Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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34KAPITEL 4. INSTATIONÄRE WÄRMELEITUNG - METHODE DER BLOCKKAPAZITÄT<br />
T oo<br />
T(t)<br />
T 0<br />
, c,V<br />
, A<br />
C<br />
Abbildung 4.1: Analogie zwischen dem Abkühlen eines gut wärmeleitenden Festkörpers (links)<br />
oder eines gerührten Behälters (rechts) und dem Entladen eines elektrischen Kondensators.<br />
Einander entsprechende Einflussgrößen sind: 1) gespeicherte Wärme Q = ρcV (T0 − T∞) bzw.<br />
elektrische Ladung Q = CU, 2) der den Ausgleichsvorgang treibende Potenzialunterschied,<br />
d.h. Temperaturunterschied T0 − T∞ bzw. Spannung U, 3) Wärmeübergangs- und Wärmedurchgangswiderstand<br />
1/αA, 1/kA bzw. Ohmscher Widerstand R.<br />
analog zur Auf- oder Entladung eines elektrischen Kondensators gegen den Ohm’schen Widerstand<br />
R, siehe Bild 4.1 Mathematisch genau gleich zu behandeln wäre das Modell eines<br />
Behälters, in dem sich ein gut durchmischtes Fluid befindet, welches mit der Umgebung<br />
über einen Wärmedurchgangskoeffizienten k in thermischen Kontakt steht, weshalb der im<br />
Folgenden diskutierte Ansatz auch als Methode des (ideal) gerührten Behälters bekannt ist.<br />
Thematisch tangiert diese Betrachtungsweise schon eines der nächsten Kapitel, da die Durchmischung<br />
durch freie und erzwungene Konvektion bewirkt wird.<br />
4.1 Sprungantwort einer Blockkapazität<br />
Abbildung 4.1 zeigt einen thermisch gut leitenden Festkörper mit seinen thermischen Eigenschaften<br />
nebst dem entsprechenden Analogie-Modell aus der Elektrotechnik. Die Wärmekapazität<br />
des Körpers ist gleich dem Produkt der Masse m = ρV [kg] und der spezifischen<br />
Wärmekapazität c [J/kg-K]. Wie beim Entladen eines elektrischen Kondensator benötigt die<br />
” Ausspeicherung“ von Wärme eine gewisse Zeit. Je größer das treibende Potential, d.h. der<br />
Temperaturunterschied T − T0 (entsprechend der Spannung) bzw. je kleiner der Wärmeübergangswiderstand<br />
(entsprechend dem Ohmschen Widerstand), desto kleiner ist diese Zeit.<br />
Die Energieerhaltung fordert, dass die Abfuhr von Wärme zu einer Verringerung der Temperatur<br />
des Körpers führt:<br />
α A (T − T∞) dt = −ϱcV dT,<br />
oder mit dT = d(T − T∞):<br />
d (T − T∞)<br />
(T − T∞)<br />
R<br />
U<br />
= − αA<br />
ϱcV dt.<br />
Anfangsbedingung: T (t = 0) = T0. Mit den normierten Größen<br />
θ ≡<br />
T − T∞<br />
,<br />
T0 − T∞<br />
T oo<br />
T 0<br />
k, A