Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

4.3. BIOT- UND FOURIER ZAHL 37
Die Bezugstemperatur TBez ist nicht a priori bekannt, sondern wird so gewählt, dass sich die
normierte Differentialgleichung
dθ
dτ
+ θ = B · t
∆TBez
= B · τ
∆TBez
m c
αA
möglichst einfach darstellt. Damit liegt folgende Definition nahe:
∆TBez ≡ B ·
dθ
dτ
+ θ = τ
mit der normierten Anfangsbedingung θ(τ = 0) = 0 und der normierten Badtemperatur
θB(τ) = τ. Es folgt die Lösung:
m c
αA
θ(τ) = exp(−τ) + τ − 1,
mit dem asymptotischen Verhalten (siehe Abb. 4.3):
θτ→∞ = τ − 1, (4.2)
θτ→0 =
τ 2
τ 2
1 − τ + + .... + τ − 1 ≈ .
2 2
(4.3)
Für ausreichend lange Zeiten τ → ∞ ”hinkt” die vom Thermometer angezeigte Temperatur
der Badtemperatur um den Betrag ∆θ = 1 bzw.
TB − T (t → ∞) = B mc
αA
hinterher. Diese Differenz ist als Thermometerfehler der 1. Art bekannt. Falls die Aufheizgeschwindigkeit
(B) vorgegeben ist kann, der Fehler minimiert werden indem die Wärmekapazität
mc klein, der Wärmeübergangseinfluss αA möglichst hoch gewählt wird.
Die quantiative Kenntnis des Thermometerfehlers erlaubt zudem eine Korrektur von Messwerten
und damit eine genauere Bestimmung der Temperatur unter instationären Bedingungen.
4.3 Biot- und Fourier Zahl
4.3.1 Gültigkeitsbereich der Näherung ” Blockkapazität“
Mit zunehmendem Wärmeübergang αA nimmt, wie gezeigt, die Größe des Thermometerfehlers
TB − T (t → ∞) ab. Bei endlicher Wärmeleitfähigkeit λ ist dies jedoch unter Umständen
nicht mehr mit den zugrunde liegenden Näherungen vereinbar! Voraussetzung für das Modell
der Blockkapazität ist – wie einleitend gesagt – dass der Wärmeübergangswiderstand
1/αA ∼ 1/αL 2 wesentlich größer sei als der Wärmeleitwiderstand 1/λL im Material, wobei L
eine charakteristisches Längenmaß der Geometrie – z.B. die Dicke der Platte oder der Radius