Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

4.3. BIOT- UND FOURIER ZAHL 39
4.3.2 Ähnlichkeitsform der Lösung
Eine weitere Kennzahl, welche bei Problemen der instationären Wärmeleitung eine wichtige
Rolle spielt ist, die Fourier-Zahl Fo. Sie ist definiert als eine dimensionslose Zeit
Fo ≡ at Wärmeleitung
∼ . (4.5)
L2 Wärmespeicherung
Hier ist a ≡ λ/ρc die Temperaturleitfähigkeit des Festkörpers. Die oben hergeleitete Lösung
(4.1) für die zeitliche Entwicklung der Temperatur θ einer Blockkapazität lässt sich mit diesen
Definitionen kompakt darstellen
mit n = 0, 1, 2 für Platte / Zylinger / Kugel.
Zusammenfasssung
θ = θ( Bi, Fo) = exp(−(n + 1) Bi Fo).
• Die Temperatur eines Körpers, der einer plötzlichen Änderung der Umgebungstemperatur
ausgesetzt ist, bleibt in guter Näherung räumlich konstant wenn der Wärmeübergangswiederstand
(∼ 1/αA) viel größer ist als der Wärmeleitwiderstand (∼ 1/λL).
• Diese Bedingung lässt sich mit Hilfe der Biot-Zahl Bi ≡ αL/λ, einer dimensionslosen
Kennzahl, wie folgt formulieren: Bi ≪ 1.
• Der Temperaturunterschied zwischen dem Körperinneren und der Umgebung klingt mit
der Zeit exponentiell ab. Die Abklingkonstante ist proportional zur Wärmekapazität des
Körpers und zum Wärmeübergangswiederstand. Mit Hilfe der Biot- und der Fourier-
Zahlen schreibt man dimensionslos θ = exp(−Fo Bi).
• Ein gut wärmeleitender Festkörper verhält sich damit in seinem Sprungantwortverhalten
analog zu einem elektrischen Kondensator.
• Der Thermometerfehler der 1. Art ist auf die thermische Trägheit der Thermometerperle
zurückzuführen und lässt sich mittels der Methode der Blockkapazität quantitativ
erfassen (und damit korrigieren).