Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

9.2. BESTIMMUNG VON KENNZAHLEN AUS DEN DIFFERENZIALGLEICHUNGEN111
In der Tat fanden wir in Abschnitt 4, dass für den Spezialfall Bi ≪ 1 gilt:
θ = exp(−(n + 1) Bi Fo).
Die ” Einheitenarithmetik“ bestätigt, dass die Biot-Zahl in der Beschreibung der Sprungantwort
eines Festkörpers in jedem Fall eine wichtige Rolle spielen sollte – egal ob dieser gut
oder schlecht wärmeleitend ist.
Wie soeben beispielhaft gezeigt, lässt sich ein vollständiger Satz von Kennzahlen folgendermaßen
bestimmen: Man identifiziere zuerst die n wesentlichen physikalischen Parameter des
Problems (unabhängige und abhängige Variablen sowie Einflussgrößen wie Anfangs- oder
Randbedingungen, relevante Stoffwerte, etc.) und bestimme die Zahl m der vorkommenden
Grundeinheiten 2 Die Lösung des Problems läßt sich dann als ein funktionaler Zusammenhang
zwischen n − m Kennzahlen (linear unabhängige, dimensionslose Parametergruppen)
darstellen.
Die ” Einheitenarithmetik“, wie sie hier vorgestellt wurde, ist in mancher Hinsicht mehr eine
Kunst als eine Wissenschaft, die bei schwierigen Problemen nur mit Hilfe von Erfahrung und
Inspiration zum Ziel führt. Deshalb wurde auch eine streng logische, systematische Vorgehensweise
entwickelt, siehe z.B. Stichlmair [5], die im Rahmen dieser Vorlesung jedoch nicht
behandelt werden soll. Es ist auch möglich, die Kennzahlen in systematischer Art und Weise
aus den Differentialgleichungen zu bestimmen. Dies ist im nächsten Abschnitt am Beispiel
der ebenen Platte gezeigt, siehe aber auch das Kapitel über Freie Konvektion.
Wie schon am Beispiel der Sprungantwort gezeigt, lassen die Zahlenwerte der Kennzahlen,
die sich mit den vorliegenden charakteristischen Längen und Geschwindigkeiten, Stoffwerten,
etc. ergeben, Schlüsse über die wichtigen physikalischen Effekte zu oder erlauben bestimmte
Vereinfachungen. So ist z.B. die Mach-Zahl der Umströmung des Laminarflügels eines Segelflugzeuges
sehr klein, weshalb Kompressibilitätseffekte keine Rolle spielen. Umgekehrt ist
beim Space Shuttle oder bei einem Kampfflugzeug die Mach-Zahl oft groß, was eine ganze andere
Strömungsphysik mit sich bringt. Andere Beispiele wurden bereits bei der Wärmeleitung
angeführt: Abbruch von Reihenentwicklungen bei ausreichend großer Fourier-Zahl, Anwendbarkeit
des einfachen Modells ” gerührter Behälter“ bei ausreichen kleiner Biot-Zahl. Es ist
allerdings gerade bei komplizierten Phänomenen oft so, dass aus den Differentialgleichungen
kein eindeutiger Satz von Kennzahlen bestimmt werden kann. In diesem Fall braucht es
dann doch die Kombination von Intuition und physikalischem Verständnis um die relevanten
Kennzahlen zu bestimmen.
9.2 Bestimmung von Kennzahlen aus den Differenzialgleichungen
In den Kapiteln zur Wärmeleitung wurde mehrmals gezeigt, wie Kennzahlen, z.B. eine dimensionslose
Länge ξ oder Temperatur θ, die Biot-Zahl oder die Fourier-Zahl Fo, aus den Dif-
2 mathematisch exakt: den Rang m der Dimensionsmatrix, siehe Zierep [6] oder Stichlmair [5].