7.2. Bogenlänge ebener Kurven

7.2. Bogenlänge ebener Kurven
Die Berechnung der Länge von Kurvenbögen gehört zu den häufigen Aufgaben in der
Ingenieurmathematik.
Eine Kurve mit der (stetigen) Parameterdarstellung w: [a,b] --> R m kann beliebig genau durch
Polygonzüge approximiert werden. Die Länge eines solchen Polygonzuges mit den Ecken
w( t0 ) , w( t1 ) , ... , w( tn )
wobei t0 = a und tn = b gesetzt wird, ist
n
∑
j = 1
w( tj ) − w( t − )
j 1 .
Falls w sogar stetig differenzierbar ist, zeigt eine einfache Grenzwertbetrachtung, daß diese Längen
bei immer feiner werdenden Unterteilungen t 0 , t 1 , ... , t n gegen eine Zahl konvergieren, die
unabhängig von den gewählten Unterteilungspunkten ist. Eine einfache Anwendung des
Mittelwertsatzes ergibt, daß der Grenzwert nichts anderes als das folgende Integral ist:
⌠
sa( b ) = ⎮ w´ ( t ) dt
.
⌡
a
b
Diese Zahl nennt man die Bogenlänge der durch w bestimmten Kurve.
Weg = Geschwindigkeit mal Zeit
Aus diesem Prinzip wird bei variabler Geschwindigkeit v( t ) die Formel
⌠ ⌠
sa( b ) = ⎮ v( t) dt
= ⎮ w´ ( t) dt
⌡ ⌡
a
b
a
b
für die Bogenlänge, also die Länge des entlang der Kurve zurückgelegten Weges zwischen den
Punkten w( a ) und w( b ) . Wir werden sie bald für allgemeine Kurven in höheren Dimensionen
untersuchen, beschränken uns im Augenblick aber auf den Fall m = 2, wo die Kurven in der x-y
-Ebene liegen und die Formel für die Bogenlänge die folgende Gestalt erhält:
⌠
(1) sa( b) = ⎮ x´ ( t) + d
⌡
2
y´ ( t )
2
t .
a
b

Invarianz gegen Translationen und Rotationen
Die Bogenlänge einer Kurve bleibt unverändert bei Wechsel der Parameterdarstellung, aber auch
bei Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen. Das ist anschaulich evident, kann aber auch
mathematisch exakt begründet werden (was wir hier weglassen).
Beispiel 1: Rotierende Sinuskurven
Beispiel 2: Die Länge von Strecken
Wir beginnen mit dem einfachsten Fall: Eine gerade Strecke zwischen den Punkten (a,c) und (b,d)
wird durch die Parameterdarstellung
⎡ a ⎤
w( t ) = ⎢ ⎥ + t
⎣ c ⎦
⎡b
− a⎤
⎢ ⎥ (t = 0, ...,1)
⎣d
− c ⎦
beschrieben und hat nach dem Satz von Pythagoras die Länge
L = ( b − a ) +
2
( d − c) 2 .
Dies bestätigt sich analytisch durch das Integral
⌠
L = ⎮ w´ ( t) dt
,
⌡
0
1
denn offensichtlich ist
w´ ( t ) = ⎡b
− a⎤
⎢ ⎥ , w´ ( t) = L .
⎣d
− c ⎦
Kein Wunder: Eine (gerade) Strecke fällt ja mit jedem ihrer "approximierenden" Polygonzüge
zusammen.

Koordinatendarstellung der Bogenlänge
Ist die y-Koodinate als Funktion der x-Koordinate gegeben, etwa durch y = f( x ) , so wird aus der
Formel (1) für die Bogenlänge die Gleichung
⌠
(2) sa( b) = ⎮ 1 + f ´ ( x ) d
⌡
2 x.
a
b
Regel für Umkehrfunktionen
Ist eine Funktion g invers zu f, also
x = g( y ) y = f( x ) ,
so entsteht die zu g gehörige Kurve aus der zu f gehörigen durch Spiegelung an der Diagonalen.
Deshalb ist der Bogen von f zwischen zwei Kurvenpunkten (a,c) und (b,d) genau so lang wie der
Bogen von g zwischen (c,a) und (d,b):
⌠
⎮
⌡
a
b
1 + f ´ ( x ) d =
2 ⌠
x ⎮ 1 + g´ ( y ) d
⌡
2 y
mit c = f( a ) , d = f( b ) bzw. a = g( c ) , b = g( d ) .
c
d
Beispiel 3: Die kubische Parabel und ihre Umkehrfunktion
Die Bogenlänge der kubischen Parabel x 3 (und ihrer Umkehrfunktion x ) läßt sich mit
elementaren Methoden nicht berechnen!
Leider ist nicht nur in diesem Beispiel, sondern auch in vielen anderen Fällen die exakte
Auswertung von Kurvenintegralen aufgrund der auftretenden Wurzeln sehr mühsam oder
elementar gar nicht möglich (dann muß man zu numerischen Näherungsmethoden greifen). Bereits
für die scheinbar harmlosen Potenzfunktionen
f( x) = x k ,
erweist sich die elementare Berechnung der Bogenlänge (außer für k = 0 und k = 1, wo gerade
Strecken herauskommen) als schwierig bis unmöglich.
Wir betrachten den nicht ganz einfachen, aber lösbaren Fall k = 2.
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠

Beispiel 4: Hängebrücken
Bei einem durchhängenden Seil oder Kabel ist die spezifische Längenbelastung k( x ) proportional
zur zweiten Ableitung
y´´ = f ´´ ( x ) .
Nach dem Hauptsatz wird die Seilkurve durch das folgende Doppelintegral beschrieben:
⌠ ⌠
f( x) = c ⎮ ⎮ k( t ) dt
du
;
⌡ ⌡
0
x
0
u
Bei konstantem k( x ) = k ergibt sich beispielsweise
f( x)
=
c k x 2
2 .
Die tragenden Kabel einer Hängebrücke mit gleichverteiltem Gewicht haben daher näherungsweise
die Form einer Parabel, wenn das Eigengewicht der Kabel vernachlässigbar ist.
Um die Länge eines Kabels zwischen zwei Aufhängepunkten zu berechnen, muß man also die
Bogenlänge einer Parabel
y = h x 2
mit der Ableitung
y´ = 2 h x
bestimmen. Das war für Leibniz und seine Zeitgenossen im 17. Jahrhundert eine harte Nuss - aber
er hat sie mit seinen analytischen Methoden geknackt. So einfach die Sache aussieht, so
kompliziert ist die Formel für die Bogenlänge:
⌠
⎮
⌡
a
b
1 + 4 h d
2 x 2 ⎡
⎢
x = ⎢
⎣
x 1 + 4 h 2 x 2
2
ln ( 2 h x + 1 + 4 h ) ⎤
⎥
+
⎥
⎦
2 x 2
.
4 h
Speziell ergibt sich für die Bogenlänge der Normalparabel zwischen den Punkten (0,0) und (1,1)
der wohl kaum erwartete Ausdruck
5 ln ( 2 + 5 )
+
.
2 4
Entsprechend errechnet man für die Bogenlänge der Parabel
y = h x 2
zwischen zwei gleich hohen Aufhängepunkten im Abstand d, etwa
( − ,
d
2
⌠
⎮
⌡
d/2
-d/2
h d 2
4
) und ( ,
d
2
h d 2
) :
4
1 + 4 h d
2 x 2 d 1 + h
x = +
2 d 2
ln ( h d + 1 + h )
2
2 d 2
.
2 h
Ist der Abstand der Aufhängepunkte zum Beispiel 200 m und liegt der tiefste Punkt 10 m niedriger,
a
b

so ergibt sich
10 1
h = =
2
100 1000 ,
und die Länge des Kabels (in Metern) ist
20 26 + 500
⎛
⎜
1
ln ⎜ +
⎝5
26 ⎞
⎟ = 201.3254456
5 ⎠
Für eine so flache Kurve sind die horizontalen Zugkräfte, die auf die Aufhängepunkte wirken,
enorm! Viel geringer sind sie bei gleicher Breite von 200 m, aber einem Höhenunterschied von 100
m. Dieser Fall tritt für h = 1/100 ein, und die Länge ist dann
100 5 + 50 ln ( 2 + 5 ) = 295.7885714
Beispiel 5: Die Bogenlänge der Wurzelfunktion
g( x ) = x = x 1/2 1
mit der Ableitung g´ ( x)
=
2 x .
Wollte man die Bogenlänge direkt ausrechnen, hätte man das Integral
⌠
⎮ 1
sc( d) = ⎮ 1 + dx
⎮ 4 x
⌡
c
d
auszuwerten, was noch ein bißchen ungemütlicher wird. Schneller kommt man mit der Regel für
Umkehrfunktionen zum Ziel. Da g( x ) die Umkehrfunktion zu f( x ) = x 2 ist, muß das Ergebnis
lauten:
sc( d)
⎡
⎢
= ⎢
⎣
x 1 + 4 x 2
2
ln ( 2 x + 1 + 4 x ) ⎤
⎥
+
⎥
⎦
2
4
wobei man noch a durch c und b durch d zu ersetzen hat:
a
b
,

sc( d ) =
d 1 + 4 d ln ( 2
+
2
d +
4
1 + 4 d )
−
c 1 + 4 c
−
2
Speziell ist wieder
5
s0( 1 ) = +
2
ln ( 2 + 5 )
4
.
ln ( 2 c + 1 + 4 c )
MAPLE bietet hier je nach Version eine drei bis vier Zeilen lange Mammutformel oder überhaupt
keine Lösung an. Oft ist eine Vorüberlegung besser als stures Rechnen!
Beispiel 6: Die Neilsche Parabel
y = f( x ) = x 3/2
sieht auf den ersten Blick unangenehmer aus als die Normalparabel, erweist sich aber hinsichtlich
der Bogenlänge als leichter zugänglich. Historisch gehört diese Kurve sogar zu den ersten, für die
eine Berechnung der Bogenlänge gelang ( W. Neil, 1637-1670). Die Ableitung
und
3 x
y´ =
2
⌠
⎮
⌡
a
b
ergibt quadriert = y´2 9 x
4 ,
9 x ⎡
1 + dx
= ⎢
( 4 + 9 x) ⎤
⎢
⎥
4 ⎣
⎦
3/2
27
a
b
= ⎡ ⎛ 4 ⎞⎤
⎢ f ⎜ + x ⎟⎥
⎣ ⎝ 9 ⎠⎦
Speziell ist die Bogenlänge zwischen den Punkten (0,0) und (1,1)
⌠
⎮
⌡
0
1
9 x 13 13 8
1 + dx
= − = 1.439709874...
4 27 27
Die inverse Neilsche Parabel
entsteht durch Vertauschen von x und y in
a
b
⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞
= f ⎜ + b⎟
− f ⎜ + a ⎟ .
⎝ 9 ⎠ ⎝ 9 ⎠
x = y 2/3 y = x 3/2 .
Die Bogenlänge der gespiegelten Kurve zwischen den Punkten (0,0) und (1,1) bleibt die gleiche!
f( x ) = x
( ) / 3 2
, g( x ) = x
( ) / 2 3
4
.

Die Ableitung von
g( y ) = y 2/3 2 y
ist g´ ( y ) =
-1/3
.
3
Das zugehörige Kurvenintegral für die Bogenlänge lautet
⌠
2
⎮ ⎛ 2 ⎞
⎮ 1 + ⎜ ⎟ y d
⎮ ⎝ 3 ⎠
⌡
-2/3 y .
Das sieht auf den ersten Blick recht finster aus, aber die Substitution
x = y 2/3 , d.h. y = x 3/2 3 x
, dy =
1/2 dx
2
führt natürlich wieder zum ursprünglichen, leichter berechenbaren Integral
3
2
d
⌠
⌠
⎮ 4 ⎮ 9 x ( )
⎮ 1 + x x = ⎮ d
⎮ 9 x ⎮ 1 + x =
⎮ 4
⌡
⌡
+
3/2
4 9 x
,
27
und Rücksubstitution ergibt
⌠
2
⎮ ⎛ 2 ⎞
⎮ 1 + ⎜ ⎟ y d
⎮ ⎝ 3 ⎠
⌡
-2/3 ( )
y = +
3/2
4 9 y2/3
.
27
Integrieren wir von 0 bis 1, so landen wir wieder bei
( 4 + 9 )
3/2
27
−
4 3/2
27
13 13
= −
27
8
27 .
Genereller Tip: Bei Integrationen gebrochene Potenzen "wegsubstituieren"!
Streckungen und Stauchungen
Leider darf man (anders als bei der Berechnung von Flächen) die Bogenlänge einer Kurve w nicht
einfach mit einem Faktor c multiplizieren, um die Bogenlänge der gestreckten oder gestauchten
Kurve cw zu erhalten, weil sich die Streckung bei unterschiedlicher Steigung verschieden stark
auswirkt.
Beispiel 7: Eine gestauchte Parabel
Verschiebt man die Neilsche Parabel um 1 nach rechts (was die Bogenlänge nicht verändert) und
staucht sie um den Faktor 2/3, so kommt für die neue Kurve
f( x)
=
2 ( x − 1 )
3/2
3
nicht das 2/3-fache der Bogenlänge aus Beispiel 6 heraus. Die Ableitung von f ist
f ´ ( x ) = x − 1 .
Daher ergibt sich für die Bogenlänge zwischen den Punkten (0,0) und (1,1) :
⌠
s0( 1 ) = ⎮ t dt
=
⌡
1
2
4 2 − 2
3
= 1.218951415...
und das ist sicher nicht 2/3 der für die Neilsche Parabel errechneten Bogenlänge

13 13 8
−
27 27
Allgemein erhalten wir
b
⌠
sa( b ) = ⎮ t dt
=
⌡
2
⎛
⎜
⎝b
a
= 1.439709874...
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
− a
3
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎞
⎟
⎠
= f ( b + 1 ) − f ( a + 1 ) .
Die Bogenlänge zwischen zwei Kurvenpunkten ist hier also ebenso groß wie der
Ordinatenabschnitt zwischen den beiden entsprechenden Punkten der um 1 nach links
verschobenen Kurve (während bei der ursprünglichen Neilschen Parabel eine entsprechende
Verschiebung um 4/9 erforderlich war).
Beispiel 8: Kettenlinien
Ein biegsames Seil oder Kabel, das nur sein eigenes Gewicht zu tragen hat (wie z.B. eine
Hochspannungsleitung) hat die Form einer Kettenlinie (catenaria). Wiederum war es Leibniz, der
als erster diese Form mathematisch exakt bestimmt hat.
Wir wollen eine Parameterdarstellung für Kettenlinien aus den statischen Gegebenheiten herleiten.
Die tangentiale Zugkraft in einem Punkt des Seiles setzt sich zusammen aus einer konstanten
horizontalen Komponente (Gleichgewicht!) und einer vertikalen Komponente, die proportional zu
Seillänge s( x ) zwischen diesem Punkt und dem tiefsten Punkt des Seils ist.
Es gibt daher Konstanten a, b, c mit
y´ ( x ) = v( x) = a s( x ) ,
y´´ ( x ) = v´ ( x ) = a s´ ( x ) = a 1 + v( x) 2 ,

v´ ( x )
arsinh´ ( v( x ) ) = =
1 + v( x )
2
sinh ( a x + b)
v( x ) = sinh ( a x + b ) , s( x ) =
a
a , arsinh ( v( x ) ) = a x + b
, y( x ) =
cosh ( + )
a x b + c
.
a
Kettenlinien werden also durch den Cosinus hyperbolicus beschrieben, und ihre Länge ebenso wie
ihre Ableitung durch den Sinus hyperbolicus. Bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems liegt
der tiefste Punkt der Kurve im Ursprung (0,0). Sie ist dann gegeben durch
cosh( a x ) − 1
y( x ) =
,
a
ihre Ableitung durch
v( x ) = sinh( a x ) ,
die Bogenlänge durch
sinh( a x)
s( x ) = ,
a
und die Fläche zwischen der Kurve und der Geraden y = − 1
, gemessen von 0 bis x, durch
a
x
⌠ sinh( a x)
F( x) = ⎮ y( t ) dt
=
⌡
0
a 2
.
Fazit: Kettenlinien haben die bemerkenswerte und charakteristische Eigenschaft, daß die
Ableitung, die Fläche unter der Kurve und die Bogenlänge bis auf einen konstanten Faktor
übereinstimmen! Im Falle des Cosinus hyperbolicus ist dieser Faktor 1.
Ein Vergleich zwischen Kettenlinie und Parabel
Bei Hängebrücken kommt zur Traglast das Eigengewicht der Kabel; es tritt also genau genommen
eine Superposition von Parabeln und Kettenlinien auf, wobei die Parabeln allerdings so viel stärker
zu gewichten sind, daß der Anteil der Kettenlinien vernachlässigbar wird. Es entstehen folgende
Bilder für eine reine Kettenlinie (außen steiler) und eine reine Parabel (außen flacher) :
Parabel = a ( cosh( 1) − 1 ) x , ,
2
cosh( a x ) − 1 cosh( 1 ) − 1
Kettenlinie =
h =
a
a
Während die beiden Kurven außerhalb stark auseinander driften, sind sie optisch zwischen den
Aufhängepunkten kaum zu unterscheiden. Numerisch besteht allerdings durchaus eine Differenz:
Im Fall a = 1 ergibt sich für die Bogenlänge der Kettenlinie als Näherungswert von 2 sinh( 1 ) :
2.350402388
Im Vergleich dazu erhalten wir für die Parabel

h x 2
mit den gleichen Aufhängepunkten 1 und -1 und dem Durchhang
h = cosh( 1) − 1
laut Beispiel 4 die Bogenlänge
oder numerisch angenähert
1 + 4 h +
2 1 ln ( 2 h + 1 + 4 h )
2
2
h
2.342755625
Klar, daß der Unterschied von etwa 3 Promille kaum bemerkbar ist (anders als bei der
Alkoholkontrolle!)
Beispiel 9: Deformierte Einheitskreise
+ = 1
haben nur in seltenen Fällen eine elementar berechenbare Bogenlänge. Der Umfang ist
x p
y p
⌠
2/p-2
U( p ) = 4 ⎮
p
⎮ 1 + ( 1 − x ) x d
⌡
2p-2 x .
Hier die drei wichtigsten Beispiele:
0
1
Kreis , p = 2 , U( p ) = 2 π
Raute , p = 1 , U( p ) = 4 2
Astroide , p = 2/3 , U( p ) = 6
Beispiel 10: Zykloiden
Rollt ein Rad mit Radius r auf einer ebenen Bahn ab (siehe Abschnitt 7.1), so durchläuft ein Punkt
auf dem Rad im Abstand a vom Mittelpunkt die Zykloide
x( t ) = r t − a sin( t ) , y( t ) = r − a cos( t )
mit der skalaren Geschwindigkeit
2
v( t ) = ( r − a cos( t)
) + a 2
sin( t) 2 = r + −
2
a 2
2 r a cos( t ) = r +
2
a 2
,
2 r a
δ =
r +
2
.
2
a
Daraus ergibt sich die Bogenlänge zwischen den Drehwinkeln α und β:
β
⌠
sα( β ) = ⎮ v( t) dt
= r −
⌡
2
a 2 ⌠
⎮
⌡
α
α
β
1 − δ cos( t) dt
.
1 − δ cos( t )

Für beliebiges a ist dies Integral nicht elementar auswertbar! Aber für Punkte auf der Peripherie,
also a = r , ist es einfach:
β
⌠
sα( β ) = ⎮ 2 r − d
⌡
α
2
2 r 2
⌠
⌠
⎮ 1 − cos( t)
⎮ ⎛ ⎞
cos( t ) t = 2 r ⎮
dt
= 2 r ⎮ sin⎜ ⎟ d
⎮ 2
⎮ ⎝ ⎠
⌡
⌡
t
t
2
= 4 r ⎛ ⎛ ⎞ ⎞
⎜ cos⎜ ⎟ − ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
α ⎛ ⎞
cos⎜ ⎟
2 ⎝ ⎠
β
,
2
solange α und β zwischen 0 und 2 π liegen. Speziell ist nach einer vollen Umdrehung
s0( 2 π ) = 8 r ,
also der zurückgelegte Weg gleich dem vierfachen Durchmesser des Rades. Die Kreiszahl π
kommt hier trotz der Umdrehung nicht vor!
Im Falle a ≠ r führt die Substitution u =
2
1 − cos( t ) ⎛ ⎞
= sin⎜ ⎟
2 ⎝ ⎠
t
2
auf das nicht elementar lösbare elliptische Integral
t
2
α
β
zusammen mit der trigonometrischen Formel
⌠
s0( 2 π) = 2 r − a ⎮ 1 + ε d
⌡
2
sin( u )
2 2 r a
u mit ε =
r − a .
0
π
Epi- und Hypozykloiden
Rollt das Rad stattdessen (außen oder innen) auf einem Kreis ab, so ensteht eine Epi- oder
Hypozykloide mit der Parameterdarstellung
⎛ ρ t ⎞
x( t ) = ρ cos( t ) − a σ cos⎜ ⎟
⎝ r ⎠
und der skalaren Geschwindigkeit
, y( t ) = ρ sin( t ) − a
⎛ ρ t ⎞
sin⎜ ⎟ ,
⎝ r ⎠
ρ r + −
v( t)
=
2
a 2 ⎛ R t ⎞
2 r a cos⎜ ⎟
⎝ r ⎠
,
r
wobei σ = 1 für "außen", σ = −1 für "innen" und ρ für R + σ r steht.
Die Bogenlänge ist hier für Randpunkte ( r = a):
β
α

Für r =
R
n
β
⌠
⎛ R t ⎞
β
⎮ 1 − cos
⎮
⎜ ⎟ ⌠
sα( β ) = 2 ρ ⎮
⎝ r ⎠ ⎮ ⎛ R t ⎞
⎮
dt
= 2 ρ ⎮ sin⎜ ⎟ dt
=
⎮
2
⎮ ⎝ 2 r ⎠
⎮
⌡
⌡
α
α
und einen vollen Umlauf ergibt sich
4 R ( n + σ )
s0( 2 π)
=
n 2
⌠
⎮
⌡
0
sin( u) du
= 8 R ⎛ ⎞
⎜ 1 + ⎟
⎝ ⎠
σ
n .
Einige spezielle Werte bei R = 1:
n 1 2 3 4 5
außen 16 12 32/3 10 48/5
innen 0 4 16/3 6 32/5
n π
n = 3
n = 5
R β
2 r
4 r ρ
R d
⌠
⎮ sin( u ) u .
⌡
Die Summe der äußeren und der inneren Weglänge ist stets das achtfache des großen
Kreisdurchmessers!
Geht n gegen ∞ , so konvergiert sowohl außen als auch innen die Weglänge eines vollen Umlaufs
gegen den vierfachen Durchmesser des großen Kreises. Die Umlaufkurven selbst konvergieren
aber gleichmäßig gegen die Kreisbahn!! Wieder einmal die Quadratur des Kreises ??
R α
2 r