Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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Kapitel 4<br />
Instationäre Wärmeleitung -<br />
Methode der Blockkapazität<br />
Die bisherige Behandlung von Wärmeleitungsproblemen erfolgte unter der Voraussetzung<br />
dass diese zeitunabhängig ablaufen. Solche Situationen treten - wenigstens näherungsweise<br />
- dann auf, wenn nach Einwirkung einer äußeren oder inneren thermischen Störung eines<br />
Systems soviel Zeit verstrichen ist, so dass sich (zumindest lokal) ein thermodynamischer<br />
Gleichgewichtszustand einstellen konnte (Realfall: wärmegedämmte Fernheizleitung; Trivialfall:<br />
kalter Kaffee“). In diesem Abschnitt soll nun der nichtstationäre thermische Anlauf<br />
”<br />
oder Ausgleich, d.h. das zeitliche und örtliche Temperaturverhalten eines Körpers unmittelbar<br />
nach erfolgter Störung der Rand- bzw. Anfangsbedingungen (Wärmeübergangssprung:<br />
” Abschrecken“ oder Wärmequellenzuschaltung: Mikrowellenherd“) untersucht werden.<br />
”<br />
Grundsätzlich beschreibt die Fouriersche Differenzialgleichung (2.8) <strong>für</strong> das Temperaturfeld<br />
T (�x, t) Probleme der instationären Wärmeleitung. Da die Bestimmung von Lösungen dieser<br />
partiellen Differenzialgleichungen jedoch anspruchsvollere mathematische Methoden erfordert,<br />
werden wir uns im Rahmen dieser Vorlesung nur mit einer einfachen Näherungslösung<br />
befassen, die als Methode der Blockkapazität bekannt ist. Im Rahmen dieser Modellvorstellung<br />
geht man davon aus, dass örtliche Temperaturunterschiede im Vergleich zur Differenz zwischen<br />
der Anfangstemperatur T0 des Körpers und der Umgebungstemperatur T∞ vernachlässigbar<br />
klein bleiben,<br />
|T (t, �x1) − T (t, �x2)| ≪ |T0 − T∞| <strong>für</strong> beliebige t und �x1, �x2 im Körper.<br />
Somit ist nur die Zeit-, nicht aber die Ortsabhängigkeit der Temperatur T zu berücksichtigen,<br />
d.h. T (t, �x) → T (t). Dies wird – wie im Folgenden noch gezeigt wird – näherungsweise der<br />
Fall sein, wenn der thermische Widerstand Rλ <strong>für</strong> die Wärmeleitung im Körper viel kleiner<br />
ist als der Widerstand Rα <strong>für</strong> den Wärmeübergang von der Oberfläche des Körpers an die<br />
Umgebung (siehe Abschnitt 3.1).<br />
Das Problem des Wärmeaustausches mit der Umgebung aufgrund eines Temperaturunterschiedes<br />
und gegen den Wärmeübergangswiderstand ist im Rahmen dieser Näherung vollständig<br />
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