Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

2.3. ZEITLICHE UND ÖRTLICHE RANDBEDINGUNGEN 9
Dies ist bezüglich isotroper Medien die allgemeinste Form der Fourierschen Differentialgleichung.
Setzt man für λ ferner Unabhängigkeit vom Ort (Homogenität) und von der
Temperatur voraus λ = const. �= λ (x, y, z, T), so folgt die in den nächsten Kapiteln ausschließlich
verwendete vereinfachte Form (in Cartesischen Koordinaten):
∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 + ∂2T ˙w
+
∂z2 λ
1 ∂T
= . (2.8)
a ∂t
Als zusammengesetzte Stoffgröße erscheint hier beim Zeitterm die Temperaturleitfähigkeit
a ≡ λ
, (2.9)
ϱ cp
als eine Diffusionskonstante für Temperaturstörungen in einem Medium ([a] = m 2 /s).
Im zylindrischen Koordinatensystem gilt (spezialisiert auf Rotationssymmetrie: ∂T/∂ϕ = 0)
die analoge Differentialgleichung:
∂ 2T 1 ∂T
+
∂r2 r
∂r + ∂ 2T ˙w
+
∂z2 λ
1 ∂T
= , (2.10)
a ∂t
und im sphärischen Koordinatensystem (spezialisiert auf Kugelsymmetrie: ∂T/∂ϕ = 0;
∂T/∂ψ = 0) entsprechend:
∂ 2T 2 ∂T ˙w 1 ∂T
+ + = (2.11)
∂r2 r ∂r λ a ∂t
Häufig darf man voraussetzen, dass eine untersuchte Platte näherungsweise ” unendlich ausgedehnt“
ist, so dass nur Wärmeleitung in einer Richung berücksichtigt werden muss und
ebenso beim Zylinder, dass dieser unendlich lang ist, also kein Wärmetransport in z-Richtung
erfolgt.
2.3 Zeitliche und örtliche Randbedingungen
Bei den instationären Anfangswertproblemen der Wärmeübertragung ist neben den örtlichen
Randbedingungen eine Anfangsbedingung zur Zeit t = 0 erforderlich, und zwar muss das örtliche
Temperaturfeld T (x, y, z, t = 0) = T0(x, y, z) vorgegeben sein. Im eindimensionalen Fall
demnach T0(x) bzw. T0(r). Die meisten Standardlösungen der instationären Fouriergleichung
setzen überdies T0(x) = Tc = const. voraus.
Bevor wir uns den örtlichen Randbedingungen zuwenden, ist ein Vorgriff auf das Hauptkapitel
” Konvektion“ erforderlich, in dem untersucht wird, welcher Wärmeübergang sich einstellt
zwischen einem Festkörper und einem angrenzenden Fluid (Flüssigkeit oder Gas), welches
den Körper umströmt bzw. (im Fall eines Rohres) durchströmt. Newton hatte 1701 für den
fluidseitigen Wärmetransport von der Wand an das strömende Fluid den Ansatz
˙Q = α A (TW − T∞) (2.12)