7.2. Bogenlänge ebener Kurven

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Beispiel 4: Hängebrücken Bei einem durchhängenden Seil oder Kabel ist die spezifische Längenbelastung k( x ) proportional zur zweiten Ableitung y´´ = f ´´ ( x ) . Nach dem Hauptsatz wird die Seilkurve durch das folgende Doppelintegral beschrieben: ⌠ ⌠ f( x) = c ⎮ ⎮ k( t ) dt du ; ⌡ ⌡ 0 x 0 u Bei konstantem k( x ) = k ergibt sich beispielsweise f( x) = c k x 2 2 . Die tragenden Kabel einer Hängebrücke mit gleichverteiltem Gewicht haben daher näherungsweise die Form einer Parabel, wenn das Eigengewicht der Kabel vernachlässigbar ist. Um die Länge eines Kabels zwischen zwei Aufhängepunkten zu berechnen, muß man also die Bogenlänge einer Parabel y = h x 2 mit der Ableitung y´ = 2 h x bestimmen. Das war für Leibniz und seine Zeitgenossen im 17. Jahrhundert eine harte Nuss - aber er hat sie mit seinen analytischen Methoden geknackt. So einfach die Sache aussieht, so kompliziert ist die Formel für die Bogenlänge: ⌠ ⎮ ⌡ a b 1 + 4 h d 2 x 2 ⎡ ⎢ x = ⎢ ⎣ x 1 + 4 h 2 x 2 2 ln ( 2 h x + 1 + 4 h ) ⎤ ⎥ + ⎥ ⎦ 2 x 2 . 4 h Speziell ergibt sich für die Bogenlänge der Normalparabel zwischen den Punkten (0,0) und (1,1) der wohl kaum erwartete Ausdruck 5 ln ( 2 + 5 ) + . 2 4 Entsprechend errechnet man für die Bogenlänge der Parabel y = h x 2 zwischen zwei gleich hohen Aufhängepunkten im Abstand d, etwa ( − , d 2 ⌠ ⎮ ⌡ d/2 -d/2 h d 2 4 ) und ( , d 2 h d 2 ) : 4 1 + 4 h d 2 x 2 d 1 + h x = + 2 d 2 ln ( h d + 1 + h ) 2 2 d 2 . 2 h Ist der Abstand der Aufhängepunkte zum Beispiel 200 m und liegt der tiefste Punkt 10 m niedriger, a b
so ergibt sich 10 1 h = = 2 100 1000 , und die Länge des Kabels (in Metern) ist 20 26 + 500 ⎛ ⎜ 1 ln ⎜ + ⎝5 26 ⎞ ⎟ = 201.3254456 5 ⎠ Für eine so flache Kurve sind die horizontalen Zugkräfte, die auf die Aufhängepunkte wirken, enorm! Viel geringer sind sie bei gleicher Breite von 200 m, aber einem Höhenunterschied von 100 m. Dieser Fall tritt für h = 1/100 ein, und die Länge ist dann 100 5 + 50 ln ( 2 + 5 ) = 295.7885714 Beispiel 5: Die Bogenlänge der Wurzelfunktion g( x ) = x = x 1/2 1 mit der Ableitung g´ ( x) = 2 x . Wollte man die Bogenlänge direkt ausrechnen, hätte man das Integral ⌠ ⎮ 1 sc( d) = ⎮ 1 + dx ⎮ 4 x ⌡ c d auszuwerten, was noch ein bißchen ungemütlicher wird. Schneller kommt man mit der Regel für Umkehrfunktionen zum Ziel. Da g( x ) die Umkehrfunktion zu f( x ) = x 2 ist, muß das Ergebnis lauten: sc( d) ⎡ ⎢ = ⎢ ⎣ x 1 + 4 x 2 2 ln ( 2 x + 1 + 4 x ) ⎤ ⎥ + ⎥ ⎦ 2 4 wobei man noch a durch c und b durch d zu ersetzen hat: a b ,
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Seite 9 und 10: v´ ( x ) arsinh´ ( v( x ) ) = = 1
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