Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

86 KAPITEL 7. GRUNDBEGRIFFE VON WÄRMEÜBERGANG UND KONVEKTION
modernen Hydrodynamik den Weg bahnten. Zuvor soll jedoch der Energietransport in zähen
Flüssigkeiten - das Hauptanliegen dieses Kapitels - formuliert werden.
Die Zustandsgleichungen der Fluide: Bei Unterstellung nahezu konstanter Dichte kann
auf die Angabe einer thermischen Zustandsgleichung verzichtet werden; man benötigt nur die
kalorische Zustandsgleichung für den Energietransport
� � � �
T ∂ϱ dp
dh = cp dT +
+ 1
ϱ ∂T ϱ ,
du = cv dT −
�
T
� ∂p
∂T
p
�
ϱ
− p
�
dϱ
.
ϱ2 Raumbeständige Fluide (ϱ=const.) bei mäßiger Druckänderung:
Ideale Gase:
dh ≈ cp dT,
du ≈ cv dT,
cp ≈ cv = c.
dh = cp dT,
du = cv dT,
cp − cv = R.
Vereinbarung: Wir verwenden - wie schon bei den Festkörpern- die Beziehungen dh = cp dT
und du = cv dT für beide Fluidmodelle.
Über eine Energiebilanz an einem raumfesten Volumenelement folgt für raumbeständige Fluide
(ϱ = const.) und ebene Strömung (x, y, u, v):
�
ϱcp u ∂T
� �
∂T
∂2T + v = λ
∂x ∂y
∂x2 + ∂2T ∂y2 �
+ u ∂p ∂p
+ v
∂x ∂y
+ η φ. (7.9)
Advektion Wärmeleitung Kompression Dissipation
Mit φ wird die Dissipationsfunktion nach Rayleigh bezeichnet. Kompressions- und Dissipationsarbeit
sind bei Hochgeschwindigkeitsströmungen von Bedeutung, letztere auch noch bei
sehr zähen Flüssigkeiten. Beide Terme sollen im Weiteren vernachlässigt werden. Dann folgt
die vereinfachte Gleichung
u ∂T ∂T
+ v
∂x ∂y
= a
�
∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 �
, (7.10)
welche nur noch den makroskopischen (molaren) Energietransport mit dem molekularen (diffusiven)
verknüpft. Für die Temperaturleitfähigkeit gilt bekanntermaßen: a = λ/(ϱcp).
Ergänzend zu den hydrodynamischen Randbedingungen folgen die thermischen:
y = 0 : T (x, 0) = TW (konstante Plattentemperatur),
y → ∞ : T (x, ∞) = T∞ (Freistromtemperatur).