Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

3.3. WÄRMELEITUNG MIT WÄRMEQUELLEN 27
3.3 Wärmeleitung mit Wärmequellen
Im Abschnitt 3 wurde die Fouriersche bzw. Laplacesche Differenzialgleichung (3.1) für die drei
einfachen Geometrien Platte, Zylinder, Kugel gelöst, was der physikalischen Gegebenheit entspricht,
dass diese Körper von einem zeitlich und örtlich konstanten Wärmestrom durchflutet
werden, dessen Quellen und Senken außerhalb der betrachteten Bereiche liegen.
Wir lassen jetzt in den drei Grundgebieten innere Wärmequellen zu und bestimmen die resultierenden
stationären Temperaturfelder über die nach Poisson benannte Differenzialgleichung.
d 2T n dT
+
dr2 r dr
+ ˙w
λ
= 0, (3.12)
mit n = 0: Platte, n = 1: Zylinder, n = 2: Kugel. Die Wärmequellendichte ˙w sei weder
temperatur- noch ortsabhängig.
Randbedingungen:
1. Symmetrie (bei der Platte auch Adiabasie) bei r = 0:
2. Randbedingung 3. Art bei r = R:
−λ dT
dr
dT
dr
�
�
�
� = 0.
r=0
�
�
�
� = α(TW − T∞).
r=R
In diesem besonders einfachen Fall werden Differenzialgleichung und Randbedingungen für
alle drei Geometrien durch eine parabolische Temperaturverteilung, d.h. durch ein Polynom
2. Grades erfüllt.
Mit dem Ansatz
� ∞
���
���
T (r) = a + br + cr 2
α
λ ��
���
Abbildung 3.9: Symmetrische Temperaturverteilung in den 3 einfachen Körpern bei konstanter
Wärmequellendichte
α