7.2. Bogenlänge ebener Kurven

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h x 2 mit den gleichen Aufhängepunkten 1 und -1 und dem Durchhang h = cosh( 1) − 1 laut Beispiel 4 die Bogenlänge oder numerisch angenähert 1 + 4 h + 2 1 ln ( 2 h + 1 + 4 h ) 2 2 h 2.342755625 Klar, daß der Unterschied von etwa 3 Promille kaum bemerkbar ist (anders als bei der Alkoholkontrolle!) Beispiel 9: Deformierte Einheitskreise + = 1 haben nur in seltenen Fällen eine elementar berechenbare Bogenlänge. Der Umfang ist x p y p ⌠ 2/p-2 U( p ) = 4 ⎮ p ⎮ 1 + ( 1 − x ) x d ⌡ 2p-2 x . Hier die drei wichtigsten Beispiele: 0 1 Kreis , p = 2 , U( p ) = 2 π Raute , p = 1 , U( p ) = 4 2 Astroide , p = 2/3 , U( p ) = 6 Beispiel 10: Zykloiden Rollt ein Rad mit Radius r auf einer ebenen Bahn ab (siehe Abschnitt 7.1), so durchläuft ein Punkt auf dem Rad im Abstand a vom Mittelpunkt die Zykloide x( t ) = r t − a sin( t ) , y( t ) = r − a cos( t ) mit der skalaren Geschwindigkeit 2 v( t ) = ( r − a cos( t) ) + a 2 sin( t) 2 = r + − 2 a 2 2 r a cos( t ) = r + 2 a 2 , 2 r a δ = r + 2 . 2 a Daraus ergibt sich die Bogenlänge zwischen den Drehwinkeln α und β: β ⌠ sα( β ) = ⎮ v( t) dt = r − ⌡ 2 a 2 ⌠ ⎮ ⌡ α α β 1 − δ cos( t) dt . 1 − δ cos( t )
Für beliebiges a ist dies Integral nicht elementar auswertbar! Aber für Punkte auf der Peripherie, also a = r , ist es einfach: β ⌠ sα( β ) = ⎮ 2 r − d ⌡ α 2 2 r 2 ⌠ ⌠ ⎮ 1 − cos( t) ⎮ ⎛ ⎞ cos( t ) t = 2 r ⎮ dt = 2 r ⎮ sin⎜ ⎟ d ⎮ 2 ⎮ ⎝ ⎠ ⌡ ⌡ t t 2 = 4 r ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ cos⎜ ⎟ − ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ α ⎛ ⎞ cos⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ β , 2 solange α und β zwischen 0 und 2 π liegen. Speziell ist nach einer vollen Umdrehung s0( 2 π ) = 8 r , also der zurückgelegte Weg gleich dem vierfachen Durchmesser des Rades. Die Kreiszahl π kommt hier trotz der Umdrehung nicht vor! Im Falle a ≠ r führt die Substitution u = 2 1 − cos( t ) ⎛ ⎞ = sin⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ t 2 auf das nicht elementar lösbare elliptische Integral t 2 α β zusammen mit der trigonometrischen Formel ⌠ s0( 2 π) = 2 r − a ⎮ 1 + ε d ⌡ 2 sin( u ) 2 2 r a u mit ε = r − a . 0 π Epi- und Hypozykloiden Rollt das Rad stattdessen (außen oder innen) auf einem Kreis ab, so ensteht eine Epi- oder Hypozykloide mit der Parameterdarstellung ⎛ ρ t ⎞ x( t ) = ρ cos( t ) − a σ cos⎜ ⎟ ⎝ r ⎠ und der skalaren Geschwindigkeit , y( t ) = ρ sin( t ) − a ⎛ ρ t ⎞ sin⎜ ⎟ , ⎝ r ⎠ ρ r + − v( t) = 2 a 2 ⎛ R t ⎞ 2 r a cos⎜ ⎟ ⎝ r ⎠ , r wobei σ = 1 für "außen", σ = −1 für "innen" und ρ für R + σ r steht. Die Bogenlänge ist hier für Randpunkte ( r = a): β α
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