Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

64KAPITEL 6. MASSEN- UND ENERGIEBILANZEN FÜR DURCHSTRÖMTE SYSTEME
für das Verhältnis Wandwärmeverlust zu Frischwasserkühlung ergibt sich:
Mit diesen Definitionen vereinfacht sich Gleichung (6.1) zu
∆t ≡ m0 1
,
˙m 1 + ω
(6.2)
∆T ≡
˙Qel
.
˙m c (1 + ω)
(6.3)
dθ
dτ
+ θ = 1,
mit der Randbedingung θ(τ = 0) = 0. Daraus folgt die Lösung:
θ(τ) = 1 − exp (−τ). (6.4)
Man beachte, dass ursprünglich die folgenden 9 Systemparameter gegeben waren: T0, ˙m, m0, c,
AB, k, ˙ Qel, T (t) und t, welche dann mit Hilfe der Normierungsstrategie auf θ und τ reduziert
werden konnten!
6.2 Wärmeverluste bei Strömung im Rohr
Wieder setzen wir ein Fluid mit temperatur- und druckunabhängiger Dichte ϱ ≈ const. und
Wärmekapazität c ≈ const. voraus. Dann gilt bezüglich der spez. Enthalpie h ≈ c T und
damit
für die Enthalphie dH eines Massenelements dm.
dH ≈ dm c T (6.5)
Ein konstanter Massenstrom ˙m dieses Fluids werde in eine Rohrleitung bei x = 0 mit der
Temperatur T0 eingespeist (Anwendungsbeispiel: Fernwärmeleitung). Die Rohrwand kann aus
mehreren Schichten 1, . . . , N aufgebaut sein (z.B. Stahl und wärmedämmendes Isolationsmaterial,
siehe Abb. 6.2), der Wärmeverlust d ˙ Q auf der Streckenlänge dx wird dann aus der
Péclet-Gleichung bestimmt:
d ˙ Q = �
1
αiri
2π dx (Tm(x) − T∞)
+ 1
λ1
ln r1
ri
+ . . . + 1
αara
� ≡ k 2πra (Tm(x) − T∞) dx.
Die hier vorkommenden Koeffizienten αi, αa, λ1, λ2, . . . , λN und die Abmessungen ri, r1, r2,
. . . , ra sollen gegeben und konstant sein, T∞ ist dabei die Umgebungstemperatur und Tm(x) eine
mittlere örtliche Fluidtemperatur. Letztere ist als über den Querschnitt energetisch gemittelte
adiabate Mischtemperatur definiert, näheres findet sich im Skript zur Vorlesung Wärmeund
Stoffübertragung. Mit k [W/m 2 -K] wird wie in Abschnitt 3.1 der Wärmedurchgangskoeffizient
der Rohrwand bezeichnet.