Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

28 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
lautet somit die Differenzialgleichung:
2c + n
˙w
(b + 2c · r) + = 0.
r λ
Aus der Randbedingungen bei r = 0 folgt b = 0, damit lässt sich der Koeffizient c aus der
Differenzialgleichung bestimmen:
2c (1 + n) + ˙w
λ
˙w
= 0 ⇒ c = −
2λ(1 + n) .
Wegen der Randbedingungen bei r = R folgt für den Koeffizienten a:
−2c λ R = −α (a + c R 2 − T∞) ⇒ a = −2c λ R
α − c R2 + T∞.
Ergebnis für die Temperatur im Körper (0 ≤ r ≤ R):
T (r) = T∞ +
˙wR 2
2λ(n + 1)
Für den Wärmefluss an der Außenwand gilt:
Mit den Definitionen
�
� �
dT
˙q(R) = −λ =
dr R
˙w R
ξ ≡ r
R ,
θ ≡
Bi ≡ αR
λ
1 + 2λ
αR −
T − T0
˙wR 2 /λ ,
n + 1 .
� � �
2 r
. (3.13)
R
lässt sich das Temperaturprofil kompakt in dimensionsfreier Form darstellen:
θ(ξ) =
Im Zentrum bzw. an der Oberfläche des Körpers gilt:
θ(0) =
�
1
1 +
2(n + 1)
2
�
− ξ2 , 0 ≤ ξ ≤ 1. (3.14)
Bi
�
1
1 +
2(n + 1)
2
�
Bi
und θ(1) =
1
2(n + 1)
Qualitativ sind die Temperaturverhältnisse für große bzw. kleine Werte der Biot-Zahl Bi in
in Bild 3.10 dargestellt.
2
Bi ,