Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

34KAPITEL 4. INSTATIONÄRE WÄRMELEITUNG - METHODE DER BLOCKKAPAZITÄT
T oo
T(t)
T 0
, c,V
, A
C
Abbildung 4.1: Analogie zwischen dem Abkühlen eines gut wärmeleitenden Festkörpers (links)
oder eines gerührten Behälters (rechts) und dem Entladen eines elektrischen Kondensators.
Einander entsprechende Einflussgrößen sind: 1) gespeicherte Wärme Q = ρcV (T0 − T∞) bzw.
elektrische Ladung Q = CU, 2) der den Ausgleichsvorgang treibende Potenzialunterschied,
d.h. Temperaturunterschied T0 − T∞ bzw. Spannung U, 3) Wärmeübergangs- und Wärmedurchgangswiderstand
1/αA, 1/kA bzw. Ohmscher Widerstand R.
analog zur Auf- oder Entladung eines elektrischen Kondensators gegen den Ohm’schen Widerstand
R, siehe Bild 4.1 Mathematisch genau gleich zu behandeln wäre das Modell eines
Behälters, in dem sich ein gut durchmischtes Fluid befindet, welches mit der Umgebung
über einen Wärmedurchgangskoeffizienten k in thermischen Kontakt steht, weshalb der im
Folgenden diskutierte Ansatz auch als Methode des (ideal) gerührten Behälters bekannt ist.
Thematisch tangiert diese Betrachtungsweise schon eines der nächsten Kapitel, da die Durchmischung
durch freie und erzwungene Konvektion bewirkt wird.
4.1 Sprungantwort einer Blockkapazität
Abbildung 4.1 zeigt einen thermisch gut leitenden Festkörper mit seinen thermischen Eigenschaften
nebst dem entsprechenden Analogie-Modell aus der Elektrotechnik. Die Wärmekapazität
des Körpers ist gleich dem Produkt der Masse m = ρV [kg] und der spezifischen
Wärmekapazität c [J/kg-K]. Wie beim Entladen eines elektrischen Kondensator benötigt die
” Ausspeicherung“ von Wärme eine gewisse Zeit. Je größer das treibende Potential, d.h. der
Temperaturunterschied T − T0 (entsprechend der Spannung) bzw. je kleiner der Wärmeübergangswiderstand
(entsprechend dem Ohmschen Widerstand), desto kleiner ist diese Zeit.
Die Energieerhaltung fordert, dass die Abfuhr von Wärme zu einer Verringerung der Temperatur
des Körpers führt:
α A (T − T∞) dt = −ϱcV dT,
oder mit dT = d(T − T∞):
d (T − T∞)
(T − T∞)
R
U
= − αA
ϱcV dt.
Anfangsbedingung: T (t = 0) = T0. Mit den normierten Größen
θ ≡
T − T∞
,
T0 − T∞
T oo
T 0
k, A