7.2. Bogenlänge ebener Kurven
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Für r =<br />
R<br />
n<br />
β<br />
⌠<br />
⎛ R t ⎞<br />
β<br />
⎮ 1 − cos<br />
⎮<br />
⎜ ⎟ ⌠<br />
sα( β ) = 2 ρ ⎮<br />
⎝ r ⎠ ⎮ ⎛ R t ⎞<br />
⎮<br />
dt<br />
= 2 ρ ⎮ sin⎜ ⎟ dt<br />
=<br />
⎮<br />
2<br />
⎮ ⎝ 2 r ⎠<br />
⎮<br />
⌡<br />
⌡<br />
α<br />
α<br />
und einen vollen Umlauf ergibt sich<br />
4 R ( n + σ )<br />
s0( 2 π)<br />
=<br />
n 2<br />
⌠<br />
⎮<br />
⌡<br />
0<br />
sin( u) du<br />
= 8 R ⎛ ⎞<br />
⎜ 1 + ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
σ<br />
n .<br />
Einige spezielle Werte bei R = 1:<br />
n 1 2 3 4 5<br />
außen 16 12 32/3 10 48/5<br />
innen 0 4 16/3 6 32/5<br />
n π<br />
n = 3<br />
n = 5<br />
R β<br />
2 r<br />
4 r ρ<br />
R d<br />
⌠<br />
⎮ sin( u ) u .<br />
⌡<br />
Die Summe der äußeren und der inneren Weglänge ist stets das achtfache des großen<br />
Kreisdurchmessers!<br />
Geht n gegen ∞ , so konvergiert sowohl außen als auch innen die Weglänge eines vollen Umlaufs<br />
gegen den vierfachen Durchmesser des großen Kreises. Die Umlaufkurven selbst konvergieren<br />
aber gleichmäßig gegen die Kreisbahn!! Wieder einmal die Quadratur des Kreises ??<br />
R α<br />
2 r
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