.14a) für Stützung am Obergurt und Gleichung (5.14b) für Stützung am<br />
Untergurt angegeben. Die Steifigkeit einer unverschieblichen seitlichen Halterung (in<br />
der Literatur meist als „gebundene Drehachse“ bezeichnet) ist unendlich. Die<br />
Ersatzlast qy,OG bzw. qy,UG wird bei unverschieblichem Gurt ausschließlich von der<br />
seitlichen Halterung aufgenommen und bewirkt keine zusätzliche Biegung um die z-<br />
Achse <strong>im</strong> gehaltenen Gurt.<br />
q � EI � v����<br />
� EI � v����<br />
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�v��<br />
� c � v<br />
(5.14a)<br />
y,<br />
OG<br />
y,<br />
UG<br />
z,<br />
OG<br />
z,<br />
UG<br />
OG<br />
UG<br />
A<br />
A<br />
OG<br />
UG<br />
OG<br />
q � EI � v����<br />
� EI � v����<br />
� S*<br />
�v��<br />
� c � v<br />
(5.14b)<br />
mit<br />
EIA = Biegesteifigkeit eines Aussteifungsträgers<br />
S* = Schubsteifigkeit eines Schubfeldes<br />
cy = Federsteifigkeit einer Translationsbettung<br />
UG<br />
Die in Abschnitt 4 beschriebene Art der Berechnung von Bettungskräften mit den<br />
Gleichungen (4.11) bis (4.18) als Bettungssteifigkeit multipliziert mit Bettungsverformung<br />
ist vorteilhaft, wenn die Steifigkeit der seitlichen Halterung eine endliche<br />
Größe besitzt. Sie versagt allerdings bei der Ermittlung von Stabilisierungslasten, die<br />
y<br />
y<br />
OG<br />
UG
auf eine unverschiebliche Halterung wirken. Für das EBV-BDK mit den Ersatzlasten<br />
gemäß Gleichung (5.13a) und (5.13b) gilt diese Einschränkung nicht.<br />
Die Stabilisierungslast qS, die auf eine elastisch verschiebliche seitliche Halterung<br />
wirkt, kann berechnet werden, indem man den Anteil q EI , der von der Gurtbiege-<br />
z<br />
steifigkeit des Trägers abgetragen wird, von den Ersatzlasten qy,OG und qy,UG<br />
subtrahiert. Dieser Lastanteil ist für Ober- und Untergurt mit Gleichung (5.15a) und<br />
(5.15b) gegeben.<br />
q<br />
q<br />
EI z<br />
EI z<br />
, OG<br />
, UG<br />
� EI<br />
� EI<br />
z,<br />
OG<br />
z,<br />
UG<br />
� v����<br />
OG<br />
� v����<br />
UG<br />
EI<br />
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z<br />
EI<br />
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S � v � � ����� �<br />
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� h �<br />
� ����<br />
S � v � � ����� �<br />
� 2 �<br />
45<br />
(5.15a)<br />
(5.15b)<br />
Durch Subtraktion dieser Anteile in den Gleichungen (5.13a) und (5.13b) erhält man<br />
die Stabilisierungslasten qS gemäß Gleichung (5.16a) und (5.16b).<br />
1 mx<br />
qS, OG � � qy<br />
�<br />
2 hS<br />
� N M y � N�<br />
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z (5.16a)<br />
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46<br />
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S<br />
� � v � ������<br />
2 � 2 �<br />
z (5.16b)<br />
Bei gebundener Drehachse sind die Verformungen v und � nicht mehr unabhängig<br />
voneinander. Für gebundene Drehachse <strong>im</strong> Obergurtmittelpunkt gilt Gleichung<br />
(5.17a), für gebundene Drehachse <strong>im</strong> Untergurtmittelpunkt Gleichung (5.17b).<br />
hS<br />
v � ���<br />
(5.17a)<br />
2<br />
hS<br />
v � ���<br />
(5.17b)<br />
2<br />
Die geometrischen Ersatz<strong>im</strong>perfektionen v0 und �0 sind aber in jedem Fall unabhängig<br />
voneinander, da für sie keine Rand- und Verträglichkeitsbedingungen eingehalten<br />
werden müssen.<br />
Für den Fall „gebundene Drehachse am Obergurt“ kann die Stabilisierungslast für die<br />
Obergurthalterung mit Gleichung (5.18a) berechnet werden, die sich ergibt, wenn man<br />
die Beziehung (5.17a) in (5.16a) einsetzt. Gleichung (5.18b) beschreibt die<br />
Stabilisierungslast der Untergurthalterung für den Fall „gebundene Drehachse am<br />
Untergurt“, wenn man analog die Beziehung (5.17b) in (5.16b) einsetzt.<br />
0
qS,OG =<br />
qS,UG =<br />
1 m<br />
qy, OG � � qy<br />
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x<br />
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(5.18a)<br />
1 m<br />
qy, UG � � qy<br />
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2 h<br />
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hS<br />
4 hS<br />
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(5.18b)<br />
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� �<br />
2 hS<br />
�<br />
hS<br />
�<br />
Bei einem Vergleich der Formeln (5.16a), (5.16b) für freie Drehachse mit den<br />
Formeln (5.18a), (5.18b) für gebundene Drehachse fällt auf, daß sich die Anteile aus<br />
Biegemoment My mit den Verformungen v � �,<br />
��� bei gebundener Drehachse gegenseitig<br />
aufheben. Die Anteile aus den Gurtbiegesteifigkeiten EIz,OG und EIz,UG entfallen<br />
ebenfalls bei gebundener Drehachse, so daß die Gleichungen (5.18a) und (5.18b)<br />
keine vierten Ableitungen der Verformungen v und � enthalten.<br />
47
48<br />
5.3 Verifikation des EBV-BDK<br />
In diesem Abschnitt wird anhand ausgewählter Beispiele gezeigt, daß Stabilisierungslasten<br />
mit dem EBV-BDK zutreffend ermittelt werden können. Dazu wird<br />
der Lösungsvektor der Verformungen gemäß Gleichung (4.8) aus dem in Abschnitt 4<br />
beschriebenen Matrizenverfahren nach Friemann/Stroetmann sowohl auf die<br />
Elastizitätsgleichungen (4.11) bis (4.18) als auch auf die Gleichungen (5.16a), (5.16b)<br />
für die Ersatzlasten des EBV-BDK angewendet. Die so erhaltenen Ergebnisse werden<br />
zusätzlich mit Programmberechnungen nach Biegetorsionstheorie II. Ordnung<br />
verglichen, die nachfolgend als genaue Lösung bezeichnet werden.<br />
Bild 5.4 Beispiel für Stabilisierungslasten eines Trägers mit Schubfeld am Obergurt<br />
nach [23]<br />
Untersucht wird das in Bild 5.4 dargestellte Beispiel aus der Literatur [23]. Die Stabilisierungslasten<br />
des gabelgelagerten und durch ein Schubfeld gestützten Trägers<br />
werden für drei verschiedene Lastfälle berechnet, wobei der Lastangriff der Querlast<br />
qz und die Stützung durch das Schubfeld <strong>im</strong> Obergurtmittelpunkt erfolgen.<br />
Alle drei Lastfälle weisen ein gleich großes max<strong>im</strong>ales Feldmoment von<br />
MF = 1125 kNm auf. Die auf das Schubfeld wirkenden Stabilisierungslasten sind<br />
aber sowohl bezüglich der Max<strong>im</strong>alwerte als auch bezüglich der Veränderlichkeit in<br />
Trägerlängsrichtung für alle drei Lastfälle sehr unterschiedlich.<br />
In den Bildern 5.5a bis 5.5c sind die Verläufe der Stabilisierungslast qS graphisch<br />
dargestellt. Man erkennt, daß die Ergebnisse der genauen Berechnung sehr gut sowohl<br />
von der Elastizitätsgleichung (4.14) als auch von der Gleichung (5.16a) des EBV-<br />
BDK angenähert werden können. Lediglich der starke Abfall der negativen Stabilisierungslasten<br />
in Auflagernähe bei den Lastfällen 1 und 2 kann mit dem EBV-BDK<br />
nicht abgebildet werden. Dieses Phänomen kann mit der Zunahme der Eigenbiegesteifigkeit<br />
des stabilisierten Trägers um die schwache Achse in Auflagernähe relativ
zur Steifigkeit der seitlichen Halterung erklärt werden. In dem Maße, in dem die<br />
Schubfeldbelastung in Auflagernähe abn<strong>im</strong>mt, steigt die Querkraft Vy <strong>im</strong> Träger<br />
selbst.<br />
qs [kN/m]<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
LF 1: q z= 10 kN/m<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
DRILL<br />
Friemann/Stroetmann Gl. (4.14)<br />
EBV-BDK Gl. (5.16a)<br />
Bild 5.5a Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL,<br />
Gleichung (4.14) und Gleichung (5.16a) für LF1<br />
qs [kN/m]<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
LF 2: q z= 20 kN/m, M s= -1125 kNm<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
DRILL<br />
Friemann/Stroetmann Gl. (4.14)<br />
EBV-BDK Gl. (5.16a)<br />
Bild 5.5b Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL,<br />
Gleichung (4.14) und Gleichung (5.16a) für LF2<br />
49
50<br />
qs [kN/m]<br />
0,8<br />
0,7<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
LF 3: M s= 1125 kNm<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
DRILL<br />
Friemann/Stroetmann Gl. (4.14)<br />
EBV-BDK Gl. (5.16a)<br />
Bild 5.5c Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL,<br />
Gleichung (4.14) und Gleichung (5.16a) für LF3<br />
Im Lastfall 3 mit konstantem Biegemoment liefern die Programmberechnung und die<br />
beiden Näherungsgleichungen identische Ergebnisse, da die Sinushalbwelle für die<br />
Trägerverformungen v und � in diesem Fall die exakte Lösung darstellt.<br />
Einfluß der Steifigkeit der Gurthalterung auf die Güte der mit dem EBV-BDK<br />
berechneten Stabilisierungslasten<br />
Da die nach EBV-BDK berechneten Ergebnisse für die Stabilisierungslasten qS vom<br />
Verhältnis Gurtbiegesteifigkeit des Trägers zu Steifigkeit der Gurthalterung beeinflußt<br />
werden, soll anhand eines zweiten Beispieles gezeigt werden, wie groß dieser Einfluß<br />
ist und für welche Steifigkeitsverhältnisse das EBV-BDK brauchbare Ergebnisse<br />
liefert.<br />
Bild 5.6 Einfeldträger mit Wegfederbettung am Obergurt
Es wird der in Bild 5.6 dargestellte Träger mit Wegfederbettung am Obergurt untersucht,<br />
wobei die Größe der Federsteifigkeit cy variiert wird. Als Bezugswert für die<br />
Federsteifigkeit cy dient die Gurtbiegesteifigkeit auf der Grundlage einer Sinushalbwelle<br />
als Verformungsfigur des Trägers gemäß Gleichung (5.19).<br />
4<br />
4<br />
cGurt 4<br />
EIz<br />
� 21000 �1318<br />
�<br />
� � �<br />
� � 13,<br />
48 kN/m 4<br />
2<br />
2 L 2 �100<br />
10<br />
2 (5.19)<br />
Die Federsteifigkeit der seitlichen Halterung cy wird gemäß Gleichung (5.20) auf die<br />
Gurtbiegesteifigkeit des Trägers normiert. Man erhält dadurch eine bezogene<br />
Federsteifigkeit cy .<br />
cy<br />
cy � (5.20)<br />
c<br />
Gurt<br />
Die Berechnung der Stabilisierungslasten für den Träger in Bild 5.6 erfolgt für<br />
bezogene Federsteifigkeiten cy � 10 , 100 und 1000. Die Ergebnisse sind in den<br />
Bildern 5.7a bis 5.7c graphisch dokumentiert. Dabei sind die Stabilisierungslasten des<br />
EBV-BDK Gleichung (5.16a) jeweils den Ergebnissen der Elastizitätsgleichung (4.12)<br />
und den Ergebnissen einer FEM-Berechnung mit dem Programm BTII [77]<br />
gegenübergestellt.<br />
qs [kN/m]<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
-0,2<br />
-0,3<br />
-0,4<br />
c y = 134,8 kN/m 2<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
-0,1<br />
x/L<br />
BT II<br />
Friemann/Stroetmann Gl. (4.12)<br />
EBV-BDK Gl. (5.16a)<br />
Bild 5.7a Stabilisierungslasten für Wegfederbettung am Obergurt c y = 10<br />
51
52<br />
qs [kN/m]<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
-0,2<br />
-0,3<br />
-0,4<br />
c y = 1348 kN/m 2<br />
0<br />
0<br />
-0,1<br />
0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
BT II<br />
Friemann/Stroetmann Gl. (4.12)<br />
EBV-BDK Gl. (5.16a)<br />
Bild 5.7b Stabilisierungslasten für Wegfederbettung am Obergurt c y = 100<br />
qs [kN/m]<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
-0,2<br />
-0,3<br />
-0,4<br />
c y = 13480 kN/m 2<br />
0<br />
0<br />
-0,1<br />
0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
BT II<br />
Friemann/Stroetmann Gl. (4.12)<br />
EBV-BDK Gl. (5.16a)<br />
Bild 5.7c Stabilisierungslasten für Wegfederbettung am Obergurt c y = 1000
Mit den berechneten, in den Bildern 5.7a bis 5.7c graphisch dargestellten Stabilisierungslasten<br />
qS lassen sich folgende Erkenntnisse gewinnen.<br />
� Die Elastizitätsgleichung (4.12) liefert in allen Fällen eine gute Übereinst<strong>im</strong>mung<br />
mit der FEM-Berechnung.<br />
� Die Gleichung (5.16a) des EBV-BDK führt bei kleinen Federsteifigkeiten cy zu<br />
schlechten Ergebnissen für die Stabilisierungslasten qS. Dies liegt am relativ<br />
großen Anteil der Gurtbiegesteifigkeit in Verbindung mit den Verformungen<br />
v � ���,<br />
����� , die durch die Sinusreihen offensichtlich nur unzureichend beschrieben<br />
werden können. Für die 1000-fache Federsteifigkeit cy sind die Ergebnisse des<br />
EBV-BDK von vergleichbarer Güte wie diejenigen der Elastizitätsgleichung.<br />
Die untersuchten Beispiele zeigen, daß das EBV-BDK zur Berechnung von Stabilisierungslasten<br />
seitlich gestützter Träger geeignet ist, wenn eine quasi gebundene<br />
Drehachse in Höhe der Trägergurte vorliegt. Die Berechnung der Stabilisierungslasten<br />
mit den Gleichungen (5.16a) und (5.16b) hat dabei den Vorteil, daß der Einfluß der<br />
verschiedenen Parameter wie Normalkraftverlauf N, Biegemomentenverlauf My,<br />
Querkraftverlauf Vz, Lastangriffspunkt zp, Torsionssteifigkeit GIT, Drehbettung c�,<br />
Vorverformung v0, �0 und elastische Verformung v, � auf die Stabilisierungslasten<br />
sichtbar wird.<br />
Nachteilig wirkt sich auf die Genauigkeit der berechneten Stabilisierungslasten eine<br />
seitliche Halterung mit geringer Steifigkeit aus. In diesem Fall wird ein größerer<br />
Anteil der Stabilisierungslasten durch die Eigenbiegesteifigkeit des Trägergurtes<br />
abgetragen (jeweils letzter Summand in den Gleichungen (5.16a) und (5.16b)). Da<br />
dieser Term die vierten Ableitungen der Verformungen v und � enthält, ist die Näherungslösung<br />
mit Sinusreihenansätzen für v und � zu ungenau. Baupraktische seitliche<br />
Aussteifungen für Träger in Form von Stahlbetonscheiben, Verbänden oder Schubfeldern<br />
sind in der Regel jedoch einige Zehnerpotenzen steifer als die Eigenbiegesteifigkeit<br />
des Trägers um die z-Achse.<br />
Für den Grenzfall der unverschieblichen gebundenen Drehachse am Ober- oder<br />
Untergurt gehen die Gleichungen (5.16a), (5.16b) in die Gleichungen (5.18a), (5.18b)<br />
über. Da in diesen Gleichungen keine höheren Ableitungen als die zweite Ableitung<br />
der Verformung � auftreten, weisen die mit Sinusreihenansätzen berechneten Ergebnisse<br />
eine steigende Genauigkeit auf, in dem Maße wie die Steifigkeit der seitlichen<br />
Halterung <strong>im</strong> Verhältnis zur Eigenbiegesteifigkeit des gestützten Trägergurtes<br />
zun<strong>im</strong>mt.<br />
53
54<br />
6 Stabilisierungslasten von Trägern mit gebundener<br />
Drehachse<br />
6.1 Belastung durch Streckentorsionsmomente mx<br />
6.1.1 Vorbemerkungen<br />
Die Vielzahl der Einflüsse auf Stabilisierungslasten be<strong>im</strong> Biegetorsionsproblem nach<br />
Theorie II. Ordnung mit Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion führt dazu, daß die<br />
Ergebnisse von Programmberechnungen z.B. mit BT II [77] oder DRILL [24] <strong>im</strong><br />
Hinblick auf den Einfluß einzelner Systemparameter wie planmäßige Belastung,<br />
Vorverformung oder Drehbettung des stabilisierten Trägers nur schwer interpretiert<br />
werden können. Um die Anschauung zum Tragverhalten von seitlich gestützten<br />
Biegeträgern und den auftretenden Stabilisierungslasten zu fördern, ist es daher<br />
erforderlich, bewußt einfache Systeme und Belastungen zu untersuchen, an denen der<br />
Einfluß einzelner Systemparameter nachvollzogen werden kann.<br />
Als einfachster Fall der Art der seitlichen Stützung wird in Abschnitt 6 einheitlich<br />
eine kontinuierliche unverschiebliche seitliche Halterung <strong>im</strong> Obergurtmittelpunkt<br />
zugrunde gelegt, wodurch sich für den stabilisierten Träger eine gebundene Drehachse<br />
ergibt. Als weitere Vereinfachung wird in Abschnitt 6.1 mit dem Lastfall konstantes<br />
Streckentorsionsmoment mx ein Problem der Theorie I. Ordnung untersucht. Es soll<br />
damit geklärt werden, welchen Einfluß die Torsionssteifigkeit und die Drehbettung<br />
eines seitlich gestützten Trägers auf die Kräfte in der seitlichen Halterung eines<br />
torsionsbeanspruchten Trägers ausüben, ohne daß Effekte der Theorie II. Ordnung<br />
eine Rolle spielen.<br />
Bild 6.1 zeigt ein Beispiel für den hier behandelten Fall eines gabelgelagerten Trägers<br />
mit gebundener Drehachse <strong>im</strong> Obergurtmittelpunkt und Belastung durch konstantes<br />
Streckentorsionsmoment mx. Da in diesem Fall kein Stabilitätsproblem vorliegt, ist es<br />
streng genommen nicht richtig, die Kräfte, welche auf die Obergurthalterung wirken,<br />
als Stabilisierungslasten zu bezeichnen. Die Belastung der Obergurthalterung entsteht<br />
als Auflagerreaktion, da die Torsionsverdrehung � des Trägers durch die Exzentrizität<br />
der Halterung zum Schubmittelpunkt behindert wird.<br />
Bild 6.1 Gabelgelagerter Träger mit gebundener Drehachse <strong>im</strong> Obergurtmittelpunkt<br />
und Belastung durch Streckentrosionsmoment mx
6.1.2 Einfluß der Lastabtragung durch Wölbkrafttorsion auf die<br />
Trägerverformungen nach Theorie I. Ordnung<br />
Durch Ausnutzung der Analogie zwischen den Differentialgleichungen für Biegung<br />
mit Zugkraft, Gleichung (6.1), und Wölbkrafttorsion, Gleichung (6.2), kann<br />
Gleichung (6.3) als Näherung für die Verdrehung �m des Trägers in Feldmitte angegeben<br />
werden.<br />
EI � w����<br />
� Z�<br />
w��<br />
� c � w � q<br />
(6.1)<br />
y<br />
EI ����� ��� �<br />
�<br />
w<br />
z<br />
� , D � � GIT<br />
� � c�<br />
��<br />
mx<br />
(6.2)<br />
m<br />
�<br />
5<br />
384<br />
I�,D = 2 · I�<br />
4<br />
mx<br />
� L<br />
�<br />
EI<br />
�,<br />
D<br />
��<br />
T<br />
55<br />
(6.3)<br />
(6.4)<br />
1<br />
� T �<br />
(6.5)<br />
2<br />
�T<br />
1�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
I<br />
T<br />
*<br />
T<br />
mit<br />
� L �<br />
GI<br />
EI<br />
T<br />
�,<br />
D<br />
2<br />
*<br />
T<br />
* GI<br />
� T � L �<br />
(6.6)<br />
EI<br />
�,<br />
D<br />
c�<br />
L<br />
� IT<br />
� �<br />
(6.7)<br />
2 G �<br />
I�,D = Wölbwiderstand, bezogen auf den Drillruhepunkt in Obergurtmitte<br />
�T = Verringerungsfaktor zur Berücksichtigung der St. Venant’schen Torsions-<br />
�T =<br />
steifigkeit<br />
Stabkennzahl, *<br />
� T = Stabkennzahl mit Drehbettung<br />
*<br />
I T = ideeller St. Venant’scher Torsionswiderstand mit näherungsweiser Berücksichtigung<br />
der Drehbettung c� durch Annahme einer Sinushalbwelle als<br />
Verlauf der Verdrehung �<br />
Für einen Träger ohne Obergurthalterung gelten ebenfalls die Gleichungen (6.3) bis<br />
(6.7). In diesem Fall ist aber der Schubmittelpunkt der Drillruhepunkt und damit gilt<br />
Gleichung (6.8) anstelle von Gleichung (6.4).<br />
I�,D = I� (6.8)<br />
Für das Verhältnis der Torsionsverdrehung �m,frei bei freier Drehachse zur Torsionsverdrehung<br />
�m,gebunden bei gebundener Drehachse am Obergurt kann Gleichung (6.9)<br />
angegeben werden. Sie n<strong>im</strong>mt Zahlenwerte zwischen 1 und 2 an.
56<br />
�<br />
�<br />
m,<br />
frei<br />
m,<br />
gebunden<br />
� 2<br />
L GI<br />
�<br />
T<br />
2�<br />
�<br />
1�<br />
�<br />
2<br />
� � 2�<br />
EI<br />
�<br />
2<br />
L GIT*<br />
1�<br />
�<br />
2<br />
� EI<br />
�<br />
*<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
(6.9)<br />
Bei großen Trägerlängen L strebt Gleichung (6.9) gegen den Wert 1. In diesem Fall<br />
überwiegt die Lastabtragung durch St. Venant’sche Torsion und die seitliche<br />
Halterung hat praktisch keinen Einfluß auf die Verdrehung �.<br />
Bei kleinen Trägerlängen L strebt Gleichung (6.9) gegen den Wert 2. In diesem Fall<br />
überwiegt die Lastabtragung durch Wöblkrafttorsion oder anschaulich durch Gurtbiegung.<br />
Die seitliche Halterung am Obergurt verhindert die Verformung des<br />
Obergurtes, so daß nur Untergurtbiegung auftritt und dadurch <strong>im</strong> Grenzfall der reinen<br />
Wölbkrafttorsion die Verdrehung � <strong>im</strong> Vergleich zur freien Drehachse genau halbiert<br />
wird.<br />
Aus diesen einfachen Überlegungen läßt sich die Aussage ableiten, daß eine seitliche<br />
Halterung bei kurzen Trägern mit überwiegendem Lastabtrag durch Wölbkrafttorsion<br />
stärker beansprucht wird als eine seitliche Halterung bei langen Trägern mit überwiegendem<br />
Lastabtrag durch St. Venant’sche Torsion.<br />
6.1.3 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem EBV-BDK<br />
Gemäß dem in Abschnitt 5 hergeleiteten Ersatzbelastungsverfahren-Biegedrillknicken<br />
können die Kräfte in der seitlichen Halterung für den vorliegenden Fall mit Gleichung<br />
(6.10) berechnet werden.<br />
1<br />
S � �(<br />
mx<br />
� GI ����<br />
� c�<br />
��<br />
) (6.10)<br />
h<br />
q T<br />
S<br />
Die unbekannte Verformung � und ihre zweite Ableitung ��� werden mit der<br />
Energiemethode best<strong>im</strong>mt, wobei als Ansatzfunktionen symmetrische Sinusreihen mit<br />
ungerader Halbwellenanzahl verwendet werden.<br />
� �<br />
�<br />
j<br />
�<br />
j<br />
j�<br />
��<br />
x<br />
�sin<br />
j = 1,3,5,7,9 (6.11)<br />
L<br />
Durch Einsetzen der Ansatzfunktionen in die virtuelle Arbeit des vorliegenden<br />
Problems und Durchführung der Integration erhält man ein Gleichungssystem zur<br />
Berechnung der Freiwerte �j. Die virtuelle Arbeit der inneren Torsionsschnittgrößen<br />
und der Drehbettung gemäß Gleichung (6.13) liefert eine Steifigkeitsmatrix, die<br />
virtuelle Arbeit des äußeren Torsionsmomentes gemäß Gleichung (6.14) einen<br />
Lastvektor.<br />
� W � �W<br />
� �W<br />
(6.12)<br />
e<br />
p
L<br />
�We � ��<br />
�2�EI� ����<br />
�����<br />
� GIT<br />
���<br />
����<br />
� c�<br />
��<br />
����dx<br />
(6.13)<br />
0<br />
L<br />
��mx����<br />
�W<br />
� dx<br />
(6.14)<br />
p<br />
0<br />
Die Integralausdrücke der Produkte von Sinus- und Cosinusfunktionen mit unterschiedlicher<br />
Halbwellenanzahl j werden zu Null, so daß nur die Hauptdiagonale der<br />
Steifigkeitsmatrix besetzt ist. Das Gleichungssystem zur Berechnung der Freiwerte �j<br />
ist entkoppelt, da ein Problem nach Theorie I. Ordnung vorliegt. Für jeden Freiwert �j<br />
gilt Gleichung (6.15).<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� 4<br />
j�<br />
��<br />
�<br />
j � 2�<br />
EI<br />
�<br />
4�<br />
m<br />
x<br />
j (6.15)<br />
4<br />
2<br />
2<br />
� � j �GIT<br />
� c<br />
4<br />
2 �<br />
�<br />
�<br />
L<br />
�<br />
�<br />
L<br />
Die Belastung der seitlichen Halterung am Obergurt wird mit Hilfe der so ermittelten<br />
Verdrehung � des Trägers berechnet. Gemäß Gleichung (6.16) kann eine Aufspaltung<br />
in drei Anteile erfolgen.<br />
q<br />
q<br />
q<br />
S � qS,<br />
m � qS,<br />
GI � q<br />
x<br />
T S,<br />
c�<br />
S,<br />
m<br />
x<br />
S, GIT<br />
S<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
57<br />
(6.16)<br />
m x � (6.17)<br />
h<br />
GI<br />
� �<br />
h<br />
S<br />
T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
c�<br />
j�<br />
��<br />
x<br />
� � ��<br />
� �sin<br />
� h<br />
L<br />
j<br />
2<br />
� j�<br />
� � j�<br />
��<br />
x<br />
��<br />
� �sin<br />
� L � L<br />
(6.18)<br />
qS , c<br />
j<br />
(6.19)<br />
S<br />
Die als Stabilisierungsquerkraft QS bezeichnete aufintegrierte Belastung der seitlichen<br />
Halterung, die der Schubfeldkraft in einem Schubfeld oder der Querkraft in einem<br />
Aussteifungsverband entspricht, ergibt sich durch Integration der Gleichungen (6.17)<br />
bis (6.19) und Einarbeitung der Randbedingungen des gabelgelagerten Trägers.<br />
Q<br />
Q<br />
S<br />
� QS,<br />
m � QS,<br />
GI � QS,<br />
c<br />
S, mx<br />
x<br />
m<br />
�<br />
h<br />
x<br />
S<br />
�<br />
T<br />
L � x �<br />
��1<br />
� 2�<br />
�<br />
2 � L �<br />
�<br />
(6.20)<br />
(6.21)<br />
GIT<br />
� � ��<br />
�<br />
hS<br />
j�<br />
� j�<br />
��<br />
x<br />
� �cos<br />
L L<br />
(6.22)<br />
c�<br />
� � ��<br />
�<br />
� h<br />
L j�<br />
��<br />
x<br />
� �cos<br />
j�<br />
� L<br />
Q , GI<br />
j<br />
S T<br />
QS , c<br />
j<br />
(6.23)<br />
S
58<br />
6.1.4 Einfluß der Lastabtragung durch Wölbkrafttorsion auf die<br />
Stabilisierungslasten<br />
Um den Einfluß der Lastabtragung durch Wölbkrafttorsion, St. Venant’sche Torsion<br />
und Drehbettung aufzuzeigen, werden die Stabilisierungslast qS und die Stabilisierungsquerkraft<br />
QS mit den oben hergeleiteten Formeln für den Träger in Bild 6.1<br />
berechnet. Das Torsionstragverhalten des Trägers, charakterisiert durch die Stabkenn-<br />
zahl �T bzw. *<br />
T<br />
� gemäß Gleichung (6.6), wird für diesen Zweck variiert, indem jeweils<br />
drei verschiedene Trägerlängen mit und ohne Drehbettung untersucht werden.<br />
Bild 6.2 zeigt den Verlauf der Stabilisierungslast qS in Trägerlängsrichtung für alle<br />
sechs untersuchten Varianten. Es sind jeweils alle Einzelanteile q S,<br />
m , q<br />
x S,<br />
GI , q<br />
T S,<br />
c ,<br />
�<br />
und qS als Summe der Einzelanteile über die Trägerlänge graphisch dargestellt.<br />
Trägerlänge L, Drehbettung c� und Stabkennzahl �T bzw. *<br />
� T der Varianten sind <strong>im</strong><br />
Kopf der einzelnen Diagramme angegeben. Bild 6.3 zeigt in analoger Weise den<br />
Verlauf der Stabilisierungsquerkraft QS für alle sechs untersuchten Varianten.<br />
Anhand der berechneten Beispiele ist deutlich zu erkennen, wie die Stabilisierungslast<br />
qS mit größer werdender Trägerlänge <strong>im</strong> Feldbereich des Trägers reduziert wird. Der<br />
negative Anteil q , der den positiven konstanten Anteil q aus der äußeren Be-<br />
S,<br />
GIT<br />
S,<br />
mx<br />
lastung reduziert, wächst entsprechend der zunehmenden Lastabtragung durch St. Venant’sche<br />
Torsion bei größer werdender Stabkennzahl �T. Für Stabkennzahlen �T > 5<br />
überwiegt der Lastabtrag durch St. Venant’sche Torsion und die Stabilisierungslast qS<br />
in Feldmitte geht gegen Null.<br />
Auch durch Vorhandensein einer Drehbettung c� wird die Stabilisierungslast qS<br />
reduziert. Die Wirkung einer Drehbettung fällt dabei umso größer aus, je länger der<br />
untersuchte Träger ist. Be<strong>im</strong> kurzen Träger mit Drehbettung ( *<br />
� T = 2,56) überwiegt<br />
die Reduzierung der Stabilisierungslast infolge GIT. Für den langen Träger mit Drehbettung<br />
( *<br />
� T = 21,78) ist der Beitrag der Eigentorsionssteifigkeit des Trägers zum<br />
Lastabtrag <strong>im</strong> Vergleich zur Drehbettung zu vernachlässigen.<br />
Bezüglich der max<strong>im</strong>alen Stabilisierungsquerkraft QS am Auflager fällt auf, daß sich<br />
das Anwachsen von Q S,<br />
m und die Reduzierung durch Q<br />
x<br />
S,<br />
GI und Q<br />
T<br />
S,<br />
c mit<br />
�<br />
steigender Trägerlänge ungefähr die Waage halten. Die max<strong>im</strong>ale Querkraft in der<br />
seitlichen Halterung weist deshalb für alle sechs untersuchten Varianten die gleiche<br />
Größenordnung auf.<br />
Um den Fehler abschätzen zu können, der durch die Approx<strong>im</strong>ation der<br />
Trägerverdrehung � durch Sinusreihen entsteht, wurden alle sechs Beispielvarianten<br />
auch mit dem FEM-Programm BT II berechnet. Die Abweichung in der Verformung<br />
� und in der Querkraft QS beträgt in allen Fällen weniger als 1 % über die gesamte<br />
Trägerlänge.
L = 5 m c � = 0 �T = 2,24<br />
qs [kN/m]<br />
3,0<br />
2,0<br />
1,0<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
-1,0<br />
-2,0<br />
L = 10 m c � = 0 �T = 4,48<br />
qs [kN/m]<br />
3,0<br />
2,0<br />
1,0<br />
-2,0<br />
-3,0<br />
x/L<br />
qs,GIt<br />
qs,mx<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
-1,0<br />
L = 20 m c � = 0 �T = 8,97<br />
qs [kN/m]<br />
3,0<br />
2,0<br />
1,0<br />
-2,0<br />
x/L<br />
qs<br />
qs,GIt<br />
qs,mx<br />
qs<br />
qs,GIt<br />
qs,mx<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
-1,0<br />
qs<br />
L = 5 m c � = 5 kNm/m<br />
� � T = 2,56<br />
qs [kN/m]<br />
3,0<br />
2,0<br />
1,0<br />
-1,0<br />
-2,0<br />
59<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
L = 10 m c � = 5 kNm/m<br />
� � T = 6,69<br />
qs [kN/m]<br />
3,0<br />
2,0<br />
1,0<br />
-1,0<br />
-2,0<br />
x/L<br />
qs,GIt<br />
qs,mx<br />
qs,c<br />
qs �<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
L = 20 m c � = 5 kNm/m<br />
� � T = 21,78<br />
3,0<br />
2,0<br />
1,0<br />
-2,0<br />
x/L<br />
qs,GIt<br />
qs,mx<br />
qs,c<br />
qs �<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
-1,0<br />
-3,0<br />
-3,0<br />
x/L<br />
x/L<br />
Bild 6.2 Anteile an der Stabilisierungslast qS des Trägers aus Bild 6.1 für verschiedene<br />
Trägerlängen mit und ohne Drehbettung<br />
qs [kN/m]<br />
qs,GIt<br />
qs,mx<br />
qs,c<br />
qs �
60<br />
L = 5 m c � = 0 �T = 2,24<br />
Qs [kN]<br />
8,0<br />
4,0<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
-4,0<br />
-8,0<br />
L = 10 m c � = 0 �T = 4,48<br />
Qs [kN]<br />
16,0<br />
8,0<br />
-8,0<br />
-16,0<br />
x/L<br />
Qs,GIt<br />
Qs,mx<br />
Qs<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
L = 20 m c � = 0 �T = 8,97<br />
Qs [kN]<br />
32,0<br />
16,0<br />
x/L<br />
Qs,GIt<br />
Qs,mx<br />
Qs<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
-16,0<br />
-32,0<br />
x/L<br />
Qs,GIt<br />
Qs,mx<br />
Qs<br />
L = 5 m c � = 5 kNm/m<br />
� � T = 2,56<br />
Qs [kN]<br />
8,0<br />
4,0<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
-4,0<br />
-8,0<br />
L = 10 m c � = 5 kNm/m<br />
� � T = 6,69<br />
Qs [kN]<br />
16,0<br />
8,0<br />
-8,0<br />
-16,0<br />
x/L<br />
Qs,GIt<br />
Qs,mx<br />
Qs,c<br />
Qs �<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
L = 20 m c � = 5 kNm/m<br />
� � T = 21,78<br />
Qs [kN]<br />
32,0<br />
16,0<br />
-16,0<br />
-32,0<br />
x/L<br />
Qs,GIt<br />
Qs,mx<br />
Qs,c<br />
Qs �<br />
0,0<br />
0 0,5 1<br />
x/L<br />
Qs,GIt<br />
Qs,mx<br />
Qs,c�<br />
Qs<br />
Bild 6.3 Anteile an der Stabilisierungsquerkraft QS des Trägers aus Bild 6.1 für verschiedene<br />
Trägerlängen mit und ohne Drehbettung
6.2 Belastung durch konstante Schnittgrößen N und My<br />
6.2.1 Lösung der Differentialgleichung bei sinusförmiger Vorkrümmung<br />
In Abschnitt 6.2 wird die Berechnung der Stabilisierungslasten obergurtgestützter<br />
Träger auf eine unplanmäßige Torsionsbeanspruchung infolge einachsiger Biegung<br />
mit Normalkraft und Vorverformung nach Theorie II. Ordnung erweitert. Um<br />
geschlossene formelmäßige Lösungen angeben zu können, werden konstante Schnittgrößenverläufe<br />
vorausgesetzt.<br />
Betrachtet wird der gabelgelagerte Einfeldträger mit Drehbettung und gebundener<br />
Drehachse <strong>im</strong> Obergurtmittelpunkt gemäß Bild 6.4. Die Belastung kann aus einer in<br />
Trägerlängsrichtung konstanten Normalkraft N und aus einem in Trägerlängsrichtung<br />
konstanten Biegemoment My bestehen. Eine positive Normalkraft N ist als Zugkraft<br />
definiert. Für das Biegemoment My gilt, daß bei positivem Vorzeichen der Obergurt<br />
und bei negativem Vorzeichen der Untergurt gedrückt wird. Als geometrische<br />
Ersatz<strong>im</strong>perfektion wird in Übereinst<strong>im</strong>mung mit den Regelungen <strong>im</strong> EC3 [2] und <strong>im</strong><br />
Normkommentar zu DIN 18800 [63] eine Vorkrümmung v0 als Sinushalbwelle angesetzt.<br />
Die Differentialgleichung der Verdrehung � zur Beschreibung des vorliegenden<br />
Problems mit gebundener Drehachse lautet<br />
2<br />
EI<br />
������<br />
� GI<br />
����<br />
� c<br />
� �<br />
T �<br />
��<br />
�<br />
h<br />
S<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� 4<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � � �� 2<br />
� h<br />
� S 2<br />
M ���<br />
� � i � � N ���<br />
y<br />
hS = mx – qy · (6.24)<br />
2<br />
mit<br />
mx = äußeres Streckentorsionsmoment<br />
qy = Streckenlast <strong>im</strong> Schubmittelpunkt des Trägers angreifend<br />
Bild 6.4 Gabelgelagerter Einfeldträger mit gebundener Drehachse am Obergurt, sinusförmiger<br />
Vorkrümmung und Belastung durch konstantes Biegemoment My<br />
bzw. konstante Normalkraft N<br />
p<br />
61
62<br />
Da <strong>im</strong> vorliegenden Fall keine äußeren Lasten mx und qy angreifen, ergibt sich die<br />
rechte Seite von Gleichung (6.24) nur infolge der Vorverformung in Verbindung mit<br />
den Schnittgrößen des Trägers. <strong>Zur</strong> Herleitung dieser Ersatzbelastung infolge<br />
Vorverformung ist es erforderlich, die gekoppelten Differentialgleichungen der Verformungen<br />
v und � (6.25) und (6.26) des vorverformten Trägers mit freier Drehachse<br />
zu betrachten. Der Grund dafür liegt darin, daß die geometrische Ersatz<strong>im</strong>perfektion<br />
nicht mit den Randbedingungen des Systems verträglich sein muß und folglich auch<br />
nicht der bei gebundener Drehachse vorliegenden kinematischen Beziehung zwischen<br />
den Verformungen v und � unterliegt.<br />
z<br />
�My�( �0<br />
� �)<br />
�� � ( N �(<br />
v0<br />
� v)<br />
�)<br />
� q y<br />
EI � v����<br />
�<br />
�<br />
(6.25)<br />
2 �<br />
�N �i<br />
p �(<br />
�0<br />
� �)<br />
��<br />
m x<br />
EI ����� ��� ��<br />
�<br />
� � � GIT<br />
� � c�<br />
��<br />
� M y �(<br />
v0<br />
� v)<br />
�<br />
(6.26)<br />
Bringt man die Terme, die die Vorverformungen v0 und �0 enthalten, auf die rechte<br />
Seite, kann man sie als Ersatzbelastungen infolge Vorverformung behandeln.<br />
q � �M<br />
����<br />
� N � v��<br />
(6.27)<br />
y,<br />
0<br />
x,<br />
0<br />
y<br />
y<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
p<br />
m � �M<br />
� v��<br />
� N �i<br />
����<br />
(6.28)<br />
0<br />
Durch Einsetzen in Gleichung (6.24) erhält man die Differentialgleichung des<br />
vorverformten Trägers mit gebundener Drehachse.<br />
2<br />
EI�<br />
������<br />
� GIT<br />
����<br />
� c<br />
� 2<br />
hS<br />
2 �<br />
��<br />
� hS<br />
�(<br />
M y ���)<br />
� � � i � p �(<br />
N ���)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
4 �<br />
� �<br />
2 hS<br />
hS<br />
= � M y � v�0�<br />
� N �i<br />
p ���0<br />
� � M y � ���0<br />
� � N � � v�0�<br />
2 2<br />
(6.29)<br />
� �<br />
Für den Sonderfall von in Trägerlängsrichtung konstanten Querschnitts- und<br />
Bettungswerten in Verbindung mit konstanten Schnittgrößen N und My liegt eine<br />
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten vor. Wird als Form der Vorverformung,<br />
wie in Bild 6.4, eine Sinushalbwelle gewählt, so ergibt sich als exakte<br />
Lösung für den Verlauf der Verdrehung � ebenfalls eine mit den Randbedingungen<br />
des gabelgelagerten Trägers verträgliche Sinushalbwelle.<br />
��<br />
x<br />
� ( x)<br />
� �m<br />
�sin<br />
(6.30)<br />
L<br />
Wird als Form der Vorverformung eine quadratische Parabel gewählt, so ist die rechte<br />
Seite von Gleichung (6.29) keine Sinushalbwelle, sondern konstant. Die Lösung für<br />
die Verdrehung � weicht in diesem Fall von der Sinushalbwelle der Gleichung (6.30)<br />
ab.<br />
Für die Verdrehung �m in Feldmitte des Trägers mit Sinushalbwelle als Form der<br />
Vorkrümmung v0 ergibt sich als exakte Lösung:
�<br />
m<br />
�<br />
2�<br />
EI<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
L<br />
2<br />
� hS<br />
�<br />
v0,<br />
m ��<br />
N � � M y �<br />
� 2 �<br />
2<br />
2<br />
L � hS<br />
2 �<br />
� GIT<br />
� c � � N ��<br />
i �<br />
� 2 �<br />
� p � M<br />
� 4 �<br />
� �<br />
y<br />
� h<br />
S<br />
63<br />
(6.31)<br />
Man kann dem Zähler von Gleichung (6.31) entnehmen, daß der Stich der Verdrehung<br />
�m proportional zum Stich der Vorkrümmung v0,m ist. Zugkräfte und Biegemomente<br />
mit gezogenem Untergurt verursachen positive Verdrehungen �, wenn die Vorkrümmung<br />
v0 in positiver y-Richtung angesetzt wird. Für Druckkräfte und Biegemomente<br />
mit gedrücktem Untergurt ergeben sich negative Verdrehungen �.<br />
Bei Betrachtung des Nenners von Gleichung (6.31) erkennt man, daß Zugkräfte oder<br />
Biegemomente mit gezogenem Untergurt die Verdrehung � verringern und Druckkräfte<br />
oder Biegemomente mit gedrücktem Untergurt die Verdrehung � vergrößern.<br />
Dies entspricht der Anschauung, daß Druckspannungen <strong>im</strong> ungestützten Untergurt des<br />
Trägers zu einem Stabilitätsproblem führen, welches durch eine überproportionale<br />
Zunahme der Verformungen bei Laststeigerung gekennzeichnet ist.<br />
Für reine Normalkraftbeanspruchung kann Gleichung (6.31) auch als Gleichung<br />
(6.32) geschrieben werden. Betrachtet man reine Biegemomentenbeanspruchung,<br />
ergibt sich analog Gleichung (6.33).<br />
v0,<br />
m<br />
� m �<br />
��<br />
2 �,<br />
N<br />
(6.32)<br />
Ki,<br />
1<br />
� h i �<br />
� S p<br />
� 2�<br />
�<br />
� 2 h �<br />
�<br />
S �<br />
v0,<br />
m<br />
� m � ��<br />
�,<br />
M<br />
(6.33)<br />
Ki,<br />
1<br />
h<br />
mit<br />
S<br />
N<br />
NKi,<br />
1<br />
�� , N �<br />
Ki,<br />
1 N<br />
1�<br />
N<br />
(6.34)<br />
Ki,<br />
1<br />
�<br />
2<br />
2<br />
1<br />
�<br />
L �<br />
N �<br />
�<br />
Ki,<br />
1 � �<br />
�<br />
2�<br />
EI�<br />
� � GIT<br />
� c�<br />
�<br />
2<br />
2<br />
� �<br />
�<br />
(6.35)<br />
2<br />
h �<br />
�<br />
� s 2 L<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ip<br />
�<br />
� 4 �
64<br />
M<br />
y<br />
M Ki,<br />
1<br />
�� , M �<br />
(6.36)<br />
Ki,<br />
1 M y<br />
1�<br />
M<br />
Ki,<br />
1<br />
�<br />
2<br />
2<br />
1 �<br />
L �<br />
M �<br />
�<br />
Ki,<br />
1 � �<br />
�<br />
2�<br />
EI�<br />
� � GIT<br />
� c�<br />
�<br />
2<br />
2 �<br />
(6.37)<br />
hS<br />
� L<br />
� �<br />
NKi,1 gemäß Gleichung (6.35) und MKi,1 gemäß Gleichung (6.37) sind die idealen<br />
Verzweigungslasten für reine Normalkraftbeanspruchung bzw. reine Biegemomentenbeanspruchung<br />
für den Fall, daß eine einwellige Verzweigungsfigur zum kleinsten<br />
Eigenwert gehört. Für die Berechnung der Faktoren � �,<br />
N und �<br />
Ki,<br />
1 �,<br />
M , die den<br />
Ki,<br />
1<br />
Effekt der Theorie II. Ordnung beschreiben, sind die Schnittgrößen N und My jeweils<br />
mit Vorzeichen einzusetzen.<br />
Bild 6.5 Effekt der Theorie II. Ordnung als Verdrehung �m infolge Vorkrümmung v0,m<br />
bei Belastung durch positives oder negatives Biegemoment My
In Bild 6.5 ist Gleichung (6.36) zur Beschreibung der Trägerverdrehung � als<br />
Funktion der Lastintensität eines Biegemomentes My jeweils für die beiden Fälle<br />
„Druckgurt gehalten“ und „Zuggurt gehalten“ graphisch aufgetragen. Bei gehaltenem<br />
Druckgurt wächst die Verdrehung � degressiv infolge Laststeigerung. Bei gehaltenem<br />
Zuggurt wächst sie progressiv und strebt gegen Unendlich, wenn die Belastung sich<br />
der Verzweigungslast nähert. Man beachte den unterschiedlichen Ordinatenmaßstab<br />
der beiden Diagramme in Bild 6.5. Die Verdrehungen � bei Druckgurtstützung sind<br />
stets kleiner als diejenigen bei Zuggurtstützung.<br />
6.2.2 Berechnung von Stabilisierungslasten mit dem EBV-BDK<br />
Auf die sich einstellenden Trägerverdrehungen � wird hier deswegen eingegangen, da<br />
sie einen direkten Einfluß auf die Stabilisierungslasten in der gebundenen Drehachse<br />
ausüben. In der durch das EBV-BDK bereitgestellten Formulierung der Stabilisierungslasten<br />
als Produkt von Schnittgrößen bzw. Torsionssteifigkeiten mit den<br />
Trägerverformungen bzw. deren Ableitungen lassen sich alle Anteile entweder der<br />
geometrischen Ersatz<strong>im</strong>perfektion v0 oder der elastischen Verformung � zuordnen.<br />
Die Stabilisierungslast kann damit gemäß Gleichung (6.38) in einen Imperfektionsanteil<br />
und in einen Verformungsanteil aufgespalten werden.<br />
q<br />
q<br />
q<br />
S � qS,<br />
v � q<br />
0 S,<br />
�<br />
S, v0<br />
S,<br />
2<br />
65<br />
(6.38)<br />
� � � � N M y � ��<br />
x<br />
� v0,<br />
m ��<br />
� �<br />
�sin<br />
L �<br />
��<br />
�<br />
2 h �<br />
�<br />
(6.39)<br />
� � �<br />
S � L<br />
2<br />
2<br />
2<br />
� � �<br />
� � i h � GI c L �<br />
p S T<br />
��<br />
x<br />
m � N � �<br />
� � �<br />
� � � ��<br />
� � � � � � � ��<br />
� � �sin<br />
(6.40)<br />
� L � � � hS<br />
4 � hS<br />
hS<br />
� L<br />
� � �<br />
� � �<br />
�<br />
Die als Stabilisierungsquerkraft QS bezeichnete aufintegrierte Stabilisierungslast, die<br />
der Schubfeldkraft in einem Schubfeld oder der Querkraft in einem Aussteifungsverband<br />
entspricht, ergibt sich durch Integration der Gleichungen (6.39) und (6.40)<br />
unter Berücksichtigung der Randbedingungen des gabelgelagerten Trägers.<br />
Q<br />
Q<br />
Q<br />
S � QS,<br />
v � Q<br />
0 S,<br />
�<br />
S, v0<br />
S,<br />
(6.41)<br />
� � N M y � ��<br />
x<br />
� v0,<br />
m � �<br />
�cos<br />
L �<br />
��<br />
�<br />
2 h �<br />
�<br />
(6.42)<br />
�<br />
S � L<br />
2<br />
2<br />
� � � i h � GI c L �<br />
p S T<br />
��<br />
x<br />
m � N � �<br />
� � �<br />
� � � � � � � � � � ��<br />
� � �cos<br />
(6.43)<br />
L � � hS<br />
4 � hS<br />
hS<br />
� L<br />
� � �<br />
� � �<br />
�<br />
mit �m gemäß Gleichung (6.31)
66<br />
6.2.3 Stabilisierungslasten bei Normalkraftbeanspruchung<br />
Um das Verständnis für die be<strong>im</strong> Torsionsproblem auftretenden Einflußfaktoren für<br />
Stabilisierungslasten zu fördern, sollen das Vorzeichen und die relative Größe der<br />
einzelnen Stabilisierungslastanteile aus Imperfektion und aus elastischer Verformung<br />
analysiert werden. In Bild 6.6 sind zu diesem Zweck die Vorverformung v0, die<br />
elatische Verformung � und die zugehörigen Stabilisierungslastanteile qS,<br />
v und q<br />
0 S,<br />
�<br />
mit ihren Vorzeichen bzw. ihrer Wirkungsrichtung jeweils für einen Träger mit<br />
Zugnormalkraft und für einen Träger mit Drucknormalkraft dargestellt. Beide Träger<br />
sind bis auf das Vorzeichen der angreifenden Normalkraft identisch.<br />
Da beide Träger die gleiche Vorverformung v0 aufweisen, sind die Imperfektionsanteile<br />
der Stabilisierungslast qS, v betragsmäßig gleich groß, aber aufgrund des<br />
0<br />
Vorzeichens der Normalkraft in dem einen Fall positiv und in dem anderen negativ.<br />
Für die Zugnormalkraft ergibt sich eine kleine positive, für die Drucknormalkraft eine<br />
größere negative Verdrehung �. Da die Verformungsanteile der Stabilisierungslast<br />
q S,<br />
� proportional zur Verdrehung � sind, ergibt sich für die Drucknormalkraft eine<br />
betragsmäßig größere Stabilisierungslast qS,� als für die Zugnormalkraft. Parameterstudien<br />
zeigen, daß die Summanden, welche die St. Venant’sche Torsionssteifigkeit<br />
GIT und die eventuell vorhandene Drehbettung c� enthalten, die Gleichung<br />
(6.40) dominieren. Der Normalkraftanteil in Gleichung (6.40) wirkt sich deshalb<br />
kaum aus.<br />
In beiden Fällen, Zugnormalkraft und Drucknormalkraft, st<strong>im</strong>mt die Wirkungsrichtung<br />
des Imperfektionsanteils q S,<br />
v und des Verformungsanteils q<br />
0<br />
S,<br />
� der<br />
Stabilisierungslast überein. Der Imperfektionsanteil q S,<br />
v , der anschaulich am Modell<br />
0<br />
„Druckgurt = Druckstab“ als Produkt der Gurtkraft N/2 mit der Vorkrümmung v� 0�<br />
gedeutet werden kann, wird also in beiden Fällen durch den Verformungsanteil q S,<br />
�<br />
noch verstärkt. Vernachlässigt man die Verdrehung � von normalkraftbelasteten<br />
Trägern bei der Berechnung der auf die Gurthalterung wirkenden Stabilisierungslast,<br />
so macht man einen Fehler auf der „unsicheren Seite“.<br />
Bemerkenswert ist weiterhin die Tatsache, daß be<strong>im</strong> Träger mit Zugnormalkraft<br />
überhaupt Stabilisierungslasten auf die Gurthalterung wirken, da ohne Druckspannungen<br />
<strong>im</strong> Träger auch kein Stabilitätsproblem vorliegen kann. Anschaulich kann<br />
man die entstehende qS-Last (der Name Stabilisierungslast ist hier streng genommen<br />
nicht richtig) dadurch erklären, daß die Zugkraft N bestrebt ist, die Imperfektion v0<br />
wieder gerade zu ziehen. Dies wird durch die seitliche Halterung des Gurtes behindert,<br />
wodurch die qS-Last entsteht.
Bild 6.6 Wirkungsrichtung und Größe der Stabilisierungslast infolge Vorkrümmung v0<br />
und Verdrehung � für positive und negative Normalkraft N<br />
Der Einfluß der Drehbettung c� auf die Stabilisierungslast kann am besten anhand<br />
eines Beispiels verdeutlicht werden. Es wird der in Bild 6.4 dargestellte Träger<br />
untersucht, wobei als Profil ein IPE 400 mit Stützweite L = 20 m und Stich der<br />
Vorkrümmung v0,m = L/500 = 4 cm gewählt wird. Die Drehbettung des Trägers wird<br />
zwischen c� = 0 und c� = 50 kNm/m variiert. Die sich für eine Zug- bzw.<br />
Drucknormalkraft von N = 250 kN in Feldmitte ergebenden Stabilisierungslasten<br />
gemäß Gleichung (6.38) bis (6.40) sind in Tabelle 6.1 zusammengestellt.<br />
Man erkennt, daß bei Zugnormalkraft der Verformungsanteil qS,� betragsmäßig stets<br />
kleiner als der Imperfektionsanteil q S,<br />
v ist. Bei Drucknormalkraft verhält es sich<br />
0<br />
umgekehrt. Hier ist der Verformungsanteil qS,� betragsmäßig stets größer als der<br />
Imperfektionsanteil q S,<br />
v . Dieser Sachverhalt wird in Bild 6.6 durch die unter-<br />
0<br />
schiedlich groß dargestellten Anteile an der Stabilisierungslast verdeutlicht.<br />
67
68<br />
Tabelle 6.1 Stabilisierungslast in Abhängigkeit von der Drehbettung c� bei Belastung<br />
durch Vorkrümmung v0 und Normalkraft N<br />
c�<br />
Bild 6.4 mit: IPE 400, L = 20 m, v0,m = + 4 cm<br />
N = + 250 kN N = - 250 kN<br />
q S,<br />
v qS, � , m q S,<br />
m q S,<br />
v qS, � , m q S,<br />
m<br />
0,<br />
m<br />
[kNm/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m]<br />
0 -0,123 -0,077 -0,200 0,123 0,179 0,303<br />
1 -0,123 -0,095 -0,218 0,123 0,147 0,271<br />
2 -0,123 -0,103 -0,226 0,123 0,138 0,262<br />
3 -0,123 -0,107 -0,231 0,123 0,134 0,258<br />
4 -0,123 -0,110 -0,234 0,123 0,132 0,255<br />
5 -0,123 -0,112 -0,236 0,123 0,131 0,254<br />
10 -0,123 -0,117 -0,240 0,123 0,127 0,251<br />
20 -0,123 -0,120 -0,243 0,123 0,125 0,249<br />
30 -0,123 -0,121 -0,244 0,123 0,125 0,248<br />
40 -0,123 -0,122 -0,245 0,123 0,124 0,248<br />
50 -0,123 -0,122 -0,245 0,123 0,124 0,248<br />
Für große Drehbettungen c� strebt der Zahlenwert des Verformungsanteils qS,� gegen<br />
den Zahlenwert des Imperfektionsanteils q S,<br />
v . Der Grenzwert der Stabilisierungslast<br />
0<br />
bei Belastung durch Vorkrümmung v0 und Normalkraft N ist demnach für unendlich<br />
steife Drehbettung c�:<br />
q<br />
S,<br />
c<br />
���<br />
� 2�<br />
q<br />
S,<br />
v0<br />
� N � v��<br />
0<br />
0,<br />
m<br />
(6.44)<br />
Bei Belastung durch Zugnormalkraft ist die auftretende Stabilisierungslast stets<br />
kleiner als q , bei Belastung durch Drucknormalkraft ist sie stets größer.<br />
S,<br />
c��<br />
�<br />
Eine Ermittlung der Stabilisierungslast von exzentrisch seitlich gestützten Druckstäben<br />
mit Gleichung (6.44) unter Vernachlässigung der Verdrehung � ist deshalb<br />
nicht zulässig. Die tatsächliche <strong>Beanspruchung</strong> der Stabilisierungskonstruktion wird<br />
bei dieser Vorgehensweise <strong>im</strong>mer unterschätzt. Entscheidend für die Größe der<br />
auftretenden Torsionsverdrehung � und damit für die Größe der Stabilisierungslast qS<br />
ist das Verhältnis von Druckkraft zu Verzweigungslast NKi des betrachteten Systems.<br />
Durch eine Drehbettung c� wird die Verzweigungslast NKi angehoben, woraus eine<br />
Reduzierung der Stabilisierungslast <strong>im</strong> Vergleich zu einem Druckstab ohne<br />
Drehbettung erfolgt.
6.2.4 Stabilisierungslasten bei Biegemomentenbeanspruchung<br />
Bild 6.7 Wirkungsrichtung und Größe der Stabilisierungslast infolge Vorkrümmung v0<br />
und Verdrehung � für positives und negatives Biegemoment My<br />
Analog zu Bild 6.6 sind in Bild 6.7 die Vorverformung v0, die elastische Verformung<br />
� und die zugehörigen Stabilisierungslastanteile qS, v und qS,� <strong>im</strong> richtigen Größen-<br />
0<br />
verhältnis mit ihrem Vorzeichen bzw. ihrer Wirkungsrichtung jeweils für einen Träger<br />
mit positivem und für einen Träger mit negativem Biegemoment My dargestellt.<br />
In Übereinst<strong>im</strong>mung mit den normalkraftbelasteten Trägern ist der Imperfektionsanteil<br />
der Stabilisierungslast q S,<br />
v positiv, wenn der gehaltene Gurt gedrückt wird und<br />
0<br />
negativ, wenn der gehaltene Gurt gezogen wird. Im Gegensatz zu den normalkraftbelasteten<br />
Trägern wirken der Imperfektionsanteil q S,<br />
v und der Verformungs-<br />
0<br />
anteil qS,� aber bei den biegebeanspruchten Trägern in entgegengesetzten Richtungen.<br />
Am anschaulichsten läßt sich dies mit einem zweiten Beispiel zeigen. Es wird dafür<br />
wieder der in Bild 6.4 dargestellte Träger als Profil IPE 400 mit Stützweite L = 20 m<br />
und Stich der Vorkrümmung v0,m = L/500 = 4 cm untersucht, wobei die Belastung<br />
69
70<br />
diesmal aus einem positiven bzw. einem negativen Biegemoment My = 100 kNm<br />
besteht. Die sich bei Variation der Drehbettung c� in Feldmitte ergebenden Stabilisierungslasten<br />
gemäß Gleichung (6.38) bis (6.40) sind in Tabelle 6.2 zusammengestellt.<br />
Tabelle 6.2 Stabilisierungslast in Abhängigkeit von der Drehbettung c� bei Belastung<br />
durch Vorkrümmung v0 und Biegemoment My<br />
Bild 6.4 mit: IPE 400, L = 20 m, v0,m = + 4 cm<br />
My = + 100 kNm My = - 100 kNm<br />
c� q S,<br />
v qS, � , m q S,<br />
m q S,<br />
v qS, � , m q S,<br />
m<br />
0,<br />
m<br />
[kNm/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN/m]<br />
0 0,255 -0,124 0,131 -0,255 1,352 1,096<br />
1 0,255 -0,166 0,089 -0,255 0,433 0,177<br />
2 0,255 -0,188 0,067 -0,255 0,352 0,096<br />
3 0,255 -0,201 0,054 -0,255 0,322 0,066<br />
4 0,255 -0,210 0,045 -0,255 0,306 0,050<br />
5 0,255 -0,217 0,039 -0,255 0,296 0,041<br />
10 0,255 -0,233 0,023 -0,255 0,276 0,021<br />
20 0,255 -0,243 0,012 -0,255 0,266 0,010<br />
30 0,255 -0,247 0,009 -0,255 0,262 0,007<br />
40 0,255 -0,249 0,007 -0,255 0,261 0,005<br />
50 0,255 -0,250 0,005 -0,255 0,260 0,004<br />
Der Betrag des Verformungsanteils der Stabilisierungslast qS,� konvergiert bei<br />
steigender Drehbettung c� gegen den Betrag des Imperfektionsanteils q S,<br />
v . Da die<br />
0<br />
beiden Anteile ein unterschiedliches Vorzeichen aufweisen, wird die Stabilisierungslast<br />
qS <strong>im</strong> Grenzfall einer unendlich steifen Drehbettung c� zu null. Dies gilt<br />
sowohl für Belastung durch ein positives als auch für Belastung durch ein negatives<br />
Biegemoment My.<br />
Für ein positives Biegemoment ist der Verformungsanteil qS,� betragsmäßig stets<br />
kleiner als der Imperfektionsanteil q S,<br />
v . Die Stabilisierungslast qS kann bei Druck-<br />
0<br />
gurtstützung deshalb nicht größer werden als der Imperfektionsanteil q S,<br />
v , der sich<br />
0<br />
anschaulich aus dem Produkt der Gurtkraft My/hS mit der Vorkrümmung v� 0�<br />
zusammensetzt.<br />
Für negatives Biegemoment ist der Verformungsanteil qS,� betragsmäßig stets größer<br />
als der Imperfektionsanteil q . Es ergeben sich deshalb bei Vorkrümmung v0 in<br />
S,<br />
v0<br />
positiver y-Richtung stets positive Stabilisierungslasten, sowohl bei Druckgurt- als<br />
auch bei Zuggurtstützung. Bei Zuggurtstützung besteht aber die Gefahr, daß die<br />
Trägerverdrehung � und damit auch die Stabilisierungslast qS stark anwachsen, wenn<br />
nur eine geringe Drehbettung c� vorhanden ist.<br />
0,<br />
m
6.2.5 Stabilisierungslasten bei unterbundener Torsionsverdrehung<br />
Die Tatsache, daß die Stabilisierungslast bei großer vorhandener Drehbettung c� für<br />
Normalkraftbelastung gegen den Wert qS = N · v� 0�<br />
und für Biegebelastung gegen den<br />
Wert qS = 0 konvergiert, kann anschaulich mit Bild 6.8 erklärt werden.<br />
Da die Verdrehung � durch die große Drehbettung c� unterbunden wird, können die<br />
Trägergurte als ebene normalkraftbeanspruchte Stäbe behandelt werden. Bei Trägern<br />
mit Normalkraft wird jedem Gurt NGurt = N/2 und bei Trägern mit Biegemoment wird<br />
jedem Gurt NGurt = � My/hS zugeordnet. Diese Gurtkräfte ergeben in Verbindung mit<br />
der Vorkrümmung v� 0�<br />
des Trägers Abtriebskräfte senkrecht zur Stabachse.<br />
Im Falle des biegebelasteten Trägers sind diese Abtriebskräfte entgegengesetzt,<br />
wodurch sie sich gegenseitig aufheben. Das entstehende Torsionsmoment wird durch<br />
die Drehbettung c� aufgenommen. Im Falle des normalkraftbelasteten Trägers wirken<br />
die Abtriebskräfte in die gleiche Richtung. Für Gleichgewicht in y-Richtung ist<br />
deshalb eine Auflagerreaktion in der Obergurthalterung erforderlich, welche als<br />
Stabilisierungslast qS bezeichnet wird.<br />
Bild 6.8 Modellvorstellung für die Ermittlung der Stabilisierungslast qS <strong>im</strong> Grenzfall c� = �<br />
71
72<br />
Eine alternative Erklärung kann durch die Behandlung der Vorverformung als Ersatzbelastung<br />
erfolgen. Dazu werden die bereits weiter oben abgeleiteten Gleichungen<br />
(6.45) und (6.46) verwendet.<br />
q � �M<br />
����<br />
� N � v��<br />
(6.45)<br />
y,<br />
0<br />
x,<br />
0<br />
y<br />
y<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
p<br />
m � �M<br />
� v��<br />
� N �i<br />
����<br />
(6.46)<br />
0<br />
Für den hier betrachteten Fall des Trägers mit Vorkrümmung v0 ergibt sich infolge<br />
Biegemoment My ein Ersatztorsionsmoment mx,0, das durch die Drehbettung c�<br />
aufgenommen wird. Infolge Normalkraft N ergibt sich eine Ersatzstreckenlast qy,0, die<br />
durch die Obergurthalterung abgetragen wird.<br />
6.2.6 Vorverdrehung als Imperfektionsannahme<br />
Ausgehend von dem mit Gleichung (6.45) und (6.46) verdeutlichten Sachverhalt, daß<br />
bei biegebelasteten Trägern eine Vorkrümmung v0 als Ersatztorsionsmoment mx,0 und<br />
eine Vorverdrehung �0 als Ersatzstreckenlast qy,0 behandelt werden können, formulieren<br />
Friemann/Stroetmann [23] die Forderung, daß zur Bemessung einer seitlichen<br />
Abstützung von Biegeträgern eine Vorverdrehung �0 anzusetzen ist. Diese Forderung<br />
ergibt sich aus der Überlegung, daß ein Ersatztorsionsmoment mx,0 überwiegend durch<br />
eine vorhandene Drehbettung c� aufgenommen wird und eine Ersatzstreckenlast qy,0<br />
<strong>im</strong> Wesentlichen die seitliche Abstützung belastet.<br />
Um diesen Gedanken zu diskutieren, wird erneut der gabelgelagerte Einfeldträger mit<br />
Drehbettung und gebundener Drehachse <strong>im</strong> Obergurtmittelpunkt gemäß Bild 6.4<br />
betrachtet. Die geometrische Ersatz<strong>im</strong>perfektion besteht diesmal aber nicht aus einer<br />
Vorkrümmung v0, sondern aus einer Vorverdrehung �0 gemäß Gleichung (6.47).<br />
��<br />
x<br />
� 0 ( x)<br />
� �0,<br />
m �sin<br />
(6.47)<br />
L<br />
<strong>Zur</strong> Berechnung der Verdrehung �m in Feldmitte des Trägers ergibt sich daraus,<br />
analog zu Gleichung (6.31) für den Träger mit Vorkrümmung v0, die Gleichung<br />
(6.48).<br />
�<br />
m<br />
�<br />
2�<br />
EI<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
L<br />
2<br />
�<br />
0,<br />
m<br />
� GI<br />
T<br />
� 2 hS<br />
�<br />
��<br />
� N �i<br />
p � M y � �<br />
�<br />
2 �<br />
2<br />
2<br />
L � hS<br />
2 �<br />
� c N � i �<br />
� � � �<br />
2 �<br />
� p � M y � h<br />
� 4 �<br />
� �<br />
S<br />
(6.48)<br />
Die Gleichungen des EBV-BDK zur Berechnung der Stabilisierungslast qS und der<br />
Stabilisierungsquerkraft QS sind für den vorliegenden Fall nachfolgend angegeben,
wobei sich jeweils nur die Imperfektionsanteile qS, � bzw.<br />
Q<br />
0 S,<br />
� von den für eine<br />
0<br />
Vorkrümmung v0 gültigen Gleichungen (6.38) bis (6.43) unterscheiden.<br />
q<br />
q<br />
q<br />
Q<br />
Q<br />
Q<br />
q<br />
q<br />
S � S,<br />
� �<br />
0 S,<br />
�<br />
73<br />
(6.49)<br />
2<br />
2<br />
� � � � i M �<br />
� p y ��<br />
x<br />
0,<br />
m N �<br />
� � � ��<br />
� � � � � �sin<br />
(6.50)<br />
� L � � hS<br />
2 �<br />
�<br />
�<br />
L<br />
S, 0<br />
S,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
� � �<br />
� � i h � GI c L �<br />
p S T<br />
��<br />
x<br />
m � N � �<br />
� � �<br />
� � � ��<br />
� � � � � � � ��<br />
� � �sin<br />
(6.51)<br />
� L � � � hS<br />
4 � hS<br />
hS<br />
� L<br />
� � �<br />
� � �<br />
�<br />
S � QS,<br />
� � Q<br />
0 S,<br />
�<br />
(6.52)<br />
2<br />
� � i M �<br />
� p y x<br />
N � ��<br />
� � �0,<br />
m � � � � � �cos<br />
(6.53)<br />
L � hS<br />
2 �<br />
�<br />
�<br />
L<br />
S, 0<br />
S,<br />
2<br />
2<br />
� � � i h � GI c L �<br />
p S T<br />
��<br />
x<br />
m � N � �<br />
� � �<br />
� � � � � � � � � � ��<br />
� � �cos<br />
(6.54)<br />
L � � hS<br />
4 � hS<br />
hS<br />
� L<br />
� � �<br />
� � �<br />
�<br />
Anzusetzende Imperfektion<br />
Die geltenden technischen Vorschriften schlagen den Ansatz einer einwelligen sinus-<br />
oder parabelförmigen Vorkrümmung v0 vor, um Stabilisierungslasten zu berechnen.<br />
Im Rahmen dieser Regelungen werden auch Angaben über die Größe der<br />
anzusetzenden Vorkrümmung gemacht.<br />
L<br />
� r1<br />
� r �<br />
Kommentar zu DIN 18800 [63]<br />
400<br />
v0, m 2<br />
v0, m r<br />
mit<br />
r1<br />
L<br />
� k �<br />
EC3 [2]<br />
500<br />
= Abminderungsfaktor zur Berücksichtigung der Länge des ausgesteiften Bau-<br />
teils<br />
r2, kr = Abminderungsfaktoren zur Berücksichtigung, daß mehrere Bauteile durch<br />
eine gemeinsame Stabilisierungskonstruktion ausgesteift werden<br />
In der Praxis wird häufig auch der pauschale Ansatz von Gerold benutzt.<br />
L<br />
500<br />
v0, m � Gerold [27]
74<br />
Die nach den Normen anzusetzende Vorkrümmung v0 schwankt zwar von Anwendungsfall<br />
zu Anwendungsfall aufgrund der verschiedenen Abminderungsfaktoren,<br />
weicht aber selten nennenswert von dem pauschalen Ansatz nach Gerold ab. Für den<br />
Biegedrillknicknachweis von Trägern mit I-Querschnitt werden darüber hinaus<br />
ähnliche Vorkrümmungsordinaten in DIN 18800 Teil 2 [1] vorgeschrieben:<br />
Walzprofile mit h/b > 1,2 (Knickspannungslinie b):<br />
v0, m �<br />
L<br />
500<br />
Schweißprofile (Knickspannungslinie c):<br />
v0, m �<br />
L<br />
400<br />
Die Größe der anzusetzenden Vorkrümmung zum Nachweis des ausgesteiften biegedrillknickgefährdeten<br />
Trägers und zum Nachweis der Stabilisierungskonstruktion ist<br />
damit zwar nicht identisch, die Größenordnung ist aber eindeutig festgelegt. Sie<br />
schwankt zwischen<br />
L<br />
500<br />
v0, m � und<br />
L<br />
400<br />
v0, m � .<br />
Angaben zur Größe einer alternativ anzusetzenden Vorverdrehung �0 sucht man in<br />
den technischen Vorschriften vergebens. Die Messungen, Annahmen und Vorschläge,<br />
welche man dazu in der Literatur findet, sind sehr uneinheitlich, was unbefriedigend<br />
ist, wenn man bedenkt, daß die Größe der Stabilisierungslasten proportional zum<br />
Stich der Vorverdrehung �0,m ist. Nachfolgend wird eine Übersicht über die in der<br />
Literatur gemachten Angaben zu Vorverdrehungsordinaten �0,m von Stahlkonstruktionen<br />
gegeben.<br />
[63] �0,m = 0,06 rad<br />
Konservative Annahme zur Berechnung der Anschlußmomente, die auf eine<br />
Drehbettung c� wirken<br />
[47] �0,m = 0,04 rad<br />
Vorschlag für Traglastberechnungen von biegebeanspruchten Trägern<br />
[79] �0,m =<br />
L<br />
500�<br />
h<br />
Vorschlag für Traglastberechnungen von Pfetten, die durch die Biege- und<br />
Schubsteifigkeit der Dacheindeckung ausgesteift werden.<br />
[46] �0,m = 0,0133 rad<br />
Messungen geometrischer Imperfektionen von in der Herstellung befindlichen<br />
Bauwerken in Schweden (ohne Quellenangabe)
L<br />
[46] �0,m =<br />
1000�<br />
h<br />
Theoretische Überführung der an Druckstäben gemessenen Vorkrümmung von<br />
L/1000 in eine Vorverdrehung (führt für Trägerschlankheiten L/h = 50 zu sehr<br />
großen Vorverdrehungen �0,m = 0,05 rad)<br />
[46] �0,m = 0,03 rad<br />
Vorschlag zur Berechnung der Anschlußmomente, die auf eine Drehbettung c�<br />
wirken<br />
[58] �0,m = 0,005 rad<br />
Mittelwert plus zweifache Standardabweichung von umfangreichen Messungen<br />
der Vorverdrehungen von Kaltprofilpfetten<br />
[113] �0,m = 0,0175 rad<br />
Vorschlag für die Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen, die eine Verdrehung<br />
� behindern<br />
[110] �0,m = 0,0166 rad<br />
Max<strong>im</strong>alwert der gemessenen Vorverdrehungen an vier Walzträgern L = 7,3 m<br />
für Traglastversuche in den USA<br />
(<strong>im</strong> Mittel wurden �0,m = 0,006 rad gemessen)<br />
<strong>Zur</strong> Ergänzung der Zahlenwerte für Vorverdrehungen �0,m von Stahlkonstruktionen<br />
werden nachfolgend auch solche von Spannbetonbindern aufgeführt. Für die Biegedrillknicknachweise<br />
schlanker Spannbetonträger wird <strong>im</strong> Gegensatz zum <strong>Stahlbau</strong><br />
nicht nur eine Vorkrümmung v0, sondern zusätzlich auch eine Vorverdrehung �0<br />
angesetzt. Man findet aus diesem Grund eine Reihe von Vorschlägen für<br />
Vorverdrehungen �0. Die durch massivbauspezifische Schalungs-, Lagerungs- und<br />
Einbauungenauigkeiten verursachten Vorverdrehungen lassen sich zwar nicht als<br />
geometrische Ersatz<strong>im</strong>perfektionen für Stahlkonstruktionen verwenden, sie können<br />
aber als Anhaltswerte für Vorverdrehungen von Stahlkonstruktionen dienen. Die<br />
geringeren Fertigungstoleranzen des <strong>Stahlbau</strong>s <strong>im</strong> Vergleich zum Massivbau legen die<br />
Vermutung nahe, daß die Vorverdrehungen von Spannbetonträgern obere Grenzwerte<br />
für die Vorverdrehungen von Stahlträgern darstellen. Die nachfolgend angegebenen<br />
Vorverdrehungsordinaten von Spannbetonträgern sind aber zum Teil deutlich kleiner<br />
als Werte, die für Stahlträger vorgeschlagen werden, so daß sich die Frage stellt, ob<br />
die Vorschläge für Stahlträger nicht viel zu konservativ sind.<br />
[41] �0,m = 0,004 rad<br />
Max<strong>im</strong>alwert der gemessenen Vorverdrehungen an sechs Spannbetonträgern h =<br />
1,30 m, L = 25,6 m für Traglastversuche<br />
(<strong>im</strong> Mittel wurden �0,m = 0,003 rad gemessen)<br />
75
76<br />
[66] �0,m = 0,005 rad<br />
Vorschlag für eine zusätzlich zu einer Vorkrümmung v0,m = L/500 anzusetzende<br />
Imperfektion für Traglastberechnungen<br />
[42] �0,m = 0,0075 rad<br />
Vorschlag für eine zusätzlich zu einer Vorkrümmung v0,m = L/500 anzusetzende<br />
Imperfektion für Traglastberechnungen<br />
[93] �0,m = 0,01 bis 0,02 rad <strong>im</strong> Bauzustand<br />
�0,m = 0,005 bis 0,01 rad <strong>im</strong> Endzustand<br />
Empfohlene Richtwerte für die Bemessung der Gabellager an den Trägerenden<br />
Die aus der Literatur zusammengetragenen Angaben über Vorverdrehungsordinaten<br />
�0,m weisen eine sehr starke Streuung auf. Die Zahlenwerte reichen dabei von<br />
gemessenen geometrischen Imperfektionen �0,m = 0,004 rad bis zu geschätzten geometrischen<br />
Ersatz<strong>im</strong>perfektionen von �0,m = 0,06 rad, welche zusätzliche strukturelle<br />
Imperfektionen wie Eigenspannungen oder Fließgrenzenstreuungen und den Steifigkeitsverlust<br />
infolge Fließzonenausbreitung mit abdecken sollen.<br />
Untersuchungen von Lindner [47] zeigen, daß der Einfluß von Eigenspannungen auf<br />
die Traglasten biegebeanspruchter Stäbe max<strong>im</strong>al 5 % und auf die Traglasten normalkraftbeanspruchter<br />
Stäbe max<strong>im</strong>al 15 % beträgt. Der weitaus größte Anteil an den<br />
anzusetzenden geometrischen Ersatz<strong>im</strong>perfektionen entfällt auf geometrische Imperfektionen<br />
und Fließzonenausbreitung. Die große Streuung der Vorschläge für<br />
Vorverdrehungsordinaten �0,m in der Literatur ist deshalb nicht durch die<br />
Unterscheidung zwischen rein geometrischen Imperfektionen und Ersatz<strong>im</strong>perfektionen<br />
zu erklären, sondern auch durch fehlendes Wissen über realistische<br />
geometrische Imperfektionen.<br />
Im Normkommentar zu DIN 18800 [63] wird ausgeführt, daß die Art der Imperfektionsannahme<br />
als Vorkrümmung v0, als Vorverdrehung �0 oder als Exzentrizität<br />
von Querlasten nur einen geringen Einfluß auf die rechnerische Traglast hat. Aus<br />
diesem Grund konnte einheitlich eine Vorkrümmung v0 als anzusetzende Vorverformung<br />
für Biegedrillknicknachweise festgelegt werden.<br />
Auch die Größe der angesetzten Vorverformungen wirkt sich bei reiner Biegung und<br />
mäßigen Trägerschlankheiten nur schwach auf die Traglast aus. Vergleichende Traglastberechnungen<br />
von Lindner [47] an Stäben mit längenunabhängiger Vorverdrehung<br />
�0,m = 0,04 rad und längenabhängiger Vorverdrehung �0,m = L/(500 · h) ergaben nur<br />
geringe Abweichungen in den Traglasten.<br />
Gänzlich anders ist die Situation, wenn man sich nicht für die Traglast des ausgesteiften<br />
Trägers interessiert, sondern für die Stabilisierungslasten, die auf die Aussteifungskonstruktion<br />
wirken. Wie bereits erläutert, bewirkt eine Verdoppelung der Vorverformungsordinate<br />
auch eine Verdoppelung der Stabilisierungslasten. Die Imperfektionsannahmen<br />
spielen damit bei der Berechnung von Stabilisierungslasten eine<br />
wichtigere Rolle als be<strong>im</strong> Traglastproblem.
Vergleich von Stabilisierungslasten infolge Vorverdrehung mit<br />
Stabilisierungslasten infolge Vorkrümmung<br />
Bezüglich der stark streuenden Angaben zu Vorverdrehungsordinaten �0,m aus der<br />
Literatur ergibt sich die Schwierigkeit der Auswahl von geeigneten Werten. Ein<br />
theoretischer Ansatz hierzu ist die Berechnung derjenigen Vorverdrehungsordinate<br />
�0,m die zur gleichen Trägerverdrehung �m in Feldmitte führt wie eine Vorkrümmung<br />
mit der Ordinate v0,m. Durch einen Vergleich der Gleichung (6.31) (�m als Funktion<br />
von v0,m) und Gleichung (6.48) (�m als Funktion von �0,m) lassen sich die folgenden<br />
Beziehungen ableiten.<br />
� My = 0, N � 0<br />
h<br />
� 0,<br />
m � �v0,<br />
m �<br />
2�<br />
(6.55)<br />
S<br />
S<br />
2<br />
ip<br />
� N = 0, My � 0<br />
2<br />
� 0,<br />
m � �v0,<br />
m �<br />
h<br />
(6.56)<br />
Die Gleichungen des EBV-BDK zur Berechnung der Stabilisierungslasten lauten:<br />
q<br />
q<br />
q<br />
q<br />
S � qS,<br />
v � qS,<br />
� � q<br />
0 0 S,<br />
�<br />
S, v0<br />
2<br />
77<br />
(6.57)<br />
� � � � N M y � ��<br />
x<br />
� v0,<br />
m ��<br />
� �<br />
�sin<br />
L �<br />
��<br />
�<br />
2 h �<br />
�<br />
(6.58)<br />
� � �<br />
S � L<br />
2<br />
2<br />
� � � � i M �<br />
� p y ��<br />
x<br />
0,<br />
m N �<br />
� � � ��<br />
� � � � � �sin<br />
(6.59)<br />
� L � � hS<br />
2 �<br />
�<br />
�<br />
L<br />
S, 0<br />
S,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
� � �<br />
� � i h � GI c L �<br />
p S T<br />
��<br />
x<br />
m � N � �<br />
� � �<br />
� � � ��<br />
� � � � � � � ��<br />
� � �sin<br />
(6.60)<br />
� L � � � hS<br />
4 � hS<br />
hS<br />
� L<br />
� � �<br />
� � �<br />
�<br />
Wählt man als Imperfektion anstelle der Vorkrümmung v0,m eine Vorverdrehung �0,m<br />
gemäß Gleichung (6.55) bzw. Gleichung (6.56), so ergibt sich jeweils die gleiche<br />
Verdrehung �m und damit auch der gleiche Verformungsanteil der Stabilisierungslast<br />
qS,�. Um auch den zugehörigen Imperfektionsanteil der Stabilisierungslast zu berechnen,<br />
werden Gleichung (6.55) bzw. (6.56) in Gleichung (6.59) eingesetzt. Das<br />
Ergebnis ist Gleichung (6.61) und Gleichung (6.62) zu entnehmen.<br />
� My = 0, N � 0<br />
q<br />
� �<br />
�<br />
� �<br />
2<br />
2<br />
hS<br />
� � � ip<br />
x<br />
S,<br />
v<br />
�<br />
0 0,<br />
m<br />
N � ��<br />
� � � � �<br />
sin � q<br />
2 � � � � � �<br />
S,<br />
v<br />
(6.61)<br />
0<br />
2�<br />
ip<br />
� L � � h � S L
78<br />
� N = 0, My � 0<br />
2<br />
2 � � � M y ��<br />
x<br />
S,<br />
� � �v<br />
0 0,<br />
m � ��<br />
� � �sin<br />
� qS,<br />
v<br />
(6.62)<br />
0<br />
hS<br />
� L � 2 L<br />
q �<br />
Der Imperfektionsanteil der Stabilisierungslasten infolge Vorverdrehung qS, � ist<br />
0<br />
genau so groß wie der Imperfektionsanteil der Stabilisierungslast infolge Vorkrümmung<br />
q , wirkt aber in entgegengesetzter Richtung. Der Ansatz einer Vorver-<br />
S,<br />
v0<br />
drehung �0 führt damit zwangsläufig <strong>im</strong>mer zu anderen Stabilisierungslasten als der<br />
Ansatz einer Vorkrümmung v0, auch wenn die sich einstellende Verdrehung �m des<br />
stabilisierten Trägers identisch ist. Ein ergänzendes Zahlenbeispiel soll dies verdeutlichen.<br />
Betrachtet wird dafür erneut der Träger gemäß Bild 6.4, wobei die Vorverformung<br />
alternativ zur Vorkrümmung v0 auch als Vorverdrehung �0 gemäß Gleichung (6.55)<br />
bzw. Gleichung (6.56) angesetzt wird. Als Träger wird wieder ein IPE 400, L = 20 m<br />
gewählt, wodurch dieses Beispiel eine Ergänzung der Ergebnisse in Tabelle 6.1 und<br />
Tabelle 6.2 darstellt. Die Drehbettung c� des Trägers ist in allen an dieser Stelle<br />
berechneten Fällen Null.<br />
In Tabelle 6.3 sind die Ergebnisse für die Trägerverdrehung �m und die Stabilisierungslast<br />
qS,m in Feldmitte jeweils für die vier möglichen Lastfälle positive bzw.<br />
negative Normalkraft N und positives bzw. negatives Biegemoment My<br />
zusammengestellt. Als Vorverdrehung �0,m ergibt sich für das untersuchte Beispiel bei<br />
Normalkraftbelastung<br />
hS<br />
� 0,<br />
m � �v0,<br />
m � � �0,<br />
26717 rad (6.63)<br />
2<br />
2�<br />
i<br />
und bei Biegemomentenbelastung<br />
p<br />
2<br />
� 0,<br />
m � �v<br />
0,<br />
m � � �0,<br />
20699 rad (6.64)<br />
h<br />
S<br />
Der Ansatz dieser Vorverdrehungen verursacht jeweils die gleiche Trägerverdrehung<br />
�m wie eine Vorkrümmung v0,m = L/500 = 4 cm.<br />
Man erkennt an den Zahlenbeispielen in Tabelle 6.3, daß sich der Imperfektionsanteil<br />
und der Verformungsanteil der Stabilisierungslast bei Normalkraftbelastung mit<br />
Vorverdrehung �0 und bei Biegemomentenbelastung mit Vorkrümmung v0 subtrahieren.<br />
Bei Normalkraftbelastung mit Vorkrümmung v0 und bei Biegemomentenbelastung<br />
mit Vorverdrehung �0 addieren sich die beiden Anteile, so daß betragsmäßig<br />
größere Stabilisierungslasten entstehen. Daraus kann die weiter oben zitierte<br />
Forderung abgeleitet werden, daß bei Normalkraftbelastung eine Vorkrümmung v0<br />
und bei Biegemomentenbelastung eine Vorverdrehung �0 anzusetzen ist, um<br />
Stabilisierungslasten zu berechnen.
Tabelle 6.3 Verdrehung � und Stabilisierungslast qS infolge Imperfektionsannahme als<br />
Vorkrümmung v0 bzw. Vorverdrehung �0<br />
IPE 400<br />
L = 20 m �m m<br />
q S,<br />
v0,<br />
m<br />
qS, � 0,<br />
qS,�,m qS,m<br />
c� = 0 [rad] [kN/m] [kN/m] [kN/m]<br />
N = + 250 kN<br />
v0,m = + 4 cm<br />
N = + 250 kN<br />
�0,m = -0,26717 rad<br />
N = -250 kN<br />
v0,m = + 4 cm<br />
N = -250 kN<br />
�0,m = -0,26717 rad<br />
My = +100 kNm<br />
v0,m = + 4 cm<br />
My = +100 kNm<br />
�0,m = -0,20699 rad<br />
My = -100 kNm<br />
v0,m = + 4 cm<br />
My = -100 kNm<br />
�0,m = -0,20699 rad<br />
+0,0307 -0,123 -0,077 -0,200<br />
+0,0307 +0,123 -0,077 +0,046<br />
-0,0646 +0,123 +0,179 +0,303<br />
-0,0646 -0,123 +0,179 +0,056<br />
+0,0470 +0,255 -0,124 +0,131<br />
+0,0470 -0,255 -0,124 -0,380<br />
-0,5116 -0,255 +1,352 +1,096<br />
-0,5116 +0,255 +1,352 +1,607<br />
Wenn der Träger mit Obergurthalterung zusätzlich durch eine Drehbettung c� ausgesteift<br />
wird, dann ergibt sich für die Vorverdrehung �0 ein analoges Konvergenzverhalten<br />
der Stabilisierungslast qS, wie es für die Vorkrümmung v0 in Tabelle 6.1 und<br />
Tabelle 6.2 belegt wird. Im Grenzfall einer unendlich steifen Drehbettung c� berechnet<br />
man folgende Stabilisierungslast:<br />
q<br />
S,<br />
c<br />
�<br />
��<br />
� N � v��<br />
� M<br />
0<br />
y<br />
� ��� �<br />
0<br />
��N�v�M��� 0,<br />
m<br />
y<br />
0,<br />
m<br />
� � �<br />
� � �<br />
� L �<br />
2<br />
� � x<br />
� sin<br />
L<br />
79<br />
(6.65)<br />
Die Schwierigkeit bei der Umsetzung der Empfehlung, daß für die Berechnung der<br />
Stabilisierungslasten biegebeanspruchter Träger eine Vorverdrehung �0 anzusetzen<br />
ist, besteht in der Auswahl einer geeigneten Vorverdrehungsordinate �0,m. Eine allgemeingültige<br />
Aussage, daß Stabilisierungslasten infolge Vorverdrehung größer als<br />
Stabilisierungslasten infolge Vorkrümmung sind, kann nur für Vorverdrehungen �0,m<br />
gemäß Gleichung (6.56) gemacht werden, da in diesem Fall der Verformungsanteil<br />
der Stabilisierungslast qS,� für Vorkrümmung v0 und Vorverdrehung �0 identisch ist.<br />
Mit v0,m = L/500 und üblichen Trägerschlankheiten zwischen L/h = 20 und L/h = 60<br />
sind demnach folgende Vorverdrehungsordinaten anzusetzen:
80<br />
� � 0,<br />
08 bis 0,24 rad (6.66)<br />
0,<br />
m<br />
Diese Zahlenwerte sind deutlich größer als alle Messwerte und alle aus theoretischen<br />
Überlegungen gewonnenen Angaben in der Literatur, wodurch der Ansatz einer<br />
Vorverdrehung �0 grundsätzlich in Frage gestellt wird. Da es unsinnig erscheint, mit<br />
unrealistisch großen Vorverdrehungsordinaten �0,m zu rechnen, wird vorgeschlagen,<br />
als Imperfektionsannahme für den Biegedrillknicknachweis des ausgesteiften Trägers<br />
und für den Nachweis der Stabilisierungskonstruktion einheitlich eine Vorkrümmung<br />
v0 zu verwenden.<br />
Für den Ansatz einer Vorkrümmung v0 sprechen noch weitere Gründe. Die geometrischen<br />
Ersatz<strong>im</strong>perfektionen werden, wie bereits erläutert, durch die geometrischen<br />
Imperfektionen dominiert. Zieht man die Angaben der Walzprofilhersteller<br />
bzgl. zulässiger Abweichungen von der idealen Geometrie gewalzter Stahlträger zu<br />
Rate, so werden dort zulässige Krümmungen aber keine zulässigen Verdrehungen<br />
definiert. Betrachtet man die geometrische Ersatz<strong>im</strong>perfektion als vergrößerte geometrische<br />
Imperfektion, so ist die (zwischen den Trägerenden) einwellige Vorkrümmung<br />
v0 häufig die einzige plausible Imperfektionsannahme. Dies gilt insbesondere dann,<br />
wenn durch Verbindungsmittelschlupf oder äußere Horizontallasten wie Wind<br />
zusätzliche Verformungen senkrecht zur Haupttragrichtung der stabilisierten Träger<br />
eingeprägt werden.<br />
6.2.7 Eigenformaffine Vorkrümmung als Imperfektionsannahme<br />
Im ersten Satz von Element 202 der DIN 18800 Teil 2 [1] wird gefordert, daß die<br />
geometrischen Ersatz<strong>im</strong>perfektionen so anzusetzen sind, daß sie sich der zum niedrigsten<br />
Knickeigenwert gehörenden Verformungsfigur möglichst gut anpassen. Der<br />
zweite Satz von Element 202 besagt, daß die Ersatz<strong>im</strong>perfektionen in ungünstiger<br />
Richtung anzusetzen sind. Diese beiden Forderungen können <strong>im</strong> Widerspruch zueinander<br />
stehen, da die ungünstigste Ersatz<strong>im</strong>perfektion in Bezug auf die <strong>Beanspruchung</strong><br />
des ausgesteiften Trägers und die <strong>Beanspruchung</strong> der Stabilisierungskonstruktion<br />
nicht identisch sein müssen. Max<strong>im</strong>ale Stabilisierungslasten können auch für andere<br />
als eigenformaffine Vorverformungen auftreten.<br />
Für den in Bild 6.4 dargestellten gabelgelagerten Einfeldträger mit Drehbettung c�,<br />
gebundener Drehachse am Obergurt und Belastung durch konstantes negatives Biegemoment<br />
My bzw. konstante negative Normalkraft N besteht die Eigenform zum niedrigsten<br />
Eigenwert aus einer Sinusfunktion mit mehreren kürzeren Halbwellen, wenn<br />
die Drehbettung c� eine gewisse Größe übersteigt. Für Träger ohne Drehbettung ist<br />
der Ansatz einer einwelligen Vorkrümmung v0 als Sinushalbwelle stets affin zur<br />
Eigenform.<br />
Die idealen Verzweigungslasten für reine Normalkraftbelastung bzw. reine Biegemomentenbelastung<br />
berechnen sich in Abhängigkeit der Halbwellenanzahl i der Eigenform<br />
zum niedrigsten Eigenwert.
�<br />
2<br />
2<br />
1<br />
� i � � �<br />
� L � �<br />
N Ki,<br />
i � � �2<br />
� EI�<br />
��<br />
� � GIT<br />
� c�<br />
��<br />
� �<br />
(6.67)<br />
� hS<br />
2 � ��<br />
� L �<br />
� i � � �<br />
� � i �<br />
��<br />
p<br />
� 4 �<br />
�<br />
2<br />
2<br />
1 � i � � �<br />
� L � �<br />
M Ki,<br />
i � � �2<br />
� EI�<br />
��<br />
� � GIT<br />
� c�<br />
��<br />
� �<br />
(6.68)<br />
hS<br />
��<br />
� L �<br />
� i � � � ��<br />
Maßgebend ist diejenige Halbwellenanzahl i, für welche die Verzweigungslast zum<br />
Min<strong>im</strong>um wird. Sie läßt sich in Abhängigkeit vom Paramter � gemäß Gleichung<br />
(6.69) best<strong>im</strong>men.<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
4<br />
c�<br />
� L<br />
2�<br />
EI<br />
2<br />
�<br />
� i = 1<br />
81<br />
(6.69)<br />
In diesem Fall ist die Eigenform einwellig und NKi,i wird zu NKi,1 gemäß Gleichung<br />
(6.35) bzw. MKi,i wird zu MKi,1 gemäß Gleichung (6.37).<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
� i > 1<br />
In diesem Fall ist die Eigenform mehrwellig. Als untere Schranke für die Verzweigungslast<br />
kann dann die bekannte Engesser-Lösung als Tangente an die Girlandenkurve<br />
angegeben werden, welche nicht mehr abhängig von der Halbwellenanzahl i ist.<br />
�2�2�EI �c<br />
GI �<br />
1<br />
N �<br />
Ki,<br />
min � �<br />
2<br />
� � T<br />
(6.70)<br />
� hS<br />
2 �<br />
� � i � p<br />
�<br />
�<br />
4<br />
�<br />
�<br />
�2�2�EI �c<br />
GI �<br />
1<br />
M �<br />
Ki,<br />
min � �<br />
� � T<br />
(6.71)<br />
hS<br />
Alternativ zu Gleichung (6.69) läßt sich auch eine max<strong>im</strong>ale Trägerlänge L oder eine<br />
max<strong>im</strong>ale Drehbettung c� angeben, für die gerade noch eine einwellige Eigenform<br />
vorliegt.<br />
L � �<br />
�<br />
�<br />
c<br />
�<br />
� 4<br />
� �8<br />
�<br />
c<br />
�<br />
� � �<br />
� 8�<br />
� � � EI<br />
� L �<br />
1<br />
4<br />
EI � � �<br />
�<br />
(6.72)<br />
�<br />
4<br />
�<br />
(6.73)
82<br />
Unabhängig von der Eigenform stellt sich bei einer Berechnung des vorverformten<br />
Trägers mit konstantem Schnittgrößenverlauf für die Verdrehung � <strong>im</strong>mer diejenige<br />
Halbwellenanzahl ein, die mit der Halbwellenanzahl der Vorverformung übereinst<strong>im</strong>mt.<br />
Bild 6.9 soll diesen Sachverhalt veranschaulichen.<br />
Bild 6.9 Verdrehung �, Stabilisierungslast qS und Stabilisierungsquerkraft QS für<br />
negatives Biegemoment My und einwellige bzw. mehrwellige Vorkrümmung v0<br />
Die sich bei einer Berechnung des vorverformten Trägers nach Theorie II. Ordnung<br />
ergebende Verdrehung �, die Stabilisierungslast qS und die Stabilisierungsquerkraft<br />
QS sind jeweils für eine einwellige und für eine dreiwellige sinusförmige Vorkrümmung<br />
angegeben. Ist die Eigenform bei kleiner Trägerlänge L oder kleiner<br />
Drehbettung c� einwellig, so ergibt sich die max<strong>im</strong>ale <strong>Beanspruchung</strong> der Obergurt-
halterung, wenn eine ebenfalls einwellige Vorverformung angesetzt wird. Liegt eine<br />
mehrwellige Eigenform vor, dann ist die Frage, welche Form der Ersatz<strong>im</strong>perfektion<br />
max<strong>im</strong>ale Stabilisierungslasten verursacht, schon schwieriger zu beantworten.<br />
Bei konstantem Biegemoment My und einwelliger Vorkrümmung v0 berechnet sich<br />
die Verdrehung �m in Feldmitte gemäß Gleichung (6.74).<br />
v0,<br />
m<br />
� m � ��<br />
�,<br />
M<br />
(6.74)<br />
Ki,<br />
1<br />
h<br />
S<br />
M<br />
y<br />
M Ki,<br />
1<br />
�� , M �<br />
(6.75)<br />
Ki,<br />
1 M y<br />
1�<br />
M<br />
mit<br />
Ki,<br />
1<br />
MKi,1 = MKi,i gemäß Gleichung (6.68) und i = 1<br />
Die Stabilisierungslast qS in Feldmitte als Summe aus Imperfektionsanteil q S,<br />
v und<br />
0<br />
Verformungsanteil qS,� kann damit als Gleichung (6.76) angegeben werden:<br />
2 � �<br />
2<br />
� � � M<br />
�<br />
y<br />
�<br />
� �<br />
GIT<br />
c�<br />
� L �<br />
q �<br />
S , m � v0,<br />
m ��<br />
� � � � � ��<br />
�<br />
� � 2 2 � �<br />
� �<br />
� �,<br />
M<br />
(6.76)<br />
Ki,<br />
1<br />
L h<br />
� S � hS<br />
hS<br />
� � � � ��<br />
Die zugehörige max<strong>im</strong>ale Querkraft in der seitlichen Halterung berechnet sich gemäß<br />
Gleichung (6.77).<br />
� �<br />
2<br />
� M<br />
�<br />
y<br />
�<br />
� �<br />
GIT<br />
c�<br />
� L �<br />
Q �<br />
S , max � v0,<br />
m � � � � � ��<br />
�<br />
� � 2 2 � �<br />
� �,<br />
M<br />
(6.77)<br />
Ki,<br />
1<br />
L h<br />
� S � hS<br />
hS<br />
� � � � ��<br />
Wird anstelle einer einwelligen eine mehrwellige Vorkrümmung v0 gemäß Gleichung<br />
(6.78) angesetzt, dann ändern sich die Gleichungen (6.74) bis (6.77) wie folgt:<br />
v<br />
0<br />
( x)<br />
v0,<br />
m i � ��<br />
x<br />
� �sin<br />
(6.78)<br />
i L<br />
v0,<br />
m<br />
� m , i � ��<br />
�,<br />
M<br />
(6.79)<br />
Ki,<br />
i<br />
i � h<br />
S<br />
M<br />
y<br />
M Ki,<br />
i<br />
�� , M �<br />
(6.80)<br />
Ki,<br />
i M y<br />
1�<br />
M<br />
Ki,<br />
i<br />
83
84<br />
mit<br />
MKi,i gemäß Gleichung (6.68)<br />
i = Halbwellenanzahl der angesetzten Vorkrümmung v0<br />
2 � �<br />
2<br />
v<br />
� �<br />
0,<br />
m � i � � � M y<br />
� �<br />
GIT<br />
c�<br />
� L �<br />
q � � � � � � �<br />
S , m,<br />
i � �<br />
��<br />
�<br />
� � 2 2 � �<br />
� �<br />
� �,<br />
M<br />
(6.81)<br />
Ki,<br />
i<br />
i L h<br />
� S � hS<br />
hS<br />
� i � � � � ��<br />
� �<br />
2<br />
� M<br />
�<br />
y<br />
�<br />
� �<br />
GIT<br />
c�<br />
� L �<br />
Q �<br />
S , max, i � v0,<br />
m � � � � � ��<br />
�<br />
� � 2 2 � �<br />
� �,<br />
M<br />
(6.82)<br />
Ki,<br />
i<br />
L h<br />
� S � hS<br />
hS<br />
� i � � � � ��<br />
Die Frage, ob eine einwellige oder eine eigenformaffine mehrwellige Vorverformung<br />
eine größere bemessungsrelevante Querkraft QS in der Obergurthalterung verursacht,<br />
kann duch einen Vergleich der Gleichungen (6.77) für QS,max und (6.82) für QS,max,i<br />
entschieden werden. Die eigenformaffine mehrwellige Vorverformung ist maßgebend<br />
für QS, wenn das den Träger belastende negative Biegemoment My betragsmäßig<br />
größer ist als der Ausdruck gemäß Gleichung (6.83).<br />
M<br />
y<br />
M<br />
�<br />
Ki,<br />
i<br />
�GI<br />
� �<br />
��<br />
c<br />
�<br />
T<br />
2<br />
� L � � �GI<br />
� � � � � M Ki,<br />
1 � �<br />
� � � ��<br />
��<br />
c<br />
2 2<br />
� L � � L �<br />
� � � � �<br />
� i � � � � � �<br />
�<br />
T<br />
� L �<br />
� � �<br />
� i � � �<br />
2<br />
�<br />
�<br />
��<br />
(6.83)<br />
Wenn Gleichung (6.83) erfüllt ist, dann ist QS,max,i gemäß Gleichung (6.82) größer als<br />
QS,max gemäß Gleichung (6.77). In einem solchen Fall ist der durch � �,<br />
MKi,<br />
i<br />
repräsentierte Einfluß der Theorie II. Ordnung bei mehrwelliger Imperfekton so viel<br />
größer als der durch � �,<br />
M repräsentierte Einfluß der Theorie II. Ordnung bei<br />
Ki,<br />
1<br />
einwelliger Imperfektion, daß sich trotz Vorzeichenwechsel der Stabilisierungslast qS<br />
bei mehrwelliger Imperfektion eine größere <strong>Beanspruchung</strong> QS der Obergurthalterung<br />
ergibt. Für wirtschaftlich bemessene Träger mit ausreichend großer Drehbettung c�<br />
zur Reduzierung der Biegedrillknickgefahr ist aber die einwellige Imperfektion ohne<br />
Vorzeichenwechsel der Stabilisierungslast qS maßgebend, da der Einfluß der Theorie<br />
II. Ordnung in diesen Fällen nur gering ist.<br />
Anhand dieser Überlegungen wird deutlich, daß der Ansatz eigenformaffiner<br />
Imperfektionen nur bei Systemen mit hoher Stabilitätsgefährdung bzw. niedrigem<br />
Verzweigungslastfaktor �Ki zu max<strong>im</strong>alen <strong>Beanspruchung</strong>en der Stabilisierungskonstruktion<br />
führen kann. Für Träger mit geringer Stabilitätsgefährdung, deren<br />
Querschnittstragfähigkeit weitgehend ausgenutzt werden kann, bewirkt die einwellige<br />
Imperfektionsannahme eine max<strong>im</strong>ale <strong>Beanspruchung</strong> der seitlichen Halterung.
6.3 Belastung durch veränderliche Schnittgrößen<br />
6.3.1 Matrizenverfahren für Träger mit gebundener Drehachse<br />
6.3.1.1 Vorbemerkungen<br />
Biegeträger in der Baupraxis werden überwiegend durch veränderliche Biegemomentenverläufe<br />
beansprucht. Als planmäßige Schnittgröße tritt in diesen Fällen neben dem<br />
Biegemoment My auch <strong>im</strong>mer die Querkraft Vz auf. Eine geschlossene formelmäßige<br />
Lösung der Differentialgleichung des Biegetorsionsproblems wie in Abschnitt 6.2<br />
kann aufgrund der Veränderlichkeit von My als Koeffizient in der Differentialgleichung<br />
nicht angegeben werden. Als Näherungslösung für das Biegetorsionsproblem<br />
wird deshalb das in Abschnitt 4 erläuterte Matrizenverfahren für Träger mit<br />
kontinuierlicher seitlicher Stützung auf Träger mit gebundener Drehachse übertragen.<br />
Der Übergang von einer steifen seitlichen Halterung zu einer unverschieblichen<br />
gebundenen Drehachse hat dabei den Vorteil, daß durch die geometrische Beziehung<br />
zwischen den Verformungen v und � die Anzahl der unbekannten Freiwerte zur<br />
Berechnung des Verformungszustandes des stabilisierten Trägers halbiert wird. Dies<br />
ist ein entscheidender Vorteil bei der Ableitung von Näherungsformeln für die<br />
Berechnung der Stabilisierungslasten ausgesuchter praxisrelevanter Systeme und<br />
Belastungssituationen.<br />
Ein in der Praxis häufig auftretender Fall sind Träger mit auf dem Obergurt aufliegenden<br />
Trapezprofilen oder Pfetten. Trennt man den Träger gedanklich von den <strong>im</strong><br />
rechten Winkel aufliegenden Bauteilen, so kann deren Wirkung durch eine Gleichstreckenlast<br />
qz, eine Drehbettung c� und eine seitliche Halterung am Obergurt in Form<br />
eines kontinuierlichen Schubfeldes (bei Trapezprofilen) oder in Form diskreter Stützstellen<br />
(bei Abstützung von Pfetten gegen einen Verband) berücksichtigt werden. Der<br />
Träger wird durch die aufliegenden Bauteile also sowohl belastet als auch gestützt.<br />
Die Steifigkeit von Schubfeldern oder Verbänden ist häufig so groß, daß näherungsweise<br />
eine gebundene Drehachse für den Träger am Obergurt vorliegt. Inwiefern sich<br />
die Stabilisierungslasten bei diskreter Stützung durch einen Verband von den<br />
Stabilisierungslasten bei kontinuierlicher Stützung durch ein Schubfeld unterscheiden,<br />
wird in Abschnitt 7 untersucht.<br />
6.3.1.2 Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren zur Berechnung der<br />
Trägerverformung<br />
Da Vertikallasten qz und Horizontallasten qy durch die am Obergurt angeschlossenen<br />
Bauteile auf den Träger übertragen werden, greifen sie in Höhe der Drehachse an. Die<br />
virtuelle Arbeit für diesen Fall des Trägers mit gebundener Drehachse und Lastangriff<br />
der Querlasten in Höhe des Obergurtmittelpunktes ist in den Gleichungen (6.84) bis<br />
(6.87) angegeben.<br />
85
86<br />
�W = �We + �Wg + �Wp<br />
� e<br />
L<br />
�<br />
0<br />
�<br />
T<br />
�<br />
(6.84)<br />
W � � [ 2 � EI � ��� � ����<br />
� GI � �� � ���<br />
� c � � � ��]<br />
dx<br />
(6.85)<br />
L � 2<br />
h 2 � s<br />
� Wg<br />
� ��[<br />
N � � i �<br />
�<br />
� p � �� � ���<br />
� My<br />
� hs<br />
� �� � ���]<br />
dx<br />
4 �<br />
(6.86)<br />
0 � �<br />
L<br />
� W � [ m � ] dx<br />
(6.87)<br />
p �<br />
0<br />
x ��<br />
Da die Querlast qy keinen Hebelarm bzgl. der gebundenen Drehachse aufweist,<br />
entsteht das Streckentorsionsmoment mx in Gleichung (6.87) nur infolge<br />
Vorverformung. Setzt man gemäß Kommentar zu DIN 18800 eine Vorkrümmung v0<br />
an, so ergibt sich ein Ersatzstreckentorsionsmoment mx,0 gemäß Gleichung (6.88a) für<br />
v0(x) als Sinushalbwelle oder Gleichung (6.88b) für v0(x) als Parabel.<br />
� hS<br />
� � hS<br />
� � � � x<br />
� mx,<br />
0 � ��M<br />
y � � N�<br />
� v�0�<br />
� �M<br />
y � � N�<br />
� v0,<br />
m,<br />
Sinus � � sin (6.88a)<br />
� 2 � � 2 � L L<br />
mx 2<br />
� h �<br />
h<br />
8<br />
m ��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� 2 � � 2 �<br />
L<br />
S<br />
S<br />
x � mx,<br />
0 � ��M<br />
y � � N�<br />
� v0<br />
� �M<br />
y � � N�<br />
� v0,<br />
m,<br />
Parabel<br />
(6.88b)<br />
2<br />
Bild 6.10 Gewählter Biegemomentenverlauf des Trägers mit gebundener Drehachse<br />
2
Bild 6.11 Ersatzweise Berücksichtigung der Dachneigung bei satteldachförmigen<br />
Rahmenriegeln<br />
Die Normalkraft N sei über die Trägerlänge konstant. Der gewählte Biegemomentenverlauf<br />
des Trägers ist in den Gleichungen (6.89a), (6.89b) und in Bild 6.10 angegeben.<br />
Die Randmomente MyA und MyB des Trägers können infolge Durchlaufträger-<br />
oder Rahmentragwirkung entstehen, wenn der betrachtete gabelgelagerte Einfeldträger<br />
aus einem entsprechenden Gesamtsystem gedanklich herausgetrennt wird. Der<br />
dreiecksförmige Momentenverlauf infolge gedachter Einzellast Pz in Feldmitte dient<br />
zur Erzeugung einer Momentenlinie, wie sie infolge Geometrie bei symmetrischen<br />
satteldachförmigen Rahmentragwerken auftritt. Siehe dazu Bild 6.11.<br />
x � 0,5 · L:<br />
x � x x 2 � L x<br />
My � MyA<br />
� ( M yB � MyA)<br />
� � 4 � M0<br />
� ( ) � Pz<br />
� �<br />
L �<br />
� �<br />
L L �<br />
�<br />
(6.89a)<br />
� � 2 L<br />
x � 0,5 · L:<br />
x � x x 2 � L � x �<br />
M � MyA<br />
� ( MyB<br />
� MyA)<br />
� � 4 � M0<br />
� �<br />
� � ( ) �<br />
� � Pz<br />
� � �<br />
�1<br />
� �<br />
�<br />
L � L L � 2 � L �<br />
2<br />
qz<br />
� L<br />
mit M0<br />
�<br />
8<br />
y (6.89b)<br />
Als Ansatzfunktionen für die Verdrehung � werden analog zum Matrizenverfahren<br />
nach Friemann/Stroetmann [23] Sinusreihen verwendet.<br />
87
88<br />
� �<br />
5<br />
�<br />
j�1<br />
� j�<br />
� � x �<br />
�j<br />
� sin �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
(6.90)<br />
� L �<br />
Durch Einsetzen der entsprechenden Ableitungen der Verformungsfunktionen sowie<br />
der Lasten und Schnittgrößen in die virtuelle Arbeit und Ausführung der Integration<br />
erhält man die in Bild 6.12 angegebenen Steifigkeitsmatrizen Ke, Kg und den<br />
Lastvektor P. Die gesuchten Freiwerte der Ansatzfunktionen für die Trägerverformungen<br />
des Biegetorsionsproblems nach Theorie II. Ordnung Gleichung (6.92)<br />
ergeben sich als Lösung der Matrizengleichung (6.91).<br />
(Ke + Kg) · V = P (6.91)<br />
V T = [�1, �2, �3, �4, �5] (6.92)<br />
Für Fälle, die noch weitere kurzwelligere Sinusreihenansätze mit j > 5 für eine ausreichend<br />
exakte Berechnung der Trägerverformungen benötigen, sind die Gleichungen<br />
zur Ermittlung der einzelnen Matrix- bzw. Vektorelemente in Tabelle 6.4<br />
angegeben.<br />
Tabelle 6.4 Bildungsgesetze für die Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren gemäß Bild 6.12<br />
Steifigkeitsmatrix Theorie I. Ordnung Ke<br />
i = j:<br />
Ke,ij = j 4 · e1 + j 2 · e2 + e3<br />
i � j:<br />
Ke,ij = 0<br />
Geometrische Steifigkeitsmatrix Kg<br />
i = j ungerade:<br />
2<br />
2 2 �<br />
2 � 1 j 4<br />
Kg, ij � j � g1<br />
� j � � g2<br />
� ( j � � ) � g3<br />
� � ( 1�<br />
) � g<br />
2 2<br />
4 6 4 8 j � �<br />
i = j gerade:<br />
2<br />
2 2 �<br />
2 � 1 j<br />
Kg, ij � j � g1<br />
� j � � g2<br />
� ( j � � ) � g3<br />
� � g<br />
4 6 4 8<br />
i � j beide ungerade oder beide gerade:<br />
K<br />
g,<br />
ij<br />
( i � j )<br />
� �2<br />
� i � j�<br />
� g<br />
2 2 2<br />
( i � j )<br />
2<br />
2<br />
�<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
�<br />
2 � �<br />
2<br />
i � j<br />
� ( i<br />
2<br />
� j<br />
2<br />
)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2 2<br />
� � � 4 � ( i � j )<br />
2<br />
2<br />
� 2 � cos[( �i<br />
� j)<br />
� ] � ( i � j)<br />
� 2 � cos[( i � j)<br />
� ] � ( i � j)<br />
�� g4<br />
i � j einer ungerade und einer gerade<br />
( i � j )<br />
�<br />
�2<br />
� i � j�<br />
� ( g<br />
2 2 2<br />
( i � j )<br />
� g<br />
Kg, ij<br />
2 3<br />
2<br />
2<br />
)<br />
�<br />
2<br />
4
Lastvektor PSinus für Vorkrümmung v0 als Sinushalbwelle<br />
j = 1:<br />
1<br />
PSinus, j � � P1,<br />
Sinus<br />
2<br />
j > 1 ungerade:<br />
1<br />
� � P2,<br />
Sinus<br />
4<br />
� 1 1 �<br />
� � � P 2 � � 3,<br />
Sinus<br />
� 6 4�<br />
�<br />
1 � 4 �<br />
� � �1�<br />
� P 2 �<br />
8 � � �<br />
4 � j<br />
PSinus, j � 2 2 2<br />
� � ( j �1)<br />
1<br />
� P3,<br />
Sinus �<br />
���<br />
8 � j<br />
2 2 2<br />
2 � � � ( j �1)<br />
�<br />
2<br />
4,<br />
Sinus<br />
2<br />
2<br />
� 2 � cos[( j �1)<br />
� ] � ( j �1)<br />
� 2 � cos[( j �1)<br />
� ] � ( j �1)<br />
�� P4,<br />
Sinus<br />
j gerade:<br />
� 4 � j<br />
PSinus, j �<br />
� ( P2,<br />
Sinus � P3,<br />
Sinus)<br />
2 2 2<br />
� � ( 1�<br />
j )<br />
Lastvektor PParabel für Vorkrümmung v0 als Parabel<br />
j ungerade:<br />
2<br />
1<br />
1 4<br />
PParabel, j � � P1,<br />
Parabel � � P2,<br />
Parabel � � ( 1�<br />
) � P<br />
2 2<br />
j�<br />
� j�<br />
�<br />
j�<br />
� j � �<br />
�<br />
j<br />
2<br />
2<br />
� �<br />
2<br />
�<br />
� sin( j�<br />
) � P<br />
2<br />
4,<br />
Parabel<br />
j gerade:<br />
1<br />
PParabel, j �<br />
� � ( P2,<br />
Parabel � P3,<br />
Parabel)<br />
j�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
3,<br />
Parabel<br />
89
90<br />
Kg =<br />
Ke =<br />
�1 �2 �3 �4 �5<br />
e1 + e2 + e3 0 0 0 0<br />
Symmetrie<br />
16 · e1<br />
+ 4 · e2 + e3<br />
0 0 0<br />
81 · e1<br />
+ 9 · e2 + e3<br />
0 0<br />
256 · e1<br />
+ 16 · e2 + e3<br />
0<br />
625 · e1<br />
+ 25 · e2 + e3<br />
�1 �2 �3 �4 �5<br />
2<br />
�<br />
g1<br />
� �g<br />
2<br />
4<br />
2 � � 1 �<br />
�<br />
�<br />
� � �g<br />
3<br />
6 4 �<br />
�<br />
� �<br />
1 � 4 �<br />
+ ��1 � 2 � ·g4<br />
8 � � �<br />
20<br />
( g2<br />
g3<br />
)<br />
9<br />
� �<br />
15<br />
� � g3<br />
16<br />
3<br />
� · g4 2<br />
2�<br />
136<br />
( g2<br />
g3<br />
)<br />
225<br />
� �<br />
2<br />
4 � g1<br />
� � � g2<br />
65<br />
� �g<br />
3<br />
144<br />
5<br />
� · g4 2<br />
18�<br />
� 2 2 1 �<br />
� � �<br />
�<br />
� � � � g3<br />
3 4 �<br />
� �<br />
1<br />
� � g4<br />
2<br />
156<br />
� ( g2<br />
� g3<br />
)<br />
25<br />
20<br />
� �g<br />
3<br />
9<br />
40<br />
� · g4 2<br />
9�<br />
580<br />
� ( g2<br />
� g3<br />
)<br />
441<br />
9 2<br />
9 � g1<br />
� � � � g2<br />
4<br />
� 3 2 1 �<br />
� � �<br />
�<br />
� � � � g<br />
2 4 �<br />
� �<br />
9 � 4 �<br />
� ��1<br />
� � � g4 2<br />
8 � 9�<br />
�<br />
3<br />
600<br />
( g<br />
49<br />
�<br />
2<br />
Symmetrie � � � � � � � g3<br />
2 �<br />
g<br />
16�<br />
g1<br />
� 4�<br />
� � g<br />
� 8 1 �<br />
�<br />
� 3 4 �<br />
�<br />
+ 2 ·g4<br />
2<br />
3<br />
)<br />
2<br />
255<br />
� � g<br />
64<br />
15<br />
� � 2<br />
2�<br />
�<br />
1640<br />
( g<br />
81<br />
�<br />
2 �<br />
3<br />
g4<br />
g<br />
25 2<br />
25�<br />
g1<br />
� � � � g<br />
4<br />
� 25 2 1 �<br />
� � �<br />
�<br />
� � � � g<br />
6 4 �<br />
� �<br />
25 � 4 �<br />
��1<br />
� � �<br />
8 � 25�<br />
�<br />
� 2<br />
3<br />
)<br />
2<br />
3<br />
g4
91<br />
e1 = 3<br />
4<br />
L<br />
EI<br />
�<br />
�<br />
�<br />
e2 =<br />
L<br />
2<br />
1<br />
GI<br />
2<br />
T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
e3 =<br />
2<br />
L<br />
c �<br />
�<br />
g1 =<br />
L<br />
2<br />
1<br />
h<br />
M<br />
i<br />
4<br />
h<br />
N<br />
2<br />
S<br />
yA<br />
2<br />
p<br />
2<br />
S<br />
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�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
g2 = � � L<br />
h<br />
M<br />
4<br />
M<br />
M<br />
S<br />
0<br />
yA<br />
yB<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
g3 = 4 · M0 L<br />
h S<br />
�<br />
g4 =<br />
2<br />
S<br />
z h<br />
2<br />
P<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Sinus<br />
,<br />
2<br />
Sinus<br />
,<br />
1<br />
P<br />
4<br />
1<br />
P<br />
2<br />
1<br />
�<br />
�<br />
� Sinus<br />
,<br />
4<br />
2<br />
Sinus<br />
,<br />
3<br />
2<br />
P<br />
4<br />
1<br />
8<br />
1<br />
P<br />
4<br />
1<br />
6<br />
1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
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�<br />
�<br />
� �1<br />
)<br />
P<br />
P<br />
(<br />
9<br />
8<br />
Sinus<br />
,<br />
3<br />
Sinus<br />
,<br />
2<br />
2<br />
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�<br />
�<br />
�<br />
� �2<br />
Sinus<br />
,<br />
4<br />
2<br />
Sinus<br />
,<br />
3<br />
2<br />
P<br />
2<br />
1<br />
P<br />
16<br />
3<br />
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�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�3<br />
)<br />
P<br />
P<br />
(<br />
225<br />
16<br />
Sinus<br />
,<br />
3<br />
Sinus<br />
,<br />
2<br />
2<br />
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�<br />
�<br />
� �4<br />
Sinus<br />
,<br />
4<br />
2<br />
Sinus<br />
,<br />
3<br />
2<br />
P<br />
18<br />
1<br />
P<br />
144<br />
5<br />
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�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�5<br />
Parabel<br />
,<br />
2<br />
Parabel<br />
,<br />
1<br />
P<br />
1<br />
P<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Parabel<br />
,<br />
4<br />
2<br />
Parabel<br />
,<br />
3<br />
2<br />
P<br />
2<br />
P<br />
4<br />
1<br />
1<br />
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�<br />
�<br />
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�<br />
� �1<br />
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P<br />
P<br />
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2<br />
1<br />
Parabel<br />
,<br />
3<br />
Parabel<br />
,<br />
2<br />
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� �2<br />
Parabel<br />
,<br />
4<br />
2<br />
Parabel<br />
,<br />
3<br />
2<br />
Parabel<br />
,<br />
2<br />
Parabel<br />
,<br />
1<br />
P<br />
9<br />
2<br />
P<br />
9<br />
4<br />
1<br />
3<br />
1<br />
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3<br />
1<br />
P<br />
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,<br />
3<br />
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,<br />
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Parabel<br />
,<br />
4<br />
2<br />
Parabel<br />
,<br />
3<br />
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Parabel<br />
,<br />
2<br />
Parabel<br />
,<br />
1<br />
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2<br />
P<br />
25<br />
4<br />
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1<br />
P<br />
5<br />
1<br />
P<br />
5<br />
2<br />
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,<br />
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M<br />
2<br />
h<br />
N<br />
P Parabel<br />
,<br />
m<br />
,<br />
0<br />
yA<br />
s<br />
Parabel<br />
,<br />
1<br />
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L<br />
v<br />
M<br />
4<br />
M<br />
M<br />
2<br />
Sinus<br />
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v<br />
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P<br />
P Parabel<br />
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,<br />
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Parabel<br />
,<br />
4<br />
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Bild 6.12 Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren für gebundene Drehachse und<br />
Lastangriff am Obergurt<br />
PSinus =<br />
PParabel =
92<br />
6.3.1.3 <strong>Beanspruchung</strong> der seitlichen Halterung<br />
Wird der Lösungsvektor V aus der Matrizengleichung (6.91) ermittelt, so können<br />
auch die Stabilisierungslasten qS für die seitliche Halterung am Obergurt mit den<br />
Gleichungen des EBV-BDK berechnet werden.<br />
Aus Gleichung (5.18a) wird für den hier vorliegenden Fall Gleichung (6.93) mit:<br />
hS mx = qy ·<br />
2<br />
hS zp = -<br />
2<br />
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z<br />
S<br />
S<br />
Die Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.93) setzt sich aus den drei Anteilen äußere<br />
Last (qy), Imperfektionsanteil (v0) und Verformungsanteil (�) zusammen. N<strong>im</strong>mt man<br />
diese Strukturierung vor, so kann Gleichung (6.93) als Gleichung (6.94) geschrieben<br />
werden.<br />
qS,OG = qS,<br />
OG,<br />
q � qS,<br />
OG,<br />
v � q<br />
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0 S,<br />
OG,<br />
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q<br />
q<br />
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OG,<br />
q<br />
S,<br />
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(6.94)<br />
Für den Imperfektionsanteil ergibt sich entweder Gleichung (6.95a) für v0(x) als<br />
Sinushalbwelle oder Gleichung (6.95b) für v0(x) als Parabel.<br />
q<br />
q<br />
S, OG,<br />
v0,<br />
Sinus<br />
S,<br />
OG,<br />
v<br />
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( x)<br />
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(6.95b)<br />
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S �<br />
L
Für den Verformungsanteil gilt Gleichung (6.96).<br />
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(6.96)<br />
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Die bemessungsrelevante Querkraft QS in der seitlichen Halterung kann durch Integration<br />
von Gleichung (6.93) ermittelt werden, wenn die Randbedingungen gemäß<br />
Gleichung (6.99a) und (6.99b) für die Best<strong>im</strong>mung der Integrationskonstanten genutzt<br />
werden.<br />
QS S<br />
(6.97)<br />
( x)<br />
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q ( x)<br />
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(6.98)<br />
( x)<br />
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h<br />
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2<br />
S<br />
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hS<br />
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x � L)<br />
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x � L)<br />
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� 0<br />
(6.99b)<br />
2<br />
Mit den Momentenverläufen gemäß Gleichung (6.89a), (6.89b) und durch Integration<br />
der Gleichungen (6.95a), (6.95b) und (6.96) erhält man die nachfolgenden Gleichungen<br />
für die Querkraft QS in der seitlichen Halterung.<br />
Q<br />
S,<br />
OG<br />
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OG,<br />
q � QS,<br />
OG,<br />
v � QS,<br />
OG,<br />
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q ( x)<br />
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v ( x)<br />
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(6.101)<br />
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94<br />
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(6.104a)<br />
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6.3.1.4 Vergleich mit FEM-Berechnungen<br />
(6.104b)<br />
Die Gleichungen (6.100) bis (6.104) für die bemessungsrelevante Stabilisierungsquerkraft<br />
QS werden für einen Träger mit unterschiedlichen Biegemomentenverläufen,<br />
unterschiedlicher Form der Vorverformung v0 mit und ohne Drehbettung ausgewertet<br />
und mit den Ergebnissen von FEM-Berechnungen mit dem Programm BTII verglichen.<br />
Die Parameter des untersuchten Beispiels werden wie folgt variiert:<br />
� Profil: IPE 400<br />
� Trägerlänge: L = 20 m<br />
� Translationsbettung: cy = 10 8 kN/cm 2 , zcy = -hS/2 = -19,325 cm<br />
� Drehbettung: c� = 0 bzw. c� = 5 kNm/m<br />
� Vorverformung: v0,m = L/500 als Sinushalbwelle bzw. als Parabel<br />
� Belastung: Lastfälle LF 1 bis LF 9 gemäß Bild 6.13<br />
Alle Lastfälle weisen ein Biegemoment in Feldmitte von |Mym| = 100 kNm auf.<br />
Ausnahme ist LF1 mit My = 0 und N � 0.<br />
My<br />
100<br />
N � � � � � �250<br />
kN (6.105)<br />
h 0,<br />
4<br />
Es werden alle Lastfälle jeweils mit v0(x) als Sinushalbwelle bzw. als Parabel und<br />
c� = 0 bzw. 5 kNm/m untersucht. Die Stabilisierungsquerkraft QS,FEM aus der FEM-<br />
Berechnung ist in den Tabellen 6.5a bis 6.5d jeweils für alle Lastfälle in den<br />
Zehntelspunkten angegeben. Die als Näherungslösung gemäß EBV-BDK mit<br />
Gleichung (6.100) berechnete Stabilisierungsquerkraft QS,EBV ist nur jeweils dann<br />
ergänzend aufgeführt, wenn eine Abweichung zur genauen Lösung QS,FEM auftritt.<br />
Tabelle 6.5a: v0(x) als Sinushalbwelle, c� = 0, LF 1 bis 9<br />
Tabelle 6.5b: v0(x) als Sinushalbwelle, c� = 5 kNm/m, LF 1 bis 9<br />
Tabelle 6.5c: v0(x) als Parabel, c� = 0, LF 1 bis 9<br />
Tabelle 6.5d: v0(x) als Parabel, c� = 5 kNm/m, LF 1 bis 9
LF1: N = -250 kN<br />
LF2: MyA = MyB = +100 kNm<br />
LF3: MyA = MyB = -100 kNm<br />
LF4: M0 = 100 kNm<br />
qz = 2 kN/m<br />
LF5: MyA = MyB = -100 kNm<br />
M0 = 200 kNm<br />
qz = 4 kN/m<br />
LF6: MyA = MyB = -200 kNm<br />
M0 = 300 kNm<br />
qz = 6 kN/m<br />
LF7: MyB = -100 kNm<br />
M0 = 150 kNm<br />
qz = 3 kN/m<br />
LF8: MyB = -200 kNm<br />
M0 = 200 kNm<br />
qz = 4 kN/m<br />
LF9: Mym = 100 kNm<br />
Pz = 20 kN<br />
Bild 6.13 Berechnete Lastfälle zur Bestätigung der Gleichungen (6.100) bis (6.104)<br />
97
98<br />
Tabelle 6.5a Stabilisierungsquerkraft QS in [kN] für v0(x) als Sinushalbwelle, c� = 0<br />
x/L<br />
LF1<br />
EBV<br />
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0<br />
FEM<br />
LF2<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF3<br />
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FEM<br />
LF4<br />
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FEM<br />
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EBV<br />
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LF6<br />
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FEM<br />
LF8<br />
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FEM<br />
LF9<br />
EBV<br />
FEM<br />
1,93<br />
0,84<br />
6,99<br />
0,34<br />
0,35<br />
-0,45<br />
-0,42<br />
-4,17<br />
-4,42<br />
0,43<br />
0,44<br />
0,58<br />
0,61<br />
-0,29<br />
-0,28<br />
1,83<br />
0,79<br />
6,65<br />
0,68<br />
0,67<br />
0,61<br />
0,59<br />
0,97<br />
1,03<br />
0,89<br />
0,87<br />
1,24<br />
1,22<br />
-0,09<br />
1,56<br />
0,68<br />
5,66<br />
0,86<br />
0,85<br />
1,27<br />
1,24<br />
3,90<br />
4,08<br />
1,06<br />
1,04<br />
1,44<br />
1,41<br />
0,11<br />
1,13<br />
0,49<br />
4,11<br />
0,77<br />
0,76<br />
1,27<br />
1,24<br />
3,90<br />
4,06<br />
0,85<br />
0,83<br />
1,06<br />
1,05<br />
0,22<br />
0,21<br />
0,60<br />
0,26<br />
2,16<br />
0,44<br />
0,75<br />
2,17<br />
2,37<br />
0,35<br />
0,30<br />
0,31<br />
0,19<br />
0,15<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
-0,26<br />
-0,58<br />
-0,60<br />
0<br />
-0,60<br />
-0,26<br />
-2,16<br />
-0,44<br />
-0,75<br />
-2,17<br />
-2,37<br />
-0,81<br />
-0,80<br />
-1,38<br />
-1,39<br />
-0,19<br />
-0,15<br />
-1,13<br />
-0,49<br />
-4,11<br />
-0,77<br />
-0,76<br />
-1,27<br />
-1,24<br />
-3,90<br />
-4,06<br />
-1,12<br />
-1,09<br />
-1,84<br />
-1,80<br />
-0,22<br />
-0,21<br />
-1,56<br />
-0,68<br />
-5,66<br />
-0,86<br />
-0,85<br />
-1,27<br />
-1,24<br />
-3,90<br />
-4,08<br />
-0,99<br />
-0,97<br />
-1,46<br />
-1,44<br />
-1,83<br />
-0,79<br />
-6,65<br />
-0,68<br />
-0,67<br />
-0,61<br />
-0,59<br />
-0,97<br />
-1,03<br />
-0,39<br />
-0,38<br />
0,01<br />
0,00<br />
-1,93<br />
-0,84<br />
-6,99<br />
-0,34<br />
-0,35<br />
Tabelle 6.5b Stabilisierungsquerkraft QS in [kN] für v0(x) als Sinushalbwelle, c� = 5 kNm/m<br />
x/L<br />
LF1<br />
EBV<br />
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0<br />
FEM<br />
LF2<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF3<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF4<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF5<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF6<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF7<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF8<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF9<br />
EBV<br />
FEM<br />
1,62<br />
0,25<br />
0,26<br />
0,04<br />
-0,13<br />
-0,25<br />
-0,24<br />
0,06<br />
0,09<br />
-0,11<br />
1,54<br />
0,23<br />
0,25<br />
0,14<br />
0,06<br />
0,05<br />
-0,02<br />
-0,03<br />
0,19<br />
0,18<br />
0,23<br />
-0,05<br />
1,31<br />
0,20<br />
0,21<br />
0,22<br />
0,23<br />
0,22<br />
0,23<br />
0,22<br />
0,26<br />
0,25<br />
0,30<br />
0,29<br />
0,03<br />
0,95<br />
0,15<br />
0,15<br />
0,22<br />
0,28<br />
0,33<br />
0,32<br />
0,22<br />
0,21<br />
0,21<br />
0,08<br />
0,50<br />
0,08<br />
0,08<br />
0,13<br />
0,19<br />
0,18<br />
0,23<br />
0,07<br />
0,01<br />
0,08<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
-0,10<br />
-0,21<br />
-0,20<br />
0<br />
-0,50<br />
-0,08<br />
-0,08<br />
-0,13<br />
-0,19<br />
-0,18<br />
-0,23<br />
-0,24<br />
-0,33<br />
-0,08<br />
-0,95<br />
-0,15<br />
-0,15<br />
-0,22<br />
-0,28<br />
-0,33<br />
-0,32<br />
-0,28<br />
-0,27<br />
-0,30<br />
-0,08<br />
-0,11<br />
-1,31<br />
-0,20<br />
-0,21<br />
-0,22<br />
-0,23<br />
-0,22<br />
-0,23<br />
-0,22<br />
-0,19<br />
-0,14<br />
-0,13<br />
-0,03<br />
0,09<br />
-1,54<br />
-0,23<br />
-0,25<br />
-0,14<br />
-0,06<br />
-0,05<br />
0,02<br />
0,03<br />
-0,02<br />
0,07<br />
0,08<br />
0,05<br />
0,45<br />
0,42<br />
4,17<br />
4,42<br />
0,45<br />
0,43<br />
2,03<br />
0,29<br />
0,28<br />
-1,62<br />
-0,25<br />
-0,26<br />
-0,04<br />
0,13<br />
0,25<br />
0,24<br />
0,14<br />
0,13<br />
0,22<br />
0,20<br />
0,11
Tabelle 6.5c Stabilisierungsquerkraft QS in [kN] für v0(x) als Parabel, c� = 0<br />
x/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0<br />
LF1<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF2<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF3<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF4<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF5<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF6<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF7<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF8<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF9<br />
EBV<br />
FEM<br />
2,24<br />
2,23<br />
1,18<br />
1,14<br />
7,01<br />
7,02<br />
0,39<br />
0,40<br />
-0,56<br />
-0,50<br />
-3,09<br />
-3,15<br />
0,49<br />
0,61<br />
0,62<br />
-0,23<br />
-0,22<br />
1,95<br />
0,84<br />
0,85<br />
6,90<br />
6,87<br />
0,69<br />
0,57<br />
0,54<br />
0,67<br />
0,74<br />
0,87<br />
0,86<br />
1,12<br />
-0,06<br />
1,53<br />
0,61<br />
5,88<br />
5,87<br />
0,81<br />
0,80<br />
1,12<br />
1,09<br />
2,64<br />
2,69<br />
0,96<br />
0,94<br />
1,19<br />
1,18<br />
0,09<br />
1,04<br />
0,41<br />
0,40<br />
4,25<br />
4,24<br />
0,69<br />
0,68<br />
1,09<br />
1,06<br />
2,65<br />
2,67<br />
0,72<br />
0,70<br />
0,81<br />
0,80<br />
0,17<br />
0,16<br />
0,53<br />
0,20<br />
2,23<br />
2,22<br />
0,38<br />
0,63<br />
1,49<br />
1,56<br />
0,26<br />
0,15<br />
0,14<br />
0,11<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
-0,27<br />
-0,57<br />
0<br />
-0,53<br />
-0,20<br />
-2,23<br />
-2,22<br />
-0,38<br />
-0,63<br />
-1,49<br />
-1,56<br />
-0,73<br />
-1,17<br />
-0,14<br />
-0,11<br />
-1,04<br />
-0,41<br />
-0,40<br />
-4,25<br />
-4,24<br />
-0,69<br />
-0,68<br />
-1,09<br />
-1,06<br />
-2,65<br />
-2,67<br />
-1,00<br />
-0,98<br />
-1,47<br />
-1,46<br />
-0,17<br />
-0,16<br />
-1,53<br />
-0,61<br />
-5,88<br />
-5,87<br />
-0,81<br />
-0,80<br />
-1,12<br />
-1,09<br />
-2,64<br />
-2,69<br />
-0,92<br />
-0,90<br />
-1,16<br />
-1,95<br />
-0,84<br />
-0,85<br />
-6,90<br />
-6,87<br />
-0,69<br />
-0,57<br />
-0,54<br />
-0,67<br />
-0,74<br />
-0,38<br />
-0,36<br />
-0,01<br />
-0,02<br />
-2,24<br />
-2,23<br />
-1,18<br />
-1,14<br />
-7,01<br />
-7,02<br />
-0,39<br />
-0,40<br />
Tabelle 6.5d Stabilisierungsquerkraft QS in [kN] für v0(x) als Parabel, c� = 5 kNm/m<br />
x/L 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0<br />
LF1<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF2<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF3<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF4<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF5<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF6<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF7<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF8<br />
EBV<br />
FEM<br />
LF9<br />
EBV<br />
FEM<br />
1,93<br />
1,92<br />
0,55<br />
0,51<br />
0,07<br />
0,10<br />
0,10<br />
0,09<br />
-0,28<br />
-0,24<br />
-0,49<br />
-0,43<br />
0,13<br />
0,18<br />
0,16<br />
-0,07<br />
-0,06<br />
1,65<br />
0,26<br />
0,29<br />
0,28<br />
0,17<br />
0,16<br />
0,09<br />
0,07<br />
0,03<br />
0,08<br />
0,21<br />
0,26<br />
0,27<br />
-0,03<br />
1,26<br />
0,13<br />
0,26<br />
0,19<br />
0,23<br />
0,22<br />
0,22<br />
0,22<br />
0,24<br />
0,25<br />
0,02<br />
0,84<br />
0,85<br />
0,07<br />
0,16<br />
0,16<br />
0,24<br />
0,23<br />
0,27<br />
0,28<br />
0,15<br />
0,14<br />
0,13<br />
0,05<br />
0,42<br />
0,02<br />
0,03<br />
0,08<br />
0,07<br />
0,09<br />
0,15<br />
0,14<br />
0,20<br />
0,19<br />
0,03<br />
-0,04<br />
0,05<br />
0,04<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
-0,11<br />
-0,10<br />
-0,21<br />
-0,20<br />
0<br />
-0,42<br />
-0,02<br />
-0,03<br />
-0,08<br />
-0,07<br />
-0,09<br />
-0,15<br />
-0,14<br />
-0,20<br />
-0,19<br />
-0,20<br />
-0,29<br />
-0,05<br />
-0,04<br />
-0,84<br />
-0,85<br />
-0,07<br />
-0,16<br />
-0,16<br />
-0,24<br />
-0,23<br />
-0,27<br />
-0,28<br />
-0,24<br />
-0,25<br />
-0,26<br />
-0,05<br />
-0,09<br />
-1,26<br />
-0,13<br />
-0,26<br />
-0,19<br />
-0,23<br />
-0,22<br />
-0,22<br />
-0,20<br />
-0,19<br />
-0,15<br />
-0,14<br />
-0,02<br />
0,06<br />
-1,65<br />
-0,26<br />
-0,29<br />
-0,28<br />
-0,17<br />
-0,16<br />
-0,09<br />
-0,07<br />
-0,03<br />
-0,08<br />
-0,05<br />
-0,04<br />
0,01<br />
0,04<br />
0,03<br />
0,56<br />
0,50<br />
3,09<br />
3,15<br />
0,59<br />
0,53<br />
1,87<br />
1,83<br />
0,23<br />
0,22<br />
-1,93<br />
-1,92<br />
-0,55<br />
-0,51<br />
-0,07<br />
-0,10<br />
-0,10<br />
-0,09<br />
0,28<br />
0,24<br />
0,49<br />
0,43<br />
0,30<br />
0,25<br />
0,47<br />
0,40<br />
0,07<br />
0,06<br />
99
100<br />
Für die Lastfälle LF1, LF2 und LF3 mit konstanter Normalkraft bzw. konstantem<br />
Biegemoment in Verbindung mit einer Vorverformung als Sinushalbwelle liegt der<br />
Sonderfall der Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten vor. Die Sinushalbwelle<br />
für die Verdrehung � des Trägers mit �1 � 0 und �2 = �3 = �4 = �5 = 0 ist<br />
für diese Fälle die exakte Lösung. In den Tabellen 6.5a und 6.5b äußert sich dies<br />
darin, daß die Stabilisierungsquerkraft der Näherungslösung QS,EBV keine Abweichung<br />
zur genauen Lösung QS,FEM aufweist.<br />
Für die anderen Lastfälle LF4 bis LF9 treten geringe Abweichungen zwischen der<br />
Näherungslösung QS,EBV gemäß Gleichung (6.100) und der genauen Lösung QS,FEM<br />
auf. Man erkennt, daß der Verlauf der Stabilisierungsquerkraft QS über die<br />
Trägerlänge für die einzelnen Lastfälle sehr unterschiedlich ist. Der den Gleichungen<br />
(6.104a) und (6.104b) zugrunde liegende 5-gliedrige Sinusansatz für die Verdrehung<br />
� des Trägers ist aber offensichtlich ausreichend, um die Veränderlichkeit der<br />
Stabilisierungslasten in Trägerlängsrichtung richtig abzubilden.<br />
Ein Vergleich der Stabilisierungslasten infolge Vorverformung als Sinushalbwelle mit<br />
den Stabilisierungslasten infolge Vorverformung als Parabel zeigt, daß diese beiden<br />
häufig als gleichwertig eingeschätzten Vorverformungsannahmen zu sehr unterschiedlichen<br />
Ergebnissen führen können. Weiterhin wird deutlich, daß die Stabilisierungslasten<br />
durch eine vorhandene Drehbettung c� stark reduziert werden. Der Einfluß der<br />
verschiedenen Systemparameter Drehbettung, Vorverformung und planmäßige<br />
Belastung in der Trägerebene wird systematisch in Abschnitt 6.3.2 behandelt. An<br />
dieser Stelle soll anhand der Vergleichsrechnungen mit dem FEM-Programm BT II<br />
nur belegt werden, daß die genannten Parameter durch die Gleichungen des EBV-<br />
BDK richtig erfaßt werden.<br />
6.3.1.5 Berücksichtigung der Nachgiebigkeit der seitlichen Halterung<br />
Durch Annahme einer unverschieblichen gebundenen Drehachse in der Ebene der<br />
seitlichen Stützung werden die Freiwerte zur Beschreibung der Verformungen des<br />
stabilisierten Trägers <strong>im</strong> Vergleich zu einem Träger mit nachgiebiger seitlicher Halterung<br />
halbiert. Diese Halbierung der wesentlichen Systemfreiheitsgrade ist ein entscheidender<br />
Vorteil bei der Ableitung von Näherungsformeln für die Berechnung von<br />
Stabilisierungslasten. Die Nachgiebigkeit einer Obergurthalterung kann bei Erhaltung<br />
dieses Vorteils näherungsweise durch den Ansatz einer vergrößerten Vorverformung<br />
v 0 berücksichtigt werden, welche die seitliche Verformung der nachgiebigen<br />
Halterung mit abdeckt. Diese Vorgehensweise wird nachfolgend erläutert.<br />
Ist die kontinuierliche seitliche Halterung des Obergurts nicht unverschieblich sondern<br />
schubweich, was auf Trapezprofilschubfelder und näherungsweise auf engmaschige<br />
Verbände zutrifft, so wird sich der Obergurt infolge der qS-Lasten gemäß<br />
Gleichung (6.94) verschieben. Die Obergurtverformung in y-Richtung infolge<br />
Schubweichheit der seitlichen Halterung kann mit Gleichung (6.106) berechnet<br />
werden.
vOG(x) =<br />
M S (6.106)<br />
( x)<br />
S*<br />
mit MS ( x)<br />
� ���q<br />
S(<br />
x)<br />
dxdx<br />
S * = Schubsteifigkeit der Obergurthalterung in [kN]<br />
101<br />
Für die Obergurtverformung in Feldmitte wird bei Ansatz einer Vorverformung v0 als<br />
Sinushalbwelle aus Gleichung (6.106) Gleichung (6.107). Der erste Summand in der<br />
Gleichung (6.107) stellt die Obergurtverformung infolge äußerer Gleichstreckenlast qy<br />
dar. Die restlichen Summanden beschreiben die Obergurtverformung infolge Imperfektionsanteil<br />
der Stabilisierungslast qS (v0,m) und infolge Verformungsanteil der<br />
Stabilisierungslast qS (V) = qS (�1, �2, �3, �4, �5).<br />
L<br />
vOG,m = vOG(x= )<br />
2<br />
� 2<br />
1 qy<br />
� L � N 1 � 1<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� 1 6 2<br />
� � � v0,<br />
m � � � � � �MyA � MyB��4�M0����<br />
��<br />
�<br />
2<br />
S*<br />
��<br />
8 � 2 hS<br />
� 2<br />
� 4 � � ��<br />
� 2<br />
�<br />
Pz<br />
� L � 1 1 ��<br />
�<br />
� ip<br />
h<br />
�<br />
S GIT<br />
�<br />
� � � N � � � ��1��3��5� h �<br />
� �<br />
S 2 �<br />
� � � � � �<br />
� hS<br />
4 h<br />
�<br />
� � � � � �<br />
�<br />
S �<br />
� � � �<br />
� yB yA � 2 M M<br />
1<br />
� � � � �<br />
�<br />
M0<br />
� � � � � 2 � � � 2 � ��<br />
� 8 � � ��<br />
� �2<br />
� � � � � � � � � � � � � ��<br />
2 1<br />
3<br />
5<br />
� � � 2 � � 9 6 � � 25 10 ��<br />
P �<br />
�<br />
z �<br />
� 1 1 � � 1 1 � � 1 1 �<br />
� � L � �<br />
� � � �<br />
1 �<br />
� �<br />
� � �<br />
� � �3<br />
� �<br />
��<br />
� �<br />
� 5 �<br />
� � �<br />
�<br />
2<br />
�<br />
� � 2 � � � 2 3�<br />
� � 2 5�<br />
��<br />
2<br />
� � � � � ��<br />
�<br />
c�<br />
�<br />
L �3<br />
�5<br />
� q � � �<br />
�<br />
�<br />
� � �<br />
��<br />
� � �<br />
�<br />
� �<br />
1 �<br />
�<br />
hS<br />
� � � � � 9 25 ���<br />
z (6.107)<br />
Man kann zeigen, daß sich diese Obergurtverformung fast ausschließlich aus einer<br />
Schwerpunktverschiebung v des Trägers und nur zu einem kleinen Bruchteil aus einer<br />
Querschnittsverdrehung � zusammensetzt. Dies liegt daran, daß die Torsionssteifigkeit<br />
baupraktisch üblicher Träger deutlich größer ist als die Biegesteifigkeit um<br />
die schwache Achse. Es kann also näherungsweise unterstellt werden, daß die<br />
Obergurtverformung vOG für den Träger eine Schwerpunktverformung v bewirkt,<br />
ohne eine Querschnittsverdrehung � zu verursachen. Folglich kann man die Stabilisierungslasten<br />
eines Trägers mit kontinuierlicher schubweicher Obergurthalterung<br />
näherungsweise dadurch berechnen, daß man anstelle der geometrischen Ersatz<strong>im</strong>perfektion<br />
v0,m die vergrößerte Vorverformung v 0,<br />
m gemäß Gleichung (6.108)<br />
ansetzt.
102<br />
v � v � v<br />
(6.108)<br />
0,<br />
m<br />
0,<br />
m<br />
OG,<br />
m<br />
Es wird also ersatzweise ein Träger mit gebundener Drehachse berechnet, dessen<br />
Vorverformung infolge äußerer Last qy und Stabilisierungslast qS vergrößert wird.<br />
Daraus läßt sich folgende iterative Vorgehensweise ableiten:<br />
Tabelle 6.6 Iterationsschema zur Berechnung der vergrößerten Vorverformung 0,<br />
m<br />
0. Schritt<br />
( 0)<br />
Gl. (6.107) � v �q� 1. Schritt:<br />
( 0)<br />
0,<br />
m � v0,<br />
m<br />
v � v<br />
Gl. (6.91) mit<br />
OG,<br />
m<br />
( 0)<br />
OG,<br />
m<br />
0,<br />
m<br />
y<br />
( 0)<br />
0,<br />
m<br />
v � v � V<br />
( 0)<br />
( 1)<br />
( 0)<br />
( 0)<br />
Gl. (6.107) � vOG,<br />
m[<br />
qy<br />
, qS(<br />
v0,<br />
m),<br />
qS(<br />
V )]<br />
2. Schritt:<br />
( 1)<br />
0,<br />
m<br />
v � v � v<br />
0,<br />
m<br />
Gl. (6.91) mit<br />
( 1)<br />
OG,<br />
m<br />
0,<br />
m<br />
( 1)<br />
0,<br />
m<br />
v � v � V<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 1)<br />
( 1)<br />
OG, m y S 0,<br />
m S V<br />
Gl. (6.107) � v [ q , q ( v ), q ( )]<br />
3. Schritt:<br />
( 2)<br />
0,<br />
m<br />
v � v � v<br />
0,<br />
m<br />
Gl. (6.91) mit<br />
( 2)<br />
OG,<br />
m<br />
0,<br />
m<br />
( 2)<br />
0,<br />
m<br />
v � v � V<br />
( 2)<br />
( 3)<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
OG, m y S 0,<br />
m S V<br />
Gl. (6.107) � v [ q , q ( v ), q ( )]<br />
Diese Schritte werden wiederholt, bis Konvergenz eintritt.<br />
v<br />
( i�<br />
1)<br />
( i)<br />
0,<br />
m � v0,<br />
m<br />
� �<br />
Die Aussage, daß die Querschnittsverdrehung � gegenüber der Querschnittsverschiebung<br />
v vernachlässigt werden kann, wenn eine Verschiebung des Obergurtes<br />
infolge Nachgiebigkeit der seitlichen Halterung auftritt, soll nachfolgend formelmäßig<br />
belegt werden. Betrachtet wird dafür ein gabelgelagerter Einfeldträger, der in<br />
Feldmitte durch eine Einzellast Py in Höhe des Obergurtes belastet wird. Die<br />
v
Obergurtverschiebung vOG setzt sich gemäß Bild 6.14 bzw. Gleichung (6.109) aus<br />
zwei Anteilen vOG,v und vOG,� zusammen.<br />
Bild 6.14 Anteile der Verformungen v und � an der Obergurtverformung vOG<br />
hS<br />
v OG � v � � � � vOG,<br />
v � vOG,<br />
�<br />
(6.109)<br />
2<br />
103<br />
Für die Verschiebung vm in Feldmitte gilt Gleichung (6.110), für die Verdrehung �m<br />
in Feldmitte näherungsweise Gleichung (6.111) mit dem Verringerungsfaktor �T<br />
gemäß Gleichung (6.113). Vergleiche dazu auch [36] und Gleichung (6.5) in<br />
Abschnitt 6.1.2. Gleichung (6.115) für den ideellen St. Venant’schen Torsions-<br />
widerstand mit Berücksichtigung der Drehbettung gilt nur, wenn der Verlauf der<br />
Verdrehung � eine Sinushalbwelle ist. An dieser Stelle ist die Verwendung von *<br />
I T<br />
sinnvoll, da keine exakten Verformungen berechnet werden, sondern nur der<br />
qualitative Einfluß einer Drehbettung c� aufgezeigt werden soll.<br />
v<br />
3<br />
3<br />
Py<br />
� L<br />
Py<br />
� e � L<br />
m � (6.110) �m<br />
� � �T<br />
48 � EIz<br />
48 � EI�<br />
mit<br />
h<br />
e �<br />
2<br />
�<br />
1<br />
�<br />
1�<br />
S<br />
(6.112)<br />
� T<br />
2<br />
�T<br />
2<br />
�<br />
*<br />
T � L �<br />
*<br />
GIT<br />
EI�<br />
(6.114)<br />
*<br />
IT<br />
2<br />
c L<br />
IT<br />
� � 2 G �<br />
(6.111)<br />
(6.113)<br />
� � (6.115)<br />
Bildet man das Verhältnis von Obergurtverformung infolge � zu Obergurtverformung<br />
infolge v, so erhält man ein Maß für den Fehler, den man bei Vernachlässigung der<br />
Verdrehung � macht.<br />
v<br />
v<br />
OG,<br />
�<br />
OG,<br />
v<br />
�<br />
P<br />
y<br />
hS<br />
2<br />
3<br />
� � L � �<br />
48 � EI<br />
�<br />
T<br />
hS<br />
48 � EI<br />
� �<br />
2 P � L<br />
y<br />
z<br />
3<br />
2<br />
hS<br />
EIz<br />
= � � �T<br />
� �T<br />
4 EI�<br />
(6.116)
104<br />
Ist der Wert �T klein (z.B. �T � 0,1), dann ist auch der Fehler, der durch Vernachlässigung<br />
des Anteils vOG,� entsteht, zu vernachlässigen. In Tabelle 6.7 ist Gleichung<br />
(6.116) für ein Profil IPE 400 mit verschiedenen Trägerlängen L und Drehbettungen<br />
c� ausgewertet. Man erkennt, daß für baupraktische Trägerlängen von L � 10 m die<br />
Näherung � � 0 erfüllt ist.<br />
Tabelle 6.7 �T gemäß Gleichung (6.113) für ein Profil IPE 400 mit verschiedenen Trägerlängen<br />
L und Drehbettungen c�<br />
L [m]<br />
5 10 15 20 25 30<br />
c� [kNm/m]<br />
0 0,495 0,197 0,098 0,058 0,038 0,027<br />
5 0,429 0,099 0,028 0,010 0,005 0,002<br />
10 0,379 0,066 0,016 0,006 0,002 0,001<br />
20 0,306 0,040 0,009 0,003 0,001 0,001<br />
Anhand des in Bild 5.4 dargestellten Beispiels soll die Berechnung von Stabilisierungslasten<br />
mit den Steifigkeitsmatrizen für gebundene Drehachse gemäß Bild 6.12<br />
und der iterativen Vergrößerung der Vorverformung v0 zur Berücksichtigung der<br />
Nachgiebigkeit der Obergurthalterung gemäß Tabelle 6.6 vorgeführt werden.<br />
Für LF1 (Gleichstreckenlast), LF2 (Gleichstreckenlast und negative Randmomente)<br />
und LF3 (konstantes Moment) ist der Verlauf der Iteration nachfolgend angegeben:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
( 3)<br />
0,<br />
m<br />
LF1 LF2 LF3<br />
0<br />
0 (<br />
OG, m � v 0<br />
) 0 (<br />
OG, m � v 0<br />
) 0 (<br />
OG, m �<br />
v )<br />
v ) 0 (<br />
v ) 0 (<br />
v ) 0 (<br />
0, m � 6 cm<br />
0, m � 6 cm<br />
0, m � 6 cm<br />
( 1)<br />
OG,<br />
m<br />
v = 0,77 cm �<br />
( 1)<br />
0,<br />
m<br />
v = 6,77 cm<br />
( 2)<br />
OG,<br />
m<br />
v = 0,87 cm �<br />
( 2)<br />
0,<br />
m<br />
v = 6,87 cm<br />
v �<br />
( 3)<br />
OG,<br />
m<br />
v = 0,88 cm �<br />
( 2)<br />
0,<br />
m<br />
v = 6,9 cm<br />
�<br />
( 4)<br />
0,<br />
m<br />
( 1)<br />
OG,<br />
m<br />
v = 1,31 cm �<br />
( 1)<br />
0,<br />
m<br />
v = 7,31 cm<br />
( 2)<br />
OG,<br />
m<br />
v = 1,60 cm �<br />
( 2)<br />
0,<br />
m<br />
v = 7,60 cm<br />
( 3)<br />
OG,<br />
m<br />
v = 1,67 cm �<br />
( 3)<br />
0,<br />
m<br />
v = 7,67 cm<br />
( 4)<br />
OG,<br />
m<br />
v = 1,68 cm<br />
( 3)<br />
0,<br />
m<br />
v � v = 7,7 cm<br />
( 3)<br />
0,<br />
m<br />
( 1)<br />
OG,<br />
m<br />
v = 0,63 cm<br />
( 1)<br />
0,<br />
m<br />
v = 6,63 cm<br />
( 2)<br />
OG,<br />
m<br />
v = 0,70 cm<br />
( 2)<br />
0,<br />
m<br />
v = 6,70 cm<br />
v �<br />
( 3)<br />
OG,<br />
m<br />
v = 0,70 cm<br />
( 2)<br />
0,<br />
m<br />
v = 6,7 cm
Es werden also folgende Vorverformungsordinaten für die Berechnung am System<br />
mit gebundener Drehachse angesetzt:<br />
LF1: v0, m � 6,<br />
9 cm<br />
LF2: v0, m � 7,<br />
7 cm<br />
LF3: 6,<br />
7 cm<br />
v0, m �<br />
105<br />
Die sich daraus ergebenden Stabilisierungslasten qS gemäß Gleichung (6.94) sind in<br />
den Bildern 6.15a, 6.15b und 6.15c jeweils den genauen Ergebnissen aus einer<br />
Berechnung mit dem Programm DRILL [24] gegenübergestellt. Die Übereinst<strong>im</strong>mung<br />
der Ergebnisse ist gut und bestätigt damit die Überlegungen zur näherungsweisen<br />
Berechnung von Trägern mit schubweicher Obergurthalterung als Träger<br />
mit gebundener Drehachse am Obergurt und vergrößerter Vorverformung v0.<br />
qs [kN/m]<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
LF 1: q z= 10 kN/m<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
DRILL, v0m = 6 cm<br />
EBV-BDK Gl. (6.94), v0m = 6,9 cm<br />
Bild 6.15a Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL mit<br />
v0,m = 6 cm und Gleichung (6.94) mit v0,m = v 0,<br />
m = 6,9 cm für LF1 des Beispiels<br />
aus Bild 5.4
106<br />
qs [kN/m]<br />
LF 2: qz= 20 kN/m, Ms= -1125 kNm<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
x/L<br />
DRILL, v0m = 6 cm<br />
EBV-BDK Gl. (6.94), v0m = 7,7 cm<br />
Bild 6.15b Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL<br />
mit v0,m = 6 cm und Gleichung (6.94) mit v0,m = v 0,<br />
m = 7,7 cm für LF2 des<br />
Beispiels aus Bild 5.4<br />
qs [kN/m]<br />
0,8<br />
0,7<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
LF 3: M s= 1125 kNm<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
DRILL, v0m = 6 cm<br />
EBV-BDK Gl. (6.94), v0m = 6,7 cm<br />
Bild 6.15c Vergleich der Stabilisierungslasten berechnet mit dem Programm DRILL,<br />
mit v0,m = 6 cm und Gleichung (6.94) mit v0,m = v 0,<br />
m = 6,7 cm für LF3 des<br />
Beispiels aus Bild 5.4
6.3.2 Einflußparameter für Stabilisierungslasten<br />
6.3.2.1 Vorbemerkungen<br />
107<br />
In Abschnitt 6.3.1.4 wird anhand der Berechnungsbeispiele aus Bild 6.13 und den<br />
Tabellen 6.5a bis 6.5d belegt, daß die Stabilisierungslast qS mit Gleichung (6.94) und<br />
die Stabilisierungsquerkraft QS mit Gleichung (6.100) in sehr guter Näherung zu<br />
genauen Programmberechnungen ermittelt werden können, wenn die Verdrehung �<br />
des untersuchten Trägers mit einem 5-gliedrigen Sinusreihen-Ansatz approx<strong>im</strong>iert<br />
wird. Die untersuchten Varianten bezüglich des Verlaufs der planmäßigen Belastung<br />
in der Trägerebene, des Verlaufs der Vorkrümmung v0 und der vorhandenen<br />
Drehbettung c� des seitlich am Obergurt gestützten Trägers zeigen dabei eine große<br />
Abhängigkeit der auftretenden Stabilisierungslasten von diesen Systemparametern.<br />
In Abschnitt 6.3.2 wird der Einfluß der Systemparamter planmäßige Belastung,<br />
Schlankheit, Drehbettung und Vorverformung des stabilisierten Trägers systematisch<br />
untersucht. Die Aufspaltung der Stabilisierungslast qS gemäß Gleichung (6.94) in<br />
mehrere Anteile ermöglicht dabei eine Einsicht in die Zusammenhänge zwischen den<br />
planmäßigen Schnittgrößenverläufen, den spannungslosen und den elastischen<br />
Verformungen des Trägers einerseits und den auftretenden Stabilisierungslasten<br />
andererseits. Auf diese Weise kann das Verständnis für die be<strong>im</strong> Biegetorsionsproblem<br />
auftretenden Stabilisierungslasten gefördert werden, mit dessen Hilfe sich<br />
auch Größe und Verlauf der Stabilisierungslasten von Trägern abschätzen lassen, die<br />
von den hier behandelten Beispielen abweichen.<br />
6.3.2.2 Untersuchte Parameter<br />
Bild 6.16 zeigt das statische System mit Querschnitt, Vorverformung und vier<br />
Schnittgrößenverläufen, welches als Grundlage für die Parameterstudie in diesem<br />
Abschnitt dient. Für alle untersuchten Beispiele gilt einheitlich:<br />
� Profil: IPE 400<br />
� Stich der Vorkrümmung: v0,m = L/500<br />
� Max<strong>im</strong>ales Biegemoment: My = My,el,d = 250 kNm<br />
� Angriffspunkt der Querlast und der seitlichen Halterung <strong>im</strong> Obergurtmittelpunkt<br />
Aus der Vielzahl möglicher Schnittgrößenverläufe wurden vier Basisfälle ausgewählt:<br />
� LF1: Positive Randmomente<br />
� LF2: Gleichstreckenlast<br />
� LF3: Negative Randmomente und Gleichstreckenlast<br />
� LF4: Einseitiges negatives Randmoment und Gleichstreckenlast<br />
Bei gleichem max<strong>im</strong>alem Biegemoment My ergeben sich für die vier Lastfälle unterschiedlich<br />
große Querkräfte Vz und Gleichstreckenlasten qz, welche in Abhängigkeit
108<br />
von der Trägerlänge L ebenfalls in Bild 6.16 angegeben sind. Die Paramterstudie in<br />
diesem Abschnitt erstreckt sich auf die Variation der Schnittgrößenverläufe LF1 bis<br />
LF4, die Variation der Trägerschlankheit L/h, die Variation der Drehbettung c� und<br />
die Variation des Verlaufs der Vorkrümmung v0 als Sinus- oder als Parabelfunktion.<br />
Bild 6.16 Statisches System, Querschnitt, Vorverformung und Schnittgrößenverläufe als<br />
Grundlage für die Untersuchungen in Abschnitt 6.3.2
6.3.2.3 Variation der Schnittgrößenverläufe<br />
109<br />
Als Einführungsbeispiel wird ein Träger ohne Drehbettung mit sinusförmiger Vorkrümmung<br />
betrachtet. Die Trägerschlankheit wird zu L/h = 40 gewählt, woraus eine<br />
Trägerlänge von L = 16 m resultiert. Der Verzweigungslastfaktor für diese Schlankheit<br />
liegt <strong>im</strong> Lastfall 3 mit den beidseitigen negativen Randmomenten bei �Ki = 1,38.<br />
Der mit Gleichung (6.94) berechnete Verlauf der Stabilisierungslast qS über die<br />
Trägerlänge ist für alle vier untersuchten Lastfälle in Bild 6.17a dargestellt. Bild 6.17b<br />
zeigt die aus qS resultierende Querkraft QS in der seitlichen Halterung gemäß<br />
Gleichung (6.100).<br />
Die <strong>Beanspruchung</strong> der seitlichen Halterung ist für die vier untersuchten Lastfälle<br />
sehr unterschiedlich groß, obwohl in allen Fällen ein gleich großes max<strong>im</strong>ales Biegemoment<br />
in Feldmitte vorliegt. Auffällig ist die Tatsache, daß der Lastfall 1 mit<br />
konstantem Biegemoment die geringsten Stabilisierungslasten verursacht. Die in der<br />
Literatur häufig vertretene Ansicht, daß ein veränderlicher Biegemomentenverlauf als<br />
Näherung auf der sicheren Seite durch einen konstanten Biegemomentenverlauf mit<br />
gleichem Max<strong>im</strong>alwert ersetzt werden kann, wird mit diesem Beispiel eindeutig<br />
widerlegt.<br />
Da die Verdrehung � des stabilisierten Trägers für die Erklärung der auftretenden<br />
Stabilisierungslasten eine entscheidende Rolle spielt, ist ihr Verlauf über die<br />
Trägerlänge für alle vier untersuchten Lastfälle in Bild 6.17c dargestellt.<br />
Die Lastfälle 1 und 2 mit durchgehend gehaltenem Druckgurt weisen nur geringe<br />
Verdrehungen auf. Bei Lastfall 4 mit einseitigem negativem Randmoment verschiebt<br />
sich das Max<strong>im</strong>um der Verdrehung � von der Feldmitte hin zum Auflager mit dem<br />
negativen Randmoment. Der bereichsweise gedrückte freie Untergurt des Trägers<br />
führt zu einer spürbaren Vergrößerung der max<strong>im</strong>alen Verdrehung <strong>im</strong> Vergleich zu<br />
den Lastfällen 1 und 2. Noch deutlicher sichtbar wird das vorliegende Stabilitätsproblem<br />
bei gedrücktem Untergurt für den Lastfall 3 mit beidseitigen negativen<br />
Randmomenten. Der Verzweigungslastfaktor liegt <strong>im</strong> Lastfall 3 nur bei �Ki = 1,38,<br />
wohingegen er in den Lastfällen 1 und 2 unendlich ist, da der Druckgurt des<br />
stabilisierten Trägers auf der gesamten Länge gehalten ist.<br />
Ein Vergleich der Bilder 6.17a und 6.17c offenbart, daß mit steigender Torsionsverdrehung<br />
� auch die positive Stabilisierungslast qS in Feldmitte anwächst. Die<br />
Lastfälle 2, 3 und 4 mit veränderlichem Biegemomentenverlauf verursachen negative<br />
Stabilisierungslasten qS in Auflagernähe, welche ebenfalls mit steigender Torsionsverdrehung<br />
� anwachsen.<br />
Der Nulldurchgang der Stabilisierungslast qS markiert jeweils die Stelle der max<strong>im</strong>alen<br />
Querkraft QS in der seitlichen Halterung. Für Lastfall 1 liegt das Max<strong>im</strong>um von<br />
QS am Auflager, für die anderen Lastfälle etwa in den Viertelspunkten des Trägers.
110<br />
Eine anschauliche Erklärung der großen Unterschiede zwischen den Stabilisierungslasten<br />
der vier verschiedenen Schnittgrößenverläufe gelingt mit der Aufspaltung der<br />
Stabilisierungslast qS in die Anteile der einzelnen Einflußparameter gemäß Gleichung<br />
(6.117).<br />
q<br />
S � qS,<br />
v � qS,<br />
GI � qS,<br />
V � qS,<br />
q � q<br />
0<br />
T<br />
z z S,<br />
c�<br />
mit<br />
q<br />
S,<br />
v0<br />
q<br />
q<br />
q<br />
q<br />
S,<br />
GI<br />
S,<br />
Vz<br />
S,<br />
q<br />
S,<br />
c<br />
T<br />
� M<br />
�<br />
h<br />
S<br />
GI<br />
�<br />
h<br />
S<br />
� �Vz<br />
� q<br />
z z<br />
�<br />
� c<br />
�<br />
h<br />
qs [kN/m]<br />
y<br />
T<br />
� �<br />
S<br />
6<br />
4<br />
2<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
-10<br />
�<br />
� v��<br />
0<br />
� ��� � ��<br />
� �<br />
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
qs LF 1 qs LF 2<br />
qs LF 3 qs LF 4<br />
(6.117)<br />
Bild 6.17a Stabilisierungslasten qS für vier verschiedene Schnittgrößenverläufe mit<br />
gleichem max<strong>im</strong>alem Biegemoment My in Feldmitte
Qs [kN]<br />
15<br />
10<br />
5<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
Qs LF 1 Qs LF 2<br />
Qs LF 3 Qs LF 4<br />
Bild 6.17b Stabilisierungsquerkräfte QS für vier verschiedene Schnittgrößenverläufe mit<br />
gleichem max<strong>im</strong>alem Biegemoment My in Feldmitte<br />
[rad]<br />
0,25<br />
0,2<br />
0,15<br />
0,1<br />
0,05<br />
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
LF 1 LF 2<br />
LF 3 LF 4<br />
Bild 6.17c Torsionsverdrehungen � für vier verschiedene Schnittgrößenverläufe mit<br />
gleichem max<strong>im</strong>alem Biegemoment My in Feldmitte<br />
111
112<br />
Die Bilder 6.18a bis 6.18d zeigen die Aufspaltung der Stabilisierungslast qS in ihre<br />
einzelnen Anteile für alle vier untersuchten Schnittgrößenverläufe. Für Lastfall 1 mit<br />
konstantem Biegemoment setzt sich die Stabilisierungslast nur aus dem Imperfek-<br />
tionsanteil<br />
S,<br />
GIT<br />
q und dem Verformungsanteil der St. Venant’schen Torsionssteifigkeit<br />
S,<br />
v0<br />
q zusammen. Der Imperfektionsanteil<br />
q als Produkt von Gurtkraft und<br />
S,<br />
v0<br />
Vorkrümmung entspricht dabei genau derjenigen Stabilisierungslast, die am Druckstabmodell<br />
nach Gerold gemäß Bild 1.3 ermittelt werden kann.<br />
Ein Vergleich der Stabilisierungslast qS mit dem Imperfektionsanteil<br />
q liefert für<br />
S,<br />
v0<br />
jedes Bild 6.18a bis 6.18d deshalb jeweils eine Aussage darüber, welcher Fehler bei<br />
der Berechnung der Stabilisierungslast mit dem Druckstabmodell gemacht wird. Für<br />
den in Bild 6.18a dargestellten Lastfall 1 ist dieser Fehler gering, da die<br />
Stabilisierungslast durch den Imperfektionsanteil q S,<br />
v dominiert wird und lediglich<br />
0<br />
eine geringfügige Reduzierung von q infolge q erfolgt.<br />
qs [kN/m]<br />
1<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
-0,2<br />
-0,4<br />
Lastfall 1<br />
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0<br />
S,<br />
v0<br />
S,<br />
GIT<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
qs qs v0 qs GIt<br />
Bild 6.18a Anteile an der Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.117) für Lastfall 1
qs [kN/m]<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
Lastfall 2<br />
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
qs qs v0 qs GIt<br />
qs Vz qs qz<br />
Bild 6.18b Anteile an der Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.117) für Lastfall 2<br />
qs [kN/m]<br />
6<br />
4<br />
2<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
-10<br />
Lastfall 3<br />
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
qs qs v0 qs GIt<br />
qs Vz qs qz<br />
Bild 6.18c Anteile an der Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.117) für Lastfall 3<br />
113
114<br />
qs [kN/m]<br />
3<br />
2<br />
1<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
-5<br />
Lastfall 4<br />
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 0<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
qs qs v0 qs GIt<br />
qs Vz qs qz<br />
Bild 6.18d Anteile an der Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.117) für Lastfall 4<br />
Für die anderen drei in den Bildern 6.18b bis 6.18d dargestellten Lastfälle sind die<br />
Abweichungen zwischen den Stabilisierungslasten des räumlichen Modells qS und den<br />
Stabilisierungslasten des Druckstabmodells q S,<br />
v so erheblich, daß das Druck-<br />
0<br />
stabmodell als ungeeignet beurteilt werden muß, um die Stabilisierungslasten von<br />
Trägern mit veränderlichem Biegemomentenverlauf zu ermitteln. Die auftretenden<br />
Stabilisierungslasten können durch das Druckstabmodell nicht richtig beschrieben<br />
werden, da sie pr<strong>im</strong>är durch die Torsionsverdrehung � hervorgerufen werden, die<br />
infolge Theorie II. Ordnung am vorgekrümmten Träger entsteht.<br />
Bild 6.18b mit den Stabilisierungslastanteilen für Lastfall 2 ist zu entnehmen, daß die<br />
negativen Stabilisierungslasten in Auflagernähe aus dem Querkraftanteil q S,<br />
v her-<br />
z<br />
rühren. Die positive Stabilisierungslast in Feldmitte setzt sich aus dem Imperfektionsanteil<br />
q S,<br />
v und aus dem Querlastanteil q<br />
0<br />
S,<br />
q zusammen, wobei analog zu Lastfall 1<br />
z<br />
eine leichte Reduzierung infolge q erfolgt.<br />
S,<br />
GIT<br />
Der Unterschied zwischen den Stabilisierungslasten <strong>im</strong> Lastfall 1 mit konstantem<br />
Biegemoment und den Stabilisierungslasten <strong>im</strong> Lastfall 2 mit Gleichstreckenlast wird<br />
durch die <strong>im</strong> Lastfall 2 zusätzlich vorhandenen Auswirkungen der Querkraft Vz und<br />
der Querlast qz verursacht. Eine große Querlast qz bewirkt große positive Stabilisierungslasten<br />
in Feldmitte. Große Querkräfte Vz führen zu großen negativen Stabilisierungslasten<br />
in Auflagernähe.
115<br />
Neben der Größe der planmäßigen Belastung in der Trägerebene spielt die Verdrehung<br />
� des stabilisierten Trägers eine entscheidende Rolle für die entstehenden<br />
Stabilisierungslasten. Sehr deutlich wird dies anhand der Stabilisierungslastanteile für<br />
Lastfall 3 in Bild 6.18c. Da sich in diesem Lastfall eine sehr große Verdrehung von<br />
� > 0,2 rad einstellt, ergeben sich positive Stabilisierungslasten q S,<br />
q in Feldmitte und<br />
z<br />
negative Stabilisierungslasten q S,<br />
V am Auflager, die um ein Vielfaches größer sind<br />
z<br />
als <strong>im</strong> Lastfall 2 mit einer sehr viel kleineren Verdrehung. Eine Verdoppelung des<br />
Stabilisierungslastanteils q S,<br />
q be<strong>im</strong> Übergang von Lastfall 2 zu Lastfall 3 ist auf die<br />
z<br />
<strong>im</strong> Lastfall 3 doppelt so große Querlast qz zurückzuführen. Die darüber hinausgehende<br />
Vergrößerung der Stabilisierungslasten hängt mit dem Anwachsen der Verdrehung �<br />
infolge Theorie II. Ordnung zusammen.<br />
Im Lastfall 4 mit einseitigem negativem Randmoment liegt sowohl die Größe der<br />
planmäßigen Belastung qz und Vz als auch die Größe der max<strong>im</strong>alen Verdrehung �<br />
zwischen den Werten der Lastfälle 2 und 3. Die Größe der in Bild 6.18d dargestellten<br />
Stabilisierungslastanteile für den Lastfall 4 liegt deshalb ebenfalls zwischen den<br />
Werten der entsprechenden Anteile in den Lastfällen 2 und 3. Die asymmetrische<br />
Eigenschaft des Lastfalls 4 wirkt sich hauptsächlich auf die negativen Stabilisierungslasten<br />
in Auflagernähe aus. Die größeren negativen Stabilisierungslasten entstehen<br />
am rechten Auflager mit der größeren Querkraft Vz.<br />
6.3.2.4 Variation der Trägerschlankheit und der Drehbettung<br />
Um die Fragestellung zu beantworten, wie sich die Trägerschlankheit L/h und eine<br />
Drehbettung c� auf die Stabilisierungslasten der seitlich am Obergurt gestützten<br />
Träger auswirken, werden weitere Varianten des Lastfalls 2 Gleichstreckenlast und<br />
des Lastfalls 3 Gleichstreckenlast mit beidseitigen negativen Randmomenten untersucht.<br />
Eine Gegenüberstellung der Stabilisierungslasten qS und der Stabilisierungsquerkräfte<br />
QS erfolgt für die berechneten Varianten des Lastfalls 2 in Bild 6.19 und<br />
für die berechneten Varianten des Lastfalls 3 in Bild 6.20.<br />
Die Untersuchung erstreckt sich auf jeweils drei Schlankheiten L/h = 30, 40 und 50<br />
bzw. Trägerlängen von L = 12, 16 und 20 m, wobei jeweils ein Träger ohne<br />
Drehbettung und ein Träger mit Drehbettung berechnet wird. Die angesetzte<br />
Drehbettung von c� = 5 kNm/m ist ein unterer Grenzwert für die Drehbettung, welche<br />
durch ein aufliegendes Trapezprofil verursacht wird. Andere aufliegende Bauteile wie<br />
Pfetten oder eine Betonplatte verursachen deutlich größere Drehbettungswerte.<br />
Eine Vergleichbarkeit der in den Bildern 6.19 und 6.20 dargestellten Stabilisierungslasten<br />
bei unterschiedlicher Trägerlänge L wird durch die Verwendung der d<strong>im</strong>ensionslosen<br />
Koordinate x/L als Abszisse gewährleistet.
116<br />
Lastfall 2, v 0 = Sinus<br />
qs [kN/m]<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
L=12m, ctheta=0 L=16m, ctheta=0<br />
L=20m, ctheta=0 L=12m, ctheta=5kNm/m<br />
L=16m, ctheta=5kNm/m L=20m, ctheta=5kNm/m<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
Lastfall 2, v 0 = Sinus<br />
Qs [kN]<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
x/L<br />
L=12m, ctheta=0 L=16m, ctheta=0<br />
L=20m, ctheta=0 L=12m, ctheta=5kNm/m<br />
L=16m, ctheta=5kNm/m L=20m, ctheta=5kNm/m<br />
x/L<br />
Bild 6.19 <strong>Beanspruchung</strong> der seitlichen Halterung bei Variation der Trägerschlankheit<br />
L/h und der Drehbettung c� <strong>im</strong> Lastfall 2
qs [kN/m]<br />
Lastfall 3, v 0 = Sinus<br />
5<br />
2,5<br />
-2,5<br />
-5<br />
-7,5<br />
-10<br />
-12,5<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
-15<br />
Lastfall 3, v 0 = Sinus<br />
Qs [kN]<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
-10<br />
-15<br />
-20<br />
-25<br />
L=12m, ctheta=0 L=16m, ctheta=0<br />
L=20m, ctheta=0 L=12m, ctheta=5kNm/m<br />
L=16m, ctheta=5kNm/m L=20m, ctheta=5kNm/m<br />
0<br />
0<br />
-5<br />
0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
L=12m, ctheta=0 L=16m, ctheta=0<br />
L=20m, ctheta=0 L=12m, ctheta=5kNm/m<br />
L=16m, ctheta=5kNm/m L=20m, ctheta=5kNm/m<br />
x/L<br />
Bild 6.20 <strong>Beanspruchung</strong> der seitlichen Halterung bei Variation der Trägerschlankheit<br />
L/h und der Drehbettung c� <strong>im</strong> Lastfall 3<br />
117
118<br />
Die Nulldurchgänge der Stabilisierungslast qS, welche die Stellen der max<strong>im</strong>alen<br />
Stabilisierungsquerkraft QS markieren, liegen für alle Varianten bei etwa 0,2 · L und<br />
0,8 · L. Bei Änderung der Trägerlänge oder der Drehbettung ändern sich nur die<br />
Max<strong>im</strong>alwerte der positiven Stabilisierungslast qS in Feldmitte und der negativen<br />
Stabilisierungslast qS am Auflager. Der qualitative Verlauf der Stabilisierungslast in<br />
Trägerlängsrichtung ist unabhängig von Trägerlänge und Drehbettung.<br />
Die sowohl größten positiven als auch größten negativen Stabilisierungslasten<br />
ergeben sich <strong>im</strong> Lastfall 2 für den kürzesten der untersuchten Träger. Das hat verschiedene<br />
Ursachen, die anschaulich mit Hilfe der Aufspaltung der Stabilisierungslast<br />
in die Anteile der einzelnen Einflußparameter gemäß Gleichung (6.117) erklärt<br />
werden können. Die <strong>im</strong> Vergleich zu den längeren Trägern größeren positiven<br />
Stabilisierungslasten in Feldmitte beruhen auf der größeren Krümmung v� 0�<br />
und der<br />
größeren Querlast qz. Die größeren negativen Stabilisierungslasten am Auflager<br />
beruhen auf den größeren Querkräften Vz. Ein zusätzlich auftretender Effekt, der<br />
ausführlich in Abschnitt 6.1 aufgezeigt wird, ist die mit der Trägerlänge zunehmende<br />
Lastabtragung durch die St. Venant’sche Torsionssteifigkeit GIT, welche zu einer<br />
Entlastung der seitlichen Halterung bei langen Trägern führt.<br />
Im Lastfall 3 mit negativen Randmomenten werden die beschriebenen Effekte durch<br />
die zunehmende Torsionsverdrehung � bei wachsender Trägerschlankheit überlagert.<br />
Da bei diesem Lastfall infolge des Ausweichens des bereichsweise gedrückten nicht<br />
gehaltenen Untergurtes die Torsionsverdrehung � stark ansteigt, ergeben sich für den<br />
längsten der untersuchten Träger mit der größten Verdrehung � die größten Stabilisierungslasten.<br />
Ist zusätzlich zur seitlichen Halterung eine Drehbettung des stabilisierten Trägers<br />
vorhanden, so werden die Stabilisierungskräfte deutlich reduziert. Die Drehbettung c�<br />
wirkt dabei auf zwei Arten entlastend für die seitliche Halterung. Zum einen werden<br />
die auftretende Torsionsverdrehung � und damit die Stabilisierungslastanteile q S,<br />
q z<br />
und q S,<br />
V reduziert und zum anderen erfolgt eine direkte Aufnahme der Torsions-<br />
z<br />
beanspruchung des stabilisierten Trägers durch die Drehbettung c�, was sich durch<br />
den negativen Anteil q S,<br />
c in Gleichung (6.117) ausdrückt. Da bei Lastfall 3 mit<br />
�<br />
stabilitätsgefährdetem Untergurt die großen auftretenden Torsionsverdrehungen � die<br />
Ursache für die großen entstehenden Stabilisierungslasten sind, ist die Reduzierung<br />
der Stabilisierungslasten infolge Drehbettung deutlich ausgeprägter als <strong>im</strong> Lastfall 2.<br />
Den dominanten Einfluß, den die Drehbettung auf die <strong>Beanspruchung</strong> der seitlichen<br />
Halterung ausübt, kann man sehr gut durch einen Vergleich der Bilder 6.21a und<br />
6.21b belegen. Dargestellt ist die max<strong>im</strong>ale Querkraft QS in der seitlichen Halterung<br />
für vier Lastfälle in Abhängigkeit von der Trägerschlankheit L/h. Bild 6.21a zeigt die<br />
Werte von QS für Träger ohne Drehbettung, Bild 6.21b für Träger mit Drehbettung<br />
c� = 5 kNm/m.
max Qs [kN]<br />
v 0 = Sinus, c � = 0<br />
25,0<br />
20,0<br />
15,0<br />
10,0<br />
5,0<br />
LF 1 LF 2 LF 3 LF 4<br />
0,0<br />
20 25 30 35 40 45 50<br />
Bild 6.21a Max<strong>im</strong>ale Querkraft QS in der seitlichen Halterung für vier Lastfälle in<br />
Abhängigkeit von der Schlankheit L/h bei Trägern ohne Drehbettung<br />
v 0 = Sinus, c � = 5 kNm/m<br />
max Qs [kN]<br />
4,0<br />
3,5<br />
3,0<br />
2,5<br />
2,0<br />
1,5<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,0<br />
20 25 30 35 40 45 50<br />
L/h<br />
LF 1 LF 2 LF 3 LF 4<br />
Bild 6.21b Max<strong>im</strong>ale Querkraft QS in der seitlichen Halterung für vier Lastfälle in Abhängigkeit<br />
von der Schlankheit L/h bei Trägern mit Drehbettung c� = 5 kNm/m<br />
L/h<br />
119
120<br />
Eine Analyse der Ergebnisse für Träger ohne Drehbettung in Bild 6.21a ergibt, daß<br />
die <strong>Beanspruchung</strong> der seitlichen Halterung bei Momentenbeanspruchung ohne Vorzeichenwechsel<br />
für den baupraktisch interessanten Schlankheitsbereich zwischen<br />
L/h = 20 und L/h = 50 annähernd konstant ist. Bei Momentenbeanspruchung mit<br />
Vorzeichenwechsel steigt die max<strong>im</strong>ale Querkraft in der seitlichen Halterung mit<br />
zunehmender Schlankheit und damit auch zunehmender Torsionsverdrehung � stark<br />
an. Die Art des Schnittgrößenverlaufs mit beidseitigem oder mit einseitigem negativem<br />
Randmoment hat in diesem Fall eine große Auswirkung auf die <strong>Beanspruchung</strong><br />
der seitlichen Halterung.<br />
Für Träger mit Drehbettung stellt sich die Situation gänzlich anders dar. Bild 6.21b ist<br />
zu entnehmen, daß die max<strong>im</strong>ale Querkraft für alle Lastfälle bei zunehmender<br />
Trägerschlankheit abn<strong>im</strong>mt und nicht ansteigt. Die Lastfälle 3 und 4 mit bereichsweise<br />
negativer Momentenbeanspruchung zeigen das gleiche gutmütige Verhalten in<br />
Bezug auf die <strong>Beanspruchung</strong> der seitlichen Halterung wie die Lastfälle 1 und 2 mit<br />
ausschließlich positivem Biegemomentenverlauf, wenn eine Drehbettung vorhanden<br />
ist.<br />
Um den Effekt der Entlastung der seitlichen Halterung durch die direkte Aufnahme<br />
der Torsionsbeanspruchung des stabilisierten Trägers durch die Drehbettung c� zu<br />
zeigen, werden in den Bildern 6.22a und 6.22b die Stabilisierungslastanteile gemäß<br />
Gleichung (6.117) für Lastfall 2 und 3 des Einführungsbeispiels dargestellt, diesmal<br />
aber mit einer Drehbettung c� = 5 kNm/m. Als zusätzlicher Anteil an der Stabilisierungslast<br />
ist daher der Anteil q vorhanden.<br />
S,<br />
c�<br />
Die infolge Theorie II. Ordnung entstehende Torsionsbeanspruchung des vorgekrümmten<br />
Trägers wird zu einem Teil von der Drehbettung aufgenommen, wodurch<br />
die Torsionsbelastung des stabilisierten Trägers und damit auch die Kräfte in der<br />
seitlichen Halterung reduziert werden. Die Reduktion der Stabilisierungslast qS,<br />
repräsentiert durch den negativen Anteil q S,<br />
c , ist für Lastfall 2 und 3 in den Bildern<br />
�<br />
6.22a und 6.22b deutlich zu erkennen.<br />
Die am räumlichen Modell berechnete Stabilisierungslast qS ist sowohl für Lastfall 2<br />
in Bild 6.22a als auch für Lastfall 3 in Bild 6.22b kleiner als der Imperfektionsanteil<br />
q S,<br />
v , welcher der am Druckstabmodell berechneten Stabilisierungslast ohne<br />
0<br />
Berücksichtigung der Verdrehung � entspricht. Für eine Bemessung der<br />
Stabilisierungskonstruktion könnte in diesen Fällen als Näherung auf der „sicheren<br />
Seite“ die Stabilisierungslast q des Druckstabmodells verwendet werden.<br />
S,<br />
v0
qs [kN/m]<br />
1<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
-0,2<br />
-0,4<br />
-0,6<br />
Lastfall 2<br />
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 5 kNm/m<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
qs qs v0<br />
qs GIt qs Vz<br />
qs qz qs ctheta<br />
Bild 6.22a Anteile an der Stabilisierungslast gemäß Gleichung (6.117) für Lastfall 2 mit<br />
Drehbettung<br />
qs [kN/m]<br />
Lastfall 3<br />
L = 16 m, v 0 = Sinus, c � = 5 kNm/m<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
x/L<br />
qs qs v0<br />
qs GIt qs Vz<br />
qs qz qs ctheta<br />
Bild 6.22b Anteile an der Stabilisierungslast gemäß gleichung (6.117) für Lastfall 3 mit<br />
Drehbettung<br />
121
122<br />
Der Imperfektionsanteil<br />
q , welcher sehr einfach auch ohne Kenntnis der<br />
S,<br />
v0<br />
Trägerverdrehung � infolge Theorie II. Ordnung zu berechnen ist, stellt für Lastfälle<br />
mit Gleichstreckenlast qz <strong>im</strong>mer eine obere Schranke für die tatsächliche Stabili-<br />
sierungslast qS dar, wenn die mit der Trägerverdrehung � zusammenhängenden negativen<br />
Anteile q S,<br />
GI und q<br />
T S,<br />
c betragsmäßig größer sind als der positive Anteil q<br />
�<br />
S,<br />
q .<br />
z<br />
Da sowohl der die Stabilisierungslast vergrößernde Anteil q S,<br />
q als auch der die Sta-<br />
z<br />
bilisierungslast vermindernde Anteil q S,<br />
c proportional zur Trägerverdrehung � sind,<br />
�<br />
kann unter Vernachlässigung von q S,<br />
GI eine Mindestdrehbettung min c� angegeben<br />
T<br />
werden, für welche q S,<br />
c betragsmäßig größer als q<br />
�<br />
S,<br />
q und damit q<br />
z<br />
S,<br />
v größer als qS<br />
0<br />
ist.<br />
c� > qz · hS = min c� (6.118)<br />
Ist bei Lastfällen mit Gleichstreckenlast qz die vorhandene Drehbettung c� größer als<br />
die Mindestdrehbettung gemäß Gleichung (6.118), dann kann die Stabilisierungslast<br />
qS als Näherung auf der „sicheren Seite“ mit Gleichung (6.119) berechnet werden.<br />
q<br />
S<br />
� My<br />
� qS,<br />
v � � v�<br />
0<br />
0�<br />
(6.119)<br />
h<br />
S<br />
Durch den Nachweis der Mindestdrehbettung kann die Berücksichtigung der Verdrehung<br />
� des stabilisierten Trägers bei der Berechnung der Stabilisierungslasten<br />
entfallen, wodurch der Berechnungsaufwand erheblich reduziert wird.<br />
6.3.2.5 Variation des Verlaufs der Vorkrümmung<br />
Für alle bisher <strong>im</strong> Rahmen dieses Abschnitts berechneten Beispiele wurde stets eine<br />
Sinushalbwelle als Verlauf der Vorkrümmung v0 angesetzt. DIN 18800 Teil 2 [1]<br />
gestattet alternativ aber auch den Ansatz einer Vorkrümmung als quadratische<br />
Parabel. Nachfolgend wird untersucht, wie sich die Vorverformungsannahme als<br />
Sinus- oder als Parabelfunktion qualitativ und quantitativ auf die Stabilisierungslasten<br />
seitlich gestützter Träger auswirkt.<br />
In Bild 6.23 erfolgt eine Gegenüberstellung der Stabilisierungslast qS und der Stabilisierungsquerkraft<br />
QS in den Lastfällen 1 und 2 des Einführungsbeispiels jeweils für<br />
sinusförmige und parabelförmige Vorkrümmungen v0.
qs [kN/m]<br />
Qs [kN]<br />
L = 16 m, c � = 0<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
qs Sinus LF 1 qs Sinus LF 2<br />
qs Parabel LF 1 qs Parabel LF 2<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
L = 16 m, c � = 0<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
-5<br />
x/L<br />
Qs Sinus LF 1 Qs Sinus LF 2<br />
Qs Parabel LF 1 Qs Parabel LF 2<br />
x/L<br />
Bild 6.23 Gegenüberstellung der Stabilisierungslasten in den Lastfällen 1 und 2 jeweils<br />
für sinusförmige und parabelförmige Vorkrümmung v0<br />
123
124<br />
Für Lastfall 1 mit konstantem Biegemoment ist der qualitative Verlauf der Stabilisierungslast<br />
qS sehr unterschiedlich. Bei sinusförmiger Vorkrümmung tritt die größte<br />
Stabilisierungslast in Feldmitte auf, bei parabelförmiger Vorkrümmung ist sie am<br />
Auflager max<strong>im</strong>al. Diese Verteilung der Stabilisierungslasten wird durch den<br />
Imperfektionsanteil q S,<br />
v verursacht, welcher proportional zu v� 0<br />
0�<br />
ist. Der Lastfall<br />
konstantes Biegemoment mit parabelförmiger Vorkrümmung entspricht der Belastung<br />
durch ein konstantes äußeres Torsionsmoment mx. Vergleiche dazu auch Bild 6.2 in<br />
Abschnitt 6.1. Die größere bemessungsrelevante Querkraft QS ergibt sich <strong>im</strong> Lastfall 1<br />
für die fülligere parabelförmige Vorverformungsannahme.<br />
Für Lastfall 2 Gleichstreckenlast ist der Verlauf der Stabilisierungslast bei parabelförmiger<br />
Vorkrümmung annähernd affin zum Verlauf der Stabilisierungslast bei<br />
sinusförmiger Vorkrümmung. Die sinusförmige Vorverformung verursacht aber einen<br />
stärker veränderlichen qS-Verlauf mit größeren positiven Stabilisierungslasten in<br />
Feldmitte und größeren negativen Stabilisierungslasten in Auflagernähe. Die größere<br />
max<strong>im</strong>ale Querkraft QS ergibt sich <strong>im</strong> Gegensatz zu Lastfall 1 bei sinusförmiger<br />
Vorverformung. Die Lastfälle 3 und 4 mit Gleichstreckenlast und beidseitigem bzw.<br />
einseitigem negativem Randmoment verhalten sich bezüglich des Einflusses der<br />
Vorverformungsannahme auf den qualitativen Verlauf der Stabilisierungslasten<br />
analog zu Lastfall 2, weshalb hier auf eine graphische Darstellung verzichtet wird. Die<br />
größere max<strong>im</strong>ale Querkraft QS ergibt sich für alle drei Lastfälle mit veränderlichem<br />
Biegemomentenverlauf infolge sinusförmiger Vorverformung.<br />
Die quantitative Auswirkung der Vorverformungsannahme auf die bemessungsrelevante<br />
Querkraft QS in der Stabilisierungskonstruktion wird anhand einer Parameterstudie<br />
für die Lastfälle 2 und 3 untersucht. Die Variation der Parameter erstreckt<br />
sich auf den Lastfall, die Drehbettung c� und die Trägerschlankheit L/h. Die Ergebnisse<br />
für die max<strong>im</strong>ale Torsionsverdrehung � und die max<strong>im</strong>ale Querkraft QS sind in<br />
Tabelle 6.8 gegenübergestellt. Als Bezugswert für die jeweils angegebene prozentuale<br />
Abweichung dienen die Ergebnisse bei sinusförmiger Vorverformung.<br />
In allen untersuchten Fällen ist die sinusförmige Vorkrümmung ungünstiger für die<br />
<strong>Beanspruchung</strong> der Stabilisierungskonstruktion als die parabelförmige Vorkrümmung.<br />
Die <strong>im</strong> Vergleich zu max QS,Parabel größere Querkraft max QS,Sinus kann durch die<br />
größere Torsionsverdrehung max �Sinus bei sinusförmiger Vorkrümmung erklärt<br />
werden. Die gute Übereinst<strong>im</strong>mung in der prozentualen Abweichung von max � und<br />
max QS belegt dies.<br />
Die Parameterstudie zeigt, daß die prozentuale Abweichung zwischen den Verformungen<br />
und Schnittgrößen bei sinusförmiger und bei parabelförmiger Vorkrümmung<br />
relativ unabhängig von der Trägerschlankheit und der Drehbettung c� ist. Im<br />
Lastfall 2 liefert die sinusförmige Imperfektion etwa 5% und <strong>im</strong> Lastfall 3 etwa 13%<br />
größere <strong>Beanspruchung</strong>en als die parabelförmige Imperfektion. Für die absolute Abweichung<br />
zwischen QS, Sinus und QS,Parabel spielt aber eine entscheidende Rolle, ob große<br />
<strong>Beanspruchung</strong>en, wie sie bei Trägern ohne Drehbettung auftreten, oder ob kleine<br />
<strong>Beanspruchung</strong>en von Trägern mit Drehbettung miteinander verglichen werden.
125<br />
Tabelle 6.8 Auswirkung der Form der Vorkrümmung v0 als Sinus- oder als Parabelfunktion<br />
auf die max<strong>im</strong>ale Torsionsverdrehung � und auf die max<strong>im</strong>ale Querkraft QS in<br />
der seitlichen Halterung<br />
Lastfall 2: Gleichstreckenlast, c� = 0<br />
L/h max ��Sinus max ��Parabel Abweichung max Qs Sinus max Qs Parabel Abweichung<br />
[-] [rad] [rad] [%] [kN] [kN] [%]<br />
20 0,0293 0,0282 -3,75 3,310 3,158 -4,56<br />
25 0,0406 0,0390 -3,94 3,374 3,213 -4,76<br />
30 0,0518 0,0498 -3,86 3,433 3,269 -4,77<br />
35 0,0629 0,0604 -3,97 3,484 3,322 -4,66<br />
40 0,0738 0,0709 -3,93 3,529 3,369 -4,53<br />
45 0,0846 0,0813 -3,90 3,568 3,413 -4,35<br />
50 0,0954 0,0917 -3,88 3,602 3,452 -4,17<br />
Lastfall 2: Gleichstreckenlast, c� = 5 kNm/m<br />
L/h max ��Sinus max ��Parabel Abweichung max Qs Sinus max Qs Parabel Abweichung<br />
[-] [rad] [rad] [%] [kN] [kN] [%]<br />
20 0,0230 0,0220 -4,35 2,602 2,470 -5,10<br />
25 0,0274 0,0262 -4,38 2,296 2,161 -5,88<br />
30 0,0298 0,0285 -4,36 1,999 1,868 -6,56<br />
35 0,0308 0,0292 -5,19 1,732 1,607 -7,21<br />
40 0,0308 0,0291 -5,52 1,501 1,382 -7,89<br />
45 0,0302 0,0284 -5,96 1,305 1,193 -8,56<br />
50 0,0294 0,0275 -6,46 1,141 1,035 -9,32<br />
Lastfall 3: Gleichstreckenlast und negative Randmomente, c� = 0<br />
L/h max ��Sinus max ��Parabel Abweichung max Qs Sinus max Qs Parabel Abweichung<br />
[-] [rad] [rad] [%] [kN] [kN] [%]<br />
20 0,0474 0,0410 -13,50 5,716 5,023 -12,12<br />
25 0,0768 0,0664 -13,54 6,982 6,106 -12,55<br />
30 0,1145 0,0988 -13,71 8,498 7,404 -12,87<br />
35 0,1642 0,1414 -13,89 10,435 9,055 -13,23<br />
40 0,2331 0,2002 -14,11 13,087 11,306 -13,61<br />
45 0,3366 0,2882 -14,38 17,053 14,674 -13,95<br />
50 0,5126 0,4375 -14,65 23,855 20,425 -14,38<br />
Lastfall 3: Gleichstreckenlast und negative Randmomente, c� = 5 kNm/m<br />
L/h max ��Sinus max ��Parabel Abweichung max Qs Sinus max Qs Parabel Abweichung<br />
[-] [rad] [rad] [%] [kN] [kN] [%]<br />
20 0,0307 0,0266 -13,36 3,777 3,336 -11,69<br />
25 0,0361 0,0312 -13,57 3,391 2,990 -11,80<br />
30 0,0375 0,0324 -13,60 2,903 2,559 -11,85<br />
35 0,0366 0,0316 -13,66 2,443 2,153 -11,86<br />
40 0,0347 0,0299 -13,83 2,053 1,809 -11,87<br />
45 0,0326 0,0280 -14,11 1,736 1,530 -11,91<br />
50 0,0305 0,0262 -14,10 1,484 1,306 -12,04
126<br />
Bild 6.24 verdeutlicht diesen Sachverhalt, indem die Ergebnisse für max QS <strong>im</strong><br />
Lastfall 3 aus Tabelle 6.8 graphisch dargestellt werden. Große absolute Abweichungen<br />
zwischen den Stabilisierungslasten infolge sinusförmiger und parabelförmiger<br />
Vorverformung sind bei schlanken Trägern ohne Drehbettung zu erwarten, bei denen<br />
sich große Torsionsverdrehungen � infolge Theorie II. Ordnung einstellen.<br />
max Qs [kN]<br />
max Qs Lastfall 3<br />
25,0<br />
20,0<br />
15,0<br />
10,0<br />
5,0<br />
Sinus, ctheta=0 Parabel, ctheta=0<br />
Sinus, ctheta=5kNm/m Parabel, ctheta=5kNm/m<br />
0,0<br />
20 25 30 35 40 45 50<br />
Bild 6.24 Gegenüberstellung der max<strong>im</strong>alen Querkraft QS in der seitlichen Halterung <strong>im</strong><br />
Lastfall 3 jeweils für sinusförmige und parabelförmige Vorkrümmung v0 bei<br />
Variation der Trägerschlankheit und der Drehbettung<br />
Als Fazit dieser Parameterstudie wird der Ansatz einer sinusförmigen Vorkrümmung<br />
empfohlen, weil dadurch in den meisten baupraktisch relevanten Fällen größere<br />
<strong>Beanspruchung</strong>en des stabilisierten Trägers und der Stabilisierungskonstruktion<br />
entstehen als bei parabelförmiger Vorkrümmung.<br />
L/h
6.3.3 Näherungsformeln für symmetrische Lastfälle<br />
127<br />
Die Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen ist <strong>im</strong> <strong>Stahlbau</strong> eine sehr häufig<br />
auftretende Aufgabe. Für eine schnelle technische Bearbeitung dieser Bemessungsaufgabe<br />
werden von der Baupraxis Näherungsformeln nachgefragt, die auch ohne<br />
Computereinsatz anwendbar sind. Numerische Berechnungen nach Biegetorsionstheorie<br />
II. Ordnung sind in der Regel zu aufwendig für die Ermittlung von Stabilisierungslasten.<br />
In der Baupraxis werden deshalb überwiegend einfache Näherungsansätze<br />
wie das Druckstabmodell nach Gerold gemäß Bild 1.3 verwendet, um die<br />
<strong>Beanspruchung</strong> von Stabilisierungskonstruktionen zu ermitteln.<br />
Die in Abschnitt 6.3.2 durchgeführte Analyse der maßgebenden Einflußparameter für<br />
Stabilisierungslasten zeigt, daß die Torsionsverdrehung � einen sehr entscheidenden<br />
Einfluß ausübt, welcher durch das praxisübliche Druckstabmodell nicht berücksichtigt<br />
werden kann. Es ist daher wünschenswert, Näherungsformeln abzuleiten, die das<br />
Biegetorsionsproblem erfassen, aber dennoch einfach genug sind, um eine Handrechnung<br />
zu ermöglichen.<br />
Beschränkt man die planmäßige Belastung des stabilisierten Trägers auf symmetrische<br />
Lastbilder, so kann das Matrizenverfahren für Träger mit gebundener<br />
Drehachse aus Abschnitt 6.3.1 derart vereinfacht werden, daß Näherungsformeln für<br />
die Stabilisierungslast qS angegeben werden können. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften<br />
und der Koppelung der Verformungen v und � bei gebundener<br />
Drehachse läßt sich der Verformungszustand des stabilisierten Trägers in guter<br />
Näherung durch einen nur zweiparametrigen Ansatz gemäß Gleichung (6.120)<br />
beschreiben.<br />
� � x 3�<br />
� � x<br />
� ( x)<br />
� �1<br />
� sin � �3<br />
� sin<br />
(6.120)<br />
L<br />
L<br />
Bei sinusförmiger Vorkrümmung v0 und Belastung durch Normalkraft N,<br />
Randmomente My,R, Einzellast Pz und Gleichstreckenlast qz gemäß Bild 6.25 können<br />
die Gleichungen (6.121a) und (6.121b) für die Berechnung der freien Parameter<br />
angegeben werden.<br />
1<br />
� 1 � � �K33 � P1<br />
� K13<br />
� P3<br />
�<br />
(6.121a)<br />
D<br />
1<br />
� 3 � � �K11 � P3<br />
� K13<br />
� P1<br />
�<br />
(6.121b)<br />
D<br />
mit<br />
D � K � K � K<br />
11<br />
33<br />
K11 = Ke,11 + Kg,11<br />
K13 = Kg,13<br />
K33 = Ke,33 + Kg,33<br />
2<br />
13
128<br />
K<br />
K<br />
K<br />
e,<br />
11<br />
e,<br />
33<br />
g , 11<br />
4<br />
2<br />
� EI�<br />
� GI 3 T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
L<br />
�<br />
�<br />
L<br />
1 �<br />
� � � c<br />
2 L<br />
�<br />
L<br />
2<br />
4<br />
2<br />
� 81�<br />
EI�<br />
� 9 � GI<br />
3 T<br />
�<br />
� � h<br />
� �N<br />
� �<br />
�<br />
��<br />
� 4<br />
� q<br />
2<br />
S<br />
L<br />
� � h<br />
2<br />
� i<br />
2<br />
p<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� M<br />
�<br />
y,<br />
R<br />
1 �<br />
� � � c<br />
2 L<br />
� h<br />
�<br />
L<br />
2<br />
� 2<br />
1 �<br />
� � � � qz<br />
��<br />
2 L<br />
S<br />
� 15 �<br />
� ��<br />
� � Pz<br />
� h<br />
� 16 �<br />
Kg , 13 z S<br />
S<br />
K<br />
P<br />
1<br />
g,<br />
33<br />
�<br />
� � h<br />
� �N<br />
� �<br />
�<br />
��<br />
� 4<br />
1 � hS<br />
� � N �<br />
2 � 2<br />
2<br />
S<br />
� i<br />
2<br />
p<br />
� M<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� M<br />
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Bild 6.25 Träger mit Lastangriff und seitlicher Stützung am Obergurt unter symmetrischer<br />
Belastung<br />
Die Stabilisierungslast qS des symmetrischen Systems in Bild 6.25 kann für den<br />
zweiparametrigen Ansatz zur Beschreibung der Trägerverformungen mit Gleichung<br />
(6.122) berechnet werden. Die zugehörige Stabilisierungsquerkraft QS ist mit<br />
Gleichung (6.123) zu ermitteln. Die Gültigkeit der beiden Gleichungen ist aufgrund<br />
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129<br />
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beschränkt.<br />
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130<br />
Ist die kontinuierliche seitliche Halterung des Obergurtes nicht unverschieblich<br />
sondern schubweich mit Schubsteifigkeit S*, so können die Gleichungen (6.121) bis<br />
(6.123) trotzdem verwendet werden, wenn anstelle der geometrischen Ersatz<strong>im</strong>perfektion<br />
v0,m die vergrößerte Vorverformung v 0,<br />
m gemäß Gleichung (6.124) eingesetzt<br />
wird.<br />
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(6.125)<br />
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Die vergrößerte Vorverformung v 0,<br />
m deckt den Einfluß der seitlichen Verformung<br />
der nachgiebigen Obergurthalterung vOG,m infolge äußerer Hotizontallasten qy und<br />
infolge Stabilisierungslasten ab. Diese Vorgehensweise ist in Abschnitt 6.3.1.5 ausführlich<br />
erläutert.<br />
Da sich die Obergurtverschiebung vOG,m und die auftretenden Stabilisierungslasten<br />
gegenseitig beeinflussen, wird in Abschnitt 6.3.1.5 ein iteratives Verfahren zur<br />
Berechnung der vergrößerten Vorverformung v 0,<br />
m vorgeschlagen. Vereinfachend ist<br />
es selbstverständlich auch möglich, eine vergrößerte Vorverformung z.B. mit<br />
v = 1,2 � v0,m<br />
0,<br />
m<br />
vorzuschätzen und anschließend mit Gleichung (6.125) zu zeigen, daß die tatsächliche<br />
Obergurtverschiebung vOG,m weniger als 20 % von v0,m beträgt.<br />
Vergleich der Näherungslösung mit FEM-Berechnungen<br />
Anhand von Vergleichsberechnungen mit dem FEM-Programm BT II soll die Güte<br />
der Näherungsformeln für die Stabilisierungslast qS, Gleichung (6.122), und die<br />
Stabilisierungsquerkraft QS, Gleichung (6.123), beurteilt werden. Grundlage der
untersuchten Beispiele ist das System in Bild 6.25 mit einem Stich der Vorkrümmung<br />
von v0,m = L/500.<br />
131<br />
Für die in Tabelle 6.9 zusammengefaßten Testbeispiele wird eine Gleichstreckenlast<br />
qz als Belastung gewählt, die so groß ist, daß jeweils das plastische Grenzbiegemoment<br />
Mp�,y,d des betrachteten Trägers aus Stahl St 52 erreicht wird. Eine<br />
Drehbettung c� wird nicht angesetzt, da der Druckgurt der untersuchten Träger auf der<br />
gesamten Länge gehalten ist.<br />
Die Variation der Testbeispiele in Tabelle 6.9 erstreckt sich auf jeweils 3 Profile der<br />
IPE-Reihe und der HEB-Reihe, wobei die Trägerschlankheit einheitlich mit L/h = 50<br />
gewählt wird. Für das Profil IPE 400 erfolgt zusätzlich eine Variation der Trägerschlankheit<br />
zwischen L/h = 20 und L/h = 50.<br />
Tabelle 6.9 Vergleich der Stabilisierungslasten aus der Näherungslösung mit FEM-<br />
Berechnungen für verschiedene Profile und Trägerschlankheiten L/h bei<br />
Belastung durch Gleichstreckenlast qz und Ausnutzung des plastischen<br />
Grenzbiegemomentes Mp�,y,d<br />
max qS [kN/m] Abweichung max QS [kN] Abweichung<br />
Mp�,y,d, St 52 Näherung FEM [%] Näherung FEM [%]<br />
IPE 400, L/h = 20 4,47 4,44 +0,7 7,12 7,15 -0,4<br />
IPE 400, L/h = 30 3,20 3,15 +1,6 7,56 7,64 -1,0<br />
IPE 400, L/h = 40 2,48 2,44 +1,6 7,81 7,96 -1,9<br />
IPE 400, L/h = 50 2,03 1,99 +2,0 7,96 8,18 -2,7<br />
IPE 200, L/h = 50 1,19 1,15 +3,5 2,22 2,28 -2,6<br />
IPE 600, L/h = 50 2,58 2,55 +1,2 15,53 16,11 -3,6<br />
HEB 200, L/h = 50 2,06 2,01 +2,5 3,64 3,68 -1,1<br />
HEB 400, L/h = 50 3,38 3,29 +2,7 12,22 12,42 -1,6<br />
HEB 600, L/h = 50 3,73 3,60 +3,6 20,72 21,26 -2,5<br />
Ein Vergleich der max<strong>im</strong>alen Stabilisierungslast qS gemäß Gleichung (6.122) mit den<br />
Ergebnissen der FEM-Berechnung zeigt, daß die Näherungslösung für alle untersuchten<br />
Beispiele geringfügig zu große Werte liefert. Für die max<strong>im</strong>ale Stabilisierungsquerkraft<br />
QS liefert die Näherungslösung, Gleichung (6.123), geringfügig zu<br />
kleine Werte. Die relative Abweichung zwischen Näherungslösung und FEM-Berechnung<br />
ist aber in allen Fällen kleiner als 4 %, was <strong>im</strong> Hinblick auf eine Bemessung der<br />
Stabilisierungskonstruktion mit den <strong>Beanspruchung</strong>en aus der Näherungslösung als<br />
tolerabel beurteilt wird.<br />
Durch eine zweite Serie von Testbeispielen soll die Eignung der Näherungsformeln<br />
auch für Biegemomentenverläufe mit wechselndem Vorzeichen belegt werden. Die in<br />
der Baupraxis aus Gründen der Wirtschaftlichkeit angestrebte Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit<br />
der stabilisierten Träger ist bei Obergurtstützung und bereichs-
132<br />
weise negativer Biegemomentenbeanspruchung in der Regel nur bei Berücksichtigung<br />
einer Drehbettung möglich. Um zu einer Auswahl realistischer Testbeispiele zu<br />
gelangen, wird deshalb eine Mindestdrehbettung gemäß Gleichung (8) in Element<br />
(309) der DIN 18800 Teil 2 [1] angesetzt.<br />
2<br />
Mpl,<br />
k<br />
, k � � k�<br />
EIz,<br />
k<br />
c� � k<br />
(6.126)<br />
v<br />
mit<br />
c�,k = Mindestdrehbettung, für die ein Biegedrillknicknachweis entfallen kann<br />
k� = 0,23 für gebundene Drehachse am Obergurt und Momentenverlauf gemäß<br />
Zeile 2b in Tabelle 6 der DIN 18800 Teil 2<br />
kv = 0,35 bei Ausnutzung der elastischen Querschnittstragfähigkeit<br />
kv = 1,0 bei Ausnutzung der plastischen Querschnittstragfähigkeit<br />
Tabelle 6.10 dient als Übersicht über die betrachteten Beispiele mit Biegemomentenverlauf<br />
gemäß Zeile 2b in Tabelle 6 der DIN 18800 Teil 2, d.h. mit betragsmäßig<br />
gleich großen Feld- und Stützmomenten. Untersucht werden drei Profile der IPE-<br />
Reihe mit einer Trägerschlankheit von L/h = 50, wobei jeweils vier Varianten mit<br />
Ausnutzung der elastischen und der plastischen Querschnittstragfähigkeit für die<br />
Werkstoffgüten St 37 und St 52 berechnet werden.<br />
Tabelle 6.10 Vergleich der Stabilisierungslasten aus der Näherungslösung mit FEM-Berechnungen<br />
für verschiedene Profile mit Schlankheit L/h = 50 bei Belastung<br />
durch Gleichstreckenlast qz und negative Randmomente<br />
-My,d -My,d max qS [kN/m] Abweichung<br />
My,d<br />
[kNm]<br />
c�,k<br />
[kNm/m]<br />
Näherung<br />
FEM [%]<br />
max QS [kN] Abweichung<br />
Nähe-<br />
rung<br />
FEM [%]<br />
+ My,d<br />
IPE 200<br />
St 37 elastisch 42,33 0,76 0,54 0,51 +5,9 0,81 0,82 -1,2<br />
St 37 plastisch 48,14 2,16 0,37 0,36 +2,8 0,53 0,52 +1,9<br />
St 52 elastisch 63,49 1,70 0,71 0,68 +4,4 1,07 1,11 -3,6<br />
St 52 plastisch 72,21 4,87 0,44 0,43 +2,3 0,62 0,61 +1,6<br />
IPE 400<br />
St 37 elastisch 252,22 2,86 0,80 0,76 +5,3 2,44 2,57 -5,0<br />
St 37 plastisch 285,20 8,18 0,49 0,47 +4,3 1,39 1,38 +0,7<br />
St 52 elastisch 378,33 6,44 0,95 0,91 +4,4 2,88 3,02 -4,6<br />
St 52 plastisch 427,80 18,40 0,57 0,56 +1,8 1,57 1,56 +0,6<br />
IPE 600<br />
St 37 elastisch 669,60 8,04 0,70 0,67 +4,5 3,17 3,24 -2,2<br />
St 37 plastisch 766,34 22,98 0,43 0,43 0,0 1,79 1,78 +0,6<br />
St 52 elastisch 1004,40 18,10 0,82 0,79 +3,8 3,55 3,50 +1,4<br />
St 52 plastisch 1149,51 51,70 0,49 0,51 -3,9 1,98 1,99 -0,5
133<br />
In der zweiten Spalte der Tabelle 6.10 sind die als Belastung angesetzten elastischen<br />
und plastischen Grenzbiegemomente angegeben. Der dritten Spalte ist die angesetzte<br />
Drehbettung gemäß Gleichung (6.126) zu entnehmen, welche nach Element (309) der<br />
DIN 18800 Teil 2 erforderlich ist, um keine Abminderung der Grenzbiegemomente<br />
infolge Stabilitätseinfluß vornehmen zu müssen.<br />
Ein Vergleich der max<strong>im</strong>alen Stabilisierungslast qS gemäß Gleichung (6.123) mit den<br />
genauen Ergebnissen aus einer FEM-Berechnng zeigt max<strong>im</strong>ale relative Abweichungen<br />
von 6 % zur sicheren Seite und von 5 % zur unsicheren Seite. Die Genauigkeit<br />
der Näherungsformeln steigt dabei tendenziell mit zunehmender Größe der<br />
vorhandenen Drehbettung.<br />
Zusammenfassend kann die Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen mit den in<br />
diesem Abschnitt angegebenen Näherungsformeln für Stabilisierungslasten empfohlen<br />
werden. Die Berücksichtigung des vorliegenden Biegetorsionsproblems nach Theorie<br />
II. Ordnung mit Wölbkrafttorsion stellt eine entscheidende Verbesserung der praxisüblichen<br />
Näherungsverfahren zur Berechnung von Stabilisierungslasten dar, welche<br />
den Druckgurt der stabilisierten Träger ersatzweise als Druckstab behandeln.
134<br />
7 Stabilisierungslasten von Trägern mit diskreten<br />
seitlichen Abstützungen<br />
7.1 Modellannahmen für aussteifende Verbände<br />
7.1.1 Verformungsverhalten von Fachwerkträgern<br />
Stabilisierungskonstruktionen werden <strong>im</strong> <strong>Stahlbau</strong> sehr häufig als aussteifende<br />
Verbände ausgeführt. Der Begriff Verband wird für einen Fachwerkträger verwendet,<br />
der die seitliche Verformung des stabilisierten Trägers in der Verbandsebene behindert.<br />
Bild 7.1 zeigt ein typisches Beispiel für die Stabilisierung von zwei Biegeträgern<br />
durch einen aussteifenden Verband in der Obergurtebene. Durch Anordnung von<br />
Fachwerkstäben als Pfosten und Diagonalen entsteht ein horizontal liegender Fachwerkträger,<br />
dessen Gurte durch die stabilisierten Träger selbst gebildet werden. Für<br />
die Diagonalen werden häufig Rund-, Flach- oder Winkelstähle verwendet, die unter<br />
Druckbelastung ausknicken. Statisch wirksam unter Belastung ist deshalb nur jeweils<br />
eine der beiden gekreuzten Diagonalen in einem Verbandsfeld.<br />
Bild 7.1 Trägerpaar mit aussteifendem Verband am Obergurt<br />
<strong>Zur</strong> Berücksichtigung der aussteifenden Wirkung des Verbandes auf die stabilisierten<br />
Träger können verschiedene Modellannahmen getroffen werden. Die Modellierung<br />
und Berechnung des gesamten Systems aus mehreren parallelen Trägern und den<br />
dazwischenliegenden Fachwerkstäben ist bei Berücksichtigung der Effekte aus Theorie<br />
II. Ordnung und Wölbkrafttorsion zu aufwendig für baupraktische Anwendungen.
135<br />
Ein übliches Verfahren ist deshalb die Betrachtung nur eines stabilisierten Trägers mit<br />
Stützung durch eine Stabilisierungskonstruktion, deren Steifigkeit durch die Anzahl<br />
der insgesamt auszusteifenden Träger dividiert wird.<br />
Bei dieser Vorgehensweise wird die aussteifende Wirkung des Verbandes vereinfachend<br />
nur für Verformungen in y-Richtung unterstellt. Am räumlichen System der<br />
durch Fachwerkstäbe am Obergurt gekoppelten Biegeträger ergeben sich aber<br />
zusätzlich Zwangsbeanspruchungen in den Fachwerkstäben aus der Verformung der<br />
Biegeträger in z-Richtung. Die Zwangsbeanspruchungen entstehen durch die Längung<br />
der Verbandsdiagonalen infolge der unterschiedlich großen Verschiebung der beiden<br />
Stabenden einer Diagonalen in z-Richtung. Wird rechnerisch eine Verbindung<br />
zwischen den Verbandsdiagonalen und den Biegeträgern ohne Schlupf unterstellt, so<br />
ergeben sich Zwangsbeanspruchungen als Produkt von Dehnsteifigkeit und Längung<br />
der Diagonalen, welche die Größenordnung der <strong>Beanspruchung</strong> des Verbandes<br />
infolge von planmäßigen äußeren Lasten und Stabilisierungslasten aufweisen können.<br />
Dies zeigen mit dem allgemeinen FEM-Programm SOFISTIK durchgeführte Vergleichsberechnungen<br />
für das in Bild 7.1 dargestellte System aus einem Trägerpaar mit<br />
aussteifendem Verband am Obergurt, wobei die stabilisierten Träger durch Faltwerkselemente<br />
und die Verbandsstäbe durch Fachwerksstabelemente modelliert wurden.<br />
Die theoretische Längung von Verbandsdiagonalen infolge der Durchbiegung der<br />
angeschlossenen Träger in z-Richtung beträgt für übliche Abmessungen von<br />
Dachverbänden <strong>im</strong> Hallenbau deutlich weniger als 1 mm. Bei realen <strong>Konstruktionen</strong><br />
ist deshalb ein vollständiger Abbau der beschriebenen Zwangsbeanspruchungen durch<br />
Verbindungsmittelschlupf zu erwarten, wodurch eine Vernachlässigung dieser <strong>Beanspruchung</strong>en<br />
bei der Bemessung von Verbänden mit geschraubten Füllstabanschlüssen<br />
gerechtfertigt wird.<br />
Für die Abbildung der aussteifenden Wirkung eines Verbandes auf die Verschiebung<br />
der stabilisierten Träger in y-Richtung gibt es verschiedene Ansätze wie elastische<br />
Bettungen cy, Federn Cy oder Schubfeldsteifigkeiten S*, die das tatsächliche Verformungsverhalten<br />
eines Fachwerkträgers mehr oder weniger exakt beschreiben.<br />
Gemeinsame Grundlage der verschiedenen nachfolgend erläuterten Modellannahmen<br />
für aussteifende Verbände ist die Berücksichtigung der Füllstabverformungen, die als<br />
Schubweichheit des Fachwerkträgers interpretiert werden können.<br />
Bild 7.2 Durchbiegung eines Fachwerkträgers infolge Normalkraftverformung der Füllstäbe
136<br />
Bild 7.2 zeigt die Durchbiegung eines Fachwerkträgers infolge Normalkraftverformung<br />
der Füllstäbe. Die Verzerrung der ursprünglich rechteckigen Kontur eines Verbandsfeldes<br />
infolge Längung der Diagonalen und Stauchung der Pfosten entspricht<br />
der Verzerrung eines Schubfeldes unter konstanter Schubbeanspruchung. Durch den<br />
Vergleich der Durchbiegungen des Fachwerkträgers mit den Durchbiegungen eines<br />
schubweichen Ersatzträgers kann eine ideelle Schubsteifigkeit S* des Verbandes<br />
gemäß Gleichung (7.1) angegeben werden.<br />
mit<br />
S* Ideelle Schubsteifigkeit des Verbandes<br />
EAP Dehnsteifigkeit der Verbandspfosten<br />
EAD Dehnsteifigkeit der Verbandsdiagonalen<br />
� Neigung der Diagonalen gegen die Horizontale<br />
Normalkraft in den Verbandspfosten<br />
NP<br />
ND<br />
Normalkraft in den Verbandsdiagonalen<br />
Q Querkraft <strong>im</strong> schubweichen Ersatzträger<br />
n Anzahl Verbandsfelder<br />
L Stützweite des Verbandes bzw. des schubweichen Ersatzträgers<br />
h Bauhöhe des Verbandes<br />
d Länge einer Diagonalen<br />
LP Gesamtlänge aller Verbandspfosten<br />
LD Gesamtlänge aller Verbandsdiagonalen<br />
f Durchbiegung<br />
h<br />
sin � �<br />
d<br />
h � n<br />
tan � �<br />
L<br />
LP = n � h LD = n � d = n �h/sin �<br />
NP = Q ND = Q/sin �<br />
f<br />
�<br />
L<br />
�<br />
0<br />
Q � Q<br />
dx �<br />
S*<br />
L<br />
�<br />
0<br />
P<br />
NP<br />
� N<br />
EA<br />
n�h/<br />
tan �<br />
n�h<br />
P<br />
P<br />
dx �<br />
Q � Q Q � Q<br />
� dx � dx<br />
S*<br />
� �<br />
EA<br />
0<br />
0<br />
P<br />
L<br />
D<br />
�<br />
0<br />
ND<br />
� N<br />
EA<br />
n � h 1 n � h n � h 1<br />
� � � � 3<br />
S*<br />
tan � EA EA sin �<br />
S*<br />
�<br />
tan � 1<br />
�<br />
EA EA<br />
P<br />
D<br />
P<br />
D<br />
1<br />
1<br />
� 2<br />
sin � � cos�<br />
D<br />
D<br />
n�h<br />
/ sin �<br />
�<br />
0<br />
dx<br />
Q � Q 1<br />
� dx 2 EA sin �<br />
D<br />
(7.1)
7.1.2 Verbandsmodell 1: Schubfeld mit Schubsteifigkeit S*<br />
137<br />
Die einfachste Modellannahme für einen aussteifenden Verband ist die Behandlung<br />
als kontinuierliches Schubfeld mit der Schubsteifigkeit S* gemäß Gleichung (7.1).<br />
Die Verschmierung der diskreten seitlichen Stützung in den Knotenpunkten des Fachwerkträgers<br />
zu einer kontinuierlichen seitlichen Stützung durch ein Schubfeld dient<br />
als Näherung für engmaschige Verbände. Lokale Instabilitäten wie seitliches Ausweichen<br />
zwischen benachbarten Stützstellen bei weitmaschigen Verbänden können<br />
durch dieses Modell nicht erfaßt werden.<br />
7.1.3 Verbandsmodell 2: Einzelfedern Cy<br />
Eine Möglichkeit zur Berücksichtigung der seitlichen Stützung in diskreten Punkten<br />
ist die Modellierung des aussteifenden Verbandes durch Einzelfedern Cy, die in den<br />
Knotenpunkten des Verbandes angreifen. Die Federsteifigkeit Cy ist für jede<br />
Stützstelle individuell verschieden, da der Widerstand, den der aussteifende Verband<br />
einer Verschiebung in y-Richtung entgegensetzt, in Feldmitte am geringsten ist und zu<br />
den Auflagern hin zun<strong>im</strong>mt. Die Berechnung der Federsteifigkeit Cy als Reziprokwert<br />
der Verschiebung des Verbandes in y-Richtung infolge Einzellast Fy = „1“ an der<br />
betrachteten Stützstelle führt zu einer Überschätzung der vorhandenen Steifigkeit,<br />
weil Lasten in den übrigen Knotenpunkten zusätzliche Verformungen an der betrachteten<br />
Stützstelle verursachen. Die Annahme eines konstanten Verlaufs der Stabilisierungslasten<br />
in Trägerlängsrichtung liegt für die Berechnung der Federsteifigkeiten<br />
auf der sicheren Seite. Werden die Einzellasten Fy in den Knoten des Verbandes zu<br />
einer Gleichstreckenlast qy verschmiert, so kann für die Federsteifigkeiten Cy an der<br />
jeweiligen Stelle � = x/L Gleichung (7.2) abgeleitet werden.<br />
qy � Fy<br />
�<br />
f<br />
C<br />
�<br />
y �<br />
1<br />
S*<br />
F<br />
f<br />
n<br />
L<br />
q<br />
�<br />
y<br />
y<br />
� L<br />
8<br />
2<br />
� 4 � ( � � �<br />
S*<br />
2 S*<br />
� � � � �<br />
L n � ( � � � ) L<br />
2<br />
)<br />
Cy (7.2)<br />
2<br />
mit<br />
S* Ideelle Schubsteifigkeit des Verbandes<br />
L Stützweite des Verbandes<br />
n Anzahl Verbandsfelder<br />
�=x/L Bezogene x-Koordinate der betrachteten Stützstelle<br />
� Beiwert zur Berücksichtigung von Anzahl und Lage der Stützfedern
138<br />
Der Beiwert � ist für äquidistante Feldweiten der Verbandsfelder nachfolgend angegeben.<br />
Für Federn an Stellen mit � > 0,5 gilt Symmetrie zur Feldmitte.<br />
n = 2:<br />
1<br />
� � : � � 4<br />
2<br />
n = 3:<br />
1<br />
� � : � � 3<br />
3<br />
n = 4:<br />
1<br />
1<br />
� � : � � 2,<br />
667 � � : � � 2<br />
4<br />
2<br />
n = 5:<br />
1<br />
2<br />
� � : � � 2,<br />
5 � � : � � 1,<br />
667<br />
5<br />
5<br />
n = 6:<br />
1<br />
1<br />
1<br />
� � : � � 2,<br />
4 � � : � � 1,<br />
5 � � : � � 1,<br />
333<br />
6<br />
3<br />
2<br />
Die Modellierung der Stützwirkung eines Verbandes durch Einzelfedern Cy gemäß<br />
Gleichung (7.2) ist trotz der Ermittlung individueller von der Lage in Trägerlängsrichtung<br />
abhängiger Federsteifigkeiten eine Näherung. Mit Blick auf den verformten<br />
Fachwerkträger in Bild 7.2 wird deutlich, daß die Füllstäbe eines Verbandsfeldes die<br />
Relativverschiebung der beiden angrenzenden Knotenpunkte behindern. Einzelfedern<br />
Cy wirken nur der Absolutverschiebung an ihrem Angriffspunkt entgegen. Deshalb<br />
besteht eine vom Fachwerkträger abweichende Stützwirkung.<br />
7.1.4 Verbandsmodell 3: Diskrete Stützung gegen Seil mit Zugkraft S*<br />
Die stabilisierende Wirkung eines kontinuierlichen Schubfeldes mit der Schubsteifigkeit<br />
S* entspricht der stabilisierenden Wirkung, die durch eine kontinuierliche<br />
Stützung gegen ein Seil mit Zugkraft S* hervorgerufen wird. Bild 7.3 zeigt diese<br />
Analogie zwischen Schubfeld und Seil mit Zugkraft. Sie rührt daher, daß sowohl<br />
durch ein Schubfeld als auch durch ein Zugseil die Neigung der Stabachse v� S*<br />
in<br />
Höhe der Stützkonstruktion behindert wird.
Bild 7.3 Analogie zwischen einem Schubfeld mit Steifigkeit S* und einem mit S* gespannten<br />
Seil nach Heil [31]<br />
139<br />
Liegt keine kontinuierliche Stützung durch ein Schubfeld sondern eine diskrete<br />
Stützung durch einen schubweichen Verband vor, so kann die Seilanalogie modifiziert<br />
werden, indem eine Koppelung des stabilisierten Trägers mit dem Seil nur in<br />
diskreten Punkten angenommen wird. Bild 7.4 zeigt ein Beispiel für diese Modellvorstellung<br />
nach Schardt [88].<br />
Bild 7.4 Analogie zwischen der Aussteifung durch einen schubweichen Verband und<br />
der Abstützung gegen ein Seil mit Zugkraft nach Schardt [88]<br />
Bei diskreter Stützung des stabilisierten Trägers gegen ein Seil ist die verformte<br />
Geometrie des Seiles ein Polygonzug mit abschnittsweise konstanter Neigung der<br />
Seilachse v� S*<br />
. Die stabilisierende Kraft in den diskreten Koppelungen zwischen<br />
Träger und Seil ist proportional zur Änderung der Neigung der Seilachse � v�S<br />
* an der<br />
jeweils betrachteten Stützstelle dieses Polygonzuges.<br />
Verbandsmodell 3 ist die Modellvariante, die das Verformungsverhalten eines Fachwerkträgers<br />
am besten beschreibt. Im Unterschied zu Verbandsmodell 1 wird die nur<br />
in diskreten Punkten vorhandene Stützung durch einen Verband berücksichtigt und <strong>im</strong><br />
Unterschied zu Verbandsmodell 2 wird die Aktivierung der Steifigkeit der Stabili-
140<br />
sierungskonstruktion durch die Relativverschiebung benachbarter Knotenpunkte des<br />
Verbandes abgebildet.<br />
<strong>Zur</strong> Klärung, welchen Einfluß die Modellierung des aussteifenden Verbandes auf die<br />
Verformungen und Stabilisierungslasten des gestützten Trägers ausübt, wird das<br />
Matrizenverfahren für Träger mit kontinuierlicher seitlicher Stützung aus Abschnitt 4<br />
auf die diskreten Verbandsmodelle 2 und 3 erweitert.<br />
7.2 Matrizenverfahren für Träger mit diskreten seitlichen<br />
Abstützungen<br />
7.2.1 Verbandsmodell 2: Einzelfedern Cy<br />
Bild 7.5 Angriffspunkt und Bezeichnung von Einzelfedern Cy bei äquidistanter seitlicher<br />
Stützung
141<br />
Voraussetzung für die Erweiterung des Matrizenverfahrens aus Abschnitt 4 auf Träger<br />
mit Einzelfedern Cy ist die Festlegung der möglichen Angriffspunkte der Einzelfedern<br />
in Trägerlängsrichtung. Vorgesehen wird eine äquidistante seitliche Stützung mit bis<br />
zu n = 6 Verbandsfeldern. Bild 7.5 zeigt die daraus resultierende Position der Einzelfedern<br />
und deren Bezeichnung mit der d<strong>im</strong>ensionslosen x-Koordinate � = x/L als<br />
Indizierung.<br />
Die virtuelle Arbeit der n-1 Einzelfedern ist mit Gleichung (7.3) gegeben.<br />
�W<br />
e<br />
�<br />
� � n 1<br />
k�1<br />
C<br />
y,<br />
k<br />
� ( v<br />
k<br />
� z<br />
Cy<br />
� � ) � ( �v<br />
k<br />
k<br />
� z<br />
Cy<br />
� �� )<br />
k<br />
(7.3)<br />
Die Verschiebung vK am Angriffspunkt der Einzelfeder Cy,k kann als Funktion der 5<br />
Freiwerte der Ansatzfunktionen für die Verschiebung v mit den Gleichungen (7.4a)<br />
bis (7.4k) berechnet werden. Die Verdrehung �k ergibt sich analog als Funktion der 5<br />
Freiwerte der Ansatzfunktionen für die Verdrehung �.<br />
� = 1/2: v1/2 = v1 – v3 + v5 (7.4a)<br />
� = 1/3: v1/3 = 0,866 � (v1 + v2 – v4 – v5) (7.4b)<br />
� = 2/3: v2/3 = 0,866 � (v1 – v2 + v4 – v5) (7.4c)<br />
� = 1/4: v1/4 = v2 + 0,707 � (v1 + v3 – v5) (7.4d)<br />
� = 3/4: v3/4 = -v2 + 0,707 � (v1 + v3 – v5) (7.4e)<br />
� = 1/5: v1/5 = 0,588 � (v1 + v4) + 0,951 �(v2 + v3) (7.4f)<br />
� = 2/5: v2/5 = 0,951 � (v1 – v4) + 0,588 � (v2 – v3) (7.4g)<br />
� = 3/5: v3/5 = 0,951 � (v1 + v4) + 0,588 � (-v2 - v3) (7.4h)<br />
� = 4/5: v4/5 = 0,588 � (v1 – v4) + 0,951 � (-v2 + v3) (7.4i)<br />
� = 1/6: v1/6 = 0,5 � (v1 + v5) + 0,866 � (v2 + v4) + v3<br />
� = 5/6: v5/6 = 0,5 � (v1 + v5) + 0,866 � (-v2 – v4) + v3<br />
(7.4j)<br />
(7.4k)<br />
Durch Einsetzen dieser Beziehungen in die virtuelle Arbeit gemäß Gleichung (7.3)<br />
wird die Steifigkeitsmatrix der Einzelfedern K e,<br />
C gewonnen. Sie ergänzt die<br />
y<br />
Steifigkeitsmatrix Ke in Bild 4.1 um die Anteile aus den Einzelfedern. Aus der<br />
Matrizengleichung (4.7) wird damit Gleichung (7.5).<br />
( K � Ke,<br />
C � Kg<br />
) � V � P<br />
(7.5)<br />
e y
142<br />
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5<br />
K z y � �<br />
K1 C 1<br />
K z y � �<br />
K2 C 2<br />
K z y � �<br />
K3 C 3<br />
2<br />
K � Symmetrie C 1 K z y �<br />
e,<br />
C<br />
y<br />
K z y � �<br />
K4 C 4<br />
K z y � �<br />
K5 C 5<br />
2<br />
C<br />
K z y �<br />
2<br />
2<br />
C<br />
K z y �<br />
mit<br />
K1 = Cy,1/2<br />
+ 0,75 · (Cy,1/3 + Cy,2/3)<br />
+ 0,5 · (Cy,1/4 + Cy,3/4)<br />
+ 0,3455 · (Cy,1/5 + Cy,4/5) + 0,9045 · (Cy,2/5 + Cy,3/5)<br />
+ 0,25 · (Cy,1/6 + Cy,5/6)<br />
K2 = 0,75 · (Cy,1/3 + Cy,2/3)<br />
+ Cy,1/4 + Cy,3/4<br />
+ 0,945 · (Cy,1/5 + Cy,4/5) + 0,3455 · (Cy,2/5 + Cy,3/5)<br />
+ 0,75 · (Cy, 1/6 + Cy,5/6)<br />
K3 = Cy,1/2<br />
+ 0,5 · (Cy,1/4 + Cy,3/4)<br />
+ 0,9045 · (Cy,1/5 + Cy,4/5) + 0,3455 · (Cy,2/5 + Cy,3/5)<br />
+ Cy,1/6 + Cy,5/6<br />
K4 = 0,75 · (Cy,1/3 + Cy,2/3)<br />
+ 0,3455 · (Cy,1/5 + Cy,4/5) + 0,9045 · (Cy,2/5 + Cy,3/5)<br />
+ 0,75 · (Cy,1/6 + Cy, 5/6)<br />
K5 = Cy,1/2<br />
+ 0,75 · (Cy,1/3 + Cy,2/3)<br />
+ 0,5 · (Cy,1/4 + Cy,3/4)<br />
+ 0,25 · (Cy,1/6 + Cy,5/6)<br />
3<br />
2<br />
C<br />
K z y �<br />
4<br />
2<br />
C<br />
z � K<br />
y<br />
5
Ist der Vektor V aus der Lösung der Matrizengleichung (7.5) bekannt, so können die<br />
Stützkräfte in den Einzelfedern mit der Elastizitätsgleichung (7.6) berechnet werden.<br />
FS, k y,<br />
k k Cy<br />
k �<br />
C ( v z ) � � � � (7.6)<br />
143<br />
<strong>Zur</strong> Beurteilung der Genauigkeit der Stabilisierungskräfte FS,k, die mit Gleichung<br />
(7.6) auf der Grundlage eines jeweils 5-gliedrigen Sinusreihenansatzes für die Verformungen<br />
v und � berechnet werden können, wird das Beispiel in Bild 7.6 untersucht.<br />
Der durch eine Gleichstreckenlast und ungleiche negative Randmomente beanspruchte<br />
Träger des Testbeispiels wird durch eine Drehbettung und 4 äquidistante<br />
Einzelfedern Cy ausgesteift. Bezüglich der seitlichen Stützung erfolgt eine Berechnung<br />
von zwei Varianten mit Angriffspunkt der Einzelfedern <strong>im</strong> Schwerpunkt und am<br />
Obergurt des Trägers.<br />
Bild 7.6 Testbeispiel zum Matrizenverfahren mit Einzelfedern Cy<br />
Ein Vergleich der mit dem Matrizenverfahren berechneten Stabilisierungskräfte mit<br />
den exakten Werten aus einer FEM-Berechnung mit dem Programm BT II erfolgt in<br />
Tabelle 7.1. Die Übereinst<strong>im</strong>mung der Ergebnisse ist gut. Die relative Abweichung<br />
der Stabilisierungskräfte des Matrizenverfahrens von den Stabilisierungskräften der<br />
FEM-Berechnung ist in beiden Varianten und an allen Stützstellen kleiner als 5 %.
144<br />
Der Verformungszustand des diskret gestützten Trägers kann durch die 5-gliedrigen<br />
Sinusreihenansätze offensichtlich ausreichend genau beschrieben werden.<br />
Tabelle 7.1 Abweichungen zwischen den Stabilisierungskräften aus einer Berechnung mit<br />
dem Matrizenverfahren und aus einer Berechnung mit dem Programm BT II<br />
für das Testbeispiel aus Bild 7.6<br />
Cy <strong>im</strong><br />
FS,1/5<br />
FS,2/5<br />
FS,3/5<br />
FS,4/5<br />
Schwerpunkt [kN] [kN] [kN] [kN]<br />
Matrizenverfahren -2,46 4,19 3,13 -3,29<br />
BT II -2,52 4,17 3,27 -3,26<br />
Abweichung [%] -2,4 +0,5 -4,3 +0,9<br />
Cy am Obergurt<br />
FS,1/5<br />
[kN]<br />
FS,2/5<br />
[kN]<br />
FS,3/5<br />
[kN]<br />
FS,4/5<br />
[kN]<br />
Matrizenverfahren -0,94 1,95 1,67 -1,49<br />
BT II -0,97 1,94 1,70 -1,43<br />
Abweichung [%] -3,1 +0,5 -1,8 +4,2
7.2.2 Verbandsmodell 3: Diskrete Stützung gegen Seil mit Zugkraft S*<br />
145<br />
Die Implementierung des Verbandsmodells 3 in das Matrizenverfahren aus Abschnitt<br />
4 erfordert einige Vorüberlegungen bezüglich der Ermittlung der diskreten Stabilisierungskräfte<br />
und bezüglich der virtuellen Arbeit, die diese Kräfte an den Verformungen<br />
des Seiles mit Zugkraft S* leisten. <strong>Zur</strong> Erläuterung der Zusammenhänge<br />
zwischen den Verformungen und den Stabilisierungskräften dient Bild 7.7<br />
Bild 7.7 Stabilisierungskräfte bei diskreter Stützung gegen ein Seil mit Zugkraft S*<br />
Dargestellt ist die Situation eines in y-Richtung verformten Trägers mit drei diskreten<br />
Abstützungen gegen ein Seil mit Zugkraft S*, das neben dem Träger in Höhe des<br />
Schubmittelpunktes gespannt ist. Die Stützkräfte in den Verbindungsstäben zwischen<br />
Träger und Seil entstehen infolge Umlenkung der Seilkraft S*. Sie sind proportional<br />
zur Änderung der Neigung der Seilachse �v´ an der jeweils betrachteten Stützstelle.<br />
Bei äquidistanten Abständen zwischen den Stützstellen berechnet sich die Neigungsänderung<br />
der Seilachse � v�k<br />
<strong>im</strong> Punkt k gemäß Gleichung (7.7).
146<br />
n<br />
� v�k � � ( �vk<br />
�1<br />
� 2 � vk<br />
� vk<br />
�1)<br />
(7.7)<br />
L<br />
mit<br />
n = Anzahl der Verbandsfelder<br />
L = Stützweite des Verbandes<br />
vk = Verschiebung v <strong>im</strong> Knoten k<br />
vk-1 = Verschiebung v <strong>im</strong> linken Nachbarknoten von Knoten k<br />
vk+1 = Verschiebung v <strong>im</strong> rechten Nachbarknoten von Knoten k<br />
Das Seilmodell berücksichtigt auf diese Weise die Aktivierung der Steifigkeit der<br />
Stabilisierungskonstruktion durch die Relativverschiebung benachbarter Knotenpunkte<br />
eines aussteifenden Verbandes. Tritt keine Relativverschiebung benachbarter<br />
Knotenpunkte auf, so werden auch keine Stützkräfte geweckt.<br />
Durch Freischneiden eines Knotens, in dem ein Verbindungsstab an das Stützseil<br />
angeschlossen ist, und Aufstellen des Gleichgewichtes in y-Richtung erhält man unter<br />
der Annahme kleiner Verformungen die Gleichung (7.8) für die Stützkraft <strong>im</strong> Verbindungsstab.<br />
n<br />
FS, k � �S*<br />
��v�k<br />
� S*<br />
� � ��vk�1�2�vk�vk�1� (7.8)<br />
L<br />
Die virtuelle Arbeit, die durch das Stützseil geleistet wird, ist das Produkt aus Stützkraft<br />
und virtueller Verschiebung �v, summiert über alle n-1 Stützstellen.<br />
n 1<br />
� e � �Fk k 1<br />
�<br />
�<br />
W � �v<br />
k<br />
n<br />
S k�1<br />
k k�1<br />
� �vk<br />
(7.9)<br />
L<br />
� � n 1<br />
k�1<br />
= * � � ��v�2�v�v� Für das Beispiel in Bild 7.7 mit n = 4 Verbandsfeldern und n - 1 = 3 Stützstellen<br />
ergibt sich die virtuelle Arbeit wie folgt:<br />
4<br />
L<br />
�We � S*<br />
� � �( 2 � v1<br />
� v2)<br />
� �v1<br />
( �v1<br />
� 2 � v2<br />
� v3)<br />
� �v2<br />
� � ( �v<br />
� 2 � v ) � �v<br />
�<br />
Liegt der Angriffspunkt des aussteifenden Verbandes bzw. des Stützseils nicht <strong>im</strong><br />
Schubmittelpunkt des stabilisierten Trägers sondern <strong>im</strong> Abstand zv versetzt, müssen<br />
die Gleichungen (7.8) und (7.9) noch um die Verschiebungsanteile infolge Torsionsverdrehung<br />
� des stabilisierten Trägers ergänzt werden.<br />
n<br />
FS, k � S*<br />
� � �� vk<br />
�1<br />
� 2 � vk<br />
� vk<br />
�1<br />
� zv<br />
� ���k�1�2��k��k�1��(7.10) L<br />
2<br />
3<br />
3
�W<br />
e<br />
n<br />
� S*<br />
� �<br />
L<br />
� � n 1<br />
k�1<br />
�<br />
� ( v<br />
k�1<br />
147<br />
� zv<br />
� �k�1)<br />
� 2 � ( vk<br />
� zv<br />
� �k<br />
)<br />
v � � z � � ) � � ( �v<br />
� z � �� )<br />
(7.11)<br />
� ( k 1 v k�1<br />
k v k<br />
<strong>Zur</strong> Implementierung des Verbandsmodells 3 in das Matrizenverfahren aus Abschnitt<br />
4 werden die Verformungen vk und �k jeweils durch die 5 Freiwerte der Ansatzfunktionen<br />
für die Verschiebung v und die 5 Freiwerte der Ansatzfunktionen für die<br />
Verdrehung � ausgedrückt. Durch Einsetzen dieser Gleichungen (7.4a) bis (7.4k) in<br />
die virtuelle Arbeit gemäß Gleichung (7.11) ergibt sich die Steifigkeitsmatrix des<br />
Stützseiles Ke,S*. Da in der virtuellen Arbeit gemäß Gleichung (7.11) gemischte<br />
Terme mit Verformungen benachbarter Knotenpunkte des aussteifenden Verbandes<br />
auftreten, ergeben sich bei unterschiedlicher Anzahl der Verbandsfelder unterschiedliche<br />
Steifigkeitsmatrizen Ke,S*. An dieser Stelle wird beispielhaft die Steifigkeitsmatrix<br />
Ke,S* für n = 4 Verbandsfelder angegeben. Die Steifigkeitsmatrizen für n = 2,<br />
3, 5 und 6 Verbandsfelder sind <strong>im</strong> Anhang abgedruckt.<br />
Ke,<br />
S*<br />
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5<br />
0,586<br />
-0,586<br />
� zv<br />
2 -2� zv<br />
3,414<br />
S*<br />
� 8 �<br />
Symmetrie 3,414<br />
L<br />
n = 4<br />
0,586<br />
2<br />
� zv<br />
2�<br />
2<br />
zv<br />
-3,414<br />
� zv<br />
3,414<br />
2<br />
� zv<br />
-3,414<br />
� zv<br />
3,414<br />
2<br />
� zv
148<br />
<strong>Zur</strong> Best<strong>im</strong>mung der gesuchten Verformungen des stabilisierten Trägers wird die um<br />
den Einfluß des Stützseiles erweiterte Gleichung (7.12) aus dem Matrizenverfahren in<br />
Abschnitt 4 gelöst.<br />
(Ke + Ke,S* + Kg) � V = P (7.12)<br />
Mit dem Lösungsvektor V der Freiwerte der Ansatzfunktionen können die Verformungen<br />
vk und �k an den diskreten Stützstellen aus den Gleichungen (7.4a) bis (7.4k)<br />
berechnet werden. Die Stabilisierungskraft FS,k an der Stützstelle k ergibt sich dann<br />
aus den Verformungen am Knoten k und den Verformungen an den Nachbarknoten<br />
gemäß Gleichung (7.10). Für den beispielhaft betrachteten Fall mit n = 4 Verbandsfeldern<br />
lauten die Gleichungen zur Berechnung der Stabilisierungskräfte wie folgt:<br />
4<br />
FS, 1/<br />
4 � S*<br />
� � 1/<br />
4 1/<br />
2 v 1/<br />
4 �<br />
L<br />
�2�v�v�z��2����� 1/<br />
2<br />
4<br />
FS, 1/<br />
2 � S*<br />
� � 1/<br />
4 1/<br />
2 3/<br />
4 v 1/<br />
4 1/<br />
2 �<br />
L<br />
��v�2�v�v�z����2����� 4<br />
FS, 3/<br />
4 � S*<br />
� � 1/<br />
2 3/<br />
4 v 1/<br />
2 �<br />
L<br />
��v�2�v�z�����2��� Für den allgemeinen Fall mit n Verbandsfeldern werden die Stabilisierungskräfte<br />
analog für jede Stützstelle k mit Gleichung (7.10) berechnet.<br />
3/<br />
4<br />
3/<br />
4
7.3 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die<br />
Trägerverformungen und Stabilisierungslasten<br />
7.3.1 Auswahl der untersuchten Systeme<br />
149<br />
Die Frage, welchen Einfluß die Modellierung von aussteifenden Verbänden als<br />
kontinuierliche oder diskrete seitliche Stützung biegedrillknickgefährdeter Träger auf<br />
die Trägerverformungen und Stabilisierungslasten ausübt, kann aufgrund der Vielzahl<br />
vorhandener Systemparameter nur anhand von ausgesuchten Beispielen beantwortet<br />
werden. Da die mit Hilfe dieser Beispiele gewonnenen Erkenntnisse nur bedingt auf<br />
andere Stützweiten, Profile, Verbandsgeometrien, Drehbettungen und Lastfälle übertragen<br />
werden können, kommt der Auswahl der zu untersuchenden Systeme und<br />
Lastfälle eine besondere Bedeutung zu.<br />
Die häufigste Anwendung <strong>stabilisierender</strong> Verbände <strong>im</strong> <strong>Stahlbau</strong> sind Dach- und<br />
Wandverbände zur Aussteifung von Rahmentragwerken <strong>im</strong> Hallenbau. Die Stützweite<br />
dieser Rahmentragwerke und die Stützweite der aussteifenden Dachverbände liegt<br />
überwiegend zwischen 10 und 30 m. Als Querschnitt für die pr<strong>im</strong>är auf Biegung<br />
belasteten Rahmenriegel werden in der Regel Profile der IPE-Reihe verwendet,<br />
welche durch den Dachverband seitlich in diskreten Punkten gestützt und zusätzlich<br />
durch die Drehbettung infolge aufliegender Pfetten oder Trapezprofile ausgesteift<br />
werden. Da der Abstand zwischen den einzelnen Hallenrahmen häufig 5 bis 6 m<br />
beträgt und die Neigung der Verbandsdiagonalen statisch günstig mit ungefähr 45°<br />
gewählt werden kann, werden überwiegend Verbandsgeometrien mit 2 bis 6 Verbandsfeldern<br />
ausgeführt, wobei der Abstand der Verbandspfosten etwa 5 m beträgt.<br />
Der Bemessungswert der Gleichstreckenlast qz auf dem Obergurt der Rahmenriegel<br />
liegt bei den genannten Rahmenabständen zwischen 5 und 10 kN/m je nach Dachaufbau<br />
und Schneelastzone. Der Biegemomentenverlauf der stabilisierten Rahmenriegel<br />
weist neben dem positiven Feldmoment aus der Gleichstreckenlast in der Regel<br />
auch negative Stützmomente auf, die aus der Rahmentragwirkung herrühren.<br />
Die in diesem Abschnitt zur Beurteilung des Einflusses der diskreten Stützung untersuchten<br />
Systeme und Lastfälle sind in Bild 7.8 dargestellt. Die Berechnungsbeispiele<br />
sind so gewählt, daß der oben genannte Anwendungsbereich für stabilisierende Dachverbände<br />
<strong>im</strong> Stalhallenbau abgedeckt wird.<br />
Untersucht werden fünf verschiedene Systeme, bestehend aus stabilisiertem Träger<br />
und aussteifendem Verband mit n = 2 bis 6 Verbandsfeldern. Die Stützweite von<br />
Träger und Verband wird zwischen 10 und 30 m variiert, wobei der Abstand der<br />
Verbandsknotenpunkte als Stützstellen für den stabilisierten Träger mit 5 m konstant<br />
bleibt. Um die Variationsbreite möglicher Biegemomentenverläufe abzudecken,<br />
werden für jedes System drei Lastfälle ohne Randmomente mit einseitigem und mit<br />
beidseitigen negativen Randmomenten berechnet. Durch Variation der Gleichstreckenlast<br />
qz zwischen 5 und 10 kN/m weisen alle drei Lastfälle trotz unterschiedlicher<br />
Randmomente ein gleich großes positives Feldmoment auf.
150<br />
Bild 7.8 <strong>Zur</strong> Beurteilung des Einflusses der diskreten Stützung untersuchte Systeme<br />
und Lastfälle
151<br />
Das sich mit der Stützweite des stabilisierten Trägers ändernde Feldmoment ist für<br />
alle fünf Systeme in Bild 7.8 ebenso angegeben wie das gewählte Trägerprofil aus der<br />
IPE-Reihe.<br />
Tabelle 7.2 Ausnutzung der plastischen Querschnittstragfähigkeit der gewählten Trägerprofile<br />
nach Theorie I. Ordnung<br />
Stützweite Profil <strong>Beanspruchung</strong> Beanspruchbarkeit Ausnutzung<br />
L [m]<br />
St 37 My [kNm] Mpl,y,d [kNm] My/Mpl,y,d<br />
10 IPE 240 62,5 80,0 0,78<br />
15 IPE 330 140,6 175,5 0,80<br />
20 IPE 400 250,0 285,2 0,87<br />
25 IPE 500 390,6 478,7 0,81<br />
30 IPE 600 562,5 766,3 0,73<br />
Tabelle 7.2 zeigt die aus der Biegemomentenbeanspruchung abgeleitete Profilwahl.<br />
Die Querschnitte wurden so gewählt, daß das vollplastische Biegemoment Mpl,y,d ohne<br />
Stabilitätseinfluß zu ungefähr 80 % ausgenutzt wird. Ein Nachweis ausreichender<br />
Querschnittstragfähigkeit bei zusätzlicher <strong>Beanspruchung</strong> durch die Schnittgrößen Mz<br />
und M� infolge Theorie II. Ordnung nach Kindmann/Ding [36] kann für alle untersuchten<br />
Systeme erbracht werden.<br />
<strong>Zur</strong> Berechnung der Schubsteifigkeit des aussteifenden Verbandes werden einheitlich<br />
folgende Füllstabquerschnitte festgelegt:<br />
Pfosten: Rohrquerschnitt 88,9 x 3,2 Ap = 8,62 cm 2<br />
Diagonalen: Rundstahl � 20 AD = 3,14 cm 2<br />
Mit Gleichung (7.1) und � = 45° berechnet sich daraus eine Schubsteifigkeit des<br />
Verbandes von S* = 20653 kN. Aus der Annahme, daß jeweils 5 Rahmenriegel durch<br />
einen Verband stabilisiert werden, folgt die in Bild 7.8 angegebene, den Berechnungsbeispielen<br />
zugrunde gelegte Schubsteifigkeit von S* = 4000 kN.<br />
Als Drehbettung für die stabilisierten Rahmenriegel wird einheitlich ein Stahltrapezprofil<br />
100/275/0,75 in Positivlage mit Befestigung in jedem zweiten Untergurt<br />
angesetzt, wodurch eher geringe Drehbettungswerte <strong>im</strong> Vergleich zu einem Pfettendach<br />
erzielt werden. Ein Nachweis der seitlich gestützten Rahmenriegel nach Theorie<br />
II. Ordnung ohne diese geringe Drehbettung gelingt aber nicht, so daß sie unbedingt<br />
berücksichtigt werden muß.<br />
Die Berechnung der vorhandenen Drehbettung erfolgt gemäß Kommentar zu DIN<br />
18800 [63] unter Berücksichtigung der Einflüsse aus der Biegesteifigkeit des Stahltrapezprofils,<br />
der Profilverformung des stabilisierten Trägers und der Anschlußverformung,<br />
die sich bei kleinen Gurtbreiten und geringen Auflasten besonders<br />
negativ auswirkt. In Ergänzung zu den Regelungen in DIN 18800 Teil 2, Element<br />
(309) gestattet der Normkommentar [63] die Berücksichtigung der günstigen<br />
Auswirkung aus der Auflast, welche durch das Auswandern auf die Flanschkante<br />
infolge des Verdrehvorganges einen rückdrehenden Einfluß ausübt. Für die
152<br />
Berechnungsbeispiele gemäß Bild 7.8 wird dieser Einfluß berücksichtigt. Die angesetzten<br />
Drehbettungswerte sind in Abhängigkeit von Trägerprofil und Größe der<br />
Auflast in Tabelle 7.3 angegeben.<br />
Tabelle 7.3 Drehbettung durch Trapezprofil 100/275/0,75, berechnet gemäß Kommentar<br />
zu DIN 18800 [63] unter Berücksichtigung der Größe der Auflast<br />
c�,k<br />
[kNm/m]<br />
Lastfall 1<br />
qz = 5 kN/m<br />
Lastfall 2<br />
qz = 10 kN/m<br />
Lastfall 3<br />
qz = 7,5 kN/m<br />
IPE 240 5,2 6,6 5,9<br />
IPE 330 7,1 9,0 8,0<br />
IPE 400 8,1 10,1 9,1<br />
IPE 500 9,0 11,4 10,3<br />
IPE 600 9,2 11,7 10,5<br />
7.3.2 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die<br />
Trägerverformungen<br />
<strong>Zur</strong> Klärung, welchen Einfluß die Modellierung aussteifender Verbände auf die<br />
Verformungen der ausgesteiften Träger ausübt, werden die drei in Abschnitt 7.1<br />
erläuterten Verbandsmodelle für die Berechnung der verschiedenen Systeme und<br />
Lastfälle aus Bild 7.8 verwendet. Ein Vergleich von kontinuierlichem Schubfeldmodell<br />
und diskretem Seilmodell soll die Auswirkung der seitlichen Stützung in<br />
diskreten Punkten aufzeigen. Der ergänzende Vergleich von Federmodell und Seilmodell<br />
erlaubt es den durch das Seilmodell erfaßten Einfluß der Relativverschiebung<br />
benachbarter Knotenpunkte des Verbandes zu beurteilen.<br />
Die seitliche Stützung der untersuchten Träger gemäß Bild 7.8 durch den<br />
aussteifenden Verband erfolgt in Höhe des Obergurtmittelpunktes. Durch ein Schubfeld<br />
wird die Neigung der Obergurtachse v� OG behindert. Einzelfedern setzen der<br />
Absolutverschiebung vOG in diskreten Punkten einen Widerstand entgegen und bei<br />
diskreter Abstützung gegen ein Seil mit Zugkraft wird Arbeit infolge der Relativverschiebung<br />
�vOG zwischen benachbarten diskreten Stützstellen geleistet. Die aus den<br />
unterschiedlichen Verbandsmodellen resultierenden unterschiedlichen max<strong>im</strong>alen<br />
Obergurtverschiebungen der untersuchten Träger sind in Tabelle 7.4 zusammengestellt.<br />
Das Seilmodell ist die Modellvariante mit der besten Abbildung des Verformungsverhaltens<br />
eines aussteifenden Verbandes und wird als Maßstab für die Güte<br />
der anderen beiden Verbandsmodelle verwendet. Für die Systeme mit 2 und 3<br />
Verbandsfeldern ist die Übereinst<strong>im</strong>mung der max<strong>im</strong>alen Obergurtverschiebung von<br />
Federmodell und Seilmodell deutlich besser als von Schubfeldmodell und Seilmodell.
153<br />
Für das System mit 2 Verbandsfeldern liefern die beiden diskreten Verbandsmodelle<br />
sogar identische Ergebnisse, da nur eine diskrete Zwischenstützung vorhanden ist,<br />
deren Absolutverschiebung identisch ist mit der Relativverschiebung in bezug auf die<br />
unverschieblichen benachbarten Auflagerknoten des Verbandes. Die identische aussteifende<br />
Wirkung von Federmodell und Seilmodell gilt auch für das System mit 3<br />
Verbandsfeldern, wenn ein symmetrischer Lastfall berechnet wird. Im asymmetrischen<br />
Lastfall 3 tritt eine Relativverschiebung zwischen den beiden Stützstellen in<br />
den Drittelspunkten des Verbandes auf, woraus eine leichte Abweichung zwischen<br />
den Verformungen der beiden diskreten Verbandsmodelle resultiert.<br />
Tabelle 7.4 Vergleich der mit den drei Verbandsmodellen Schubfeld, Einzelfedern und Seil<br />
mit Zugkraft ermittelten max<strong>im</strong>alen Obergurtverschiebung vOG für die Systeme<br />
und Lastfälle gemäß Bild 7.8<br />
max vOG<br />
[cm]<br />
n = 2<br />
L = 10 m<br />
n = 3<br />
L = 15 m<br />
n = 4<br />
L = 20 m<br />
n = 5<br />
L = 25 m<br />
n = 6<br />
L = 30 m<br />
Lastfall 1<br />
Schubfeldmodell 0,031 0,080 0,167 0,291 0,476<br />
Federmodell 0,063 0,299 0,346 0,599 0,988<br />
Seilmodell 0,063 0,299 0,185 0,284 0,499<br />
Lastfall 2<br />
Schubfeldmodell 0,025 0,065 0,137 0,239 0,401<br />
Federmodell 0,070 0,327 0,393 0,679 1,129<br />
Seilmodell 0,070 0,327 0,161 0,239 0,430<br />
Lastfall 3<br />
Schubfeldmodell 0,029 0,074 0,156 0,270 0,448<br />
Federmodell 0,295 0,318 0,392 0,643 1,087<br />
Seilmodell 0,295 0,320 0,193 0,296 0,478<br />
Die Ergebnisse in Tabelle 7.4 zeigen eine klare Zweiteilung bzgl. der Systeme mit 3<br />
und weniger und der Systeme mit 4 und mehr Verbandsfeldern. Für 2 und 3 Verbandsfelder<br />
werden die Systemverformungen mit dem diskreten Federmodell genauer<br />
ermittelt. Für 4, 5 und 6 Verbandsfelder liefert das kontinuierliche Schubfeldmodell<br />
bessere Ergebnisse, wenn jeweils das Seilmodell als Vergleichsmaßstab angelegt<br />
wird. Dies gilt unabhängig vom betrachteten Lastfall.<br />
Stellvertretend für die Systeme mit 3 und weniger Verbandsfeldern sind die Systemverformungen<br />
ausgedrückt als Verschiebung von Ober- und Untergurt des stabilisierten<br />
Trägers für das System mit 3 Verbandsfeldern und Belastung durch Lastfall 3 in<br />
Bild 7.9 dargestellt. Die Lage der diskreten Stützstellen am Obergurt ist jeweils durch<br />
ein Kreuz kenntlich gemacht.
154<br />
L = 15 m, n = 3, LF 3<br />
v Gurt [cm]<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
-0,1<br />
-0,2<br />
-0,3<br />
-0,4<br />
-0,5<br />
-0,6<br />
OG Federn UG Federn OG Seil<br />
UG Seil OG Schubfeld UG Schubfeld<br />
Bild 7.9 Vergleich der seitlichen Verschiebung von Ober- und Untergurt des stabilisierten<br />
Trägers für die drei Verbandsmodelle Schubfeld, Einzelfedern und Seil<br />
mit Zugkraft bei dreifeldrigem Verband und Lastfall 3 gemäß Bild 7.8<br />
L = 20 m, n = 4, LF 3<br />
v Gurt [cm]<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
-0,2<br />
-0,4<br />
-0,6<br />
-0,8<br />
x/L<br />
OG Federn UG Federn OG Seil<br />
UG Seil OG Schubfeld UG Schubfeld<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
Bild 7.10 Vergleich der seitlichen Verschiebung von Ober- und Untergurt des stabilisierten<br />
Trägers für die drei Verbandsmodelle Schubfeld, Einzelfedern und Seil<br />
mit Zugkraft bei vierfeldrigem Verband und Lastfall 3 gemäß Bild 7.8<br />
x/L
155<br />
Die gute Übereinst<strong>im</strong>mung der Verformungen von Federmodell und Seilmodell ist<br />
deutlich zu erkennen. In Abweichung zum Schubfeldmodell mit kontinuierlicher<br />
Stützung des Obergurtes tritt bei den beiden diskreten Verbandsmodellen eine mehrwellige<br />
Verschiebungsfigur des Obergurtes auf. Dies entspricht der Anschauung, daß<br />
ein seitliches Ausweichen des Obergurtes zwischen den diskreten Stützstellen möglich<br />
ist. Eine Modellierung dieses Systems mit dreifeldrigem Verband durch Annahme<br />
einer kontinuierlichen Stützung durch ein Schubfeld eignet sich offensichtlich nicht<br />
zur Beschreibung der aussteifenden Wirkung des Verbandes.<br />
Stellvertretend für die Systeme mit 4 und mehr Verbandsfeldern sind in Bild 7.10 die<br />
Ober- und Untergurtverschiebung des stabilisierten Trägers für das System mit 4 Verbandsfeldern<br />
und Belastung durch Lastfall 3 angegeben. Im Gegensatz zu dem System<br />
mit 3 Verbandsfeldern zeigen bei dem System mit 4 Verbandsfeldern die Verformungen<br />
des Schubfeldmodells eine gute Übereinst<strong>im</strong>mung mit dem Seilmodell. Die<br />
Verschmierung des diskreten Verbandes zu einem kontinuierlichen Schubfeld ist bei 4<br />
und mehr Verbandsfeldern demnach ein besseres Modell für die Beschreibung der<br />
aussteifenden Wirkung des Verbandes als das Federmodell, welches den Einfluß der<br />
Relativverschiebung benachbarter Knotenpunkte des Verbandes nicht beschreiben<br />
kann.<br />
Eine weitere Erkenntnis aus den in Bild 7.10 dargestellten Verformungen des Systems<br />
mit 4 Verbandsfeldern ist die Tatsache, daß ein n-feldriger Verband am Obergurt des<br />
stabilisierten Trägers nicht zwangsläufig auch eine n-wellige Verschiebungsfigur des<br />
Obergurtes erzwingt. Die Obergurtverformung bei diskreter Stützung durch Einzelfedern<br />
ist zwar mehrwellig, wird aber offensichtlich nur wenig durch Anzahl und<br />
Lage der diskreten Stützstellen beeinflußt.<br />
Als ergänzendes Beispiel für den geringen Einfluß der diskreten Stützung sind die<br />
Verformungen des Systems mit fünffeldrigem Verband und Belastung durch Lastfall<br />
1 in Bild 7.11 dargestellt. Die Obergurtverformung bei diskreter Stützung durch<br />
Einzelfedern stellt sich auch für dieses System dreiwellig ein, obschon eine symmetrische<br />
fünfwellige Verschiebungsfigur des Obergurtes bei Stützung in den<br />
Fünftelspunkten und symmetrischer Belastung möglich ist.<br />
Die durch das Seilmodell abgebildete diskrete Stützung durch einen fünffeldrigen<br />
Verband übt auf den stabilisierten Träger die gleiche aussteifende Wirkung aus wie<br />
die kontinuierliche Stützung durch ein Schubfeld, was aus den nahezu identischen<br />
Verformungen von Seilmodell und Schubfeldmodell hervorgeht. Diese Übereinst<strong>im</strong>mung<br />
zwischen Seilmodell und Schubfeldmodell gilt auch für alle anderen untersuchten<br />
Systeme mit 4 und mehr Verbandsfeldern unabhängig vom betrachteten<br />
Lastfall.<br />
Eine Berechnung der Verformungen und Schnittgrößen von durch Verbände ausgesteifte,<br />
biegedrillknickgefährdeten Trägern nach Theorie II. Ordnung ist praktisch<br />
nur durch den Einsatz von Computerprogrammen wie BT II [77] oder DRILL [24]<br />
möglich. Die Berücksichtigung der aussteifenden Wirkung eines Verbandes kann <strong>im</strong><br />
Rahmen einer solchen Programmberechnung nur durch den Ansatz von Einzelfedern
156<br />
oder durch den Ansatz eines Schubfeldes erfolgen. Als Ergebnis der Untersuchungen<br />
zum Einfluß der verschiedenen Verbandsmodelle auf die Verformungen des<br />
stabilisierten Trägers kann zusammenfassend die Empfehlung ausgesprochen werden,<br />
für Systeme mit 3 und weniger Verbandsfeldern das Federmodell und für Systeme mit<br />
4 und mehr Verbandsfeldern das Schubfeldmodell zu verwenden.<br />
v Gurt [cm]<br />
L = 25 m, n = 5, LF 1<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
-0,2<br />
-0,4<br />
-0,6<br />
-0,8<br />
-1<br />
-1,2<br />
OG Federn UG Federn OG Seil<br />
UG Seil OG Schubfeld UG Schubfeld<br />
Bild 7.11 Vergleich der seitlichen Verschiebung von Ober- und Untergurt des stabilisierten<br />
Trägers für die drei Verbandsmodelle Schubfeld, Einzelfedern und Seil<br />
mit Zugkraft bei fünffeldrigem Verband und Lastfall 1 gemäß Bild 7.8<br />
7.3.3 Einfluß der diskreten seitlichen Stützung auf die<br />
Stabilisierungslasten<br />
Stabilisierungslasten diskret gestützter Träger wirken als Einzellasten an den diskreten<br />
Stützstellen und sind deshalb nicht unmittelbar mit den Stabilisierungsstreckenlasten<br />
bei kontinuierlicher Stützung vergleichbar. Eine Beurteilung, ob sich signifikante<br />
Unterschiede zwischen der <strong>Beanspruchung</strong> einer diskreten und einer kontinuierlichen<br />
Stabilisierungskonstruktion ergeben, ist aber anhand der Stabilisierungsquerkraft<br />
möglich, die sich durch Summation der diskreten Stützkräfte bzw. durch Integration<br />
der Stabilisierungsstreckenlasten ergibt.<br />
Mit dem Federmodell und dem Seilmodell stehen zwei Möglichkeiten zur Berechnung<br />
diskreter Stützkräfte zur Verfügung. Die Stützkräfte des Federmodells werden gemäß<br />
Gleichung (7.6) aus der Verformung der Einzelfedern berechnet. Die Stützkräfte des<br />
x/L
Seilmodells ergeben sich gemäß Gleichung (7.10) aus der Umlenkung der Zugkraft <strong>im</strong><br />
Seil an den diskreten Stützstellen.<br />
157<br />
Wie bereits erläutert, wird die aussteifende Wirkung eines Verbandes durch das<br />
Seilmodell genauer erfaßt als durch das Federmodell. Ein Vergleich der mit den<br />
beiden diskreten Verbandsmodellen berechneten Stabilisierungskräfte soll klären, ob<br />
ein großer Einfluß des verwendeten Modells vorliegt und ob die mit dem Federmodell<br />
berechneten Stabilisierungskräfte für eine Bemessung der Stabilisierungskonstruktion<br />
auf der sicheren Seite liegen. In Tabelle 7.5 sind zu diesem Zweck die mit dem Federmodell<br />
und dem Seilmodell berechneten diskreten Stützkräfte für die verschiedenen<br />
Systeme und Lastfälle gemäß Bild 7.8 gegenübergestellt.<br />
Tabelle 7.5 Vergleich der mit dem Federmodell und dem Seilmodell berechneten diskreten<br />
Stützkräfte für die Systeme und Lastfälle gemäß Bild 7.8<br />
Stützkräfte<br />
FS [kN]<br />
LF1 LF2 LF3<br />
qz = 5 kN/m qz = 10 kN/m qz = 7,5 kN/m<br />
Federmodell Seilmodell Federmodell Seilmodell Federmodell Seilmodell<br />
FS,1/2 0,917 0,917 1,016 1,016 0,886 0,886<br />
FS,1/3 0,508 0,508 0,355 0,355 0,861 0,924<br />
FS,2/3 0,508 0,508 0,355 0,355 0,027 -0,054<br />
FS,1/4 -0,060 -0,049 -0,459 -0,560 0,324 0,297<br />
FS,1/2 1,259 1,393 1,428 1,732 1,344 1,534<br />
FS,3/4 -0,060 -0,049 -0,459 -0,560 -0,808 -0,862<br />
FS,1/5 -0,443 -0,499 -0,946 -1,204 -0,153 -0,302<br />
FS,2/5 1,096 1,278 1,130 1,437 1,559 1,827<br />
FS,3/5 1,096 1,278 1,130 1,437 0,680 0,850<br />
FS,4/5 -0,443 -0,499 -0,946 -1,204 -1,213 -1,355<br />
FS,1/6 -0,716 -0,874 -1,298 -1,795 -0,469 -0,763<br />
FS,1/3 0,719 0,991 0,575 0,914 1,408 1,651<br />
FS,1/2 1,596 1,680 1,824 2,064 1,711 1,837<br />
FS,2/3 0,719 0,991 0,575 0,914 -0,010 0,288<br />
FS,5/6 -0,716 -0,874 -1,298 -1,795 -1,600 -1,892
158<br />
Für das System mit zweifeldrigem Verband ergeben sich am Federmodell und am<br />
Seilmodell identische Ergebnisse für die Stützkraft in Feldmitte. Bei dreifeldrigem<br />
Verband und symmetrischem Lastfall sind die Stützkräfte in den Drittelspunkten<br />
ebenfalls identisch. Für alle anderen Systeme und Lastfälle treten Abweichungen<br />
zwischen den Stützkräften der beiden Modellvarianten auf.<br />
Das Seilmodell liefert für die Systeme mit 4 und mehr Verbandsfeldern bis zu 20 %<br />
größere Stützkräfte als das Federmodell. Die Verteilung der Stabilisierungslasten auf<br />
die einzelnen Stützstellen zeigt aber eine gute Übereinst<strong>im</strong>mung der beiden<br />
Verbandsmodelle untereinander und auch eine gute Übereinst<strong>im</strong>mung mit der<br />
Verteilung der Stabilisierungslasten bei kontinuierlicher Stützung. In Abschnitt 6 wird<br />
für kontinuierlich gestützte Träger mit Belastung durch Gleichstreckenlast gezeigt,<br />
daß max<strong>im</strong>ale positive Stabilisierungslasten in Feldmitte und negative Stabilisierungslasten<br />
in Auflagernähe auftreten. Dieser Verlauf der Stabilisierungskräfte ist auch aus<br />
den diskreten Stützkräften in Tabelle 7.5 ablesbar.<br />
Ein unmittelbarer Vergleich von Stabilisierungseinzellasten bei diskreter Stützung mit<br />
Stabilisierungsstreckenlasten bei kontinuierlicher Stützung ist nicht möglich. Um<br />
dennoch einen Vergleich zwischen der <strong>Beanspruchung</strong> einer diskreten und einer<br />
kontinuierlichen Stabilisierungskonstruktion anstrengen zu können, wird die Querkraft<br />
in der seitlichen Halterung betrachtet.<br />
In Abschnitt 7.3.2 wird gezeigt, daß die aussteifende Wirkung von Verbänden mit 4<br />
oder mehr Verbandsfeldern in sehr guter Näherung durch die aussteifende Wirkung<br />
eines kontinuierlichen Schubfeldes abgebildet werden kann. Es ist deshalb naheliegend,<br />
auch eine gute Übereinst<strong>im</strong>mung zwischen der Schubfeldkraft und der<br />
Verbandsquerkraft zu vermuten.<br />
In den Bildern 7.12 und 7.13 erfolgt beispielhaft eine Gegenüberstellung der Stabilisierungsquerkräfte<br />
von Schubfeldmodell und Seilmodell für einen fünffeldrigen und<br />
einen sechsfeldrigen Verband. Die Schubfeldkraft ist mit Gleichung (4.15) berechnet,<br />
die Verbandsquerkraft des Seilmodells aus den diskreten Stützkräften in Tabelle 7.5.<br />
Die Stabilisierungsquerkräfte des kontinuierlichen Schubfeldmodells und des diskreten<br />
Seilmodells zeigen eine sehr gute Übereinst<strong>im</strong>mung sowohl bezüglich der<br />
Verteilung in Trägerlängsrichtung als auch bezüglich des bemessungsrelevanten<br />
Max<strong>im</strong>alwertes. Diese gute Übereinst<strong>im</strong>mung ist auch für alle anderen untersuchten<br />
Lastfälle und Systeme mit 4 oder mehr Verbandsfeldern gegeben. Das Einschneiden<br />
der Querkraftlinie bei diskreter Stützung in die Querkraftlinie bei kontinuierlicher<br />
Stützung ist für die D<strong>im</strong>ensionierung eines aussteifenden Verbandes unproblematisch,<br />
da in der Regel alle Pfosten und Diagonalen mit gleichem Querschnitt ausgeführt<br />
werden und die Bemessung mit dem Max<strong>im</strong>alwert der Verbandsquerkraft erfolgt.
Qs [kN]<br />
L = 25 m, n = 5, LF 1<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
Schubfeldmodell Seilmodell<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
Bild 7.12 Stabilisierungsquerkraft für die Verbandsmodelle Schubfeld und Seil mit<br />
Zugkraft bei fünffeldrigem Verband und Lastfall 1 gemäß Bild 7.8<br />
L = 30 m, n = 6, LF 1<br />
Qs [kN]<br />
2,5<br />
2<br />
1,5<br />
1<br />
0,5<br />
0<br />
0 0,25 0,5 0,75 1<br />
-0,5<br />
-1<br />
-1,5<br />
-2<br />
-2,5<br />
x/L<br />
Schubfeldmodell Seilmodell<br />
Bild 7.13 Stabilisierungsquerkraft für die Verbandsmodelle Schubfeld und Seil mit<br />
Zugkraft bei sechsfeldrigem Verband und Lastfall 1 gemäß Bild 7.8<br />
x/L<br />
159
160<br />
Zusammenfassend lassen sich folgende Empfehlungen für die Bemessung von<br />
aussteifenden Verbänden geben:<br />
� Für Verbände mit 3 oder weniger Verbandsfeldern sollte das Federmodell zur<br />
Berechnung der diskreten Stützkräfte verwendet werden.<br />
� Für Verbände mit 4 oder mehr Verbandsfeldern kann die Schubfeldkraft aus dem<br />
kontinuierlichen Schubfeldmodell als Näherung für die Verbandsquerkraft dienen.<br />
In diesen Fällen sind auch die Näherungsformeln für die Ermittlung der <strong>Beanspruchung</strong><br />
einer kontinuierlichen seitlichen Halterung aus Abschnitt 6.3.3<br />
anwendbar.
8 Beispiel zur Bemessung eines Dachverbandes<br />
Bild 8.1 Statisches System, planmäßige Lasten und geometrische Ersatz<strong>im</strong>perfektionen<br />
161
162<br />
Anhand des in Bild 8.1 dargestellten Beispiels für einen typischen Dachverband einer<br />
Stahlhalle soll die Anwendung der hergeleiteten Näherungsformeln für die<br />
Bemessung von Stabilisierungskonstruktionen gezeigt werden. Der untersuchte<br />
Dachverband dient zur Aufnahme äußerer Windlasten und zur Stabilisierung mehrerer<br />
Rahmenriegel, die durch Drucknormalkräfte, negative Stützmomente und Gleichstreckenlasten<br />
beansprucht werden. Sämtliche <strong>Beanspruchung</strong>en sind �M-fache<br />
Bemessungswerte. Geometrie und Querschnitte der untersuchten Konstruktion sind<br />
Bild 8.1 zu entnehmen.<br />
Die Ermittlung der <strong>Beanspruchung</strong> des Dachverbandes erfolgt mit zwei verschiedenen<br />
Berechnungsmodellen:<br />
� Standardverfahren nach Gerold [27] bzw. Petersen [82] (Modell: Druckstab)<br />
� Näherungsformeln aus Abschnitt 6.3.3<br />
(Modell: Biegedrillknickgefährdeter Träger)<br />
Modell: Druckstab<br />
Das Modell nach Gerold bzw. Petersen behandelt die Obergurte der Rahmenriegel als<br />
Druckstäbe mit konstanter Druckkraft NGurt. Vergleiche dazu Abschnitt 2.2.2.<br />
M<br />
N 250<br />
� kN<br />
y,<br />
m<br />
NGurt = � � 25 � 672<br />
hS<br />
2 0,<br />
3865<br />
mit<br />
M<br />
y,<br />
m<br />
2<br />
qz<br />
� L 10 � 20<br />
� My,<br />
R � � �250<br />
� � �250<br />
kNm<br />
8<br />
8<br />
hS = h – tg = 40 – 1,35 = 38,65 cm<br />
2<br />
Die Schubsteifigkeit des Dachverbandes kann z.B. nach Roik [86] Seite 163 berechnet<br />
werden. Der Dachverband mit Schubsteifigkeit S* = 20000 kN dient zur<br />
Stabilisierung von i = 5 Rahmenriegeln. Die beiden äußeren Rahmenriegel weisen nur<br />
die halbe Lasteinzugsfläche auf und werden zusammen als ein Rahmenriegel<br />
behandelt. Der Vergrößerungsfaktor � zur Berücksichtigung der Theorie II. Ordnung<br />
kann deshalb gemäß Gleichung (2.4) berechnet werden, wenn die Summe aller i = 5<br />
Gurtkräfte eingesetzt wird.<br />
1<br />
� �<br />
i � N<br />
1�<br />
N<br />
mit<br />
*<br />
N<br />
Ki<br />
*<br />
Gurt<br />
*<br />
Ki<br />
1<br />
� � 1,<br />
202<br />
5 � 672<br />
1�<br />
20000<br />
� S � 20000 kN = Verzweigungslast des Verbandes als schubweicher Druckstab
163<br />
Die auf den Dachverband wirkende Stabilisierungslast setzt sich aus einem Anteil<br />
infolge Vorkrümmung v0 und aus einem Anteil infolge Verformung unter äußeren<br />
Windlasten qy zusammen. Die Auswirkung der Verformung unter Windlasten qy wird<br />
dadurch berücksichtigt, daß sowohl die Stabilisierungslasten infolge Vorkrümmung v0<br />
als auch die Windlasten mit dem Vergrößerungsfaktor � multipliziert werden.<br />
2<br />
�<br />
qS, m � v0,<br />
m � � i � N 2 Gurt<br />
L<br />
2<br />
�<br />
� 0, 04 � � 5 � 672 � 3,<br />
32 kN/m<br />
2<br />
20<br />
Die max<strong>im</strong>ale Verbandsquerkraft ergibt sich sowohl infolge konstanter Windlast als<br />
auch infolge sinusförmig verteilter Stabilisierungslast an den Auflagern des<br />
Dachverbandes.<br />
max Q<br />
Verband<br />
� qy<br />
� L qS,<br />
m � L �<br />
� � ��<br />
� � �<br />
�<br />
� 2 � �<br />
� 2,<br />
0 � 20 3,<br />
32 � 20 �<br />
� 1, 202 � � � � � 49,<br />
4 kN<br />
� 2 � �<br />
Modell: Biegedrillknickgefährdeter Träger<br />
Für die Anwendung der das räumliche Biegetorsionsproblem beschreibenden<br />
Näherungsformeln aus Abschnitt 6.3.3 wird nur ein zu <strong>stabilisierender</strong> Rahmenriegel<br />
mit anteiliger Schubsteifigkeit des aussteifenden Verbandes und anteiliger Windlast<br />
betrachtet.<br />
S<br />
q<br />
*<br />
y<br />
*<br />
S 20000<br />
� � � 4000 kN<br />
i 5<br />
qy<br />
2,<br />
0<br />
� � � 0,<br />
4 kN/m<br />
i 5<br />
Die Berechnung des Verformungszustandes der stabilisierten Rahmenriegel erfolgt<br />
iterativ, da die seitliche Stützung durch den Dachverband elastisch verschieblich ist,<br />
die Gleichungen (6.121a) und (6.121b) zur Ermittlung der Torsionsverdrehung � aber<br />
nur für eine unverschiebliche seitliche Stützung gelten. Die Lösung dieses Problems<br />
ist der Ansatz einer vergrößerten Vorverformung v0,m bei der Berechnung der<br />
Rahmenriegel als Träger mit unverschieblicher seitlicher Stützung. Die vergrößerte<br />
Vorverformung v 0,<br />
m berechnet sich gemäß Gleichung (6.124) als Summe aus der<br />
geometrischen Ersatz<strong>im</strong>perfektion v0,m und aus der Verschiebung des Dachverbandes<br />
unter Wind- und Stabilisierungslasten. Da die Verschiebung des Dachverbandes<br />
infolge Stabilisierungslasten zu Beginn der Berechnung noch nicht bekannt ist, erfolgt<br />
eine iterative Vergrößerung der Vorverformung v 0,<br />
m .
164<br />
Im ersten Berechnungsschritt wird die Verformung des Dachverbandes unter äußeren<br />
Windlasten ermittelt:<br />
v<br />
OG,<br />
m<br />
2<br />
q L<br />
2<br />
1 y � 1 0,<br />
004 � 2000<br />
� � � �<br />
� 0,<br />
5 cm<br />
*<br />
S 8 4000 8<br />
Als vergrößerte Vorverformung v 0,<br />
m ergibt sich damit gemäß Gleichung (6.124)<br />
v = v0,m + vOG,m = 4,0 + 0,5 = 4,5 cm<br />
0,<br />
m<br />
Die Berechnung der Torsionsverdrehung � der stabilisierten Rahmenriegel erfolgt mit<br />
den Gleichungen (6.121a) und (6.121b). Dazu werden folgende Eingangswerte<br />
benötigt.<br />
E = 21000 kN/cm 2<br />
G = 8100 kN/cm 2<br />
IT = 51,08 cm 4<br />
I� = 490048 cm 6<br />
hS = 38,65 cm<br />
2<br />
i p = 289,4 cm 2<br />
L = 2000 cm<br />
c� = 5 kNm/m<br />
N = -50 kN<br />
My,R = -25000 kNcm<br />
qz = 0,1 kN/cm<br />
Mit diesen Werten ergeben sich die Koeffizienten und die Determinante der 2 x 2-<br />
Steifigkeitsmatrix zur Best<strong>im</strong>mung der gesuchten Freiwerte �1 und �3.<br />
K11 = Ke,11 + Kg,11 = 5892,864 kNcm<br />
K13 = Kg,13 = -3623,44 kNcm<br />
K33 = Ke,33 + Kg,33 = 29787,72 kNcm<br />
D = K11 � K33 -<br />
2<br />
K 13 = 1,62 � 10 8 (kNcm) 2<br />
Die Koeffizienten des Lastvektors werden mit der vergrößerten Vorverformung<br />
v = 4,5 cm berechnet.<br />
0,<br />
m<br />
P1 = 194,299 kNcm<br />
P3 = - 84,375 kNcm<br />
Mit Gleichung (6.121a) und (6.121b) erhält man<br />
1<br />
� 1 � � �K33 � P1<br />
� K13<br />
� P3<br />
��0, 03375 rad<br />
D<br />
1<br />
� 3 � � �K11 � P3<br />
� K13<br />
� P1<br />
��0, 00127 rad<br />
D
165<br />
Die Torsionsverdrehung � der Rahmenriegel verursacht Stabilisierungslasten, welche<br />
die Verformung des Dachverbandes aus äußeren Windlasten noch vergrößern. Die<br />
Obergurtverschiebung der Rahmenriegel infolge Wind- und Stabilisierungslasten wird<br />
mit Gleichung (6.125) berechnet.<br />
Mit 4,<br />
5<br />
v0, m � cm<br />
�1 = 0,03375 rad<br />
�3 = 0,00127 rad<br />
ergibt sich vOG,m = 0,8 cm.<br />
In einem zweiten Iterationsschritt wird eine neue vergrößerte Vorverformung v 0,<br />
m<br />
ermittelt.<br />
v = v0,m + vOG,m = 4,0 + 0,8 = 4,8 cm<br />
0,<br />
m<br />
Damit ändern sich auch die Koeffizienten des Lastvektors.<br />
P1 = 207,252 kNcm<br />
P3 = - 90,000 kNcm<br />
Die erneute Auswertung der Gleichungen (6.121a) und (6.121b) ergibt<br />
�1 = 0,03601 rad<br />
�3 = 0,00136 rad<br />
Die <strong>im</strong> Vergleich zum ersten Iterationsschritt vergrößerte Torsionsverdrehung bewirkt<br />
eine Zunahme der Stabilisierungslasten und dadurch auch eine erneute Vergrößerung<br />
der Obergurtverschiebung gemäß Gleichung (6.125).<br />
Mit v0, m � 4,<br />
8 cm<br />
�1 = 0,03601 rad<br />
�3 = 0,00136 rad<br />
ergibt sich bei Vernachlässigung von Verformungszuwächsen von weniger als 1 mm<br />
aber wieder der Wert vOG,m = 0,8 cm, so daß die iterative Ermittlung des Verformungszustandes<br />
bereits nach dem zweiten Iterationsschritt abgebrochen werden kann.<br />
Durch Einsetzen der Größen v 0,<br />
m , �1 und �3 in die Gleichungen (6.122) und (6.123)<br />
werden die Stabilisierungslast qS und die Verbandsquerkraft infolge Stabilisierung QS<br />
ermittelt.<br />
Die Ergebnisse einer Auswertung der Gleichungen (6.122) und (6.123) in den<br />
Zehntelspunkten der Stützweite L sind in Tabelle 8.1 angegeben.
166<br />
Tabelle 8.1 <strong>Beanspruchung</strong> des Dachverbandes durch Windlasten qy und<br />
Stabilisierungslasten qS<br />
x<br />
�<br />
L<br />
� x qy qS qy + qS Qy QS Qy + QS<br />
[-] [cm] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [kN] [kN] [kN]<br />
0 0 0,4 -0,630 -0,230 4,00 -0,47 3,53<br />
0,1 200 0,4 -0,610 -0,210 3,20 0,84 4,04<br />
0,2 400 0,4 -0,273 0,127 2,40 1,76 4,16<br />
0,3 600 0,4 0,162 0,562 1,60 1,87 3,47<br />
0,4 800 0,4 0,503 0,903 0,80 1,18 1,98<br />
0,5 1000 0,4 0,630 1,030 0,00 0,00 0,00<br />
Für die Bemessung des Dachverbandes sind die <strong>Beanspruchung</strong>en aus Windlasten qy<br />
und aus Stabilisierungslasten qS zu überlagern. In Feldmitte wirkt die Stabilisierungslast<br />
in Richtung der Windlast, am Auflager wirkt sie entgegengesetzt. Die max<strong>im</strong>ale<br />
Querkraft <strong>im</strong> Dachverband tritt etwa bei x = 4 m auf. Für die volle Windlast und i = 5<br />
zu stabilisierende Rahmenriegel erhält man<br />
max QVerband = i � (Qy + QS) = 5 � 4,16 = 20,8 kN<br />
Das Anschlußmoment m� zwischen den Rahmenriegeln und der als Drehbettung<br />
wirkenden Dacheindeckung ergibt sich aus dem Produkt der max<strong>im</strong>alen Torsionsverdrehung<br />
max � mit der Federsteifigkeit c�.<br />
max � = �1 - �3 = 0,036 – 0,001 = 0,035 rad<br />
m� = max � � c� = 0,035 � 5 = 0,175 kNm/m<br />
Diese <strong>Beanspruchung</strong> ist deutlich kleiner als das Kontaktmoment mk, welches durch<br />
das Auswandern der Auflast qz auf die Gurtkante bei einer Verdrehung des<br />
Querschnitts übertragen werden kann.<br />
b 0,<br />
18<br />
� q � � 10 � � 0,<br />
90 kNm/m<br />
2 2<br />
mk z<br />
Die Verbindungsmittel zwischen Rahmenriegel und Dacheindeckung brauchen<br />
deshalb nicht für die Übertragung des Anschlußmomentes m� nachgewiesen werden.<br />
Bemessung des Dachverbandes<br />
Die maßgebende <strong>Beanspruchung</strong> der Verbandspfosten und Verbandsdiagonalen ergibt<br />
sich aus der max<strong>im</strong>alen Verbandsquerkraft.<br />
Pfosten: max NP = max QVerband<br />
Diagonalen: max ND = 2 � max QVerband
Modell: Druckstab<br />
max NP = 49,4 kN<br />
max ND = 2 � 49,4 = 69,9 kN<br />
Modell: Biegedrillknickgefährdeter Träger<br />
max NP = 20,8 kN<br />
max ND = 2 � 20,8 = 29,4 kN<br />
Beanspruchbarkeit der Verbandspfosten:<br />
Rohrquerschnitt 88,9 x 3,2, St 37, Knickspannungskurve a<br />
A = 8,62 cm 2 , i = 3,03 cm<br />
�<br />
�<br />
K<br />
K<br />
�<br />
SK i<br />
�<br />
�<br />
�<br />
K<br />
a<br />
500<br />
� � 165,<br />
0<br />
3,<br />
03<br />
165,<br />
0<br />
� � 1,<br />
78<br />
92,<br />
9<br />
�<br />
� �<br />
0,<br />
276<br />
grenz NP = � � A � fy,k = 0,276 � 8,62 � 24 = 57,1 kN<br />
Beanspruchbarkeit der Verbandsdiagonalen:<br />
Rundstahl � 20 als Gewindestange 4.6<br />
Asch = 3,14 cm 2 , Asp = 2,45 cm 2<br />
grenz ND = Asp � fy,k/1,1 = 2,45 � 24/1,1 = 53,5 kN<br />
Ausnutzung der gewählten Querschnitte:<br />
Modell: Druckstab:<br />
max N<br />
grenz N<br />
P<br />
49,<br />
4<br />
�<br />
57,<br />
1<br />
P �<br />
0,<br />
87<br />
max ND<br />
69,<br />
9<br />
� � 1,<br />
31 � 1<br />
grenz N 53,<br />
5<br />
D<br />
Modell: Biegedrillknickgefährdeter Träger:<br />
max N<br />
grenz N<br />
max N<br />
grenz N<br />
P<br />
20,<br />
8<br />
�<br />
57,<br />
1<br />
P �<br />
29,<br />
4<br />
�<br />
53,<br />
5<br />
D �<br />
D<br />
0,<br />
36<br />
0,<br />
55<br />
167<br />
Die Unterschiede in der <strong>Beanspruchung</strong> des Dachverbandes infolge Stabilisierung der<br />
Rahmenriegel bei einer Berechnung am Druckstabmodell <strong>im</strong> Vergleich zu einer<br />
Berechnung am räumlichen Modell des biegedrillknickgefährdeten Trägers sind sehr<br />
groß. Durch die Ermittlung der Stabilisierungslasten mit dem Standardverfahren nach<br />
Gerold bzw. Petersen wird die <strong>Beanspruchung</strong> des Dachverbandes <strong>im</strong> vorliegenden<br />
Beispiel deutlich überschätzt. Eine ausreichende Tragfähigkeit der Verbandsdiagonalen<br />
kann mit dem vereinfachten Druckstabmodell nicht nachgewiesen werden.<br />
Eine genauere Berechnung des vorliegenden räumlichen Biegetorsionsproblems zeigt<br />
aber, daß der Dachverband ausreichend d<strong>im</strong>ensioniert ist.
168<br />
9 Zusammenfassung<br />
In der vorliegenden Arbeit werden die Stabilisierungslasten seitlich gestützter,<br />
vorverformter Träger nach der Biegetorsionstheorie II. Ordnung behandelt.<br />
Untersucht werden biegedrillknickgefährdete Träger, welche durch stabilisierende<br />
<strong>Konstruktionen</strong> kontinuierlich oder in diskreten Punkten seitlich gestützt werden.<br />
Mit dem aus der Differentialgleichung der Wölbkrafttorsion abgeleiteten Ingenieurmodell,<br />
welches als „Ersatzbelastungsverfahren – Biegedrillknicken“ oder kurz EBV-<br />
BDK bezeichnet wird, können Stabilisierungslasten als Funktion der Schnittgrößen<br />
und Verformungen des stabilisierten Trägers berechnet werden. Der den Gleichungen<br />
(5.13a) und (5.13b) für Ersatzlasten qy in Höhe der Querschnittsgurte zugrunde<br />
liegende Ansatz ist die Analogie zwischen reiner Wölbkrafttorsion und Gurtbiegung.<br />
Das EBV-BDK eröffnet die Möglichkeit, die Auswirkungen von Imperfektionen,<br />
elastischen Verformungen und planmäßiger Belastung von seitlich gestützten Trägern<br />
auf die Stabilisierungslasten formelmäßig zu beschreiben. Auf diese Weise wird<br />
zusätzlich zur Schaffung einer Berechnungsmöglichkeit für Stabilisierungslasten auch<br />
ein Beitrag zum Verständnis für den Einfluß einzelner Systemparameter wie Schnittgrößenverläufe,<br />
Drehbettung oder Imperfektionsannahmen geleistet.<br />
Für vorverformte Träger mit gebundener Drehachse am Obergurt und Belastung durch<br />
konstante Normalkraft N und konstantes Biegemoment My werden mit den<br />
Gleichungen (6.38) bis (6.43) und (6.48) bis (6.54) genaue Lösungen für die Berechnung<br />
der Stabilisierungslasten angegeben. Die formelmäßige Aufspaltung der<br />
Stabilisierungslasten in einen Anteil aus Imperfektion und einen Anteil aus elastischer<br />
Verformung zeigt, daß die Torsionsverdrehung � bei Belastung durch<br />
Drucknormalkraft oder negatives Biegemoment mit ungestütztem Druckgurt eine<br />
Vergrößerung der Stabilisierungslasten bewirkt. Das Druckstabmodell nach Gerold<br />
bzw. Petersen, welches die Torsionsverdrehung � bei der Berechnung der Stabilisierungslasten<br />
nicht berücksichtigt, kann für diese Fälle nicht verwendet werden.<br />
Für vorverformte Träger mit gebundener Drehachse am Obergurt und Belastung durch<br />
veränderliche Biegemomentenverläufe wird in Abschnitt 6.3.1 eine Näherungslösung<br />
für die Berechnung der Stabilisierungslasten in Form eines Matrizenverfahrens<br />
bereitgestellt. Die Verformungen des stabilisierten Trägers werden durch Sinusreihen<br />
als Ansatzfunktionen approx<strong>im</strong>iert, deren freie Parameter aus einer Matrizengleichung<br />
berechnet werden können. Da die Bildungsgesetze für die Steifigkeitsmatrizen und<br />
Lastvektoren der Matrizengleichung in Tabelle 6.4 angegeben werden, ist eine<br />
Anpassung der Genauigkeit der Näherungslösung durch die gewählte Anzahl der<br />
Reihenglieder möglich.<br />
Für die <strong>im</strong> Rahmen dieser Arbeit untersuchten Beispiele ist ein max<strong>im</strong>al fünfparametriger<br />
Ansatz ausreichend, um Abweichungen in den berechneten Stabilisierungslasten<br />
von weniger als 5 % <strong>im</strong> Vergleich zu genauen Programmberechnungen
169<br />
zu erhalten. Bei symmetrischen Lastfällen kann diese Genauigkeit schon mit<br />
zweiparametrigen Ansätzen erreicht werden, wodurch die Ableitung von Näherungsformeln<br />
für eine Handrechnung in Abschnitt 6.3.3 ermöglicht wird. Um auch<br />
Systeme mit nachgiebiger seitlicher Stützung berechnen zu können, wird in Abschnitt<br />
6.3.1.5 zusätzlich ein Verfahren angegeben, mit dem die Schubweichheit der<br />
Obergurthalterung näherungsweise berücksichtigt wird, ohne daß die Anzahl<br />
erforderlicher freier Parameter zur Beschreibung der Trägerverformungen erhöht<br />
werden muß.<br />
Für die Ermittlung der Stabilisierungslasten von Trägern, die durch Verbände ausgesteift<br />
werden, wird in Abschnitt 7.2 ein Näherungsverfahren zur Berechnung<br />
kontinuierlich gestützter Träger aus der Literatur auf diskret gestützte Träger<br />
erweitert. Der in Abschnitt 7.3 dokumentierte Vergleich verschiedener<br />
Modellannahmen für aussteifende Verbände zeigt, daß die <strong>Beanspruchung</strong> von<br />
Verbänden mit vier und mehr Verbandsfeldern infolge Stabilisierung in guter<br />
Näherung mit der <strong>Beanspruchung</strong> von kontinuierlichen Schubfeldern mit gleicher<br />
Schubsteifigkeit übereinst<strong>im</strong>mt. Eine Bemessung solcher Verbände kann deshalb mit<br />
den Gleichungen (6.94) und (6.100) des Matrizenverfahrens aus Abschnitt 6.3.1 oder<br />
mit den hergeleiteten Näherungsformeln (6.122) und (6.123) aus Abschnitt 6.3.3 für<br />
die Berechnung der Stabilisierungslasten von Trägern mit kontinuierlicher<br />
schubweicher Obergurthalterung erfolgen.<br />
Die mit Hilfe des EBV-BDK in Abschnitt 6.3.2 durchgeführten Paramterstudien<br />
zeigen, daß die Torsionsverdrehung � von seitlich am Obergurt gestützten Trägern<br />
einen entscheidenden Einfluß auf die Stabilisierungslasten ausübt. Bei Trägern mit<br />
Belastung durch Randmomente und Querlasten qz oder Pz sind die Stabilisierungslasten<br />
in Trägerlängsrichtung stark veränderlich. Eine große Gleichstreckenlast<br />
qz bewirkt große positive Stabilisierungslasten in Feldmitte, große Querkräfte Vz<br />
führen zu großen negativen Stabilisierungslasten in Auflagernähe. Die in der Literatur<br />
häufig vertretene Ansicht, daß ein veränderlicher Biegemomentenverlauf als<br />
Näherung auf der sicheren Seite durch einen konstanten Biegemomentenverlauf mit<br />
gleichem Max<strong>im</strong>alwert ersetzt werden kann, ist nicht richtig, da der Einfluß der<br />
Querlasten in Verbindung mit der Torsionsverdrehung � unberücksichtigt bleibt.<br />
Es wurde in Abschnitt 6.3.2 gezeigt, daß das Druckstabmodell nach Gerold bzw.<br />
Petersen für die Berechnung der Stabilisierungslasten von Trägern ohne Drehbettung<br />
weit auf der unsicheren Seite liegen kann. Bei Trägern mit Drehbettung führen aber<br />
selbst sehr kleine Drehbettungswerte, wie sie durch Stahltrapezprofile erzielt werden,<br />
zu einer sehr starken Reduzierung der Stabilisierungslasten.<br />
Für Träger mit Belastung durch Randmomente und Gleichstreckenlast qz können die<br />
Stabilisierungslasten als Näherung auf der sicheren Seite mit dem Druckstabmodell<br />
nach Gerold berechnet werden, wenn eine Mindestdrehbettung min c� gemäß<br />
Gleichung (6.118) vorhanden ist.<br />
min c� = qz � hS
170<br />
Bei der Untersuchung der Systeme aus Stabilisierungskonstruktion und stabilisiertem<br />
Träger wurden in der vorliegenden Arbeit Imperfektionsannahmen in Form von<br />
einwelligen sinusförmigen oder parabelförmigen Vorkrümmungen in Übereinst<strong>im</strong>mung<br />
mit den geltenden technischen Vorschriften verwendet. Es wurde festgestellt,<br />
daß der Ansatz sinusförmiger Vorkrümmungen je nach betrachtetem Lastfall<br />
bis zu 15 % größere Verformungen und Stabilisierungslasten verursacht, als der<br />
Ansatz parabelförmiger Vorkrümmungen.<br />
Für Belastung durch konstantes Biegemoment My werden in den Abschnitten 6.2.6<br />
und 6.2.7 auch eine Vorverdrehung �0 und eine eigenformaffine mehrwellige<br />
Vorkrümmung v0 als Imperfektionsannahmen diskutiert. Die Fragen, in welchen<br />
Fällen eigenformaffine Vorverformungen des stabilisierten Trägers zu einer<br />
max<strong>im</strong>alen <strong>Beanspruchung</strong> der Stabilisierungskonstruktion führen und welche<br />
Vorverformungsordinaten zur Skalierung der Eigenformen anzusetzen sind, bedürfen<br />
weiterer Klärung.
Anhang<br />
Steifigkeitsmatrizen für das Verbandsmodell 3:<br />
Diskrete Stützung gegen Seil mit Zugkraft S* <strong>im</strong> Abstand zv vom Schubmittelpunkt<br />
Ke,<br />
S*<br />
Ke,<br />
S*<br />
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5<br />
1 � zv<br />
1 � zv<br />
S*<br />
� 4 �<br />
Symmetrie 1 � zv<br />
L<br />
n = 2<br />
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5<br />
2<br />
z v<br />
1 � zv<br />
3 -3 � zV<br />
2<br />
z v<br />
3 -3 � zV<br />
S*<br />
� 4, 5�<br />
Symmetrie 1 � zv<br />
L<br />
n = 3<br />
2<br />
z v<br />
3 � 2 z v<br />
3 � 2 z v<br />
2<br />
z v<br />
2<br />
z v<br />
171
172<br />
Ke,<br />
S*<br />
Ke,<br />
S*<br />
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5<br />
0,479<br />
1,730<br />
3,274<br />
S*<br />
� 10 �<br />
Symmetrie<br />
L<br />
4,525<br />
-0,479<br />
� zv<br />
0,479<br />
2<br />
� zv<br />
-1,730<br />
� zv<br />
1,730<br />
2<br />
� zv<br />
-3,274<br />
� zv<br />
3,274<br />
2<br />
� zv<br />
-4,525<br />
� zv<br />
4,525<br />
2<br />
� zv<br />
v1 v2 v3 v4 v5 �1 �2 �3 �4 �5<br />
0,402<br />
-0,402<br />
� zv<br />
1,5 -1,5� zv<br />
S*<br />
� 12 �<br />
Symmetrie 5,598<br />
L<br />
3 -3� zv<br />
4,5 -4,5� zv<br />
0,402<br />
2<br />
� zv<br />
n = 5<br />
1,5�<br />
2<br />
zv<br />
3<br />
2<br />
� zv<br />
n = 6 4,5<br />
2<br />
� zv<br />
-5,598<br />
� zv<br />
5,598<br />
2<br />
� zv
Literaturverzeichnis<br />
Vorschriften:<br />
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Teil 1: Bemessung und Konstruktion<br />
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173<br />
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[3] DASt-Ri 103 (11.93): Nationales Anwendungsdokument, Richtlinie zur<br />
Anwendung von DIN V ENV 1993 Teil 1-1 (Eurocode 3)<br />
[4] DIN 4114: <strong>Stahlbau</strong>, Stabilitätsfälle (Knickung, Kippung, Beulung),<br />
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und <strong>Stahlbau</strong> 42 (1973), Heft 5, S. 129-138<br />
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Band 31 der THD-Schriftenreihe Wissenschaft und Technik, 1986, Darmstadt<br />
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Traglasten von ebenen Stabwerken mit I-förmigen Querschnitten. <strong>Stahlbau</strong> 57<br />
(1988), Heft 8, S. 229-236
175<br />
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[47] Lindner, J.: Der Einfluß von Eigenspannungen auf die Traglast von I-Trägern.<br />
<strong>Stahlbau</strong> 43 (1974), Heft 2, S. 39-45 und Heft 3, S. 86-91
[48] Lindner, J.: Traglastkurven für I-Träger, die durch außermittige Querlasten<br />
beansprucht werden. <strong>Stahlbau</strong> 43 (1974), Heft 10, S. 307-313<br />
[49] Lindner, J., Kurth, W.: Biegedrillknickversuche an querbelasteten Walzträgern.<br />
Bauingenieur 53 (1978), S. 373-377<br />
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[51] Lindner, J., Schmidt, J.-S.: Biegedrillknicken von I-Trägern unter<br />
Berücksichtigung wirklichkeitsnaher Lasteinleitung. <strong>Stahlbau</strong> 51 (1982), Heft<br />
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[52] Lindner, J., Gietzelt, R.: Stabilisierung von Biegeträgern mit I-Profil durch<br />
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[53] Lindner, J., Gietzelt, R.: Imperfektionsannahmen für Stützenschiefstellungen.<br />
<strong>Stahlbau</strong> 53 (1984), Heft 4, S. 97-101<br />
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<strong>Stahlbau</strong> 54 (1985), Heft 12, S. 369-374<br />
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[61] Lindner, J.: <strong>Stahlbau</strong>. In: Hütte Taschenbücher der Technik, Bautechnik,<br />
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1993, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg
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[63] Lindner, J., Scheer, J., Schmidt, H.: <strong>Stahlbau</strong>ten, Erläuterungen zu DIN 18800<br />
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[65] Meister, J.: Rahmennachweise nach DIN 18800. <strong>Stahlbau</strong> 60 (1991), Heft 1,<br />
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