Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

Kapitel 4
Instationäre Wärmeleitung -
Methode der Blockkapazität
Die bisherige Behandlung von Wärmeleitungsproblemen erfolgte unter der Voraussetzung
dass diese zeitunabhängig ablaufen. Solche Situationen treten - wenigstens näherungsweise
- dann auf, wenn nach Einwirkung einer äußeren oder inneren thermischen Störung eines
Systems soviel Zeit verstrichen ist, so dass sich (zumindest lokal) ein thermodynamischer
Gleichgewichtszustand einstellen konnte (Realfall: wärmegedämmte Fernheizleitung; Trivialfall:
kalter Kaffee“). In diesem Abschnitt soll nun der nichtstationäre thermische Anlauf
”
oder Ausgleich, d.h. das zeitliche und örtliche Temperaturverhalten eines Körpers unmittelbar
nach erfolgter Störung der Rand- bzw. Anfangsbedingungen (Wärmeübergangssprung:
” Abschrecken“ oder Wärmequellenzuschaltung: Mikrowellenherd“) untersucht werden.
”
Grundsätzlich beschreibt die Fouriersche Differenzialgleichung (2.8) für das Temperaturfeld
T (�x, t) Probleme der instationären Wärmeleitung. Da die Bestimmung von Lösungen dieser
partiellen Differenzialgleichungen jedoch anspruchsvollere mathematische Methoden erfordert,
werden wir uns im Rahmen dieser Vorlesung nur mit einer einfachen Näherungslösung
befassen, die als Methode der Blockkapazität bekannt ist. Im Rahmen dieser Modellvorstellung
geht man davon aus, dass örtliche Temperaturunterschiede im Vergleich zur Differenz zwischen
der Anfangstemperatur T0 des Körpers und der Umgebungstemperatur T∞ vernachlässigbar
klein bleiben,
|T (t, �x1) − T (t, �x2)| ≪ |T0 − T∞| für beliebige t und �x1, �x2 im Körper.
Somit ist nur die Zeit-, nicht aber die Ortsabhängigkeit der Temperatur T zu berücksichtigen,
d.h. T (t, �x) → T (t). Dies wird – wie im Folgenden noch gezeigt wird – näherungsweise der
Fall sein, wenn der thermische Widerstand Rλ für die Wärmeleitung im Körper viel kleiner
ist als der Widerstand Rα für den Wärmeübergang von der Oberfläche des Körpers an die
Umgebung (siehe Abschnitt 3.1).
Das Problem des Wärmeaustausches mit der Umgebung aufgrund eines Temperaturunterschiedes
und gegen den Wärmeübergangswiderstand ist im Rahmen dieser Näherung vollständig
33