Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
22 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG<br />
Mit der Einführung dimensionsloser Variablen:<br />
vereinfacht sich diese Beziehung zu<br />
ϱ = ξ2 = r2<br />
, (Radius)<br />
r1<br />
Bi = α2r1<br />
, (Biot-Zahl)<br />
λ<br />
Φ =<br />
˙Q<br />
, (Wärmestrom)<br />
α22πlr1 (TW 1 − T∞2)<br />
Φ =<br />
1<br />
Bi ln(ϱ) + 1<br />
ϱ<br />
. (3.7)<br />
Die Biot-Zahl Bi [-], benannt nach Jean-Baptiste Biot, einem Zeitgenossen Fouriers, ist die erste<br />
einer Reihe von dimensionslosen Kennzahlen, welche in dieser Vorlesung diskutiert werden.<br />
Kennzahlen, gebildet als eine dimensionsfreie Kombination von charakteristischen Einflußgrößen<br />
oder Stoffwerten, sind von großem Nutzen um z.B. Wärmetransport- und Strömungsvorgänge<br />
qualitativ und quantitativ zu charakterisieren.<br />
Viele Kennzahlen lassen sich anschaulich als Verhältnis von zwei physikalischen Effekten interpretieren.<br />
So ist Biot-Zahl als Verhältnis von Wärmeleitwiderstand (Wärmeleitung durch<br />
einen Körper) zum Wärmeübergangswiderstand (Wärmetransport von der Oberfläche des<br />
Körpers zum umgebenden Fluid) zu verstehen. Wie wir noch sehen werden, spielt die Biot-<br />
Zahl nicht nur beim Wärmedurchgang, sondern auch bei Problemen der instationären Wärmeleitung<br />
oder der Wärmeleitung mit Quellen eine wichtige Rolle.<br />
Ein Extremum des dimensionslosen Wärmestromes Φ findet man auf bekannte Weise durch<br />
Nullsetzen der ersten Ableitung:<br />
dΦ<br />
dρ =<br />
dΦ<br />
dρ<br />
1 − Bi ρ<br />
2 ,<br />
(1 + Bi ρ ln ρ)<br />
(3.8)<br />
=<br />
1<br />
0 ⇔ ρ = .<br />
Bi<br />
(3.9)<br />
Ein Extremum findet sich also bei r2<br />
=<br />
r1<br />
1<br />
Bi oder r2 = λ<br />
. Fur die zweite Ableitung am<br />
α2<br />
Extremum findet man<br />
d2Φ dρ2 �<br />
�<br />
�<br />
Bi<br />
� = −�<br />
�<br />
ρ = 1/ Bi 1 + ln 1<br />
�2 < 0,<br />
Bi<br />
es liegt also in der Tat ein Maximum des Wärmestromes vor! Dieses liegt jedoch nur dann im<br />
vorgegebenen Hohlzylinderbereich r2/r1 ≥ 1, wenn Bi = r1/r2 ≤ 1 gilt. Abbildung 3.3 zeigt<br />
diese Abhängigkeit von Bi = α2r1/λ. Folglich kann ein Maximum des Wärmestroms auftreten,<br />
wenn der Innenradius r1 und der äußere Wärmeübergangskoeffizient α2 klein, die Wärmeleitfähigkeit<br />
λ hingegen eher hoch ist. Diese Zusammenhänge lässen sich einfach verstehen:<br />
beim Zylinder (wie auch bei der Kugel, s.u.) erhöht sich mit dem Radius r2 zwar die hemmende<br />
Wirkung des Isolationsmantels, jedoch nimmt auch die <strong>für</strong> den äusseren Wärmeübergang
Change language