7.2. Bogenlänge ebener Kurven
7.2. Bogenlänge ebener Kurven 7.2. Bogenlänge ebener Kurven
Invarianz gegen Translationen und Rotationen Die Bogenlänge einer Kurve bleibt unverändert bei Wechsel der Parameterdarstellung, aber auch bei Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen. Das ist anschaulich evident, kann aber auch mathematisch exakt begründet werden (was wir hier weglassen). Beispiel 1: Rotierende Sinuskurven Beispiel 2: Die Länge von Strecken Wir beginnen mit dem einfachsten Fall: Eine gerade Strecke zwischen den Punkten (a,c) und (b,d) wird durch die Parameterdarstellung ⎡ a ⎤ w( t ) = ⎢ ⎥ + t ⎣ c ⎦ ⎡b − a⎤ ⎢ ⎥ (t = 0, ...,1) ⎣d − c ⎦ beschrieben und hat nach dem Satz von Pythagoras die Länge L = ( b − a ) + 2 ( d − c) 2 . Dies bestätigt sich analytisch durch das Integral ⌠ L = ⎮ w´ ( t) dt , ⌡ 0 1 denn offensichtlich ist w´ ( t ) = ⎡b − a⎤ ⎢ ⎥ , w´ ( t) = L . ⎣d − c ⎦ Kein Wunder: Eine (gerade) Strecke fällt ja mit jedem ihrer "approximierenden" Polygonzüge zusammen.
Koordinatendarstellung der Bogenlänge Ist die y-Koodinate als Funktion der x-Koordinate gegeben, etwa durch y = f( x ) , so wird aus der Formel (1) für die Bogenlänge die Gleichung ⌠ (2) sa( b) = ⎮ 1 + f ´ ( x ) d ⌡ 2 x. a b Regel für Umkehrfunktionen Ist eine Funktion g invers zu f, also x = g( y ) y = f( x ) , so entsteht die zu g gehörige Kurve aus der zu f gehörigen durch Spiegelung an der Diagonalen. Deshalb ist der Bogen von f zwischen zwei Kurvenpunkten (a,c) und (b,d) genau so lang wie der Bogen von g zwischen (c,a) und (d,b): ⌠ ⎮ ⌡ a b 1 + f ´ ( x ) d = 2 ⌠ x ⎮ 1 + g´ ( y ) d ⌡ 2 y mit c = f( a ) , d = f( b ) bzw. a = g( c ) , b = g( d ) . c d Beispiel 3: Die kubische Parabel und ihre Umkehrfunktion Die Bogenlänge der kubischen Parabel x 3 (und ihrer Umkehrfunktion x ) läßt sich mit elementaren Methoden nicht berechnen! Leider ist nicht nur in diesem Beispiel, sondern auch in vielen anderen Fällen die exakte Auswertung von Kurvenintegralen aufgrund der auftretenden Wurzeln sehr mühsam oder elementar gar nicht möglich (dann muß man zu numerischen Näherungsmethoden greifen). Bereits für die scheinbar harmlosen Potenzfunktionen f( x) = x k , erweist sich die elementare Berechnung der Bogenlänge (außer für k = 0 und k = 1, wo gerade Strecken herauskommen) als schwierig bis unmöglich. Wir betrachten den nicht ganz einfachen, aber lösbaren Fall k = 2. ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠
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Koordinatendarstellung der <strong>Bogenlänge</strong><br />
Ist die y-Koodinate als Funktion der x-Koordinate gegeben, etwa durch y = f( x ) , so wird aus der<br />
Formel (1) für die <strong>Bogenlänge</strong> die Gleichung<br />
⌠<br />
(2) sa( b) = ⎮ 1 + f ´ ( x ) d<br />
⌡<br />
2 x.<br />
a<br />
b<br />
Regel für Umkehrfunktionen<br />
Ist eine Funktion g invers zu f, also<br />
x = g( y ) y = f( x ) ,<br />
so entsteht die zu g gehörige Kurve aus der zu f gehörigen durch Spiegelung an der Diagonalen.<br />
Deshalb ist der Bogen von f zwischen zwei <strong>Kurven</strong>punkten (a,c) und (b,d) genau so lang wie der<br />
Bogen von g zwischen (c,a) und (d,b):<br />
⌠<br />
⎮<br />
⌡<br />
a<br />
b<br />
1 + f ´ ( x ) d =<br />
2 ⌠<br />
x ⎮ 1 + g´ ( y ) d<br />
⌡<br />
2 y<br />
mit c = f( a ) , d = f( b ) bzw. a = g( c ) , b = g( d ) .<br />
c<br />
d<br />
Beispiel 3: Die kubische Parabel und ihre Umkehrfunktion<br />
Die <strong>Bogenlänge</strong> der kubischen Parabel x 3 (und ihrer Umkehrfunktion x ) läßt sich mit<br />
elementaren Methoden nicht berechnen!<br />
Leider ist nicht nur in diesem Beispiel, sondern auch in vielen anderen Fällen die exakte<br />
Auswertung von <strong>Kurven</strong>integralen aufgrund der auftretenden Wurzeln sehr mühsam oder<br />
elementar gar nicht möglich (dann muß man zu numerischen Näherungsmethoden greifen). Bereits<br />
für die scheinbar harmlosen Potenzfunktionen<br />
f( x) = x k ,<br />
erweist sich die elementare Berechnung der <strong>Bogenlänge</strong> (außer für k = 0 und k = 1, wo gerade<br />
Strecken herauskommen) als schwierig bis unmöglich.<br />
Wir betrachten den nicht ganz einfachen, aber lösbaren Fall k = 2.<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 3 ⎠
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