7.2. Bogenlänge ebener Kurven

v´ ( x )
arsinh´ ( v( x ) ) = =
1 + v( x )
2
sinh ( a x + b)
v( x ) = sinh ( a x + b ) , s( x ) =
a
a , arsinh ( v( x ) ) = a x + b
, y( x ) =
cosh ( + )
a x b + c
.
a
Kettenlinien werden also durch den Cosinus hyperbolicus beschrieben, und ihre Länge ebenso wie
ihre Ableitung durch den Sinus hyperbolicus. Bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems liegt
der tiefste Punkt der Kurve im Ursprung (0,0). Sie ist dann gegeben durch
cosh( a x ) − 1
y( x ) =
,
a
ihre Ableitung durch
v( x ) = sinh( a x ) ,
die Bogenlänge durch
sinh( a x)
s( x ) = ,
a
und die Fläche zwischen der Kurve und der Geraden y = − 1
, gemessen von 0 bis x, durch
a
x
⌠ sinh( a x)
F( x) = ⎮ y( t ) dt
=
⌡
0
a 2
.
Fazit: Kettenlinien haben die bemerkenswerte und charakteristische Eigenschaft, daß die
Ableitung, die Fläche unter der Kurve und die Bogenlänge bis auf einen konstanten Faktor
übereinstimmen! Im Falle des Cosinus hyperbolicus ist dieser Faktor 1.
Ein Vergleich zwischen Kettenlinie und Parabel
Bei Hängebrücken kommt zur Traglast das Eigengewicht der Kabel; es tritt also genau genommen
eine Superposition von Parabeln und Kettenlinien auf, wobei die Parabeln allerdings so viel stärker
zu gewichten sind, daß der Anteil der Kettenlinien vernachlässigbar wird. Es entstehen folgende
Bilder für eine reine Kettenlinie (außen steiler) und eine reine Parabel (außen flacher) :
Parabel = a ( cosh( 1) − 1 ) x , ,
2
cosh( a x ) − 1 cosh( 1 ) − 1
Kettenlinie =
h =
a
a
Während die beiden Kurven außerhalb stark auseinander driften, sind sie optisch zwischen den
Aufhängepunkten kaum zu unterscheiden. Numerisch besteht allerdings durchaus eine Differenz:
Im Fall a = 1 ergibt sich für die Bogenlänge der Kettenlinie als Näherungswert von 2 sinh( 1 ) :
2.350402388
Im Vergleich dazu erhalten wir für die Parabel