Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM
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124 KAPITEL 10. FREIE KONVEKTION<br />
10.1 Freie, laminare Konvektion an der isothermen Wand<br />
T -T<br />
T w<br />
w �<br />
T �<br />
x<br />
� t<br />
�<br />
T(y)<br />
u(y)<br />
Abbildung 10.1: Geschwindigkeits- und<br />
Temperaturgrenzschichten bei freier, laminarer<br />
Konvektion an einer isothermen<br />
Wand.<br />
y<br />
Als beispielhafter Modellfall soll eine vertikale<br />
ebene Platte der Länge L mit der konstanten<br />
Wandtemperatur TW in einem umgebenden Fluid<br />
(η, ρ, cp, λ) der Temperatur T∞ < TW gegeben<br />
sein. Wie bei der Zwangskonvektion wird sich eine<br />
hydraulische und eine thermische Grenzschicht<br />
ausbilden. Während das Temperaturprofil den<br />
gleichen monotonen Verlauf erwarten lässt, muss<br />
das Geschwindigkeitsprofil nicht nur an der Wand<br />
” haften“, sondern auch beim Übergang zum ruhenden<br />
Fluid gegen Null streben und demnach<br />
ein Maximum und einen Wendepunkt aufweisen<br />
(siehe Abb. 10.1).<br />
Eine ungewöhnliche Eigenschaft dieser Grenzschichtströmung<br />
lässt sich aus elementaren Überlegungen<br />
und ” ganz ohne Mathematik“ herleiten:<br />
Fluidelemente, deren Dichte geringer ist als die<br />
Umgebungsdichte ρ∞, verspüren eine Auftriebskraft<br />
und werden mit einer Geschwindigkeit,<br />
die sich aus dem Gleichgewicht von Zähigkeitsund<br />
Auftriebskräften ergibt, nach oben steigen.<br />
Darüber hinaus werden aufgrund der Zähigkeit<br />
auch benachbarte Fluidelemente, die selbst keine<br />
Auftriebskraft verspüren, ”mitgeschleppt”. Es<br />
folgt, dass unabhängig vom Wert der Prandtl-<br />
Zahl die Geschwindigkeitsgrenzschicht in jedem<br />
Falle dicker ist als die thermische Grenzschicht.<br />
Dies ist ein wesentlicher Unterschied zur Zwangskonvektion,<br />
wo im allgemeinen gilt<br />
δt ∼ δ<br />
n ,<br />
Pr<br />
(mit positivem n) und somit bei kleinen Prandtl-Zahlen die thermische Grenzschicht dicker<br />
als die hydraulische Grenzschicht ist.<br />
10.2 Boussinesq-Approximation der Grenzschichtgleichungen<br />
Die nach dem Prandtlschen Grenzschichtkonzept vereinfachten Erhaltungsgleichungen <strong>für</strong><br />
Masse, Impuls und Energie sind bis auf die Berücksichtigung der Dichte in der Kontinuitätsgleichung<br />
und des Schwerkraft- bzw. Auftriebsterms in der x-Impulsgleichung mit jenen des
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