Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

2.2. FOURIERSCHE DIFFERENZIALGLEICHUNG 7
Die pro Zeiteinheit übertragene Wärmemenge ist als Wärmestrom ˙ Q (Einheit W) bekannt
und es gilt:
˙Q ≡ dQ
dt = λ T1 − T2
A. (2.1)
∆x
Die pro Zeit- und Flächeneinheit übertragene Wärmemenge ist die Wärmestromdichte ˙q (Einheit
W/m 2 ). Für die in Bild 2.1 gezeigt Geometrie gilt ˙q = ˙ Q/A, allgemeiner definiert man
für die Wärmestromdichte in x-Richung durch ein Flächenelement dA
˙qx ≡ d ˙ Qx
, (2.2)
dA
und analog für Wärmeleitung in die y- oder z-Richtung. Die Wärmestromdichte ist wird auch
Wärmefluss genannt.
Fourier postulierte nun, dass beim Grenzübergang ∆x → 0 für die Wärmestromdichte die
Differenzialbeziehung
˙qx = −λ ∂T
(2.3)
∂x
gelten sollte, und zwar mit analogen Komponenten in y- und z- Richtung. Diese fundamentale
Beziehung ist als Fouriersches Gesetz bekannt. Was zunächst als phänomenologischer, also
rein empirischer Ansatz formuliert wurde, erwies sich später als nahezu ausnahmslos gültige
Gesetzmäßigkeit.
Die Wärmestromdicht ist eine gerichtete Größe, ein Vektor. Gemäß (2.3) steht dieser Vektor
�˙q senkrecht auf den Isothermflächen des skalaren Temperaturfeldes, �˙q = −λ∇T . Bei dieser
Formulierung wurde vorausgesetzt, dass λ nicht richtungsabhängig (anisotrop) sein soll, wie
dies bei Kristallen, Knochen oder Naturholz der Fall wäre.
Die Einheit des Wärmeflusses folgt zu [ ˙q]= W/m 2 ; typische Zahlenwerte hierzu zeigt folgende
Tabelle:
Solarkonstante : 1300; El. Haushaltsgeräte : 1 - 8 · 10 4 ;
Bensonkessel : 1,5 - 6 · 10 5 ; Kernreaktor, Chips(!) : 1 - 2 · 10 6 ;
2.2 Fouriersche Differenzialgleichung
Nachdem das Transportgesetz der Wärmeleitung (2.3) aufgestellt war, konnte Fourier obwohl
er mit einer inkorrekten Grundkonzeption arbeitete – dem sog. Phlogistonmodell – mit Hilfe
des Energieprinzips die nach ihm benannte partielle Differentialgleichung ableiten. In einem
Cartesischen Koordinatensystem ist die momentane Einspeicherungsrate thermischer Energie
bezüglich eines Massenelementes
durch den Enthalpiestrom
d 3 m = ϱ · dx · dy · dz (2.4)