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Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

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7.1. WESENTLICHE ERGEBNISSE DER STRÖMUNGSLEHRE 85<br />

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Abbildung 7.3: Grenzschicht und Geschwindigkeitsverteilung beim Einlauf in ein Rohr vom<br />

Durchmesser D<br />

Der Massenerhaltungsatz (Kontinuitätsgleichung):<br />

∂u ∂v<br />

+<br />

∂x ∂y<br />

Der Impulserhaltungssatz (Navier-Stokes-Gleichungen7 )<br />

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ϱ u ∂u<br />

�<br />

∂u<br />

+ v<br />

∂x ∂y<br />

= − ∂p<br />

∂x<br />

+<br />

�<br />

∂2u η<br />

∂x2 + ∂2u ∂y2 �<br />

ϱ u<br />

�<br />

∂v<br />

�<br />

∂v<br />

+ v<br />

∂x ∂y<br />

= − ∂p<br />

∂y<br />

+<br />

�<br />

∂2v η<br />

∂x2 + ∂2v ∂y2 �<br />

= 0. (7.6)<br />

+ ϱ gx, (7.7)<br />

+ ϱ gy, (7.8)<br />

Trägheitskraft Druckkraft Zähigkeitskraft Feldkraft<br />

Neben diesen drei Differentialgleichungen müssen zur eindeutigen Beschreibung eines Modellfalles<br />

noch Randbedingungen sowie die Körperkontur vorgegeben werden. Für die längsangeströmte<br />

ebene Platte lauten die Randbedingungen:<br />

y = 0 : u(x, 0) = 0, (Haftbedingung)<br />

v(x, 0) = 0, (Platte massedicht)<br />

y → ∞ : u(x, ∞). = u∞ (Anströmgeschwindigkeit)<br />

7.1.6 Die Energieerhaltungsgleichung viskoser Fluide<br />

Die hydrodynamischen Grundgleichungen – ein System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen<br />

– konnten bis 1908 (!) nur <strong>für</strong> wenige einfache Fälle gelöst werden. Diese Feststellung<br />

führt naheliegenderweise auf die Frage, welches die neuen Methoden waren, die der<br />

7 Claude Louis Marie Henri Navier, frz. Physiker und Ingenieur, *Dijon 15.2. 1785, Paris 23.8. 1836; ab 1819<br />

Prof. in Paris, leistete bed. Beiträge zur Mechanik, Baustatik und Hydrodynamik. c○1999 Bib. Inst. & F.A.<br />

Brockhaus AG

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