7.2. Bogenlänge ebener Kurven

Die Ableitung von
g( y ) = y 2/3 2 y
ist g´ ( y ) =
-1/3
.
3
Das zugehörige Kurvenintegral für die Bogenlänge lautet
⌠
2
⎮ ⎛ 2 ⎞
⎮ 1 + ⎜ ⎟ y d
⎮ ⎝ 3 ⎠
⌡
-2/3 y .
Das sieht auf den ersten Blick recht finster aus, aber die Substitution
x = y 2/3 , d.h. y = x 3/2 3 x
, dy =
1/2 dx
2
führt natürlich wieder zum ursprünglichen, leichter berechenbaren Integral
3
2
d
⌠
⌠
⎮ 4 ⎮ 9 x ( )
⎮ 1 + x x = ⎮ d
⎮ 9 x ⎮ 1 + x =
⎮ 4
⌡
⌡
+
3/2
4 9 x
,
27
und Rücksubstitution ergibt
⌠
2
⎮ ⎛ 2 ⎞
⎮ 1 + ⎜ ⎟ y d
⎮ ⎝ 3 ⎠
⌡
-2/3 ( )
y = +
3/2
4 9 y2/3
.
27
Integrieren wir von 0 bis 1, so landen wir wieder bei
( 4 + 9 )
3/2
27
−
4 3/2
27
13 13
= −
27
8
27 .
Genereller Tip: Bei Integrationen gebrochene Potenzen "wegsubstituieren"!
Streckungen und Stauchungen
Leider darf man (anders als bei der Berechnung von Flächen) die Bogenlänge einer Kurve w nicht
einfach mit einem Faktor c multiplizieren, um die Bogenlänge der gestreckten oder gestauchten
Kurve cw zu erhalten, weil sich die Streckung bei unterschiedlicher Steigung verschieden stark
auswirkt.
Beispiel 7: Eine gestauchte Parabel
Verschiebt man die Neilsche Parabel um 1 nach rechts (was die Bogenlänge nicht verändert) und
staucht sie um den Faktor 2/3, so kommt für die neue Kurve
f( x)
=
2 ( x − 1 )
3/2
3
nicht das 2/3-fache der Bogenlänge aus Beispiel 6 heraus. Die Ableitung von f ist
f ´ ( x ) = x − 1 .
Daher ergibt sich für die Bogenlänge zwischen den Punkten (0,0) und (1,1) :
⌠
s0( 1 ) = ⎮ t dt
=
⌡
1
2
4 2 − 2
3
= 1.218951415...
und das ist sicher nicht 2/3 der für die Neilsche Parabel errechneten Bogenlänge