Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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64KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME<br />
<strong>für</strong> das Verhältnis Wandwärmeverlust zu Frischwasserkühlung ergibt sich:<br />
Mit diesen Definitionen vereinfacht sich Gleichung (6.1) zu<br />
∆t ≡ m0 1<br />
,<br />
˙m 1 + ω<br />
(6.2)<br />
∆T ≡<br />
˙Qel<br />
.<br />
˙m c (1 + ω)<br />
(6.3)<br />
dθ<br />
dτ<br />
+ θ = 1,<br />
mit der Randbedingung θ(τ = 0) = 0. Daraus folgt die Lösung:<br />
θ(τ) = 1 − exp (−τ). (6.4)<br />
Man beachte, dass ursprünglich die folgenden 9 Systemparameter gegeben waren: T0, ˙m, m0, c,<br />
AB, k, ˙ Qel, T (t) und t, welche dann mit Hilfe der Normierungsstrategie auf θ und τ reduziert<br />
werden konnten!<br />
6.2 Wärmeverluste bei Strömung im Rohr<br />
Wieder setzen wir ein Fluid mit temperatur- und druckunabhängiger Dichte ϱ ≈ const. und<br />
Wärmekapazität c ≈ const. voraus. Dann gilt bezüglich der spez. Enthalpie h ≈ c T und<br />
damit<br />
<strong>für</strong> die Enthalphie dH eines Massenelements dm.<br />
dH ≈ dm c T (6.5)<br />
Ein konstanter Massenstrom ˙m dieses Fluids werde in eine Rohrleitung bei x = 0 mit der<br />
Temperatur T0 eingespeist (Anwendungsbeispiel: Fernwärmeleitung). Die Rohrwand kann aus<br />
mehreren Schichten 1, . . . , N aufgebaut sein (z.B. Stahl und wärmedämmendes Isolationsmaterial,<br />
siehe Abb. 6.2), der Wärmeverlust d ˙ Q auf der Streckenlänge dx wird dann aus der<br />
Péclet-Gleichung bestimmt:<br />
d ˙ Q = �<br />
1<br />
αiri<br />
2π dx (Tm(x) − T∞)<br />
+ 1<br />
λ1<br />
ln r1<br />
ri<br />
+ . . . + 1<br />
αara<br />
� ≡ k 2πra (Tm(x) − T∞) dx.<br />
Die hier vorkommenden Koeffizienten αi, αa, λ1, λ2, . . . , λN und die Abmessungen ri, r1, r2,<br />
. . . , ra sollen gegeben und konstant sein, T∞ ist dabei die Umgebungstemperatur und Tm(x) eine<br />
mittlere örtliche Fluidtemperatur. Letztere ist als über den Querschnitt energetisch gemittelte<br />
adiabate Mischtemperatur definiert, näheres findet sich im Skript zur Vorlesung Wärmeund<br />
Stoffübertragung. Mit k [W/m 2 -K] wird wie in Abschnitt 3.1 der Wärmedurchgangskoeffizient<br />
der Rohrwand bezeichnet.