Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

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114 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN �� ¨�� £¢ �¡ ¤¦¥¨§¨©�� ¡�� ¨�� ¨�� Abbildung 9.1: Skizze des Kühlkanals � �� ¨�� Da der mittlere WÜK α durch Integration über die Körperoberfläche bestimmt wird, entfällt die Ortskoordinate ˜x und wir erhalten als universell gültige Beziehung für die mittlere Nusselt- Zahl: NuL ≡ α L λ = NuL ( ReL, Pr) . (9.5) Historische Anmerkung: Im Jahre 1916 hat Nusselt diese überraschend einfache, universelle Beziehung abgeleitet und Einstein seine ” Allgemeine Relativitätstheorie“ veröffentlicht! 9.4 Auslegung von Modellversuchen Bei korrekter Anwendung der aus der Ähnlichkeitstheorie gewonnenen Übertragungsregeln ist es möglich, das Verhalten eines Apparates in einem Modellversuch zu studieren. Im einfachsten Fall ist das Modell geometrisch kleiner, was von Vorteil sein kann da für den Versuch z.B. weniger Material und Energie verbraucht wird. Umgekehrt können kleinskalige Phänomene an einem vergrößerten Modell bequem und ” ohne Mikroskop“ untersucht werden. In der Wärmeübertragung oft besonders wichtig ist die Möglichkeit Phänomene, die im Original bei sehr hohen Temperaturen ablaufen, bei gemäßigten Temperaturen zu untersuchen, was dann den Einsatz von temperaturempfindlichen Materialien und Messtechniken ermöglicht. Häufig wird auch mit anderen Fluiden (Wasser statt Luft, Kältemittel anstatt Dampf, ...) gearbeitet um den Einsatz bestimmter Messtechniken zu ermöglichen. Bedingung für die korrekte Anwendung der Übertragungsregeln ist strenggenommen, dass alle relevanten Kennzahlen von Modell und Original den gleichen Zahlenwert haben, oder – falls das nicht zu realisieren ist – dass die weniger wichtigen Kennzahlen zumindest vergleichbare Größenordnungen aufweisen. � � �
9.4. AUSLEGUNG VON MODELLVERSUCHEN 115 Auslegung eines Kühlkanalmodells Die Brennkammern moderner Gasturbinen sind häufig doppelwandig, um eine konvektive Kühlung der Brennkammerwände zu ermöglichen. Der Spalt zwischen den Wänden ist dabei in Umfangsrichtung in Segmente unterteilt, so dass sich eine Vielzahl von Kühlkanälen ergibt (siehe Abb. 9.1 ). Die der Brennkammer zugewandte Seitenwand der Kühlkanäle wird von heissen Abgasen (T ≈ 1600 K) überströmt, während im Kanal Kühlluft (TGT ≈ 600 K) strömt, die die von den Heissgasen an die Brennkammerwand abgegebene Wärme abführt und so die Wandtemperatur auf einen materialvertäglichen Wert reduziert. Ein einzelnes Kühlkanalsegment stellt annähernd einen geraden Kanal rechteckigen Querschnitts dar mit einer Länge von lGT , einer Breite von bGT und einer Höhe von hGT . Im Kanal strömt Kühlluft mit einer Geschwindigkeit von uGT = 40 m/s bei einem Druck von pGT =20 bar. Nun ist geplant, den Wärmeübergang im Kanal durch den Einbau von Rippen zu erhöhen, weshalb experimentell bei Atmosphärendruck der Wärmeübergang im Kanal untersucht werden soll. Ein maßstäbliches Modell des Kühlkanals wird zu diesem Zweck aus Plexiglas gefertigt, um Strömungsvisualisierung und Temperaturmessung mittels temperaturempfindlicher Flüssigkristalle (TLC Thermo-Liquid Crystals) zu ermöglichen. Welche Konsequenzen ergeben sich aus den Ähnlichkeitsgesetzten für die Auslegung des Modells? Voraussetzung für die Anwendung der Ähnlichkeitsregeln ist in jedem Fall die geometrische Ähnlichkeit zwischen Maschine und Modell. Für die Geometrie des Kühlkanals bedeutet dies: � b � � = h b � � � sowie h l � � � = h l � � � . h � M � GT Darüber hinaus müssen die Werte der relevanten Kennzahlen von Modell und Maschine gleich sein. Aus dieser Forderung ergibt sich sofort die Frage, welche der bisher eingeführten Kennzahlen für die vorliegende Aufgabe relevant sind? Die Fourier-Zahl Fo – eine entdimensionierte Zeit – ist nicht von Bedeutung, da instationäre Effekte ausser Acht gelassen werden. Die Biot- Zahl Bi – das Verhältnis von Wärmeleitwiderstand in der Wand zum Wärmeübergangswiderstand – spielt ebenfalls keine wichtige Rolle, da die Wandtemperatur der Brennkammer vom Verhältnis der Wärmeübergangswiderstand auf der heissen und kalten Seite, nicht aber vom (kleinen) Wärmeleitwiderstand des Wandmaterials bestimmt wird. Die Reynolds-Zahl Re – ein Maß für die relative Größe von Trägheits- und Reibungskräften im Fluid – ist sicherlich wichtig, ebenso die Prandtl-Zahl Pr, welche molekularen Impuls- und Wärmetransport in’s Verhältnis setzt. Die Mach-Zahl – das Verhältnis von Strömungs- zur Schallgeschwindigkeit – kann vernachlässigt werden, solange die Strömungsgeschwindigkeit u nur deutlich kleiner als die Schallgeschwindigkeit c ist (Als Faustregel gilt: Mach-Zahl Effekte können vernachlässigt werden, solange Ma = u/c < 0.3). Damit bleiben zwei relevante Kennzahlen: die Reynolds-Zahl Re = u L/ν und die Prandtl-Zahl Pr = ν/a. Letztere ist das Verhältnis zweier Stoffwerte, die je nach Fluid und Temperatur unterschiedlich sein können. Da allerdings sowohl in der Maschine als auch im Modell Luft verwendet wird, und der Einfluss des Temperaturunterschieds im betrachteten Temperaturbereich nicht wesentlich ist, darf davon ausgegangen werden, das PrGT ≈ PrM (Die Indices � M � GT
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Skriptum zur Vorlesung Wärmetransp
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1
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INHALTSVERZEICHNIS v 7 Grundbegriff
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Kapitel 1 Einführung In der Vorles
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2.2. FOURIERSCHE DIFFERENZIALGLEICH
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Kapitel 3 Stationäre Wärmeleitung
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3.1. WÄRMEDURCHGANG UND PÉCLET-GL
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3.3. WÄRMELEITUNG MIT WÄRMEQUELLE
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