7.2. Bogenlänge ebener Kurven

sc( d ) =
d 1 + 4 d ln ( 2
+
2
d +
4
1 + 4 d )
−
c 1 + 4 c
−
2
Speziell ist wieder
5
s0( 1 ) = +
2
ln ( 2 + 5 )
4
.
ln ( 2 c + 1 + 4 c )
MAPLE bietet hier je nach Version eine drei bis vier Zeilen lange Mammutformel oder überhaupt
keine Lösung an. Oft ist eine Vorüberlegung besser als stures Rechnen!
Beispiel 6: Die Neilsche Parabel
y = f( x ) = x 3/2
sieht auf den ersten Blick unangenehmer aus als die Normalparabel, erweist sich aber hinsichtlich
der Bogenlänge als leichter zugänglich. Historisch gehört diese Kurve sogar zu den ersten, für die
eine Berechnung der Bogenlänge gelang ( W. Neil, 1637-1670). Die Ableitung
und
3 x
y´ =
2
⌠
⎮
⌡
a
b
ergibt quadriert = y´2 9 x
4 ,
9 x ⎡
1 + dx
= ⎢
( 4 + 9 x) ⎤
⎢
⎥
4 ⎣
⎦
3/2
27
a
b
= ⎡ ⎛ 4 ⎞⎤
⎢ f ⎜ + x ⎟⎥
⎣ ⎝ 9 ⎠⎦
Speziell ist die Bogenlänge zwischen den Punkten (0,0) und (1,1)
⌠
⎮
⌡
0
1
9 x 13 13 8
1 + dx
= − = 1.439709874...
4 27 27
Die inverse Neilsche Parabel
entsteht durch Vertauschen von x und y in
a
b
⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞
= f ⎜ + b⎟
− f ⎜ + a ⎟ .
⎝ 9 ⎠ ⎝ 9 ⎠
x = y 2/3 y = x 3/2 .
Die Bogenlänge der gespiegelten Kurve zwischen den Punkten (0,0) und (1,1) bleibt die gleiche!
f( x ) = x
( ) / 3 2
, g( x ) = x
( ) / 2 3
4
.