Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

10.2. BOUSSINESQ-APPROXIMATION DER GRENZSCHICHTGLEICHUNGEN 125
vorausgegangenen Abschnitts identisch. Da kein Stoffaustausch stattfinden soll, werden Dichteänderungen
und Auftrieb nur thermisch ausgelöst.
Kontinuitätsgleichung:
x-Impuls (Grenzschicht):
x-Impuls (ruhendes Fluid):
y-Impuls (Grenzschicht):
Energiegleichung:
∂ρu
∂x
+ ∂ρv
∂y
u ∂u ∂u
+ v = −1
∂x ∂y ρ
0 = − 1
0 = − 1
ρ
u ∂T
∂x
∂p
∂y
ρ∞
= 0; (10.1)
∂p
∂x − g + ν ∂2u ; (10.2)
∂y2 ∂p
− g + 0; (10.3)
∂x
⇒ ∂p
∂x
+ v ∂T
∂y = a∂2 T
∂x 2
dp
≡ ; (10.4)
dx
(10.5)
Nach Gleichung (10.3) folgt für das ruhende Fluid außerhalb der Grenzschicht die Beziehung
dp/dx = −ρ∞ · g, welche wegen (10.4) in (10.2) substituiert werden kann:
u ∂u
∂x
+ v ∂u
∂y
g
=
ρ (ρ∞ − ρ) + ν ∂2u ∂y2 Trägheit Auftrieb Zähigkeit
Boussinesq bzw. Oberbeck führten zur Vereinfachung obiger Gleichungen folgende Näherungen
ein:
1. Das Fluid wird bis auf den Auftriebsterm (in obiger Gleichung) als inkompressibel behandelt,
die Kontinuitätsgleichung vereinfacht sich zu ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 (Divergenzfreie
Geschwindigkeit).
2. Der Volumenausdehnungskoeffizient β wird linearisiert:
β = − 1
ρ
� �
∂ρ
∂T
≈ − 1
ρ
� �
ρ∞ − ρ
=
T∞ − T
1
ρ
die x-Impuls-Gleichung (10.2) lautet dann:
p
u ∂u ∂u
+ v
∂x ∂y = gβ (T − T∞) + ν ∂2u ∂y2 � ρ∞ − ρ
T − T∞
�
;
(10.6)
3. Sämtliche Stoffwerte (β, λ, ρ, cp, ν) werden als näherungsweise konstant betrachtet, man
wählt die mittlere Grenzschichttemperatur TB = (TW + T∞)/2 als Bezugstemperatur.
Bewegungs- und Energiegleichung sind demnach über den Temperaturterm wechselseitig gekoppelt.