Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

120 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
9.7 Analogien
Eine häufig anzutreffende Variante der Ähnlichkeit stellen die schon mehrmals angesprochenen
Analogien zwischen Phänomenen in unterschiedlichen natur- bzw. ingenieurswissenschaftlichen
Disziplinen dar. Wir erinnern z.B. an die Analogie zwischen Wärmedurchgang
und dem elektrischen Widerstand von Reihen- und Parallelschaltungen (siehe die Diskussion
der Péclet-Gleichung in Abschnitt 3.1).
Generell gilt, dass physikalische Phänomene, die durch ähnliche – d.h. identisch bis auf Zahlenwerte
von Koeffizienten oder Kennzahlen – (Differential-)Gleichungen beschrieben werden,
sich auch ähnlich verhalten müssen.
Für die Thermo-Fluiddynamik besonders wichtig ist die von Reynolds bereits 1875 erkannte
Analogie zwischen dem Impuls- und Energietransport 3 in Strömungen.
9.7.1 Reynolds-Analogie
Wir betrachten bei Vernachlässigung von Feldkräften die Strömung um einen stromlinienförmigen
Körper wie z.B. eine längs angeströmte ebene Platte, siehe Bild 7.4. Falls der
Druckgradient ∂ ˜p/∂˜x entlang der Wand vernachlässigt werden darf und die Prandtl-Zahl
Pr = 1, sind die Gleichungen (7.11) und (7.12) für den konvektiven Transport von wandtangetialem
Impuls und Wärme einander ähnlich:
ũ ∂ũ ∂ũ
+ ˜v
∂˜x ∂˜y =
ũ ∂ ˜ T
∂˜x + ˜v ∂ ˜ T
∂˜y =
�
1 ∂2ũ ReL ∂˜x 2 + ∂2ũ ∂˜y 2
�
,
�
1 ∂2T˜ ReL ∂˜x 2 + ∂2T˜ ∂˜y 2
�
.
Mit den Randbedingungen für Geschwindigkeit und Temperatur
ũ(˜x, 0) = 0, ũ(˜x, ∞) = 1,
˜T (˜x, 0) = 0, ˜ T (˜x, ∞) = 1,
herrscht offensichtlich vollständige Analogie zwischen Impuls- und Wärmeübertragung. In
dimensionsloser Darstellung stimmen die Verteilungen von Geschwindigkeit und Temperatur
überein, ũ(˜x, ˜y) = ˜T (˜x, ˜y).
Schon bei der Definition der Nußelt-Zahl haben wir bemerkt, das Nu als wandnormaler Gradient
der Temperatur des Fluids an der Wand interpretiert werden kann,
NuL = ∂ ˜ �
T �
�
� .
∂˜y
� ˜y=0+
3 Die Reynolds-Analogie umfasst auch den Stofftransport, was im Rahmen dieser Vorlesung allerdings nicht
weiter diskutiert wird.