Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

36KAPITEL 4. INSTATIONÄRE WÄRMELEITUNG - METHODE DER BLOCKKAPAZITÄT
Zylinder: A
V
Θ(τ)
�����
�����
Θ� (τ)
∆Θ ∞
Θ(τ)
�����
� � �
Abbildung 4.3: Thermometer im aufgeheizten Bad
2πl
=
R2 2
=
πl R
Kugel: A
V = 4R2 π
4/3R 3 π
(A entspricht nur Mantelfäche wegen l ≫ R),
= 3
R .
Anwendungsbeispiel für das Blockmodell: Ein Thermometer wird plötzlich in kaltes Wasser
getaucht ( ” Sprungabkühlung“).
4.2 Thermometerfehler der 1. Art
Das gleiche Grundmodell kann auch zur Berechnung der Temperaturänderung eines Thermometers
verwendet werden, das sich in einem stetig aufgeheizten Bad befindet. Auch in diesem
Fall wird der Sensorbereich des Thermometers als Blockkapazität der Größe mc = ρcV betrachtet.
Die Bad-Temperatur TB soll linear mit der Zeit T zunehmen:
TB(t) = T0 + B t.
Die Differenzialgleichung für die Temperatur T des Thermometers folgt wieder aus der Energieerhaltung:
−αA(T − TB) dt = m c dT,
mit der Anfangsbedingung T (t = 0) = TB(t = 0) = T0.
Normierung:
θ(t) =
T − T0
,
∆TBez
θB(t) = TB − T0
∆TBez
τ = αAt
m c .
= B · t
∆TBez
,
τ