4 Funktionen und Gleichungen - CeVis

4 Funktionen und Gleichungen 66
4 Funktionen und Gleichungen
Funktionen sind ganz grundlegende Objekte der Mathematik und
nehmen daher auch im Schulunterricht einen breiten Raum ein.
Normalerweise wird bei Funktionen der Zuordnungsaspekt herausgestellt,
dass also gewissen mathematischen Objekten (meistens
Zahlen) andere mathematische Objekte zugeordnet werden. In den
vorhergehenden Kapiteln haben wir mit den geometrischen
Abbildungen ebenfalls Funktionen kennen gelernt. Hier waren die
mathematischen Objekte Punkte (Kapitel 2) bzw. Vektoren (Kapitel 3).
4.1 Grundbegriffe
Ordnet man den Elementen einer ersten Menge M1 ganz allgemein
Elemente einer zweiten Menge M2 zu, so spricht man von einer
Relation zwischen den Mengen M1 und M2. Eine Funktion stellt eine
Zuordnung zwischen zwei Mengen dar. Funktionen sind nun spezielle
Relationen.
Definition 4.1 (Funktion)
Eine Funktion f ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem
Element der einen Menge (Eingangsgröße, unabhängige Variable, x-
Wert) genau ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße,
abhängige Größe, y-Wert) zuordnet.
Definition 4.2 (Definitionsmenge)
Die Menge aller Elemente, denen durch die Funktion f ein Element
zugeordnet wird, heißt Definitionsmenge D der Funktion f.
Ist die Funktion durch einen Rechenterm in x gegeben, so verstehen
wir unter der Definitionsmenge alle Zahlen, die für x eingesetzt
werden dürfen.
Definition 4.3 (Wertemenge)
Die Wertemenge W einer Funktion f bezeichnet die Menge der
Elemente, die bei f als zugeordneter Wert auftauchen.
Ist die Funktion durch einen Rechenterm in x gegeben, so sind die
Elemente der Wertemenge diejenigen Zahlen, die wir beim Einsetzen
von x erhalten.

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Beispiel:
Ist der Rechenterm
D = ! \ 0
1
gegeben, so ist die Definitionsmenge
2
x
{ } , da der Term für 0 nicht definiert ist. Die Wertemenge der
so gegebenen Funktion ist W = ! + , denn nur positive Zahlen tauchen
als Ergebnis der Rechnung auf.
Wird die Definitionsmenge mit D bezeichnet und die zweite Menge, in
der die zugeordneten Elemente liegen, mit M, so ist eine ausführliche
Schreibweise:
" D ! M
f : #
$ x ! y
Dafür, dass y das Element ist, dass x durch f zugeordnet wird, schreibt
man auch y = f (x) .
Sprechweise: „x wird abgebildet auf y “ oder
„x wird abgebildet auf f(x)“
Definition 4.4 (Umkehrfunktion)
Die Umkehrung einer Funktion ist die Zuordnung, die jedem Element
der Wertemenge sein(e) Urbildelement(e) (Element(e) der Definitionsmenge)
zuordnet.
Ist diese Umkehrung wieder eine Funktion, d.h. auch in der
Umkehrung ist die Zuordnung eindeutig, so spricht man von der
Umkehrfunktion.
Beispiel
# ! ! !
Die Funktion f sei gegeben durch f : $
% x " 3x " 2
Sie hat die Umkehrfunktion f !1 ! " !
:
y " 1
#
%
$ 2
% y !
& 3 3
Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, lösen wir die Gleichung
y = f (x) nach x auf.
Nicht jede Funktion ist umkehrbar, denn die Umkehrung ist nur dann
eine Funktion, wenn jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird.
Daher kann eine Funktion nur dann umgekehrt werden, wenn keiner
der Funktionswerte mehrmals auftaucht. Nur dann existiert zu jedem y
auch nur ein x-Wert.
Die Definitionsmenge ist für die Eigenschaften einer Funktion von
Bedeutung. Schränken wir bei der quadratischen Funktion x ! x2 den

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Definitionsbereich D so ein, dass nur positive Zahlen für x eingesetzt
werden, so ist die Funktion umkehrbar, da jedem Element des
Wertebereichs W auch nur ein Element des Definitionsbereichs D
zugeordnet wird.
Graphische Darstellung von Funktionen
Neben der rein algebraischen Definition von Funktionen durch einen
Term kann man eine Zuordnungsvorschrift auch durch andere
Möglichkeiten angeben. Sehr anschaulich und das Verständnis
fördernd ist eine grafische Darstellung. Dazu sind mehrere Arten
üblich.
4.1.1 Mengendiagramm
Ein Beispiel eines Mengendiagramms einer Funktion sieht so aus:
Abb. 4.1: Beispiel eines Mengendiagramms einer Funktion
Verschiedenen Personen (A, B, C und D) haben jeweils ein Haustier.
Jeder Person kann also ein Haustier zugeordnet werden. Hätte eine
Person mehrere Haustiere, wäre die Zuordnung keine Funktion.
Allerdings dürfen Elemente der Wertemenge mehreren Elementen der
Definitionsmenge zugeordnet sein; Funktionswerte können mehrfach
angenommen werden.
Eine Darstellung mit dem im Beispiel verwendeten Venn-Diagramm
bietet sich nur an, wenn die Definitionsmenge wenige Werte enthält.
Häufig ist die Definitionsmenge jedoch die Menge ! der reellen
Zahlen, ein Intervall etc. Dann bietet sich folgende Darstellung an.
4.1.2 Graph einer Funktion im Koordinatensystem
Abbildung 4.2 zeigt den Graphen einer Funktion f. Die Elemente der
Definitionsmenge werden dabei auf der waagerechten x-Achse
(Abszisse) aufgetragen, die zugeordneten Funktionswerte der Wertemenge
auf der senkrechten y-Achse (Ordinate).

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Abb. 4.2: Graph einer Funktion f
Am Graphen einer Zuordnung kann man sehr gut ablesen, ob die
Funktionseigenschaft erfüllt ist, ob also jedem x-Wert genau ein y-
Wert zugeordnet wird. Jede Parallele zur Ordinate muss den Graphen
dabei genau einmal schneiden.
Abbildung 4.3 zeigt einen Kreis als Beispiel für den Graphen einer
Relation, die keine Funktion ist. Hier gibt es x-Werte, denen zwei y-
Werte zugeordnet werden.
Abb. 4.3: Kein Graph einer Funktion
4.1.3 Darstellung mit zwei parallelen Skalen
Eine dritte Möglichkeit ist gegeben, wenn wir zwei Skalen (eine
Definitionsmengen-Skala und eine Wertemenge-Skala) parallel
zueinander aufzeichnen. Mit Pfeilen werden den Elementen (oder
ausgewählten Beispielelementen) der Definitionsmenge die Elemente
der Wertemenge zugeordnet.
Ein Beispiel zeigt Abbildung 4.4.
Abb. 4.4: Darstellung einer Zuordnung mit Hilfe zweier Skalen

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Eine besondere Stärke zeigt diese Darstellung in Verbindung mit
dynamischer Geometriesoftware. Wir können einen Pfeil dabei
bewegen, um somit besondere Eigenschaften von Zuordnungsvorschriften
zu beobachten. Dazu bewegen wir einen Punkt auf der
Definitionsmengen-Skala so, dass sich der zugehörige Punkt mit dem
Pfeil auf der Wertemengen-Skala bewegt.
Abb. 4.5: Darstellung der Funktion f (x) = 0,5x2 ! x + 1,2 mit Hilfe
von zwei Skalen
4.2 Grundaufgaben
Für das Arbeiten mit den in der Schule üblichen Funktionen sind vier
Grundaufgaben herauszuheben, die den Umgang mit Funktionen und
ihren Graphen im Koordinatensystem festigen.
4.2.1 Berechnen eines Funktionswertes
Gegeben ist eine Funktion über ihren Term und eine Stelle x im
Definitionsbereich. Gesucht ist die zugeordnete Zahl y.
Um einen Funktionswert zu berechnen, setzen wir die gegebene
Variable x in die Funktionsgleichung ein und erhalten den Wert y.
Wichtig ist an dieser Stelle, zu verstehen, was die Schreibweise f(x)
bedeutet. Der Funktionswert f(x) ergibt sich, indem ich in die
Funktionsgleichung den gewünschten x-Wert einsetze. Ich erhalte
somit einen Punkt, der auf dem Graphen dieser Funktion liegt.
Allgemein wird der Punkt auf einem Graphen geschrieben als P(x/f(x))
oder P(x,y), wobei sich der y-Wert durch den Funktionswert ergibt.
Beispiel
1) Berechne den Funktionswert an der Stelle x = 4 der Funktion
f (x) = 0,5x2 ! 3.
Lösung: Wir berechnen f(4), indem 4 für x in den Term eingesetzt
wird:
f (4) = 0,5! 42 " 3 = 5.
Der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x = 4 ist f (4) = 5.

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Übertragen wir die Funktionsvorschrift in ein Koordinatensystem,
wissen wir, dass der Punkt P(4;5) auf
dem Graphen liegt.
Die grafische Lösung besteht darin,
dass man von x = 4 senkrecht nach oben
bis zum Funktionsgraph geht. Zu
diesem Punkt auf dem Funktionsgraph
liest man waagerecht auf der y-Achse
den Funktionswert ab.
2) Wir haben folgende Funktionen:
g(x) = 2x + 4
h(x) = x 2 ! 5
Berechne g(h(x)) an der Stelle x = !2 .
Lösung: Wir berechnen
g(h(!2)) = g((!2)2 ! 5) = g(!1) = 2 " (!1) + 4 = 2
4.2.2 Berechnen eines x-Wertes
Andersherum gibt es Aufgaben, bei denen zu einer gegebenen
Funktion der Funktionswert gegeben ist. Der zugehörige x-Wert ist
gesucht bzw. die zugehörigen x-Werte, denn es kann ja sein, dass bei
dieser umgekehrten Fragestellung mehrere Ausgangswerte auf einen
Wert abgebildet werden.
Beispiel
Berechnen Sie zur Funktion f mit
f (x) = 2x ! 6 die Stelle x, für die
f (x) = 2 gilt.
Lösung: Wir stellen eine Gleichung
auf, in der der gegebene Funktionsterm
mit dem gegebenen Funktionswert
gleich gesetzt wird.
f (x) = 2x ! 6 = 2 +6
" 2x = 8 : 2
" x = 4
Die Lösungen der Gleichung sind die
gesuchten Stellen.
Die grafische Lösung besteht darin,
dass man auf der senkrechten Achse beim gegebenen Wert startet und
waagerecht Schnittpunkte mit dem Funktionsgraph sucht. Zu diesen
liest man die x-Koordinate ab, d.h. man läuft von den Punkten
senkrecht nach unten/oben zur x-Achse.

4 Funktionen und Gleichungen 72
Eine besondere Aufgabe dieser Art ist das Suchen von Nullstellen.
Dabei werden genau die Stellen auf der x-Achse gesucht, an denen der
Graph der Funktion f(x) die x-Achse berührt oder sie schneidet.
Definition 4.5 (Nullstelle)
Ein Element x der Definitionsmenge D einer Funktion f heißt
Nullstelle von f, wenn f (x) = 0 gilt.
Bei der Suche nach Nullstellen berechnen wir also die x-Werte der
Funktion, für die f (x) = 0 gilt. Nullstellen sind genau die x-
Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse.
Beispiel
Bestimme die Nullstellen der Funktion f (x) = x2 ! 4 .
Lösung: Wir berechnen die Stellen, für die f (x) = 0 gilt:
f (x) = x 2 ! 4 = 0
" x 2 = 4
" x = 2 # x = !2
Die Funktion f (x) = x2 ! 4 hat also die Nullstellen
x = 2 und x = !2 . Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse an den
Stellen 2 und –2. Demnach liegen die Punkte P1(2/0) und P2(-2/0) auf
dem Graphen der Funktion.
4.2.3 Prüfen eines Zuordnungsbeispiels
Die dritte Grundaufgabe begegnet einem oft in der grafischen
Formulierung: liegt ein Punkt auf dem Graph einer Funktion oder
verläuft ein Graph durch einen Punkt? Analytisch bedeutet die Frage,
ob ein Zuordnungsbeispiel für eine gegebene Funktion erfüllt ist.
Beispiel
Liegt der Punkt Q(3/2) auf dem
Graphen der Funktion f (x) = !2x + 8 ?
Um dies zu prüfen, setzen wir den x-
Wert in die Funktionsgleichung ein und
überprüfen, ob der gegebene
Zuordnungswert mit dem berechneten
Zuordnungswert übereinstimmt:
f (3) = !2 " 3+ 8 = 2
Wir können also sehen, dass f (3) = 2 gilt und haben damit gezeigt,
dass der Punkt Q(3/2) auf dem Funktionsgraphen liegt.

4 Funktionen und Gleichungen 73
Liegt ein zu überprüfender Punkt nicht auf dem Funktionsgraphen,
können wir schnell entscheiden, ob dieser Punkt über oder unter dem
Graphen liegt.
Beispiel
Liegt der Punkt R(2/1) auf dem Graphen der Funktion
f (x) = 0,5x2 ! 4 ?
Zunächst setzen wir wieder den x-Wert in die Funktionsgleichung ein
und erhalten:
f (2) = 0,5! 22 " 4 = 2 " 4 = "2 .
Der Punkt R(2/1) liegt
also nicht auf dem
Graphen der Funktion. Da
der erhaltene Funktionswert
kleiner ist als die y-
Koordinate des Punktes
R, liegt der Punkt R über
dem Graphen der
Funktion.
4.2.4 Berechnen der Schnittpunkte für zwei
Funktionsgraphen
Die vierte Grundaufgabe beschäftigt sich mit der Frage, in welchen
Punkten sich die Graphen zweier Funktionen schneiden, d.h. welche
Punkte die beiden Funktionsgraphen gemeinsam haben. Diese
geometrisch formulierte Aufgabe bedeutet analytisch, die
Zuordnungsbeispiele x ! y zu finden, die gleichzeitig von beiden
Funktionen erfüllt werden.
Dazu lösen wir die beiden Gleichungen wie ein normales
Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen x und y
auf. Es bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an.
Beispiel
In welchem Punkt schneiden sich die Funktionsgraphen der
Funktionen f(x) und g(x) mit f (x) = 2x ! 4 und g(x) = !0,5x + 6 ?
Da beide Funktionswerte f(x) und g(x) gleich sein sollen, führt das
direkt zur Gleichung 2x ! 4 = !0,5x + 6 . Diese lösen wir nach x auf
und erhalten die x-Koordinate des gemeinsamen Punktes. Die y-
Koordinate bestimmen wir, indem wir die berechnete x-Koordinate in

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wenigstens einen Funktionsterm einsetzten. Zur Probe bietet es sich
an, x auch noch in den anderen Term einzusetzen.
2x ! 4 = !0,5x + 6 +0,5x
" 2,5x ! 4 = 6 +4
" 2,5x = 10 : 2,5
" x = 4
Einsetzen in f(x) ergibt
f (4) = 2 ! 4 " 4 = 4 .
Überprüfung: g(4) = !0,5" 4 + 6 = 4 .
Der Punkt P(4/4) ist also der Schnittpunkt
der beiden Funktionsgraphen.
In diesem Lösungsverfahren gehen
natürlich die grafische Darstellung und die analytische Rechnung Hand
in Hand. So führen quadratische Funktionen auf quadratische
Gleichungen, bei denen zwei, eine oder keine Lösung auftreten
können. Das korrespondiert mit der Zeichnung, in der dann zwei, ein
oder kein Schnittpunkt vorhanden sind.
In den nachfolgenden Abschnitten wollen wir uns mit speziellen
Funktionen beschäftigen, die insbesondere für die Schule wichtig sind.
4.3 Lineare Funktionen
Bei linearen Funktionen kommt in der Funktionsgleichung die
Variable x in der ersten Potenz vor. Die Graphen von linearen
Funktionen sind Geraden.
Definition 4.6 (Lineare Funktion)
Unter einer linearen Funktion versteht man eine Funktion f mit dem
Definitionsbereich D = ! , deren Funktionsgleichung sich auf die
Form
f (x) = mx + b
bringen lässt; dabei heißt der Parameter m die Steigung der Geraden
und der Parameter b der y-Achsenabschnitt. Man spricht hier auch
von der y-Achsenabschnittsform.
Bemerkung
Unter einem Parameter versteht man eine Variable, die bei einer
konkreten Anwendung als fest gewählt angesehen wird. Für den
Zuordnungscharakter einer Funktion variiert man x, um so

4 Funktionen und Gleichungen 75
verschiedene Zuordnungsbeispiele zu bekommen. m und b sind in
diesem Fall konstant. Weiterhin kann man dann aber fragen, wie sich
eine Veränderung von m oder b auf den Funktionsgraphen auswirkt.
Hat man diese Abhängigkeiten ebenfalls im Blick, spricht man bei
f (x) = mx + b von einer Funktionenschar mit den beiden
Scharparametern m und b.
4.3.1 Verschiedene Formen der Geradengleichung
Die y-Achsenabschnittsform der Geraden ist in Abb. 4.7 a) skizziert.
Die Steigung m erhält man mittels eines Steigungsdreiecks als
m = !y
!x ,
wobei !x der Abstand zweier x-Werte und !y der Abstand der
zugehörigen Funktionswerte ist.
Weitere Formen
Neben der häufig anzutreffenden y-Achsenabschnittsform kann man
die Gleichung einer linearen Funktion auch anders parametrisieren
(Abb. 4.7 b)-d)). Wir unterscheiden die folgenden Formen:
a) b)
y-Achsenabschnittsform x-Achsenabschnittsform
c) d)
Achsenabschnittsform Zwei-Punkte-Form

4 Funktionen und Gleichungen 76
e)
Punkt-Steigungsform
Abb. 4.7: Fünf Formen der Geradengleichung und die dabei
auftretenden Parameter.
• x-Achsenabschnittsform (Abb. 4.7 b)): Gegeben sind die
Steigung m der Geraden und der Schnittpunkt a mit der x-Achse.
Dann ist die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion
y = m(x ! a) .
• Achsenabschnittsform (Abb. 4.7 c)): Gegeben sind die beiden
Achsenabschnitte a und b. Dann ist die Gleichung der
zugehörigen linearen Funktion
x y
+ = 1.
a b
Die Achsenabschnittsform kann nur zur Beschreibung
herangezogen werden, falls die Gerade nicht durch den Ursprung
verläuft.
• Zwei-Punkteform (Abb. 4.7 d)): Sind P(p1,p2) und Q(q1,q2) zwei
nicht identische Punkte der Geraden, so lässt sich die lineare
Funktion durch
y ! p 2 = q 2 ! p 2
q 1 ! p 1
(x ! p 1 )
q ! p 2 2
beschreiben. Der Bruch ist die Berechnung der Steigung
q ! p 1 1
über den Differenzenquotienten.
• Punkt-Steigungsform (Abb. 4.7 e)): Liegt der Punkt P(p1,p2) auf
einer Geraden mit der Steigung m, so lässt sich die Funktionsgleichung
wie folgt bestimmen:
y ! p 2 = m(x ! p 1 )

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4.3.2 Lineare Gleichungen
Gleichungen, die der Form einer linearen Funktionsgleichung
entsprechen, können wie im Beispiel (2. Grundaufgabe) gelöst werden.
Beispiel
4x ! 2 + x ! 7 = 3! 3x + 12
" 5x ! 9 = 15 ! 3x +3x
" 8x = 24 +9
" x = 3 :8
Lineare Gleichungen kann man als Suche nach der Ausgangsgröße x
bei gegebenen Funktionswert y auffassen. Ist die Steigung ungleich
Null, so besitzt die Gleichung immer eine Lösung. Dies können wir
uns überlegen, wenn wir den Funktionsgraphen linearer Funktionen
betrachten. Bei einer Geraden tritt jedes Element des Wertebereiches
genau einmal auf und hat somit auch genau einen zugehörigen x-Wert.
4.4 Quadratische Funktionen
Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen enthalten die Variable
x höchstens in der zweiten Potenz. Die Graphen von quadratischen
Funktionen sind Parabeln, die verschoben, gespiegelt und gestreckt
sein können.
Definition 4.7 (Quadratische Funktion)
Unter einer quadratischen Funktion versteht man eine Funktion f mit
dem Definitionsbereich D = ! , deren Funktionsgleichung sich auf die
Normalform
f (x) = ax2 + bx + c
bringen lässt; dabei sind a, b und c reelle Parameter, a ! 0 , damit der
quadratische Anteil nicht verschwindet.
Definition 4.8 (Normalparabel)
Der Graph der Funktion f mit f (x) = x2 heißt Normalparabel.

4 Funktionen und Gleichungen 78
Abb. 4.8: Die Normalparabel
Scheitelpunktform
Neben der Normalform gibt es die sog. Scheitelpunktform der
Parabel, an der man die Eigenschaften des zugehörigen
Funktionsgraphen besser ablesen kann.
Definition 4.9 (Scheitelpunktform)
Die Scheitelpunktform der Parabel ist die Gleichung einer
quadratischen Funktion f, die durch
f (x) = a(x ! x s )2 + y s
gegeben ist; dabei ist a ein reeller Parameter und xs und ys die x- bzw.
y-Koordinate des Scheitelpunktes S.
Abb. 4.9: Funktionsgraphen quadratischer Funktionen mit dem
Scheitelpunkt S(xs/ys) und einer Veränderung des Parameters a.
Für a < 1 wir die Normalparabel gestaucht, für a > 1 wird sie
gestreckt.

4 Funktionen und Gleichungen 79
Ist der Parameter a negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
Nullstellenform
Außerdem gibt es die Nullstellenform einer quadratischen Funktion.
Dabei können wir die Funktionsgleichung mit Hilfe der Nullstellen
ermitteln.
Definition 4.10 (Nullstellenform)
Die Nullstellenform der Parabel ist die Gleichung einer quadratischen
Funktion f, die durch
f (x) = a(x ! x 1 )(x ! x 2 )
gegeben ist; dabei ist a ein reeller Parameter und x1 und x2 sind die
Stellen, an denen der Funktionsgraph die x-Achse schneidet
(Nullstellen).
Beispiel
Eine quadratische Funktion mit den Nullstellen x1 = !1 und x = 3,5 2
hat die Funktionsgleichung
f (x) = a(x + 1)(x ! 3,5) = a(x2 ! 2,5x ! 3,5) .
Quadratische Funktionen können keine, eine oder zwei Nullstellen
besitzen (siehe Abb. 4.10).
Abb. 4.10: Graphen quadratischer Funktionen mit
keiner (grün), einer (rot) und zwei (blau) Nullstellen

4 Funktionen und Gleichungen 80
4.4.1 Lösen quadratischer Gleichungen
Für das Lösen von Gleichungen, in der die gesuchte Variable
quadratisch vorkommt, sind zwei Verfahren üblich.
Quadratische Ergänzung
Die Quadratische Ergänzungist eine Termumformung, so dass ein
vollständiges, quadratisches Binom entsteht. Allgemein basiert das
Verfahren auf folgender Überlegung:
x 2 + 2ax = x 2 + 2ax + a 2
! ## " ## $ ! a2
( x+ a) 2
Beispiel
x 2 ! 6x = 16 (quadratische Ergänzung)
" x 2 ! 6x + 9 = 16 + 9
" (x ! 3) 2 = 25
" x ! 3 = 5 # x ! 3 = !5
{ }
" x = 8 # x = !2 L = !2;8
Quadratische Gleichungen können
keine, eine oder zwei Lösungen
haben. Betrachten wir als Beispiel
die Normalparabel als Graph einer
quadratischen Funktion, so sehen
wir, dass es Parallelen zur x-Achse
gibt, die den Graphen zweimal aber
auch keinmal schneiden. Am
Scheitelpunkt wird der Graph
genau einmal geschnitten.
Mit Hilfe der Quadratischen
Ergänzung können wir auch von
der Normalform
y = ax2 + bx + c
der quadratischen Funktion zur
Scheitelpunktsform
y = a(x ! x s )2 + y s kommen, so dass wir die Koordinaten des
Scheitelpunktes ablesen können.
Hierzu klammern wir zunächst den Koeffizienten a aus
y = a(x 2 + b
x) + c
a
führen in der Klammer eine quadratische Ergänzung durch
y = a(x 2 + b b b
x + ! ) + c ,
a
2a
2a
um nach Bildung des Quadrats und Ausmultiplizieren auf die
gewünschte Gleichung zu kommen.

4 Funktionen und Gleichungen 81
Beispiel
y = 2x 2 ! 12x + 13
" y = 2(x 2 ! 6x) + 13
" y = 2(x 2 ! 6x + 9 ! 9) + 13
" y = 2((x ! 3) 2 ! 9) + 13
" y = 2(x ! 3) 2 ! 18 + 13
" y = 2(x ! 3) 2 ! 5 # S(3 / !5)
p-q-Formel
Dazu wird eine quadratische Gleichung in die Form x2 + px + q = 0
umgeformt. Dann können wir sie mit Hilfe der vorgefertigten
Lösungsformel „p-q-Formel“ lösen. Es gilt
x = ! p
2 ±
" p%
#
$ 2 &
'
2
! q .
Ist der Radikand > 0, so ergeben sich für x zwei reelle Lösungen.
p
Ist der Radikand = 0, so gibt es nur eine Lösung für x ( x = !
2 ).
Ist der Radikand < 0, ergibt sich keine reelle Lösung für x.
Beispiel
1) 2x 2 ! 12x = 32
" x 2 ! 6x ! 16 = 0 ( p = !6, q = !16)
" x = 6
2 ±
# 6&
$
% 2'
(
= 3 ± 25
= 3 ± 5
2
+ 16
{ }
) x = 8 * x = !2 L = !2;8
2) x 2 + 4x + 4 = 0 ( p = 4, q = 4)
x 1,2 = ! 4
2 ±
= !2 ± 0
" 4%
#
$ 2&
'
2
! 4
{ }
( x = !2 L = !2

4 Funktionen und Gleichungen 82
4.5 Potenzfunktionen und Wurzeln
Eine Funktion der Form f (x) = axn mit n !!* , a !" ist eine
Potenzfunktion (n-ten Grades), d.h. eine Funktion, deren
Termdarstellung eine Potenz der unabhängigen Variablen ist. Der
Exponent n bestimmt den Grad der Potenzfunktion und der Faktor a
die Form des Graphen.
Beispiele
Abb. 4.11: Beispiele für Potenzfunktionen: f (x) = x3 ,
g(x) = x!2 = 1
und h(x) = 0,2x3
2
x
4.5.1 Lösen kubischer Gleichungen
Die allgemeine Funktion dritten Grades hat die Form:
f (x) = Ax3 + Bx 2 + Cx + D mit A, B,C, D !!, A " 0 .
Um eine Gleichung dritten Grades zu lösen (um zum Beispiel
Nullstellen zu bestimmen), können wir uns der Cardanoschen
Formel bedienen.
Genau genommen dient die Cardanosche Formel zur Lösung
reduzierter Gleichungen dritten Grades. Darunter versteht man
Gleichungen der Form x3 + px + q = 0 . Eine allgemeine kubische
Gleichung der Form Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 0 kann durch einige
Umformungsschritte in die reduzierte Form gebracht werden.
Division durch A liefert die Normalform: x 3 + ax 2 + bx + c = 0

4 Funktionen und Gleichungen 83
Durch die Substitution x = z ! a
erhält man eine kubische
3
Gleichung mit der Unbekannten z, bei der aber (im Unterschied
zur Originalgleichung) das quadratische Glied fehlt:
z ! a " %
#
$ 3&
'
3
+ a z ! a " %
#
$ 3&
'
( z 3 + pz ! q = 0
mit p = b ! a2
3
2
und q = ab
3
+ b z ! a " %
#
$ 3&
' + c = 0
! 2
27 a3 ! c.
Graphisch bedeutet das, dass der Wendepunkt des Funktionsgraphen
auf die Ordinate verschoben wird (siehe Abb. 4.12).
Abb. 4.12: Verschiebung des Wendepunktes
durch Eliminierung des quadratischen Glieds.
Diese reduzierte Form der kubischen Gleichung kann nun mit der
cardanoschen Lösungsformel gelöst werden:
z = q
2 +
! q$
"
# 2%
& + p3
3 +
27
q
2 ' 3
2
! q$
"
# 2%
&
2
+ p3
27
Durch Rücksubstitution erhalten wir x mit x = z ! a
3 .
Die so ermittelte Lösung für z ist nur richtig, wenn unter der inneren
Quadratwurzel eine positive Zahl steht, also
! p$
"
# 2 %
&
2
+ p3
27
! p$
=
"
# 2 %
&
2
+ p ! $
"
# 3 %
&
3
> 0

4 Funktionen und Gleichungen 84
Dann hat die Gleichung jedoch nur eine Lösung, nämlich die hier
angegebene.
Ist
! p$
"
# 2 %
&
2
+ p3
27
! p$
=
"
# 2 %
&
2
+ p ! $
"
# 3 %
&
3
= 0 , so ist die Lösung für z offenbar
z = 2 q 3 . Dann existiert eine weitere, doppelte Nullstelle mit
2
z = ! q 3 . Den Fall, dass eine kubische Gleichung drei verschiedene,
2
reelle Nullstellen hat, war für Cardano und die Mathematiker des 16.
Jahrhunderts nicht lösbar („casus irreducibilis“), da man in den
Zwischenrechnungen mit komplexen Zahlen rechnen muss.
Beispiel
Wir wollen die Gleichung x 3 + 9x 2 + 31x + 19 = 0 lösen.
9
Nun Substituieren wir ( x = z ! = z ! 3) und erhalten die Gleichung
3 z3 + pz + q = 0 mit
92
p = 31!
3
= 31! 27 = 4
31!9 2
und q = "
3 27 !93 " 19 = 93" 54 " 19 = 20 .
Einsetzen in die Gleichung ergibt:
z = 20 202 43
3 + + +
2 4 27
20 3
2
3 3
" 10 + 10,12 + 10 ! 10,12
3 3
= 20,12 + !0,12
" 2,23
Rücksubstitution:
! 202
4
x = z ! a
9
" x = 2,23 ! = !0,77
3 3
+ 43
27
Graphen Funktionen dritten Grades haben mindestens eine und
höchstens drei Nullstellen (siehe die nachfolgenden Beispiele in
Abbildung 4.13).

4 Funktionen und Gleichungen 85
Abb. 4.13: Graphen Funktionen 3. Grades mit einer (blau), zwei
(rot) und drei (grün) Nullstellen
Die Nullstelle eines Graphen einer Funktion dritten Grades, die
insgesamt zwei Nullstellen besitzt, die am Extrempunkt liegt, nennt
man doppelte Nullstelle.
4.5.2 Lösen von Gleichungen vierten Grades
Für eine Funktion vierten Grades ergibt sich folgende allgemeine
Funktionsgleichung:
f (x) = Ax4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E .
Im obigen Stil gibt es auch für Gleichungen vierten Grades ein
Verfahren, das aus den gegebenen Koeffizienten der Gleichung nach
vielen Schritten die exakte Lösung bestimmt. Diese sogenannte
Formel von Ferrari liefert die genauen Lösungen, ist aber sehr
langwierig und soll deshalb hier nicht weiter behandelt werden.
Wir sollten uns nur bewusst sein, dass Gleichungen vierten Grades
noch exakt lösbar sind, während es eine allgemeine Lösungsformel,
die nur mit den Grundrechenarten und dem Wurzelziehen auskommt,
für Gleichungen höheren Grades ( n > 4 ) nicht gibt.

4 Funktionen und Gleichungen 86
4.5.3 Wurzelfunktionen
Kehren wir Potenzfunktionen um, so erhalten wir die allgemeinen
Wurzelfunktionen.
Beispiel
1) Eine Funktion
! ! !
f :
x " x 3
"
#
$%
hat die Umkehrfunktion
denn
3 3
y = x
3 y = x
! ! !
2) Eine Funktion f :
x " 2x 3 #
$
%& " 2
hat die Umkehrfunktion
f !1 ! " !
:
y " 1
#
%
$
3
% y + 1
& 2
f !1 # % ! " !
: $ 3
&% y " x
y = 2x 3 ! 2 +2
y + 2 = 2x 3 : 2
1
3
y + 1 = x3
2
1 3 y + 1 = x
2
3
Abbildung 4.14 zeigt den Graphen der Funktion f (x) = x
ungradzahligen Wurzeln ergeben einen ähnlichen Verlauf.
1
3 = x . Alle

4 Funktionen und Gleichungen 87
Abb. 4.14: Graph der Funktion
3
f (x) = x
Bei der Darstellung von geradzahligen Wurzeln müssen wir spezielle
Eigenarten beachten. Zum einen sind geradzahlige Wurzelfunktionen
für negative x-Werte nicht definiert und zum anderen muss man sich
für die Darstellung der negativen oder der positiven Wurzel
entscheiden, denn sonst würde es sich um keine Funktion mehr
handeln, da jedem x-Wert zwei Funktionswerte zugeordnet werden
würden.
Die Eindeutigkeit erreicht man dadurch, dass der Definitionsbereich
eingeschränkt wird.
Beispiel
f : ! " $ 0
#
%$ x " x
+ +
! ! 0
Abb. 4.15: Graph der Funktion
f (x) = x
.

4 Funktionen und Gleichungen 88
4.6 Exponentialfunktionen und Logarithmen
Exponentialfunktionen sind Funktionen bei denen die Variable x im
Exponenten steht. Ein einfaches Beispiel ist die Funktion f (x) = 2x
(siehe Abb. 4.16).
Abb. 4.16: Graph der Funktion
f (x) = 2x
Definition 4.11 (Exponentialfunktionen)
Funktionen f mit f (x) = c ! ax , c !!,
nentialfunktionen zur Basis a.
a > 0, x !! nennt man Expo-
Ein Vorgang, der durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden
kann, wird exponentielles Wachstum (für a > 1) bzw. exponentieller
Zerfall (für a < 1) genannt. Exponentialfunktionen nennt man deshalb
bei Anwendungen auch Wachstumsfunktionen (für a > 1) bzw.
Zerfallsfunktionen (für a < 1).
Eigenschaften von Exponentialfunktionen
- Es ist f(x) > 0 für alle x !! ; die Graphen verlaufen stets
oberhalb der Abszisse.
- Die Graphen haben keine Minima, keine Maxima und keine
Nullstellen. Sie weisen auch keine Symmetrieeigenschaften
auf.
- Für a < 1 nähert sich der Funktionsgraph der Abszisse an,
wenn x ! " strebt; für x ! "# wachsen die Funktionswerte
ins Unendliche ( f (x) ! " ). Für a > 1 ist es umgekehrt.
Da jeder Funktionswert bei der Exponentialfunktion genau einmal
vorkommt, können wir auch diese Funktion umkehren. Wir
vertauschen die Variablen und wollen wieder nach y auflösen:

4 Funktionen und Gleichungen 89
x = c ! a y
Um den Ausdruck nach y aufzulösen, müssen wir eine neue Funktion
definieren, die Logarithmusfunktion.
Wir schreiben im einfachsten Fall für c = 1
x = a y ! log a (x) = y
und sprechen „Logarithmus von x zur Basis a“.
Dann ergibt sich für unsere ursprüngliche Gleichung
x = c ! a y |: c
x
c = a y | log
x
log = y a
c
Die nach unten gesetzte Zahl
(Basis) gibt an, zu welcher
Exponentialfunktion der jeweilige
Logarithmus die Umkehrfunktion
ist.
Abbildung 4.17 zeigt zur Funktion
f (x) = ex den Graphen der Um-
kehrfunktion: f !1 (x) = ln x .
Abb. 4.17: Graph der Funktion
f (x) = ln x
Einen Logarithmus y = log (x) erklärt man sich am besten durch die
a
Frage: a hoch wie viel ist gleich x, also a y = x . Will man nun den
Logarithmus numerisch berechnen, so muss man auf die mit dem
Taschenrechner vorgegebenen Logarithmen zurückgreifen. Das sind
der Logarithmus zur Basis 10, abgekürzt durch „lg“ oder „log“ ohne
Index, und zur Basis e, abgekürzt durch „ln“.
4.6.1 Lösen von Exponentialfunktions-Gleichungen
Einige Gleichungen, in der der Exponent die gesuchte Unbekannte ist,
kann man bei glatten Ergebnissen (und Kenntnis von diversen
Potenzen) im Kopf lösen.
Beispiel
3 x = 243 Wenn man weiß, dass 243 = 3 5 ist, so ist die Lösung x = 5
kein Problem.
Im Allgemeinen können wir mit Hilfe einiger Logarithmus-Regeln
Gleichungen lösen, die die Variable im Exponenten haben.

4 Funktionen und Gleichungen 90
Beispiel
3 = 0,5x ! x = log 0,5 3
Da der Taschenrechner nur den Logarithmus einer Zahl zur Basis 10
(oder zur Basis e) rechnen kann, können wir die Ausgangsgleichung
mit dem 10er-Logarithmus logarithmieren und anschließend weiter
umformen:
3 = 0,5 x logarithmieren
! log3 = log0,5 x | Logarithmusgesetz log a b = b·log a
! log3 = x " log0,5 : log0,5
! x = log3
# $1,58
log0,5
4.7 Übungen
Gegeben sind die Funktionen q(x) = 0,5x2 ! 4x + 7 und
g(x) = x ! 1
Berechnen Sie q(3) und g(5,2).
Berechnen Sie q(g(7)).
Berechnen Sie die Stellen x, für die gilt: g(x) = 4,8.
Berechnen Sie die Stellen x, für die gilt: q(x) = 2.
Ermitteln Sie durch quadratische Ergänzung den Scheitelpunkt von q.
Zeichnen Sie auf der Basis der vorangegangenen Berechnungen die
Graphen von q und g.
Liegt der Punkt A(7 ; 3,5) auf dem Graphen von q ?
Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von q und g.
Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(3;1) und hat die
1
Steigung m = ! . Zeichnen Sie die Gerade in ein Achsenkreuz auf der
3
Basis der unmittelbar gegebenen Informationen. Berechnen Sie den
Funktionsterm der Geraden in y-Achsenabschnittsform und überprüfen
Sie das mit Ihrer Zeichnung.
Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(1;-2) und B(7;1). Zeichnen
Sie die Gerade in ein Achsenkreuz auf der Basis der unmittelbar
gegebenen Informationen. Berechnen Sie den Funktionsterm der
Geraden in y-Achsenabschnittsform und überprüfen Sie das mit Ihrer
Zeichnung.
Eine Gerade den x-Achsenabschnitt a = 6 und den y-Achsenabschnitt
b = 2. Zeichnen Sie die Gerade in ein Achsenkreuz auf der Basis der
unmittelbar gegebenen Informationen. Berechnen Sie den
Funktionsterm der Geraden in y-Achsenabschnittsform und überprüfen
Sie das mit Ihrer Zeichnung.

4 Funktionen und Gleichungen 91
Finden Sie zur Funktion k(x) = x3 ! x 2 + 2x ! 8 die Nullstelle mit der
Cardanoschen Formel.