Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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6.2. WÄRMEVERLUSTE BEI STRÖMUNG IM ROHR 65<br />
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Abbildung 6.2: Abkühlung eines Fluids beim Durchströmen einer mehrlagigen Rohrleitung<br />
bezüglich der konstanten Umgebungstemperatur<br />
Eine stationäre Energiebilanz am ortsfesten ” Kontrollfenster“ K im Bereich (x; x + dx) liefert<br />
bei Vernachlässigung jeglicher Längswärmeleitung (Fluid, Stahlrohr, Wärmedämmung) die<br />
Differenzialgleichung<br />
˙H(x) − ˙ H(x + dx) − d ˙ Q = 0.<br />
Für den (advektiven) Enthalpiestrom in x-Richtung gilt mit (6.5) ˙ H(x) = ˙m c Tm(x) und<br />
somit<br />
− ˙m c dTm<br />
dx − k 2πra (Tm − T∞) = 0.<br />
Nach Umstellung folgt die dimensionsbehaftete Differenzialgleichung nebst Randbedingung.<br />
dTm<br />
dx<br />
+ k 2πra<br />
˙m c<br />
(Tm − T∞) = 0; T (x = 0) = T0. (6.6)<br />
Da der Wärmeaustauschvorgang im Temperaturintervall T0 − T∞ abläuft und sich der Quotient<br />
˙m c/k 2πra als Bezugslänge xB anbietet, definieren wir:<br />
mit der Lösung<br />
θ ≡ Tm(x) − T∞<br />
, ξ ≡<br />
T0 − T∞<br />
x<br />
xB<br />
= k 2πra x<br />
. (6.7)<br />
˙m c<br />
θ(ξ) = exp (−ξ). (6.8)<br />
Ein exponentiell abklingender Temperaturverlauf war zu erwarten, da die Änderungsgeschwindigkeit<br />
dT/dx bzw. dθ/dξ der Temperatur proportional zu der den Wärmestrom treibenden<br />
Temperaturdifferenz zwischen dem Fluid im Rohr und der Umgebung ist.<br />
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