Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

112 KAPITEL 9. ÄHNLICHKEITSTHEORIE UND KENNZAHLEN
ferenzialgleichungen hergeleitet werden können. Die Kennzahlen der Thermo-Fluiddynamik –
die Reynolds-, Péclet-, Prandtl- und Nußelt-Zahlen – wurden im Kapitel 7.2 aus den Erhaltungsgleichungen
für Masse, Impuls und Energie bestimmt.
Eine nochmalige Diskussion dieser Strategie erübrigt sich somit. Es bleibt festzuhalten, dass
dieser Weg am ehesten formale Strenge mit physikalischer Anschaulichkeit verbindet und
neben Kenntnis der relevanten Differenzialgleichungen nur einfache Algebra – und Logik –
erfordert.
9.3 Die funktionale Form der Lösungen
Die Darlegungen im vorausgegangenen Kapitel haben gezeigt, welch große Bedeutung der
Ähnlichkeitstheorie durch die Verdichtung der zahlreichen Einflussparameter eines Modellfalles
auf nur wenige dimensionslose Kennzahlen zukommt. Ein zweiter wichtiger Aspekt ist
die auf obigem Fundament gründende Verallgemeinerungsfähigkeit experimentell oder analytisch
gewonnener Ergebnisse. Dies soll in diesem Abschnitt durch eine etwas abstrakte,
von Nebensächlichkeiten befreite Darstellung der funktionalen Zusammenhänge der Grenzschichtlösung
um einen stromlinienförmigen Körper aufgezeigt werden. Hauptziel ist hierbei
wiederum, den Widerstand und den Wärmeübergang an einem Körper abhängig vom Ort und
den Kennzahlen zu bestimmen. Es wird sich zeigen, dass einige Eigenschaften der Lösung der
Plattengrenzschicht, wie sie im letzten Kapitel diskutiert wurden, allgemeine Gültigkeit besitzen.
Aus der Kontinuitätsgleichung (8.1) folgt die Beziehung:
˜v = ˜v(˜x, ˜y, ũ),
d.h. die Geschwindigkeit ˜v normal zur Platte ist eine Funktion des Ortes und der wandparallelen
Geschwindigkeit ũ. Wo immer ˜v bisher im Formalismus aufgetaucht ist, soll es im
Weiteren durch die entsprechende Funktion der Parameter ˜x, ˜y, ũ ersetzt (eliminiert) werden.
Aus der x-Komponente der Bewegungsgleichung (8.2) folgt dann ähnlich:
�
ũ = ũ ˜x, ˜y, ReL, d˜p
�
. (9.2)
d˜x
Bei festgelegter Konturfunktion K(˜x, ˜y) entfällt der Druckterm als 4. Variable; er kann (wegen
Gl. (8.3) ) potentialtheoretisch, also unabhängig von den übrigen Grenzschichtgleichungen als
Funktion von ˜x bestimmt werden. Damit gilt:
ũ = ũ (˜x, ˜y, ReL) .
Das hydrodynamische Modell ist damit komplett beschrieben und wir können bezüglich der
Wandschubspannung in Erinnerung bringen:
τW = η ∂u
�
�
�
� =
∂y
η u∞
�
∂ũ �
�
� .
L ∂˜y
� y=0
� ˜y=0