7.2. Bogenlänge ebener Kurven

Beispiel 4: Hängebrücken
Bei einem durchhängenden Seil oder Kabel ist die spezifische Längenbelastung k( x ) proportional
zur zweiten Ableitung
y´´ = f ´´ ( x ) .
Nach dem Hauptsatz wird die Seilkurve durch das folgende Doppelintegral beschrieben:
⌠ ⌠
f( x) = c ⎮ ⎮ k( t ) dt
du
;
⌡ ⌡
0
x
0
u
Bei konstantem k( x ) = k ergibt sich beispielsweise
f( x)
=
c k x 2
2 .
Die tragenden Kabel einer Hängebrücke mit gleichverteiltem Gewicht haben daher näherungsweise
die Form einer Parabel, wenn das Eigengewicht der Kabel vernachlässigbar ist.
Um die Länge eines Kabels zwischen zwei Aufhängepunkten zu berechnen, muß man also die
Bogenlänge einer Parabel
y = h x 2
mit der Ableitung
y´ = 2 h x
bestimmen. Das war für Leibniz und seine Zeitgenossen im 17. Jahrhundert eine harte Nuss - aber
er hat sie mit seinen analytischen Methoden geknackt. So einfach die Sache aussieht, so
kompliziert ist die Formel für die Bogenlänge:
⌠
⎮
⌡
a
b
1 + 4 h d
2 x 2 ⎡
⎢
x = ⎢
⎣
x 1 + 4 h 2 x 2
2
ln ( 2 h x + 1 + 4 h ) ⎤
⎥
+
⎥
⎦
2 x 2
.
4 h
Speziell ergibt sich für die Bogenlänge der Normalparabel zwischen den Punkten (0,0) und (1,1)
der wohl kaum erwartete Ausdruck
5 ln ( 2 + 5 )
+
.
2 4
Entsprechend errechnet man für die Bogenlänge der Parabel
y = h x 2
zwischen zwei gleich hohen Aufhängepunkten im Abstand d, etwa
( − ,
d
2
⌠
⎮
⌡
d/2
-d/2
h d 2
4
) und ( ,
d
2
h d 2
) :
4
1 + 4 h d
2 x 2 d 1 + h
x = +
2 d 2
ln ( h d + 1 + h )
2
2 d 2
.
2 h
Ist der Abstand der Aufhängepunkte zum Beispiel 200 m und liegt der tiefste Punkt 10 m niedriger,
a
b