Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

126 KAPITEL 10. FREIE KONVEKTION
10.3 Kennzahlen und Ähnlichkeitslösungen für die isotherme
Wand
Als Bezugsgrößen sind L und ∆T ≡ TW − T∞ durch die Modellbeschreibung gegeben, jedoch
existiert keine aufgeprägte charakteristische Geschwindigkeit. Wir definieren deshalb:
dann folgt das Gleichungssystem
� ∂ũ
�
ũ ∂θ
∂˜x
˜x = x y u
; ˜y = ; ũ =
L L uB
� uB
; θ =
T − T∞
TW − T∞
∂˜v
+ = 0,
∂˜x ∂˜y L
�
ũ ∂ũ
�
∂ũ u2 B + ˜v
∂˜x ∂˜y L = gβ (TW − T∞) θ + ∂2ũ ∂˜y
�
∂θ uB
+ ˜v
∂˜y L · (TW − T∞) = a
L2 (TW − T∞) ∂2θ ,
∂˜y 2
mit den erforderlichen Randbedingungen
ũ(˜x, 0) = ˜v(˜x, 0) = 0; θ(˜x, 0) = 1,
ũ(˜x, ∞) = 0; θ(˜x, ∞) = 0.
ν,
L2 2 · uB
Die ” Kundschafter“-Geschwindigkeit uB liefert aus der zweiten Gleichung (nach bekanntem
Schema) die ” System“-Geschwindigkeit uB = ν/L sowie die nach Grashof benannte Auftriebskennzahl:
bzw. ” örtlich“
GrL = gβ (TW − T∞) L3 ν2 ,
Grx = gβ (TW − T∞) x3 ν2 .
Diese repräsentiert das Verhältnis der auf das Fluid wirkenden Auftriebskraft zur hemmenden
Zähigkeitskraft.
Aus der Energiegleichung lässt sich auf einfache Weise die schon bekannte Prandtl-Zahl
P r = ν a als Einflussparameter eruieren. 1930 gelang es Schmidt und Beckmann mit Unterstützung
des Mathematikers Polhausen den oben definierten Modellfall speziell für Luft
experimentell und theoretisch zu lösen. Squire hat 1938 mit Hilfe des sog. Integralverfahrens
die (angenäherte) allgemeine Lösung für 0 ≤ P r → ∞ gewonnen. Schließlich gelang es 1953
Ostrach die lange gesuchte Ähnlichkeitslösung“ zu finden, indem er dimensionslose y- und
”
u-Koordinaten der Form
y = y
� �1/4 Grx
u · x
und u =
x 4
2v Gr−1/2 x .
einführte. Die Lösungen für das Geschwindigkeitsfeld und das Temperaturfeld sind in Abb.
10.2 in dimensionsloser Form dargestellt