Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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72KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME<br />
und somit<br />
oder<br />
� �<br />
1 − θh<br />
ln =<br />
1 − θc<br />
k A<br />
(1 −<br />
˙Cc<br />
˙ Cr),<br />
N(θc, ˙ 1<br />
Cr) =<br />
1 − ˙ � �<br />
1 − Crθc<br />
˙<br />
ln<br />
. (6.20)<br />
Cr 1 − θc<br />
Hiermit ist <strong>für</strong> den Gegenstromwärmetauscher das Auslegungsproblem gelöst. Durch Umformen<br />
der Gleichung (6.20) ist in diesem Fall auch die <strong>für</strong> eine Nachrechnung benötigte explizite<br />
Form der Betriebscharakteristik zu finden:<br />
�<br />
1 − exp −N(1 −<br />
θc = ˙ �<br />
Cr)<br />
1 − ˙ �<br />
Cr exp −N(1 − ˙ �. (6.21)<br />
Cr)<br />
Wie man leicht nachprüfen kann, gelten die Betriebscharakteristiken (6.20) und (6.21) auch<br />
dann, wenn der heißere Fluidstrom den kleineren Wärmekapazitätsstrom aufweist. In diesem<br />
Fall ist einfach in (6.21) und (6.20) θc durch θh zu ersetzen.<br />
6.3.3 Wirkungsgrad eines Wärmetauschers<br />
Um den Wirkungsgrad eines Wärmetauschers zu bestimmen, muss zuerst geklärt werden, was<br />
unter einem idealen Wärmetauscher zu verstehen ist bzw. wie groß dessen Wärmeleistung ist.<br />
Ein thermodynamisch idealer, reversibler Wärmetauscher müsste mit infinitesimal kleinen<br />
Temperaturdifferenzen zwischen heißem und kaltem Fluid arbeiten. Damit wäre zwangsläufig<br />
auch die Austrittstemperatur des kalten Fluids gleich der Eintrittstemperatur des heißen<br />
Stromes und umgekehrt:<br />
T ′ c = Th; T ′ h = Tc. (6.22)<br />
Dieser ideale Wärmetauscher setzt nicht nur eine unendlich große Übertragungsfähigkeit<br />
kA → ∞ zur Erreichung eines endlichen Wärmestromes bei verschwindender Temperaturdifferenz<br />
∆T voraus, sondern auch Gleichheit der beiden Wärmekapazitätströme ˙ Cc = ˙ Ch.<br />
Letzteres folgt aus dem ersten Hauptsatz (6.16) mit (6.22) – oder lässt sich intuitiv mit<br />
Symmetrieargumenten begründen.<br />
Falls nun ˙ Cc �= ˙ Ch, so erreicht nur der Strom mit geringerem ˙ C die Eintrittstemperatur<br />
des anderen Fluidstroms. Dies lässt sich durch ein Widerspruchsargument leicht zeigen. Man<br />
nehme an, dass ˙ Cc < ˙ Ch und trotzdem T ′ h = Tc. Mit dem ersten Hauptsatz (6.16)<br />
˙Cc(T ′ c − Tc) = ˙ Ch(Th − T ′ h )<br />
folgt daraus sofort T ′ c > Th – was unmöglich ist ! (q.e.d.)<br />
Der maximale Wärmestrom eines idealen Wärmetauschers mit ungleichen Wärmekapazitätströmen<br />
beträgt somit<br />
˙Qmax = ˙ Cmin(Th − Tc),
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