Wärmetransportphänomene - Lehrstuhl für Thermodynamik - TUM

9.1. BESTIMMUNG VON KENNZAHLEN – π-THEOREM 109
• die Wärmekapazität ρcV des Körpers. Da V schon durch L erfasst ist, können wir ρc
als Einflussgröße festhalten.
• der insgesamt in den Körper fließend Wärmestrom ˙ Q = αA∆T bringt neben dem
Wärmeübergangskoeffizienten α auch eine charakteristische Temperaturdifferenz ∆T
ins Spiel.
• schließlich ist noch die Wärmeleitfähigkeit λ wichtig.
Damit haben wir 5 Einflussgrößen L, ρc, α, λ, ∆T und 3 Variablen T , x und t identifiziert,
welche die Sprungabkühlung eines Körpers beschreiben. Die Einheiten dieser 8 Parameter
sind [m], [J/kg-K], [W/m 2 -K], [W/m-K], [K] und [s], welche aus den 4 Grundeinheiten [m],
[s], [kg] und [K] zusammengesetzt sind. Das sogenannte π-Theorem von Buckingham (siehe
z.B. [6]) besagt nun, dass die Lösung dieses Problems als ein funktionaler Zusammenhang
f(π1, π2, π3, π4) = 0 (9.1)
zwischen 8 - 4 = 4 dimensionslosen, linear unabhängigen (!) Kennzahlen π1, π2, π3, π4 dargestellt
werden kann.
Die erste Kennzahl ist die entdimensionierte abhängige Variable des Problems, d.h. die Temperatur
T . Als Bezugstemperatur kann sofort der treibende anfängliche Temperaturunterschied
∆T identifiziert werden, und (9.1) kann nach der entdimensionierten Temperatur θ ≡ T/∆T
aufgelöst werden:
θ = θ(π2, π3, π4)
Die entdimensionierte Ortskoordinate ξ ≡ x/L ist leicht als weitere Kennzahl zu identifizieren.
Da wir es mit einem instationären Problem zu tun haben, spielt die Zeit t offensichtlich
eine wichtige Rolle und sollte in entdimensionierter Form ebenfalls als Kennzahl auftauchen.
Schliesslich können Temperaturverteilungen in ähnlichen Körpern nur dann zueinander ähnlich
sein, wenn sie zum ” richtigen“ Zeitpunkt miteinander verglichen werden. Es zeigt sich,
dass z.b. die folgende Kombination von Einflussgrößen dimensionlos ist:
π3 ≡ tλ
.
ρc L2 Mit a = λ/ρc (Temperaturleitfähigkeit) finden wir
π3 = at
= Fo,
L2 die Fourier-Zahl ist also die gesuchte dimensionslose Zeit.
Weiterhin leuchtet ein, dass das Verhältnis des Wärmeübergangskoeffizienten zur Wärmeleitfähigkeit
λ eine wichtige Größe sein sollte. Allerdings ist α/λ nicht dimensionslos, sondern
mit der Einheit 1/m behaftet und muss noch mit L multipliziert werden um eine Kennzahl
zu bilden:
π4 ≡ αL
λ .