Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

9.3. DIE FUNKTIONALE FORM DER LÖSUNGEN 113
Für den örtlichen Reibungsbeiwert folgt dann:
cf (˜x) = τW
ϱu2 2
=
∞ /2 ReL
∂ũ
∂˜y
�
�
�
� ,
�
˜y=0
Wegen Gleichung (9.2) gilt im Allgemeinen, d.h. bei beliebiger Kontur, für den entdimensionierten
wandnormalen Gradienten von ũ :
�
∂ũ �
�
� =
∂˜y
∂ũ
�
� �
�
� ˜x, ReL,
∂˜y
d˜p
�
.
d˜x
� ˜y=0
� ˜y=0
Bei bekannter Kontur entfällt wiederum der Druckgradient als Variable, und somit hängt der
örtliche Reibungsbeiwert nur von der Lauflänge ˜x sowie der Reynolds-Zahl ReL ab:
cf (˜x) = cf (˜x, ReL).
Durch Integration von cf(˜x) zwischen 0 und L wird die ˜x-Abhängigkeit eliminiert und es folgt
für den Mittelwert des Reibungsbeiwert (dem Widerstandsbeiwerts cW )
cf = cf ( ReL).
Diese Funktionalbeziehung zwischen cf und ReL kann universelle Gültigkeit beanspruchen,
d.h. sie trifft für alle Newtonschen Flüssigkeiten in weiten Bereichen der Systemparameter L
und u∞ bei hydraulisch glatten Oberflächen zu!
Aus der Energiegleichung lässt sich allgemein erschließen:
˜T = ˜ T (˜x, ˜y, ũ, ˜v, ReL Pr) .
Mit dem oben Gesagten darf man vereinfachen
˜T = ˜ �
T ˜x, ˜y, ReL, Pr, d˜p
�
.
d˜x
Der Druckterm vermittelt den (einseitigen!) Einfluss des Geschwindigkeitsfeldes (ũ und ˜v) auf
das Temperaturfeld: bei vorgegebener Kontur ist dieser wie schon gesagt festgelegt und nicht
mehr variabel:
˜T = ˜ T (˜x, ˜y, ReL, Pr) . (9.3)
Dem Übertragungskoeffizienten cf (˜x) für Impuls entspricht die örtliche Nusselt-Zahl Nu für
den Wärmetransport. Wir haben bereits formuliert:
�
α L L ∂T �
NuL = = −
� =
λ ∂y
∂ ˜ �
T �
�
� ,
∂˜y
TW − T∞
– siehe Gleichung (7.16) – und folgern aus der Funktionalbeziehung (9.3) speziell für vorgegebene
Kontur und mit der Festlegung ˜y = 0:
� W
� ˜y=0
NuL = NuL(˜x, ReL, Pr). (9.4)