7.2. Bogenlänge ebener Kurven

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13 13 8 − 27 27 Allgemein erhalten wir b ⌠ sa( b ) = ⎮ t dt = ⌡ 2 ⎛ ⎜ ⎝b a = 1.439709874... ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ − a 3 ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ = f ( b + 1 ) − f ( a + 1 ) . Die Bogenlänge zwischen zwei Kurvenpunkten ist hier also ebenso groß wie der Ordinatenabschnitt zwischen den beiden entsprechenden Punkten der um 1 nach links verschobenen Kurve (während bei der ursprünglichen Neilschen Parabel eine entsprechende Verschiebung um 4/9 erforderlich war). Beispiel 8: Kettenlinien Ein biegsames Seil oder Kabel, das nur sein eigenes Gewicht zu tragen hat (wie z.B. eine Hochspannungsleitung) hat die Form einer Kettenlinie (catenaria). Wiederum war es Leibniz, der als erster diese Form mathematisch exakt bestimmt hat. Wir wollen eine Parameterdarstellung für Kettenlinien aus den statischen Gegebenheiten herleiten. Die tangentiale Zugkraft in einem Punkt des Seiles setzt sich zusammen aus einer konstanten horizontalen Komponente (Gleichgewicht!) und einer vertikalen Komponente, die proportional zu Seillänge s( x ) zwischen diesem Punkt und dem tiefsten Punkt des Seils ist. Es gibt daher Konstanten a, b, c mit y´ ( x ) = v( x) = a s( x ) , y´´ ( x ) = v´ ( x ) = a s´ ( x ) = a 1 + v( x) 2 ,
v´ ( x ) arsinh´ ( v( x ) ) = = 1 + v( x ) 2 sinh ( a x + b) v( x ) = sinh ( a x + b ) , s( x ) = a a , arsinh ( v( x ) ) = a x + b , y( x ) = cosh ( + ) a x b + c . a Kettenlinien werden also durch den Cosinus hyperbolicus beschrieben, und ihre Länge ebenso wie ihre Ableitung durch den Sinus hyperbolicus. Bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems liegt der tiefste Punkt der Kurve im Ursprung (0,0). Sie ist dann gegeben durch cosh( a x ) − 1 y( x ) = , a ihre Ableitung durch v( x ) = sinh( a x ) , die Bogenlänge durch sinh( a x) s( x ) = , a und die Fläche zwischen der Kurve und der Geraden y = − 1 , gemessen von 0 bis x, durch a x ⌠ sinh( a x) F( x) = ⎮ y( t ) dt = ⌡ 0 a 2 . Fazit: Kettenlinien haben die bemerkenswerte und charakteristische Eigenschaft, daß die Ableitung, die Fläche unter der Kurve und die Bogenlänge bis auf einen konstanten Faktor übereinstimmen! Im Falle des Cosinus hyperbolicus ist dieser Faktor 1. Ein Vergleich zwischen Kettenlinie und Parabel Bei Hängebrücken kommt zur Traglast das Eigengewicht der Kabel; es tritt also genau genommen eine Superposition von Parabeln und Kettenlinien auf, wobei die Parabeln allerdings so viel stärker zu gewichten sind, daß der Anteil der Kettenlinien vernachlässigbar wird. Es entstehen folgende Bilder für eine reine Kettenlinie (außen steiler) und eine reine Parabel (außen flacher) : Parabel = a ( cosh( 1) − 1 ) x , , 2 cosh( a x ) − 1 cosh( 1 ) − 1 Kettenlinie = h = a a Während die beiden Kurven außerhalb stark auseinander driften, sind sie optisch zwischen den Aufhängepunkten kaum zu unterscheiden. Numerisch besteht allerdings durchaus eine Differenz: Im Fall a = 1 ergibt sich für die Bogenlänge der Kettenlinie als Näherungswert von 2 sinh( 1 ) : 2.350402388 Im Vergleich dazu erhalten wir für die Parabel
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Seite 5 und 6: so ergibt sich 10 1 h = = 2 100 100
Seite 7: Die Ableitung von g( y ) = y 2/3 2
Seite 11 und 12: Für beliebiges a ist dies Integral

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