7.2. Bogenlänge ebener Kurven

Für beliebiges a ist dies Integral nicht elementar auswertbar! Aber für Punkte auf der Peripherie,
also a = r , ist es einfach:
β
⌠
sα( β ) = ⎮ 2 r − d
⌡
α
2
2 r 2
⌠
⌠
⎮ 1 − cos( t)
⎮ ⎛ ⎞
cos( t ) t = 2 r ⎮
dt
= 2 r ⎮ sin⎜ ⎟ d
⎮ 2
⎮ ⎝ ⎠
⌡
⌡
t
t
2
= 4 r ⎛ ⎛ ⎞ ⎞
⎜ cos⎜ ⎟ − ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
α ⎛ ⎞
cos⎜ ⎟
2 ⎝ ⎠
β
,
2
solange α und β zwischen 0 und 2 π liegen. Speziell ist nach einer vollen Umdrehung
s0( 2 π ) = 8 r ,
also der zurückgelegte Weg gleich dem vierfachen Durchmesser des Rades. Die Kreiszahl π
kommt hier trotz der Umdrehung nicht vor!
Im Falle a ≠ r führt die Substitution u =
2
1 − cos( t ) ⎛ ⎞
= sin⎜ ⎟
2 ⎝ ⎠
t
2
auf das nicht elementar lösbare elliptische Integral
t
2
α
β
zusammen mit der trigonometrischen Formel
⌠
s0( 2 π) = 2 r − a ⎮ 1 + ε d
⌡
2
sin( u )
2 2 r a
u mit ε =
r − a .
0
π
Epi- und Hypozykloiden
Rollt das Rad stattdessen (außen oder innen) auf einem Kreis ab, so ensteht eine Epi- oder
Hypozykloide mit der Parameterdarstellung
⎛ ρ t ⎞
x( t ) = ρ cos( t ) − a σ cos⎜ ⎟
⎝ r ⎠
und der skalaren Geschwindigkeit
, y( t ) = ρ sin( t ) − a
⎛ ρ t ⎞
sin⎜ ⎟ ,
⎝ r ⎠
ρ r + −
v( t)
=
2
a 2 ⎛ R t ⎞
2 r a cos⎜ ⎟
⎝ r ⎠
,
r
wobei σ = 1 für "außen", σ = −1 für "innen" und ρ für R + σ r steht.
Die Bogenlänge ist hier für Randpunkte ( r = a):
β
α