Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

4.1. SPRUNGANTWORT EINER BLOCKKAPAZITÄT 35
θ H = 0.5
1.0
0.8
0.6
0.4
θ z
0.2
0.0
0.0
0.5
τ H
1.0
Abbildung 4.2: Systemcharacteristika einer Blockkapazität: Halbwertszeit τH und Zeitkonstante
(für den Fall τZ = 1).
τ ≡
t
t Bezug
findet man
dθ
= −dτ.
θ
Diese Gleichung kann sofort integriert werden:
≡
1.5
τ
ln(θ) = −τ + C1.
2.0
t
ϱcV/(αA) ,
Mit der normierten Anfangsbedingungen θ(τ = 0) = 1 ergibt sich C1 = 0 und
2.5
θ = exp (−τ), (4.1)
die Anfangsstörung klingt also exponentiell ab. Gebräuchliche Systemcharakteristika einer
Blockkapazität sind die Halbwertzeit (gebräuchlich v.a. in der Physik)
θH = 1
2 → τH = ln(2) = 0.693 → tH = ϱcV
αA ln(2) = t Bezug ln(2),
oder die Zeitkonstante (oft bevorzugt von Ingenieuren):
τZ ≡ 1 → θZ = 0.368 → tZ = ϱcV
αA = t Bezug ,
τ2Z ≡ 2 → θ2Z = 0.135,
τ3Z ≡ 3 → θ3Z = 0.050.
Die Form des Körpers spielt nur insoweit eine Rolle, als sie das Verhältnis A/V ∼ 1/L bestimmt.
Für die einfachen Körper findet man:
Platte: A
V
2A 1
= =
2AL L
(Plattendicke: 2L ≪ X- bzw. Y -Abmessungen),
3.0