Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

3.1. WÄRMEDURCHGANG UND PÉCLET-GLEICHUNGEN 21
3.1.5 Sonderfälle
Extrem dicke Körper
Für die drei eben abgehandelten einfachen Körper Platte, Zylinder und Kugel soll der Grenzfall
extrem großer Dicke untersucht werden, und zwar unter Vernachlässigung der Übergangswiderstände
α1 → ∞, α2 → ∞ und damit TW 2 → T∞2 sowie TW 1 → T∞1 bzw TW 1 → TM.
• Platte:
˙Q = λA
s (T∞1 − T∞2) .
für s → ∞ geht ˙ Q → 0, Rλ → ∞.
• Hohlzylinder:
˙Q = 2πlλ
ln (r2/r1) (TM − T∞2)
für r2 → ∞ geht ˙ Q → 0, Rλ → ∞. Da ln(x) schwächer als jede andere Funktion gegen
Unendlich geht, nimmt ˙ Q allerdings nur sehr langsam auf 0 ab.
• Hohlkugel:
˙Q
4πλ
=
1/r1 − 1/r2
(T∞1 − T∞2) .
für r2 → ∞ folgt: ˙ Q = 4πλr1 (TW 1 − TW 2). Demnach wird in den dreidimensional unendlichen
Raum ein endlicher Wärmestrom ausgespeichert! Dies gilt auch für ellipsoidoder
scheibenförmige Hohlräume.
Konsequenz: Ein Lebewesen wie die ” Made im Speck“ muss auch im dicksten Schinken nicht
an Überhitzung eingehen, sofern es seine biologisch bedingte Wärmeproduktion ˙ Q so begrenzt,
dass mit TW 1 = TMade und TW 2 = TSchinken gilt:
Kritischer Radius
TMade = TSchinken +
˙Q
4πλr1
< 37 ◦ C.
Bei oberflächlicher Betrachtung würde man erwarten, dass sich der Wärmedurchgang mit
zunehmender Dicke des Körpers in jedem Fall verringert – mehr ” Isolationsmaterial“ sollte
doch besser isolieren !? – dies trifft jedoch nur für die Platte zu, nicht aber für Hohlzylinder
und Hohlkugeln, wie sich zeigen läßt.
Konstant bleiben sollen: α1, α2, λ, r1, l und ∆ T; zu variieren ist der Außenradius r2. Vereinfachend,
jedoch nicht einschränkend kann α1 → ∞ angenommen werden, was bei durchströmten,
wärmegedämmten Rohren auch meist der Fall ist.
Für den langen Zylinder folgt dann:
˙Q = 2πl (TM − T∞)
1
λ ln
� r2
r1
�
+ 1
,
α2 r2