Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

18 KAPITEL 3. STATIONÄRE WÄRMELEITUNG
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λ
Abbildung 3.2: Zylinder- bzw. Kugelschale mit beidseitigem Wärmeübergang
• Während z.B. bei schlecht wärmeleitenden Baustoffen kein Kontaktwiderstand zwischen
den einzelnen Schichten infolge von (dünnen) Luftspalten zu berücksichtigen ist, müssen
z.B. bei Kernbrennelementen die Spalte zwischen Zirkalloy-Hülle und Uranzylinder mit
dem sehr gut leitenden Gas Helium verpresst werden, um den nicht mehr zu vernachlässigenden
Kontaktwiderstand möglichst klein zu halten. Im Labor wird oftmals Wärmeleitpaste
verwendet um den Kontaktwiderstand zwischen unterschiedlichen Bauelementen
zu verringern.
3.1.2 Péclet-Gleichung für den Zylinder
Die Laplace-Gleichung (3.1) läßt sich für eine zylindrische Geometrie (n = 1) wie folgt schreiben:
�
1 d
r
r dr
dT
�
= 0.
dr
So sieht man, dass für eine Lösung T (r) gelten muss: dT/dr ∼ 1/r und damit:
T (r) = C1 ln(r) + C2.
Der Wärmefluss ˙qr nimmt mit 1/r ab bzw. zu, die Temperatur verläuft logarithmisch! Die
Integrationskonstanten C1, C2 werden wieder über die inneren Randbedingungen bestimmt,
T (r = r1) = TW 1,
T (r = r2) = TW 2.
Das Ergebnis für den Verlauf von Temperatur und Wärmefluss bzw. -strom lautet:
T (r) = TW 1 + (TW 2 − TW 1)
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ln (r/r1)
ln (r2/r1) ,
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